Sistemas Eletricos de Potencia - Componentes Simetricas

INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Componentes simétricas 2 edição revista e ampliada CARLOS CESAR BARIONI DE OLIVEIRA HERNÁN PRIETO SCHMIDT NELSON KAGAN ERNESTO JOÃO ROBBA Blucher IN TR O D UÇÃO A SISTEM AS ELÉTR IC O S DE P O TÊN C IA Blucher CARLOS CÉSAR BARIONI DE OLIVEIRA Professor Assistente EPUSP HERNÁN PRIETO SCHMIDT Professor Doutor EPUSP NELSON KAGAN Professor Doutor EPUSP ERNESTO JOÃO ROBBA Professor Titular EPUSP IN TR O D U Ç Ã O A S IS TEM A S E L É TR IC O S D E P O TÊ N C IA C o m p o n e n t e s S im é t r ic a s 2a edição revista e ampliada Introdução a sistemas elétricos de potência 2000 Carlos César Barioni de Oliveira Hernán Prieto Schmidt Nelson Kagan Ernesto João Robba 2a edição 2000 8a reimpressão 201 7 Editora Edgard Blücher Ltda Blucher Rua Pedroso Alvarenga 1245 4o andar 04531934 São Paulo SP Brasil Tel 55 1 1 30785366 contatobluchercombr wwwbluchercombr É proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer meios sem autorização escrita da editora FICHA CATALOG RÁFICA Robba Ernesto João Robba Introdução a sistemas elétricos de potência componentes simétricas Carlos César Barioni de Oliveira Hernán Prieto Schmidt Nelson Kagan Ernesto João Robba 2a edição rev e ampl São Paulo Blucher 2000 ISBN 9788521200789 1 Componentes simétricas Engenharia elétrica 2 Energia elétrica Distribuição 3 Energia elétrica Sistemas 4 Energia elétrica Transmissão I Oliveira Carlos César Barioni de II Schmidt Hernán Prieto III Kagan Nelson IV Robba Ernesto João 046992 CDD6213191 Todos os direitos reservados pela Editora Edgard Blücher Ltda índices para catálogo sistemático 1 Componentes simétricas sistemas elétricos de potência Engenharia elétrica 6213191 2 Sistemas elétricos de potência Componentes simétricas Engenharia elétrica 6213191 CONTEÚDO PREFÁCIO DA SEGUNDA EDIÇÃO X PREFÁCIO DA PRIMEIRA EDIÇÃO xl Capítulo 1 CIRCUITOS TRIFÁSICOS 1 11 Introdução 1 111 Preâmbulo 1 112 Definições Gerais 2 113 Obtenção de Sistemas Polifásicos Seqüência de Fase 3 114 Operador a 6 115 Seqüências 8 116 Simbologia 9 12 Sistemas Trifásicos Simétricas e Equilibrados com Carga Equilibrada Ligações 9 121 Introdução 9 122 Ligações em Estrela 10 123 Relação entre os Valores de Linha e Fase para Ligação Estrela 12 124 Resolução de Circuitos com Gerador e Carga em Estrela 18 125 Ligações cm Triângulo 25 126 Relação entre os Valores de Fase e de Linha para a Ligação Triângulo 27 127 Resolução de Circuitos Trifásicos em Triângulo 30 13 Sistemas Triíãsicos Simétricos e Equilibrados com Cargas Desequilibradas 35 131 Introdução 35 132 Carga em Estrela Aterrada Através de Impedância 35 133 Carga em Estrela com CentroEstrela Isolado 39 134 Carga em Triângulo 42 14 Sistemas Triíãsicos com Indutâncias Mútuas Quaisquer 43 141 Introdução 43 142 Matrizes Primitivas dos Elementos de uma Rede 43 143 Redes Primitivas com Indutâncias Mútuas 45 144 Linha Trifásica a 4 Fios com Indutâncias Mútuas Matriz de Impedâncias 51 145 Linha Trifásica a 3 Fios com Indutâncias Mútuas Matriz de Impedâncias 55 146 Linha Triiasica a 4 ou 3 Fios com Mútuas Iguais Rede Equilibrada Alimentando Carga Triiasica Equilibrada 56 147 Linha Triiasica com Mútuas Quaisquer Alimentando Carga em Estrela Aterrada Através de Impedância 57 148 Linha Trifásica com Mútuas Quaisquer Alimentando Carga em Estrela com CentroEstrela Isolado ou Carga em Triângulo 63 15 Sistemas Trifãsicos Simétricos ou Assimétricos com Cargas Desequilibradas Conhecidas as Tensões nos Terminais da Carga 67 151 Introdução 67 152 Carga em Estrela Aterrada Através de Impedância 68 153 Carga em Estrela com CentroEstrela Isolado 70 154 Carga em Triângulo 72 16 Potência em Sistemas Trifãsicos 73 161 Introdução 73 162 Expressão Geral da Potência em Sistemas Trifãsicos 77 163 Medida de Potência em Sistemas Polifãsicos Teorema de Blondel 85 164 Medida de Potência em Sistemas Trifãsicos em Estrela 85 165 Medida de Potência em Sistemas Trifãsicos em Triângulo 86 166 Leitura des Wattímetros em Função do Fator de Potência da Carga do Modo de Ligação e da Seqüência de F ase 87 167 Cálculo do Fator de Potência da Carga 89 168 Medida da Potência Reativa Utilizandose um Wattímetro em Trifãsicos Simétricos e Equilibrados 91 169 Potência Reativa em Trifãsicos Quaisquer 93 1610 Determinação de Potência Ativa e Reativa em Trifãsicos Simétricos e Equilibrados com Carga Equilibrada 95 17 Representação de Redes Triíásicas por Diagrama Unifilar 95 18 Modelos para Representação da Carga 98 181 Introdução 98 182 Carga de Corrente Constante com a Tensão 99 183 Carga de Potência Constante com a Tensão 99 184 Carga de Impedância Constante com a Tensão 100 185 Comparação entre os Modelos de Representação da Carga 100 Bibliografia 105 Capítulo 2 VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 106 21 Introdução 106 22 Definições 106 23 Representação de Máquinas Elétricas em Valores Por Unidade 114 231 Transformadores 114 232 Máquinas Elétricas Rotativas 125 233 Transformadores Monofãsicos com mais de Dois Enrolamentos 126 24 Mudança de Bases 144 25 Representação de Transformadores quando não na Relação 11 149 251 Representação de Transformadores quando há Choque de B ases 149 252 Representação de Transformadores anu Comutador de Derivação 158 26 Aplicação de Valores Por Unidade a Circuitos Trilãsicos com Carga Equilibrada 164 261 Introdução 164 262 Escolha das Bases 165 263 Valores Por Unidade para Máquinas Elétricas Trifãsicas 171 27 Vantagens e Aplicações dos Valores Por Unidade 188 Bibliografia 192 Capítulo 3 COMPONENTES SIMÉTRICAS 193 31 Introdução 193 32 Teorema Fundamental 193 33 Mudança no Primeiro Fasor da Sequência 199 34 Aplicação a Sistemas Trifãsicos 201 341 Introdução 201 342 Sistemas Trilãsicos a Três Fios Ligação Estrela 202 343 Sistemas Trifãsicos a Três Fios Ligação Triângulo 209 344 Primeira Lei de Kirchhoff em Termos de Componentes Simétricas 211 345 Segunda Lei de Kirchhoff em Termos de Componentes Simétricas para Circuitos sem Indutâncias Mútuas 212 346 Segunda Lei de Kirchhoff para Circuitos Trifãsicos com Indutâncias Mútuas 223 347 Lei de Kirchhoff para Redes Equilibradas com Indutâncias Mútuas Iguais 232 348 Potência em Termos de Componentes Simétricas 235 35 Representação de Redes por sais Diagramas Seqücneiais 239 351 Introdução 239 352 Linhas de Transmissão 239 353 Representação de Cargas em Triângulo e em Estrela com CentroEstrela Isolado 243 354 Carga em Estrela com Impedância de Fase Z e Aterrada por Meio de Impedância 2N 246 355 Representação de Geradores 248 356 Representação de Transformadores 249 357 Linhas de Circuitos Diferentes com Indutâncias Mútuas 264 358 Associação em Série de Elementos 267 36 Resolução de Redes Trifãsicas Simétricas e Equilibradas com Carga Desequilibrada 273 361 Introdução 273 362 Carga Desequilibrada em Estrela com CentroEstrela Isolado 274 363 Carga Desequilibrada Ligada em Triângulo 278 364 Carga Desequilibrada em Estrela com CentroEstrela Aterrado por Impedância 2N 278 365 Carga Desequilibrada em Estrela com CentroEstrela Aterrado por Impedância e com Impedâncias Iguais em Duas Fases 282 366 Carga Monofãsica Ligada entre uma Fase e T erra 285 367 CurtoCircuito entre Duas Fases 287 368 Carga Monofãsica entre Duas Fases 289 369 Defeito entre Duas Fases e a Terra 289 3610 Cargas Monofásicas entre Duas Fases e T ora 291 3611 Abertura Monopolar 293 3612 Abertura Bipolar 298 Bibliografia 301 Capítulo4 COMPONENTESDECLARKE 303 41 Componentes de Clarke ou Componentes Modais 303 411 Apresentação 303 412 Teorema Fundamental 303 413 Relações entre Componentes de Fase e de Clarke 305 414 Relações entre Componentes de Clarke e Simétricas 308 415 Simplificações em Defeitos Fase à Terra 310 42 Leis de Kirchhoff em Termos de Componentes de Clarke 312 421 Primeira Lei de Kirchhoff 312 422 Segunda Lei de Kirchhoff 312 423 Impedâncias de Clarke em Função das Impedâncias de Componentes Simétricas 316 43 Representação dos Elementos da Rede em Componentes de Clarke 319 431 Carga Equilibrada em Estrela 319 432 Transformadores 320 433 Representação de Linhas de Transmissão 323 44 Pertencia em Termos das Componentes de Clarke 323 45 Resolução de Redes Trifâsicas Simétricas com um Desequilíbrio 324 451 Carga Desequilibrada em Estrela 324 452 Carga Monofãsica Ligada entre Uma Fase e Terra 327 453 Carga Monofãsica Ligada entre Duas Fases 328 454 Cargas Monoíasicas entre Duas Fases e Terra 329 Bibliografia 331 Capítulo 5 EXERCÍCIOS 332 51 Introdução 332 511 Apresentação Geral 332 512 Programas Computacionais 332 52 Exercícios de Circuitos Trifãsicos Capítulo 1 334 521 Apresentação 334 522 Exercícios Analíticos 334 523 Exercícios do Tipo Teste de Múltipla Escolha 335 524 Exercícios Resolvidos 337 525 Exercícios Propostos 356 526 Exercícios Resolvidos pelo Programa SIMETRI 358 527 Exercícios Resolvidos pelo Programa TRIFASI 366 53 Exercícios de Valores Por Unidade Capítulo 2 373 531 Apresentação 373 532 Exercícios Analíticos 373 533 Exercícios de Múltipla Escolha 374 534 Exercícios Resolvidos 376 535 Exercícios Propostos 387 536 Exercícios Resolvidos pelo Programa BASEPU 389 54 Exercícios de Componentes Simétricas Capítulo 3 411 541 Apresentação 411 542 Exercícios Analíticos 412 543 Exercícios de Múltipla Escolha 413 544 Exercícios Resolvidos 413 545 Exercícios Propostos 424 546 Exercícios Resolvidos pelos Programas 431 55 Exercícios de Componentes de Clarke Capítulo 4 456 551 Apresentação 456 552 Exct cícíos Analíticos 456 553 Exercícios de Múltipla Escolha 457 554 Exercícios Resolvidos 458 555 Exercícios Propostos 465 556 Programas Computacionais 465 56 Programas Adicionais 465 561 Apresentação 465 562 Programa CSIMET 465 563 Programa BDADOLT 466 No text found PREFÁCIO DA SEGUNDA EDIÇÃO Após mais de 20 anos do lançamento deste livro resolvemos agora em coautoria com outros professores da EPUSP proceder à sua revisão à luz dos atuais recursos computacionais O livro manteve seu escopo de constituirse numa obra introdutória ao estudo de sistemas elétricos de potência preocupandose em expor as ferramentas básicas de que tal estudo se vale quais sejam valores por unidade componentes simétricas e componentes de Clarke Sua estrutura geral e seu carácter eminentemente didático mantiveramse inalterados porém sofreu grandes modificações em seu conteúdo com especial ênfase no software para resolução de exercícios No primeiro capítulo que trata de circuitos trifasicos ao par da introdução dos conceitos básicos e das peculiaridades de resolução de circuitos trifasicos simétricos e equilibrados enfatizamos o estudo matricial por componentes de fase de redes trifásicas assimétricas e desequilibradas apresentando como é o caso das linhas de transmissão impedâncias mútuas não desprezíveis entre os condutores de fase e entre estes e o retomo por terra Introduzimos os conceitos de cargas modeladas por potência corrente e impedância constante e de conseqüência os critérios básicos para a resolução de redes por processos diretos e iterativos estes últimos sofremodo úteis quando as cargas são representadas por impedâncias não lineares No segundo capítulo apresentamos os valores normalizados ou per unidade e discutimos a representação das redes elétricas e de seus componentes através de diagramas de impedâncias Em substituição ao detalhamento da representação de redes por meio de analisadores de circuitos em condições transitórias TNA Transient NetWork AnaJyzer cuja utilização prática foi suplantada pelo tratamento numérico através de computadores digitais incluímos a análise das vantagens numéricas que advêm da utilização de valores por unidade na simulação da operação de redes elétricas No terceiro capítulo onde apresentamos a análise de redes através das componentes simétricas discutimos após sua definição e interpretação os métodos para a representação dos elementos que constituem uma rede elétrica de potência por seus diagramas seqüenciais Salientamos que a representação de alternadores não é discutida em detalhes por não ser do escopo desta obra Finalmente nos ocupamos da interligação dos circuitos seqüenciais dando destaque ao tratamento de redes com desequilíbrios e defeitos entre fases e entre fases e terra bem como os problemas de abertura monopolar e bipolar de linhas No quarto capítulo no qual apresentamos as componentes de Clarke mantivemos mesmo com a introdução de novos itens seu caráter resumido face à menor aplicação dessas componentes ao estudo de redes e ainda pelo fato de que o tratamento dos problemas segue metodologia análoga ao apresentado nas componentes simétricas Lembramos que a aplicação das componentes de Clarke restringese quase que exclusivamente ao estudo de sobretensões portanto de uso mais especializado Os exercícios de aplicação pertinentes aos quatro capítulos passaram a fazer parte do quinto capítulo onde apresentamos duas grandes famílias de exercícios a primeira composta de exercícios analíticos testes de múltipla escolha exercícios resolvidos e propostos e a segunda constituída por exercícios resolvidos através de conjunto de programas computacionais de domínio público fornecidos em disquete e disponíveis na rede Internet Os exercícios foram desenvolvidos em ordem crescente de dificuldade no sentido de esclarecer e consolidar os concei tos introduzidos no tratamento teórico dos assuntos Carlos César Barioni de Oliveira Hemán Prieto Schmidt Nelson Kagan Ernesto João Robba São Paulo maio de 1996 PREFÁCIO DA PRIMEIRA EDIÇÃO Este livro tem caráter eminentemente didático Seu objetivo é a exposição das ferramentas principais utilizadas no estudo de sistemas de potência valor por unidade componentes simétricas e componentes de Clarke Representa o início de uma série de obras que serão publicadas pelo grupo de Sistemas de Potência do Departamento de Engenharia Elétrica da Escola Politécnica da USP A este seguir seão os volumes versando sobre linhas de transmissão distribuição análise do comportamento dinâmico de sistemas geração sobretensões e estudo econômico Pretendemos desse modo cobrir o curso de graduação que é ministrado aos engenheiros eletricistas opção de Sistemas de Potência O primeiro capítulo trata de circuitos trifasicos enfatizandose os circuitos trifásicos desequilibrados e os circuitos trifasicos com impedâncias mútuas entre as três fases sendo esta uma primeira aproximação ao problema real das linhas de transmissão No segundo capítulo são apresentados os valores pu discutindose a representação dos componentes de um sistema nos diagramas de impedâncias Dáse ênfase ao problema da simulação de redes em condições transientes TNÀ Transient Network Analyzer No terceiro capítulo são apresentadas as componentes simétricas após a definição e interpretação discutemse os métodos para a representação dos componentes de uma rede de potência por meio dos diagramas sequenciais Salientamos que não é dado destaque à representação de altemadores uma vez que isso será assunto do curso de máquinas elétricas Finalmente estudamos a interligação dos circuitos seqüenciais para alguns casos de defeitos e de desequilíbrios da carga Defeitos múltiplos serão estudados em obra futura ao tratarmos de defeitos e sobretensões Finalmente o quarto capítulo é dedicado às componentes de Clarke Sua apresentação é mais resumida pois o tratamento da maioria dos problemas é análogo ao do capítulo de componentes simétricas Além disso devido ao fato de a aplicação das componentes de Clarke ser restrita quase que exclusivamente ao estudo de sobretensões e portanto de uso mais especializado restringimonos à análise de alguns casos O assunto será retomado no curso de sobretensões que pelo seu caráter de especialização é ministrado em pósgraduação Concluindo desejamos externar nossos agradecimentos às muitas pessoas que tomaram possível a realização deste trabalho a meus colaboradores diretos do Departamento de Engenharia de Eletricidade que suportaram longos debates sobre a matéria aqui exposta à minha esposa e filhas que além de muito se privarem durante a longa elaboração do manuscrito ainda colaboraram na revisão e na solução de inúmeros problemas durante a fase final de redação Ernesto João Robba São Paulo março de 1972 Circuitos Trifásicos 11 INTRODUÇÃO 111 PREÂMBULO As primeiras linhas de transmissão de energia elétrica surgiram no fmal do século XIX e inicialmente destinavamse exclusivamente ao suprimento de sistemas de iluminação A utilização destes sistemas para o acionamento de motores elétricos fez com que as companhias de luz se transformassem em companhias de força e luz Estes sistemas operavam em baixa tensão e em corrente contínua e foram rapidamente substituídos por linhas monofásicas em corrente alternada Dentre os motivos que propiciaram essa mudança podemos citar i o uso dos transformadores que possibilitou a transmissão de energia elétrica em níveis de tensão muito maiores do que aqueles utilizados na geração e na carga reduzindo as perdas no sistema permitindo a transmissão em longas distâncias e ii o surgimento dos geradores e motores em corrente alternada construtivamente mais simples e mais baratos que as máquinas em corrente contínua Dentre os sistemas em corrente alternada o trifásico tomouse o mais conveniente por razões técnicas e econômicas como a transmissão de potência com menor custo e a utilização dos motores de indução trifásicos e passou a ser o padrão para a geração transmissão e distribuição de energia em corrente alternada Por outro lado as cargas ligadas aos sistemas trifásicos podem ser trifásicas ou monofásicas As cargas trifásicas normalmente são equilibradas ou seja são constituídas por três impedâncias iguais ligadas em estrela ou em triângulo As cargas monofásicas como por exemplo as cargas de instalações residenciais por sua vez podem introduzir desequilíbrios no sistema resultando em cargas trifásicas equivalentes desequilibradas Neste capítulo vamos definir os sistemas polifásicos e estudar em particular os sistemas trifásicos Inicialmente vamos apresentar uma série de definições importantes que serão utilizadas ao longo de todo o livro Nos itens 12 13 14 e 15 iremos apresentar métodos de cálculo para a análise de sistemas trifásicos No item 12 vamos analisar os circuitos trifásicos alimentando cargas trifásicas equilibradas ligadas através das duas formas possíveis em estrela e em triângulo Neste item para facilitar a compreensão do leitor vamos desconsiderar as indutâncias mútuas existentes entre os fios da linha No item 13 ainda mantendo esta hipótese simplificadora vamos analisar os sistemas trifásicos simétricos e equilibrados alimentando cargas desequilibradas conhecendose as tensões nos terminais dos geradores No item 14 apresentaremos o caso geral de sistemas com desequilíbrios na linha e na carga No item 15 analisaremos alguns casos particulares de sistemas trifásicos desequilibrados em que são conhecidas as tensões nos terminais da carga No item 16 iremos estudar potência em sistemas trifásicos Definiremos os conceitos de potência ativa reativa e aparente e métodos para a sua 2 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA medição e análise No item 17 apresentaremos a forma de representação dos elementos constituintes de um sistema trifásico através de diagramas unifilares No item 18 apresentaremos os modelos utilizados para a representação da carga em função de sua natureza e que irão determinar a potência absorvida pela carga em função da tensão em seus terminais 112 DEFINIÇÕES GERAIS Definimos como sistema de tensões polifásico e simétrico a n fases um sistema de tensões do tipo onde n é um número inteiro qualquer não menor que três Em particular quando n3dizemos que o sistema é trifásico Da definição de sistema polifásico observamos que tais sistemas são constituídos por um conjunto de n cossenóides de mesmo valor máximo EM e com uma defasagem de 2nn rad entre duas tensões sucessivas quaisquer As tensões e correntes nos sistemas trifásicos são representadas por fasores Isto é podemos representar o sistema trifásico e Em cos ot 11 el Em cos oA j e2 Em costít 2nj3 íReEe2 j e 3 Em cooA 4tt3 EM cosmt 2nji j E 120o 2 2 pelos fasores CIRCUITOS TRIFÁSICOS 3 Ê3 Eco2n j j se2r3 E s J 9 2 2 E 1120 em que E EMj 42 representa o valor eficaz da tensão Ao longo deste capítulo iremos apresentar métodos para a solução de circuitos trifásicos em diversas condições envolvendo as tensões no início do sistema nos terminais dos geradores as linhas utilizadas para a transmissão da energia até a carga e a carga conectada no final da linha Para tanto definimos la Sistema de tensões trifásico simétrico sistema trifásíco em que as tensões nos terminais dos geradores são senoidais de mesmo valor máximo e defasadas entre si de 2n 3 rad ou 120 elétricos 1b Sistema de tensões trifásico assimétrico sistema trifásico em que as tensões nos terminais dos geradores não atendem a pelo menos uma das condições apresentadas em 1 a 2a Linha ou rede trifásico equilibrada linha ou rede trifásica constituída por 3 ou 4 fios 3 fios de fase ou 3 fios de fase e 1 fio de retomo na qual se verificam as seguintes relações impedâncias próprias dos fios de fase iguais entre si ZAA ZBÕ Zcc Zp impedâncias mútuas entre os fios de fase iguais entre si ZAR ZBC ZCA ZM impedâncias mútuas entre os fios de fase e o fio de retomo iguais para sistema a 4 fios ZAG ZBG ZCG ZM 2b Linha fou rede trifásica desequilibrada linha ou rede trifásica constituída por 3 ou 4 fios 3 fios de fase ou 3 fios de fase e 1 fio de retomo na qual não se verifica pelo menos uma das relações apresentadas em 2a 3a Carga trifásica equilibrada carga trifásica constituída por 3 impedâncias complexas iguais ligadas em estrela ou em triângulo 3b Carea trifásica desequilibrada carga trifásica na qual não se verifica a condição descrita em 3a Muitas vezes iremos identificar o sistema de forma resumida Assim por exemplo quando nos referirmos a um sistema trifásico simétrico e equilibrado com carga desequilibrada estaremos tratando de um sistema de tensões trifásico simétrico com uma linha trifásica equilibrada alimentando uma carga trifásica desequilibrada 113 OBTENÇÃO DE SISTEMAS POLIFÁSICOS SEQÜÊNCIA DE FASE Nos terminais de uma bobina que gira com velocidade angular constante no interior de um campo magnético uniforme surge uma tensão senoidal cuja expressão é 4 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA e Em cosot 0 em que 9 representa o ângulo inicial da bobina Ou melhor adotandose a origem dos tempos coincidente com a direção do vetor indução 9 representa o ângulo formado pela direção da bobina com a origem dos tempos no instante t0 Assim é óbvio que se dispusermos sobre o mesmo eixo três bobinas deslocadas entre si de 2tt3 rad e girarmos o conjunto com velocidade angular constante no interior de um campo magnético uniforme obteremos nos seus terminais um sistema de tensões de mesmo valor máximo e defasadas entre si de 2jt 3 rad conforme Fig 11 a Bobinas do gerador b Valores instantâneos das tensões Figura 11 Obtenção de um sistema trifásico de tensões Definimos para um sistema polifásico simétrico sequência de fase como sendo a ordem pela qual as tensões das fases passam pelo seu valor máximo Por exemplo no sistema trifásico da Fig 11 a seqüência de fase é ABC uma vez que as tensões passam consecutivamente pelo valor máximo na ordem ABC Evidentemente uma alteração cíclica não altera a seqüência de fase isto é a seqüência ABC é a mesma que BCA e que CAB À seqüência ABC é dado o nome seqüência direta ou seqüência positivat e à seqüência ACB que coincide com CBA e BA C dáse o nome de seqüência inversa ou seqüência negativa EXEMPLO 11 Um sistema trifásico simétrico tem seqüência de fase BAC e Vc 220140 V Determinar as tensões VA e ÊB SOLUÇÃO Sendo a seqüência de fase BAC a primeira tensão a passar pelo valor máximo será vB a qual será seguida na ordem por vA e vc Portanto deverá ser CIRCUITOS TRIFÁSICOS 5 vB VM cayeoí 0 vA VM coscüí 0 2rc3 vc VM coscot 0 43 em que 0 representa o ângulo inicial ou a rotação de fase em relação à origem No instante t0 teremos vb Vm c o s 6 v a Vm M 0 2n 3 vc Vu cos e 43 Sendo V VM fasorialmente teremos VB V 0 VÁ V 6 2tc3 F e 4re3 Por outro lado sendo dado Fc 220 j4F V resulta V 220 F 0 120 40 ou 0 80 e portanto VB 220 h 8 T F VA 220 200 K Vc 220 K Chegaríamos ao mesmo resultado raciocinando com o diagrama fasorial De fato lembramos que o valor instantâneo de uma grandeza cossenoidal é dado pela projeção do fasor que a representa utilizando como módulo o valor máximo sobre o eixo real fazendo com que os fasores girem no sentido antihorário com velocidade angular O vetores girantes Evidentemente poderemos imaginar os vetores girantes fixos e o eixo real girando com velocidade angular CO no sentido horário Em tais condições a origem deverá sobreporse consecutivamente a TB VA e Fc Fig 12 ou seja VB está adiantado de 120 sobre VA e este está adiantado de 120 sobre c Portanto deverá ser VA 22012040 220 16F 2201200 V VB 220 1200 20 220 j80 V Figura 12 Diagrama de fasores para o Ex 11 6 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 114 OPERADOR a Ao definirmos os sistemas trifasicos vimos que entre as grandezas que os caracterizam há uma rotação de fase de 120 portanto é bastante evidente que pensemos num operador que aplicado a um fasor perfaça tal rotação de fase Assim definimos o operador a que é um número complexo de módulo unitário e argumento 120 de modo que quando aplicado a um fasor qualquer transformao em outro de mesmo módulo e adiantado de 120 Em outras palavras 1 V3 a 1120 j 12 2 2 No tocante à potenciação o operador a possui as seguintes propriedades a 1 a 1 120 a 2 a a 1 1 12P 1 j120 a 3 a 1 a 13 120 11120 P a 4 a a lj0l120 1120 Genericamente oc3n a 3 ljoj 10 a a 3nI a 3 a a 1120 13 a 32 a 2 a 2 í 2 QO em que n é um número inteiro positivo e maior ou igual a zero Além disso observamos que i a a 2 a 3 a 2 a J 3 a 11120 a 2 1 jl20 1 11120 a 11 120 110 110 CIRCUITOS TRIFÁSICOS 7 Genericamente com n inteiro positivo e maior ou igual a zero resulta i 3 3n o a 1 0o a a 110 a a 3l 32 a a 3nl a 1 a 3n2 2 a a a a Além dessas o operador a possui ainda a propriedade 1 a a 2 1 1120 t1 120o 0 que é muito importante e será amplamente utilizada neste livro 14 15 EXEMPLO 12 Calcular o valor de a a SOLUÇÃO Da definição do operador a temos 2 f i V 5 W a2 a 1120 11120 j l 2 2 y 2 i s j S j S 190 Na Fig 13 obtivemos o valor de a a graficamente a Figura 13 Determinação gráfica de a 2 a 8 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 115 SEQÜÊNCIAS Definimos seqüência como sendo um conjunto ordenado de três fasores Assim suponhamos que sejam dados três fasores quaisquer M à MB e Mc definiremos a seqüência constituída por esta tema de fasores e a representaremos por M A De um modo geral indicaremos uma seqüência por uma matrizcoluna na qual os elementos da 1 2 e 3a linha correspondem respectivamente ao 1 2 e 3 fasor da tema de fasores Isto é seqüência MA Ü Á M b Mc No caso geral os três fasores dados são quaisquer porém há casos particulares que devemos salientar e que recebem designações especiais Assim quando os três fasores são iguais fo V0 P0 definiremos uma seqüência nula ou de fase zero e a indicaremos por uma letra que caracteriza a grandeza com o índice zero Assim 1 V seqüência de fase zero V0 1 1 K s com s 0 í fo 1 i Definimos seqüência de fase direta positiva como sendo uma seqüência VA VB Vc em que VB a2 VA e Vc aVA Esta seqüência será identificada pelo índice um Sendo VA temos i 1 seqüência de fase direta V a 2 Vl a 2 Vx St com St 2 a a t 1 CL CL Analogamente na seqüência de fase inversa negativa teremos B a VÀ e Vc a 2 VA Esta seqüência será designada pelo índice dois Sendo VA P2 temos 1 í seqüência de fase inversa V2 ii a 2 La J li Xgi com S a a 18 CIRCUITOS TRIFÁSICOS 9 116 SIMBOLOGIA Neste livro adotamos a seguinte simbologia 1 Grandezas cossenoidais que podem ser representadas por fasoreS correntes e tensões valor instantâneo de correntes ou tensões utilizaremos letras minúsculas com índices apropriados Exemplos iÁ vBC fasores utilizaremos letra maiuscula quando o módulo valor eficaz for apresentado em valor absoluto e letra minúscula quando o mesmo for apresentado em valor porcentual ou por unidade a ser definido no capítulo 2 O símbolo do elemento será sobreposto por um ponto Exemplos I módulo e fase na representação temporal de uma tensão ou corrente C Im costít 5 j utilizaremos seu valor máximo 1M e ângulo de fase em radianos Ô o fasor representativo desta grandeza será dado pelo seu valor eficaz valor máximo dividido por e ângulo de fase em graus Exemplo a corrente i 2 0 20 cosút n j6 A é representada pelo fasor IA j j30 A 2 Grandezas não cossenoidais representadas por números complexos impedâncias admitâncias e potências complexas utilizaremos letra maiúscula quando o módulo for apresentado em valor absoluto e letra minúscula quando o mesmo for apresentado em valor porcentual ou por unidade pu O símbolo do elemento será sobreposto por um traço Exemplos 2 á Z p R jX com Z X 1 e q arc g XfR SA Sjp P jQ com S Jp 2 Q2 e q arc tQ jP 12 SISTEMAS TRIFÁSICOS SIMÉTRICOS E EQUILIBRADOS COM CARGA EQUILIBRADA LIGAÇÕES 121 INTRODUÇÃO Nos sistemas trifásicos como veremos adiante são utilizadas linhas a três ou quatro fios para a alimentação das cargas a partir dos geradores Ora do eletromagnetismo sabemos que haverá um acoplamento magnético entre estes fios quando um ou mais forem percorridos por corrente Assim a passagem de corrente senoidal em qualquer um destes fios irá induzir tensões também senoidais nos demais Para a resolução de circuitos em sistemas de potência este efeito é representado através da definição de indutâncias mútuas entre os fios No caso geral a resolução de circuitos trifásicos com indutâncias mútuas é relativamente complexa pois o sistema pode tomarse desequilibrado Para facilitar o entendimento dos métodos de cálculo neste item vamos desconsiderar a existência de indutâncias mútuas ressaltando que no caso particular em que tais 10 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA indutâncias sejam iguais tudo o que se apresentará continua válido pois o sistema mantémse equilibrado No item 13 ainda trataremos de sistemas trifasicos simétricos e equilibrados desprezando as mútuas porém alimentando cargas desequilibradas No item 14 apresentaremos o caso geral de circuitos trifásicos com indutâncias próprias e mútuas quaisquer e cargas desequilibradas Finalmente no item 15 analisaremos alguns casos de circuitos desequilibrados em que são conhecidas as tensões na carga 122 LIGAÇÕES EM ESTRELA Suponhamos que sejam alimentadas a partir dos terminais das três bobinas do item precedente três impedâncias quaisquer 2 Z j R j X porém iguais entre si carga equilibrada É evidente que os três circuitos assim constituídos Fig 14 formam três circuitos monofásicos nos quais circularão as correntes h tc E A N Á E O j 2 Z j j p Ê b n b E 1120 2 Z JP E C X ç E 1120 Z z t p H 20y 4 l120 Figura 14 Sistema trifásioo com gerador e carga ligados em estrela CIRCUITOS TR1FÁSICOS 11 Isto é nos três circuitos circularão correntes de mesmo valor eficaz e defasadas entre si de 2tt3 radiou 120 Observamos que os três circuitos são eletricamente independentes e portanto podemos interligar os pontos Na Nb e Nc que designaremos por N sem que isso venha a causar qualquer alteração nos mesmos Por outro lado observamos que os pontos NÁ NB e N c estão ao mesmo potencial que o ponto N logo podemos interligálos designandoos por N A corrente que circula pelo condutor NN é dada por I m í À í B lc 0 a b c pois as três correntes aferentes ao nó N têm o mesmo valor eficaz e estão defasadas entre si de 2nJ3 rad Frisamos que poderiamos ter chegado à mesma conclusão observando que os pontos N e N estão no mesmo potencial O condutor que interliga os pontos N e N recebe o nome de fio neutro ou quarto fio Evidentemente sendo nula a corrente que o percorre poderia ser retirado do circuito Podemos aqui observar uma das grandes vantagens dos sistemas trifâsicos Para a transmissão da mesma potência são utilizados 3 ou 4 fios enquanto seriam necessários 6 fios se fossem utilizados 3 circuitos monofàsicos conforme podemos observar na Fig 14 Ao esquema de ligação assim obtido é dado o nome de circuito trifàsico simétrico com gerador ligado em estrela Y e carga equilibrada em estrela Y dandose o nome de centroestrela ao pontoN ou N Definimos 1 Tensão de fese tensão medida entre o centroestrela e qualquer um dos terminais do gerador ou da carga 2 Tensão de linha tensão medida entre dois terminais nenhum deles sendo o centro estrela do gerador ou da carga Evidentemente podemos definir a tensão de linha como sendo a tensão medida entre os condutores que ligam o gerador à carga 3 Corrente de fase corrente que percorre cada uma das bobinas do gerador ou o que é o mesmo corrente que percorre cada uma das impedâncias da carga 4 Corrente de linha corrente que percorre os condutores que interligam o gerador à carga excluise o neutro Salientamos que as tensões e correntes de linha e de fase num sistema trifàsico simétrico e equilibrado têm em todas as fases valores eficazes iguais estando defasadas entre si de 2rc3 rad Em vista deste feto é evidente que a determinação desses valores num circuito trifàsico com 12 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA gerador em Y e carga em Y resumese à sua determinação para o caso de um circuito monofàsico constituído por uma das bobinas ligada a uma das impedâncias por um condutor de linha lembrando ainda que a intensidade de corrente no fio neutro é nula Em tudo o que se segue indicaremos os valores de fase com um índice F e os de linha com índice L ou sem índice algum 123RELAÇÃO ENTRE OS VALORES DE LINHA E FASE PARA LIGAÇÃO ESTRELA De acordo com as definições apresentadas no item precedente podemos preencher a Tab 11 na qual apresentamos todos os valores de linha e de fase para o circuito da Fig 14b Tabela 11 Grandezas de fase e linha em módulo num trifãsico simétrico e equilibrado ligado em estrela Valores de fase Valores de linha Gerador Carga Gerador Carga Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão AH Vr AH u Vab h Va n BH vrB7f h Vbc h Ê n Vcs v CH h VCA Ê yCA Passemos agora a determinar as relações existentes entre os valores de fase e de Unha Iniciamos por observar que para a ligação estrela as correntes de linha e de fase são iguais isto é A S A BN B Ê n à Para a determinação da relação entre as tensões adotaremos um trifãsico com seqüência de fase direta ou seja i 1 M 5 p r m II 2 a p L r C N 1 a Vab li Vr m Vbc 1 VCff VCA t í II As tensões de linha são dadas por CIRCUITOS TRIFÁSICOS 13 Utilizando matrizes temos 1 a 1 2 a 11 pBC II iT a 2 PAN a k a 1 a 1 u 1 Salientamos porém que 1 a Vã 1 2 2j Vã i30 a 2 a a 2l a 2 a 2V330 a 2 1 a 1 a 2 a Vã 30 Portanto V S 30 a 2 a f o V330f 19 Da Eq 19 observamos que para um sistema trifãsico simétrico e equilibrado na ligação estrela com seqüência de fase direta passase de uma das tensões de fase à de linha correspondente multiplicandose o fasor que a representa pelo número complexo Vã 130 Podemos chegar às mesmas conclusões graficamente utilizando o diagrama de fasor es De fato é dado pela soma de com Vm V8N Construímos na Fig 15 o fasor VNB e procedemos à soma graficamente Notese que o triângulo MOR é igual ao NOP e é isósceles portanto o ângulo PÔM é a metade de MÔN que vale 60 Finalmente o módulo do fasor f AB é dado por Va b K 2 c o s M Ò P 2 V M e o B Í Q f S v AN Analogamente determinamse as demais tensões de linha Devemos salientar que em se tratando de trifãsico com sequência de fase inversa passase de uma das tensões de fase à correspondente de linha multiplicandose o fasor que representa aquela grandeza por Vã i3o 14 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA conforme se pode observar do diagrama de fasores da Fig 16 1 V I30 Figura 15 Obtenção das tensões de linha a partir das de fase Seqüência de fase direta V0C Figura 1 6 Relação entre os valores de fase e linha para um trifásico simétrico com seqüência de fase inversa ligação em estrela Analiticamente teremos J 1 1 a í a Fm ii a a 2 a 2 a 1 CN k J 2 La 1 2 a 1 CIRCUITOS TRIFÁSICOS 15 Mas e portanto r i v n O 2J a a 2 a 1 a a V ã130 1 a 1 j j Vã 30 l 2 2 J V 2 2 1 a 2 l a 2 l a a 2 Vã 130 l 4 Vã 30 S 130 a I 1U 2 a j l Vã 130 110 No caso da determinação das tensões de fase conhecendose as de linha surge uma indeterminação De fato supondose uma seqüência de fase direta os valores 1 1 AS 2 VBN Vã 3o V Lrcv J La J representam uma tema de fasores de tensões de fase que satisfazem aos dados de linha Sendo Vm uma tensão qualquer os valores 4 1 1 a 2 1 a 1 também satisfazem as condições impostas pois 1 4 T 1 BN o y a n S A N V 1 1 1 1 2 a 2 1 1 rM fi 2 a a 1 1 a 16 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Ora sendo o valor de qualquer existem infinitas valores de tensões de fase aos quais corresponde uma única terna de valores de linha No entanto salientamos que existe uma única tema de valeres de fase que constitui um trifásico simétrico A componente Vm representa uma tensão que é somada aos valores de fase e portanto representa um deslocamento do centroestrela em relação à terra De feto as tensões dadas podem ser representadas per um gerador de fem Vm ligado entre a terra e o centroestrela de três geradores de fem Ê a 2 É e a Ê Figura 17 Interpretação da tensão Êm Em conclusão em se matando de gerador trifásico simétrico aterrado a tensão de fase está determinada desde que se conheçam as tensões de linha pois neste caso obrigatoriamente Vm 0 Na hipótese do gerador não estar aterrado conhecemos as tensões de fase em relação ao centroestrela porém arai relação à terra estão indeterminadas pois nesse caso não temos elementos para a determinação do deslocamento do centroestrela em relação à tora EXEMPLO 13 Uma carga equilibrada ligada em estrela é alimentada por um sistema trifásico simétrico e equilibrado com seqüência de fase direta Sabendose que Vw 22058 V pedimos determinar a as tensões de fase na carga b as tensões de linha na carga SOLUÇÃO a Tensões de fase na carga Sendo o trifásico simétrico sabemos que os módulos de todas as tensões de fase são iguais entre si Logo V V V 220 V AN BN CN r Por outro lado sendo a seqüência de fase direta sabemos que partindo da fase B deverão passar pelo máximo ordenadamente as fases C e A Logo o fasor está adiantado de 120 sobre o fasor VCN e este está adiantado de 120 sobre Portanto com relação às fases temos CIRCUITOS TRIFÁSICOS 17 fase de VCN fase de 120 58120 62 fase de fase de VCN 120 62120 182 178 Finalmente resulta 220 58 V 220j62 V 220178 V Usando matrizes teríamos Vr SN 1 1 220158 CN Vr BN a 2 22058 a 2 2 20162 v a a 220178 b Tensões de linha na carga De 19 resulta 220 178 J30 380 20ÍF V 380f152 V 220 58 30 380 88 V VCA 220162 j30 380132 V EXEMPLO 14 Resolver o exemplo precedente admitindose seqüência de fase inversa SOLUÇÃO a Cálculo das tensões de fase na carga 18 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Como no exemplo precedente os módulos das tensões de fase são todos iguais e valem 220 V Para a determinação da fase de ÊCN e VAW salientamos que em sendo a seqüência de fase inversa BAC o fasor está atrasado de 120 em relação ao fasor e o fasor ÊCff está atrasado 120 em relação ao ÊAW Logo Vw 220 j5T V Va 220158120 2201ÓT V t CN 220162120 220 jI82 220 178 V b Cálculo das tensões de linha na carga De 110 resulta 220 j62f S h30 380 92 V Êgç 220 58 V3h30380 28f V VCA 220 178 S h30 380 14T V Na Fig 19 apresentamos o diagrama de fasores VCA VbN VBC Figura 19 Diagrama de fasores para o Ex 14 124 RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS COM GERADOR E CARGA EM ESTRELA Para a resolução de circuitos trifásicos podese proceder do mesmo modo que para os monofásicos isto é podemos utilizar análise de malha ou nodal ou ainda qualquer dos métodos aplicáveis à resolução dos circuitos monofásicos Porém como veremos a seguir o cálculo do CIRCUITOS TR1FÁSICOS 19 circuito fica bastante simplificado levandose em conta as simetrias existentes nos trifásicos simétricos e equilibrados com carga equilibrada Exemplificando suponhamos que se queira resolver o circuito da Fig 110 no qual conhecemse as tensões de fase do gerador seqüência direta e as impedâncias da linha e da carga Z e Z respectivamente Pretendemos determinar as correntes nas três fases Conhecemos 1 E0 2 a fc a Z Z 9 e Z Z Procedendo à resolução pelo método das correntes fictícias de Maxwell teremos duas malhas NAANBBN e NBBNCCNy nas quais adotaremos as correntes y c p respectivamente Logo teremos 2rZ Z p Z 2 K 7 Z 7 2P isto é e então V V 2y B Z Z e y 23 V r BN V r CN Z Z r 3z z 2Van 20 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA P 37 2 I 2 CN 1 Por outro lado observamos que e que logo C r r r a n Z Z p p CN Z T e portanto y 7 7 Z Z P y z Z CN 2 l i 2 a j Z Z Z Z1 A í c p a Ê ie Z Z Z Z a í As expressões acima mostram que teria sido suficiente calcular a corrente 1A dada pela relação entre a tensão da fase A e a impedância total da mesma fase Z Z Determinamos as correntes 1B e c simplesmente imprimindo a 1A uma rotação de fase de 120 e 120 respectivamente Podemos chegar ao mesmo resultado de maneira muito mais fácil isto é começando por observar que sendo um sistema trifasico simétrico e equilibrado com carga equilibrada os pontos N N estão ao mesmo potencial ou seja V AN V r AN Logo podemos interligálos por um condutor sem alterar o circuito dado que nesse condutor não circulará corrente Nessas condições o circuito da Fig 110 transformase no da Fig 111 no qual temos três malhas independentes NAA N N NBBWN e NCCNN CIRCUITOS TRIFÁSICOS 21 Salientamos que as impedâncias das três malhas sâo iguais e valem 2 2 e as fem das malhas valem a 2 Ê a Portanto as três correntes valerão 2 2 f 2 2 m 2 2 Z 7 Usando matrizes teremos 1 2 2 0 0 1 a 2 0 2 2 0 2 a a 0 0 2 2 jx ou r n r 11 2 2 a a 2 2 a U J a Devemos notar que tudo se passa como se tivéssemos que resolver o circuito monofásico da Fig 112 no qual interligamos os pontos N e N por um fio de impedância nula A r A Z FIO NEUTRO FICTÍCIO Z 0 Figura 112 Circuito monofásico equivalente 22 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA EXEMPLO 15 Um alternador trifásico alimenta por meio de uma linha equilibrada uma carga trifásica equilibrada Conhecemos 1 a tensão de linha do alternador 380 V e a freqüência 60 Hz 2 o tipo de ligação do alternador Y 3 o número de fios da linha 3 4 a resistência 02 Q e a reatância indutiva 05 Cl de cada fio da linha salientamos que estamos desprezando as mútuas entre os fios da linha 5 a impedância da carga 3 j 4 Cl Pedimos a as tensões de fase e de linha no gerador b as correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador c as tensões de fase e de linha na carga d a queda de tensão na linha valores de fase e de linha e o diagrama de fasores SOLUÇÃO a Tensões de fase e de linha no gerador Admitindose seqüência de fase ABC e adotando com fase inicial nula resulta 220 j0 V VBN 2201120 V vCN 220 m p v e portanto 130 PAN S 3ÍT 220 fF 380 J3CP V S 30 Vm 3022Q 120o 38090 V S W CN s 30 220 V2SP 380 150 V ou com matrizes r AN 1 v v BN 22010 a 2 cv J a 1 ii os Ê b c 380130 a 2 C A a V b Determinação da intensidade de corrente O circuito a ser utilizado para a determinação da corrente é o da Fig 113 b no qual temos L Rc J Jf c isto é CIRCUITOS TRIFÁSICOS 23 h 220 jO 220 j0 R j X X c 32 j45 552 546 3984 1546 A Logo IA 39841546 A 1B 398411746 A Ic 3984 j65 A Figura 113 Determinação do circuito monofásico equivalente c Tensão na carga i valores de fase VAN Zc l A 5 531 39841546 199213 V BV 199211215 V VCN 199211185 V 24 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ii valores de linha VAB V3 W VAS S 1992 285 345 j28 V BC 30 VBN S 1992 9 U 3451915 V VCA 30 cw 3 1992 jl485 34514850 V d Queda de tensão na linha i valores de fase Pm PAK PM Z 1A 0541682 39841546 2151136 V Pm 21511064 Pa cv toe 21511336 ij valores de linha Pj P ZIA tB Z IA l a Z IA 21513V3gr 372143 V Pbc Bc 3721764 V Pr Pr 37211636 V e Diagrama de fasores Na Fig 114 representamos o diagrama de fasores CIRCUITOS TRIFÁSICOS 25 125 LIGAÇÕES EM TRIÂNGULO Retomemos as três bobinas do item 113 e vamos ligálas a três impedâncias Z iguais entre si conforme indicado na Fig 115 Notar que as malhas AANJ IÀAi BBWgNgB e CCWyvcC são eletricamente independentes logo podemos interligar os pontos C cN B sem alterar em nada o circuito Por outro lado os pontos C e N B estão ao mesmo potencial logo podem ser interligados e podemos substituir os condutores CC e NSNB por um único condutor Os pontos comuns CNB e CNg serão designados por C e C respectivamente Após realizar a interligação desses pontos observamos que a malha A A W Jfyl é eletricamente independente do restante do circuito portanto por raciocínio análogo podemos interligar os pontos ANC e ANC que designaremos por A e A respectivamente Finalmente observamos que os pontos B cNà estão ao mesmo potencial pois Portanto poderemos interligar os pontos BNà e BNA obtendo os pontos B e B respectivamente Assim passamos para o circuito da Fig 115b no qual o gerador e a carga estão ligados em triângulo Salientamos que a Eq 111 é condição necessária para que seja possível ligar um gerador em triângulo sem que haja corrente de circulação De acordo com as definições anteriores as tensões de fase são a no gerador 111 e que os pontos BcN A também estão ao mesmo potencial pois isto é a na carga As tensões de linha no gerador e na carga são e 26 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA As correntes de fase são a no gerador I n a A B A 1 n b B I c B I n c C A C a na carga t A N á A B B N n 1 B C C N c CU As correntes de linha são AA e CC b Circuito triÊsioo com gerador e carga cm triângulo Figura 115 Representação da ligação triângulo CIRCUITOS TRIFÁSICOS 27 126 RELAÇÃO ENTRE OS VALORES DE FASE E DE LINHA PARA A LIGAÇÃO TRIÂNGULO Na ligação triângulo quanto às tensões é evidente que há igualdade entre as de fase e as de linha Para a determinação da relação entre as correntes de linha e de fase adotaremos inicialmente um sistema trifasico simétrico e equilibrado com sequência de fase direta ou seja AB IF I hc h 10 120 1CA h 10 120 ou com matrizes t 1 AB L i 1BC L r a 2 a Aplicando aos nós A B e C da Fig l15b a 1 lei de Kirchhoíf obtemos Í a a BB 1BC L12 C C t r 1 gc Matricialmente teremos t LB 1 BB BC A a 2 1 1 Jcc Jc J bC a a2 ou seja 1 a 1 BB a 2 1 Jcc i R 1 RS 1 Porém como visto anteriormente 1 a h3F a 2 l a 2 S h3F a a 2 a S 30 logo será 28 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 1 S 130 T a 2 1 a 113 Ou seja num circuito trifásico simétrico e equilibrado seqüência direta com carga equilibrada ligada em triângulo obtemos as correntes de linha multiplicando as correspondentes de fase pelo número complexo V3130 114 Com construção análoga à realizada no item 123 e utilizando as Eq 112 obtemos as Eq 113 graficamente Fig 116 icc Figura 116 Relação entre os valores das correntes de fase e de linha na ligação triângulo seqüência de fase direta Podese demonstrar Fig 117 que analogamente a quanto foi feito sendo a seqüência de fase inversa as correntes de linha estarão adiantadas de 30 sobre as correspondentes de fase isto é para a seqüência de fase inversa teremos V 3 3 la 1BC V3 3f 115 I c c 1 C A S jW No caso da determinação das correntes de fase conhecendose as de linha surge uma indeterminação De fato supondose uma seqüência de fase direta os valores CIRCUITOS TRIFÁSICOS 29 r t i t 1 I AA a 2 a 1 BC Jc J3 30 representam uma tema de fasores de correntes de fase que satisfazem aos dados de linha Sendo Icmc uma corrente qualquer os valores 1 T K c h v a 2 ClfíC 1 a 1 também satisfazem as condições impostas pois t j K b 1CA 1 a V eme cmc í B8 1bC lAB 1b C leme i w 1CJRC J c c UCA J bC JcA J a n e J b c Jcmc AB 0 1 a 2 1 eme 1 1 1 1 V330 1 a 2 a 1 1 a Assim como o valor de Icmc é qualquer existem infinitos valores de correntes de fase aos quais corresponde uma única tema de valores de linha A componente Icmc representa uma corrente de circulação no entanto para uma carga trifâsica equilibrada alimentada por um sistema de tensões trifásico simétrico esta componente será sempre nula Desta forma as correntes de fase estão determinadas desde que as correntes de linha sejam conhecidas pois neste caso obrigatoriamente ICIRC 0 Íbb Wc Va W Figura 117 Relação entre os valores das correntes de fase e de linha na ligação triângulo seqüência de fase inversa 30 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 127 RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS EM TRIÂNGULO Conforme já foi dito os sistemas trifásicos podem ser resolvidos utilizandose qualquer dos métodos de resolução de circuitos porém devido às simetrias existentes nos trifásicos empregamse soluções particulares que muito simplificam a resolução Suponhamos ter que resolver um circuito trifàsico simétrico e equilibrado em que tonos um gerador fictício ligado em triângulo que alimenta por meio de uma linha de impedância Z uma carga ceam impedância de fase Z ligada em triângulo Fig 118 Resolvendose o sistema por correntes fictícias de malhas resultam as equações 2 Z a 7 0 7y T a 2 T Z p Zy 0 Z a Z 3 3Zy das quais poderemos determinar os valores de a f e y Como a resolução do sistema acima é por demais trabalhosa vamos abandonála e tentar um novo caminho isto é vamos aplicar a lei de Ohm à malha AABBA e lançando mão das simetrias do sistema determinar o valor da corrente ÍAB Adotandose sequência de fase direta resulta 1A b h ü h c h H 2 1CA h 1120 A Z a b Z h Z 1b I AB T Nos sistemas trifásicos não é usual a utilização da ligação em triângulo para um gerador pois a tensão gerada não é puramente senoidal isto é existe uma componente de harmônica que tem tensões Em c o s 3 mí Em cos3 orf 2r3 EM cas3 orf e EM co3 coi 2rr3j EM cos3 cor e que dará lugar a uma corrente de circulação conforme a Eq 111 CIRCUITOS TRIFÁSICOS 31 sendo IA 1B IF j3F a 2 IF H3T IF h30l a 2 IF K3T 30 3 IF ou 1A IB 3 IF logo j b 3 Z Z I F 116 Adotandose ab V p resulta Vcosp IF 32 R V sen p F 3 X X e portanto Assim temos ij3R R2 3Xf X 2 l3 A 3X X p arc tg r 1áw 3 Z Z 0 1 BC 3 7 Z 1120 ÍCA 3 Z 7 120 A Eq 116 mostranos que o problema proposto transformase no da determinação da corrente que circula numa malha cuja fem vale e cuja impedância é 3 7 7 Chegaremos ao mesmo resultado muito mais facilmente substituindo a carga ligada em triângulo por outra que lhe seja equivalente ligada em estrela Fig 119 De feto lembrando a transformação triânguloestrela deveremos substituir a carga em triângulo cuja impedância de fase vale 7 por carga em estrela cuja impedância de fase vale 73 Substituindose o gerador em triângulo por outro em estrela de modo que a tensão de linha seja a mesma recaímos no caso já estudado de ligação em estrela resultando ú y v AN r AN logo 3 Z Z 32 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Finalmente a corrente de fase na carga em triângulo é dada por t AA lAB 3VAy S po AB H3ÍF 3 2 7 h30 3 Z 1 3 Z 1 a Circuito trifásico em estrela b Circuito monofásico equivalente Figura 119 Substituição do circuito em triângulo por equivalente ligado em estrela EXEMPLO 16 Um gerador trifásico alimenta por meio de uma linha uma carga trifásica equilibrada Conhecemos 1 o tipo de ligação do gerador A e da carga A 2 a tensão de linha do gerador 220 V a freqüência 60 Hz e a sequência de fase direta 3 a impedância de cada um dos ramos da carga 3 j 2 4 a resistência 02 Q e a reatância indutiva 015 Q de cada fio da linha estamos desprezando as mútuas Pedimos a as tensões de fase e de linha no gerador b as correntes de linha c as correntes de fase na carga d as tensões de fase e de linha na carga e o diagrama de fasores SOLUÇÃO a Tensões de fase e de linha no gerador As tensões de fase coincidem com as de linha e valem para a sequência ABC II 5 VV AB Vr BC 22010 l a 2 1 í a b Determinação das correntes de linha CIRCUITOS TRIFÁSICOS 33 Substituindo a carga em triângulo por outra equivalente em estrela temos o circuito da Fig 120 do qual obtemos 2 2 0 r B O T l í 3 12 j 148 Logo e então t 127130 1 666 8i A 19 5T tBB 666 j201 A lcc 666 j39 A A Z02jO15jl a C D Ò 4 34 0 N N Figura 120 Circuito equivalente para o Ex 16 c Determinação das correntes de fase na carga Na carga em triângulo teremos t 1 666 j81 A B V H3P h30 IB C 385171 A IC A 385169 A 385 j5 1 A d Determinação das tensões na carga Da Fig 120 obtemos Z 666181 5 1531 VBN 1111479 V t cN 1111 V 1111279 V As tensões de fase e de linha na carga são iguais e valem 4 VAB VAN S 30 1111279 V3 130 192 21 V 34 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA VBC 19211179 V VCA 19211221 V e Diagrama de fasores Na Fig 121 representamos o diagrama de fasores Figura 121 Diagrama de fasores para o Ex 16 CIRCUITOS TR1FÁS1COS 35 13 SISTEMAS TRIFÁSICOS SIMÉTRICOS E EQUILIBRADOS COM CARGAS DESEQUILIBRADAS 131 INTRODUÇÃO Neste item estudaremos alguns casos de circuitos trifásicos simétricos geradores com tensões de mesmo módulo e defasadas de 120 e equilibrados linhas sem mútuas ou com mútuas iguais alimentando cargas desequilibradas impedâncias distintas Como no item anterior vamos desconsiderar a existência de indutâncias mútuas ressaltando novamente que no caso em que essas indutâncias sejam iguais tudo o que será apresentado continua válido Destacamos que os métodos gerais de análise de circuitos como já foi salientado são aplicáveis Porém sem uma escolha criteriosa do método recairemos em sistemas de equações cuja resolução é por demais trabalhosa Assim vamos nos preocupar nos casos mais usuais em apresentar o método que leva à solução mais simples 132 CARGA EM ESTRELA ATERRADA ATRAVÉS DE IMPEDÂNCIA Suponhamos ter o circuito da Fig 122 composto de 3 geradores monofâsicos no mesmo eixo constituindo um sistema trifásico simétrico vide Fig 11 uma rede trifasica equilibrada e uma carga trifasica desequilibrada ligada em estrela com uma impedância ligada entre o centro estrela e a referência terra Neste sistema conhecemos as tensões de fase nos geradores as impedâncias da carga a impedância de aterramento e as impedâncias da linha desprezando as indutâncias mútuas queremos determinar as correntes nas três fases e as tensões de fase e de linha nos terminais da carga ponto Q da Fig 122 Figura 122 Sistema trifásico simétrico e equilibrado com carga desequilibrada em estrela aterrada Inicialmente vamos considerar a impedância de aterramento nula Nesse caso a determinação das correntes tomase imediata pois sendo ZN 0 teremos 36 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ÊaN lA ZA Zp VBN B Zp PCN Zc Zp em que Zp é a impedância própria dos fios da iinha Então AN A Z 7 1 BN Z3 Z ír Zc Zp Além disso no nó N temos Av íA c As tensões de fase na carga são dadas por V rAN I Z 1A A V r BN I Z lB B V VCN I z l C Chamamos a atenção para o feto de não ser possível calcular as tensões de linha na carga utilizando a Eq 19 pois nos terminais da carga não se dispõe de um trifãsico simétrico Obviamente as tensões de linha serão calculadas por Kb Kn BN VbC VbN CN 1 c w aN 117 No caso da impedância de aterramento não ser nula pela lei de Ohm teremos ÉAN h Za Zp ÍN ZN Êbn 1B Zg Zp t N ZN vcn i c zc Zp t N z N isto é Êan t ZN 1 M A Za ZP ZA Zp ZB Zp ZB Zp h CN t ZN 1 r z c Zp Zc Zp 118 CIRCUITOS TR1FÁSICOS 37 Somando as Eq 118 membro a membro e lembrando que t A t B c IN resulta cn I Zá Zp Zç 1 Zjl Zk 2 Á 2 2b 2 p 2c 2 P Substituindo o valor de v dado pela Eq 119 nas Eq 118 determinamos os valores de a I b e A EXEMPLO 17 Resolver o circuito da Fig 123 sendo Vm 220 0 V Vw 2201120 K CJV 2201120 V 2 j 2B 2ç 2P 2N 05 j 20 Cl 2Á 20 Cl 2B j 10 Cl 2C y 10 Q SOLUÇÃO a Determinação da correte no neutro Temos 2a 2 p 203 j l 2065 Q Za Zj 03 j 12 12 j876 Q Zc 2P 03 j 8 81864 fi Z 03 j 2 2061760 Cl Da Eq 119 determinamos 38 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 220 j0 2201120 t 220 120 206 j5 g 1201876 801864 N 206176 206 1V 206 76 1 206 5 í 1201876 801864 b Cálculo das correntes de linha Temos IN ZN 316711792 206 76 652 1032o V logo Vju Vjg Vm 220 j0 652 11032 24335 f V Vm Vm 2201120 652 1032o 158711268 V PCN VCN Vm 2201120 652 1032 27U 11105 V e então h h 24331151 206 56 158711268 120 j876 2712 jll05 8 1 1864 118 93 A 132 1456 33911631 A A c Cálculo das tensões de fase na carga Temos VAN 1A ZA Il8j9 20j0 2369 V VBV t B ZB 132 1456o 1090 13211244 V PCN tc Zc 33911631 10190 33911069 V c Cálculo das tensões de linha na carga Temos K b 236195 l321244 3411257 K c 132 Í244 339 1069 4341868 cA 33911069 236 95 43711393 CIRCUITOS TRIFÁSICOS 39 133 CARGA EM ESTRELA COM CENTROESTRELA ISOLADO Suponhamos agora ter o circuito da Fig 1 24 composto de 3 geradores monofásicos no mesmo eixo vide Fig 11 uma rede trifásica equilibrada e uma carga trifãsica desequilibrada ligada em estrela com o een troes trela isolado não aterrado Neste sistema conhecemos as tensões de fase nos geradores as impedâncias da carga e da linha desprezando as indutâncias mútuas queremos determinar as correntes e as tensões nos terminais da carga ponto Q da Fig 124 Figura 124 Sistema trifãsico simétrico e equilibrado com carga desequilibrada em estrela isolada Neste caso temos h z z BN RN m h ZB Zp ar Ic Zc 7f Fazendo teremos ZÁT ZA ZP ZBj zb ZP ZCj Zc Zpj AN Y NN z r BN Y r NN ZB Bt Y CN 4 Y r NN Zc c r ZCt v Y IAt rAN Y V i bt r bn Y V ICT rCN Ar Kw Br NN ZCT JW 120 121 40 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA em que Yát YBt e YCr são as admitânrias totais de cada fase Somando as Eq 121 membro a membro e lembrando que resulta Ia 4 tc 0 122 A Eq 122 permitenos determinar o valor de Ym que substituído nas Eq 120 e 121 permitenos calcular PAN Ym VCN 1A ÍB e íc As tensões de fase nos terminais da carga são obtidas por V 7 1 jp 7 1 V 7 1 r AfT l A w BN l B r CN C Novamente chamamos a atenção para o fato de não ser possível calcular as tensões de linha na carga utilizando a Eq 19 pois nos terminais da carga não se dispõe de um trifásico simétrico As tensões de Unha serão calculadas a partir de VAN PaN e VCN Obviamente se forem conhecidas as tensões nos terminais da carga VAN PBN Cw a E1 122 tomase AN BN Z CN m Z K Z 123 EXEMPLO 18 Calcular o circuito da Fig 125 do qual se conhecem i as tensões de linha na carga 220 V trifásico simétrico seqüência de fase ABC ii as impedândas ZA 10 Q ZB 2 j 10 O Zc j 10 Q SOLUÇÃO A B C ZA ZZU Zb H Z H Figura 125 Circuito para o Ex 18 a Determinação da diferença de potendal entre os centroestrelas Vm CIRCUITOS TRIFÁSICOS 41 Temos 0110 s 10 1 1 2 j 10 102 787 I 00981787 1 1 0 10190 01190 S S Uma vez que nos interessa somente a diferença de potencial entre o centroestreia do gerador e o da carga podemos supor em A B C um gerador ligado em estrela com as tensões de fase V a 127j0 V Vm 1271120 V VCN 127jl2P V Logo pela Eq 123 v 0110 127 0 00981787 1271120 01190 1271120 m 01 0 0098 1787 019 Q P b Tensões de fase na carga Da Eq 120 temos 127 j0 869 U3P 2129 4 V VBN 1271120 869 U 9551768 V VCN 127120 869 1289803 V c Determinação das correntes 1A 2129 6 01 0P 213 4 A 1B 9551768 00981787 9411555 A l c 1289 803 01 9ÇT 129 1703 A d Diagrama de fasores Na Fig 126a apresentamos o diagrama de fasores que construímos conforme se segue 1 Representamos a sequência VAB das tensões de linha determinando os pontos A B e C 2 Determinamos o ponto N correspondente ao centro estrela do gerador baricentro do triângulo ABC e consequentemente as tensões 3 Determinamos o ponto N utilizando a expressão Í l L By BN j c CN 8691113 852 j 170 V A B C 42 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA u NV Ê m 852 j 170 V 4 Determinamos as tensões de fase na carga 5 Representamos as correntes na carga Figura 126 Diagrama de fasores para o Ex 18 134 CARGA EM TRIÂNGULO Para uma carga triíásica desequilibrada ligada em triângulo basta substituirmos a carga por outra equivalente ligada em estrela e recaímos no caso anterior de uma carga desequilibrada em estrela com o centroestrela isolado Lembramos que neste caso sendo conhecidos 2 2 2CÁ da Fig 127 teremos 7 2ab 2ca 2 AB BC CA 7 2AB 2 BC B ZAB 2 bc 2ca 7 7 7 Zc ZAB 2 bc 2CÁ Zbc Figura 127 Transformação íriãnguloestrela para carga desequilibrada 124 CIRCUITOS TRIFÁSICOS 43 14 SISTEMAS TRIFÁSICOS COM INDUTÂNCIAS MÚTUAS QUAISQUER 141 INTRODUÇÃO Neste item estudaremos o caso geral de sistemas trifásicos simétricos a 3 ou 4 fios alimentando cargas equilibradas ou desequilibradas considerando as indutâncias próprias dos fios e as indutâncias mútuas entre eles iguais entre si trifasico simétrico equilibrado ou não trifásico simétrico desequilibrado Inicialmente apresentaremos o equacionamento matricial utilizando a lei de Ohm para os elementos primitivos de uma rede desconsiderando a existência de mútuas com outros elementos Em seguida introduziremos as indutâncias mútuas entre os elementos primitivos e finalmente estudaremos os circuitos trifásicos com mútuas 142 MATRIZES PRIMITIVAS DOS ELEMENTOS DE UMA REDE Na Fig 128 representamos os elementos componentes dos ramos de ligação de uma rede na forma de impedâncias e de admitâncias Suponhamos o elemento ligado entre os nós p e q da rede não acoplado magneticamente com nenhum outro elemento da rede mútua nula a Representação por impedância b Representação por admitância Figura 128 Circuito equivalente de um elemento Sejam Tp diferença de potencial entre os pontos p e q fem do elemento pq 1 corrente no elemento pq impedância do elemento pq Aplicando a lei de Ohm entre os pontos p e q da Fig l28a resulta a equação abaixo que exprime a relação entre a tensão e a corrente no elemento considerado 44 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Z 125 pq pq pq pq v Para determinarmos a representação por admitâncias dividimos ambos os membros da Eq 125 por resultando Designando por lZ a admitância do ramo pq e E jZ gerador de corrente constante em paralelo com o ramo pq resulta P F 126 pq pq pq pq 7 que pode ser representado pelo elemento da Fig l28b A Eq 126 dual da 125 exprime a relação entre a corrente e a tensão no elemento considerado representado agora na fam a de admitância No caso de termos uma rede com n elementos poderemos escrever uma equação análoga à Eq 125 para cada elemento obtendo um sistema de n equações a 2n incógnitas n carentes e n tensões Com matrizes tendo considerado que a rede não possui indutâncias mútuas teremos ou 1 jn M 1 Ê 2 71212 0 0 V F È 0 z 0 i pq pq pqpq PQ 1 1 V 0 0 i V em que jvw j matrizcoluna das quedas de tensão nos elementos da rede matrizcoluna das fem série dos elementos da rede zwj matriz de impedância dos elementos da rede na qual os termos fora da diagonal representam as impedâncias mútuas i matrizcoluna das correntes nos elementos da rede CIRCUITOS TRIFÁSICOS 45 Analogamente na forma de admitâncias multiplicando a expressão anterior por Y z teremos M W v m v em que Jpç j matrizcoluna dos geradores de corrente em paralelo com os elementos da rede y J zw 1 matriz de admitância dos elementos da rede 143 REDES PRIMITIVAS COM INDUTÂNCIAS MÚTUAS Inicialmente lembraremos as definições pertinentes às indutâncias mútuas Sejam dois circuitos quaisquer que designaremos per circuito 1 e circuito 2 Seja pn o fluxo concatenado com o circuito 1 produzido per uma corrente i2 que circula no circuito 2 definese como indutância mútua M2j entre os circuitos 2 e 1 a relação entre o fluxo 012 e a corrente i2 isto é M Analogamente sendo 02f o fluxo concatenado com o circuito 2 quando no circuito 1 circula uma corrente a indutância mútua Mu entre os circuitos 1 e 2 é M n 21 i Tratandose de meios lineares no Eletromagnetismo demonstrase que AI Passemos a lembrar o efeito concernente à lei de Ohm da existência de uma mútua entre dois circuitos Antes de mais nada vamos fixar a regra para definir o sentido de enrolam oito Sejam Fig 129 dois circuitos acoplados magneticamente Suponhamos assinalar uma das extremidades do circuito 1 e uma das extremidades do circuito 2 de modo tal que a uma corrente entrando pelo terminal assinalado do circuito 1 e a uma corrente i2 entrando pelo terminal assinalado do circuito 2 correspondam fluxos 0 e 02 concordes de mesmo sentido Suponhamos agora que a corrente seja senoidal e que o circuito 2 esteja em circuito aberto Evidentemente no circuito 2 teremos um fluxo concatenado variável no tempo logo este será 46 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA sede de uma fem Em outras palavras sendo t IM cos cot a corrente no circuito 1 o fluxo concatenado no circuito 2 será f2 i M M IM cos cot Figura 129 Mútua entre dois circuitos Logo pela lei de Lenz a fem induzida no circuito 2 valerá d ój e M ú I sen i 2 dt M ou seja fàsorialmente È2 j M co Para determinar a polaridade de E2 liguemos os terminais do circuito 2 em curtocircuito Evidentemente nesse circuito irá estabelecerse uma corrente i2 que deverá criar um fluxo oposto ao fluxo criado pelo circuito 1 conservação de energia Logo se o sentido positivo da corrente no circuito 1 Fig 130 era entrando pelo terminal assinalado o sentido positivo da corrente no circuito 2 será saindo pelo terminal assinalado Portanto para efeito de análise poderemos substituir a mútua do circuito por um gerador de fem joMlx com o terminal positivo em correspondência ao terminal assinalado Em outras palavras convencionandose que é positiva quando entra pelo terminal assinalado o efeito do acoplamento magnético é o de um gerador de tensão ideal vinculado e ligado no circuito 2 com o terminal positivo em correspondência ao terminal assinalado e com fem joMlx Devemos salientar que este tratamento só é válido por estarmos tratando de sistemas operando em regime permanente senoidal Nas linhas de transmissão de energia elétrica existem mútuas entre os fios de fase e entre estes e o 4 fio quando este for utilizado usualmente chamado cabo guarda Os valores das impedâncias mútuas são função da geometria do circuito ou seja da posição que os fios ocupam nas torres das linhas Em muitos sistemas utilizase a técnica de transposição dos fios de fase que consiste basicamente em dividir a extensão total da linha em segmentos de comprimentos iguais e alternar ciclicamente a posição dos fios a cada um destes segmentos Desta forma obtémse valores médios iguais para as mútuas entre os fios de fese assim como valores médios também iguais para as mútuas entre estes e o cabo guarda se existir Não é do escopo deste texto o CIRCUITOS TRIFÁSICOS 47 cálculo das impedâncias de linhas de transmissão assim consideraremos que estas impedâncias são sempre conhecidas Figura 130 Sentido de fem induzida por efeito da indutância mútua EXEMPLO 19 Duas linhas de transmissão monofásicas curtas Fig 131 têm uma extremidade comum Em determinada condição ocorre um curtocircuito na extremidade de uma das linhas enquanto que a outra está alimentada por um gerador de tensão constante Sendo Z impedância da linha 1 Z2 impedância da linha 2 ZM impedância mútua entre as linhas 1 e 2 È fem do gerador pedimos a corrente na linha 2 Figura 131 Circuito para o Ex 19 SOLUÇÃO Fixandose as correntes c í 2 com os sentidos assinalados na Fig 131 poderemos substituir a mútua por dois geradores de fem ZM e 12 ZM com as polaridades indicadas na Fig 132 Pela lei de Ohm temos Ê I2 ZM 0 í ZM I2 Z2 então 48 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ou seja e portanto 2 