Cálculo Diferencial e Integral III

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III Cálculo diferencial e integral III KLS KLS José de França Bueno Ednaldo Alves Frezza Cálculo diferencial e integral III Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Bueno José de França ISBN 9788584825356 1 Cálculo diferencial 2 Cálculo integral I Frezza Ednaldo Alves II Título CDD 51533 Ednaldo Alves Frezza Londrina Editora e Distribuidora Educacional SA 2016 248 p B928c Cálculo diferencial e integral III José de França Bueno 2016 por Editora e Distribuidora Educacional SA Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Editora e Distribuidora Educacional SA Presidente Rodrigo Galindo VicePresidente Acadêmico de Graduação Mário Ghio Júnior Conselho Acadêmico Alberto S Santana Ana Lucia Jankovic Barduchi Camila Cardoso Rotella Cristiane Lisandra Danna Danielly Nunes Andrade Noé Emanuel Santana Grasiele Aparecida Lourenço Lidiane Cristina Vivaldini Olo Paulo Heraldo Costa do Valle Thatiane Cristina dos Santos de Carvalho Ribeiro Revisão Técnica Junior Francisco Dias Editorial Adilson Braga Fontes André Augusto de Andrade Ramos Cristiane Lisandra Danna Diogo Ribeiro Garcia Emanuel Santana Erick Silva Griep Lidiane Cristina Vivaldini Olo 2016 Editora e Distribuidora Educacional SA Avenida Paris 675 Parque Residencial João Piza CEP 86041100 Londrina PR email editoraeducacionalkrotoncombr Homepage httpwwwkrotoncombr Sumário Unidade 1 Integrais múltiplas Seção 11 Equações do plano e plano tangente Seção 12 Integral tripla Seção 13 Volume e centro de massa Seção 14 Área de superfícies 7 9 20 33 45 59 61 71 87 101 115 117 132 142 159 179 181 192 208 223 Unidade 3 Equações diferenciais ordinárias Seção 31 Definição de EDOs Seção 32 Classificação de EDOs Seção 33 EDOs de 1ª ordem Seção 34 Equações diferenciais lineares de ordem superior Unidade 2 Integrais múltiplas em outras coordenadas Seção 21 Mudança de variáveis Seção 22 Integrais triplas as coordenadas cilíndricas Seção 23 Coordenadas esféricas Seção 24 Aplicações de integrais triplas em outras coordenadas Unidade 4 Transformada de Laplace Seção 41 Definição de Transformada de Laplace Seção 42 Inversa da Transformada de Laplace Seção 43 Propriedades da Transformada de Laplace Seção 44 Transformada de Laplace e problemas de valor inicial Palavras do autor Prezado aluno a aprendizagem é um processo contínuo uma vez que voltando ao passado podemos nos deparar desde a época em que éramos crianças e nos primeiros anos da vida na escola começamos a aprender os conceitos matemáticos que começaram do básico e nos proporcionaram conhecer os números e contálos até operacionalizálos algebricamente e geometricamente O tempo passou chegamos ao curso superior e conhecemos o cálculo que foi desenvolvido por Gottfried Wilhelm von Leibniz 16461716 e Isaac Newton 16431727 e que nos proporcionou aplicações de movimentos variações distâncias etc Nesta etapa vislumbraremos a unidade curricular Cálculo Diferencial e Integral III que proporcionará a compreensão de medidas de comprimento de curvas cálculos de áreas em regiões irregulares no plano volume e massa em sólidos arbitrários entre outros Para isso é necessário estudar as integrais triplas como calcular integrais triplas em coordenadas esféricas e cilíndricas equações diferencias e o uso da Transformada de Laplace para resolver equações diferenciais lineares A fim de sistematizar esse aprendizado dividimos o livro didático em quatro partes ou unidades Na Unidade 1 os estudos tratarão as integrais triplas que são bem utilizadas em ciências exatas sendo aplicadas em cálculo de volumes massa centro de massa e momentos de inércia Continuamos nosso estudo sobre integrais triplas na Unidade 2 introduzindo a questão do cálculo de integrais triplas em coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas Dependendo da simetria do problema que você estiver estudando pode ser bem mais simples utilizar outros sistemas de coordenadas que não as coordenadas retangulares Na Unidade 3 é a vez das equações diferenciais que são recursos ótimos a serem utilizados nas ciências exatas humanas e sociais e que servem para modelar fenômenos e determinar índices ou taxas de crescimento ou decrescimento Por fim na Unidade 4 vamos estudar as Transformadas de Laplace Com essa transformada é possível transformar equações diferenciais em equações polinomiais o que em geral facilita bastante os cálculos Lembrese de criar e manter sua rotina diária de estudos Mantenha seu local de estudos organizado crie pastas e cadernos separados para cada unidade curricular Não deixe suas dúvidas se acumularem e esclareçaas o mais rápido possível Preparado para mais este desafio em sua vida acadêmica Vamos lá Unidade 1 Integrais múltiplas Convite ao estudo Olá aluno Seja bemvindo à Unidade 1 deste livro didático Ela tratará uma parte muito importante das integrais múltiplas e nos contemplará com conhecimentos e aprendizagens sobre os conteúdos de equação do plano e plano tangente integral tripla volume e centro de massa e área de superfícies Esses assuntos são recursos que podem ser utilizados na matemática propriamente dita e também nas demais ciências exatas Eles podem e devem ser extremamente importantes à sua formação e no decorrer destas etapas você perceberá algumas aplicações ao seu entorno nas mais diversas situações do seu cotidiano Você já ouviu falar em Oscar Niemeyer Pois bem ele foi um renomado arquiteto brasileiro conhecido mundialmente e responsável por maravilhosos projetos arquitetônicos Entre muitos podemos citar o Congresso Nacional Brasileiro Figura 11 localizado em Brasília que teve a sua idealização a partir de formas geométricas Fonte httpscommonswikimediaorgwikiFileNationalCongressofBraziljpg Acesso em 27 dez 2015 Figura 11 Congresso Nacional em Brasília U1 Integrais múltiplas 8 As mais belas e interessantes construções necessitam em algum momento serem reformadas com o propósito de estarem sempre atraentes e interessantes Desta forma imagine que você trabalha em uma empresa de engenharia e foi designado o responsável por todas as obras e melhorias estruturais deste edifício Uma grande responsabilidade não é Sendo assim para que tudo aconteça da melhor forma possível no decorrer desta unidade você será incumbido a desempenhar alguns cálculos a fim de aperfeiçoar essas tarefas Seção 11 Equações do plano e plano tangente Diálogo aberto O Congresso Nacional é um marco arquitetônico de Brasília e ícone do Brasil Ele é constituído por um edifício horizontal uma cúpula voltada para baixo onde fica a Câmara dos Deputados uma cúpula voltada para cima onde fica o Senado Federal e duas torres de 28 andares o anexo da Câmara e do Senado Desta forma a sua primeira tarefa a ser realizada neste trabalho será encontrar uma forma algébrica para determinar um plano Para isso você terá como orientação a passarela de ligação das duas torres verticais e a cúpula maior voltada para cima na Figura 12 Desta forma vamos imaginar que o centro desta passarela é exatamente o ponto que você poderá designar o vetor normal 007 tendo a partir do solo o ponto A211 Agora é com você determine a equação deste plano Figura 12 Desenho do Congresso Nacional Fonte elaborada pelo autor Como o seu trabalho é completo e deverá ser realizado sobre toda a estrutura física do Congresso Nacional você também deverá determinar uma equação do plano que toque a superfície z 8 x² 4y² em um ponto qualquer¹ Essa superfície será uma parte integrante da cúpula menor voltada para baixo Baseandose parcialmente na sua primeira resolução você seria capaz de determinar a equação do plano que toque a superfície z 8 x² 4y² no ponto P113 ¹ Observação a equação apresentada não representa fielmente a cúpula menor Para detalhes sobre o projeto arquitetônico do Congresso sugerimos que acesse os links httpwwwdocomomoorgbrseminario 10 pdfsST04pdf e httpaupinicombrurbanismo241historiaem detalhecamaradosdeputadosnocongressonacionalde3106891asp Acesso em 16 fev 2016 Produto escalar entre vetores Dados os vetores veck 233 e vecw 342 determine o produto escalar entre eles Seja P x0y0z0 um ponto do plano pi e vecn abc um vetor ortogonal a pi A equação geral do plano que passa pelo ponto Px0y0z0 e tem vecn abc como vetor normal é definida por ax by cz d 0 com d ax0 by0 cz0 Tomamos A x1y1z1 um ponto conhecido e P xyz um ponto qualquer de forma que eles formem o vetor AP pertencente ao plano E o vetor normal n abc ortogonal ao vetor AP Desta forma temos AP P A AP xyzx1y1z1 AP x x1 y y1 z z1 Lembrando que o produto escalar entre dois vetores perpendiculares entre si é nula então n AP 0 abc x x1 y y1 z z1 0 ax x1 by y1 cz z1 0 ax ax1 by by1 cz cz1 0 ax by cz ax1 by1 cz1 0 n AP 0 Sabendo que de acordo com a definição ax1 by1 cz1 d chegamos à equação ax by cz d 0 denominada equação geral do plano Você sabia que também podemos representar a equação do plano na forma paramétrica Veja esse excelente material Disponível em httpwwwmatufmgbrgaalaulasonlineat403html Acesso em 4 jan 2016 De forma análoga vamos entender como determinar a equação genérica de um plano tangente a uma superfície entretanto precisamos relembrar alguns conceitos necessários para isso Sendo assim trataremos a diferenciabilidade de uma função em um determinado ponto Pela definição uma função f x é diferenciável ou derivável em x0 se existir o limite fx0 lim h0 fx0 h fx0 h Ou seja para garantirmos que uma função é derivável precisamos saber se ela existe em um ponto determinado se existem os seus limites laterais e se esses limites são iguais Veja mais detalhes sobre vetor gradiente e derivadas direcionais no texto da aula 6 do Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica da Unicamp Disponível em wwwimeunicampbrvalle PastCoursesMA21114Aula6pdf Acesso em 4 jan 2016 E sobre definição do plano tangente no texto da aula 9 da Universidade Federal de Santa Maria Disponível em httpw3ufsmbrcarmen disciplinasCalculoIIaulasFvar6pdf Acesso em 20 jan 2016 Para obtermos genericamente a equação do plano tangente à superfície S de equação z fxy ou Fxyz fxy z 0 em P com f diferenciável tomamos os pontos P x0y0z0 e Qxyz ambos pertencentes à superfície a fim de formar o vetor PQ e também um vetor gradiente a essa mesma superfície Sabemos que PQ Q P x x0y y0z z0 e f fx fy fz Fazendo o produto escalar entre eles temos f x0y0z0 PQ 0 fx fy fz x x0 y y0 z z0 0 Obtendo a equação do plano tangente a uma superfície no ponto P x0y0z0 Determine a equação do plano tangente que toca a superfície z x² y² 4 no ponto P217 Resolução Organizando a equação temos x² y² z 4 0 Tomamos um ponto qualquer Qx y z que pertença à superfície e obtemos o vetor PQ Desta forma PQ Q P x 2 y 1 z 7 Em seguida encontramos o vetor gradiente no ponto em questão f217 2x 2y 1 E substituindo os valores do ponto P f217 4 2 1 Calculamos o produto escalar entre os vetores PQ f217 0 x 2 y 1 z 7 4 2 1 0 4x 2 2y 1 1z 7 0 4x 8 2y 2 z 7 0 4x 2y z 1 0 E assim chegamos à equação do plano tangente à superfície dada no ponto P A sua outra tarefa nesta situação de aprendizagem seria determinar uma equação do plano que tocasse a superfície z 8 x² 4y² no ponto P113 Desta forma organizando a equação temos x² 4y² z 8 0 Em seguida encontramos o vetor gradiente no ponto em questão f113 2x 8y 1 E substituindo os valores do ponto P temos f113 2 8 1 Tomamos um ponto Qx y z pertencente ao plano e obtemos o vetor PQ x 1 y 1 z 3 Desta forma calculamos o produto escalar entre os vetores PQ f113 0 x 1 y 1 z 3 2 8 1 0 2x 1 8y 1 1z 3 0 2x 2 8y 8 z 3 0 2x 8y z 13 0 Assim chegamos à equação do plano tangente à superfície dada no ponto em questão Com certeza você desempenhou de forma satisfatória as suas atividades anteriores Sendo assim foi designado mais uma vez a trabalhar com esses conteúdos a fim de solucionar outros problemas Pois bem você precisará perfurar um local que chamaremos de ponto P321 em um determinado plano que é paralelo ao plano 2x 3y 4z 3 0 Para isso será necessário conhecer a equação que determina geometricamente esse plano Diante dessas informações encontre esta expressão algébrica A partir da equação do plano dada 2x 3y 4z 3 0 sabemos que o vetor normal ao plano é n 2 3 4 Como o plano que queremos determinar a equação é paralelo ao plano dado podemos utilizar o mesmo vetor normal uma vez que este também é ortogonal ao segundo plano Sabemos também que o ponto P321 pertence ao plano que queremos determinar a equação e desta forma fica fácil Substituindo os valores do ponto na forma geral da equação do plano temos 23 32 41 d 0 6 6 4 d 0 6 10 d 0 4 d 0 d 4 Substituindo novamente os valores na equação genérica podemos escrever a equação que procuramos Logo 2x 3y 4z 4 0 Equação geral do plano ax by cz d 0 Vetor normal n a b c Ponto Px y z Sabendo que P315 pertence a um plano paralelo a 4x y 5z d 0 Determine a equação geral desse plano U1 Integrais múltiplas 19 d Uma de suas notações é feita por uma reta sobreposta a uma letra minúscula do alfabeto e Não podem se anular 2 Entre os vetores a seguir qual possui as suas componentes definidas a partir de derivadas parciais a Vetor normal b Vetor equipolente c Vetor gradiente d Vetor nulo e Vetor soma 3 O sistema cartesiano é formado por três eixos xyz que correspondem a profundidade largura e altura Esses eixos podem possuir vetores unitários que formam uma base do tipo B i j k rr uru Essa base é nomeada por a Base perpendicular b Base vetorial c Base ortogonal d Base ortonormal e Base cartesiana Seção 12 Integral tripla Diálogo aberto em R f tenha descontinuidades apenas em um número finito de curvas suaves e que a integral iterada exista STEWARD 2013 p 883 Integral tripla Figura 111 Região do tipo I D xy 0 x 1 0 y 1x estando no plano xy contempla uma região do tipo I conforme a Figura 112 nos permitindo calcular