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118 Unidade III Unidade III 5 FUNÇÃO EXPONENCIAL Funções exponenciais são utilizadas em finanças investimentos disseminação de doenças taxas de juros prestações etc A datação por carbono técnica criada por W L Libby 19081980 prêmio Nobel de Química em 1960 por seus estudos com carbono 14 para a determinação de idade cronológica de artefatos orgânicos antigos é uma aplicação que utiliza função exponencial Saiba mais A fim de obter mais dados sobre datação por carbono 14 acesse SCHEELYBERT R Considerações sobre o método de datação pelo Carbono14 e alguns comentários sobre a datação de sambaquis Revista do Museu de Arqueologia e Etnologia v 9 p 297301 1999 Disponível em wwwrevistasuspbrrevmaearticleview109360 Acesso em 11 jan 2019 Antes de iniciarmos o estudo das funções exponenciais relembraremos algumas propriedades da potenciação 51 Potenciação definição e propriedades an Expoente Base Base a número real maior que zero isto é a 0 Expoente n temos algumas possibilidades para os valores de n a n inteiro e n 0 neste caso n n vezes a a a a a b n racional e n 0 isto é n é do tipo p n q com p e q inteiros e maiores que zero então 119 MATEMÁTICA p q n p q a a a Agora listaremos algumas propriedades de exponenciais para isso consideraremos a b 0 n m 0 n e m inteiros 1 a0 1 2 n n 1 a a 3 an am anm 4 n n m m a a a 5 anm anm 6 n n n a a b b Observação Podemos escrever que a0 1 pois a 0 Se a 0 então a expressão 00 é uma indeterminação Constam na sequência alguns exemplos para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado Determinar o valor de x a 3x 81 Fatorando 81 3x 81 3x 34 x 4 b 3x 2 35 120 Unidade III Utilizando as propriedades de potência 3x 2 35 x 2 5 x 5 2 x 3 c 44x 42 x 3 Utilizando as propriedades de potência 44x 42 x 3 4x 1 42 x 3 Igualando os expoentes x 1 2x 3 x 2 x 3 1 x 2 Multiplicando os dois lados da equação por 1 x 2 Essas propriedades são úteis quando trabalharmos com as funções exponenciais 52 Função exponencial Agora definiremos a função exponencial de base a sendo a 0 e a 1 fx c bamx sendo a 0 a 1 b 0 e m 0 Observação Os valores de b e de m não podem ser nulos pois transformariam a função em função constante eliminando a exponencial 121 MATEMÁTICA 521 Gráfico O gráfico de uma função exponencial é uma curva que pode ser determinada através da tabela de pontos Uma característica importante do gráfico da função exponencial é o fato de existir uma reta horizontal chamada assíntota que limita os valores de fx O gráfico chega muito próximo desta reta porém não cortará a reta Vejamos algumas representações do gráfico da exponencial e sua assíntota y y 0 0 x x Figura 54 Note que nos dois gráficos há uma reta tracejada que é a assíntota a equação da reta dependerá do valor de c na expressão fx c b amx A equação da assíntota será sempre y c Vejamos agora alguns exemplos de gráficos de função exponencial Construir o gráfico das funções exponenciais 1 fx 4x Primeiramente separaremos os valores de a b c e m fx c bamx fx 4x comparando com a expressão completa temos a 4 b 1 c 0 e m 1 Para a construção do gráfico atribuiremos valores para x e calcularemos fx escolhendo alguns deles para x 122 Unidade III Tabela 22 x y 4x xy 2 2 1 f 2 4 16 1 216 1 1 1 f 1 4 4 1 14 0 f0 40 1 01 1 f1 41 4 14 2 f2 42 16 216 Resolvendo f2 temos pela propriedade de potência 2 2 1 1 f 2 4 16 4 Para efetuar os cálculos da função no valor escolhido devemos utilizar as propriedades de potência Note também que é possível escolher quaisquer outros valores para fazer os cálculos Colocando os pontos encontrados no sistema cartesiano temos a figura a seguir y 4x 16 4 1 2 1 1 2 x y 0 assíntota horizontal 0 y Figura 55 Observação Note que se for calculado fx para valores menores que 2 os resultados encontrados serão próximos de zero porém nunca iguais a zero O gráfico chegará próximo da reta y 0 assíntota mas não passará por ela Da mesma forma para valores de x muito grandes indo para encontraremos valores cada vez maiores também indo para 123 MATEMÁTICA 2 fx 2 4x Primeiramente separaremos os valores de a b c e m fx c b amx fx 2 4x Comparando com a expressão completa temos a 4 b 2 c 0 e m 1 Vejamos o que o valor de b 2 alterase no gráfico da função Para a construção do gráfico atribuiremos valores para x e calcularemos fx escolhendo alguns valores para x temos Tabela 23 x y 24x xy 2 2 1 f 2 2 4 8 1 2 8 1 1 1 