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Engenharia de Produção ·
Probabilidade e Estatísticas
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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS UNIDIMENSIONAIS\n\nDESCRIÇÃO\nIntrodução às variáveis aleatórias contínuas. Distribuições uniforme e exponencial. Distribuição normal.\n\nPROPÓSITO\nCompreender os conceitos associados às variáveis aleatórias contínuas e as principais distribuições contínuas de probabilidade.\n\nPREPARAÇÃO\nAntes de iniciar o conteúdo, tenha em mãos uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphone/computador.\n\nOBJETIVOS\n\nMÓDULO 1\nDescrever os conceitos de variáveis aleatórias contínuas\n\nMÓDULO 2\nDescrever a distribuição uniforme MÓDULO 3\nDescrever a distribuição exponencial\n\nMÓDULO 4\nDescrever a distribuição normal\n\nBem-vindo aos estudos das variáveis aleatórias contínuas unidimensionais\n\nPara assistir a um vídeo sobre o assunto, acesse a versão online deste conteúdo.\n\nMÓDULO 1\nDescrever os conceitos de variáveis aleatórias contínuas\n\nINTRODUÇÃO\nAqui serão vistos todos os conceitos fundamentais necessários ao bom entendimento relacionados a variáveis aleatórias contínuas unidimensionais e as principais distribuições de probabilidade contínuas; em especial, a distribuição normal, simplemente a distribuição mais importante da estatística.\n\nCONCEITOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS\n\nPara assistir a um vídeo sobre o assunto, acesse a versão online deste conteúdo.\n\nVARIÁVEIS ALEATÓRIAS Seja E um experimento aleatório e S o espaço amostral associado a esse experimento. Uma função X que associa o número real X(s) a cada elemento s ∈ S é chamada variável aleatória.\n\nX : S ↦ R\n\nAtenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nEXEMPLO\nConsidere o experimento aleatório de medir a temperatura máxima de uma região do Brasil. Observe que, nesse caso, a temperatura é uma variável aleatória contínua, pois assume valores nos Reais. Assim:\n\nX = R\n\nAtenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nVARIÁVEL ALEATÓRIA E CONTÍNUA\n\nSe a imagem da variável aleatória é um conjunto não enumerável, ou seja, não pode ser \"contado\", dizemos que a variável aleatória é contínua.\n\nFUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE\nSeja X uma variável aleatória contínua e f uma função definida no conjunto imagem de X, tal que:\n\nf(x) ≥ 0\n\n∫(−∞)^(∞) f(x) dx = 1\n\nA função f(x) é chamada de função densidade de probabilidade.\n\nObservação\nSe X é uma variável aleatória contínua, então:\n\nP(a ≤ x ≤ b) = ∫(a)^(b) f(x) dx\n\nAtenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nNote que nesta igualdade, a e b podem assumir os valores \"limites\" +∞ ou -∞.\n\nEXEMPLO Seja X uma variável aleatória contínua que representa o diâmetro do furo em uma placa metálica. A especificação do diâmetro é de 12,5 mm. Dados históricos indicam que X tem distribuição exponencial com fdp:\n\nf(x) = { 20 ⋅ e^(-20(x−12,5)), x > 12,5\n 0, caso contrário\n\n⚠️ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nAs peças com diâmetro maior do que 12,6 são inutilizadas. Calcule a porcentagem de peças inutilizadas.\n\nSolução:\n\nP(X > 12,6) = ∫(12,6 to ∞) 20 ⋅ e^(-20(x−12,5)) dx = e^(-20(12,6−12,5)) = e^(-2) = 0,135 = 13,5%\n\n⚠️ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nPerceba que, neste exemplo, f(x) ≥ 0 e que ∫(-∞ to ∞) f(x) dx = 1. Ou seja, f(x) é, de fato, uma função densidade de probabilidade.