a integral R y dV D f2xy f1xy y dz dx dy 0 1x1xy 0 y dz dy dx 0 1x1xy 0 y dz dy dx 0 1x yxyy2 dy dx 0 1 y22yx22y33 1x 0 dx 16 0 1 13x3x2x3 dx 16x3x323x441 0 161124 124 Logo o valor da integral R y dV é 124 A integral iterada também contempla outras ordens de cálculos para as integrals triplas E o teorema de Fubini fornece essa garantia Vejamos Se f for contínua em uma caixa retangular R abcdrs então R fxyzdV R dx dy dz b a d c s r fxyz dz dy dx d c s r fxyz dy dz s r b a fxyz dz dy dx b a fxyz dy dz I R kf dV kR f dV Da propriedade I temos que a integral de multiplicação de uma função por uma constante é a multiplicação da constante pela integral da função II R f1 f2 dV R f1 dV R f2 dV Da propriedade II temos que a integral da soma de duas funções é a soma das integrais de cada uma delas III R f dV R1 f dV R2 f dV onde R R1 R2 Da propriedade III temos que a integral de uma função na união R1 R2 é a soma das integrais em cada uma das regiões U1 Integrais múltiplas 29 Lembrese Para cálculos de volumes em superfícies regulares utilizamos as fórmulas que aprendemos em Geometria Espacial Entretanto vale lembrar que na aprendizagem das integrais triplas é aconselhável que você utilize seus conceitos pois assim você estará treinando e melhorando a sua aprendizagem para determinar volumes em qualquer superfície Pesquise mais Aprenda mais sobre as integrais triplas consultando o link do Instituto de Matemática da Universidade Federal FluminenseUFF Disponível em wwwprofessoresuffbrpaulabM04alunopdf Acesso em 11 jan 2016 Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois compareas com a de seus colegas Trabalhando com planos paralelos 1 Competência de fundamentos de área Conhecer e ser capaz de aplicar na engenharia e área de exatas os cálculos referentes a integrais múltiplas equações diferencial ordinárias e à teoria de transformada de Laplace 2 Objetivos de aprendizagem Aplicar os conceitos de Integrais triplas em cálculos de volumes em situações do cotidiano 3 Conteúdos relacionados Integrais triplas integral iterada Imagine que você precisa calcular uma pequena região a ser restaurada do hemisférico na Cidade das Artes e das Ciências em ValênciaEspanha Figura 115 Hemisférico Fonte httpscommonswikimediaorgwikiFileELHemisfC3A9ricoCiudaddelasArtesylasCienciasValenciaEspaC3B1a20140629DD37JPG Acesso em 25 fev 2016 Nesse caso a superfície a ser trabalhada está relacionada a integral R 2xdV onde R xyz 0 x y z 0 y z 1 z 2 A partir destas informações determine o valor desta integral Resolvendo de dentro para fora temos 21 0z 2x2yz 2 dy dz 10 1z 2x2yz 2 dy dz 21 0y2 2yz z2 dy dz 21 y3 3 2y2z 2 yz2 z 2 1 21 z3 3 z2 z z2 dz 21z3 2z2 z z2 dz 201z3 2z2 dy dz 7 3 4 14 7 3 15 4 105 12 35 4 E desta forma concluo que o valor da integral relacionada a região de interesse a ser restaurada no hemisférico é 35 Para resolvemos a integral onde a superfície aproximase de uma caixa retangular podemos utilizar o Teorema de Fubini para integrais duplas assim como você já viu neste livro didático Calcule o valor da integral 0 1 xy y z dz dxd y Faça valer a pena 1 Sobre as integrais duplas é correto afirmar que a A integral será a massa obtida pela soma de uma região finita de densidades b A integral será o volume obtido pela soma de uma infinidade de volumes infinitesimais inscritos em forma de paralelepípedos c A integral será a área obtida em uma região finita de uma superfície retangular d A integral será o volume do sólido formado pela sua integral iterada de volumes infinitesimais em forma de paralelepípedos e A integral será o volume obtido pela soma de uma infinidade de volumes finitos inscritos em forma de vários paralelepípedos 2 O processo de integral iterada é uma forma prática de resolver integrais Desta forma a integral 011 0 dy dx é igual a a 3 b 1 c 0 d 1 e 3 3 De acordo a região R xy y x2y x temos os intervalos 0 x 1 x2 y x y x y 0 y 1 Desta forma qual integral expressa à regiao do tipo II a 01 x2 dy dx b 01 x2 dy dx c 01 y dy dx d 01 x dy dy e 01 x dx dy Seção 13 Volume e centro de massa Diálogo aberto Em continuidade nas práticas das obras de revitalização do Congresso Nacional sua equipe deparouse com um entrave ao ter que solucionar alguns problemas de dutos e encanamentos localizados dentro das paredes externas da cúpula menor do edifício Um estagiário detectou que esses dutos se encontram atrás de uma placa com formato triangular e fez vários esboços da região retratada na Figura 116 Debatendo com os demais membros da equipe chegouse à conclusão que para mexer na estrutura dessa parede seria necessário que isso ocorresse única e exclusivamente nessa superfície Desta forma através de cálculos obtidos no escritório a fim de determinar tal região obtiveram a equação 2x y z 1 como modelo Entretanto antes de pôr o trabalho em prática eles se deparam com uma situação a ser resolvida seria preciso determinar o centro de massa e o volume da região obtida Com essas informações você seria capaz de resolver esse problema matemático contribuindo com a sua equipe Aqui vão algumas dicas para a resolução desse problema as integrais triplas são uma extensão das integrais duplas considera a densidade da placa descrita pela função ρxyz k z em que k 0 é uma constante Não pode faltar Para resolver as situações dessa seção precisaremos relembrar as integrais duplas Elas foram recursos importantes que nos ajudaram a calcular áreas de regiões planas e volumes Além disso podemos aplicálas em outras situações como na determinação da massa dos momentos e centro de massa utilizando uma função densidade considerada Sendo assim vamos relembrar esses conceitos A massa total m de uma lâmina pode ser deduzida após um cálculo de limite de modo semelhante ao usado na dedução das integrais duplas Desta forma tendo no plano xy uma determinada região D e a sua densidade em unidades de massa por unidade de área dada por ρxy em que ρ é uma função contínua sobre D em um ponto com coordenadas x e y pertencente à região D essa massa é determinada pela integral dupla m D ρxydA Momentos e centro de massa Se considerarmos uma lâmina que tenha a sua densidade variável ocupando determinada região D e ρxy sendo a sua função densidade Figura 117 O centro de massa é o ponto que representa o comportamento da lâmina como se toda a massa dela estivesse concentrada neste ponto Figura 117 Lâmina na posição horizontal equilibrada no centro de massa Desta forma o centro de massa dessa lâmina é exatamente o ponto nas coordenadas xy Ou seja é o ponto de massa única que uma partícula teria simultaneamente os mesmos momentos Sendo assim temos que essas coordenadas são dadas em x Mym e y Mxm em que Mx D yρxydA e My D xρxydA são os momentos em relação aos eixos x e y respectivamente Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular que passe pelos vértices 00 10 e 01 cuja densidade é dada por ρxy x 2y Resolução A lâmina triangular região