f2 N l2 7 7 7 2 t 2 íé Âl 77 A z z2 z 2 Ê z z2 z H b o izk IiZm Figura 132 Circuito equivalente para o Ex 19 Passemos agora a estudar a introdução das indutâncias mútuas nas equações dos elementos para tanto tomemos dois elementos pq e rs com fem em série ÈM Êrs impedâncias Z ZrJ e com impedância mútua Zw Zrs pq Salientamos que convencionaremos indicar a mútua pelos símbolos dos barramentos extremos das duas linhas e os terminais assinalados estão situados em correspondência ao primeiro barramento de cada um dos elementos Fig 133 a Diagrama uni filar b Circuito equivalente Figura 133 Dois elementos com mútuas As equações para os dois elementos serão CIRCUITOS TRIFÁSICOS 49 2J r 2 J K 4 2 J 4 4 Cora matrizes teremos sT 1 1 r v 7 pq 1 T Ia J 2 rspq Z k J 127 Para determinar a equação correspondente na forma de admitâncias prémultiplicamos ambos os membros pela inversa da matriz de impedântias obtendo R 1 Z Z piT l 4 1 T W r i pq v l 7 ripq 1 1 1 A 1 r 1 A A 1 As Eq 127 e 128 exprimem as relações entre tensões e correntes para elementos com mútuas respectivamente na forma de impedâncias e de admitâncias É importante observar que para um elemento com mútuas a admitância não é o inverso da impedância mas é obtida invertendose a matriz de impedâncias do elemento E X E M P L O 1 1 0 Alimentandose o nó 1 da rede da Fig 134 por um gerador de tensão constante de fem de 1 V com os nós 2 e 3 curtocircuitados pedese determinar as correntes em todos os nós As impedâncias próprias e mútuas dos elementos estão apresentadas na tabela abaixo Elemento Impedância própria Q Mútua Elemento Impedância Í2 1 4 j 02 2 4 j 0214 3 4 j 0056 3 4 j 0225 2 4 j 0056 S O L U Ç Ã O a A matriz de impedâncias dos elementos é dada por 50 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 1414 1424 1434 1 O O O 2 2 2 2414 2424 2434 J 0 0214 0056 2 2 7 3414 3424 3434 L 0 0056 0225 í n Determinemos a matriz y pela inversão da matriz Z isto é y j 5 0 0 0 5 125 0 125 475 S b Equacionamento do circuito Temos ou seja PI Y V i KJi O o 1 h j 0 5 125 24 i 0 125 475 34 porém observamos que Fig 136 14 24 34 4 34 y Ê 4 4 Logo u É V P V Figura 135 Tensões e correntes nos elementos da rede Portanto teremos CIRCUITOS TRIFÁSICOS 51 24 A4 34 J 5 0 0 í jo V j 0 5 125 V 0 125 475 V resultando o sistema de equações 4 4 j s j s r 4 5 U5 V 375 v i u yi25 475 p 735 v Somandose membro a membro as três equações obtemos 0 y5 1225 P ou seja V J 0408 0F 71225 Finalmente l u j375 P yU3 4 7 35 1428 14 4 4 72958 4 144 LINHA TRIFÁSICA A 4 FIOS COM INDUTÂNCIAS MÚTUAS MATRIZ DE IMPEDÂNCIAS Seja uma linha trifásica constituída por 3 fios de fase e o fio de retomo neutro Evidentemente estes 4 fios constituem três malhas que têm um lado comum que é o fio neutro Portanto para cada malha podemos definir uma indutância própria e entre malhas uma indutância mútua Além disso devemos notar que existe uma resistência mútua entre as três malhas pois a circulação de corrente por uma delas ocasiona uma queda de tensão na resistência do condutor de retorno considerado aqui como uma resistência pura e de conseqüência uma queda de tensão nas outras malhas Consideremos o circuito da Fig 136 e suponhamos inicialmente que o mesmo alimenta uma carga monofâsica ligada entre os pontos  e N Desta forma teremos i A 0 4 4 K h 52 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Assim neste caso teremos v V 1 7 1 R A N AN l A A T 1 A ixN VbN BN ÍaJM ab À Av Ê c N C N a J c A C A N ou seja VBN VbN AAv jA B AAB CN CW A A v J A C A C Mesmo estando cm desacordo cora a teoria de circuitos é uso corrente em sistemas de potência definiremse os seguintes elementos Ra Rb Rc Aí A A AB BC CA Rg l g AC B G C G resistência ôhmica dos fios da linha indutância própria dos fios da linha indutância mútua entre os fios da linha resistência ôhmica do fio de retomo indutância própria do fio de retomo indutância mútua entre o fio de retomo e os fios da linha Nessas condições aplicando a 2 lei de Kirchhoff a cada malha obteremos AN A A A N AviV ou com matrizes AN K n AA Y Vbn yBN Vbb Ãvjv í JCN C CC i 129 Consideremos agora um caso geral com correntes Í A IB ic e ÍN quaisquer Então V A A 1 A I b J o M a b I c J M a c n J A G e fazendo Ar JA A A resulta Na teoria de circuitos não se definem indutâncias próprias e mútuas entre fios mas sim entre circuitos CIRCUITOS TRIFÁSICOS 53 K f A a à J L a I b J v M ã B I c J G A C J a c j Ú A G OU aá a J Í a M a IBjü SíAB M ág IcjOMÂC SÍAG que com matrizes pode ser expressa por i r A A a J Í a S Í a g ym M 4 2 M Á G 7 S i A C M 4 0 V r BB j o M 4 Aíjgj Rg j o L s Ajg Í s c bg 130 Ú L r ccJ yco M 4 c 3 cg j a S Í q c c g j A j c S i c g A Além disso temos i j A c G j A A G c J S i C G VY NV OU G SfAG l À iG yftiG G 3fccc 131 54 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Substituindo as Eq 130 e 131 na Eq 129 obtemos V Za Z a B ZÍC r 4 i BN ZB ZC 4 CN w LC4 Zcs Zcc 4 em que Zaa RG jcoLÁ Lg 2 M Zbb G JiB G 2 Í Í Zcc c G Lg2 M ot Z ab Rg JgÁMab A G BG Xo ZAC Rg JÁM A C 1 a Lg Z B C zCB G Í ÍC B G C G Lg Nos casos usuais de linhas com transposição completa temos 1 0Q 0 II R II T II L AB Mgç MCA M aG Mqq Mcg M resultando Portanto AA ZBB Zcc R IG Lq 2M Zp Z iB Z n r CA G 7Í0 L q M 2 M Vr iíA ÂN Z Z m ZM 4 4 BN BN ZM zp Zu 4 b e d e 4 JCff Zu Zu ZF 4 4 em que 2 Zu ZM Z 7 7 7 é a matriz de impedâncias da rede 132 133 134 CIRCUITOS TRIFÁSICOS 55 145 LINHA TRIFÁSICA A 3 FIOS COM INDUTÂNCIAS MÚTUAS MATRIZ DE IMPEDÂNCIAS Consideremos agora uma linha trifásica constituída apenas pelos 3 fios de linha sem fío de retorno Fig 137 Figura 137 Linha trifásica a 3 fios Neste caso com valores quaisquer de correntes porém com 1A IB lc 0 teremos VAN J ab cÍAC KBN h j A B cw IJC h J MAC h J B C V r BN ir 7 CS Matricialmente K s RÁ joLA júM ab joMÁC t j A B Rs joLB jaMsc t JCN cw jaM AC jíüMgc Rc jmLc Ic ou ainda a b AC i BN BN Zl4 BB BC i Zr ed e is CN y c w CA CB Zcc íc ic 135 Ressaltamos que os elementos da matriz Z da Eq 135 poderíam ser obtidos imediatamente a partir das Eq 132 eliminandose os termos referentes ao condutor de retomo Rc Lg M ag Mm M cg No caso de transposição completa resulta 56 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA AA ZcC R jL Zp ZaB Zgc ZCA júM ZM 146 LINHA TRIFÁSICA A 4 OU 3 FIOS COM MÚTUAS IGUAIS REDE EQUILIBRADA ALIMENTANDO CARGA TRIFÁSICA EQUILI BRADA Consideremos novamente os circuitos da Fig 136 linha a 4 fios e da Fig 137 linha a 3 fios considerando que são válidas as relações 133 alimentando uma carga trifãsica equilibrada Neste caso teremos i h a 2 Jc a e portanto as Eq 134 para linha a 4 fios e 135 para linha a 3 fios em que N N resultam Y n Y AN N N 1 1 BN tfv BN z z z a2 Y cn VCW N ni 1 a Nos dois casos desenvolvendo a Eq 136 resulta an Van tZP a 2 a w IZP ZM lR jcoL Aí V W 4 0 Z a2 cn l m a 1 j e portanto BN BN a AN Va N CN Jcw a L aí VÂN 1 a 2 I a 2 i J gL M 1 a 2 l a J a a ou com matrizes CIRCUITOS TRIFÁS1C0S 57 ou ainda 1 a 2 jmL 1 a 2 a a 137 A Eq 137 nos indica que neste caso temos que resolver apenas um circuito monofásico equivalente conforme apresentado na Fig 138 no qual i r M l m R joL M N N Figura 138 Circuito equivalente para trifásico simétrico e equilibrado com carga equilibrada Devemos ressaltar que este circuito equivalente poderá ser utilizado única e exclusivamente no caso particular aqui analisado ou seja um circuito trifásico simétrico e equilibrado com mútuas iguais alimentando uma carga trifásica equilibrada impedâncias iguais independente de seu modo de ligação Para qualquer outro caso a resolução do problema tornase sobremodo complexa Como veremos no capítulo 3 a utilização da teoria das componentes simétricas permite que sejam resolvidos de maneira simples os casos de circuitos trifásicos simétricos e equilibrados alimentando cargas desequilibradas Chamamos a atenção do leitor que no caso mais geral de sistemas trifásicos assimétricos ou simétricos desequilibrados com mútuas desiguais o uso das componentes simétricas não simplifica o procedimento de cálculo pelo contrário tomao ainda mais trabalhoso e portanto não é recomendável que seja utilizado Nos próximos itens apresentaremos o equacionamento para a resolução destes casos 147 LINHA TRIFÁSICA COM MÚTUAS QUAISQUER ALIMENTANDO CARGA EM ESTRELA ATERRADA ATRAVÉS DE IMPEDÂNCIA Suponhamos ter o circuito da Fig 139 composto de 3 geradores monotásicos no mesmo eixo constituindo um sistema trifásico simétrico vide Fig 11 uma rede trifásica qualquer e uma carga trifásica desequilibrada ligada em estrela com uma impedância ligada entre o ccntro estrela e a referência terra Neste sistema conhecemos as tensões de íáse nos geradores as impedâncias da carga a impedância de aterramento e as impedâncias da linha queremos determinar as correntes nas três íàses e as tensões de fase e de linha nos terminais da carga ponto Q da Fig 139 58 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Figura 139 Sistema trifásico simétrico e desequilibrado com carga desequilibrada em estrela aterrada Nos terminais da carga temos Van L Za I h Ê ÉbN ja lB c Ê A c Zy Utilizando matrizes a Eq 138 tornase N o o 1 Z Ztf Zy r4 1 BN 0 ZB 0 h ZK Zy ZN h CW o o h ZN ZN ZN Ic Zy Zff Zv V Z ZB Zy Z 4 lCARGA h cw z ZN Zc Zy 4 Ic em que ZN Z ZN ZN Ãs ZN ZN ZN ZN Zc ZN CARGA 138 139 Obviamente se a carga for aterrada diretamente basta fazermos ZN 0 na Eq 139 CIRCUITOS TR1FÁSICOS 59 Por outro lado nos terminais dos geradores ponto P da Fig 139 teremos c BN BN Z REDE 1 JCN CV 1c em que Z r eDE Zaa Zar Zac Zra Zrb Zrc Zca ZCB ZCc Substituindo 139 em 140 resulta AN BN CN ZrEDE e portanto ZCARGA Z r eDE 140 141 142 Uma vez determinadas as correntes 1A1B1C as tensões de fase nos terminais da carga AN Vgy VCN são obtidas diretamente a partir da Eq 139 Chamamos a atenção para o fato de não ser possível calcular as tensões de linha na carga utilizando a Eq 19 pois nos terminais da carga não se dispõe de um trifasico simétrico Obviamente as tensões de linha serão calculadas por K b AN Pr BN BC y BN CN 1 p J CN AN 143 EXEMPLO 111 Calcular o circuito da Fig 140 do qual se conhecem 1 as tensões de fase do gerador 13800V3 V trifásico simétrico sequência de fase ABC 2 a impedância própria dos fios da linha ZP 030 056 Cijkm 3 a impedância mútua entre os fios da linha ZM yo25 çifkm 4 o comprimento da linha 10 km 60 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 5 a impedância da carga ZA 90 y45 Q Z B y5 0 Cl Zc y50 Q ZN 10 Q SOLUÇÃO A matriz de impedâncias da carga é dada por ZCARGA 100 y45 10 10 io io y50 io 10 10 10 y50 Q A matriz de impedâncias da rede é dada por 3 y56 y 25 y25 y25 3 y56 y25 j25 j25 3 y56 Q A matriz de impedâncias totais é dada por CARGA 103 y506 10 y25 10 y25 10 y25 13 y556 10 y25 10 y25 10 725 13 7556 D Aplicando a Eq 142 teremos r v 103 7506 10 725 10 725 í 1 776 j347 h 10 725 13 7556 10 725 BSOO a 2 1663 1571 Jc 10 725 10 725 13 y556 a 13231369 CIRCUITOS TRIFÁSICOS 61 A corrente peto fio de retorno será 1N ÍÂ Í B lc 1013 807 A Finalmente aplicando a Eq 139 obtemos as tensões nos terminais da carga K s 100 745 10 10 7761347 78901077 KBN c w 10 10 10 750 10 10 10 750 1663 157i 13231369 733511148 7354 1212 e a diferença de potencial entre o centroestrela da carga e o neutro é igual a VNN ZNÍN 1013 j807 V Finalmente as tensões de linha são obtidas por r k s 7890 077o 7335 1148 7239 648 BC 73351 1148 7354 1212 129701 868 fcAj 7354 1212 78901 077 7445 1208 EXEMPLO 112 Resolver o exemplo anterior considerando a carga equilibrada com os valores ZA ZB Zc 90 745 Q SOLUÇÃO Neste caso a matriz de impedâncias da carga é dada por ZC A R G A 100 745 10 10 10 100 745 10 10 10 100 745 o A matriz de impedâncias da rede não se altera e a matriz de impedâncias totais tornase f é CARGA Z r e d E 103 7506 10 725 10 725 10 725 103 7506 10 725 10 725 10 72 103 7506 n Então I A 103 7506 10 725 10 725 1i 1 7611273 Í b 10 725 103 7506 10 725 B800 V3 a 2 761 I4730 L J 10 725 10 725 103 7506 a 7611926 A corrente pelo fio de retorno será l N Íà ÍB í c 0 e obviamente VNJ ZNÍ N 0 As tensões nos terminais da carga são dadas por 62 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA yr AN 100 j 4 5 10 10 76112730 7657 08 yr BN 10 100 j 4 5 10 76111473 765711208 yL cw J 10 10 100 J 4 5 7611926 7657 1192 Neste exemplo podemos observar que a matriz ZCARGA Z apresenta a seguinte característica z z z ff Z e nestas condições devemos notar que poderiamos resolver o problema mais facilmente considerando o circuito monofásico equivalente apresentado na Fig 141 com uma impedância equivalente dada por Z Z Z 93 j48l Q conforme visto no item 146 A VaN N Z Z I Figura 141 Circuito equivalente para o Ex 112 De fato resolvendo o circuito da Fig 141 teremos A 138011 j l 0 ZgQ 93 7481 7611273 A 1B a 2l  76111473 A Íc a ÍA 761 927 A A tensão nos terminais da carga será dada por Eq 138 K s hA h K l c aZ a 7657 h W a V 765711208 V cv a V 76571192 V que são os mesmos resultados obtidos anteriormente Uma outra observação importante é a de que como a carga é equilibrada a impedância Z v não influi no resultado Isto é poderiamos ter resolvido o problema considerando ZN 0 CIRCUITOS TRIFÁSICOS 63 148 LINHA TRIFÁSICA COM MÚTUAS QUAISQUER AUMENTANDO CARGA EM ESTRELA COM CENTROESTRELA ISOLADO OU CARGA EM TRIÂNGULO Suponhamos agora ter o circuito da Fig 142 composto de um sistema trifásico qualquer e uma carga trifásica desequilibrada ligada em estrela com o centroestrela isolado Para uma carga trifásica desequilibrada ligada em triângulo basta substituirmos a carga por outra equivalente ligada em estrela conforme transformação apresentada na Eq 124 Neste sistema conhecemos as tensões de fase nos terminais dos geradores as impedâncias da carga e as impedâncias da linha queremos determinar as correntes nas três fases e as tensões de fase e de linha nos terminais da carga Figura 142 Sistema trifásico simétrico desequilibrado com carga desequilibrada em estrela isolada Nos terminais da carga temos isto é v y A N Úw h Za vv B N BN Úw Í b Y r C N 4 zc L L I 1 r Z A Z a VBN úw Z z N N zc Y V Y Y J A y A N I A Y N N U Yb Vnn Y V C C N Y V l C Y N N 144 145 64 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA em que YÁ YB e Yc são as admitâncias da carga Somando as Eq 145 membro a membro e lembrando que L 4 4 0 resulta Y V Y V Y Y p J A r AN B BN LC V CN m rA rB yc 146 A Eq 146 nos permitiria determinar o valor de Ym se dispuséssemos dos valores de ÊAN VBN e ÉCN que substituído nas Eq 144 e 145 nos permitiria calcular YAN Ybn Ycn IA IB e Ic Porém como só conhecemos as tensões nos terminais dos geradores o problema ainda não está solucionado Matricialmente a Eq 146 pode ser escrita como 1 1 01 p NN p Kl Fc yA yB yc r NN P Y NN J YA Y Y c Ya Yb Yc Y Y Yc Ya Yb Yc Ya Ya Yb Yc e a Eq 144 tornase É AN pv NN Za 0 0 v K n BN Py NN 0 0 h CARGA f c m c w p NN J 0 0 O 1 Jc Jc 147 048 em que ZCAROA Za 0 0 0 z 0 0 0 z c Substituindo 147 em 148 resulta CIRCUITOS TRIFÁSICOS 65 1 ya r rc l i ya yb yc Ya Yb Yc I YA YB Yc yb ya yb yc yc Ya Yj Yc Yc YÁ Yg Yc 1 Yc yâ yb yca Yan f J 8JV Ycarga 1 149 Fazendo Yc Ya ya yb yc ya ya yb yc Yb ya yb yc r ya yb yc yb Ya Yb Yc Yc YA Yg Yç Yç Ya Yb yc Yc ya yb yc temos que i y r A N tf B N lCARGA r i h tf r C N lc Por outro lado no início do sistema ponto P da Fig 142 teremos VAN i tfr BN FEb e t tf Lrcv J C N lc V AN YBN BN Yrede C N Ycn c Substituindo 151 em 149 resulta r Vr AN 1 q 1 fe 1 Y r e d e i CARGA h lc 150 051 152 66 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ou e portanto y L Êw lrD t ÊcN J c V v h lraedí r ÊrN c CN 153 Uma vez determinadas as correntes IÁ IB e l c as tensões de fase nos terminais da carga Va n K n e ÉC í r são obtidas aplicandose a Eq 148 e a partir destas as tensões de linha serão calculadas por EXEMPLO 113 Repetir o Ex 111 considerando a carga ligada em estreia com o centroestrela isolado SOLUÇÃO Neste caso teremos CARGA 90 J45 o 0 0 750 0 0 0 J50 n A matriz de impedâncias da rede não se altera e a matriz fjç1 é dada por yr 08818j113 7 044091137 022055207Q 05743870 022055207 04409ll37 04409jll37 0440911137 S 057431870 Aplicando a Eq 153 resulta I a 992 38J 170ll72j 4 983 g 2 CIRCUITOS TRIFÁSICOS 67 E aplicando as Eq 148 e 151 obtemos as tensões nos terminais da carga r AN 9982 117o AN 7543 043o yr BN 850519790 V r 729211178 yr CN 491511128 c 7709 1225 e a diferença de potencial entre o centroestrela da carga e o neutro Eq 146 é igual a 2982 415 V Finalmente as tensões de linha são y AB 9982 1170 8505 979 12678 303 PBC 850519790 491511128 12976 867 VCA 49151128 99821117 L j 1339311507 EXEMPLO 114 Repetir o Ex 111 considerando a carga ligada em triângulo SOLUÇÃO Fazendo a transformação triânguloestrela teremos ZM 90 745 n ZA 1545 y2511 Q ZBC 750 O ZB 1545 y25ll Q ZCA p o Q Zc 773 4 71245 Q E seguindo os mesmos procedimentos do exemplo anterior obtemos Ia 2184 1829 7237145 h 3399 1746 A KBN 6522 11810 LcJ 39851386 JCN 6642 1286 3508111270 V 15 SISTEMAS TRIFÁSICOS SIMÉTRICOS OU ASSIMÉTRICOS COM CARGAS DESEQUILIBRADAS CONHECIDAS AS TENSÕES NOS TERMINAIS DA CARGA 151 INTRODUÇÃO Neste item estudaremos alguns casos de circuitos trifásicos simétricos geradores com tensões de mesmo módulo e defasadas de 120 ou assimétricos geradores com tensões de módulos e fases 68 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA quaisquer alimentando cargas desequilibradas impedâncias distintas para os quais conhecemos as tensões nos terminais da carga 152 CARGA EM ESTRELA ATERRADA ATRAVÉS DE IMPEDÂNCIA Suponhamos ter o circuito da Fig 143 composto de um sistema trifásico qualquer e uma carga trifásica desequilibrada ligada em estrela com uma impedância ligada entre o centroestrela e a referência terra Neste sistema conhecemos as tensões de fase nos terminais da carga as impedâncias da carga e a impedância de aterramento queremos determinar as correntes nas três fases A SISTEMA QUALQUER L i R r L c 1 B o N h z N N 777T Figura 143 Sistema trifásico qualquer com carga desequilibrada em estrela aterrada Retomando a Eq 139 resulta imediatamente que ÃA ÃN ZN ZN i v AN e CARGA BV ZB ZN ZN v BN h cw ZN Zc CN J L54 Neste caso como conhecemos as tensões nos terminais da carga podemos determinar as correntes sem a utilização desta equação matricial Assim temos vv AN í a Z a Ãr à N BN As Zg Í N à V Z 1 7 r CN C j C N isto é CIRCUITOS TRIFÁSICOS 69 K n z A f Zy z h 2 r BN zB t iV Z li 155 Icw t N z c Somando as Eq 155 membro a membro e lembrando que IA tB c J resulta e substituindo o valor de IN 1A e 1 r B N AN d r C N h z Zc 156 dado pela Eq 156 nas Eq 155 determinamos os valores de EXEMPLO 115 Resolver o circuito da Fig 144 sendo VAN 220 j0 V BN 2001120 V VCN 220 11QP V ZN 05 j 20 Q z A 20 n z B j io n z c jf 10 n SOLUÇÃO Aplicando a Eq 154 temos 205 2 05 2 05 2 1 2200 1201117 a 05 j l 05 j l l 05 j2 200120 151 1458 UcJ 05 j l 05 j l 05 78 220120 257 1584 A corrente pelo fio de retomo será IN ÍA 1B c 24661766 4 Alternativamente utilizando a Eq 156 obtemos h 2200 2001 120 220120 710 1 05 j l 05 j 2 05 J2 2466jl766 A 20 710 yio e substituindo IN nas Eq 155 70 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA h c ZA Figura 144 Circuito equivalente para o Ex 115 22010 05 i2 246611766 J 120 jl 17 A 20 200 120 20 2466 1766 2 1511458 A yio 1 y 10 L 220 120 0 5 2 24661766 j f 2571584 A j io no 153 CARGA EM ESTRELA COM CENTROESTRELA ISOLADO Suponhamos agora ter o circuito da Fig 145 composto de um sistema trifásico qualquer e uma carga trifasica desequilibrada ligada em estrela com o centroestrela isolado Neste sistema conhecemos as tensões de fase nos terminais da carga e as impedâncias da carga queremos determinar as correntes nas três fases Figura 145 Sistema trifásico qualquer com carga desequilibrada em estrela isolada Retomando a Eq 146 obtemos o valor de m que substituído nas Eq 145 permitenos calcular os valores de IA IB e lc Na forma matricial a partir das Eq 147 148 e 149 teremos CIRCUITOS TRIFÁSICOS 71 V Is Z c r BN kJ c w EXEM PLO 116 Calcular o circuito da Fig 146 do qual se conhecem i as tensões de fase na carga aw 220 2 v 200H 20 FciV 220120 F ii as impedâncias 10 Q ZB j 10 O Zc j 10 Q ZA A Zb B N Zc c O Figura 146 Circuito para o Ex 112 SOLUÇÃO a Determinação das correntes Temos 0110 s 10 1 1 j 10 100 1 1 j 10 10190 01190 S 01190 S Aplicando a Eq 157 teremos r v 220 0 364 16 h CARGA jr 200 120 169 1650o k J 2201120 20311704 b Método alternativo Neste caso como conhecemos as tensões nos terminais da carga podemos aplicar a Eq 146 resultando 72 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 220 j0V0l F 200 120 01 j90 220 120P 01 J90 NN 0110 01190 01 90 Para obtermos as tensões de fase na carga aplicamos a Eq 144 VAV 220 jOP 1441 4P 3639 UP V PBN 200 120 1441 j4 168 j750o V VCN 220120 1441 jW 203480 V Finalmente as correntes são obtidas por ÍA 3639 1 01 j0 364 l A 1B 1689 750o 01 j90P 169 1650 A lc 2034 804 01190 203 11704 A 154 CARGA EM TRIÂNGULO Suponhamos ter uma carga desequilibrada ligada em triângulo na qual conhecemos a tensão dc linha e queremos determinar as correntes de linha e de fase Fig 1 47 A resolução de problemas desse tipo é muito simples De feto pela lei de Ohm temos Figura 147 Carga desequilibrada em triângulo CIRCUITOS TRIFÁS1COS 73 Por matrizes teremos A B o o1 B C 0 Z 0 BC 2 0 0 Zc J u r 2 0 0 1 ry y AB o 0 bc 0 0 Vbc 0 yb 0 yBC J CA 0 0 2C 0 0 C A Além disso V 3 K 4 t II BC tj Jc J B C 16 POTÊNCIA EM SISTEMAS TRIFÁSICOS 161 INTRODUÇÃO Sabemos que a potência instantânea absorvida por uma carga é dada pelo produto dos valores instantâneos da tensão pela corrente isto é sendo v VM cos orf 0 valor instantâneo da tensão em que 0 é o ângulo inicial da tensão i IM cos cot ô valor instantâneo da corrente em que 5 é o ângulo inicial da corrente será P v VM 1M cos oí 0 cos orf 5 Por outro lado temos que cos a j3 cos a j 2 cos a cos fi Fazendo a cot 9 e fi cot 8 será y 1 p M M cos cot 9 Ot ô cos cot 0 Ot 5 74 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Lembrando que os valores eficazes estão relacionados com os máximos por 2 V j valor eficaz da tensão V2 há valor eficaz da corrente V2 e adotandose p 6 Ô defasagem entre a tensão e a corrente na carga resulta p V I cos p V I cos 2 ot 0 8 158 A Eq 158 mostra que a potência fornecida à carga é constituída por duas parcelas uma V 1 c o s í p constante no tempo e a outra V I cos 2 oá 0 5 variável no tempo com uma freqüência igual a duas vezes a freqüência da rede A primeira parcela dada pelo produto dos valores eficazes da tensão e corrente pelo cosseno do ângulo de rotação de fase entre ambas designado por fator de potência da carga representa a potência que é absorvida pela carga sendo transformada em calor ou em trabalho isto é a potência ativa A segunda parcela variando cossenoidalmente no tempo representa uma potência que ora é absorvida pela carga ora é fornecida pela carga seu valor médio nulo representa uma energia que durante um quarto de período é absorvida pela carga e armazenada no campo magnético ou elétrico ligado ao circuito e no quarto de período seguinte é devolvida à rede E designada por potência flutuante Na Fig 148 representamos uma carga monofásica constituída pela associação em série de um indutor com um resistor e representamos os valores instantâneos da tensão corrente e potência Nesse circuito substituindose o indutor por um capacitor de capacidade conveniente para não alterar o valor máximo da corrente observamos que a potência ativa não se altera a flutuante mantém seu valor máximo sofrendo porém uma mudança em sua fase inicial Isso nos mostra que do conhecimento da potência ativa da tensão e da corrente na carga podemos determinar o fator de potência da carga porém não podemos determinar sua natureza capacitiva ou indutiva Evidentemente deveremos definir alguma outra grandeza que nos permita levantar essa indeterminação Assim por analogia com corrente contínua onde a potência era dada pelo produto da tensão pela corrente definese potência aparente S ao produto dos valores eficazes da tensão pela corrente isto é S V J 159 CIRCUITOS TR1FÁSICOS 75 V a Figura 148 Potência instantânea em circuitos monofásicos 0 0 5 p a Circuito RL b Curvas de tensão corrente e potência no circuito RL c Curva de potência ativa no circuito RL d Curva de potência flutuante no circuito RL e Circuito RC Xç X f Curvas de tensão corrente e potência no circuito RC g Curva de potência ativa no circuito RC h Curva de potência flutuante no circuito RC A potência ativa evidentemente será o produto da potência aparente pelo fator de potência isto é P V I cos q S cos p 160 76 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Finalmente definese potência reativa Q ao produto da potência aparente pelo seno do ângulo de rotação de fase entre a tensão e a corrente na carga isto é Notamos que na Eq 161 a potência reativa fornecida a uma carga pode ser positiva ç 0 ou negativa p 0 Pela convenção adotada ou seja sendo p a rotação de fase entre a tensão e a corrente p 6 ô resulta potência reativa absorvida por uma carga indutiva positiva p 6 5 0 potência reativa absorvida por uma carga capacitiva negativa p 9 5 0 que está de acordo com a convenção geralmente adotada em sistemas elétricos de potência Salientamos que as potências ativa reativa e aparente têm a mesma dimensão pois sen p e cos p são adimensionais logo deveriam ser medidas na mesma unidade No entanto a fim de se evitarem confusões optouse por definir três unidades diferentes a saber Portanto podemos definir a potência complexa por P j Q S y Conhecendose os fasores representativos da tensão e da corrente numa dada carga a potência complexa pode ser calculada pelo produto do fasor V pelo complexo conjugado da corrente T ou seja Q V I sen p S sen p 161 potência ativa WATT W potência reativa VOLTAMPÈREREATIVO VAr potência aparente VOLTAMPÈRE VA Entre as potências aparente ativa e reativa existe a relação 162 S V 1 163 De fato sendo r ve i i s resulta Chamamos a atenção para o fato de que não há conservação da potência aparente conforme apresentado em exercício no Capítulo 5 CIRCUITOS TRIFÁSICOS 77 V í V Q Ia V I 0 5 V I cos e Ô JV I sen 0 Ô V I cos p j V 1 sen p P j Q S Evidentemente o ângulo q B Ô será positivo quando a carga for indutiva e negativo quando a carga for capacitiva Logo essa relação está concorde com a convenção adotada para a potência reativa EXEMPLO 117 Determinar a impedâncía de uma carga que absorve 100 j 50 kVA quando a tensão vale 220 V SOLUÇÃO Temos V 4 logo I V V V Então Z V V 5 S p2 V2 Y Adotandose V V 0 22010 V resulta Z 2202 100 j 50 103 03872 j 01963 O 162 EXPRESSÃO GERAL DA POTÊNCIA EM SISTEMAS TRIFÁSICOS Seja uma carga trifasica na qual os valores instantâneos das tensões e correntes de íâse são v 4 v am c o s 9 a Ú am c o s w ô a VBji cos mt 0 B iB IBu cos cot õ B vc VCiií cos cot 0C ic ICm c o s 5C A potência instantânea em cada fase é dada por P a v a a Vf a 1f a c o s 9 a a Vf a h A cos 2 0t B A ÔA Pb vb 1b Vf b í g cos b 8 gi VFg IFg cos 2 Ot 0g 5 L64 Pc C VFc Ipc cos 0c Vpc Ipc cos 2 cot Bc em que VFa VFg e VFc são os valores eficazes das tensões de fase e IFa IFg e IFc valores eficazes das correntes de fase são os 78 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Fazendose a ô a Pa b b Pb C Sc Pc resulta P a Vf a I f á c o sp a VFa I Fa c o s2úX 20Á Pa I fb cosçg Fjr cos2újt 2âs pB Pc Vfc fc csPc VFc IPc coÃcat 20c pc A potência total é dada por P Pa Pb Pc Portanto o valor médio da potência será P a pb pc cas w Fpc Fc ras pc A potência complexa será S SA Sg Sc Fa IFa FB Fb FC l Fc Tratandose de trifásico simétrico com seqüência direta teremos VFc VF 0B 0A 23 9C 0A 2r3 e sendo a carga equilibrada Substituindo esses valores nas Eq 164 resulta p A VF IF cos p VF IF cos 2 oyt 0A p p B VF IF cos p VF IF cos 2 ot 0Á 43 p pc VF IF cos p VF IF cos 2 cot 9A 4tt3 p CIRCUITOS TRIFÁSICOS 79 e portanto a potência instantânea total é dada por P Pa P b Pc 3 V f J f c s P p 165 isto é nos trifâsicos simétricos e equilibrados a potência instantânea coincide com a potência média A potência complexa será dada por s K k 2 21 o mas sendo a a 2 e a resulta S 3 F a Desenvolvendo obtemos S Vf I I a I f W a 3 VF IF 9Á Ô A 3 VF IF q então S 3 VF IF cos p j 3 VF IF sen p 166 Da Eq 166 notamos que S 3 VF 1F P 3 VF IF cos p 167 Q 3 VF IF sen p Uma vez que usualmente nos sistemas trifâsicos não se dispõe dos valores de tensão e corrente de fase é oportuno transformar as Eq 167 de modo a termos a potência complexa em função dos valores de tensão de linha VL e da corrente de linha IL Para tanto suponhamos inicialmente a carga ligada em estrela teremos VF ü s IF IL Logo 80 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA V r 3 IL cos p j 3 4 lL sen p V3 IL cos q j V3 Fz lL sen p 13 ou seja S v L i L p v l II c o s q 168 Q v l Il sen p Admitindose a carga ligada em triângulo teremos V 4 1 l Logo S 3 VL cos p j 3 VL sen p VL IL cos q j VL IL sen p V3 ou seja S S v LiL P VL IL cos p 169 Q VL IL sen p As Eq 168 e 169 mostramnos que a expressão geral da potência complexa para trilasicos simétricos com carga equilibrada é fimção exclusivamente dos valores da tensão de linha da corrente de linha e da defasagem para uma mesma fase entre a tensão de fase e a corrente de fase Definese fator de potência de uma carga trifásica equilibrada como sendo o cosseno do ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente numa mesma fase Em se tratando de carga desequilibrada o fator de potência é definido pela relação PjS ou p f P 2 Q2 Em conclusão podemos afirmar que Num sistema trifásico simétrico e equilibrado com carga equilibrada a potência aparente fornecida à carga é dada pelo produto da tensão de linha pela corrente de linha e por Num sistema trifásico simétrico e equilibrado com carga equilibrada a potência ativa fornecida à carga é dada pelo produto da tensão de linha pela corrente de linha pelo fator de potência e por CIRCUITOS TRIFÁSICOS 81 Num sistema trifásico simétrico e equilibrado com carga equilibrada a potência reativa fornecida à carga é dada pelo produto da tensão de linha pela corrente de linha pelo seno do ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente na fase e por Isto é num trifásico simétrico e equilibrado com carga equilibrada qualquer que seja o tipo de ligação são válidas as equações S VL IL P VL IL cos p Q S v L IL sen p S P j Q 3 vFa rfA 170 EXEMPLO 118 Uma carga trifásica equilibrada tem fator de potência 08 indutivo Quando alimentada por um sistema trifásico simétrico com seqüência de fase direta e com 220 25 V absorve 15200 W Pedimos determinar o fasor da corrente de linha SOLUÇÃO a Determinação do módulo da corrente Temos P V3 V cos p 15200 2 2 0 08 50 A b Determinação do ângulo de fase da corrente de linha Admitamos inicialmente a carga ligada em triângulo As tensões de linha que coincidem com as de fase são V As correntes de fase estão defasadas das tensões correspondentes de p arc cos fator de potência Salientamos que para cargas indutivas a corrente está atrasada e para capacitivas adiantada Logo no nosso caso AB 1 1 BC 2200 a 2 220 j25 a 2 CA a a p 6 6 arc cos 08 37 82 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA e portanto AB J f A l i 6 V 1237 H 2 a l x 1 1 3 2 A s Ica I i 2 ü A Sendo a seqüênoia de fase direta as correntes de linha serão obtidas pela aplicação de 113 resultando ri U 1 1 o 7 II BC 50j42 a 2 J c a a Admitindose a carga ligada em estrela as tensões de linha e de fase serão dadas por AB 1 1 vAB Vbc VQ a 2 220 j25P a 2 K a a a r 11 r 11 5 u ti 1 ve a2 a 127 1 5 a2 a S 30 A corrente 1 1Á deverá estar atrasada 37 em relação a AN Logo r i 1 AN 1 BN r J c N 1 1 50 537 a 2 50 j42 a 2 a a Observamos que quer a carga esteja em triângulo quer esteja em estrela a defasagem entre a tensão de linha e a corrente na mesma linha sendo a seqüência de fase direta é p 30 Fig 1 49 Ou seja sendo 37 defasagem entre e 1A 0 AB ÔA 2542 67 30 defasagem entre PBC e 1B 0 ôB 95162 67 p 30 defasagem entre VCA e c 0 5 C 14578 67 q 30 CIRCUITOS TRIFÁSICOS 83 Figura 149 Pefasagero entre tensão e corrente EXEMPLO 119 Um sistema trifásico simétrico alimenta carga equilibrada formada por três impedândas iguais que absorve 50 MW e 20 MVAr quando alimentada por tensão de 200 kV Sendo a seqüênda de fase inversa e a tensão 220112 kV pedimos determinar a corrente de linha SOLUÇÃO a Determinação da potênda absorvida quando a tensão é 220 kV Admitindo a carga ligada em estrela temos Sendo a impedânda da carga constante qualquer que seja o valor da tensão resulta imediatamente que logo V2 P cos p Z P V2 P V2 isto é Analogamente MVAr 84 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA b Determinação do módulo da corrente Temos Logo e portanto Então Q Jl V I sen p P S v I cos tgP 242 605 04 q 1 218 cosq 0928 6051Q3 32200928 1718 A c Determinação do ângulo de fase da corrente Sendo a sequência de fase inversa temos Vab í 1 V AB Êj3C ve a 220112 a fcA a 2 a 2 Considerando a carga ligada em estrela temos L V 6 1 1 vr BN Ú cat J S30 a a 2 127 j42 55 a K 1 kV Como a potência reativa fornecida à carga é positiva concluímos que o fator de potência é 0928 indutivo isto é a corrente de fase está atrasada de 218 em relação à tensão correspondente p 9 ô 218 Logo CIRCUITOS TRIFÁSICOS 85 Neste caso observamos que quer a carga esteja em triângulo quer esteja em estrela a rotação de fase entre a tensão de linha e a corrente na mesma linha sendo a sequência de fase inversa é p 30 163 MEDIDA DE POTÊNCIA EM SISTEMAS POLIFÁSICOS TEOREMA DE BLONDEL Podese demonstrar que numa carga alimentada por um sistema polifásico a m fases e n fios a potência total absorvida pela carga é obtida da soma das leituras e m n 1 wattímetros ligados de modo que cada uma das bobinas amperométricas esteja inserida num dos n 1 fios e as bobinas voltimétricas estejam ligadas tendo um ponto em comum com a amperométrica e o outro terminal de todas elas sobre o nésimo fio Teorema de Blondel 1893 164 MEDIDA DE POTÊNCIA EM SISTEMAS TRIFÁSICOS EM ESTRELA Vamos demonstrar o teorema de Blondel para uma carga ligada em estrela alimentada por trifásico a três fios A potência lida num wattímetro é sempre igual ao valor médio da potência instantânea por ele medida Assim da Fig 150 e sendo T o período das correntes e tensões as potências lidas em cada um dos wattímetros valem Mas 1 pT 1 pT 1 II í P Jo dt T J V AC A r T 1 T 5 II Jo dt T J 0 vac h dt B C VAN VVC V AN V CN V BN VNC V BN vCv Logo 2 7 j 0 V AC A vsc u d t J0v i A VBN i B VcwL 4 í dt Mas aplicandose a l1 lei de Kirchhoff ao nó N temos c u a 171 logo 1 7 W W2 j0VW A VBN h VCV ÍC P 86 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Salientamos que a potência total coincide com a soma das leituras dos watt metros quer se trate de carga equilibrada ou não Isso porque mesmo no caso de carga desequilibrada iÁ iB c a Eq 171 é verificada Em se tratando de uma carga em estrela com alimentação a 4 fios com o fio neutro podese determinar a potência fornecida pela soma da leitura em dois wattímetros somente no caso de carga equilibrada quando a Eq 171 é verificada Caso a carga seja desequilibrada devem ser utilizados três wattímetros Figura 150 Esquema de ligação dos wattímetros carga em estrela 165MEDIDA DE POTÊNCIA EM SISTEMAS TRIFÁSICOS EM TRIÂNGULO Passemos a demonstrar o teorema de Blondel para uma carga trifasica equilibrada ou não ligada em triângulo De fato da Fig 151 as potências lidas pelos wattímetros valem Logo 1 rT 1 rT il H l o dt T Jo v c dt 1 rT l rT w2 2 T Jo dt T J 0 Vc h dt w w7 11 K II f W h L Vrc b dt A AB CA h 1 BC Sendo CIRCUITOS TRIFÁSICOS 87 resulta w W2 l v CA iÀS iCA vgc iac Íab dt 0 K Ca v MC hc Íabvca vac 1 Crr T dt Mas quer seja a carga equilibrada ou não temos isto é Logo VSC VC4 VAA 0 VAB VSC VCy W W2 V CA Ca VBC BC v ab ab dt P ÍA Figura 151 Esquema de ligação dos wattímetros carga em triângulo 166LEITURA DOS WATTÍMETROS EM FUNÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA DA CARGA DO MODO DE LIGAÇÃO E DA SEQÜÊNCIA DE FASE Como aplicação do método dos dois wattímetros passaremos a estudar como variam suas leituras em função do fator de potência da carga seqüência de fase e modo de ligação Para tanto iniciaremos por determinar para um trifásico simétrico e equilibrado com carga equilibrada as leituras nos wattímetros quando ligados conforme a Fig 152 As potências lidas nos wattímetros valem 88 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA j f 0 VAC iÁ dt VÁC I A c o s e AC sÀ e v ÁCt 2 J0 v bc h dt Vgç IB cos O qç 8 j Wt Figura 152 Esquema de ligação dos wattímetros Admitindose a seqüência de fase direta as tensões de linha são dadas por AB 1 BC V9 a 2 CA a em que f éo módulo da tensão de linha 6 é o angulo inicial da tensão Por outro lado conforme já vimos no exemplo 118 sendo cos p o fator de potência da carga a corrente da linha A 1A está defasada da tensão de p 30 ou seja 0 S A p 30 e portanto lA 1A 0 y 30 Se a carga for indutiva q será positivo e se for capacitiva q será negativo Portanto as correntes de linha são dadas por t r ÍB 1 1 d q 30 a 2 U cl a L i em que I éo valor eficaz da corrente de linha Nessas condições teremos CIRCUITOS TRIFÁSICOS 89 Ws ePA 9te Cit f e g r j e y 30 9te V 1 0 6 0 10 q 30 9te V I tp 30 V I cos p 30 Além disso sendo a 2 a teremos W2 1Kc V 9íe a2 F0a 0 y 30 j 9teF 10 120 12Q0 p 30 Re V 1 q 30 F cayp 30 ou seja rç F a p 30 fF2 V I cos y 30 Com procedimento análogo podemos determinar as leituras dos wattímetros para qualquer modo de ligação e para qualquer seqüência de fase 167 CÁLCULO DO FATOR DE POTÊNCIA DA CARGA Vamos analisar como podemos determinar a natureza da carga e seu fator de potência conhecendose as leituras dos wattímetros o esquema de ligação e a seqüência de fase do trifásico Em tudo o quanto se segue adotaremos o esquema de ligação da Fig 150 e a seqüência de fase direta Vimos anteriormente que Wx V I cosq 30 W2 V I cos p 30 Dividindose essas equações membro a membro obtemos s i K EEíte 30 y cosp 2 senv W2 cos 30 yfè 1 cos psen p 2 2 Dividindose ambos os membros por cosp obtemos Wx V J tgp W2 fitg p V3 cos p sen p cos p sen p 172 90 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA e então ou seja tgp s 173 Na Eq 173 a tgq será positiva ou negativa conforme Wx seja maior ou menor que W2 logo p será positivo ou negativo conforme a carga seja indutiva p 0 ou capacitiva 9 0 Destacamos que esta conclusão somente é válida para 0 modo de ligação dos wattímetros e para a seqüência de fase adotada entretanto com procedimento análogo podese determinar a natureza da carga para qualquer modo de ligação e para qualquer seqüência de fase Normalmente a natureza da carga é conhecida assim vamos encontrar uma outra expressão que nos forneça 0 fator de potência da carga assumindo que sua natureza já está determinada Retomando a Eq 172 teremos Elevandose ao quadrado ambos os lados da expressão resulta e portanto 1 W IW W WL ou então fazendose a resulta 1 a 2 yja2 a 1 cos p CIRCUITOS TRIFÁSICOS 91 168M EDIDA DA POTÊNCIA REATIVA UTILIZANDOSE UM WATTÍMETRO EM TRIFÁSICOS SIMÉTRICOS E EQUILIBRADOS Nos sistemas trifásicos simétricos com carga equilibrada podemos utilizar um wattímetro para a determinação da potência reativa fornecida à carga Conforme já vimos em tais condições a potência reativa fornecida à carga é dada por Q V I sen ç ou também Q S v Icosp 90 Portanto nosso problema é determinar um esquema de ligação do wattímetro tal que sua leitura seja W Q s V cosp 90 Ora podemos determinar facilmente tal esquema observando as rotações de fase que existem entre as tensões medidas entre dois fios da linha e a corrente no terceiro fio Isto é já vimos que sendo a seqüênda de fase direta as tensões e correntes de linha são dadas por a b í U a 1 í VAB v e a 2 a I A t l c 1 e p 30 a 2 a Notamos que a fase da tensão é 0 120 e a da corrente l Á é 0 p 30 Logo entre bc e t a há uma rotação de íase que vale 120 0 p 30 ç 90 Se a carga for indutiva teremos 0 p 90 e portanto cos q 90 0 Caso a carga seja capacitiva teremos 90 p 0 e portanto cos p 90 0 a leitura do wattímetro então será negativa Porém se tomarmos a rotação de fase entre VCB e a corrente l A teremos 0 60 d q 30 q 90 92 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA e então cos p 90 0 Em conclusão ligandose um wattímetro com a bobina amperométrica inserida na linha e a voltimétrica entre as fases B e C sua leitura será W V I cos ângulo entre ÊBC e 1A e a leitura será positiva no caso de carga indutiva e negativa no caso de carga capacitiva Neste último caso invertendose a ligação da bobina voltimétrica a leitura passará a ser positiva A potência reativa fornecida à carga será o produto do valor lido no wattímetro por J 3 Evidentemente chegaremos às mesmas conclusões inserindo a bobina amperométrica na fase B C e a voltimétrica entre as fases C e AA e b Na Fig 153 está representado o esquema de ligação do wattímetro e o diagrama de fasores supondo carga indutiva e capacitiva ligada em estrela com a indicação das grandezas lidas pelo wattímetro Deixamos ao leitor o desenvolvimento para o caso de seqüência de fase inversa Figura 153 Esquema de ligação de um wattímetro para a determinação da potência reativa CIRCUITOS TRIFÁSICOS 93 169 POTÊNCIA REATIVA EM TRIFÁSICOS QUAISQUER Para a determinação da potência reativa utilizamos o varmetro que basicamente é um wattímetro no qual a resistência multiplicadora da bobina voltimétrica seja substituída por uma indutância de modo que a corrente que percorre essa bobina esteja em quadratura com a tensão aplicada Analogamente a quanto foi feito na determinação da potência ativa o teorema de Blondel pode ser estendido para a medida de reativos Assim seja um trifásico a três fios com a carga ligada em estrela A potência complexa fornecida à carga é dada por v r v t a v t porém tratandose de sistema a três fios com carga em estrela obrigatoriamente 1a h h 0 Logo Á 1a h e portanto A N c y 1 a B N I c w 1 b Porém sendo V V V r A N v C N v A C V V V r BN r CN BC resulta ou seja rA P V B C 1 B P SReJ yie VK Vt VK Q 3 m y 3 m f AC t V Portanto determinamos a potência reativa fornecida à carga pela soma algébrica das leituras em dois varmetros um ligado com a bobina amperométrica na fase A e a voltimétrica entre as fases A e C e o outro com a amperométrica na fase B e a voltimétrica entre as fases B e C Fig 1 5 4 94 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Analogamente no caso de carga em triângulo resulta Porém logo e portanto Mas p r v r ri r r AB 1 AB r BC 1 BC T V CA i CA r o 4 5 B C c a s bc lie rM Ve i vCA r r r 1 BC 1 AB 1 B V T T 1 AB l CA 1 A V V CA v AC e então S rÁ vK n chegandose às mesmas conclusões do caso anterior Qi Figura 154 Esquema de ligação de dois varmetros CIRCUITOS TR1FÁSIC0S 95 1610 DETERMINAÇÃO DE POTÊNCIA ATIVA E REATIVA EM TRIFÁSICOS SIMÉTRICOS E EQUILIBRADOS COM CARGA EQUILIBRADA Em trifásicos simétricos e equilibrados com carga equilibrada podemos determinar a potência ativa e a potência reativa respectivamente utilizando um wattímetro e um varmetro ligados com as bobinas amperométrica s inseridas numa das fases e com as voltimétricas medindo tensão de fase Porém nem sempre é possível ter acesso a uma das fases e portanto utilizamos o método que veremos a seguir Para a potência ativa numa carga que suporemos ligada em estrela mesmo que estivesse ligada em triângulo nós a substituiriamos pela estrela equivalente inserimos a bobina amperométrica numa das fases e a voltimétrica entre aquele ponto e um centroestrela artificial sendo que a leitura no wattímetro corresponde à potência absorvida por uma fase da carga De fato para obtermos um centroestrela artificial é suficiente ligar aos três fios da linha uma carga constituída por três impedâncias iguais ligadas em estrela Evidentemente sendo o trifásico simétrico e equilibrado com carga equilibrada o centroestrela da carga e o neutro artificial estão ao mesmo potencial Logo a bobina voltimétrica mede a tensão de fase da carga e a amperométrica mede a corrente correspondente Salientamos que para obter o centroestrela artificial a resistência multiplicadora da bobina voltimétrica é um dos ramos da estrela bastando ligar a esta duas outras resistências iguais Fig 155 Para a potência reativa procedese do mesmo modo utilizando para a obtenção do centro estrela duas indutâncias iguais à da bobina voltimétrica O P Figura 155 Esquema de ligação de wattímetro e varmetro utilizando neutro artificial 17 REPRESENTAÇÃO DE REDES TRIFÁSICAS POR DIAGRAMA UNIFILAR Ao representarmos as redes trifasicas ao invés de desenharmos os três fios da rede e o fio de retorno quando existir preferimos utilizar o diagrama unifilar no qual desenhamos um único fio e indicamos o modo de ligação dos geradores cargas transformadores etc 96 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Na Tab 12 estão representados os principais símbolos utilizados em diagramas uniiilares Na Fig 156 está representado o diagrama unifilar e o circuito trifâsico de uma rede Tabela 12 Símbolos utilizados em diagramas uniiilares Elemento ligado em estrela com centroestrela isolado Elemento ligado em estrela com centroestrela solidamente aterrado Elemento ligado em estrela com centroestrela aterrado por impedância ZN Elemento ligado em triângulo Barramento número 007 MT 00 1 Linha entre barramentos 007 e 008 Gerador A Transformador de dois enrolamentos A A À Transformador de três enrolamentos Disjuntor CIRCUITOS TRIFÁSICOS 91 Figura 156 Representação de redes por diagramas unifilares a Diagrama uni filar b Diagrama trifilar 98 INTRODUÇÃO  SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 18 MODELOS PARA REPRESENTAÇÃO DA CARGA 181 INTRODUÇÃO Em todos os itens anteriores representamos a carga equilibrada ou desequilibrada por um conjunto de impedâncias complexas Z R jX constantes Na realidade a potência absorvida por uma carga depende de sua natureza e pode variar em função da tensão a da aplicada No caso geral teremos PF A Vf Qf A VF em que PF potência ativa absorvida pela carga por fase Qf potência reativa absorvida pela carga por fase VF tensão de fase aplicada à carga f Vf A VF liçõ es que relacionam as potências ativa e reativa ao módulo da tensão aplicada Existem vários modelos para a representação do comportamento da carga em função da tensão aplicada dentre os quais destacamos cargas de corrente constante com a tensão cargas de potência constante com a tensão cargas de impedância constante com a tensão cargas constituídas por composição dos modelos anteriores Na Fig 157 apresentamos a variação da potência absorvida em função da tensão para os modelos de corrente potência e impedância constantes com a tensão Figura 157 Potência absorvida em função da tensão aplicada à carga CIRCUITOS TRIFÁSICOS 99 182 CARGA DE CORRENTE CONSTANTE COM A TENSÃO Para as cargas que podem ser representadas por este modelo permanecem constantes o módulo da corrente absorvida e seu fator de potência Estes valores são obtidos a partir das potências ativa e reativa absorvidas pela carga quando alimentada com tensão nominal Assim sendo SNF SNF jp PNF Qnf potência absorvida com tensão nominal VNF VNF 6 resulta para a corrente nf i y V m P em que o módulo da corrente INF SNFIVNF e o fator de potência ouq permanecem constantes Para qualquer valor de tensão VF VF 0 aplicada à carga a nova corrente será jtr Itff I i Ç e a potência absorvida será dada por F VF 1F VF f lj jxp Ô p VF VF INF cos p j VF l NF sen p ou seja a potência absorvida pela carga varia linearmente com a tensão a ela aplicada 183 CARGA DE POTÊNCIA CONSTANTE COM A TENSÃO Para as cargas que podem ser representadas por este modelo permanecem constantes as potências ativa e reativa iguais aos seus valores nominais ou seja SNF NF p Psf Qnf potência absorvida com tensão nominal constante Neste caso a corrente absorvida pela carga quando alimentada com uma tensão qualquer VF VF é obtida por h SffF p jfli P Vf Mi 100 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ou seja a corrente absorvida é inversamente proporcional à tensão aplicada 184 CARGA DE IMPEDÂNCIA CONSTANTE COM A TENSÃO Neste modelo a impedância da carga mantémse constante e é obtida a partir das potências ativa e reativa absorvidas pela carga quando alimentada com tensão nominal Assim sendo SNF SNF p PNF Qnf potência absorvida com tensão nominal PNF VNF 0 resulta para a impedância Para qualquer valor de tensão VF VF aplicada à carga a potência absorvida será dada por ou seja a potência absorvida pela carga varia quadraticamente com a tensão a ela aplicada 185 COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS DE REPRESENTAÇÃO DA CARGA Para analisarmos a influência dos modelos utilizados para a representação da carga vamos resolver o sistema simétrico e equilibrado apresentado na Fig 158 considerando a carga equilibrada representada pelos três modelos anteriormente apresentados Conhecemos a tensão de linha nos terminais do gerador 380 V a resistência 02 Q e a reatância indutiva 04 q de cada fio da linha vamos desprezar as indutâncias mútuas os dados nominais da carga tensão de linha 380 V e potência 27000 W cosq 09 indutivo em que x V sen p A7T7 N F CIRCUITOS TRIFÁSICOS 101 Figura 158 Circuito para a comparação entre os modelos de carga a Carga modelada por impedância constante Neste caso a solução é bastante simples Sendo 27000 W a potência ativa total o seu valor por fase será igual a 9000 W e a potência aparente por fase igual a 900009 10000 VA A impedância da carga por fase será dada por V 2 v 2 7 NF rffF c P ç P 2202 10000 arc cos 09 484 584 4356 72109 Q e a corrente será 22010 Zc 02 704 4356 72109 423012884 A Finalmente a tensão nos terminais da carga será VAN IA ZC 423012884 48412584 20473j3 V e a potência absorvida pela carga por fase será SF VF I 20473 j3 4230 2884 866012584 b Carga modelada por potência constante Neste caso a solução não é trivial pois a corrente absorvida pela carga depende da tensão a ela aplicada e este valor não é conhecido Vamos encontrar a solução de forma iíerativa utilizando o seguinte procedimento 102 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA i adotamos inicialmente a tensão nos terminais da carga igual à tensão nominal do sistema ii calculamos a corrente absorvida pela carga iii calculamos a queda de tensão na rede e o novo valor da tensão nos terminais da carga iv verificamos a diferença entre o novo valor da tensão na carga e o valor anteriormente utilizado se esta diferença for suficientemente pequena a solução do problema foi encontrada caso contrário retornamos ao passo ii Aplicando este procedimento teremos cálculo do valor inicial da corrente 4 s f 10000 2584 v Vwo t 220 0 J 454512584 A cálculo do novo valor da tensão nos terminais da carga VAm ZL ÍA0 22010 02 j04 4545 2584 20427 348 V cálculo do novo valor da corrente í S f 1 í 10000 2584 120427 348 J 4895 12932 A cálculo do novo valor da tensão nos terminais da carga w2 VAN Z L ÍAX 220 0f 02 j04 4895 2932 202251348 V cálculo do novo valor da corrente V f 10000 2584 V I42 v V r ÁN2 7 V 20225 348c 4944 12932 A cálculo do novo valor da tensão nos terminais da carga VAm V AN ZL IA2 220 02 704 494412932 20208j352 V Como a diferença entre VAN e VANi é pequena podemos aceitar a solução ÊÁ N 202081352 V CIRCUITOS TRIFÁSICOS 103 e então A 10000 j2S84 Y 202081352 4949129360 A Vamos comprovar que a potência absorvida pela carga permaneceu constante Assim 5f VF 1F 202081352 4949 2936 100002584 9000 7 4359 VA c Carga modelada por corrente constante Neste caso utilizaremos o mesmo procedimento anterior pois embora o módulo da corrente se mantenha constante a sua fase fica indeterminada pois depende da fase da tensão nos terminais da carga para a manutenção do fator de potência Assim teremos cálculo do valor inicial da corrente w SF f 10000 25840l v y rAWQ t 22010 J 45452584 A 4 p 0oj 50 0 2584 2584 cons tem te cálculo do novo valor da tensão nos terminais da carga Am ZL l Jm 220 02 044545125H4 20427348 V cálculo do novo valor da corrente ângulo de fase para a manutenção do fator de potência ô 1 01 p 3482584 2932 então ÍA1 454512932 A cálculo do novo valor da tensão nos terminais da carga VAm ZL 1AX 2200 02 704 454512932 20349321 V cálculo do novo valor da corrente ângulo de fase para a manutenção do fator de potência 104 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 52 2 3212584 2905 então 1A2 4545290S A cálculo do novo valor da tensão nos terminais da carga VAm V a 2 l 1a2 22010 02 70445452905 203551323 V Como a diferença entre e ÊA2 pequena podemos aceitar a solução VAV 203551323 V e então IA 45451323 2584 454512907 A e a potência absorvida pela carga por fase será SF VF 20355 323 454512907 9252 2584 VA Na Tab 13 apresentamos os resultados obtidos considerando os três modele Podemos observar que no tocante à tensão nos terminais da carga os valores obtidos pela utilização dos três modelos para a representação da carga podem ser considerados suficientemente próximos para a maioria das aplicações práticas Cem relação à potência absorvida pela carga observamos que no modelo de potência constante a potência absorvida por fase mantevese constante e igual ao valor nominal no modelo de impedância constante a potência absorvida variou com o quadrado da tensão ou seja no modelo de corrente constante a potência absorvida variou linearmente com a tensão ou seja CIRCUITOS TR1FÁSICOS 105 Tabela 13 Comparação entre os modelos Modelo Impedância constante Potência constante Corrente constante 0 20473130 20208 1352 2035513230 h A 423012884 494912936 454512907 sF rM iA v a 8660 10000 9252 BIBLIOGRAFIA ORSINI LQ Curso de circuitos elétricos São Paulo Fdgard Blücher 19934 2v MASSACHUSETTS INST1TUTE OF TECHNOLOGY Electric circuits New York John Wiley 1943 KERCHNER RM CORCORAN GF Circuitos de corrente alternada Porto Alegre Globo 1968 FALLETT1 N Transmissione e distribuzione delTenergia elettrica Bologna Riccardo Pàtron 1956 BARTHOLD LO REPPEN ND HEDMAN DE Análise de circuitos de sistemas de potência Santa Maria UFSM 1993 Curso de Engenharia em Sistemas Elétricos de Potência Série PTI 1 2 Valores Percentuais e Por Unidade 21 INTRODUÇÃO Os valores percentuais e os valores por unidade também chamados de valores pu correspondem a uma mudança de escala das grandezas principais em sistemas elétricos tensão corrente potência e impedância Como veremos tal mudança facilita sobremaneira o cálculo de redes especiaímente quando existem transformadores nos sistemas em estudo Inicialmente apresentamos as definições de valores percentuais e valores por unidade Em seguida desenvolvemos a representação de máquinas elétricas em valores pu tais como transformadores de 2 ou mais enrolamentos e máquinas rotativas Posteriormente estudamos a representação de transformadores com relação de transformação em pu diferente de 11 a qual permite considerar os casos de choque de bases quando há fechamento de malha na rede elétrica em determinadas circunstâncias e de transformadores com comutador de variação íap changer Na parte correspondente às aplicações de valores pu analisamos em detalhe os circuitos trifasicos simétricos com carga equilibrada Ao fim do capítulo apresentamos uma discussão em perspectiva considerando as vantagens de utilizarmos valores pu em sistemas de potência Os valores percentuais e por unidade pu ou ainda normalizados correspondem simplesmente a uma mudança de escala nas grandezas principais tensão corrente potência e impedância Para relacionarmos o módulo dessas quatro grandezas elétricas em circuitos monofásicos dispomos de duas relações físicas independentes Por esta razão ao trabalharmos com valores pu devemos sempre definir duas grandezas fundamentais dentre as quatro grandezas atribuindolhes correspondentes valores que designaremos por valores de base Os valores de base para as duas outras grandezas grandezas derivadas resultam imediatamente das relações acima Assim por exemplo se fixarmos valores de base para tensão e potência qualquer outra tensão ou potência será expressa como uma percentagem valor percentual ou uma fração dessa grandeza valor pu Formalmente temos 22 DEFINIÇÕES V z S V 2 1 22 VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 107 y Vx Assim uma tensão qualquer V é expressa por v 100 base V v pw ias Analogamente uma potência qualquer S é expressa por v percentual v por unidade s s 100 s percentual base s S ç òbas PU 5 por unidade Para corrente e impedância teremos em vista das Eqs 21 e 22 os seguintes valores de base hait base V V2 base base base base Analogamente qualquer corrente ou impedância será expressa por Z 7 PU z 1 0 0 2 base jL VL c I Vbas pu i 100 i bast Sbase c EXEMPLO 21 Calcular no circuito da Fig 21 a tensão necessária no gerador para manter a tensão na carga em 200 V Sabemos que a carga absorve 100 kVA com cos p 08 indutivo e que a impedância da linha é 0024 j0080 fí SOLUÇÃO a Valores de Base Fixaremos como valores de base o valor da potência aparente absorvida pela carga e o da tensão na carga isto é S 100 kVA 105 VA Vbase 200 V 108 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 00240080 j j s 1 Figura 21 Circuito para o Ex 21 As bases para a corrente e a impedância sâo dadas por base base base bate V2 base base 100 103 200 4104 105 500 04 Q A íbl Resolução do Circuito Temos logo isto é S V l S V I V I base base base base S V I Em tudo o quanto se segue as letras minúsculas indicarão o valor da grandeza em por unidade Logo i s v S S V V base base 1 PU Adotaremos a corrente na carga com fase zero isto é i 110 1 jO pu Como o fator de potência da carga é 08 indutivo ou seja q 369 resulta VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 109 v v p 1 369 p u A tensão no gerador é dada por È V Z dividindo ambos membros por Zw w resulta F Z isto é sendo Logo V V I Z base base base base è z Z 0024 70080 00835 733 Q 7 OOSS z J733 02091733 pu Z 04 1 ou 2 Z 0024 008 0060 y0 200 p U base 04 04 Portanto è 1 369 10 0209 j733 isto é è 1 08 706 10060 70200 0860 70800 1175 429 pu Exprimindo è em volt teremos È è 1175 429 200 235 429 V c Diagrama de Fasores Na Fig 22 construímos o diagrama de fasores adotando como escalas 1 cm 65 V 1 cm 150 A 110 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA IX Figura 22 Diagrama de fasores para o Ex 21 Passamos para o diagrama de fasores em valores por unidade fixando as escalas 65 Tensão 1 cm 0325 p u 200 150 Corrente 1 cm 03 pu 500 EXEMPLO 22 Um gerador alimenta uma carga por meio de uma linha Sabendose que 1 a tensão no gerador é 220 V 60 Hz 2 a carga é de impedância constante e absorve 10 kW fator de potência 07 indutivo quando alimentada por tensão de 200 V 3 a impedância da linha é 128 y080 Q a a tensão na carga b a potência fornecida pelo gerador c a capacitância de um capacitor ligado em paralelo com a carga que torne unitário o fator de potência do conjunto carga capacitor d a tensão na carga e a potência fornecida pelo gerador após a correção do fator de potência e diagrama de fasores do circuito SOLUÇÃO a Tensão na carga Adotaremos os seguintes valores de base A potência ativa absorvida pela carga quando alimentada por tensão de 200 V expressa em por unidade vale pedimos base 200 V e Sbase 10 kVA VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 111 Além disso 200 v 1 p u 200 Sendo P VI cos q dividindose ambos membros por Sto resulta P VI cos tp V I P base base base base cos p v í cos p logo a corrente na carga para tensão de 200 V é dada por P 1 i v cos p 1 07 Portanto o módulo da impedância é dado por 1429 pu z V Ibase I v 10 1429 07 p u O fator de potência da carga é 07 indutivo Portanto sendo sen arc cos 07 0714 resulta z 070700 70714 0490 70500 07001456 p u Para calcular a corrente fornecida pelo gerador temos zf e sendo 128 7080 104 2002 0320 70200 p u z zL 0810 70700 1071 408 p u 220 é 1 uooo pu resulta 1100 jO 1071 408o 1027140 pu i 112 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Finaimente a tensão na carga é dada por í tz 1027 408o 07001456 07194 pu b Potência fornecida peio gerador Antes da correção do fator de potência temos na carga e no gerador as potências j e iG cujos vaiores são s v í 0719 j4 10271408 0738 456 0516 0527 p u sG è í 11 jO 10271408 U 3 0j40 0855 y0738 pu c Correção do fator de potência da caraa Alimentandose a carga com 200 V esta absorve potência reativa dada por q p tan p 10 tan 456 10 1021 1021 p u Como queremos que o fator de potência da carga seja unitário devemos ligar em paralelo um banco de capacitores que absorva potência reativa qc dada por qc 1021 p u que corresponde a uma capacitância de ôcl C base 1021 104 V2o V2a 677 pF 200 2r 60 A potência complexa para tensão de 200 V passará a ser s p jq j q c p j0 10 p u ou seja com tal tensão absorverá a corrente B io Pu V COS j 10 10 Finalmente a impedância da associação em paralelo da carga com os condensadores vale z r 10 jO pu d Tensão na caraa e potência fornecida pelo gerador após a correcão do fator de potência Temos após a correção do fator de potência VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 113 donde Portanto Z Zj 10 0320 y0200 ê 1100 0 2 VL 1335 í86 1320 y0200 1335 8 0824 86 pu f iz 0824 86 10 jO 0824 86 pu Após a correção do fator de potência os valores de potência complexa na carga e no gerador passam a ser j ví 0824 86 0824 186 0679 yO p u rG èi 11 0 0824186 0906 86 0896 y013 5 pu e Diagrama de fasores Na Fig 23 está representado o diagrama de fasores do circuito a Diagrama de fasores antes da correção do fator de potência e b Diagrama de fasores após a correção do fator de potência Figura 23 Diagrama de fasores para o Ex 22 Cem relação à fixação de valores de base para a potência destacamos que só é possível fixar valores de base para a potência aparente S e não para as potências ativa P ou reativa Q Suponhamos apenas para efeito de demonstração que valores e tenham sido fixados para as potências ativa e reativa respectivamente em lugar de um valor de base para a potência aparente Como vimos nos exemplos anteriores as grandezas fundamentais e derivadas têm que estar associadas pelas relações físicas existentes Assim neste caso poderiamos determinar o valor de base para a potência aparente pela seguinte relação 114 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 4pL QL 23 Suponhamos ainda que queremos determinar o valor em pu de uma potência aparente S que foi obtida através de S yF2 e 2 Evidentemente em pu o valor procurado será P2 Q2 k L q l Jp2 2 o qual seria o resultado desejado para que a Eq 23 pudesse ser usada também em pu Assim concluímos que a maneira de resolver este problema é fixar uma base para a potência aparente e trabalhar com os valores pu de potências aparentes ativas e reativas referidos a essa base Finalmente destacamos que em sistemas de potência é usual empregarse o valor 100 MVA para a base da potência aparente Como veremos este valor permite obter valores convenientes para as bases de corrente e impedância tendose em vista os valores habituais de tensão nominal dos sistemas reais s S J p 2 g 2 q l o qual no caso geral não é igual a pbw Q Qbax 23 REPRESENTAÇÃO DE MÁQUINAS ELÉTRICAS EM VALORES POR UNIDADE 231 TRANSFORMADORES De acordo com as normas técnicas os fabricantes de transformadores devem especificar os seguintes valores que são conhecidos como valores nominais dados de chapa ou ainda valores de plena carga do transformador VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 115 1 Potência aparente nominal SH que é a potência com a qual a elevação de temperatura do transformador quando em funcionamento contínuo não excede determinado valor 2 Tensão nominal do enrolamento de alta tensão 3 Tensão nominal do enrolamento de baixa tensão VNB 4 Impedância equivalente ou de curtocircuito percentual ou por unidade z Acerca da definição de tensão nominal observamos que uma das duas é a tensão primária para a qual o transformador foi projetado e a outra é a tensão nos terminais do secundário do transformador na condição de vazio quando é alimentado com tensão primária nominal Salientamos que por definição o enrolamento primário é o que recebe energia da rede de alimentação e o secundário é aquele em que a tensão é induzida Logo é o enrolamento secundário que fornece energia a jusante do transformador Convencionouse que os valores de base para determinação da referida impedância equivalente em pu do enrolamento de alta tensão fossem VNA e SN e para o enrolamento de baixa tensão VNB e S jf Conforme veremos a seguir com esses valores de base a impedância equivalente referida ao primário ou ao secundário em pu tem o mesmo valor Sabemos que um transformador pode ser representado por um circuito equivalente Fig 24 constituído por uma impedância em paralelo com os terminais de entrada impedância em vazio e uma impedância impedância de curtocircuito em série com um transformador ideal com relação de espiras igual à relação das tensões nominais Figura 24 Circuito equivalente de um transformador monofásico Evidentemente o circuito ligado ao primário do transformador independe eletricamente do circuito ligado ao secundário Portanto poderemos fixar valores de base quaisquer para o primário e secundário Nessas condições devemos colocar a seguinte questão existirão valores de base convenientemente escolhidos para o primário e o secundário que tomem em pu o transformador ideal num transformador ideal com relação de espiras 11 Sendo a resposta afirmativa o tratamento da rede será bastante simplificado pois pela escolha conveniente das bases poderemos omitir o transformador ideal reduzindo o circuito entre os pontos P e Q às impedâncias de vazio e de curtocircuito 116 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Para respondermos à questão proposta suponhamos ter um transformador com valores nominais VNA VNB e SN no qual o enrolamento de alta tensão coincide com o primário e adotemos para o primário e secundário valores de base S e S respectivamente Fig 25 Aplicando ao primário do transformador ideal uma tensão Vx teremos no secundário uma tensão V2 cujo valor é V V2 Vx 2 Vt V Ví K P Qr c Circuito equivalente Sl S b Transformador em pu a Transformador real Figura 25 Representações de um transformador em valores pu Exprimindo essas tensões em pu teremos V v i tensão aplicada ao primário era pu base V V 1 v V tensão secundária em pu 1 IA TJTl VL V V NA base Como queremos que a relação de espiras em pu seja 11 deverá ser v v Logo devemos ter r m v V V base NA base donde VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 117 A Eq 24 nos diz que se fixarmos os valores de base da tensão no primário e no secundário na relação das espiras do transformador as tensões primárias e secundárias em pu serão iguais No tocante à potência complexa suponhamos que o primário esteja absorvendo potência e o secundário esteja fornecendo S2 Ora como se trata de um transformador ideal será s s Logo em pu para que seja deverá ser e b a st ba 25 A Eq 25 mostra que para termos cm pu potências iguais no primário e secundário as bases de potência S e S deverão ser iguais Passemos a verificar se em pu as correntes primária e secundária e também se uma impedância referida ao primário e ao secundário são iguais Assim seja Ix uma corrente que está circulando no primário do transformador ideal Sendo NA e NB o número de espiras dos enrolamentos primário e secundário para que haja conservação de energia deverá ser À N bK ou seja N V I2 i u I s l X b Vnb Os valores de base das correntes primária e secundária são J base 1 base Tr C SL s vNA j t