Texto de pré-visualização
Exercícios de Álgebra Linear 1ª Questão 10 ponto Verifique se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas é um espaço vetorial x y z x y z x x y y z z kx y z 0 0 0 2ª Questão Sejam os vetores u23 v12 e w21 pertencentes ao conjunto V α 2 e β 3 Verifique se V é um espaço vetorial através das propriedades usuais x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 αx y αx αy 3ª Questão Seja V um espaço vetorial R² Mostre que W x y R²y 2x é um subconjunto de V u13 v26 e α 3 4ª Questão Verificar se S x yy x é subespaço vetorial do R² através das operações usuais 5ª Questão Verifique se o conjunto A x y zx 4yez 0 é um subespaço do R³ utilizando as operações usuais 6ª Questão Seja V13 um espaço vetorial no R² e v1 2 6 v2 3 5 V Escreva V como combinação linear dos vetores v1 e v2 7ª Questão Consideremos no espaço P2at²btca b c R os vetores p1 t²2t1 p2 t 2 e p3 2t² t Escreva o vetor p 5t² 5t 7 como combinação linear dos vetores p1 p2 e p3 8ª Questão Classificar os seguintes subconjuntos do R³ em LI ou LD a213 b111111 c210 130 350 9ª Questão Quais dos seguintes conjuntos de vetores pertencentes ao P2 são LD a 2 x x² 4 x 4x² x 2x² b 1 x 2x² x x² x² 10ª Questão No espaço vetorial R³ os vetores v1 2 1 3 v2 1 0 2 e v3 2 3 0 formam um conjunto Linearmente Dependente ou Independente 11ª Questão Análogo ao anterior mas com v3 2 3 1 1ª Questão 10 ponto Verifique se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas é um espaço vetorial x y z x y z x x y y z z P1 kx y z 0 0 0 P2 Para verificar se determinado conjunto é um espaço vetorial temos que verificar se o conjunto satisfaz as 10 propriedades são elas 1 u v V uv V 2 u V αu V 3 uvw uvw 4 u0 u 0 é o vetor nulo 5 uu 0 6 uv vu 7 αuv αu αv 8 α β u αu βv 9 αβu αβ u 10 1u u Então vamos verificar cada propriedade 1 Seja u1v V então uv u1 u2 u3 v1 v2 v3 u1 v1 u2 v2 u3 v3 V 2 αu αu1 u2 u3 0 0 0 V 3 uvw u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3 u1 v1 u2 v2 u3 v3 w1 w2 w3 u1 v1 w1 u2 v2 w2 u3 v3 w3 u1 u2 u3 v1 w1 v2 w2 v3 w3 u v w 4 u0 u1 u2 u3 0 0 0 u1 0 u2 0 u3 0 u1 u2 u3 u 5 u u u 1uP2 u 0 u Veja que V não compree a 5 proprieda de Portanto V não é espaço vetorial 2ª Questão Sejam os vetores u23 v12 e w21 pertencentes ao conjunto V α 2 e β 3 Verifique se V é um espaço vetorial através das propriedades usuais 1 u v 2 3 1 2 3 5 V uw 2 3 2 1 4 4 V vw 1 2 2 1 3 3 V 2 αu 22 3 4 6 βu 32 3 6 9 αv 21 2 2 4 βv 31 2 3 6 αw 22 1 4 2 βw 32 1 6 3 3 