\n\nFDP\nFunção de Probabilidade\n\nFUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA\n\nA função distribuição acumulada é definida de forma análoga ao estudo das variáveis aleatórias discretas por:\n\nF_X(x) = P(X ≤ x) = ∫(-∞ to x) f(t) dt\n\n⚠️ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nComo consequência, se X é uma variável aleatória contínua, temos:\n\ndF_X(x)/dx = f_X(x) = f(x)\n\n⚠️ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nO gráfico dessa função é dado a seguir: ESPERANÇA MATEMÁTICA (VALOR ESPERADO OU MÉDIA)\n\nA esperança matemática generaliza, em essência, o conceito de média aritmética (das distribuições discretas finitas). No caso das distribuições contínuas, o somatório dos valores dá lugar à integral que se segue:\n\nμ_x = E(X) = ∫(-∞ to ∞) x · f(x) dx\n\n⚠️ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nPROPRIEDADES\n\nConsidere X e Y variáveis aleatórias a e b constantes. Então:\n\nE(aX) = a · E(X);\nE(aX + b) = a · E(X) + b;\nE(aX + bY) = a · E(X) + b · E(Y);\nE(XY) = E(X) · E(Y), se X e Y forem independentes;\nE(XY) = E(X) · E(Y) + cov(X,Y), se X e Y não forem independentes.\n\n⚠️ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nCOV(X,Y)\n\nA covariância entre as variáveis X e Y é definida por\n\nE[(X − E(X))(Y − E(Y))].\n\nVARIÂNCIA\n\nA variância é uma medida de variability ou dispersão dos dados em torno da média, sendo definida, no caso contínuo, pela integral indicada:\n\nσ² = V(X) = E(X²) − [E(X)]².\n\n⚠️ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nNa qual μ é a média da variável aleatória X. Além disso, a unidade da variância é o quadrado da unidade de medida da variável aleatória. PROPRIEDADES\n\nSejam X e Y variáveis aleatórias a e b constantes, então:\n\nV(a) = 0\nV(aX + b) = a² · V(X)\nV(X + Y) = V(X) + V(Y), se X e Y forem independentes, caso contrário:\nV(aX + bY) = a² · V(X) + b² · V(Y) ± 2ab · cov(X,Y)\n\nEm que cov(X,Y) = E(X) · E(Y) − E(X) · E(Y) é a covariância.\n\n⚠️ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nDESVIO PADRÃO\n\nO desvio padrão é definido como a raiz quadrada da variância, ou seja:\n\nσ_x = DP(X) = √V(X)\n\n⚠️ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nATENÇÃO\n\nNote que a variância mede o chamado erro quadrático. Como consequência, sua unidade é o quadrado da unidade da variável aleatória. Assim, o desvio padrão, que é definido como a raiz quadrada da variância, possui, de fato, a mesma unidade da variável aleatória.\n\nMÃO NA MASSA\n\n1. SEJA\n\nf(x) = { kx², 0 ≤ x ≤ 1\n 0, caso contrário\n\n⚠️ ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROlagem HORIZONTAL CONSIDERANDO A QUESTÃO ANTERIOR. DETERMINA A ESPERANÇA MATEMÁTICA DE X.\nA) 1/5\nB) 2/5\nC) 3/5\nD) 7/5\nE) 8/5 A) \\frac{x^2}{4}, \\, 0 \\leq x \\leq 2\\ 0, \\ caso contrário\n\nDETERMINA P(0 < X < 1/2):\nA) 1/256\nB) 1/126\nC) 1/63\nD) 1/48\nE) 1/16 Determine a função densidade F(x) no intervalo de (0,1):\nA alternativa \"D\" está correta. 5. Considere a seguinte função densidade de probabilidade:\n\nf(x) = { 1/4, 0 ≤ x ≤ 2\n 0, Caso Contrário\n\nAtenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nDetermine P(0 < X < 1/2).\nA alternativa \"A\" está correta.\n\nSolução:\n\nP(0 < X < 1/2) = ∫(1/2)^0 (1/4) dx = x|_(1/2)^0 = (1/2)/(4) = 1/256\n\n☐ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\n6. Considerando a questão anterior, determine a esperança matemática de X.\nA alternativa \"E\" está correta.\n\nSolução:\n\nE(X) = ∫(2/3) 0 x² * (1/4) dx = 1/4 * ∫(2/3) 0 x² dx = 1/4 * (x³/3)|_(2/3)^0 = 32/30 = 8/3\n\n☐ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nGABARITO\n\nTEORIA NA PRÁTICA\n\nSeja X a variável aleatória continua que representa o tempo de espera (em horas) para ser atendido na fila de um banco qualquer. Sabendo que a função densidade de X é dada por,\n\nf(x) = { (3/8)x², 0 ≤ x ≤ 4\n 0, Caso Contrário\n\n☐ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\ndetermine o tempo médio de espera.\n\nRESOLUÇÃO\n\nAssista ao vídeo sobre variáveis aleatórias contínuas:\n\nPara assistir a um vídeo sobre o assunto, acesse a versão online deste conteúdo.
