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Matemática ·
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Equações Diferenciais Parciais e Séries Série de Taylor e Série de Fourier Dra Jenai Oliveira Cazetta Fonte httpsbitly33O0Iqq Como podemos aproximar funções de modo a controlar o erro associado O que são séries de potências E séries de Taylor E séries de Fourier Série de Taylor Expressam funções bastante complicadas em termos de funções elementares familiares Série de Fourier Classe especial de séries de funções cujo objetivo é representar funções ℝℝ periódicas na forma de uma série de funções que envolvem somente senos e cossenos Série de Taylor vs Fourier Série de Taylor Série de Fourier S S Fu processo local soma de funções polinomiais funções contínuas processo global soma de funções trigonométricas funções periódicas Questionamento Essa estratégia é útil para integrar funções que não têm primitivas elementares resolução de equações diferenciais aproximar funções por polinômios Fonte httpsbitly33O0Iqq Porquê queremos expressar uma função conhecida como uma soma infinita de termos Séries de potências Série de poténcias Forma geral Raio de convergéncia TOO ne a f Para uma dada série de poténcias co R raio de 4 nx k ag tayxk tagxk anekK existem apenas trés possibilidades Cc convergencial 1H LY kkckSSttiéSCQ converge para x k R Varidvel R0 a serie Snore para xkR ft Coeficientes da série R0 a serie converge apenas em x k Fonte ntpso9330014q centrada em k em torno de k R 0 a Série converge em todo o seu dominio convergéncia testes de convergéncia de séries teste da razdo teste da raiz etc Série de poténcias centrada em zero a convergéncia para x a R ra Teste ie A o a C ratio se TQ y nx dy ax dpx ot aga toe eee TOS 0 oO aR atR 4 Variavel L divergéncia para x a R Coeficientes da série Fonte httpsbitly3300Iqq cee série de poténcias centrada em zero A série é absolutamente convergente se a converge para ap quando x 0 lim a 1 n dy Exemplo 01 Exemplo 02 Série de poténcia centrada em zero com a n para todo n Dit alte batt ts nao nix Ox 1bxt 2x 3lx8 feet nlx e série de poténcia centrada em zero com a 1 para todo n TiO Seri strica a Dae 1t xt 2x2 4 6x3 tert nlat ten para x 1 pode representar 4 n a fungao a 1 Sy 1x n0 Série de Taylor para f centrada em a Permite a representagao de funcées por séries de poténcias desde que a funcao e todas as suas derivadas sejam limitadas 1 Series de Taylor e de om Bo 0 g x y M a f derivada A Maclaurin IO Le ee Y de ordem n n ae Fonte httpsbitly3300Iqq Fe Fa a O ay Observacoes Exemplo Com a série de Taylor de uma fungao fx obtemos o f x e centrada em a 2 polindmio de Taylor boa aproximacdo para a fungdo co co co we Ma 2 e2 FG nas wizinhancas de um ponto a xa f x 2 a 2 Exigéncia a funcdo fx deve ser suficientemente n0 n0 n0 suave e possuir derivadas continuas até uma certa ordem tanto no ponto como nas vizinhancas deste ponto Esse método falha para obter um processo de aproximacao global Série de Maclaurin Exemplo 01 Série de Taylor centrada na origem f x e centrada em a 0 C f derivada 1p N oy o 2 rg tC deordemn 08 PPO nr Ven Sty ei VS fx Y PO yn n x n m nl n a ooo ni n0 n0 n n0 0 0 Fonte httpsbitly3300Iqq fx f ee fen Exemplo 02 Polindmio de Taylor de ordem n centrado em zero f x senx centrada em a 0 0 0 9 Px f0 L fO op LO yn oe 1 x2nt 1 2 n senk Y 2n 1 Polinémio de grau n n0 Exemplo Fungo seno de xe Ts WZ 1 ent xe x5 x7 aproximagées de Taylor com senx x polinémios de grau 1 3 5 7 9 11 i 2 an 1 3 3 m Também podemos determinar o polindmio de Taylor de sont hep oityatgvow ordem n centrado em um ponto x a Exemplo Considere o polinémio de Taylor de 3 grau centrado em zero da funcao fx e A partir desse polinémio ators NY f I ww encontre o valor de e e ye ex 20 A Funcoes periodicas e 2 3 2 3 eS 1649 atte ete test tee een