Sistemas de Amortização em Financiamentos Imobiliários

126 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Unidade III Unidade III 7 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO Comprar o primeiro imóvel é a maior conquista na vida de uma família pelo menos em se tratando do Brasil Além da questão simbólica a aquisição de um imóvel envolve um enorme esforço material Por isso não é de uma hora para outra que as pessoas conseguem dinheiro suficiente para a compra de um imóvel Por exemplo a aquisição de um apartamento pode consumir anos de economias de uma família Para mitigar problemas dessa natureza existem os financiamentos imobiliários O intuito principal desse tipo de financiamento é agilizar a aquisição de um imóvel Tratase de um empréstimo feito a uma pessoa família para que ela possa comprar um imóvel à vista E como todo empréstimo envolve assuntos complicados relacionados à forma que o capital emprestado será devolvido à instituição financeira Os detalhes do empréstimo estão em um contrato de financiamento no qual há cláusulas que determinam o valor das prestações A prestação é portanto a questão mais importante num financiamento imobiliário Isso porque dependendo de como ela é constituída os valores podem crescer ou decrescer ao longo da quitação da dívida É preciso entender que todo empréstimo implica no pagamento de juros que são uma espécie de aluguel sobre o dinheiro recebido Como o dinheiro não é seu e você com o dinheiro emprestado poderá comprar sua casa à vista será preciso pagar juros ao banco que estão embutidos dentro da prestação Entender como funciona a dinâmica de um empréstimo bancário é fundamental para escolher o tipo de financiamento e saber como está estruturada a dívida A prestação é dividida em amortização e juros Amortização é o que está sendo devolvido ao banco pelo dinheiro emprestado e os juros são aqueles valores referentes ao aluguel desse dinheiro Ressaltase que alguns termos são bem comuns num sistema de amortização e é bom estar familiarizado com eles caso precise Prestação o valor que será efetivamente pago a cada período meses ou anos por exemplo Juros parte da prestação que corresponde à remuneração do dinheiro Amortização parte da prestação que corresponde à redução da dívida sem incluir juros Saldo devedor é o valor da dívida em cada período do empréstimo ou financiamento sendo que não inclui juros O saldo devedor vai sendo reduzido até chegar a zero quando a dívida é completamente amortizada Observase que o pagamento dos juros é sobre o que ainda falta devolver ao banco ou seja sobre o saldo devedor 127 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA Basicamente existem três tipos de financiamento no Brasil o Sistema Francês Tabela Price o Sistema de Amortização Constante SAC e o Sistema de Amortização Misto SAM O primeiro é largamente utilizado em todos os setores financeiros e de capitais enquanto os dois últimos são mais utilizados pelo Sistema Financeiro de Habitação principalmente nas operações de financiamento para aquisição de casa própria Entender como funcionam as três formas de financiamento é o principal elemento para poder escolher qual é a melhor opção para as condições financeiras da pessoa família que deseja adquirir um financiamento Observação Amortização é o processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos que são realizados em função de um planejamento de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do capital ou dos juros do saldo devedor juros sempre são calculados sobre o saldo devedor podendo ainda ser o reembolso de ambos Os principais sistemas de amortização são Sistema de Pagamento Único ocorre um único pagamento capital juros no final do período estipulado Sistema de Pagamento Variável ocorrem vários pagamentos diferenciados durante o período às vezes somente juros outras juros capital Sistema Americano ocorre um único pagamento ao final do período porém os juros são calculados em várias fases durante o período Sistema Price ou Francês geralmente usados em financiamentos de bens de consumo todas as parcelas são iguais e com os juros já embutidos Sistema de Amortização Constante SAC geralmente o mais utilizado os juros e o capital são calculados uma única vez e divididos para o pagamento em várias parcelas durante o período Sistema de Amortização Misto SAM calculase o financiamento pelos métodos SAC e Price e fazse uma média aritmética das prestações desses dois sistemas chegando ao valor da prestação do sistema misto 128 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Unidade III 71 Sistema Francês de Amortização Tabela Price O Sistema Francês de Amortização é mais conhecido no Brasil como Sistema da Tabela Price ou simplesmente Tabela Price De acordo com o professor Mario Geraldo Pereira citado por Vieira Sobrinho 2008 a denominação Tabela Price se deve ao nome do matemático filósofo e teólogo inglês Richard Price que viveu no século XVIII e que incorporou a teoria dos juros compostos às amortizações de empréstimos ou financiamentos A denominação Sistema Francês de acordo com o autor citado devese ao fato de ter sido efetivamente desenvolvido na França no século XIX Esse sistema consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas iguais e sucessivas dentro do conceito de termos vencidos em que o valor de cada prestação ou pagamento é composto por duas parcelas distintas uma de capital ou amortização A e outra de juros J Isso significa que R A J Lembrete É importante observar que o Sistema Francês ou Tabela Price não implica necessariamente prestações mensais como geralmente se entende As prestações podem ser também trimestrais semestrais ou anuais basta que sejam iguais periódicas sucessivas e de termos vencidos Também é importante que se esclareça que a Tabela Price não implica necessariamente taxas de juros de 1 ao mês ou de 12 ao ano como normalmente é indicado podendo ser definida para qualquer taxa Os passos para a montagem de um Plano de Pagamento conforme o Sistema Price de amortização são detalhados a seguir Passo 1 Cálculo da prestação O primeiro parâmetro a ser calculado em se tratando do Sistema Price é a prestação Ressaltase que ela é calculada uma única vez pois a principal característica do Sistema Price é que a prestação é fixa O valor da prestação é determinado com base na mesma expressão utilizada para séries de pagamentos com termos vencidos ou postecipados apresentada anteriormente n n 1 i i R P 1 i 1 ou 129 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA R O FRCin onde FRCin é o fator de recuperação de capital Ele normalmente aparece tabelado na maioria dos livros de Matemática Financeira calculado para diversas taxas i e parcelas n como já foi visto E uma vez que é tabelado a solução do problema tornase muito simples pois uma vez encontrado na tabela é preciso somente multiplicálo por P para achar R Passo 2 Cálculo dos juros O segundo parâmetro a ser calculado é a parcela de juros Ela é obtida multiplicandose a taxa de juros mensal bimestral trimestral semestral anual etc pelo saldo devedor existente no período imediatamente anterior Assim o valor da parcela de juros J1 referente à primeira prestação de uma série de pagamentos mensais é igual à taxa mensal i multiplicada pelo valor do capital emprestado ou financiado P0 que é o saldo devedor inicial ou seja J1 i P0 Seguindo esse raciocínio a parcela de juros J2 será J2 i P1 onde P1 é o saldo devedor referente ao período 1 Em suma genericamente a parcela de juros é calculada por Jt i Pt1 onde Jt é a parcela de juros referente ao período de ordem t t 1 2 3 N i é a taxa de juros expressa em forma percentual e Pt1 é o saldo devedor referente ao período de ordem t 1 t 1 2 3 N Passo 3 Cálculo da amortização A parcela de amortização é determinada pela diferença entre o valor da prestação R e o valor da parcela de juros Jt 130 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Unidade III Assim o valor da parcela de amortização A1 referente à primeira prestação de uma série de pagamentos mensais é igual à diferença entre a prestação e a parcela de juros referente à primeira prestação J1 ou seja A1 R J Da mesma forma a parcela de amortização A2 será A2 R J2 Em suma genericamente a parcela de amortização é calculada por At R Jt onde At é a parcela de amortização referente ao período de ordem t t 1 2 3 N R é a prestação que é fixa e Jt é a parcela de juros referente ao período de ordem t t 1 2 3 N Passo 4 Cálculo do saldo devedor O novo saldo devedor é determinado pela diferença entre o saldo devedor anterior e a amortização calculada Assim o valor do saldo devedor P1 no final do primeiro período de uma série de pagamentos mensais é igual à diferença entre o valor do capital emprestado ou financiado P0 que é o saldo devedor inicial e a parcela de amortização referente à primeira prestação A1 ou seja P1 P0 A1 Da mesma forma o saldo devedor P2 será P2 P1 A2 Em suma genericamente a parcela do saldo devedor é calculada por Pt Pt1 At onde Pt é o saldo devedor no final do período de ordem t t 1 2 3 N 131 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA Pt1 é saldo devedor no final do período de ordem t 1 t 1 2 3 N e At é a parcela de amortização referente ao período de ordem t t 1 2 3 N Passo 5 Cálculo dos valores totais da amortização juros e prestação O passo 5 o último passo corresponde ao cálculo dos valores totais da amortização juros e prestação Com relação ao total da amortização temse n t 1 2 n 1 n t 1 A A A A A Com relação ao total dos juros temse n t 1 2 n 1 n t 1 J J J J J Considerando R A J devese obter n n n t t t t 1 t 1 t 1 R A J onde se considera Rt em vez de somente R para indicar