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Matemática ·
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Estruturas Algébricas Anéis Unidade de Ensino 3 Estruturas Algébricas Anéis Competência da Unidade Conhecer e compreender as propriedades e estruturas algébricas de anéis Resumo Nesta aula abordaremos os conceitos de anéis anéis comutativos anéis com unidade anéis de integridade subanéis e os principais exemplos Palavraschave Estruturas Algébricas Anéis Anéis com unidade Anéis comutativos Anéis de integridade Subanéis Título da Teleaula Anéis Teleaula nº 03 Contextualização Por que 𝑥 𝑥 1 0 implica 𝑥 0 e 𝑥 1 httpsbitly3OtjF8vacesso em 27 jun 2022 O que fundamenta a regra de sinais da multiplicação dos inteiros Conteúdos Anéis Definição Relações entre grupos e anéis Propriedades Anéis comutativos e com unidade Anéis de integridade Subanéis Estrutura de anel Estrutura de anel Conjunto não vazio 𝐴 e duas operações binárias sobre 𝐴 e Distributiva 𝐴 anel Operação Operação Associativa Comutativa Existência de elemento neutro Existência de elemento simetrizável Operações e fechadas 1 2 3 4 5 6 𝐴 será anel quando 𝐴 for grupo abeliano 𝐴 gozar do fechamento e da associatividade semigrupo 𝐴 possuir a propriedade distributiva de em relação à Exemplos de anéis ℤ ℚ ℝ Contraexemplo ℕ ℕ não apresenta a propriedade da existência de elemento simetrizável a todo natural Propriedades imediatas da definição de anel Propriedades imediatas da definição de anel Seja um anel 𝐴 São válidas as seguintes propriedades como consequência da definição de anel Unicidade do elemento neutro associado à operação Consiste no elemento neutro do grupo abeliano 𝐴 Exemplo 0 ℤ é elemento neutro do grupo abeliano ℤ sendo também o elemento neutro referente à operação no anel ℤ Dado 𝑥 𝐴 o simétrico de 𝑥 em relação à operação é o próprio elemento 𝑥 É valida a lei do cancelamento para a operação 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 implica 𝑥 𝑦 com 𝑥 𝑦 𝑎 𝐴 Exemplo o simétrico de 3 ℤ em relação à operação no anel ℤ é o 3 ℤ Exemplo se 𝑥 3 𝑦 3 com 𝑥 𝑦 ℤ então 𝑥 𝑦 porque ℤ é anel Para o elemento neutro 𝑒 da operação é válido que 𝑥 𝑒 𝑒 𝑥 𝑒 para todo 𝑥 𝐴 Para todos 𝑥 𝑦 𝐴 é válido que 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 Exemplo no anel ℤ temos que 𝑥 0 0 𝑥 0 para todo 𝑥 ℤ Observação regra dos sinais em ℤ 7 8 9 10 11 12 Anéis comutativos e anéis com unidade Categorias particulares de anéis Seja o anel 𝐴 𝐴 Anel comutativo Operação goza da comutatividade Anel com unidade Operação goza da existência de elemento neutro Exemplo seja o anel ℤ Adição usual fechamento associatividade comutatividade existência de elemento neutro e de elemento simetrizável Multiplicação usual fechamento e associatividade Distributividade da multiplicação em relação à adição Multiplicação usual é comutativa pois 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 para todos 𝑥 𝑦 ℤ Definição de anel Conclusão ℤ é um anel comutativo Exemplo seja o anel ℤ Adição usual fechamento associatividade comutatividade existência de elemento neutro e de elemento simetrizável Multiplicação usual fechamento e associatividade Distributividade da multiplicação em relação à adição Multiplicação usual tem o elemento neutro 1 unidade pois 1 𝑥 𝑥 1 𝑥 𝑥 ℤ Definição de anel Conclusão ℤ é um anel com unidade Estudo do anel de matrizes Tarefa Estudar o anel de matrizes quadradas de ordem 2 com entradas reais Como justificar a estrutura do anel de matrizes Podemos classificálo como comutativo E com unidade 13 14 15 16 17 18 Estrutura M2 R MR grupo abeliano MR é anel Fechamento AB M2R AB M2R Y Mostrar que M IR é grupo abeliano Associatividade ABC MR ABCABC Mostrar que MIR goza da associatividade Comutatividade AB MRABBA Y Mostrar que M IR apresenta a propriedade Existéncia de elemento neutro matriz nula distributiva da multiplicaco em relacdo a 0 ow 0 0 digao a aclga Existéncia de elemento oposto x x 4 e M2R 4 e maR 19 20 MR goza do fechamento o produto entre matrizes MR nado é comutativo Verificar comutatyiaade da quadradas de ordem 2 é uma matriz quadrada de ordem 2 Por exemplo mumpacasao MR goza da associatividade dados ABC MR AB 1 0 2 10401 1200 2 temos que l1 ala ol l10411 12410 lh 2 ABCABC ba at ape yore tel 2 Distributividade dados AB C MR temos 1 oll1 UW 1401 1040 1 oO Note que AB BA ABCABAC BCABACA Portanto M2 IR 6 um anel 21 22 MR anel com unidade Verificar existéncia de elemento aan neutro para multiplicagao Seja a matriz I F tl MR Para qualquer matriz em MR é valido que O conceito de anele an ft Y Jap le bona os subconjuntos de Z 2 le dilo al le allo ille al sendo A MR qualquer 23 24 Atividade Considere a estrutura 2Z na qual 20 420246 Aneis ou dominios de Aestrutura apresentada é um anel integ ridade Eum anel comutativo Eum anel com unidade 25 29 Anel comutativo com unidade Anel ou dominio de integridade Operacdes e fechadas aa Seja A um anel comutativo com unidade YZ ern Considere e 0 elemento neutro da operacao A Y Se for valida a propriedade anel Pe prop comutativo Distributiva SS abA com abe Lei do anulamento com implica a e Ou b eg do produto ne J ento A sera um ane ou dominio oe1re0 ed de integridade 30 31 Exemplo seja o anel Z comutativo com unidade Contraexemplo da lei do anulamento do produto Elemento neutro da adicao usual 0 Sejam A F eB matrizes de M IR Note que se xy Z sao tais que 09 Mon xy 0 Note que A e B sao nao nulas porém f1 070 070 O entao AB F ol 0 lo al x00ouy0 Observaco A e B sao chamadas divisores de zero 7 no anel de matrizes R Conclusdo Z 6 um anel de integridade 32 33 Subanel Sejam A um anel e B c A um subconjunto nado vazio B sera um subanel de A se B for fechado para ambas as operacdes B for em particular um anel Proposicdo B 6 subanel de A se para todos xy B tivermos x y eB exyeB xyxty 34 35 Exemplo Relacdes entre anel e subanel Sejam o anel Ze2ZcZ 2Z21012 Seja B um subanel de A Considere x y 2Z entdo existem kq Z tais que x 2ke Possibilidades B subanel unitario y 99g 2 s de A 1g 1 y 2q Observe que y 2q 2q com q Z entao y 22 so y 2k 29 2k 4 Con KK eee a xy 2k2q 22kq Apenas 0 anel tem unidade com k q2kq Z Logo x y xy 2Z Conclusao 2Z um subanel de Z 36 37 Categorias de anéis Alguns exemplos cr importantes de aneis yg ory 38 39 Alguns exemplos importantes Anéis de fungées Anéis numéricos Conjunto de funcdes A Z2 ffZ Z G4 94 Operagoes Adicaéo f gZ Zcom f gx fx gx Vx EZ Anéis de matrizes Multiplicagdo fgZ Z com fgx fxgx Vx EZ MR anel ndo comutativo G eanel com unidade Anéis finitos construidos a partir de conjuntos finitos Exemplo anel Z3 40 41 Tarefa Estudar o conjunto dos inteiros