uvw uvw 2 3 1 2 2 1 2 3 1 2 2 1 3 5 2 1 2 3 3 3 5 6 5 6 4 u0 2 3 0 0 2 3 u v0 1 2 0 0 1 2 v w0 2 1 0 0 2 1 w 5 u u 2 3 12 3 2 3 2 3 00 v v 1 2 11 2 1 2 1 2 00 w w 2 1 12 1 2 1 2 1 00 6 u v v u 23 12 12 23 35 35 u w w u 23 21 21 23 44 44 v w 12 21 21 12 33 33 7 αu v αu αv 223 12 223 212 235 46 24 610 610 8 α βu αu βu 2 323 223 323 523 46 69 1015 1015 9 αβu αβu 2323 2323 269 623 1218 1218 10 1u 123 12 13 23 u Portanto V é um espaço vetorial 3ª Questão Seja V um espaço vetorial ℝ² Mostre que W xy ℝ²y 2x é um subconjunto de V u13 v26 e α 3 Lembrando que para W ser subespaço vetorial de V há 3 condições i 0 S ii uv S u v S iii u S αu S Então vamos verificar i 0 S pois 0 20 0 0 ii x₁ y₁ x₂ y₂ x₁ x₂ y₁ y₂ Como y₁ 2x₁ e y₂ 2x₂ y₁ y₂ 2x₁ 2x₂ y₁ y₂ 2x₁ x₂ x₁ x₂ y₁ y₂ W iii αxy αx αy Como y 2x então αy α2x αy 2αx αx αy W Portanto W é subespaço de V No entanto os vetores dados W pois u 13 3 21 v 26 6 22 4ª Questão Verificar se S xyy x é subespaço vetorial do R² através das operações usuais Seja uv ℝ² e α escalar i 00 S pois 0 0 ii u v u₁ u₂ v₁v₂ u₁v₁ u₂v₂ Como u₂ u₁ e v₂ v₁ Somando as equações u₂ v₂ u₁ v₁ u₂ v₂ u₁ v₁ Portanto u₁ v₁ u₂ v₂ S iii αu αu₁ u₂ αu₁ αu₂ Como u₂ u₁ Multiplicando a equação por α αu₂ αu₁ αu S Então S é subespaço vetorial de ℝ² 5ª Questão Verifique se o conjunto A xyzx 4yez 0 é um subespaço do R³ utilizando as operações usuais i 000 A pois 0 40 e z 0 ii Seja uv A u v u₁ u₂ u₃ v₁ v₂ v₃ u₁ v₁ u₂ v₂ u₃ v₃ Para u₁ v₁ u₂ v₂ u₃ v₃ A temos que ter u₁ v₁ 4u₂ v₂ e u₃ v₃ 0 Como u₁ 4u₂ e v₁ 4v₂ Somando as equações u₁ v₁ 4u₂ 4v₂ u₁ v₁ 4u₂ v₂ Como u₃ 0 e v₃ 0 então u₃ v₃ 0 ii αu αu₁ u₂ u₃ αu₁ αu₂ αu₃ Como u₁ 4u₂ Multiplicando ambos os lados por α αu₁ 4αu₂ Como u₃ 0 então αu₃ 0 Portanto A é subespaço vetorial de ℝ² 7ª Questão Consideremos no espaço P2 at2 bt c a b c R os vetores p1 t2 2t 1 p2 t 2 e p3 2t2 t Escreva o vetor p 5t2 5t 7 como combinação linear dos vetores p1 p2 e p3 Novamente temos que ter αp1 βp2 γp3 p αt2 2t 1 βt 2 γ2t2 t 5t2 5t 7 αt2 2αt α βt 2β 2γt2 γt 5t2 5t 7 Colocando em evidência t2 e t α 2γt2 2α β γt α 2β 5t2 5t 7 Pela igualdade de polinômios α 2γ 5 α 5 2γ 2α β γ 5 α 2β 7 Substituindo α na 2ª equação 25 2γ β γ 5 10 4γ β γ 5 β 3γ 5 10 β 3γ 5 Substituindo α e β na 3ª equação 5 2γ 23γ 5 7 5 2γ 6γ 10 7 8γ 15 7 8γ 8 γ 1 Encontrando α α 21 5 α 5 2 α 3 Encontrando β 3 2β 7 2β 7 3 β 42 β 2 Portanto 3t2 2t 1 2t 2 12t2 t 5t2 5t 7 8 8ª Questão Classificar os seguintes subconjuntos do R3 em LI ou LD a2 1 3 b1 1 1 1 1 