Cap 15 Dinamica das Maquinas

Figura 15.4\n(a) Translação curvilínea\n(b) Rotação\n\nFigura 15.5\n(a) Roda rolante\n(b) Barra deslizante\n\n4. Movimento em torno de um ponto fixo. O movimento tridimensional de um corpo rígido ligado a um ponto fixo O, como, por exemplo, o movimento de um pistão sobre um piso estreito (Fig. 15.6), é conhecido como movimento em torno de um ponto fixo.\n5. Movimento geral. Qualquer movimento que não se enquadre em alguma das categorias anteriores é referido como movimento geral.\n\nApós uma breve discussão do movimento de translação na Seção 15.2, a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo é considerada na Seção 15.3. A velocidade angular e a aceleração angular de um\ncorpo rígido em torno de um eixo fixo serão definidas e você apresentará a velocidade e a aceleração de um dado ponto do corpo em termos de seu vetor de posição e da velocidade angular e aceleração angular desse corpo.\n\nAs seções seguintes estão dedicadas ao estudo do movimento plano geral, ao longo do qual se amplia a aplicação à análise de mecanismos, tais como engrenagens, barrados de conexão e articulações conectadas por pinos. De acordo com o movimento plano de uma placa em uma translação e uma rotação (Seções 15.5 e 15.6), expressaremos também a velocidade de um ponto B em relação a um sistema de referência em translação A e a velocidade de B em relação a A, mas sem rotação. A mesma abordagem se fará também na Seção 15.8, para expressar a aceleração de B em relação à aceleração de A e a aceleração de B em relação ao sistema de referência em translação com A. 922\nMecânica vetorial para engenheiros: estática\n\nUma maneira alternativa para analisar o veículo em movimento plano, buscando um exercício de criação de rotação bastarda, é da Seção 15.2; ainda outro método de análise, buscando a posição das particularidades para um conjunto de dados de apresentação, verá na Seção 15.5.\n\nO movimento de uma partícula em relação a um sistema de eixos é dado relativo a o centro de coordenadas de cada um.\n\nSeções 15.10 a 15.11, e na resolução dos problemas de movimento plano de elementos, e na análise do movimento de inércia sobre os outros.\n\n15.2 Translação\n\nConsidere um corpo rígido em translação (retilínea ou curvilínea), sendo A e B (qualquer uma de suas partículas) (Fig. 15.7). Representando, respectivamente, por r, e v as vetores de posição de A e B em relação a um sistema de referência qualquer, temos\n\nF_{AB} = F_{A} + F_{AB}\n\n(15.1)\n\nVamos, então, diferenciar essa expressão em relação a t. Notamos que a partir da primeira definição de uma translação, o vetor r_{AB} deve manter uma direção constante; sua intensidade também deve ser constante, pois\n\nFigura 15.7\n\n(e) Figura 15.7 Figura 15.8\n\nA e B pertencem ao mesmo corpo rígido. Logo, a derivada de F_{AB} é nula e temos\n\nv_{AB} = v_{A}\n\n(15.2)\n\nDiferenciando uma vez mais, obtemos\n\na_{AB} = a_{A}\n\n(15.3)\n\nLogo, quando um corpo rígido está em translação, todas as partes do corpo têm a mesma aceleração e a mesma velocidade em qualquer instante.\n\n15.3 Rotação em torno de um eixo fixo\n\nConsidere um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo AA'. Seja P um ponto do corpo e seu vetor de posição em relação a um sistema de referência fixo. Por conveniência, vamos assumir que o sistema de referência está criado no ponto O sobre A' e que o eixo é cilíndrico em torno de AA'. Seja B a projeção de P sobre AA'. Como P precisa permanecer na distância constante de B, deduzir um diâmetro do centro de B a de raio r, onde o representa a linha formada entre O e A'.\n\nUm sistema de referência fixo totalmente definido e dominado com ângulo de rotação de P com relação ao sistema rotativo, o vetor de vetor \n\nr_{AB} = r_{A}\n\nrev = r_{A} = 360º.\n\nRelembramos da Seção 11.9, que a velocidade v = dr/dt de uma parte. 