mddulo 6 Anéis associados aos denotado por Z 012345 com suas operag6es usuais de adicao e multiplicagao conjuntos dos inteiros ee ee eee bd i Ze um anel comutativo com unidade modulo m Ze um anel de integridade 42 43 Estrutura Z 6 um anel comutativo com unidade Existéncia de elemento neutro 0 Z é o elemento Ze um grupo abeliano neutro pois dado qualquer a Z Fechamento ab Z abDZ a0at0a Associatividade dados ab Ze Existéncia de elemento simetrizavel o elemento oposto a imétrico aoa EZ G06aEZ abeabtcattcatb te UG rico a0 d Ze ae 6 atbceabe a6aa6aaat6 Comutatividade para ab Ze a a 604660 abatbbaab 44 45 Estrutura Z 6 um anel comutativo com unidade Estrutura Z ndo é anel de integridade Z goza das propriedades Sejam por exemplo 23 Z e note que Fechamento ab Zg ab Ze 232360 Associatividade dados b Z No entanto 20e3 0 abé abe abe abc abe abe Como Z possui divisores de zero entdo Comutatividade para ab Z Ze nao é anel de integridade ababba4b Existéncia de elemento neutro 1 Z 1a14VaEeZ 46 47 Atividade A partir do conjunto Z podemos construir o Anel dos inteiros anel Zm Com as operacgdes de adicdo e modulo multiplicagdo usuais associadas m Em quais casos Zm sera um anel de integridade 48 49 Recapitulando Nesta aula estudamos Estrutura composta por Anel conjunto nao vazio e duas Recapitulando operacoées binarias Propriedades Decorrentes da definicao de imediatas anel Anel comutativo Anel no qual é verificada a propriedade comutativa 51 52 Anel com unidade Anel no qual é válida a propriedade da existência de elemento neutro para a 2ª operação binária Anel de integridade Anel comutativo com unidade que goza da lei do anulamento do produto Subanel Subconjunto a partir do qual é possível definir um anel 53
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Estruturas Algébricas Anéis Unidade de Ensino 3 Estruturas Algébricas Anéis Competência da Unidade Conhecer e compreender as propriedades e estruturas algébricas de anéis Resumo Nesta aula abordaremos os conceitos de anéis anéis comutativos anéis com unidade anéis de integridade subanéis e os principais exemplos Palavraschave Estruturas Algébricas Anéis Anéis com unidade Anéis comutativos Anéis de integridade Subanéis Título da Teleaula Anéis Teleaula nº 03 Contextualização Por que 𝑥 𝑥 1 0 implica 𝑥 0 e 𝑥 1 httpsbitly3OtjF8vacesso em 27 jun 2022 O que fundamenta a regra de sinais da multiplicação dos inteiros Conteúdos Anéis Definição Relações entre grupos e anéis Propriedades Anéis comutativos e com unidade Anéis de integridade Subanéis Estrutura de anel Estrutura de anel Conjunto não vazio 𝐴 e duas operações binárias sobre 𝐴 e Distributiva 𝐴 anel Operação Operação Associativa Comutativa Existência de elemento neutro Existência de elemento simetrizável Operações e fechadas 1 2 3 4 5 6 𝐴 será anel quando 𝐴 for grupo abeliano 𝐴 gozar do fechamento e da associatividade semigrupo 𝐴 possuir a propriedade distributiva de em relação à Exemplos de anéis ℤ ℚ ℝ Contraexemplo ℕ ℕ não apresenta a propriedade da existência de elemento simetrizável a todo natural Propriedades imediatas da definição de anel Propriedades imediatas da definição de anel Seja um anel 𝐴 São válidas as seguintes propriedades como consequência da definição de anel Unicidade do elemento neutro associado à operação Consiste no