1 c2 1 0 1 3 0 3 5 0 a Um conjunto só com um vetor é LI exceto se for o vetor nulo Então 2 1 3 é LI b 1 1 1 1 1 1 será LI se α β 0 na equação α1 1 1 β1 1 1 0 0 0 α α α β β β 0 0 0 α β α β α β 0 0 0 Então α β 0 α β α β 0 β α α β 0 0 0 0 6 6ª Questão Seja V13 um espaço vetorial no R2 e v1 2 6 v2 3 5 V Escreva V como combinação linear dos vetores v1 e v2 Para V ser combinação linear dos vetores v1 e v2 temos que ter αv1 βv2 V α2 6 β3 5 1 3 2α 6α 3β 5β 1 3 2α 3β 6α 5β 1 3 Pela igualdade de vetores 2α 3β 1 2α 1 3β α 1 3β2 6α 5β 3 Substituindo α na 2ª equação 61 3β2 5β 3 31 3β 5β 3 3 9β 5β 3 3 4β 3 4β 0 β 0 Encontrando α 2α 30 1 2α 1 α 12 Portanto 12 2 6 0 3 5 1 3 Portanto α β 0 Então 1 1 1 1 1 1 é LI c Novamente para o conjunto ser LI temos que ter α2 1 0 β1 3 0 γ3 5 0 0 0 0 com α β γ 0 Então 2α α 0 β 3β 0 3γ 5γ 0 0 0 0 2α β 3γ α 3β 5γ 0 0 0 0 Ou seja 2α β 3γ 0 α 3β 5γ 0 Como uma equação zerou podemos ter certeza que o conjunto é LD Isso porque caso algumas dessas coisas abaixo aconteça então o conjunto será LD det M 0 dimbase dimconjunto Portanto 2 1 0 1 3 0 3 5 0 é LD 9ª Questão Quais dos seguintes conjuntos de vetores pertencentes ao P2 são LD a α2 x x2 β4 x 4x2 γx 2x2 0 2α αx αx2 4β βx 4βx2 γx 2γx2 0 α 4β 2γ x2 α β γ x 2α 4β 0 x2 0x 0 Então α 4β 2γ 0 α β γ 0 2α 4β 0 Passando pra forma matricial e reduzindo 1 4 2 1 1 1 2 4 0 L2 L2 L1 1 4 2 0 3 3 2 4 0 L3 L3 2L1 1 4 2 0 3 3 0 4 4 L3 L3 43L2 1 4 2 0 3 3 0 0 0 A Novamente zerou uma linha então det A 0 E portanto o conjunto é LD b α1 x 2x2 βx x2 γx2 0 α αx 2αx2 βx βx2 γx2 0 2α β γx2 α βx α 0x2 0x 0 Então 2α β γ 0 γ 0 α β 0 β 0 α 0 Portanto o conjunto é LI 10ª Questão No espaço vetorial R3 os vetores v1 2 1 3 v2 1 0 2 e v3 2 3 0 formam um conjunto Linearmente Dependente ou Independente α2 1 3 β1 0 2 γ2 3 0 0 0 0 2α α 3α β 0 2β 2γ 3γ 0 0 0 0 2α β 2γ α 3γ 3α 2β 0 0 0 Então 2α β 2γ 0 α 3γ 0 α 3γ 3α 2β 0 Substituindo α na 1ª equação 23γ β 2γ 0 6γ β 2γ 0 4γ β 0 8γ 2β 0 1 Substituindo α na 3ª equação 33γ 2β 0 9γ 2β 0 2 Somando 1 e 2 γ 0 γ 0 Encontrando β 90 2β 0 2β 0 β 0 Encontrando α 3α 30 0 3α 0 α 0 Portanto os vetores formam um conjunto LI 11ª Questão Análogo ao anterior mas com v3 2 3 1 α2 1 3 β1 0 2 γ2 3 1 0 0 0 2αα3α β02β 2γ3γγ 000 2αβ2γα3γ3α2βγ 000 Então 2αβ2γ0 α3γ0 3α2βγ0 Passando pra forma matricial e reduzindo 2 1 2 1 0 3 L2 L2 12 L1 3 2 1 L3 L3 32 L1 2 1 2 0 12 2 Linhas iguais Então 0 12 2 a última vai zerar Logo teremos que o determinante da matriz é 0 Portanto o conjunto de vetores é LD