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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS UNIDIMENSIONAIS\n\nDESCRIÇÃO\nIntrodução às variáveis aleatórias contínuas. Distribuições uniforme e exponencial. Distribuição normal.\n\nPROPÓSITO\nCompreender os conceitos associados às variáveis aleatórias contínuas e as principais distribuições contínuas de probabilidade.\n\nPREPARAÇÃO\nAntes de iniciar o conteúdo, tenha em mãos uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphone/computador.\n\nOBJETIVOS\n\nMÓDULO 1\nDescrever os conceitos de variáveis aleatórias contínuas\n\nMÓDULO 2\nDescrever a distribuição uniforme MÓDULO 3\nDescrever a distribuição exponencial\n\nMÓDULO 4\nDescrever a distribuição normal\n\nBem-vindo aos estudos das variáveis aleatórias contínuas unidimensionais\n\nPara assistir a um vídeo sobre o assunto, acesse a versão online deste conteúdo.\n\nMÓDULO 1\nDescrever os conceitos de variáveis aleatórias contínuas\n\nINTRODUÇÃO\nAqui serão vistos todos os conceitos fundamentais necessários ao bom entendimento relacionados a variáveis aleatórias contínuas unidimensionais e as principais distribuições de probabilidade contínuas; em especial, a distribuição normal, simplemente a distribuição mais importante da estatística.\n\nCONCEITOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS\n\nPara assistir a um vídeo sobre o assunto, acesse a versão online deste conteúdo.\n\nVARIÁVEIS ALEATÓRIAS Seja E um experimento aleatório e S o espaço amostral associado a esse experimento. Uma função X que associa o número real X(s) a cada elemento s ∈ S é chamada variável aleatória.\n\nX : S ↦ R\n\nAtenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nEXEMPLO\nConsidere o experimento aleatório de medir a temperatura máxima de uma região do Brasil. Observe que, nesse caso, a temperatura é uma variável aleatória contínua, pois assume valores nos Reais. Assim:\n\nX = R\n\nAtenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nVARIÁVEL ALEATÓRIA E CONTÍNUA\n\nSe a imagem da variável aleatória é um conjunto não enumerável, ou seja, não pode ser \"contado\", dizemos que a variável aleatória é contínua.\n\nFUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE\nSeja X uma variável aleatória contínua e f uma função definida no conjunto imagem de X, tal que:\n\nf(x) ≥ 0\n\n∫(−∞)^(∞) f(x) dx = 1\n\nA função f(x) é chamada de função densidade de probabilidade.\n\nObservação\nSe X é uma variável aleatória contínua, então:\n\nP(a ≤ x ≤ b) = ∫(a)^(b) f(x) dx\n\nAtenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nNote que nesta igualdade, a e b podem assumir os valores \"limites\" +∞ ou -∞.\n\nEXEMPLO Seja X uma variável aleatória contínua que representa o diâmetro do furo em uma placa metálica. A especificação do diâmetro é de 12,5 mm. Dados históricos indicam que X tem distribuição exponencial com fdp:\n\nf(x) = { 20 ⋅ e^(-20(x−12,5)), x > 12,5\n 0, caso contrário\n\n⚠️ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nAs peças com diâmetro maior do que 12,6 são inutilizadas. Calcule a porcentagem de peças inutilizadas.\n\nSolução:\n\nP(X > 12,6) = ∫(12,6 to ∞) 20 ⋅ e^(-20(x−12,5)) dx = e^(-20(12,6−12,5)) = e^(-2) = 0,135 = 13,5%\n\n⚠️ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nPerceba que, neste exemplo, f(x) ≥ 0 e que ∫(-∞ to ∞) f(x) dx = 1. Ou seja, f(x) é, de fato, uma função densidade de probabilidade.