base base NA iass V V V base base NB Ibase NB Portanto as correntes Ix e I2 cm pu valem 118 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA h A K O A h JL ou seja em pu com os valores de base fixados pelas Eqs 24 e 25 as correntes primária e secundária são iguais Para as impedâncias observamos que uma impedância Z ligada em série no primário do transformador ideal é equivalente a uma Z2 ligada em série com o secundário desde que seja A2Zi Zj ou Para exprimir tais impedâncias em pu observamos que as bases de impedâncias no primário e secundário são e Logo VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 119 Podemos pois concluir que quando os valores de base adotados para o primário e para o secundário de um transformador obedecem às Eqs 24 e 25 em pu este é representado por um transformador com relação de espiras 11 Fig 25 1 2 EXEMPLO 23 Um transformador monofásico de 138 kV 138 kV 500 kVA e 60 Hz foi submetido aos ensaios de vazio e curtocircuito obtendose 1 Ensaio de vazio Alimentação com tensão nominal pela baixa tensão Corrente absorvida 2 A Potência absorvida 12 kW 2 Ensaio de curtocircuito Alimentação pela alta tensão com corrente nominal Tensão de alimentação 106 kV Potência absorvida 15 kW Pedimos a os valores das impedâncias de vazio e de curtocircuito b o circuito equivalente do transformador em pu SOLUÇÃO a Impedâncias de vazio e de curtocircuito Adotaremos para o enrolamento de alta tensão 138 kV e S 500 kVA Os valores de base para o enrolamento de baixa tensão serão VLe Vbase 138 44 138 k V 138 SL 500 kVA Para o ensaio de vazio Fig 26 temos Vm 138 v0 1 pu VLe 138 2 V L 2 p i base SL 2 138lü3 r 00552 pu 500 103 y Po 0024 pu 500 Logo teremos 120 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA C O S q 0 Po 024 v00 1 00552 0435 donde sen p0 0900 Portanto i h sen Po 00552 0900 00497 p u ip i0 cos p0 00552 0435 00240 p u Finalmente X m 4 r 1 II p 1 00497 1 00240 20121 pu 41667 p u w p t V rPC 3 v2 b Diagrama de fasores a Circuito equivalente Figura 26 Circuito para ensaio de vazio do Ex 23 ou na forma de admitância donde vgp jbm 4 gp 00241 pu bm 00497 pu Os valores dessas impedâncias referidos ao enrolamento de alta e baixa tensão são 1382 106 X xmZhaM a 20121 S 500 103 7664 k n VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 121 L mb mbase base Rpa rp 41667 ò base r 41667 pbase base 1382 106 500 103 1382 106 500 103 1382 106 500 103 7664 Afi Para o ensaio de curtocircuito Fig 27 temos 106 106 138 v 00768 p u base N A j bate íM i lcc l NA Z T 1 P U Pcc r base 15 base NA 15 500 0030 pu Portanto z 00768 00768 pu 768 cc 10 II 4 II k 0030 pu 3 hc 10 Xcc 4 Zi Vo07682 0032 00707 pu r lcc x t 1 icc b Diagrama de fasores Figura 27 Circuito para ensaio de curtocircuito do Ex 23 Esses valores em ohm referidos à alta e baixa tensão sáo V2 i a2 io6 Z z 00768 29252 Q cc s 5 0 0 1 0 3 V2 1 a a2 i ft6 Z z 00768 3 Le 500 103 29252 n 122 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA K rt R b rccZ L e rc base 0030 V 1 2 0030 base 1382 106 500 IO3 4 5 1382 106 500 IO3 11426 a 11426 Q a X ecZ base b X ccZ base X c base 00707 1 base base SLe 00707 1382 106 500 IO3 1382 IO6 500 IO3 26928 Q 26928 Q b Circuito equivalente do transformador em pu Na Fig 28 está representado o circuito equivalente com as impedâncias referidas à alta e à baixa tensão e em pu 11426 Q J26928Q 11426 2 j26928 Q 003 pu jO0707 pu 15870 k2 j7664kQ V2 DO 15870kQ j7664 k2 41667 pu j20121 pu a Valores referidos à alta b Valores referidos à baixa c Valores em pu Figura 28 Circuito equivalente para o Ex 23 EXEMPLO 24 Um gerador monofásico alimenta por meio de uma linha um transformador o qual alimenta por outra linha uma carga Fig 29 São conhecidas 1 a impedância da linha que liga o gerador ao transformador 2 4 Q 2 a impedância da linha que liga o transformador à carga 290 970 Q 3 a potência absorvida pela carga 1 MVA fator de potência 08 indutivo 4 a tensão aplicada à carga 200 kV 5 os dados de chapa do transformador 138 220 kV 15 MVA req 3 e xtq Pedimos determinar tensão corrente e potência em todos os pontos do circuito Figura 29 Circuito para o Ex 24 VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 123 SOLUÇÃO Adotaremos para o primário do transformador y vna 138 kV e S SN 15 MVA Para o secundário teremos V L 133 220 SL U AK4 Na Fig 210a representamos o circuito equivalente ao dado no qual substituímos o transformador real pela associação de sua impedância equivalente com um transformador ideal com relação de espiras 138220 Trabalhandose em valores por unidade com as bases fixadas obedecendo às Eqs 24 e 25 o transformador real resulta reduzido a um transformador com relação de espiras 11 obtendose o circuito da Fig 21 Ob no qual o transformador ideal foi omitido a Circuito equivalente A rt x B r x C rí x D b Circuito equivalente em p u Figura 210 Circuito equivalente para o Ex 24 A tensão e a potência na carga em por unidade são Logo Adotandose vm 009 pu m 220 y 10 s 0667 pu 15 F s 0667 t 0734 pu vm 0909 F i0 07340 pu fW 0909 arc cos 08 0909 369 0727 y0546 pu resulta 124 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA A impedância da linha CD é 290 7970 15 106 2202 106 00090 700301 pu A impedância da linha AB é 2 4 15 106 1382 106 00158 700315 pu A impedância equivalente do transformador é 003 7008 p u Temos pois cn dn 727 J546 073400090 0030l vCjV 0734 J 0568 0928 377 p u iz z j 0727 70546 073400390 701 lOl m 0756 70627 0982 39T pw v m z 0727 70546 073400548 701416 0767 70650 1005 403 p u As potências fornecidas pelo gerador e pelo transformador são dadas por sA 1005 403 0734 jO 0738 403 pu sB 0982 397 0734 J0 07211397 pu sc 09287073410 0681 J37T pu Os valores de tensão corrente e potência em valores nãonormalizados são Van a n L i005 40Z U 8 13869 J40 kV ysN V 0982 39 138 13552 39 kV VCN vCN V t 0928 1377 220 204160 ft77 k V ynN vm 0909136 220 199980 J36 kV Corrente no gerador L 0734 0 l I 5 l base 1 11 138 79783 J0 A VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 125 Corrente na carga Potências ILse 0734 0 15 103 220 5005jO A SA 15 0738 403 1107 403 0844 0716 ME4 15 0721 397 1082 PÇT 0832 0691 MVA 5C 15 0681377 1022 37P 0809 0625 MVA 232 MÁQUINAS ELÉTRICAS ROTATIVAS Tratandose de geradores o fabricante fornece a potência aparente nominal a tensão nominal a freqüência e as impedâncias subtransitória transitória e de regime expressas em por unidade adotando como valores de base os nominais da máquina EXEMPLO 25 Um aftemador monofásico de 100 MVA 138 kV tem reatânda transitória de 25 Pedimos o valor dessa reatância em ohm SOLUÇÃO X XZbase V2 13 Jt2 Lè o25 0476 Q 100 Tratandose de motores o fabricante especifica a potência mecânica disponível no eixo a tensão nominal e as reatâncias adotando como valores de base a tensão nominal e a potência aparente absorvida pela máquina quando está fornecendo a potência mecânica nominal EXEMPLO 26 Um motor síncrono de 1500 cv 600 V x 10 funciona a plena carga com fator de potência unitário e tem rendimento de 895 Pedimos o valor em ohm da reatância SOLUÇÃO Sendo 1 cv 0736 kW resulta S rj cos p 1500 0736 0895 1 1234 KVA Logo 126 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA X V2 010 base 6002 1234 103 00292 n 233 TRANSFORMADORES MONOFÁSICOS COM MAIS DE DOIS ENROLAMENTOS 1 Equacionamento de transformador com dois enrolamentos Iniciaremos por equacionar um transformador monoíàsico a partir das impedâncias próprias dos enrolamentos e comuns entre eles Assim seja um transformador monofasico com dois enrolamentos Fig 211 cuja polaridade está indicada por um ponto lembramos que para correntes entrando e saindo simultaneamente pelos terminais assinalados corresponderão fluxos concordes produzidos pelos enrolamentos conforme Capítulo 1 Figura 211 Transformador monofasico de dois enrolamentos Assim teremos vi i at dj2 V 2 i R2 dt em que v tensão aplicada ao enrolamento i 12 VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 127 i corrente no enrolamento 4t fluxo concatenado com o enrolamento i R resistência do enrolamento Por outro lado sendo Ai A2 indutância pruria do enrolamento 1 indutância pruria do enrolamento 2 indutância mútua entre os enrolamentos 1 e 2 os fluxos concatenados serão expressos por 1 A 11 u h 02 222 Sabemos que as indutâncias próprias e mútuas não permanecem constantes com as variações de corrente pois sendo N número de espiras do enrolamento SR relutância do circuito magnético resulta para a indutância L a expressão e sendo o circuito magnético não linear sua relutância varia com a corrente Porém com aproximação suficiente para os casos usuais podemos considerar aqueles parâmetros constantes admitindo que estejamos operando na faixa linear da curva B ff ou seja Supondo a excitação senoidal e 0 circuito linear poderemos escrever as equações acima fasorialmente V 7 7 t 26 em que 128 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 22 22 J22 22 jfflMjj jOM2 j A impcdância mútua é puramente indutiva uma vez que desprezamos as perdas no ferro Com matrizes as Eqs 26 tornamse X 12 X A Z21 Ãl2 X 27 As Eqs 26 podem representar uma infinidade de circuitos sendo que na Fig 212 está representado um dos circuitos possíveis h 2 Figura 212 Circuito equivalente para transformador Suponhamos alimentar o enrolamento 2 com tensão V2 e manter o enrolamento 1 em circuito aberto isto é Ix 0 Das Eqs 26 resulta 7 I r j2I 2 V Z I 2 z22f2 Zl f Z12 C Z h Z2 2 Z12 A l 1I2 2ia T ou seja t n K coMn V 2 122 22I donde VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 129 Porém nos transformadores normalmente utilizados em sistemas de potência as resistências dos enrolamentos são muito menores que as reatâncias próprias isto é oLu Rü i 12 donde 12 X1 OiL Eyy 28 Salientamos que a relação entre a indutância mútua e a própria é igual à relação entre as tensões primária e secundária na condição de vazio isto é representa a relação de espiras r do transformador Levandose em conta a Eq 28 podemos modificar as Eqs 26 conforme segue ou ou ainda M l M22 t A AiA 7 A 7 A 12A M 2 r m 2 Al 7 Ai A j d M j V A2 i fcT f A Ai 70 Ai M Y 22 J A 7 M A 22 V Finalmente resulta A r i w y Je y A i 2 1 1 V A V r 7 Além disso temos 130 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA V2 jOMnÍx Êl2 É Finalmente Em resumo as Eqs 26 transformamse em 29 As Eqs 29 podem ser representadas pelo circuito da Fig 213 o qual pode ser transformado no circuito aproximado da Fig 214 no qual a resistência r2 R12 foi colocada em série com R Evidentemente esse modelo é aproximado mas o erro que se comete ao utilizálo está dentro da faixa tolerável Para termos tensão V2 no secundário do transformador é suficiente associar em série com o circuito da Fig 214 um transformador ideal com uma relação de espiras r l Os parâmetros do circuito equivalente são determinados procedendose aos ensaios de vazio e curtocircuito Assim alimentando o transformador real pelo enrolamento 2 com o 1 em circuito aberto encontraremos uma impedância referida ao secundário dada por desprezandose as perdas no ferro Figura 213 Circuito equivalente VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 131 02 22 jCoL porém sendo resulta 02 oL2 02 jL22 I R 2Rz2 a TL i A ç a v qnw I1I2r V a Circuito equivalente M12 vwÔW Izr r 1Vr b circuito equivalente aproximado utilizando transformador ideal Figura 214 Circuito equivalente aproximado No circuito equivalente da Fig 214b teremos ao referirmos a impedância joi2L22 ao secundário Z02 jw r2L22 j J júl22 Portanto no ramo paralelo do circuito da Fig 214b poderemos substituir a impedância jor2L22 por r2Z02 Caso se queira levar em conta as perdas no ferro é suficiente ligar em paralelo com 132 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA jcor2 Lu uma resistência r1Rv2 que dissipe a mesma energia que o transformador real nas condições de vazio ou seja no ramo paralelo ligase uma impedância Z02r r Rm joiL22 Determinando a impedância do enrolamento 1 com o 2 ligado em curtocircuito obtemos f Mi ZcX RU M Al V L22 r Rn Portanto o transformador poderá ser representado pelo circuito equivalente da Fig 215 no qual Zci é a impedância de curto circuito referida ao enrolamento 1 e Z é a impedância de vazio referida ao enrolamento 2 Figura 215 Circuito equivalente ao transformador em função das impedâncias de vazio e curtocircuito 2 Equacionamento do transformador com n enrolamentos Passemos em seguida a equacionar um transformador com n enrolamentos Sejam V tensão aplicada ao enrolamento 1 2 w corrente no enrolamento Zy impedância mútua entre os enrolamentos i t j Z impedância própria do enrolamento Evidentemente as equações dos enrolamentos serão à V 4 Z J 2 Z j j z J ã 2 V Z 22 2 Z 2  V V Z j2 à v U VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 133 Sejam Sfcl Sb e Ifcp VM Vbj V6n as bases de potência e tensão para os enrolamentos 1 2 7 n Além disso sendo Zw e bi as bases de impedância e corrente para 0 enrolamento i 1 1 2 7 n teremos e dividindose 0 primeiro membro por Vbi e o segundo por Zww resulta 12 fc2 L In pn Znl l2 L L 7 1 7 I J 7 1 il fcl 61 itl i 2 V2 1 222 A 2 i2 h hj z A i2 z 2i 2 bl ln v 2 v J 7 I 1 7 I 7 1 bj lbj Hj lbj Lbj h v L l L í A i zta z in fcn ü Adotandose 7 V 7 ÍW fcí 210 como base para a impedância mútua entre 0 enrolamento i e 07 a base entre os enrolamentos 7 e i será Evidentemente para que Z Ztf deverá ser 1 11 1 h hi ou seja 134 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA w s vJ u v Até o momento não escolhemos nenhum valor particular para as bases e como é sabido podemos fixar convenientemente num valor duas das grandezas de base Adotamos inicialmente Sbj Sbi j i 7 1 Nessas condições as impedâncias mútuas expressas em pu continuarão a ser iguais isto é As equações dos enrolamentos tomamse h V 72i I22i2 z2E Zjl jih V nJl 7nÁ V y nJn que expressas em matrizes tomamse V 11 2 V 1 2 r2i z22 V 2 h tJ z z 1 A z jf i j V L A n2 V X 211 em que a matriz de impedâncias é simétrica Analogamente ao que foi feito com o transformador monofasico vamos relacionar as relações de espiras entre os enrolamentos com os parâmetros para tanto suponhamos alimentar o enrolamento 1 com os demais em vazio Resultará 0 e ij 0 j 2 n logo será VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 135 ou aLn rn J Zb J h J Al Lembrando que r isto é podemos desprezar a resistência do enrolamento face à reatância h üL Portanto será 21 z Mv 4 12 f zbl V Zb2l A V 11 JvM ijZbji Zn V jcaL Zbl vi Zm Ai V jú M Zm ZM 1 joL Zhx vi Zm A V 11 A fim de que todos os enrolamentos tenham em pu relações de espiras 11 é suficiente que adotemos X 1 i j i j 1 V Em outras palavras recaímos no caso já conhecido para fixação de bases para transformadores isto é para que a relação de espiras de um transformador seja 11 é necessário e suficiente que a base de potência seja igual para os dois enrolamentos e que as bases de tensão estejam na relação de espiras Procedamos agora a um arranjo das equações de modo a equacionar o transformador em função dos parâmetros determinados nos ensaios de vazio e curtocircuito impedância de vazio e de curtocircuito Para tanto devemos lançar mão da hipótese simplificativa de que a impedância 136 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA z ü própria de um enrolamento é muito grande isto é que a corrente de vazio é muito pequena Ora é sabido que para os transformadores de distribuição e para os de potência tal hipótese é verificada Assim retomando à equação do enrolamento 1 teremos Vi ru P nÍ j xih P Á PiÀ ou seja e sendo será vi rnh Pu U 12 ln 11 11 11 1 o 4 i Pu í 212 A seguir utilizando a Eq 212 vamos eliminar a corrente das Eqs 211 Para tanto lembramos que dada uma equação matricial M flll fl12 a y2 a21 22 2n y G Ün2 subtraindo da coluna i da matriz de coeficientes A a coluna j a equação não se altera desde que somemos ao elemento j da matriz X o elemento i De feto i a n a n a n a n y K a 21 2 2 a 2 y n 2 anl ann y l aux x2 an anx2 y2 a2ii x2 22 a2lx2 y ii 2 a2 i2 a2nn a x n VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 137 ou y 111 anx2 1 anx2 y 2 211 H 222 a2x 21 2l2 yn 11 22 amx 1 l2 Além disso lembremos que somando o elemento y 2 ao elemento y a equação não se altera desde que somemos a linha j da matriz de coeficientes A à linha i ou seja yiy2 1121 1222 l2 V y2 21 22 2 2 i v a i 1 i isto é yX y2 111 122 1 211 222 2 Retomemos a Eq 211 e somemos a os valores de i2 Resultará Vl Zll 12 11 j 11 1 n 11 h 2 2 Z21 Z22Z21 Z2jZ21 Z2m Z2l h Zjl Zj 2 Zj l Z j j Z j l Z J n Zj h 1 Znl Zn2 Znl Zrj Zn Zrm Znl L Substituamos v2 v v por v 2 v v Resulta íi 12 11 n 2 1 1 1 O 1 V 2 z 2 2 2 2 2J 21 2 h J yi 2 1 l i J 1 l n J z i Z nl 1 Ks Z 1 z n J Z 1 z m t v t J i n Somemos a v2 v y v o valor v e abandonemos v Resulta 138 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Z 1 1 Z 2 2 Z 1 2 Z 21 Z 1 Z 2 j Z Z l l Z l n Z 2 1 V V S Z j 2 Z 2 n z j z i ltn iJ 1 t i i Z 2 2 Z I 2 n Z V Z U I nl 7 n Z Z l n l J n Lembrando que zik zb resulta 2 7 7 2 272 11 2j 0 2 I2 l 1 2 1 Z 12 2 T J n 7 u 2 v 7 U 7 l Z U J V n J 11 2n 1 12 7 ii r i 2 i z n m 2 í u z O significado do vetor das quedas de tensão está representado na Fig 216 Em particular se alimentarmos o transformador pelo enrolamento 1 com o 2 ligado em curtocircuito e os demais em circuito aberto obteremos ik 0 n 1 2 11 22 122 porém devemos salientar que a corrente 2 estará saindo pelo terminal 2 logo será negativa Fazendose ij 22 u z Uc em que zl2c é designada por impedância de curtocircuito entre os enrolamentos 1 e 2 com os demais enrolam entos em vazio Analogamente determinamos VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 139 Observase que se tivéssemos alimentado o transformador pelo enrolamento k genérico teríamos Os valores de zc para todos os pares de terminais são determináveis por meio de ensaios de curtocircuito alimentandose o enrolamento k e curtocircuitandose o j com os demais em circuito aberto Antes de passarmos à determinação dos elementos fora da diagonal observemos que um elemento qualquer da primeira linha da matriz de impedância é dado por O índice 12j da impedância zxl significa que essa impedância dá a contribuição da corrente ij corrente que entra no terminal j na queda de tensão entre os terminais 1 e 2 do transformador isto é ou n Genericamente teríamos n Portanto o termo genérico fora da diagonal da matriz de impedâncias é dado por 140 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Por outro lado observamos que ao invés de eliminarmos a corrente poderiamos ter eliminado a corrente genérica o que resultaria em Lrkj Z Finalmente resultanos a identidade rr rj 2Z 7 2 2 Tjt 2 ri 2Z 214 ou seja os elementos fora da diagonal também são determináveis a partir das impedâncias de curtocircuito entre dois terminais com os demais em circuito aberto Resulta pois 12 13 y i Vn 05 Z12 e 111 n I Jn A lj L L Zt2 i o tJ VZl3cZ23c Ãjc2jcJ z Z13c 1 1 5 1 1 O Z13c S12c 23c 11 13c ZijcZyc 05 r i zlnc l2c2nc 1 zi 05 ZUcZ2jc Z13r Zijc 4 13 c c 1J V l J Z r 1 jcZjc Zlc Z2 ncJ Vle Z3ncJ 7r í l 215 31 Transformador de três enrolamentos Era sistemas de potência são de emprego muito difundido os transformadores de três enrolamentos razão pela qual nos ocuparemos em determinar um circuito equivalente Aplicando a Eq 215 a um transformador monofasico de três enrolamentos obteremos VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 141 2 z n c h 2 z nc z 23ch 216 3 12c Uc 23e2 liÁ Vamos analisar as possibilidades de representar o transformador por uma estrela com impedâncias de valores zpi i s e i t Fig 217 A equação dessa rede é 12 2 10 02 2 3p A 13 1 3 10 03 2 h p h i ou seja 1 2 ZP Z2 ZPh 217 1 3 zph ZP Figura 217 Circuito equivalente para um transformador de 3 enrolamentos Para que 0 circuito representado pelas Eqs 217 seja equivalente ao transformador cujas equações são as Eqs 216 os coeficientes das variáveis devem ser iguais isto é z zt p s z z I P V ZTic de onde tiramos 142 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 1 t2 13 c r 5 2 2c 23 c ij z h J3 c 23 c 2 EXEMPLO 27 Um transformador monofásico de três enrolamentos tem potência nominal de 15 MVA e tensões nominais de 127 kV 69 kV 138 kV Foi submetido aos ensaios de curtocircuito obtendose 1 Alimentação pelo enrolamento de 127 kV com o enrolamento de 69 kV em curtocircuito P 300 kW 1181 A V 10465 kV 2 Alimentação pelo enrolamento de 127 kV com o enrolamento de 138 kV em curtocircuito P 450 kW 1181 A V 15697 kV 3 Alimentação pelo enrolamento de 69 kV com o enrolamento de 138 kV em curtocircuito P 225 kW 21739 A V 4264 kV Pedese determinar seu circuito equivalente SOLUÇÃO a Valores de base Adotaremos para os três enrolamentos Quanto às tensões de base adotaremos Enrolamento de 127 kV Enrolamento de 69 kV Enrolamento de 138 kV 127 kV 69 kV Viase 138 kV b Imoedância em curtocircuito Para o ensaio 1 temos P v i 0300 15 10465 127 0020 p u 00824 p u 127 1181 10 pu 15000 y VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 143 de onde finalmente Para o ensaio 2 obtemos donde Para o ensaio 3 obtemos donde zUc 00824 p u i a c j f 0020 12c VZ12c ri2c 0080 JPtt z12c 0020 y0080 pu P v 0450 15 15697 127 0030 p u 0124 p u i 10 p u zl3c 0030 70120 pu 0225 15 4264 69 0015 p u 00618 p u i 21739 69 15000 10 pu I 23c 0015 y0060 p u c Circuito equivalente P 12 13 23 00175 y0070 pu z n 23 13 00025 70010 p u 144 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Zj2c 00125 70050 pu 24 MUDANÇA DE BASES Em muitas aplicações conhecemos o valor de uma grandeza em por unidade numa determinada base e necessitamos conhecer seu valor em outra base O procedimento que se segue é sempre o de determinar o valor da grandeza multiplicando seu valor em por unidade pela base na qual foi dada e dividir esse valor pelo valor da nova base Assim sejam v i p c z respectivamente os valores de uma tensão uma corrente uma potência e uma impedância em pu nos valores de base e S Queremos determinar seus valores em pu nas novas bases hase e Temos a Tensão Determinamos inicialmente o valor da tensão em volt V v Kbase Determinamos a seguir o valor dessa tensão na nova base v VL v base vbase b Corrente Determinamos inicialmente o valor da corrente em ampère 1 Ibase base A seguir determinamos seu valor na nova base r II i base base I VL SL c Potência Determinamos inicialmente o valor da potência em unidades de potência W VAr ou VA VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 145 P P ou ou Q q Sbase S Í sbase A seguir determinamos seus valores nas novas bases SL p base SL OU Q base q q ou Ç Ç base Ç 6o d Impedânda Determinamos inicialmente seu vaies em ohm z z z z base base A seguir determinamos seu valor na nova base Z z 7 fbase V L SL SL Z Z S base V base base r base v Y ia EXEMPLO 28 No circuito da Fig 218 conhecemos 1 a impedânda da linha AB 266 107 Q 2 a impedânda da linha CD 45 y175 fí 3 os valores nominais do transformador 1 138 kV 230 kV 50 MVA x 8 r 3 60 Hz 146 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 4 os valores nominais do transformador 2 220 kV 88 kV 40 MVA x 8 r 3 60 Hz 5 a tensão 80 kV e a potência na carga 30 MVA cos p 08 ind Pedimos determinar a a tensão no primário do transformador 1 b a regulação do sistema c diagrama de fasores Figura 218 Diagrama unifilar para o Ex 28 SOLUÇÃO a Tensão no primário do transformador 1 No secundário do transformador 2 adotaremos 30 MVA e Vbase 8 0 kV No primário de 2 que está nas mesmas bases que o secundário de 1 teremos S L 30 MVA e 80 200 kV No primário de 1 teremos SL S 30 MVA VL 200 138 23Õ 12 kV Na Fig 219a apresentamos o circuito equivalente do sistema indicando para cada trecho os valores de base fixados Com a escolha feita para os valores de base os transformadores 1 e 2 passaram a ter relação de transformação 11 Logo no circuito da Fig 219b ambos transformadores foram omitidos Para a determinação de zx sabemos que o transformador 1 tem impedância equivalente o03 7008 pu para 138 kV e S 50 MVA Como essa impedância deve ser calculada nas bases 30 MVA e 12 kV temos valor da impedância equivalente de 1 em ohm referida ao primário Z 003 7008 VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 147 valor da impedância de 1 na nova base u 2 i o 003 7008 00238 700635 p u b Circuito equivalente em pu Figura 219 Circuito equivalente para o Ex 28 Para as demais impedâncias temos 30 ZiB 266 7107 z2 003 4 y008 2002 2202 30 40 200 30 00200 700803 pu 00272 700726 pu ZCB 45 7175 5 00211 700820 pu oU Na carga temos s 30 30 10 p u 80 VDN 10 P 80 logo 148 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA s 10 j 10 pu v 10 Adotando i i j0 10 jO pu e sendo cos p 08 indutivo sen p 06 resulta vDN 10 08 y06 08 y06 p u No início do sistema temos VAN VDN í z j z2 z CZ isto é isto é vÃN 08 j06 10 jO 00921 y02984 08921 j08984 p u vAN 1266 452 pu VAN 12661452 12 15192 j452 kV b Regulação do sistema Por definição a regulação é dada pela relação reg pc em que F tensão na carga p c w V0 tensão nos terminais onde está ligada a carga quando esta é desligada A regulação pode ser expressa em função dos valores pu pois Vo Vpc Vb Vp Vpc reg v 0 V AN 1 2 6 6 pu Vpc V DN I O P U No nosso caso temos VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 149 Logo reg 0266 266 c Diagrama de fasores Na Fig 220 está representado o diagrama de fasores Figura 220 Diagrama de fasores para o Ex 28 25 REPRESENTAÇÃO DE TRANSFORMADORES QUANDO NÃO NA RELAÇÃO 11 251 REPRESENTAÇÃO DE TRANSFORMADORES QUANDO HÁ CHOQUE DE BASES Quando vamos estudar uma rede que forma uma malha contendo transformadores nem sempre é possível fixar arbitrariamente os valores de base para todos os transformadores pois a rede formando uma malha haverá um último transformador no qual as bases já foram fixadas pelos precedentes Na Fig 221 representamos uma rede em malha que dividimos em três áreas Para a área I podemos adotar valores de base quaisquer Em particular adotamos M s M e 150 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Figura 221 Circuito em malha com choque de bases Na área II secundário do transformador 7j o valor da tensão de base está fixado pela relação de espiras de 7j Vm VN2 e a potência de base é igual à da área I isto é 2 e S2 bi Na área III secundário de T2 a tensão de base está fixada pela relação de espiras V2 do transformador T2 isto é ya ya e s v VN1 Portanto os valores de base para o primário e o secundário do transformador r 3 cuja relação de espiras é V estão fixados ou seja 1 Primário de r 3 V tensão de base Vb3 Vbl Nl potência de base Sbi Sbx 2 Secundário de J 3 VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 151 y tensão de base Vbl Vbl Vm potência de base Sb2 Sbl Notamos que no tocante à potência de base não há problema algum pois Si2 Sb3 porém quanto às tensões de base estas somente estarão na relação de espiras do transformador quando subsistir a igualdade isto é quando for Nas aplicações usuais a igualdade acima nem sempre é verificada e assim sendo o transformador Tj em pu não poderá ser representado pela sua impedância de curtocircuito em série com um transformador ideal de relação de espiras 11 ou seja o transformador I 3 permanecerá no circuito em pu Passemos a estudar como poderemos representar em pu um transformador quando os valores de base das tensões no primário e secundário não estiverem na relação 11 Genericamente Fig 2 22 consideremos um transformador com tensões nominais Vm VN2 potência nominal SN e impedância equivalente z em pu Suponhamos adotar no primário e no secundário do transformador valores de base e Sb Vbi VN2 e Sb V N Suponhamos aplicar ao primário uma tensão tal que no transformador ideal tenhamos tensão Vx No secundário a tensão será V2 Exprimindo essas tensões em pu teremos 152 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Multiplicando e dividindo o segundo membro da equação anterior por Vbi teremos ü 24l Ysí v Ysl Ysl Vu Vb2 vNl 1 vNl vb2 a Circuito b Circuito em pu c Circuito em pu utilizando autotransformador Figura 222 Transformador de valores de base de tensão fora da relação de espiras Designandose por v e vN2 os valores das tensões nominais do transformador expressas em pu nas bases Vbl e Vb2 respectivamente isto é vAM e V2 resulta v2 V Portanto o transformador dado na representação em pu pode ser substituído por sua impedância de curtocircuito em série com um transformador ideal que tenha kvNl espiras no enrolamento primário e kvN2 espiras no enrolamento secundário Em particular terá relação 1 a desde que seja a N2 VNi EXEMPLO 29 No diagrama unifilar da Fig 223 está representada uma rede monofásica da qual conhecemos 1 a impedância da linha 2 3 75 IO Í2 2 a impedância da linha 1 4 35 j5 Q 3 as características do transformador Ty 1 MVA 132 kV 345 kV 6 4 as características do transformador T2 1 MVA 345 kV 138 kV x 7 VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 153 Pedimos determinar a o diagrama de impedâncias b a corrente de circulação quando a carga está desligada e a tensão no barramento 001 é 132 kV c as correntes e as tensões quando ligamos ao barramento 004 uma carga que absorve 1 MVA com fator de potência 08 indutivo e tensão de 13 kV 001 004 SOLUÇÃO a Diagrama de imoedáncias Adotemos no gerador Vbase 132 kV e 1 MVA Na linha 23 os valores de base serão VL 32 345 kV e MVA No barramento 004 os valores de base são obrigatoriamente iguais aos do barramento 001 pois ambos estão interligados pela linha 14 Portanto no enrolamento de baixa tensão do transformador T os valores de base são 132 kV e 1 MVA Por outro lado no enrolamento de alta tensão de T2 barramento 003 os valores de base já foram fixados em 345 kV e 1 MVA Entretanto a relação de tensões de T2 é 345 kV 138 kV Logo os valores de base fixados não estão na relação de espiras e portanto T2 deverá ser substituído por sua impedância de curto circuito referida aos valores de base 345 kV e 1 MVA em série com um transformador ideal cuja relação de espiras é 154 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA em que portanto vs i VN1 VN l 55 138 132 345 345 1045 1000 a 1045 Caso queiramos colocar a impedânda de curtocircuito do transformador entre T2 e o barramento 004 ela será referida à base 132 kV e 1 MVA O diagrama de impedâncias está representado na Fig 224 e os valores dos parâmetros são Zn 7 006 pu 23 75 00063 y00084 pu ZT2 i007 pu ZlA 35 y 5 y 00201 j00287 pu Figura 224 Diagrama de impedâncias para o Ex 29 VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 155 b Corrente de circulação Com os sentidos das correntes e i2 indicados na Fig 224 temos è 4 è r2n 23 4 v4 vi a k 4 Logo 114 a ê I j0 n 2T23 finalmente a 1 t m 2 14 a l r i 23 T 2 ou para è 10jO pu 1045 1 17 7 0247815 pu 00201 j00287 10452 00063 j01384 i2 0247 1815 1045 02581815 pu c Cálculo da rede com caraa Na carga temos s l pu 130 v 0985 pu 132 y i 1015 pu v 0985 Adotando V 0985J0 pu e sendo arc cos 08 369 156 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA resulta 1015 1369 pu Com os sentidos das correntes il e i2 indicados na Fig 225 temos è h 14 f lh a h z 1 a Então v a l a z 1dz u a ri Z23 I T2 0459730 pu h i 0709 1550 7M é z14 i2 1004 09Q p u 001 004 Figura 225 Diagrama para cálculo de correntes d Alternativa de resolução Como alternativa podemos resolver a rede admitindoa aberta entre o enrolamento de baixa tensão do transformador T2 e o barramento 004 Essa condição está representada na Fig 226a Na Fig 226b está representado o diagrama de impedâncias correspondente em que no enroíamento de baixa tensão fixamos 1 38 kV e 1 MVA Ao fecharmos a chave K as tensões em volt dos pontos A e B deverão ser iguais mas seus valores em pu continuarão a ser diferentes de vez que esses pontos estão referidos a valores de base diferentes Obviamente seremos forçados a colocar entre os pontos A e B um autotransformador ideal cuja relação de espiras será determinada a partir da igualdade de tensões em volt nos pontos A e B isto é sendo VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 157 teremos VÁ tensão em volt entre A e terra vB tensão em volt entre B e terra V A tensão em pu entre A e terra VS tensão em pu entre B e terra vM tensão de base em A VhA 138 kV vhB tensão de base em S VbB 132 k V Va Vu e VB v8 VhB portanto ou Vo V ii a5 V B V b B 1045 V A r b B 132 isto é recaímos nos mesmos valores do caso anterior 001 004 001 004 Figura 226 Circuito para alternativa de resolução do Ex 29 158 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 252 REPRESENTAÇÃO DE TRANSFORMADORES COM COMUTADOR DE DERIVAÇÃO Em sistemas de potência é usual utilizaremse com o intuito de melhorar a regulação transformadores com relação de espiras variável sob carga tap changing Nessas condições é evidente que a cada mudança de derivação deveriamos mudar a tensão de base do enrolamento em que está situado o comutador de derivação o que como é óbvio seria inexeqüível pois alteraríamos as bases de todas as redes ligadas a esse enrolamento Em tais casos fixamos as tensões de base pelos valores nominais do transformador com o comutador de derivação ajustado para a posição zero e quando alteramos a derivação mantemos as bases e representamos no diagrama de impedâncias em pu o transformador por sua impedância de curtocircuito em série com um autotransformador ideal analogamente ao que fizemos na seção anterior Seja um transformador com o comutador de derivação no enrolamento de baixa tensão e com tensões nominais do primário e secundário V e V2 respectivamente A posição do comutador de derivação é definida por um número a que exprime o aumento a 0 ou a diminuição a 0 do número de espiras do enrolamento Ou melhor o valor de a corresponde à variação do número de espiras em relação ao número de espiras que corresponde à tensão nominal Exemplificando seja um transformador com N2 espiras em correspondência à tensão nominal e atuemos no comutador de derivação de modo tal que o número de espiras desse enrolamento seja N2 AN2 Dizemos que 0 transformador está com a derivação tap ajustada para o valor AN a 100 2 ou A apu Evidentemente o valor de a corresponde ao aumento em pu ou em porcentagem da tensão nominal do transformador adotandose esse valor como valor de base De fato seja um transformador com tensões nominais V2 e com relação de espiras AjA e variador de at pu Para um ajuste de a pu teremos número de espiras no primário N número de espiras no secundário N2 l z VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 159 Portanto aplicandose ao primário uma tensão Fj teremos no secundário Ví v2 i o ou seja em pu adotandose F2 como tensão de base teremos v 1 a portanto a v l isto é a corresponde à variação de tensão em pu Passemos a determinar um circuito em pu para a representação do transformador com o enrolamento fora da derivação nominal Para tanto seja um transformador com tensões nominais Vi F2 e com o comutador de derivação no enrolamento cuja tensão é com n pontos até o valor limite ap que está ajustado para um determinado valor a Adotandose Fj e F2 como valores de base para o primário e secundário e aplicandose ao primário uma tensão V teremos tensão secundária dada por y y V2 1 a 2 vL Vx em pu teremos V V y y í1 o v 1 a Portanto o autotransformador ideal que será inserido no circuito terá relação de espiras llcr Fig 227 Nas aplicações computacionais interessanos representar o transformador por parâmetros sem utilizar o autotransformador Vamos estudar agora a possibilidade de efetuar tal representação Para tanto seja um quadripolo constituído por três impedâncias zx z2 e z3 Fig 228 que deverá ser equivalente ao transformador Evidentemente teremos a equivalência entre os dois circuitos quando tivermos a igualdade dos coeficientes nas equações que relacionam a tensão e a corrente de entrada com a tensão e a corrente de saída Para o transformador temos as equações 160 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 1 K 0 l a isz V ou V vi 1 z v v l 1 a s l a o t 1 a 1 a o J T c V 0 V V2 a Circuito equivalente b Circuito em pu Figura 227 Representações de um transformador fora da derivação nominal a Transformador fora de derivação em pu Figura 228 Circuito passivo equivalente do transformador Para o quadripolo temos b Circuito passivo equivalente ou VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 161 V 1 U V z j 25 I 1 1 V 2 f v 1 t Zl 2li 2123 V Portanto tonos o sistema de equações 1 2 1 a 1 a 1 1 z 1 3 13 21 1 1 a de onde fazendo 1 a a resulta 2 3 i a l a 1 2 2 Z 1 a 1 z a 1 a 1 a Substituindo esses valores na terceira equação obtemos aa l 1 a l oc2 0 1 2 3 EXEMPLO 210 Um barramento infinito alimenta por meio de um transformador e de uma linha uma carga indutiva monofásica que absorve 50 MVA 40 MW quando alimentada por tensão de 628 kV 60 Hz São dados 1 tensão do barramento infinito 220 kV 2 transformador monofásico 100 MVA 22069 kV x 8 com comutador de derivação no enrolamento de baixa tensão que permite ajuste de 10 em 24 pontos 3 impedância da linha 004 yOQ6 pu na base 69 kV 100 MVA Pedese ajustar a derivação do transformador de modo tal que a tensão na carga esteja o mais próximo possível de 69 kV 162 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA SOLUÇÃO Adotaremos como valores de base no barramento infinito 220 kV e 100 MVA No secundário do transformador teremos VL 69 69 W e 100 O transformador será representado por sua impedância de curtocircuito em série com um autotransformador cuja relação de espiras é 1 a em que a 1 a representa em pu a tensão no enrolamento secundário em função da posição do comutador de derivação Na Fig 229 está representado o diagrama de impedâncias cujos parâmetros são zT jx T 7008 pu zL 004 7006 p u Para a carga observamos que Q J S 2 P2 V502 402 30 MVAr 1 a Figura 229 Diagrama de impedâncias para o Ex 210 logo Íc P jQ í 40 y30 L 04 i 05 36 pu base Vamos considerar a carga como uma impedância constante com a tensão Assim para obtemos 68 Q c 69 K 09102 05 1369 16561369 pu VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 163 No secundário do autotransformador ideal temos Como queremos que a tensão na carga esteja o mais próximo possível de 69 kV adotaremos inicialmente esse valor de tensão para posteriormente verificar se existe uma derivação satisfatória Adotamos ainda a corrente com fase inicial nula isto é i jO e rc 1 LP portanto e ihp 16561369 0604 q 369 pu vc 11369 08 y06 p u i 0604 jO pu A tensão no secundário do transformador ideal vale v Vç izT zL 11369 0604004 y014 10711397 pu Como a tensão no barramento infinito vale 1 pu o valor de a é a 1 a 1071 e portanto a 0071 ou a 1 Como a faixa de variação é de 10 e dispomos de 24 posições a cada posição corresponderá uma variação em pu de 2 010 24 000833 Portanto o número de pontos com que devemos aumentar a derivação é a n a 0071 000833 852 Como não é possível tomar fração de derivação podemos ajustála para os valores 164 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA a l a 1067 ou a l 9a 1075 A seguir vamos verificar qual dos dois ajustes é mais satisfatório Temos èa zT zL 2c i ou Z r Z vc èa izT zL aè 1 Z T Z Z portanto vc a è 7r 7C Substituindose os valores numéricos obtemos no primeiro caso vc 1067 0933 j28 0996 28 pu No segundo caso resulta vc 1075 0933 28 1003 28 p u 26 APLICAÇÃO DE VALORES POR UNIDADE A CIRCUITOS TRIFÁSICOS COM CARGA EQUILIBRADA 261 INTRODUÇÃO Tudo quanto foi exposto para circuitos monofásicos poderá ser aplicado a circuitos trifasicos simétricos com carga equilibrada pois conforme vimos no capítulo precedente podemos reduzir qualquer circuito trifasico a um monoíasico desde que substituamos todos os componentes ligados em triângulo por outros que lhes sejam equivalentes ligados em estrela e que tonemos o circuito de uma fase a neutro Nos itens subseqüentes analisaremos o modo de escolher valores de base para as grandezas de linha e de fase a fim de que em valores pu os módulos das grandezas de fase e de linha sejam iguais VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 165 262 ESCOLHA DAS BASES Consideremos um circuito trifásico qualquer no qual tenhamos todos os elementos geradores cargas transformadores ligados em estrela sendo V tensão de linha VF tensão de fase 7 corrente de linha ou de fase ligação estrela I F I L S potência aparente fornecida ao trifásico SF potência aparente fornecida a uma fase Z impedância de fase As grandezas acima estão ligadas pelas relações VF Z I SF vp I V S v F S 3 Adotando bF bF como valores de base para as grandezas de fase resultam as seguintes bases de corrente e impedância hp bF bF z bF bF bF bF Os módulos das grandezas de fase em pu são v c Ir I z bF bF 1 bF bF b F bF bF Por outro lado fixandose para as grandezas de linha os valores de base S v lF e resultam para as bases de corrente e de impedância os valores bF I S v h V 3K bF bF bF 166 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Vt S vL Y k h s s siF Resultando para os valores pu das grandezas de linha era módulo v s i z v SlvF vf S 3 SF VF sF Notamos que com a escolha conveniente dos valores de base os módulos das grandezas de linha e de fase expressos em valores pu têm o mesmo valor Quanto à fase lembramos que no circuito equivalente em estrela para o estudo de redes trifásicas a tensão de linha está adiantada de 30 em relação à de fase quando a seqüência de fase é direta e atrasada de 30 quando a seqüência de fase é inversa EXEMPLO 211 Três impedâncias de 30 60 Q sâo ligadas em triângulo e alimentadas por tensão de linha 220 V Pedimos determinar as correntes de fase e de linha e a potência complexa absorvidas pela carga SOLUÇÃO Procederemos à resolução determinando inicialmente um circuito equivalente em estrela para a carga ligada em triângulo Posteriormente fixaremos em primeiro lugar os valores de base de fase e depois os de linha Conforme vímos no capítulo precedente a impedância por fase de uma carga equivalente ligada em estrela é igual a um terço da impedância por fase da carga original ligada em triângulo assim temos Z estrela 30 60 3 1060 Q Adotando agora os seguintes valores de base na fase bF 220 127 V e SbF 1000 VA resultam para as bases de corrente e impedância na fase VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 167 S 1000 lbF 7874 A V2 rbF 127 1272 1000 16129 n Adotandose ainda fase inicial nula para a tensão V KiAr 12 127 jO V resulta donde e v AN 1 jO p u Z 10 160 z 1 0620 60 p u ZhF 16129 F ly AN I 10 1613160 pu 0620 60P IF Vm Un 1 j0 1613160 1613 60 pu Retornando aos valores em ampère e voltampère Í a n 1a n U f 1613 H jP 7874 12701 j60 A SF s SbF 1613 6QP 1000 1613 60 VA S 3SF 4839 j60 VA Escolhendo agora valores de base para as grandezas de linha temos K T VlF 220 V ShL 3 SbF 3000 VA hi hf 7874 A ZbL ZbF 16129 n Considerando ainda fase inicial nula para a tensão VM e adotando sequência de fase direta resulta 168 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA F 220J3 ru 220 Van 112 pu A corrente de linha e de fase e a potência complexa serão dadas por ljO Ia Ia AN 0620 j60 l61360o pu s 10 l613f6F 161360 pu Retornando aos valores em ampère e voltampère obtemos 1A A lhL 1613 h60 7874 12701 H6ÍT S s S a 1613 0 3000 4839 60f K4 que são os mesmos valores obtidos quando definimos valores de base para as grandezas de fase Para retornar à carga original ligada em triângulo observamos que as correntes de linha sâo aquelas já calculadas para a carga equivalente ligada em estrela As correntes de fase serão dadas por 220 30 30160 220190 30 60 2201150 30160 7333 30 A 7333150 7333 A A Com relação aos resultados alcançados no exemplo precedente destacamos os seguintes pontos 1 as correntes de fase da carga ligada em triângulo foram obtidas a partir dos valores não normalizados tensões em volt e impedâncias em ohm Altemativamente tais correntes podem ser obtidas em pu desde que sejam fixados valores de base para a tensão de linha e para a corrente de linha coerentes com as relações entre essas grandezas na ligação triângulo Tais valores são VbL VbF 220 V SbL 3000 VA Sl 3000 hL SvbL S 220 7874 A VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 169 IbF 4546 A 2202 F2 7 W bF ç 3000 3 484 n Com estes valores de base as correntes de fase em ampère são calculadas por V a b V b f 2 Z Z b F 1 V AB lAB 7 I jM lAB h 0620 60 0620 60 pu pu 2 as correntes de fase na ligação triângulo estão adiantadas de 30 em relação às correspondentes correntes de linha quando a seqüência de fase é direta e atrasadas de 30 quando a sequência de fase é inversa EXEMPLO 212 Um gerador trifásico simétrico alimenta por meio de uma linha uma carga trífásica equilibrada Conhecendose 1 a impedância da linha 005 J015 í 2 a tensão de linha na carga 220 V 60 Hz 3 a potência absorvida pela carga 60 kW com cos q 06 indutivo Pedimos determinar a a tensão no gerador b os reativos que deverão ser ligados em paralelo com a carga para tomar seu fator de potência 095 indutivo c a tensão nas condições do item b SOLUÇÃO a Tensão no gerador Adotaremos para as grandezas de linha os valores Fw 220 V e 100 kVA Para determinarmos a corrente temos P P 60 n 06 pU base 100 170 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Logo Adotando i P v cos p 06 1 06 10 pu ías U 0 pu resulta 10 06 708 101531 pu Finalmente a tensão no gerador é dada por Fig 230 sendo 2 005 7015 105 0103 70310 pu resulta vÁN 06 708 1100103 70310 0703 71110 1314 5577 pu portanto VAN 13141577 127 16691577 V K n K h 1120 1669 5623 V ÊCN VÁN 120 1669 1777o V v vAH K 1130 1314 5577 220 1 0 28911877 V Vc 28911323 V VCA 289152077 V Figura 230 Circuito para o Ex 212 VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 171 b Determinação dos reativos para corrigir o fator de potência Temos J p jq p jp tan p 06 706 tan q 06 708 pu Queremos que o conjunto cargabanco de capacitores tenha fator de potência 095 indutivo isto é que J p jp tan cp 060 706 tanarc cos 095 06 706 0329 isto é T 060 70197 p u Logo a potência do banco de capacitores qc deverá ser tal que s s Sc portanto Sc s s 06 70197 06 708 0 70603 p u e finalmente qc 0603 p u Qc 0603 100 603 kVAr c Determinação da tensão no gerador Temos 0632 p u 1 095 Logo adotando i com fase nula vAN 10950 70312 06320103 70310 1015 70508 vAn U 3 5 1266 p u 263 VALORES POR UNIDADE PARA MÁQUINAS ELÉTRICAS TRIFÁSICAS 1 Transformadores Os dados de chapa dos transformadores trifásicos são os mesmos que os apresentados para os monofasicos porém destacamos que as tensões nominais são sempre de linha que a potência 172 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA nominal é sempre a total do trifásico e que a impedância equivalente é a de fase A seguir estudaremos comí se procede para a determinação dos valores nominais de um conjunto de transformadores monofásicos ligados de modo a formar um banco trifásico Assim sejam três transformadores monofásicos iguais entre si cujos valores nominais são VlN 2N S e z Estudaremos para os vários modos de ligação quais serão os valores nominais do banco e como os representaremos num circuito equivalente em valores pu a Ligação em YY Nesta ligação que está representada na Fig 231 para termos os transformadores trabalhando com sua tensão nominal deveremos aplicar ao primário uma tensão de linha dada por 4VXN resultando na fase donde a tensão de fase do secundário será V2N e finalmente a de linha será BASES A 5 St 3SP 15 V2 TO sb 3Sp 13V a a Diagrama unifilar z V Z V b Diagrama trifilar z fi O Nt N N E U T R O c Circuito monofasico equivalente d Circuito em pu Figura 231 Circuito equivalente em pu para banco trifásico YY VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 173 Assim as tensões nominais serão V3KljV 43V2N isto é a relação de transformação do banco é a mesma que a de cada um dos transformadores A potência nominal será 3SN Quanto à impedância percentual ou por unidade observamos que a impedância de cada fase em D referida ao primário vale Z Portanto em pu tomandose como base os valores nominais do banco teremos zbanco Ztransformador isto é a impedância percentual do banco é igual à de cada transformador monofásico Finalmente destacamos que a ligação YY de transformadores trifásicos ou de bancos trifásicos compostos por transformadores monofásicos com ambos centrosestrela isolados somente apresenta interesse do ponto de vista didático já que esta ligação não é normalmente utilizada A análise deste problema foge ao escopo deste livro b Ligação em AA Neste caso Fig 232 as tensões nominais do banco serão iguais às nominais de cada monofásico de vez que a tensão de fase é igual à de linha A potência aparente nominal do banco é três vezes a de cada transformador Temos V nominal banco V nominal monojasico banco S f f 3 P tmonofastco Quanto à impedância temos em cada lado do triângulo um transformador ideal ligado em série com uma impedância Z dada por referida ao primário Para as aplicações conforme já salientamos devemos substituir todos os componentes ligados em triângulo pelos ligados em estrela que lhes são equivalentes Logo para a resolução do circuito ligaremos o primário e o secundário em estrela tendo em cada fase do primário um transformador ideal em série com uma impedância 273 O valor da impedância equivalente expressa em pu será 174 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Z z fAz vbvz Sb 3 S p 0000 Vb Vf S b 3Sp A A a Diagrama unifílar 3 Zbase z 3 Kn 3 Sx 1N Z b Diagrama trifilar a 2 NEUTRO c Circuito equivalente Figura 232 Circuito equivalente em pu para banco trifásico ÀA Observamos que também nesse caso a impedância percentual por unidade do banco é igual à de cada um dos monofásicos Finalmente destacamos que analogamente ao caso de ligação YY a ligação AA de transformadores trifásicos ou de bancos trifásicos compostos por transformadores monofásicos somente apresenta interesse do ponto de vista didático já que esta ligação também não é normalmente utilizada e Ligação em YA Nesta ligação Fig 233 para termos no enrolamento primário de cada transformador trifâsico uma tensão VN deveremos aplicar uma tensão primária de linha com valor 4VlN resultando obviamente uma tensão de fase e de linha no secundário de valor V2N Nesse caso os valores nominais do banco passarão a ser tensão primária V3F1JV VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 175 tensão secundária V2N potência aparente 3SN Como no caso precedente devemos substituir o enrolamento secundário do transformador ligado em A por outro ligado em Y que lhe seja equivalente Suponhamos representar cada um dos transformadores monofásicos por um transformador ideal em série com sua impedância de curto circuito referida ao secundário isto é no secundário do banco teremos um triângulo no qual cada lado será constituído pela associação em série do enrolamento secundário do transformador ideal com a impedância de curto circuito referida ao secundário Vamos analisar a possibilidade de substituir o enrolamento secundário em triângulo por outro em estrela que lhe seja equivalente Podemos dizer que há equivalência entre esses dois enrolamentos quando com mesma tensão de alimentação e mesma carga as tensões e as correntes secundárias são iguais para os dois enrolamentos Suponhamos alimentar o primário com tensão e corrente de linha Vx e respectivamente e suponhamos ainda que cada monofásico tenha iVj espiras no primário e N2 espiras no secundário A Sb3S v m a Diagrama unifilar b Diagrama trifilar Figura 233 Banco trifásico YA Admitindose seqüência de fase direta a tensão e a corrente de fase do primário são 4 J L 3 j30 e 1F A Na fase do secundário em triângulo teremos F F El 1 N 2 30 Ny y 176 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 1 I L l 2F J F N N V P I Z 2F 30O N 2 N 2 L Z N7 Os correspondentes valores de linha são J P N2 t N K 113oH p Z 30 N t N2 V 3 1130 218a 218b No caso de estrela equivalente o primário permanece inalterado o enrolamento secundário terá Ni espiras e a impedância de curtocircuito será Z Na fase do secundário teremos N E E 2 Nx V 1 2F V 2F l 1F Nj l ti E i S 30 N N t t K r2FZ v yfí 30 z N 2 Os correspondentes valores de linha são v S w v F V 3 Z g r Aj V A 2 2F 1 Ni 219a 219b C ímpar andose as Eqs 218 com as Eqs 219 notamos inicialmente que há uma rotação de fase de 30 entre os valores em estrela e os em triângulo Em particular a corrente e a tensão de linha com o secundário em triângulo estão atrasadas de 30 em relação às correspondentes na ligação em estrela Passemos a determinar os valores de N2 e Z para que haja equivalência entre os dois transformadores Uma vez que para qualquer par de valores Vlf I deve ser 1 v l2 l2 V V 2 2 e VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 177 é evidente que os coeficientes das Eqs 218 e das Eqs 219 devem ser iguais Em particular da equação da corrente temos N L portanto Ar 1 s Substituindo esse valor na equação da tensão resulta N 2 S n n ou seja portanto Z B0 Z S 30 N m Z 3Z 7 Z 3 No caso de seqüência de fase inversa as Eqs 218 e 219 tornamse U v2 1 30f i 2 j 2 jZ 130 I N 2 2 à 3Z 30 2 1 JV 1 Ni 220a 220b 221a 178 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA isto é a rotação de fase entre os valores de linha do secundário ligado em triângulo e de seu equivalente em estrela ainda é de 30 Porém nesse caso aqueles valores para a ligação em triângulo estão adiantados em relação aos do equivalente em estrela Salientamos que podemos substituir sem maiores preocupações um enrolamento de um transformado ligado em triângulo por outro que lhe é equivalente em estrela quando o trifásico é simétrico e equilibrado No caso de trifásico assimétrico e desequilibrado podemos proceder a essa substituição porém tonando cuidados especiais conforme veremos no capítulo seguinte Nessas condições passamos do circuito da Fig 234a ao da Fig 234b no qual substituímos o enrolamento secundário em triângulo pelo equivalente em estrela que tem n 2 S espiras e cuja impedância de curtocircuito vale Z 3 A partir dos valores nominais de cada um dos transformadores monoíásicos determinamos Portanto como as tensões nominais do transformador equivalente são v V 2 w w S n o valo1 da impedância de curtocircuito passa a ser Z S banco y2 a Circuito trifásico a ZZ3 30 b Circuito equivalente com secundário em Y Ai I 1 Az LK 3 c Circuito monofásico equivalente d Circuito em pu Figura 234 Circuito equivalente em pu para banco trifásico YA VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 179 Substituindo os valores de Z e V2N resulta l z YiL f e V 2 3 U J 2 isto é se adotarmos como valores de base no primário K e 5base e no secundário o transformador é representado em pu por um transformador ideal com relação de espiras 11 em série com a impedância em curtocircuito do banco que em pu é numericamente igual à de cada um dos monofásicos e em série ainda com um defasador puro que defasa tensões e correntes em 30 entre o primário e o secundário dl Ligação em AY Nessa ligação Fig 235 para termos os transformadores monofasicos trabalhando com suas tensões nominais deveremos aplicar ao primário uma tensão de linha que coincida com a de fase Vw resultando tensões secundárias de fase e de linha de V2N e V3F2jV respectivamente Logo os valores nominais do banco serão tensão primária VlN tensão secundária V3V2N potência aparente 3SN Para a impedância equivalente expressa em pu são válidas as conclusões do item anterior 2 Altemadores trifásicos Para os altemadores trifásicos os valores nominais fornecidos pelo fabricante que nos interessam são potência total aparente do trifasico tensão nominal de linha 180 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA impedâncias transitória subtransitória e de regime expressas em percentagem ou em pu dadas na fase tomandose por base a tensão nominal e a potência nominal c Circuito equivalente d Circuito equivalente com primário em Y A e Circuito equivalente em pu Figura 235 Circuito equivalente em pu para banco trifásico AY EXEMPLO 213 Os valores nominais de um alternador trifásico são 100 MVA 138 kV reatância subtransitória x 20 Pedimos VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 181 1 o valor da reatância em Q 2 o valor da reatância em pu na base 50 MVA 12 kV SOLUÇÃO Temos V2 13q2 X x 020 0381 Q base 100 Adotandose como valores de base 50 MVA e 12 kV a reatância em pu resulta X 50 x 0381 r 0132 pu Zl 122 3 Motores triíãsicos Analogamente aos motores monofásicos os valores nominais fornecidos pelos fabricantes são potência mecânica nominal tensão nominal de linha impedâncias em pu referidas aos valores nominais de tensão e potência elétrica aparente correspondente à nominal mecânica Salientamos que quando não há dados sobre o rendimento podemos adotar um valor aproximado Para os motores de indução adotase a potência mecânica em cv como sendo numericamente igual à potência elétrica em kVA Para os motores síncronos trabalhando com fator de potência unitário temos kVA 085 cv Quando funcionando com fator de potência 085 temos kVA 11 cv 1 2 3 4 EXEMPLO 214 Quatro motores cuja tensão nominal é 138 kV estão ligados num mesmo barram ento Conhecendose 1 motor n 1 de indução 3000 cv X 20 2 motor n 2 síncrono 4000 cv fator de potência 085 X 15 3 motor n 3 síncrono 5000 cv fator de potência 10 X 20 4 motor n 4 síncrono 6000 cv X 25 quando funciona a plena carga com fator de potência 08 tem rendimento 89 182 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Pedimos a os valores em íí das reatâncias subtransientes b o valor da reatância equivalente adotandose 138 kV e S 50 MVA SOLUÇÃO a Valores da reatância subtransiente em Q Para o motor n 1 temos Logo Sbl 3000 kVA 3 MVA 13 82 X 02 L 12696 Q 1 3 Para o motor n 2 temos Sb2 11 4000 4400 kVA 44 MVA Logo Xí 015 1382 44 6492 O Para o motor n 3 temos Sa 085 5000 4250 kVA 425 MVA Logo 1382 XV 020 8962 Q 3 425 Para o motor n 4 a potência elétrica absorvida da rede vale 6000 0736 P 4962 kW 089 A potência de base é 4962 Shi 6203 kVA 6203 MVA 08 Logo VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 183 138 x 025 7675 Q 6203 b Valores das reatâncias nas bases especificadas e impedância equivalente Temos Vhase 138 kV e 50 MVA Com esses valores de base as reatâncias dos motores valem x 02 x 015 x 02 x 025 1382 50 3 1382 1382 50 44 1382 1382 50 425 1382 1382 50 6203 138 Para calcular a impedância equivalente do conjunto temos yq v2 y y4 isto é 3333 p u 1705 pu 2353 pu 2 2015 pu 1 1 1 1 yj V3333 1705 2353 2 oisJ j 1808 pu Logo 1 0553 71808 pu EXEMPLO 215 Na Fig 236 apresentamos o diagrama unifilar de um sistema de distribuição trifásico no qual temos uma subestação de distribuição que alimenta por meio de um transformador T uma linha de distribuição primária a qual alimenta por meio de um transformador de distribuição T2 uma carga indutiva Conhecemse 1 a impedância de cada fase da linha 720 y130 fi 2 o transformador T1 é constituído por um banco de três monofásicos cujos dados de chapa são 506 kV 138 kV 500 kVA r 3 e x 8 3 o transformador T2 é trifásico de 150 kVA 138 kVA 230 W r 4 e x 7 184 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 4 a carga absorve 80 kW fator de potência 09 indutivo sob tensão de 230 V Pedimos determinar a regulação de tensão na carga SOLUÇÃO a Bases e circuito equivalente Adotaremos como valores de base para o trecho onde está localizada a carga barramento 004 80 Vbs 230 V e Sbs 89 kVA Figura 236 Diagrama unifilar para o Ex 215 Escolhemos esses valores de base por tornarem a corrente na carga unitária o que nos simplificará os cálculos Para o trecho de distribuição primária barras 002 e 003 adotaremos como valores de base V V 1 3800 138 kv e S 89 kVA p 2 3 0 Antes de determinarmos os valores de base para o trecho de subtransmissão barra 001 devemos determinar os valores nominais do banco trifásico Do diagrama unifilar notamos que o primário está ligado em estreia e o secundário em triângulo Logo as tensões nominais do banco serão V 5063 8 8 kV pnm 1 7 V 138 kv sec 7 7 S 3 500 15 MVA V ca n V 138 880 k V p 138 89 kVA Portanto VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 185 Na Fig 237 apresentamos o circuito equivalente fase e neutro e o circuito para o cálculo em valores pu Observamos que nestes circuitos existem três zonas distintas quanto á rotação de fase a primeira zona correspondente ao secundário de T2 possui um ângulo de referência de fases para tensões e correntes nulo uma vez que adotaremos fase inicial nula para a corrente da carga a segunda zona correspondente ao secundário de Tj à linha 002 003 e ao primário de T2 possui um ângulo de referência de fases de 30 se considerarmos a ligação de 72 AY e seqüência de fase direta a terceira zona correspondente ao primário de Tj possui um ângulo de referência de fases igual a zero devido ao esquema de ligação de T1 YA e ao ângulo de referência da segunda zona 30 b Determinação das impedâncias Temos 882 89 7 003 7008 000178 7000475 pu 1500 88 ZL 720 yl300 89 103 000336 J000608 p u 138 1 J 13 o2 oo 72 004 jO07 00237 30415 p u c Determinação da regulação Na carga temos v 10 pu V C O S p 80 89 1 09 10 pu Adotandose 10 0 p u resulta vm 11 arc cos 09 11258 pu CJV 2W Z2 130 l 258 00237 700415 1 o 1 30f 10398127 pu B N 1 I 30 10398 127 000336 7000608 l W 10456125 pu ç l 9 186 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA V 1 3 0 1 1 3 0 1 130 10456125 1 f30 000178 j 000475 104941277 pu 001 1 002 Ê i A b 89 kVA I Sb89kVA Vb88 kV I Vb13jBkV 003 1 004 A Sb89kVA Vb230V c Circuito monofásico equivalente C CZD ÍN d Diagrama de impedâncias Figura 237 Diagrama de impedâncias para o Ex 215 VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 187 Finaimente reg 10494 10 10 00494 494 EXEMPLO 216 Resolver o circuito trifásico do Ex 115 Capítulo 1 utilizando valores pu SOLUÇÃO Embora o sistema trifásico do Ex 115 seja assimétrico e desequilibrado é possível resolvêlo utilizando valores pu Em valores nãonormalizados temos K n Z A Z N z Z N K Z Z s 4 z i Z N Z c Z U J Adotando os seguintes valores de base na fase V base 220 V 1 I base 100 A resulta para a impedância de base base 220 22 Q 100 Passando a valores pu temos 1 C 1 7 Z 2 2 2 2 2 2 1 s v z base k J base 2 2 2 2 L N ÍJN T base U ci ou AN A J T N i l A B N c n 1 Ac Substituindo pelos valores numéricos temos 188 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 22010 205 j2 05 j2 05 j l c 1 200 120o 1 05 j l 05 j2 05 j2 iB 220 22 220 I20 05 J2 05 j2 Ui I 00 lc cuja solução fornece a 01201117 lB 015111458 à c 02571584 A corrente no fio neutro é dada por iN iA iB ic 0247 11766 pu Retornando aos valores em ampère temos p l 0120 117 1201117 t 015111458 15111458 100 4 0257 11584 257 11584 k J 0247 1766 247 11766 que são os mesmos valores alcançados no Ex 115 27 VANTAGENS E APLICAÇÕES DOS VALORES POR UNIDADE A utilização de valores pu em sistemas elétricos de potência apresenta diversas vantagens das quais destacamos as que se seguem 1 a simplificação no cálculo de circuitos com vários transformadores pois eliminamos a necessidade de converter tensões e correntes quando passamos de um enrolamento a outro em cada transformador 2 os valores pu fornecem uma visão melhor do problema de vez que em circuitos com vários transformadores as quedas de tensão em volt diferem enormemente quando se passa de um circuito de alta tensão para um de baixa o que não ocorre quando se utilizam valores pu 3 na resolução de circuitos através de algoritmos computacionais valores numéricos dos parâmetros da rede das excitações e das respostas são de mesma ordem de grandeza Este fato permite obter resultados numéricos de melhor qualidade quando se utiliza uma aritmética de precisão finita como é o caso dos computadores VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 189 4 os valores das ímpedâncias de máquinas elétricas se bem que em ohm são muito variáveis de máquina para máquina em pu são praticamente iguais independentemente da tensão e da potência da máquina O exemplo a seguir ilustra em maior grau de detalhe os pontos 2 e 3 acima EXEMPLO 217 A Fig 238 mostra um sistema de potência no qual foram representados de maneira simplificada os subsistemas de transmissão de subtransmissão e de distribuição primária partes de 500 69 e 138 kV respectívamente Pedimos determinar a tensão em cada barra e a corrente em cada trecho do sistema Dados a Transformadores Tv 138 500 kV 500 MVA x 35 T2 500 69 kV 100 MVA x 4 T3 69 138 kV 10 MVA x 6 T 138 022 kV 50 kVA x 3 bl Linhas de transmissão h 500 kV 100 km r 008 fikm x 060 Qkm l 2 69 kV 20 km r 013 Okm x 052 nkm L3 138 kV 2 km r 019 ííkm x 038 Qkm c Cargas Barra 005 potência constante 20 MVA cos p 085 ind Barra 007 potência constante 3 MVA cos p 08 ind Barra 008 potência constante 50 kVA cos p 09 ind d Tensão na barra 001 138 kV 138 kV 500 kV 69 kV 138 kV 022 kV 001 002 003 004 GB 1CD1 8B Q Tí L1 T2 L2 005 006 H GB O 007 GB T 4 1 Figura 238 Sistema de potência para o Ex 217 190 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA SOLUÇÃO A Fig 239 apresenta o diagrama de impedâncias do circuito monofásico equivalente com e sem a utilização de valores normalizados Por comodidade assumimos que os quatro transformadores estão ligados no esquema YY 138 kV 500 kV 69 kV 138 kV 022 kV a Sem utilizar valores normalizados b Utilizando valores normalizados Figura 239 Diagrama de impedâncias para o sistema da Fig 238 Como as cargas são de potência constante e as tensões nas barras 005 007 e 008 não foram especificadas este circuito deve ser resolvido através do seguinte processo iterativo 1 Adotamos um valor de tensão nas barras 002 a 008 O valor normalmente adotado é a tensão nominal da barra 2 De posse da tensão em cada barra calculamos a corrente absorvida por cada carga Em cada trecho acumulamos a corrente absorvida pela carga na barra terminal do trecho e pelo conjunto de cargas a jusante do trecho A corrente total no trecho é utilizada para calcular a queda de tensão no mesmo Evidentemente neste processo devemos partir do último trecho 007008 e proceder em direção à barra 001 3 De posse da tensão na barra 001 e da queda de tensão em todos os trechos recalculamos a tensão em cada barra desta vez partindo da barra 001 e procedendo em direção à barra 008 Os passos 2 e 3 acima devem ser repetidos até que a diferença entre as tensões obtidas em uma dada iteração e as tensões da iteração anterior seja inferior a uma tolerância pré estabelecida VALORES PERCENTUAIS E POR UNIDADE 191 Com o método iterativo acima descrito resolvemos a rede elétrica considerando os dois diagramas de impedâncias da Fig 239 com e sem a utilização de valores pu No caso do cálculo utilizando valores pu adotamos base de potência igual a 100 MVA e ii base de tensão igual à tensão nominal de cada trecho Todas as operações aritméticas foram realizadas propositadamente com apenas 3 dígitos significativos Na Tab 21 apresentamos os resultados alcançados quando não consideramos valores normalizados Nesta tabela foi incluída uma coluna contendo os valores em pu da tensão nas barras para facilitar a comparação com os resultados provenientes do cálculo utilizando valores pu os quais apresentamos na Tab 22 Trecho Impedância do trecho ref ao primário Q Corrente na barra terminal do trecho A Corrente no trecho ref ao prim e ao sec A Queda de tensão por fase no trecho ref ao primário V Tensão na barra terminal do trecho V na linha PU 001 002 00133 0 1020 282 511 496000 0992 002 003 860 0 282 2340 493000 0986 003 004 y io o 0 282 205 3770 67400 0977 004 005 26 104 177 205 2200 64500 0935 005 006 y285 0 278139 841 12700 0920 006 007 038 J076 137 139 118 12500 0906 007 008 yii4 148 235148 306 193 0877 Tabela 21 Resultados do Ex 216 utilizandose 3 