Texto de pré-visualização
Exercícios de Álgebra Linear 1ª Questão 10 ponto Verifique se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas é um espaço vetorial x y z x y z x x y y z z kx y z 0 0 0 2ª Questão Sejam os vetores u23 v12 e w21 pertencentes ao conjunto V α 2 e β 3 Verifique se V é um espaço vetorial através das propriedades usuais x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 αx y αx αy 3ª Questão Seja V um espaço vetorial R² Mostre que W x y R²y 2x é um subconjunto de V u13 v26 e α 3 4ª Questão Verificar se S x yy x é subespaço vetorial do R² através das operações usuais 5ª Questão Verifique se o conjunto A x y zx 4yez 0 é um subespaço do R³ utilizando as operações usuais 6ª Questão Seja V13 um espaço vetorial no R² e v1 2 6 v2 3 5 V Escreva V como combinação linear dos vetores v1 e v2 7ª Questão Consideremos no espaço P2at²btca b c R os vetores p1 t²2t1 p2 t 2 e p3 2t² t Escreva o vetor p 5t² 5t 7 como combinação linear dos vetores p1 p2 e p3 8ª Questão Classificar os seguintes subconjuntos do R³ em LI ou LD a213 b111111 c210 130 350 9ª Questão Quais dos seguintes conjuntos de vetores pertencentes ao P2 são LD a 2 x x² 4 x 4x² x 2x² b 1 x 2x² x x² x² 10ª Questão No espaço vetorial R³ os vetores v1 2 1 3 v2 1 0 2 e v3 2 3 0 formam um conjunto Linearmente Dependente ou Independente 11ª Questão Análogo ao anterior mas com v3 2 3 1 1ª Questão 10 ponto Verifique se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas é um espaço vetorial x y z x y z x x y y z z P1 kx y z 0 0 0 P2 Para verificar se determinado conjunto é um espaço vetorial temos que verificar se o conjunto satisfaz as 10 propriedades são elas 1 u v V uv V 2 u V αu V 3 uvw uvw 4 u0 u 0 é o vetor nulo 5 uu 0 6 uv vu 7 αuv αu αv 8 α β u αu βv 9 αβu αβ u 10 1u u Então vamos verificar cada propriedade 1 Seja u1v V então uv u1 u2 u3 v1 v2 v3 u1 v1 u2 v2 u3 v3 V 2 αu αu1 u2 u3 0 0 0 V 3 uvw u1 u2 u3 v1 v2 v3 w1 w2 w3 u1 v1 u2 v2 u3 v3 w1 w2 w3 u1 v1 w1 u2 v2 w2 u3 v3 w3 u1 u2 u3 v1 w1 v2 w2 v3 w3 u v w 4 u0 u1 u2 u3 0 0 0 u1 0 u2 0 u3 0 u1 u2 u3 u 5 u u u 1uP2 u 0 u Veja que V não compree a 5 proprieda de Portanto V não é espaço vetorial 2ª Questão Sejam os vetores u23 v12 e w21 pertencentes ao conjunto V α 2 e β 3 Verifique se V é um espaço vetorial através das propriedades usuais 1 u v 2 3 1 2 3 5 V uw 2 3 2 1 4 4 V vw 1 2 2 1 3 3 V 2 αu 22 3 4 6 βu 32 3 6 9 αv 21 2 2 4 βv 31 2 3 6 αw 22 1 4 2 βw 32 1 6 3 3 uvw uvw 2 3 1 2 