D é limitada pelas retas x 0 y 0 e y 1 x Desta forma temos que D xy 0 x 1 0 y 1 x Ou seja os limites de integração em relação a x está entre 0 inferior e 1 superior e em relação a y está entre 0 inferior e 1 x superior Para determinar a massa resolvemos a integral m D ρxydA fxyz1 para todos os pontos da região de integração E sendo representada por VE dV Uma forma fácil de resolvêla é por integral iterada assim como já vimos na aula da seção anterior Vale lembrar que neste caso não é necessário utilizar a integral tripla para calcular o volume entretanto ela é um recurso alternativo para estabelecer os cálculos Concluímos que a massa é m18 Em seguida calculamos os momentos em relação aos três planos coordenados MyzE ρxyzx dV₀¹ ₀¹ᵧ ₀ᵞˣ xy dz dx dy₀¹ ₀¹ᵧ xyz₀ᵞˣ dx dy Os segundos momentos denominados momentos de inércia em relação aos eixos coordenados são aplicados quando a densidade é constante e desta forma chamamos o centro de massa do sólido de centroide E assim temos lx momento de inércia em relação ao eixo x Calculado pela integral tripla lx iiintE y2z2rhoxyzdV ly momento de inércia em relação ao eixo y Calculado pela integral tripla ly iiintE x2z2rhoxyzdV lz momento de inércia em relação ao eixo z Calculado pela integral tripla lz iiintE x2y2rhoxyzdV Aprenda mais sobre aplicações de integrais triplas consultando o link do Departamento de Matemática Estatística e Computação Científica da Unicamp Disponível em wwwimeunicampbrvallePastCoursesMA21114Aula13pdf Acesso em 1 fev 2016 Outra sugestão é consultar o tópico 163 do livro disponível no endereço a seguir ROGAWSKI Jon Cálculo volume 2 recurso eletrônico Porto Alegre Bookman 2009 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788577804115cfi395 Acesso em 2 mar 2016 Para resolver os entraves encontrados nesta situaçãoproblema você terá que trabalhar sobre uma determinada região triangular tendo a necessidade de encontrar o volume e o centro de massa que contemplam a equação 2xyz1 Onde a densidade é composta por rhoxyzkz k 0 uma constante Nesta fase vale lembrar os conhecimentos em integrais duplas e aplicálos nas integrais triplas Vejamos A Figura 118 é o esboço da região triangular dada pela equação que representa a região Desta forma é preciso determinar as variações de x y e z Ou seja para resolver a integral é necessário determinar os limites de integração Pegando início o eixo y percebemos que ele varia de 0 a 1 Ou seja 0 leq y leq 1 No plano xy podemos observar que partindo da origem o x está variando de 0 a frac12 Entretanto se nos deslocarmos pelo eixo y podemos perceber que o valor varia e assim é preciso determinar a equação da reta que delimita esta superfície Igualando z a 0 temos 2xy1 e isolando x chegamos a equação xfrac12fracy2 E assim 0 leq x leq frac12fracy2 Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois compareas com a de seus colegas Calculando a massa de superfícies metálicas 1 Competência de fundamentos de área Conhecer e ser capaz de aplicar na engenharia e área de exatas os cálculos referentes a integrais múltiplas equações diferenciais ordinárias e à teoria de transformada de Laplace 2 Objetivos de aprendizado Aplicar cálculo de volumes massa e centro de massa em diversas regiões que nos cercam em situações do cotidiano 3 Conteúdos relacionados Integral tripla massa e centro de massa 4 Descrição da situaçãoproblema A fim de completar a sua aprendizagem imagine que você terá que trabalhar no subsolo das torres verticais no prédio do Congresso Nacional onde ficou localizada a casa de máquinas e terá que substituir as bases de apoio das bombas dágua Entretanto ao fazer uma verificação do local você percebeu que para realizar essa tarefa terá que deslocar e substituir algumas placas metálicas que servirão de suporte para eletrodutos e foram instaladas indevidamente por outra empresa que fez os reparos anteriores Desta forma para realizar a sua tarefa antes você terá que construir uma estrutura de metal cujas dimensões não estão padronizadas e não contemplam uma superfície em formato geométrico de fácil construção Sendo assim será necessário determinar a massa int11 int0x int0x2 rho xyz dzdxdy de uma região que é representada pela integral int11 int0x int0x2 2 dzdxdy é frac85 overlinex fracMyzm frac110 quad overliney fracMxzm frac15 quad overlinez fracMxym frac25 E concluímos que o centro de massa está localizado em left frac110 frac15 frac25 right Por fim para calcularmos o volume substituímos os valores na integral VE iiintlimitsE dV VE int01 int0fracy2 int02 y z dzdxdy int01 int0fracy2 left z2 right02 dx int01 int0fracy2 fracy22 dy frac112 Logo o centro de massa da placa retangular está localizado em left frac110 frac15 frac25 right e o seu volume é igual a frac112 Na resolução dos exercícios é interessante que você faça todas as passagens matemáticas Desta forma a probabilidade de erros será mínima As integrais triplas podem ser interpretadas de distintas formas dependendo sempre das interpretações de x y z e f x y z Agora é com você utilize os dados da situaçãoproblema anterior int11 int0x int0x2 y rho xyz dzdxdy 2 além do valor da massa que você encontrou e determine o centro de massa dessa região Faça valer a pena 1 Seja uma lâmina triangular com densidade rho 2x y A massa da lâmina corresponde à integral int01 int02 x rho dA cujo valor é a frac56 b frac65 c frac67 d frac76 e frac13 2 Uma lâmina triangular tem densidade rho 2x y Sua massa igual a frac76 é calculada por meio da integral int01 int02 x rho dA Desta forma o momento My é igual a a frac1312 b frac76 c frac81 d frac29 e 0 3 O volume da placa triangular localizada no primeiro octante limitada pela equação matemática 2x y 2z 4 é a frac103 b frac127 c frac75 d frac94 e frac83 Não pode faltar Produto Vetorial Resolução O cálculo do produto vetorial entre dois vetores é efetuado da mesma forma que o determinante de uma matriz Regra de Sarrus Coordenadas polares Você lembrase das relações trigonométricas no triângulo retângulo Figura 123 Superfície parametrizada Para parametrizar esta equação chamamos x u e y v E consequentemente temos z 1 u² v² Derivando a função chegamos a x 102u e v 012v Em seguida calculamos o produto vetorial u v 2u 2v 1 Cujo módulo é dado por xu xv 2u² 2v² 1 4u² 4v² 1 Substituímos na integral D xu xv du dv Como na Figura 125 da superfície temos um raio variando conforme z aumenta e um ângulo θ podemos escrever as coordenadas cartesianas em coordenadas polares a fim de facilitar os cálculos Desta forma fazemos a representação da Figura 126 no eixo xy região do chão Figura 126 Regi Portanto a área da superfície é igual a π6 55 1 Se S for uma superfície que possa ser representada pela função z fxy f com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em uma região D do plano xy então temos AS D fx² fy² 1 dx dy Como na equação do exemplificando z está isolado resolvao novamente utilizando a expressão dada