que se deve somar n valores de R ou simplesmente considerar n R uma vez que a prestação é fixa na Tabela Price Isso pode ser entendido como R1 R2 Rn R Assim temse n t 1 2 n 1 n t 1 n R R R R R R R R R n R Fluxograma dos passos O fluxograma a seguir facilita o entendimento dos passos necessários para a montagem de um Plano de Pagamento conforme o Sistema Price 132 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Unidade III R P0 1 i n i 1 i n 1 ou R P0 FRCin Sistema de amortização Price t 0 Prestação t t1 Juros Amortização Saldo devedor t n Cálculo do valor total Total amortização amortizações Total juros juros Total prestação prestações Fim Jt i Pt1 At R Jt Pt Pt1 At Não Sim Figura 49 Fluxograma de cálculos da Tabela Price O fluxograma mostra que para t 0 executase o passo 1 ou seja o cálculo da prestação R Em seguida somase 1 a t obtendose t 1 A partir de t 1 executamse os outros passos de maneira cíclica até t n começando pelo cálculo dos juros O valor da parcela de juros referente à primeira prestação será representado por J1 da segunda por J2 da quinta por J5 e assim sucessivamente As parcelas de amortização seguem as representações A1 A2 e A5 por exemplo Quanto ao saldo devedor o saldo inicial será representado por P0 o saldo devedor no final do primeiro período após a dedução da primeira amortização A1 será representado por P1 o saldo devedor no final do segundo período após a dedução da segunda amortização A2 será representado por P2 e assim por diante Os últimos cálculos são para t n ou seja Jn An e Pn Aliás Pn deve resultar nulo ou aproximadamente nulo por causa dos arredondamentos Na sequência calculamse os valores totais da amortização juros e prestação Como R A J devese obter n n n t t t t 1 t 1 t 1 R A J A figura a seguir reforça a ideia apresentada no fluxograma ao mesmo tempo em que serve juntamente com o fluxograma para a construção da tabela seguinte 133 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA Sistema de amortização Price Saldo devedor Amortização Juros Prestação Sentido dos cálculos Calculado n vezes Calculado 1 vez Figura 50 Sistema de Amortização Price Tabela 32 Sistema de Amortização Price n Saldo devedor Pt Amortização At Juros Jt Prestação R 0 P0 1 P1 P0 A1 A1 R J1 J1 i P0 R 2 P2 P1 A2 A2 R J2 J2 i P1 R n Pn 000 An R Jn Jn i Pn1 R Total n t t 1 A n t t 1 J n t t 1 R Veja um exemplo Monte um Plano de Pagamento de um empréstimo de R 600000 à taxa de 1 ao mês para ser liquidado em 6 prestações iguais baseado no Sistema Francês de Amortização ou como é conhecido no Brasil Sistema da Tabela Price Os valores conhecidos são P0 R 600000 i 1 ao mês e n 6 O primeiro passo Passo 1 é calcular a prestação conforme mostrado a seguir n 6 0 n 6 6 6 1 i i 1 001 001 R P 600000 1 i 1 1 001 1 101 001 106152 001 R 600000 600000 106152 1 101 1 00106152 R 1000000 600000 017255 006152 R R103520 134 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Unidade III n 6 0 n 6 6 6 1 i i 1 001 001 R P 600000 1 i 1 1 001 1 101 001 106152 001 R 600000 600000 106152 1 101 1 00106152 R 1000000 600000 017255 006152 R R103520 O mesmo resultado é obtido considerando o fator de recuperação de capital FRCin Buscando seu valor na tabela correspondente chegase a FRC16 017255 Multiplicandose este valor por P0 R 600000 resulta em 0 R P FRC16 600000 017255 R R103520 Em seguida devemse calcular para cada prestação do Plano de Pagamentos os valores das parcelas de juros Passo 2 amortização Passo 3 e saldo devedor Passo 4 Tabela 33 n Cálculos das parcelas 1 1 0 1 1 1 0 1 J i P 001 600000 6000 A R J 103520 6000 97530 P P A 600000 97530 502470 2 2 1 2 2 2 1 2 J i P 001 502470 5025 A R J 103520 5025 98505 P P A 502470 98505 403965 3 3 2 2 2 2 1 2 J i P 001 403965 4040 A R J 103520 4040 99490 P P A 403965 99490 304475 4 3 2 2 2 2 1 2 J i P 001 304475 3045 A R J 103520 3045 100485 P P A 304475 100485 203990 5 3 2 2 2 2 1 2 J i P 001 203990 3045 A R J 103520 3045 101490 P P A 203990 101490 102500 6 3 2 2 2 2 1 2 J i P 001 102500 1025 A R J 103520 1025 102505 P P A 102500 102505 005 135 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA Finalmente devese preencher a tabela e calcular os valores totais de juros amortização e saldo devedor Passo 5 do Plano de Pagamentos Tabela 34 Sistema de Amortização Price n Saldo devedor Pt Amortização At Juros Jt Prestação R 0 P0 R 600000 1 P1 R 502470 A1 97530 J1 6000 R 103530 2 P2 R 403965 A2 98505 J2 5025 R 103530 3 P3 R 304475 A3 99490 J3 4040 R 103530 4 P4 R 203990 A4 100485 J4 3045 R 103530 5 P5 R 102500 A5 101490 J5 2040 R 103530 6 P6 005 A6 102505 J6 1025 R 103530 TOTAL n 6 t t 1 A 600005 n 6 t t 1 J 21175 n 6 t t 1 R 621180 É importante ressaltar na tabela que P6 resulta aproximadamente nulo P6 005 por causa dos arredondamentos e Verificase facilmente que n n n t t t t 1 t 1 t 1 R A J Assim a tabela representa o Plano de Pagamento conforme o Sistema Price de amortização de um empréstimo de R 600000 à taxa de 1 ao mês para ser liquidado em 6 prestações iguais Relações matemáticas Considerando ainda o Sistema Price de amortização conhecidos os valores do empréstimo a taxa de juros e o número de prestações é possível deduzir uma série de relações matemáticas Inicialmente elas serão apresentadas e em seguida serão aplicadas ao exemplo dado 1 Valor da prestação R P0 FRCin 2 Valor do saldo devedor de ordem t Pt R FVAin t 3 Valor do saldo devedor de ordem t 1 136 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Unidade III Pt1 R FVAin t 1 4 Valor da parcela de juros de ordem t Jt i Pt1 i R FVAin t 1 5 Valor da primeira parcela de amortização A1 R i P0 6 Valor da parcela de amortização de ordem t At At 1 it1 72 Sistema de Amortização Constante Tabela SAC Este sistema é extremamente simples Sua denominação deriva da sua principal característica ou seja as amortizações periódicas são todas iguais ou constantes no Sistema Francês as amortizações crescem exponencialmente à medida que o prazo aumenta e a prestação é fixa O SAC consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas sucessivas e decrescentes em progressão aritmética dentro do conceito de termos vencidos em que o valor de cada prestação R é composto por uma parcela de amortização A e outra parcela de juros J ou seja R A J Os passos para a montagem de um Plano de Pagamento conforme o Sistema SAC de amortização são detalhados a seguir Passo 1 Cálculo da amortização O primeiro parâmetro a ser calculado em se tratando do Sistema SAC é a amortização Ressaltase que ela é calculada uma única vez pois a principal característica do Sistema SAC é que a amortização é fixa O valor da amortização é determinado dividindose o valor do capital emprestado ou financiado P0 que é o saldo devedor inicial pelo número de parcelas n ou seja o valor da amortização é calculado por 0P A n Passo 2 Cálculo do saldo devedor O novo saldo devedor é determinado pela diferença entre o saldo devedor anterior e a amortização A calculada Passo 1 que conforme mencionado anteriormente é fixa 137 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA Assim o valor do saldo devedor P1 no final do primeiro período de uma série de pagamentos mensais é igual à diferença entre o valor do capital emprestado ou financiado P0 que é o saldo devedor inicial e a parcela de amortização A ou seja P1 P0 A Da mesma forma o saldo devedor P2 será P2 P1 A Em suma genericamente a parcela de juros é calculada por Pt Pt1 A onde Pt é o saldo devedor no final do período de ordem t t 1 2 3 N Pt1 é o saldo devedor no final do período de ordem t 1 t 1 2 3 N e A é a parcela de amortização fixa Passo 3 Cálculo dos juros O segundo parâmetro a ser calculado é a parcela de juros Ela é obtida de maneira similar ao cálculo da Tabela Price ou seja multiplicandose a taxa de juros mensal bimestral trimestral semestral anual etc pelo saldo devedor existente no período imediatamente anterior Assim o valor da parcela de juros J1 referente à primeira prestação de uma série de pagamentos mensais é igual à taxa mensal i multiplicada pelo valor do capital emprestado ou financiado P0 que é o saldo devedor inicial ou seja J1 i P0 Seguindo esse raciocínio a parcela de juros J2 será J2 i P1 Onde P1 é o saldo devedor referente ao período 1 Em suma genericamente a parcela de juros é calculada por Jt i Pt1 138 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Unidade III onde Jt é a parcela de juros referente ao período de ordem t t 1 2 3 N i é a taxa de juros expressa em forma percentual e Pt1 é o saldo devedor referente ao período de ordem t 1 t 1 2 3 N Passo 4 Cálculo da prestação Como já mencionado a relação R A J permanece verdadeira no Sistema SAC Usando essa relação e uma vez que nos passos anteriores Passo 1 e Passo 2 a amortização e os juros já foram calculados a prestação é determinada simplesmente pela soma do valor da parcela de amortização A com o valor da parcela de juros Jt Assim o valor da primeira prestação R1 referente a uma série de pagamentos mensais é igual à soma da amortização A com a parcela de juros referente à primeira prestação J1 ou seja R1 A J1 Da mesma forma a parcela de amortização R2 fica R2 A J2 Em suma genericamente a prestação e calculada por Rt A Jt onde Rt é a prestação que se relaciona com A e J pela expressão Rt A Jt A é a parcela de amortização que é fixa e Jt é a parcela de juros referente ao período de ordem t t 1 2 3 N Passo 5 Cálculo dos valores totais da prestação amortização e juros O Passo 5 último passo corresponde ao cálculo dos valores totais da amortização juros e prestação Considerando R A J devese obter n n n t t t t 1 t 1 t 1 R A J Assim temse 139 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA n t 1 2 n 1 n t 1 R R R R