f 1 2 4 2 1 1 2 0 f0 2 40 2 02 1 f1 2 41 8 18 2 f2 2 42 32 232 Resolvendo f2 temos pela propriedade de potência 2 2 1 1 1 f 2 2 4 2 2 16 8 4 Note que é possível escolher quaisquer outros valores para x e o gráfico encontrado será o mesmo Colocando os pontos encontrados no sistema cartesiano temos a figura a seguir 124 Unidade III y 2 4 02 32 8 2 1 1 2 x y 0 assíntota horizontal 0 y Figura 56 Observação O corte no eixo y da função fx 4x é o ponto 01 já o corte no eixo y da função fx 24x é o ponto 02 mas não alterará o fato de que o gráfico não corta o eixo x sua assíntota é o eixo x 3 fx 24x Primeiramente separaremos os valores de a b c e m fx c b amx fx 24x comparando com a expressão completa temos a 4 b 2 c 0 e m 1 Para a construção do gráfico atribuiremos valores para x e calcularemos fx escolhendo alguns valores para x temos Tabela 24 x y 2 4x xy 2 2 1 f 2 2 4 8 2 1 8 1 1 1 f 1 2 4 2 1 1 2 0 f0 240 2 02 1 f1 241 8 18 2 f2 242 32 232 125 MATEMÁTICA Resolvendo f2 temos pela propriedade de potência 2 2 2 1 f 2 2 4 8 4 Colocando os pontos encontrados no sistema cartesiano temos a figura a seguir 2 1 0 1 02 8 32 y 2 4x y 0 assíntota horizontal y 2 x Figura 57 Note que novamente o gráfico não corta o eixo x tem assíntota y 0 e o ponto 02 onde o eixo y é cortado 4 fx 3 4x Primeiramente separaremos os valores de a b c e m fx c b amx fx 3 4x Comparando com a expressão completa temos a 4 b 1 c 0 e m 1 Para a construção do gráfico atribuiremos valores para x e calcularemos fx escolhendo alguns valores para x temos Tabela 25 x y 3 4x xy 2 f2 3 42 306 2 306 1 f1 3 41 325 1 325 0 f0 3 40 4 0 4 1 f1 3 41 7 1 7 2 f2 3 42 19 2 19 126 Unidade III Resolvendo f2 temos pela propriedade de potência 2 2 1 1 f 2 3 4 3 3 306 16 4 Lembrete Note que é possível escolher quaisquer outros valores para x e o gráfico encontrado será o mesmo Colocando os pontos encontrados no sistema cartesiano temos a figura a seguir 19 y 0 4 2 1 0 1 2 x 7 3 y 3 4x y 3 assíntota horizontal Figura 58 Observação Note que agora a assíntota não é mais o eixo x ela é a reta y 3 5 fx 3 4x Primeiramente separaremos os valores de a b c e m fx c bamx fx 3 4x comparando com a expressão completa temos a 4 b 1 c 3 e m 1 127 MATEMÁTICA Para a construção do gráfico atribuiremos valores para x e calcularemos fx escolhendo alguns valores para x temos Tabela 26 x y 3 4x xy 2 f2 3 42 293 2 29 1 f1 3 41 275 1 27 0 f0 3 40 2 0 2 1 f1 3 41 1 1 1 2 f2 3 42 13 2 13 Resolvendo f2 temos pela propriedade de potência 2 2 1 1 f 2 3 4 3 3 293 16 4 Colocando os pontos encontrados no sistema cartesiano temos a figura a seguir 13 0 1 1 1 2 x y 3 4x y 3 assíntota horizontal 2 2 3 y Figura 59 6 fx 42x Primeiramente vamos separar os valores de a b c e m fx c b amx fx 42x 128 Unidade III Comparando com a expressão completa temos a 4 b 1 c 0 e m 2 Para a construção do gráfico atribuiremos valores para x e calcularemos fx escolhendo alguns valores para x temos Tabela 27 x y 42x xy 2 2 2 4 1 1 f 2 4 256 4 2 0003 1 2 1 2 1 1 f 1 4 16 4 1 006 0 f0 420 1 0 1 1 f1 421 16 1 16 2 f2 422 44 256 2 256 Resolvendo f2 temos pela propriedade de potência 2 2 4 1 1 f 2 4 0003 256 4 Colocando os pontos encontrados no sistema cartesiano temos a figura a seguir 2 1 0 1 16 y x y 42x y 0 assíntota horizontal 01 2 Figura 60 Observando os gráficos podemos concluir que sendo fx c b am x temos Assíntota horizontal é a reta y c Crescimento e decrescimento 129 MATEMÁTICA mx m mx b 0 então y c b a é crescente a 1 e b 0 então y c b a é decrescente mx m mx b 0 então y c b a é decrescente 0 a 1 e b 0 então y c b a é crescente 53 Ampliando seu leque de exemplos Já vimos algumas propriedades de potência e a construção de gráficos agora estudaremos aplicações para a função exponencial Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado Exemplo 1 Capitalização contínua Capitalização composta é quando a taxa de juros incide sobre o principal corrigido de juros até o período anterior é o que se chama de juros sobre juros Para calcular o montante de uma aplicação com juros compostos usamos a fórmula M C01in sendo M o montante capital após aplicação C0 ou C0 capital inicial i taxa de juros por período em decimal n período de aplicação Se aplicamos R 50000 com taxa de juros de 8 ao ano após 4 anos quanto teremos aproximadamente Solução Há aqui um problema de capitalização composta para determinar quanto teremos após 4 anos devemos utilizar a fórmula