Análise de Sensibilidade em Programação Linear

125 PESQUISA OPERACIONAL 6 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE O estudo chamado de análise de sensibilidade consiste em investigar as consequências na solução de um problema de programação linear quando algum parâmetro do modelo for modificado A ideia é que a solução encontrada seja válida para as especificações adotadas mas com o tempo pode haver alguma modificação e o estudo de sensibilidade permite prever o que aconteceria sem a necessidade de se executar uma nova solução A análise de sensibilidade pode ser feita com base no método gráfico simplex ou Solver A seguir estudaremos um exemplo de cada 61 Análise de sensibilidade pelo método gráfico Exemplo 1 Maximizar a função objetivo z 3x1 2x2 sujeita às seguintes restrições x1 x2 8 5x1 2x2 20 x1 x2 0 Usando o método gráfico faça a análise de sensibilidade Observação O método gráfico só é aplicável a problemas com duas variáveis de decisão Com três variáveis ou mais só é possível resolver com o método simplex ou Solver Unidade III 126 Unidade III Solução Vamos transformar as duas restrições em igualdade e obter os interceptos dos eixos vertical e horizontal de cada uma delas R1 x1 x2 8 x1 0 x2 8 x2 0 x1 8 R2 5x1 2x2 20 x1 0 x2 10 x2 0 x1 4 Substituindo a origem 0 0 nas restrições originais com desigualdade vemos que a região de solução de ambas contém o ponto de origem do gráfico Assim pintando a região de solução no plano cartesiano temos 10 x2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x1 Figura 69 Para incluir no gráfico a função objetivo z 3x1 2x2 devemos atribuir um valor para z digamos z 12 12 3x1 2x2 x1 0 x2 6 x2 0 x1 4 127 PESQUISA OPERACIONAL 10 x2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x1 Figura 70 Como o problema é de maximização devemos deslocar paralelamente a função objetivo linha azul para cima até tocar o último ponto antes de sair da região de solução região laranja 10 x2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x1 Solução Figura 71 128 Unidade III Como se vê a solução está na intersecção das linhas de restrição Assim vamos resolver o sistema x1 x2 8 x1 8 x2 5x1 2x2 20 substituindo 5 8 x2 2x2 20 x2 203 667 x1 8 x2 x1 8 667 x1 133 A pergunta que queremos responder agora é Quais alterações podem ser feitas na função objetivo sem que isso modifique a solução do problema Para tanto primeiro determinamos a inclinação da reta da função objetivo 12 3x1 2x2 Isolando x2 nessa expressão temos 2x2 12 3x1 1 2 12 3x x 2 2 1 x 6 15x ou 2 1 x 15x 6 Lembrando que a equação reduzida da função do primeiro grau pode ser escrita na forma y mx h na qual m é a inclinação coeficiente angular da reta e vemos por comparação que a função objetivo tem inclinação mo 15 Como observado no gráfico o ângulo que a reta azul forma com o eixo horizontal é maior que 90º e menor que 180o Como ângulos nesse intervalo têm tangente negativa o resultado de 15 para a inclinação da função objetivo não surpreende inclinação coeficiente angular tangente do ângulo formado com o eixo horizontal O ponto de solução está na intersecção das duas restrições Vejamos as inclinações delas R1 x1 x2 8 x2 8 x1 x2 x1 8 inclinação m1 1 R2 5x1 2x2 20 2x2 20 5x1 x2 20 5x12 x2 10 25x1 ou x2 25x1 10 m2 25 É possível perceber que a inclinação da função objetivo está entre os valores das inclinações das restrições 25 15 1 Sendo mo a inclinação da função objetivo podemos então afirmar que enquanto mo estiver entre 25 e 1 isto é entre os coeficientes angulares inclinação da primeira e da segunda restrição a solução do problema não se alterará e permanecerá ótima Assim a análise de sensibilidade da função objetivo resulta em mo como coeficiente angular inclinação da função objetivo se 25 mo 1 então a solução ótima do problema não se altera É importante saber que a inclinação da função objetivo independe do valor atribuído para z uma vez que depende apenas dos coeficientes das variáveis x1 e x2 Assim quando dizemos que a inclinação m pode variar entre 25 e 1 isso implica na possibilidade de alteração nos parâmetros de x1 e x2 Por exemplo se a função objetivo z 3x1 2x2 for uma função de lucro nesse caso 3 é o lucro por unidade de x1 e 2 é o lucro por unidade de x2 Suponha que o lucro por unidade de x2 suba de 2 para 250 O que acontecerá com a inclinação da reta 129 PESQUISA OPERACIONAL Se atribuirmos o valor 12 para z teremos 12 3x1 25x2 25x2 12 3x1 x2 12 3x125 x2 48 12x1 ou x2 12x1 48 o coeficiente angular inclinação mo 12 Como temos 25 mo 1 então a solução ótima do problema não se altera e não precisamos resolver o problema novamente Isso pode ser observado na figura a seguir 10 x2 9 8 7 6 5 48 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x1 Solução Figura 72 62 Análise de sensibilidade pelo método simplex Exemplo 2 A seguir estão as tabelas inicial e final de um problema de maximização em programação linear resolvido com o simplex Com esses dados escreva a função objetivo a solução e faça um estudo de sensibilidade dos parâmetros da função objetivo Tabela 103 z x1 x2 x3 xF1 xF2 xF3 b 1 1 2 3 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 10 0 2 1 4 0 1 0 16 0 1 3 1 0 0 1 12 130 Unidade III Tabela 