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Engenharia de Saúde e Segurança ·
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TÉCNICO EM SEGURANÇA DO TRABALHO MÓDULO II ESTATÍSTICA APLICADA Prof Marcos Bezerra AULA 07 Medidas Separatrizes Introdução São números reais que dividem a sequência ordenada de dados em partes que contêm a mesma quantidade de elementos da série Desta forma a mediana que divide a sequência ordenada em dois grupos cada um deles contendo 50 dos valores da sequência é também uma medida separatriz Além da mediana as outras medidas separatrizes que destacaremos são quartis quintis decis e percentis Medidas Separatrizes Introdução Se dividirmos a série ordenada em quatro partes cada uma ficará com 25 de seus elementos Os elementos que separam estes grupos são chamados quartis Assim o primeiro quartil que indicaremos por 𝑄1 separa a sequência ordenada deixando 25 de seus valores a esquerda e 75 de seus valores a direita O segundo quartil que indicaremos por 𝑄2 separa a sequência ordenada deixando 50 de seus valores a esquerda e 50 de seus valores a direita Note que o 𝑄2 é a mediana da série Medidas Separatrizes Introdução O terceiro quartil que indicaremos por 𝑄3 separa a sequência ordenada deixando a sua esquerda 75 de seus elementos e 25 de seus elementos a direita Se dividirmos a sequência ordenada em cinco partes cada uma ficará com 20 de seus elementos Os elementos que separam estes grupos são chamados quintis Assim o primeiro quintil que indicaremos por 𝐾1 separa a sequência ordenada deixando a sua esquerda 20 de seus valores e a sua direita 80 de seus valores De modo análogo são definidos os outros quintis Medidas Separatrizes Introdução Se dividirmos a sequência ordenada em dez partes cada uma ficará com 10 de seus valores Os elementos que separam estes grupos são chamados decis Assim o primeiro decil que indicaremos por 𝐷1 separa a sequência ordenada deixando a sua esquerda 10 de seus valores e 90 de seus valores a direita De modo análogo são definidos os outros decis Medidas Separatrizes Introdução Se dividirmos a sequência ordenada em 100 partes cada uma ficará com 1 de seus elementos Os elementos que separam estes grupos são chamados centis ou percentis Assim o primeiro percentil que indicaremos por 𝑃1 separa a sequência ordenada deixando a sua esquerda 1 de seus valores e 99 de seus valores a direita De modo análogo são definidos os outros percentis Medidas Separatrizes Introdução Note que o 𝑄4 𝐾5 𝐷10 𝑃100 são elementos que deixam a sua esquerda 100 dos valores da sequencia ordenada e correspondem diretamente ao último valor da sequência Se observarmos que os quartis quintis e decis são múltiplos dos percentis então basta estabelecer a fórmula de cálculo de percentis Todas as outras medidas podem ser identificadas como percentis Medidas Separatrizes Introdução Desta forma Cálculo de Medidas Separatrizes 1º Caso DADOS BRUTOS OU ROL Devemos ordenar os elementos caso sejam Dados Brutos obtendo o Rol Identificamos a medida que queremos obter com o percentil correspondente 𝑃𝑖 Calculamos 𝑖 de n ou seja 𝑖 𝑥 𝑛 100 para localizar a posição do percentil 𝑖 no Rol Em seguida identificamos o elemento que ocupa esta posição Cálculo de Medidas Separatrizes Exemplo Exemplo 