de juro composto Segundo o enunciado temos Capital inicial C0 500 130 Unidade III taxa de juros por período i 8 ao ano isto é i 008 aa período em anos n Substituindo na fórmula de juro composto temos M C01in M 500 1 008n Como queremos o montante M após 4 anos de aplicação devemos substituir n por 4 na expressão assim M 500 1 0084 M 500 1084 M 68024448 Teremos após 4 anos aproximadamente R 68024 Note que se no cálculo da potência forem utilizadas somente 2 casas decimais o resultado encontrado será R 68000 assim quanto mais casas decimais forem usadas mais precisa será sua resposta Exemplo 2 Cultura de bactérias O crescimento ou decrescimento de alguns fenômenos da natureza são expressos por funções exponenciais Bactérias em geral tem crescimento exponencial Vejamos a seguinte situação Sob determinadas condições uma cultura de bactérias dobra seu número a cada hora Inicialmente existem 100 bactérias pedese a escreva a expressão que indica o número de bactérias em função do tempo em horas b determine o número de bactérias após 7 horas Solução a Para determinar a expressão que indica o número de bactérias em um tempo t qualquer escreveremos a função para alguns valores específicos e observando o seu comportamento encontraremos um padrão Estudaremos o comportamento da cultura de bactérias nos tempos 0h 1h 2h 3h e verificaremos se já encontramos um padrão 131 MATEMÁTICA Inicialmente temos N0 100 bactérias a cada hora dobra o número assim podemos escrever Tabela 28 thoras N nº bactérias 0 N0 100 1 N1 2 N0 2100 2 N2 2 N1 22100 22100 3 N3 2 N2 222100 23100 Note que se efetuamos os cálculos fica mais difícil procurar o padrão em geral as contas a serem feitas ficam só indicadas Observando os cálculos feitos para os períodos indicados percebemos o padrão para nossa função Nt 2t100 b Para determinar o número de bactérias após 7 horas basta substituir t 7 na expressão encontrada para N assim N7 27100 N7 12800 bactérias Após 7 horas teremos 12800 bactérias Observação O processo de procurar um padrão para a expressão da função é usado em várias situações em alguns casos pode ser necessário o cálculo para mais pontos até que se encontre um padrão Exemplo 3 Certa cultura de bactérias tem inicialmente 1000 bactérias Após 5 minutos passa a ter 3000 bactérias O crescimento das bactérias obedece à expressão Pt P0 ek t sendo P número de bactérias t tempo em horas k constante 132 Unidade III Determine quantas bactérias existirão em 1 hora Solução Segundo o enunciado temos P0 1000 t0 0 t 5 min 1 12 hora 1 P 3000 12 Substituindo na fórmula temos Pt P0 ek t 1 k12 1 P 1000 e 12 k 12 3000 1000 e k 12 3000 e 1000 k e12 3 Queremos calcular o número de bactérias após 1 hora isto é P1 P1 1000 ek1 Precisamos encontrar o valor de ek1 e sabemos que k e12 3 reescreveremos a expressão ek1 usando propriedade de potência 12 k k1 12 e e 133 MATEMÁTICA Assim temos 12 k k1 12 12 e e 3 531411 Voltando para P1 há P1 1000 5314111 531411000 Após 1 hora teremos 531411000 bactérias Exemplo 4 Certas substâncias se decompõem em padrão exponencial O tempo necessário para que a massa de certa substância seja reduzida à metade é chamada de meiavida P a cada período de tempo P a quantidade de material radioativo cai à metade A função que relaciona a quantidade de material existente com a quantidade inicial é a função exponencial t P 0 1 Nt N 2 sendo N0 ou N0 quantidade inicial de material radioativo t tempo decorrido P meiavida do material radioativo Radiofármacos são substâncias químicas que possuem algum elemento radioativo usados na medicina nuclear em diagnósticos e em tratamentos Entre os elementos radioativos mais usados injetados em pacientes que serão submetidos à tomografia está o carbono 11 que tem meiavida em torno de 20 minutos Determine após quantos minutos uma amostra de carbono 11 se reduz a 18 do que era inicialmente Solução Conforme o enunciado temos 134 Unidade III Meiavida P 20 min Quantidade inicial de carbono 11 N0 1 Quantidade final Nt 1 8 Substituindo na expressão que dá a quantidade de material restante após determinado tempo t P 0 1 Nt N 2 t 20 1 1 1 8 2 t 3 20 1 1 2 2 Igualando os expoentes t 3 20 t 60 min Exemplo 5 Em pediatria o modelo de JenssBayley é uma fórmula utilizada para avaliar a altura de uma criança em idade préescolar A fórmula para a altura hx é dada por 3261 0993 x hx 79041 639 x e sendo altura em centímetros hx idade em anos x com 1 x 6 