2 1 2 3 1 2 2 1 3 5 2 1 2 3 3 3 5 6 5 6 4 u0 2 3 0 0 2 3 u v0 1 2 0 0 1 2 v w0 2 1 0 0 2 1 w 5 u u 2 3 12 3 2 3 2 3 00 v v 1 2 11 2 1 2 1 2 00 w w 2 1 12 1 2 1 2 1 00 6 u v v u 23 12 12 23 35 35 u w w u 23 21 21 23 44 44 v w 12 21 21 12 33 33 7 αu v αu αv 223 12 223 212 235 46 24 610 610 8 α βu αu βu 2 323 223 323 523 46 69 1015 1015 9 αβu αβu 2323 2323 269 623 1218 1218 10 1u 123 12 13 23 u Portanto V é um espaço vetorial 3ª Questão Seja V um espaço vetorial ℝ² Mostre que W xy ℝ²y 2x é um subconjunto de V u13 v26 e α 3 Lembrando que para W ser subespaço vetorial de V há 3 condições i 0 S ii uv S u v S iii u S αu S Então vamos verificar i 0 S pois 0 20 0 0 ii x₁ y₁ x₂ y₂ x₁ x₂ y₁ y₂ Como y₁ 2x₁ e y₂ 2x₂ y₁ y₂ 2x₁ 2x₂ y₁ y₂ 2x₁ x₂ x₁ x₂ y₁ y₂ W iii αxy αx αy Como y 2x então αy α2x αy 2αx αx αy W Portanto W é subespaço de V No entanto os vetores dados W pois u 13 3 21 v 26 6 22 4ª Questão Verificar se S xyy x é subespaço vetorial do R² através das operações usuais Seja uv ℝ² e α escalar i 00 S pois 0 0 ii u v u₁ u₂ v₁v₂ u₁v₁ u₂v₂ Como u₂ u₁ e v₂ v₁ Somando as equações u₂ v₂ u₁ v₁ u₂ v₂ u₁ v₁ Portanto u₁ v₁ u₂ v₂ S iii αu αu₁ u₂ αu₁ αu₂ Como u₂ u₁ Multiplicando a equação por α αu₂ αu₁ αu S Então S é subespaço vetorial de ℝ² 5ª Questão Verifique se o conjunto A xyzx 4yez 0 é um subespaço do R³ utilizando as operações usuais i 000 A pois 0 40 e z 0 ii Seja uv A u v u₁ u₂ u₃ v₁ v₂ v₃ u₁ v₁ u₂ v₂ u₃ v₃ Para u₁ v₁ u₂ v₂ u₃ v₃ A temos que ter u₁ v₁ 4u₂ v₂ e u₃ v₃ 0 Como u₁ 4u₂ e v₁ 4v₂ Somando as equações u₁ v₁ 4u₂ 4v₂ u₁ v₁ 4u₂ v₂ Como u₃ 0 e v₃ 0 então u₃ v₃ 0 ii αu αu₁ u₂ u₃ αu₁ αu₂ αu₃ Como u₁ 4u₂ Multiplicando ambos os lados por α αu₁ 4αu₂ Como u₃ 0 então αu₃ 0 Portanto A é subespaço vetorial de ℝ² 7ª Questão Consideremos no espaço P2 at2 bt c a b c R os vetores p1 t2 2t 1 p2 t 2 e p3 2t2 t Escreva o vetor p 5t2 5t 7 como combinação linear dos vetores p1 p2 e p3 Novamente temos que ter αp1 βp2 γp3 p αt2 2t 1 βt 2 γ2t2 t 5t2 5t 7 αt2 2αt α βt 2β 2γt2 γt 5t2 5t 7 Colocando em evidência t2 e t α 2γt2 2α β γt α 2β 5t2 5t 7 Pela igualdade de polinômios α 2γ 5 α 5 2γ 2α β γ 5 α 2β 7 Substituindo α na 2ª equação 25 2γ β γ 5 10 4γ β γ 5 β 3γ 5 10 β 3γ 5 Substituindo α e β na 3ª equação 5 2γ 23γ 5 7 5 2γ 6γ 10 7 8γ 15 7 8γ 8 γ 1 Encontrando α α 21 5 α 5 2 α 3 Encontrando β 3 2β 7 2β 7 3 β 42 β 2 Portanto 3t2 2t 1 2t 2 12t2 t 5t2 5t 7 8 8ª Questão Classificar os seguintes subconjuntos do R3 em LI ou LD a2 1 3 b1 1 1 1 1 1 c2 1 0 1 3 0 