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Mecânica dos Sólidos Aula 6 Carga Axial Prof Dr Guelton H Guedes gueltonhguni9probr Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 1 O princípio SaintVenant afirma que a deformação e tensão localizadas nas regiões de aplicação de carga ou nos apoios tendem a nivelarse a uma distância suficientemente afastada dessas regiões Princípio de SaintVenant Carga Axial Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 2 Usando a lei Hooke e as definições de tensão e deformação é possível determinar a deformação elástica de um elemento submetido a cargas axias Suponha um elemento sujeito a cargas 𝛿 deslocamento de um ponto na barra relativo a outro 𝐿 distância original 𝑃𝑥 força axial interna na seção 𝐴𝑥 área da seção transversal da barra 𝐸 módulo de elasticidade Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 3 Tensão 𝜎 𝑃 𝑥 𝐴 𝑥 Deformação 𝜀 𝑑𝛿 𝑑𝑥 𝛿 න 0 𝐿 𝜎 𝐸 𝑑𝑥 න 0 𝐿 𝑃 𝑥 𝐴 𝑥 𝐸 𝑑𝑥 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Carga constante e área de seção transversal Quando uma força constante externa é aplicada a cada extremidade da barra Convenção de sinais Força e deslocamento são positivos se provocarem tração e alongamento e negativos causarão compressão e contração AE PL Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 4 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Exemplo 41 A barra composta de aço é composta por dois segmentos 𝐴𝐵 e 𝐵𝐷 com áreas de seção transversal 𝐴𝐴𝐵 10 𝑚2 e 𝐴𝐵𝐷 20 𝑚2 Determinar o deslocamento vertical de 𝐵 em relação a 𝐶 e da extremidade 𝐴 em relação a 𝐷 Dado 𝐸𝑎ç𝑜 210 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 5 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Exemplo 41 A barra composta de aço é composta por dois segmentos 𝐴𝐵 e 𝐵𝐷 com áreas de seção transversal 𝐴𝐴𝐵 10 𝑚2 e 𝐴𝐵𝐷 20 𝑚2 Determinar o deslocamento vertical de 𝐵 em relação a 𝐶 e da extremidade 𝐴 em relação a 𝐷 Dado 𝐸𝑎ç𝑜 210 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 6 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐴𝐴𝐵 10 𝑚2 𝐴𝐵𝐷 20 𝑚2 𝐸𝑎ç𝑜 210 𝐺𝑃𝑎 𝐿𝐴𝐵 2 𝑚 𝐿𝐵𝐶 15 𝑚 𝐿𝐶𝐷 1 𝑚 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐵 4 𝑀𝑁 𝐹𝐶 8 𝑀𝑁 Analisando os diagramas de corpo livre e as forças nos segmentos 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐴𝐵 15 𝑀𝑁 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐵𝐶 7 𝑀𝑁 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐶𝐷 9 𝑀𝑁 Exemplo 41 A barra composta de aço é composta por dois segmentos 𝐴𝐵 e 𝐵𝐷 com áreas de seção transversal 𝐴𝐴𝐵 10 𝑚2 e 𝐴𝐵𝐷 20 𝑚2 Determinar o deslocamento vertical de 𝐵 em relação a 𝐶e da extremidade 𝐴 em relação a 𝐷 Dado 𝐸𝑎ç𝑜 210 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 7 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐴𝐴𝐵 10 𝑚2 𝐴𝐵𝐷 20 𝑚2 𝐸𝑎ç𝑜 210 𝐺𝑃𝑎 𝐿𝐴𝐵 2 𝑚 𝐿𝐵𝐶 15 𝑚 𝐿𝐶𝐷 1 𝑚 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐵 4 𝑀𝑁 𝐹𝐶 8 𝑀𝑁 Analisando as forças no segmento 𝐵𝐶 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐵𝐶 7 𝑀𝑁 𝛿𝐵𝐶 𝐹𝐵𝐶 𝐿𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶 𝐸𝑎ç𝑜 𝛿𝐵𝐶 7 106 15 20 210 109 𝛿𝐵𝐶 25 106 𝑚 𝛿𝐵𝐶 25 𝜇𝑚 Exemplo 41 A barra composta de aço é composta por dois segmentos 𝐴𝐵 e 𝐵𝐷 com áreas de seção transversal 𝐴𝐴𝐵 10 𝑚2 e 𝐴𝐵𝐷 20 𝑚2 Determinar o deslocamento vertical de 𝐵 em relação a 𝐶e da extremidade 𝐴 em relação a 𝐷 Dado 𝐸𝑎ç𝑜 210 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 8 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐴𝐴𝐵 10 𝑚2 𝐴𝐵𝐷 20 𝑚2 𝐸𝑎ç𝑜 210 𝐺𝑃𝑎 𝐿𝐴𝐵 2 𝑚 𝐿𝐵𝐶 15 𝑚 𝐿𝐶𝐷 1 𝑚 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐵 4 𝑀𝑁 𝐹𝐶 8 𝑀𝑁 Analisando as forças nos segmentos 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐴𝐵 15 𝑀𝑁 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐵𝐶 7 𝑀𝑁 𝛿𝐴𝐵 𝐹𝐴𝐵 𝐿𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵 𝐸𝑎ç𝑜 𝛿𝐴𝐵 15 106 2 10 210 109 𝛿𝐴𝐵 143 106 𝑚 𝛿𝐵𝐶 𝐹𝐵𝐶 𝐿𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶 𝐸𝑎ç𝑜 𝛿𝐵𝐶 7 106 15 20 210 109 𝛿𝐵𝐶 25 106 𝑚 Exemplo 41 A barra composta de aço é composta por dois segmentos 𝐴𝐵 e 𝐵𝐷 com áreas de seção transversal 𝐴𝐴𝐵 10 𝑚2 e 𝐴𝐵𝐷 20 𝑚2 Determinar o deslocamento vertical de 𝐵 em relação a 𝐶e da extremidade 𝐴 em relação a 𝐷 Dado 𝐸𝑎ç𝑜 210 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 9 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐴𝐴𝐵 10 𝑚2 𝐴𝐵𝐷 20 𝑚2 𝐸𝑎ç𝑜 210 𝐺𝑃𝑎 𝐿𝐴𝐵 2 𝑚 𝐿𝐵𝐶 15 𝑚 𝐿𝐶𝐷 1 𝑚 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐵 4 𝑀𝑁 𝐹𝐶 8 𝑀𝑁 Analisando as forças nos segmentos 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐶𝐷 9 𝑀𝑁 𝛿𝐴𝐵 143 106 𝑚 𝛿𝐵𝐶 25 106 𝑚 𝛿𝐶𝐷 𝐹𝐶𝐷 𝐿𝐶𝐷 𝐴𝐶𝐷 𝐸𝑎ç𝑜 𝛿𝐶𝐷 9 106 1 20 210 109 𝛿𝐶𝐷 21 106 𝑚 𝛿𝐴𝐷 𝛿𝐴𝐵 𝛿𝐵𝐶 𝛿𝐶𝐷 𝛿𝐴𝐷 143 106 25 106 21 106 𝛿𝐴𝐷 147 106 𝑚 𝛿𝐴𝐷 147 𝜇𝑚 Exemplo 42 O conjunto é composto por um tubo de alumínio 𝐴𝐵 com área de seção transversal de 400 𝑚𝑚2 Uma barra de aço com 10 𝑚𝑚 de diâmetro está acoplada a um colar rígido e que passa pelo tubo Se uma carga de tração de 80 𝑘𝑁 for aplicada à barra determine o deslocamento da extremidade 𝐶 da barra 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 10 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Exemplo 42 O conjunto é composto por um tubo de alumínio 𝐴𝐵 com área de seção transversal de 400 𝑚𝑚2 Uma barra de aço com 10 𝑚𝑚 de diâmetro está acoplada a um colar rígido e que passa pelo tubo Se uma carga de tração de 80 𝑘𝑁 for aplicada à barra determine o deslocamento da extremidade 𝐶 da barra 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 11 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐴𝐴𝐵 400 𝑚𝑚2 400 106 𝑚2 𝑑 10 𝑚𝑚 10 103 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐿𝐴𝐵 400 𝑚𝑚 0400 𝑚 𝐿𝐵𝐶 600 𝑚𝑚 0600 𝑚 𝑃 80 𝑘𝑁 𝑃𝐴𝐵 80 𝑘𝑁 𝑃𝐵𝐶 80 𝑘𝑁 Exemplo 42 O conjunto é composto por um tubo de alumínio 𝐴𝐵 com área de seção transversal de 400 𝑚𝑚2 Uma barra de aço com 10 𝑚𝑚 de diâmetro está acoplada a um colar rígido e que passa pelo tubo Se uma carga de tração de 80 𝑘𝑁 for aplicada à barra determine o deslocamento da extremidade 𝐶 da barra 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 12 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐴𝐴𝐵 400 𝑚𝑚2 400 106 𝑚2 𝑑 10 𝑚𝑚 10 103 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐿𝐴𝐵 400 𝑚𝑚 0400 𝑚 𝐿𝐵𝐶 600 𝑚𝑚 0600 𝑚 𝑃 80 𝑘𝑁 𝑃𝐴𝐵 80 𝑘𝑁 𝑃𝐵𝐶 80 𝑘𝑁 Analisando o deslocamento da extremidade C em relação à extremidade B 𝛿𝐴𝐵 𝑃𝐴𝐵 𝐿𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵 𝐸𝐴𝑙 𝛿𝐴𝐵 80 103 0400 400 106 70 109 𝛿𝐴𝐵 1143 𝑚𝑚 Para a direita Exemplo 42 O conjunto é composto por um tubo de alumínio 𝐴𝐵 com área de seção transversal de 400 𝑚𝑚2 Uma barra de aço com 10 𝑚𝑚 de diâmetro está acoplada a um colar rígido e que passa pelo tubo Se uma carga de tração de 80 𝑘𝑁 for aplicada à barra determine o deslocamento da extremidade 𝐶 da barra 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 13 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐴𝐴𝐵 400 𝑚𝑚2 400 106 𝑚2 𝑑 10 𝑚𝑚 0010 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐿𝐴𝐵 400 𝑚𝑚 0400 𝑚 𝐿𝐵𝐶 600 𝑚𝑚 0600 𝑚 𝑃 80 𝑘𝑁 𝑃𝐴𝐵 80 𝑘𝑁 𝑃𝐵𝐶 80 𝑘𝑁 Analisando o deslocamento da extremidade C em relação à extremidade B 𝛿𝐵𝐶 𝑃𝐵𝐶 𝐿𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶 𝐸𝑎ç𝑜 𝛿𝐵𝐶 80 103 0600 𝜋 0010 2 2 200 109 𝛿𝐵𝐶 3056 𝑚𝑚 Para a direita Exemplo 42 O conjunto é composto por um tubo de alumínio 𝐴𝐵 com área de seção transversal de 400 𝑚𝑚2 Uma barra de aço com 10 𝑚𝑚 de diâmetro está acoplada a um colar rígido e que passa pelo tubo Se uma carga de tração de 80 𝑘𝑁 for aplicada à barra determine o deslocamento da extremidade 𝐶 da barra 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 14 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐴𝐴𝐵 400 𝑚𝑚2 400 