4 135 MATEMÁTICA Temos também uma expressão para a taxa de crescimento com 1 x 6 4 dada por vx 639 0993 e32610993x Baseado no modelo de JenssBayley determine qual a altura e a taxa de variação para uma criança com 2 anos Solução Conforme o enunciado devemos utilizar o modelo de JenssBayley para x 2 Assim temos h2 79041 639 2 e326109932 h2 79041 1278 e1275 h2 8824 cm A altura aproximada aos 2 anos será de 8824 cm Para determinar a taxa de crescimento substituiremos x 2 na expressão vx 639 0993 e32610993x v2 639 0993 e326109932 v2 639 0993 e1275 v2 994 cmano A taxa de variação aos 2 anos é de 994 cmano Exemplo 6 Uma função da forma Qt B A e k t onde A B e k são constantes é chamada de curva de aprendizado recebe este nome pois essas funções descrevem a relação entre o tempo de experiência e a eficiência de um funcionário Uma indústria afirma que após t meses de trabalho um funcionário consegue montar Qt 7 4 e 03t peças por hora 136 Unidade III Pedese a quantas peças um funcionário inexperiente consegue montar b quantas peças um funcionário com 6 meses de experiência consegue montar Solução a o funcionário inexperiente tem t 0 meses de experiência logo substituindo na função temos Q0 7 4 e 03 0 Q0 7 4 1 Q0 7 4 Q0 3 Portanto um funcionário inexperiente monta 3 peças por hora b o funcionário com 6 meses tem t 6 meses de experiência logo substituindo na função temos Q6 7 4 e 03 6 Q6 7 401653 Q0 7 06612 Q0 633 Ele monta aproximadamente 6 peças por hora 6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA John Napier 15501617 descobriu os logaritmos quando procurava métodos para agilizar o cálculo em astronomia e navegação Em 1914 publicou Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio Descrição da Maravilhosa Regra de Logaritmos em que dava a descrição de logaritmos tabelas e regras para seu uso Atualmente usamos calculadoras para fazer cálculos com logaritmos Antes de iniciarmos o estudo das funções logarítmicas relembraremos algumas propriedades e a definição de logaritmo 137 MATEMÁTICA Saiba mais Para saber mais sobre Napier e os logaritmos leia BOYER C B História da matemática 2 ed São Paulo Edgard Blucher 1996 61 Logaritmo definição e propriedades Dados dois números a e b positivos a 1 definimos logaritmo de b na base a como b x a x a b log Temos também o logaritmo natural ou logaritmo neperiano nome dado em homenagem ao matemático Napier em que a base utilizada é e e número de Euler número irracional com valor aproximado de 2718281 b x e x e b log Normalmente utilizamos a notação específica para logaritmo neperiano Ln b assim temos Ln b x ex b Observação Quando utilizamos base 10 para o logaritmo dizemos que o sistema é de logaritmos decimais e quando utilizamos base e falamos que o sistema é de logaritmos neperianos ou naturais Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado Exemplo Calcular a 25 5 x log Pela definição temos 138 Unidade III 25 x x 2 5 x 5 25 5 5 log Usando a propriedade de potência concluímos que x 2 b 16 1 4 x log Pela definição temos x 16 1 4 1 x 16 4 log Usando a propriedade de potência temos x 1 x x 2 1 16 4 16 4 4 4 Comparando os expoentes concluímos que x 2 logo x 2 c 1 7 x log Pela definição temos 1 x x 0 7 x 7 1 7 7 log Comparando os expoentes temos x 0 d Ln e2 x Pela definição temos Ln e2 x ex e2 Comparando os expoentes temos x 2 Propriedades 1 1 a log 0 139 MATEMÁTICA 2 a a 1 log 3 ka a k k IR log 4 b aloga b 5 b c a a b c log log 6 logaritmo do produto bc b c a a a log log log 7 logaritmo do quociente b b c c a a a log log log 8 logaritmo da potência bk b a a k log log 9 logaritmo da raiz n bm b a a m n log log 10 mudança de base da base a para a base c b b c a a c log log log As propriedades auxiliam na resolução de cálculos envolvendo logaritmo Vejamos alguns exemplos Exemplo 1 Determinar o valor de x nos logaritmos a 3 1000 4 x 4 log log Queremos determinar a base x do logaritmo Inicialmente calcularemos 3 4 log4 utilizando as propriedades temos 3 4 4 3 log Voltando ao enunciado 3 1000 4 x 4 log log 140 Unidade III 1000 x 3 log Pela definição x3 1000 x3 103 Como os expoentes são iguais usando propriedade de potência concluímos que x 10 b x x9 1 3 3 log log O primeiro passo para resolver o exercício é deixar os dois logaritmos na mesma base Assim x9 x9 3 1 13 3 3 log log log Calcularemos 13 log3 utilizando as propriedades temos 13 c c 1 3 1 c 3 3 3 c 1 3 log Voltando à expressão temos