R Com relação ao total da amortização considerase aqui At em vez de somente A para indicar que se deve somar n valores de A ou simplesmente considerar n A uma vez que a amortização é fixa na Tabela SAC Isso pode ser entendido como A1 A2 An A Logo temse n t 1 2 n 1 n t 1 n A A A A A A A A A n A Com relação ao total dos juros temse n t 1 2 n 1 n t 1 J J J J J Fluxograma dos passos O fluxograma a seguir facilita o entendimento dos passos necessários para a montagem de um Plano de Pagamento conforme o Sistema SAC Sistema de amortização SAC t 0 Amortização t t1 Saldo devedor Juros Prestação t n Cálculo do valor total Total amortização amortizações Total juros juros Total prestação prestações Fim Jt i Pt1 Rt A Jt Pt Pt1 A A P0n Não Sim Figura 51 Fluxograma de cálculos da Tabela SAC 140 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Unidade III O fluxograma mostra que para t 0 executase o passo 1 ou seja o cálculo da amortização A Em seguida a partir de t 1 executamse os outros passos de maneira cíclica até t n começando pelo cálculo do saldo devedor O saldo inicial informação dada será representado por P0 o saldo devedor no final do primeiro período após a dedução da primeira amortização A será representado por P1 o saldo devedor no final do segundo período após a dedução da segunda amortização A será representado por P2 e assim por diante O valor da parcela de juros referente à primeira prestação será representado por J1 da segunda por J2 da quinta por J5 e assim sucessivamente As prestações seguem as representações R1 R2 e R5 por exemplo Os últimos cálculos são para t n ou seja Pn Jn e Rn Aliás Pn deve resultar nulo ou aproximadamente nulo por causa dos arredondamentos Na sequência calculamse os valores totais da amortização juros e prestação Como R A J devese obter n n n t t t t 1 t 1 t 1 R A J A figura a seguir reforça a ideia apresentada no fluxograma ao mesmo tempo em que serve juntamente com o fluxograma para a construção da tabela seguinte Sistema de amortização SAC Amortização Saldo devedor Juros Prestação Sentido dos cálculos Calculado n vezes Calculado 1 vez Figura 52 Sistema de Amortização SAC Tabela 35 Sistema de Amortização SAC n Saldo devedor Pt Amortização At Juros Jt Prestação R 0 P0 1 P1 P0 A A J1 i P0 R1 A J1 2 P2 P1 A A J2 i P1 R2 A J2 n Pn 000 A Jn i Pn1 Rn A Jn Total n t t 1 A n t t 1 J n t t 1 R Veja um exemplo Monte um Plano de Pagamento de um empréstimo de R 600000 a taxa de 1 ao mês para ser liquidado em 6 prestações iguais baseado no Sistema de Amortização Constante SAC 141 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA Os valores conhecidos são P0 R 600000 i 1 ao mês e n 6 O primeiro passo Passo 1 é calcular a amortização conforme a seguir 0P 600000 A n 6 R R100000 Em seguida devemse calcular para cada prestação do Plano de Pagamentos os valores do saldo devedor Passo 2 das parcelas de juros Passo 3 e da prestação Passo 4 Tabela 36 n Cálculos das parcelas 1 1 0 1 0 1 1 P P A 600000 100000 500000 J i P 001 600000 6000 R A J 100000 6000 106000 2 2 1 2 1 2 2 P P A 500000 100000 400000 J i P 001 500000 5000 R A J 100000 5000 105000 3 3 2 3 2 3 3 P P A 400000 100000 300000 J i P 001 400000 4000 R A J 100000 5000 104000 4 4 3 4 1 4 4 P P A 300000 100000 200000 J i P 001 300000 3000 R A J 100000 3000 103000 5 5 4 5 4 5 5 P P A 200000 100000 100000 J i P 001 200000 2000 R A J 100000 2000 102000 6 6 5 6 6 6 6 P P A 100000 100000 000 J i P 001 100000 1000 R A J 100000 1000 101000 142 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Unidade III Finalmente devese preencher a tabela a seguir e calcular os valores totais de amortização juros e prestação Passo 5 do Plano de Pagamentos Tabela 37 Sistema de Amortização SAC n Saldo devedor Pt Amortização At Juros Jt Prestação R 0 P0 600000 1 P1 500000 A 100000 J1 6000 R 106000 2 P2 400000 A 100000 J2 5000 R 105000 3 P3 300000 A 100000 J3 4000 R 104000 4 P4 200000 A 100000 J4 3000 R 103000 5 P5 100000 A 100000 J5 2000 R 102000 6 P6 000 A6 100000 J6 1000 R 101000 Total n 6 t t 1 A 600000 n 6 t t 1 J 21000 n 6 t t 1 R 621000 É importante ressaltar na tabela que n n n t t t t 1 t 1 t 1 R A J Assim a tabela representa o Plano de Pagamento conforme o Sistema de Amortização Constante SAC de um empréstimo de R 600000 a taxa de 1 ao mês para ser liquidado em 6 prestações iguais Relações matemáticas Considerando ainda o Sistema SAC de amortização conhecidos os valores do empréstimo a taxa de juros e o número de prestações é possível deduzir uma série de relações matemáticas Inicialmente elas serão apresentadas e em seguida serão aplicadas ao exemplo dado 1 Valor da amortização constante 0P A n 2 Valor do saldo devedor de ordem t Pt A n t 3 Valor do saldo devedor de ordem t 1 Pt 1 Pt A A n t A A n t 1 143 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA 4 Valor da parcela de juros de ordem t Jt i Pt 1 i An t 1 5 Valor da prestação de ordem t t 0 t 1 t R A J A i P A i An t 1 R A 1 i n t 1 6 Razão da progressão aritmética decrescente representada pelos valores das prestações r i A 7 Valor da prestação de ordem t em função de razão da progressão aritmética decrescente representada pelos valores das prestações Rt Rt t 1r 73 Sistema de Amortização Misto Tabela SAM O Sistema de Amortização Misto SAM como o próprio nome diz é um misto do Sistema de Amortização Francês Price com o Sistema de Amortização Constante SAC Esse sistema foi criado pelo BNH em maio de 1979 sendo constituído por um Plano de Pagamento cujos valores são médias aritméticas dos valores dos Planos de Pagamentos da Tabela Price e da Tabela SAC Os passos para a montagem de um Plano de Pagamento conforme o Sistema Misto de amortização são detalhados a seguir Passo 1 Montagem de um Plano de Pagamento conforme o Sistema Price de amortização Passo 2 Montagem de um Plano de Pagamento conforme o Sistema de Amortização Constante SAC Passo 3 Montagem de um Plano de Pagamento conforme o Sistema de Amortização Misto SAM ou seja As prestações do Sistema de Amortização Misto SAM são resultantes da média aritmética do valor da prestação do Sistema Francês de Amortização Tabela Price e do valor da prestação do Sistema de Amortização Constante Tabela SAC correspondentes aos respectivos períodos PRICE SAC SAM R R R 2 144 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Unidade III As amortizações do SAM são resultantes da média aritmética do valor da amortização do Sistema Price e do valor da amortização do Sistema de Amortização Constante Tabela SAC correspondentes aos respectivos períodos PRICE SAC SAM A A A 2 Os juros do SAM são resultantes da média aritmética do valor dos juros do Sistema Price e do valor dos juros do Sistema de Amortização Constante Tabela SAC correspondentes aos respectivos períodos PRICE SAC SAM J J J 2 Os saldos devedores do SAM são resultantes da média aritmética do valor dos juros do Sistema Price e do valor dos juros do Sistema de Amortização Constante Tabela SAC correspondentes aos respectivos períodos PRICE SAC SAM P P P 2 Todos os cálculos podem ser agrupados em uma tabela como pode ser visto a seguir Tabela 38 Sistema de Amortização SAM n Price Saldo devedor P tP Amortização P t A Juros P tJ Prestação RP 0 P0 1 P P 0 1 1P P A P P P 1 1 A R J P P 1 0 J i P RP 2 P P P 2 1 2 P P A P P P 2 2 A R J P P 2 1 J i P RP n Pn000 P P P n n A R J P P n n 1 J i P RP T n P t t 1 A n P t t 1 J n p t 1 R n SAC Saldo devedor S tP Saldo devedor S tP Saldo devedor S tP Saldo devedor S tP 0 P0 P0 P0 P0 1 S S 1 0 P P A S S 1 0 P P A S S 1 0 P P A S S 1 0 P P A 2 S S 2 1 P P A S S 2 1 P P A S S 2 1 P P A S S 2 1 P P A 145 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA n Pn000 Pn000 Pn000 Pn000 T n SAM Saldo devedor Pt Saldo devedor Pt Saldo devedor Pt Saldo devedor Pt 0 P0 P0 P0 P0 1 P S M 1 1 1 P P P 2 P S M 1 1 1 P P P 2 P S M 1 1 1 P P P 2 P S M 1 1 1 P P P 2 2 P S M 2 2 2 P P P 2 P S M 2 2 2 P P P 2 P S M 2 2 2 P P P 2 P S M 2 2 2 P P P 2 n P S M n n n P P P 2 P S M n n n P P P 2 P S M n n n P P P 2 P S M n n n P P P 2 T Veja o exemplo Monte um Plano de Pagamento de um empréstimo de R 600000 a taxa de 1 ao mês para ser liquidado em 6 prestações iguais baseado no Sistema de Amortização Misto SAM Os valores conhecidos são P0 R 600000 i 1 ao mês e n 6 Para obter os valores do plano solicitado temos primeiramente de determinar os correspondentes valores para os planos definidos pelos sistemas SAC e Price e a seguir calcular as suas respectivas médias aritméticas Como esse exemplo já foi utilizado nos desenvolvimentos anteriores os valores serão transcritos para a tabela de composição do Plano de Pagamento SAM Tabela 39 Sistema de Amortização SAM n Price Saldo devedor P tP Amortização P t A Juros P tJ Prestação RP 0 0P 600000 1 1PR 502470 R A1 97530 1JR 6000 RP 103530 146 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Unidade III 2 2PR 403965 R A2 98505 2JR 5025 RP 103530 3 3PR 304475 R A3 99490 3JR 4040 RP 103530 4 4PR 203990 R A4 100485 4JR 3045 RP 103530 5 5PR 102500 R A5 101490 5JR 2040 RP 103530 6 6PR 005 R A6 102505 6JR 1025 RP 103530 T n 6 R T t 1 A 600005 n 6 R T t 1 J 21175 n 6 P t 1 R 621180 n SAC Saldo devedor S tP Saldo devedor S tP Saldo devedor S tP Saldo devedor S tP 0 0P 600000 0P 600000 0P 600000 0P 600000 1 1PS 500000 1PS 500000 1PS 500000 1PS 500000 2 2PS 400000 2PS 400000 2PS 400000 2PS 400000 3 3PS 300000 3PS 300000 3PS 300000 3PS 300000 4 4PS 200000 4PS 200000 4PS 200000 4PS 200000 5 5PS 100000 5PS 100000 5PS 100000 5PS 100000 6 6PS 000 6PS 000 6PS 000 6PS 000 T n SAM Saldo devedor M tP Saldo devedor M tP Saldo devedor M tP Saldo devedor M tP 0 0P 600000 0P 600000 0P 600000 0P 600000 1 1PM 501235 1PM 501235 1PM 501235 1PM 501235 2 2PM 