elemento neutro do grupo abeliano 𝐴 Exemplo 0 ℤ é elemento neutro do grupo abeliano ℤ sendo também o elemento neutro referente à operação no anel ℤ Dado 𝑥 𝐴 o simétrico de 𝑥 em relação à operação é o próprio elemento 𝑥 É valida a lei do cancelamento para a operação 𝑥 𝑎 𝑦 𝑎 implica 𝑥 𝑦 com 𝑥 𝑦 𝑎 𝐴 Exemplo o simétrico de 3 ℤ em relação à operação no anel ℤ é o 3 ℤ Exemplo se 𝑥 3 𝑦 3 com 𝑥 𝑦 ℤ então 𝑥 𝑦 porque ℤ é anel Para o elemento neutro 𝑒 da operação é válido que 𝑥 𝑒 𝑒 𝑥 𝑒 para todo 𝑥 𝐴 Para todos 𝑥 𝑦 𝐴 é válido que 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 Exemplo no anel ℤ temos que 𝑥 0 0 𝑥 0 para todo 𝑥 ℤ Observação regra dos sinais em ℤ 7 8 9 10 11 12 Anéis comutativos e anéis com unidade Categorias particulares de anéis Seja o anel 𝐴 𝐴 Anel comutativo Operação goza da comutatividade Anel com unidade Operação goza da existência de elemento neutro Exemplo seja o anel ℤ Adição usual fechamento associatividade comutatividade existência de elemento neutro e de elemento simetrizável Multiplicação usual fechamento e associatividade Distributividade da multiplicação em relação à adição Multiplicação usual é comutativa pois 𝑥 𝑦 𝑦 𝑥 para todos 𝑥 𝑦 ℤ Definição de anel Conclusão ℤ é um anel comutativo Exemplo seja o anel ℤ Adição usual fechamento associatividade comutatividade existência de elemento neutro e de elemento simetrizável Multiplicação usual fechamento e associatividade Distributividade da multiplicação em relação à adição Multiplicação usual tem o elemento neutro 1 unidade pois 1 𝑥 𝑥 1 𝑥 𝑥 ℤ Definição de anel Conclusão ℤ é um anel com unidade Estudo do anel de matrizes Tarefa Estudar o anel de matrizes quadradas de ordem 2 com entradas reais Como justificar a estrutura do anel de matrizes Podemos classificálo como comutativo E com unidade 13 14 15 16 17 18 Estrutura M2 R MR grupo abeliano MR é anel Fechamento AB M2R AB M2R Y Mostrar que M IR é grupo abeliano Associatividade ABC MR ABCABC Mostrar que MIR goza da associatividade Comutatividade AB MRABBA Y Mostrar que M IR apresenta a propriedade Existéncia de elemento neutro matriz nula distributiva da multiplicaco em relacdo a 0 ow 0 0 digao a aclga Existéncia de elemento oposto x x 4 e M2R 4 e maR 19 20 MR goza do fechamento o produto entre matrizes MR nado é comutativo Verificar comutatyiaade da quadradas de ordem 2 é uma matriz quadrada de ordem 2 Por exemplo mumpacasao MR goza da associatividade dados ABC MR AB 1 0 2 10401 1200 2 temos que l1 ala ol l10411 12410 lh 2 ABCABC ba at ape yore tel 2 Distributividade dados AB C MR temos 1 oll1 UW 1401 1040 1 oO Note que AB BA ABCABAC BCABACA Portanto M2 IR 6 um anel 21 22 MR anel com unidade Verificar existéncia de elemento aan neutro para multiplicagao Seja a matriz I F tl MR Para qualquer matriz em MR é valido que O conceito de anele an ft Y Jap le bona os subconjuntos de Z 2 le dilo al le allo ille al sendo A MR qualquer 23 24 Atividade Considere a estrutura 2Z na qual 20 420246 Aneis ou dominios de Aestrutura apresentada é um anel integ ridade Eum anel comutativo Eum anel com unidade 25 29 Anel comutativo com unidade Anel ou dominio de integridade Operacdes e fechadas aa Seja A um anel comutativo com unidade YZ ern Considere e 0 elemento neutro da operacao A Y Se for valida a propriedade anel Pe prop comutativo