x9 x 3 3 1 log log x x9 3 3 log log x 1 x9 3 3 log log 1 x x 9 141 MATEMÁTICA 1 x x 9 x2 9 x 3 Note que x 3 não serve pois por definição x 0 logo temos x 3 62 Função logarítmica Uma função é chamada de logarítmica se for do tipo m x n a y c b log sendo a 0 a 1 b 0 c qualquer e m x n 0 Domínio Condição de existência do logaritmo n mx n 0 mx n x m Df x IRmx n 0 ou f n D x IR x m Exemplos Determinar o domínio das funções logarítmicas 2x f 3 a y 2 D x IR x 0 log 2 x1 f 2 b y 3 D x IR2x 1 0 log 1 2x 1 0 2x 1 x 2 Assim f 1 D x IR x 2 x 7 c y 4 1log Df x Rx 0 142 Unidade III 621 Gráfico Geralmente construímos o gráfico de uma função utilizando tabela de pontos O gráfico será uma curva suave não utilize segmentos de reta para unir os pontos encontrados Exemplos Construir o gráfico das funções logarítmicas 1 x y log3 Primeiramente separaremos os valores de a b c m e n m xn a y c b log x y log3 comparando com a expressão completa temos a 3 b 1 c 0 m 1 e n 0 Para a construção do gráfico atribuiremos valores para x e calcularemos fx escolhendo alguns valores para x temos Tabela 29 x x y log3 xy 1 9 1 9 3 f 1 2 9 log 1 2 9 1 3 1 3 3 f 1 1 3 log 1 1 3 1 1 3 f1 0 log 10 3 3 3 f3 1 log 31 9 9 3 f9 2 log 92 143 MATEMÁTICA Resolvendo 1 f 9 temos pela propriedade de potência 1 c c 2 9 3 1 1 f c 3 3 3 c 2 9 9 log Substituindo os valores no plano cartesiano temos o gráfico na figura a seguir y logx 3 y x 0 assíntota vertical 2 0 1 1 2 1 3 9 x 19 13 Figura 61 Note que quando os valores de x se aproximam de zero pelo lado positivo os valores de y ficam cada vez mais negativos tendem para como x 0 o gráfico não corta o eixo y Neste exemplo o eixo y é uma assíntota vertical isto é a reta x 0 é assíntota 2 x y log13 Primeiramente separaremos os valores de a b c m e n m x n a y c b log x y log13 Comparando com a expressão completa temos a 13 b 1 c 0 m 1 e n 0 144 Unidade III Para a construção do gráfico atribuiremos valores para x e calcularemos fx escolhendo alguns valores para x temos Tabela 30 x x y log13 xy 1 9 1 9 13 f 1 2 9 log 12 9 1 3 1 3 13 f 1 1 3 log 11 3 1 1 13 f1 0 log 10 3 3 13 f3 1 log 31 9 9 13 f9 2 log 92 Resolvendo 1 f 9 temos pela propriedade de potência c c 2 1 9 13 1 1 1 1 1 f c c 2 9 3 9 3 3 log Substituindo os valores no plano cartesiano temos o gráfico a seguir y logx 13 y 2 0 1 1 3 9 x 19 13 x 0 assíntota vertical 1 2 Figura 62 145 MATEMÁTICA Lembrete Quando os valores de x se aproximam de zero pelo lado positivo os valores de y ficam cada vez maiores tendem para como x 0 o gráfico não corta o eixo y Neste exemplo o eixo y é uma assíntota vertical isto é a reta x 0 é assíntota 3 x2 2 y log Primeiramente separaremos os valores de a b c m e n m xn a y c b log x2 2 y log Comparando com a expressão completa temos a 2 b 1 c 0 m 1 e n 2 Para a construção do gráfico atribuiremos valores para x e calcularemos fx escolhendo alguns valores para x temos Tabela 31 x x2 2 y log xy 22 22 2 2 f22 232 log 22 23 23 23 2 2 f23 1 log 23 1 3 3 2 2 f3 0 log 30 4 2 2 f4 1 log 4 1 6 6 2 4 f6 2 log 6 2 146 Unidade III Resolvendo f22 temos pela propriedade de potência 02 22 2 2 2 f 22 232 log log log Substituindo os valores no plano cartesiano temos o gráfico na figura a seguir 1 1 2 0 2 3 4 6 x y 2 x 2 assíntota vertical y logx2 3 Figura 63 Observando os gráficos podemos concluir que sendo m xn a y c b log temos Assíntota vertical é a reta n x m Crescimento e decrescimento mx n a mx n a b 0 então y c b é crescente a 1 e b 0 então y c b é decrescente log log mx n a mx n a b 0 então y c b é decrescente 0 a 1 e b 0 então y c b é crescente log log 147 MATEMÁTICA 63 Ampliando seu leque de exemplos Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado Exemplo 1 Para calcular o montante de uma aplicação com juros compostos usamos a fórmula M C01 in sendo M o montante capital após aplicação C0 capital inicial i taxa de juros por período em decimal n período de aplicação Se aplicamos R 50000 à taxa de juros de 8 ao ano após quanto tempo teremos aproximadamente R 92000 Solução Embora a fórmula a ser usada seja de uma exponencial para determinar o tempo de aplicação será necessário utilizar logaritmo Segundo o enunciado temos Capital inicial C0 500 Taxa de juros anual i 008 Montante M 920 Substituindo na fórmula de juros compostos M C01 in n 920 5001 008 148 Unidade III n 920 108 500 184 108n Aplicando Ln nos dois lados da igualdade vem n Ln184 Ln 108 Pela propriedade