401983 2PM 401983 2PM 401983 2PM 401983 3 3PM 302238 3PM 302238 3PM 302238 3PM 302238 4 4PM 202000 4PM 202000 4PM 202000 4PM 202000 5 5PM 101250 5PM 101250 5PM 101250 5PM 101250 6 6PM 003 6PM 003 6PM 003 6PM 003 T Observando os planos transcritos na tabela podese verificar que tanto os valores das prestações como os respectivos valores dos saldos devedores das amortizações e dos juros do Sistema de 147 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA Amortização Misto SAM se constituem nas médias aritméticas dos correspondentes valores dos Sistemas Price e SAC Analisando essa tabela podese verificar que as prestações do SAM decrescem a uma razão constante de 500 Essa razão é igual à metade da razão do decréscimo do SAC Saiba mais Intitulado SAC ou Price Veja qual financiamento é melhor para você o texto da referência a seguir apresenta mais informações sobre os sistemas de amortização Price e SAC YAZBEK P SAC ou Price Veja qual financiamento é melhor para você Exame 10 out 2015 Disponível em httpsexameabrilcombrseudinheiro sacoupricevejaqualfinanciamentoemelhorparavoce Acesso em 5 out 2018 8 ANÁLISE COMPARATIVA ENTRE AS TABELAS PRICE SAC E MISTA Depois de apresentar os três sistemas de amortização PRICE SAC e SAM fazse imprescindível analisar numérica e graficamente as diferenças entre os três sistemas Para tanto a melhor maneira de se conduzir o raciocínio dessa análise é por meio de um estudo de caso Nesse sentido considerase um cliente que procura uma instituição financeira para obter um empréstimo de R 10000000 para pagar em até 100 meses A instituição financeira oferece inicialmente as seguintes condições valor do empréstimo R 10000000 número de prestações mensais 100 e taxa de juros 1 ao mês A partir dessas condições é possível montar um Plano de Pagamento para cada sistema Alguns valores correspondentes aos três planos são apresentados na tabela a seguir 148 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Unidade III Tabela 40 Sistemas de amortização Price SAC e SAM n Price SAC SAM Saldo devedor P tP Amortização P At Juros P tJ Prestação P R Saldo devedor S tP Amortização S A Juros S tJ Prestação S tR Saldo devedor P M t Amortização A M t Juros J M T Prestação R M t 0 10000000 10000000 10000000 1 9941300 58700 100000 158700 9900000 100000 100000 200000 9920650 79350 100000 179350 2 9882013 59287 99413 158700 9800000 100000 99000 199000 9841007 79644 99207 178850 3 9822133 59880 98820 158700 9700000 100000 98000 198000 9761067 79940 98410 178350 4 9761654 60479 98221 158700 9600000 100000 97000 197000 9680827 80239 97611 177850 5 9700571 61083 97617 158700 9500000 100000 96000 196000 9600286 80542 96808 177350 10 9385868 64199 94501 158700 9000000 100000 91000 191000 9192934 82100 92750 174850 20 8707484 70916 87784 158700 8000000 100000 81000 181000 8353742 85458 84392 169850 30 7958127 78335 80365 158700 7000000 100000 71000 171000 7479063 89168 75682 164850 40 7130370 86531 72169 158700 6000000 100000 61000 161000 6565185 93265 66585 159850 42 6954703 88270 70430 158700 5800000 100000 59000 159000 6377352 94135 64715 158850 43 6865550 89153 69547 158700 5700000 100000 58000 158000 6282775 94576 63774 158350 50 6216011 95584 63116 158700 5000000 100000 51000 151000 5608006 97792 57058 154850 54 5824021 99465 59235 158700 4600000 100000 47000 147000 5212010 99733 53117 152850 55 5723561 100460 58240 158700 4500000 100000 46000 146000 5111780 100230 52120 152350 60 5205990 105584 53116 158700 4000000 100000 41000 141000 4602995 102792 47058 149850 62 4991644 107706 50994 158700 3800000 100000 39000 139000 4395822 103853 44997 148850 70 4090299 116631 42069 158700 3000000 100000 31000 131000 3545150 108315 36535 144850 80 2857882 128833 29867 158700 2000000 100000 21000 121000 2428941 114416 25434 139850 90 1496526 142312 16388 158700 1000000 100000 11000 111000 1248263 121156 13694 134850 100 7257 157201 1499 158700 000 100000 1000 101000 3629 128600 1250 129850 Total 10007257 5862743 15870000 10000000 5050000 15050000 10003629 5456371 15460000 149 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA 81 Análise comparativa entre os três sistemas quanto aos valores das prestações e amortizações A partir dos valores tabelados das prestações e amortizações é possível construir o gráfico a seguir 2100 1950 1800 1650 1500 1350 1200 1050 900 750 600 0 Valor R Prazo meses 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Prestação Price Prestação SAC Prestação SAM Amortização Price Amortização SAC Amortização SAM tR tA Figura 53 Análise comparativa entre Price SAC e SAM prestação e amortização Com base na tabela e na figura anterior podese verificar Valor das prestações Price o valor da prestação no Sistema Price é constante e igual a R 158700 SAC os valores das prestações correspondentes ao SAC decrescem linearmente de R 200000 até R 101000 Valor das amortizações Price os valores das amortizações correspondentes ao Sistema Price crescem exponencialmente de R 58700 até R 157201 SAC o valor da amortização no Sistema SAC é constante e igual a R 100000 150 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Unidade III Lembrete É importante ressaltar que o valor da primeira prestação na Tabela SAC é maior do que a prestação da Tabela Price prestação é constante A escolha de um ou outro sistema depende de quem está contratando o financiamento uns querem pagar mais no começo e menos no final Tabela SAC e outros querem pagar o mesmo valor durante todo o financiamento Tabela Price Observando o gráfico da figura anterior facilmente verificase para os Planos de Pagamento segundo a Tabela Price e a Tabela SAC que as prestações e as amortizações igualamse em determinados pontos identificados no gráfico como tR e tA respectivamente É possível demonstrar analiticamente que pontos são esses Ponto onde as prestações se igualam Inicialmente desejase calcular o ponto em que as prestações se igualam tR As expressões que devem ser utilizadas são RP R 158700 constante e 1 1 S S tR A i n t Além disso temse AS R 100000 i 1 am 001 e n 100 Para encontrar o ponto em que as prestações se igualam tR devese igualar P S tR R R ou seja P S tR S R R R R R R R 158700 A 1 i n t 1 158700 100000 1 001 100 t 1 1 101 001 t 1587 001 t 0423 t 4230 Graficamente podese verificar que tR deve ser maior que t 40 Além disso podese utilizar a tabela anterior comparando os valores de t 42 onde a prestação correspondente ao SAC S R42 R159000 151 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA é superior à correspondente ao Sistema Price constante e igual a RP 158700 e os valores para t 43 onde a prestação do SAC S R43 R158000 é inferior a RP R 158700 Ponto onde as amortizações se igualam As expressões que devem ser utilizadas para se calcular o ponto em que as amortizações se igualam tA são t 1 P P t 1 A A 1 i e AS R 100000 constante Além disso temse RP R 158700 P0 R 10000000 P P 1 0 A R i P i 1 am 001 e n 100 Inicialmente devese calcular P 1 A P P 1 0 P 1 P 1 A R i P A 158700 001 10000000 A 58700 Para encontrar o ponto em que as amortizações se igualam tA devese igualar P S AtA A ou seja P S tA t 1 A t 1 A A A A A A A 58700 1 001 100000 101 17036 t 1 log101 log17036 023136 t 1 000432 t 1 5354 t 5454 152 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Unidade III Graficamente podese comprovar que tA deve ser maior que t 50 Além disso assim como no caso de tR podese utilizar a tabela anterior comparando os valores de t 54 onde a amortização correspondente à Price P A54 R99465 é inferior à correspondente ao Sistema SAC constante e valendo AS R 100000 e os valores para t 55 onde a amortização da Price P A55 R100460 é superior a AS Como os valores correspondentes ao sistema SAM situamse sempre num ponto intermediário médio entre os valores do SAC e do Sistema Price praticamente não há nada a comentar As suas prestações decrescem linearmente enquanto as amortizações correspondentes crescem de forma exponencial visto serem estas resultantes da média aritmética entre um valor constante e outro que cresce exponencialmente 82 Análise comparativa entre os três sistemas quanto aos valores dos saldos devedores A partir dos valores tabelados dos saldos devedores para os três sistemas de amortização veja a tabela anterior é possível construir o gráfico a seguir 100000 90000 80000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000 0 Valor R Prazo mese 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Saldo Devedor Price Saldo Devedor SAC Saldo devedor SAM tM tP ts Figura 54 Análise comparativa entre Price SAC e SAM saldo devedor No que se refere ao comportamento dos saldos devedores para os três sistemas podese verificar com base nessa figura que 153 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA SAC Os saldos devedores do Sistema SAC decrescem mais rapidamente atingindo 50 do saldo R 5000000 no caso do exemplo antes dos outros dois sistemas como pode ser observado no gráfico anterior onde tS tM tP Podese demonstrar analiticamente que tS vale Dados 50 do saldo devedor R 5000000 e S S tP A n t AS R 100000 constante e n 100 S S t S S S S P A n t 5000000 100000 100 t t 50 Price No Sistema Price a metade do saldo devedor é liquidada após o pagamento da prestação tP resolvido analiticamente a seguir a partir dos seguintes dados 50 do saldo devedor R 5000000 e P P tP R FVAin t RP R 158700 constante i 1 am 001 e n 100 P P t P P P P P P P R FVAin t 5000000 158700 FVA1100 t FVA1100 t 3151 Usando os seguintes valores tabelados FVA136 3010751 FVA142 3415811 Chega seno valor de t porinterpolacao 36 3010751 100 t 31 P 51 42 3415811 t 61923 154 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Unidade III FAV1363010751 