106 𝑚2 𝑑 10 𝑚𝑚 0010 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐿𝐴𝐵 400 𝑚𝑚 0400 𝑚 𝐿𝐵𝐶 600 𝑚𝑚 0600 𝑚 𝑃 80 𝑘𝑁 𝑃𝐴𝐵 80 𝑘𝑁 𝑃𝐵𝐶 80 𝑘𝑁 Analisando o deslocamento da extremidade C em relação à extremidade A 𝛿𝐴𝐶 𝛿𝐴𝐵 𝛿𝐵𝐶 𝛿𝐵𝐶 3056 𝑚𝑚 𝛿𝐴𝐵 1143 𝑚𝑚 𝛿𝐴𝐶 1143 103 3056 103 𝛿𝐴𝐶 4199 103 𝑚 𝛿𝐴𝐶 42 𝑚𝑚 Para a direita Exemplo 43 Uma viga rígida 𝐴𝐵 apoiase sobre dois postes curtos como mostrado na afigura 𝐴𝐶 é feito de aço e tem diâmetro de 20 𝑚𝑚 𝐵𝐷 é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 𝑚𝑚 Determinar o deslocamento do ponto 𝐹 em relação a 𝐴𝐵 se for aplicada uma carga vertical de 90 𝑘𝑁 nesse ponto Admitir 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 e 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 15 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Exemplo 43 Uma viga rígida 𝐴𝐵 apoiase sobre dois postes curtos como mostrado na afigura 𝐴𝐶 é feito de aço e tem diâmetro de 20 𝑚𝑚 𝐵𝐷 é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 𝑚𝑚 Determinar o deslocamento do ponto 𝐹 em relação a 𝐴𝐵 se for aplicada uma carga vertical de 90 𝑘𝑁 nesse ponto Admitir 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 e 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 16 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 600 𝑚𝑚 0600𝑚 𝐿𝐴𝐹 200 𝑚𝑚 0200𝑚 𝐿𝐹𝐵 400 𝑚𝑚 0400𝑚 𝐿𝐴𝐶 300 𝑚𝑚 0300𝑚 𝐿𝐵𝐷 300 𝑚𝑚 0300𝑚 𝐿𝐴𝐵 600 𝑚𝑚 0600𝑚 𝑑𝐴𝐶 20 𝑚𝑚 0020𝑚 𝑑𝐵𝐷 40 𝑚𝑚 0040𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐹 90 𝑘𝑁 Diagrama de corpo livre e análise das forças 𝑉𝐴 𝑉𝐵 𝐹 02 𝑉𝐵 06 0 𝑉𝐵 02 𝑃 06 𝑀𝐴 0 𝑉𝐵 30 𝑘𝑁 𝐹𝑦 0 𝑉𝐴 𝐹 𝑉𝐵 0 𝑉𝐴 𝐹 𝑉𝐵 𝑉𝐴 30 𝑘𝑁 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 17 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 600 𝑚𝑚 0600𝑚 𝐿𝐴𝐹 200 𝑚𝑚 0200𝑚 𝐿𝐹𝐵 400 𝑚𝑚 0400𝑚 𝐿𝐴𝐶 300 𝑚𝑚 0300𝑚 𝐿𝐵𝐷 300 𝑚𝑚 0300𝑚 𝐿𝐴𝐵 600 𝑚𝑚 0600𝑚 𝑑𝐴𝐶 20 𝑚𝑚 0020𝑚 𝑑𝐵𝐷 40 𝑚𝑚 0040𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝑃 90 𝑘𝑁 Exemplo 43 Uma viga rígida 𝐴𝐵 apoiase sobre dois postes curtos como mostrado na afigura 𝐴𝐶 é feito de aço e tem diâmetro de 20 𝑚𝑚 𝐵𝐷 é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 𝑚𝑚 Determinar o deslocamento do ponto 𝐹 em relação a 𝐴𝐵 se for aplicada uma carga vertical de 90 𝑘𝑁 nesse ponto Admitir 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 e 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 Analisando os deslocamentos nos topos de cada poste vem Poste AC 𝛿𝐴 𝑃𝐴𝐶 𝐿𝐴𝐶 𝐴𝐴𝐶 𝐸𝑎ç𝑜 𝛿𝐴 60 103 03 𝜋 001 2 200 109 𝛿𝐴 0286 𝑚𝑚 𝛿𝐴 0286 𝑚𝑚 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 18 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 600 𝑚𝑚 0600𝑚 𝐿𝐴𝐹 200 𝑚𝑚 0200𝑚 𝐿𝐹𝐵 400 𝑚𝑚 0400𝑚 𝐿𝐴𝐶 300 𝑚𝑚 0300𝑚 𝐿𝐵𝐷 300 𝑚𝑚 0300𝑚 𝐿𝐴𝐵 600 𝑚𝑚 0600𝑚 𝑑𝐴𝐶 20 𝑚𝑚 0020𝑚 𝑑𝐵𝐷 40 𝑚𝑚 0040𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝑃 90 𝑘𝑁 Exemplo 43 Uma viga rígida 𝐴𝐵 apoiase sobre dois postes curtos como mostrado na afigura 𝐴𝐶 é feito de aço e tem diâmetro de 20 𝑚𝑚 𝐵𝐷 é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 𝑚𝑚 Determinar o deslocamento do ponto 𝐹 em relação a 𝐴𝐵 se for aplicada uma carga vertical de 90 𝑘𝑁 nesse ponto Admitir 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 e 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 Analisando os deslocamentos nos topos de cada poste vem Poste BD 𝛿𝐵 𝑃𝐵𝐷 𝐿𝐵𝐷 𝐴𝐵𝐷 𝐸𝐴𝑙 𝛿𝐵 30 103 03 𝜋 002 2 70 109 𝛿𝐵 0102 𝑚𝑚 𝛿𝐵 0102 𝑚𝑚 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 19 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 600 𝑚𝑚 0600𝑚 𝐿𝐴𝐹 200 𝑚𝑚 0200𝑚 𝐿𝐹𝐵 400 𝑚𝑚 0400𝑚 𝐿𝐴𝐶 300 𝑚𝑚 0300𝑚 𝐿𝐵𝐷 300 𝑚𝑚 0300𝑚 𝐿𝐴𝐵 600 𝑚𝑚 0600𝑚 𝑑𝐴𝐶 20 𝑚𝑚 0020𝑚 𝑑𝐵𝐷 40 𝑚𝑚 0040𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝑃 90 𝑘𝑁 Exemplo 43 Uma viga rígida 𝐴𝐵 apoiase sobre dois postes curtos como mostrado na afigura 𝐴𝐶 é feito de aço e tem diâmetro de 20 𝑚𝑚 𝐵𝐷 é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 𝑚𝑚 Determinar o deslocamento do ponto 𝐹 em relação a 𝐴𝐵 se for aplicada uma carga vertical de 90 𝑘𝑁 nesse ponto Admitir 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 e 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 Analisando os deslocamentos nos topos de cada poste um diagrama que representa os deslocamentos da linha de centro nos pontos A e B e F são mostrados na figura abaixo Considerando a proporção indicada pelo triângulo sombreado o deslocamento no ponto F será dados por 𝛿𝐵 0102 𝑚𝑚 𝛿𝐴 0286 𝑚𝑚 𝛿𝐹 𝛿𝐵 𝛿𝐴 𝛿𝐵 𝐿𝐹𝐵 𝐿𝐴𝐵 𝛿𝐹 0102 0286 0102 04 06 𝛿𝐹 0225 𝑚𝑚 Exemplo 44 Um elemento é feito de um material com peso específico 𝛾 e módulo de elasticidade 𝐸 Se esse elemento tiver forma de um cone determine até que distância sua extremidade se deslocará sob a força da gravidade quando suspenso na posição vertical Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 20 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Exemplo 44 Um elemento é feito de um material com peso específico 𝛾 e módulo de elasticidade 𝐸 Se esse elemento tiver forma de um cone determine até que distância sua extremidade se deslocará sob a força da gravidade quando suspenso na posição vertical Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 21 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução A força axial interna que atua ao longo do elemento depende de peso do cone dependerá de seu volume 𝑊 𝑦 de um segmento do cone abaixo de qualquer seção Na seção localizada a uma distância 𝑦 da extremidade inferior o raio 𝑥 em função de 𝑦 será determinado por 𝑥 𝑦 𝑟0 𝐿 𝑥 𝑟0 𝐿 𝑦 Exemplo 44 Um elemento é feito de um material com peso específico 𝛾 e módulo de elasticidade 𝐸 Se esse elemento tiver forma de um cone determine até que distância sua extremidade se deslocará sob a força da gravidade quando suspenso na posição vertical Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 22 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução O volume de um cone com raio de base 𝑥 e altura 𝑦 é 𝑉 𝜋 3 𝑦 𝑥2 𝑥 𝑟0 𝐿 𝑦 𝑉 𝜋 3 𝑦 𝑟0 𝐿 𝑦 2 𝑉 𝜋 𝑟0 2 3 𝐿2 𝑦3 Exemplo 44 Um elemento é feito de um material com peso específico 𝛾 e módulo de elasticidade 𝐸 Se esse elemento tiver forma de um cone determine até que distância sua extremidade se deslocará sob a força da gravidade quando suspenso na posição vertical Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 23 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução A força interna na seção terá a intensidade da força peso 𝑊 𝑦 𝛾 𝑉 𝑥 𝑟0 𝐿 𝑦 𝑊 𝑦 𝛾 𝜋 𝑟0 2 3 𝐿2 𝑦3 𝑉 𝜋 𝑟0 2 3 𝐿2 𝑦3 𝑃 𝑦 𝛾 𝜋 𝑟0 2 3 𝐿2 𝑦3 Exemplo 44 Um elemento é feito de um material com peso específico 𝛾 e módulo de elasticidade 𝐸 Se esse elemento tiver forma de um cone determine até que distância sua extremidade se deslocará sob a força da gravidade quando suspenso na posição vertical Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 24 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução A área da seção transversal também será função da altura 𝑦 𝐴 𝑦 𝜋 𝑥2 𝑥 𝑟0 𝐿 𝑦 𝐴 𝑦 𝜋 𝑟0 2 𝐿2 𝑦2 𝑉 𝜋 𝑟0 2 3 𝐿2 𝑦3 𝑃 𝑦 𝛾 𝜋 𝑟0 2 3 𝐿2 𝑦3 Exemplo 44 Um elemento é feito de um material com peso específico 𝛾 e módulo de elasticidade 𝐸 Se esse elemento tiver forma de um cone determine até que distância sua extremidade se deslocará sob a força da gravidade quando suspenso na posição vertical Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 25 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Então o deslocamento da extremidade será dado por 𝛿 න 0 𝐿 𝑃 𝑦 𝐴 𝑦 𝐸 𝑑𝑦 𝑥 𝑟0 𝐿 𝑦 𝐴 𝑦 𝜋 𝑟0 2 𝐿2 𝑦2 𝑉 𝜋 𝑟0 2 3 𝐿2 𝑦3 𝑃 𝑦 𝛾 𝜋 𝑟0 2 3 𝐿2 𝑦3 𝛿 1 𝐸 න 0 𝐿 𝛾 𝜋 𝑟0 2 3 𝐿2 𝑦3 𝐿2 𝜋 𝑟0 2 1 𝑦2 𝑑𝑦 𝛿 𝛾 3 𝐸 න 0 𝐿 𝑦 𝑑𝑦 𝛿 𝛾 𝐿2 6 𝐸 Exercício 41 Um navio é impulsionado pelo eixo de uma hélice feito de aço 𝐴 36 e com 8 𝑚 de comprimento medidos da hélice ao mancal de encosto 𝐷 do motor Se esse eixo tiver diâmetro