dígitos significativos e valores não normalizados módulo das grandezas somente Trecho Impedância do trecho pu Corrente na barra terminal do trecho pu Corrente no trecho pu Queda de tensão no trecho PU Tensão na barra terminal do trecho PU Desvio entre vai pu de tensão Tensão na barra terminal do trecho com 64 bits pu 001 002 A007 0 0240 000169 0999 070 099900791 002 003 00032 024 0 0240 000583 0995 090 099498455 003 004 004 0 0240 000982 0989 121 098938738 004 005 00546 0218 0208 0240 00539 0949 147 094876529 005006 06 0 00325 00196 0937 181 093667346 006007 02 0399 00321 00325 00150 0923 184 092347574 007 008 J6Q 0000545 0000545 00331 0908 341 090860548 Tabela 22 Resultados do Ex 216 utilizandose valores pu módulo das grandezas somente 192 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Em primeiro lugar observamos da Tab 21 que de fato a ordem de grandeza das tensões varia sobremodo quando não se utilizam valores normalizados Se estivermos interessados em estudar alternativas para diminuição da queda de tensão no sistema observamos que não é imediato descobrir qual é o trecho mais crítico a partir dos valores da Tab 21 De fato nesta tabela o trecho que apresenta maior queda de tensão é o trecho 003004 Observamos também que os trechos 002003 e 004005 possuem queda de tensão de mesma ordem de grandeza da do trecho 003004 de 2000 a 4000 V Porém analisando os correspondentes valores na Tab 22 observamos que o trecho de maior queda de tensão percentual é o trecho 004005 cuja queda de tensão é aproximadamente dez vezes maior que a queda do trecho 002003 e cinco vezes maior que a queda do trecho 003004 Portanto é no trecho 004005 que devemos concentrar nossa atenção para aliviarmos o problema de queda de tensão Podemos também observar que há discrepâncias entre os valores de tensão nodal das Tabs 21 e 22 Na penúltima coluna da Tab 22 incluímos os desvios percentuais entre os valores em pu de tensão das Tabs 21 e 22 referidos aos valores da Tab 22 Na última coluna da Tab 22 apresentamos os resultados de tensão quando resolvemos o circuito em pu utilizando aritmética de precisão dupla números em ponto flutuante representados por 64 bits aproximadamente 16 dígitos significativos Verificamos facilmente que os resultados em pu utilizando 3 dígitos significativos são bem mais próximos daqueles obtidos com precisão dupla do que os resultados em valores nãonormalizados com 3 dígitos significativos Sempre que executamos operações aritméticas com precisão finita ocorrem erros de truncamento os quais são tanto maiores quanto maior for a diferença entre as ordens de grandeza dos números envolvidos Como a utilização de valores pu promove uma aproximação entre as ordens de grandeza das tensões concluímos que a utilização dos mesmos permite obter resultados com maior precisão Evidentemente em um sistema real com centenas ou milhares de nós o problema da precisão passa a ser de fundamental importância BIBLIOGRAFIA BARTHOLD LO REPPEN ND IIEDMAN DE Análise de circuitos de sistemas de potência Santa Maria UFSM 1993 Curso de Engenharia em Sistemas Elétricos de Potência Série PTI 1 ORSINI LQ Curso de circuitos elétricos São Paulo Edgard Blücher 19934 2v ROTHE FS An intorduction to power system analysis John Wiley New York 1953 STEVENSON WD Elementos de análise de sistemas de potência McGrawHill São Paulo 1986 Componentes Simétricas 3 31 INTRODUÇÃO Neste capítulo apresentamos a teoria de componentes simétricas e suas aplicações em sistemas elétricos de potência Partimos do teorema fimdamental das componentes simétricas e demonstramos a existência e unicidade de uma seqüência direta uma inversa e uma nula que representam uma dada seqüência de fasores de um sistema trifásico Aplicamos então as componentes simétricas em sistemas trifásicos procurando interpretar o significado de cada componente e verificar relações entre as componentes simétricas das grandezas de fase e de linha Estudamos também a aplicação de componentes simétricas para a resolução de circuitos trifásicos analisando as leis de Kirchhoff o cálculo de potências em componentes e as transformações de impedâncias da rede em impedâncias seqüenciais Para tanto verificamos a representação de vários elementos por suas impedâncias seqüenciais quais sejam linhas de transmissão transformadores geradores e cargas equilibradas Mostramos que mesmo com sistemas trifásicos simétricos e equilibrados temos vantagens significativas decorrentes da aplicação das componentes simétricas Em seqüência analisamos as aplicações mais interessantes de componentes simétricas que permitem a resolução de redes trifásicas simétricas e equilibradas com um ponto de desequilíbrio que incluem a análise de diferentes cargas desequilibradas análise dos curtocircuitos típicos e aberturas monopolar ou bipolar em um dado ponto da rede 32 TEOREMA FUNDAMENTAL Dada uma seqüência VA qualquer vamos demonstrar a existência e a unicidade de uma seqüência direta uma inversa e uma nula que somadas reproduzem a seqüência dada Em outras palavras demonstraremos que uma seqüência qualquer pode ser decomposta nestas três seqüências e que essa decomposição é única As três seqüências são designadas por componentes simétricas da seqüência dada Pelo quanto foi definido devemos ter VA T í 1 o Í K VB li i P a 2 a V0 a 2Vx a V2 f c 1 a a 2 Po a P a 2V2 194 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Porém 0 Pl 1 1 1 A A Ê0 a 2Vx a V2 1 a 2 a r T r Ê0 a a 2V2 1 a a 2 J A n em que a matriz T é dada por 1 1 1 T 1 a 2 a 1 a a 2 que é designada por matriz de transformação de componentes simétricas Temos então que i i r 1 a 2 a l T 1 fc 1 a a 2 2 2 31 A Eq 31 mostra que dadas as seqüências V0 V e V2 dadas por T 1 1 i ii a 2 ii a 1 a a 2 existe uma única seqüência VA V0 Vt V2 Quando a seqüência VA é dada para demonstrarmos a existência de V0 V e V2 será suficiente demonstrar que a matriz T é não singular isto é que existe a matriz T 1 Invertendo a matriz T obtemos T 3 1 1 1 a 1 a Portanto prémultiplicando a Eq 31 por T 4 obtemos T 1 1 1 H1 H ll 1 u L o f c A 2 2 32 isto é COMPONENTES SIMÉTRICAS 195 A B C 3 V a VB a 2Éc f 33 Ki a C 3 Das Eqs 31 e 33 notamos que dada uma seqüência VA existem e são únicas as seqüências V0 V e V2 tais que VA V0 Vt V2 Da análise da Eq 33 notamos também que para a obtenção do fasor P0 é suficiente tomar um terço do fasor correspondente à soma dos três fasores dados Para o cálculo de Pj tomamos um terço da soma do primeiro fasor da seqüência dada com o segundo rodado de 120 e com o terceiro rodado de 240 ou 120 Analogamente V2 é dado por um terço da soma do primeiro com o segundo rodado de 240 e com o terceiro rodado de 120 o 1 3 1 1 1 r 1 a a 2 K i a 2 a c EXEMPLO 31 Dada a seqüência i 1 2010 K 3 8 0 190 f c 380 90 decompôla analítica e graficamente em suas componentes simétricas a RESOLUÇÃO ANALÍTICA da Eq 33 temos que o 1 l 1 1 1200 1 1200 3809Oo 38090 1 a a 2 380j90 1200 38030 38030 3 1 a 2 a 38090 3 1200 380f210 380210 ou seja 0 J fl20j0 380190 380190 40j0 É j fl200 38030 380300 2600 1200 3802100 38Q2100 180180 donde 196 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA l1 1200 Y i 1 K 38090 o II í 2600 a 2 1801180 a vc 380j90 í a a 2 b RESOLUÇÃO GRÁFICA na Fig 31 a representamos a seqüência dada Nas Figs 31b 3 1 c e 31 d estão determinados os fasores e V2 Para determinação de VQ tomamos 13 da soma Êà K Vc Para a determinação de Vx tomamos a 13 da soma de VA com aVB e com a 2Vc Finalmente para determinação de V2 tomamos 13 da soma de VA com a 2Êg e com aPc iii f Va VA V BVC 3 V 0 b Determinação de V0 Figura 31 Determinação Gráfica das Componentes Simétricas COMPONENTES SIMÉTRICAS 197 EXEMPLO 32 Dadas as componentes simétricas 10030 Vx 2200 e É2 10060 determinar a seqüência Vx analítica e graficamente a RESOLUÇÃO ANALÍTICA temos que VA V0 V V 2 ou seja K 1 1 1 1 1 1 r n i K 1 0 2 í a ll 1 a 2 a l c j 1 a 1 a a 2 isto é r i 1 1 1 10030 10030 2200 10060 1 a2 a 2200 10030 220120 10q60 cj I a a l 100f60 10030 220120 100j180 donde 3566 366j 3585590 VA K 266 539j 60lf637 c j 1234 240fj 27031171 b RESOLUÇÃO GRÁFICA nas Figs 32a 32b e 32c representamos respectivamente Px e V2 Nas Figs 32d 32e e 320 representamos respectivamente as componentes de fase B a rx 2p2 Finalmente na Fig 32g representamos a seqüência VA Com base na decomposição de uma seqüência VA em suas componentes simétricas definimos seqüência de trifásico simétrico é aquela em que f o V2 0 seqüência de trifásico puro é aquela em que 0 0 Va 0 seqüência de trifásico impuro é aquela em que f x 0 V2 0 VQ 0 198 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Figura 32 Determinação Gráfica de VÁ COMPONENTES SIMÉTRICAS 199 33 MUDANÇA NO PRIMEIRO FASOR DA SEQÜÊNCIA Vamos analisar como variam as componentes simétricas de uma dada seqüência quando a substituímos por outra obtida por uma rotação cíclica de seus fasores isto é tomemos as seqüências i i r Kc 1 1 1 V II 1 a 2 a K vB 1 a 2 a Kr y c 1 a a 2 A2 1 a a 2 Y b2 c 1 1 1 o o II T 1a2a Ti Tb 1a a2Tc 2 Determinaremos as relações existentes entre as componentes simétricas das três seqüências dadas Para tanto observamos que 1CP II W I w i i r fO co c fN 1 a a2 1 a 2 a i O T1 1 T 1 1 e K w T 1 1 05 tk tik 1 Desenvolvendo o produto da primeira linha das Eqs 34 obtemos r A K vch b K K donde concluímos que VAQ ÉB0 Pco 35 Analogamente desenvolvendo a segunda linha das Eqs 34 obtemos VM V Á a v a J a P c a 2PA a Aa 2 o a 2 j a o istoé a 2F4i e FC1 a F a 2 36 Desta forma mostramos que a cada rotação cíclica na ordem dos fasores que compõem a seqüência dada corresponde uma rotação de a 2 na componente simétrica de seqüência direta Finalmente desenvolvendo a terceira linha das Eqs 34 obtemos 200 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA VA2 V Á a 2VB aVc VB2 V B a aVA 2Vb Vc VAa vc2 V C a 2VA aB l a rc r A a 2VBa 2 istoé VB2 a ÊA2 e VC2 a 2P2 a 37 Desta forma mostramos que a cada rotação cíclica na ordem de fasores que compõem a seqüência dada corresponde uma rotação de a na componente simétrica de seqüência inversa Matricialmente teremos 1 1 1 VA0 VA vB 1 a 2 a Và T c 1 a VAl VB 1 i 1 1 o L 1 a a Vm II Vc 1 a 2 a 1 a a2 Vái VA 1 a a 2 a 1 1 1 K1 Vc l i 1 Ko 1 a a2vA II VA 1a2a ji 1 1 1 Va vB 1 a a2 22 1 a2 a to Poderiamos ter chegado diretamente a esses resultados pois a uma rotação nos elementos seqüência VA deve corresponder a mesma rotação nos elementos correspondentes da linha matriz T EXEMPLO 33 Dada a seqüência 3000 2003130 200j330 determinar a suas componentes simétricas b as componentes simétricas de V B c as componentes simétricas de V c COMPONENTES SIMÉTRICAS 201 SOLUÇÃO Temos VA0 3000 2007330 200j330 3000 Al 300j0 2003190 2003 90 PÀ7 j 3000 20031150 200V3150J 100180 Logo as seqüêndas podem ser apresentadas da seguinte maneira VA 3000 1000 S 100180 VB 3000 1001120 S lOQj60 Vc 300j0fSo 1001120 S 10060 S 2 1 1 1 ase II 1 s a 2 e S2 a 1 a a 2 Fica a cargo do estudante repetir o exemplo graficamente 34 APLICAÇÃO A SISTEMAS TRIFÁSICOS 341 INTRODUÇÃO Neste item vamos nos familiarizar com o uso de componentes simétricas procurando interpretar o significado de cada uma das componentes Iniciaremos por estudar as relações entre as componentes simétricas das grandezas de fase e de linha Procuraremos também determinar para os vários tipos de ligações de sistemas trifósicos aquelas componentes que sejam sempre nulas cujo conhecimento futuram ente nos auxiliará na interpretação dos diagramas seqüenciais Posteriormente estudaremos a aplicação de componentes simétricas à resolução de circuitos trifásicos Para tanto desenvolveremos as leis de Kirchhoff em termos das componentes de cada seqüência e o algoritmo para a transformação das impedâncias da rede em impedâncias seqüenciais 202 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 342 SISTEMAS TRIFÁSICOS A TRÊS FIOS LIGAÇÃO ESTRELA Na Fig 33 está representado um gerador trifásico ligado em estrela cujo centroestrela não está aterrado Inicial mente vamos determinar as relaçõesjscistentes entre as componentes simétricas das tensões de fase e de linha A N O Il V CNy Figura 33 Gerador ligado em estrela Aplicando a 2a lei de Kirchhoff obtemos ú ú y y v p p A8 AN r BN r BC r BN r CS T CÁ T CN r AN que em matrizes resulta 1 1 r BN II BC BN CN V V t a n C A L CN J A N Soido PANi e VANi as componentes simétricas das tensões de fase as seqüências V e V B serão dadas por AN AN0 S 0 S S2 BN AN0 A N ia S V Av20t S2 Logo A N B N Ê AN A N 0 íA T n ÊJV2 0 O t S j porém sabemos que l a 2 7330 e 1 a 7330 Resulta que v V VBN 0 S S m S J3I30 38 Na Eq 38 determinamos três fasores um nulo outro valendo 7330 VÁS e o terceiro valendo 7330g y que constituem respectivamente uma seqüência zero uma direta e uma COMPONENTES SIMÉTRICAS 203 inversa e que somados fornecem a seqüência Vaj logo pela unicidade das componentes simétricas são evidentes as relações entre as componentes simétricas das tensões de linha e de fase V w V3I30 39 Frisamos que a componente simétrica de seqüência zero das tensões de linha será sempre nula pois Em particular tratandose de sistema trifasico simétrico com seqüência de fase positiva suas componentes simétricas reduzemse tão somente à de seqüência direta Isto pode ser mostrado conforme a seguir que resulta 1 1 a 2 A N a 2 c n a T 1 T Va 1 0 I a 2 a í a a 2 Pela unicidade da decomposição de uma seqüência em componentes simétricas fica óbvio que 0 A N X A N A N 2 Passemos a analisar o significado da decomposição de uma seqüência em suas componentes simétricas Conforme já vimos dada uma seqüência V esta pode ser decomposta em r i Y í 1 li BN s 1 K a 2 a ÉcN 1 a a 2 K É Pi V r BN a 7É aK e V Y CN K aE a 2K isto é 204 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Ou seja podemos substituir o gerador cuja fem vale VAN pela associação série de três geradores de fem Ê0ÊX e F2 O raciocínio é análogo para as outras duas fases Essa substituição foi feita na Fig 34 Além disso observamos que os pontos A0 B0 e Ca estão no mesmo potencial Logo podemos substituir os três geradores de fem V0 por um único de mesma fem ligado entre a terra e o centroestrela ponto N Assim o circuito da Fig 34a foi transformado no da Fig 34c em que evidenciamos o efeito da componente de seqüência zero da tensão que é o de elevar o potencial do centroestrela Sendo VBN ÊCN e fÇA CS AN tomase evidente que nas tensões de linha a componente de seqüência zero é nula b Circuito equivalente em com ponentes simétricas c Circuito equivalente com a componente de se qüência zero isolada Figura 34 Circuito Equivalente COMPONENTES SIMÉTRICAS 205 A componente de seqüência inversa introduz uma assimetria no trifásíco De feto suponhamos conforme Fig 35a um trifásico simétrico isto é P0 P2 0 e Pj 0 Suponhamos agora que por qualquer razão surja uma componente de seqüência zero Evidentemente conforme Fig 35b ocorrerá tão somente o deslocamento do ponto N do nível de terra para o potencial F0 Finalmente suponhamos que surja uma componente de seqüência inversa Esta provocará o desaparecimento da simetria que existia entre os fesores ÉBN e ÉCN Isto é ilustrado na Fig 35c onde é mostrado que a seqüência inversa dá lugar a uma assimetria de tensões c Trifásico com V 0 e V1 0 e V0 0 Figura 35 Influência da seqüência zero nas tensões de fase Podemos definir grau de desequilíbrio das tensões como sendo a relação entre os módulos das componentes de seqüência inversa e direta ou seja grau de desequilíbrio 310 EXEMPLO 34 Para o sistema monofásico a três fios da Fig 36 determinar as componentes simétricas de fase e de linha e o grau de desequilíbrio 206 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Figura 36 Circuito para o Ex 34 SOLUÇÃO a DETERMINAÇÃO DAS COMPONENTES SIMÉTRICAS DE FASE Adotandose 1 1 1 II 1101180 CN 0 resulta 0F 1 1 1 r llOjO 1 0 1 a a 2 110180 110330 L V 3 a 2 a 0 3 1103130 b DETERMINAÇÃO DAS COMPONENTES SIMÉTRICAS DAS TENSÕES DE LINHA As tensões de linha são ab 220T 1101180 VCÁ 110180o Suas componentes simétricas são K l 0 Kl V3J30Kf UOjT V2L V31300 V2F 110 Para verificarmos os resultados encontrados temos que COMPONENTES SIMÉTRICAS 207 ab K l Kl K l 0 110 110 220JT BC K l K l a É2L 0 z2110 í 110 110180 VCA K l 0 a 110 a 2110 1101180o b DETERMINAÇÃO DO GRAU DE DESEQUILÍBRIO GD Temos que que é o máximo valor do grau de desequilíbrio As Eqs 39 relacionam os valores das componentes simétricas das tensões de fase com os das de linha Portanto dada uma seqüência de tensões de linha e sendo esta sempre pura É0L 0 o valor da componente de seqüência zero das tensões de fase está indeterminado A seguir analisaremos em que condições essa componente será nula conforme o Capítulo 1 Assim admitamos ter conforme Fig 37a um gerador ligado em estrela alimentando uma carga constituída pelas impedâncias ZA ZB eZc também ligadas em estrela São também dados conforme Fig 37b as seguintes seqüências Vxn seqüência das tensões de fase no gerador seqüência das tensões de fase na carga Va seqüência das tensões de linha Conforme já vimos Fig 34 e demonstraremos novamente as componentes simétricas das seqüências direta e inversa de Van e V são iguais diferenciandose somente pelo valor da componente de seqüência zero Vamos determinar um ponto O tal que a seqüência VAO tenha as mesmas componentes de seqüência direta e inversa de VAN e que tenha a de seqüência zero nula Para tanto consideremos conforme a Fig 37c o conjunto das tensões de linha triângulo ABC O ponto O de intersecção das medianas determina uma seqüência de tensões de fase VAO cuja componente de seqüência nula é zero De feto lembrando que 208 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA c c Determinação do ponto 0 tal que VA0 O Figura 37 Interpretação da tensão de seqüência zero determinaremos inicialmente o fasor VAO e provaremos que VAO Vco Assim construímos o paralelogramo AOBM com AM e BM paralelos respectivamente a BO e O A Observamos que os triângulos AOP e BPM são iguais pois OÂP MèP AO 11 BM OPA MÊP opostos pelo vértiet OA MB por construçã Portanto AP PB isto é o ponto P é o ponto médio de AB logo os pontos C O P z M estão sobre a mesma reta Lembrando que CO 23 CP OPI3 CP e OP PM resulta que COOPPMOM donde VÁO Vco 0 Em conclusão observamos que o ponto O determina uma seqüência de tensões de fase pura Qualquer outra que tenha as mesmas componentes de seqüência direta e inversa diferenciarseá desta pela diferença de potencial entre os pontos O e N conforme mostrado na Fig 38 Desta forma temos COMPONENTES SIMÉTRICAS 209 343 SISTEMAS TRIFÁSICOS A TRÊS FIOS LIGAÇÃO TRIÂNGULO Inicialmente vamos determinar a relação entre as componentes simétricas de fase e linha numa ligação triângulo Para tanto seja uma carga desequilibrada conforme Fig 39 que absorve as correntes IAB de fase e IA de linha Isto é u h Iab B C II 1 t a 1c A I a Figura 39 Circuito em triângulo Aplicandose a primeira lei de Kirchhoff aos nós A B e C resulta í A 1 AB 1 CA f B 1 BC AB Ã É a BC que em matrizes resulta fi VI pcl Ia 1BC L h J C A BC Sejam e as componentes simétricas de IAB isto é T 1 1 B C I a 2 A B a J c A í a a 2 Lembrando as Eqs 36 e 37 temos 210 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ICA Y 1 1 I a b 1 ABo a 2 a 1 a b í a J B C l a a 2 Sejam ainda l Ai e IÁ2 as componentes simétricas da seqüência IA L i 1 1 K 1 b 1 c 1 1 r Ao a 2 a 1 A a a 2 Teremos Y 1 1 Y l 1 Ao r n 1 Al a 1 a 1 1 ASo s a b x a í ABX a AB2 a 1 ABZ E sendo L b 1 a t M l V 3h30 Iab a 2l Ml l a 2lMl resulta U 0 l A 3130 V330 ou em matrizes pj i o o o Iab0 0 V330 0 I a b kJ 0 0 V330 j AB1 311 312 As Eqs 311 e 312 exprimem a relação entre os valores das componentes simétricas das correntes de fase e de linha Observamos que qualquer que seja a carga ligada em triângulo a componente de seqüência zero da corrente de linha é sempre nula Analogamente a quanto fizemos com as tensões definimos grau de desequilíbrio das correntes como sendo a relação grau de desequilíbrio COMPONENTES SIMÉTRICAS 211 344 PRIMEIRA LEI DE KIRCHHOFF EM TERMOS DE COMPONENTES SIMÉTRICAS Consideremos uma rede trifásica qualquer na qual em um nó P genérico incidem em cada fase n correntes conforme ilustrado na Fig 310 AlP Á2p ÉP BiP B1P BnP C2P Cp Em matrizes teremos A1P AZP Ap Pela primeira lei de Kirchhoff temos A p A n P I B P h ü 2 P J B n P I c L u J i c 1 I c L c n P J Figura 310 Correntes incidentes no nó P 212 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Decompondose essas carentes era suas componentes simétricas resulta T 1 1 T 1 1 1 i 70P a 2 a a to a i l 1 I q u2 P 2 a a a Y 1 r i h a 2 L a V 1 a ct2 Y 1 1 K I22p I2nP 0 1 7o1P I02P I0p tf2 7i ij IhP 7iaP a 0 1 a a 2 0 Ora para que essa igualdade seja verificada para qualquer valor das correntes devemos ter K I 0 0 2P nP 0 K I h p V 0 K I 21P 2nP 0 313 As Eqs 313 mostram que a primeira lei de Kirchhoff aplicase às componentes simétricas das correntes isto é num nó qualquer a soma algébrica das correntes de uma qualquer das seqüências é nula 345 SEGUNDA LEI DE KIRCHHOFF EM TERMOS DE COMPONENTES SIMÉTRICAS PARA CIRCUITOS SEM INDUTÂNCIAS MÚTUAS A fim de nos familiarizarmos com a aplicação de componentes simétricas procederemos à resolução de alguns circuitos para posteriormente passarmos ao caso geral Assim tomemos o circuito da Fig 311 no qual um gerador de tensões de fase VAN ÊBN e t CN quaisquer ligado em estrela alimenta uma carga constituída pelas impedâncias 2 Á 2B e 7C também ligadas em estrela Os centroestrelas do gerado e da carga não estão ao mesmo potencial portanto podemos interligar esses dois pontos por meio de um gerador de tensão constante igual a Êm COMPONENTES SIMÉTRICAS 213 Figura 311 Circuito em estrela Teremos uma rede com dois nós e quatro elementos Logo resultam três malhas independentes malhas ANN BNN e CNN cujas equações são AN AW ÉNA 0 Vm B 0 CN Mas por outro lado temos an ZÃ1A ÉBN ZBI B ÉCN Zcl c que expressas matricialmente são dadas por 0 0 jV bn 0 0 i fcN 0 0 Zcj c Salientamos que a matriz das impedâncias acima é diagonal isto é os elementos fora da diagonal da matriz são nulos Os elementos da diagonal representam as impedâncias próprias As impedâncias mútuas inexistentes para o circuito da Fig 311 seriam representadas pelos elementos fora da diagonal A equação de malhas posta em forma matricial tomase T X 0 0 VA B N í V v N N 0 0 h í 0 0 zc Í C ou lembrando que 214 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA X 1 1 r X o X o 1 a 2 a X T X c 1 a 2 X X e que X 1 1 f W x h 1 a2 a L T X tc 1 8 fi 1 J a2 X resulta Y O 0 IN 1 X o T 1 Vw NN 0 ZB 0 T X N 1 J o o X Prémultiplicando ambos os membros por T resulta X Y X 0 0 X o X T1í r Ntr T 1 0 X 0 T X X í 0 0 Zc X Por outro lado sendo Y p 1 r MV 1 1 f Y Yy w T 1 1 1 a a2 1 p r NN 0 1 1 a2 a 1 0 X o o 1 X Zc l 1 f T i 0 ZB 0 0 0 zc T 3 X o X X Z a2ZB a Zc 1 a2 a 1 a a2 Z4 zfl zc Z a 2ZB aZc Z aZB cl 2 Zç 3 3 3 ZA clZb a 2Zc X zc Z a 2ZB aZc 3 3 3 ZA a 2Zfl aZc ZA aZB a 2Zc Z Zfi Zc 3 3 3 Por analogia com os valores já definidos fazemos COMPONENTES SIMÉTRICAS 215 ZA ZB Zc y ZA clZb a 2Zc ZA a 2Zfl aZc o i 3 2 3 e definimos Z0 Z e Z2 como sendo as componentes simétricas de ZA ZB e Zc resultando portanto que ZA 0 0 7 7 7 0 z 0 T Z z 0 z 2 0 0 zc z 2 z x z 0 Logo o V NN Z0 Z2 Zj l AO Ko Kw Zo Z2 Zj Kl 0 z z 0 z 2 ou ainda Ki 7 7 7 1M A 2 0 Z2 z z0JA2 1 rs i Z2 z z 0 1 2 A Eq 314 exprime a segunda lei de Kirchhoff em termos das componentes simétricas para a rede dada Salientamos que é possível decompor o circuito dado conforme Fig 312 em três circuitos a saber 1 Circuito de seqüência zero constituído por uma fem de valor VA0 alimentando uma impedância Z 0 e tendo mútuas Z 2 e Zx com os circuitos de seqüência direta e inversa respectivamente e cuja equação é dada por VÁ0 Vm Z j M Z21M Z j A2 2 Circuito de seqüência direta constituído por uma fem de valor Kx alimentando uma impedância Z0 e tendo mútuas Z e Z2 com os circuitos de seqüência zero e inversa respectivamente e cuja equação é dada por VAX Z j A0 Z j Al Z21A2 3 Circuito de seqüência inversa constituído por uma fem de valor VA2 alimentando uma impedância Z0 e tendo mútuas Z2 e Zx com os circuitos de seqüência zero e direta respectivamente e cuja equação é dada por VA1 Z21A0 Z j Al Z j A2 216 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA b Representação por diagram as seqüenciais Figura 312 Circuito dado e sua interpretação por circuitos seqüenciais Caso as ímpedâncias dadas sejam iguais entre si isto é ZA ZB Zc Z resulta que Z0 Z e Zj Z2 0 Os três circuitos seqüenciais tomamse independentes e suas equações passam a ser Vao Vm As Eqs 315 mostramnos que em se tratando de sistema trifásico equilibrado as correntes de cada uma das seqüências produzem quedas de tensão somente na mesma seqüência No caso do circuito dado a três fios a corrente 0 deverá ser nula pois pela primeira lei de KirchhoíF aplicada ao nó A ou N temos que 3lA0 IA IB Ic 0 e logo Vm VA0 No caso de se colocar um fio com impedância nula interligando os pontos N e N ou seja instalando um fio neutro ideal teremos Vm 0 e 1 Á0 0 No caso do fio neutro que interliga os pontos N e N ter impedância ZN resulta 1A0 0 e NN M 1 c n L o ZJao Z lAX 315 COMPONENTES SIMÉTRICAS 217 A fim de generalizar os resultados obtidos vamos estudar o que ocorre com a lei de Ohm aplicada a um trecho de circuito trifasico Seja um elemento de uma rede trifásica conforme representado na Fig 313 Pa o Ía ZA d VpQA Qa O Pb 1b o i Zb Vpqb Qb o Pc Qc o Figura 313 Elemento de rede à três fios Aplicandose a lei de Ohm a cada fase resulta que Y PQA ZA 0 0 V JZPQB 0 ZB 0 4 iZ 0 0 z c 4 donde EZ yPQo X 0 0 tpQo ú PQ 0 Zb 0 TIp2i V L yPQi J 0 0 2c pQi Prémultiplicando ambos os membros por T 1 e efetuando o produto T ZT resulta 1 í 1 X 7 71 Z2 3 1 V PQ z Zq Z2 PQ X Z Z0J pQí em que PPQq VPQi e VPQi representam respectivamente as componentes de seqüência zero direta e inversa da queda de tensão entre os pontos P e Q e I PQo í PQi e l PQi representam respectivamente as componentes de seqüência zero direta e inversa das correntes entre os nós P e Q Z0 Zx e Z2 representam as componentes simétricas das impedâncias ZAZ B e Zc 218 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA No caso de sistema trifasico a quatro fios conforme Fig 314 sendo ZN a impedância do fio neutro e aplicando a segunda lei de KirchhofF à malha PAQAQNPN teremos p a Qa Q a Qn Q n p n OU Q a Q n a Q a Repetindo a aplicação da segunda lei de Kirchhoff às malhas PBQBQNPN e PCQCQNPN e exprimindoas em matrizes teremos l VPaPh yVQaQn i7 vpaQa y vQpn Pí Pn yQbQn yr PbQb y vQnPn 1 7 r PcPN j iy L vQcQn J y l r P c Q c j y L vQnk j Pa Pb I a Ib tc PN o Z n í Z IaW c Figura 314 Elemento de rede a quatro fios E sendo PBPn Qa Q n 7QbQn 7QcQn 1 1 1 a 2 1 a a a T VB 1 1 1 1 a 1 a a a rQo J L j T a fo yr pa Qa 1 1 1 Tr 5a i 1 Sy 5 y Pb Qb 1 a 2 a y r PQi T y y PQi y V c Q c 1 a a 2 yJPQi y L vPQi J e QnPN ZÁA fí c ZNN 3ZtfI0 COMPONENTES SIMÉTRICAS 219 resulta V VPQo Y T T VPQX 3Z 0 1 1 j pi I Prémultiplicando ambos os membros por T 1 e lembrando da Eq 316 resulta PP i x z2 z z Z0 Z2 i izjj Y í K la J Z2 Zj Zg A i Por outro lado i í 1 Y Y 1 a a 2 1 0 í a 2 a 1 0 donde V Z 0 3 Z z2 z r z Zo z2 A K J 1 z2 Z z0 h 317 A Eq 317 exprime a segunda lei de KirchhofF em termos de componentes simétricas aplicada a um trecho de rede quando desprezamos as indutâncias mútuas EXEMPLO 35 Um gerador trifásico conforme Fig 315 alimenta através de uma linha uma carga desequilibrada na qual as tensões e correntes valem V A N 2 i q r 21 É j v 210j90 B N 21 C N 21090 C N 2 220 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Figura 315 Circuito para o Ex 35 A impedância de cada condutor da linha vale 05 j10O e a do retorno vale 02 j03fí Pede se determinar as componentes simétricas e as componentes de fase das tensões do gerador SOLUÇÃO 1 Determinação das componentes simétricas da tensão na carga Temos 1 i i r 1 hJ ffi lo 1 1 3 2iqo 2iq90 2io9o 70 jO Va s 1 a a 1 2iq90 2100 21030 f 21030 19124 jO J 1 a 2 a 210900 2100 210j210 210210 5124 yo 2 Determinação das componentes simétricas da corrente na carga i i r 21 1 3 210 210 210 7 jO 1 a a 2 21 210 21120 211120 14 jO 1 a 2 a 21 210 21120 21120 14 jO 3 Determinação da matriz de impedâncias da linha Temos que Z0 ZM 05 jl0 a Z Z2 0 donde Z0 3Z Z2 2 U j 19 0 0 Z Zx Z0 z2 0 05 jl0 0 Z 2 z 2o 0 0 05 y io 4 Determinação das componentes simétricas da tensão no gerador COMPONENTES SIMÉTRICAS 221 Da Eq 317 resulta A N 0 20 32 n 1 2 2 r i I ANo 2 2 2 1 AN I JAN2 7 7 7 o íA N 2 donde 0 70 11 719 0 0 i 623 7133 19124 0 05 710 0 14 19824 714 A N 2 5124 0 0 05 710 14 4424 714 5 Determinação da tensão no gerador 623 7133 2163 7147 2168139 BN T 19824 714 147 72373 2377935 fcN 4424 714 147 71827 1833946 EXEMPLO 36 Uma linha alimenta uma carga equilibrada ligada em estrela conforme Fig 3 16 A impedância de cada um dos fios da linha é 05 j100 a impedância de fase da carga vale 45 j30Q e a alimentação é através de sistema trifásico simétrico com tensão de linha de 380V Determinar admitindo um curtocircuito na fase C da carga isto é Zc 0 as correntes e tensões no sistema 222 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA SOLUÇÃO 1 Determinação das componentes simétricas a No gerador O trifásico simétrico será dado por 1 oN 1 i i r 1 a a2 2200 220120 0 2200 2 3 1 a2 a 220120o 0 b Impedâncias da linha 7 7 7 Z0 AZZ 05 100 Z i Z aZDa2Z c t j ZÃa2ZBaZc 2 05 i0 05 10 1 a a 1 a 2 a 0 0 b Impedâncias da carga Z 4 Z Zr 2 A 9 J6 Z Z2 3 3 7 àZa a 2Zf 3 J2n 45 3 i ü 2 a 22 a aZn 45 3f a 2 15 ja 2 15 ja 18937Q 18263íl 2 Equacionamento Considerandose os pontos N e N interligados por um gerador de fem Êm tal que a corrente entre esses dois pontos seja nula teremos nas malhas NAAN NBBN e NCCN a seguintes expressões CN nN r Á ÍA Z J A Za i ZB S Z c c zcc que em termos de componentes simétricas resultam COMPONENTES SIMÉTRICAS 223 p r m Z f0 Z2 Z po Zo z 2 Z V L 0 Z Z0 Z 2 1 Zj z 0 z 2 t f 2 L 0 J z 2 z Z0UJ Z2 Zj Z0 T Lembrando que P0 P2 0 Z Z 0 eque 0 tB c 0 temos 7 r 7 7 7 V Pi z z 0z0 z 2 A 0 z 2 z t Z 0 Z0 A ou ainda Úwr 2 A lA p yVi z2a o zA Z0z02 donde Vm Í8263 t l89372 2200 35 7 3 181263 0 18937 33 y32 Resolvendo obtemos 55961430 I 2 218511699 Vm 1399713 E as correntes na linha resultam l A 46271652 4 B 514711400 c 7769751 346 SEGUNDA LEI DE KIRCHHOFF PARA CIRCUITOS TRIFÁSICOS COM INDUTÂNCIAS MÚTUAS Seja o trecho AA de uma rede trifásica a quatro fios conforme mostrado na Fig 317 Nas malhas AA NN BBNN e CCNN teremos ía Yaa Vas 1 Yptn 0 ou seja VAN V V 318 A Eq 318 exprime a segunda lei de Kirchhoff em forma matricial sendo que 224 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ST 1 K n vV BN v AN w r CN J C N N V N N V V r BB VVNN v N N v L C C v N N A i N B Í b r V bn c T f P I n N ZA CZZh zc Zg C U a b c r A o V an B o i Vbn C o Vcn LL Figura 317 Trecho de rede trifásica Por outro lado conforme visto no Cap 1 temos que Za impedância própria do condutor a Zb impedância própria do condutor b z c impedância própria do condutor c feN íi JN impedância mútua entre os condutores a cb 7 7 impedância mútua entre os condutores b e c ZcA ZAC impedância mútua entre os condutores c e a Zag ZGA impedância mútua entre os condutores a e retomo Zbg ZGB impedância mútua entre os condutores b e retomo 7 7 impedância mútua entre os condutores c e retomo ZG impedância própria do condutor de retomo L corrente no condutor a h corrente no condutor b Ê corrente no condutor c Ê Ê B Ê corrente no condutor de retomo resultando COMPONENTES SIMÉTRICAS 225 AA ZA1Á ZaJ ZcaC ZAGtÁ t B Zc BB a ba Zgfi Z g c fc Z BG l A 4 4 ÉqC ZCAt A BCB ZClc ZCGlA 4 4 que com matrizes pode ser expressa por Z Á Zab 7CA 4 V BB Zab Zb Zqc 4 30 ZbG 4 c Zça Zbc Zc i ZcG 319 em que 0 representa a componente de seqüência zero das correntes IA 4 e c O valor de e dado por J4w ZG1 ZAG1A Zbgb ZCG4 Sendo 4 4 s c resulta IN 30 donde 3Zg0 ZãG1a Zjjq jj ZCGC Definindose o vetor VNN por Y Y Y V TNTf 1 37 1 Zaga ZBG1B zcg4 i 1 i 1 ou ainda V t NN 3 7 g í o Y Z5G ZCG 1 1 7 7 7 4 320 1 Zg ZCG 4 e substituindo as Eqs 319 e 320 na Eq 318 resulta Vr AN fy VAN 1 z Z ab ZcA r i 7 A G Y Z bg Zco 1 yr BN yr BN Z ab z B ZBc 4 3 4 7BG 3ZG0 1 ZG ZBG Z çG 4 yCJV J y i r CN J ZCA ZBc Zc Jc 7 C G J 1 Zag Z BG Z q g Jc f 7 7 7 7 7 7 l 4 7 7 1 AG 7 7 7 7 7 7 4 3 4 z a ZBG Z A1A 34ZC ZC ZG Zc 7 Zc ZCG L 4j ZG CG 226 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELETRICOS DE POTÊNCIA Substituindo na expressão acima as tensões e correntes por suas componentes simétricas obtemos Ti AO A 2 Ao K i A2 Z T 30Zg Prémultiplicando ambos os membros por T 1 obtemos o Vo K T ZaT 1 ÊA2 h f 30TZc 321 Passemos a calcular separadamente os valores de T1ZAT e de T JZG isto é T ZA A 3 1 1 1 1 a a 2 2 ZA ZAg ZCA 7 A ZAO ZA xZ x ZCA 2 Z A o ZÁB aZCA z A Z Ag Z a b Z b g ZCA z c g ZAB ZAG ZB Z BG Z b c Z q g J Í c a Z AQ Z b c Z b g Zc Z c g zB 7 BC 7 Z Ca ZBC zc 3 Z BG 1 Z Zjb Ct2Zr Z iD X Zg f CíZr ZqA ZZSC a Zç ZCA oc Zqç cxZc Finalmente T ZaT T ZA Zi Zo Zr 2 1 1 1 1 a 2 a 1 a a Zab f Zn 3 ZAf 4 Zn 4 Zrt a 2Za 4 oZr oZ Z 3 1 f 3 Zag a Z otZ Ia a 2Z aZ i Z A Z B Z r z Z CA 3 i 3 3 2ZS a Z c a Z a 2Z CA Z Z A aZ CE Z r a Z j a Z r i Z 3 3 i 3 3 I ZA aZB QZc Oí Zab fZZçA 3 3 J z ctZflrt Z txTZa Õ Z Z Z Zfl Zc X zx z ou ainda COMPONENTES SIMÉTRICAS 227 T iZ T fé j fé J féAB f é AG BG ZCG ct aZc j f Z o 2Z ic Zj i 3 4G BG CG j Z j Z aZs c a 2Zc 1 3 T 4G BG a ZCG f V féA Zb 02ZC 3 féÃB 1 i z z e zc i j féÁB BC CA a aZc 2 ct Z ocZCj4j z a 2Z5 oZc a aCA ZA aZB a 2Zc Z Jt aZK a lj j z zi z c 1 i 2 LS 2k ZCA Definindo 0 fé a Zc ZAX féA xZB cr ZCJ ZA2 féÀ ct ZB cZc j 2 ABO f é x B B C c a A B l B C Z c a A B 2 G B C X C a A G O T f é AG B G C g A G T féA G S G 05 C g AG2 T féA G Ot Z m C ZCG resulta 0 ABO 3Zago 1 ZA2 cabi 3 2AG2 Z j a AB 3ZAGl t i Z a T z 2 1 7 7 1 j 0 ABO j A2 O f Z f j Í 2 aB2 i í i a Z j 7 iíO 7 ABO 322 Além disso temos T Z l 1 1 7 2 1 1a a2 7 7 G B G Ia2 a z z G CG J 7 7 2 AG G j r 7 BG CG 3 ZAG ZgQ OC CG 2 AG 0C Z g g CtZçQ ou seja 228 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 30T1Zg 323 Finalmente substituindo as Eqs 322 e 323 na Eq 321 resulta K o A l K i l f A 2 V A 2 j ZaO 3Z g o ZÁ2 ÃÃaBI 3Z g 2 Z 1 a 3 Z 4G1 p l ZáI a ZjiB 7 7 ABO ZA2 2oZab2 A LÁ1 CUJB2 i ZÁ 2a ZMl 7 AO 7 AB 0 UJ Zq ZAG o Zoo Zqx 7q2 A 3 ZAQ A zi0 Zn ZI2 A Z AG2 Z20 7n Z22 UJ onde 7oo ZM F ZQ ZAG o 3Zg 701 ZA 2 Ã7AB2 3 G2 Zq2 zAl 3 7 JAGÍ Z ss ZM a ZÁt8 3ZAGl Z02 Zn ZA 0 ZAB0 Z2 ZA 2 2 ocZ ÍB2 Z20 ZA 2 ZaB2 3ZAG2 Z01 Z2t ZM 2a 7m z22 ZA0 7ABO Zn A Eq 324 exprime a segunda lei de Kirchhoff para um trecho de circuito trifasico com retomo por terra em que existem ímpedâncias próprias e mútuas todas diferentes Notamos que nesse caso a rede é representada por três circuitos seqüênciais que não são independentes isto é que estão acoplados per meio de impedância mútuas Na Fig 318 estão representados os três circuitos seqüenciais equivalentes ao trecho de circuito dado COMPONENTES SIMÉTRICAS 229 Passemos a interpretar o significado das impedâncias que surgem na matriz Z da Eq 324 Para tanto suponhamos os terminais A B C do trecho de rede trifasica da Fig 317 alimentados por três geradores de corrente constante lA l B lc ligados em estrela com o centroestrela aterrado diretamente ao ponto N Os terminais A B e C serão ligados diretamente ao ponto A por um condutor de impedância nula conforme Fig 319 As componentes simétricas das correntes 1A 1B Ic são dados por h a h fç i 1a b a 24 1a ç 3 1 3 2 3 Fig 319 Circuito com geradores de corrente constante 230 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Portanto os diagramas seqüenciais serão percorridos por correntes 0 t v I2 isto é poderemos representálos ligando entre os pontos A q N0 A eN A eiV2 geradores de corrente constante com valores I0 I2 respectivamente Por outro lado podemos considerar os terminais A B e C ligados ao terminal N por meio de três impedâncias Z nulas Evidentemente teremos ÊbN Z 0 0 V 1 0 0 K o 0 o pol o z o A z 0 1 0 1 ou T v 2 0 1 0 T A 0 0 z J c 0 0 1 c n 0 0 1 A e prémultiplicando ambos os lados por T 1 resulta 1 0 0 V r T 0 1 0 T A z A n 0 0 1 A A Logo temos que P0 Z0 Z tf Z2 ou seja nos diagramas seqüenciais os terminais A A e Á 2 serão ligados ao terminal N por meio de uma impedância Z que no nosso caso particular é nula isto é os circuitos seqüenciais tomamse os da Fig 320 Suponhamos agora que sejam atribuídos aos geradores de corrente constante valores particulares isto é CASO 1 IA IB Ic conforme Fig 320b Se as três correntes são iguais resulta que ILá 1 1 0 o A u Além disso da Eq 324 teremos p 7 1 p 7 t p 7 0 OOO rl 2 y20i0 Notase pois que p 2 r é designada por impedância do circuito para a seqüência zero In é designada por impedância mútua entre os circuitos de seqüência nula e direta é designada por impedância mútua entre os circuitos de seqüência nula e inversa Nestas condições fazendose í 0 1 temos que 2W Zl0 Z20 representam respectivamente as componentes simétricas de seqüência nula direta e inversa das tensões de fase nos terminais do gerador COMPONENTES SIMÉTRICAS 231 d Excitação I a 1 Ib a I a21 Figura 320 D iagram as seqüenciais CASO 2 IA I IB a 2I lc al Neste caso resulta h h o i 232 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Além disso teremos K Z J X Vx ZuIf P2 z21 donde Z01 r é designada por impedância mútua entre os circuitos de seqüência direta e nula A V Zu y é designada por impedância própria do circuito de seqüência direta A Z2 y é designada por impedância mútua entre os circuitos de seqüência direta e inversa A Em particular fazendose 1 as impedâncias Z0lZ n Z 2J representam as componentes simétricas das tensões que devem ser aplicadas à rede para que circule somente corrente de seqüência direta 0 t2 1 7 7 7 r 7 r0 z02i2 M Zl2i 2 r2 222 CASO 3 aí lc a2 Neste caso resulta Além disso teremos donde Zqj é designada por impedância mútua entre os circuitos de seqüência inversa e zero A P Z2 L é designada por impedância mútua entre os circuitos de seqüência inversa e direta A Z22 é designada por impedância própria do circuito de seqüência inversa A Analogamente aos casos anteriores fazendose A 1 as impedâncias Z02Z 12Z 22 representam as componentes simétricas das tensões de fase que se devem aplicar à rede a fim de que circule somente corrente de seqüência inversa 347 LEI DE KJRCHHOFF PARA REDES EQUILIBRADAS COM 1NDUTÂNCIAS MÚTUAS IGUAIS 7BB Zcc Z H d 7BC II 11 7 7ac zBG 7jCG 7MG 7 7 7 2 M AGO 7MG 7A7 7 7 AB AB2 7AG Nestas hipóteses resulta COMPONENTES SIMÉTRICAS 233 Portanto teremos Znn Z 2Z 3Zn 6ZK z z2 2 Z Z 7 7 Z 01 02 10 M z z z12 20 0 A equação de Kirchhoíf expressa pela Eq 324 em termos das componentes simétricas passa a ser K Zoo 0 0 h r 0 ii 0 A k l 0 0 ZnLa J 325 Isto é os três circuitos seqüenciais se tomam independentes Em outras palavras podemos dizer que a transformação T 7 A aut I 012 é uma transformação que diagonaliza a matriz de impedâncias da rede Lembrando que Zm Zn Z21 representam respectivamente as tensões de seqüência zero direta e inversa que devemos aplicar à rede para que nela circulem correntes unitárias de seqüência nula direta e inversa e ainda tendo em mente que as impedâncias mútuas entre os circuitos seqüenciais são nulas podemos determinar rapidamente os valores de Z Zn Z22 para redes equilibradas ou seja alimentando a rede por três geradores de fem 0 com os terminais de saída da rede ligados em curtocircuito determinamos ZTO pela relação 0 0 As impedâncias Zn e ZJ2 são determinadas analogamente Assim conforme Fig 321 alimentando a rede por três geradores ideais de tensão com fem 2s0 0 2s0 ligados em estrela com o centroestrela diretamente conectado ao ponto A e interligando os terminais A B C ao N teremos porem an É KNN Éaa X o 2ZMla 3ZMGI0 K n o V 3Z 3Z V P AN JL0 A Io A Eo r y B Io B V 3l0 C Io C N N 3 l g Figura 321 Circuito para a determinação de Z qo 234 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA donde Êq Z 2 ZM 3 ZG y ou Zqo Z 27m 3Zg 6 Z o Para a determinação de Zn substituímos os geradores da Fig 321 por três geradores com ÈY a 2Êy aÊy de fem resultando o circuito da Fig 322 Assim teremos Êaa Ãl 2Ma ZMa 7MGlx a It alj z 2 Z Z Z M vA ZG ot j et ZAG cí a 0 o K donde p 7 7 7 yy Com procedimento análogo determinamos p 7 2 7 7 22 t Af 7 E Figura 322 Circuito para a determinação de Z 1 COMPONENTES SIMÉTRICAS 235 Notamos portanto que os três circuitos seqiienciais tomamse independentes isto é sem mútuas entre si Esta propriedade da aplicação de componentes simétricas é o que demonstra a grande vantagem de sua utilização para análise de sistemas elétricos de potência em diversas situações cano será visto nos demais itens deste capítulo Devese destacar que mesmo para o caso de sistemas trifásicos simétricos e equilibrados a utilização de componentes simétricas resulta vantajosa pois não há a necessidade de se considerar as mútuas entre fases o que permite a partir de um circuito monofasico equivalente que é o diagrama de seqüência positiva considerar estes efeitos sem aproximação alguma por exemplo para a linha de transmissão com transposição completa ou seja mútuas iguais entre fases basta utilizar 2 n 2 2 U 348 POTÊNCIA EM TERMOS DE COMPONENTES SIMÉTRICAS Dada uma carga trifásica qualquer na qual as tensões de fase são VÁ VB e Vc e as correntes de fase são IA 1B e c a potência complexa absorvida pela carga será Em matrizes Sendo s vcrc s i 4v a rA r c 1 1 1 4 4 T h 1 a 2 A J c h 1 a UJ e lembrando que sendo A C temos que 1 4 M C M re s u h a Y i i c 4 h i i 1 1 1 1 a 7 a 1 a a 2 Tomandose a matriz complexa conjugada de ambos os membros e lembrando que a e a a l120 1120 a 2 l120 11120 236 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA resulta n 3 Portanto teremos s 3 1 at 3K K iA isto é a potência complexa absorvida pela carga é o triplo da soma das potências absorvidas em cada seqüência Observamos que a potência não é um invariante em componentes simétricas Isto é devido ao modo cano foi definida a matriz T A seguir determinaremos matrizes de transformação T tais que a potência seja um invariante IA vetor das correntes de fase VA vetor das tensões de fase Ion vetor das componentes simétricas das correntes V012 vetor das componentes simétricas das tensões Teremos Sejam Logo e para que a potência seja um invariante deverá ser T P t U donde COMPONENTES SIMÉTRICAS 237 isto é a matriz T deverá ser hermitiana Evidentemente sendo teremos donde 1 1 a 2 a a a 1 2 T 1 1 1 1 a a 1 a 2 a rrrt T 1 1 1 r l i r l 0 o 1 a a 2 1 1 a 2 a 0 1 0 1 a 2 a 1 a aKi 1 0 0 1 Salientamos que vários autores definem como matrizes de transformação as T optamos porém seguindo a maioria por definir a matriz T 1inalmente sendo Z a matriz de impedâncias de uma carga cujas tensões e correntes são dadas por VA e IA resulta VA Z I A ou TV mí Z T I í12 Prémultiplicando ambos os membros por T1 resulta V012 T l Z T I 0lí isto é a matriz de impedâncias em termos das componentes simétricas Z012 é dada por ZH2 T1 ZT EXEMPLO 37 Um gerador trifásico alimenta por meio de uma linha uma carga monofásica ligada entre a fase A e a terra Conhecemse 1 Potência absorvida pela carga 09 j06 pu 2 Impedâncias equivalentes da linha Circuito de seqüência zero j01 pu Circuito de seqüência direta j005 pu Circuito de seqüência inversa j005 pu 238 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 3 Tensões do gerador È0 Ê2 0 10 p u Determinar a corrente e a tensão na carga SOLUÇÃO Temos que S ÉJl 2K Porém sendo IA 0 e IB Ic 0 resulta h h A i Logo 3 f W Figura 323 Circuito para o Ex 37 Porém temos Fig 323 K z J o Z J Z J 2 Z22I donde A ZM Z22 l Y Portanto Ê X 1 3 1 Zoo Zjj Zz 09 706 3 702 7 02 703 1 02 COMPONENTES SIMÉTRICAS 239 O valor de será determinado por processo iterativo ou seja adotase um valor 10 para I determinase IQ e calculase a partir da equação anterior o valor de A comparase ín com l0 Sendo a diferença entre estes dois valores maior que uma determinada tolerância to repetese o processo até que seja a 0 2 03 1 A Jo2 tol 9IeA A i tol 3w Aj Na tabela abaixo apresentamos os valores da parte real e imaginária de tendose utilizado tolerância de 00001 Iteração H 1 029999 470000 2 030432 469567 3 030436 469563 35 REPRESENTAÇÃO DE REDES POR SEUS DIAGRAMAS SEQÜENCIAIS 351 INTRODUÇÃO Neste item vamos nos ocupar com a representação dos elementos de uma rede Assim utilizando as leis de Kirchhoff determinaremos como representar por diagramas seqüenciais as linhas os transformadores os geradores e as cargas equilibradas Posteriormente estudaremos a associação destes elementos em série eou em paralelo para a representação completa da rede 3 52 LINHAS DE TRANSMISSÃO Cada linha de transmissão tem uma indutância própria em cada fio uma própria do retomo uma mútua entre os fios de linha uma mútua entre o retomo e os três fios de linha e uma resistência de cada fio de fase e do retomo Ou seja no que concerne à impedância em série a linha é representável pelos mesmos parâmetros que o trecho de circuito do item 346 Além disso a linha é constituída por três condutores e um retomo a terra separados entre si por um dielétrico Logo existirão ainda três capacidades O ligadas em triângulo capacidade entre os três condutores e três capacidades C ligadas em estrela com centroestrela aterrado capacidade entre os condutores e a terra Evidentemente as capacidades C ligadas em 240 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA triângulo podem scr substituídas por capacidades ligadas em estrela com centroestrela isolado Logicamente nas seqüências de fases direta e inversa teremos duas estrelas em paralelo isto é capacidade de cada fase para a terra dada por Ct 3Cc Na seqüência de fase zero na estrela com centroestrela isolado a soma das correntes é zero Logo não poderá haver circulação de corrente de seqüência zero isto é no diagrama de seqüência zero teremos de uma fase para a terra somente uma impedância C Na representação da linha por um modelo denominado n nominal concentramos metade da capacidade total em cada extremidade resultando os diagramas de impedância da Fig 324 EXEMPLO 38 Uma linha trifásica tem os seguintes parâmetros Dado Comprimento Impedância em série própria Impedância mútua entre fases Impedância mútua entre fases e a terra Impedância da terra Admitância em paralelo entre condutores e terra Admitância em paralelo entre condutores Valor 50 km 001j003 Qkm j001 Qkm j0Q04 Qkm desprezível 346 x 106 Skm 20 x 106 Skm No fim da linha as tensões e correntes valem II C n K n 2iqo 210 v t 1 1 A N 1 B N 120 101127 LJ 2 J c N ro c 1 Determinar a tensão a corrente e a potência no início da linha SOLUÇÃO 1 Diagrama de impedância Impedância em série total Z 001 003 50 05 jl5 Q Impedância mútua total entre fases ZM 0 01 x 50 05 Q Impedância mútua total com a terra ZMG j q 004 x 50 02 Q Impedância em série de seqüência zero Zw Z 2 ZM 6 ZMG 05 13 Q Impedância em série de seqüência direta e inversa Zn Z22 Z ZM 0 5 j 0 Q Admitância em paralelo total entre fases em triângulo jwCc 346 x 0 6 x 50 0173 x 103 mho COMPONENTES SIMÉTRICAS 241 I a oA Qa I a le r o Qb b Ic r oC Qc Ic In Pn 0 qn o I n Io Po a Trecho de linha b Circuito seqüência zero li Pt Vi Vz 0 Z Z I 1 0j 4 V 3 C c i V 3 C c 0 1 0 c Circuito seqüência direta Z22 Vr 0 A i 11 1 0 j C t 3 C c i V 3 C c d Circuito seqüência inversa Q2 Ig V2 Figura 324 D iagram a seqüencíal para linhas 242 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Admitância em paralelo total entre fases em estrela j3wC j052 x 10 3 mho Admitância em paralelo total entre fases e terra jwCt j20 x 106 x 50 j0 x 103 mho Admitância de entrada do diagrama de sequência zero j i j05 x 103 mho Admitância de entrada dos diagramas de sequência direta e inversa j 3Cc 7076 x 10 mho Os diagramas de impedância estão representados na Fig 325 2 Determinação das componentes simétricas no fim da linha K V Ébn V 700 K K V a 512 V K í 1 V a 2 1910 V L 1 3 V Ê N W o L 1 3 V xl fíN a CAT 10610 A L 1 3 v a bN 1390 A 3 Componentes simétricas no início da linha Para as tensões temos K K V oo L Z 69955 70014 V 699501 V l 1 7 45856 71059 V 47063116699 V K K V 2 2K 19175 71462 V 191755044 V e para as correntes temos K o V oo V 0007 x 10 5 70070 00790 A rhYn rurn 10602 70073 a 106021039 a 2 h V V 1389 70291 A 14191183 A 4 Potência complexa COMPONENTES SIMÉTRICAS 243 No fim da linha temos s 3rjl Ju 4 4 832392 JO VA e no inicio da linha temos 5 V Jl V J l 660561 7150818 VA 5Tensões e correntes no início da linha Para calcularmos as tensões e correntes no início da linha basta fazermos 1 V W 4 v r BN T K e BN T 4 Jat 4 353 REPRESENTAÇÃO DE CARGAS EM TRIÂNGULO E EM ESTRELA COM CENTROESTRELA ISOLADO Inicialmente observamos que uma carga ligada em triângulo pode ser substituída por outra equivalente ligada em estrela com o centroestrela isolado Portanto é suficiente estudarmos a representação desta última Assim seja uma carga equilibrada ligada em estreia com impedância de fase Z ligada a um trifásico qualquer Temos v AN vV AN Y z 0 o 4 Vr BN Vr BN Ém 1 0 z 0 4 V Lr CVJ Ú lC N J 1 0 0 z 4 ou ainda sendo V0 Vv e P2 as componentes simétricas de V Vm e VCN resulta o Y T 0 o 1 z 0 1 0 T t 1 0 0 1 4 244 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA V0i 2005 13Í 11 i 1 o Yoos05103i Yoos 05103i o Vos57LO a Seqüência zero I ii Zu z05l0j Ii V2i O 1 1 1 Yn1076x10 3 j YirO76xlO3j 1 Q b Seqüência direta Z22 0t510j i 1 i l í 0 Y22076 x1o3 Y22076xl03j O I1S 106110 VjS 5110 Is l3910 V2S191L0 c Seqüência inversa Figura 325 Diagramas sequenciais para o Ex 38 Prémultiplicando ambos os membros da equação acima por T 1 temos Y x 0 1 4 2 0 L J h COMPONENTES SIMÉTRICAS 245 ou seja é 0 1 2 z r Porém sendo o centroestrela isolado devemos ter IA IB lc 0 e portanto 0 0 Logo teremos que K í 2 Z2 Concluímos que 1 no diagrama de sequência zero a carga é representada por uma impedância infinita ligada entre o ponto N e o ponto considerado 2 nos diagramas de seqüência direta e inversa a carga é representada ligandose do ponto considerado ao ponto N uma impedância Z igual à impedância da fase da carga As componentes simétricas da tensão de fase na carga Ê0 e são dadas por X X Y o n 0 K n X 0 X Portanto sendo Ê0 0 o ponto N r coincidirá com o baricentro do triângulo das tensões de linha EXEMPLO 39 Uma carga trifásica equilibrada em estrela com impedância de fase de 8 j 6 Q é alimentada por um trifásico com tensões 2iqo Ébn 210j90 X 210j90 Pedemse 1 As correntes na carga 2 As tensões de fase na carga SOLUÇÃO a TENSÕES As componentes simétricas das tensões do gerador são dadas por K 7 V 4 aVm a A 191I0f V K a 3 a P OT 51110 V As componentes simétricas das correntes na carga são 4 o tf 19108 706 19137 2 51108 706 511370 donde 246 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA L 0 139937 1 h T 19l37 221011455 LCJ 51 lj370 2210714 Para a determinação das componentes simétricas da tensão de fase na carga lembramos que PoLogo o1 X vY m 0 n 0 r n K 0 n Final mente teremos X 0 1400 bn T 1911 221111084 fa 511 22111084 354 CARGA EM ESTRELA COM IMPEDÂNCIA DE FASE Z E ATERRADA POR MEIO DE IMPEDÂNCIA ZN Em tal caso conforme Fig 326 temos COMPONENTES SIMÉTRICAS 247 X X r BN Éb n i C N C N i Porém sendo NN M A Aí Ar resulta 1 0 oX Y bn 2 0 1 0 h 3Í02N i L c jst J 0 1h l Figura 326 Representação da carga em estrela aterrada por impedância Z Y Substituindo as tensões e correntes por suas componentes simétricas e prémultiplicando ambos os membros por T 1 temos y0 X Y K z A 3 Í02N 0 X Ji 0 Finalmente 248 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA K Z 3Z0 Ê 2ÍX Z2 Portanto nos diagramas de seqüência zero ligaremos entre o ponto considerado e o retomo a impedância Z 3ZV Nos diagramas de seqüência direta e inversa ligaremos a impedância Z 355 REPRESENTAÇÃO DE GERADORES Conforme será estudado oportunamente cada fase do gerador é representada por um gerador ideal de tensão em série com uma impedância Z conveniente Vamos estudar o caso geral do gerador ligado em estrela com centroestrela aterrado por meio de impedância ZN Fig 327 Temos A A Vr AN T Êbn Êbb Ú v BN í CN cc p JCN í mas C fj A A 1 z t ZT e A T cc Ic h A e 2 donde substituindo e prémultiplicando por T1 resulta donde 01 r0 A rv 1 v z A 3ZiV 0 0 A A A 0 K Êo fé f 3ZN10 rx èx ztv v2 ê2 zi2 Ou seja na seqüência zero o altemador é simulado por sua fem de seqüência zero em série com a impedância Z 3ZN Na seqüência direta é simulado pela fem correspondente em série com a impedância Z e na inversa pela fem de seqüência inversa em série com Z Salientamos que usualmente temos E0 Ê2 0 e Éx É pois os geradores são simétricos por construção Além disso no caso de o altemador estar diretamente ligado à terra ou com o centroestrela isolado será suficiente fazermos ZN 0 e ZN oo respectivamente COMPONENTES SIMÉTRICAS 249 356 REPRESENTAÇÃO DE TRANSFORMADORES 1 Introdução A representação dos transformadores apresenta particularidades que dependera do tipo de transformador e do esquema de ligação Assim estudaremos inicialmente os trifasicos constituídos por bancos de monofasicos nas ligações possíveis YYAA YA AY a seguir serão analisados os transformadores trifasicos com núcleo envolvente shelt e envolvido core para finalmente passarmos aos de três enrolamentos 2 Banco de transformadores na ligação YY Consideremos um banco de transformadores constituído por três monofasicos com o primário e o secundário ligados em estrela com ambos os centrosestrela aterrados por meio de impedâncias ZM e ZN Sejam VpN V SN e os valores nominais de cada transformador monofásico que admitimos com N p espiras no primário e N s no secundário Para a determinação da impedância de seqüência zero alimentaremos o banco por meio de uma tensão de seqüência zero com o secundário em curtocircuito e representaremos cada transformador por seu circuito equivalente impedância de curtocircuito em série com transformador ideal de relação N p Na desprezando o ramo de magnetização Fig 328 250 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA A itnpedância de curtocircuito referida ao primário vale Sejam Ep És Ip c ls as tensões e correntes no primário e secundário respectivamente Teremos Ês 3 mas 9 N donde a e ainda N 2 No primário teremos Êp lplp 3Z ou K tíz 3 321 fr donde a impedância de seqüência zero Z0 será dada por Ê Z0 4 7 3Z 3Z N 2 L P N 2 Ou seja o transformador poderá ser representado por um circuito monoíãsico tendo no primário em série com um transformador ideal com relação de espiras N pN s uma impedância constituída pela associação em série da impedância de curtocircuito com o triplo da impedância de aterramento do primário e com o triplo de impedância de aterramento do secundário referida ao primário Evidentemente em valores pu adotandose as bases de tensão do primário e secundário na relação de espiras será Zp N 2 V Ç f 7 p 7 ff N V2 V 2 V 2 s ritN rstf em que COMPONENTES SIMÉTRICAS 251 Figura 328 Banco de transformadores ligação YY 252 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Portanto em pu o banco trifasico em tela será representado pela impedância z0 ligada entre os pontos PcQ No caso do transformador ser aterrado diretamente no primário no secundário cai em ambos os enrolamentos será suficiente fazermos respectivamente zN 0 0 ou zN 0 No caso em que um dos enrolam entos está isolado da terra é suficiente fazermos a impedância de aterramento correspondente tenda ao infinito ficando aberto o circuito entre os pontos P e Q Esta conclusão é óbvia De fato no enrolamento o secundário p ex isolado não poderá hava circulação de corrente de seqüência zero pois no centroestrela deverá ser lÁ IB Ic 30 0 Além disso cano a corrente primária está relacionada com a secundária pela relação de espiras também esta deverá ser nula Assim a impedância vista pelo primário é infinita quando desprezase o ramo de magnetização Para os diagramas de sequência direta e inversa em valores pu conforme já foi visto no capítulo precedente representamos o transformador interligando os pontos P e Q por meio da impedância de curtocircuito 3 Bancos trifãsicos na ligação AA Suponhamos que os transformadores do item precedente tenham sido ligados com os enrolam entos primário e secundário Fig 330 em triângulo Com procedimento análogo vamos determinar a impedância que apresentam para alimentação por trifãsico com seqüência de fase zao p sj Pq Q n o IZZ1 CZZ o o è o Po o o Po o Zp f L Z D 3Z Qo o o Qq o O o Figura 329 Diagramas de seqüência zero para transformadores YY Z0 impedância de magnetização COMPONENTES SIMÉTRICAS 253 Observamos que o potencial dos pontos A B e C é o mesmo isto é p y p p Y AN r B N C N 0 Logo AB BC CA K É0 0 Portanto a corrente fornecida pelos geradores é nula isto é a impedância de seqüência zero é infinita Em conclusão um banco trifãsico na ligação AA é representado por uma impedância infinita entre os pontos P e Q Fig 331 P Q Figura 331 Diagrama de seqüência zero para banco AJA 4 Bancos trifásicos na ligação YA e AY Suponhamos agora ligar o banco dos itens precedentes com o primário em estrela com o centro estrela aterrado por meio de impedância ZN e o secundário ligado em triângulo Com finalidade puramente didática vamos separar a impedância de curtocircuito nas parcelas referentes ao primário e ao secundário isto é sejam Zpp impedância de curtocircuito do primário 254 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 7 impedância de curtocircuito do secundário Evidentemente temos V2 7 Z P Ç PP ÒN N 2 N 2 Nestas condições Fig 332 observando que os pontos QA Qg e Qç estão ao mesmo potencial resulta Z J Mas sendo resulta i i 2 p N ou ainda Por outro lado no primário temos Êa Êp IpiZ 3ZV ou ainda È L Z Z K N 3 Z J tpZp 3ZV de onde a impedância vista pelo primário é dada por COMPONENTES SIMÉTRICAS 255 Figura 332 Ligação de banco YA para a determinação da impedância de seqfiência zero Por outro lado observamos que se alimentarmos o transformador com seqüência de fase zero pelo secundário ligação A não circulará corrente pois os pontos QÀ QB e Qc estão ao mesmo potencial conforme o caso precedente Logo a impedância de seqüência zero vista pelo secundário é infinita Nestas condições é evidente que o transformador será representado em valores pu por uma impedância 2 3i n ligada do ponto P à terra e o ponto Q estará desconexo Fig 333 Em caso de transformado com o centroestrela aterrado diretamente ou isolado é suficiente conforme item 2 fazermos ZN 0 e 2N oo respectivamente Acerca dos diagramas de seqüências direta e inversa são válidas as considerações tecidas no item 2 porém cem uma ressalva no que diz respeito à rotação de fase De fato no item 263 verificamos que quando alimentamos o primário de um transformador ligado em estrela por tensões e correntes de linha V e as tensões e correntes de linha no secundário ligado em triângulo estão atrasadas 30 em relação às primeiras quando a seqüência de fase é direta e adiantadas 30 quando a seqüência de fase é inversa Ora em se tratando de trifásico simétrico esta rotação de fase não introduz nenhum problema de forma que simplesmente rodam todas as grandezas de um dos enrolamentos 30 Porém quando tivermos simultaneamente num circuito uma seqüência direta e uma inversa devido às rotações de fase opostas que ambas sofrem é evidente que se não tonarmos cuidados especiais incorreremos em erro 256 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA PO t A A p o Q o p o Pq Qq Qq Po Qo Figura 333 Diagrama de seqüência zero para transformador YA Assim em pu se tivermos no primário grandezas de seqüência de fase direta índice 1 e de seqüência de fase inversa índice 2 v zv2e2 estas grandezas no secundário valerão 0130 1130 v7300 e i230 Portanto no primário será 1 V2 A 1 h 0fl a 20 cn2 iB a 2i ai2 0C cnj a 202 ic a a 2i2 e no secundário teremos 0 30 íM30 L h 30 730 0 a 20 30 av30 h a 2 30 ai30 vr cn 30 a 2v30 ir a 30 a 2 30 Para melhor frisar tais idéias representamos na Fig 334 um banco trifâsico de transformadores ideais alimentado no primário por um trifâsico simétrico e fornecendo energia a uma carga equilibrada ligada no secundário COMPONENTES SIMÉTRICAS 257 Observamos que se designarmos por Z X e Y os terminais A B e C respectivamente e por X T e Z os terminais A B e C respectivamente a rotação de fase entre as grandezas primárias e secundárias será 90 isto é para seqüência de fase direta e para inversa em que K é a relação de transformação JKÉx y KVrr jK rr j X T jKVyZ J r r Assim notamos que se trocarmos a designação dos terminais simplificamos sobremaneira o cálculo pois ao invés de introduzir rotações de fase de 30 introduzimos 90 Estes conceitos serão melhor ilustrados pelo exemplo que segue EXEMPLO 310 Um banco trifásico é constituído por três transformadores monofásicos ligados em triângulo estrela aterrada cada um com valores nominais de 138 kV 127 kV 10 MVA e x 7 No enrolamento de alta tensão está ligada à fase A uma carga puramente indutiva monofásica que absorve 7874A com tensões fr y 11811 kV CBS a2127 kV e ívcv a127 kV Determinar a tensão e a corrente no primário SOLUÇÃO Resolveremos o probtema mantendo inicialmente os transformadores Fíg 335 Adotando É Á N 118110 kV temos 778744 Por outro lado a impedância de curtodrcuito referida ao secundário vaie Z2 007 Portanto será 127 10 1129Q írx rZ 1181 1 7874 j 1 129103 127 kl A B 1 127 1 É b c 54 II BN II Õ Õj J I oc 1 2 7 a 2 138 a 2 C A C N 127a a kV As correntes de fase no primário são J c á 1 AN i BN 1CN 127 138 7 7 8 7 4 0 0 772463 0 0 A 258 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA a Esquema de ligação b Sequência de fase direta c Seqüência de fase inversa Figura 334 Rotação de fase entre grandezas de linha do primário e secundário na ligação YA COMPONENTES SIMÉTRICAS 259 Figura 335 Circuito para o Ex 310 As correntes de linha no primário valem P l U ICB 772463 0 772463 BC U 0 772463 772463 tc JCA J bc 0 0 0 As tensões de linha no primário e secundário valem VrBN 212312 BN CjV 220190 fcA ÉcN 2i21488 kV r e i ÉbC CN ÉC A LCjV J LA J 220130 220190 kV 220jl50 r AB 1 r ÁN r BN 138j0 BC BN C N 1381120 É c n l A N J L 1381120 J Passemos agora à aplicação de componentes simétricas em valores em pu Adotando como bases de linha no primário 138 kV 30 MVA resultarão no secundário os valores de base 220 kV 30 MVA 260 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Lembramos que nos diagramas de impedância todos os elementos ligados em triângulo são substituídos por elementos equivalentes ligados em estrela Assim na Fig 336 passamos do circuito b para o c Adotando a tensão na carga com fase nula temos V yA S rAN m0 181 1 0 a rtinD V 0U 127 r 093j0 u 2 127 2 a 127 0 a I U j jr 77874 V3 220 30 103 j 10 pu C 0 As componentes simétricas das tensões e correntes em A B e C sâo 93 a 2 a 00233pu a h t o93 a a 09767 an2 o93 V a a 00233u U0 y 7 03337M Nos pontos Mq Mj e M2 Fig 336 d teremos 0 0 J O9767 y 0 y O O 7 lOpM vMl v 2 2 z 00233 yjyo07 0 o yyo333 Nos pontos A 8 e C teremos COMPONENTES SIMÉTRICAS 261 A A a Diagrama unifilar Figura 336 Circuito equivalente para o Ex 310 g q o 0 9 262 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 30 3 0 Figura 336 Circuito equivalente para o Ex 310 Finalmente as correntes primárias são Em ampère teremos 0 V33 90C T 13 120 V332Q 131 601 0 4 4 4 30 Vã 138 Vã3 j 90 Vã32Q 0 772463 772463 0 A 5 Transformadores trifásicos Tudo quanto foi exposto para os bancos de transformadores monofasicos é válido para os transformadores trifásicos excetuando o valor numérico da impedância de seqüência zero que nos bancos é igual à de curtocircuito dos transformadores monofãsicos que o compõem Nos trifásicos havendo um acoplamento magnético entre os enrolamentos das três fases ocorrerá uma alteração no valor desta impedância A seguir analisaremos seu valor no caso de núcleos do tipo envolvido core e envolvente shell No caso de núcleo envolvido Fig 337 quando o transformador é alimentado por tensão de seqüência zero devemos ter na condição de vazio a fem induzida igual à tensão aplicada Portanto os fluxos nas três colunas deverão ser iguais em módulo e deverão estar em fase E 444JNj Na parte do núcleo que interliga as colunas o fluxo é igual à soma dos fluxos das colunas Logo neste caso vale 3j 0 Portanto o fluxo deverá obrigatoriamente se fechar pelo ar e pela carcaça do transformador Sendo a relutância do ar muito maior do que a do núcleo resulta para o circuito magnético constituído pelo núcleo entreferro e tanque do transformador uma relutância muito maior do que a do núcleo Nestas condições a impedância de vazio tomase pequena da ordem de 03 a 10 pu e não mais desprezível lembramos que a impedância de vazio é ligada em paralelo COMPONENTES SIMÉTRICAS 263 Figura 337 Transformador trifásioo Figura 338 Transformador trifásico com o núcleo com o núcleo envolvido envolvente Nos núcleos envolventes Fig 338 as linhas de força são contidas completamente no núcleo Portanto sua impedância de vazio aproximase da de cada um dos monofásicos que constituem o banco trifásico infinita Devido à saturação existente nos trechos hachurados a relutância é um pouco menor 6 Bancos de transformadores com três enrolamentos Com o procedimento análogo ao dos itens anteriores podemos determinar os circuitos equivalentes para seqüência zero que estão representados na Fig 339 onde conforme item 223 temos Z 13 b 1 2 P z 1 s 1 2 23 z l k 1 2 1 v 1 í j z 23 1 2 1 2 V z 357LINHAS DE CIRCUITOS DIFERENTES COM INDUTÂNC1AS MÚTUAS Fm muitos casos temos linhas de circuitos diferentes que se desenvolvem de modo paralelo ou então linhas de circuitos diferentes que estão montadas na mesma torre em ambos os casos devido à proximidade entre as linhas teremos um acoplamento magnético ou seja haverá indutâncias mútuas entre os circuitos constituídos pelas fases A B C e terra de uma das linhas com as fases A B C e terra da outra Ou seja existirá um total de nove indutâncias mútuas Vamos analisar como estas indutâncias mútuas alterarão os diagramas seqüenciais Para tanto sejam dois trechos de linha Fig 340 uma que vai dos pontos A B C a A B C e a outra que vai dos pontos R S T a R S T tendo as seguintes impedâncias mútuas ZMi impedância mútua entre circuito A e terra e circuito R e terra ZAS impedância mútua entre circuito zí e terra e circuito S e terra 2at impedância mútua entre circuito A e terra e circuito T e terra 7rr impedância mútua entre circuito B e terra e circuito R e terra ZBS impedância mútua entre circuito B e terra e circuito S e terra 264 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Zm impedância mútua entre circuito B e terra e circuito T e terra ZCR impedância mútua entre circuito C e terra e circuito R e terra Zcs impedância mútua entre circuito C e terra e circuito S e terra ZCJ impedância mútua entre circuito C e terra e circuito T e terra ZNT 32 NP ZP s d D C O 2 3Z NS c j Z Z I Z Z ZT 3Z NT r M Z Z h d Z b mr A T p 3Z NP ZP Zs ZT T X o o S o T o Figura 339 Diagramas de seqüêneia zero para transformadores com três enroiamentos COMPONENTES SIMÉTRICAS 265 Figura 340 Dois trechos de linhas em paralelo Evidentemente as quedas de tensão ao longo da linha A B C A B C devido às correntes 4 4 e tc Que as percorrem não se alteram pela existência das mútuas com a linha R S T R S V Portanto é suficiente calcularmos a queda de tensão que surge por efeito destas mútuas Podemos considerar nulas as correntes 1A IB e íc que percorrem a linha A B C A B C e calcular a queda de tensão que surge nesta quando a linha R S T R S V é percorrida pelas correntes tR í s e IT Nestas condições temos 7 AR 7 A S 7 1 A T 4 1 V b N 7 7 B