acima Melhore a sua aprendizagem fazendo a leitura sobre Superfícies a partir de um texto do Departamento de Matemática da UEM Disponível em wwwdmauembrkitarquivospdfsuperficiespdf Acesso em 19 fev 2016 E de acordo com a Figura 124 temos infinitos paralelogramos e somando a suas áreas teremos a área de toda a superfície Quando S é regular ou seja o produto vetorial entre os dois vetores for diferente de zero temos a área da superfície dada por D xu xv du dv Figura 124 Derivada em um ponto qualquer da superfície Fonte elaborada pelo autor Calcule a área da superfície cuja equação é dada por z 1 x² y² com x² y² 1 Resolução A Figura 125 representa a equação z 1 x² y² Figura 125 Superfície z 1 x² y² Fonte httpwwwgeogebraorgm3093887 Acesso em 5 abr 2016 Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois compareas com a de seus colegas Área do paraboloide 1 Competência de fundamentos de área Conhecer e ser capaz de aplicar na engenharia e área de exatas os cálculos referentes a integrais múltiplas equações diferenciais ordinárias e à teoria de transformada de Laplace 2 Objetivos de aprendizagem Aplicar a parametrização de superfícies no cálculo de áreas nas diversas situações do cotidiano 3 Conteúdos relacionados Produto vetorial derivadas parciais integrais duplas coordenadas polares 4 Descrição da situaçãoproblema Bem com a praticidade em resolver problemas outros trabalhos vão surgindo O próximo que será designado a você é calcular a área de uma superfície em formato de paraboloide que será construído em um terreno particular O projeto repassado a você já traz uma representação matemática para ajudarlhe e está escrita da seguinte forma mathbfr uv u cos vu sin vu2 1 leq u leq 2 exte 0 leq v leq 2pi Desta forma utilize os conhecimentos aprendidos nesta aula e calcule essa área Como o paraboloide já está na forma parametrizada é necessário escrevêla de uma forma que facilite encontrar a área procurada Sendo assim x u cos v e y u sin v z u2 Passase a equação anterior a fim de obter a equação do paraboloide fracy2u2 fracx2u2 1 rightarrow y2 x2 u2 Como z u2 temos z x2 y2 Ainda da informação que z u2 podemos a partir da informação 1 leq u leq 2 determinar que 1 leq z leq 4 Desta forma podemos visualizar a região da área que queremos calcular Continuando encontramse as derivadas parciais em relação a u e v barxu cos vsin v2u barxv usin vucos v0 Calculamos o produto vetorial baru imes barv beginvmatrix mathbfi mathbfj mathbfk cos v sin v 2u usin v ucos v 0 endvmatrix 2u2 cos v2u2 sin vu Em seguida determinamos o módulo baru imes barv sqrt4u4 cos2 v sin2 v u2 sqrt4u4 u2 usqrt4u2 1 Substituímos na fórmula A iintD barx imes barv du dv para obtermos a área Portanto a área da superfície em formato de paraboloide a ser construída no terreno particular é fracpi6 left frac1717 55 right U1 Integrais múltiplas 58 Referências BOULOS Paulo ABUD Zara Issa Cálculo diferencial e integral São Paulo Makron Books 2000 v 2 EDWARDS C H PENNEY David E Cálculo com geometria analítica Rio de Janeiro LTC 1999 v 3 GUIDORIZZI Luiz Hamilton Um curso de cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 2002 v 3 STEWART James Cálculo 7 ed São Paulo Cengage Learning 2013 v 1 STEWART James Cálculo 7 ed São Paulo Cengage Learning 2013 v 2 WEIR Maurice D HASS Joel GIORDANO Frank R Cálculo 12 ed São Paulo Pearson 2012 v 2 Unidade 2 Integrais múltiplas em outras coordenadas Convite ao estudo Olá Na Unidade 1 deste livro didático tratamos de integrais triplas Você efetuou cálculos de volumes e massas em coordenadas retangulares Nesta unidade você expandirá as suas capacidades de cálculos com integrais triplas para situações que apresentem determinadas simetrias Para isso vamos supor que você faz parte de um escritório de engenharia de projetos civis Seu superior solicitou a você que calculasse o volume interno de algumas edificações É possível que ele também venha a solicitar a massa e o centro de massa de outras estruturas de destaque na construção brasileira e mundial Para que possa efetuar estes cálculos você deverá observar a particular geometria de cada edificação para poder tirar vantagem desta geometria e facilitar seus cálculos Talvez você esteja se perguntando mas será que eu já fiz algo parecido anteriormente Figura 21 Nova Biblioteca de Alexandria Fonte httpsptwikipediaorgwikiBibliothecaAlexandrina Acesso em 6 abr 2016 Sim com certeza Você já efetuou mudanças de variáveis tanto nas integrais simples quanto nas integrais duplas Então é importante para sua aprendizagem que você estabeleça as conexões entre este tópico com integrais triplas e o que já foi visto em Cálculo I e Cálculo II ok Os pesquisadores de aprendizagem asseguram que ao estabelecermos conexões entre um novo objeto de aprendizagem e assuntos que já estudamos anteriormente aprendemos de forma mais significativa Uma dessas estruturas é a nova Biblioteca de Alexandria Figura 21 na cidade de Alexandria no Egito Você consegue notar que há um recorte no prédio na parte de trás no fundo da foto E agora Como resolver este problema Foi nessa mesma cidade entre o século III aC e o século V dC que existiu a famosa Biblioteca de Alexandria Nesta biblioteca trabalharam matemáticos e outros cientistas da Antiguidade Você se lembra de como resolver integrais simples por substituição Nós utilizamos a seguinte relação intab fxdx intcd fgsgsds com c ga d gb e x gs Você deve se lembrar que as funções f e g deveriam apresentar derivadas parciais de primeira ordem contínuas e a transformação T deveria ser biunívoca T podendo não ser biunívoca apenas em pontos da fronteira da região A Assim é possível definir a transformação inversa T1 que leva uma região do plano uv no plano xy A mudança de coordenadas em integrais triplas é analógica àquela vista para integrais duplas A diferença é que agora teremos uma transformação T biunívoca que leva uma região A do espaço uvw em uma região B do espaço xyz da seguinte forma x fuvw y guvw z huvw O jacobiano de T é o determinante Jxyz xyz uvw As hipóteses que devem ser feitas sobre a transformação T para integrais triplas são análogas àquelas realizadas para integrais duplas Considere A uma região no espaço uvw e B uma região no espaço xyz Suponha T a transformação biunívoca com a possível exceção apenas nos pontos da fronteira da região A que transforma a região A na região B por meio das equações x fuvw y guvw e z huvw onde f g e h são funções de classe C1 ou seja f g e h são funções deriváveis com primeiras derivadas contínuas Então é válida a fórmula seguinte para mudanças de coordenadas em integrais triplas B fxyz dV A fxuvwyuvwzuvw Jxyz Juvw du dv dw Veja no exemplo que seguir como calcular o determinante jacobiano de uma transformação U2 Integrais múltiplas em outras coordenadas 66 0 9 0 2 4 3 4 3 9 2 0 9 0 2 2 4 3 4 3 4 9 4 9 2 w w w w u v du dv dw u uv 9 2 du dv dw 4 9 4 3 9 2 2 4 3 9 2 4 3 2 4 3 0 9 0 2 2 2 w w