externo de 400 𝑚𝑚 e espessura da parede de 50 𝑚𝑚 qual será sua contração axial quando a hélice exercer uma força de 5 𝑘𝑁 sobre ele Os apoios 𝐵 e 𝐶 são mancais 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 Resp 364 103 𝑚𝑚 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 26 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Exercício 42 Um coluna de aço 𝐴 36 é usada para apoiar as cargas simétricas de dois pisos de um edifício Determinar o deslocamento 𝐴 se as cargas 𝑃1 200 𝑘𝑁 e 𝑃2 310 𝑘𝑁 e a coluna tiver área de seção transversal de 14625 𝑚𝑚2 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 Resp 1747 𝑚𝑚 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 27 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Exercício 45 Uma haste de aço inoxidável está sujeita ao carregamento mostrado na figura Se a área da seção transversal da haste for de 600 𝑚𝑚2 determine o deslocamento de 𝐵 e 𝐴 Observação despreze as dimensões dos acoplamentos em 𝐵 𝐶 e 𝐷 𝐸𝑖𝑛𝑜𝑥 193 𝐺𝑃𝑎 Resp 2737 𝑚𝑚 e 2352 𝑚𝑚 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 28 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Exercício 413 Um suporte para tubos apoiado por mola é composto por duas molas que na posição original não estão alongadas e têm rigidez 𝑘 60 Τ 𝑘𝑁 𝑚 hastes de aço inoxidável 304 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 com diâmetro de 5 𝑚𝑚 e 𝐸𝐹 com diâmetro de 12 𝑚𝑚 e uma viga rígida 𝐺𝐻 Se o tubo e o fluido que ele transporta tiverem um peso de 4 𝑘𝑁 determine o deslocamento do tubo quando estiver acoplado ao suporte 𝐸𝑎ç𝑜 193 𝐺𝑃𝑎 Resp 3383 𝑚𝑚 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 29 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Princípio da superposição é frequentemente usado para determinar a tensão ou o deslocamento em um ponto de um elemento quando este estiver sujeito a um carregamento complexo Princípio da Superposição Elemento com carga axial estaticamente indeterminado Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 30 A barra é estaticamente indeterminada quando as equações de equilíbrio não são suficientes para determinar as reações Exemplo 45 A haste de aço tem diâmetro de 5 𝑚𝑚 e está presa à parede fixa em 𝐴 Antes de ser carregada há uma folga de 1 𝑚𝑚 entre a parede 𝐵 e a haste Determine as reações em 𝐴 e 𝐵 se a haste for submetida a uma força axial 𝑃 20 𝑘𝑁 Despreze o tamanho do colar em 𝐶 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 31 Princípio da Superposição Exemplo 45 A haste de aço tem diâmetro de 5 𝑚𝑚 e está presa à parede fixa em 𝐴 Antes de ser carregada há uma folga de 1 𝑚𝑚 entre a parede 𝐵 e a haste Determine as reações em 𝐴 e 𝐵 se a haste for submetida a uma força axial 𝑃 20 𝑘𝑁 Despreze o tamanho do colar em 𝐶 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 32 Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 12 𝑚 𝐿𝐴𝐶 04 𝑚 𝐿𝐶𝐷 08 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 20 𝑘𝑁 𝑑 5 𝑚𝑚 0005 𝑚 𝛿𝐴𝐵 1 𝑚𝑚 0001 𝑚 Analisando o diagrama de corpo livre 𝐹𝑥 0 𝐹𝐴 𝑃 𝐹𝐵 0 𝐹𝐵 𝑃 𝐹𝐴 Princípio da Superposição Exemplo 45 A haste de aço tem diâmetro de 5 𝑚𝑚 e está presa à parede fixa em 𝐴 Antes de ser carregada há uma folga de 1 𝑚𝑚 entre a parede 𝐵 e a haste Determine as reações em 𝐴 e 𝐵 se a haste for submetida a uma força axial 𝑃 20 𝑘𝑁 Despreze o tamanho do colar em 𝐶 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 33 Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 12 𝑚 𝐿𝐴𝐶 04 𝑚 𝐿𝐶𝐷 08 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 20 𝑘𝑁 𝑑 5 𝑚𝑚 0005 𝑚 𝛿𝐴𝐵 1 𝑚𝑚 0001 𝑚 A carga provoca o movimento do ponto 𝐵 para 𝐵 sem deslocamento adicional 𝐹𝐵 𝑃 𝐹𝐴 𝛿𝐴𝐵 𝛿𝐴𝐶 𝛿𝐶𝐵 𝛿𝐴𝐵 𝐹𝐴 𝐿𝐴𝐶 𝐴 𝐸𝑎ç𝑜 𝐹𝐵 𝐿𝐶𝐵 𝐴 𝐸𝑎ç𝑜 𝛿𝐴𝐵 𝐴 𝐸𝑎ç𝑜 𝐹𝐴 𝐿𝐴𝐶 𝐹𝐵 𝐿𝐶𝐵 𝛿𝐴𝐵 𝐴 𝐸𝑎ç𝑜 𝐹𝐴 𝐿𝐴𝐶 𝑃 𝐹𝐴 𝐿𝐶𝐵 𝐹𝐴 𝐿𝐴𝐶 𝐿𝐶𝐵 𝛿𝐴𝐵 𝐴 𝐸𝑎ç𝑜 𝑃 𝐿𝐶𝐵 𝐹𝐴 𝛿𝐴𝐵 𝐴 𝐸𝑎ç𝑜 𝑃 𝐿𝐶𝐵 𝐿𝐴𝐶 𝐿𝐶𝐵 𝐹𝐴 0001 𝜋 4 00052 200 109 20 103 08 04 08 𝐹𝐴 1661 𝑘𝑁 Princípio da Superposição Exemplo 45 A haste de aço tem diâmetro de 5 𝑚𝑚 e está presa à parede fixa em 𝐴 Antes de ser carregada há uma folga de 1 𝑚𝑚 entre a parede 𝐵 e a haste Determine as reações em 𝐴 e 𝐵 se a haste for submetida a uma força axial 𝑃 20 𝑘𝑁 Despreze o tamanho do colar em 𝐶 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 34 Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 12 𝑚 𝐿𝐴𝐶 04 𝑚 𝐿𝐶𝐷 08 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 20 𝑘𝑁 𝑑 5 𝑚𝑚 0005 𝑚 𝛿𝐴𝐵 1 𝑚𝑚 0001 𝑚 A carga provoca o movimento do ponto 𝐵 para 𝐵 sem deslocamento adicional 𝐹𝐵 𝑃 𝐹𝐴 𝐹𝐴 1661 𝑘𝑁 𝐹𝐵 20 103 1661 103 𝐹𝐵 339 𝑘𝑁 Obs O fato de a força 𝐹𝐵 ser positiva indica que a extremidade B toca a parede B como se supunha Se 𝐹𝐵 fosse negativo indicaria que o problema seria estaticamente determinado com 𝐹𝐵 0 e 𝐹𝐴 20 𝑘𝑁 Princípio da Superposição Exemplo 46 Um poste de alumínio é reforçado com um núcleo de latão Supondo que o conjunto suporte uma carga resultante axial de compressão 90 𝑘𝑁 aplicada na tampa rígida determinar a tensão normal média no alumínio e no latão Supor 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 35 Princípio da Superposição Exemplo 46 Um poste de alumínio é reforçado com um núcleo de latão Supondo que o conjunto suporte uma carga resultante axial de compressão 90 𝑘𝑁 aplicada na tampa rígida determinar a tensão normal média no alumínio e no latão Supor 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 36 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿 1 𝑚 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 𝑃 90 𝑘𝑁 𝑟𝐴𝑙 10 𝑚𝑚 0010 𝑚 𝑟𝑙𝑎𝑡ã𝑜 6 𝑚𝑚 0006 𝑚 𝑟𝐴𝑙 𝑟𝑙𝑎𝑡ã𝑜 Exemplo 46 Um poste de alumínio é reforçado com um núcleo de latão Supondo que o conjunto suporte uma carga resultante axial de compressão 90 𝑘𝑁 aplicada na tampa rígida determinar a tensão normal média no alumínio e no latão Supor 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 37 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿 1 𝑚 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 𝑃 90 𝑘𝑁 𝑟𝐴𝑙 10 𝑚𝑚 0010 𝑚 𝑟𝑙𝑎𝑡ã𝑜 6 𝑚𝑚 0006 𝑚 Analisando o diagrama de corpo livre 𝑃 90 𝑘𝑁 𝐹𝑦 0 𝑃 𝐹𝐴𝑙𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 0 𝐹𝐴𝑙 𝑃 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 Exemplo 46 Um poste de alumínio é reforçado com um núcleo de latão Supondo que o conjunto suporte uma carga resultante axial de compressão 90 𝑘𝑁 aplicada na tampa rígida determinar a tensão normal média no alumínio e no latão Supor 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 38 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿 1 𝑚 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 𝑃 90 𝑘𝑁 𝑟𝐴𝑙 10 𝑚𝑚 0010 𝑚 𝑟𝑙𝑎𝑡ã𝑜 6 𝑚𝑚 0006 𝑚 Compatibilidade A tampa rígida no topo faz com que ambos alumínio e latão se desloquem na mesma distância então 𝐹𝐴𝑙 𝑃 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝛿𝐴𝑙 𝛿𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐹𝐴𝑙 𝐿 𝐴𝐴𝑙 𝐸𝐴𝑙 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐿 𝐴𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐹𝐴𝑙 𝐴𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐴𝐴𝑙 𝐸𝐴𝑙 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐴𝐴𝑙 𝐸𝐴𝑙𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐴𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝑃 𝐴𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝑃 𝐴𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐴𝐴𝑙 𝐸𝐴𝑙 𝐴𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 90 103 00062 105 109 00102 00062 70 109 00062 105 109 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 4119 𝑘𝑁 Exemplo 46 Um poste de alumínio é reforçado com um núcleo de latão Supondo que o conjunto suporte uma carga resultante axial de compressão 90 𝑘𝑁 aplicada na tampa rígida determinar