1 Calcule o 𝑄1 da sequência X 2 5 8 5 5 10 1 12 12 11 13 15 Solução Ordenando a sequência obtemos o Rol X 12 5 5 5 8 10 11 12 12 13 15 Identificamos 𝑄1 𝑃25 Calculamos 25 de 12 que é o número de elementos da série obtendo 25 𝑥 12 100 3 Cálculo de Medidas Separatrizes Este valor indica a posição do 𝑃25 no Rol isto é o 𝑃25 é o terceiro elemento do Rol Observando o terceiro elemento do Rol obtémse 5 Portanto 𝑄1 𝑃25 5 Interpretação 25 dos valores desta sequência são valores menores ou iguais a 5 e 75 dos valores desta sequência são valores maiores ou iguais a 5 Cálculo de Medidas Separatrizes Note que 𝑖 𝑥 𝑛 100 foi um número inteiro logo 𝑃𝑖 que identificamos é um dos elementos da sequência ordenada Se 𝑖 𝑥 𝑛 100 não for um número inteiro isto significa que o 𝑃𝑖 é um elemento intermediário entre os elementos que ocupam as posições aproximadas por falta e por excesso do valor 𝑖 𝑥 𝑛 100 Neste caso o 𝑃𝑖 é definido como sendo a média dos valores que ocupam estas posições aproximadas Vejamos o próximo exemplo Cálculo de Medidas Separatrizes Exemplo 2 Calcule o 𝐾3 da sequência X 2 8 75 6 10 12 2 9 Solução Ordenando a sequência obtemos X 2 2 6 75 8 9 10 12 Identificamos 𝐾3 𝑃60 Calculamos 60 de 8 que é o número de elementos da série obtendo 60 𝑥 8 100 48 Cálculo de Medidas Separatrizes Este valor não inteiro 48 indica que o 𝑃60 é um valor situado entre o quarto e o quinto elemento da sequência Observando diretamente no Rol os elementos que ocupam a quarta e a quinta posição obtemos 75 e 8 Portanto 𝐾3 𝑃60 75 8 2 775 Interpretação 60 dos valores da sequência são valores menores ou iguais a 775 e 40 dos valores da sequência são valores maiores ou iguais a 775 Note que se o número de elementos da sequência for menor que 100 alguns percentis podem coincidir em valores tornando estas interpretações não totalmente verdadeiras Cálculo de Medidas Separatrizes 2º Caso VARIÁVEL DISCRETA Se os dados estão apresentados na forma de uma variável discreta eles já estão naturalmente ordenados Identificase a medida que queremos obter com o percentil correspondente 𝑃𝑖 Calculase i de n ou seja 𝑖 𝑥 𝑛 100 para localizar a posição do percentil 𝑖 na série Em seguida utilizamos a frequência acumulada da série para localizar o elemento que ocupa esta posição O valor deste elemento é o 𝑃𝑖 Cálculo de Medidas Separatrizes Exemplo 1 Calcule o 𝐷4 para a série Solução O número de elementos da série é Σ𝑓𝑖 24 Identificamos 𝐷4 𝑃40 e calculamos 40 de 24 ou seja 40 𝑥 24 100 96 𝑥𝑖 𝑓𝑖 2 3 4 5 5 8 7 6 10 2 Cálculo de Medidas Separatrizes Esta posição não inteira significa que o 𝑃40é um valor compreendido entre o nono e o décimo elemento da série Abrindo o Rol a partir da tabela teremos X 2 2 2 4 4 4 4 4 5 5 Como já sabemos os valores procurados não precisamos abrir o Rol completo Sendo assim teremos 𝐷4 𝑃40 5 5 2 5 Interpretação 40 dos valores desta série são valores menores ou iguais a 5 e 60 dos valores desta série são valores maiores ou iguais a 5 Medidas Separatrizes Exercícios Dada a série X 3 15 6 9 10 4 12 15 17 20 29 calcule a 𝑄1 b 𝐾2 c D4 d 𝑄3 e P90 Medidas Separatrizes Exercícios A distribuição de frequência abaixo representa idade de 50 alunos de uma classe de primeiro ano de uma Faculdade Calcule a 𝑄1 b 𝐾3 c 𝐷1 d 𝑄3 Idade anos Nº de alunos 17 3 18 18 19 17 20 8 21 4 OBRIGADO PELA ATENÇÃO