de logaritmo podemos escrever Ln184 nLn108 Ln184 n Ln108 n 792 Logo para ter aproximadamente R 92000 é preciso aplicar por 8 anos Observação Note que foi usado o logaritmo neperiano Ln para determinar o valor de n porém podemos utilizar o logaritmo em qualquer base As calculadoras trabalham com a base 10 logaritmo decimal ou base e logaritmo neperiano mas se usarmos a propriedade de mudança de base é possível trabalhar com qualquer outra base Exemplo 2 Cultura de bactérias O crescimento ou decrescimento de alguns fenômenos da natureza são expressos por funções exponenciais Bactérias em geral têm crescimento exponencial Vejamos a seguinte situação Sob determinadas condições uma cultura de bactérias dobra seu número a cada hora Inicialmente existem 100 bactérias sabemos que a expressão que dá o crescimento das bactérias em função do tempo é dada por Nt 2t N0 149 MATEMÁTICA Determine o tempo mínimo em horas para que se tenha mais de 4000 bactérias Solução Segundo o enunciado N0 100 queremos mais de 4000 bactérias assim devemos determinar o valor de t que satisfaz a condição 2n100 4000 Podemos resolver utilizando a desigualdade ou solucionar a equação igualdade e depois analisar a solução Nesse exemplo resolveremos dos dois modos para que se possa comparar e quando for preciso fazer esse tipo de cálculo novamente basta decidir qual processo é o mais conveniente 1º modo utilizando a desigualdade 2n 100 4000 n 4000 2 100 2n 40 Como 40 não pode ser escrito como potência de 2 será necessário utilizar logaritmo Nesse caso usaremos logaritmo decimal nos dois lados da desigualdade para determinar o valor de n assim Log 2n log 40 Pela propriedade de logaritmo temos n Log 2 log 40 Por ser uma inequação precisamos saber o sinal de Log 2 antes de dividir os dois lados por Log 2 Calculando temos log 2 03010 e log 40 16021 substituindo na inequação temos n 03010 16021 16021 n 03010 n 53226 150 Unidade III Como n 53226 horas teremos mais de 4000 bactérias após 6 horas 2º modo utilizando igualdade e depois analisando a solução encontrada 2n 100 4000 n 4000 2 100 2n 40 Como 40 não pode ser escrito como potência de 2 será necessário utilizar logaritmo Nesse caso usaremos logaritmo decimal nos dois lados da desigualdade para determinar o valor de n assim Log 2n log 40 Pela propriedade de logaritmo temos Log 2n log 40 Dividindo os dois lados da expressão por Log 2 vem Log 40 n Log 2 Calculando temos log 2 03010 e log 40 16021 substituindo na expressão 16021 n 03010 n 53226 horas Analisando a resposta concluímos que após 6 horas teremos mais de 4000 bactérias Observação Deu para notar que as duas resoluções são muito parecidas e com o mesmo nível de dificuldade Na inequação devese ter o cuidado de ao dividir pelo logaritmo calcular o seu valor antes e verificar seu sinal pois multiplicar uma inequação por número negativo inverte o sinal da desigualdade 151 MATEMÁTICA Exemplo 3 A forma comum dos átomos de carbono é o carbono12 mas existem outras na natureza dentre elas o carbono14 um isótopo raro que está presente nos seres vivos A quantidade encontrada em cada ser permanece constante durante sua vida Usase o C14 para determinar a idade estimada de fósseis pois com a morte o nível de C14 decai A meiavida do C14 é de 5730 anos A expressão que dá o decaimento da atividade radioativa do C14 com o tempo pós morte é t 5730 0 1 At A 2 sendo A0 quantidade de C14 no organismo vivo t tempo decorrido em anos após a morte Um fóssil encontrado foi levado a um laboratório para análise a quantidade de radiações por grama hora emitida pelo fóssil foi 10 radiações por gramahora e sabendo que o animal vivo emite 896 radiações por gramahora determine a idade aproximada do fóssil Solução Pelo enunciado temos A0 896 radiações por gramahora At 10 radiações por gramahora Substituindo na fórmula t 5730 0 1 At A 2 t 5730 1 10 896 2 152 Unidade III t 5730 10 1 896 2 t 5730 1 00111 2 Aplicando o logaritmo neperiano nos dois lados da expressão temos t 5730 1 Ln 00111 Ln 2 Utilizando as propriedades de logaritmo temos t 1 Ln 00111 5730 Ln 2 t Ln 00111 1 5730 Ln 2 t 45008 5730 06931 t 64937 5730 t 37209037 anos O fóssil tem aproximadamente 37209 anos Exemplo 4 Se a população de uma cidade tem crescimento de 31 ao ano em quanto tempo a população terá triplicado se a taxa de crescimento for mantida Sabemos que a expressão que dá a população em função do tempo é dada por Pn P0 1in 