Distributiva SS abA com abe Lei do anulamento com implica a e Ou b eg do produto ne J ento A sera um ane ou dominio oe1re0 ed de integridade 30 31 Exemplo seja o anel Z comutativo com unidade Contraexemplo da lei do anulamento do produto Elemento neutro da adicao usual 0 Sejam A F eB matrizes de M IR Note que se xy Z sao tais que 09 Mon xy 0 Note que A e B sao nao nulas porém f1 070 070 O entao AB F ol 0 lo al x00ouy0 Observaco A e B sao chamadas divisores de zero 7 no anel de matrizes R Conclusdo Z 6 um anel de integridade 32 33 Subanel Sejam A um anel e B c A um subconjunto nado vazio B sera um subanel de A se B for fechado para ambas as operacdes B for em particular um anel Proposicdo B 6 subanel de A se para todos xy B tivermos x y eB exyeB xyxty 34 35 Exemplo Relacdes entre anel e subanel Sejam o anel Ze2ZcZ 2Z21012 Seja B um subanel de A Considere x y 2Z entdo existem kq Z tais que x 2ke Possibilidades B subanel unitario y 99g 2 s de A 1g 1 y 2q Observe que y 2q 2q com q Z entao y 22 so y 2k 29 2k 4 Con KK eee a xy 2k2q 22kq Apenas 0 anel tem unidade com k q2kq Z Logo x y xy 2Z Conclusao 2Z um subanel de Z 36 37 Categorias de anéis Alguns exemplos cr importantes de aneis yg ory 38 39 Alguns exemplos importantes Anéis de fungées Anéis numéricos Conjunto de funcdes A Z2 ffZ Z G4 94 Operagoes Adicaéo f gZ Zcom f gx fx gx Vx EZ Anéis de matrizes Multiplicagdo fgZ Z com fgx fxgx Vx EZ MR anel ndo comutativo G eanel com unidade Anéis finitos construidos a partir de conjuntos finitos Exemplo anel Z3 40 41 Tarefa Estudar o conjunto dos inteiros mddulo 6 Anéis associados aos denotado por Z 012345 com suas operag6es usuais de adicao e multiplicagao conjuntos dos inteiros ee ee eee bd i Ze um anel comutativo com unidade modulo m Ze um anel de integridade 42 43 Estrutura Z 6 um anel comutativo com unidade Existéncia de elemento neutro 0 Z é o elemento Ze um grupo abeliano neutro pois dado qualquer a Z Fechamento ab Z abDZ a0at0a Associatividade dados ab Ze Existéncia de elemento simetrizavel o elemento oposto a imétrico aoa EZ G06aEZ abeabtcattcatb te UG rico a0 d Ze ae 6 atbceabe a6aa6aaat6 Comutatividade para ab Ze a a 604660 abatbbaab 44 45 Estrutura Z 6 um anel comutativo com unidade Estrutura Z ndo é anel de integridade Z goza das propriedades Sejam por exemplo 23 Z e note que Fechamento ab Zg ab Ze 232360 Associatividade dados b Z No entanto 20e3 0 abé abe abe abc abe abe Como Z possui divisores de zero entdo Comutatividade para ab Z Ze nao é anel de integridade ababba4b Existéncia de elemento neutro 1 Z 1a14VaEeZ 46 47 Atividade A partir do conjunto Z podemos construir o Anel dos inteiros anel Zm Com as operacgdes de adicdo e modulo multiplicagdo usuais associadas m Em quais casos Zm sera um anel de integridade 48 49 Recapitulando Nesta aula estudamos Estrutura composta por Anel conjunto nao vazio e duas Recapitulando operacoées binarias Propriedades Decorrentes da definicao de imediatas anel Anel comutativo Anel no qual é verificada a propriedade comutativa 51 52 Anel com unidade Anel no qual é válida a propriedade da existência de elemento neutro para a 2ª operação binária Anel de integridade Anel comutativo com unidade que goza da lei do anulamento do produto Subanel Subconjunto a partir do qual é possível definir um anel 53