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TÉCNICO EM SEGURANÇA DO TRABALHO MÓDULO II ESTATÍSTICA APLICADA Prof Marcos Bezerra AULA 07 Medidas Separatrizes Introdução São números reais que dividem a sequência ordenada de dados em partes que contêm a mesma quantidade de elementos da série Desta forma a mediana que divide a sequência ordenada em dois grupos cada um deles contendo 50 dos valores da sequência é também uma medida separatriz Além da mediana as outras medidas separatrizes que destacaremos são quartis quintis decis e percentis Medidas Separatrizes Introdução Se dividirmos a série ordenada em quatro partes cada uma ficará com 25 de seus elementos Os elementos que separam estes grupos são chamados quartis Assim o primeiro quartil que indicaremos por 𝑄1 separa a sequência ordenada deixando 25 de seus valores a esquerda e 75 de seus valores a direita O segundo quartil que indicaremos por 𝑄2 separa a sequência ordenada deixando 50 de seus valores a esquerda e 50 de seus valores a direita Note que o 𝑄2 é a mediana da série Medidas Separatrizes Introdução O terceiro quartil que indicaremos por 𝑄3 separa a sequência ordenada deixando a sua esquerda 75 de seus elementos e 25 de seus elementos a direita Se dividirmos a sequência ordenada em cinco partes cada uma ficará com 20 de seus elementos Os elementos que separam estes grupos são chamados quintis Assim o primeiro quintil que indicaremos por 𝐾1 separa a sequência ordenada deixando a sua esquerda 20 de seus valores e a sua direita 80 de seus valores De modo análogo são definidos os outros quintis Medidas Separatrizes Introdução Se dividirmos a sequência ordenada em dez partes cada uma ficará com 10 de seus valores Os elementos que separam estes grupos são chamados decis Assim o primeiro decil que indicaremos por 𝐷1 separa a sequência ordenada deixando a sua esquerda 10 de seus valores e 90 de seus valores a direita De modo análogo são definidos os outros decis Medidas Separatrizes Introdução Se dividirmos a sequência ordenada em 100 partes cada uma ficará com 1 de seus elementos Os elementos que separam estes grupos são chamados centis ou percentis Assim o primeiro percentil que indicaremos por 𝑃1 separa a sequência ordenada deixando a sua esquerda 1 de seus valores e 99 de seus valores a direita De modo análogo são definidos os outros percentis Medidas Separatrizes Introdução Note que o 𝑄4 𝐾5 𝐷10 𝑃100 são elementos que deixam a sua esquerda 100 dos valores da sequencia ordenada e correspondem diretamente ao último valor da sequência Se observarmos que os quartis quintis e decis são múltiplos dos percentis então basta estabelecer a fórmula de cálculo de percentis Todas as outras medidas podem ser identificadas como percentis Medidas Separatrizes Introdução Desta forma Cálculo de Medidas Separatrizes 1º Caso DADOS BRUTOS OU ROL Devemos ordenar os elementos caso sejam Dados Brutos obtendo o Rol Identificamos a medida que queremos obter com o percentil correspondente 𝑃𝑖 Calculamos 𝑖 de n ou seja 𝑖 𝑥 𝑛 100 para localizar a posição do percentil 𝑖 no Rol Em seguida identificamos o elemento que ocupa esta posição Cálculo de Medidas Separatrizes Exemplo Exemplo 1 Calcule o 𝑄1 da sequência X 2 5 8 5 5 10 