104 z x1 x2 x3 xF1 xF2 xF3 b 1 1077 0 0 0 0846 0385 18154 0 0154 0 0 1 0308 0231 2308 0 0385 0 1 0 0231 0077 2769 0 0462 1 0 0 0077 0308 4923 Solução Com base na primeira tabela vemos que a função objetivo é Maximizar z x1 2x2 3x3 Sujeito a R1 x1 x2 x3 10 R2 2x1 x2 4x3 16 R3 x1 3x2 x3 12 Com base na segunda tabela vemos que a solução é x1 0 x2 492 x3 277 xF1 2314 xF2 0 xF3 0 z 1815 Agora veremos que tipo de variação pode sofrer os coeficientes de x2 e x3 sem alterar a solução ótima da tabela Intervalo de estabilidade para o coeficiente de x2 a Entrada de x1 A solução da tabela seria alterada se entrasse a variável x1 ou seja se x1 assumisse algum valor maior que 0 Na tabela final vemos que se x1 passar a ter valor igual a 1 as consequências são xF1 diminui 0154 x3 diminui 0385 x2 diminui 0462 Olhando para a função objetivo o aumento de z quando x1 passa de 0 para 1 é igual a 1 131 PESQUISA OPERACIONAL A diminuição de z quando x2 diminui 0462 é 20462 0924 A diminuição de z quando x3 diminui 0385 é 30385 1155 A perda líquida em z seria de 1 0924 1155 108 Agora supondo que o coeficiente de x2 seja c2 a perda líquida de z seria 1 c20462 1155 0155 c20462 Se igualarmos essa expressão a 0 temos 0155 c2046 0 c2 0335 b Entrada de xF2 Vemos pela tabela final que se xF2 passar do valor 0 para 1 as consequências são xF1 diminui em 0308 x3 diminui 0231 x2 diminui 0077 A variação em z devido à entrada de xF2 é nula A diminuição de z quando x2 diminui 0077 é 20077 0154 Diminuição de z quando x3 diminui 0231 é 30231 0693 A perda líquida em z seria de 0 0154 0693 0847 Agora supondo que o coeficiente de x2 seja c2 a perda líquida de z seria 0 c20077 0693 Se igualarmos essa expressão a zero temos c20077 0693 0 0077c2 0693 c2 9 c Entrada de xF3 Vemos pela tabela final que se xF3 passar do valor 0 para 1 as consequências são 132 Unidade III xF1 diminui em 0231 x3 diminui 0077 x2 diminui 0308 A variação em z devido à entrada de xF3 é nula A diminuição de z quando x2 diminui 0308 é 20308 0616 A diminuição de z quando x3 diminui 0077 é 30077 0231 A perda líquida em z seria de 0 0616 0231 0385 Agora supondo que o coeficiente de x2 seja c2 a perda líquida de z seria 0 c20308 0231 0231 c20308 Se igualarmos essa expressão a 0 temos 0231 c20308 0 0308c2 0231 c2 075 Por fim ordenamos os valores críticos de c2 9 0335 075 2 A conclusão é que a solução é estável para c2 075 Intervalo de estabilidade para o coeficiente de x3 a Entrada de x1 Se x1 passar a ter valor igual a 1 as consequências são xF1 diminui 0154 x3 diminui 0385 x2 diminui 0462 Olhando para a função objetivo o aumento de z quando x1 passa de 0 para 1 é igual a 1 A diminuição de z quando x2 diminui 0462 é 20462 0924 A diminuição de z quando x3 diminui 0385 é 30385 1155 133 PESQUISA OPERACIONAL Agora supondo que o coeficiente de x3 seja c3 a perda líquida de z seria 1 0924 c30385 0076 c30385 Se igualarmos essa expressão a 0 temos 0076 c30385 0 c3 0197 b Entrada de xF2 Se xF2 passar do valor 0 para 1 as consequências são xF1 diminui em 0308 x3 diminui 0231 x2 diminui 0077 A variação em z devido à entrada de xF2 é nula A diminuição de z quando x2 diminui 0077 é 20077 0154 A diminuição de z quando x3 diminui 0231 é 30231 0693 Agora supondo que o coeficiente de x3 seja c3 a perda líquida de z seria 0 0154 c30231 Se igualarmos essa expressão a 0 temos c30231 0154 0 0231c3 0154 c3 0667 c Entrada de xF3 Se xF3 passar do valor 0 para 1 as consequências são xF1 diminui em 0231 x3 diminui 0077 x2 diminui 0308 A variação em z devido à entrada de xF3 é nula 134 Unidade III A diminuição de z quando x2 diminui 0308 é 20308 0616 A diminuição de z quando x3 diminui 0077 é 30077 0231 Agora supondo que o coeficiente de x3 seja c3 a perda líquida de z seria 0 0616 c3 0077 0616 c30077 Se igualarmos essa expressão a 0 temos 0616 c30077 0 0077c3 0616 c3 8 Em seguida ordenamos os valores críticos de c3 0667 0197 3 8 A conclusão é que a solução é estável para 0197 c3 8 63 Análise de sensibilidade pelo Solver Quando resolvemos um problema de programação linear por meio do Solver logo após clicar no botão Resolver o programa retorna uma janela na qual ele pergunta se deseja manter a solução ou restaurar os valores originais Nessa mesma caixa de diálogo conforme mostra a figura a seguir o Solver dá a opção de emissão de três tipos de relatórios entre eles o de sensibilidade Figura 73 Caixa de diálogo do Solver com opção de relatório de sensibilidade 135 PESQUISA OPERACIONAL Resolvemos o exemplo anterior com o Solver e o relatório de sensibilidade gerado está na figura anterior Nesse relatório vemos a solução ou seja os valores das variáveis de decisão e das variáveis de folga além de outros itens que comentaremos O preço sombra do recurso i dado pela restrição i é uma medida do valor marginal desse recurso ou seja mede quanto a função objetivo cresce se ele sofrer um aumento unitário desde que a base da solução ótima não se altere O preço sombra do recurso i é medido pelo simétrico do coeficiente da variável de folga do recurso xFi na função objetivo quando definida conforme as variáveis não básicas ou seja ele aparece na primeira linha da tabela final da resolução do simplex Já preço sombra nulo significa