FAV1423415811 Chegase no valor de tp por interpolação 36 3010751 100tp 3151 42 3415811 tp 61923 Portanto no Sistema Price a metade do saldo devedor é liquidada após o pagamento da 62ª prestação SAM No Sistema SAM a metade do saldo devedor é liquidada após o pagamento da prestação tM resolvido analiticamente a seguir a partir dos seguintes dados 50 do saldo devedor R 5000000 e P S M t t t P P P 2 P P tP R FVAin t S S tP A n t RP R 158700 constante AS R 100000 constante i 1 am 001 e n 100 P S M t t tM P S M M M tM M M M M M M P P P 2 R FVAin t A n t P 2 158700 FVA1100 t 100000 100 t 5000000 2 1587 FVA1100 t 100 t 100 1587 FVA1100 t t 0 Usando os seguintes valores tabelados FVA152 M M M 3797396 FVA142 3497396 Chega senos seguintes valores t 48 1587 FVA152 t 122647 t 58 1587 FVA1 42 t 4496325 Chega seno valor de t porinterpolacao 48 122647 t 0 58 4496325 t 5763 1587 FVA1100tM 100tM100 1587 FVA1100tM tM 0 155 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA Usando o seguintes valores tabelados FVA1523797396 FVA1423797396 Chegase nos seguintes valores t48 1587 FVA152t122647 t58 1587 FVA142t4496325 Chegase no valor de tM por interpolação 48 122647 tM 0 58 4496325 tM 5763 Portanto no sistema de amortização SAM somente após o pagamento da 58ª prestação é que se conseguirá liquidar cerca de 50 do saldo devedor 83 Análise comparativa entre os três sistemas quanto aos valores dos juros A partir dos valores tabelados dos juros para os três sistemas de amortização veja a tabela dos sistemas de amortização Price SAC e SAM é possível construir o gráfico a seguir 100000 90000 80000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000 0 Valor R Prazo meses 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Saldo Devedor Price Saldo Devedor SAC Saldo devedor SAM Figura 55 Análise comparativa entre Price SAC e SAM juros Observando o gráfico podese concluir que conforme já mencionando anteriormente o total de juros cobrado com base no SAC é bem menor que o cobrado através do Sistema Price Além disso em se tratando do Sistema SAM ele está numa posição intermediária 156 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Unidade III As parcelas mensais de juros para os três planos decrescem obviamente na razão direta do decréscimo dos saldos devedores respectivos Jt i Pt1 ou seja relação linear mostrado na figura do saldo devedor 84 Análise do deslocamento do ponto de interseção das prestações pelo Sistemas Price e SAC quando da variação da taxa e do prazo Desejase verificar agora qual é o comportamento no ponto de interseção das prestações considerando a variação da taxa e mantendo o prazo fixo inicialmente para em seguida proceder a variação do prazo mantendo a taxa fixa Observação Análise de sensibilidade consiste em medir o efeito produzido na rentabilidade do investimento ao se variar os dados de entrada Podese dizer que se trata de uma análise de sensibilidade na qual se deseja medir o efeito produzido no ponto de interseção ao se variar os dados de entrada taxa e prazo Inicialmente desejase apresentar a expressão genérica para o cálculo do ponto em que as prestações se igualam tR nos dois sistemas estudados Price e SAC As prestações são calculadas a partir de Price RP constante e SAC S S tR A 1 i n t 1 Para encontrar o ponto em que as prestações se igualam tR devese igualar P S tR R R ou seja P S tR P S R P S S S S S R R S P S R P S R S R R R A 1 i n t 1 R A i A n t i A i A n t A 1 i i A n t R A 1 i R A 1 i n t i A Portanto a expressão genérica pra encontrar o ponto de interseção é P S R S R A 1 i t n i A 157 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA onde n P 0 n 1 i i R P 1 i 1 ou P 0 R P FRCin e S 0P A n Variação da taxa mantendose o prazo fixo Considerando o exemplo apresentado no início do tópico temse n 100 P0 R 10000000 e AS R 100000 Ressaltase que AS calculado por S 0P A n independe da taxa O mesmo não pode ser dito da prestação RP que é função de n e i Como neste caso i variará RP também variará A tabela a seguir apresenta os valores do ponto de interseção tR quando se varia i Tabela 41 Deslocamento do ponto de interseção com a variação da taxa i i Ponto de interseção tR 30 43 25 50 20 60 15 77 10 110 9 121 8 135 7 152 6 174 5 202 4 240 3 288 2 350 1 423 05 464 158 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Unidade III 001 504 0001 505 00001 505 000001 505 Observase na tabela que o ponto de interseção cresce à medida que decrescem as taxas de juros É possível demonstrar que o ponto de interseção tende para o prazo médio à medida que i tende para zero A expressão para se calcular o prazo médio é n 1 PrazoMedioPM 2 Neste exemplo encontrase PM 505 completamente coerente com os valores apresentados na tabela Ressaltase que a expressão dada por n 1 PrazoMedioPM 2 é válida somente para séries de pagamentos iguais periódicas e sucessivas quando i 0 No mercado financeiro brasileiro é muito utilizada para a demonstração do prazo médio embora a taxa de juros seja diferente de zero Variação do prazo mantendose a taxa fixa Considerando o exemplo apresentado neste capítulo temse i 1 am 001 e P0 R 10000000 Neste caso a amortização AS calculada por S 0P A n e função de n e a prestação RP que é função de n e i variarão com a variação de n A tabela apresenta os valores do ponto de interseção tR quando se varia n e se mantém i fixo i 1 am Tabela 42 Deslocamento do ponto de interseção com a variação do prazo n n Ponto de Interseção tR 5 30 10 54 20 102 50 234 100 423 159 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA 150 575 200 693 300 850 400 934 500 975 600 995 700 1003 800 1007 900 1009 1000 1010 2000 1010 3000 1010 4000 1010 5000 1010 Observase na tabela que quanto maior o número de prestações menos distante fica em termos relativos o ponto de interseção do ponto de origem Ressaltase que à medida que cresce o prazo o ponto de interseção cresce tendendo a um limite que no caso deste exemplo é 101 É possível demonstrar à medida que n tende para o infinito que o ponto de interseção tende para um limite estabelecido pela expressão 1 i LimitePontoIntersecaoLPI i Neste exemplo encontrase LPI 101 completamente coerente com os valores apresentados na tabela Saiba mais A referência a seguir apresenta uma monografia realizada por meio de pesquisa experimental utilizando como base o programa Minha Casa Minha Vida Foram realizadas simulações em dois sistemas de amortização Price e SAC para a obtenção de resultados e realização de análises comparativas entre eles O conteúdo pode representar um complemento experimental a toda a teoria apresentada aqui MONTEIRO L C de A Uma análise social dos sistemas de amortização para financiamento de um imóvel pelo Programa Minha Casa Minha Vida Caicó UFRN 2015 Disponível em httpsmonografiasufrnbr jspuibitstream12345678919206Uma20anC3A1lise20social MonografiaMonteiropdf Acesso em 4 set 2018 160 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Unidade III Resumo Uma das formas de aquisição de imóvel é o financiamento imobiliário A prestação valor que será efetivamente pago a cada período é a questão mais importante num financiamento imobiliário A prestação R é dividida em amortização A e juros J sendo R A J Os juros são a parte da prestação que correspondem à remuneração do dinheiro A amortização é a parte da prestação que corresponde à redução da dívida sem incluir juros O saldo devedor é o valor da dívida em cada período do empréstimo ou financiamento sendo que não inclui juros O saldo devedor vai sendo reduzido até chegar a zero quando a dívida é completamente amortizada Basicamente existem três tipos de financiamento no Brasil o Sistema Francês Tabela Price o Sistema de Amortização Constante SAC e o Sistema de Amortização Misto SAM Os passos para a montagem de um Plano de Pagamento conforme o Sistema Price de amortização são detalhados a seguir Passo 1 cálculo da prestação o primeiro parâmetro a ser calculado em se tratando do Sistema Price é a prestação Ressaltase que ela é calculada uma única vez pois a principal característica do Sistema Price é que a prestação é fixa O valor da prestação é determinado com base nas mesmas expressões utilizadas para séries de pagamentos com termos vencidos ou postecipados R P FRCin onde FRCin é o fator de recuperação de capital Passo 2 cálculo dos juros o segundo parâmetro a ser calculado é a parcela de juros Ela é obtida multiplicandose a taxa de juros mensal bimestral trimestral semestral anual pelo saldo devedor existente no período imediatamente anterior Passo 3 cálculo da amortização a parcela de amortização é determinada pela diferença entre o valor da prestação R e o valor da parcela de juros Jt Passo 4 cálculo do saldo devedor o novo saldo devedor é determinado pela diferença entre o saldo devedor anterior e a amortização calculada Passo 5 cálculo dos valores totais da amortização juros e prestação O Sistema de Amortização Constante SAC é extremamente simples Sua denominação deriva da sua principal característica ou seja as 161 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA amortizações periódicas são todas iguais ou constantes no Sistema Francês as amortizações crescem exponencialmente à medida que o prazo aumenta e a prestação é fixa O SAC consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas sucessivas e decrescentes em progressão aritmética dentro do conceito de termos vencidos em que o valor de cada prestação R é composto por uma parcela de amortização A e outra parcela de juros J ou seja R A J Os passos para a montagem de um Plano de Pagamento conforme o Sistema SAC de amortização são detalhados a seguir Passo 1 cálculo da amortização o primeiro parâmetro a ser calculado em se