continuas por partes 3 3 38 o exlt3713 05 053 eS x 1405 1646 ft 2 6 Fonte httpsbitly3300Iqq Funcao periddica Consideragoes Seja f IR R uma funcao periddica se para todo x R 01 Periodo fundamental menor valor de T para o qual fx T fx simplesmente denominado periodo fe P fx 02 A func3o mantemse inalterada se sofrer no tempo o deslocamento de um periodo periodo fundamental menor valor de P para o qual fx P fx 03 A area definida por f2 em qualquer intervalo com a duraco de um simplesmente denominado periodo periodo é sempre igual a funcao mantemse inalterada se sofrer o deslocamento To L de um periodo i f xdx f dx So L onde L T2 semiperiodo Exemplo 01 04 Se f e g sdo fungdes periddicas com periodo comum Seja f IR R dada por fx senx periodo P 2m T entao produto fg e y O combinacGes lineares cf cg 1 05 Funcao constante pode ser considerada periddica O x com qualquer periodo nao tem periodo sid 2 fundamental 4 Periodo 2 Exemplo 02 a Funco continua por partes LS Periodo Seja f IR R dada por fundamental 21 D Fungao continua por partes ou fungao seccionalmente continua MEX MEX oF 7 Funcao f IR R que admite apenas um numero finito de fo sen L ou fF cos L a descontinuidades saltos em qualquer intervalo limitado de seu dominio Se k nmL ento 0 periodo sera Le semiperiodo lim fx 9 se y xoxt 2x an L 2L Fonte htpsbity3300iga Yb eneneeeennnennnne PaT amL 2a f a Jim fx e p rai 7 lim fx dl Se XOX x i a 1 X2 b x Jim faf Exemplo Descontinuidade emx0 t 1sex0 al signx4 0 sex0 NX Zs 1sex 0 Oy Expansao em série de 3 Oly 5 Taylor e de Maclaurin signx Série de Taylor e de Maclaurin 4 primeiras derivadas Considere a fungdo fx cosx determine Funcao e derivadas x0 x13 a Grau 4 1H 1 a sua expansao em série de Taylor centrada em 13 fx cosx fO1 fr3 12 SS oo 2 a sua expansdo em série de Taylor centrada em 0 série de Maclaurin f senx f0 0 f3 V32 ft 3 0 polindmio de Taylor associado centrado em zero de grau 4 com PG cosx fF 1f3 12 erro inferior a 107 flsenx f00 fGr3 V32 Font htpsoity3300I0a FOC cosx FPO 1 FOM312 Expansdo em série de Taylor centrada em 73 Sah 32 mm 12 Tty2 ow f 1245 x3tGP x3 fn3 12 SlP pvn far3 V32 teoY oP a VB2 mm 12 me wt Sr 3 tar e3 2 FDr3 mn f3 V32 4H 3 Fod 3 1 V3 TT 1 m2 aes fod 3Z3ge9 Ot 3 C3 reo1 8 9 5 Head ad oni f 3 3 fOG3 4 nl tala TT TT TC 1 3 3 ge x3 Expansdo em série de Taylor centrada em 0 Estudo do erro T x0 7 A a c Erro inferior py MQ 0 1 altyzztyLiye ry alot n0 w f0 1 Estudo do erro i O 0 9 0 al 1 pd Oe Oe a on Pyx 15 x 7 x 1 Fonte httpsbitly3300Iqq podatteeg teeta g tary Ex4 00001 x 0072 1 2 3 Al 1 1 16 00001 bel Voo72 1 i 1 axl f0 1Sx2 4ox4 t Y Sxn 6 Ix 0645 id Z ant Ix 000016 Série de Maclaurin da fungado seno Qual é o maximo erro possivel ao usar a aproximacao na x3 x Funcoes e polinomios senx x Ft de Taylor quando 03 x 03 Func6es periddicas Qualquer funcdo periddica por mais complicada que seja pode ser 1 representada como a soma de varias funcgdes seno e cosseno com Serie de Fou rier amplitudes fases e periodos escolhidos convenientemente Serie de Fourier Os coeficientes ag a b sao as amplitudes de cada onda componente do Para f e f continuas por partes em P P e f petiddica de periodo P a desenvolvimento em série funcado f admite expansdo em série de Fourier da forma 6 senx a NIX NIX 3 senx G10 F D fencoe by sen F 2 5 senx a Coeficientes da Série de Fourier O argumento do seno e do cosseno é a frequéncia de cada onda componente do desenvolvimento em série 1h Cay if fd dx tae 1 TAN pp senx Wo Ne AT WARY oe f Ad WZ Md sentsx an z fedeosFax L Fonte httpsbitly3300lqq L Pn 7 100 sen ax Representac6es graficas 7 aa LpaaA Tee 4 4 ee ee ee th si ail ape a 04 A 04 04 ae al bs o2 Z Ne 02 rr Cr os LV NS LZ al Xs n1357911 02 05 fo om Tass at atte a0 05 1 15 15 1 15 1 n135 Pach aaa hannah Estudo da funcdo cosseno Estudo da funcdo seno Seja n um numero inteiro positivo Seja