que o recurso correspondente não está saturado ou seja que a restrição tem folga restrição não ativa Figura 74 Relatório de sensibilidade do Solver A coluna D apresenta o valor final das variáveis obtido na solução A coluna E apresenta o custo reduzido de cada variável No caso de serem variáveis de decisão diferentes de 0 variáveis básicas apresentam custo reduzido 0 no caso de serem variáveis de decisão iguais a 0 variáveis não básicas apresentam custo reduzido negativo A coluna F apresenta em Objetivo Coeficiente os valores iniciais dos coeficientes das variáveis de decisão na função objetivo Ao lado nas colunas G e H são apresentados os máximos valores de acréscimo e decréscimo permitidos para cada coeficiente com base em seu valor original permanecendo os demais valores constantes sem alterar a solução ótima do modelo original 136 Unidade III Por exemplo na linha 10 coluna H vemos que o parâmetro de x2 pode ser reduzido em 125 sem alterar a solução ótima Sendo seu valor original igual a 2 a máxima redução permitida é de 2 125 075 justamente o valor que calculamos como intervalo de estabilidade para o coeficiente de x2 A coluna G destaca a Restrição Lateral RH que é o limite de cada restrição do problema As colunas G e H apresentam o acréscimo e o decréscimo máximo permitido para cada restrição a fim de manter o preço sombra constante ou dentro da região de factibilidade com base em seu valor original 7 MODELOS TEÓRICOS DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE Os modelos teóricos de distribuição de probabilidade são pertinentes para o estudo de modelos estocásticos que se servem de uma ou mais variáveis aleatórias as quais têm suas características definidas por meio de funções de distribuição de probabilidade Já os modelos estocásticos buscam analisar diferentes cenários e geralmente retornam mais de uma solução e não têm garantia de solução ótima Dentre os modelos estocásticos estudaremos a seguir o modelo de simulação e dentre as funções de distribuição de probabilidade que se adaptam à simulação serão vistas a distribuição uniforme a de Poisson a normal e a exponencial 71 Distribuição uniforme de probabilidade Tratase de um modelo que envolve variáveis aleatórias contínuas que geralmente resultam de algum processo de mensuração tais como peso comprimento altura diâmetro distância temperatura tempo de duração de um processo ou tempo de vida de um componente etc O modelo de distribuição uniforme é o modelo mais simples para as variáveis aleatórias contínuas Uma variável aleatória X tem distribuição uniforme de probabilidade se no intervalo α β sua função densidade de probabilidade for dada por 1 se x f x 0 caso contrário α β β α O valor esperado ou valor médio da variável x é dado pela média aritmética entre α e β isto é 2 α β fx 1 β α x 0 β α Figura 75 Distribuição uniforme de probabilidade 137 PESQUISA OPERACIONAL A figura anterior mostra a representação da distribuição uniforme de probabilidade no plano cartesiano A área pintada é igual a 1 que significa que a probabilidade de a variável x estar no intervalo entre α e β é de 100 Para calcular a probabilidade da variável estar em um intervalo a b basta calcular a área sob a linha da função limitada entre a e b conforme mostra a figura a seguir fx 1 β α x 0 β α a b A Figura 76 Probabilidade dada pela área A probabilidade de a x b é dada por 1 b a P A b a β α β α Exemplo 1 O departamento de estoque entrega os pedidos ao departamento de montagem de acordo com a ordem de chegada dos pedidos porém depende do acúmulo de serviço ou de pedidos O tempo de atendimento é de 1 hora a 5 horas e acreditase que essa variável tenha distribuição uniforme se o material chegar antes de 2 horas do pedido Solução Nesse caso temos β 5 e β 1 Logo a função densidade de probabilidade é 1 1 f x 025 5 1 4 Temos então A 1 025 025 ou 25 138 Unidade III fx x 0 025 1 2 3 4 5 A Figura 77 72 Distribuição de probabilidade de Poisson A distribuição de probabilidade de Poisson é uma distribuição discreta que se adapta bem a problemas práticos sendo de grande importância para a construção de modelos probabilísticos relacionados a situações reais e consequentemente para estimar parâmetros Para n grande e p pequeno a probabilidade de k sucessos em n tentativas pode ser aproximada por k e P k 01 n k λ λ Nessa fórmula λ representa a média ou np sendo a probabilidade de uma ocorrência ou sucesso na unidade de tempo e expressa o número de Euler Exemplo 2 Um centro de logística recebe em média 4 pedidos por hora A capacidade de atendimento é ajustada para até 6 pedidos por hora Uma demanda maior que isso resulta em atrasos Qual a probabilidade de em 1 hora o centro receber mais de 6 pedidos Solução Mais de 6 pedidos significa 7 8 9 etc ou seja não podemos calcular a probabilidade de cada um desses números mas sim a probabilidade do centro receber até 6 pedidos por hora e depois subtrair o resultado de 100 Nesse problema λ vale 4 e k varia de 0 a 6 Para k 0 k 4 0 e e 4 00183 P 00183 k 0 1 λ λ Para k 1 k 4 1 e e 4 00183 4 P 00733 k 1 1 λ λ 139 PESQUISA OPERACIONAL Para k 2 k 4 2 e e 4 00183 16 P 01465 k 2 2 λ λ Para k 3 k 4 3 e e 4 00183 64 P 01954 k 3 6 λ λ Para k 4 k 4 4 e e 4 00183 