S 7 BT 4 C N T c t r N8 1 7 c s Z CT 4 soido VyAN fc 1 Ko 4 1 4o Úy m T 9 T y 4 T 4 i ú r C N A2 CN1 M 1 4 42 Substituindo esses valores na equação anterior e prémultiplicando ambos os membros por T 1 obtemos A0 rzAR 7 7 1 AT 4o K T 1 zBR zBS 7 BT T 4 A2 2 7 7 zcs 7 crj 42 266 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Vamos calcular o produto T ZT Tonos 23 l 1 7AS 7 1l 1 I 1 a a 7m 7flS 707 12 a a 1 a 2 a JLcr vcs 7cr JI a a 2 Zar fifi CR j AS BS Zcs Zj 7gj ZCT l l 1 Zar 4 ocZ x ZCR j ZM aZaç cc 7CSí ZAT cCZgj a ZCT l a 2 a Zar a ZBR ocZCj 17ÁS a Zgy aZcs J Zjít BT 1 a a 2 Fazendo 7 i4ã AO 7 fifi ZgS ZBT 0 I 7 co ZçR Zç ZC Al r í a ZBT 1 1 J CR ZÇS C 7 g CCAT 7 ffgfi g RS BT ÁB2 7 C2 CR OC clZçt resulta T ZT 40 T 00 Zco aZ iH S0 A 2 B 2 C2 I 41 ct2Zcn xZm Zj i a 2Zn aZ iZ ot2ZRn ccZ A2 02 T C2 7 7 dl fil T o aZsi a 2ZCl 0 2 C2 i fil Cl J Salientamos que na maioria dos casos práticos todas as mútuas são iguais entre si Portanto resulta 7 AO 00 7 CO Aí Z 7 7 A l 01 C l A2 z z 02 C2 0 Toemos portanto P r 0 V v A0 0 0 r w V A V r A 0 0 0 4 V J A2 P 2 0 0 0 J r 2 Nestas condições haverá uma indutância mútua entre os circuitos de seqüência zero não existindo interação entre os circuitos de seqüência direta e inversa Fig 341 Podese demonstrar a validade da aproximação de considerar as indutâncias mútuas iguais entre si o que não é escopo deste livro COMPONENTES SIMÉTRICAS 267 3zm Figura 341 Diagramas seqüenciais de duas linhas com mútuas 358 ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE DE ELEMENTOS Já vimos que a primeira lei de Kirchhoff é válida em termos das componentes simétricas e que podemos aplicar a segunda lei em cada seqüência sem que haja interação entre seqüências mútuas nulas desde que a matriz de impedâncias seja diagonalizável pela transformação de componentes simétricas Nestas condições quando tivermos dois elementos em série p ex duas linhas as tensões e as correntes no fim da primeira linha são iguais àquelas do início da segunda consequentemente as componentes simétricas serão iguais Logo os circuitos seqüenciais deverão ser associados em série Exemplificando consideremos o caso de uma linha que fornece potência a um barramento do qual são alimentados um transformador e outra linha Fig 342 Figura 342 Trecho de rede 268 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA No barramento a tensão é igual para as duas Unhas e para o primário do transformador Além disso a corrente que chega pela Unha 001002 ao barramento 002 deve ser igual à soma das correntes que saem do barramento para o transformador e para a linha 002004 Sendo ir i3 e it as correntes respectivamente na linha 001002 transformador e Unha 002004 temos ro Lo r0 K s h lr2 s2 l t2 Portanto associamos os diagramas de seqüências zero direta e inversa com o ponto 002 em comum Fig 343 Figura 343 Diagramas seqüenciais para a rede da Fig 342 EXEMPLO 311 A rede trifásica da Fig 344 é alimentada por um gerador trifásico simétrico Conhecendose 1 A carga alimentada pela barra QOt trifásica equilibrada ligada em estrela com centro estrela aterrado tendo por fase impedância de 19044137 Q 2 A carga alimentada pela barra 005 trifásica equilibrada ligada em triângulo tendo por fase impedância de 4840j30 D 3 Demais barras sem carga 4 Impedâncias das linhas iguais para as três fases nas bases 220 kV 100 MVA Impedância em série própria 0002 0010 pukm Impedância mútua entre fases 0004 pukm Impedância mútua entre fases e terra 70001 pukm Admitância em paralelo entre condutores jO002 x 10 pukm Admitância em paralelo entre condutores e terra 7000073 x 103 pukm 5 Comprimento das linhas 23 100 km 25 70 km 56 80 km e 35 70 km 6 Alternador 138 kV 100 MVA impedância de aterramento zM 04pu 7 Transformadores T1 banco trifásico tendo cada monofásico 138 kV 127 kV 30 MVA x 008 pu T2 trifásico 69 kV 220 kV 50 MVA x 008 pu Xq 006 pu Determinar o diagrama de impedâncias COMPONENTES SIMÉTRICAS 269 003 X A 004 001 A A y 002 i C h H H t 005 006 n Figura 344 Diagrama unifilar para o Ex 311 SOLUÇÃO a VALORES DE BASE Adotamos no barramento 001 Vb 3UV Sb 100 MVA No barramento 002 resulta b DIAGRAMA DE IMPEDÂNCIAS b1 Gerador O gerador é trifásrco simétrico com sequência de fase direta Portanto as componentes simétricas de sua fem serão 220r Sb 100 MVA No barramento 004 temos V 220 69kV S 100MVA 6 220 6 ê0 êj 0 è è Assim na seqüência zero será representado pela pela impedância 3n z0 na seqüência direta por fem é em série com uma impedância 2X e na seqüência inversa por uma impedância z2 Fig 345 270 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA b2 Carga no barramento 001 Será representado nas três seqüências pela impedância de fase Fig 345 isto é r 1904408 j06 80 j 60 pu b3 Transformador T1 Será representado na seqüência zero por uma impedância zT entre o ponto 002 e a terra com o ponto 001 desconexo Nas seqüências direta e inversa será representado peia mesma impedância com os pontos 001 e 002 interligados Temos b4 Linhas Como as três linhas têm os mesmos parâmetros variando somente o comprimento determinaremos inicialmente os valores para o diagrama de impedância em pu de comprimento isto é Para cada uma das linhas resultarão estes valores multiplicados pelo comprimento b5 Transformador T2 Como o primário está em estrela com centroestrela isolado será representado no diagrama de seqüência zero por uma impedância infinita Nos diagramas de seqüências direta e inversa será representado pelas impedâncias Z0 z 2zM óTjmJ 3zG 0002 0012 pu km Z Z Z ZM 0002 0006 pu km ó J 000073 x 10 3 000036 x 103 pu km y 1 000073 3 00020 x 103 000337 x 10 3 pu km ZT 008 220 100 50 2202 016 pu COMPONENTES SIMÉTRICAS 271 001 o 001 0012 b Carga na barra 001 ooi0 002o Vqoiq 003 o o 004Q V003q V0040 001 002j V0020 VqOIí 001 002 D02i 0012 c Transformador TI 002i 003j jAMMtft Z23i 4Y23í Y23J d Linha 002003 0051 9 TR iT10 zi V005i e Carga na barra 005 0 0 3 1 004 JL nrjfiP z T 21 V003t V004 0022 V003l 0032 0042 Z T 2 2 V0032 V 004 z f Transformador T2 Figura 345 Diagramas sequenciais para os elementos do Ex 311 272 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA b Sequência direta c Sequência inversa Figura 346 Diagramas seqüenciaís para a rede do Ex 311 b6 Carga na barra 005 Substituímos esta carga pela carga equivalente ligada em estrela com centroestreta isolado isto é 484030 100 3 2202 33330 pu 2 COMPONENTES SIMÉTRICAS 273 c Diagramas seqüenciais Na Fig 346 estão representados os três diagramas seqüenciais para cada um dos elementos do sistema 36 RESOLUÇÃO DE REDES TRIFÁSICAS SIMÉTRICAS E EQUILIBRADAS COM CARGA DESEQUILIBRADA 361 INTRODUÇÃO O método geraí para o estudo de redes trifasicas simétricas e equilibradas com carga desequilibrada pode ser resumido nas seguintes passagens 1 Eliminamos da rede a carga desequilibrada 2 Representamos a rede equilibrada por seus diagramas seqüenciais 3 Determinamos as relações entre as componentes simétricas das correntes e tensões na carga desequilibrada 4 Determinamos a partir dos diagramas seqüenciais as relações entre as componentes simétricas das tensões e correntes no ponto de ligação da carga 5 Igualamos as componentes simétricas das tensões e correntes na carga e no ponto de ligação da carga e destas equações determinamos os valores das correntes e tensões Exemplificando seja uma rede trifásica simétrica e equilibrada qualquer e suponhamos ligar a um nó P genérico uma carga trifásica desequilibrada Fig 347 Montamos os diagramas seqüenciais da rede e determinamos nos nós P0 P e P2 os geradores equivalentes de Thévenin obtendo as equações rPo êq z j 0 rPt z jv vPi é2 z j2 0 26 Por outro lado na carga teremos r zA 0 0 iA VpB 0 0 s f K 0 0 c ou X Z0 Z2 Zj r T1ZT É z z 0 z2 vP L f2 J A X U j donde será 274 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Vp Z0Q 21 7X12 P ZJo V 2A ÃjÉ Zj 02 327 Das Eqs 326 e 327 obtemos ÊQ Z J Q Z010 72É Zxí2 à Zj5j Z0 7 J X Z22 2 Z222 Z20 Zjj Zj2 donde resulta o 70 4 Z J q 4 Z J X 4 Z j2 Z0 4 Z0 Zulx 7212 328 Z20 4 ZA 4 Z0 4 Z222 Nas Eqs 328 conhecemos os valores das fem e das impedâncias Portanto podemos determinar os valores das componentes simétricas das correntes que substituídas nas Eqs 326 ou nas 327 fornecem os valores das componentes simétricas das tensões nas cargas Nas seções subseqüentes estudaremos de início o caso geral de carga constituída por três impedâncias quaisquer e posteriormente estudaremos alguns casos particulares que ocorrem com freqüência 362 CARGA DESEQUILIBRADA EM ESTRELA COM CENTRO ESTRELA ISOLADO Seja a rede da Fig 348 à qual ligamos no nó P uma carga constituída petas impedâncias ZAZ B e Zc ligadas em estrela com o centroestrela N isolado Designando simplesmente por A B C e N os pontos PAPBPc cPN resulta 7À 0 o P d BN 0 Z 0 h C N 0 0 7 j COMPONENTES SIMÉTRICAS 275 Pa Z a p b 1 1 z 0 l1 R E D E oC í N Z c nN 1 1 C A R G A RE OE SEQ DIRETA VPj Figura 347 Diagrama de impedâncias 276 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Figura 348 Carga desequilibrada em estrela Sendo resulta ou ainda BN BN JCN 1 X 0 o Y P r BN 0 ZB 0 h N N i D t 0 0 Zc h 1 K X 0 0 l 0 2 0 TA Krjf 1 r O O Zc A 1 Prémultiplicando ambos os membros por T 1 resulta X X 1 z 2T0 A 0 z 2 z Zo A 0 Por outro lado para a rede teremos COMPONENTES SIMÉTRICAS 277 K 2 1 OOO pt p 7 V P 2 1 r 2 1 2 2 2 12 donde eliminando F0eK2 resulta Éq z j0 2J 0 Z2j 2J 2 Vy z nA zt0 z0A z22 2 z22A z20 za z02 jV ou ainda 0 ffN Z0 zAj z2a Zj2 É Z0 Z0 ZUA Z22 329 È2 Z20 ZjA z0 Z222 Neste caso 0 é obrigatoriamente nulo pois no nó N temos 1A 1B Ic 0 Além disso fazendose Z0 2m Z0 20 2U 2 Z0 Z22 Z2 resulta 4 z2a ZjA éx za Z2 Ê2 ZjA Z22 Destas equações determinamos A jZ2 it2Z2 zz2 zz2 330 Í jZj È22y ZjZ2 ZZ2 331 e ainda ou P 7 P 7 P 7 Ê 2 p t 7 XiZ2 2 2 7 r 2 1 2 7 7 7 7 1 7 7 7 7 0 Z2Z2 z j 2ZjZ z2 j ZZ2 ZjZ2 332 278 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA No caso geral das redes com uma única carga desequilibrada devemos ter em mente que os geradores ligados à rede são trifasicos simétricos logo as fem dos geradores são somente de seqüência direta Portanto ao se determinar o gerador equivalente de Thévenin resultará Èx 0 e È2 ÈQ 0 de vez que no que concerne à rede não há indutâncias mútuas entre os circuitos seqüenciais ou quando existir as mútuas são iguais rede equilibrada Nestas condições resulta h h 7 2 7X22 2 ZjZ2 K K y J 7 7 fa Z j 333 363 CARGA DESEQUILIBRADA LIGADA EM TRIÂNGULO Em tal caso podemos substituir a carga per outra equivalente ligada em estrela cujas impedâncias serão Fig 349 Zb ZC 2 2 j A B CA Zqc 2ca 2 2 Zjjc 2ca CABC 2qç 2CA recaindo no caso anterior 364 CARGA DESEQUILIBRADA EM ESTRELA COM CENTRO ESTRELA ATERRADO POR IMPEDÂNCIA 2N Neste caso teremos NN Já t CZN porém sendo IA IB Ic 30 resulta VNN 3IÇZN Logo as Eqs 329 tomamse COMPONENTES SIMÉTRICAS 279 Éq z0 7m 3ZJV0 Z2j Z2 ZJo z0 zu j Z22 2 Z20 Zjj z0 z222 A A Figura 349 Carga equivalente em estrela Resolvendo as Eqs 334 obtemos onde 7 7 7 7 7 2 7 7 7 2 7 7 I 12 12 1 2Zy2 j 2 0 0 Z 1 Z 2 7 2 7 7 Z 7 7 7 7 2 7 7 j 2 12 02 12 1 02 1 Z 0 D 1 D 2 7 2 7 7 7 2 7 7 7 7 7 7 f j l 2 0 1 ZQi 12 2 0 D 1 D 2 Zo Z0 Zqq 3Z Z Z0 Zu Z2 Z0 Z22 o Z0Z7 Z Z Z2Z2Z Z22 ZZ 2 z z 2 Z0ZjZ2 Z2 Z Z0 Z Z2 Zj3 Z2 334 Admitindo Z0 Z e Z2 muito maiores que 7 e Z2 teremos 280 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA D Z0ZZ 77 Z2Z Z 72 Z2Z2 Z 2 72 Z fi 72 z2 77 77 s ZZf Z 77 Z0Z2 Z t 77 77 72 7 7 77 01 77 ZZ ZZf donde resulta 4 4 4 Í o 7 7 p2 7 7 P p Í3 P 77 0 717 1 7 Z2g Z2 335 ou 336 Nas expressões acima podemos interpretar o termo entre colchetes como sendo a fem total de cada circuito que é constituída por uma parte a qual é dada pela fem do gerador equivalente de Thévenin para a sequência 0 e2 e outra parte é representada pela tensão induzida pelas duas outras seqüências na seqüência que está sendo considerada Fig 350 Exemplificando no circuito de seqüência zero temos fem do gerador equivalente corrente fictícia do circuito de seqüência direta tensão induzida no circuito de seqüência zero pela corrente fictícia de seqüência direta tZ corrente fictícia do circuito de seqüência inversa COMPONENTES SIMÉTRICAS 281 77 É2 tensão induzida no circuito de seqüência zero pela corrente fictícia de seqüência inversa z 2 Numa rede trifasica com geradores simétricos 0 Ê2 0 e com cargas equilibradas os circuitos seqüenciais resultarão independentes Figura 350 Carga desequilibrada ligada à rede equilibrada Logo não existem tensões e correntes de seqüências zero e inversa Em outras palavras as redes de seqüências zero e inversa são constituídas por bipolos passivos Ao ligarmos uma carga trifasica desequilibrada a um nó da rede surgem nos circuitos de seqüências zero e inversa fem induzidas pelas mútuas entre os circuitos seqüenciais devido ao desequilíbrio da carga ou seja uma carga desequilibrada funciona como um transformador de seqüências transferindo energia do circuito de seqüência direta para os de seqüências inversa e nula 365 CARGA DESEQUILIBRADA EM ESTRELA COM CENTRO ESTRELA ATERRADO POR IMPEDÂNCIA E COM IMPEDÂNCIAS IGUAIS EM DUAS FASES Na carga da seção precedente suponhamos que seja Zà Z e ZB Zc Z Resulta 282 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Z Z 2 2 Z z Za a 2 Z 2 Z2 I Z Z2 a Z Z Logo as Eqs 334 tomamse Zoo Z 2Z 0 2 Zn I Z 2Z1 0 4 Z Z 2 22 2Zj2 0 3 Z Z Somandose e subtraindose Z no termo z 2Z resulta Z 2Z T Z 7 7 Z donde É Z 3Z Z Z Z 0 12 I 4 z M h 337 Observamos que as Eqs 337 podem ser representadas por circuitos equivalentes como se segue Fig 351 1 Ligamse em série com os três circuitos seqüenciais uma impedância Z 2 N o circuito de seqüência zero representam os a im pedância Z N ligando um a im pedância 3Zn entre o ponto N0 e Nq N o s outros dois circuitos os pontos N c N r coincidem Z Z 3 Ligamse os três circuitos em paralelo e se fecha uma malha sobre a impedância Atribuindose a Z e Z valores convenientes podemos representar várias condições de carga e de defeito que serão estudadas em seguida COMPONENTES SIMÉTRICAS 283 Figura 351 Circuito equivalente para carga em estrela com ZÁ Z ZB Zc Z e impedância de aterramento Z N 284 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA a Curto entre duas fases Fazendose 2 ao Z 0 ZA o ac teremos o circuito de seqüência direta ligado cm paralelo com o de seqüência inversa e o de seqüência zero em circuito aberto conforme a Fig 352 Figura 352 Defeito entre duas fases b Curto entre duas fases e terra Fazendose Z co Z 0 Zv 0 resultam os três circuitos seqüenciais ligados em paralelo Fig 353 Figura 353 Defeito entre duas fases e terra COMPONENTES SIMÉTRICAS 285 c Carga entre duas fases Pode ser simulada fazendose 2 Z oo 7 ca a ZN oo conforme veremos a seguir Nas seções seguintes determinaremos circuitos equivalentes a vários casos particulares tais como carga monofásica ligada de uma fase à terra carga monofásica ligada entre duas fases duas cargas monofásicas ligadas de duas fases à terra 366 CARGA MONOFÁSICA LIGADA ENTRE UMA FASE E TERRA Na Fig 354 representamos uma rede que está alimentando na fase A de um nó P genérico uma carga monofásica de impedância Z Por simplicidade designaremos os nós PA PB e Pc por A B cC Figura 354 Carga monofásica ligada entre fase e terra O método de estudo que adotaremos pode ser subdividido nas seguintes etapas 1 Equacionamento das tensões e correntes na carga 2 Determinação das componentes simétricas das tensões e correntes na carga 3 Substituição dos diagramas seqüenciais da rede no ponto onde há o desequilíbrio pelos geradores equivalentes de Thévenin 4 Correlacionamento das componentes simétricas das tensões e correntes na carga com as dos diagramas seqüenciais 5 Determinação de um circuito equivalente Assim na primeira etapa para o caso da Fig 354 as condições de contorno tensões e correntes na carga são 286 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 4 o z4 zz As componentes simétricas das correntes na carga sâo 4 j4 4 4 f 4 j 4 ate a2lc I 338 4 4 4 j Ou seja as componentes simétricas das correntes na carga sào iguais entre si Além disso soido VVX cV2 as componentes simétricas das tensões na carga teremos AN rú rl r2 3 Z 339 As Eqs 338 nos mostram que as correntes nos três diagramas sequenciais deverão ser iguais Portanto devemos ligálos em série Por outro lado a Eq 339 nos mostra que a soma de V0rx e r 2 é igual ao produto da componente simétrica 13 por uma impedância de valor igual a 32 logo é õbvio que fecharemos os circuitos sequenciais sobre a impedância 32 Fig 355 Figura 355 Diagrama seqüencial para carga monofasica ligada entre fase e terra COMPONENTES SIMÉTRICAS 287 Sejam Êm Èu e E22 as fems do gerador equivalente de Thévenin no ponto em que há o desequilíbrio para os circuitos de sequências zero direta e inversa respectivamente e sejam 2m Zn e as impedâncias equivalentes correspondentes Resultam para as componentes simétricas das correntes e tensões na carga os valores t t f Éqo É É21 0 5 2 Zoo A l Z 2 2 Vo Éqo I J o V È 7 1 v ul V È 7 r2 22 22l2 Finalmente 4 30 3 z o 4 4 o Éqq 4 l 22 11 22 h 3Z ytV ftV cv p oo j ooo t I p 7 1 4 222 Salientamos que nos casos reais temos sempre ÊM È22 0 t de vez que os geradores por construção somente têm fem de seqüência direta 367 CURTOCIRCUITO ENTRE DUAS FASES Na rede da Fig 356 ligamos as fases B e C por um condutor de impedância nula As condições de contorno no defeito são h c h 0 f A O B REDE oc oN Figura 356 Curtocircuito entre duas fases Sendo í 0 í u 2 e V0 Vx V2 as componentes simétricas das tensões e correntes na carga resulta 288 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 4 4 4 4 4 4 24 a 2 340 4 4 24 4 2 e o r 2F P a 2 J f2 3 4 1 2 Das Eqs 340 concluímos que o diagrama de seqüência zero deverá ser mantido em circuito aberto í0 0 ao passo que deveremos interligar as barras de referência dos diagramas de sequências direta e inversa pontos NxeN 2 pois deve ser 2 Das Eqs 341 observamos que F é igual a F2 logo devemos interligar os pontos At eA2 Em conclusão um defeito entre duas fases é simulado pela ligação em paralelo dos diagramas de seqüência direta e inversa Fig 357 Ii I2 I Figura 357 Diagrama seqüencial para curto entre duas fases As componentes simétricas das correntes e tensões na carga são COMPONENTES SIMÉTRICAS 289 368 CARGA MONOFÁSICA ENTRE DUAS FASES Suponhamos ligar entre os nós B e C uma carga monofasica de impedância Z O circuito que obtemos equivale a associarmos em série com a rede dada um elemento constituído por três impedâncias Z2 uma em cada fase e fazemos um curtocircuito entre fases B e C nos terminais das impedâncias Fig 358 A associação de três impedâncias com a rede dada equivale a associarmos em série em cada diagrama seqüencial aquela impedância Nestas condições recaímos no caso anterior de curto entre duas fases As componentes simétricas da corrente e tensões na carga são Vamos analisar agora a interligação dos diagramas seqüenciais quando ocorre um curtocircuito entre duas fases e terra Em particular consideremos um defeito entre as fases B C e terra Fig 359 Neste caso as condições de contorno são 369 DEFEITO ENTRE DUAS FASES E TERRA Sendo t A 0 devemos ter obrigatoriamente h h h MÁ 0 342 Além disso temos 343 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Figura 358 Carga monofásica entre duas fases A i A2 Ao Figura 359 Defeito entre duas fases e terra COMPONENTES SIMÉTRICAS 291 A Eq 342 mostra que devemos interligar as barras de referência dos três diagramas de seqüências Por outro lado a Eq 343 garante que as componentes simétricas das tensões no ponto de defeito sejam iguais Logo os três diagramas devem ser ligados em paralelo As componentes simétricas das tensões e correntes no ponto de defeito podem ser determinadas como se segue Multiplicando as Eqs 344 por Yu e Y22 respectivamente somandoas membro a membro e lembrando a Eq 342 obtemos mas 344 Façamos 0 0 Y 22 V o o 1111 2222 donde V oo É22Y22 00 1 22 345 Finalmente as componentes simétricas das correntes no ponto de defeito são k h 2 22 f 346 3610 CARGAS MONOFÁSICAS ENTRE DUAS FASES E TERRA Neste caso ligaremos na rede dada duas impedâncias Z dos nós B e C respectivamente à terra Procederemos de modo análogo ao do item 368 isto é ligaremos em série com a rede nos 292 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA pontos A B e C três impedâncias iguais entre si de valor 7 obtendo três novos nós A B e C Ligando os nós 5eCà terra recaímos no caso anterior Fig 360 As componentes simétricas das tensões de fase nos nós A B e C são p ÊWY0 ÊUY 222 y0 Ti Z onde T z K Z y 1 2 7 1 2 ZU Z 347 Figura 360 Cargas monofásicas entre fases e terra COMPONENTES SIMÉTRICAS 293 Portanto as componentes simétricas das correntes na carga são 4 0 0 K 4 4 cr 4 22 e as componentes simétricas das tensões da carga são V P 7 1 0 00 000 P É 7 1 1 P 7 1 2 22 222 348 349 3611 ABERTURA MONOPOLAR A abertura monopolar corresponde à abertura de uma fase em um dado ponto do sistema Por exemplo quando da ocorrência de um curto circuito faseterra numa rede de distribuição e apenas uma fase é aberta na chave fusível De modo a tratar 0 problema de forma mais genérica admitamos que no ponto M entre dois subsistemas 1 e 2 apareça uma impedância na fase A de valor 7a conforme Fig 361 a impedância na fase A b substituição de impedância por gerador Ea Figura 361 Abertura monopolar As condições de contorno do problema são Êa 7 J a e Èb Éc 0 Logo em componentes simétricas temos K li u 1 1 r X I 1 4 3 L 1 a a 2 1 a 2 a 1 0 0 1 s 350 Assim sendo os diagramas de seqüência zero direta e inversa podem ser representados no ponto M por um gerador de tensão Èa3 Porém sendo Èa 7 J a e la 10 É 12 temos que 43 z03 4 4 4 294 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Assim sendo qualquer dos modelos da Fig 362 pode representar a abertura monopolar no qual a gerador de tensão vinculada Éa3 presente nos três diagramas é substituído por uma impedância Za3 percorrida pela corrente la 0 12 Za3 Figura 362 Modelos para representação da abertura monopolar com impedância Za Para determinação das tensões e correntes seqüenciais no ponto M suponhamos dois casos o primeiro no qual Za qo e o segundo no qual Za 0 e finito a Abertura monopolar Za oo Neste caso a tensão V conforme Fig 362 que é igual a a3 pode ser determinada por y È7Y2 E fi 1 1 Yq Yx Y2 351 onde ÉQ 0 0 Êx È I 2 È2 È2 0 1 1 1 Fn Z0 Z07 í Zt Z K Z2 Z2 E as correntes seqüenciais podem ser avaliadas por h A yy A 052 A partir da expressão acima determinamse as correntes nas três fases passantes pelo ponto M de abertura monopolar onde é fácil notar que a corrente na fase A lÁ resulta nula As tensões entre fase e neutro do lado do subsistema 1 ou do subsistema 2 podem ser calculadas a partir das seguintes expressões COMPONENTES SIMÉTRICAS 295 V v K K í Zft 2 a Abertura monopolar com Zfl 0 Neste caso a tensão É pode ser determinada por y í í onde Ya Y E as correntes seqüenciais podem ser avaliadas por h 1 h 5 h rç As tensões no ponto M do lado do subsistema 1 e do lado do subsistema 2 podem também ser calculadas pelas expressões 353 EXEMPLO 3120 sistema da Fig 363 conta com dois geradores G1 e G2 nas barras 1 e 2 respectivamente que alimentam uma carga trifásica na barra 2 Sabese que a tensão na barra 2 é de 1 pu e que o gerador G1 é ajustado para fornecer 60 da corrente de carga Os demais dados do sistema são os seguintes Gerador G1 Gerador G2 Linha 12 Carga em 2 Tensão nominal 1kV Potência nominal 500 kVA x10 e xo20 estrela aterrado Tensão nominal 1kV Potência nominal 625 kVA x10 e xo20 estrela aterrado Tensão nominal 1kV x02Qkm xo04í2km comprimento 200m Potência 500 kVA na tensão nominal com fator de potência 09 indutivo a Linha 12 O GI 1 G2 Fig 363 Sistema para o Ex 312 Pedese determinar as correntes e tensões nos terminais do gerador G1 quando de uma abertura monofásica na fase A da barra 1 SOLUÇÃO Em primeiro lugar determinaremos as impedâncias seqüenciais em pu para os três elementos do sistema geradores G1 e G2 e linha 12 Adotandose a potência de base de 500kVA 05MVA e tensão de base de 1kV temos que 296 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA GI1 lPU e G10 2PU lG 2 01 025 Y 0Sjm e 02 õ k í T 0i6pu xlt 02 002pu e xLTfi 04 02 004n A corrente de carga pode ser avaliada em pu como sendo 05 catg 05 caig carga 2584 IjÕ 102 584 V Na condição préfalta ou seja antes da abertura monopolar podemos calcular conforme Fig 364 as tensões internas dos geradores 1 e 2 que designamos èGX e êG2 Figura 364 Diagrama de sequência positiva condição préfalta Como o gerador G1 fornece 60 da corrente de carga resultam as tensões internas dadas por èGX 7012 0612584 I033436 pu èG1 V j008 0412584 10144116 pu O equivalente de Thevenin de seqüência direta do subsistema à direita do ponto 1 é determinando retirandose o subsistema à esquerda Assim calculamos a fem do gerador equivalente como sendo a tensão em vazio no ponto 1 isto é retirandose o gerador G1 è èG1 7008 1012584 0980126 pu E a impedância de Thevenin é determinada desativandose o gerador G2 e a corrente de carga ou seja J j 002 7008 j 010 pu O equivalente de Thevenin seqüência direta do subsistema à esquerda do ponto 1 é o próprio gerador G1 fem igual a tensão interna do gerador e impedância equivalente igual a impedância do gerador Conforme visto neste item o modelo da Fig 365 permite o cálculo das correntes sequenciais onde os equivalentes de seqüência negativa e zero são determinados de modo análogo Temos então COMPONENTES SIMÉTRICAS 297 Logo áj é é 01216416 1 1 tj t 50 pu yi yi 7 7 01 01 1 1 y J25 p u 70 70 02 02 D 37 7o 7i y2 01264165 25 5 5 00486416 pu K i vj7 0126416 0048164165 036j2584 pu 0 v y 0 00486416 25 0122584 pu i2 v52 004864165 02412584 pu zlj0l 1 z2j01 1 z0j02 h r d Z h L t u zTj0l z2j0l z 002 Fig 365 Associação dos diagramas sequenciais para o Ex 312 Portanto as correntes nas fases A B e C passantes no ponto 1 serão iA i0 i 2 l2584012 036 024 0 pu iB i0 a 2 a2 12584q012 036120 024120 055031135 pu ic 0 a2 a 2j l25840 12 036120 024120 05503833 w ou seja 1B 159135 e c 159833 As tensões sequenciais nos terminais do gerador G1 são dadas por 298 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA vt é Zji 103343701 03612584 101621183 pu v2 Z 22 J0l 0242584 00246416 pu v0 z 0iQ j02 01212584 0024j6416 pu As tensões de fase resultam vA x0 vx v2 00246416Q 10162183 00246416 l03944207 vs v0 a 2Xl av2 0Q2464160 a 2101621183 00246416 100521194V vc V0 av1 a 0024j6416 al0162l83 a 2 00246416 1005211206 3612 ABERTURA BIPOLAR A abertura bipolar corresponde à abertura de duas fases em um dado ponto do sistema Por exemplo quando da ocorrência de um curto circuito dupla fase ou dupla fase à terra duas fases são abertas na chave fusível A Fig 366 ilustra a abertura de duas fases no ponto M entre dois subsistemas 1 e 2 Figura 366 Abertura bipolar As condições de contorno do problema são Éa 0 Èx Ê2 0 A constatação que as carentes seqüenciais sejam iguais entre si e que a soma das tensões seqüenciais seja nula levanos a concluir que os diagramas seqüenciais devem ser ligados em série conforme Fig 367 Assim sendo as correntes seqüenciais resultam E É f h 4 Z Z Z2 i Z0 zj COMPONkJTES SIMÉTRICAS 299 E as tensões no ponto de defeito V È 7 1 P 7 7 s 7 1 r cl 2 2l2 r0 0I0 p p 7 í p 7 t V 77 1 r r 2 j212 r0 010 o que permite avaliar as grandezas de fase que para o caso de 7 V Z2 resultam À 3 E É 3 k z 0 4 0 É 2Zj Z00 a I l ct Z0 Zg EXEMPLO 313 Um sistema trifásico no qual são conhecidos os circuitos equivalentes de Thèvenin suponha as impedãncias de seqüência direta e inversa iguais para as seqüências direta inversa e nula num ponto P alimenta uma carga trifásica equilibrada ligada em estrela aterrado conforme Fig368 Pedese determinar as correntes e tensões na carga e no sistema quando ocorre uma abertura bipolar em P SubSistema 1 SubSisíema 2 300 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA SOLUÇÃO Conforme visto neste item os diagramas seqüendais dos dois subsistemas devem ser associados em série Devemos lembrar que o subsistema 2 não apresenta gerador ou seja o equivalente de Thevenin deste subsistema no ponto P apresenta fem nula È 0 A Fig 369 apresenta a associação dos diagramas seqüendais para solução do problema Notamos que este problema é exatamente igual ao caso de alimentação de uma carga monofásica visto no item 366 Zlsist 4 Zlsist Z 4Zh rCZH ZOsist Z 3Zat HZZH H Fig 369 Assodação dos três diagramas para o Ex313 Portanto as correntes seqüendais valem A A A Ê Zin Z 7 Z 70iia Z 3Zm Í x Z0sist 37 7 e as correntes de fase 3 êi Z M st Z 7 A3 0 lc 0 As tensões seqüendais no ponto P valem COMPONENTES SIMÉTRICAS 301 É Ê XsistÉ 21 sist O sist Z 2a jgg at 2Zj râr Ojíjí Z at 2 lsistÉ Isisth V 7 7 r0 OjíiíO OiürM Zoa Z Za 2ijrrf Z0jísf 3 Z Z j r i Portanto as tensões nas fases são determinadas por A 0 í 2 j Z 2Íjút Ojúí Z Z PB 0 a 2P fi2 a 2 Zpf K a a 2 2Íjík 3Z Z J Osist I j i a 2ZljrtJ Zo 3Z Z BIBLIOGRAFIA CALABRESE G O Symmetrical components Rcmald Press 1954 CLARKE E Circuit analysis of AC powers Systems Vol 1 John Wiley Sons 1943 FALETTI N Transmissione e distribuizione delTenergia elettrica R Pàtron 1956 ROTHE F S An introduction to power system analysis John Wiley Sons 1953 STAGG G W ELABIAD A H Computer methods in power Systems analysis McGraw Hxll 1968 STEVENSON W D Jr Elementos de análise de sistemas de potência McGrawHill 2a ed português 1986 Componentes de Clarke 4 41 COMPONENTES DE CLARKE OU COMPONENTES MODAIS 411 APRESENTAÇÃO Em 1917 WWLewis no artigo Short Circuit Currents on Grounded Neutral Systems publicado na General Electric Revue introduziu pela primeira vez o emprego das componentes modais componentes zero alfa e beta que apresentaremos nos itens subseqüentes como componentes de Clarke no cálculo de tensões e correntes numa rede cm que há um defeito fase à terra resultando grande simplificação no processo de cálculo Ainda com a designação de componentes modais foram objeto de artigos publicados em 1931 e 1938 porém somente em 1938 com o artigo Problems Solved by Modified Symmetrical Components publicado por Edith Clarke na General Electric Revue nov e dez 1938 Vol41 n 11 e 12 que houve a difusão de seu emprego e passaram a ser conhecidas por Componentes de Clarke em homenagem ao trabalho de Edit Clarke Este capítulo em que nos ocuparemos do estudo das componentes de Clarke ou modais está estruturado basicamente do mesmo modo que o correspondente às componentes simétricas isto é apresentaremos inicialmente o teorema de transformação das componentes de fase em componentes de Clarke demonstrando a existência e unicidade da matriz de transformação A seguir analisaremos as implicações nas componentes de Clarke da mudança cíclica dos fasores da seqüência e as relações entre seus valores de fase e de linha O passo seguinte será no sentido de estabelecermos as relações existentes entre componentes de Clarke e simétricas Finalmente ocuparnosêmos das aplicações das componentes de Clarke ao estudo de redes analisando em termos de componentes de Clarke as leis de Kirchhoff a representação das impedâncias e dos componentes da rede Ao longo deste capítulo apresentaremos alguns exercícios resolvidos que têm por objetivo esclarecer os conceitos introduzidos e no capítulo 5 apresentaremos conjuntos de exercícios que permitam a familiarização do leitor com os conceitos apresentados 412 TEOREMA FUNDAMENTAL Dada uma seqüência Va qualquer vamos demonstrar a existência e unicidade de três seqüências que são designadas por seqüência zero alfa e beta que somadas reproduzem a dada Em outras palavras demonstraremos que uma seqüência qualquer pode ser decomposta nas três seqüências e que essa decomposição é única As três seqüências acima são designadas por componentes de Clarke Assim seja COMPONENTES DE CLARKE 303 Y 1 0 Va l 1 1 K 12 V 2 K Sh r S2 1 1 0 L k l r 0 1 1 1 i 1 1 KJ 11 1 uT pY K 11 K 111 111 1 NJ 1 I T31 W kJ onde a matriz Tc que representa a matriz de transformação das componentes de Clarke para as de fase é dada por Tc Em termos de equações teremos 1 l 12 S 2 1 1 12 Í V32 K K yc V V 0 y a K 41 42 O determinante da matriz Tc vale 332 portanto admite inversa que representa a matriz de transformação de componentes de fase para componentes de Clarke dada por isto é T 1 c 3 T 1 I0J 1 1 1 1 í 1 s V j l 1 1 1 1 1 2 1 1 0 í s i V 5 L 4 3 44 A partir das Eqs 42 podemos chegar ao mesmo resultado isto é somandoas membro a membro obtemos 304 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA j K K c Obtemos a componente alfa subtraindo da Ia multiplicada por 2 a 2a e 3a isto é K 2 K f í Finalmente obtemos a componente beta subtraindo da 2a a 3a isto é r j o J f r J c rc Em resumo as Eqs 41 e 44 demonstram que a matriz de transformação existe e é única A matriz Tc tal como foi definida não é ortogonal matriz ortogonal é aquela matriz real cuja transposta coincide com sua inversa portanto como veremos em item subseqüente a potência não é um invariante Observamos taí como foi feito nas componentes simétricas que podemos definir matriz dada por cuja transposta coincide com sua inversa isto é TTM x c i s 0 LT V 2j T V i 7 V 2 É Í 2 1 s 1 L 1 J o J 32 t No entretanto adotaremos como a maioria dos autores a matriz de transformação Tc EXEMPLO 41 Determinar as componentes de Cfarke de uma seqüência direta de tensões de fase E com tensão Ê È 200 0 V SOLUÇÃO A seqüência é dada por EÁ m 1 a 2000f logo COMPONENTES DE CLARKE 305 Ê0 l a 2 K 2 a 2 Ep a 2 a V Salientamos que no caso particular de um trifásico simétrico as componentes alfa e beta nada mais são que a decomposição do trifásico dado segundo um par de eixos ortogonais com o primeiro eixo coincidente com o primeiro fasor da seqüência dada Assim a partir da projeção dos três vetores da seqüência dada utilizando os coeficientes da matriz T c determinamse a componente alfa pela projeção no eixo coincidente com o primeiro fasor da seqüência e a componente beta pela projeção no eixo em quadratura Fig 41 E0o Eq Figura 41 Decomposição de uma seqüência direta em componentes de Clarke 413 RELAÇÕES ENTRE COMPONENTES DE FASE E DE CLARKE Inicialmente observamos que a componente de sequência zero apresenta o mesmo significado que a correspondente às componentes simétricas isto é para uma seqüência de tensões de fkse assimétrica numa rede em estrela representa o deslocamento do centro estrela Evidentemente para a seqüência das tensões de linha seu valor será obrigatoriamente nulo Por outro lado para uma seqüência de correntes de fase assimétricas representa um terço da corrente de retorno pelo neutro 306 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Para analisarmos as componentes alfa e beta vamos considerar sem perda de generalidade que as seqüências de tensões de fase e de linha de um trifasico assimétrico qualquer são dadas por AN BN K n AB BC Ca onde a componente alfa é dada pela Eq 44 por K a v m vcn 3 Mas sendo 3 Vm V o as CN OU V r AN W J r OJast y y r BN r CN resulta V V V r aàs A N 0 Jase 45 isto é a componente alfa é dada pela diferença entre o primeiro fasor da seqüencia e a componente de seqüência zero Por outro lado a componente beta Eq 44 é expressa por 46 é dada pelo segundo fasor da seqüência das componentes de linha dividido por raiz de 3 No caso da seqüência das tensões de linha sendo a componente de seqüência zero obrigatoriamente nula a componente alô coincidirá com o primeiro fasor da seqüência A componente beta é obtida pela diferença entre o 2o e o 3o fasor da seqüência dada dividida por raiz de 3 Das relações apresentadas notamos que nas componentes de Clarke ao alterarmos ciclicamente os fasores que compõem a seqüência de fase não teremos cano ocorria nas componentes simétricas relação fixa entre as conpoientes alfa e beta Isto é sendo as seqüências VAN II y BN B N C N 1 K às quais corresponderão componentes alfa e beta dadas por COMPONENTES DE CLARKE 307 Seq AN 9 PM 9 Seq BN 9 Pm K Seq CN 9 9m 9 h V3 Vã onde observamos por serem os fasores quaisquer que não há relação fixa entre as componentes de Clarke quando variarmos ciclicamente os fasores que compõem a seqüência Destacamos que no caso particular de um trifasico simétrico as relações são as mesmas que ocorriam nas componentes simétricas 1 2 3 EXEMPLO 42 Numa carga ligada em estrela temos nas fases A B e C as seguintes correntes em Ampere 30 30j e 30j respectivamente Calcular as componentes de Clarke das correntes de fase e de linha SOLUÇÃO As componentes de Clarke das correntes de fase são dadas por Para este caso as componentes de Clarke das correntes de linha coincidem com as das correntes de fase Cada uma das componentes representa Fig 42 1 Componente zero Três correntes iguais nas três fases que retornam por terra 2 Componente alfa Corrente í a que flui pela fase A e retorna pelas fases B e C com valores iguais a ía 2 3 Componente beta Corrente que flui pela fase B e retorna pela C Na hipótese da mesma carga ligada em triângulo com as correntes das fases AB BC e CA iguais às fornecidas teríamos as correntes de linha dadas por K f 10 Í c a 3 30 30 30 3 100 L f 2 I k I c a 60 30 30 3 200f A IpF U bc 1c a V 5 30 30 S 346490f A l Á I ab Ica 30 30 42 4 3 I 4 T A b 1c 1 ab 30 30 424335 A lc Ica h c 30 30 6090f A E as componentes de Clarke das correntes de linha são dadas por htínha iA íc 3 O L 21A I B l c 3 A 4243 0 tinha alinha c W 3 30 90 S 54 77110843 A 308 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA A I ASO A B IB30j B C I C 3 0 j C No IaIbC 30 N o lBr A ÍOÜÍU 30 A O B 10 I30 3Ír I0 10 JOj B c 1C W2 10 jflC 3i IO0 30j C No 31030 N1 o Figura 42 Componentes de Clarke da corrente 414 RELAÇÕES ENTRE COMPONENTES DE CLARKE E SIMÉTRICAS Retomemos o teorema fundamenta de componentes simétricas que exprime a relação entre a seqüência das componentes de fase de tensões ou correntes e a de componentes simétricas V 1 1 1 V h 1 a2 a A 1 1 a a2 K que nos fornece 4 4 0 4 4 4 4 2A a 4 47 lc I0 a j a 2l 2 Nas Eqs 47 substituindo o valor de a na forma cartesiana e fatorando as partes reais e imaginárias obtemos 4 4 4 4 A 4 4 j 4 2 J 2 j 1 4 I y J y p f V c A A ou seja COMPONENTES DE CLARKE 309 ou ainda 4 4 4 4 o A 4 j 4 t y U h j 48 4 4 j 4 4 4 hJ 42 e 48 obtemos imediatamente 4 4 I2 49 4 h j 4 A i 2 I 2 2 4 J h 410 Podemos alcançar o mesmo resultado através da equação matricial I A B C T 1 2 fll2 T o o p I f l a P em que T012 T e T0c Tc são as matrizes de transformação de componentes simétricas e de Clarke respectivamente para componentes de fase e 1 I012 e l0afi são as seqüências dos valores das componentes de fase simétricas e de Clarke respectivamente Assim obtemos 0 1 2 0 1 2 O a 0 O a 0 e que desenvolvida fomecernosá Oafi X0 a p X012X012 V i i o o 4 1 e K 0 1 1 1 4 411 1 i U J As Eqs 49 e 410 representam a transformação entre componentes de Clarke e simétricas Na Fig 43 estão representadas graficamente as Eqs 49 e 410 310 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 2it a Determinação de Ix e 12 b Determinação de Ia e Ip Figura 43 Relação entre componentes simétricas e de Clarke 415 SIMPLIFICAÇÕES EM DEFEITOS FASE À TERRA Suponhamos dispor de um transformador Fig 44 com o primário ligado em triângulo terminais B C e A e o secundário em estrela aterrada terminais A B e C que supre no secundário uma carga monofásica ligada entre a fase A e a terra estando as fases B e C em vazio isto é tendo no secundário as correntes A A Ab Ac que se refletem no primário como 4 o 4 4 As componentes de Clarke das correntes secundárias terão os valores h Aí A l c 4 jU4 4 4 f 4 4 4 ííc 0 COMPONENTES DE CLARKE 311 e as componentes de Clarke das correntes primárias serão h L 0 m T L r 3 8 c 3 N ou seja utilizando as componentes de Clarke teremos no secundário do transformador somente as componentes zero e alfa e no primário somente a componente beta Isso é devido ao modo como foram definidas pois conforme já vimos a componente alfa é uma corrente que flui pela fase A e retoma em partes iguais pelas fases B ç C c a componente beta flui pela B retomando pela C Figura 44 Transformador AY com carga monofásica 312 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 42LEIS DE KIRCHHOFF EM TERMOS DE COMPONENTES DE CLARKE 421 PRIMEIRA LEI DE KIRCHHOFF Suponhamos um nó P de uma rede trifásica P4 Pg e P ç nas fases A B e C respectivamente ao qual incidem nas fases A B e C respectivamente as correntes 1Al A2 Evidentemente teremos Am B I r I íftm Ê C l c l V Am 4 Ab2 1Bm 4 Jc 2 Jcm 0 Por outro lado sendo resulta l ÁIÚ l Tc A ía L A V i 1 m r 1 A 2 0 í A m 0 í A a A 2 a I 1 A m a J a k p A 2 p A m C P J A TV I AYo Aif 0 Como a igualdade acima deve ser verificada para quaisquer valores dos elementos da segunda matriz é evidente que deveremos ter I Lm 0 X L m 0 0 412 il il í As Eqs 412 nos mostram que a primeira lei de Kirchhoff é aplicável às componentes de Clarke 422 SEGUNDA LEI DE KIRCHHOFF Para estabelecermos a segunda lei de Kirchhoff em termos de componentes de Clarke lançaremos mão do mesmo procedimento utilizado no capítulo anterior componentes simétricas Assim COMPONENTES DE CLARKE 313 retomemos a Fig 317 onde dispomos de um trecho de rede a 4 fios três de fase e o quarto de retomo que apresenta impedâncias próprias de fase e do retomo ZAZ BZ C e ZG impedâncias mútuas entre as fases 7 Z Z ZCB e ZCA ZAC impedâncias mútuas entre fases e retomo ZAG ZGA Zm ZGB e ZCG Z Como no caso precedente a rede é regida pela equação 1 Vn N BN vy BB PNN ZcN 1 1 V CN Vn n VAN vAA VNN Por outro lado entre as tensões e as correntes temos as relações ou e Mas 1 Z A Zab Zac Zag Zag Zag V BB Z zB Zbc ZBo Zm zBG h VCC Z j c Z Bc Z c Z cG ZCG Z cG m lc 7 AB Z ac V Z ag W Z ab z ZB BC h IU O z BG O É Z a c 2BC Zc tc 7 Lcg Z q Z a g i Z G ZgQ i Z G z c g K N 7 7 1 7 7 i 7 7 G AG G BG j CG 7 7 1 7 7 1 7 7 aG AG 1 G BG G CG vy N N T 7ZAG Zbg y N N 3 i 7 1 2 AG Zm r N N 1 ZAg ZjSG ZCG ZCG Zqg h c 314 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA donde r w i Z a Z AG j Z M ZgQ j Z AC Z CG V z G z AG BN Zíb Z AG j Z g Z BG j Zgç Z CG h 3 7 G Z BG 1 ZAc Z AG Z BC ZBG J Z c Z CG L cJ i 0 1 Van Xvn Z BC IA 3Í0Z B Por outro lado sendo o p A N V B N Tc K P B IV T xc n h T xc K S5 1 p C N i t25 h J f i e substituindo esses valores na equação precedente obtemos Tcoc0 OaP Z ABCTcI0aj 3 0Z ABCC a seguir prémultiplicamos ambos os membros da equação precedente por Tc1 e obtemos Qap v T0 0 T c 7 T I J A B C 1 C O a 0 3 0V Analogamente ao capítulo precedente definiremos por analogia com as seqüências os conjuntos de três impedâncias ZAZ B c Z c ZBC ZCA e ZABc ZAG Z e ZCG que nos fornecem como componentes seqüenciais de Clarke os valores ZM 1 z a Zc ZAa à 2 Z z Z c z 10 Z B 3 Zc 7BC 0 Z bc Z Ci 1 7 BC a Z BC Z CA ZAB z BCp 3 7 Z V Aa b 7 AGQ j z c Z c J COMPONENTES DE CLARKE 315 7AGa 7 AGp Z a g Z g Z CG iBG CG A seguir efetuaremos os produtos matriciais separadamente e finalmente os agruparemos numa equação única Assim temos x 7 x C ZjABC1C Zo 2Zbco 3Zago 2 Aa ZBCa A G a z a 7BCa j Zo Z 2 7 í 7 1 7 7 BC t AB BCp L z 7BCp i 1 1 7 7 1 7 ZC Z K AP BCP AGp e 3oTC ABCG ZG z z AG 0 z AGP Finalmente substituimos os produtos parciais de matrizes e obtemos o 7 ro Zoo Zoa 2op 4 K V CL Zao Zaa Zap 4 i i r Zpo 7pa Zjjp 4 j onde Zoo Z 0 2 Z gC0 6ZAG0 3Zg Z U a 3 za0 ZQ ZBCa 37AGa 2Z0a ZCQ Z Z 0 2 Z Z Z 1 7 z 2 Zpo Z Zjjqp 3 ZAGp 2 Z0p jZ p Z 3ZAGfl AP BCP j4a 7 BCa 7 7 7 7 0 aí1 413 316 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 7 8 7 Destacamos que a Eq 413 pode ser deduzida diretamente substituindo na Eq 324 as componentes simétricas das tensões e correntes pelos valores correspondentes em função das componentes de Clarke conforme mostrado no item subseqüente A Eq 413 exprime a segunda lei de Kirchhoff para um trecho de circuito trifásico com retomo por terra em que existem impedâncias próprias e mútuas todas diferentes entre si Notamos que neste caso a rede é representada por três circuitos de seqüências zero alfa e beta que não são independentes isto é que estão acoplados através de impedâncias mútuas que como se observa das equações acima são diferentes entre circuitos por exemplo a mútua entre os circuitos de seqüência zero e alfa é diferente daquela entre o de seqüência alfa e zero Salientamos ainda o caso particular de rede trifásica equilibrada com mútuas entre lâses e entre fases e retomo iguais em que temos as igualdades Z 11 IN II c 2 A B 7B C 2o A G 7BG 2cg 7 m g resultando 2oo Z 6 mg 3 ZG Zaa z Z a 7 ll O Zp0 Zpa 0 onde verificamos que recaímos no caso de três circuitos independentes isto é sem mútuas entre seqüências e em que as impedâncias de seqüência alfa e beta são iguais entre si e iguais às correspondentes às componentes simétricas de seqüência direta e inversa 423 IMPEDÂNCIAS DE CLARKE EM FUNÇÃO DAS IMPEDÂNCIAS DE COMPONENTES SIMÉTRICAS Vamos exprimir a matriz de impedâncias de Clarke Eq 413 em função das impedâncias seqüenciais de componentes simétricas para a aplicação da 2a lei de Kirchhoff No capítulo precedente conforme Eq324 determinamos para elementos passivos e lineares a equação v 1 r0 o 250 2oi 22 o V 2 o 2 Zn A K 1 2 20 21 Z22 1 1 COMPONENTES DE CLARKE 317 onde obtemos lembrando que Zn Z22 Z10 Z02 Z20 Z01 e substituindo as componentes de seqüência direta e zero pelas alfa e beta 0 1 1 O 1 Zoo Zq Zça h K A y Zio Zn Zn K Àp 1 A K Z20 Z2 Z22 J a J h a seguir operamos convenientemente com linhas e colunas e obtemos a equação v 1 0 1 O 1 K V a 1 1 L 7 7 7 7 z ap 7 0 1 L k onde os termos da matriz são dados por Zqa 2 01 2 Z Z Z J ctO 1 0 2 0 0 2 01 2 Z 0 a aa 2U Z Z12 Z j Zn Z2 4 Z21 2 11 22 21 Znj 2 21 Zu j Zpo z 20 Z10y Z0t Z02y 2Z0p 2 n 12 21 7 21 Z n j 2 Z ap Zpp iZn 4 Zn Z21 Z12 Zn Zn 4 Z21 414 EXEMPLO 43 Uma linha alimenta uma carga equilibrada ligada em estrela Fig 316 do capítulo precedente A impedância de cada um dos fios da linha é de 06 j10 ft a impedância de fase da carga vale 45 30 Q e a rede é alimentada por trifásico simétrico com tensão de linha de 380 V Pedimos determinar as tensões e correntes na rede quando na fase C da carga ocorrer curto circuito Zq 0 SOLUÇÃO Temos neste exemplo a associação série de dois componentes quais sejam a linha e a carga Ou seja as suas impedâncias seqüenciais devem ser somadas Inicial mente determinamos as componentes de Clarke de tensões São então avaliadas e somadas as matrizes de impedâncias para depois determinarmos as correntes em componentes de Clarke e finalmente as componentes de fase das correntes 318 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 1 Determinação das componentes de Clarke a No gerador Como o trifásico é simétrico com seqüência de fase direta a tensão de fase valerá 220 V e assumiremos que a tensão da fase AN coincide com a origem teremos K KiN BN V ç s q y v 0 ü ir v VM 2201 0 í T J a a V b n c n I 220 90 V Além disso depois da associação linhacarga temos o ponto N para as três fases que em termos de componentes de Clarke resultará numa seqüência Vm 0 0 b Na linha Para as impedâncias da linha sendo ZBL ZCL 05 j o q teremos z OL 05 1070 o n z BL oq c Na carga Para as impedâncias da carga sendo Z ZBN 45 3 Oj Q e ZCN 0Q teremos Zia 9 l 360 30 2 245 3 0 y 4 5 3 0 i 5 i 0 n S ZAf 4 5 30 7 25981 l7320y 2 Equacionamento Lembrando que a corrente de seqüência zero é nula temos 0 v NN 3 500 3 00007 0 7500 0 5000 j 1 2990 0 8660 j 0 K 0 1 5000 l 0000y 42500 3 5000y 1 2990 0 8660j K W 0 25981 1 73207 1 2990 0 86607 2 7500 7 2 5000j h Por outro lado podemos determinar inicialmente as componentes alfa e beta das correntes e a seguir a tensão de seqüência zero isto é K 42500 350007 12990 08660 r q W 12990 086607j7500 7250007 Jp e VNN 0 7500 0 5000j ta l 2990 0 86607 COMPONENTES DE CLARKE 319 Assim teremos p j 0 20521 41 39 0 08621 50 00o 19 3502 42 0458j U J 0 0862 50 00 0 30401 44 19 U J 34 4176 62 4791y e VHH 0 7500 0 50007 l9 3502 42 0458j l 2990 0 8660734 4176 62 4791j 140 2229713 V Finalmente as correntes em termos de componentes de fase são dadas por 1A 46 2848 65 28 A B 51 5116140 04 A c 77 7817 75 00 A 43 REPRESENTAÇÃO DOS ELEMENTOS DA REDE EM COMPONENTES DE CLARKE 431 CARGA EQUILIBRADA EM ESTRELA Suponhamos ter uma carga trifãsica constituída por três impcdâncias Z iguais entre si ligadas em estrela com 0 centro estrela aterrado por meio de impedância 2N Fig 45 Teremos 1 yr N N z 0 0 r q B N V r w ffN 0 Z 0 1 9 v C N y N N 0 0 z l c Substituindo as tensões e correntes por suas componentes de Clarke e prémultiplicando ambos os membros por T1 obtemos K h V z 3 zN 0 0 h K z L 3 10ZN 0 0 Z 0 L 1 1 t 0 L 0 í 0 í JU J 415 A Eq 415 mostranos que a carga dada é representável nos circuitos de seqüência alfa e beta pela impedância Z ligada entre o ponto considerado e a referência e no circuito de seqüência 320 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA zero por 2 3 2N entre o ponto considerado e a referência Para o caso de carga solidamente aterrada ou isolada fazemos respectivamente 2N 0 ou 2N Finalmente no caso de carga em triângulo é suficiente que a susbtituamos por sua equivalente em estrela o Figura 45 Carga em estrela com centro estrela aterrado 432 TRANSFORMADORES 1 INTRODUÇÃO No estudo da representação de transformadores por componentes de Clarke ocuparnosêmos tão somente das seqüências alta e beta de vez que a representação da seqüência zero é idêntica àquela já vista no capítulo precedente Assim no caso de transformadores ligados em estrela podemos prescindir de qualquer consideração referente ao centro estrela estar aterrado por impedância aterrado diretamente ou isolado pois as componentes alfa e beta não circulam pelo retorno 2 TRANSFORMADOR NA LIGAÇÃO YfY Suponhamos ter um transformador trifásico ou um banco de três monofasicos conforme Fig 46 com os enrolamentos primário e secundário ligados cm estrela e com centro estrela aterrado diretamente Em pu com valores de base convenientes esse transformador pode ser representado em cada fase por um transformador ideal com relação de espiras de 11 em série com sua impedância de curtocircuito Aplicando a 2a lei de Kirchhoff entre os pontos A e A B e B e C e C que correspondem respectivamente aos terminais dos enrolamentos primário e secundário teremos COMPONENTES DE CLARKE 321 porém Além disso B Núcleo A2 11 77Z777TN B2 C2 N 77777Z Figura 46 Transformador YY A 1 B C a n AA2 A2A BN BN BB2 VB2B 1 Q i y c n VCC2 VC2C AA2 a n A2s 0 BB2 av VB2N 0 VCC2 r VC2N 0 A2A 2 0 f L A V VB2B 0 z 0 h II lB z h y c i c 0 0 z J c J c o Logo 1 1 AN A 1 O 1 Vo 0 BN z h ou Aa z L 1 1 N c n J b 1 03 1 J e Portanto concluímos que nos diagramas de seqüência alfa e beta em pu o transformador é representado por sua impedância de curtocircuito interligando os pontos A e A 3 TRANSFORMADOR NA LIGAÇÃO AA É representado como no caso anterior por sua impedância em curtocircuito interligando os pontos A e A nas seqüências alfa e beta 322 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 4 TRANSFORMADOR NA LIGAÇÃO YA Em valores pu o transformador ainda é representado pela sua ímpedância de curto circuito interligando nos diagramas sequenciais os pontos A e A No entanto devemos lembrar que entre as tensões e correntes primárias e secundárias há uma rotação de fase que é facilmente determinável desde que conheçamos o esquema de ligação do transformador Para efeito de análise suponhamos um transformador Fig 47 no qual ao passarmos do enrolamento primário ligado em estrela para o secundário ligado em triângulo ocorra rotação de fase de 90 para a seqüência de fase direta e de 90 para seqüência inversa Isto é sejam v2 Vj v2 as componentes simétricas das tensões de seqüência direta e inversa no primário e secundário respectivamente zlf i2 i l2 os valores equivalentes pertinentes às correntes primárias e secundárias Núcleo Figura 47 Transformador YA com rotação de fase de 90 As componentes de Clarke da tensão e corrente no primário em função das componentes simétricas são vQ Vi v2 vp j v 2 v ia i2 ip j h 0 As componentes de Clarke da tensão e corrente no secundário são V a V 1 V 2 V0 jv 2 V l í a l Í 1 P j 0 2 f 1 Porém nas hipóteses feitas teremos A v jv2 i2 ji 2 donde resulta COMPONENTES DE CLARKE 323 K j i v2 v 7 7v2 7vJ v v2 va 1 a j h h lp h 7 71 f h A h L Com procedimento análogo determinamos as componentes de Clarke para qualquer outra rotação de fase entre grandezas primárias e secundárias porém salientamos que para rotação de fase entre as tensões primárias e secundárias de 30 não obtemos relações diretas De fàto suponhamos que no transformador da Fig 47 houvéssemos designado os terminais secundários com a mesma letra dos primários isto é A B B C e C A teríamos um transformador com rotação de fase de 30 para a sequência direta e de 30 para a seqüência inversa As relações anteriores tomarseiam vj v 30 v2 v2 1 30 j j 30 i2 i2 30 resultando K 1 11 30 1 11221 fi 11 30 j 1J30 K ij 3 r i3r y íjjsçr v U S yv 11 30 V2 1 JJ fie 11 30 fie 11 30 e 1120 11120 7 l J o 1 30 j y L Com procedimento análogo determinaríamos as expressões para as correntes 433 REPRESENTAÇÃO DE LINHAS DE TRANSMISSÃO Tratandose de linhas trifásicas equilibradas estas são representadas por diagramas seqüênciais de Clarke do mesmo modo que em componentes simétricas pois conforme já vimos item 423 as impedâncias seqüenciais em série são iguais em componentes simétricas e de Clarke e as admitâncias em paralelo nada mais são do que duas cargas ligadas uma em estrela com centro estrela aterrado e a outra em triângulo 44 POTÊNCIA EM TERMOS DAS COMPONENTES DE CLARKE No capítulo precedente vimos que a potência em termos das componentes simétricas das tensões e correntes de fase vale 324 Lembrando que resulta INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA s 3 v j i 3 3 r2r2 K K je K n j O n h a n ji 5 IKK K J K K j O K j Ç i K JK 5 3KK 1 KK v 416 45 RESOLUÇÃO DE REDES TRIFÁSICAS SIMÉTRICAS COM UM DESEQUILÍBRIO 451 CARGA DESEQUILIBRADA EM ESTRELA Consideremos uma carga constituída por três impedânciasZ ZB 2C ligadas em estrela com o centro estrela aterrado por impedância ZN e alimentada por uma rede trifasica simétrica e equilibrada Fig 48 Na carga teremos 1 N O O 1 V T BN O o 4 l 7 IN o o 4 l COMPONENTES DE CLARKE 325 Figura 48 Carga desequilibrada ligada em estrela Substituindo na equação precedente as seqüências de tensões e correntes de fase pelas de Clarke e prémultiplicando ambos os membros pela matriz inversa da matriz de transformação de componentes de Clarke resulta r0afi TC ABcTcOap 3 7 T 1 T jV C 1 1 1 Por outro lado definiremos por analogia com as seqüências de tensões e correntes a seqüência ZA ZB Zc para a qual será z 0 z 8 2 Z 7 Zc z Ze zc e efetuando os produtos de matrizes indicados obteremos n i ZQ 3 ZN í z a J 2 a i z fi 1 2 9 r j K z 0 z j j j z f L P z i 1 7 2 Zfi i ZZC Jfi Observamos que a matriz da rede não é simétrica porém lembramos que se multiplicarmos í 0 por 2 e dividirmos a primeira coluna da matriz por 2 o produto não se altera e além disso faremos z z0 3Z ra j z zÁ t z zc resultando 326 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Com o procedimento adotado convertemos a matriz em simétrica portanto as mútuas entre seqüências são iguais Fig49 A seguir assumiremos que a rede que alimenta a carga é trifásica simétrica e equilibrada linhas com impedâncias próprias e mútuas iguais entre si e a substituiremos em cada sequência pelo gerador equivalente de Thèvenin e obteremos Èa 2 0 0 00 0 iii Z iii i 2 í 2 1 2 i i ii iz Z i 2 aa 2 Ü 2 t Il t iii Zpp 2 h L h Portanto 418 COMPONENTES DE CLARKE 327 Resolvemos o sistema da Eq 418 multiplicando ambos os membros pela inversa da matriz de impedâncias e a seguir determinamos as componentes de Clarke das correntes na carga 452 CARGA MONOFÁSICA LIGADA ENTRE UMA FASE E TERRA Suponhamos ter uma rede trifásica simétrica e equilibrada que alimenta num determinado nó uma carga monotasica ligada da fase A à terra com as fases B e C em circuito aberto Teremos Z 4 4 0 4 tf logo as componentes de Clarke nesse ponto serão I 0 3 4 f 4 H 4 o Além disso teremos K K K f Por outro lado para a rede temos K K 7 2 ooio 2 io Z Finalmente 7 A N 2 2 4 z oo4 z ou ainda K y 2 4 z 4 z 4 JT f 214 Em conclusão a carga monofasica ligada entre a fase A e a terra é representada ligandose em série o circuito de seqüência alfa com o de seqüência zero no qual dividimos todas as 328 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA impedâncias por dois e fechandose o circuito sobre uma impedância igual a três meios da impedância dada Fig 410 453 CARGA MONOFÁSICA LIGADA ENTRE DUAS FASES Inicialmente vamos estudar o caso de curtocircuito entre as fases B e C Isto é as condições de contorno são BN rCN l c 1 L 0 Figura 410 Carga monofásica entre fase e terra Logo as componentes de Clarke no ponto de defeito são L L 0 Ir AN r0 Z V M 3 vm 0 Portanto as redes de seqüência zero e alfa serão mantidas em circuito aberto e a rede de seqüência beta será ligada em curtocircuito no ponto considerado COMPONENTES DE CLARKE 329 No caso de impedância ligada entre as fases B e C as componentes de sequência zero e beta ainda permanecem nulas isto é 0 a 0 Além disso será t r p i 7 r BN CN isto é V v 21 V i V v c n v c n g 2 i 2 ou seja os circuitos de seqüência zero e alfa são mantidos em aberto e o de seqüência beta é fechado sobre uma impedância Fig 411 454 CARGAS MONOFÁSICAS ENTRE DUAS FASES E TERRA Inicialmente consideraremos a ocorrência num sistema trifásieo simétrico equilibrado e aterrado de curtocircuito entre as fases B e C e a tara As condições de contorno são rcy o o Figura 411 Carga monofásica ligada entre duas fases As componentes de Clarke das tensões no ponto de defeito são dadas por K vp o Além disso temos ainda 330 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 4 4 4 e 4 4 Para a rede temos V 7 V È 7 t V P 7 r 0 z00i0 a ZjaaIa rfi Sendo Va 2 P0 resulta Éa 2aJ a 2 2 1 ou ainda Êa ZaaIa 2 ZqqIq Zaa 2Z00 a e Êp ZIp Das equações acima concluímos que a rede de seqüência beta será ligada em curtocircuito no ponto de defeito e a rede de seqüência alfa será ligada em paralelo com a rede de seqüência zero na qual todas as impedâncias foram multiplicadas por dois No caso de cargas monofásicas ligadas entre as fases B e C e terra com prodecimento análogo ao utilizado em componentes simétricas isto é inserimos em cada fase da rede antes do ponto de defeito a impedância Z e ligamos os terminais das fases B e C em curtocircuito com a terra mantendo o terminal da fase A em circuito aberto A seguir modificamos o Thèvenin da rede englobando a impedância Z e a equação da rede é obtida por Z 2 1 2ZM 2 1 2 2Zm 32 1 e z f A partir da equação precedente obtemos o circuito equivalente da Fig 412 Figura 412 Cargas monofásicas ligadas de duas fases à terra COMPONENTES DE CLARKE 331 BIBLIOGRAFIA CLARKE E Circuit analysis of AC powers Systems vol 1 John Wiley Sons 1943 CALABRESE G O Symmetrical components Ronald Press 1954 STAGG G W ELABIAD A H Computer methods in power Systems analysis McGraw Hill Ltd 1968 Exercícios 5 51 INTRODUÇÃO 511 APRESENTAÇÃO GERAL Neste capítulo dedicarnosemos ao desenvolvimento de exercícios referentes aos quatro capítulos precedentes Destacamos duas grandes categorias de exercícios exercícios propostos no texto com ou sem resolução e exercícios desenvolvidos através de programas computacionais Os exercícios desta última categoria subdividemse em duas famílias distintas exercícios em que o leitor fornece as respostas aos quesitos propostos e o programa computacional verifica tais respostas e informa sobre o acerto ou erro e a outra Êunília na qual a resolução é apresentada passo a passo permitindo ao leitor o acompanhar os procedimentos utilizados Nos itens subseqüentes apresentaremos na ordem itens pertinentes aos programas computacionais com a sistemática utilizada no cálculo de cada conjunto de exercícios e listas de exercícios propostos a serem resolvidos sem a utilização de microcomputador 512 PROGRAMAS COMPUTACIONAIS 1 Generalidades Os programas desenvolvidos que são aplicáveis a microcomputador com monitor à cores e com placa VGA que disponha de mouse devem ser obrigatoriamente armazenados no diretório CCOMPSIM O usuário poderá acionálos a partir de qualquer diretório digitando no PROMPT do DOS o comando CCOMPSIMCOMPSIM Sugerimos que o usuário defina um diretório qualquer de sua escolha e proceda a execução dos programas a partir desse diretório Para o carregamento dos programas o usuário deverá direcionar o controle para o acionador de disco flexível de 3 12 drive A ou B inserir o disquete nesse acionador digitar o comando INSTALA e seguir as instruções que vão sendo apresentadas na tela Terminado o carregamento dos programas o usuário poderá com mesmo procedimento transferir do disquete de instalação para o diretório CEXERCICI ou outro qualquer por ele anteriormente criado os arquivos pertinentes a exemplos de aplicação Os programas dispõem de telas de menus de aquisição de dados e de apresentação de resultados que passamos a descrever EXERCÍCIOS 333 Nas primeiras telas de menus que podem ser do tipo horizontal ou vertical o usuário disporá das alternativas apresentadas a seguir para fixar a opção desejada Assim fixa a opção pressionando a tecla Fi conveniente ou pressionando o botão esquerdo do mouse em correspondência à opção ou finalmente navegando pelas opções através das flechas horizontais menus horizontais ou verticais T 4 menus verticais e pressionando a tecla ENTER em correspondência à opção destacada O usuário poderá abandonar o menu através da tecla ESC Os dados podem ser fornecidos através de arquivos formatados tipo ASCII ou conversacionalmente através da console Na aquisição de dados pela console o programa apresenta campo destacado onde o usuário irá fornecêlos sendo apresentada em mensagem de rodapé a descrição do dado a ser fornecido que uma vez digitado será transferido à memória pressionandose a tecla ENTER ou a flecha vertical 4 O usuário poderá retomar a dado anteriormente fornecido na mesma tela através da flecha vertical t e modificálo ou mantêlo inalterado Destacamos que os dados a serem fornecidos estão compreendidos entre dois valores extremos fixados em função da variável a ser lida e em sendo fornecido valor externo à faixa de definição o programa emitirá em rodapé mensagem de erro do tipo ERRO Há incompatibilidade no dado lido Finalmente o usuário poderá abandonar a tela de dados pressionando a tecla ESC quando os dados disponíveis na memória serão mantidos nos valores existentes antes da entrada na tela Os resultados quando excedem o número de linhas disponíveis na tela são apresentados em telas sucessivas entre as quais o usuário poderá navegar valendose das teclas Home retoma à tela inicial End vai à tela final Page Up retoma à tela anterior e Page Down vai à tela seguinte O usuário abandona a tela de resultados pressionando a tecla ESC Os programas dispõem ainda de mensagens que são apresentadas em rodapé de confirmação de atividades a serem desenvolvidas que são confirmadas pressionandose as teclas S ou Ms e negadas pressionandose qualquer outra tecla 2 Conjunto de Programas O sistema de programas ao ser acionado comando CCOMPSIMCOMPSIM apresenta o menu principal Fig 51 a partir do qual o usuário escolherá o programa de exercícios que desejar O sistema conta com os programas a seguir que detalharemos em itens subseqüentes SIMETRI que conta com exercícios pertinentes a circuitos trifásicos relações entre tensões de fase e linha na ligação estrela relações entre correntes de fase e linha na ligação triângulo relações entre tensões e correntes potência e teorema de Blondel BASEPU que conta com exercícios pertinentes a valores por unidade pu em redes monofásicas e trifásicas que dizem respeito à relação entre valores de base fixação de bases em transformadores cálculo de redes em pu e choque de bases EXCSIM que conta com exercícios de componentes simétricas envolvendo relações entre seqüências de tensões e correntes representação de transformadores e potência 334 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA CLARKE que conta com exercícios de componentes de Clarke envolvendo relações entre seqüências de tensões e correntes representação de transformadores e potência TRIFASE que se destina à resolução de circuitos trifásicos sem solicitar as respostas CSIMET que se destina ao estudo de relações entre componentes de fase simétricas e de Clarke sem solicitar as respostas BDADOLT que se destina a gerenciar base de dados de linhas de transmissão AUXILIO que se destina à apresentação de telas de auxílio contendo a descrição sucinta dos programas INTRODUÇÃO A SISTEMAS DE POTÊNCIA COMPONENTES SIMÉTRICAS CCBARIONI OLIVEIRA HPSCHMIDT NKAGAN EJROBBA 5F1TRIFASE E x b á s ic o s de t r i f á s i c o s F 5C IR T R I E x d e e s tu d o r e d e s t r i f a s j i ESC E N C E R R E n c e rra o p ro c e s s a m e n to i E s c o lh a o p ro g ram a d e s e ja d o E s c o lh e a o p c a o ENTER F ix a o p cao ou c l i c k o m ouse ou F i EXERCÍCIOS F2POR U N I E x b á s ic o s v a i p o r u n id F 6 C IR C S E x d e e s tu d o r e d e s c s im e t F 3 C S IM E T E x b á s ic o s d e com p s l m e t r i IF7BA SDAD B anco de d a d o s de r e d e s F4CCLARKE E x b á s ic o s de com pon C la rk e J F 8 A u x ilio T e la s d e a u x i l i o Figura 51 Menu principal de programas 52 EXERCÍCIOS DE CIRCUITOS TRIFÁSICOS CAPÍTULO 1 521 APRESENTAÇÃO Neste item em que nos dedicaremos ao desenvolvimento de exercícios de circuitos trifásicos apresentamos conjunto de exercícios propostos e exemplos de exercícios com detalhamento da metodologia utilizada resolvidos através dos programas computacionais Os exercícios propostos subdividemse em i analíticos nos quais solicitamos a demonstração de relações ii tipo teste de múltipla escolha nos quais apresentamos cinco alternativas de respostas à questão enunciada iii exemplos típicos resolvidos e iv exemplos sem resolução 522 EXERCÍCIOS ANALÍTICOS Ex 521 Demonstrar analiticamente e através de diagrama de fasores as relações a 1 V3 150 a 2 1 150 a 2 a j a a 5 V J j90 EXERCÍCIOS 335 Ex 5 2 2 Determinar analiticamente e através de diagrama de fasores os fiasores 1 0 0 a l 203Fa2 a 70 5 y 2 a l 85E302 a 5 523 EXERCÍCIOS DO TIPO TESTE DE MÚLTIPLA ESCOLHA Ex 523 Numa carga equilibrada ligada em triângulo e alimentada por um trifasico assimétrico e equilibrado podemos afirmar que 1 A soma das tensões de fase na carga é sempre nula 2 A soma das correntes de fase não é nula 3 A soma das correntes de linha não é nula 4 Sendo a seqüência de fase direta a corrente da linha A é obtida pela expressão 1A 33ÇP 5 Nenhuma Ex 524 Um trifasico simétrico a três fios alimenta uma carga desequilibrada ligada em estrela com o centro estrela isolado Podemos afirmar que 1 A tensão de fase da carga em módulo é igual à de linha sobre V3 2 A tensão Vm é sempre diferente de zero 3 As correntes nas três linhas estão defasadas entre si de 120 4 Aterrandose o centro estrela da carga as correntes de linha não se alteram 5 Nenhuma Ex 525 Para um sistema trifásico que alimenta carga equilibrada com impedância por fase Z é verdadeira a afirmação 1 A rotação de fase entre a corrente e a tensão independe da seqüência de fase 2 A corrente de linha é igual à de fase qualquer que seja a ligação da carga 3 Determinamos o módulo da corrente de carga pela relação I V jZ sendo V o módulo da tensão VAB 4 A soma das correntes de linha é zero 5 Nenhuma Ex 526 Um sistema trifásico simétrico a quatro fios com tensão de linha de 220 V alimenta uma carga ligada em estrela aterrada constituída