Mecânica dos Sólidos: Aula 2 - Tensão e Exemplos Práticos

Mecânica dos Sólidos Aula 2 Tensão Prof Dr Guelton H Guedes gueltonhguni9probr Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 1 Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 2 Equações de equilíbrio O equilíbrio de um corpo exige um equilíbrio de forças e um equilíbrio de momentos σ 𝐹 0 e σ 𝑀0 0 Se estipularmos um sistema de coordenadas 𝑥 𝑦 𝑧 com origem no ponto O 𝐹𝑥 0 𝐹𝑦 0 𝐹𝑧 0 𝑀𝑥 0 𝑀𝑦 0 𝑀𝑧 0 A melhor maneira de levar em conta essas forças é desenhar um diagrama de corpo livre do corpo Tensão Cargas resultantes internas O objetivo do diagrama de corpo livre é determinar a força e o momento resultantes que agem no interior de um corpo Em geral há quatro tipos diferentes de cargas resultantes a Força normal N b Força de cisalhamento V c Momento de torção ou torque T d Momento fletor M Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 3 Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 4 Exemplo 15 Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal B do cano na figura abaixo A massa do cano é de 2 Τ 𝑘𝑔 𝑚 e ele está sujeito a uma força vertical de 50 𝑁 e a um momento de 70 𝑁 𝑚 em sua extremidade ao final de 𝐴 O tubo está preso a uma parede em 𝐶 Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 5 Exemplo 15 Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal B do cano na figura abaixo A massa do cano é de 2 Τ 𝑘𝑔 𝑚 e ele está sujeito a uma força vertical de 50 𝑁 e a um momento de 70 𝑁 𝑚 em sua extremidade ao final de 𝐴 O tubo está preso a uma parede em 𝐶 Solução Calculando o peso de cada segmento do tubo 𝑤𝐵𝐷 2 05 981 𝑤𝐵𝐷 981 𝑁 𝑤𝐴𝐷 2 125 981 𝑤𝐴𝐷 24525 𝑁 Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 6 Exemplo 15 Determine as cargas internas resultantes que agem na seção transversal B do cano na figura abaixo A massa do cano é de 2 Τ 𝑘𝑔 𝑚 e ele está sujeito a uma força vertical de 50 𝑁 e a um momento de 70 𝑁 𝑚 em sua extremidade ao final de 𝐴 O tubo está preso a uma parede em 𝐶 Solução Diagrama de corpo livre Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 7 Exemplo 15 Solução Diagrama de corpo livre Aplicando as seis equações escalares de equilíbrio 𝐹𝑥 0 𝐹𝐵 𝑥 0 𝐹𝑦 0 𝐹𝐵 𝑦 0 𝐹𝑧 0 𝐹𝐵 𝑧 981 24525 50 0 𝐹𝐵 𝑧 843 𝑁 Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 8 Exemplo 15 Solução Diagrama de corpo livre Aplicando as seis equações escalares de equilíbrio 𝑀𝐵 𝑥 0 𝑀𝐵 𝑥 70 50 05 24525 05 981 025 0 𝑀𝐵 𝑥 303 𝑁 𝑚 𝑀𝐵 𝑦 0 𝑀𝐵 𝑦 24525 0625 50 125 0 𝑀𝐵 𝑦 778 𝑁 𝑚 𝑀𝐵 𝑧 0 𝑀𝐵 𝑧 0 Tensão Introdução A distribuição de carga interna é importante na resistência dos materiais Hipótese Consideraremos que o material seja contínuo A tensão corresponde à grandeza física vetorial que descreve a intensidade da força interna sobre um plano específico área que passa por um determinado ponto Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 9 Tensão Introdução Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 10 Tensão Tensão normal σ Referente à intensidade da força que age perpendicularmente à área Δ𝐴 𝜎𝑧 lim 𝐴0 𝐹𝑧 𝐴 Tensão de cisalhamento 𝝉 Referente à intensidade da força que age tangente à área Δ𝐴 𝜏𝑧𝑥 lim 𝐴0 𝐹𝑥 𝐴 e 𝜏𝑧𝑦 lim 𝐴0 𝐹𝑦 𝐴 Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 11 