256 P 01954 k 4 24 λ λ Para k 5 k 4 5 e e 4 00183 1024 P 01563 k 5 120 λ λ Para k 6 k 4 6 e e 4 00183 4096 P 01042 k 6 720 λ λ Somando tudo temos P 08894 ou 8894 Subtraindo esse resultado de 100 temos 100 8894 01106 ou 1106 A probabilidade acumulada de 0 a 6 pela distribuição de Poisson pode ser obtida com o auxílio do Excel utilizandose a sintaxe DISTPOISSONk λ 1 conforme mostra a figura a seguir que resulta em 088933 Figura 78 Probabilidade acumulada de Poisson do Excel Fonte Bussab e Morettin 2005 p 175 73 Distribuição normal de probabilidade Uma variável aleatória contínua tem distribuição normal com média µ e desvio padrão σ se essa distribuição tiver a forma da curva de Gauss figura a seguir curva em formato de um sino centrada na média simétrica em relação a ela e com curtose igual a 3 fx 0 x µ σ µ µ σ Figura 79 Curva normal 140 Unidade III Observação A curtose é uma medida do achatamento da curva Uma curva normal tem índice de curtose igual a 3 Nesse modelo é possível calcular a probabilidade da variável assumir um valor entre x e a média µ Para efetuar esse cálculo usamos uma variável transformada z dada por x z µ σ O resultado de z deve ser buscado em uma tabela específica da curva normal tabela a seguir que retornará o valor da probabilidade Exemplo 3 O diâmetro de uma peça segue a distribuição normal com média 2508 e desvio padrão 008 Se as especificações para esse eixo são 2500 015 determine o percentual de unidades produzidas em conformidade com as especificações Solução Queremos calcular a probabilidade da peça ter diâmetro entre 2485 e 2515 considerando que a média µ 2508 e o desvio padrão é σ 008 isto é queremos calcular as áreas 1 e 2 sob a curva normal A1 A2 Xi 2485 2508 2515 Figura 80 Curva normal 141 PESQUISA OPERACIONAL Tabela 105 Área subentendida pela curva normal reduzida de 0 a z z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 00 00000 00040 00080 00120 00160 00199 00239 00279 00319 00359 01 398 438 478 517 557 596 636 675 714 754 02 793 832 871 910 948 987 1026 1064 1103 1141 03 1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517 04 1554 1591 1628 1664 1700 1736 1772 1808 1844 1879 05 1915 1950 1985 2019 2054 2088 2123 2157 2190 2224 06 2258 2291 2324 2357 2389 2422 2454 2486 2518 2549 07 2580 2612 2642 2673 2704 2734 2764 2794 2823 2852 08 2881 2910 2939 2967 2996 3023 3051 3078 3106 3113 09 3159 3186 3212 3238 3264 3289 3315 3340 3365 3389 10 3413 3438 3461 3485 3508 3531 3554 3577 3599 3621 11 3643 3665 3686 3708 3729 3749 3770 3790 3810 3830 12 3849 3869 3888 3907 3925 3944 3962 3980 3997 4015 13 4032 4049 4066 4082 4099 4115 4131 4147 4162 4177 14 4192 4207 4222 4236 4251 4265 4279 4292 4306 4319 15 4332 4345 4357 4370 4382 4394 4406 4418 4429 4441 16 4452 4463 4474 4484 4495 4505 4515 4525 4535 4545 17 4554 4564 4573 4582 4591 4599 4608 4616 4625 4633 18 4641 4649 4656 4664 4671 4678 4686 4693 4699 4706 19 4713 4719 4726 4732 4738 4744 4750 4756 4761 4767 20 4772 4778 4783 4788 4793 4798 4803 4808 4812 4817 21 4821 4826 4830 4834 4838 4842 4846 4850 4854 4857 22 4861 4864 4868 4871 4875 4878 4881 4884 4887 4890 23 4893 4896 4898 4901 4904 4906 4909 4911 4913 4916 24 4918 4920 4922 4925 4927 4929 4931 4932 4934 4936 25 4938 4940 4941 4943 4945 4946 4948 4949 4951 4952 26 4953 4955 4956 4957 4959 4960 4961 4962 4963 4964 27 4965 4966 4967 4968 4969 4970 4971 4972 4973 4974 28 4974 4975 4976 4977 4977 4978 4979 4979 4980 4981 29 4981 4982 4982 4983 4984 4984 4985 4985 4986 4986 30 4987 4987 4987 4988 4988 4989 4989 4989 4990 4990 31 4990 4991 4991 4991 4992 4991 4991 4991 4993 4991 32 4993 4993 4994 4994 4994 4994 4994 4995 4995 4995 33 4995 4995 4995 4996 4996 4996 4996 4996 4996 4997 34 4997 4997 4997 4997 4997 4997 4997 4997 4997 4998 35 4998 4998 4998 4998 4998 4998 4998 4998 4998 4998 36 4998 4998 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 37 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 38 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 4999 39 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 05000 Fonte Bussab e Morettin 2005 p 497 142 Unidade III Cálculo das áreas 1 x 2485 2508 z 2875 008 µ σ 4979 na tabela 1 2 x 2515 2508 z 0875 008 µ σ 3078 na tabela 1 4979 3078 8057 percentual de peças dentro das especificações 74 Distribuição exponencial de probabilidade Uma variável aleatória t que mede o intervalo de tempo de duas ocorrências consecutivas de um fenômeno de Poisson tem distribuição exponencial com parâmetro λ 0 se sua função densidade de probabilidade tem a forma λ λ 1 t 0 para t 0 f t 1 e para t 0 Em que t é o intervalo de tempo e λ é a média de ocorrências ou o tempo médio O gráfico de ft é mostrado na figura a seguir para λ 1 f x 1 0 x Figura 81 Curva exponencial Observação A curva exponencial é típica da função recíproca dada por y 1x 143 PESQUISA OPERACIONAL Exemplo 4 O tempo de vida de um transistor em horas pode ser considerado uma variável aleatória com distribuição exponencial A vida média de um transistor é de 500 horas Calcule a probabilidade de ele durar mais que a média Solução Para a resolução dessa integral usamos a seguinte fórmula t500 500 500 1 P t 500 f t dt e dt 500 t t 500 500 500 500 1 1 e dt 1 e 500 1 1 