1 12 12 11 13 15 Solução Ordenando a sequência obtemos o Rol X 12 5 5 5 8 10 11 12 12 13 15 Identificamos 𝑄1 𝑃25 Calculamos 25 de 12 que é o número de elementos da série obtendo 25 𝑥 12 100 3 Cálculo de Medidas Separatrizes Este valor indica a posição do 𝑃25 no Rol isto é o 𝑃25 é o terceiro elemento do Rol Observando o terceiro elemento do Rol obtémse 5 Portanto 𝑄1 𝑃25 5 Interpretação 25 dos valores desta sequência são valores menores ou iguais a 5 e 75 dos valores desta sequência são valores maiores ou iguais a 5 Cálculo de Medidas Separatrizes Note que 𝑖 𝑥 𝑛 100 foi um número inteiro logo 𝑃𝑖 que identificamos é um dos elementos da sequência ordenada Se 𝑖 𝑥 𝑛 100 não for um número inteiro isto significa que o 𝑃𝑖 é um elemento intermediário entre os elementos que ocupam as posições aproximadas por falta e por excesso do valor 𝑖 𝑥 𝑛 100 Neste caso o 𝑃𝑖 é definido como sendo a média dos valores que ocupam estas posições aproximadas Vejamos o próximo exemplo Cálculo de Medidas Separatrizes Exemplo 2 Calcule o 𝐾3 da sequência X 2 8 75 6 10 12 2 9 Solução Ordenando a sequência obtemos X 2 2 6 75 8 9 10 12 Identificamos 𝐾3 𝑃60 Calculamos 60 de 8 que é o número de elementos da série obtendo 60 𝑥 8 100 48 Cálculo de Medidas Separatrizes Este valor não inteiro 48 indica que o 𝑃60 é um valor situado entre o quarto e o quinto elemento da sequência Observando diretamente no Rol os elementos que ocupam a quarta e a quinta posição obtemos 75 e 8 Portanto 𝐾3 𝑃60 75 8 2 775 Interpretação 60 dos valores da sequência são valores menores ou iguais a 775 e 40 dos valores da sequência são valores maiores ou iguais a 775 Note que se o número de elementos da sequência for menor que 100 alguns percentis podem coincidir em valores tornando estas interpretações não totalmente verdadeiras Cálculo de Medidas Separatrizes 2º Caso VARIÁVEL DISCRETA Se os dados estão apresentados na forma de uma variável discreta eles já estão naturalmente ordenados Identificase a medida que queremos obter com o percentil correspondente 𝑃𝑖 Calculase i de n ou seja 𝑖 𝑥 𝑛 100 para localizar a posição do percentil 𝑖 na série Em seguida utilizamos a frequência acumulada da série para localizar o elemento que ocupa esta posição O valor deste elemento é o 𝑃𝑖 Cálculo de Medidas Separatrizes Exemplo 1 Calcule o 𝐷4 para a série Solução O número de elementos da série é Σ𝑓𝑖 24 Identificamos 𝐷4 𝑃40 e calculamos 40 de 24 ou seja 40 𝑥 24 100 96 𝑥𝑖 𝑓𝑖 2 3 4 5 5 8 7 6 10 2 Cálculo de Medidas Separatrizes Esta posição não inteira significa que o 𝑃40é um valor compreendido entre o nono e o décimo elemento da série Abrindo o Rol a partir da tabela teremos X 2 2 2 4 4 4 4 4 5 5 Como já sabemos os valores procurados não precisamos abrir o Rol completo Sendo assim teremos 𝐷4 𝑃40 5 5 2 5 Interpretação 40 dos valores desta série são valores menores ou iguais a 5 e 60 dos valores desta série são valores maiores ou iguais a 5 Medidas Separatrizes Exercícios Dada a série X 3 15 6 9 10 4 12 15 17 20 29 calcule a 𝑄1 b 𝐾2 c D4 d 𝑄3 e P90 Medidas Separatrizes Exercícios A distribuição de frequência abaixo representa idade de 50 alunos de uma classe de primeiro ano de uma Faculdade Calcule a 𝑄1 b 𝐾3 c 𝐷1 d 𝑄3 Idade anos Nº de alunos 17 3 18 18 19 17 20 8 21 4 OBRIGADO PELA ATENÇÃO