a tensão normal média no alumínio e no latão Supor 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 39 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿 1 𝑚 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 𝑃 90 𝑘𝑁 𝑑𝐴𝑙 10 𝑚𝑚 0010 𝑚 𝑑𝑙𝑎𝑡ã𝑜 6 𝑚𝑚 0006 𝑚 Compatibilidade A tampa rígida no topo faz com que ambos alumínio e latão se desloquem na mesma distância então 𝐹𝐴𝑙 𝑃 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 4119 𝑘𝑁 𝐹𝐴𝑙 𝑃 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐹𝐴𝑙 90 103 4119 103 𝐹𝐴𝑙 4881 𝑘𝑁 Exemplo 46 Um poste de alumínio é reforçado com um núcleo de latão Supondo que o conjunto suporte uma carga resultante axial de compressão 90 𝑘𝑁 aplicada na tampa rígida determinar a tensão normal média no alumínio e no latão Supor 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 40 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿 1 𝑚 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 𝑃 90 𝑘𝑁 𝑑𝐴𝑙 10 𝑚𝑚 0010 𝑚 𝑑𝑙𝑎𝑡ã𝑜 6 𝑚𝑚 0006 𝑚 Como os resultados das forças são positivos o esforço é de compressão A tensão normal média no alumínio será 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 4119 𝑘𝑁 𝜎𝐴𝑙 𝐹𝐴𝑙 𝐴𝐴𝑙 𝐹𝐴𝑙 4881 𝑘𝑁 𝜎𝐴𝑙 4881 103 𝜋 0012 00062 𝜎𝐴𝑙 2428 𝑀𝑃𝑎 A tensão normal média no latão será 𝜎𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐹𝐴𝑙 𝐴𝐴𝑙 𝜎𝑙𝑎𝑡ã𝑜 4119 103 𝜋 00062 𝜎𝑙𝑎𝑡ã𝑜 3642 𝑀𝑃𝑎 Exemplo 47 As três barras de aço são acopladas a um elemento rígido por pinos Supondo que a carga aplicada ao elemento seja de 15 𝑘𝑁 determinar a força e a tensão desenvolvida em cada barra As barras 𝐴𝐵 e 𝐸𝐹 têm área de seção transversal de 25 𝑚𝑚2 e a barra 𝐶𝐷 tem área da seção transversal de 15 𝑚𝑚2 9520 N 3088 MPa 3462 N 2308 MPa 2020 N 808 MPa Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 41 Princípio da Superposição Exemplo 47 As três barras de aço são acopladas a um elemento rígido por pinos Supondo que a carga aplicada ao elemento seja de 15 𝑘𝑁 determinar a força e a tensão desenvolvida em cada barra As barras 𝐴𝐵 e 𝐸𝐹 têm área de seção transversal de 25 𝑚𝑚2 e a barra 𝐶𝐷 tem área da seção transversal de 15 𝑚𝑚2 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 42 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 𝐿𝐶𝐷 𝐿𝐸𝐹 05 𝑚 𝐿𝐴𝐶 𝐿𝐶𝐷 04 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 15 𝑘𝑁 𝐴𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹 25 𝑚𝑚2 𝐴𝐶𝐷 15 𝑚𝑚2 Analisando o diagrama de corpo livre Exemplo 47 As três barras de aço são acopladas a um elemento rígido por pinos Supondo que a carga aplicada ao elemento seja de 15 𝑘𝑁 determinar a força e a tensão desenvolvida em cada barra As barras 𝐴𝐵 e 𝐸𝐹 têm área de seção transversal de 25 𝑚𝑚2 e a barra 𝐶𝐷 tem área da seção transversal de 15 𝑚𝑚2 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 43 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 𝐿𝐶𝐷 𝐿𝐸𝐹 05 𝑚 𝐿𝐴𝐶 𝐿𝐶𝐷 04 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 15 𝑘𝑁 𝐴𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹 25 𝑚𝑚2 𝐴𝐶𝐷 15 𝑚𝑚2 Analisando o diagrama de corpo livre e analisando as forças 𝐹𝑦 0 𝐹𝐴 𝑃 𝐹𝐶 𝐹𝐸 0 𝐹𝐴 𝐹𝐶 𝐹𝐸 15 kN 𝑀𝐶 0 04 𝐹𝐴 02 𝑃𝐶 04 𝐹𝐸 0 𝐹𝐴 𝐹𝐸 75 𝑘𝑁 Exemplo 47 As três barras de aço são acopladas a um elemento rígido por pinos Supondo que a carga aplicada ao elemento seja de 15 𝑘𝑁 determinar a força e a tensão desenvolvida em cada barra As barras 𝐴𝐵 e 𝐸𝐹 têm área de seção transversal de 25 𝑚𝑚2 e a barra 𝐶𝐷 tem área da seção transversal de 15 𝑚𝑚2 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 44 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 𝐿𝐶𝐷 𝐿𝐸𝐹 05 𝑚 𝐿𝐴𝐶 𝐿𝐶𝐷 04 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 15 𝑘𝑁 𝐴𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹 25 𝑚𝑚2 𝐴𝐶𝐷 15 𝑚𝑚2 Compatibilidade A carga aplicada provocará a inclinação da reta 𝐴𝐶𝐸 para uma posição 𝐴𝐶𝐸 como na figura 𝛿𝐴 𝛿𝐸 08 𝛿𝐶 𝛿𝐸 04 𝛿𝐴 08 𝛿𝐸 08 𝛿𝐶 04 𝛿𝐸 08 𝛿𝐶 𝛿𝐴 2 𝛿𝐸 2 Exemplo 47 As três barras de aço são acopladas a um elemento rígido por pinos Supondo que a carga aplicada ao elemento seja de 15 𝑘𝑁 determinar a força e a tensão desenvolvida em cada barra As barras 𝐴𝐵 e 𝐸𝐹 têm área de seção transversal de 25 𝑚𝑚2 e a barra 𝐶𝐷 tem área da seção transversal de 15 𝑚𝑚2 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 45 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 𝐿𝐶𝐷 𝐿𝐸𝐹 05 𝑚 𝐿𝐴𝐶 𝐿𝐶𝐷 04 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 15 𝑘𝑁 𝐴𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹 25 𝑚𝑚2 𝐴𝐶𝐷 15 𝑚𝑚2 Analisando a relação cargadeslocamento 𝛿𝐶 𝛿𝐴 2 𝛿𝐸 2 𝐹𝐴 𝐹𝐶 𝐹𝐸 15 kN 𝐹𝐴 𝐹𝐸 75 𝑘𝑁 2 𝛿𝐶 𝛿𝐴 𝛿𝐸 2 𝐹𝐶 𝐿 𝐴𝐶𝐷 𝐸𝑎ç𝑜 𝐹𝐴 𝐿 𝐴𝐴𝐵 𝐸𝑎ç𝑜 𝐹𝐸 𝐿 𝐴𝐸𝐹 𝐸𝑎ç𝑜 2 𝐹𝐶 15 𝐹𝐴 25 𝐹𝐸 25 𝐹𝐶 03 𝐹𝐴 𝐹𝐸 ቐ 𝐹𝐴 𝐹𝐶 𝐹𝐸 15 kN 1 𝐹𝐴 𝐹𝐸 75 𝑘𝑁 2 03 𝐹𝐴 𝐹𝐶 03 𝐹𝐸 0 3 Exemplo 47 As três barras de aço são acopladas a um elemento rígido por pinos Supondo que a carga aplicada ao elemento seja de 15 𝑘𝑁 determinar a força e a tensão desenvolvida em cada barra As barras 𝐴𝐵 e 𝐸𝐹 têm área de seção transversal de 25 𝑚𝑚2 e a barra 𝐶𝐷 tem área da seção transversal de 15 𝑚𝑚2 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 46 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 𝐿𝐶𝐷 𝐿𝐸𝐹 05 𝑚 𝐿𝐴𝐶 𝐿𝐶𝐷 04 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 15 𝑘𝑁 𝐴𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹 25 𝑚𝑚2 𝐴𝐶𝐷 15 𝑚𝑚2 𝛿𝐶 𝛿𝐴 2 𝛿𝐸 2 𝐹𝐴 𝐹𝐶 𝐹𝐸 15 kN 𝐹𝐴 𝐹𝐸 75 𝑘𝑁 ቐ 𝐹𝐴 𝐹𝐶 𝐹𝐸 15 kN 1 𝐹𝐴 𝐹𝐸 75 𝑘𝑁 2 03 𝐹𝐴 𝐹𝐶 03 𝐹𝐸 0 3 1 1 1 1 0 1 03 1 03 𝐹𝐴 𝐹𝐶 𝐹𝐸 15 𝑘 75 𝑘 0 𝐷 1 1 1 1 0 1 03 1 03 𝐷 0 03 1 0 1 03 𝐷 26 𝐷𝐴 15𝑘 1 1 75𝑘 0 1 0 1 03 𝐷𝐴 0 0 75𝑘 0 15𝑘 225𝑘 𝐷𝐴 2475𝑘 Exemplo 47 As três barras de aço são acopladas a um elemento rígido por pinos Supondo que a carga aplicada ao elemento seja de 15 𝑘𝑁 determinar a força e a tensão desenvolvida em cada barra As barras 𝐴𝐵 e 𝐸𝐹 têm área de seção transversal de 25 𝑚𝑚2 e a barra 𝐶𝐷 tem área da seção transversal de 15 𝑚𝑚2 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 47 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 𝐿𝐶𝐷 𝐿𝐸𝐹 05 𝑚 𝐿𝐴𝐶 𝐿𝐶𝐷 04 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 15 𝑘𝑁 𝐴𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹 25 𝑚𝑚2 𝐴𝐶𝐷 15 𝑚𝑚2 ቐ 𝐹𝐴 𝐹𝐶 𝐹𝐸 15 kN 1 𝐹𝐴 𝐹𝐸 75 𝑘𝑁 2 03 𝐹𝐴 𝐹𝐶 03 𝐹𝐸 0 3 1 1 1 1 0 1 03 1 03 𝐹𝐴 𝐹𝐶 𝐹𝐸 15 𝑘 75 𝑘 0 𝐷𝐶 1 15𝑘 1 1 75𝑘 1 03 0 03 𝐷𝐶 225𝑘 45𝑘 0 225𝑘 0 45𝑘 𝐷 26 𝐷𝐸 1 1 15𝑘 1 0 75𝑘 03 1 0 𝐷𝐸 0 225𝑘 15𝑘 0 75𝑘 0 𝐷𝐴 2475𝑘 𝐷𝐶 9𝑘 𝐷𝐸 525𝑘 Exemplo 47 As três barras de aço são acopladas a um elemento rígido por pinos Supondo que a carga aplicada ao elemento seja de 15 𝑘𝑁 determinar a força e a tensão desenvolvida em cada barra As barras 𝐴𝐵 e 𝐸𝐹 têm área de seção transversal de 25 𝑚𝑚2 e a barra 𝐶𝐷 tem área da seção transversal de 15 𝑚𝑚2 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 48 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 𝐿𝐶𝐷 𝐿𝐸𝐹 05 𝑚 𝐿𝐴𝐶 𝐿𝐶𝐷 04 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 15 𝑘𝑁 𝐴𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹 25 𝑚𝑚2 𝐴𝐶𝐷 15 𝑚𝑚2 𝐷 26 𝐷𝐴 2475𝑘 𝐷𝐶 9𝑘 𝐷𝐸 525𝑘 𝐹𝐴 𝐷𝐴 𝐷 𝐹𝐴 2475𝑘 26 𝐹𝐴 952 𝑘𝑁 𝐹𝐶 𝐷𝐶 𝐷 𝐹𝐶 9𝑘 26 𝐹𝐶 346 𝑘𝑁 𝐹𝐸 𝐷𝐸 𝐷 𝐹𝐸 525𝑘 26 𝐹𝐸 202 𝑘𝑁 As forças em cada barra são Exemplo 47 As três barras de aço são acopladas a um elemento rígido por pinos Supondo que a carga aplicada ao elemento seja de 15 𝑘𝑁 determinar a força e a tensão desenvolvida em cada barra As barras 𝐴𝐵 e 𝐸𝐹 têm área de seção transversal de 25 𝑚𝑚2 e a barra 𝐶𝐷 tem área da seção transversal de 15 𝑚𝑚2 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 49 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 𝐿𝐶𝐷 𝐿𝐸𝐹 05 𝑚 𝐿𝐴𝐶 𝐿𝐶𝐷 04 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 15 𝑘𝑁 𝐴𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹 25 𝑚𝑚2 𝐴𝐶𝐷 15 𝑚𝑚2 𝜎𝐴𝐵 𝐹𝐴 𝐴𝐴𝐵 𝜎𝐴𝐵 952 103 25 106 𝐹𝐴 952 𝑘𝑁 𝜎𝐶𝐷 𝐹𝐶 𝐴𝐶𝐷 𝜎𝐶𝐷 346 103 15 106 𝐹𝐶 346 𝑘𝑁 𝜎𝐸𝐹 𝐹𝐸 𝐴𝐸𝐹 𝜎𝐸𝐹 202 103 25 106 𝐹𝐸 202 𝑘𝑁 As tensões em cada barra são 𝜎𝐴𝐵 3808 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝐶𝐷 2307 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝐸𝐹 808 𝑀𝑃𝑎