924 Mec\u00e2nica vetorial para engenheiros: din\u00e2mica Max caso: e prescritivo e resulta que antes também se alternamos. ao longo de dx um vetor e = dx ser orientado em propor\u00e7\u00e3o (Fig. 15.9). Expressamos, ent\u00e3o O vetor \u03c9 = ak \u00d7 ih O vetor duplo e representado por e é denominado acelera\u00e7\u00e3o angular do corpo, sendo igual ao rato de varia\u00e7\u00e3o da velocidade angular. Retornando a (15.6). A acelera\u00e7\u00e3o angular de um corpo que gira em torno de um eixo fixo \u00e9 um vetor orientado ao longo do eixo de rota\u00e7\u00e3o que igual a taxa de varia\u00e7\u00e3o da velocidade angular. Retornando a (15.5), notamos que a acelera\u00e7\u00e3o de P \u00e9 a soma de dois vetores e igual ao produto vetorial a x r; ele é tangente ao descrito por P, assim, representa o componente tangencial da acelera\u00e7\u00e3o. O segundo vetor e igual ao produto vetorial triplo \u03c9 x ( \u03c9 x r) obtido efetuando-se o produto vetorial de \u03c9 x r; como \u03c9 x r \u00e9 tangente ao c\u00edrculo descrito por P, o produto vetorial triplo \u03c9 e, portanto, representa o componente normal da acelera\u00e7\u00e3o. * Ser\u00e1 mostrado na Se\u00e7\u00e3o 15.12, no caso mais geral de um corpo rígido que gira Substituindo em torno de eixos de diferentes dire\u00e7\u00f5es, que observamos com a ideia de ad\u00e7\u00e3o de paralelogramo e que, portanto, nas relações vetoriais. Rota\u00e7\u00e3o de uma placa representativa. A rota\u00e7\u00e3o de um corpo r\u00edgido em torno de um eixo fixo pode ser definida pelo movimento de uma placa representativa em um plano de refer\u00eancia perpendicular ao eixo de rota\u00e7\u00e3o. Vamos escolher o plano y como plano de refer\u00eancia e admitir que ele coincide com o plano da figura, como o eixo z apontando para fora do papel (Fig. 15.10). Relembrando a partir da Eq. (15.6) que \u03c9 = uk, verificamos que um valor positivo do escalar \u03c9 corresponde a uma rota\u00e7\u00e3o anti-hor\u00e1ria da placa representativa e um valor negativo a uma rota\u00e7\u00e3o hor\u00e1ria. Substituindo k por r na Eq. (15.3), expressamos a velocidade de qualquer ponto P da placa como v = \u03c9k \u00d7 r (15.10) Sendo os vetores k e r perpendiculares entre si, a intensidade da velocidade v \u00e9 v = r\u03b2 (15.10') e seu sentido pode ser obtido girando r 90\u00b0 no sentido de rota\u00e7\u00e3o da placa. Substituindo \u03c9 = ak e a = ak na Eq. (15.8) e observando que o produto vetorial de r por k duas vezes resulta em um giro de 180\u00b0 do vetor r, expressamos a acelera\u00e7\u00e3o do ponto P como a = ak \u00d7 r - \u03b1r (15.11) Decompondo a em componentes tangencial e normal (Fig. 15.11), escrevemos a t = ak \u00d7 r a n = -\u03b1r (15.11') O componente tangencial a t aponta para o sentido anti-hor\u00e1rio se o escalar a t \u00e9 positivo e para o sentido hor\u00e1rio se a \u00e9 negativo. O componente normal a n sempre aponta para o sentido oposto ao de r, ou seja, para O. 15.4 Equa\u00e7\u00f5es definidoras da rota\u00e7\u00e3o de um corpo r\u00edgido em torno de um eixo fixo O movimento de um corpo r\u00edgido em torno de um eixo fixo AA \u00e9 considerado como um movimento em que as part\u00edculas do corpo se movimentam segundo uma fun\u00e7\u00e3o estabelecida. O deslocamento expressa como uma fun\u00e7\u00e3o do tempo \u03b1 de um corpo r\u00edgido tomando como base os par\u00e2metros conhecidos. Mais frequentemente as combina\u00e7\u00f5es que fazemos dependem do tipo de acelera\u00e7\u00e3o do corpo, que podemos descrever como uma fun\u00e7\u00e3o do tempo. Retornando as rela\u00e7\u00f5es (15.6) e (15.9) temos: (15.12) ou, resolvendo (15.12) para \u03b2 e substituindo em (15.13): (15.13) Como essas equa\u00e7\u00f5es s\u00e3o semelhantes e aplicadas obtidas na Se\u00e7\u00e3o 11 para movimento retil\u00edneo de uma part\u00edcula que estava considerada an\u00e1lise e seguindo-se o procedimento descrito na Se\u00e7\u00e3o 1.2 Dois casos particulares de rota\u00e7\u00e3o s\u00e3o descritos a seguir: 1. Rota\u00e7\u00e3o Uniforme. Este caso \u00e9 caracterizado pelo fato de que a acelera\u00e7\u00e3o \u00e9 nula. Logo, a velocidade \u00e9 igual a constante e a coordenada angular \u03b2 \u00e9 dada pela oposi\u00e7\u00e3o \u03b8 = \u03b8 0 + \u03b1t (15.15) 2. Rota\u00e7\u00e3o Uniformemente Acelerada. Neste caso, a rota\u00e7\u00e3o angular \u00e9 constante. As seguintes leis que governam a rota\u00e7\u00e3o s\u00e3o as coordenadas angulares e o tempo evoluindo a vac\u00edo de um eixo semelhante ao descrito na Se\u00e7\u00e3o 1.5. Este c\u00e9rito semelhante encontramos mais uma vez em como essa complica\u00e7\u00e3o da hora mudando. PROBLEMA RESOLVIDO 15.1\n\nA carga B é esta cina a uma pole chupa para um dos lados inferiores mostrados na figura, (1 um ponto de abissas de controle na carga C que tem uma velocidade constante de 300 mm/s, anda aproximadas para a direita. Determine (o diâmetro de tróicos encotrados pela pole após 2 s) e a velocidade e a aceleração do ponto D sobre os atos da pola interna em t = 0.