tratando do Sistema SAC é a amortização Ressaltase que ela é calculada uma única vez pois a principal característica do Sistema SAC é que a amortização é fixa O valor da amortização é determinado dividindose o valor do capital emprestado ou financiado P0 que é o saldo devedor inicial pelo número de parcelas n Passo 2 cálculo do saldo devedor o novo saldo devedor é determinado pela diferença entre o saldo devedor anterior e a amortização A calculada Passo 1 que conforme mencionado anteriormente é fixa Passo 3 cálculo dos juros o terceiro parâmetro a ser calculado é a parcela de juros Ela é obtida de maneira similar ao cálculo da Tabela Price ou seja multiplicandose a taxa de juros mensal bimestral trimestral semestral anual pelo saldo devedor existente no período imediatamente anterior Passo 4 cálculo da prestação a relação R A J permanece verdadeira no Sistema SAC Usando essa relação e uma vez que nos passos anteriores Passo 1 e Passo 2 a amortização e os juros já foram calculados a prestação é determinada simplesmente pela soma do valor da parcela de amortização A com o valor da parcela de juros Jt Passo 5 cálculo dos valores totais da prestação amortização e juros O Sistema de Amortização Misto SAM como o próprio nome diz é um misto do Sistema de Amortização Francês Price com o Sistema de Amortização Constante SAC Esse sistema foi criado pelo BNH em maio de 1979 sendo constituído por um Plano de Pagamento cujos valores são médias aritméticas dos valores dos Planos de Pagamentos da Tabela Price e da Tabela SAC Com relação à comparação entre os três sistemas quanto aos valores das prestações e amortizações é interessante construir o gráfico como o apresentado na figura a seguir 162 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Unidade III 2100 1950 1800 1650 1500 1350 1200 1050 900 750 600 0 Valor R Prazo meses 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Prestação Price Prestação SAC Prestação SAM Amortização Price Amortização SAC Amortização SAM tR tA Figura 56 Comparação entre os três sistemas quanto aos valores das prestações e amortizações Com base na figura podese verificar o valor das prestações no Sistema Price é constante Os valores das prestações correspondentes ao SAC decrescem linearmente Ressaltase que a primeira prestação da SAC é maior do que a prestação da Price Os valores das amortizações correspondentes ao Price crescem exponencialmente O valor das amortizações no Sistema SAC é constante Além disso os saldos devedores do Sistema SAC decrescem mais rapidamente atingindo 50 do saldo antes dos outros dois sistemas como pode ser observado no gráfico anterior O total de juros cobrado com base no SAC é bem menor que o cobrado através do Sistema Price Em se tratando do Sistema SAM ele está numa posição intermediária As parcelas de juros para os três planos decrescem obviamente na razão direta do decréscimo dos saldos devedores respectivos Exercícios Questão 1 Enade 2011 Em uma empresa visando atender a uma demanda crescente por determinada família de produtos desejase expandir suas instalações adquirindo novos equipamentos A partir de estudos realizados verificouse que o capital necessário para essa expansão é de R 12000000 Ao buscar financiamento a empresa encontrou as seguintes alternativas 163 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 FUNDAMENTOS DE ENGENHARIA ECONÔMICA Banco A Taxa de juros de 15 aa capitalizados mensalmente Banco B Taxa de juros de 145 aa capitalizados trimestralmente Possibilidades de Amortização Tabela Price e Sistema de Amortização Constante SAC Tempo de Financiamento 120 meses O financiamento não será quitado antecipadamente Nesse contexto analise as asserções seguintes A melhor opção de financiamento é pelo Banco B utilizandose o sistema de amortização constante Porque O Banco B oferece menor taxa de juros efetivos e no sistema de amortização constante o valor pago de juros é menor que na Tabela Price Acerca dessas asserções assinale a opção correta A As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda é uma justificativa correta da primeira B As duas asserções são proposições verdadeiras e a segunda não é uma justificativa correta da primeira C A primeira asserção é uma proposição verdadeira e a segunda uma proposição falsa D A primeira asserção é uma proposição falsa e a segunda uma proposição verdadeira E Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas Resposta correta alternativa A Análise da questão A taxa de juros no Banco B é menor que no Banco A Além disto a capitalização no Banco B é trimestral o que resulta em uma taxa efetiva menor que a praticada pelo Banco A O total de juros pago em um financiamento pelo Sistema de Amortização Constante SAC é sempre menor que o pago em um financiamento com mesmo período sujeito à mesma taxa de juros pelo Sistema Price 164 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Unidade III Considerando que o Banco B oferece o empréstimo a uma taxa anual menor que o Banco A capitalizado trimestralmente é de se entender que o total de juros cobrados pelo Banco B quando comparado com o mesmo tipo de sistema de amortização é menor que o do Banco A Com essas considerações podemos chegar à conclusão que as duas asserções são corretas e a segunda justifica a primeira logo a alternativa correta é a alternativa A Questão 2 Enade 2015 Um cidadão procurou um banco para contratar financiamento de um imóvel cujo valor é de R 450 mil utilizando o Sistema de Amortização Constante SAC O custo efetivo total CET da operação realizada é de 10 ao ano Sendo o financiamento em 100 parcelas o valor da amortização mensal seria igual a A R 400000 B R 450000 C R 495000 D R 520000 E R 550000 Resolução desta questão na plataforma 165 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 REFERÊNCIAS Textuais ÁVILA G Introdução à análise matemática São Paulo Blucher 1999 CASAROTTO F N KOPITTKE B H Análise de investimentos 10 ed São Paulo Atlas 2007 CERQUEIRA A Apostila de Engenharia Econômica Recife 2017 CÔRTES J G P Introdução à Economia da Engenharia uma visão do processo de gerenciamento de ativos de engenharia 2 ed São Paulo Cengage Learning 2002 DANTE L R Matemática contextos aplicações Volume 1 São Paulo Ática 2011 MATHIAS W F GOMES J M Matemática Financeira 4 ed São Paulo Atlas 2004 PILÃO N E HUMMEL P R V Matemática Financeira e Engenharia Econômica São Paulo Cengage Learning 2013 PORTAL BRASIL Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo IPCA sd Disponível em http wwwportalbrasilnetipcahtm Acesso em 13 nov 2018 VERAS L L Matemática Financeira 4 ed São Paulo Atlas 2001 VIEIRA SOBRINHO J D Matemática Financeira 7 ed São Paulo Atlas 2008 YAZBEK P SAC ou Price Veja qual financiamento é melhor para você Exame 10 out 2015 Disponível em httpsexameabrilcombrseudinheiro sacoupricevejaqualfinanciamentoemelhorparavoce Acesso em 5 out 2018 Site httpswwwbcbgovbr Exercícios Unidade I Questão 2 INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA INEP Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes ENADE 2012 Tecnologia em Gestão Financeira Questão 15 Disponível em httpdownloadinepgovbreducacaosuperiorenade provas201214CSTGESTAOFINANCEIRApdf Acesso em 6 nov 2018 Unidade II Questão 1 INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA INEP Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes ENADE 2012 Tecnologia em Gestão 166 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Financeira Questão 27 Disponível em httpdownloadinepgovbreducacaosuperiorenade provas201214CSTGESTAOFINANCEIRApdf Acesso em 6 nov 2018 Unidade II Questão 2 INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA INEP Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes ENADE 2012 Tecnologia em Gestão Financeira Questão 20 Disponível em httpdownloadinepgovbreducacaosuperiorenade provas201214CSTGESTAOFINANCEIRApdf Acesso em 6 nov 2018 Unidade III Questão 1 INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA INEP Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes ENADE 2011 Engenharia Grupo VI Questão 29 Disponível em httpdownloadinepgovbreducacaosuperiorenadeprovas2011 ENGENHARIAGRUPO20VIpdf Acesso em 6 nov 2018 Unidade III Questão 2 INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA INEP Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes ENADE 2015 Tecnologia em Gestão Financeira Questão 20 Disponível em httpdownloadinepgovbreducacaosuperiorenade provas201522cstgestaofincanceirapdf Acesso em 6 nov 2018 167 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 APÊNDICE A Progressão aritmética PA A1 Sequência Antes de estudar as progressões fazse necessário entender o significado de uma sequência numérica Sequências são comuns na vida cotidiana Frequentemente as pessoas se deparam com situações em que é possível enumerar elementos de um conjunto seguindo uma determinada ordenação Portanto conceitualmente uma sequência é um conjunto de números colocados em ordem conjunto ordenado de elementos em que cada elemento resulta naturalmente sequenciado Uma sequência numérica pode ser representada genericamente na forma a1 a2 a3 an onde a1 é o primeiro termo a2 é o segundo e an representa o enésimo termo Por exemplo o conjunto ordenado A 0 2 4 6 8 10 20 é uma sequência cujo primeiro termo é 0 o segundo termo é 2 o terceiro termo é 4 e assim sucessivamente Tratase de uma sequência finita Mas uma sequência pode ser finita ou infinita A sequência B 0 2 4 6 8 é infinita As sequências que merecem mais destaque são aquelas cujos termos obedecem a uma lei de formação ou seja é possível escrever uma relação matemática entre elas Assim na sequência C 2 6 18 54 162 486 é possível observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3 