v w w v dv dw 4 9 12 117 4 4 9 12 2 117 4 333 0 9 2 0 9 w dw w w É claro que se você efetuar a integração tripla sem a substituição obterá o mesmo resultado Interpretação geométrica da mudança de coordenadas para integrais triplas A interpretação geométrica da mudança de coordenadas para integrais triplas também é análoga àquela realizada para a mudança de coordenadas para integrais duplas No caso de duas variáveis estamos levando uma região A do plano uv em uma região B do plano xy No caso de três variáveis estamos levando uma região A do espaço uvw em uma região B do espaço xyz Na Figura 25 foi ilustrada a mudança de coordenadas efetuada pelas equações x f u v w y g u v w e z h u v w Para conhecer mais sobre mudança de coordenadas em integrais triplas sugerimos que você consulte o texto da Profa Cristina Caldeira Disponível em httpwwwmatucptcaldeiraAnaliseIV03044pdf Acesso em 7 abr 2016 Neste texto você encontrará mais figuras e exemplos sobre mudanças de coordenadas em integrais triplas Agora que já aprendemos um pouco sobre mudanças de coordenadas em integrais triplas vamos retomar o problema do cálculo do volume de uma edificação elipsoidal como aquelas da Faculdade de Medicina de Cornell em Doha no Qatar ou a estrutura do Elipsoide Metálico em Istambul Como calcular o volume de uma estrutura elipsoidal Será que uma mudança de coordenadas pode ser útil neste caso O seu superior do escritório de engenharia após observar seus cálculos para o volume do elipsoide deseja que você determine a sua massa supondo que a densidade em cada ponto xyz pertença a ele seja igual à sua distância até a origem Suponha que um sólido possua densidade constante em uma região V sob uma determinada simetria específica Como é feito o cálculo para determinar a massa deste sólido na região V 1 Considere a integral V 2xx3y 52zx dx dy dz onde V é dada por 22zx3y8 1zx5 3z4 Efetuando a mudança de coordenadas u2zx3y vzx wz a escrita da integral nas novas variáveis u v w e com os limites de integração fica a 15 148 3u5v du dv dw b 12 586 23u5v du dv dw c 11 111 3u5v du dv dw d 18 358 73u5v du dv dw e 13 458 3u5v du dv dw 2 Considere a mudança de variáveis ux2yz v3xz wy2z Vamos denotar por T a mudança de coordenadas x y z nas coordendas u v w Então o determinante de T e o determinante da transformação inversa T1 são respectivamente a 1 e 2 b 18 e 8 c 1 e 1 d 8 e 18 e 5 e 15 3 Considere a mudança de coordenadas xr cosθ yr senθ zz O jacobiano desta mudança de coordenadas é dado por a 1 b r c cosθ d senθ e tgθ U2 Integrais múltiplas em outras coordenadas 71 Seção 22 Integrais triplas as coordenadas cilíndricas Diálogo aberto Na seção anterior vimos como efetuar mudanças de coordenadas para simplificar o cálculo de integrais triplas em algumas situações que exibam simetria conveniente Em particular vimos o exemplo de cálculo de volume de elipsoides tomando como situaçõesexemplo as estruturas da Faculdade de Medicina de Cornell em Doha e o Elipsoide Metálico de Istambul Contudo existem edificações e máquinas que apresentam simetrias que permitem o uso de outras mudanças de coordenadas Em inúmeras situações reais a simetria pede uma mudança de coordenadas para as denominadas coordenadas cilíndricas Suponha que você continue como engenheiro responsável pelos cálculos de estruturas com simetrias não usuais Assim é continuamente levado a buscar novas estratégias de cálculos de integrais triplas Vamos retomar o exemplo da Nova Biblioteca de Alexandria consulte a Figura 21 da seção anterior Nesta unidade o escritório de engenharia no qual você trabalha recebeu a solicitação de calcular o volume interno da Nova Biblioteca de Alexandria no Egito O teto desta edificação possui uma inclinação de cerca de 16º o que aliado à estrutura cilíndrica do prédio dificulta uma aplicação imediata de coordenadas retangulares O que fazer Veremos que neste caso é adequado utilizar coordenadas cilíndricas Além disso você deverá fazer buscas na internet para estimar as medidas do prédio Vamos lá Será que existe alguma dica de quando usar coordenadas cilíndricas Sim a sugestão é que a mudança para coordenadas Não pode faltar Assim no caso de mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas a integral tripla fica fx θ z dV fxr θ z yr θ z zr θ z r dz dr dθ Observe que o elemento de volume obedece à relação dVrdzdrdθ Sabendo que rx²y² A equação do cilindro de raio R x²y²R² em coordenadas cilíndricas fica simplesmente rR uma vez que rx²y² A equação do parabolóide zbx²by² ao colocarmos b em evidência temos zbx²by² em coordenadas cilíndricas fica simplesmente Zbr² Na sequência apresentaremos exemplos envolvendo integrais triplas e coordenadas cilíndricas Calcule a integral 6 0 5 π 3r dz dθ dr Resolução 6 0 5 π 3r dz dθ dr 3rz 6 0 5 dθ dr 3r5r2 dθ dr 3r5r2πdr Reescreva a integral 5z² dz dr dθ em coordenadas cartesianas não é necessário efetuar o cálculo Resolução Usamos z16r²16x²y² para a integral em z Como a variável r tem como limites de integração r inferior0 e r superior5 x²y²5 então x inferior5y² e x superior5y² Finalmente 5y5 5z² dz dx dy A integral fica 5z² dr dz dθ π3 23b²a²32 dθ 2π3b²a²32 dθ 4π3b²a²32 Considere a esfera de equação x²y²z²b² e o cilindro de equação x²y²a² com ab Determine o volume da região interna à esfera e externa ao cilindro Resolução utilizando coordenadas cilíndricas escrevemos xr cosθ e yr senθ Então a equação do cilindro fica r²a² e a equação da esfera se escreve r²z²b² Fonte httpwwwgeogebraorgm3189625 Acesso em 2 maio 2016 A integral fica 0 2π a b b²r² b²r² r dz dr dθ E efetuando a integração na variável z 0 2π a b r dr dθ 0 2π b²r² b²r² r dr dθ 0 2π a b r dr dθ E efetuamos a mudança de variáveis u b²r² Então du 2rdr A integral fica 0 2π b²r² 2r dr dθ 0 2π a r u du dθ 0 2π 23 u32a 0 2π 23 b²a²32 dθ 2b²a²323 dθ 4πb²a²323 Calcule a integral 5x²5y² dx dy dz 5x²5y² dz 5 0 2π a b r 5 dr dθ 5 0 2π 0 b r2 dr 0 a r² ba dr dθ 5 0 2π ba0 a r² dr dθ 5 0 2π 0 7 ba dθ 5ba 0π0800rzdzdrdθ0π080rZr0π4475172293963rcosθdrdθ0π447517802229396380330dθπ1790064893788cosθ1706667dθ8340133π Portanto417480²x²dx80²2arcsen418041280²41²2862314082471436871 Multiplicando por44751740teremos como resultado da Etapa 2143687144751740160756 711414174 xdx 71141 x²24174 13499 Somando os quatro resultados parciais 138091 566005 4579945 13499 111112 Finalmente somando os resultados das três etapas o volume será 1758461 m³ Um aprendizado importante desta situaçãoproblema não somos obrigados a efetuar a integração de um objeto apenas em coordenadas cilíndricas ou apenas em coordenadas cartesianas Podese dividir o objeto e aproveitar sua simetria para utilizar o sistema de coordenadas mais apropriado para aquele trecho Avançando na prática Pratique mais Instrução Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois compareas com a de seus colegas Integrais triplas as coordenadas cilíndricas 1 Competências Conhecer e ser capaz de aplicar na