\n\nSOLUÇÃO\n\na. Movimento do polo. Como o eixo é inercial, a velocidade do ponto D é igual à velocidade do ponto C e componente tangencial da aceleração de C.\n\n(vpD = vcC) = 300 mm/s\n\n(atpD = arD) = 225 mm/s²\n\nNotando que a distância de D em torno do polo é de 75 mm, escrevemos\n\nt(rD) = rω = 300 mm/s (75 mm) = 1200 mm/s (apD) = r(75 mm)(4 rad/s) = 1200 mm/s²\n\nUsando as equações do movimento uniformemente acelerado, obtemos, para t = 2 s.\n\nt = αt0 + βt² = (4 rad/s)(2 s) + (3 rad/s²)(2 s)² = 10 rad/s\n\nθ = θ₀ + αt + βt² → (4 rad/s)(2 s) + (3 rad/s²)(2 s²) = 14 rad.\n\nNúmero de revoluções = (14 rad)/(2π rad) = 2.23 rev METODOLOGIA PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS\n\nNesta seção, iniciamos o estudo do movimento de corpos rígidos considerando dois tipos particulares de movimento de corpos rígidos: translação e rotação em torno de um eixo fixo.\n\n1. Corpo rígido em translação. Em um dado instante qualquer, todos os pontos de um corpo rígido em translação têm a mesma velocidade e a mesma aceleração.\n\n2. Corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo. A posição do corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo foi definida em um dado instante qualquer pela coordenada angular θ, geralmente medida em radianos. Selecionando o vetor unitário k ao longo do eixo e do que a rotação do corpo aparece no sentido anti-horário vista da ponta de k, definimos a velocidade angular ω e a aceleração angular α do corpo.\n\nω = θ̇k α = θ̈k\n\nPara a resolução de problemas, tenha em mente que os vetores ω e α estão ambos orientados ao longo do eixo de rotação fixo e que seu sentido pode depender da rotação em torno de um eixo fixo definido.\n\na. A velocidade de um ponto P é v = ω × r\n\nb. A aceleração do ponto P foi determinada como sendo a = α × r + ω × (ω × r)\n\nComo os produtos vetoriais não são comutativos, certifique-se de escrever os vetores na ordem indicada ao usar qualquer uma das duas equações anteriores.\n\n3. Rotação de uma placa representativa. Em muitos problemas, você será capaz de reduzir a análise da rotação de um corpo tridimensional em torno de um eixo fixo ao estudo da rotação de uma placa representativa em um plano perpendicular ao eixo fixo. O eixo α deve ser orientado ao longo do eixo de rotação e apontar para fora do papel. Logo, a placa representativa irá girar no plano xy em torno da origem O do sistema de coordenadas. b. Relacionar a rotação da placa e o movimento dos pontos da placa escravendo as equações\n\nv = rω\nat = rα\nat = rω²\n\nLembre-se de que a velocidade v e a componente a, da aceleração de um ponto P da placa são tangent es à trajetória circular descrita por P. As direções e os sentidos de v e a, são encontrados pelo giro de 90° do vetor de posição r no sentido indicado por ω e α, respectivamente. O componente normal a, da aceleração de P é sempre orientado para o eixo de rotação.\n\n4. Equações definidoras da rotação de um corpo rígido. Você deve ter ficado satisfeito ao observar a semelhança existente entre as equações que definem a rotação de um corpo rígido em torno de um eixo fixo [Eqs. (15.12) e (15.16)] e aquelas do Cap. 11, que definem o movimento retilíneo de uma partícula [Eqs. (11.1) até (11.3)]. Tudo o que você deve fazer para obter o novo conjunto de equações é substituir θ, α e ω por x, v e a nas equações do Cap. 11. 15.1 O movimento de um corpo é definido pela relação θ = \\[ θ = \\frac{\\alpha}{t} \\] onde θ é a pressão em radianos r e t em segundos. Letra c: Então, a velocidade e a aceleração angular de um corpo são \\[ \\alpha = \\frac{d\\theta}{dt} \\] (β) = √3 s. 15.9 A aceleração angular de um eixo é definida pela relação α = \\[ \\alpha = \\frac{\\Delta\\omega}{\\Delta t} \\] sendo α expressa em rad/s² e ω em rad/s. Sabendo que ω = 0 a velocidade angular do eixo é 20 rad/s, determinar (a) o número de revoluções que o eixo executaria antes de atingir um repouso, (b) o tempo necessário para que a velocidade angular do eixo seja reduzida a 1/3 de seu valor inicial.