A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da sequência é denominada termo geral Considere por exemplo a sequência S cujo termo geral seja dado por an 3 n 5 onde n é um número natural não nulo Observase que atribuindose valores para n obtémse o termo an enésimo termo correspondente Por exemplo para n 5 temse 168 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 a5 3 5 5 20 Assim o quinto termo dessa sequência a5 é igual a 20 Os tipos de sequências matemáticas mais comuns são as progressões Saiba mais A definição formal de sequência numérica é uma sequência numérica é uma função f definida no conjunto dos números naturais ou inteiros positivos tal que fn fn an onde n é chamado de índice e an é o enésimo elemento da sequência também conhecido como termo geral A2 Progressão aritmética termo geral A melhor maneira de se entender o conceito de progressão aritmética PA é por meio de um exemplo Nesse sentido talvez o melhor exemplo seja a sequência dos números naturais onde cada termo iniciando com 0 a1 é obtido somando 1 ao seu anterior ou seja a2 a1 1 1 a3 a2 1 a1 1 1 2 a4 a3 1 a2 1 1 a1 1 1 1 3 E assim por diante No caso da sequência dos números naturais o número 1 somado a cada termo é chamado de razão da progressão r Portanto em uma progressão aritmética PA cada termo de uma sequência é a soma do elemento anterior com sua razão Reescrevendo agora os termos da sequência em função de r razão temse a2 a1 r a3 a2 r a1 r r a1 2 r a4 a3 r a2 r r a1 r r r a1 3 r E assim por diante 169 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Essa operação pode ser realizada para os próximos termos Como a lei de formação será sempre a mesma podese formular uma expressão para se determinar o termo geral de uma progressão aritmética resultando em an a1 n 1 r Supondo um caso em que não se sabe qual é o seu primeiro termo podese usar uma forma generalizada do termo geral da PA Sejam m e n posições quaisquer dos termos temse an am n m r Uma aplicação direta dessa expressão é por exemplo encontrar o 1000º termo da sequência dos números naturais Como a1 0 r 1 e se deseja o termo a1000 pela expressão temse 1000 1 1000 1000 a a 1000 1 r a 0 1000 1 1 a 999 O termo da 1000ª posição dos números naturais é o número 999 Qualquer termo de uma PA a partir do segundo termo a2 é sempre igual à média aritmética entre os termos anterior e posterior a ele Então para n 2 temse que n 1 n 1 n a a a 2 A3 Soma dos termos de uma progressão aritmética finita Considerando uma sequência S dos números naturais de 1 a 10 1 2 3 4 8 9 10 e representando a soma de 10 termos da PA por S10 Realizando efetivamente a soma dos termos de S temse S10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O matemático Carl Friedrich Gauss 17771855 notou que em toda PA finita existe uma relação em que ao escolhermos um termo qualquer em uma sequência e somarmos ao seu extremo simétrico ou o seu termo equidistante obtemos sempre o mesmo valor Veja 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 10 11 2 9 11 2 8 11 Figura 57 170 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Gauss utilizou esse procedimento para obter a fórmula da soma dos termos da PA No exemplo notase que no total haverá n2 parcelas de valor n1 ou seja 5 x 11 55 Essa relação vale para a soma dos termos de uma PA Gauss constatou então que Sn a1 a2 a3 an2 an1 an ou Sn a1 an a1 an a1 an Como existem n2 parcelas iguais a a1 an então a fórmula é dada por 1 n n a a n S 2 Essa fórmula serve para qualquer PA de qualquer razão pois independentemente do valor dos seus termos as propriedades das somas de suas parcelas também são válidas APÊNDICE B Progressão geométrica PG As progressões geométricas são formadas por uma sequência numérica em que os números são definidos exceto o primeiro utilizando a constante q chamada de razão O próximo número da PG é o número atual multiplicado por q Por exemplo na sequência D 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 a razão é 2 A razão pode ser qualquer número racional positivo negativo fração exceto o zero Para descobrir qual a razão de uma PG basta escolher qualquer número da sequência e dividir pelo número anterior B1 Progressão geométrica termo geral A expressão a seguir pode ser utilizada para encontrar qualquer valor de uma sequência em progressão geométrica an a1 qn1 onde a1 referese ao primeiro termo e q é a razão da progressão No caso de não se conhecer o seu primeiro termo podese usar uma forma generalizada do termo geral da PG Sejam m e n posições consecutivas quaisquer dos elementos temse an am qmn 171 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 B2 Soma dos termos de uma progressão geométrica finita Seja uma PG dada pela sequência numérica a1 a2 a3 an Considerando Sn a soma dos seus termos podese escrever Sn a1 a2 a3 an2 an1 an Multiplicando ambos os lados da equação por q temse q Sn q a1 q a2 q a3 q an2 q an1 q an Usando an am qmn temse a2 a1 q a3 a2 q a4 a3 q an1 an2 q an an1 q E assim por diante A substituição desses valores em q Sn q a1 q a2 q a3 q an2 q an1 q an resulta q Sn a2 a3 a4 an1 an q an Somar e subtrair a1 do lado direito não altera o resultado mas evidenciará a soma dos termos da PG dada pela sequência numérica a1 a2 a3 an Assim q Sn a2 a3 a4 an1 an q an fica q Sn Sn a1 q an ou ainda Sn q Sn a1 q an Utilizando a equação do termo geral an a1 qn1 Sn q Sn a1 q an resulta Sn q Sn a1 q a1 qn1 a1 1 qn Por fim evidenciando Sn temse 172 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 n n 1 1 q S a 1 q ou ainda n 1 1 PG a q a S q 1 que é a expressão da soma dos termos de uma PG APÊNDICE C Logaritmo Logaritmo é a uma função baseada no expoente que uma dada base deve ter para produzir certa potência Por esse motivo o estudo dos logaritmos pressupõe um aprofundamento nas propriedades de potenciação ou exponenciação Analiticamente sejam a e b números reais positivos diferentes de zero e b 1 o logaritmo do número a numa base b será representado da seguinte forma Logba x onde bx a A expressão dada por Logba x deve ser lida da seguinte maneira logaritmo de a na base b onde b é a base a é o logaritmando e x é o logaritmo Quando a base não vier expressa fica subtendido que ela vale 10 b 10 Neste caso os logaritmos são chamados logaritmos decimais ou logaritmos de Briggs Por exemplo log2 log102 Existem também os logaritmos neperianos atribuídos a John Napier A base desses logaritmos é o número irracional e 271828 Por exemplo loge2 ln2 C1 Propriedades dos logaritmos Sejam abc e b c 1 173 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo ou seja logb1 0 Essa propriedade é verdadeira porque b0 1 O logaritmo da base é sempre igual a 1 ou seja logbb 1 porque b1 b logbbk k porque bk bk logb a c logba logbc b b b log a c log a log c cologbN logbN m b b 1 log a log a m c b c c log a log a comlog b 0 log b b logN log N logb logbc logcb 1 Logaritmo da potência logban n logba e log M b b M porque aplicando a propriedade do logaritmo da potência temse log M b log M b b b b b b b b b M log b log M log M log b log M log M log M M M 174 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 APÊNDICE D Tabelas financeiras Taxa do período 1 n Pagamento único simples Série de pagamentos iguais uniformes n Fator de acumulação de capital Fator de valor atual Fator de acumulação de capital Fator de formação de capital Fator de valor atual Fator de recuperação de capital FAC FFC FVA FRC 1 in n 1 1 i 1 in 1 i n i 1 i 1 n n 1 i 1 1 i i n n 1 i i 1 i 1 1 101000 099010 100000 100000 099010 101000 1 2 102010 098030 201000 049751 197040 050751 2 3 103030 097059 303010 033002 294099 034002 3 4 104060 096098 406040 024628 390197 025628 4 5 105101 095147 510101 019604 485343 020604 5 6 106152 094205 615202 016255 579548 017255 6 7 107214 093272 721354 013863 672819 014863 7 8 108286 092348 828567 012069 765168 013069 8 9 109369 091434 936853 010674 856602 011674 9 10 110462 090529 1046221 009558 947130 010558 10 11 111567 089632 1156683 008645 1036763 009645 11 12 112683 088745 1268250 007885 1125508 008885 12 13 113809 087866 1380933 007241 1213374 008241 13 14 114947 086996 1494742 006690 1300370 007690 14 15 116097 086135 1609690 006212 1386505 007212 15 16 117258 085282 1725786 005794 1471787 006794 16 17 118430 084438 1843044 005426 1556225 006426 17 18 119615 083602 1961475 005098 1639827 006098 18 19 120811 082774 2081090 004805 1722601 005805 19 20 122019 081954 2201900 004542 1804555 005542 20 21 123239 081143 2323919 004303 1885698 005303 21 22 124472 080340 2447159 004086 1966038 005086 22 23 125716 079544 2571630 003889 2045582 004889 23 24 126973 078757 2697346 003707 2124339 004707 24 25 128243 077977 2824320 003541 2202316 004541 25 26 129526 077205 2952563 003387 2279520 004387 26 27 130821 076440 3082089 003245 2355961 004245 27 28 132129 075684 3212910 003112 2431644 004112 28 29 133450 074934 3345039 002990 2506579 003990 29 30 134785 074192 3478489 002875 2580771 003875 30 175 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 31 136133 073458 3613274 002768 2654229 003768 31 32 137494 072730 3749407 002667 2726959 003667 32 33 138869 072010 3886901 002573 2798969 003573 33 34 140258 071297 4025770 002484 2870267 003484 34 35 141660 070591 4166028 002400 2940858 003400 35 36 143077 069892 4307688 002321 3010751 003321 36 42 151879 065842 5187899 001928 3415811 002928 42 48 161223 062026 6122261 001633 3797396 002633 48 50 164463 060804 6446318 001551 3919612 002551 50 54 171141 058431 7114105 001406 4156866 002406 54 60 181670 055045 8166967 001224 4495504 002224 60 72 204710 048850 10470993 000955 5115039 001955 72 84 230672 043352 13067227 000765 5664845 001765 84 96 259927 