P 1 0 e e 03678 3678 Aqui c 0 por ser uma integral definida e u ux Saiba mais Para mais informações sobre o cálculo de integrais consultar STEWART J Cálculo São Paulo Cengage Learning 2011 8 SIMULAÇÃO A simulação é uma técnica bastante usada em pesquisa operacional Segundo Silva et al 2008 Simular significa reproduzir o funcionamento de algum sistema com o auxílio de um modelo o que nos permite testar algumas hipóteses sobre o valor de variáveis controladas As conclusões são usadas para melhorar o desempenho do sistema em estudo SILVA et al 2008 p 143 Interessanos nesta disciplina modelos matemáticos cuja complexidade é introduzida pela incorporação de situações que envolvem a incerteza Além disso a simulação é indicada para modelos dinâmicos que se diferenciam dos modelos estáticos por considerarem o comportamento da variável ao longo do tempo Esse tipo de modelo busca captar as alterações ocorridas a fim de auxiliar a tomada de decisão 144 Unidade III Simulações que incorporam elementos aleatórios são chamadas de simulação estocástica ou de Monte Carlo É também possível trabalhar a simulação envolvendo as funções de distribuição de probabilidade estudadas Exemplos que se enquadram nessa categoria a Dimensionamento de instalações b Dimensionamento de estoques c Suprimento de matériaprima d Disponibilidade de mão de obra A simulação é usada em situações em que é muito caro ou difícil o experimento na situação real Ela nos permite fazer esse experimento com o modelo variando parâmetros críticos para conhecer quais as combinações que dão os melhores resultados Dessa forma podemos analisar o efeito de mudanças sem correr o risco da construção de um sistema real equivocado o que transformaria os custos dessa construção em prejuízos SILVA et al 2008 p 144 81 Geração de eventos aleatórios Exemplo 1 Suponha que numa variável aleatória por exemplo o suprimento de matériaprima para fabricação de um produto tenha apresentado a seguinte distribuição de frequência Tabela 106 Quantidade suprimento Frequência 80 5 90 20 100 40 110 25 120 10 Supondo que essa distribuição gerada no passado continue descrevendo o comportamento dessa variável podemos usála para simular um padrão de suprimentos de matériaprima do produto para dez dias por exemplo Uma maneira de fazer isso seria colocar em uma caixa 5 bolinhas com o número 80 20 bolinhas com o número 90 e assim por diante Ao sortear uma bolinha a probabilidade de ocorrer um desses valores é dada pela frequência observada no passado Assim sorteando 10 bolinhas com reposição temos um padrão de valores da variável 145 PESQUISA OPERACIONAL Esse procedimento pode ser simplificado considerando as bolinhas grafadas com números de dois algarismos de 00 a 99 que resulta em 100 bolinhas Para isso consideramos a distribuição da variável aleatória e sua frequência acumulada Tabela 107 Variável quantidade Frequência Frequência acumulada 80 5 5 90 20 25 100 40 65 110 25 90 120 10 100 Assim com base nessas frequências acumuladas temos Tabela 108 Variável quantidade Número na bolinha 80 00 a 04 90 05 a 24 100 25 a 64 110 65 a 89 120 90 a 99 A tabela anterior reproduz a distribuição por frequência da variável Agora sorteamos 10 bolinhas por meio de um mecanismo aleatório de seleção de números e anotamos os valores correspondentes Digamos que os resultados são os demonstrados a seguir Tabela 109 Sorteio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Bolinha 66 89 54 65 28 58 77 05 74 55 Variável 110 110 100 110 100 100 110 90 110 100 Os resultados da bolinha podem ser obtidos no Excel utilizando a sintaxe ALEATÓRIOENTRE099 82 Aplicações com as funções de distribuição de probabilidade Dependendo do tipo de variável considerada na simulação é possível identificála como uma função de probabilidade específica e isso vai guiar a forma como a geração de números aleatórios será considerada no modelo do problema 146 Unidade III Exemplo 2 O departamento de montagem de uma fábrica de móveis requisita caixas de parafusos porcas e pregos ao departamento de estoque O tempo de atendimento das solicitações varia de 1 hora a 5 horas dependendo do volume de trabalho da equipe do estoque porém estudos históricos sugerem que esse tempo de atendimento segue uma distribuição uniforme Nesse cenário simule o tempo de atendimento para 6 pedidos Solução Uma distribuição uniforme no intervalo α β tem função densidade de probabilidade dada por 1 se x f x 0 caso contrário α β β α Como nesse exemplo o intervalo é 1 5 então a função é 1 1 f x 025 5 1 4 Entre 1 hora e 2 horas a probabilidade de atendimento é dada pela área do gráfico fx x 0 025 1 2 3 4 5 A Figura 82 A área é A 1025 025 ou 25 Sendo a distribuição uniforme a probabilidade é a mesma nos demais intervalos de 1 hora Fazendo a função acumulada os limites dos números aleatórios estão designados na tabela a seguir Tabela 110 Tempo de atendimento Probabilidade simples Probabilidade acumulada Números aleatórios 1 2 25 25 00 a 24 2 3 25 50 25 a 49 3 4 25 75 50 a 74 4 5 25 100 75 a 99 147 PESQUISA OPERACIONAL Agora geramos seis números aleatórios e vinculamos os respectivos tempos de atendimento Tabela 111 Número aleatório 68 08 79 51 18 56 Tempo de atendimento 4 2 5 