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Mecânica dos Sólidos Aula 6 Carga Axial Prof Dr Guelton H Guedes gueltonhguni9probr Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 1 O princípio SaintVenant afirma que a deformação e tensão localizadas nas regiões de aplicação de carga ou nos apoios tendem a nivelarse a uma distância suficientemente afastada dessas regiões Princípio de SaintVenant Carga Axial Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 2 Usando a lei Hooke e as definições de tensão e deformação é possível determinar a deformação elástica de um elemento submetido a cargas axias Suponha um elemento sujeito a cargas 𝛿 deslocamento de um ponto na barra relativo a outro 𝐿 distância original 𝑃𝑥 força axial interna na seção 𝐴𝑥 área da seção transversal da barra 𝐸 módulo de elasticidade Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 3 Tensão 𝜎 𝑃 𝑥 𝐴 𝑥 Deformação 𝜀 𝑑𝛿 𝑑𝑥 𝛿 න 0 𝐿 𝜎 𝐸 𝑑𝑥 න 0 𝐿 𝑃 𝑥 𝐴 𝑥 𝐸 𝑑𝑥 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Carga constante e área de seção transversal Quando uma força constante externa é aplicada a cada extremidade da barra Convenção de sinais Força e deslocamento são positivos se provocarem tração e alongamento e negativos causarão compressão e contração AE PL Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 4 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Exemplo 41 A barra composta de aço é composta por dois segmentos 𝐴𝐵 e 𝐵𝐷 com áreas de seção transversal 𝐴𝐴𝐵 10 𝑚2 e 𝐴𝐵𝐷 20 𝑚2 Determinar o deslocamento vertical de 𝐵 em relação a 𝐶 e da extremidade 𝐴 em relação a 𝐷 Dado 𝐸𝑎ç𝑜 210 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 5 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Exemplo 41 A barra composta de aço é composta por dois segmentos 𝐴𝐵 e 𝐵𝐷 com áreas de seção transversal 𝐴𝐴𝐵 10 𝑚2 e 𝐴𝐵𝐷 20 𝑚2 Determinar o deslocamento vertical de 𝐵 em relação a 𝐶 e da extremidade 𝐴 em relação a 𝐷 Dado 𝐸𝑎ç𝑜 210 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 6 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐴𝐴𝐵 10 𝑚2 𝐴𝐵𝐷 20 𝑚2 𝐸𝑎ç𝑜 210 𝐺𝑃𝑎 𝐿𝐴𝐵 2 𝑚 𝐿𝐵𝐶 15 𝑚 𝐿𝐶𝐷 1 𝑚 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐵 4 𝑀𝑁 𝐹𝐶 8 𝑀𝑁 Analisando os diagramas de corpo livre e as forças nos segmentos 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐴𝐵 15 𝑀𝑁 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐵𝐶 7 𝑀𝑁 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐶𝐷 9 𝑀𝑁 Exemplo 41 A barra composta de aço é composta por dois segmentos 𝐴𝐵 e 𝐵𝐷 com áreas de seção transversal 𝐴𝐴𝐵 10 𝑚2 e 𝐴𝐵𝐷 20 𝑚2 Determinar o deslocamento vertical de 𝐵 em relação a 𝐶e da extremidade 𝐴 em relação a 𝐷 Dado 𝐸𝑎ç𝑜 210 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 7 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐴𝐴𝐵 10 𝑚2 𝐴𝐵𝐷 20 𝑚2 𝐸𝑎ç𝑜 210 𝐺𝑃𝑎 𝐿𝐴𝐵 2 𝑚 𝐿𝐵𝐶 15 𝑚 𝐿𝐶𝐷 1 𝑚 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐵 4 𝑀𝑁 𝐹𝐶 8 𝑀𝑁 Analisando as forças no segmento 𝐵𝐶 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐵𝐶 7 𝑀𝑁 𝛿𝐵𝐶 𝐹𝐵𝐶 𝐿𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶 𝐸𝑎ç𝑜 𝛿𝐵𝐶 7 106 15 20 210 109 𝛿𝐵𝐶 25 106 𝑚 𝛿𝐵𝐶 25 𝜇𝑚 Exemplo 41 A barra composta de aço é composta por dois segmentos 𝐴𝐵 e 𝐵𝐷 com áreas de seção transversal 𝐴𝐴𝐵 10 𝑚2 e 𝐴𝐵𝐷 20 𝑚2 Determinar o deslocamento vertical de 𝐵 em relação a 𝐶e da extremidade 𝐴 em relação a 𝐷 Dado 𝐸𝑎ç𝑜 210 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 8 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐴𝐴𝐵 10 𝑚2 𝐴𝐵𝐷 20 𝑚2 𝐸𝑎ç𝑜 210 𝐺𝑃𝑎 𝐿𝐴𝐵 2 𝑚 𝐿𝐵𝐶 15 𝑚 𝐿𝐶𝐷 1 𝑚 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐵 4 𝑀𝑁 𝐹𝐶 8 𝑀𝑁 Analisando as forças nos segmentos 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐴𝐵 15 𝑀𝑁 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐵𝐶 7 𝑀𝑁 𝛿𝐴𝐵 𝐹𝐴𝐵 𝐿𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵 𝐸𝑎ç𝑜 𝛿𝐴𝐵 15 106 2 10 210 109 𝛿𝐴𝐵 143 106 𝑚 𝛿𝐵𝐶 𝐹𝐵𝐶 𝐿𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶 𝐸𝑎ç𝑜 𝛿𝐵𝐶 7 106 15 20 210 109 𝛿𝐵𝐶 25 106 𝑚 Exemplo 41 A barra composta de aço é composta por dois segmentos 𝐴𝐵 e 𝐵𝐷 com áreas de seção transversal 𝐴𝐴𝐵 10 𝑚2 e 𝐴𝐵𝐷 20 𝑚2 Determinar o deslocamento vertical de 𝐵 em relação a 𝐶e da extremidade 𝐴 em relação a 𝐷 Dado 𝐸𝑎ç𝑜 210 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 9 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐴𝐴𝐵 10 𝑚2 𝐴𝐵𝐷 20 𝑚2 𝐸𝑎ç𝑜 210 𝐺𝑃𝑎 𝐿𝐴𝐵 2 𝑚 𝐿𝐵𝐶 15 𝑚 𝐿𝐶𝐷 1 𝑚 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐵 4 𝑀𝑁 𝐹𝐶 8 𝑀𝑁 Analisando as forças nos segmentos 𝐹𝐴 15 𝑀𝑁 𝐹𝐶𝐷 9 𝑀𝑁 𝛿𝐴𝐵 143 106 𝑚 𝛿𝐵𝐶 25 106 𝑚 𝛿𝐶𝐷 𝐹𝐶𝐷 𝐿𝐶𝐷 𝐴𝐶𝐷 𝐸𝑎ç𝑜 𝛿𝐶𝐷 9 106 1 20 210 109 𝛿𝐶𝐷 21 106 𝑚 𝛿𝐴𝐷 𝛿𝐴𝐵 𝛿𝐵𝐶 𝛿𝐶𝐷 𝛿𝐴𝐷 143 106 25 106 21 106 𝛿𝐴𝐷 147 106 𝑚 𝛿𝐴𝐷 147 𝜇𝑚 Exemplo 42 O conjunto é composto por um tubo de alumínio 𝐴𝐵 com área de seção transversal de 400 𝑚𝑚2 Uma barra de aço com 10 𝑚𝑚 de diâmetro está acoplada a um colar rígido e que passa pelo tubo Se uma carga de tração de 80 𝑘𝑁 for aplicada à barra determine o deslocamento da extremidade 𝐶 da barra 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 10 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Exemplo 42 O conjunto é composto por um tubo de alumínio 𝐴𝐵 com área de seção transversal de 400 𝑚𝑚2 Uma barra de aço com 10 𝑚𝑚 de diâmetro está acoplada a um colar rígido e que passa pelo tubo Se uma carga de tração de 80 𝑘𝑁 for aplicada à barra determine o deslocamento da extremidade 𝐶 da barra 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 11 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐴𝐴𝐵 400 𝑚𝑚2 400 106 𝑚2 𝑑 10 𝑚𝑚 10 103 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐿𝐴𝐵 400 𝑚𝑚 0400 𝑚 𝐿𝐵𝐶 600 𝑚𝑚 0600 𝑚 𝑃 80 𝑘𝑁 𝑃𝐴𝐵 80 𝑘𝑁 𝑃𝐵𝐶 80 𝑘𝑁 Exemplo 42 O conjunto é composto por um tubo de alumínio 𝐴𝐵 com área de seção transversal de 400 𝑚𝑚2 Uma barra de aço com 10 𝑚𝑚 de diâmetro está acoplada a um colar rígido e que passa pelo tubo Se uma carga de tração de 80 𝑘𝑁 for aplicada à barra determine o deslocamento da extremidade 𝐶 da barra 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 12 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐴𝐴𝐵 400 𝑚𝑚2 400 106 𝑚2 𝑑 10 𝑚𝑚 10 103 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐿𝐴𝐵 400 𝑚𝑚 0400 𝑚 𝐿𝐵𝐶 600 𝑚𝑚 0600 𝑚 𝑃 80 𝑘𝑁 𝑃𝐴𝐵 80 𝑘𝑁 𝑃𝐵𝐶 80 𝑘𝑁 Analisando o deslocamento da extremidade C em relação à extremidade B 𝛿𝐴𝐵 𝑃𝐴𝐵 𝐿𝐴𝐵 𝐴𝐴𝐵 𝐸𝐴𝑙 𝛿𝐴𝐵 80 103 0400 400 106 70 109 𝛿𝐴𝐵 1143 𝑚𝑚 Para a direita Exemplo 42 O conjunto é composto por um tubo de alumínio 𝐴𝐵 com área de seção transversal de 400 𝑚𝑚2 Uma barra de aço com 10 𝑚𝑚 de diâmetro está acoplada a um colar rígido e que passa pelo tubo Se uma carga de tração de 80 𝑘𝑁 for aplicada à barra determine o deslocamento da extremidade 𝐶 da barra 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 13 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐴𝐴𝐵 400 𝑚𝑚2 400 106 𝑚2 𝑑 10 𝑚𝑚 0010 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐿𝐴𝐵 400 𝑚𝑚 0400 𝑚 𝐿𝐵𝐶 600 𝑚𝑚 0600 𝑚 𝑃 80 𝑘𝑁 𝑃𝐴𝐵 80 𝑘𝑁 𝑃𝐵𝐶 80 𝑘𝑁 Analisando o deslocamento da extremidade C em relação à extremidade B 𝛿𝐵𝐶 𝑃𝐵𝐶 𝐿𝐵𝐶 𝐴𝐵𝐶 𝐸𝑎ç𝑜 𝛿𝐵𝐶 80 103 0600 𝜋 0010 2 2 200 109 𝛿𝐵𝐶 3056 𝑚𝑚 Para a direita Exemplo 42 O conjunto é composto por um tubo de alumínio 𝐴𝐵 com área de seção transversal de 400 𝑚𝑚2 Uma barra de aço com 10 𝑚𝑚 de diâmetro está acoplada a um colar rígido e que passa pelo tubo Se uma carga de tração de 80 𝑘𝑁 for aplicada à barra determine o deslocamento da extremidade 𝐶 da barra 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 14 