3 5 0 a Um conjunto só com um vetor é LI exceto se for o vetor nulo Então 2 1 3 é LI b 1 1 1 1 1 1 será LI se α β 0 na equação α1 1 1 β1 1 1 0 0 0 α α α β β β 0 0 0 α β α β α β 0 0 0 Então α β 0 α β α β 0 β α α β 0 0 0 0 6 6ª Questão Seja V13 um espaço vetorial no R2 e v1 2 6 v2 3 5 V Escreva V como combinação linear dos vetores v1 e v2 Para V ser combinação linear dos vetores v1 e v2 temos que ter αv1 βv2 V α2 6 β3 5 1 3 2α 6α 3β 5β 1 3 2α 3β 6α 5β 1 3 Pela igualdade de vetores 2α 3β 1 2α 1 3β α 1 3β2 6α 5β 3 Substituindo α na 2ª equação 61 3β2 5β 3 31 3β 5β 3 3 9β 5β 3 3 4β 3 4β 0 β 0 Encontrando α 2α 30 1 2α 1 α 12 Portanto 12 2 6 0 3 5 1 3 Portanto α β 0 Então 1 1 1 1 1 1 é LI c Novamente para o conjunto ser LI temos que ter α2 1 0 β1 3 0 γ3 5 0 0 0 0 com α β γ 0 Então 2α α 0 β 3β 0 3γ 5γ 0 0 0 0 2α β 3γ α 3β 5γ 0 0 0 0 Ou seja 2α β 3γ 0 α 3β 5γ 0 Como uma equação zerou podemos ter certeza que o conjunto é LD Isso porque caso algumas dessas coisas abaixo aconteça então o conjunto será LD det M 0 dimbase dimconjunto Portanto 2 1 0 1 3 0 3 5 0 é LD 9ª Questão Quais dos seguintes conjuntos de vetores pertencentes ao P2 são LD a α2 x x2 β4 x 4x2 γx 2x2 0 2α αx αx2 4β βx 4βx2 γx 2γx2 0 α 4β 2γ x2 α β γ x 2α 4β 0 x2 0x 0 Então α 4β 2γ 0 α β γ 0 2α 4β 0 Passando pra forma matricial e reduzindo 1 4 2 1 1 1 2 4 0 L2 L2 L1 1 4 2 0 3 3 2 4 0 L3 L3 2L1 1 4 2 0 3 3 0 4 4 L3 L3 43L2 1 4 2 0 3 3 0 0 0 A Novamente zerou uma linha então det A 0 E portanto o conjunto é LD b α1 x 2x2 βx x2 γx2 0 α αx 2αx2 βx βx2 γx2 0 2α β γx2 α βx α 0x2 0x 0 Então 2α β γ 0 γ 0 α β 0 β 0 α 0 Portanto o conjunto é LI 10ª Questão No espaço vetorial R3 os vetores v1 2 1 3 v2 1 0 2 e v3 2 3 0 formam um conjunto Linearmente Dependente ou Independente α2 1 3 β1 0 2 γ2 3 0 0 0 0 2α α 3α β 0 2β 2γ 3γ 0 0 0 0 2α β 2γ α 3γ 3α 2β 0 0 0 Então 2α β 2γ 0 α 3γ 0 α 3γ 3α 2β 0 Substituindo α na 1ª equação 23γ β 2γ 0 6γ β 2γ 0 4γ β 0 8γ 2β 0 1 Substituindo α na 3ª equação 33γ 2β 0 9γ 2β 0 2 Somando 1 e 2 γ 0 γ 0 Encontrando β 90 2β 0 2β 0 β 0 Encontrando α 3α 30 0 3α 0 α 0 Portanto os vetores formam um conjunto LI 11ª Questão Análogo ao anterior mas com v3 2 3 1 α2 1 3 β1 0 2 γ2 3 1 0 0 0 2αα3α β02β 2γ3γγ 000 2αβ2γα3γ3α2βγ 000 Então 2αβ2γ0 α3γ0 3α2βγ0 Passando pra forma matricial e reduzindo 2 1 2 1 0 3 L2 L2 12 L1 3 2 1 L3 L3 32 L1 2 1 2 0 12 2 Linhas iguais Então 0 12 2 a última vai zerar Logo teremos que o determinante da matriz é 0 Portanto o conjunto de vetores é LD