n um numero inteiro positivo cost a nimpar 1 vw 11 111 Pulso retangular f0sexOoux1 ox recea 2 08 S00 C 3 1 Serie de Fourier ea Cb oo funcao pulso ft retangular so usb 0 1 2 3 4 4 EN 1h nnx a a fxdx a fx cos dx va Colnsiss zoel rons 2 1 P29L1 4 1 nx P22L1 7 ao if f dx wo yy an i fo cos dx SS ae Y 7 oslo creasiom ars eostmyae n 3 a Sf dx 5 1 dx a S cosnmx dx 1 cosnmx dx 1 a Ixy ay el a1 oe 14 mmx ee cm 1 bn fC d by 1 fom A penaftesisese 1p mm ee by cosnm cos0 by if fx sen dx ei n cosnm cos0 1 A 1 0 1 1 by 0 sennax dx 1 sennmx dx bn nt 1 1 1 0 cosnnx 4 a tn enc se népar bn nt 0 nn ng se é impar n 2n1 a NIX NIX fa am FO F D ancos bn sen oF a KA LA nat a1 a0 S 2 Po rT r 1 Sacyy Sent a lan e enn nx pF 4 f 3 onc nm JZ Lal My id f zt sennx i 1 2 f a Grae semn 7 Dmx 2 sen3nx Laval 31 Rant pay 2 By senSnx tee Fonte httpsbitly2XHEqoH z Z Fungdao par Para todo x Df re r 7 Series de Fourier para fe f Sa s funcdes pares e ft z Simetria em relaco ao eixo y eee eee eee fungoes impares exemplo cit 1 x Fax oth Funcdo impar Para todo x Df a fx cosx fxcos fx gx fxgx fx fa senx senx aa ms N par par par par par par impar par impar par impar impar Simetria em relacao a origem peceee gece fx senx fx senx impar par impar Exempla aly Fonte haps o3300144 par impar mpar mpar mpar par I mpar mpar par ir Vo 1 2 fx x3 ESE ESE Integrais de funcdes pares e impares Série de Fourier para funcOes pares a G fQx 2 an cos 0 sen 1 Fx dx 2 J Fx dx a 0 a hed a NIX erie dos Z f an cos c cossenos fi Fonte httpsbity33001aq 2 L a a al fx dx fx dx 0 SES 4 2 if f x cos dx Exemplo Série de Fourier para fungdes impares x se 2x0 roo xse Ox2 p 2h 5 orcas 2 by sen 1H n1 ee oe ay 1 2n 1nx 2 Série dos fx 1 oe anaes f0 bn sen ee t senos 7 nl el Fonte hitpsbity330019q y 2 NIX 2 I bn i fx sen dx Exemplo xse LxL 0 hao cierat 7 ae Extensées periédicas aby Cp Ari 7 0 BY COP son e séries de Fourier n1 i nA BL ARAL Lk L fl Extensdo periddica Representacdo periddica par Considere a fungdo fx x definida no intervalo limitado z x Extensdo periddica par estenda a definicéo dessa fungdo de modo que essa funcao seja x se mx0 Stent a 7 N periddica FOO v scoexen Senne P faca uma extensdo periddica par e uma extensdo periddica impar e fx 2m fx t desenvolvaas em série de Fourier sion ily SZNIZTNIZENZ 2c NMX a fl RAN 2 2 2 x il faeos dx a esedeece a F 6 a x dc w 215 a f NX Sa oo eo Qn xcosdx a nx a mF J wav wo f va fe F Y ancos A faxsedxcm a 2 n Len Qn x cosnx dx mn a 2 cosnm 1 fo ur 2 ae Dy 5 cos ee 2 ee T Tn n2 2 ani n ay mo ms t0 2feprny 4m 1 mn o 3 f5 Day cos2n 1x Representacao periddica impar reaeaeaaee 2f nx A ae bn F fx sen dx fQxx semxm y Extenso periddica impar LJo L Pn fe fF 8 SxS Ba yoo by xsendx 10 sex4n T Jo T 9 2m udv uv vdu fx 2m fx bn x sennx dx Fonte httpsbitly3300Iqq 70 aly 2sennx xcosnx 21 fff re on ee 0 n PETE LHL E 2 mcosnn 2ps bn 1 n Pn n NIX f bn sen n1 ros 1 y poo es Coeficientes da serie x sen mail de Fourier 2 yt fx 2 senna n1 8 Suponha que desejamos determinar a série de Fourier de cossenos para a x 2x0 fungdo fx x 0x2 Para isso 6 necessario determinar os coeficientes a e nesse processo Recapitula ndo devemos calcular a integral NIX cos dx Qual estratégia podemos empregar nesse calculo Série de Poténcias Série de Fourier lim e 1 ao NX nx nx k ug tay e k g x k nse An f zt a cos oe by sen DI a co Lou P20 Série de Taylor ire ay7 fe ax opin a L p YE Oe ay A vmx nn n0 Coeficientes a if fx cos dx Série de Maclaurin bhi L 1 ft NIX n 0 Sa 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Equações Diferenciais Parciais e Séries Série de Taylor e Série de Fourier Dra Jenai Oliveira Cazetta Fonte httpsbitly33O0Iqq Como podemos aproximar funções de modo a controlar o erro associado O que são séries de potências E séries de Taylor E séries de Fourier Série de Taylor Expressam funções bastante complicadas em termos