pelas impedâneias ZA 10 Q ZB 10j O Zc 10 O Sendo a seqüência de fase BCA podemos afirmar que a corrente no fio neutro vale 193 A 2 60 A 3 347 A 4 38 A 5 Nenhuma Ex 5 2 7 Um sistema trifásico alimenta várias cargas equilibradas ligadas em paralelo Podemos afirmar que 1 A potência aparente fornecida ao conjunto das cargas é igual à soma das potências aparentes de cada carga 2 O fator de potência do conjunto das cargas é obtido dividindose a soma das potências ativas fornecidas às cargas pela soma das potências aparentes 336 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 3 A potência complexa fornecida a cada carga é dada pela expressão VÁR na qual representa a tensão entre as linhas A e B e lA a corrente na linha A 4 0 fator de potência do conjunto é dado pela expressão cos H r l a Z z em que Qi e Pt são respectivamente a soma algébrica das potências reativas e ativas fornecidas à carga 5 Nenhuma Ex 528 Uma carga trifásica equilibrada alimentada por trifasico simétrico absorve 3800 W e 3800 VAr Sendo a seqüência de fase CBA e VAB 220140 V podemos afirmar que a corrente 1A vale 1 141115 A 2 14125 A 3 14155 A 4 Não é possível calcular a corrente pois não conhecemos o modo de ligação da carga 5 Nenhuma Ex 529 Num sistema trifasico simétrico com carga equilibrada sabemos que V e IA d 30 Podemos afirmar que 1 A carga é capacitiva e seu fator de potência vale 05 2 A carga é puramente resistiva 3 A potência ativa fornecida à carga vale 05 VI 4 A potência aparente fornecida à carga vale 3 VI 5 Nenhuma Ex 5210 Num sistema trifásico com carga equilibrada ligamos dois wattímetros com as bobinas amperométricas nas linhas A e B e as voltimétricas entre essas linhas e a C Sendo a carga indutiva podemos afirmar que 1 Quando a seqüência de fase for ÁfíC será Wj W2 2 Quando a seqüência de fase for ACB será Wj W2 3 As leituras nos wattímetros independem da seqüência de fase 4 A leitura de um dos wattímetros será negativa desde que 0 fator de potência da carga seja menor que 05 5 Nenhuma Ex 5211 Num sistema trifasico ligamos dois wattímetros com as bobinas amperométricas em dois fios de linha e as voltimétricas entre esses fios e o terceiro fio de linha Podemos afirmar que 1 Tratandose de trifásico assimétrico a três fios com carga desequilibrada a potência fornecida à carga não é igual à soma das leituras dos wattímetros 2 Tratandose de trifãsico simétrico a quatro fios com carga equilibrada a potência fornecida à carga não é igual à soma das leituras dos wattímetros 3 Tratandose de trifasico simétrico a quatro fios com carga desequilibrada a potência fornecida à carga é igual à soma das leituras dos wattímetros 4 Dadas as leituras dos wattímetros podemos determinar o fator de potência e a natureza da carga 5 Nenhuma EXERCÍCIOS 337 Ex 5212 Num sistema trifásico com carga equilibrada ligamos um wattímetro com a bobina amperométrica na linha A c a voltimétrica entre as linhas B e C Podemos afirmar sabendo que o wattímetro tem o zero no centro da escala que 1 Quando a leitura for negativa a carga será capacitiva 2 Os reativos fornecidos à carga valem em módulo V3 x leitura do wattímetro 3 Os reativos fornecidos à carga valem em módulo 3 x leitura do wattímetro 4 A leitura do wattímetro vale VL IL cos 9 30 5 Nenhuma Ex 5213 Para um indicador de seqüência de fase é verdadeira a afirmação 1 Pode ser utilizado em trifásicos assimétricos 2 O voltímetro que der a leitura maior corresponderá à tensão que estiver adiantada de 120 em relação à tensão aplicada ao capacitor 3 Num trifásico simétrico a quatro fios para determinarmos a sequência de fase devemos ligar 0 centro estrela do indicador de seqüência de fase ao quarto fio neutro 4 Quando a admitância do capacitor for aproximadamente igual à admitância interna dos voltímetros com a fase A ligada ao capacitor a leitura do voltímetro ligado à fase B será maior que a do ligado à fase C desde que a seqüência de fase seja ABC 5 Nenhuma 524 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Ex 5214 Num sistema trifásico simétrico com seqüência de fase CBA a tensão entre os pontos B e C é 380j45 V Pedimos que sejam determinadas as tensões de linha e fase Repetir a questão para VÃB 220 I 3 V VCA 220 j4F V VAB 220 j45 V Psc 22065 V VK 220 3 V SOLUÇÃO a Tensões de linha Sendo a seqüência de fase CBA deverá ser M U M u 1 2 0 M u 120 mas sendo Vbc 3 8 0 H y V deverá ser p v 380 V e 6 120 45 eentão 9 75 Logo f CA 38075 V 380 h45 V 380J19ÍP 380 165 V Para a resolução gráfica por meio do diagrama de fasores construímos 0 fasor VBC atrasado de 45 em relação à origem Como os fasores giram em sentido antihorário e o fasor deve ser 0 338 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA próximo a passar pelo valor máximo construímolo atrasado de 120 em relação a VBC Analogamente construímos VCA atrasado de 120 em relação a VM Fig 52 b Tensões de fase Para a determinação analítica das tensões de fase lembramos que dispomos somente de duas equações relacionando três incógnitas isto é as três equações abaixo não são independentes pois sendo VAB VBC VCA 0 uma das equações é linearmente dependente das outras duas V a II V Y BN V b c II C N C A II 3 Levantamos a indeterminação impondo um valor para a soma das tensões de fase isto é da qual resulta deal r BN V y CN BN des AN CN AB 1 II II CA II 3 1 AN A C A des que nos permite determinar impondo que 0 380 19F 380 75j 21941135 V ou então sendo a sequência de fase inversa v ia 3801195 M í 21941135 V V yÍ3 30 V3 30 K n a AN V Y CN a 2 V u Y AN Graficamente construímos inicialmente o triângulo das tensões de linha que é equilátero e fixamos o ponto N correspondente ao centro estrela no baricentro do triângulo 0 EXERCÍCIOS 339 Ex 5215 Uma carga trifasica equilibrada ligada em triângulo é alimentada por trifásico simétrico com seqüência de fase BAC Conhecendose a corrente IBC 22 40 A pedimos determinar as correntes de fase e linha Repetir o exercício para 1AB 15h20 A ÍCÁ 15145 A 1545 A ÍA 38j50 ÍB 383F A lc 385F A e para seqüência de fase direta SOLUÇÃO a Correntes de fase Sendo 2240 A e a seqüência de fase inversa BAC resulta ÍAB 22 40120 22 j80 A ÍCA 22 f40120 22 160 zí b Correntes de linha ÍA V3 30 38150 4 s 30 38170 zl c V330 381170 Ex 5216 Um sistema trifásico simétrico alimenta uma carga equilibrada ligada em estrela Sendo fornecidas a impedância de fase da carga 60 80j Q a tensão de linha 220 V 60 Hz e a seqüência de fase direta pedimos a Ás correntes de fase e linha b O fator de potência da carga c A potência complexa fornecida à carga d As leituras em dois wattímetros ligados conforme o esquema da Fig 53 Figura 53 Circuito para o Ex 5216 SOLUÇÃO a Determinação das correntes Admitimos VAN com fase nula e obtemos 340 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 220 r v Vm 1271120 V h 2 10 5313 127117313 A 127153130 A lc 127 6687 A VCN 127120 V b Determinação do fator de potência O fator de potência da carga é o da impedância de fase ou ainda o cosseno do ângulo de rotação de fase entre a tensão e a corrente de fase isto é cosçp 06 ou cosq cos 05313 j 06 c Determinação da potência Temos S VL IL V3 220 127 483935 VA P V3 VL IL cos p 220 127 06 290361 W Q S v l i l sen p V3 220 127 08 387148 VAr logo S 290361 3871487 48393515313 VA Altemativamente podemos determinar a potência a partir de S 3 3 127 J0 12715313 483935 5313 VA d Leitura nos wattímetros Temos Wx ÍRe22030r 127 5313 2794 cos 8313 33421 W W2 íRe VCB rc flc 220190 127 j6687 2794 cos 2313 256941 W e então Wt W2 33421 256941 290362 W Ex 5217 Um sistema trifasico simétrico com tensão de linha de 440 V alimenta uma carga equilibrada ligada em triângulo com impedância de fase de 8 6j O Pedimos determinar a potência complexa por fase e a potência total fornecida à carga SOLUÇÃO a Potência de fase A impedância de fase é dada por 8 6y 1013687 Q e portanto assumindose a tensão AB com fase zero a corrente de fase será EXERCÍCIOS 341 e então 1 AB K Q g Z 1013687 44 36870 A SF rM 440 j0 44 3687 19360 3687 b Potência total Para a potência fornecida à carga temos S 3 S f 5808013687 VA Ex 5218 Um motor trifásico com potência mecânica nominal de 5 HP de 220 V tem a plena carga rendimento de 85 e fator de potência de 82 Pedimos determinar a corrente de linha a plena carga Potência útil do motor 5 HP 5 x 746 W Nota 1 HP 746 W 1 cv 736 W A unidade HP não é unidade legal brasileira SOLUÇÃO A potência elétrica fornecida ao motor quando está fornecendo no eixo a potência mecânica correspondente à sua potência nominal é dada por p 5 x 746 438823 W 085 Por outro lado a potência elétrica fornecida ao motor é P Jí V I cos q e portanto I 438823 yÍ3 V COS p S 220 082 1404 A Ex 5219 Uma linha trifasica simétrica alimenta um motor trifásico ligado em estrela e uma carga ligada em triângulo constituída de capacitores em série com resistências Fig 54 Sabemos que 1 A impedância do motor é Zm 5 5j C2 por fase 2 A impedância da carga é Zc 10 5j Q por fase 3 A impedância da linha é desprezível 4 A tensão de linha é 230 V e a seqüência de fase do trifásico é a direta Pedimos determinar a A corrente de fase do motor e a da carga b A corrente de linha c A potência fornecida ao motor à carga e a potência total d O diagrama de fasores e As leituras em três conjuntos de dois wattímetros ligados conforme o esquema da Fig 56 SOLUÇÃO a Cálculo das correntes Tensão de linha 342 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Sendo a seqüência de fase ABC e fixando a tensão entre as linhas A e B na origem teremos ÊAB 230 j0 230 0j V K 230 120o 115 19918y V VCA 230120 115 199187 y A Tensões de fase v 23010 A 13279 30 V S 30 S 30 yr 2301120 yT 13279 150 V 30 S 30 Vr 230120 y J 1327990 V 3 3F W Correntes de fase no motor VA 13279130 1327930 1 4L L J 1878175 4 Zm 5 57 707 j45 1 lBN 18781165 7CV 1878j45 A Correntes de fase e linha da carga 230 0C Ku 230 E M z c 1057 111812656 2057 2656 A IBC 205719344 A 1CA 2057 jl 4656 A 1ÁC V3 h W 2057 2656 3 3P 3563 344 A 356312344 4 c 3563 11656 A b Correntes totais de linha Á 1878 35631344 4043 20287 4523 2664 IB 4523 14664 4 Ic 4523 j9336 EXERCÍCIOS 343 c Potências Smctor 3 AN lAN 3 13279 30 1878 75 529014 529014 j 748139 j45 VA carça 1ab 3 23000 0 2057 2656 1269543 634632y 14193 j26560 Etf o r Semfa 1798557 105618 1801655 336 VA Como alternativa podemos calcular as potências por Smolor j V L IL S 23000 1878 748142 Fl V3 cos 748142 cós 45 529016 W Qmolor V3 VL l L sen cp 748142 sen 45 529016 VAr Scana V3 IAc S 23000 3563 1419398 F4 PCOTJra l Ac cosP 1919398 cos2656 1269604 W Qcarga V a b 1 Ac sen P 1919398 Stf26560 634662 F4r d Diagrama de fasores Apresentamos o diagrama de fasores à Fig 55 e Wattímetros Leitura nos wattímetros da carga Wx t o e rAc g 2 3 0 35631344 230 3563 cos344 818013 W W2 PCfi ECc toe 230 120o 3563 j11656 230 3563 cos5656 451591 FF F2 Wx FF2 818013 451591 1269604 W Leitura dos wattímetros no motor W toe AC g 2 3 0 1120 1878 75 230 1878 cosl50 417222 W W toeVBC toe 2301120 1878 1165 230 1878 aw75 111794 W W2 W W 111794 417222 529016 W Leitura total WT toe Vjm toe 230 0 4523 14664 230 4523 cos33360 868883 W WT2 toe VC rc toe 230 120 4523 9336 230 4523 cos26M0 929854 W WTl2 868883 929854 1798738 W Ex 5220 Para o circuito da Fig 57 sabemos que a tensão de linha é 220 V 60 Hz a seqüência de fase é direta e as impedâncias da carga valem Z 5 5y O Zgç 5 10y Q e ZCÁ 5 IO7 Q Pedimos a As correntes de fase e de linha 344 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA b A potência fornecida à carga c As leituras dos wattímetros Figura 55 Diagrama de fasores para o Ex 5219 SOLUÇÃO a Cálculo das correntes Tensões de linha 220 220 2 W s Y J 220 jF V 220120 V EXERCÍCIOS 345 c a 220 1 220 120 F Figura 57 Circuito para o Ex 5220 Correntes de fase a s BC 1 CA AB BC BC CA CA 220 0 5 Sj 2201 120 5 T lÕ j 2201120 5 10j 220 9 7074500 2201120 111863430 220 120 111816343 311114500 A 1968 18343 A 1968118343 A Correntes de linha 346 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA IÁ Iab Ica 4165 2083j 465712657 A 1B Ibc I ab 4165 2318 j 4767 15090 A h Ica bc 000 235j 23519000 A b Potência ab 220 jO 3111 45 684420145 483958 483958 VA Sbc 7 Ke 220 120o 1968 j18343 43296016343 193659 387234 VA Sca Ke VCA Tca 9te 220 120 19681 18343 4329606343 193659 387234 VA STOT AB BC CA 871276 483958 99666312905 VA Como alternativa podemos calcular as potências ativa reativa e aparente através das expressões P I 2 R y Q I 2 X e S P 2 Q2 isto é PAB 31112 5 483916 W Q 31112 5 483916 VAr Pgc 19682 5 193651 W Q 19682 10 387202 VAr PCA 19682 5 193651 W Q 19682 10 387202 VAr PTOT 871218 483916 9965922904o VA c Leitura dos wattímetros Wx e VM 9le220j0 4657 j2657 220 4657 aw2657 916337 W W2 9ePc 7 2201120 235 J90f 220 235 cosl5P 44773 W Wu Wx W2 871563 W Ex 5221 Para o circuito da Fig 58 sabemos que o trifásico é simétrico com tensão de linha 220 V 60 Hz seqüência de fase direta e as impedâncias das cargas nas três fases valem Zj w 10 Q Zm 10 H ZCN 10 O Pedimos a As tensões de fase na carga b As correntes de linha e de fase c A potência fornecida à carga d As leituras nos dois wattímetros SOLUÇÃO a Tensões de fase na carga Tensões de fase no gerador Fixaremos a tensão V no gerador com fase inicial nula isto é 220 EXERCÍCIOS 347 v v BN S 220 220 1120 1271120 V VCN j 2 0 127 J12CP F Figura 58 Circuito para o Ex5221 Diferença de potencial entre os centrosestreia Sabemos que v v v y v v v AN 1 AN v BN 1 BN r CN 1 ÇN r NN T a n av c n logo V r NN 12710 01 0 127120 01190 127120 0lj90 93 0j Jr 93010 V 01 017 017 01 Tensões de íàse na carga Vw an nn 127 j0 93 Of 220 j0 V Vm BN 127j120 93P 113877498 V VCN VCN 127 12F 93F 113877498 F b Correntes de fase e de linha na carga Í A t j u r 220 0lj0 2 2 0 0 Fw 11387 74980 01 90 1139 16498 A Ic tCN VCN Ycn 11387 7498 01 90 1139 16498 c Potências Vjw Ían 220 r 22 0 4840jF 4840 Oy F4 BN 11387 17498 1139116498 12969890 0 129698y VA CN VCN rcN 11387 7498 1139116498 129698 90 0 129698y VA e então resulta a potência total TOT Sm Sar 484000 0j VA 348 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Podemos alcançar o mesmo resultado através de S TOT A N A N f BN R B N C N R CN j A N AN ftV X B N 222 10 ll392 10 11392 107 4840 0y VA d Leituras nos wattímetros Wx WeVAC 220150 22 0 j 419156 W W2 9 2 2 0 9CP 1139116498 64939 W Wn Wx W2 419136 64939 484095 W Ex 5222 Determinar a leitura dos dois wattímetros do circuito da Fig 59 no qual sabemos que as cargas nas fases AB BC e CA valem respectivamente 10 kW com fator de potência 08 indutivo 15 kW com fator de potência 07 indutivo e 10 kW com fator de potência unitário A tensão de linha vale 220 V 60 Hz e a seqüência de fase é direta SOLUÇÃO Tensões de linha Sendo a seqüência de fase direta teremos Vm 220 j0 V Vgc 2201120 V V 220120 V Correntes de fase A potência complexa nas três fases é dada por 5 10 10 ígcos08y 10 l j 125013687 kVA 15 15 gtt107y 15 1537 214314557 kVA SCA 10 10 tgcos l0y 10 007 100 kVA e então obtemos as correntes através da expressão Vfast ou isto AB JBC ÍCA 12500 36870 220 0 214304557 2201120 10000 j0 2201 120 5682 13687 974116557 454511200 A A A Correntes de linha h Ij b ÍCA 10022 14713 A I b r c a b 14014117598 A tc ca 9580 j4f62 A EXERCÍCIOS 349 Leituras dos wattímetros Wx He220 10022 4713 15000 W W2 Vle VCBrc 220 120o 958014162 20000 W WX1 Wx W2 15000 20000 35000 W Figura 59 Circuito para o Ex 5222 Ex 5223 Um gerador de 220 V tensão de linha 60 Hz trifásico simétrico alimenta as seguintes cargas equilibradas 1 Iluminação 25 kW fator de potência unitário 2 Compressor motor de indução de 100 cv com rendimento de 92 e fator de potência 085 indutivo 3 Máquinas diversas motores de indução totalizando 467 kW com fator de potência 075 indutivo Pedimos a A potência total fornecida pelo gerador b O fator de potência global c O banco de capacitores a ser instalado para que o fator de potência global da instalação seja 095 indutivo d A corrente antes e após a inserção do banco de capacitores SOLUÇÃO a Potência fornecida pelo gerador Tensões Assumiremos seqüência de fase direta e a tensão de fase com fase inicial nula isto é AH 0 V v3 K n i 1 2 0 V CN 120 V V3 AB 220130 V 220 j90 V CA 220150 V Potência total Temos 5 L 250 0 j k V A 3U 1000o 92736 l tascos 085 80 4958 kVA 350 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 3 467 467 tascos 1 075j 467 4118 kVA Síct 1517 9076j 176777 3089 kVA Observamos que a potência aparente não é a soma das potências aparentes das cargas A potência ativa total por sua vez é igual à soma das potências ativas das cargas o mesmo ocorrendo com a potência reativa ou seja as potências ativa e reativa se conservam b Fator de potência Podemos definir o fator de potência além dos modos já apresentados pela relação entre as potências ativa e aparente absorvidas pela carga isto é 1517 COSp 3089 08581 Y 176777 v c Banco de capacitores para corrigir o fator de potência Ao ligarmos em paralelo cora a carga um banco de capacitores a potência ativa absorvida pela carga como é evidente permanece inalterada variando somente as potências reativa e aparente Assim sendo 0 j Qhmco a potência complexa absorvida pelo banco teremos S 5 P J ô w Considerando que desejamos que o fator de potência cosvy seja 095 resulta imediatamente icmy tan arc cos 095 03287 Êot ou seja PM 03287 Qtot 1517 03287 9076 0896 kVAr e a potência complexa do paralelo entre conjunto de cargas e o banco de capacitores passará a ser SM S 1517 9076 40896y 1517 49864y 159685 1819 kVA d Corrente sem e com banco de capacitores A corrente antes da inserção do banco de capacitores é dada por 2 176777 46392 A 11 V3 V V3 220 e lembrando nossa hipótese básica de geração e carga ligada em estrela resulta 0 h U Van I arc cos PS 46392 220 s 46392 13089 A 3089c ÍB 1BN 46392 15089o A Ic ICN 46392 8911 A Por se tratar de trifasico simétrico e equilibrado procederemos como método alternativo ao cálculo da corrente após a inserção do banco de capacitores a partir da potência de fase isto é r 15968511819 V 1 A 1 AN 3 Vt 3 127 10 419061819 A e EXERCÍCIOS 351 l B l BN 41906113819 A e lc 41906 jl 0181 4 Ex 5224 Uma fábrica necessita instalar um compressor para recalcar água de um poço semi artesiano sistema airlift O compressor será alimentado por uma linha trifásica que parte da cabine primária Sabemos que a tensão de linha na cabine primária é 220 V 60 Hz que o motor funcionando na condição de regime permanente absorve 100 A com fator de potência 07 indutivo e que a impedância da linha vale 010 005j Q Pedimos a A tensão aplicada ao motor b A potência medida no motor e na cabine primária c O banco de capacitores a ser ligado em paralelo com o motor para que o fator de potência do conjunto passe a ser 095 indutivo Estudar ligação dos capacitores do banco em Y e A d A tensão no motor com a presença do banco de capacitores e As perdas na linha com e sem a instalação do banco de capacitores SOLUÇÃO Hipóteses gerais Admitiremos que o motor está ligado em estrela caso estivesse ligado em triângulo poderiamos substituílo por um equivalente em estrela e que o trifásico tem seqüência de fase direta NEUTRO FICTÍCIO Figura 510 Circuito para o Ex 5224 a Tensões no motor e na cabine primária Adotaremos que a tensão de fase no motor tem módulo Vm e fase inicial nula isto é K H2o c n vmí i A tensão de fase na cabine primária será dada por v 220 220 220 T T V 120o cn j l V 120 Além disso temos que T e lembrando que a corrente da fase A está atrasada em relação à tensão de fase fase A de arccos 07 obtemos A 100 j cos xil 100 4557 70 7141 A Nessas condições sendo Z 010 005 01118 656 Cl temos a equação 352 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA K cos y j sen y 2 IA Vm ou 220 V3 cos y j sen y 01118 j2656 1001557 Vm ou 127 cos y j sen y 111811901 Vm 127 cos V 7 sen ip 1057 364j Vm e então igualando as partes reais e as imaginárias obtemos o sistema de duas equações a duas incógnitas 127 cos y 1057 Vm 127 sen y 364 que resolvidas fornecem 3641 y arc s e n 164 V 127 Vm 127 cos y 1057 11638 V Destacamos que na determinação do angulo y deveriamos ter considerado além do valor 164 o ângulo 18164 Deixamos ao leitor a discussão do ângulo a ser fixado As tensões são dadas por VAN 11638 CP V VgN 11638120 V VCN 11638120 V 1271164 V 127 12164 V VCN 127111836 V b Potência no motor e na cabine No motor temos 5 3 VÁN rA 3 11638 jF 10014557 34914 4557 2444110 2493230 VA No gerador temos Sger rA 3 127 1164 10014557 38100 4393 2743916 2643298j VA As perdas na linha são dadas por Sgrr 3 299806 150068 VA Lembramos que poderiamos ter calculado a potência no gerador a partir das perdas e da potência fornecida ao motor isto é Sger Smot perdes 3 Êw Xlij ou seja 3 2444110 2493230 3 10000 010 005 2744110 2643230j 3810092 4393 VA c Correção do fator de potência Para que o fator de potência do conjunto passe a ser 095 indutivo devemos ter cff Ex 2223 Ê C 1 J tan x ou seja EXERCÍCIOS 353 1 j tan X mot ou tow L w 0 ou 2444110 03287 2493230 Q e 1689851 K4r Capacitores para o banco ligado em estrela Num banco de capacitores ligado em estrela sendo CY a capacidade instalada por fase temos Q bco 3 V e a C r logo ô w 1689851 Cv 3 to 3 1272 2n 60 92636 fiF Obs utilizamos a tensão de 127 V considerando que seja a tensão nominal do banco Capacitores para o banco ligado em triângulo Num banco de capacitores ligado em triângulo sendo C a capacidade instalada por fase temos Qbanco 3 O Q lOgO c CA Z A 3 92636 30879 pF Comparação dos bancos Como já sabíamos o banco em triângulo apresenta capacidade menor que o em estrela Para o caso de baixas tensões sem entrarmos em outras considerações tais como presença de harmônicas que foge ao escopo do livro poderiamos concluir que é mais vantajoso a utilização de bancos de capacitores em triângulo no entretanto lembramos que na ligação em triângulo a tensão de isolação dos capacitores que estão supridos pela tensão de linha é yÍ3 vezes maior que a do banco em estrela quando os capacitores são alimentados na tensão de fase Em tensões de distribuição primária ordem de grandeza de 15 kV optamos pela ligação estrela uma vez que a redução da tensão prevalece sobre o aumento na capacidade a ser instalada d Cálculo da tensão no motor face à presença dos capacitores Para o cálculo da tensão no motor com a instalação do banco de capacitores que suporemos em estrela temos o equacionamento a seguir A N A N motor íbanco porém Vm 0 t 1 banco Ü rAN jo C jo C Vm Assumimos que o motor seja uma carga de corrente constante isto é que a corrente no motor não varie com a tensão que lhe é aplicada Destacamos sem entrar em maiores considerações que fogem o escopo do livro que o motor é melhor representado por uma carga de potência constante Logo na premissa considerada a equação utilizada no cálculo da tensão do motor passa a ser cos y j sen w V 1 jco c z 3 Z ímotor OU Zlmotor A JB e Z R jX 354 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA M cos y j sen i Vm l w C X A B co C R Vmj a n cosy V m l co C X A K s e n tf B o C R Vm Substituímos nas equações precedentes os valores numéricos e obtemos 127 cos f 09825 Vm 1057 127 sen y 00349 Vm 364 e elevando ambos os membros ao quadrado e somando as duas equações obtemos 096652 Vl 2052 Vm 1600403 0 Resolvemos a equação precedente c obtemos Vm 11850 V e y 044 e AN 11850 0 V VBN 118501120 V 11850 120 K 127 044 V V B N 1 2 7 11956 F FCjV 127 12044 F Destacamos que nos casos em que conhecemos a tensão no início da rede e a carga no fím da linha é mais usual procedermos ao cálculo por processo iterativo Assim no caso de assumirmos que a potência absorvida pelo motor é constante e com a existência do banco de capacitores teremos carga variando com a tensão isto é a corrente será dada por I a r C P v AN O procedimento adotado consiste em fixarmos para a iteração inicial a tensão da carga igual à do gerador e a seguir calculamos a corrente através da equação acima e a tensão na carga pela equação F F 1 7 Y A N r AN 1 A Repetimos o procedimento até que em duas iterações sucessivas o desvio da tensão na carga seja menor que tolerância préfixada isto é VAkl v n TOLERÂNCIA e Perdas com a inserção do banco de capacitores Com a inserção dos bancos de capacitores a corrente na linha passa a ser PA 4 lcap 10014557 ÊAN dC 9tP 761712322 A e as perdas na linha são Pperdn 3 2 R 3 76172 01 174056 W Qperd 3 I2x 3 76172 005 87028 W Destacamos os benellctos que advêm da utilização de capacitores para correção do fator de potência no que tange à tensão e às perdas Assim a queda de tensão que valia 127 11638 0 127 11850 100 836 passa a ser 100 669 com redução de cerca 127 127 de 2 Quanto às perdas a redução nas perdas ativas e reativas amonta respectivamente a 299806 174056 12577 W e 150068 87028 6304 VAr que correspondem a 515 e 258 da potência absorvida pelo motor EXERCÍCIOS 355 Ex 2225 Para um indicador de seqüência de fase Fig 511 cujas impedâncías valem ZA 10 80 Q ZB Zc 100 0j Cl lâmpadas pedimos determinar para cada seqüência de fases ABC e ACB qual das lâmpadas acenderá A tensão de fase da rede vale 120 V SOLUÇÃO Tensão entre centrosestreía pontos N eN 1 Temos V Y 9 Y V Y r AN l A TjjW l B r CN l C V Y NN Y F Y 1A 1B 1C sendo YB Tc G 0 resulta f K7 t yj l í G Y t 7 2 G Y 2 G M 2 G 7 Em particular no nosso caso Zé 1 Yb Yc G 001 1 10 80 806218287 00l248287 00015 00123 S logo r 00085 00123 r VNN V AN 0t r ÀV 6036 18513 9Âlf m 00215 00123 AN 1 Figura 511 Circuito para o Ex 5225 Salientamos que a tensão entre os centros estrela tem módulo da ordem de 60 da tensão de fase e está praticamente em oposição de fase com o vetor atrasado de 120 em relação a Logo a tensão nessa fase será diminuída e a lâmpada que corresponde ao fasor atrasado em relação a não acenderá acendendose a lâmpada correspondente ao terceiro fasor a passar pelo máximo De fato em sendo a seqüência de faseÃC teremos 356 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA f m 120 0603618513 72432 8513 615 7217 V y m 1453312977 V a 2 yM V 251114947 V ar aycN m 18414110700 V e a lâmpada ligada entre os pontos C c N se acenderá No caso seqüência ACB teremos n 14533 2977 V a Ém 1841410700 r c r a 1 VCN 625114947 V e a lâmpada ligada entre os pontos B e N se acenderá 525 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Ex 5226 Para um circuito trifásico simétrico com carga equilibrada ligada em triângulo sabemos que a seqüência de fase é BAC e que a corrente c 571 42 A Pedimos determinar a corrente na fase AB da carga Ex 5227 Para o circuito trifásico simétrico com carga equilibrada da Fig 512 sabemos que a seqüência de fase é CBA e a freqüência é 60 Hz Pedimos determinar a tensão no gerador Figura 512 Circuito para o Ex 5227 Ex 5228 Dispomos de uma carga trifásica ligada em estrela dispondo nas fases A B e C de resistências de 126 Q 100 Q e 100 O respectivamente Sendo a tensão de linha de 380 V e a seqüência de fase ABC pedimos determinar a tensão entre os centrosestrela e as tensões e correntes na carga Desenhar o diagrama de fasores Ex 5229 Um sistema trifásico simétrico com tensão de linha de 220 V e seqüência de fase C BA alimenta através de uma linha uma carga desequilibrada ligada em estrela Fig 513 Pedimos utilizando os dados da figura determinar 1 As tensões de fase e linha na carga EXERCÍCIOS 357 2 As correntes na carga 3 O diagrama de fàsores A 0 5 A j a a a o sAA 0 000a B o s s i t o a b o1 i c on v a n c o V A r 0 O 2 N 0 a t o j i d u Figura 513 Circuito para o Ex 5229 Ex 5230 Instalamos numa indústria suprida em tensão de distribuição primária 138 kV 60 Hz dois wattímetros com as bobinas amperométricas de cada um deles nas fases A e B e com as bobinas voltimétricas entre essas Cases e a C Anotamos no período das 7 às 18 horas de hora em hora as leituras nos wattímetros cujos valores estão apresentados à Tab 51 Assumimos por hipótese que em cada intervalo de leitura a carga tenha se mantido constante e que seja indutiva Pedimos 1 A seqüência de fase da tensão de alimentação 2 0 modo de ligação e a natureza de um conjunto de impedâncias que tomem em todo o período de estudo o fator de potência da indústria não menor que 09 indutivo sem que venha a ser capacitivo 3 Verificar se a linearização da curva de carga diária é satisfatória dado que sabemos que a energia consumida no período das 7 às 18 horas foi de 67 kW h Tabela 51 Curva de medições de potência Ex 5230 Tempo h 7 8 9 10 11 12 W1 kW 048 044 044 100 024 008 W2kW 372 636 636 620 174 058 Tempo h 13 14 15 16 17 18 W lkW 048 090 000 100 077 010 W2kW 372 690 820 760 723 060 Ex 5231 No Ex 5230 há uma linha subterrânea que liga o ponto de entrega de energia à subestação abaixadora cuja impedância em série vale 005 35 D Pedimos após a correção do fator de potência da carga 1 A economia no consumo de energia 2 A potência que poderá ser transmitida pela linha para que opere à mesma temperatura em que operava antes da correção do fator de potência 3 A variação na queda de tensão da linha devido à correção do fator de potência 358 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Lr r n c m T J r r L 1 Y E O IÇ Ã C f Figura 514 Diagrama unifilar para os Exs 5230 e 5231 526 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PELO PROGRAMA SIMETRI 1 Apresentação Desenvolvemos o programa SIMETRI com vistas à resolução de exercícios pertinentes às ligações estrela e triângulo Assim o programa oferece menu principal no qual o usuário escolhe o tipo de ligação que deseja estudar No caso do usuário haver optado pela ligação estrela o programa consulta inicialmente se o usuário deseja ler os dados do exercício de arquivo que trataremos posteriormente Suponhamos que o usuário haja respondido que não deseja ler os dados de arquivo Neste caso o programa produzirá os dados do exercício aleatoriamente e produz o menu apresentado à Fig 515 no qual a primeira opção diz respeito à determinação das tensões de fases e linhas quando é dada a sequência de fase do trifásico e uma das tensões cabendo ao usuário o cálculo e a digitação das que não foram definidas Para a segunda opção são dadas as tensões de fase e linha e a impedância de fase da carga ou a corrente numa das fases restando ao usuário no primeiro caso o cálculo e digitação das correntes e no segundo caso da impedância da carga e correntes das demais fases Finalmente na terceira alternativa são fornecidas as tensões e correntes de linha do trifásico e o modo de ligação de dois wattímetros de acordo com o teorema de Blondel devendo o usuário calcular o fator de potência da carga a potência ativa reativa e aparente e as leituras dos wattímetros Séries de Exercícios Disponíveis Relações entre tensões de fase e linha Relações entre tensões e correntes Potência e método dos 2 wattímetros Figura 515 Menu de opções No caso da ligação triângulo os exercícios a serem resolvidos são análogos diferenciandose dos anteriores pelo fato de serem tratadas as relações entre correntes EXERCÍCIOS 359 Desenvolvemos o programa com recursos para ler os dados do exercício de arquivo formatado tipo ASCII gravado pelo usuário através de editor de texto conveniente ou diretamente pela console a partir de dados aleatórios gerados pelo programa Neste último caso o usuário poderá gravar os dados no arquivo respondendo afirmativamente S ou s à pergunta apresentada em rodapé Assim nos casos de ligação estrela ou triângulo o arquivo recebe um nome qualquer fornecido pelo usuário com até oito caracteres porém com extensão FA1 FA1 quando se tratar da ligação estrela ou FA2 FA2 quando se tratar da ligação triângulo O arquivo conta com dois registros o primeiro contendo os dados de identificação do caso através do valor atribuído às variáveis ICASO ISEQFA e NELEM e o segundo os dados específicos do caso Assim a variável ICASO definirá automaticamente a opção a ser utilizada no menu da Fig 5 15 correspondendo na ordem os valores 12 e 3 A variável ISEQFA indicará conforme seu valor seja 1 ou 2 tratarse de seqüência de fase direta ou inversa respectivamente A variável NELEM que tem significado diferente conforme o valor atribuído a ICASO indica no caso de relações entre tensões de fase e linha o número de ordem da tensão a ser fornecida no segundo registro dada em V na forma polar correspondendo conforme seu valor varie de I a 6 à tensão VCN e CA No caso de relações entre tensões e correntes a variável NELEM assume o valor 1 quando iremos fornecer no segundo registro na forma cartesiana a impedância de fase da carga e a tensão l e 2 quando iremos fornecer a corrente da fase A ÍA em A e a tensão em V Finalmente no caso da potência a variável NELEM indica o ponto comum de ligação das bobinas voltimétricas valendo 1 2 ou 3 conforme o ponto comum corresponda à fase A B ou C Neste último caso fornecemos no segundo registro na forma polar a tensão PrABi em V e a corrente x em A Na Tab 52 apresentamos os formatos dos registros Destacamos que os programas foram desenvolvidos em linguagem FORTRAN com o uso de rotinas auxiliares em linguagem C Assim na montagem dos arquivos de dados devem ser respeitadas as regras de formatação de dados da linguagem FORTRAN i os números inteiros formato Ix devem ser fornecidos dentro do campo especificado sempre alinhados à direita ii os números reais formato Fxy devem ser fornecidos dentro do campo especificado e sempre conter um ponto Ex 10003 100 1 Tab 52 Estrutura dos arquivos FA1 e FA2 Variável Campo Formato 1 Registro ICASO 01 à 03 13 ISEQFA 04 à 06 13 NELEM 07 à 09 13 2 Registro VAR 1 01 à 10 F103 VAR 2 11 à 20 F1Õ3 VAR 3 21 à 30 F103 VAR 4 22 à 40 F103 360 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 2 Relações entre tensões de fase e linha na ligação estrela Ex 5232 No arquivo FALIN001FA1 dispomos dos dados 12 Registro 1 1 5 e 22 Registro 440 136 0 0 Pedimos interpretar os dados e calcular todas as tensões SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados do 12 Registro A variável ICASO tem valor 1 logo desejamos calcular as relações entre tensões de fase e linha A variável ISEQFA tem valor 1 logo a seqüência de fase do trifásico é direta Finalmente a variável NELEM assumiu o valor 5 logo a tensão fornecida é Em resumo desejamos calcular todas as tensões de fase e linha de um trifásico simétrico com seqüência de fase direta na ligação estrela do qual conhecemos a tensão VBC 2 Interpretação dos dados do 22 Registro No segundo registro lemos a tensão na forma polar isto é 4400 136 V 3 Tensões de linha Como a seqüência de fase é direta e a tensão dada corresponde ao segundo fasor das tensões de Unha BC resulta que o fasor AB deve estar adiantado de 120 em relação a BC e o CA deve estar atrasado de 120 em relação a BC logo CAB 4400 h6 V VCA 4400 104 V 4 Tensões de fase Estamos tratando com trifásico simétrico e equilibrado com seqüência de fase direta logo conforme já vimos as tensões de linha relacionamse com as de fase por ÊAB V 3 30 isto é A2 254034 46 V 30 1 2540341166 V e ÊCN 254034 74 V Ex 5233 No arquivo RELVI00IFA1 dispomos dos dados 12 Registro 2 1 1 e 22 Registro 100 40 254034 00 Pedimos interpretar os dados e calcular todas as tensões SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados do 12 Registro A variável ICASO tem valor 2 logo desejamos calcular as relações entre tensões e correntes num trifásico simétrico com carga equilibrada A variável ISEQFA tem valor 1 logo a seqüência de fase do trifásico é direta Finalmente a variável NELEM assumiu o valor 1 logo estamos fornecendo a impedância da carga em Q na forma cartesiana e a tensão dada em V na forma polar Em resumo desejamos calcular as correntes de linha de um trifásico simétrico e equilibrado com seqüência de fase direta que supre carga ligada em estrela EXERCÍCIOS 361 2 Interpretação dos dados do 22 Registro No segundo registro lemos a impedância de fase na forma cartesiana em Q e a tensão em V na forma polar istoé 2 1000 40Oj Q e 254034 jP V 3 Correntes de fese Sendo Vjw 2 1A 2 resulta imediatamente 4 VÁN 254034 jg 2 1000 400j 2358114180 A 254034 j0 10770312180 2358 2180 A t c 235819820 A Ex 5234 No arquivo RELVI002FA1 dispomos dos dados 12 Registro 2 1 2 e 22 Registro 254 42 254034 00 Pedimos interpretar os dados e calcular todas as tensões SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados do 12 Registro A variável ICASO tem valor 2 logo desejamos calcular as relações entre tensões e correntes num trifesico simétrico com carga equilibrada A variável ISEQFA tem valor 1 logo a seqüência de fese do trifásico é direta Finalmente a variável NELEM assumiu o valor 2 logo estamos fornecendo a corrente na fese A em A na forma polar e a tensão dada em V na forma polar Em resumo desejamos calcular a impedância de fase da carga e as correntes nas linhas B e C de um trifásico simétrico e equilibrado com seqüência de fese direta que supre carga ligada em estrela 2 Interpretação dos dados do 22 Registro No segundo registro lemos a corrente na fese A na forma polar em A e a tensão em V na forma polar istoé Í A 254 j42 A e 254034 jO V 3 Correntes de fese Resulta imediatamente IB 254 1780 A e l c 254 1620 A 4 Impedância da carga Sendo 2 ÍA 2 lANi resulta imediatamente 7 1A 254034 100 j42 74314 66913 Q 254 j4T 1 1 J Ex 5235 No arquivo POTEN001FA1 dispomos dos dados 12 Registro 3 2 2 e 22 Registro 220 15 22 15 Pedimos interpretar os dados e calcular todas as tensões SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados do 12 Registro 362 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA A variável ICASO tem valor 3 logo desejamos calcular a potência e as leituras em dois wattímetros ligados conforme o teorema de Blondel num trifásico simétrico com carga equilibrada do qual conhecemos a tensão de fase e a corrente A variável ISEQFA tem valor 2 logo a sequência de fase do trifásico é a inversa Finalmente a variável NELEM assumiu o valor 2 logo o ponto comum de ligação das bobinas voltimétricas dos wattímetros é a fase B 2 Interpretação dos dados do 2 Registro No segundo registro lemos a tensão em V na forma polar e a corrente na fase A na forma polar em A isto é 22001150 V e l A 22 15 A 3 Cálculo da potência O fator de potência pode ser definido pela rotação de fase entre a tensão e a corrente de fase isto é costp cos15 15 cos30 08660 Lembrando que a potência é definida por s S yUnha Ihnha p s cospase Q S s e n fa resulta imediatamente S V3 V3 220 22 1452 VA P 1452 1257469 W 2 Q 1452 05 7260 VAr 4 Cálculo das leituras nos wattímetros Os wattímetros estão ligados com suas bobinas amperométricas nas fases A é C e as voltimétricas derivadas entre essas fases e a B Nessas condições e sendo seqüência de fase inversa Van S h3F 220 j15 30 38105 j45 V K ÊBN S HRF 220 105 V3 H30 38105 j7 V e resulta Wx 9te38105 45 22 15 38105 22 cctf60 419156 W W2 We VCB 9íe 38105175 22 10S 38105 22 coí75180105 838312 W 3 Relações entre correntes de fase e linha na ligação triângulo Ex 5236 No arquivo FALINO01FA2 dispomos dos dados 1 Registro 1 1 5 e 2 Registro 45 136 0 0 Pedimos interpretar os dados e calcular todas as correntes SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados do 1 Registro EXERCÍCIOS 363 A variável ICASO tem valor 1 logo desejamos calcular as relações entre as correntes de fase e linha A variável ISEQFA tem valor 1 logo a seqüência de fase do trifasico é direta Finalmente a variável NELEM assumiu o valor 5 logo a corrente fornecida é 1B Em resumo desejamos calcular todas as correntes de fase e linha de um trifasico simétrico com seqüência de fase direta na ligação triângulo do qual conhecemos a corrente lB 2 Interpretação dos dados do 22 Registro No segundo registro lemos a tensão ÍB na forma polar isto é 1B 4501136 A 3 Correntes de linha Como a seqüência de fase é direta e a corrente dada corresponde ao segundo fasor das correntes de linha B resulta que o fasor correspondente à corrente da fase A deve estar adiantado de 120 em relação ao da B e o da C deve estar atrasado de 120 em relação ao da B logo IA 450 ÇIC A lc 4501104 A 4 Correntes de fase Estamos tratando com trifasico simétrico e equilibrado com seqüência de fase direta logo conforme já vimos as correntes de linha relacionamse com as de fase por A 1AB 30 istoé p A 2598114 A V330 1BC 25981106 A e 1CA 25981 jl34 A Ex 5237 No arquivo FALIN002FA2 dispomos dos dados 12 Registro 1 2 2 e 22 Registro 68 67 0 0 Pedimos interpretar os dados e calcular todas as correntes SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados do Registro A variável ICASO tem valor 1 logo desejamos calcular as relações entre as correntes de fase e linha A variável ISEQFA tem valor 2 logo a seqüência de fase do trifásico é inversa Finalmente a variável NELEM assumiu o valor 2 logo a corrente fornecida é 1BC Em resumo desejamos calcular todas as correntes de fase e linha de um trifásico simétrico com seqüência de fase inversa na ligação triângulo do qual conhecemos a corrente 1 2 Interpretação dos dados do 22 Registro No segundo registro lemos a tensão na forma polar isto é l BC 6801670 A 3 Correntes de fase Como a seqüência de fase é inversa e a corrente dada corresponde ao segundo fasor das correntes de fase BC resulta que o fasor correspondente à corrente da fase A AB deve estar atrasado de 120 em relação ao da B e o da C deve estar adiantado de 120 em relação ao da B logo 680 I 5T A 1CA 680 j173 A 364 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 4 Correntes de linha Estamos tratando com trifásico simétrico e equilibrado com seqüência de fase inversa logo conforme já vimos as correntes de linha relacionamse com as de fase por IA IÁB 4 30 istoé 1A t u j30 117779 23 A ÍB 117779 9T A tc 1177791143 A E t 5238 No arquivo RELVT001FA2 dispomos dos dados 12 Registro 2 1 1 e 2 Registro 100 40 254 0 Pedimos interpretar os fados e calcular todos os valores pedidos SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados do 12 Registro A variável ICASO tem valor 2 logo desejamos calcular as relações entre as tensões a as correntes A variável ISEQFA tem valor 1 logo a seqüência de fase do trifásico é direta Finalmente a variável NELEM assumiu o valor 1 logo fornecemos a impedância de fase da carga e a corrente de fase na fase A Em resumo desejamos calcular todas as tensões de linha de um trifásico simétrico com seqüência de fase direta na ligação triângulo do qual conhecemos a corrente a impedância de fase da carga 2 2 Interpretação dos dados do 2 Registro No segundo registro lemos a impedância de fase da carga 2 100 40y Q e a corrente na fase At I AB 254010 A 3 Correntes de fase Temos 2540120 A l CA 25401202 A 4 Tensões de linha As tensões de linha na carga conforme já vimos são dadas por 2 1 logo ab U 100 40 254002 88 1077031 21801 254002 ou t AB 273566j21801 A 2735661141801 A 273566198199 A Ex 5239 No arquivo RELVI002FA2 dispomos dos dados 12 Registro 2 1 2 e 22 Registro 273566 21801 254 0 Pedimos interpretar os dados e calcular os valores pedidos SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados do 12 Registro A variável ICASO tem valor 2 logo desejamos calcular as relações entre as tensões a as correntes A variável ISEQFA tem valor 1 logo a seqüência de fase do trifásico é direta Finalmente a variável NELEM assumiu o valor 2 logo fornecemos a tensão de linha da fase A EXERCÍCIOS 365 AB e a corrente de fase na fase 4 Em resumo fornecemos as tensões e correntes de fase numa carga ligada em triângulo e desejamos calcular sua impedância de fase 2 Interpretação dos dados do 22 Registro No segundo registro lemos a tensão de fase na carga JAB 273566121801 F e a corrente na fase4 l A8 254010 A 3 Impedância de fase da carga Conforme já vimos as tensões e correntes de fase numa carga ligada em triângulo relacionamse por 2 1 logo 273566121801 X AE 2540 0 1077032t801o 1000 4007 Cl 1 i V J Ex 5240 No arquivo POTEN001FA2 dispomos dos dados J2 Registro 3 1 2 e 22 Registro 2200 150 22 150 Pedimos interpretar os dados e calcular os valores pedidos SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados do 12 Registro A variável ICASO tem valor 3 logo desejamos calcular a potência e as leituras em dois wattímetros numa carga ligada em triângulo A variável ISEQFA tem valor 1 logo a seqüência de fase do trifásico é direta Finalmente a variável NELEM assumiu o valor 2 logo o ponto comum para a ligação das bobinas voltimétricas dos wattímetros está na fase B 2 Interpretação dos dados do 22 Registro No segundo registro lemos a tensão de fase na carga 2200 150 V e a corrente na fase A 1 22015 A 3 Tensões de fase e linha na carga Temos 220 j15 V 2201135 V VCA 22010 V 4 Correntes de fase e linha na carga Nas fases temos 1 22 jl5 A 22 105 A ÍCA 22 13 A e nas linhas sendo 1A Jl 30 resulta ÍA 3810 j15 A 1B 3810135 A í c 3810105 A 5 Potência fornecida à carga Lembrando que as potências aparente ativa e reativa fornecidas à carga são dadas respectivamente por Vlmha Itmha 3 Vlmha Ilinha cos p e JTVinha IUnha sen p nas quais p representa a rotação de fase entre a tensão e a corrente na fase com p 0 para carga indutiva e p 0 para carga capacitiva resulta 366 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA P V3 V Ic o sç S 220 3810 cos 1515 1257300 W Q V I sitnp V3 220 3810 sen 15015 725902 VAr S S V V3 220 3810 1451805 VA 6 Leitura dos wattímetros Os wattímetros estão ligados com as bobinas amperométricas nas fases A e C e as voltimétricas entre essas fases e a B logo Wx Xe 9Re 220 1F 3810 15 220 3810 cos 0o 83820 W W2 9eP c 220 135 3810 105 220 3810 cas 45ô105 41910 W Wn Wx W2 125730 W 527 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PELO PROGRAMA TRIFASE 1 Apresentação O programa TRIFASE acionado diretamente do menu principal ou digitandose no PROMPT do DOS CCOMPSIMTRIFASE tem por finalidade proceder ao cálculo de redes trifásicas simétricas e equilibradas ou desequilibradas com carga também equilibrada ou desequilibrada Fig 516 seguido do cálculo da potência complexa fornecida à carga e das leituras em dois wattímetros Gerador H I Trechos de linha de comprimento L Tipos de carga Estrela isolada Estrela aterrada Triângulo Figura 516 Tipo de rede para estudo Assim o usuário fornece a tensão no gerador as impedâncias Qkru e o comprimento de cada trecho de linha e escolhe o tipo da carga que deseja dentre os tipos estrela com centro estrela isolado estrela com centro estrela aterrado e triângulo Destacamos que as ünhas são representadas por sua matriz de impedâncias isto é matriz 3x3 que conta com as impedâncias próprias das fases e mútuas entre as fases O programa considera impedância nula do retomo e mútuas também nulas entre retomo e fios de fase Salientamos ainda que a matriz de impedâncias de cada trecho da linha pode ser lida do arquivo de dados de linhas gerado pelo programa BDADOSLT que será descrito em item subsequente Q 4 Carga EXERCÍCIOS 367 O programa conta com as opções a seguir apresentadas no menu principal horizontal LE REDE na qual são lidas a tensão no gerador e as matrizes de impedâncias dos trechos de rede com seus comprimentos em km C Y ISO na qual fornecemos as impedâncias de fase da carga em estrela isolada e procedemos ao cálculo da rede C Y ATER na qual fornecemos as impedâncias de fase da carga em estrela aterrada através de impedância e procedemos ao cálculo da rede C DELTA na qual fornecemos as impedâncias de fase da carga em triângulo e procedemos ao cálculo da rede Assim quando utilizamos a opção LE REDE ao par da aquisição dos dados procedemos à associação série das matrizes de impedâncias dos trechos de linha fornecidos obtendo a matriz equivalente aos trechos de rede compreendidos entre as barras P terminais do gerador e Q terminais da carga isto é obtemos a equação Vr PAN ÜV QAN Z j u 7AB 7 A C X V PBN r QSN Yba 7ÍJBB BC i y PCN J jg QCN Y q a 7C B Zcc tc 51 a partir da qual determinaremos nos itens subseqüentes os valores das tensões e correntes na carga 2 Carga em estrela isolada Conforme apresentamos no Capítulo 1 poderiamos resolver este tipo de problema através de solução direta Aqui optamos por utilizar um método alternativo Procederemos ao cálculo das tensões e correntes na carga por processo iterativo fixando na primeira iteração a tensão na carga barra Q igual à do gerador barra P e determinando a tensão entre o centro estrela da carga ponto N1 e a terra ponto N através da equação Q A N jA Q B N P q ç n jç ya yb yc A seguir através das equações da carga e da eq 51 determinamos a tensão na carga que será utilizada na próxima iteração isto é X pQAN yr NN h y QBN NN tc V L eovj tf L A5VJ e Iteraç cb k QAN Vr PAN AA 7AB 7AC tfr QBN Pr PBN Zba 7BB 7BC l Ü CQCNJ y J PCN ZCA 7CB 7cc LcJ 368 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Repetimos o procedimento até que em duas iterações sucessivas alcancemos TOLERÂNCIA Ex 5241 Ura gerador trifásico simétrico com tensão de fase 220 V 60 Hz e seqüência de fase direta alimenta através de linha trifãsica carga ligada em estrela isolada Fig 516 São dadas as impedâncias da carga Z 10 Oj Cl 2m 0 10y O Z 0 lOy Q A linha tem 1 km de comprimento e sua matriz de impedâncias está apresentada à Fig 517 Matriz de Impedâncias da Rede ohmkm Fase A Fase B Fase C Resist Reatan Resist Reatan Resist Reatan A 295150 557670 078611 251471 077675 210151 B 078611 251471 297784 545445 078980 263521 C 077675 210151 078980 263521 295862 554347 Figura 517 Matriz de impedâncias da rede SOLUÇÃO 1 Tensão entre centro estrela e terra NN Sendo dadas as impedâncias da carga resulta 1 1 2 10 Oj 01 Oj 0110 s AN 1 V 7 1 FCN yZCW bn iy 1 1 0 01 j 01190 S 0 10 0 017 01190 S Como na primeira iteração fixamos s tyPÁ resulta 220 0 0110 220 120o 01190 2201120 01190 m 1610512 V 01 01j 01 j 2 Tensões na carga Temos V QAN1 VQAN T 38105120 rQBN rQBN 1610512 1 19724661 j7500 tr QCN Ú JrQCN 1 19724661 750 3 Correntes na carga Temos r i 01 j0 0 0 38105120 38105120 u 0 01 90 0 19724661 750o 1972466165 U c 0 0 01190 19724661 750P 1972466165 EXERCÍCIOS 369 4 Tensões na carga 2200 j0 1 V a 2 R QBff usc 4 a L eav 4 063095916211 0263472 7264 0224047 6971 026347217264 062143 8 6137 0275102 7332 0224047 6971 0275102 7332 0628359 6191 381051 jF 197247 11650 197247 l165 V 211886100133685850 r QBN 2126143001120295800 F 2229164001117907000 5 Processo iterativo No item 4 determinamos as tensões de fase na carga para a primeira iteração Repetimos o procedimento até que a diferença em duas iterações sucessivas entre os valores das tensões de fase seja menor que a tolerância que para este caso foi fixada em 0001 V Às Tab 53a e 53b apresentamos os resultados em cada iteração até alcançarmos a convergência nos valores VQAN 211693 336 V VQBN 213088112041 V 222644117772 V l A 380881065 A ÍB 18618116066 A 7C 21553 16218 4 e J V 1697241273 F Tabela 53a Tensões em cada iteração Ex 5240 Númda Iteração Tensão VM Tensão Vm Tensão VCN Tensão Vm Mód V Fase Mód V Fase Mód V Fase Mód V Fase 1 2118861 33685 2126143 1202958 2229164 1179070 1693193 32256 2 2117485 33672 2131463 1204178 2227085 1177143 1697771 27326 3 2116899 33616 2130868 1204142 2226445 1177178 1697269 27334 4 2116929 33607 2130885 1204141 2226442 1177186 1697236 27330 5 2116930 33607 2130884 1204141 2226443 1177186 1697236 27330 Tabela 53h Correntes a cada iteração Ex 5240 Númda Iteração Corrente IA Corrente 1B Corrente Ic Mód A Fase Mód A Fase Mód A Fase 1 380582 04400 184695 1604532 216423 1626005 2 380991 06531 186221 1606612 215606 1621719 3 380884 06496 186176 1606591 215536 1621750 4 380883 06494 186177 1606606 215532 1621762 5 380883 06494 186177 1606606 215532 1621762 370 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 6 Potência na carga e gerador Uma vez que alcançamos a convergência do processo iterativo passamos ao cálculo da potência na carga e no gerador para a seguir determinarmos as leituras em dois wattímetros cujo esquema de ligação é fixado no programa pelo usuário através de telas conversacionais Para este exercício fixamos os wattímetros W1 e W2 com as bobinas amperométricas nas fases A c B respectivamente e as voltimétricas entre essas fases e a C Assim para o cálculo da potência na carga temos S q a n ÊQAN 2116931336 38088 065 8063046 271 805402 38141 VA SQm Êqbn Êb 213088112041 18618116066 3967228 4025 302807 256314 VA Sqcn Vqcn n 222644111772 21553116218 4798694446 342516 336092 VA e a potência total é dada por Sq m Sqbn qcn 1450725 117919 1455509 H65 VA Chamamos à atenção para o feto que a potência que foi calculada a partir dos pontos QAN não coincide com a potência entre os pontos QAN1 De feto temos V V V 1 7 V ou r QAN QAN r N N 1 A A N r N N UU v r v v V t 1 12 7 v r Q A N QAN l A r QAN 1 A r N N l A 1 A A N r N N l A resultando para o nosso caso Sqan K 7 A N V r N N rA 380882 10 0 16972 273 38088065 1450696 645305 38141 805391 38141 VA que não é a potência fornecida à carga ligada entre os pontos QAN que vale lAf 7M Porém somandose as potências o resultado é o mesmo SQAN QRN QCN lj ÃjW js 7m c 7cn Vm lA 1B c e como pois 1A ÍB Ic 0 resulta QAN SqbN SqcN a AN 4 s 7m c 7cn S q w 4 QBN 4 S q c n No gerador temos SPAN VPAN 1 22000 38088065 83794441065 837891 9498 VA Spm Vpm i 2200 120o 18618 16066 40959074066 310708 266880 VA Spcs ÊPCN rc 2200 120 21353 16218 4741706 4218 351400 318364 VA e a potência total é dada por V SPAN SPBN SPCN 1500000 41986 1500586 160 VA Para o cálculo das leituras nos wattímetros temos 5Re 9te1 w Weqbcb W EXERCÍCIOS 371 V v PM e v PAN r K rÁ V íteEpsc 9te fB Assim calcularemos inicialmente as tensões de linha necessárias ao cálculo das leituras isto é VQAC 2116931336 222644111772 324875 210085 386884 3289 V VQBC 21308812041 222644 11772 4299 380864y 380888 j90650 V e então WXcar Kg 38688413289 380881065 1246371 W W2car 380888 9065 18618 jl6066 242423 W e no gerador Wlger We 381051115000 38088 jO65 1265048 W W2ger 3810519000 18618 jl6066 234941 W 3 Carga em estrela aterrada Neste caso procederemos ao cálculo das tensões e correntes na carga por método direto isto é associaremos em série a matriz de impedâncias da carga com a da rede e determinamos a matriz de admitâncias do conjunto redecarga através da inversão da matriz de impedâncias A seguir calculamos as correntes no gerador que por não existir nenhum elemento em derivação são iguais às da carga logo podemos determinar as tensões na carga e procedermos ao cálculo das potências e leituras nos wattímetros Destacamos que por se tratar de trifásico assimétrico com retomo pelo neutro deveremos utilizar de acordo com o teorema de Blondel três wattímetros Formalmente teremos na carga p r QAN r QBN QCN OU pVQAN Pr QBN P J Q C N ou V QAN P r QBN P QCN AA ZnN j NN j 1 7 7 7 1 7 NN BB NN NN i m 2m Zcc Zm Ia 0 0 t Y 0 7BB 0 h NN ÍJá c l 0 0 7cc J lc 1 L VQAN í r QBN N N J A Y c 1 Pr QCN 1 Considerando a rede resulta 372 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ou p r PAN P T PB N P P C N PAN Z jíaa Z r aB V 7 7 r PBN RBA RBB PCN Z r c a RCB Z r aC 7BBC 2RCC J 2 c aa 2 T CBA 2 CCÁ 2 c ab 7CBB 2 c c b 7 CAC 1 17 1 1 A CBC t B 2 c c c J c Z a a à ÁÁ Z m j RÃB 1r Z r aC NN 7 7 i 7 7 7 i RBA T NN 1 RBB T N N 7 7 A BBC NN Z r c a Ãf f f f j 2 r c b Zftcc 2 CC Z m istoé ABC Ger w rtdecar M ou ou multiplicando ambos os membros pela matriz de admitâncias inversa da matriz de impedâncias temos iBCredecar Gr Ex 5242 Um gerador trifásico simétrico com tensão de fase 220 V 60 Hz e seqüência de fase direta alimenta através de linha trifásica carga ligada em estrela aterrada por meio de impedância Fig 518 São dados as impedâncias da carga Z 10 Oy Q ZBN 0 lOy Q ZCN 0 lOy Q Zm 10 Oy Q o comprimento da linha 1 km e sua matriz de impedâncias Fig 518 SOLUÇÃO A matriz da carga é dada por 2010 10j 100 P U 10jP 102 45 1010 10 0 10fP 10 V2 145 Matriz de Impedâncias da Rede ohmkm I Fase A Fase B Fase C Resist Reatan Resist Reatan Resist Reatan A 295150 557670 078611 251471 077675 210151 B 078611 251471 297784 545445 078980 263521 C 077675 210151 078980 263521 295862 554347 Figura 518 Matriz de impedâncias da rede para o Ex 5242 A matriz equivalente de impedâncias associação série da rede com a carga é dada em Q por 20295 0558y 10079 025 ly 10078 0210 Z 10079 025 ly 10298 10545y 10079 0264y l 0078 0210y 10079 0264y 10296 9446y e sua inversa matriz de admitâncias da associação é dada em S por EXERCÍCIOS 373 007220 002534j 002340 00241 j 002308 002399 002340 002411j 002466 007281j j 002248 002448j 002308 002399j h 002248 002448j 002442 007258j Finalmente as correntes na rede e carga são dadas por hcar 220 220a2 220a 299081069 18021117365 2060117428 e a corrente de neutro é ÍN IÁ I B Ic 85 0 2 0417j 8512 117719 A As tensões na carga são dadas por istoé f QAN 214184 j208 V Vçcf 22684 11772 V cor tfic VQBN 211196111979 F 85120117719 F Deixamos ao leitor o cálculo das potências na carga e das leituras nos wattímetros que poderá verificar o resultado alcançado com o apresentado pelo programa 41 Carga em triângulo Para o caso de carga ligada em triângulo é suficiente transformála na estrela equivalente para recairmos no caso da estrela isolada 53 EXERCÍCIOS DE VALORES POR UNIDADE CAPÍTULO 2 531 APRESENTAÇÃO Nesta seção em que nos dedicaremos ao desenvolvimento de exercícios de aplicações de valores por unidade pu a circuitos monofásicos e trifásicos apresentamos conjunto de exercícios propostos e exemplos de exercícios resolvidos através dos programas computacionais com detalhamento da metodologia utilizada Os exercícios subdividemse em analíticos onde solicitamos a demonstração de relações if tipo teste de múltipla escolha onde apresentamos cinco alternativas de respostas à questão enunciada iii exemplos típicos resolvidos e V exemplos sem resolução 532 EXERCÍCIOS ANALÍTICOS Ex 531 Para um autotransformador monofasico deduzir quais as relações que devem existir entre os valores de base do primário e secundário para que em valores pu seja representado por um transformador com relação de espiras 11 374 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Ex 532 Deduzir o circuito equivalente de um transformador monofãsico que dispõe de derivação central no enrolamento secundário Tensão primária Vu tensões secundárias Ui e comV2 2 r 2 l 2 V 22 Ex 533 Deduzir para uma carga ligada em triângulo quais as relações que devem existir entre os valores das grandezas de base Confrontar os resultados com o caso da carga equivalente ligada em estrela lembrar que 2faíeA 3 2 y Ex 534 Justificar as razões para representarmos obrigatoriamente todos os componentes de uma rede independentemente de seu esquema de ligação por sua estrela equivalente Ex 535 Determinar a rotação de fase existente entre as tensões primárias de linha na ordem A B e C e as secundárias de linha na ordem X Y e Z para alimentação do transformador da Fig 519 por seqüência de fase direta e inversa e na hipótese dos terminais 1 2 e 3 corresponderem aos códigos XYZ YZX ZXY e Y X Z A B C Núcleo 1 2 3 Figura 519 Transformador YA para Ex 535 533 EXERCÍCIOS DE MÚLTIPLA ESCOLHA Ex 536 Para os valores de base de uma rede monofásica podemos afirmar que 1 Podemos fixar a potência ativa como valor de base 2 Podemos fixar a potência reativa como valor de base 3 Relacionamos a potência de base com a tensão e a corrente de base por cos q 4 A admitância de base é dada por I S 5 Nenhuma Ex 537 Um transformador monofãsico tem valores nominais Snom VnomX Vnom2 e sua impedância de curto circuito vale 002 007 pu Para que seja representado num circuito em pu por transformador com relação de espiras 11 é necessário e suficiente que EXERCÍCIOS 375 1 As bases de tensão do primário Vbí e do secundário Vb2 estejam na relação VnanJVttoml 2 As bases de corrente do primário Ibl e do secundário lbl estejam na relação Vnoml Vnoml 3 As bases de impedância do primário ZM e do secundário Zb2 estejam na relação K kmmI ín o m l 4 As potências de base do primário e secundário sejam iguais e as bases de impedância do primário Zhl e do secundário Zb2 estejam na relação V V 2 5 Nenhuma Et 538 Um transformador monofâsico tem valores nominais 5 MVA 345138 kV e sua impedância de curto circuito vale 002 007f pu Com referência a sua impedância de curto circuito podemos afirmar que 1 Referida ao primário ou ao secundário é um invariante desde que esteja em pu 2 Referida ao primário vale 47610 4166635 D 3 Referida ao secundário vale 47610 166635 O 4 Referida ao primário vale 076176 266616 Q 5 Nenhuma Et 539 Num circuito trifásico em pu podemos afirmar que 1 As tensões de base de fase e de linha podem ser fixadas independentemente 2 A impedância de base é dada por hnha 3 Estando fixadas a potência aparente de base trifãsica e a tensão de base de fase para a conversão do circuito em pu devemos transformar todas as cargas em triângulo em suas estrelas equivalentes 4 A a d m itâ n c ia d e b a s e é d a d a p o r 5 Nenhuma Ex 5310 Para um transformador monofâsico de 100 kVA 100 kV10 kV x 8 fixamos com valores de base no primário Slé Vu Ilb e Z16 e no secundário S2b V2b I2b e Zlb Para que o transformador em pu seja representado por um transformador 11 deveremos ter 1 V2b 0 1 2 S U S2b e I2b V 3 V2b Vlb e I2h 1014 4 I2b In e Zn Z2b 5 Nenhuma Ex 5311 Dispomos de um banco trifásico constituído por três transformadores monofásicos de 100 kVA 138 kV138 x 7 com os enrolaraentos de alta tensão ligados em estrela e os de baixa em triângulo Fixamos do lado da baixa tensão tensão de base de 127 kV e potência de base de 200 kVA Pedimos para que o transformador seja representado em pu por um transformador com relação de espiras 11 qual dos valores de base para o enrolamento de alta tensão é correto 1 300 kVA e 220 kV 2 200 kVA e 127 kV 3 200 kVA e 220 kV 4 200 kVA e 138 kV 5 Nenhuma Ex 5312 Para o banco de transformadores do Ex 5310 podemos afirmar que sua reatância em pu vale 155 2828 370 4 94 5 Nenhuma 376 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Ex 5313 Duas impedâncias expressas em pu nas bases 100 kVA e 132 kVA valem 0 5 40 e 1 5 40 Podemos afirmar que a impedância equivalente às duas associadas em paralelo nas bases 500 kVA e 152 kV vale 1 037540 2 278140o 0981J4CT A l414j40 5 Nenhuma Ex 5314 Um impedância num circuito monofasico absorve nas bases 10 MVA e 10 kV sob tensão de 02 pu potência ativa de 08 pu com fator de potência 08 indutivo Ao adotarmos como valores de base 20 MVA e 5 kV podemos afirmar que o módulo daquela impedância valerá 1 002 pu 2 05 pu 3 008 pu 4 032 pu 5 Nenhuma Ex 5315 Duas cargas trifàsicas equilibradas de impedância constante quando alimentadas nas condições carga 1 v 10 pu bases 20 kV e 300 kVA carga 2 v 10 pu bases 10 kV c 500 kVA absorvem carga yp 08 pu q 05 pu carga 2 s 05 pu q 03 pu Ligamos as duas carga em paralelo adotamos valores de base de 40 kV e 500 kVA e as alimentamos com tensão de 10 pu Podemos afirmar que a potência complexa absorvida pelo conjunto vale 1 256 06y 2 832 36j 3 992 06y 4 296 06y 5 Nenhuma Ex 5316 Associamos um gerador trifàsico de 15 MVA 6 kV x 10 em paralelo com outro de 5 MVA 3 kV x 10 Podemos afirmar que a impedância em pu nas bases 15 MVA e 3 kV do gerador equivalente à associação vale 1 0142 pu 2 0042 pu 3 0171 pu 4 0057 pu 5 Nenhuma Ex 5317 Num sistema trifàsico simétrico e equilibrado a tensão de linha vale 100 Podemos afirmar que a tensão de fase em pu vale ll0 p u 2 1732 pu 3 3000 pu 4 9000 pu 5 Nenhuma Ex 5318 Um banco de transformadores trifasicos é constituído por três transformadores monofásicos iguais cujos valores nominais são 22 kV22 kV 10 MVA x 8 Sabemos que a ligação do banco é triânguloestrela e quando fixamos como bases na alta tensão 30 MVA e 22 kV podemos afirmar que os valores de base para a baixa tensão são 1 30 MVA 38 kV 2 10 MVA 38 kV 3 30 MVA 127 kV 4 10 MVA 22 kV 5 Nenhuma Ex 5319 Um transformador trifàsico de 10 MVA 22 kV22 kV x 9 está com a alta tensão ligada em triângulo e a baixa em estrela Substituímos esse transformador por outro que lhe seja equivalente com a alta tensão ligada em estrela e a baixa em triângulo Podemos afirmar que seus valores nominais passam a ser 1 10 MVA 12722 kV x 9 2 10 MVA 12722 kV jc 3 3 10 MVA 2222 kVx 9 4 10 MVA 127127kVx 9 5Nenhuma 534 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Ex 5320 Um transformador monofãsico de 150 kVA 138 kV 23 kV 60 Hz foi submetido aos ensaios de vazio e curtocircuito na freqüência de 60 Hz e obtivemos EXERCÍCIOS 377 1 Ensaio de vazio com alimentação pela baixa tensão P 1500 W V 23 kV e 22 A 2 Ensaio de curtocircuito com alimentação pela alta tensão P 1600 W V 880 V e 1087 A Pedimos determinar os parâmetros do circuito equivalente do transformador em pu SOLUÇÃO 1 Valores de base Adotaremos como valores de base os valores nominais do transformador isto é Alta tensão Sb 150kVA Vb 138kV Baixa tensão S 150kVA V 2 3 kV 2 Ensaio de vazio Para o ensaio de vazio em pu temos 1 V 0 iS 0 i 22 00337 pu 0 n 0 si 150 iL 23 23 10 w 1 5 p 0 01 pu SL 150 y Logo o fator de potência é dado por cos p Po 001 02967 v00 0 0337 1 Adotaremos a tensão secundária na origem e obteremos a corrente atrasada de 9 isto é v0 10 j0 pu i0 i0 1 cos 02967 00337 7274 00100 00322 j pu Logo sendo em pu ip Sío 001 e im j3n0 00322 resulta li I in 100 pu 3106 pu N 10 ip 00100 Kl 10 L 00322 2T0 10000 31067 P 3 Ensaio de curtocircuito Os valores obtidos no ensaio de curtocircuito expressos em pu são 378 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA v O fator de potência é dado por Pt COS p VJ 0880 vh 138 h A h Pc 16 sb 150 001067 L 00638 1 00638 pu 138 7 150 01672 e p 8037 Adotaremos a tensão na origem ângulo inicial nulo e obteremos a corrente atrasada isto é vc 00638 jtP pu K IO 18037 pu logo 006380 Z l 1018037 00638 8037 00107 00629 p u Ex 5321 Dispomos de três cargas monofásicas para as quais sabemos que a primeira carga absorve quando alimentada por tensão de 100 kV 40 40 MVA a segunda absorve quando alimentada por tensão de 80 kV 20 12f MVA e a terceira absorve quando alimentada por tensão de 60 kV 45 20 MVA Sabemos ainda que a primeira carga é do tipo potência constante isto é a potência absorvida não varia com o valor da tensão aplicada a segunda é do tipo impedância constante isto é sua impedância não varia com a tensão aplicada e a terceira é do tipo corrente constante isto é a corrente absorvida não varia com a tensão aplicada Alimentando as cargas em paralelo com tensão de 345 kV pedimos determinar a potência e a corrente absorvida por cada carga e pelo conjunto SOLUÇÃO 1 Valores de base e condições iniciais Adotaremos tensão de base de 345 kV e potência de base de 100 MVA Assumiremos a tensão do circuito com fase inicial nula isto é 10 0 pu 2 Carga de potência constante Para a carga de potência constante temos em pu y 40 4 0 J 04 04 j pu logo a corrente absorvida pela carga vale 3 j 0 4 0 4 Q4 0 4j 0565745 pu v 100 EXERCÍCIOS 379 3 Carga de impedância constante Como a impedância da carga é um invariante com a tensão temos em grandezas nâo normalizadas 2 K r z v2 sb v2 Z vi r e dividindo ambos os membros pela impedância de base I que para o nosso caso resulta 803452 Z 20 12yÍ00 02332 3096 230575 3096 197724 118617 pu donde quando suprida por tensão de 345 kV a potência e a corrente absorvida valem 00434 3096 00372 00223j pu 53770 v 100 h 7 23057513096 s2 vij 00372 00223j pu ou S2 372 223j MVA 4 Carga de corrente constante Como a corrente absorvida pela carga não varia com a tensão em valores reais teremos r 1 r onde obtemos dividindo ambos os membros pela corrente de base s vb r h r st v Para o nosso caso resulta 45 20y100 045 020j 0 2475 2396 02509 01115 pu 3 60345 17391 1 v f donde a potência absorvida vale y3 vi 02509 01115j pu ou S2 2509 1115 MVA 51 Potência total Temos J Sj 06881 02662 pu ou 6881 26627 MVA i2 i3 06881 026627 pu Ex 5322 Um sistema