4 2 4 Os tempos de atendimento registrados se referem ao limite superior do intervalo ao qual ele está vinculado Exemplo 3 Um porto recebe em média quatro caminhões de contêineres para carregamento nos navios por hora das 8h às 18h Sendo a chegada de caminhões bem descrita pelo modelo de Poisson simule a quantidade de caminhões que chegam durante um dia típico Solução O porto funciona 10 horas então a média é λ 4 e a função de Poisson é dada por k e P k 01 n k λ λ Em seguida calculamos as probabilidades até que o valor acumulado chegue bem perto de 100 Para k 0 k 4 0 e e 4 00183 P 00183 k 0 1 λ λ Para k 1 k 4 1 e e 4 00183 4 P 00733 k 1 1 λ λ Para k 2 k 4 2 e e 4 00183 16 P 01465 k 2 2 λ λ Para k 3 k 4 3 e e 4 00183 64 P 01954 k 3 6 λ λ Para k 4 k 4 4 e e 4 00183 256 P 01954 k 4 24 λ λ Para k 5 k 4 5 e e 4 00183 1024 P 01563 k 5 120 λ λ Para k 6 k 4 6 e e 4 00183 4096 P 01042 k 6 720 λ λ 148 Unidade III Para k 7 k 4 7 e e 4 00183 16384 P 00595 k 7 5040 λ λ Para k 8 k 4 8 e e 4 00183 65536 P 00298 k 8 40320 λ λ Para k 9 k 4 9 e e 4 00183 262144 P 00132 k 9 362880 λ λ Para k 10 k 4 10 e e 4 00183 1048576 P 00053 k 10 3628800 λ λ Para k 11 k 4 11 e e 4 00183 4194304 P 00019 k 11 39916800 λ λ Com esses resultados já temos uma probabilidade acumulada muito próximo de 100 Agora construímos uma única tabela com as probabilidades os limites dos números aleatórios e os números aleatórios obtidos por uso da função de geração do Excel A última coluna tem apenas dez linhas pois o problema pede para simular 10 horas de funcionamento do porto Assim é necessário colocar os números aleatórios em base 1000 para poder obter aproximações mais confiáveis Lembrete O cálculo de Poisson pode ser feito no Excel por meio da sintaxe DIST POISSONk40 O valor de k varia de 0 a 11 no caso do exemplo anterior Tabela 112 Número de chegadas Probabilidade simples Probabilidade acumulada 10 Limites de números aleatórios Número aleatório Chegadas por hora 0 0018316 0018316 183 18 000 a 017 314 3 1 0073263 0091578 916 92 017 a 091 913 7 2 0146525 0238103 2381 238 092 a 237 731 5 3 0195367 043347 4335 433 238 a 432 192 2 4 0195367 0628837 6288 629 433 a 628 889 7 5 0156293 078513 7851 785 629 a 784 598 4 6 0104196 0889326 8893 889 785 a 888 145 2 7 005954 0948866 9489 949 889 a 948 904 7 8 002977 0978637 9786 979 949 a 978 358 3 9 0013231 0991868 9919 992 979 a 991 409 3 10 0005292 099716 9972 997 992 a 996 291 3 11 0001925 0999085 9991 999 997 a 998 12 0000642 0999726 9997 1000 999 149 PESQUISA OPERACIONAL Exemplo 4 As vendas diárias de uma pequena indústria obedecem a uma distribuição normal com média 10 e desvio padrão 2 Construa um padrão de vendas simulado para 10 dias Solução Primeiro tentamos fazer alguns intervalos de tamanho 1 e depois de 10 a fim de obter um resultado acumulado próximo de 100 1 x 9 10 z 050 2 µ σ 1915 2 x 8 10 z 100 2 µ σ 3413 1915 1498 a subtração é necessária porque o resultado 3413 referese ao intervalo de 8 a 10 3 x 7 10 z 150 2 µ σ 4332 3413 919 4 x 6 10 z 200 2 µ σ 4772 4332 440 5 x 5 10 z 250 2 µ σ 4938 4772 166 6 x 4 10 z 300 2 µ σ 4987 4938 049 7 x 3 10 z 350 2 µ σ 4998 4987 011 O valor acumulado 4998 já está bem próximo de 50 Os intervalos acima de 10 serão de mesmo tamanho com valores simétricos portanto as porcentagens são as mesmas Em seguida construímos a tabela de intervalos com os números aleatórios correspondentes Como o total diário de vendas é um número inteiro consideramos o limite superior dos intervalos Serão ao todo 14 intervalos 150 Unidade III Tabela 113 Vendas Probabilidade simples Probabilidade acumulada 10 Limites de números aleatórios Número aleatório Vendas 3 4 011 011 1 00 a 01 181 9 4 5 049 060 6 02 a 05 689 11 5 6 166 226 23 06 a 22 231 9 6 7 440 666 67 23 a 66 336 10 7 8 919 1585 158 67 a 157 604 11 8 9 1498 3083 308 158 a 307 693 12 9 10 1915 4998 500 308 a 499 953 14 10 11 1915 6913 691 500 a 690 637 11 11 12 1498 8444 844 691 a 843 339 10 12 13 919 9330 933 844 a 932 551 11 13 14 440 9770 977 933 a 976 14 15 166 9936 994 977 a 993 15 16 049 9985 998 994 a 997 16 17 011 9996 1000 998 a 999 Na última coluna vemos a simulação do total de vendas para 10 dias conforme solicitado pelo problema Lembrete Os resultados das probabilidades são obtidos por meio do valor de z na tabela da curva normal Tabela 97 Exemplo 5 O atendimento ao consumidor pelo departamento SAC apresenta um tempo médio de 6 minutos por cliente e segue uma distribuição exponencial Faça uma simulação de tempo de 20 atendimentos considerando um número inteiro de minutos Solução A função de probabilidade referente à distribuição exponencial é λ λ 1 t 0 para t 0 f t 1 e para t 0 151 PESQUISA OPERACIONAL O tempo de atendimento mínimo seria 1 minuto Agora fazemos intervalos de 1 minuto e calculamos as probabilidades até que a acumulação se aproxime de 100 1 1 1 t t 6 6 0 0 0 1 1 P 0 a1min f t dt e dt 1 e dt 6 6 1 t 1 6 6 0 P 0 a1min 1 e 1 e 1 1 08465 1 01535 2 2 t t 6 6 1 1 1 P 1 a 2 min e dt 1 e 1 07165 08465 0130 6 3 3 t t 6 6 2 2 1 P 2 a 3 min e dt 1 e 1 06065 07165 0110 6 4 4 t t 6 6 3 3 1 P 3 a 4 min e dt 1 e 1 05134 06065 0093 6 5 5 t t 6 6 4 4 1 P 4 a 5 min e dt 1 e 1 04346 05134 0079 6 6 6 t t 6 6 5 5 1 P 5 a 6 min e dt 1 