de funções elementares familiares Série de Fourier Classe especial de séries de funções cujo objetivo é representar funções ℝℝ periódicas na forma de uma série de funções que envolvem somente senos e cossenos Série de Taylor vs Fourier Série de Taylor Série de Fourier S S Fu processo local soma de funções polinomiais funções contínuas processo global soma de funções trigonométricas funções periódicas Questionamento Essa estratégia é útil para integrar funções que não têm primitivas elementares resolução de equações diferenciais aproximar funções por polinômios Fonte httpsbitly33O0Iqq Porquê queremos expressar uma função conhecida como uma soma infinita de termos Séries de potências Série de poténcias Forma geral Raio de convergéncia TOO ne a f Para uma dada série de poténcias co R raio de 4 nx k ag tayxk tagxk anekK existem apenas trés possibilidades Cc convergencial 1H LY kkckSSttiéSCQ converge para x k R Varidvel R0 a serie Snore para xkR ft Coeficientes da série R0 a serie converge apenas em x k Fonte ntpso9330014q centrada em k em torno de k R 0 a Série converge em todo o seu dominio convergéncia testes de convergéncia de séries teste da razdo teste da raiz etc Série de poténcias centrada em zero a convergéncia para x a R ra Teste ie A o a C ratio se TQ y nx dy ax dpx ot aga toe eee TOS 0 oO aR atR 4 Variavel L divergéncia para x a R Coeficientes da série Fonte httpsbitly3300Iqq cee série de poténcias centrada em zero A série é absolutamente convergente se a converge para ap quando x 0 lim a 1 n dy Exemplo 01 Exemplo 02 Série de poténcia centrada em zero com a n para todo n Dit alte batt ts nao nix Ox 1bxt 2x 3lx8 feet nlx e série de 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mantemse inalterada se sofrer no tempo o deslocamento de um periodo periodo fundamental menor valor de P para o qual fx P fx 03 A area definida por f2 em qualquer intervalo com a duraco de um simplesmente denominado periodo periodo é sempre igual a funcao mantemse inalterada se sofrer o deslocamento To L de um periodo i f xdx f dx So L onde L T2 semiperiodo Exemplo 01 04 Se f e g sdo fungdes periddicas com periodo comum Seja f IR R dada por fx senx periodo P 2m T entao produto fg e y O combinacGes lineares cf cg 1 05 Funcao constante pode ser considerada periddica O x com qualquer periodo nao tem periodo sid 2 fundamental 4 Periodo 2 Exemplo 02 a Funco continua por partes LS Periodo Seja f IR R dada por fundamental 21 D Fungao continua por partes ou fungao seccionalmente continua MEX MEX oF 7 Funcao f IR R que admite apenas um numero finito de fo sen L ou fF cos L a descontinuidades saltos em qualquer intervalo limitado de seu dominio Se k nmL ento 0 periodo sera Le semiperiodo lim fx 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senx a Coeficientes da Série de Fourier O argumento do seno e do cosseno é a frequéncia de cada onda componente do desenvolvimento em série 1h Cay if fd dx tae 1 TAN pp senx Wo Ne AT WARY oe f Ad WZ Md sentsx an z fedeosFax L Fonte httpsbitly3300lqq L Pn 7 100 sen ax Representac6es graficas 7 aa LpaaA Tee 4 4 ee ee ee th si ail ape a 04 A 04 04 ae al bs o2 Z Ne 02 rr Cr os LV NS LZ al Xs n1357911 02 05 fo om Tass at atte a0 05 1 15 15 1 15 1 n135 Pach aaa hannah Estudo da funcdo cosseno Estudo da funcdo seno Seja n um numero inteiro positivo Seja n um numero inteiro positivo cost a nimpar 1 vw 11 111 Pulso retangular f0sexOoux1 ox recea 2 08 S00 C 3 1 Serie de Fourier ea Cb oo funcao pulso ft retangular so usb 0 1 2 3 4 4 EN 1h nnx a a fxdx a fx cos dx va Colnsiss zoel rons 2 1 P29L1 4 1 nx P22L1 7 ao if f dx wo yy an i fo cos dx SS ae Y 7 oslo creasiom ars eostmyae n 3 a Sf dx 5 1 dx a S cosnmx dx 1 cosnmx dx 1 a Ixy ay el a1 oe 14 mmx ee cm 1 bn fC d by 1 fom A penaftesisese 1p mm ee 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