de potência é constituído por um gerador que alimenta dois bancos de transformadores monofásicos em paralelo cada banco é constituído por três transformadores monofasico idênticos os quais por sua vez alimentam uma linha que fornece energia a uma rede de distribuição primária por meio de três bancos de transformadores monofásicos em paralelo cada banco é constituído por três transformadores monofasico idênticos conforme 0 diagrama unifilar da Fig 520 Sabemos ainda 380 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA a Os valores nominais dos transformadores monofásicos do banco 50 MVA 66 kV635 kV 60 Hz e as medições realizadas no ensaio de curtocircuito com alimentação pela baixa tensão tensão de 0790 kV corrente de 758 A e potência de 350 kW b Os valores nominais dos transformadores monofásicos do banco r 2 333 MVA 635 kV11 kV 60 Hz e as medições realizadas no ensaio de curtocircuito com alimentação pela alta tensão tensão de 4850 kV corrente de 524 A e potência de 186 kW c Podemos representar a linha de transmissão pelo circuito da Fig 520 b d Podemos desprezar as perdas de vazio dos transformadores Pedimos 1 O circuito equivalente da rede 2 A tensão no gerador quando o sistema alimenta carga que absorve 30 MVA fator de potência 092 indutivo sob tensão de 11 kV 3 A potência fornecida pelo gerador 4 A regulação do sistema Variação da tensão entre vazio e em carga 5 A potência fornecida à carga do item 2 considerada de impedância constante quando a tensão no gerador for 68 kV a Diagrama unifilar b Circuito equivalente da linha Figura 520 Circuito para o Ex 5322 SOLUÇÃO lf Circuito equivalente da rede Do ensaio de curtocircuito do transformador fj temos adotando como valores de base no primário e secundário Sb 5 MVA e Vh 66 kV S b 5 MVA e V 635 kV obteremos do ensaio de curtocircuito i 758 ã j q v o1197 pu P 66 35 5000 00070 pu donde EXERCÍCIOS 381 z cosx plvi y j cos 00585 0119718665 p u Como o primário está ligado em triângulo e o secundário em estrela os valores nominais do banco trifásico são dados por V 66 kV V S 635 110 kV S 35 15 MVA Ao associarmos os dois transformadores em paralelo teremos um transformador equivalente com os valores nominais dados acima cuja impedância vale pela associação paralelo z2 Ao passarmos a potência de base para 30 MVA teremos z z2 3015 logo os valores nominais do transformador trifásico equivalente aos dois bancos em paralelo são V 66 kV V 110 kV S 30 MVA Zj 01197 8665 pu Do ensaio de curtocircuito do transformador J 2 temos adotando como valores de base no primário e secundário Sb 333 MVA e Vh 110 kVy Sb 333 MVA e Vb 635F v 00764 pu i 524 100 pu 635 3330 F p 00056 pu p m s1 QM56 85 80 3330 10 00764 z2 0 0764 8580 00056 00762 p u Como o primário está ligado em estrela e o secundário em triângulo os valores nominais do banco trifásico são dados por V V3 63 5 110 kV V 11 0 kV S 3 3 33 10 MVA Analogamente ao caso anterior os valores nominais do transformador trifásico equivalente aos três bancos em paralelo são V2 110 kV V2r 11 kV S 30 MVA z2 0076418580 pu Para a carga adotamos os valores de base Vb 11 kV e Sb 30MVA Para a linha de transmissão teremos V r 2 U0 II V Vb X l l f 110 kV Sb Sb 30 MVA Para o gerador teremos n 110 66 kV 110 SI Sb 30 MVA 382 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Determinaremos as impedâncias considerando todos os elementos da rede ligados em triângulo representados por sua estrela equivalente Temos 7X 01197 8665 00070 01195y pu f y j k 0 36 j r 00248 008937 pu F2 1 1102 y Y 05042j pu Sb 800j 30 I 2 00764 8580 00056 00762j pu Para a carga resulta 10 pu vc 10 pu i 10 pu 30 11 vc Adotando a corrente na carga com fase inicial nula ic 10 0 p u resulta vc 10 j co s 1 092 10 2307 09200 03919y pu T Tensão no gerador Procederemos ao cálculo do circuito monofásico equivalente Temos vBN c I 2 j i e 09504 05574j 11018 3039 p u hN 02810 04792j 05555112039 p u iG iBN ic 07190 04792j 08641 3368 pu g VW I r J c 08732 07228j 1133513962 p u T I T 2 A U JUA Vj66 kV I V110 kV Sj30MVA S30MA I 11 kV i Sb30MVA B Figura 521 Circuito equivalente para o Ex 5322 EXERCÍCIOS 383 3 Potência no gerador No gerador temos V g U335 3962 08641 3369 09795 1593 09743 01012j pu 4 Regulação Definimos a regulação como sendo a variação da tensão na geração quando passamos da condição de vazio para a de plena carga Assim na condição de vazio teremos dn Vbw e a regulação é dada por y 11335 3958 17748 j8897 1 05042 9r 12667 j3859 p u Reg 12667 10 L0 1000 2667 Destacamos que não seria viável a operação de uma rede real com o valor de regulação alcançado sendo indispensável a utilização de ajuste da tensão de suprimento nas duas condições de carga e de outros reforços que deixamos de analisar por fugirem ao escopo básico deste livro Deixamos ao leitor a determinação da resposta ao quesito qual deveria ser a tensão no gerador na condição de vazio para que a regulação da tensão na carga não exceda 10 5 Tensão na carga com tensão fixa na geração Neste caso representaremos a carga como sendo de impedância constante e destacamos que na hipótese de considerarmos carga de potência ou corrente constante o método de resolução mais viável seria o iterativo A impedância da carga que é obtida a partir dos dados fornecidos vale 11 zcl 10 pu e p cos092 2307 s 1 logo zc 10 2307 09200 03919 pu O procedimento que adotaremos consistirá em associarmos em série as impedâncias zc Z2 e 2 L 2 A seguir associamos em paralelo essa impedância com a admitância y e fmalmente realizaremos a associação série dessa última impedância com as impedâncias 2 X e l L2 e obteremos a impedância vista pelo gerador que é dada por G i k z z2 Zc y 13119 593 pu 384 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA A tensão no gerador é de 68 kV que corresponde a 10303 pu Fixamos a tensão no gerador com fase inicial nula isto é vG 1 03031 0 pu A seguir determinamos a corrente fornecida pelo gerador isto é ío l 0 3 0 3 Q l l G 131195 Nessas condições a tensão no ponto B é dada por BN 1 lG e a corrente e a tensão na carga são dadas por c h 09087 13960 vc zcíc 10 12307 09087 Finalmente a potência na carga é dada por yc vc 09087 1653 09087 3960 08257 2307 07597 03236j pu Ex 5323 No diagrama unifilar da Fig 522 representamos uma rede trifásica na condição de vazio isto é sem carga Conhecemos 1 Geradores Os dados dos geradores estão fornecidos na tabela abaixo 100161922 pu pu 360 09087 1653 pu Número de ordem Pot nominal MVA Tensão Nom kV Reatância Freqüência Hz 1 30 132 100 60 2 30 132 100 60 3 50 69 100 60 2 Transformadores Os transformadores de número 1 2 3 e 4 são iguais e seus valores nominais são Pot nom 50 MVA tensões nominais 138138 kV reatância 10 ffeqüência 60 Hz Os transformadores 5 e 6 são iguais e seus valores nominais são Pot nom 75 MVA tensões nominais 13869 kV reatância 10 ffeqüência 60 Hz 3 Impedância das linhas As impedâncias das linhas valem Zn 40j Q e Zi9 Z56 20j Cl Pedimos desprezando as correntes de vazio dos transformadores e todas as resistências desenhar o diagrama de impedâncias da rede fixando no gerador número 1 a tensão de base em 132 kV e a potência de base em 30 MVA EXERCÍCIOS 385 T 1 T 2 Figura 522 Diagrama uni filar para o Ex 5323 SOLUÇÃO D Valores de base No gerador número 1 temos conforme enunciado VbX 132 kV e Sb 30 MVA Para todos os trechos da rede mantemos a potência de base em 30 MVA Para a fixação das tensões de base partimos do gerador 1 e percorremos a malha fixando a base de tensão obedecendo à relação de transformação dos transformadores de modo que sejam representados em pu com relação de espiras 11 Salientamos que ao alcançarmos o último transformador as tensões de base já estão definidas caso a relação entre as tensões não coincida com a de transformação deveremos utilizar um autotransformador choque de bases Assim vb2 Vb3 1 3 2 132 kV 2 3 1 3 g K 132 132 kV bA 138 1 3 8 VbS 132 132 kV bS 66 138 69 Vbl 132 66 kV bl 138 1 3 8 v r 66 132 kV Observamos que a relação entre as tensões de base das barras 9 e 1 coincidem com a relação de transformação do transformador número 4 logo não necessitamos de autotransformador isto é não houve choque de bases Lembramos que as tensões de base dos geradores corresponderão às tensões de base das barras às quais se conectam Na Fig 523 apresentamos o diagrama unifilar 386 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA da rede com os valores de base e o circuito equivalente com as impedâncias indicadas literalmente Figura 523 Circuito equivalente para Ex 5323 EXERCÍCIOS 387 2 Impcdâncias As impedâncias em pu são dadas por 13 22 30 oi 000 n 13 82 30 xn 1 2 0 0656 pu 50 132 23 30 0 0689 pu X T2 10 1322 1382 30 lG 2 10 50 1322 13 22 30 0 0656 pu 30 132 10000 pu 1382 Ift XT3 0 l0 j f r 00656 pu 20 7 7 00344 pu 1182 íO x t jí 0 1 0 0 0437 pu 75 1322 y xni 10 692 30 50 66 06558 pu X T6 010 30 1382 30 75 13 00437 pu xm 20 0 0344 pu x TÁ 010 1322 1382 30 50 132 0 0656 pu 535 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Ex 5324 Pedimos adotando no barramento do gerador tensão e potência de base de 138 kV e 5 MVA o diagrama de impedâncias da rede monofásica da Fig 524 Fornecemos Número do transformador Tensão nom kV Potência nom MVA Impedância TI 138220 5 20 80i T2 22069 3 20 80i T3 220138 3 25 80j T4 13888 3 30 7Oj Dados dos transformadores para o Ex 5324 388 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Linha Impedância pu Tensão de base kV Potência de base MVA 002003 002 008j 220 5 002005 003 006j 138 2 005006 002 008j 220 10 Dados das linhas para o Ex 5324 Figura 524 Diagrama unifilar para o Ex 5324 Ex 5325 No Ex 5323 ligamos duas cargas uma no barramento 004 que absorve 2 MVA com fator de potência 06 indutivo e está com tensão de 126 kV e outra no barramento 008 que está absorvendo 1 MW e 1 MVAr Pedimos determinar a tensão em todas as barras da rede e as perdas no sistema Ex 5326 No Ex 5323 o gerador G3 está funcionando como motor síncrono e absorve 3 MVA com fator de potência 08 capacitivo sob tensão de 65 kV Pedimos determinar as tensões nos terminais de Gj e G2 de modo tal que G2 esteja em vazio SG2 0 Ex 5327 Nos Exs 5323 e 5325 mudamos a derivação do transformador T5 de modo que suas tensões nominais passaram a ser 65 kV e 138 kV Pedimos 1 O diagrama de impedâncias para valores de base de 132 kV e 30 MVA no gerador G1 2 A corrente de circulação quando a fem dos três geradores for 15 pu 3 A corrente e potência em toda a rede quando as fem do geradores forem êG1 12 0 pu èG2 14 0 pu e éG3 12 20 pu EXERCÍCIOS 389 536 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PELO PROGRAMA BASEPU I APRESENTAÇÃO O programa BASEPU que se destina à resolução de exercícios em valores por unidade conta com recursos para a leitura de dados através de arquivo formatado tipo ASCII ou para gerálos aleatoriamente Neste último caso permite que os dados gerados sejam armazenados no arquivo Ao ser acionado através do menu principal comando CCOMPSIM ou diretamente através do amando CCOMPSIMBASEPU apresenta menu principal do programa onde destacamos as opções que serão objeto de detalhamento nas seções subsequentes REL BASE que se destina à execução de exercícios pertinentes a relações entre bases BATRAFO que se destina a exercícios de trafos de dois e três enrolamentos CAL REDE que se destina ao cálculo de rede radial CHOQ BA que se destina ao cálculo de circuito em que há choque de bases 2 OPÇÃO REL BASE Nesta opção nos dedicamos ao cálculo de relações entre valores de base isto é fornecemos para redes monofásicas ou trifasicas duas das grandezas de base e solicitamos o cálculo das danais Salientamos que no caso de redes trifasicas todos seus elementos independentemente de qual seja seu esquema de ligação estão representados por sua estrela equivalente O arquivo utilizado nesta opção é identificado pela extensão PU1 isto é recebe um nome qualquer seguido da extensão PU1 PU1 que conta com um único registro onde são armazenados os valores das variáveis ITIPO que pode assumir cs valores 1 ou 2 conforme desejamos estudar rede monofásica ou trifásica NELEM1 que pode assumir valores desde 1 até 5 conforme desejamos que a primeira grandeza fornecida represente na ordem a potência de base a tensão de base a corrente de base a impedância de base ou finalmente a admitância de base NELEM2 que representa a segunda grandeza de base a ser fornecida são válidas as mesmas considerações da variável anterior Finalmente são fornecidos variáveis VALÍ e VAL2 os valores das grandezas a serem lidas À Tab 54 apresentamos os campos de definição e formatos das variáveis Salientamos que as variáveis NELEM1 e NELEM2 não podem receber simultaneamente os códigos 4 e 5 pois que a admitância de tese é o inverso da impedância de tese em outras palavras quando atribuímos a NELEM1 o código 4 ou 5 o código de NELEM2 deverá obrigatoriamente ser menor que 4 Além disso a variável NELEM2 deve obrigatoriamente ser maior que NELEM1 Os valores de tese referentes à potência aparente tensão corrente impedância e admitância são fornecidos respectivamente em VA V A O e S e que no caso de rede triíasica os valores são de linha Ex 5328 No arquivo RELBA001PU1 gravamos os valores 2 2 3 138000 30000 Pedimos interpretar os valores e calcular as demais grandezas de base 390 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Variável Campo de definição Formato ITIPO 01 a 03 13 NELEM1 04 a 06 13 NELEM2 07 a 09 13 VALÍ 10 a 24 F155 VAL2 25 a 39 F155 Tabela 54 Campos de definição das variáveis SOLUÇÃO 1 Interpretação do arquivo Á variável ITIPO assumiu o valor 2 logo desejamos estudar as relações entre valeres de base numa rede trifásica As variáveis NELEM1 e NELEM2 assumiram respectivamente os valores 2 e 3 logo iremos fornecer em VALÍ e VAL2 a tensão e a corrente de base respectivamente Finalmente temos tensão de base 13800 V e corrente de base 3000 A 21 Grandezas de base Para a potência de base tonos sb vu IhL Vã 13800 3000 71706903 VA Para a impedância e admitância de base temos n bL J 1 Zb 2656 Y L 13800 Sb V33000 0377 S 2656 Q Ex 5329 No arquivo RELBA002PU1 gravamos os valores 2 3 5 3000 1000 Pedimos interpretar os valores e calcular as demais grandezas de base SOLUÇÃO 11 Interpretação do arquivo A variável ITIPO assumiu o valor 2 logo desejamos estudar as relações entre valores de base numa rede trifásica As variáveis NELEM1 e NELEM2 assumiram respectivamente os valores 3 e 5 logo iremos fornecer em VALÍ e VAL2 a corrente e a admitância de base respectivamente Finalmente tonos corrente de base 3000 A e admitância de base 100 S 21 Grandezas de base Para a impedância de base tonos Zb 100 010 Q Para a potência de base tonos EXERCÍCIOS 391 5 yu iu S S i tFz titI 3iiLz t 3 3002 010 27000 VA Para a tensão de base temos v ZhI ZhI 01 300 30 V e V 3 30 51961 F Salientamos que poderiamos ter calculado inicialmente a tensão de base para a seguir calcular a potência de base isto é VbF Vl hp 300 Yb 10 30 V VhF yfi 30 51961 V Sb J s v J 3 51 961 3000 27000 F4 3 OPÇÃO BA TRAFO 31 APRESENTAÇÃO Nesta opção são estudados os valores de base para bancos de transformadores monofásicos e para transformadores triíasicos de dois ou três enrolamentos No caso particular de bancos de transformadores monofásicos cada exercício é dividido em duas partes sendo que na primeira parte determinamos os valores nominais do transformador trifasico equivalente ao banco de monofásicos e na segunda que é comum a todos os transformadores estudamos a rotação de fase entre o primário e o secundário e procedemos ao cálculo de tensões e correntes de fase e linha para um carregamento dado no secundário do transformador Fornecemos ainda a tensão de base a ser fixada e a tensão efetivamente existente no primário ou no secundário Como no caso anterior os dados podem ser lidos de arquivo formatado tipo ASCII ou gerados aleatoriamente pelo programa Neste último caso os dados gerados podem ser armazenados em arquivo O arquivo recebe nome arbitrário fixado pelo usuário seguido de extensão PU2 isto é o arquivo será identificado por PU2 O arquivo que será detalhado nas seções subseqüentes conta com três ou quatro registros conforme estivermos considerando transformadores de dois enrolamentos ou de três enrolamentos 32 TRANSFORMADORES DE DOIS ENROLAMENTOS Neste cí so Tab 55 no primeiro registro que se destina a identificar o transformador contamos com a variável ITIPO que assume os valores 1 ou 3 conforme o transformador seja banco de três monofásicos ou trifasico A seguir as variáveis NELEM1 e NELEM2 que identificam o esquema de ligação dos enrolamentos primário e secundário 1 ligação em estrela e 2 ligação em triângulo Destacamos que o programa não trata transformadores com mesmo esquema de 392 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ligação no primário e no secundário isto é estas duas variáveis devem ser obrigatoriamente diferentes No registro seguinte 2o Registro temos os valores nominais dos transformadores monofásicos que constituem o banco ITIPO 1 ou do transformador trifásico ITIPO 3 Assim temos as variáveis VNOMO e VNOM9 que correspondem às tensões nominais em kV dos enrolamentos primário e secundário respectivamente seguese a variável SNOM que representa a potência nominal em MVA e finalmente as variáveis REQPU e XEQPU que representam em pu a resistência e a reatância de curtocircuito do transformador Finalmente no 3o Registro temos os dados para o cálculo de tensões e correntes isto é as variáveis IBAENR que assume os valores 1 ou 2 indicando que iremos fixar a tensão de base no primário ou secundário do transformador respectivamente a variável ISEQFA que assume os valores I ou 2 em correspondência a trifásico com seqüência de fase direta ou inversa ITENDA que assume os valores 1 ou 2 conforme seja fixada a tensão dada no primário ou secundário Seguemse no mesmo registro os valores da potência suprida pelo transformador em termos de MW e MVAr potência de base em MVA tensão fixada em kV com ângulo de fase nulo isto é V VDADO 0 e tensão de base em kV Variável j Campo de def Formato f l 1 Registro ITIPO 01 a 03 13 Valor 1 ou 3 NELEM1 04 a 06 13 Valor 1 ou 2 NELEM2 07 a 09 13 Valor 1 ou 2 1 Registro VNOMO 01 a 09 F94 V prim em kV VNOM9 10a 18 F94 V sec em kV SNOM 19 a 27 F94 Pot nom em MVA REQPU 28 a 36 F94 Res curto em pu XEQPU 37 a 45 F94 Reat curto em pu 3 o Registro IBAENR 01 a 03 13 Valor 1 ou 2 ISEQFA 04 a 06 13 Valor 1 ou 2 ITENDA 07 a 09 13 Valor 1 ou 2 PDAD09 10 a 18 F94 Pot carga em MW QDAD09 19 a 27 F94 Pot carga em MVAr SBASE 28 a 36 F94 Pot base em MVA VDADO 37 a 45 F94 Tensão em kV VBASE 46 a 54 F94 Tensão de base em kV Tabela 55 Estrutura do arquivo de transformadores de dois enrolamentos Ex 5330 No arquivo TRADY001PU2 estão gravados os dados Io Registro 1 2 1 2o Registro 06 127017 75 0018 0070 3o Registro 1 1 2 178500 182200 87 22400 0600 Pedimos EXERCÍCIOS 393 1 Interpretar os dados armazenados no arquivo 2 Determinar o transformador equivalente ao banco de transformadores 3 Determinar as tensões e correntes na condição de carga dada SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados No Io Registro a variável ITIPO vale 1 logo estamos apresentando um banco de três transformadores monofásieos As variáveis NELEM1 e NELEM2 valem respectivamente 2 e 1 logo os enrolamentos primários estão ligados em triângulo e os secundários em estrela No 2o Registro temos variáveis VNOMO e VNOM9 valendo 06 kV e 127017 kV que representam as tensões nominais de cada um dos transformadores monofásieos variável SNOM valendo 75 MVA representando a potência nominal de cada um dos transformadores e finalmente variáveis REQPU e XEQPU valendo 0018 e 0070 representando a resistência e a reatância de curto circuito Finalmente no 3 o Registro temos IBAENR valendo 1 logo iremos fixar a tensão de base no primário do transformador equivalente ISEQFA valendo 1 isto é a seqüência de fase do trifásico é a direta ITENDA valendo 2 portanto iremos fornecer a tensão de linha no secundário do transformador a seguir as variáveis PDAD09 e QDAD09 que valem 178500 MW e 182200 MVAr representando a carga suprida no secundário do transformador a variável SBASE valendo 87 MVA representa a potência de base a seguir a variável VDADO que vale 22400 kV representando a tensão no secundário do transformador e finalmente a variável VBASE valendo 0600 kV que representa a tensão de base no primário do transformador 21 Transformador equivalente Sabemos que para a obtenção do transformador equivalente ao banco devemos manter a tensão nominal dos enrolamentos ligados em triângulo multiplicar por J3 a tensão nominal dos enrolamentos ligados em estrela e multiplicar por 3 a potência nominal As impedâncias em pu permanecem inalteradas isto é os valores nominais do transformador equivalente são VnomX 0600 kV Vnom2 127017 S 22000 kV 3 750 2250 MVA 0018 0070 pu 31 Valores de base e resolução da rede O enunciado nos diz que a potência de base vale 87 MVA logo para ambos os enrolamentos assumiremos esse valor de base e que a tensão de base no primário Vbl é de 0600 kV logo a do secundário é dada por V 22 0 Vh2 V 2221 o600 220 kV 060 A impedância em pu referida a qualquer dos dois enrolamentos é dada por 2202 z r j x bT r A 0018 0070 87 v v 1 nom y 61 v2 000696 002707j 002795 7558 pu 225 2202 394 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA A tensão secundária que vale 224 kV expressa em pu nos fornece Jv 22 422 1 018 pu Lembrando que o enrolamento secundário está ligado em estrela e que fixamos com fase iniciai nula a tensão de linha 1018 0 pu teremos sendo a seqüência de fase direta v 9 1018130 pu A potência absorvida pela carga no secundário é dada por 178500 182200j 87 2932 4559 pu A corrente secundária e a tensão primária em pu são dadas por 3 932 145 59 E 2880 17559 pu 9 v9 l01830 1 r v9 li9 1088512788 pu VO N vo A Q D Var fase V0 V9 4 i PjQ N V9 Figura 525 Diagrama unifilar e circuito equivalente Ex 5330 Assim as tensões de linha e fase em kV no secundário são dadas por VM 9 12930130 kV Vm 9 12930 150 kV Vcm 12930 0 kV VM 9 22396 0 kV VBC9 223961120 kV VCA9 22396 120 kV No primário lembrando que ao passarmos de um enrolamento ligado em estrela para um em triângulo para seqüência de fase direta teremos rotação de fase de 30 resulta 065312788 kV VBC9 0653114788 kV VCA9 065319212 kV Analogamente para as correntes teremos V 87 I aíq La L 288017559 657517559 kA A9 JlVb V3 220 ÍBN9 ÍB9 6575 16441 kA ICN9 JC9 6575 4441 kA e ÍÁn i 4 2880110559 Svb ÍB0 24110113441 kA 24110110559 kA V 3 0600 Ico 24110111441 kA EXERCÍCIOS 395 Ex 5331 No arquivo TRAYD001PU2 estão gravados os dados Io Registro 3 1 2 2o Registro 138 6900 75 0007 00710 3o Registro 1 2 i 60350 42200 100 14076 150 Pedimos 1 Interpretar os dados armazenados no arquivo 2 Determinar o transformador equivalente ao banco de transformadores 3 Determinar as tensões e correntes na condição de carga dada SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados No Io Registro a variável ITIPO vale 3 logo estamos apresentando um transformador trifásico As variáveis NELEM1 e NELEM2 valem respectivamente 1 e 2 logo os enrolamentos primários estão ligados em estrela e os secundários em triângulo No 2o Registro temos variáveis VNOMO e VNOM9 valendo 138 kV e 690 kV que representam as tensões nominais do transformador trifasico variável SNOM valendo 75 MVA representando a potência nominal do transformador e finalmente variáveis REQPU e XEQPU valendo 0007 e 0071 representando a resistência e a reatância de curto circuito Finalmente no 3 o Registro temos IBAENR valendo 1 logo iremos fixar a tensão de base no primário do transformador equivalente ISEQFA valendo 2 isto é a sequência de fase do trifásico é a inversa ITENDA valendo 1 portanto iremos fornecer a tensão de linha no primário do transformador a seguir as variáveis PDAD09 e QDAD09 que valem 60350 MW e 42200 MVAr representando a carga suprida no secundário do transformador a variável SBASE valendo 100 MVA representa a potência de base a seguir a variável VDADO que vale 14076 kV representando a tensão no primário do transformador e finalmente a variável VBASE valendo 150 kV que representa a tensão de base no primário do transformador 2 Transformador equivalente Fixaremos a potência de base para ambos os enrolamentos em 100 MVA conforme fixada no enunciado A tensão de base no secundário será dada por v V r ki V AO 0 15 0 1 750 kV r nntnQ 138 nom 7 A carga no secundário do transformador em pu é dada por s P jQ 6035 422j Sk 100 07364 3496 pu A tensão de linha e de fase no primário do transformador em pu é dada por 4076 09384 pu 150 e sendo a tãse inicial da tensão de linha nula resultará para seqüência de fase inversa 0L 0938410 pu v0F 09384 30 pu A impedância de curto circuito é dada por 396 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA y 1 V V2 Ç 7 r Jx r A Vb9 ònan V bÚ n 2 iío 0007 0 0 7 iy 00079 00801 0080518437 p u 3 Cálculo das tensões e correntes Neste caso temos r v0F v9F 2 i9 vp 2 V9 F isto é sendo a carga de potência constante recaímos em equação em que temos como incógnitas a tensão secundária valor complexo multiplicando a equação precedente pelo complexo conjugado da tensão no secundário alcançaríamos um sistema de equações biquadráticas Neste caso optamos pela utilização de método de solução iterativo Assim inicialmente assumimos que a tensão secundária é igual à primária e através da equação 9 F 3T VoF 7 fhtrO V9F determinamos o valor da tensão para a iteração seguinte Repetimos o procedimento até que em duas iterações sucessivas o módulo da diferença das tensões seja não maior que uma tolerância préfixada isto é v Jy vÇFer i TOLERÂNCIA Substituindo os valores numéricos teremos n r 0080518437 07364 3496 z 7377 0384 W K9 F Iteri V9F que para a primeira iteração quando fixamos v9F v0F resulta n n 00805 18437 0736413496 vlUr X 09384 30 L 08011 0407 ly 09384 130 na segunda iteração resulta v 09384 30 O 0 7 3 6 4 0J517 04440j 08011 04071j Uma vez alcançada a convergência do processo iterativo acima obtemos v9F 087193087 pu Deixamos ao leitor os demais cálculos restantes referentes às tensões e correntes primárias e secundárias 33 TRANSFORMADORES DE TRÊS ENROLAMENTOS Esta opção do programa que tem por finalidade estudar a representação de transformadores de três enrolamentos bancos de monofásicos ou trifasicos dividese como no caso anterior em dois tipos de problemas i determinação dos valores nominais do transformador trifásico equivalente EXERCÍCIOS 397 ao banco de monofásicos e ií determinação da rotação de fase e cálculo de tensões e correntes no transformador quando fornecemos a tensão aplicada ao enrolamento primário e a carga em termos de potência ativa e reativa alimentada pelo secundário e pelo terciário Destacamos que considerase que o transformador ou o banco de transformadores está ligado sempre no esquema YYA Na primeira parte do exercício que se aplica somente aos bancos de transformadores monofásicos de três enrolamentos procedemos ao estabelecimento das bases e ao cálculo das impedâncias de curtocircuito equivalentes a partir dos valores das impedâncias calculadas nas condições suprimento pelo primário secundário e terciário com curtocircuito respectivamente no secundário terciário e primário O arquivo utilizado definido como no caso anterior conta com 4 registros Tab 56 No primeiro registro que se destina a identificar o transformador contamos com a variável ITIPO que assume os valores 2 ou 4 conforme o transformador seja banco de três monofásicos ou trifásico A seguir as variáveis NELEM1 e NELEM2 que identificam a seqüência de fase do trifásico 1 direta e 2 inversa Destacamos que as variáveis NELEM1 e NELEM2 devem ser ambas fornecidas e devem ser diferentes entre si porém o programa assume a seqüência de fase em função de NELEM1 No registro seguinte segundo registro temos os valores nominais dos transformadores monofásicos que constituem o banco ITIPO 2 ou do transformador trifásico ITIPO 4 Assim temos as variáveis VNOM1 VNOM2 e VNOM3 que correspondem às tensões nominais em kV dos enrolamentos primário secundário e terciário respectivamente seguemse as variáveis SNOM1 SNOM2 e SNOM3 que representam a potência nominal em MVA dos enrolamentos primário secundário e terciário respectivamente No registro seguinte terceiro registro temos as variáveis REQCT12 e XEQCT12 REQCT23 e XEQCT23 REQCT31 e XEQCT31 que representam a resistência e a reatância de curtocircuito em pu nas seguintes bases base de tensão igual à tensão nominal do enrolamento correspondente e base de potência igual à potência nominal do enrolamento primário Destacamos que no caso de transformadores trifásicos essas grandezas são as impedâncias equivalentes e no caso de banco de transformadores representam na ordem as impedâncias calculadas para curto no secundário com suprimento pelo primário curto no terciário com suprimento pelo secundário e curto no primário com suprimento pelo terciário Finalmente no quarto registro temos os dados para o cálculo de tensões e correntes isto é as variáveis SBASE que representa a potência de base MVA VBASE1 que representa a tensão de base no primário do transformador em kV VDADOl que representa a tensão de linha com fase inicial nula no primário do transformador PDAD02 QDAD02 PDAD03 e QDAD03 que representam as cargas em MW e MVAr nos enrolamentos secundário e terciário Ex 5332 No arquivo TRYYD001PU2 estão gravados os dados Io Registro 4 1 2 2o Registro 500 230 69 120 90 36 3o Registro 00345 00567 00156 00186 00201 00426 4o Registro 88 44268 490040 90490 33270 22771315 Pedimos 1 Interpretar os dados armazenados no arquivo 2 Determinar o transformador equivalente ao banco de transformadores 3 Determinar as tensões e correntes na condição de carga dada 398 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Variável Campo de def Formato Observações 1 1 Registro ITIPO 01 a 03 13 Valor 2 ou 4 NELEM1 04 a 06 13 Valor 1 ou 2 NELEM2 07 a 09 13 Valor 2 ou 1 2o Registro VNOM1 01 a 09 F94 V prim em kV VNOM2 10 a 18 F94 V sec em kV VNOM3 19 a 27 F94 V ter em kV SNOM1 28 a 36 F94 Pot nom prim em MVA SNOM2 37 a 45 F94 Pot nom sec em MVA SNOM3 46 a 54 F94 Pot nom ter em MVA 3 o Registro REQCT12 01 a 09 F94 R ao 12 em pu XEQCT12 10 a 18 F94 R ao 23 em pu REQCT23 19 a 27 F94 R ao 3lem pu XEQCT23 28 a 36 F94 X ao 12 em pu REQCT31 37 a 45 F94 X ao 23 em pu XEQCT31 46 a 54 F94 X ao 31 em pu 4o Registro SBASE 01 a 09 F94 Pot de base em MVA VBASE1 10a 18 F94 Tensão de base em kV VDADOl 19 a 27 F94 Tensão em kV PDAD02 28 a 36 F94 Pot sec em MW QDAD02 37 a 45 F94 Pot sec em MVAr PDAD03 46 a 54 F94 Pot ter em MW QDAD03 55 a 63 F94 Pot ter em MVAr Tabela 56 Estrutura do arquivo de transformadores de três enrolamentos SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados No primeiro registro observamos que a variável ITIPO assumiu o valor 4 logo estamos utilizando um transformador trifasico de três enrolamentos alimentado por rede trifásica com seqüência de fase direta NELEM1 1 No 2o Registro onde fornecemos os valores nominais do transformador utilizamos os índices 1 2 e 3 para representar na ordem os enrolamentos primário secundário e terciário Assim temos inicialmente as tensões nominais Kami 500 kV Vnom2 230 kV e Vnom3 69 kV A seguir temos as potências nominais Srtomi 120MVA Snom2 90 MVA e Snomi 36 MVA No 3o Registro temos as impedâncias de curtocircuito equivalentes isto é zeq 00345 00567j pu EXERCÍCIOS 399 zeq2 00156 00186jf pu zeg3 00201 00426jf pu Finalmente no 4o Registro temos a potência de base Sb 88 0 MVA a tensão de base no primário Vhl 442 68 kV tensão de linha de alimentação do primário com fase inicial nula VlL 490 040 0 kV e finalmente as cargas de potência constante no secundário e terciário Sc2 90490 33270 MVA Sc3 22770 13150y MVA 2 Transformador equivalente Adotaremos como já é conhecido para os três enrolamentos a mesma potência de base isto é S Sn Sb2 S63 880 MVA Fixaremos as tensões de base na relação de espiras partindo do enrolamento primário isto é Ki Ka K Ki V 230 0 44268 2036328 kV 5000 V 69 0 44268 610898 kV v nom 500 0 Obtemos as cargas no secundário e terciário através de 90490 33270j II N tf S 2 Sb f 3 A3 880 22770 13150y 880 10283 03781 10956 2019 pu 02588 01494 02988 30t00 pu Lembrando que a seqüência de fase é direta as tensões primárias de fase e linha em pu valem 490 040 11070 pu viL 11070T pu e vlF 11070f3QP pu v 442680 Finalmente para as impedâncias temos V S z z eq Z Zeq 2 s i K v s nom2 b s vl rtoml 62 00345 00567j 500 88 3 3 C 3 s 3 VL 120 442682 pu v 2302 88 120 20363282 pu 1 i 88 120 610898 00188 00399j 0044116477 pu Apresentamos à Fig 524 o circuito equivalente da rede o qual é deduzido de maneira análoga ao caso de transformador monofàsico de 3 enrolamentos item 223 400 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA z2 3 1 z 1 i1i23 r O l C l A v1 í z3 t z n f v4 p2jq2 i2 p3jq3 Í3 Figura 526 Circuito equivalente para o Ex 5332 3 Cálculo das tensões e correntes Caso houvéssemos definido as cargas do tipo impedância constante poderiamos resolver a rede por associação de impedâncias isto é associaríamos em série nos dois ramos paralelos as impedâncias de curtocircuito com a da carga A seguir procederiamos à associação em paralelo das impedâncias dos ramos 42 e 43 e obteríamos uma malha de impedâncias No entanto como as cargas são do tipo potência constante recaímos num problema não linear que resolveremos por método iterativo Assim temos as equações 4 2 Í3 V Z SC2 S C3 V Zji 1 V 2 V3 v2 v4 z2i2 V4 z2 r V2 3 v4 4 3 Sr V3 nas quais fixamos na iteração inicial iteração 0 os valores das tensões nas barras 2 3 e 4 em v a seguir calculamos v2 v3 v4 iteração 1 e verificamos seus desvios em relação à tolerância préfixada Repetimos o procedimento até que os desvios em duas iterações sucessivas nas três tensões sejam não maiores que a tolerância isto é I ftórl l Alteri V2 V2 TOL Iter rrjrT I ílôrtl Vj TOL v4 v Iter 4 TOL Os valores obtidos para as tensões em tela iteração a iteração estão apresentados à Tab 57 e as tensões de fase resultam EXERCÍCIOS 401 v2 10535 13302 pu v3 10325 3367 pu v4 1033513438 pu Iteração v2pu v3 pu v4 pu 0 0959381 0553899j 0959381 0553899j 0959381 0553899j 1 0889942 0577278i 0867481 0577210i 08624100587961 j 2 0883980 0573878j 0860152 0572290j 0853933 0583266j j 3 0883315 0574054j 0859284 0572453j 0852997 0583526 Tabela 57 Tensões para Ex 5332 Deixamos ao leitor completar a resolução do exercício lembrando que deverá considerar a rotação de fase na passagem de enrolamento em estrela para enrolamento em triângulo Ex 5333 No arquivo TRYYD002PU2 estão gravados os dados 1 Registro 2 2 1 2 Registro 2886751 1327906 69 20 15 7 3 Registro 00507 01674 00333 00720 00483 02139 4 Registro 100 5200 525000 13500 6540 1500 6000 Pedimos 1 Interpretar os dados armazenados no arquivo 2 Determinar o transformador equivalente ao banco de transformadores 3 Determinar as tensões e correntes na condição de carga dada SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados No primeiro registro observamos que a variável ITIPO assumiu o valor 2 logo estamos utilizando um banco de transformadores monofásicos de três enrolamentos alimentado por rede trifásica com seqüência de fase inversa NELEM1 2 No segundo registro onde fornecemos os valores nominais do transformador utilizamos os índices 1 2 e 3 para representar na ordem os enrolamentos primário secundário e terciário Assim temos inicialmente as tensões nominais VLml 2886751 kV C 2 1327906 kV e V 3 69 k V A seguir temos as potências nominais Li 20MVA S 2 15 MVA e Snam3 7 MVA No terceiro registro temos as impedâncias de curto circuito isto é Zu 00507 01674 pu I2i o0333 00720 pu 31 o0483 02139 pu Finalmente no 4 Registro temos a potência de base Sb 100 0 MVA a tensão de base no primário VbX 520 0 kVa tensão de linha de alimentação do primário com fase inicial nula Pu 525 0L0 kV e finalmente as cargas de potência constante no secundário e terciário Sc2 1350 654 MVA Sc3 150 600 MVA 402 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 2 Transformador equivalente ao banco de três monofósicos A tensão nominal do enrolamento em triângulo não se altera e as dos enrolamentos em estrela serão dadas por v S r L t 2886751 5000 K 2 V3 V U 1327906 2300 kV As potências nominais serão multiplicadas por três isto é 3 20 60 MVA Sw m 2 3 15 45 MVA e Snom3 3 7 21 MVA Finalmente as impedâncias equivalentes são dadas por Z 7i2 3 2a 00328 01547 0158117803 pa z2 zí2 z23 z3J 00178 00127 0021913551pu z3 z3 z23 z j 00154 00592j 0061217542 3 Valores de base grandezas em pu e resolução da rede Adotaremos como já é conhecido para os três enrolamentos a mesma potência de base isto é Sb Sn Sé2 S 1000 MVA Fixaremos as tensões de base na relação de espiras partindo do enrolamento primário isto é V 230 0 V K 520 0 L 23920 kV vnom 5000 V 69 O Vb3 Vbl zasE 520 0 7176 kV 5000 Obtemos as cargas no secundário e terciário através de 2 1350 654j 1000 150 600j 01350 00654j 01500 2585 pu Sb 1000 00150 00600j 0061817596 pu Lembrando que a seqüência de fase é inversa as tensões primárias de fase e linha em pu valem 52000 lL 10096 0 pu e ilF 10096130 pu v Finalmente para as impedâncias temos z z nomí b 00328 01547j 5002 100 1 V1 nom 1 M r2 v 7 60 5202 00505 02384j 02437j 7804pu S z z V noml S V 2 nom b2 00178 00127y 230 100 00274 001967 003371 3558 pu 60 239202 EXERCÍCIOS 403 z nomi V 00154 00592j v J 60 71762 00237 00912y 00942 7543 pu Utilizando a mesma metodologia do exercício precedente obtemos as tensões na rede cujos valores iteração a iteração estão apresentados à Tab 58 v2 0999913202 pu v3 0994913207 pu v4 1000013223 pu Iteração v2 pu v3 pu v4 pu 0 0874353 0504080j 0874353 0504080j 0874353 0504080j 1 í 08491680530837j 0844459 0529094j 0847465 0534030j 2 08478280530195i 0843123 0528258j 0845959 0533347j 1 3 0847783 0530238i 0843071 0528298 08459100533395 i Tabela 58 Tensões para o Ex 5333 Deixamos ao leitor completar a resolução do exercício lembrando que deverá considerar a rotação de fase na passagem de enrolamento em estrela para enrolamento em triângulo 4 OPÇÃO CAL REDE Esta opção tem por finalidade a familiarização com a fixação de bases e cálculo de parâmetros numa rede trifósica radial que conta com dois transformadores Fig 527 Nesta opção propusemos exercícios com duas partes na primeira parte dados os parâmetros da rede e a tensão de base numa das seções pedimos a determinação dos valores de base em todos os trechos da rede e o cálculo de seus parâmetros nas novas bases Na segunda parte que somente é acessada quando a primeira foi resolvida sem erros fornecemos a potência e a tensão na carga e pedimos os valores de tensões e correntes em todos os trechos Gerador TR1 Y OHS Linha de trans TR2 1 Figura 527 Diagrama unifilar da rede Assim como nos casos anteriores o programa dispõe de recursos para adquirir os dados do exercício diretamente de arquivo formatado tipo ASCII ou gerálos aleatoriamente Quando os dados foram gerados pelo programa é possível por opção do usuário graválos em arquivo O arquivo recebe nome arbitrário fornecido pelo usuário porém sua extensão é obrigatoriamente PU3 isto é seu nome é PU3 404 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA O arquivo conta com 4 registros No primeiro registro temos as varáveis ITIPO chave do programa obrigatoriamente igual a 1 ISEQFA que indica a seqüência de fase do trifásico 1 seqüência direta e 2 seqüência inversa NELEM1 que se destina a indicar a barra onde será definida a tensão de base assim o ponto onde será fixada a base de tensão será 1 Gerador 2 primário do transformador TR1 3 secundário de TR1 4 linha de transmissão 5 primário do transformador TR2 e 6 secundário de TR2 variáveis PCACAL e QCACAL que exprimem a potência ativa em MW e reativa em MVAr na carga da barra 4 SBASE potência de base na rede em MVA e finalmente VKC que exprime a tensão de linha em kV na barra 4 O segundo registro que tem por finalidade o fornecimento das potências nominais dos elementos da rede em MVA canta com as variáveis SNGER que exprime a potência nominal do gerador SNTR11 e SNTR12 potências nominais no primário e secundário de TR1 que evidentemente são iguais SNLT potência nominal da linha SNTR21 e SNTR22 potências nominais no primário e secundário de TR2 que evidentemente são iguais No terceiro registro fornecemos as tensões nominais dos elementos da rede em kV assim temos VNGER VNTR11 VNTR12 VNLT VNTR21 e VNTR22 que representam as tensões nominais na ordem do gerador do primário e secundário de TR1 da linha de transmissão do primário e secundário de TR2 Finalmente no quarto registro fornecemos na ordem as reatáncias dos elementos da rede Destacamos que assumimos que as resistências são todas nulas À Tab 59 apresentamos os campos de definição de todos os parâmetros Ex 5334 No arquivo REDPU001PU3 estão gravados os dados Io Reg 1 1 3 44 2375 100 672 2o Reg 50 60 60 100 75 75 3o Reg 142 138 230 245 220 69 4 o Reg 25 04 04 078 05 05 Pedimos interpretar o conteúdo do arquivo calcular os valores de base e os parâmetros da rede e determinar as tensões e correntes em toda a rede SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados do arquivo No registro 1 temos a chave de arquivo ITIPO 1 a variável ISEQFA 1 portanto o trifásico que supre a rede tem seqüência de fase direta NELEM1 3 indica que vamos fixar tensão de base igual à nominal da barra na seção 3 isto é secundário de TR1 a carga na barra 4 é 440 2375j MVA a potência de base vale 100 MVA e tensão na barra 4 é de 672 kV No registro 2 temos as potências dos elementos da rede gerador de 50 MVA transformador TR1 primário e secundário 60 MVA linha de transmissão 100 MVA e transformador TR2 de 75 MVA No registro 3 temos as tensões nominais gerador 142 kV transformador 138230 kV linha de transmissão 245 kV e transformador TR2 22069 kV Finalmente no registro 4 temos as reatáncias em pu na base dos valores nominais do elemento do gerador 025 pu transformador TR1 004 pu linha de transmissão 0078 pu e transformador TR2 005 pu EXERCÍCIOS 405 Variável Campo de definição Formato Observações 1 Registro ITIPO 01 a 03 13 Valor 1 ISEQFA 04 a 06 13 1Direta 2Inversa NELEM1 07 a 09 13 De 1 a 6 PCACAL 10 a 19 F104 Pot ativa MW q c a c a l 20 a 29 F104 Pot reat MVAr SBASE 30 a 39 F104 Pot base MVA VKC 40 a 49 F104 Tensão kV 2o Registro SNGER 01 a 10 F104 Pot nom MVA SNTR11 11 a 20 F104 Pot nom MVA SNTR12 21 a 30 F104 Pot nom MVA SNLT 31 a 40 F104 Pot nom MVA SNTR21 41 a 50 F104 Pot nom MVA SNTR22 51 a 60 F104 Pot nom MVA 3 o Registro VNGER 01 a 10 F104 Tensão nom kV VNTR11 11 a 20 F104 Tensão nom kV VNTR12 21 a 30 F104 Tensão nom kV VNLT 31 a 40 F104 Tensão nom kV VNTR21 41 a 50 F104 Tensão nom kV VNTR22 51 a 60 F104 Tensão nom kV 40Registro XNGER 01 a 10 F104 Reatância pu XNTR11 11 a 20 F104 Reatância pu XNTR12 21 a 30 F104 Reatância pu XNLT 31 a 40 F104 Reatância pu XNTR21 41 a 50 F104 Reatância pu XNTR22 51 a 60 F104 Reatância pu Tabela 59 Estrutura do arquivo PU3 2 Valores de base c parâmetros em nu A potência de base em toda a rede será 100 MVA Associaremos a cada trecho da rede índices de 1 a 6 na mesma ordem da variável NELEM1 e iniciaremos por estabelecer as bases de tensão a partir do secundário de TR1 Assim temos 406 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA r it 11 11 O yMTR22 v NTRll NTR2 138 230 230 138 kV 230 721364 kV 220 As reatâncias do elementos da rede serão V2 S ti o2 IftO Gerador xG xG fSÊ L 0 2 5 05294 pu e XG 1 0082Í2 e v 2 nomG rb 1 50 13 8J Transformador TR1 V2 x a 7H1 x a 77 e em Cl teremos e v2 yb2 XTR ç nomTRl V2 rb3 004 r V2 rTRU 004 13 83 TRl 1 XTR 0nomTHl 60 Y v XTR V2 7X12 004 230 02 ATR12 tf 1382 100 60 1382 0 0667 pu VomTTÍl 352667 Q Linha de transmissão LT v nomLT 6 l t e v2 omr 64 0 078 2452 100 100 2302 0 0885 pu e 2452 XLT 0 078 77 46 8195 Q 100 Transformador TR2 x v 2 ç l Y 7R21 6 TR2 ç xr2 ònomTR2 V 65 X7K2 ç ò e em fi teremos l TR2 l X 005 22002 100 i72 75 23002 00610 pu TR2 V2 220 O3 ra21 005 322667 Q e nomTR2 75 V2 69 O2 05 r 31740 nomTRl Na carga barra 4 teremos para a potência e a tensão 440 2375j ç Sc Sb SLboI VBar4L V 66 100 672 721364 04400 02375j 050 2836 pu 09316 pu to4L 093160 pu e v w 09316 30 pit 3 Resolução da rede Indicando todas as tensões e correntes de fase na rede com 0 índice correspondente ao número da barra e as impedâncias pelos número das barras extremas teremos EXERCÍCIOS 407 3 4 Z3J 1 P 0931630 0061090 050 12836 0931630o 130 09472 00288j 09476 Ç74 pu v2 v3 I 23i 1 j30 09476174 0088590f 05367 5836 1 3P 09723416 pu v v2 Zn i 1 30 1 30 o9723416 00667190 0536712836 1 30 09920 13590 pu 5 OPÇÃO CH O Q BA O objetivo desta seção é o estudo de redes em que há choque de bases isto é redes em que não podemos representar todos os transformadores na relação 11 Utilizaremos para 0 estudo desta situação 0 caso de dois transformadores com relações de espiras diferentes ligados em paralelo Inicialmente procederemos ao cálculo da corrente de circulação quando o conjunto está com o secundário em vazio isto é sem carga A seguir procederemos ao cálculo da distribuição das correntes e potências nos dois transformadores quando há carga no secundário do conjunto Como nos casos anteriores os dados podem ser lidos diretamente de arquivo formatado tipo ASCII ou podem ser gerados aleatoriamente pelo programa Nesta última hipótese é possível procedermos à gravação dos dados gerados pelo programa em arquivo O arquivo recebe nome definido arbitrariamente pelo usuário porém com extensão obrigatoriamente PU4 isto é o nome do arquivo será PU4 O arquivo conta com quatro registros que passamos a descrever No primeiro registro estão armazenadas as variáveis ITIPO obrigatoriamente igual a 1 e ISEQFA que indica a seqüência de fase que supre o conjunto Como nos casos anteriores esta variável pode assumir os valores 1 ou 2 correspondendo respectivamente a seqüência de fase direta ou inversa No segundo e terceiro registros estão armazenados os dados do primeiro e do segundo transformador isto é na ordem potência nominal em MVA tensões primária e secundária em kV e impedância de curtocircuito resistência e reatância em pu nas bases nominais do transformador Destacamos que os valores nominais do primeiro transformador serão utilizados como valores de base para a rede Finaímente no quarto registro fornecemos o valor da tensão aplicada ao primário do conjunto em kV e a carga no secundário dos transformadores em MW e MVAr À Tab 510 apresentamos os campos de definição das variáveis gravadas nos arquivos Destacamos que o programa aceita desvio máximo entre as relações de espiras do transformador 2 TR2 e do 1 TR1 de 5 isto é a relação de espiras 1 a do autotransformador ideal a ser inserido na rede deve ser tal que a esteja compreendido entre 095 e 105 408 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Variável Campo de definição Formato Observações 1 Registro ITIPO 01 a 03 13 Chave 1 ISEQFA 04 a 06 13 1Direta 2Inversa 2o Registro VNOM11 10 a 18 F94 T nom primTRl kV VNOMI2 19 a 27 F94 T nom sec TRI kV SNOM1 01 a 09 F94 Pot nom TRI MVA RCTOl 28 a 36 F94 Req pu XCTOl 37 a 45 F94 Xeq pu 3 o Registro VNOM21 10 a 18 F94 T nom prim TR2 kV VNOM22 19 a 27 F94 T nom sec TR2 kV SNOM2 01 a 09 F94 Pot nom TR2 MVA RCT02 28 a 36 F94 Reqpu XCT02 37 a 45 F94 Xeq pu 4o Registro VDADO 01 a 09 F94 Tensão prim kV PCARGA 10a 18 F94 P ativa carga MW QCARGA 19 a 27 F94 P reat carga MVAr Tabela 510 Estrutura do arquivo PU4 Ex 5335 No arquivo CHOQU001PU4 estão armazenados os dados Io Registro 1 1 2o Registro 690000 138000 100000 00200 00400 3o Registro 690000 142140 200000 00300 00500 4o Registro 692970 276270 100550 Pedimos interpretar os dados gravados e proceder ao cálculo da rede para as condições de vazio e de carga 1 Interpretação dos dados Do primeiro registro observamos que o trifásico que supre o conjunto tem seqüência de fase direta Do segundo registro notamos que os valores nominais do transformador 1 TRI são 69138 kV 10 MVA impedância de curto 0020 004j pu Do terceiro registro resulta para o transformador 2 TR2 que 6914214 kV 20 MVA e impedância 003 005j pu Finalmente do quarto registro observamos que a tensão aplicada ao primário do conjunto vale 692970 kV e que na condição em carga o conjunto supre carga no secundário que absorve 27627 MW e 10055 MVAr EXERCÍCIOS 409 2 Definição do autotransformador fictício Como os transformadores estão em paralelo e têm relações de transformação diferentes eles poderão ser representados em pu desde que seja inserido no circuito um autotransformador ideal de relação de espiras conveniente Fig 528 a qual passamos a determinar Adotando como bases de tensão as próprias tensões nominais do transformador TR1 temos Vbl 69 kV e Vb2 138 k V Nestas condições a relação de transformação do autotransformador é 1 a item 251 onde Z Kx Vx 14214 138 v K Ki 6 9 6 9 Adotando ainda potência de base igual à nominal de TR1 temos Sb 10 MVA Nessas condições os parâmetros da rede passam a ser 69 297 o w 10043 o pu G 69 L Zi 002 004y 004472 6343 pu z2 003 005y 0015 0025j 0029155904 pu 3 Resolução da rede em vazio Do circuito da Fig 528 obtemos 410 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA j h h h h a a 0 II Z2i2 12 OV a èG V 2 a 1 h a a ou seja Para o nosso caso teremos iK 2 aiy a 103 110043 i 004472 6343 103 04105 103 0410516164 pu 103 002915 5904 6164 03985111836 pu èG Z 2 102211003 pu a iG i 1 04105 16164 00120 6164 pu 4 Resolução da rede em carga Do circuito da Fig 528 agora com i 0 igualando as quedas de tensões nos dois transformadores teremos è0 h g 21 iaa onde desenvolvendo e evidenciando a corrente no transformador TR1 resulta l aêGa2 z2 a a zij ou 1 a l èn 2 a Z2 a a A partir da corrente no transformador TR1 obtemos a tensão no secundário isto é 1 a ec zi a 1 v2 éc SLZi z2 a a porem lembrando que 1 s jr obtemos EXERCÍCIOS 411 V êG 1 a a Z 2 a z a a i z a a A equação precedente nos permite determinar por processo iterativo a tensão no secundário dos transformadores Assim fixamos para a primeira iteração a tensão secundária igual à do gerador e calculamos seu valor Repetimos o procedimento até que em duas iterações sucessivas a diferença da tensão seja não maior que tolerância préfixada Formalmente tonos t o l e r â n c ia Para o exercício proposto temos 27627 10055j 10 èGL 1004310 pu e 27627 10055j 29400 j20 pu èGF 10043130 pu e fixando para a iteração inicial v2Iur 0 èGF 10043 30 0869753 0502152 pu obtemos iteração a iteração os valeres que apresentamos à Tab 511 de onde resulta v2 0831221 0519024y 0980013198 pu I Iteração 2 I 1 08697530502152j 2 0832852 0520644 3 08313400518777j 4 0831225 0519029 5 0831221 0519024j Tabela 511 Tensões para o Ex 5335 Deixamos ao leitor a determinação das demais grandezas 54 EXERCÍCIOS DE COMPONENTES SIMÉTRICAS CAPÍTULO 3 541 APRESENTAÇÃO Neste item em que nos dedicaremos ao desenvolvimento de exercícios de aplicações de componentes simétricas apresentamos como nos itens anteriores conjunto de exercícios propostos e exemplos de exercícios resolvidos através dos programas computacionais com detalhamento da metodologia utilizada Os exercícios propostos subdividemse em analíticos onde solicitamos a demonstração de relações fundamentais tipo teste de múltipla escolha onde apresentamos cinco alternativas de respostas à questão enunciada exercícios típicos resolvidos e exercícios propostos sem resolução 412 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 542 EXERCÍCIOS ANALÍTICOS Ex 541 Em que condições um circuito trifásico com impedâncias próprias e mútuas entre as fases pode ser representado por circuitos seqüenciais independentes Ex 542 Determinar a relação existente entre as componentes simétricas no primário do transformado da Fig 529 e as referentes ao secundário quando assumimos na ordem correspondência entre os terminais primários de linha A B e C e os secundários de linha X Y e Z na hipótese dos terminais 1 2 e 3 corresponderem aos códigos XYZ YZX ZXY e YXZ assumindo a polaridade apresentada na íigura e a inversa Comparar os resultados obtidos com a representação em componentes de fase Núcleo Figura 529 Transformador YÁ para Ex 542 Ex 543 Repetir o Ex 542 considerando a alimentação pelo enrolamento ligado em triângulo Ex 544 Deduzir o circuito equivalente completo em termos de componentes simétricas para um transformador de 3 enrolamentos no qual os enrolamentos primário e secundário estão ligados em estrela aterrada e o terciário em triângulo Representar também o ramo de magnetização Ex 545 Repetir o Ex 544 para os casos de que o enrolamento em estrela esteja aterrado por impedância e isolado Ex 546 Para o transformador do Ex 544 pedimos determinar as relações entre as componentes simétricas das tensões e correntes de linha nos três enrolamentos Assumir dentre as possíveis uma qualquer das relações de correspondência entre os terminais dos três enrolamentos Ex 547 Em que condições a rotação de fase entre as tensões e correntes em componentes de fase é igual às correspondentes em componentes simétricas EXERCÍCIOS 413 543 EXERCÍCIOS DE MÚLTIPLA ESCOLHA Ex 548 Sabemos que uma carga trifasica equilibrada é percorrida pelas correntes de fase IA 10 Oj A IB 0 lOj A tc 0 10 j A e que a sua impedância de fase vale 201 0 Í 2 Podemos afirmar que 3 A componente de seqüência zero da tensão na carga vale 200Z0V 2 A carga pode estar ligada em triângulo 3 A componente de seqüência inversa da tensão na carga é indeterminada 4 A componente de seqüência direta da tensão na carga vale 842Z0V 5 Nenhuma Ex 549 Dado um sistema trifásico assimétrico a quatro fios que alimenta uma carga trifásica desequilibrada ligada em triângulo é verdadeira a afirmação 1 Conhecendo as tensões de linha podemos determinar a componente de seqüência zero das tensões de fase 2 A componente de seqüência zero das correntes de linha é nula somente em alguns casos particulares 3 A componente de seqüência zero das correntes de fase da carga no caso geral não é nula 4 Conhecendo a componente de seqüência direta das tensões de fase não podemos determinar a correspondente de linha 5 Nenhuma Ex 5410 Para um sistema trifásico podemos afirmar que 1 Ao mudarmos ciclicamente os fasores de uma seqüência de tensões de linha ou de fase as componentes simétricas não se alteram 2 As componentes simétricas da soma de duas seqüências não são iguais à soma das componentes simétricas de cada uma delas 3 Quando conhecemos as componentes simétricas de uma seqüência de tensões de linha não podemos determinar as componentes simétricas da seqüência das tensões de fase 4 Para uma carga trifasica equilibrada alimentada por trifásico simétrico e equilibrado a componente de seqüência inversa é sempre nula 5 Nenhuma 544 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Ex 5411 Na Fig 530 temos um barramento infinito cuja tensão é 220 kV que alimenta uma re constituída pelas linhas 1223 e pelo transformador T Conhecemos 1 Impedâncias série das linha em pu nas bases 220 kV e 100 MVA As impedâncias em paralelo são desprezíveis Linha Seqüência direta Seqüência zero 12 020j 050i 23 030j 080j 414 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 2 Transformador Banco constituído por três transformadores monofásicos de 127 kV 88 kV 20 MVA T 009 pu 3 Carga na barra 4 Trifásica equilibrada constituída por impedâncias constantes ligadas em triângulo Absorve 0 826j MVA quando a tensão vale 80 kV Pedimos determinar a Os diagramas seqüenciais b A tensão em todas as barras do sistema c O gerador equivalente de Thévenin visto pela barra 003 para as três seqüências Figura 530 Circuito para o Ex 5411 SOLUÇÃO 1 Valores de base Adotaremos como valores de base no barramento infinito Vb 220 kV e Sb 100 MVA Os valores nominais do banco de transformadores são Tensão primária 127 V3 220 kV Tensão secundária 88 kV Potência nominal 3 20 60 MVA Reatância porcentual 9 Os valores de base no barramento 004 são 220 VI 88 U k V e Sí 100 MVA b 220 2 Diagramas seqüenciais Fig 531 As impedâncias das linhas já estão referidas às bases adotadas e portanto não se alterarão A impedância do transformador nas bases adotadas será A impedância de fase da carga equivalente ligada em estrela com centroestrela isolado é z v2 s mas sendo EXERCÍCIOS 415 V 80 88 0 909 pu e y 0 826 j resulta z 0 9092 100 K 001 90 vu 0 8261 90 pu 0 8261 90 Admitiremos o sistema aterrado diretamente e portanto representaremos o barramento infinito por um gerador trifasico ligado em estrela com centroestrela aterrado diretamente e com seqüência de fase direta Suas componentes simétricas são è0 è 2 0 e éj 1 pu Os diagramas de impedâncias estão representados na Fig 531 onde representamos entre parênteses o índice correspondente à seqüência de fase isto é seqüência zero 0 seqüência direta 1 e seqüência inversa 2 3 Tensões no sistema Como não temos nenhum desequilíbrio é evidente que teremos somente tensões de seqüência direta Adotando ê1 1 0 0 pu resulta è lO O 121 Tl 1 W L 4 7 4 1 21 W l V V 135 90 11 07411 0 opu 4ij iz t 0852 0pu i 0852j 0opu 4 Gerador equivalente de Thévenin no barramento 003 4a Seqüência zero Temos oo 0pu z00 Z120ZT0 2120 ZT 0 2230 4b Seqüência direta Temos j 05 7015 705 015 708 70915 0852L0Ip u e zu Z12l ZT Z 4c Seqüência inversa Temos èn Opu e 22 z w jOAIOpu 416 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Z230 SBJ 0012 Z I2 2 02i c z Z232 3i 003 2 0022 Z T2 5í n 004Z L Z2el i c Seqüência inversa Figura 531 Diagramas seqüenciais de impedâncias Ex 5412 Na rede do Ex 5411 ligamos à barra 003 uma carga monofósica entre a fase A e a terra cuja impedância nas bases 220 kV e 100 MVA vale 0715j pu Pedimos determinar as tensões e correntes em toda a rede SOLUÇÃO 1 Determinação da tensão e corrente na carga monofósica Conforme já vimos devemos associar os três diagramas de seqüência em série fechandoos sobre impedância 3 Fig 531 Temos EXERCÍCIOS 417 donde será ou ainda hQ hi h2 3 0 h 0 z oo o h zu 3 2 l 3 2 2 22 111 0852 tm 1 7 T 0213 PU 70213 yO915 0195p 0852 y0213 7047 0 752 pUt 70213 7047 0 p u AN 3 30 0195 0457 0 BN3 T 3 T 0752 93 12523 CN3 32 01 0903 12523 VAN3 Vh AN3 220 0457 0 58047 0 VBN3 13 BN3 VT 0903 i 12523 114729 12523 v CN3 CN3 0903 j 12523 114729 12523 As tensões de linha são obtidas de ou ainda r h Vr AB3 VANO V b N3 V AN3 VbC 3 cA3 V b N3 CN3 VcN3 VANO li uT BN 3 CN3 BN 3 CN2 L VAN3 vt 3pI 30 K d 30c V Y ABO 0 155611 3703 BCO H II 0752 30 187440 90 VCA3 t oOro1 o 1 155611 14297 2 Determinação da tensão na barra 002 Do diagrama de seqüências temos 2 30 z23ojho 0195 70870213 00246 pu 2 0 31 z 22i3i 0752 70370213 0816 pu 22 32 2 Z32i32 01 70370213 QQ36lpu donde resulta VY AN 2 vb t 20 220 BN2 v V J T 20 fT J CN2 22 As tensões de linha são dadas por 00246 0o 0816 Õ 00361 j 0o 959361 0 107508 11933 107508 11933 VY AB2 175684J 3224 BC 2 187462 90 CA2 175684 14776 kV 418 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 3 Componentes simétricas da corrente na barra 002 No primário do transformador T temos l 2p 0 2 PO f 2p 2 20 T 0 V2 0 00246 j015 0816 TÍ 2 2 2 T 1 2 2 y0164 jou y 0710 pu 700314 pu A l 5 00361 A15 logo as correntes üe linha são ou 1 2pA 12pB hpB 2pÁ hpB hpB 100000 VJ 220 S r A 164 70710 700314 2p 0 l 2 p 2 p 2 1350471 90 214098 14191 214098 3809 4 Componentes simétricas das correntes na barra 004 No secundário do transformador as componentes simétricas das correntes de linha são donde ou 4 sA l4 sB 4sC 4s0 hs hP 1 30 0710 120pu LV h p 2 11 30 00314 120pw K sA l4s0 0 0695 1 12224 l4sB T hsi T 07101 120 0695 12224 l4sC l4s2 00314 120 07411 0 K a K B Uc si S r 4sA l 4 sB l 4sC 100000 S 88 0695 j 12224 0695 12224 07411 0 455975 12224 455975 j 12224c 486155 0 EXERCÍCIOS 419 5 Tensões na carga Temos V AN4 06951 3224 V b n Z lBN4 0695 14776 4 lCN4 07411 90 multiplicando pela tensão de base obtemos V 0695 3224 35311 3224 VbN4 Vb 0695 14776 353111 14776 VcN4 07411 90 37648 j 90 e as tensões de linha 59734 0 63895 11787 VCA4 63895 11787 6 Correntes e tensões no barramento infinito Para as correntes temos igfoj Ko hpro 70213 0164 0049 pu igl iMV hpo 0213 0710 0923 pu ig2 h 2 h f X 2 70213 00314 0182 pu 420 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Para as tensões temos èg0 Vi0 Zi20ig0 00246 j05 j0049 0 pu g 2 znigi 0816 0923 10 pu ègfi 22 zi22ig2 00361 jQ2jQ2 0 pu resultando como deveriamos esperar os valores dados Para melhor visualização do problema representamos na Fig 532 o circuito trifásico a três fios indicando os valores das correntes em todos os trechos em ampère Figura 533 Diagrama de impedândas para Ex 5413 EXERCÍCIOS 421 Figura 533 Diagrama de impedâncias para Ex 5413 A tensão na barra 003 é dada por 3 ên V 31 222 Z 4 d U185y 05147 0609jpw i32 4 2 0 47 0 514y 0 242 pu donde t rz 30 TZ 0 V 0851L0 108 09j0f fc s 3 H II 31 32 n ínl H 0609 0 242 d 5 1 0 531 143 24 0531 143 24 67 459 14324 67 459143 24 As tensões de linha na barra 003 são dadas por AB3 BC 3 CA3 yb s VAN 3 3 VC Y 3 v AN3 167 087j 13 98 80 7401 90 167 087 166 02 kV Salientamos que deve subsistir a relação Z IB3 0715 220 100 7 23383 8091921 90 V 80 9191 90 fcF que nos conduz a resultado igual dentro da precisão ao alcançado anteriormente Deixamos ao leitor o cálculo das demais grandezas da rede 422 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Ex 5414 Na rede do Ex 5411 ligamos ao barramento 003 entre as fase B C e terra duas impedâncias z 0 0 0 715j pu nas bases 220 kV e 100 MVA Pedimos determinar as tensões e correntes em toda a rede SOLUÇÃO 1 Diagrama de impedâncias Ligaremos conforme já vimos os circuitos de seqüência zero direta e inversa em paralelo Fig 534 resultando Uoo 3 o22 2 1 890 1185 J 0 728y pu z 00 0 22 2 3075 3 1 3 1 3 1 11 0852 1913 j 0 445y pu 11 3 1 0852 1 O J 1 11 3 1 0 852 1 31 11 o 3 2 resulta 0 0325 30 00 0 1 890y 0325 3 2 22 Í2 l185y 7 0172 j pu 0 273j pu As componentes simétricas das tensões são 3 0 0 0 3 0 oo hcoy M 7 5J 0 172 y 0202 pu 3 2 z 22 3 2 0 470j 0 273j 0128 pu As correntes de linha na carga valem 1 Ay ou ainda 3 0 3 1 3 3 S 0172 0 445 0273 V3 V ri r o i 0 By 100000 067316746 176617 67 46 Jcy V3 220 0 6731 67 46 176 617 67 46 0 673 6746 067316746 A As tensões de fase valem 123 588 0 61257 112 36 61257111236 Como nos exercícios precedentes calculamos as tensões de linha e obtemos r i V ANy V 3 0 220 0 2 0 2 Xr r BN 3 v v c m H II 3 1 3 2 T 0 643 01 2 8 kV 223 1 EXERCÍCIOS 423 scr H Figura 534 Diagramas seqüenciais de impedâneias para Ex 5414 a Diagramas seqüenciais 424 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 157 44012109 BC 3 1133001 9000 L CA 3 J 157 440115891 Deixamos ao leitor o cálculo das demais grandezas da rede 545 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Ex 5415 Determinar analítica e graficamente as componentes simétricas das tensões VA 1000 100190 100 90f VA 120L30 120j 70 120 150 VA 22010f 2201 60 22060 VA 220 60 2201 60 220 0 Ex 5416 Determinar analítica e graficamente as tensões cujas componentes simétricas são K 1000 Vx 200L02 V2 501 r60 P0 1000 Vx 220 120 V2 501 60 Ex 5417 Dada a seqüência T 1 1 701 0 1 1801 0 a 2 401 80 a 1 a a 2 determinar as componentes simétricas das seqüências i 1 5 1 í J tr BN CN K í n r CN r BN r AN Va n J 1 1 irA N J Ex 5418 Sabemos que a seqüência dada no Ex 5417 representa as tensões de fase de um gerador pedimos determinar as componentes simétricas das tensões de linha Ex 5419 Sabemos que a seqüência dada no Ex 5417 representa as correntes de fase numa carga ligada em triângulo Pedimos determinar as componentes simétricas das correntes de linha Ex 5420 Dar a relação entre as componentes simétricas de linha e fase numa carga ligada em estrela com eentroestrela isolado e aterrado Ex 5421 Para os circuitos da Fig 535 determinar todas as componentes simétricas da tensão e da corrente que são nulas EXERCÍCIOS 425 Figura 535 Circuitos para o Ex 5421 Ex 5422 Sabemos que o circuito da Fig 536 é alimentado por um trifásico simétrico com sequência de fase direta e que VAB 380130 V Pedimos resolvêlo por componentes simétricas Ex 5423 Resolver o circuito da Fig 537 por componentes simétricas Ex 5424 Para a rede da Fig 538 conhecemos 1 As componentes simétricas das correntes nos geradores em A Ig o2 I090f 200f 10L90 e l590f 3010 15L90 2 As impedâncias das linhas iguais entre si nas três fases sem mútuas e com impedância nula no fio de retomo 2 1 0 0 2PR 0 5 Cl 2RQ 1 0 0 3 As impedâncias de aterramento dos geradores 2a 0 8 0 2G 0 8 0 4 As tensões de fase do gerador G medidas entre os terminais de linha e o centro estrela VGAc K K r r 60L0Í 233LT 113L180 onde assumimos a impedância interna do gerador nula A 8 Co No io a s i m m io n II Figura 536 Circuito para o Ex 5422 426 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 30 A Figura 537 Circuito para o Ex 5423 Figura 538 Circuito para o Ex 5424 Pedimos determinar 1 As correntes nas três fases da carga ligada ao barramento Q 2 As componentes simétricas das tensões de fase e linha no barramento R 3 A carga ligada no barramento Q pode estar ligada em triângulo Justificar Ex 5425 Para a rede da Fig 539 desenhar os diagramas seqüenciais de impedâncias Ex 5426 Para a rede da Fig 540 conhecemos 1 A impedância série própria de todas as linhas 002 006j Qkm 2 A impedância mútua entre os fios das linhas 002j Qkm 3 A impedância do retomo 002 Qkm 4 A impedância de aterramento dos geradores 03j Qkm 5 A impedância interna dos geradores e as mútuas entre os fios da linha e o retomo que são todas nulas EXERCÍCIOS 427 Pedimos determinar a Os diagramas de impedância da rede para as três seqüências b Sabendose que a tensão do gerador ligado à barra 001 vale 138 kV e que na condição de vazio a corrente é nula determinar a potência na brra 005 quando nela se liga uma carga monofâsica que absorve 100 75j kVA quando a tensão vale 12 kV A carga está ligada entre duas linhas e é de impedância constante com a tensão Figura 539 Circuito para o Ex 5425 Ex 5427 Para a rede da Fig 541 sabemos que todas as linhas têm mesmas impedâncias por unidade de comprimento e conhecemos 1 As impedâncias das linhas impedância própria de cada fase Z 0 l 2 y Qjkm impedância mútua entre as fases de uma linha Zm 0 0 2 j Qjkm impedância mútua entre as fases de uma linha e o retomo Zmr 0 0 j Qjkm impedância própria do retomo nula 2 Comprimento das linhas dado na Fig541 Figura 540 Circuito para o Ex 5426 428 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Figura 541 Circuito para o Ex 5427 3 Geradores e carga Barra 1 Na barra 1 há um gerador trifásico simétrico ligado em estrela e aterrado por impedância de lOj fi Barra 2 Na barra 2 há uma carga equilibrada constituída por impedâncias constantes ligadas em estrela com centroestrela aterrado que absorve 50 MVA e 30 MVAr quando a tensão vale 100 kV Barra 3 Na barra 3 há um uma carga equilibrada constituída por impedâncias constantes ligadas em triângulo que absorve 30 MW e 40 MVAr quando a tensão vale 100 kV Barra 4 Na barra 4 há uma carga desequilibrada na qual as tensões de fase em kV e as correntes de linha em A valem i v yM yw i5 n o 1107 4 4v Iab 4 v 220 2207 110 307 H 0 4407 4 Capacitância das linhas Desprezar as capacitâncias de todas as linhas Pedimos 1 0 diagrama de impedâncias para as três seqüências admitindo que a barra 4 esteja sem carga 2 O diagrama de impedâncias para as três seqüências incluindo a capacidade das linhas 3 As componentes simétricas das tensões e das correntes de linha na barra 4 com a carga ligada 4 A tensão na barra 3 com a carga da barra 4 Ex 5428 Para a rede da Fig 542 conhecemos nas bases 345 kV e 100 MVA 1 As impedâncias