e 1 03679 04346 0067 6 7 7 t t 6 6 6 6 1 P 6 a 7 min e dt 1 e 1 03114 03679 0056 6 8 8 t t 6 6 7 7 1 P 7 a 8 min e dt 1 e 1 02636 03114 0048 6 152 Unidade III As probabilidades seguem declinando lentamente Os resultados são mostrados na tabela a seguir na qual aglutinamos os últimos intervalos Tabela 114 Tempo atendimento Probabilidade simples Probabilidade acumulada 10 Limites de números aleatórios Número aleatório Tempo 0 1 1535 1535 154 000 a 153 903 15 1 2 13 2835 283 154 a 282 457 4 2 3 11 3935 393 283 a 392 23 1 3 4 931 4866 487 393 a 486 153 1 4 5 788 5654 565 487 a 564 97 1 5 6 667 6321 632 565 a 631 242 2 6 7 565 6886 689 632 a 688 990 20 7 8 478 7364 736 689 a 735 387 3 8 9 405 7769 777 736 a 776 606 6 9 10 343 8111 811 777 a 810 85 1 10 11 290 8401 840 811 a 839 129 1 11 12 245 8647 865 840 a 864 28 1 12 13 208 8854 885 865 a 884 926 16 13 14 176 9030 903 885 a 902 51 1 14 15 149 9179 918 903 a 917 278 2 15 16 126 9305 931 918 a 930 627 6 16 17 107 9412 941 931 a 940 500 5 17 18 090 9502 950 941 a 949 263 2 18 19 076 9579 958 950 a 957 766 9 19 20 065 9643 964 958 a 963 464 4 acima de 20 357 10000 1000 964 a 999 560 Saiba mais Para conhecer mais sobre a distribuição exponencial consulte MAGALHÃES M N LIMA A C P Noções de probabilidade e estatística 7 ed São Paulo Edusp 2013 153 PESQUISA OPERACIONAL Resumo Alguns problemas que envolvem estudos de sistemas e processos podem ser analisados por meio de funções de distribuição de probabilidade Dentre elas aquelas que têm mais aplicabilidade são a distribuição uniforme de Poisson distribuição normal e exponencial Cada uma delas tem características específicas bastante diferenciadas e geralmente se aplicam a praticamente todos os casos de interesse da pesquisa operacional A distribuição de Poisson é a única discreta entre as quatro mencionadas A distribuição uniforme é a mais simples e é comumente aplicada A distribuição normal envolve um modelo gráfico cuja curva se assemelha ao contorno de um sino e os valores das probabilidades são dados por uma tabela A distribuição exponencial tem um gráfico decrescente típico de uma função recíproca e as probabilidades são calculadas por áreas que por sua vez são obtidas por meio de integral As distribuições de probabilidade são importantes para efetuar estudos de simulações As simulações buscam reproduzir um sistema por meio de um modelo que incorpora a incerteza a aleatoriedade Ela permite usar um estudo histórico para prever o comportamento futuro do sistema ou processo viabilizando um planejamento mais apurado ou uma análise prognóstica que permita a otimização de tempo ou de estoque por exemplo 154 Unidade III Exercícios Questão 1 Um engenheiro de produção responsável pelo planejamento e controle da qualidade da linha de produção de tubos e conexões em PVC está sendo questionado pelos altos custos de retrabalho que o novo item A05 vem gerando desde que se iniciou sua produção há cinco meses O item é enviado para retrabalho quando seu diâmetro excede o limite superior de especificação O processo de produção desse item é controlado por meio de gráficos de controle da média e da amplitude gráficos de Shewhart que monitoram o diâmetro dos tubos produzidos Os limites de especificação definidos pela engenharia do produto para o diâmetro do tubo A05 são 090 020 cm O engenheiro e sua equipe analisaram os gráficos de controle média e amplitude desde o início da produção do tubo e observaram que o processo sempre esteve dentro dos limites superior e inferior de controle dos gráficos e portanto o processo está no estado de controle estatístico apresentando apenas sua variabilidade natural aleatória Concluíram então que a causa do alto índice de retrabalho é devido às especificações do projeto eou à própria variabilidade natural do processo de produção A equipe sabe que a variável de controle diâmetro é normalmente distribuída com média do processo igual a µ 1 cm e desvio padrão do processo igual a σ 005 cm Utilizando a tabela de distribuição normal padrão acumulada assinale a alternativa que mostra a porcentagem de itens A05 enviados para retrabalho nesse processo de produção e que vem gerando alto custo 155 PESQUISA OPERACIONAL Tabela 115 Áreas sob curva normal padrão PZ z z 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359 01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753 02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141 03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517 04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879 05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224 06 07258 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07518 07549 07 07580 07612 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852 08 07881 07910 07939 07967 07996 08023 08051 08078 08106 08113 09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389 10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621 11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830 12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015 13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177 14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319 15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441 