Tensão normal média em uma barra com carga axial Quando a área da seção transversal de uma barra estiver submetida a uma força axial que passa pelo centroide ela estará submetida à tensão normal Supõese que a tensão esteja acima da média da área Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 12 Distribuição da tensão normal média Quando a barra estiver submetida a uma deformação uniforme න 𝑑𝐹 න 𝐴 𝜎𝑑𝐴 𝑃 𝜎𝐴 𝜎 𝑃 𝐴 Onde 𝜎 tensão normal média 𝑃 força normal interna resultante e 𝐴 área da seção transversal da barra Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 13 Distribuição da tensão normal média No equilíbrio as duas componentes da tensão normal no elemento têm valores iguais mas têm direções opostas Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 14 Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 15 Exemplo 16 Uma barra tem 35 𝑚𝑚 de largura e 10 𝑚𝑚 de espessura Determine a tensão normal média máxima na barra quando ela estiver submetida à carga mostrada na figura Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 16 Exemplo 16 Solução Por inspeção as forças internas axiais são constantes mas têm valores diferentes Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 17 Exemplo 16 Solução Graficamente o diagrama da força normal pode ser mostrado na forma Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 18 Exemplo 16 Solução Por inspeção a maior carga estará na região 𝐵𝐶 onde 𝑃𝐵𝐶 30 𝑘𝑁 Como a área da seção transversal da barra é constante a maior tensão normal média será 𝜎𝐵𝐶 𝑃𝐵𝐶 𝐴 𝜎𝐵𝐶 30 103 0035 001 𝜎𝐵𝐶 8571 𝑀𝑃𝑎 Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 19 Exemplo 17 Uma luminária de 80 𝑘𝑔 está suspensa por duas hastes 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 como mostra a figura Se 𝐴𝐵 tem 10 𝑚𝑚 de diâmetro e 𝐵𝐶 tem 8 𝑚𝑚 de diâmetro determinar a tensão normal média em cada haste Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 20 Exemplo 17 Solução No diagrama de corpo livre Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 21 Exemplo 17 Solução No diagrama de corpo livre devemos determinar inicialmente a força axial em cada haste Aplicando as equações de equilíbrio das forças vem 𝐹𝑥 0 4 5 𝐹𝐵𝐶 𝐹𝐵𝐴 cos 60 0 𝐹𝑦 0 3 5 𝐹𝐵𝐶 𝐹𝐵𝐴 sen 60 7848 0 𝐹𝐵𝐶 3952 𝑁 e 𝐹𝐵𝐴 6324 𝑁 Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 22 Exemplo 17 Solução Para determinar a tensão normal média 𝐹𝐵𝐶 3952 𝑁 e 𝐹𝐵𝐴 6324 𝑁 𝜎𝐵𝐶 𝐹𝐵𝐶 𝐴 𝜎𝐵𝐶 3952 𝜋 00042 𝜎𝐵𝐶 786 MPa 𝜎𝐵𝐴 𝐹𝐵𝐴 𝐴 𝜎𝐵𝐴 6324 𝜋 00052 𝜎𝐵𝐴 805 𝑀𝑃𝑎 Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 23 Exemplo 18 A peça fundida mostrada na figura é feita de aço cujo peso específico é 𝛾𝑎ç𝑜 80 𝑘𝑁 𝑚3 Determine a tensão de compressão média que age nos pontos 𝐴 e 𝐵 Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 24 Exemplo 18 Solução Desenhando o diagrama de corpo livre do segmento superior a força axial interna 𝑃 essa seção é 𝐹𝑧 0 𝑃 𝑤𝑎ç𝑜 0 𝑃 80 103 080 𝜋 022 0 𝑃 8042 𝑘𝑁 Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 25 Exemplo 18 Solução A tensão de compressão média será 𝜎 𝑃 𝐴 𝑃 8042 𝑘𝑁 𝜎 8042 103 𝜋 022 𝜎 64 𝑘𝑃𝑎 Tensão de cisalhamento média A tensão de cisalhamento distribuída sobre cada área seccionada que desenvolve essa força de cisalhamento é definida por Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 26 𝜏𝑚é𝑑 𝑉 𝐴 Onde 𝜏𝑚é𝑑 tensão de cisalhamento média 𝑉 força de cisalhamento interna resultante e A área da seção Há dois tipos de cisalhamento Cisalhamento simples Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 27 Há dois tipos de cisalhamento Cisalhamento duplo Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 28 Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 29 Exemplo 112 O elemento inclinado da figura está submetido a uma força de compressão média de 3 𝑘𝑁 Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas de contato lisas definidas por 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 e a tensão de cisalhamento média ao longo do plano horizontal definido por 𝐸𝐷𝐵 Exemplo 112 Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 30 Solução Desenhando o diagrama de corpo livre do elemento inclinado as forças de compressão que agem nas áreas de contato serão 𝐹𝑥 0 𝐹𝐴𝐵 3000 3 5 0 𝐹𝑦 0 𝐹𝐵𝐶 3000 4 5 0 𝐹𝐴𝐵 18 𝑘𝑁 𝐹𝐵𝐶 24 𝑘𝑁 Exemplo 112 Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 31 Solução A força de cisalhamento que age no plano horizontal seccionado 𝐸𝐷𝐵 será 𝐹𝑥 0 𝑉 𝐹𝐴𝐵 0 𝑉 18 𝑘𝑁 Exemplo 112 Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 32 Solução As tensões de compressão médias ao longo dos planos horizontal e vertical do elemento inclinado serão 𝜎𝐴𝐵 1800 25 40 𝜎𝐴𝐵 18 𝑁 𝑚𝑚2 𝜎𝐴𝐵 𝐹𝐴𝐵 𝐴 𝜎𝐴𝐵 2400 50 40 𝜎𝐵𝐶 12 𝑁 𝑚𝑚2 𝜎𝐵𝐶 𝐹𝐵𝐶 𝐴 Exemplo 112 Tensão Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 33 Solução A tensão de cisalhamento média que age no plano horizontal definido por 𝐵𝐷 será 𝜏𝑚é𝑑 1800 75 40 𝜏𝑚é𝑑 06 𝑁 𝑚𝑚2 𝜏𝑚é𝑑 𝜎𝐴𝐵 𝐴 Tensão Exercícios Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 34 1 Determine a resultante normal interna da força que atua na seção transversal do ponto 𝐴 em cada coluna A barra tem massa de 200 𝑘𝑔𝑚 Tensão Exercícios Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 35 2 O eixo da figura está apoiado em suas extremidades por dois mancais 𝐴 e 𝐵 e está sujeito às forças aplicadas nas roldanas presas por ele Determinar a resultante das cargas internas que atuam na seção transversal do ponto 𝐷 Enquanto as forças de 400 𝑁 atuam na direção 𝑧 as de 200 𝑁 e 80 𝑁 atuam na direção 𝑦 Os mancais 𝐴 e 𝐵 exercem somente os componentes 𝑦 e 𝑧 da força sobre o eixo Tensão Exercícios Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 36 3 O mancal de encosto está submetido às cargas mostradas Determinar a tensão normal media desenvolvida nas seções transversais que passam pelo pontos 𝐵 𝐶 e 𝐷 Fazer o desenho esquemático dos resultados para um elemento de volume infinitesimal localizado em cada seção Tensão Exercícios Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 37 4 O eixo da figura está submetido a uma força axial de 30 𝑘𝑁 Supondo que o eixo passe pelo furo de 53 𝑚𝑚 de diâmetro no apoio fixo 𝐴 determinar a tensão do mancal que atua sobre o colar 𝐶 Qual a tensão de cisalhamento média que atua ao longo da superfície interna do colar onde ele está acoplado ao eixo de 52 𝑚𝑚 de diâmetro Tensão Exercícios Mec Sol Prof Dr Guelton H Guedes 222 38 5 O punção circular 𝐵 exerce uma força de 2 𝑘𝑁 no topo da chapa Determinar a tensão de cisalhamento média na chapa devida a esse carregamento