das linhas EXERCÍCIOS 429 Linha Z pu pu 2r pu pu PQ 002 008j 003i 004 004 002 RQ 003 006j o0 1 004 004 002j PR 002 005j 0 005 005 003j QS 002 006j oo 003 003 002j Z Impedância própria da linha Zm Impedância mútua entre os fios da linha 2r Impedância própria do retomo 2 Impedância mútua entre o retomo e as fases Dados da impedâncias das linha Ex 5428 2 As tensões no gerador ligado ao barramentoP valem VG 1 0 1 a 2 a p u 3 A carga ligada ao barramento Q é trifásica equilibrada que absorve S 08 j06 pu com tensão 0 981 15 l a 2 a j pu Pedimos a As tensões nos barramentos P QeS b As correntes nas linhas e no gerador ligado ao barramento R c As potências complexas fornecidas pelos geradores Figura 542 Circuito para o Ex 5428 Ex 5429 No exercício precedente ligouse ao barramento S uma carga monofásica cuja impedância vale 0 51 30 pu entre a fase A e a terra Pedimos as tensões e correntes na rede 430 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Ex 5430 Repetir os exercícios Ex 5411 5412 51413 e 5414 para o caso de impedância nula Ex 5431 Repetir os Ex 5411 5412 51413 e 5414 para o caso de termos ligado entre o barramento 003 e as cargas desequilibradas um transformador de três enrolamentos que tem o primário e o secundário em estrela com centroestrela aterrado diretamente e o terciário em triângulo Os valores das tensões são 220 kV 110 kV 132 kV e o da potência é 50 MVA As impedâncias de curtocircuito valem zps 008 j pu zsl 016 j pu ztp 012 j pu nas bases correspondentes aos valores nominais No terciário do transformador está ligado um banco de capacitores que absorve 20 MVA quando alimentado por tensão de 132 kV Ex 5432 Para as duas redes apresentadas à Fig 543 pedimos determinar qual dos dois defeitos faseterra na barra 004 resultará em corrente maior Justificar por meio do diagrama seqüencial 7A 1 M Ex 5433 Para a rede da Fig 544 sabemos que 1 Linhas Linha Impedância própria pu Impedância mútua pu 12 06j 02j 2 3 04j 02i 2 Na barra 001 há um gerador ideal de tensão cuja fem vale 10 pu 3 Na barra 003 há uma carga trifasica ligada em triângulo equilibrada cuja impedância por fase vale 24 pu Pedimos 1 Os diagramas de impedâncias para as três seqüências 2 As tensões e as correntes na rede 3 Os diagramas de seqüências as tensões e as correntes quando ligamos entre as fases B e C da barra 2 duas impedâncias de 08 pu para a terra EXERCÍCIOS 431 s ooz A l Figura 544 Diagrama onifilar para o Ex 5433 546 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PELOS PROGRAMAS 1 APRESENTAÇÃO Para a resolução de exercícios de componentes simétricas dispomos dos programas EXCSIM o qual se destina à verificação das respostas digitadas pelo usuário para um dado problema e o programa CSIMET que se destina a realizar transformação de seqüências e de matrizes de impedância entre os vários tipos de componentes Este último programa será detalhado em item específico O programa EXCSIM conta com recursos para a leitura de dados através de arquivo formatado tipo ASCII ou para gerálos aleatoriamente Neste último caso permite que os dados gerados sejam armazenados no arquivo Ao ser acionado através do menu principal comando CCOMPSIMCOMPSlM ou diretamente através do comando CCOMPSIMEXCSIM apresenta menu principal do programa onde destacamos as opções que serão objeto de detalhamento nos itens subseqüentes TENSÕES que se destina à execução de exercícios pertinentes à conversão de tensões entre componentes de fase e simétricas CORRENT que se destina à execução de exercícios pertinentes à conversão de correntes entre componentes de fase e simétricas TRAFOS que se destina à resolução de exercícios envolvendo transformadores POTÊNCIA que se destina à resolução de exercícios pertinentes ao cálculo da potência 432 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 2 Opção TENSÕES Nesta opção fornecemos uma seqüência de tensões em componentes de fase ou simétricas tensões de fase ou de linha cabendo ao usuário calcular e digitar os valores correspondentes às demais seqüências que o programa consistirá com os valores calculados emitindo mensagem de erro em correspondência àqueles valores que foram digitados errados Assim o programa conta com quatro alternativas referentes ao dado a ser fornecido isto é podemos fornecer na ordem das alternativas a seqüência das tensões de fase ou de linha em termos de componentes de fase ou de componentes simétricas O arquivo de dados é identificado por um nome arbitrário fornecido pelo usuário contando obrigatoriamente com extensão S ll S12 S13 ou S14 conforme a seqüência fornecida corresponda às tensões de fase em componentes de fase às tensões de linha em componentes de fase às tensões de fase em componentes simétricas ou às tensões de linha em componentes simétricas respectivamente O arquivo conta com um único registro no qual fornecemos os valores das tensões na forma polar sendo o módulo dado em V e a fase em graus À Tab 512 apresentamos os campos correspondentes às variáveis armazenadas no arquivo Ex 5435 No arquivo VFASE002S11 estão gravados os dados 2993000 103700 2452700 14300 2840000 125900 Pedimos interpretar os dados e calcular as demais grandezas SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados 2 Variável Campo de definição Formato Observações 1 VAR1 01 a 11 F113 Módulo tensão V VAR2 12 a 22 F113 Fase da tensãograus 1 VAR3 23 a 33 F113 Módulo tensão V j VAR4 34 a 44 F113 Fase da tensãograus J VAR5 45 a 55 F113 Módulo tensão V 1 VAR6 56 a 66 F113 Fase da tensãograus Tabela 512 Estrutura dos arquivos SI 1 S12 SI3 S14 Estamos fornecendo a seqüência das tensões de fase em componentes de fase pois a extensão do arquivo é SI 1 e as tensões em V valem VF 29930110370 2452 7 14 30 2840 0 125 90J 2 Determinação das tensões de linha em componentes de fase Temos em V EXERCÍCIOS 433 r Vv AN VY BN 299301037o 24527143 467616313129 KBC Pr BN y CN 24527143 28401259 43828992275 CA r AN J 28401259 2993011037 529545510040 3 Determinação da seqüência das tensões de fase em componentes simétricas Temos em V o K r T 1 i i 1 fS e h 8 2993 0 103 7 2452 7 143 0 989 30 69 316 756 64 90 1 3 1 a 2 a L J 28400 100 4 27530821 107 85 4 Determinação da seqüência das tensões de linha em componentes simétricas Lembrando a relação entre valores de fase e de linha em componentes simétricas K l 0 Kl Kf V3L22Í e K l K f U 3 T Resulta imediatamente em V 0il 0 1 o o 1 Kf 0 K l 0 i V3130 0 K f 54863713490 Kl 0 0 j3 30 K f 4768 478 137 85 Ex 5436 No arquivo VLINH002S12 estão gravados os dados 2218358 18370 1796845 140128 1988415 111423 Pedimos interpretar os dados e calcular as demais grandezas SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados Estamos fornecendo a seqüência das tensões de linha em componentes de fase pois a extensão do arquivo é S12 e as tensões em V valem VL 2218 358118370 1796 845 140 128 1988 415 111423 2 Tensões de fase em componentes de fase Neste caso sem o fornecimento de algum dado adicional o problema é indeterminado pois a soma das tensões de linha é obrigatoriamente nula isto é VAB fL VCÁ V ONo caso geral poderemos impor que V ou r q u e Pjj Kn K n Kn K b i ti V rBN Ka K n Kn K n Kb VCN 3 Eof resultando 3 Kf 2Vm Vr 3É0F k 3 434 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA V V V 80 AB 4 V VBN VOF V V 9 CA 8 0 4 C VCN 3 O F Fixamos no programa o dado adicional que a componente simétrica de seqüência zero é nula V0F 0 Assim temos K c a 127022014200 ym j y K yM 1171 2171 172 60 K f c O 10243581 77 74f 3 Componentes simétricas das tensões de fase Através da matriz de transformação V012 T 1 VABC determinamos Pojr 0 C1F 11509481 4566 e V2f 141 979 10 93 4 Componentes simétricas das tensões de linha Através da matriz de transformação determinamos K l 0 199350111566 e 245 916 4093 Destacamos que alcançaríamos o mesmo resultado utilizando as relações entre as componentes simétricas de fase e linha das tensões Ex 5437 No arquivo V012F002S13 estão gravados os dados 7608073 80900 4554811 39810 5732682 102460 Pedimos interpretar os dados e calcular as demais grandezas SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados Estamos fornecendo a seqüência das tensões de fase em componentes simétricas pois a extensão do arquivo é SI3 e as tensões em V valem v oi2F 76800731 80900 4554811 39810 5732682 102460o1 2 3 2 Componentes simétricas das tensões de linha Temos em V K l 0 Ki Kf V3L30 7889 16419810 K l K f J3 30 99292971 132 460 3 Tensões de fase e linha em componentes de fase A partir da matriz de transformação obtemos EXERCÍCIOS 435 â fcx tx 1 1 1 1 1 a 2 a o r 16396 529 77 80 7736 5511 71 97 cJ L1 a a 2 A f L 2403 701159 40 r 1 1 1 K 8735 371 82 96 Vbc 1 a2 a 9426 177 60 48 e 1 1 a a2 p kN l 17813 7591108 71 Ex 5438 No arquivo VO 121002S14 estão gravados os dados 0000 000 7889164 9810 9929297 132460 Pedimos interpretar os dados e calcular as demais grandezas SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados Estamos fornecendo a seqüência das tensões de linha em componentes simétricas pois a extensão do arquivo é S14 e as tensões em V valem VM2L 0 0 10000 788916419810 9929297 132460 2 Tensões de fase em componentes simétricas Neste caso também a componente de seqüência zero das tensões de fase está indeterminada Levantamos a indeterminação definidoa como nula Assim teremos em V K 0 J XL 4554 81113981 5732682110246 0 J J j 30o I 1 2F J 3 30 1 2 3 Tensões de fase e linha em componentes de fase Temos em V V VBN VCN 880921617512 1201 3441 744 9043 469 112 45 VM Vm VCÀ 873537218296 94261771 6048 178137591 108 71 3 Opção CORRENT Nesta opção fornecemos uma seqüência de correntes em componentes de fase ou simétricas correntes de fase ou de linha cabendo ao usuário calcular e digitar os valores correspondentes às demais seqüências que o programa consistirá com os valores calculados emitindo mensagem de erro em correspondência àqueles valores que foram digitados errados Assim o programa conta com quatro alternativas referentes ao dado a ser fornecido isto é podemos fornecer na ordem das alternativas a seqüência das correntes de fase ou de linha em termos de componentes de fase chi de componentes simétricas O arquivo de dados é identificado por um nome arbitrário fornecido pelo usuário contando obrigatoriamente com extensão 821 S22 S23 ou S24 confome a seqüência fornecida corresponda às correntes de fase em componentes de fase às correntes de linha em componentes de fase às correntes de fase em componentes simétricas ou às correntes de linha em componentes simétricas respectivamente O arquivo conta com um 436 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA único registro no qual fornecemos os valores das correntes na forma polar sendo o módulo dado em A e a fase em graus À Tab 513 apresentamos os campos e formatos correspondentes às variáveis armazenadas no arquivo Ex 5439 No arquivo CFASE002S21 estão gravados os dados 193000 103700 252000 14300 182000 125000 Pedimos interpretar os dados e calcular as demais grandezas Variável Campo de definição Formato Observações VAR1 01 a 11 F113 Módulo corren A VAR2 12 a 22 F113 Fase da correngraus VAR3 23 a 33 F113 Módulo corren A VAR4 34 a 44 F113 Fase da correngraus VAR5 45 a 55 F113 Módulo corren A VAR6 56 a 66 F113 Fase da correngraus Taljela 513 Estrutura arquivos S21 S22 S23 S24 SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados Estamos fornecendo a seqüência das correntes de fase em componentes de fase pois a extensão do arquivo é S21 e as correntes em A valem IF 1930110370 2520jl430 182 0 12500 2 Determinação das correntes de linha em componentes de fase Temos em A L 4 193001037 182001250 3416711801 BC L 25200143 193001037 38264814074 4 lçA BC 182001250 252001430 3592371660I 3 Determinação da seqüência das correntes de fase em componentes simétricas Temos em A QF 1 3 r l 1 1 1 193 01 103 7 3235311421 ÍF 2F T a a1 252014 3 1820j 1250 13 777 167 84 208 301 107 78 4 Determinação da seqüência das correntes de linha em componentes simétricas Lembrando a relação entre valores das correntes de fase e de linha em componentes simétricas 1l 0 h i K f e 12L 12 V3L30 Resulta imediatamente em A EXERCÍCIOS 437 4 0 0 I 0 C l 0 At 0 IV3I300 0 A 23 862137 84 UtJ 0 0 i 30 J 1 2 360 787 77 78 Ex 5440 No arquivo CLINH002S22 estão gravados os dados 8832343 128310 5695331 8802 7803459 91123 Pedimos interpretar os dados e calcular as demais grandezas SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados Estamos fornecendo a seqüência das correntes de linha em componentes de fase pois a extensão do arquivo é S22 e as correntes em A valem IL 88323431128310 S69S 3311 8 802 7803 459 91123 2 Correntes de fase em componentes de fase Neste caso som o fornecimento de algum dado adicional o problema é indeterminado pois a soma das correntes de linha é obrigatoriamente nula isto é IÀ IB c 0 Como no exercido precedente teme Íáb íac Íqá 3o f Í á í AS 1CA t 3 2 l B l BC 1AB 3 I 0 F Í CA í i AB iogo ías a ía Íq f íBC í8 C3 Iq f Ícá íc Ía ÍqF fixamos IQF 0 resultando em A Im 8832343112831 569533118 803 4216 370115138 4 5695 3311880 7803 459j 91123 3474 5301 56 31 4 7803 4599112 88323431128 31 3 5221 4501 7014 3 Componentes simétricas das correntes de fase Através da matriz de transformação I0UF T1 Ia bo determinamos em A 4 4 1045 8691 6742 e 12F 4236042116559 4 Componentes simétricas das correntes de linha Através da matriz de transformação determinamos em A lÜL 0 ÍXL 181149919742 e I2L 73370401135 59 Destacamos que alcançaríamos o mesmo resultado utilizando as relações entre as componentes simétricas de fase e linha das correntes 438 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Ex 5441 No arquivo C012F002S23 estão gravados os dados 108073 80900 254811 39810 152682 72460 Pedimos interpretar os dados e calcular as danais grandezas SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados Estamos fornecendo a seqüência das correntes dc fase em componentes simétricas pois a extensão do arquivo é S13 e as correntes em A valem W 108 07318090 25481113981 152 682 72460 2 Componentes simétricas das correntes de linha Temos em A o Ao JildiOZ 441 3461 9 810 l2L tlf JÍ1301 2644531102460 3 Correntes de fase e Unha em componentes de fase A partir da matriz de transformação obtemos cm A 1 1 1 r 0 F 1 3 2 8 3 4 4 3 7 9 7 BC ss 1 a2 a Ar 5 400 655 1 0 2 77 JcA 1 a a2 LAfJ 1772 7 6 1 1 3 2 1 6 V 111 00 1 II 1 a2 a Ao t t 1 a a2 Ao 50391341427 687 065 12037 2611089669 Ex 5442 No arquivo C012L002S24 estão gravados os dados 0000 000 4495595 56920 561678 146920 Pedimos interpretar os dados e calcular as demais grandezas SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados listamos fornecendo a seqüência das correntes de linha em componentes simétricas pois a extensão do arquivo é S24 e as correntes em A valem W 0j0f 4495 595156920 561 6781146 920 2 Correntes dc fase em componentes simétricas Neste caso também a componente de seqüência zero das correntes de fase está indeterminada Levantamos a indeterminação definidoa como nula Assim teremos em A 0 fM 259553312692 3 2 4 28517692 ir J 31 3Q o J3 1 30 3 Correntes de fase e linha em componentes de fase Temos em A EXERCÍCIOS 439 Í a b Í b c Í c a 2320366 3093 2615713113980 288093818985 1Á 1B c 4530 5471 6404 40189921 17291 4989932 6631 4 Opção TRAFO 41 INTRODUÇÃO Nesta opção desenvolvemos exercícios pertinentes a transformadores trifasicos de dois enrolamentos alimentando cargas desequilibradas Assim o usuário fixa dentre as quatro possibilidades de esquemas de ligações do primário e secundário do transformador apresentadas na reprodução do menu de transformadores Tab 514 a que deseja e a seguir fixa o tipo de carga a ser inserido no secundário do transformador Detalharemos em item específico as peculiaridades dos esquemas de ligações e das cargas Como nos casos anteriores os dados podem ser lidos de arquivo formatado tipo ASCII ou gerados aleatoriamente pelo programa e nesta última hipótese podem ser gravados no arquivo O nome do arquivo é fornecido arbitrariamente pelo usuário porém com extensões correspondendo obrigatoriamente a S31 S32 S33 S34 na ordem das opções de esquema de ligação O arquivo contará com até quatro registros o primeiro comum a todos os casos possíveis contando com os dados pertinentes ao tipo de carga aos valores nominais do transformador e à tensão aplicada ao primário do transformador Quando escolhemos o caso geral de carga definida por sua matriz de impedâncias forneceremos outros três 2 3 e 4 correspondendo cada registro a uma linha da matriz de impedâncias da carga No casos em que a carga é definida por uma ou duas impedâncias gravamos seus dados em somente um registro 2 registro I Exercidos de Representação de Transformadores em Componentes Simétricas F1 Trafo ligado trianguloestrela aterrada F2 Trafo ligado trianguloestrela isolada F3 Trafo ligado em estrela aterradatriangulo F4 Trafo ligado em estrela isoladatriangulo ESC Retorna ao menu principal Tabela 514Menu principal de transformadores Apresentamos na Tab 515 a estrutura dos dados armazenados no arquivo os quais por suas particularidade serão detalhados nos itens a seguir Salientamos que fornecemos a impedância da carga em Q a potência nominal do transformador SNOM em MVA as tensões nominais do primário VNOMO e do secundário VNOM9 em kV as impedâncias equivalentes de seqüência zero e direta em pu referidas aos valores nominais do transformador e a tensão aplicada ao primário do transformador VPRI em kV Salientamos que os terminais do transformador estão marcados de modo tal a que apresentem rotação de fase entre as tensões primárias e secundárias de 30 O transformador é alimentado por tensão trifásica simétrica com seqüência de fase direta 440 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Variável Campo de definição Formato j Observações 1 Registro IELIDO 02 a 03 12 Variável de controle SNOM 04 a 10 F72 Potnominal trafo MVA VNOMO 11 a 17 F72 Tensão nom primário kV VNOM9 18 a 24 F72 Tensão nom secundário kV REQPU0 25 a 31 F74 Resistequivalenteseqüen 0 pu XEQPU0 32 a 38 F74 Reatânequivalenteseqüen 0 pu REQPU1 39 a 45 F74 Resistequivalenteseqüen 1 pu XEQPU1 46 a 52 F74 Reatânequivalenteseqüen 1 pu I VPRI 53 a 59 F72 Tensão primária kV ZMACAR 2 Registro até 3 registros Impedância da carga a ser definida em cada caso Tabela 515 Estrutura dados arquivo de transformadores 42 TRANSFORMADOR NA LIGAÇÃO TRIÂNGULOESTRELA ATERRADA Neste caso a variável IELIDO assumirá valores variáveis de 1 a 4 conforme o tipo de carga desejado Assim teremos IELIDO 1 carga monofásica ligada entre a fase A do secundário e terra No 2o registro armazenamos em Q a resistência campo 01 a 08 F82 e a reatância campo 09 a 16 F82 da carga IELIDO 2carga monofásica entre as fases B e C do secundário No 2o registro armazenamos em Q a resistência campo 01 a 08 F82 e a reatância campo 09 a 16 F82 da carga IELIDO 3cargas monofásicas 2 m 2 Z ligadas entre as fases B e C e ponto N1 e 2nn ligada entre o ponto N1 e terra No 2 o registro armazenamos em Q a resistência campo 01 a 08 F82 e a reatância campo 09 a 16 F82 da impedância Z e a resistência campo 17 a 24 F82 e a reatância campo 25 a 32 F82 da impedância ZNy IELIDO 4carga definida por sua matriz de impedâncias Nos 2o 3o e 4o registros armazenamos os elementos das três linhas da matriz em O nos campos 01 a 08 09 a 16 17 a 24 25 a 32 33 a 40 41 a 48 6F82 Ex 5443 No arquivo DYFTC002S31 estão gravados os dados 1 80 23000 3450 00439 00455 00438 00442 24064 40488 65926 Pedimos interpretar os dados e resolver a rede EXERCÍCIOS 441 SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados Observamos que fornecemos um transformador com os enrolamentos primário e secundário na ligação triânguloestrela aterrada pois a extensão do arquivo é S31 Do primeiro registro observamos que o transformador cujos dados nominais são 080 MVA 2300345 kV Zo 0 0439 0 0455j pu e Z 2 00438 00442j pu está sendo alimentado no primário por tensão de 24064 kV Sendo DELIDO 1 teremos no secundário carga ligada entre a fase A e a tora cuja impedância 2o Reg vale 40488 65926j O 2 Metodologia de cálculo Adotaremos cano valores de base os nominais do transformado e calcularemos a tensão de alimentação e a impedância da carga em pu Salientamos que o valo fornecido para a tensão de suprimento é o da tensão primária logo a tensão de fase no primário quando representada em pu terá módulo igual ao de linha porém estará atrasada de 30 nestas condições para que resulte tensão de fase com ângulo de rotação de fase nulo fixaremos a tensão de linha no primário com fase inicial nula nessas condições teremos após o variador de fase tensão de linha com fase 30 de onde obtemos tensão de fase com rotação de fase nula A seguir determinamos para as três seqüencias os diagramas de impedâncias e os associamos em série Fig 545 e equacionamos a rede  l zl il A l Figura 545 Diagramas de seqüência para Ex 5443 Assimtemos è No primário do transformador teremos 442 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA hP o p u 1Ui 30 e 2p í2 1130f e através da matriz de transformação obtemos as tensões e correntes na rede em termos de A e V 3 Cálculo das componentes simétricas e de fase das correntes secundárias Para as componentes simétricas temos I 40488 659267 08 0 2721 0 4431j 0 525844 pu 34 52 Iíot 200438 0 04427 00439 00455y 302721 044317 09479 146327 1 7434j 57 06 pu 4 2400641 30 èiL 1 10462L30Z p u e 230 h U if U0462L0Z p u 1 0462 0 1 7434 57 06 0 60011 57 06 pu Para as componentes de fase das correntes de fase e linha em pu temos Ian 06001 57 06 180031 5706 lhw T 0600115706 0 JcN 0 600115706 0 e em lcA tonos r1 0800 1 800315706 002415706 h c SN JcN 0 0 0 0 3 34 5 kA 4 Cálculo das componentes simétricas e de fase das tensões secundárias Para as componentes simétricas das tensões de fase temos i0 Z0i0 0037911104 0 0379 168 96 pu v è Zj 10097 000767 1 00971 0 43 pu 2 2 j 2 0 03731 11 80 0 03731168 20 pu donde para as componentes simétricas das tensões de linha temos mas sendo ab AN Vbx V 0 0 BC BN CN T a 2i T J 3 30 CA CN 2 av2 Jl 30 A B 0 B C T c a J 2 L resulta imediatamente EXERCÍCIOS 443 1 ob i 0 0 1 Q1 V J3 30 1748913043 2 L V J 3 1 30 0 06461138 20 pu Para as componentes de fase das tensões de fase em pu temos r n f i r r V 1 1 1 B N 1 a 2 a Xcff 1 a a 2 0 0379Í168 96 1 0097j 0 43 0 93621 1 38 1 0469 12002 1 0463 120 04 e em kV temos 345 s 093621138 186478138 trr m 104691 120 02 20 8528 12002 1 1 04631120 04 20 8408 120 04 Finalmente para as componentes de fase das tensões de linha no secundário temos em kV r v i W1 f 1864781138 20 8528 12002 344647 3247 i bV i 1 1 u5 1 K 20 85281 120 02 2084081 12004 208408 120 04 1864781138 36 0906 90 33 9833 148 82 Salientamos que poderiamos calcular as componentes de fase das tensões de linha no secundário a partir das componentes simétricas das tensões de linha isto é ÁB 34 5 j T 0 0 3446471 32 4 7 KBC 1748930 43 36 09061 90 i c j 0 06461138 20 339833114882 5 Cálculo das correntes primárias No primário lembrando que a seqüência de fase é direta as correntes e tensões de linha sofrerão rotação de fase de 30 para a seqüência direta e de 30 para a inversa Assim temos 4 0 KP i 11 30 hP h H 30 isto é em pu 4 hP 0 600118706 i2p 0 6001127 06 As correntes primárias de linha em componentes de fase em pu são dadas por L joP 0 10394 5706 T L T 060011 8706 10394112294 J c r t i 0 6001 27 06 0 e em kA temes t A 0 800 10394157 06n 00021 5706 1 1 i 1 03941122 94 0 0 0021 122 94 0 V3 230 Ex 5444 No arquivo DYFFC002S31 estão gravados os dados 444 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 2 200 022 044 00507 00729 00489 00709 021 1000 500 Pedimos interpretar os dados è resolver a rede SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados Observamos que fornecemos um transformador com os enrolamentos primário e secundário na ligação triânguloestrela aterrada pois a extensão do arquivo é S31 Do primeiro registro observamos que o transformador cujos dados nominais são 200 MVA 022044 kV 2 eqo 00507 0 0729j pu e zeq Ieg2 00489 0 0709j pu está sendo alimentado no primário por tensão de 021 kV Sendo IELIDO 2 teremos no secundário carga ligada entre as fases B e C cuja impedância 2o Reg vale 100 500j Q 2 Metodologia de cálculo Adotaremos como valores de base os nominais do transformador e calcularemos a tensão de alimentação e a impedância da carga em pu Salientamos que o valor fornecido para a tensão de suprimento é o da tensão primária logo a tensão de fase no primário quando representada em pu terá módulo igual ao de linha porém estará atrasada de 30 nestas condições para que resulte tensão de fase com ângulo de rotação de fase nulo fixaremos a tensão de linha no primário com fase inicial nula nessas condições teremos após o variador de fase tensão de linha com fase 30 de onde obtemos tensão de fase com rotação de fase nula A seguir determinamos os diagramas de impedância para as seqüencias direta e inversa e os ligaremos em paralelo com a inclusão da impedância da carga Fig 546 e equacionamos a rede 2 Metodologia Equacionamos a rede como a seguir è è zj z2 z2 z2 z z2 I Zj i2 v2 EXERCÍCIOS 445 3 Correntes e tensões no secundário em termos de componentes simétricas e de fase Os valores pu da tensão de seqüência direta e da impedância da carga são 2 1000 5 0 0 2 V 1033058 516529 115 4 9 9 41 26 56 pu 0 4402 1 0 2101 3 0 é2 0 pu èu 2 0 954530 pu éJF è 0 95450 pu As componentes simétricas das correntes são dadas por 2 tot 22 2 1034036 517447 115 6503 2660 pu li 0 9 5 4 5 1 0 0 0 0 8 2 1 2 6 6 0 pu 11565031 2660 e as componentes simétricas das tensões de fase são dadas por Vj 0 954510 0 0861 5541 0 00821 26 60 0 9539 0 02 pu v2 0 0861 55 41 0 0082 2660 0 00071 2881 pu As correntes de fase em termos de componentes de fase em pu são dadas por r í A 0 0 h T 0 0082 2620 00142111620 Jc 0 00821153 80 00142 6380 e em kA temos 71 r o r o i h 2000 0 0 1 4 2 1 1 6 2 0 0 0 3 7 5 1 1 6 2 0 V3 0 440 U J 0 0 1 4 2 1 6 3 80 0 03751 63 80 As tensões de fase em componentes de fase são dadas em pu por 0 0 9 5 4 5 1 0 0 BN T 0 95391 0 0 2 0 95391 1 2 0 0 6 cn 0 0 0 0 7 2 8 8 1 0 9 5 3 4 1 1 2 0 0 0 e em kV v M 0 440 V3 0 95451 0 0 0 24251 0 0 b n 0 95391 1 2 0 0 6 0 24231 1 2 0 06 1 0 0 9 5 3 4 1 1 2 0 0 0 0 2 4 2 2 1 1 2 0 0 0 Finalmente as componentes de fase das tensões de linha no secundário são dadas por v 1 rAB 1 i i 0 242510 0 024231 120 06 K r V w CN 0 2423 120 06 0 24221120 00 1 I i V w 0 2422120 00 0 24250 0 0 4 2 0 2 9 9 6 0 4 1 9 9 0 0 4 0 4 2 0 1150 0 2 Destacamos que poderiamos ter calculado as tensões de linha no secundário em termos de componentes de fase a partir das componentes simétricas isto é VCA 446 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA r i r o r 0 4201 2996 2 í i l H li D S 30 v J í 30 0 419í 90 04 0 420150 02 Por outro lado devemos ter VBC 21B isto é 11180j 26 56 0 0375 116 20 0 4191 89 63 kV 4 Correntes no primário em termos de componentes simétricas e de fase No primário temos i0L 0 pu i1L 1 3 0 0 00821 5 6 60 pu Í2L l2 130 0 00821176 20 pu Para as correntes de linha em termos de componentes de fase em kA temos i A 2000 T r o 0043111620 h 0008215660 0 043 11620 S o 220 w 0 0082 176 20 00866380 Ex 5445 No arquivo DYFFT002S31 estão gravados os dados 3 100 23000 3450 00270 00586 00264 00581 21981 23466 8607 56939 12629 Pedimos interpretar os dados e resolver a rede SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados Observamos que fornecemos um transformador com os enrolamentos primário e secundário na ligação triânguloestrela aterrada pois a extensão do arquivo é S31 Do primeiro registro observamos que o transformador cujos dados nominais são 100 MVA 230345 kV Zeqo 00270 00586j pu e Zeql Zeq2 00264 00581J pu está sendo alimentado no primário por tensão de 21981 kV Sendo IELIDO 3 teremos no secundário carga ligada entre as fases B e C e o nó N cuja impedância 2o Reg vale 23466 8607j Q c carga entre o nó N e terra cuja impedância vale 56939 12629j Í1 2 2 Metodologia de cálculo Adotaremos como valores de base os nominais do transformador e calcularemos a tensão de alimentação e a impedância da carga em pu Salientamos que o valor fornecido para a tensão de suprimento é o da tensão primária logo a tensão de fase no primário quando representada em pu terá módulo igual ao de linha porém estará atrasada de 30 nestas condições para que resulte tensão de fase com ângulo de rotação de fase nulo fixaremos a tensão de linha no primário com fase inicial nula nessas condições teremos após o variador de fase tensão de linha com fase 30 de onde obtemos tensão de fase com rotação de fase nula A seguir determinamos os diagramas de impedância para as seqüencias direta inversa e zero c os ligaremos em paralelo com a inclusão da impedância da carga Fig 547 e equacionamos a rede EXERCÍCIOS 447 2 Cálculo das componentes simétricas das tensões e correntes de fase em pu Calculamos os valores em pu da impedância da carga Zc e za1 e da tensão primária isto é 2e 23466 8 6 0 7 0210012014 m 3zat 356939 126 29 f T 47001 n 51 p u V 0 9557L30 pu iF ê è 0 95570Zpu L 23000 A seguir calculamos a corrente de seqüência direta através de 2 Zc zQ Zc 3zat q 484629 34 pi 2 2c 3a 0 9557L0f 19722129 34 pu 0484612934 Determinamos a partir da tensão aplicada a cada um dos ramos das seqüências as correntes de sequência inversa e zero isto é v è zy zc 0 4453 0 0081j 0 44541105 pu u Zo Z 1 7209 3131 1 72091148 69 pu 4 0 25911 1620 025911 16380 pu 20 2c 37o Determinamos as tensões de fase em termos de componentes simétricas v0 z 00 0 0167 49 06 pu Vj ê Zjj 0 85741 4 98 pu 010981 34 26 pu 448 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA Finalmente com procedimento igual ao dos exercícios precedentes determinamos as tensões e correntes em termos de componentes de fase no secundário e primário do transformador Deixamos ao leitor desenvolver os cálculos que poderão ser seguidos pelos resultados do programa Ex 5446 No arquivo DYMAT001S31 estão gravados os dados 4 1000 13800 6900 00200 00600 00200 00600 14000 0400 0600 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0400 0600 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0400 0600 Pedimos interpretar os dados e resolver a rede SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados Observamos que fornecemos um transformador com os enrolamentos primário e secundário na ligação triânguloestrela aterrada pois a extensão do arquivo é S31 Do primeiro registro observamos que o transformador cujos dados nominais são 1000 MVA 138690 kV ltqo 00200 00600j pu e Zeql Zeq2 00200 006007 pu está sendo alimentado no primário por tensão de 14000 kV Sendo IELIDO 4 teremos no secundário carga representada por sua matriz de impedâncias dada por 040 0607 0 0 Z 0 0 40 060j 0 Q 0 0 0 40 0607 2 2 Metodologia de cálculo Adotaremos como valores de base os nominais do transformador e calcularemos a tensão de alimentação e a impedância da carga em pu Como nos casos anteriores salientamos que o valor fornecido para a tensão de suprimento é o da tensão primária logo a tensão de fase no primário quando representada em pu terá módulo igual ao de linha porém estará atrasada de 30 nestas condições para que resulte tensão de fase cora ângulo de rotação de fase nulo fixaremos a tensão de linha no primário com fase inicial nula nessas condições teremos após o variador de fase tensão de linha com fase 30 de onde obtemos tensão de fase com rotação de fase nula A seguir determinamos os diagramas de impedância para as seqüencias direta inversa e zero e os ligaremos em paralelo com a inclusão da impedância da carga Fig 548 e equacionamos a rede EXERCÍCIOS 449 Figura 548 Diagrama de impedâncias Ex 5446 Inicialmente calculamos a matriz de impedâncias em pu isto é Sb Z A B C c y Z A B C c r b sec a seguir transformamos a matriz de impedâncias em termos de componentes simétricas T zABce T Teremos para a rede o sistema de equações e para a carga 1o J t o 1 0 o 4 1 0 1 0 h V 2 0 0 z 2 h V oo 01 02 V 3 io n 12 V Z20 21 22 Combinando os sistemas de eq èQ r o o IN è 0 z 0 A 1 N O O i uações obtemos r Zn 20 21 22 0 0 zj 0 0 0 0 0 2 J oo 0 Z 10 20 01 Z 12 Zo Prémultiplicamos ambos os membros da equação precedente pela inversa da matriz de impedâncias e obtemos 4 00 0 o o 1 1 o 1 h 10 11 z 12 4 21 22 2 1 1 Uma vez determinadas as componentes simétricas das correntes no secundário do transformador determinamos todas as grandezas com procedimento idêntico ao dos exercícios precedentes 450 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 43 TRANSFORMADOR NA LIGAÇÃO TRIÂNGULOESTRELA ISOLADA Neste caso a variável IELIDO assumirá valores variáveis de 1 a 2 conforme o tipo de carga desejado Assim teremos IELIDO 1carga monofasica entre as fases B e C do secundário No 2o registro armazenamos em Í2 a resistência campo 01 a 08 F82 e a reatância campo 09 a 16 F82 da carga IELIDO 2carga definida por sua matriz de impedâncias Nos 2o 3o e 4o registros armazenamos os elementos das três linhas da matriz nos campos 01 a 08 09 a 16 17 a 24 25 a 32 33 a 40 41 a 48 6F82 Destacamos que os casos de carga com ligação à terra não apresentam interesse de vez que estando o circuito de seqüência zero aberto não haverá circulação de corrente Ex 5447 No arquivo DYIFF002S32 estão gravados os dados 1 1000 23000 3450 00439 00455 00438 00442 22115 56635 41145 Pedimos interpretar os dados e resolver a rede SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados Os dados referemse a um transformador com os enrolamentos primário e secundário respectivamente em triângulo e estrela isolada pois a extensão do arquivo é S32 O transformador cujos valores nominais são 10 MVA 230345 kV Zeqo 00439 00455 pu e Zeql zeql 00438 00442 pu está sendo alimentado por tensão de linha primária de 22115 kV e supre no secundário carga ligada entre as fases B e C com impedância Z 566 35 411 4 5 12 Deixamos a resolução que é idêntica à do Ex 5444 ao leitor que poderá verificar os resultados alcançados com os apresentados pelo programa 44 TRANSFORMADOR NA LIGAÇÃO ESTRELA ATERRADATRIÀNGULO Neste caso a variável IELIDO assumirá valores variáveis de 1 a 2 conforme o tipo de carga desejado Assim teremos IELIDO 1carga monofásica entre as fases B e C do secundário No 2o registro armazenamos em Q a resistência campo 01 a 08 F82 e a reatância campo 09 a 16 F82 da carga IELIDO 2carga definida por sua matriz de impedâncias Nos 2o 3o e 4o registros armazenamos os elementos das três linhas da matriz nos campos 01 a 08 09 a 16 17 a 24 25 a 32 33 a 40 41 a 48 6F82 Destacamos que os casos de carga com ligação à terra não apresentam interesse de vez que estando o circuito de seqüência zero aberto no secundário não haverá circulação de corrente Ex 5448 No arquivo YADFF002S33 estão gravados os dados 1 1000 23000 3450 00439 00455 00438 00442 22115 EXERCÍCIOS 451 56635 41145 Pedimos interpretar os dados e resolver a rede SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados Os dados referemse a um transformador com os enrolamentos primário e secundário respectivamente em estrela aterrada e triângulo pois a extensão do arquivo é S33 O transformador cujos valores nominais são 10 MVA 230345 kV Z 0 00439 00455y pu e l eqX Ztq2 00438 00442 pu está sendo alimentado por tensão de linha primária de 22115 kV e supre no secundário carga ligada entre as fases B e C com impedância Z 566 35 411 45j Q Deixamos a resolução que é análoga à do Ex 5444 ao leitor que poderá verificar os resultados alcançados com os apresentados pelo programa 45 TRANSFORMADOR NA LIGAÇÃO ESTRELA ISOLADATRIÂNGULO Neste caso a variável IELIDO assumirá valores variáveis de 1 a 2 conforme o tipo de carga desejado Assim teremos IELIDO 1carga monofásica entre as fases B e C do secundário No 2o registro armazenamos em Q a resistência campo 01 a 08 F82 e a reatância campo 09 a 16 F82 da carga IELIDO 2carga definida por sua matriz de impedâncias Nos 2o 3o e 4o registros armazenamos os elementos das três linhas da matriz nos campos 01 a 08 09 a 16 17 a 24 25 a 32 33 a 4041 a 48 6F82 Destacamos que os casos de carga com ligação à terra não apresentam interesse de vez que estando o circuito de seqüência zero aberto no primário e no secundário não haverá circulação de corrente Ex 5449 No arquivo YIDFF002S34 estão gravados os dados 1 1000 23000 3450 00439 00455 00438 00442 22115 56635 41145 Pedimos interpretar os dados e resolver a rede SOLUÇÃO 1 interpretação dos dados Os dados referemse a um transformador com os enrolamentos primário e secundário respectivamente em estrela isolada e triângulo pois a extensão do arquivo é S34 O transformador cujos valores nominais são 10 MVA 230345 kV Zeq0 0 0439 0 0455j pu e zeq Zeq2 00438 00442j pu está sendo alimentado por tensão de linha primária de 21115 kV e supre no secundário carga ligada entre as fases B e C com impedância Z 566 35 411 45 Q Deixamos a resolução que é análoga à do Ex 5444 ao leitor que poderá verificar os resultados alcançados com os apresentados pelo programa 452 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 5 Opção POTEN Nesta opção fornecemos as componentes simétricas de fase ou de linha das tensões e correntes numa carga ligada em triângulo ou em estrela isolada ou em estreia aterrada e solicitamos ao usuário que calcule e digite as potências ativa reativa e aparente absorvidas pela carga em cada uma das seqüências e a total cabendo ao programa consistir os valores digitados com os que calculou e apresentar mensagens de erro quando houver Como nos casos anteriores os dados podem ser lidos de arquivo formatado tipo ASCII ou gerados aleatoriamente pelo programa Nesta última hipótese os dados podem ser gravados no arquivo O arquivo que conta com três registros recebe um nome qualquer fornecido pelo usuário porém sua extensão é obrigatoriamente S41 No primeiro registro fornecemos um código de arquivo IELIDO obrigatoriamente igual a 41 e o código do esquema de ligação da carga IESQUE que assume os valores 1 carga em triângulo 2 carga em estrela isolada e 3 carga em estrela aterrada No segundo registro fornecemos as componentes simétricas da tensão de fase ou de linha na forma cartesiana em kV Finalmente no terceiro registro fornecemos as componentes simétricas das correntes de fase ou de linha na forma cartesiana em A À Tab 516 apresentamos a estrutura de dados do arquivo Variável Campo de definição Formato Observações 1 Registro IELIDO 01 a 03 13 Chave do prog 41 IESQUE 04 a 06 13 1A 2Y isolado 3Y aterrado 2o Registro V0REAL 01a 08 F82 Parte real de V0 kV V0IMAG 09 a 16 F82 Parte imaginária de V0 kV VI REAL 17 a 24 F82 Parte real de VI kV V1IMAG 25 a 32 F82 Parte imaginária de V1 kV V2REAL 33 a 40 F82 Parte real de V2 kV V2IMAG 41 a 48 F82 Parte imaginária de V2 kV 3 o Registro CORE AL 01a 08 F82 Parte real de 10 A C0IMÃG 09 a 16 F82 Parte imaginária de 10 A Cl REAL 17 a 24 F82 Parte real de II A C1IMAG 25 a 32 F82 Parte imaginária de 11 A C2REAL 33 a 40 F82 Parte real de 12 A C2IMAG 41 a 48 F82 Parte imaginária de 12 A Tabela 516 Estrutura de dados arquivo S41 Ex 5450 No arquivo POTED001S41 estão gravados os dados 41 1 000 000 7260 21824 12269 9012 000 000 2039 35361 3762 13659 Pedimos interpretar os dados e proceder ao cálculo da potência em componentes simétricas e total EXERCÍCIOS 453 SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados Estamos manejando um arquivo para o cálculo da potência pois a extensão é S41 e a variável do arquivo é 41 Temos uma carga ligada em triângulo IESQUE 1 e as componentes simétricas das tensões de linha kV e das correntes de fase em A são dadas por VMa 00 00 72 60 21824j j 12269 901 2 I1It 0 0 0 0 20 39 353 61 j 3762 136 59 2 Potência em componentes simétricas Inicialmente vamos converter as componentes simétricas da tensão e da corrente para a foma polar isto é V0I2L 0 0 100 23017160 15223213630 I0I2F 0 0 100 3542019330 141 68 74 60 Lembrando que a potência em componentes simétricas é dada por S012 V012F I12F sendo na carga em triângulo a tensão de linha igual à de fase resulta Sou 0 0 0 0 230 7160 1522321 36 30 0 0100 354 209330 141 68j 7460 e ou ainda So 0001 r0 00L0ZMVA 0001 Vx 1 81 4651 21 70 75691 30122j MVA S2 0001 J 21 567j 3830 16925 13368j MVA ou seja lembrando que a potência total é dada pela soma das três componentes multiplicada por três temos íoí 3SQ S2 277 848 50 2627 282 357 10 25 MVA Ex 5452 No arquivo POTYA001S41 estão gravados os dados 41 3 142 046 146 164 106 070 1000 500 2601 49632 4598 44493 Pedimos interpretar os dados e proceder ao cálculo da potência em componentes simétricas e total SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados Estamos manejando um arquivo para o cálculo da potência pois a extensão é S4I e a variável do arquivo é 41 Temos uma carga ligada em estrela aterrada IESQUE 3 e as componentes simétricas das tensões de fase kV e das correntes de fase ou linha em A são dadas por 454 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA V2F 142 046y 146 164 106 0 7 0 I0UF 100 5 0 2601 49632 4598 444 93 2 Potência na componente de seqüência zero Temos V9F 1 42 0 46j 1 493j 17 95 kV 1QF 10 0 50 j 11 180126 56 A 0 0001 0F 0V 0012 0012 00174451 MVA 3 Potência de seqüência direta Temos V1F 146 1647 21961 48 32 kV íiF itL 2601 496327 497 001 93 00 A s 0001 vXF 0776 07677 109114468 mva 4 Potência de seqüência inversa Temos V2F 1 06 0 707 1 2703344 kVy I2F l2L 4598 444937 447 3001 8410 A S2 0001 V2F r2F 0360 0439y 0 5681 50 66 MVA 5 Potência total Temos 5 35 0 s S2 3444 10197 3592116500 MVA Ex 5451 No arquivo POTYI001S41 estão gravados os dados 41 2 2990 442 3215 2353 1770 1918 000 000 17332 36338 3762 3659 Pedimos interpretar os dados e proceder ao cálculo da potência em componentes simétricas e total SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados Estamos manejando um arquivo para 0 cálculo da potência pois a extensão é S41 e a variável do arquivo é 41 Temos uma carga ligada em estrela isolada IESQUE 2 e as componentes simétricas das tensões de fase kV e das correntes de fase ou linha em A são dadas por v 2990 4 42 132 15 23 53 117 70 1918 I12F 0 0 0 o 173 32 363 38 37 62 36 59 2 Potência na componente de seqüência zero A potência na seqüência zero é nula pois dispomos de carga em estrela isolada EXERCÍCIOS 455 3 Potência de seqüência direta Temos VlF 32 15 2353j 39841 36 20 kV Í f Í l 17332 36338j 402 598j 115 50 A 51 0001 2978 157617 16 040 7930 MVA 4 Potência de seqüência inversa Temos V2F 1770 19187 26 099 47 30 kVh t2F Í2L 3762 36 59y 5247914420 S2 0001 V2F iF 1368 00747 13701 3 0 9 MVA 5 Potência total Temos Slol 30 3j S2 13037 475047 49 261 7465 MVA Ex 5452 No arquivo POTYA001S41 estão gravados os dados 41 3 142 046 164 164 106 070 1000 500 2601 49632 4598 44493 Pedimos interpretar os dados e proceder ao cálculo da potência em componentes simétricas e total SOLUÇÃO 1 Interpretação dos dados Estamos manejando um arquivo para o cálculo da potência pois a extensão é S41 e a variável do arquivo é 41 Temos uma carga ligada em estrela aterrada IESQUE 3 e as componentes simétricas das tensões de fase kV e das correntes de fase ou linha em A são dadas por V012F 142 0 46 7 164 1647 106 070 7 W 10 0 5 O7 26 01 496327 45 98 444 937 2 Potência na componente de seqüência zero Temos V0F 142 0467 1493 17 95 kV 10F 100 5 0 7 11 1801 26 56 A S0 0 001 P0F r0F 0 012 0 0127 0 01714451 MVA 3 Potência de seqüência direta Temos 456 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA VXF 164 164 j 2 319j 45 00 kV 1F ílF 2601 49632y 497 0011 93 00 A S 0 001 ÉlF 0 771 0 857y 115314800 MVA 4 Potência de seqüência inversa Temos V2F 106 0 70j 1 270 33 44 kV 2F Í2L 4598 444 93 447300 84 1 0 S2 0 001 r2F r2F O 360 O 439j 0 5681 50 66 MVA 5 Potência total Temos 3S 0 5 S2 3430 1287j 3 664j 20 56 MVA 55 EXERCÍCIOS DE COMPONENTES DE CLARKE CAPÍTULO 4 551 APRESENTAÇÃO Neste item em que nos dedicaremos ao desenvolvimento de exercícios de aplicações de componentes de Clarke apresentamos como nos itens anteriores conjunto de exercícios propostos e exemplos de exercícios resolvidos através dos programas computacionais com detalhamento da metodologia utilizada Os exercícios propostos subdividemse em analíticos onde solicitamos a demonstração de relações tipo teste de múltipla escolha onde apresentamos cinco alternativas de respostas à questão enunciada exercícios típicos resolvidos e exercicíos propostos sem resolução Destacamos que o programa CLARKE que não será detalhado conta com as mesmas opções do EXCSIM diferenciandose deste no que diz respeito à extensão utilizada na identificação do arquivo que se inicia com a letra C ao invés que S 552 EXERCÍCIOS ANALÍTICOS Ex 551 Em que condições um circuito trifásico com impedâncias próprias e mútuas entre as fases pode ser representado por circuitos seqüenciais independentes Ex 552 Determinar a relação existente entre as componentes de Clarke no primário do transformador da Fig 549 e as referentes ao secundário quando assumimos na ordem correspondência entre os terminais primários de linha A B e C e os secundários de linha X Y e Z na hipótese dos terminais 1 2 e 3 corresponderem aos códigos XYZ YZX ZXY e YXZ assumindo a polaridade apresentada na figura e a inversa Comparar os resultados obtidos com a representação em componentes de fase EXERCÍCIOS 457 Núcleo Figura 549 Transformador YA para Ex 552 Ex 553 Repetir o Ex 552 considerando a alimentação pelo enrolamento ügado em triângulo Ex 554 Deduzir o circuito equivalente completo em termos de componentes de Clarke para um transformador de 3 enrolamentos no qual os enrolamentos primário e secundário estão ligados em estrela aterrada e o terciário em triângulo Representar também o ramo de magnetização Ex 555 Repetir o Ex 554 para os casos que o enrolamento em estrela esteja aterrado por impedância e isolado Ex 556 Para o transformador do Ex 554 pedimos determinar as relações entre as componentes de Clarke das tensões e correntes de linha nos três enrolamentos Assumir dentre as possíveis uma qualquer das relações de correspondência entre os terminais dos três enrolamentos Ex 557 Em que condições a rotação de fase entre as tensões e correntes em componentes de fase é igual às correspondentes em componentes de Clarke 553 EXERCÍCIOS DE MÚLTIPLA ESCOLHA Ex 558 Para as componentes de Clarke podemos afirmar 1 A componente de seqüência zero não tem o mesmo comportamento que a correspondente de componentes simétricas 2 A componente de seqüência a é sempre igual ao primeiro fasor da seqüência dada em componentes de fase 3 A componente de seqüência 3 é dada pelo primeiro fasor da seqüência dada em componentes de fase subtraído da componente de seqüência zero 458 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 4 A componente de seqüência P não influe no valor do primeiro fasor da sequência dos valores de fase 5 Nenhuma Ex 559 Para as componentes de Clarke podemos afirmar 1 A componente de seqüência a é obtida pela soma das componentes simétricas de seqüência direta e inversa 2 A componente de seqüência p é obtida pela diferença entre as componentes simétricas de seqüência direta e inversa 3 A matriz de transformação das componentes de fase para Clarke é ortogonal 4 A matriz de transformação de componentes simétricas para componentes de Clarke é real 5 Nenhuma Ex 5510 Para a representação de uma carga por componentes de Clarke podemos afirmar 1 A matriz de impedâncias da carga em componentes de Clarke é igual à em componentes simétricas 2 A matriz de impedâncias em termos de componentes de Clarke é sempre simétrica 3 A matriz de impedâncias é simétrica somente quando as mútuas entre fases forem iguais 4 Para que a matriz seja simétrica devemos multiplicar sua primeira coluna e a componente da corrente de seqüência zero por 2 5 Nenhuma 554 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Ex 5511 Determinar as componentes de Clarke para a tensão no secundário de um transformador com derivação central Fig 538 em que 2200K 1100f V e VBN 1101 180 V SOLUÇÃO Temos a seqüência de tensões Vm KM 220101 110L0Í 110U80Í V oV 1 ji L 1 l 1 1 1 2 1 1 220 j0 110 0 73333L0 1466671 0 IAJ V BN J 0 S J3 1101180 127 017j 0 Ex 5512 No Ex 5511 determinar as componentes simétricas a partir das componentes de Clarke SOLUÇÃO Temos EXERCÍCIOS 459 v K V 146667 127 017j 1 2 2 r V 146667 1270177 Y 2 2 2 Ex 5513 Um gerador trifásico Fig 550 simétrico equilibrado com tensão de Êise 220 V ligado em estrela aterTada através de impedância de 50 0j Q supre uma carga ligada em estrela aterrada diretamente cujas impedâncias de fase são ZA 10 Sj Í2 ZB 20 87 n e 2C 16 127 Q Pedimos determinar utilizando as componentes de Clarke as tensões e correntes na rede SOLUÇÃO 970114089 Vy 97 011140 89 V 1 Componentes de Clarke da tensão do gerador Fazemos E 220 j 0 V logo teremos Éq 00f V Èa 220 0f V Êp 2201 90 V 2 Equacionamento da rede fzÍJÁ 0 0 V Zu Ía 4 4 T 0 z 0 h 1 r 0 0 1 Jc i VAN A IA Za ou ainda 460 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA ak Za Z z z 4 60 5j I 50 07 50 Oj vm 4a 4 b 4 4 4 50 Oj 70 8y j 50 0 j 4 CN m 2c zj Jc 50 0 5 0 0y66 12j U J A seguir substituímos as tensões e correntes em função das componentes de Clarke e pré multiplicamos ambos os membros pela matriz Tc resultando Vabc ABC 4 bc Vv0 aP í 11 ABC Tc Oap h ü II ABC Tc c Z Oap 0 afj OU seja I0 afi Qafi 60 5 j 50 Oj j 50 Oj 5ÕÕJj 7Õ8 J 50 T 0j c 50 0 j 50 0 6 12 j 165 3332 8 3333j j 2 6667 1 6661 j j 11547 11547y 5 3333 513333fl2 6667 6 6 6 6 l í Í547 1547J 2 3094 23094j j1 1547 fT54Tr í 8 ÕÕÕÕ 10 0000j 71 OaP Y 1 T J Ü K 1 OaP Oap O a P 0 0061 0 0003j 0 0014 0 0001j 10 0004 0 0004j ÕÕÕ27 0000TfÕÕ6 Í S O T O W T O O I Í Õ ÕÒ52j 1 J K J 1 Substituindo na equação precedente as componentes de Clarke das tensões obtemos hap 0 3824 0 0295j 124515 68887y 54639 10 38217 A ou IafJ 03835 4 41 14 2300 28 95 11 7321 117 76 A Transformando as componentes de Clarke em componentes de fase obtemos Iabc T I0af 14551912819 11 92801152 45 12 5144 95 09 A 3 Tensões no centro estrela do gerador e na carga No centro estrela do gerador temos K n h 4 500 115061441 57 5304 4 41 V e na carga Va n 1118032656 0 0 14 551912819 0 21 54062180 0 119280115245 LorJ 0 0 20 000 36 87 1251449509 ou EXERCÍCIOS 461 AN 16269511156 PBN 2569363113065 l o r j 25028911 131 96 V Finalmente no gerador temos V 21999481000 K 1 220 0021112000 yCN 1 220 0021 120 00 4 Recomendações Recomendamos que o leitor verifique os valores obtidos para a matriz de impedâncias em termos de componentes de Clarke utilizando as equações deduzidas no capítulo 4 Sugerimos ainda que repita o exercício utilizando valores pu Ex 5514 Na rede do Ex 5513 inserimos entre o gerador e a carga uma linha que apresenta impedância própria de 02 04j Q igual nos três fios de fase e impedância mútua entre as fases da linha de 00 02j Q igual nos três fios de fase As impedâncias própria do retomo e mútua entre o retomo e as fases são nulas Pedimos 1 Determinar as tensões e correntes em toda a rede 2 Determinar o gerador equivalente de Thévenin nas barras terminais da carga A B e C Fig 551 SOLUÇÃO 1 Matriz de impedâncias da rede A matriz de impedâncias da rede em componentes de fase trechos AA BB e CCé dada por VAN Linha A IA Za Figura 551 Diagrama unifilar para o Ex 5514 462 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA J ABC 02 0 4 J 0 0 0 2 j 0 0 0 2 o o T 7 o 2j õ 2 v o7 4 7 õ õ õ 2 0 0 0 2 j j 0 0 0 2 j Õ 2 T o 4 n que associada em série com a da carga nos fornece ZAnr z 60 2 5 4 j 50 0 0 2 j 50 0 0 2 500 0 2 f j702 8 47j50Õ 0 2 J To7o 0Y71 Yoo Õ2 j i 662 l2 4 j Q 2 Resolução da rede Com procedimento análogo ao do exercício anterior determinamos a matriz de impedâncias rede em termos de componentes de Clarke e invertendoa obtemos a matriz de admitâncias rede Isto é 1655332 91333 j 26667 16667 1 11547 11547 7 ap 53333 33333 12 8667 6 8667j í 1547 11547 23094 2 3094 1 1547 11547 1182000 10 2000 Í2 lOa0 0 0061 0 0003j 0 0013 0 0000j 0 0001 0 0004f Õ ÕÕ2 7 7 oTooYfi jÕ0605 0 Õ323 j7 Õ Õ lY Õ Õ05Õ7 s 7 OOOlTÕ ÕÕÕ70 0Õ12 õ ÕÒ5Õ7 Õ 0414 0 Õ235 j A seguir determinamos as correntes na rede em termos de componentes de Clarke e de fase loap 03758 0 0254 121987 68310 54308 102071 037661387 13981112925 11 56191 11802 A I a b c 125745 68056j 104268 53988 10203 122805 142980 2842 11 74161 15262 12322819475 A A tensão no centro estrela do gerador em componentes de fase é dada por V Z jf A c 30Zo 5649861387 V e as tensões em componentes de fase entre os terminais do gerador início da linha e terra são dadas por T 16367431133 BN l 25582281 13057 GV 1 l 2500834 131 70 e entre os terminais da carga e a terra são dadas por JZ r A N 15985711186 v r BN ABCcr 1 ABC 252 92181 130 82 L v C N J 2464562 13162 8 EXERCÍCIOS 463 3 Gerador equivalente de Thévenin Para a determinação do gerador equivalente de Thévenin lembrando que a carga é de impedância constante isto é é constituída por bipolos lineares podemos proceder como a seguir Sejam ZW Z c respectivamente as matrizes de impedâncias correspondentes ao ramos da esquerda gerador associado com a linha e da direita carga do ponto considerado que suporemos alimentado por gerador com tensão dada pela seqüência V e sejam ainda as correntes IV I 1 ABC respectivamente nos ramos da esquerda e da direita Teremos v ABC ABC T1 ABC p v 7 T e ABC ABC 1 ABC IABC 7 í ABC V v ABC Y 1 ABC V v ABC I ABC yf1 AJK V Y ABC YÁW YABC 1 ABC Iabc í l ABC Y YiV Y V y 1 1 ABC Iabc Zabc Ia bc Assim temos A B C 50 2 0 4 j50 0 0 2 j 50 0 0 2 500 Õ Y j 5o7 2 o7475ÕÕ 0 2 j 500 7 Õ 27T5070 02j p50 2 Õ 4j n 10 0 5 0 00 0 0 7 A B C 0 0 20 0 8 Oj 00 0 0 00 160 120 Q cujas inversas de suas transformadas em componentes de Clarke são dadas por Y 1 OaP 0 006658 0 000035j 0 0 2 500003 2 499971 S Y 003 0 j 0 2500002 2499988 0 054368 0 029080y j 0 012816 0 0054607 j 0 000896 0 003683 0 025632 0 Ol0920 0067Í84 ÕÔ3454ÕJ7Õ7ÕÕ8 W 0003683 S 0001792 0007366 j0 000896 0 003683j 0 041552ÕÕ2362Í Somamos as duas matrizes e calculamos sua inversa obtendo as matrizes de admitâncias e impedâncias 0aJr 0 0610 0 0291 í 0 0128 0 0055 0 0009 0 0037 0 0256 0 0109 S 2 5678 2 5345 0 0009 õ OÕI8 0007417 0ÕÕ9 0 0037j í 54Í5 00037 2752367 S n 133628 63849 j 00389 00419 77 0779 ÕÕ837JÕ1974 7 V j95Yf 00263 070T 72777 0ÕÕ4 7 Õ7Õ001 As fems do gerador equivalente de Thévenin correspondem aos valores das tensões na barra de carga A B e C São calculadas em termos de componentes de Clarke a partir de 00131 00086 Õ70004 Õ 00Õ1 j 071981 7 019677 OccJ Tl C resultando 464 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA VABC 159 85651 185 252 9218113082 2464562113162 V VoP 565663117584 216 19301 028 21688091 9025 V Ei 5515 Para a rede do Ex 5514 pedimos calcular as correntes e tensões quando na fase A da carga ocorre um curtocircuito para a terra Sendo a impedância de defeito nula pedimos determinar as tensões e correntes na rede SOLUÇÃO 1 Equacionamento Inicialmente como feito no capítulo 4 vamos tomar a matriz de impedâncias da rede simétrica isto é dividimos a primeira coluna da matriz por 2 e multiplicamos a corrente 0 por 2 Para a rede teremos I i o 3 i z 2 0 4 7 E 7 i 7 L rh 0íeJ a 4 a Th Zoo OP 2 k K r 1 7 0 ap 0 a 7 7 a0 aa 7 7 7 7 66814 31924j 00389 00419y j 00131 0 0086y õ o389 õ õ4í 9 J T õ 1974 t 071957j 770007 7 7 0001 7ÕÍ3Í 7 0086J 7 00047 ÕÕÕÕÍ7Õ 198 f 7 7 7 9 6 7 As condições de contorno para o defeito são dadas por 0 IB tç 0 COffl 0 logo as componentes de Clarke nesse ponto serão I 2 1 I Ll LLl 2 0 e 10 2 a 2 0 e Ê rÜV F V 0 r0 T a V Por outro lado para a rede temos K Zoo20 Z0aa 4 22 4 a 7 4 4 z24 z4 220 0 4 OU 4 4 r 2 4o 2Z0a Zaal 0 0 7 2 I m 2 Z I J Donde obtemos em termos de componentes de Clarke 159 85651 1 85 l í 10 5711 27 76 A Q h 2 7 5610 25 73 4 2 0 21 14221 27 76 Em termos de componentes de fase temos 1A 0 30 31 71331 27 76 Z s c 0 A h 0 A EXERCÍCIOS 465 As componentes de Clarke na barra de defeito são V0 È0n 2 7 m Z0J 0 216 141586 7338768 216 2661 178 05 V K K n 2Za0 Zaaí 0 216142788 7 354100 216 2679j 1 951 V onde sendo K K evidentemente deverá resultar V0 f a como de fato resultou Além disso calculamos 0 Zpaí a Zppp Êpn 2 Z p 0 0 A partir das componentes de Clarke da tensões e correntes na barra de defeito podemos recalcular a corrente na carga que somada com a do defeito nos fornece a corrente que flue pela linha e pelo gerador Deixamos ao leitor o cálculo dessas grandezas 3 Recomendações Sugerimos que o leitor resolva este exercício com a mesma metodologia utilizada no Ex 43 do capítulo 4 555 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Deixamos de apresentar a relação de exercícios propostos e sugerimos que o leitor resolva todos os exercícios de componentes simétricas utilizando as de Clarke 556 PROGRAMAS COMPUTACIONAIS Para o estudo de componentes de Clarke dispomos dentre o conjunto de programas com o CLARKE que apresenta os mesmos recursos entradas saidas e de armazenamento de dados que o programa EXCSIM já apresentado 56 PROGRAMAS ADICIONAIS 561 APRESENTAÇÃO Nos programas já apresentados o usuário resolve o exercício proposto lido de arquivo ou gerado aleatoriamente e digita as respostas encontradas que são consistidas pelo programa com a emissão de mensagem de erro quando incorretas Nos programas que trataremos neste item não seguimos a mesma orientação isto é os dados são fornecidos pelo usuário e o programa apresenta a solução contando com recursos para a impressão na tela dos resultados passo a passo Nos itens a seguir apresentaremos os programas CSIMET análise de redes em componentes de fase simétricas ou de Clarke e BDADOLT base de dados da matriz de impedâncias de linhas de transmissão 562 PROGRAMA CSIMET Este programa que pode ser acionado através do menu principal CCOMPSIMCOMPSIM ou do comando CCOMPSIMCSIMET destinase à transformação de grandezas tensões correntes ou matrizes de impedâncias entre componentes de fase simétricas e de Clarke isto é 466 INTRODUÇÃO A SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA dadas as grandezas numa das componentes determinamos seus valores nas outras duas Ao ser acionado apresenta menu principal do tipo horizontal que dispõe das opções COMDE FASE quando a seqüência ou a matriz de impedâncias é fornecida em termos de componentes de fase e desejamos transformála para componentes simétricas ou de Clarke C SIMETR1C quando a seqüência ou a matriz de impedâncias é fornecida em termos de componentes simétricas e desejamos transformála para componentes de fase ou de Clarke CDE CLARKE quando a seqüência ou a matriz de impedâncias é fornecida em termos de componentes de Clarke e desejamos transformála para componentes de fase ou simétricas Assim o programa após a escolha pelo usuário da natureza da componente que será fornecida que suporemos haja sido a primeira COMDE FASE solicita informação através da mensagem de rodapé Deseja converter uma sequencia SIM Ss NAO acerca do elemento a ser transformado seqüência ou matriz No caso em que o usuário digite a tecla S ou s ou pressione o botão esquerdo do mouse em correspondência ao simbolo SIM Ss o programa entenderá que desejamos transformar um seqüência de fase de tensões ou correntes A seguir solicita através da mensagem de rodapé Deseja proceder a conversão para COMPONENTES SIMÉTRICAS SIM Ss NAO informação acerca do tipo de componente para o qual será feita a conversão Em caso de resposta afirmativa o programa entende que o usuário deseja converter a seqüência dada em componentes de fase para componentes simétricas e viceversa em caso de resposta negativa deseja proceder a conversão para componentes de Clarke Executa a conversão e apresenta tela de resultados Destacamos que por solicitação do usuário poderá ser apresentado na tela o cálculo passo a passo A título de exemplo apresentamos Fig552 a tela de cálculo das componentes simétricas da seqüência 220U0f llOLOf 110 180 563 PROGRAMA BDADOLT Este programa tem por finalidade gerenciar o arquivo de dados de linhas de transmissão ou trechos de rede Ao ser acionado diretamente do menu principal do sistema CCOMPSIMCOMPSIM ou diretamente CCOMPSIMBDADOLT apresenta menu principal com as alternativas RELATORIO quando fornece os dados armazenados linha a linha ou trecho a trecho no arquivo INSERE que se destina à inserção de novas matrizes de impedâncias de trechos de rede Do relatório apresentado a título de exemplo à Fig 553 destacamos o nome do arquivo que é fornecido pelo usuário quando de seu carregamento e um conjunto de dados gerais que permitem a identificação da tensão operativa do trecho bitola e tipo de condutor utilizado configuração da cabeça da torre isto é dos condutores instalados sobre cruzeta ou numa torre de transmissão e EXERCÍCIOS 467 a existência de transposição Salientamos que os dados gerais são utilizados tão somente para a identificação do trecho de linha não sendo utilizados pelos programas que acessam o arquivo CCBO HPS NK EJR EXERCÍCIOS COMPFASESIMCLARKE V01011996 Conversão de componentes de FASE para SIMÉTRICAS Calculo VO VA VB VC3 22000 11000 11000 22000 7333 VA VB VC 3 VO V0 Calculo VI VA VA VBALFA1 VCALFA2 3 VI VI Calculo V2 VA VA V8ALFA2 VCALFA1 3V2 V2 VBALFA1 2 2 0 55 55 2 2 0 00 00 00 00 7333 VBALFA2 2 2 0 0 0 5500 5500 2 2 0 0 0 7333 00 00 00 00 00 VCALFA23 00 j 9526 j 9526 j 19053 j 6351 j VCALFAl3 00 j 9526 j 9526 j 19053 j 6351 j Para continuar pressione uma tecla qualquer ou o botão esquerdo do mouse Figura 552 Tela de cálculo passo a passo CCBO HPS NK EJR Banco de Dados Linhas ATBTMT V01011996 i i j Codigo das Matrizes de Irapedancias Disponiveis j J j MT01 MT02 xpto I 1 1 Matriz de Impedancia MT01 Faixa de Tensão MT Tipo condutor CAA Bitola 3364 MCM Configuração PLANA HORI Transposição NAO Fase A Fase B Fase C A 295150 557670 078611 251471 077675 210151 B 078611 251471 297784 545445 078980 263521 C 077675 210151 078980 263521 295862 554347 Impedancias em ohmkm Para continuar pressione uma tecla qualquer ou o botão esquerdo do mouse Figura 553 Relatório de uma das matrizes gravadas No text found COME DRINK WITH ME PORT wine 5L 189 R396 187 Port wine 5L 19 R469 PRESTIGE GRAPPA Gran Riserva 40 ALCVOL BIRDLIME GIN Classic 750ml43ABV R259 Yuzu 750ml43ABV R259 PEACH ROSE 750ml43ABV R279 RUTGERS GIN Classic 375ml43ABV R140 Classic 750ml43ABV R269 Munich Dry Gin 375ml43ABV R140 Munich Dry Gin 750ml43ABV R269 BILLY BAUL GIN London Dry Gin 700ml46ABV R280 SINE METU GIN Dry Gin 700ml43ABV R290 Elderflower Gin 700ml43ABV R290 Rhubarb Rose Gin 700ml43ABV R290 SCHLICKS GIN Classic 700ml43ABV R340 GIN MARE 700ml427ABV R471 RUM RUMDEW GOLD 54 AND RUMDEW BLANC 54 700ml R295 MAGNIFICIENT COCKTAIL BOXES HIGHBALL BOXES 700ml GIN TONIC GLASS R224CKER GIN BOXES 700ml GIN MIXERS GLASSES R280 GIN MIXERS GLASSES R280 700ml GIN 2 MIXERS 2 GLASSES BOTANICALS R305157 0750 L 210 2 569 2 799 R 2 499 700 ML 0750 L 1 380 1 777 1 500 0750 L R 1 225 020 2 778 0750 L 0750 L 0750 L 0700 L 0700 L 0700 L 0700 L 0700 L 0700 L 0750 L 0700 L 0700 L 0700 L 0700 L 0700 L 0700 L 0700 L 0710 L 470 ABV 430 ABV 430 ABV 430 ABV 430 ABV 430 ABV 460 ABV 430 ABV 460 ABV 430 ABV 460 ABV 430 ABV 460 ABV 430 ABV 430 ABV R20900 R25900 R29900 R6600 7 35649 10593 6 7 35649 10646 2 7 35649 10645 5 7 35649 15049 7 7 35649 15009 1 7 35649 15010 7 7 35649 10594 3 7 35649 10595 0 7 35649 15048 0 7 35649 15008 4 7 35649 15007 7 7 35649 10762 0 7 35649 10761 3 7 35649 15047 3 7 35649 10756 2 7 35649 10757 9 7 35649 10758 6 7 35649 10598 1 7 35649 10597 4 7 35649 10760 6 Botanicals Garden Mint Cucumber Nettle Jasmine Nettie Coriander Orris Root Liquorice Lemon Compound 5060 915069 DS PO Box 4 Gins Mixers Cocktails GSEB PG Paper 6 Biology Semester VI Time 2 Hours Total Marks 40 General Instructions 1 All questions are compulsory 2 Figures to the right indicate full marks Q 1 A Define the following terms Any three 3 a Epiparasite b Vigour test c Biological race d Senescence e Extinct B Explain any one of the following topics 1 a Male reproductive organ in flowering plant b Genetic code Q2 A Explain the process of fertilization in angiosperm OR B Write the importance of Biotechnology in the field of Agriculture 5 Q3 A Seed Production 5 a Differentiate between Any two 2 i Self pollination and Cross pollination ii Microsporogenesis and Megasporogenesis iii Microspore and Megaspore b Define the following terms Any one 15 i Seed Quality ii Seed Dormancy iii Seed Germination c Write the difference between Fertilization and Fertilizer 15 OR B Write the structure and functions of any one part of flower 5 Q4 A Write the economic importance of any five plants among cereal pulses fruits and vegetables OR B Write five points about extinction of animals Q5 A Describe about the process of Microsporogenesis and Megasporogenesis with diagram OR B Explain the process of Seed Germination 5 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 httpwwwgseborg Gujarat State Examination Board Gandhinagar Sample Paper Extra Question Paper Experiment Biology Year201819 Date 25052019 marks 80 Time 3 hrs Test No 40 Class X Science General Instruction 1 Question No 1 to 7 are compulsory 2 Question 8 is a higher order question 6 Marks 3 Answer to the point 4 Write Neat and clean answer Q1 Choose correct option from the following 10 1 Which hormone is known as the fruit ripening hormone a Auxins b Ethylene c Cytokinin d Gibberellin 2 Which part of brain regulates body temperature a Cerebrum b Cerebellum c Medulla d Hypothalamus 3 Which vitamin is required for blood clotting a VitaminA b VitaminK c VitaminC d VitaminD 4 Sexual reproduction takes place in a Amoeba b Spirogyra c Hydra d Yeast 5 Which of these is the darkest layer of the soil a Sand b Clay c Humus d Gravel 6 Which plant hormone promotes cell elongation a Cytokinin b Ethylene c Auxins d Gibberellin 7 Which cell organelle is known as a power house of the cell a Nucleus b Ribosome c Mitochondria d Vacuole 8 Which vitamin is necessary to prevent scurvy a VitaminA b VitaminK c VitaminC d VitaminD 9 Which part of heart prevents the mixing of oxygenated and deoxygenated blood a Ventricle b Atrium c Septum d Valve 10 Which process is also called double fertilization a Spermatogenesis b Fertilization c Pollination d Embryogenesis Q2 a Explain the function of roots in plants b Define Biomagnification and write its harmful effect OR Q2 a Write the reason of irreversible damage of brain cells in oxygen deficiency b Write any two right steps for prevention of virus disease Q3 a Draw a labeled diagram of Human Brain b Draw a neat labeled diagram of nephron and explain its function Q4 a Explain the role of stomach in digestion b Write one function each of liver and pancreas Q5 a What is aerobic respiration Write its chemical equation b Describe the structure of human teeth OR Q5 a Define Photosynthesis Write the formula of photosynthesis and specify the location within the leaf where photosynthesis takes place b Define food chain and food web with an example Q6 a Draw a diagram to show the structure of female reproductive organs in a flower and label b Explain the process of fertilization in flowering plants c Differentiate between fertilization and seed dispersal OR Q6 a Write a note on seed dispersal b Write various method of vegetative reproduction in plants c Define seed viability and seed germination Q7 a Explain the role of excretory system in human b Describe double circulation in human OR Q7 a Write any four points on endangered species b Write various method of prevention of air pollution Q8 Design an experiment to show the presence of starch in the leaf PMID 6605907 ISSN 00179310 PMCID PMC2560272 DOI 101016s0017931085801153