038472 15992729 000625 6152770 001625 96 100 270481 036971 17048138 000587 6302888 001587 100 108 292893 034142 19289258 000518 6585779 001518 108 120 330039 030299 23003869 000435 6970052 001435 120 150 444842 022480 34484229 000290 7752012 001290 150 180 599580 016678 49958020 000200 8332166 001200 180 200 731602 013669 63160179 000158 8633136 001158 120 Taxa do período 2 n Pagamento único simples Série de pagamentos iguais uniformes n Fator de acumulação de capital Fator de valor atual Fator de acumulação de capital Fator de formação de capital Fator de valor atual Fator de recuperação de capital FAC FFC FVA FRC 1 in n 1 1 i 1 in 1 i n i 1 i 1 n n 1 i 1 1 i i n n 1 i i 1 i 1 1 102000 098039 100000 100000 098039 102000 1 2 104040 096117 202000 049505 194156 051505 2 3 106121 094232 306040 032675 288388 034675 3 4 108243 092385 412161 024262 380773 026262 4 5 110408 090573 520404 019216 471346 021216 5 6 112616 088797 630812 015853 560143 017853 6 7 114869 087056 743428 013451 647199 015451 7 8 117166 085349 858297 011651 732548 013651 8 9 119509 083676 975463 010252 816224 012252 9 10 121899 082035 1094972 009133 898259 011133 10 11 124337 080426 1216872 008218 978685 010218 11 12 126824 078849 1341209 007456 1057534 009456 12 13 129361 077303 1468033 006812 1134837 008812 13 176 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 14 131948 075788 1597394 006260 1210625 008260 14 15 134587 074301 1729342 005783 1284926 007783 15 16 137279 072845 1863929 005365 1357771 007365 16 17 140024 071416 2001207 004997 1429187 006997 17 18 142825 070016 2141231 004670 1499203 006670 18 19 145681 068643 2284056 004378 1567846 006378 19 20 148595 067297 2429737 004116 1635143 006116 20 21 151567 065978 2578332 003878 1701121 005878 21 22 154598 064684 2729898 003663 1765805 005663 22 23 157690 063416 2884496 003467 1829220 005467 23 24 160844 062172 3042186 003287 1891393 005287 24 25 164061 060953 3203030 003122 1952346 005122 25 26 167342 059758 3367091 002970 2012104 004970 26 27 170689 058586 3534432 002829 2070690 004829 27 28 174102 057437 3705121 002699 2128127 004699 28 29 177584 056311 3879223 002578 2184438 004578 29 30 181136 055207 4056808 002465 2239646 004465 30 31 184759 054125 4237944 002360 2293770 004360 31 32 188454 053063 4422703 002261 2346833 004261 32 33 192223 052023 4611157 002169 2398856 004169 33 34 196068 051003 4803380 002082 2449859 004082 34 35 199989 050003 4999448 002000 2499862 004000 35 36 203989 049022 5199437 001923 2548884 003923 36 42 229724 043530 6486222 001542 2823479 003542 42 48 258707 038654 7935352 001260 3067312 003260 48 50 269159 037153 8457940 001182 3142361 003182 50 54 291346 034323 9567307 001045 3283828 003045 54 60 328103 030478 11405154 000877 3476089 002877 60 72 416114 024032 15805702 000633 3798406 002633 72 84 527733 018949 21386661 000468 4052552 002468 84 96 669293 014941 28464666 000351 4252943 002351 96 100 724465 013803 31223231 000320 4309835 002320 100 108 848826 011781 37441288 000267 4410951 002267 108 120 1076516 009289 48825815 000205 4535539 002205 120 150 1949960 005128 92498014 000108 4743585 002108 150 180 3532083 002831 171604157 000058 4858440 002058 180 200 5248490 001905 257424487 000039 4904734 002039 200 177 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 Taxa do período 25 n Pagamento único simples Série de pagamentos iguais uniformes n Fator de acumulação de capital Fator de valor atual Fator de acumulação de capital Fator de formação de capital Fator de valor atual Fator de recuperação de capital FAC FFC FVA FRC 1 in n 1 1 i 1 in 1 i n i 1 i 1 n n 1 i 1 1 i i n n 1 i i 1 i 1 1 102500 097561 100000 100000 097561 102500 1 2 105063 095181 202500 049383 192742 051883 2 3 107689 092860 307563 032514 285602 035014 3 4 110381 090595 415252 024082 376197 026582 4 5 113141 088385 525633 019025 464583 021525 5 6 115969 086230 638774 015655 550813 018155 6 7 118869 084127 754743 013250 634939 015750 7 8 121840 082075 873612 011447 717014 013947 8 9 124886 080073 995452 010046 797087 012546 9 10 128008 078120 1120338 008926 875206 011426 10 11 131209 076214 1248347 008011 951421 010511 11 12 134489 074356 1379555 007249 1025776 009749 12 13 137851 072542 1514044 006605 1098318 009105 13 14 141297 070773 1651895 006054 1169091 008554 14 15 144830 069047 1793193 005577 1238138 008077 15 16 148451 067362 1938022 005160 1305500 007660 16 17 152162 065720 2086473 004793 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recuperação de capital FAC FFC FVA FRC 1 in n 1 1 i 1 in 1 i n i 1 i 1 n n 1 i 1 1 i i n n 1 i i 1 i 1 1 103000 097561 100000 100000 097087 103000 1 2 106090 094260 203000 049261 191347 052261 2 3 109273 091514 309090 032353 282861 035353 3 4 112551 088849 418363 023903 371710 026903 4 5 115927 086261 530914 018835 457971 021835 5 6 119405 083748 646841 015460 541719 018460 6 7 122987 081309 766246 013051 623028 016051 7 8 126677 078941 889234 011246 701969 014246 8 9 130477 076642 1015911 009843 778611 012843 9 10 134392 074409 1146388 008723 853020 011723 10 11 138423 072242 1280780 007808 925262 010808 11 12 142576 070138 1419203 007046 995400 010046 12 13 146853 068095 1561779 006403 1063496 009403 13 14 151259 066112 1708632 005853 1129607 008853 14 15 155797 064186 1859891 005377 1193794 008377 15 16 160471 062317 2015688 004961 1256110 007961 16 17 165285 060502 2176159 004595 1316612 007595 17 179 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 18 170243 058739 2341444 004271 1375351 007271 18 19 175351 057029 2511687 003981 1432380 006981 19 20 180611 055368 2687037 003722 1487747 006722 20 21 186029 053755 2867649 003487 1541502 006487 21 22 191610 052189 3053678 003275 1593692 006275 22 23 197359 050669 3245288 003081 1644361 006081 23 24 203279 049193 3442647 002905 1693554 005905 24 25 209378 047761 3645926 002743 1741315 005743 25 26 215659 046369 3855304 002594 1787684 005594 26 27 222129 045019 4070963 002456 1832703 005456 27 28 228793 043708 4293092 002329 1876411 005329 28 29 235657 042435 4521885 002211 1918845 005211 29 30 242726 041199 4757542 002102 1960044 005102 30 31 250008 039999 5000268 002000 2000043 005000 31 32 257508 038834 5250276 001905 2038877 004905 32 33 265234 037703 5507784 001816 2076579 004816 33 34 273191 036604 5773018 001732 2113184 004732 34 35 281386 035538 6046208 001654 2148722 004654 35 36 289828 034503 6327594 001580 2183225 004580 36 42 346070 028896 8202320 001219 2370136 004219 42 48 413225 024200 10440840 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i 1 in 1 i n i 1 i 1 n n 1 i 1 1 i i n n 1 i i 1 i 1 1 104000 096154 100000 100000 096154 104000 1 2 108160 092456 204000 049020 188609 053020 2 3 112486 088900 312160 032035 277509 036035 3 4 116986 085480 424646 023549 362990 027549 4 5 121665 082193 541632 018463 445182 022463 5 6 126532 079031 663298 015076 524214 019076 6 7 131593 075992 789829 012661 600205 016661 7 8 136857 073069 921423 010853 673274 014853 8 9 142331 070259 1058280 009449 743533 013449 9 10 148024 067556 1200611 008329 811090 012329 10 11 153945 064958 1348635 007415 876048 011415 11 12 160103 062460 1502581 006655 938507 010655 12 13 166507 060057 1662684 006014 998565 010014 13 14 173168 057748 1829191 005467 1056312 009467 14 15 180094 055526 2002359 004994 1111839 008994 15 16 187298 053391 2182453 004582 1165230 008582 16 17 194790 051337 2369751 004220 1216567 008220 17 18 202582 049363 2564541 003899 1265930 007899 18 19 210685 047464 2767123 003614 1313394 007614 19 20 219112 045639 2977808 003358 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000003 666515 015003 60 Taxa do período 20 n Pagamento único simples Série de pagamentos iguais uniformes n Fator de acumulação de capital Fator de valor atual Fator de acumulação de capital Fator de formação de capital Fator de valor atual Fator de recuperação de capital FAC FFC FVA FRC 1 in n 1 1 i 1 in 1 i n i 1 i 1 n n 1 i 1 1 i i n n 1 i i 1 i 1 1 120000 083333 100000 100000 083333 120000 1 2 144000 069444 220000 045455 152778 065455 2 3 172800 057870 364000 027473 210648 047473 3 4 207360 048225 536800 018629 258873 038629 4 5 248832 040188 744160 013438 299061 033438 5 6 298598 033490 992992 010071 332551 030071 6 7 358318 027908 1291590 007742 360459 027742 7 8 429982 023257 1649908 006061 383716 026061 8 9 515978 019381 2079890 004808 403097 024808 9 10 619174 016151 2595868 003852 419247 023852 10 11 743008 013459 3215042 003110 432706 023110 11 12 891610 011216 3958050 002526 443922 022526 12 13 1069932 009346 4849660 002062 453268 022062 13 14 1283918 007789 5919592 001689 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Taxa do período 30 n Pagamento único simples Série de pagamentos iguais uniformes n Fator de acumulação de capital Fator de valor atual Fator de acumulação de capital Fator de formação de capital Fator de valor atual Fator de recuperação de capital FAC FFC FVA FRC 1 in n 1 1 i 1 in 1 i n i 1 i 1 n n 1 i 1 1 i i n n 1 i i 1 i 1 1 130000 076923 100000 100000 076923 130000 1 2 169000 059172 230000 043478 136095 073478 2 3 219700 045517 399000 025063 181611 055063 3 4 285610 035013 618700 016163 216624 046163 4 5 371293 026933 904310 011058 243557 041058 5 6 482681 020718 1275603 007839 264275 037839 6 7 627485 015937 1758284 005687 280211 035687 7 8 815731 012259 2385769 004192 292470 034192 8 9 1060450 009430 3201500 003124 301900 033124 9 10 1378585 007254 4261950 002346 309154 032346 10 190 Revisão Lucas Ricardi Diagramação Ismael Xavier 10122018 11 1792160 005580 5640535 001773 314734 031773 11 12 2329809 004292 7432695 001345 319026 031345 12 13 3028751 003302 9762504 001024 322328 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