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐴𝐴𝐵 400 𝑚𝑚2 400 106 𝑚2 𝑑 10 𝑚𝑚 0010 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐿𝐴𝐵 400 𝑚𝑚 0400 𝑚 𝐿𝐵𝐶 600 𝑚𝑚 0600 𝑚 𝑃 80 𝑘𝑁 𝑃𝐴𝐵 80 𝑘𝑁 𝑃𝐵𝐶 80 𝑘𝑁 Analisando o deslocamento da extremidade C em relação à extremidade A 𝛿𝐴𝐶 𝛿𝐴𝐵 𝛿𝐵𝐶 𝛿𝐵𝐶 3056 𝑚𝑚 𝛿𝐴𝐵 1143 𝑚𝑚 𝛿𝐴𝐶 1143 103 3056 103 𝛿𝐴𝐶 4199 103 𝑚 𝛿𝐴𝐶 42 𝑚𝑚 Para a direita Exemplo 43 Uma viga rígida 𝐴𝐵 apoiase sobre dois postes curtos como mostrado na afigura 𝐴𝐶 é feito de aço e tem diâmetro de 20 𝑚𝑚 𝐵𝐷 é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 𝑚𝑚 Determinar o deslocamento do ponto 𝐹 em relação a 𝐴𝐵 se for aplicada uma carga vertical de 90 𝑘𝑁 nesse ponto Admitir 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 e 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 15 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Exemplo 43 Uma viga rígida 𝐴𝐵 apoiase sobre dois postes curtos como mostrado na afigura 𝐴𝐶 é feito de aço e tem diâmetro de 20 𝑚𝑚 𝐵𝐷 é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 𝑚𝑚 Determinar o deslocamento do ponto 𝐹 em relação a 𝐴𝐵 se for aplicada uma carga vertical de 90 𝑘𝑁 nesse ponto Admitir 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 e 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 16 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 600 𝑚𝑚 0600𝑚 𝐿𝐴𝐹 200 𝑚𝑚 0200𝑚 𝐿𝐹𝐵 400 𝑚𝑚 0400𝑚 𝐿𝐴𝐶 300 𝑚𝑚 0300𝑚 𝐿𝐵𝐷 300 𝑚𝑚 0300𝑚 𝐿𝐴𝐵 600 𝑚𝑚 0600𝑚 𝑑𝐴𝐶 20 𝑚𝑚 0020𝑚 𝑑𝐵𝐷 40 𝑚𝑚 0040𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐹 90 𝑘𝑁 Diagrama de corpo livre e análise das forças 𝑉𝐴 𝑉𝐵 𝐹 02 𝑉𝐵 06 0 𝑉𝐵 02 𝑃 06 𝑀𝐴 0 𝑉𝐵 30 𝑘𝑁 𝐹𝑦 0 𝑉𝐴 𝐹 𝑉𝐵 0 𝑉𝐴 𝐹 𝑉𝐵 𝑉𝐴 30 𝑘𝑁 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 17 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 600 𝑚𝑚 0600𝑚 𝐿𝐴𝐹 200 𝑚𝑚 0200𝑚 𝐿𝐹𝐵 400 𝑚𝑚 0400𝑚 𝐿𝐴𝐶 300 𝑚𝑚 0300𝑚 𝐿𝐵𝐷 300 𝑚𝑚 0300𝑚 𝐿𝐴𝐵 600 𝑚𝑚 0600𝑚 𝑑𝐴𝐶 20 𝑚𝑚 0020𝑚 𝑑𝐵𝐷 40 𝑚𝑚 0040𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝑃 90 𝑘𝑁 Exemplo 43 Uma viga rígida 𝐴𝐵 apoiase sobre dois postes curtos como mostrado na afigura 𝐴𝐶 é feito de aço e tem diâmetro de 20 𝑚𝑚 𝐵𝐷 é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 𝑚𝑚 Determinar o deslocamento do ponto 𝐹 em relação a 𝐴𝐵 se for aplicada uma carga vertical de 90 𝑘𝑁 nesse ponto Admitir 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 e 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 Analisando os deslocamentos nos topos de cada poste vem Poste AC 𝛿𝐴 𝑃𝐴𝐶 𝐿𝐴𝐶 𝐴𝐴𝐶 𝐸𝑎ç𝑜 𝛿𝐴 60 103 03 𝜋 001 2 200 109 𝛿𝐴 0286 𝑚𝑚 𝛿𝐴 0286 𝑚𝑚 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 18 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 600 𝑚𝑚 0600𝑚 𝐿𝐴𝐹 200 𝑚𝑚 0200𝑚 𝐿𝐹𝐵 400 𝑚𝑚 0400𝑚 𝐿𝐴𝐶 300 𝑚𝑚 0300𝑚 𝐿𝐵𝐷 300 𝑚𝑚 0300𝑚 𝐿𝐴𝐵 600 𝑚𝑚 0600𝑚 𝑑𝐴𝐶 20 𝑚𝑚 0020𝑚 𝑑𝐵𝐷 40 𝑚𝑚 0040𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝑃 90 𝑘𝑁 Exemplo 43 Uma viga rígida 𝐴𝐵 apoiase sobre dois postes curtos como mostrado na afigura 𝐴𝐶 é feito de aço e tem diâmetro de 20 𝑚𝑚 𝐵𝐷 é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 𝑚𝑚 Determinar o deslocamento do ponto 𝐹 em relação a 𝐴𝐵 se for aplicada uma carga vertical de 90 𝑘𝑁 nesse ponto Admitir 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 e 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 Analisando os deslocamentos nos topos de cada poste vem Poste BD 𝛿𝐵 𝑃𝐵𝐷 𝐿𝐵𝐷 𝐴𝐵𝐷 𝐸𝐴𝑙 𝛿𝐵 30 103 03 𝜋 002 2 70 109 𝛿𝐵 0102 𝑚𝑚 𝛿𝐵 0102 𝑚𝑚 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 19 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 600 𝑚𝑚 0600𝑚 𝐿𝐴𝐹 200 𝑚𝑚 0200𝑚 𝐿𝐹𝐵 400 𝑚𝑚 0400𝑚 𝐿𝐴𝐶 300 𝑚𝑚 0300𝑚 𝐿𝐵𝐷 300 𝑚𝑚 0300𝑚 𝐿𝐴𝐵 600 𝑚𝑚 0600𝑚 𝑑𝐴𝐶 20 𝑚𝑚 0020𝑚 𝑑𝐵𝐷 40 𝑚𝑚 0040𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝑃 90 𝑘𝑁 Exemplo 43 Uma viga rígida 𝐴𝐵 apoiase sobre dois postes curtos como mostrado na afigura 𝐴𝐶 é feito de aço e tem diâmetro de 20 𝑚𝑚 𝐵𝐷 é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 𝑚𝑚 Determinar o deslocamento do ponto 𝐹 em relação a 𝐴𝐵 se for aplicada uma carga vertical de 90 𝑘𝑁 nesse ponto Admitir 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 e 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 Analisando os deslocamentos nos topos de cada poste um diagrama que representa os deslocamentos da linha de centro nos pontos A e B e F são mostrados na figura abaixo Considerando a proporção indicada pelo triângulo sombreado o deslocamento no ponto F será dados por 𝛿𝐵 0102 𝑚𝑚 𝛿𝐴 0286 𝑚𝑚 𝛿𝐹 𝛿𝐵 𝛿𝐴 𝛿𝐵 𝐿𝐹𝐵 𝐿𝐴𝐵 𝛿𝐹 0102 0286 0102 04 06 𝛿𝐹 0225 𝑚𝑚 Exemplo 44 Um elemento é feito de um material com peso específico 𝛾 e módulo de elasticidade 𝐸 Se esse elemento tiver forma de um cone determine até que distância sua extremidade se deslocará sob a força da gravidade quando suspenso na posição vertical Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 20 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Exemplo 44 Um elemento é feito de um material com peso específico 𝛾 e módulo de elasticidade 𝐸 Se esse elemento tiver forma de um cone determine até que distância sua extremidade se deslocará sob a força da gravidade quando suspenso na posição vertical Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 21 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução A força axial interna que atua ao longo do elemento depende de peso do cone dependerá de seu volume 𝑊 𝑦 de um segmento do cone abaixo de qualquer seção Na seção localizada a uma distância 𝑦 da extremidade inferior o raio 𝑥 em função de 𝑦 será determinado por 𝑥 𝑦 𝑟0 𝐿 𝑥 𝑟0 𝐿 𝑦 Exemplo 44 Um elemento é feito de um material com peso específico 𝛾 e módulo de elasticidade 𝐸 Se esse elemento tiver forma de um cone determine até que distância sua extremidade se deslocará sob a força da gravidade quando suspenso na posição vertical Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 22 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução O volume de um cone com raio de base 𝑥 e altura 𝑦 é 𝑉 𝜋 3 𝑦 𝑥2 𝑥 𝑟0 𝐿 𝑦 𝑉 𝜋 3 𝑦 𝑟0 𝐿 𝑦 2 𝑉 𝜋 𝑟0 2 3 𝐿2 𝑦3 Exemplo 44 Um elemento é feito de um material com peso específico 𝛾 e módulo de elasticidade 𝐸 Se esse elemento tiver forma de um cone determine até que distância sua extremidade se deslocará sob a força da gravidade quando suspenso na posição vertical Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 23 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução A força interna na seção terá a intensidade da força peso 𝑊 𝑦 𝛾 𝑉 𝑥 𝑟0 𝐿 𝑦 𝑊 𝑦 𝛾 𝜋 𝑟0 2 3 𝐿2 𝑦3 𝑉 𝜋 𝑟0 2 3 𝐿2 𝑦3 𝑃 𝑦 𝛾 𝜋 𝑟0 2 3 𝐿2 𝑦3 Exemplo 44 Um elemento é feito de um material com peso específico 𝛾 e módulo de elasticidade 𝐸 Se esse elemento tiver forma de um cone determine até que distância sua extremidade se deslocará sob a força da gravidade quando suspenso na posição vertical Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 24 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução A área da seção transversal também será função da altura 𝑦 𝐴 𝑦 𝜋 𝑥2 𝑥 𝑟0 𝐿 𝑦 𝐴 𝑦 𝜋 𝑟0 2 𝐿2 𝑦2 𝑉 𝜋 𝑟0 2 3 𝐿2 𝑦3 𝑃 𝑦 𝛾 𝜋 𝑟0 2 3 𝐿2 𝑦3 Exemplo 44 Um elemento é feito de um material com peso específico 𝛾 e módulo de elasticidade 𝐸 Se esse elemento tiver forma de um cone determine até que distância sua extremidade se deslocará sob a força da gravidade quando suspenso na posição vertical Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 25 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Solução Então o deslocamento da extremidade será dado por 𝛿 න 0 𝐿 𝑃 𝑦 𝐴 𝑦 𝐸 𝑑𝑦 𝑥 𝑟0 𝐿 𝑦 𝐴 𝑦 𝜋 𝑟0 2 𝐿2 𝑦2 𝑉 𝜋 𝑟0 2 3 𝐿2 𝑦3 𝑃 𝑦 𝛾 𝜋 𝑟0 2 3 𝐿2 𝑦3 𝛿 1 𝐸 න 0 𝐿 𝛾 𝜋 𝑟0 2 3 𝐿2 𝑦3 𝐿2 𝜋 𝑟0 2 1 𝑦2 𝑑𝑦 𝛿 𝛾 3 𝐸 න 0 𝐿 𝑦 𝑑𝑦 𝛿 𝛾 𝐿2 6 𝐸 Exercício 41 Um navio é impulsionado pelo eixo de uma hélice feito de aço 𝐴 36 e com 8 𝑚 de comprimento medidos