\n\nFDP\nFunção de Probabilidade\n\nFUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA\n\nA função distribuição acumulada é definida de forma análoga ao estudo das variáveis aleatórias discretas por:\n\nF_X(x) = P(X ≤ x) = ∫(-∞ to x) f(t) dt\n\n⚠️ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nComo consequência, se X é uma variável aleatória contínua, temos:\n\ndF_X(x)/dx = f_X(x) = f(x)\n\n⚠️ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nO gráfico dessa função é dado a seguir: ESPERANÇA MATEMÁTICA (VALOR ESPERADO OU MÉDIA)\n\nA esperança matemática generaliza, em essência, o conceito de média aritmética (das distribuições discretas finitas). No caso das distribuições contínuas, o somatório dos valores dá lugar à integral que se segue:\n\nμ_x = E(X) = ∫(-∞ to ∞) x · f(x) dx\n\n⚠️ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nPROPRIEDADES\n\nConsidere X e Y variáveis aleatórias a e b constantes. Então:\n\nE(aX) = a · E(X);\nE(aX + b) = a · E(X) + b;\nE(aX + bY) = a · E(X) + b · E(Y);\nE(XY) = E(X) · E(Y), se X e Y forem independentes;\nE(XY) = E(X) · E(Y) + cov(X,Y), se X e Y não forem independentes.\n\n⚠️ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nCOV(X,Y)\n\nA covariância entre as variáveis X e Y é definida por\n\nE[(X − E(X))(Y − E(Y))].\n\nVARIÂNCIA\n\nA variância é uma medida de variability ou dispersão dos dados em torno da média, sendo definida, no caso contínuo, pela integral indicada:\n\nσ² = V(X) = E(X²) − [E(X)]².\n\n⚠️ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nNa qual μ é a média da variável aleatória X. Além disso, a unidade da variância é o quadrado da unidade de medida da variável aleatória. PROPRIEDADES\n\nSejam X e Y variáveis aleatórias a e b constantes, então:\n\nV(a) = 0\nV(aX + b) = a² · V(X)\nV(X + Y) = V(X) + V(Y), se X e Y forem independentes, caso contrário:\nV(aX + bY) = a² · V(X) + b² · V(Y) ± 2ab · cov(X,Y)\n\nEm que cov(X,Y) = E(X) · E(Y) − E(X) · E(Y) é a covariância.\n\n⚠️ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nDESVIO PADRÃO\n\nO desvio padrão é definido como a raiz quadrada da variância, ou seja:\n\nσ_x = DP(X) = √V(X)\n\n⚠️ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nATENÇÃO\n\nNote que a variância mede o chamado erro quadrático. Como consequência, sua unidade é o quadrado da unidade da variável aleatória. Assim, o desvio padrão, que é definido como a raiz quadrada da variância, possui, de fato, a mesma unidade da variável aleatória.\n\nMÃO NA MASSA\n\n1. SEJA\n\nf(x) = { kx², 0 ≤ x ≤ 1\n 0, caso contrário\n\n⚠️ ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROlagem HORIZONTAL CONSIDERANDO A QUESTÃO ANTERIOR. DETERMINA A ESPERANÇA MATEMÁTICA DE X.\nA) 1/5\nB) 2/5\nC) 3/5\nD) 7/5\nE) 8/5 A) \\frac{x^2}{4}, \\, 0 \\leq x \\leq 2\\ 0, \\ caso contrário\n\nDETERMINA P(0 < X < 1/2):\nA) 1/256\nB) 1/126\nC) 1/63\nD) 1/48\nE) 1/16 Determine a função densidade F(x) no intervalo de (0,1):\nA alternativa \"D\" está correta. 5. Considere a seguinte função densidade de probabilidade:\n\nf(x) = { 1/4, 0 ≤ x ≤ 2\n 0, Caso Contrário\n\nAtenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nDetermine P(0 < X < 1/2).\nA alternativa \"A\" está correta.\n\nSolução:\n\nP(0 < X < 1/2) = ∫(1/2)^0 (1/4) dx = x|_(1/2)^0 = (1/2)/(4) = 1/256\n\n☐ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\n6. Considerando a questão anterior, determine a esperança matemática de X.\nA alternativa \"E\" está correta.\n\nSolução:\n\nE(X) = ∫(2/3) 0 x² * (1/4) dx = 1/4 * ∫(2/3) 0 x² dx = 1/4 * (x³/3)|_(2/3)^0 = 32/30 = 8/3\n\n☐ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nGABARITO\n\nTEORIA NA PRÁTICA\n\nSeja X a variável aleatória continua que representa o tempo de espera (em horas) para ser atendido na fila de um banco qualquer. Sabendo que a função densidade de X é dada por,\n\nf(x) = { (3/8)x², 0 ≤ x ≤ 4\n 0, Caso Contrário\n\n☐ Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\ndetermine o tempo médio de espera.\n\nRESOLUÇÃO\n\nAssista ao vídeo sobre variáveis aleatórias contínuas:\n\nPara assistir a um vídeo sobre o assunto, acesse a versão online deste conteúdo.