engenharia e área de exatas os cálculos referentes a integrais múltiplas equações diferenciais ordinárias e à teoria de transformada de Laplace 2 Objetivos de aprendizado Utilizar os conhecimentos adquiridos dos conteúdos de mudança de coordenadas nas integrais triplas aplicando os conceitos de coordenadas cilíndricas em situações do cotidiano 3 Conteúdos relacionados Mudança de coordenadas em integrais triplas coordenadas cilíndricas O Museu de Arte Contemporânea de Niterói é um marco arquitetônico e ícone da cidade É outra obra de destaque do arquiteto Oscar Niemayer Figura 213 Museu de Arte Contemporânea de Niterói Fonte httpscommonswikimediaorgwikiFileNiteroiMuseudeArteContemporanea20050315jpg Acesso em 15 abr 2016 U2 Integrais múltiplas em outras coordenadas 83 U2 Integrais múltiplas em outras coordenadas 87 Seção 23 Coordenadas esféricas Diálogo aberto Nesta seção continuamos a discutir a estratégia de mudança de coordenadas em integrais triplas com a finalidade de facilitar o cálculo Na última seção estudamos as coordenadas cilíndricas e vimos que a simetria sendo em torno de um eixo podemos usála obtendo cálculos mais fáceis Nesta seção estudaremos as coordenadas esféricas Desta forma qual dica poderíamos seguir para saber se devemos ou não mudar as coordenadas para esféricas Bem quando a região de integração apresentar simetria com respeito a um ponto sugerese a mudança para coordenadas esféricas Você como engenheiro de um escritório de cálculos para estruturas incomuns vem tendo seus conhecimentos postos à prova Em diversas situações práticas podemos nos aproveitar da simetria para facilitar os cálculos de integrais triplas Você já trabalhou com mudanças de coordenadas em geral na Seção 21 e coordenadas cilíndricas na Seção 22 Mas será que existiriam outras simetrias relevantes que merecem ser estudadas por um profissional como você atuando em um escritório de alto nível Sim Você já ouviu falar na Biosfera de Montreal Veja a Figura 215 Ela foi construída para a Feira Mundial de 1967 Expo 67 A Biosfera de Montreal possui 76 metros de diâmetro e 62 metros de altura Ela é usada como um museu interativo sobre o meio ambiente dos Grandes Lagos Como Fonte httpscommonswikimediaorgwiki FileBiosphC3A8reMontrC3A9alCAjpg Acesso em 18 abr 2016 Figura 215 Biosfera de Montreal U2 Integrais múltiplas em outras coordenadas 101 Seção 24 Aplicações de integrais triplas em outras coordenadas Diálogo aberto Nas três primeiras seções desta unidade estudamos mudança de coordenadas em integrais triplas e o uso de coordenadas cilíndricas e esféricas em integrais triplas Utilizamos estas mudanças de coordenadas para cálculos de volume O cálculo de volumes é comumente a primeira aplicação de integrais triplas que se estuda nos cursos de Cálculo Diferencial e Integral mas existem outras aplicações Nesta seção veremos aplicações das mudanças de coordenadas em integrais triplas determinação de massa centro de massa momentos em relação aos planos coordenados e momentos de inércia Você já viu a esfera da Times Square em Nova Iorque na comemoração do anonovo Mesmo que já tenha visto leia mais Disponível em httpg1globocommundonoticia201601 novayorkentraem2016comfestaeforteesquemade segurancahtml Acesso em 9 mai 2016 Conhecer um pouco sobre a esfera da Times Square será importante para sua próxima tarefa Suponha que um empresário brasileiro tenha encomendado ao escritório de engenharia em que você trabalha um enfeite semelhante ao da Times Square Ele quer que a esfera seja construída no pátio da sua empresa e que suba um mastro girando em torno de seu eixo Para prosseguir com o projeto você e seus colegas do escritório Fonte httpsenwikipediaorgwikiTimes SquareBallmediaFileTSB2010cropped jpg Acesso em 9 maio 2016 Figura 225 Esfera da Times Square U2 Integrais múltiplas em outras coordenadas 113 Referências BOULOS Paulo ABUD ZaraIssa Cálculo diferencial e integral São Paulo Makron Books 2000 v 2 EDWARDS C H PENNEY David E Cálculo com geometria analítica Rio de Janeiro LTC 1999 v 3 FLEMMING Diva Marília GONÇALVES Miriam Buss Cálculo B 2 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2007 GUIDORIZZI Luiz H Um Curso de Cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 2013 v 3 Disponível em httpsintegradaminhabiblioteca combrbooks9788521625414 Acesso em 2 maio 2016 ROGAWSKI Jon Cálculo recurso eletrônico Porto Alegre Bookman 2009 Disponível em httpsintegradaminhabiblioteca combrbooks9788577804115cfi0 Acesso em 2 mar 2015 v 2 STEWART James Cálculo 7 ed São Paulo Cengage Learning 2013 v 2 THOMAS George B et al Cálculo 10 ed São Paulo Pearson AddisonWesley 2003 v 2 Unidade 3 Equações diferenciais ordinárias Convite ao estudo Olá aluno Seja bemvindo à Unidade 3 deste livro didático Ela tratará de um campo extremamente rico e útil pertencente à matemática e aplicado a diversas ciências e também na engenharia as equações diferenciais ordinárias EDOs Com essa aprendizagem será possível ver distintas aplicações desse conteúdo a partir do qual mediante modelos matemáticos você poderá lidar com diversas situações muito próximas das vivenciadas em seu cotidiano Você aprenderá ainda no decorrer desta unidade a definição de EDOs e a maneira como elas se classificam Além disso por meio de algumas situações você também agregará aos seus conhecimentos a facilidade em trabalhar a matemática do mundo real por meios de modelos matemáticos você encontrará soluções extremamente próximas a problemas reais que ocorrem verdadeiramente no seu dia a dia E isso você observará ao lidar com as equações diferenciais de 1ª ordem e com as equações diferenciais lineares de ordem superior Você deve estar se perguntando para que servem as EDOs não é mesmo Pois bem com as EDOs podemos tratar diversos fatores sociais e também econômicos como os estudos populacionais por meio do crescimento e decrescimento populacional a propagação de doenças e a variação do número de pessoas infectadas queda livre aquecimento e resfriamento além de poder também aprender a lidar com assuntos relacionados a finanças variação de preços de mercado moedas etc U3 Equações diferenciais ordinárias 116 Dessa forma suponha que você possui uma empresa de consultoria em soluções matemáticas A fim de sempre estar conquistando novos clientes você então fará um treinamento com toda a sua equipe para tratar as demandas solicitadas com melhor qualidade Você também vai trabalhar com modelos matemáticos representados pelas EDOs para cálculos de aplicações em conta poupança resfriamento de caldeira na fundição de peças e na determinação de uma solução específica na fabricação de molas Vamos lá Fonte httpsptwikipediaorgwikiTC3B3quiomediaFileTokyofromthetopof theSkyTreeJPG Acesso em 16 abr 2016 Figura 31 Tóquio Em 2014 foi o 19º ano consecutivo de crescimento populacional U3 Equações diferenciais ordinárias 178 BOYCE William DIPRIMA Richard C Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno 8 ed Rio de Janeiro LTC 2006 BRANNAN James R BOYCE William E Equações diferenciais uma introdução a métodos modernos e suas aplicações Rio de Janeiro LTC 2013 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacom brbooks9788521623373cfi042100000 Acesso em 14 jun 2016 BRONSON Richard COSTA Gabriel Equações diferenciais Tradução Fernando Henrique Silveira 3ed Porto Alegre Bookman 2008 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombr books9788577802982pageid0 Acesso em 14 jun 2016 ÇENGEL Yunus A PALM III William J Equações diferenciais Tradução Marco Elisio Marques Porto Alegre Bookman 2014 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacombr books9788580553499pageid0 Acesso em 14 jun 2016 STEWART James Cálculo volume 2 7 ed São Paulo Cengage Learning 2013 ZILL Dennis Equações diferenciais com aplicações em modelagem 9 ed São Paulo Cengage Learning 2011 Referências Unidade 4 Transformada de Laplace Convite ao estudo Olá aluno Vamos começar a Unidade 4 de Cálculo Diferencial e Integral III Nesta unidade você continuará a aprofundar seus conhecimentos na área de equações diferenciais com a técnica conhecida como Transformada de Laplace Esta técnica é utilizada para resolver equações diferenciais lineares O aspecto distintivo da Transformada de Laplace é que ela transforma integrações em multiplicações e derivações em divisões simplificando assim a resolução de equações diferenciais lineares Em outras palavras a transformada de Laplace transforma equações diferenciais que envolvem derivadas de uma função desconhecida em equações algébricas resolver equações algébricas usualmente é mais simples que equações diferenciais São competências específicas necessárias para o entendimento desta unidade resolver integrais em que um dos extremos é o infinito calcular limites no infinito identificar funções contínuas por partes efetuar a Transformada de Laplace e sua inversa e finalmente aplicar a Transformada de Laplace na resolução de equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes São objetivos específicos desta unidade apresentar a definição da Transformada de Laplace da Transformada Inversa de Laplace as propriedades da Transformada de Laplace e a aplicação na resolução de equações diferenciais Para que você consiga relacionar os conteúdos dessa unidade com a prática profissional imagine que você foi contratado por uma empresa do ramo de soluções industriais em que são desenvolvidos novos produtos Para que os produtos tenham boa aceitação dos clientes U4 Transformada de Laplace 180 eles devem ser seguros eficientes e de baixo custo e isso envolve a realização de diversos testes incluindo simulações de computador por meio de equações diferenciais Algumas das primeiras problemáticas que surgiram no seu novo emprego estão relacionadas a sistemas massamola resfriamento de materiais e sistemas elétricos Vamos encarar esse desafio profissional Então dê sequência à sua leitura e veja o primeiro problema que lhe foi apresentado U4 Transformada de Laplace 208 Seção 43 Propriedades da Transformada de Laplace Diálogo aberto Você já estudou o que é a Transformada de Laplace na primeira seção desta unidade e o que é a Transformada Inversa de Laplace na segunda seção Nesta seção você continuará seu trabalho na empresa de soluções industriais Neste momento você deverá apresentar a seus colegas de trabalho diversas propriedades e teoremas sobre Transformadas de Laplace e Transformadas Inversas de Laplace que serão posteriormente utilizadas na resolução das equações diferenciais ordinárias resultantes dos projetos da empresa Veja a seguir um exemplo de uma equação diferencial com uma força externa periódica e seccionalmente contínua associada com um dos projetos da empresa Observe como as Transformadas de Laplace atuam nesta classe de problemas Imagine um carro em uma estrada esburacada Como você acha que a indústria de suspensão pode avaliar o impacto dos buracos na suspensão do automóvel Para estudar a influência dos buracos na suspensão do automóvel a empresa de soluções industriais vai submeter a suspensão de um veículo a uma força externa do tipo dente de serra veja a Figura 412 Figura 412 Força externa Fonte elaborada pelo autor Ft t 1 1 2 3 4 U4 Transformada de Laplace 223 Seção 44 Transformada de Laplace e problemas de valor inicial Diálogo aberto Olá aluno Tudo bem Nesta seção concluiremos nossa Unidade 4 sobre Transformadas de Laplace O percurso que fizemos nestas quatro seções culmina nas soluções de EDOs não homogêneas com a força externa podendo ser uma função seccionalmente contínua periódica ou do tipo impulso Você já estudou várias técnicas para efetuar a Transformada de Laplace e a voltar ou seja efetuar a Transformada Inversa de Laplace os teoremas de deslocamento as frações parciais o teorema da convolução dentre inúmeras outras técnicas Nesta seção você como colaborador da empresa de soluções industriais deverá apresentar para seus colegas como resolver determinados problemas de engenharia que resultam em EDOs não homogêneas Em particular vocês vêm trabalhando com alguns tipos de sistemas mecânicos e sistemas elétricos Na figura a seguir o resistor é representado pela letra R o indutor pela letra L e o capacitor pela letra C A fonte é representada por E Observe que em um circuito elétrico podemos ter soluções que apresentam periodicidade dependendo dos valores numéricos de seus componentes Figura 415 Circuito elétrico ResistorIndutorCapacitor RLC Fonte elaborada pelo autor C L E R U4 Transformada de Laplace 240 BOYCE William E DIPRIMA Richard C Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno 10 ed Rio de Janeiro LTC 2015 Disponível em httpsintegrada minhabibliotecacombrbooks9788521628330cfi6242 20288 Acesso em 26 jul 2016 BRANNAN James BOYCE William Equações diferenciais uma introdução aos métodos modernos e suas aplicações Rio de Janeiro LTC 2013 Disponível em httpsintegradaminhabibliotecacom brbooks9788521623373cfi04 4000000 Acesso em 10 ago 2016 BUTKOV Eugene Física matemática Rio de Janeiro Guanabara Dois 1978 COUTO Roberto Toscano Equações diferenciais resolução de equações diferenciais por séries e Transformada de Laplace Departamento de Matemática Aplicada UFF Disponível em http wwwprofessoresuffbrmarcoequacoesdiff2014eqsdifpdf Acesso em 8 ago 2016 EDWARDS JUNIOR C Henry PENNEY David E Equações diferenciais elementares com problemas de contorno 3 ed Rio de Janeiro PrenticeHall do Brasil 1995 PACHECO Antonio Luiz Schalata Transformada de Laplace algumas aplicações 2011 84 f Monografia PósGraduação em MatemáticaUniversidade Federal de Santa Catarina Florianópolis 2011 Disponível em httpsrepositorioufscbrxmluibitstream handle123456789121197AntonioLuizSchalata20Pacheco pdfsequence1isAllowedy Acesso em 3 ago 2016 SILVA Marcio Antonio Jorge da Notas de aula a transformada de 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