da hélice ao mancal de encosto 𝐷 do motor Se esse eixo tiver diâmetro externo de 400 𝑚𝑚 e espessura da parede de 50 𝑚𝑚 qual será sua contração axial quando a hélice exercer uma força de 5 𝑘𝑁 sobre ele Os apoios 𝐵 e 𝐶 são mancais 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 Resp 364 103 𝑚𝑚 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 26 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Exercício 42 Um coluna de aço 𝐴 36 é usada para apoiar as cargas simétricas de dois pisos de um edifício Determinar o deslocamento 𝐴 se as cargas 𝑃1 200 𝑘𝑁 e 𝑃2 310 𝑘𝑁 e a coluna tiver área de seção transversal de 14625 𝑚𝑚2 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 Resp 1747 𝑚𝑚 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 27 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Exercício 45 Uma haste de aço inoxidável está sujeita ao carregamento mostrado na figura Se a área da seção transversal da haste for de 600 𝑚𝑚2 determine o deslocamento de 𝐵 e 𝐴 Observação despreze as dimensões dos acoplamentos em 𝐵 𝐶 e 𝐷 𝐸𝑖𝑛𝑜𝑥 193 𝐺𝑃𝑎 Resp 2737 𝑚𝑚 e 2352 𝑚𝑚 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 28 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Exercício 413 Um suporte para tubos apoiado por mola é composto por duas molas que na posição original não estão alongadas e têm rigidez 𝑘 60 Τ 𝑘𝑁 𝑚 hastes de aço inoxidável 304 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 com diâmetro de 5 𝑚𝑚 e 𝐸𝐹 com diâmetro de 12 𝑚𝑚 e uma viga rígida 𝐺𝐻 Se o tubo e o fluido que ele transporta tiverem um peso de 4 𝑘𝑁 determine o deslocamento do tubo quando estiver acoplado ao suporte 𝐸𝑎ç𝑜 193 𝐺𝑃𝑎 Resp 3383 𝑚𝑚 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 29 Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Princípio da superposição é frequentemente usado para determinar a tensão ou o deslocamento em um ponto de um elemento quando este estiver sujeito a um carregamento complexo Princípio da Superposição Elemento com carga axial estaticamente indeterminado Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 30 A barra é estaticamente indeterminada quando as equações de equilíbrio não são suficientes para determinar as reações Exemplo 45 A haste de aço tem diâmetro de 5 𝑚𝑚 e está presa à parede fixa em 𝐴 Antes de ser carregada há uma folga de 1 𝑚𝑚 entre a parede 𝐵 e a haste Determine as reações em 𝐴 e 𝐵 se a haste for submetida a uma força axial 𝑃 20 𝑘𝑁 Despreze o tamanho do colar em 𝐶 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 31 Princípio da Superposição Exemplo 45 A haste de aço tem diâmetro de 5 𝑚𝑚 e está presa à parede fixa em 𝐴 Antes de ser carregada há uma folga de 1 𝑚𝑚 entre a parede 𝐵 e a haste Determine as reações em 𝐴 e 𝐵 se a haste for submetida a uma força axial 𝑃 20 𝑘𝑁 Despreze o tamanho do colar em 𝐶 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 32 Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 12 𝑚 𝐿𝐴𝐶 04 𝑚 𝐿𝐶𝐷 08 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 20 𝑘𝑁 𝑑 5 𝑚𝑚 0005 𝑚 𝛿𝐴𝐵 1 𝑚𝑚 0001 𝑚 Analisando o diagrama de corpo livre 𝐹𝑥 0 𝐹𝐴 𝑃 𝐹𝐵 0 𝐹𝐵 𝑃 𝐹𝐴 Princípio da Superposição Exemplo 45 A haste de aço tem diâmetro de 5 𝑚𝑚 e está presa à parede fixa em 𝐴 Antes de ser carregada há uma folga de 1 𝑚𝑚 entre a parede 𝐵 e a haste Determine as reações em 𝐴 e 𝐵 se a haste for submetida a uma força axial 𝑃 20 𝑘𝑁 Despreze o tamanho do colar em 𝐶 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 33 Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 12 𝑚 𝐿𝐴𝐶 04 𝑚 𝐿𝐶𝐷 08 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 20 𝑘𝑁 𝑑 5 𝑚𝑚 0005 𝑚 𝛿𝐴𝐵 1 𝑚𝑚 0001 𝑚 A carga provoca o movimento do ponto 𝐵 para 𝐵 sem deslocamento adicional 𝐹𝐵 𝑃 𝐹𝐴 𝛿𝐴𝐵 𝛿𝐴𝐶 𝛿𝐶𝐵 𝛿𝐴𝐵 𝐹𝐴 𝐿𝐴𝐶 𝐴 𝐸𝑎ç𝑜 𝐹𝐵 𝐿𝐶𝐵 𝐴 𝐸𝑎ç𝑜 𝛿𝐴𝐵 𝐴 𝐸𝑎ç𝑜 𝐹𝐴 𝐿𝐴𝐶 𝐹𝐵 𝐿𝐶𝐵 𝛿𝐴𝐵 𝐴 𝐸𝑎ç𝑜 𝐹𝐴 𝐿𝐴𝐶 𝑃 𝐹𝐴 𝐿𝐶𝐵 𝐹𝐴 𝐿𝐴𝐶 𝐿𝐶𝐵 𝛿𝐴𝐵 𝐴 𝐸𝑎ç𝑜 𝑃 𝐿𝐶𝐵 𝐹𝐴 𝛿𝐴𝐵 𝐴 𝐸𝑎ç𝑜 𝑃 𝐿𝐶𝐵 𝐿𝐴𝐶 𝐿𝐶𝐵 𝐹𝐴 0001 𝜋 4 00052 200 109 20 103 08 04 08 𝐹𝐴 1661 𝑘𝑁 Princípio da Superposição Exemplo 45 A haste de aço tem diâmetro de 5 𝑚𝑚 e está presa à parede fixa em 𝐴 Antes de ser carregada há uma folga de 1 𝑚𝑚 entre a parede 𝐵 e a haste Determine as reações em 𝐴 e 𝐵 se a haste for submetida a uma força axial 𝑃 20 𝑘𝑁 Despreze o tamanho do colar em 𝐶 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 34 Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 12 𝑚 𝐿𝐴𝐶 04 𝑚 𝐿𝐶𝐷 08 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 20 𝑘𝑁 𝑑 5 𝑚𝑚 0005 𝑚 𝛿𝐴𝐵 1 𝑚𝑚 0001 𝑚 A carga provoca o movimento do ponto 𝐵 para 𝐵 sem deslocamento adicional 𝐹𝐵 𝑃 𝐹𝐴 𝐹𝐴 1661 𝑘𝑁 𝐹𝐵 20 103 1661 103 𝐹𝐵 339 𝑘𝑁 Obs O fato de a força 𝐹𝐵 ser positiva indica que a extremidade B toca a parede B como se supunha Se 𝐹𝐵 fosse negativo indicaria que o problema seria estaticamente determinado com 𝐹𝐵 0 e 𝐹𝐴 20 𝑘𝑁 Princípio da Superposição Exemplo 46 Um poste de alumínio é reforçado com um núcleo de latão Supondo que o conjunto suporte uma carga resultante axial de compressão 90 𝑘𝑁 aplicada na tampa rígida determinar a tensão normal média no alumínio e no latão Supor 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 35 Princípio da Superposição Exemplo 46 Um poste de alumínio é reforçado com um núcleo de latão Supondo que o conjunto suporte uma carga resultante axial de compressão 90 𝑘𝑁 aplicada na tampa rígida determinar a tensão normal média no alumínio e no latão Supor 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 36 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿 1 𝑚 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 𝑃 90 𝑘𝑁 𝑟𝐴𝑙 10 𝑚𝑚 0010 𝑚 𝑟𝑙𝑎𝑡ã𝑜 6 𝑚𝑚 0006 𝑚 𝑟𝐴𝑙 𝑟𝑙𝑎𝑡ã𝑜 Exemplo 46 Um poste de alumínio é reforçado com um núcleo de latão Supondo que o conjunto suporte uma carga resultante axial de compressão 90 𝑘𝑁 aplicada na tampa rígida determinar a tensão normal média no alumínio e no latão Supor 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 37 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿 1 𝑚 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 𝑃 90 𝑘𝑁 𝑟𝐴𝑙 10 𝑚𝑚 0010 𝑚 𝑟𝑙𝑎𝑡ã𝑜 6 𝑚𝑚 0006 𝑚 Analisando o diagrama de corpo livre 𝑃 90 𝑘𝑁 𝐹𝑦 0 𝑃 𝐹𝐴𝑙𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 0 𝐹𝐴𝑙 𝑃 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 Exemplo 46 Um poste de alumínio é reforçado com um núcleo de latão Supondo que o conjunto suporte uma carga resultante axial de compressão 90 𝑘𝑁 aplicada na tampa rígida determinar a tensão normal média no alumínio e no latão Supor 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 38 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿 1 𝑚 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 𝑃 90 𝑘𝑁 𝑟𝐴𝑙 10 𝑚𝑚 0010 𝑚 𝑟𝑙𝑎𝑡ã𝑜 6 𝑚𝑚 0006 𝑚 Compatibilidade A tampa rígida no topo faz com que ambos alumínio e latão se desloquem na mesma distância então 𝐹𝐴𝑙 𝑃 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝛿𝐴𝑙 𝛿𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐹𝐴𝑙 𝐿 𝐴𝐴𝑙 𝐸𝐴𝑙 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐿 𝐴𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐹𝐴𝑙 𝐴𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐴𝐴𝑙 𝐸𝐴𝑙 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐴𝐴𝑙 𝐸𝐴𝑙𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐴𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝑃 𝐴𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝑃 𝐴𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐴𝐴𝑙 𝐸𝐴𝑙 𝐴𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 90 103 00062 105 109 00102 00062 70 109 00062 105 109 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 4119 𝑘𝑁 Exemplo 46 Um poste de alumínio é reforçado com um núcleo de latão Supondo que o conjunto suporte uma carga