153 MATEMÁTICA onde Pn indica a população ao final de n anos P0 indica a população inicial i taxa de crescimento anual Solução Segundo o enunciado temos P0 população inicial i 31 isto é i 0031 Pn 3 P0 Na fórmula temos n n 0 n 0 P P 1 0031 P 3P Daí teremos 3 P0 P0 1 0031n Dividindo os dois lados por P0 vem 3 1 0031n Utilizando logaritmo nos dois lados da equação Log 3 Log 1 0031n Pelas propriedades de logaritmo Log 3 n Log 1 0031 Log 3 n Log 1031 154 Unidade III 04771 n 00133 n 3587 A população triplicará em aproximadamente 36 anos Resumo Estudamos as funções exponenciais e as funções logarítmicas Foram apresentadas aplicações em várias áreas como problemas de crescimento populacional datação de carbono cultura de bactérias entre outros Antes de demonstrar a função exponencial foi visto o conceito de potenciação vejamos agora alguns itens importantes sobre este teor n inteiro e n 0 n n vezes a a a a a n racional e n 0 isto é n é do tipo p n q com p e q inteiros e maiores que zero então p q n p q a a a Vimos também as propriedades de potência úteis para resolver problemas envolvendo funções exponenciais Demonstraremos algumas delas para isso consideramos a b 0 n m 0 n e m inteiros 1 a0 1 2 n n 1 a a 3 an am anm 4 n n m m a a a 5 anm anm 6 n n n a a b b Escrevemos a função exponencial de base a sendo a 0 e a 1 b 0 e m 0 como fx c b amx 155 MATEMÁTICA Para a construção do gráfico de uma função exponencial temos algumas características importantes ele sempre terá assíntota horizontal que será a reta y c e o seu crescimento dependerá tanto do valor de am como do sinal de b A fim de determinarmos se a função é crescente ou decrescente devemos analisar o seguinte mx m mx b 0 então y c b a é crescente a 1 e b 0 então y c b a é decrescente mx m mx b 0 então y c b a é decrescente 0 a 1 e b 0 então y c b a é crescente Antes da função logarítmica foi apresentado o conceito de logaritmo sua definição depende do conceito de potenciação b x a x a b log Vimos também o logaritmo neperiano logaritmo na base e Ln b x ex b logaritmo neperiano ou natural Foram estudadas ainda algumas propriedades de logaritmo úteis para a resolução de problemas envolvendo funções exponenciais e logarítmicas Certas delas constam na sequência 1 log1 a 0 2 loga a 1 3 ka a k k IR log 4 b aloga b 5 logb a logc a b c 6 logaritmo do produto logbc a logb a logc a 7 logaritmo do quociente b b c c a a a log log log 8 logaritmo da potência bk b a a k log log 156 Unidade III 9 logaritmo da raiz n m b b a a m n log log 10 mudança de base da base a para a base c b b c a a c log log log A função logarítmica y c b logmxn a sendo a 0 a 1 b 0 c qualquer e m x n 0 isto é só pode ser calculada se mx n 0 assim o domínio da função será Df x IR mx n 0 ou f n D x IR x m Para a construção do gráfico de uma função logarítmica temos algumas características importantes o gráfico sempre terá assíntota vertical que será a reta n x m e o seu crescimento dependerá tanto do valor de a e do sinal de b Vejamos a seguir como determinar se a função é crescente ou decrescente mx n a mx n a b 0 então y c b é crescente a 1 e b 0 então y c b é decrescente log log mx n a mx n a b 0 então y c b é decrescente 0 a 1 e b 0 então y c b é crescente log log Exercícios Questão 1 Para saldar uma dívida o Sr Juroquepago dono de uma pequena mercearia tomou emprestado do Banco Deusmeacuda a quantia de R 5000000 O Sr Juroquepago informou ao gerente do banco Sr Tetaxopracaramba que conseguiria pagar a dívida totalmente após um período de seis meses O gerente do banco informou ao Sr Juroquepago que os juros a serem pagos seriam no regime de juros compostos de 1 ao mês capitalizados mensalmente e que para essa transação ser efetivada ele deveria assinar uma nota promissória com vencimento para seis meses Nessa transação o valor da promissória é A R 162764 157 MATEMÁTICA B R 100000 C R 68000 D R 50000 E R 71682 Resposta correta alternativa E Considere n M C 1 i em que M montante C capital i taxa de juros na forma decimal n número de períodos ln 50000 1082 ln101 001 e1118 71682 e12 162764 ln12 248 ln001 46 e92 100000 Resolução da questão n M C 1 i 36 M 50000 1 001 158 Unidade III 36 ln M ln 50000 1 001 ln M ln 50000 36 ln 101 ln M 1082 36 001 ln M 1118 1118 M e M R 7168200 Questão 2 Uma empresa usina peças de ferro fundido que possui dureza superficial de 207 HB com ferramentas de metal duro que permitem uma velocidade de corte