16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545 17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633 18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706 19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767 20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817 21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857 22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890 23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916 24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936 25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952 26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964 27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974 28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981 29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986 30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990 A 2275 B 13567 C 18406 D 86433 E 97725 Resposta correta alternativa A 156 Unidade III Análise da questão Usando a distribuição normal reduzida para o diâmetro máximo permitido que é igual a 11 cm podemos escrever Z xμ σ 1110 005 Z20 Pela tabela fornecida no problema encontramos PZ200977250 O resultado PZ200977250 significa que a probabilidade de um diâmetro ser menor que 11 cm é 0977250 Assim sendo a probabilidade do diâmetro ser maior que 11 cm é 109772500022750 ou seja 2275 157 PESQUISA OPERACIONAL Questão 2 A indústria metalúrgica Vitor Neira SA fabrica metais sanitários para atender ao mercado interno brasileiro Um dos seus produtos a ducha Ypoti é obtido a partir de quatro componentes como vemos na figura a seguir Tubo Aspersor Corpo Reparo da parede Figura 83 Disponível em httpsshreinkHtow Acesso em 6 jun 2023 com adaptações Para montar a ducha a Vitor Neira usa os componentes fabricados em suas unidades industriais com tempo para entrega variando entre o segundo dia e o quinto dia após a requisição Considerando que o tempo de atendimento para a entrega dos componentes da ducha siga uma distribuição uniforme assinale a alternativa que apresenta corretamente a probabilidade de entrega no quarto dia após a requisição A 25 B 50 C 75 D 100 E 0 Resposta correta alternativa C Análise da questão Sabemos que uma distribuição uniforme no intervalo α β tem função densidade de probabilidade dada por 1 f x se x α β β α 158 Unidade III Ou f x 0 se x ou x α β O enunciado informa que o intervalo de entrega é de quatro dias entre o segundo dia e o quinto dia inclusive Assim para qualquer prazo de entrega nesse intervalo a função de probabilidade fica 1 f x 025 4 Logo a probabilidade de atendimento no segundo dia é obtida pela área hachurada do gráfico da figura a seguir 025 020 015 010 005 fx 1 2 3 4 5 6 7 8 x Entrega no segundo dia Figura 84 Probabilidade de atendimento entre o segundo e o terceiro dia A probabilidade de atendimento no terceiro dia é obtida pela área hachurada do gráfico da figura a seguir 025 020 015 010 005 fx 1 2 3 4 5 6 7 8 x Entrega no terceiro dia Figura 85 Probabilidade de atendimento entre o terceiro e o quarto dia Como a distribuição é uniforme as probabilidades são as mesmas nos demais intervalos de um dia 159 PESQUISA OPERACIONAL O quadro a seguir mostra a função de probabilidade para cada intervalo de um dia e a função acumulada a partir do segundo dia Quadro 2 Dia de entrega Probabilidade simples Probabilidade acumulada 2º 25 25 3º 25 50 4º 25 75 5º 25 100 Assim a probabilidade de entrega no quarto dia após a colocação do pedido é de 75 Análise das alternativas A Alternativa incorreta Justificativa a alternativa apresenta a probabilidade de entrega no segundo dia após a requisição B Alternativa incorreta Justificativa a alternativa destaca a probabilidade de entrega no terceiro dia após a requisição C Alternativa correta Justificativa conforme a resolução apresentada anteriormente D Alternativa incorreta Justificativa a alternativa acentua a probabilidade de entrega no quinto dia após a requisição E Alternativa incorreta Justificativa a alternativa apresenta probabilidade nula isso significa que a entrega está fora do intervalo previsto para entrega 160 REFERÊNCIAS Textuais BELFIORE P FÁVERO L P Pesquisa operacional para cursos de Administração Contabilidade e Economia Rio de Janeiro Elsevier 2012 BUSSAB W O MORETTIN P A Estatística básica 5 ed São Paulo Saraiva 2005 MAGALHÃES M N LIMA A C P Noções de probabilidade e estatística 7 ed São Paulo Edusp 2013 MAILTON R A Programação linear uma aplicação ao problema de compras de um supermercado da cidade de MacaúbasBA Trabalho de Conclusão de Curso Licenciatura em Matemática Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia Vitória da Conquista 2018 Disponível em httpsshreinkHQyz Acesso em 29 maio 2023 MICROSOFT Definir e resolver um problema usando o Solver sd Disponível em httpsshreinkHQI7 Acesso em 25 fev 2019 NOGUEIRA F Programação linear Juiz de Fora UFJF 2010 RODRIGUES L H et al Pesquisa operacional programação linear passo a passo São Leopoldo Unisinos 2014 ROLIM J Programação linear Rio de Janeiro PUC sd Disponível em httpsshreinkHQI4 Acesso em 29 maio 2023 SILVA E M et al Pesquisa operacional São Paulo Atlas 2008 Informações wwwsepiunipbr ou 0800 010 9000