resultante axial de compressão 90 𝑘𝑁 aplicada na tampa rígida determinar a tensão normal média no alumínio e no latão Supor 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 39 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿 1 𝑚 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 𝑃 90 𝑘𝑁 𝑑𝐴𝑙 10 𝑚𝑚 0010 𝑚 𝑑𝑙𝑎𝑡ã𝑜 6 𝑚𝑚 0006 𝑚 Compatibilidade A tampa rígida no topo faz com que ambos alumínio e latão se desloquem na mesma distância então 𝐹𝐴𝑙 𝑃 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 4119 𝑘𝑁 𝐹𝐴𝑙 𝑃 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐹𝐴𝑙 90 103 4119 103 𝐹𝐴𝑙 4881 𝑘𝑁 Exemplo 46 Um poste de alumínio é reforçado com um núcleo de latão Supondo que o conjunto suporte uma carga resultante axial de compressão 90 𝑘𝑁 aplicada na tampa rígida determinar a tensão normal média no alumínio e no latão Supor 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 40 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿 1 𝑚 𝐸𝐴𝑙 70 𝐺𝑃𝑎 𝐸𝑙𝑎𝑡ã𝑜 105 𝐺𝑃𝑎 𝑃 90 𝑘𝑁 𝑑𝐴𝑙 10 𝑚𝑚 0010 𝑚 𝑑𝑙𝑎𝑡ã𝑜 6 𝑚𝑚 0006 𝑚 Como os resultados das forças são positivos o esforço é de compressão A tensão normal média no alumínio será 𝐹𝑙𝑎𝑡ã𝑜 4119 𝑘𝑁 𝜎𝐴𝑙 𝐹𝐴𝑙 𝐴𝐴𝑙 𝐹𝐴𝑙 4881 𝑘𝑁 𝜎𝐴𝑙 4881 103 𝜋 0012 00062 𝜎𝐴𝑙 2428 𝑀𝑃𝑎 A tensão normal média no latão será 𝜎𝑙𝑎𝑡ã𝑜 𝐹𝐴𝑙 𝐴𝐴𝑙 𝜎𝑙𝑎𝑡ã𝑜 4119 103 𝜋 00062 𝜎𝑙𝑎𝑡ã𝑜 3642 𝑀𝑃𝑎 Exemplo 47 As três barras de aço são acopladas a um elemento rígido por pinos Supondo que a carga aplicada ao elemento seja de 15 𝑘𝑁 determinar a força e a tensão desenvolvida em cada barra As barras 𝐴𝐵 e 𝐸𝐹 têm área de seção transversal de 25 𝑚𝑚2 e a barra 𝐶𝐷 tem área da seção transversal de 15 𝑚𝑚2 9520 N 3088 MPa 3462 N 2308 MPa 2020 N 808 MPa Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 41 Princípio da Superposição Exemplo 47 As três barras de aço são acopladas a um elemento rígido por pinos Supondo que a carga aplicada ao elemento seja de 15 𝑘𝑁 determinar a força e a tensão desenvolvida em cada barra As barras 𝐴𝐵 e 𝐸𝐹 têm área de seção transversal de 25 𝑚𝑚2 e a barra 𝐶𝐷 tem área da seção transversal de 15 𝑚𝑚2 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 42 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 𝐿𝐶𝐷 𝐿𝐸𝐹 05 𝑚 𝐿𝐴𝐶 𝐿𝐶𝐷 04 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 15 𝑘𝑁 𝐴𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹 25 𝑚𝑚2 𝐴𝐶𝐷 15 𝑚𝑚2 Analisando o diagrama de corpo livre Exemplo 47 As três barras de aço são acopladas a um elemento rígido por pinos Supondo que a carga aplicada ao elemento seja de 15 𝑘𝑁 determinar a força e a tensão desenvolvida em cada barra As barras 𝐴𝐵 e 𝐸𝐹 têm área de seção transversal de 25 𝑚𝑚2 e a barra 𝐶𝐷 tem área da seção transversal de 15 𝑚𝑚2 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 43 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 𝐿𝐶𝐷 𝐿𝐸𝐹 05 𝑚 𝐿𝐴𝐶 𝐿𝐶𝐷 04 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 15 𝑘𝑁 𝐴𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹 25 𝑚𝑚2 𝐴𝐶𝐷 15 𝑚𝑚2 Analisando o diagrama de corpo livre e analisando as forças 𝐹𝑦 0 𝐹𝐴 𝑃 𝐹𝐶 𝐹𝐸 0 𝐹𝐴 𝐹𝐶 𝐹𝐸 15 kN 𝑀𝐶 0 04 𝐹𝐴 02 𝑃𝐶 04 𝐹𝐸 0 𝐹𝐴 𝐹𝐸 75 𝑘𝑁 Exemplo 47 As três barras de aço são acopladas a um elemento rígido por pinos Supondo que a carga aplicada ao elemento seja de 15 𝑘𝑁 determinar a força e a tensão desenvolvida em cada barra As barras 𝐴𝐵 e 𝐸𝐹 têm área de seção transversal de 25 𝑚𝑚2 e a barra 𝐶𝐷 tem área da seção transversal de 15 𝑚𝑚2 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 44 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 𝐿𝐶𝐷 𝐿𝐸𝐹 05 𝑚 𝐿𝐴𝐶 𝐿𝐶𝐷 04 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 15 𝑘𝑁 𝐴𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹 25 𝑚𝑚2 𝐴𝐶𝐷 15 𝑚𝑚2 Compatibilidade A carga aplicada provocará a inclinação da reta 𝐴𝐶𝐸 para uma posição 𝐴𝐶𝐸 como na figura 𝛿𝐴 𝛿𝐸 08 𝛿𝐶 𝛿𝐸 04 𝛿𝐴 08 𝛿𝐸 08 𝛿𝐶 04 𝛿𝐸 08 𝛿𝐶 𝛿𝐴 2 𝛿𝐸 2 Exemplo 47 As três barras de aço são acopladas a um elemento rígido por pinos Supondo que a carga aplicada ao elemento seja de 15 𝑘𝑁 determinar a força e a tensão desenvolvida em cada barra As barras 𝐴𝐵 e 𝐸𝐹 têm área de seção transversal de 25 𝑚𝑚2 e a barra 𝐶𝐷 tem área da seção transversal de 15 𝑚𝑚2 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 45 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 𝐿𝐶𝐷 𝐿𝐸𝐹 05 𝑚 𝐿𝐴𝐶 𝐿𝐶𝐷 04 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 15 𝑘𝑁 𝐴𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹 25 𝑚𝑚2 𝐴𝐶𝐷 15 𝑚𝑚2 Analisando a relação cargadeslocamento 𝛿𝐶 𝛿𝐴 2 𝛿𝐸 2 𝐹𝐴 𝐹𝐶 𝐹𝐸 15 kN 𝐹𝐴 𝐹𝐸 75 𝑘𝑁 2 𝛿𝐶 𝛿𝐴 𝛿𝐸 2 𝐹𝐶 𝐿 𝐴𝐶𝐷 𝐸𝑎ç𝑜 𝐹𝐴 𝐿 𝐴𝐴𝐵 𝐸𝑎ç𝑜 𝐹𝐸 𝐿 𝐴𝐸𝐹 𝐸𝑎ç𝑜 2 𝐹𝐶 15 𝐹𝐴 25 𝐹𝐸 25 𝐹𝐶 03 𝐹𝐴 𝐹𝐸 ቐ 𝐹𝐴 𝐹𝐶 𝐹𝐸 15 kN 1 𝐹𝐴 𝐹𝐸 75 𝑘𝑁 2 03 𝐹𝐴 𝐹𝐶 03 𝐹𝐸 0 3 Exemplo 47 As três barras de aço são acopladas a um elemento rígido por pinos Supondo que a carga aplicada ao elemento seja de 15 𝑘𝑁 determinar a força e a tensão desenvolvida em cada barra As barras 𝐴𝐵 e 𝐸𝐹 têm área de seção transversal de 25 𝑚𝑚2 e a barra 𝐶𝐷 tem área da seção transversal de 15 𝑚𝑚2 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 46 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 𝐿𝐶𝐷 𝐿𝐸𝐹 05 𝑚 𝐿𝐴𝐶 𝐿𝐶𝐷 04 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 15 𝑘𝑁 𝐴𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹 25 𝑚𝑚2 𝐴𝐶𝐷 15 𝑚𝑚2 𝛿𝐶 𝛿𝐴 2 𝛿𝐸 2 𝐹𝐴 𝐹𝐶 𝐹𝐸 15 kN 𝐹𝐴 𝐹𝐸 75 𝑘𝑁 ቐ 𝐹𝐴 𝐹𝐶 𝐹𝐸 15 kN 1 𝐹𝐴 𝐹𝐸 75 𝑘𝑁 2 03 𝐹𝐴 𝐹𝐶 03 𝐹𝐸 0 3 1 1 1 1 0 1 03 1 03 𝐹𝐴 𝐹𝐶 𝐹𝐸 15 𝑘 75 𝑘 0 𝐷 1 1 1 1 0 1 03 1 03 𝐷 0 03 1 0 1 03 𝐷 26 𝐷𝐴 15𝑘 1 1 75𝑘 0 1 0 1 03 𝐷𝐴 0 0 75𝑘 0 15𝑘 225𝑘 𝐷𝐴 2475𝑘 Exemplo 47 As três barras de aço são acopladas a um elemento rígido por pinos Supondo que a carga aplicada ao elemento seja de 15 𝑘𝑁 determinar a força e a tensão desenvolvida em cada barra As barras 𝐴𝐵 e 𝐸𝐹 têm área de seção transversal de 25 𝑚𝑚2 e a barra 𝐶𝐷 tem área da seção transversal de 15 𝑚𝑚2 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 47 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 𝐿𝐶𝐷 𝐿𝐸𝐹 05 𝑚 𝐿𝐴𝐶 𝐿𝐶𝐷 04 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 15 𝑘𝑁 𝐴𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹 25 𝑚𝑚2 𝐴𝐶𝐷 15 𝑚𝑚2 ቐ 𝐹𝐴 𝐹𝐶 𝐹𝐸 15 kN 1 𝐹𝐴 𝐹𝐸 75 𝑘𝑁 2 03 𝐹𝐴 𝐹𝐶 03 𝐹𝐸 0 3 1 1 1 1 0 1 03 1 03 𝐹𝐴 𝐹𝐶 𝐹𝐸 15 𝑘 75 𝑘 0 𝐷𝐶 1 15𝑘 1 1 75𝑘 1 03 0 03 𝐷𝐶 225𝑘 45𝑘 0 225𝑘 0 45𝑘 𝐷 26 𝐷𝐸 1 1 15𝑘 1 0 75𝑘 03 1 0 𝐷𝐸 0 225𝑘 15𝑘 0 75𝑘 0 𝐷𝐴 2475𝑘 𝐷𝐶 9𝑘 𝐷𝐸 525𝑘 Exemplo 47 As três barras de aço são acopladas a um elemento rígido por pinos Supondo que a carga aplicada ao elemento seja de 15 𝑘𝑁 determinar a força e a tensão desenvolvida em cada barra As barras 𝐴𝐵 e 𝐸𝐹 têm área de seção transversal de 25 𝑚𝑚2 e a barra 𝐶𝐷 tem área da seção transversal de 15 𝑚𝑚2 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 48 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 𝐿𝐶𝐷 𝐿𝐸𝐹 05 𝑚 𝐿𝐴𝐶 𝐿𝐶𝐷 04 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 15 𝑘𝑁 𝐴𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹 25 𝑚𝑚2 𝐴𝐶𝐷 15 𝑚𝑚2 𝐷 26 𝐷𝐴 2475𝑘 𝐷𝐶 9𝑘 𝐷𝐸 525𝑘 𝐹𝐴 𝐷𝐴 𝐷 𝐹𝐴 2475𝑘 26 𝐹𝐴 952 𝑘𝑁 𝐹𝐶 𝐷𝐶 𝐷 𝐹𝐶 9𝑘 26 𝐹𝐶 346 𝑘𝑁 𝐹𝐸 𝐷𝐸 𝐷 𝐹𝐸 525𝑘 26 𝐹𝐸 202 𝑘𝑁 As forças em cada barra são Exemplo 47 As três barras de aço são acopladas a um elemento rígido por pinos Supondo que a carga aplicada ao elemento seja de 15 𝑘𝑁 determinar a força e a tensão desenvolvida em cada barra As barras 𝐴𝐵 e 𝐸𝐹 têm área de seção transversal de 25 𝑚𝑚2 e a barra 𝐶𝐷 tem área da seção transversal de 15 𝑚𝑚2 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 49 Princípio da Superposição Solução Dados 𝐿𝐴𝐵 𝐿𝐶𝐷 𝐿𝐸𝐹 05 𝑚 𝐿𝐴𝐶 𝐿𝐶𝐷 04 𝑚 𝐸𝑎ç𝑜 200 𝐺𝑃𝑎 𝑃 15 𝑘𝑁 𝐴𝐴𝐵 𝐴𝐸𝐹 25 𝑚𝑚2 𝐴𝐶𝐷 15 𝑚𝑚2 𝜎𝐴𝐵 𝐹𝐴 𝐴𝐴𝐵 𝜎𝐴𝐵 952 103 25 106 𝐹𝐴 952 𝑘𝑁 𝜎𝐶𝐷 𝐹𝐶 𝐴𝐶𝐷 𝜎𝐶𝐷 346 103 15 106 𝐹𝐶 346 𝑘𝑁 𝜎𝐸𝐹 𝐹𝐸 𝐴𝐸𝐹 𝜎𝐸𝐹 202 103 25 106 𝐹𝐸 202 𝑘𝑁 As tensões em cada barra são 𝜎𝐴𝐵 3808 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝐶𝐷 2307 𝑀𝑃𝑎 𝜎𝐸𝐹 808 𝑀𝑃𝑎