de 100 mmin Para esta operação o tempo entre duas afiações é determinado pela expressão de Taylor 1n t v c C T v Na expressão de Taylor vc é a velocidade de corte dada em m min Tv é o tempo efetivo de corte entre duas afiações sucessivas tempo de vida da ferramenta em minutos Ct é uma constante cujo valor depende de outras variáveis oriundas da máquina da ferramenta e da peça seu valor é numericamente igual à velocidade de corte que dá à ferramenta a vida de um minuto e n é um expoente experimental Um novo fornecedor de ferramentas está propondo o uso de seus produtos e ofertando dois tipos de ferramenta que sem que a velocidade de corte atualmente usada seja alterada as constantes Ct e o expoente n são Produto a Produto b Ct 380 Ct 250 n 03 n 02 Considerando a velocidade de corte c m v 100min assinale a alternativa correta A Os produtos a e b têm um tempo efetivo de corte entre duas afiações sucessivas de 143 h B Os produtos a e b têm um tempo efetivo de corte entre duas afiações sucessivas de 163 h 159 MATEMÁTICA C O produto a tem um tempo efetivo de corte entre duas afiações sucessivas de 143 h e o produto b de 163 h D O produto a tem um tempo efetivo de corte entre duas afiações sucessivas de 163 h e o produto b de 143 h E O produto a tem um tempo efetivo de corte entre duas afiações sucessivas de 163 h e o produto b de 113 h Resolução desta questão na plataforma
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118 Unidade III Unidade III 5 FUNÇÃO EXPONENCIAL Funções exponenciais são utilizadas em finanças investimentos disseminação de doenças taxas de juros prestações etc A datação por carbono técnica criada por W L Libby 19081980 prêmio Nobel de Química em 1960 por seus estudos com carbono 14 para a determinação de idade cronológica de artefatos orgânicos antigos é uma aplicação que utiliza função exponencial Saiba mais A fim de obter mais dados sobre datação por carbono 14 acesse SCHEELYBERT R Considerações sobre o método de datação pelo Carbono14 e alguns comentários sobre a datação de sambaquis Revista do Museu de Arqueologia e Etnologia v 9 p 297301 1999 Disponível em wwwrevistasuspbrrevmaearticleview109360 Acesso em 11 jan 2019 Antes de iniciarmos o estudo das funções exponenciais relembraremos algumas propriedades da potenciação 51 Potenciação definição e propriedades an Expoente Base Base a número real maior que zero isto é a 0 Expoente n temos algumas possibilidades para os valores de n a n inteiro e n 0 neste caso n n vezes a a a a a b n racional e n 0 isto é n é do tipo p n q com p e q inteiros e maiores que zero então 119 MATEMÁTICA p q n p q a a a Agora listaremos algumas propriedades de exponenciais para isso consideraremos a b 0 n m 0 n e m inteiros 1 a0 1 2 n n 1 a a 3 an am anm 4 n n m m a a a 5 anm anm 6 n n n a a b b Observação Podemos escrever que a0 1 pois a 0 Se a 0 então a expressão 00 é uma indeterminação Constam na sequência alguns exemplos para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado Determinar o valor de x a 3x 81 Fatorando 81 3x 81 3x 34 x 4 b 3x 2 35 120 Unidade III Utilizando as propriedades de potência 3x 2 35 x 2 5 x 5 2 x 3 c 44x 42 x 3 Utilizando as propriedades de potência 44x 42 x 3 4x 1 42 x 3 Igualando os expoentes x 1 2x 3 x 2 x 3 1 x 2 Multiplicando os dois lados da equação por 1 x 2 Essas propriedades são úteis quando trabalharmos com as funções exponenciais 52 Função exponencial Agora definiremos a função exponencial de base a sendo a 0 e a 1 fx c bamx sendo a 0 a 1 b 0 e m 0 Observação Os valores de b e de m não podem ser nulos pois transformariam a função em função constante eliminando a exponencial 121 MATEMÁTICA 521 Gráfico O gráfico de uma função exponencial é uma curva que pode ser determinada através da tabela de pontos Uma característica importante do gráfico da função exponencial é o fato de existir uma reta horizontal chamada assíntota que limita os valores de fx O gráfico chega muito próximo desta reta porém não cortará a reta Vejamos algumas representações do gráfico da exponencial e sua assíntota y y 0 0 x x Figura 54 Note que nos dois gráficos há uma reta tracejada que é a assíntota a equação da reta dependerá do valor de c na expressão fx c b amx A equação da assíntota será sempre y c Vejamos agora alguns exemplos de gráficos de função exponencial Construir o gráfico das funções exponenciais 1 fx 4x Primeiramente separaremos os valores de a b c e m fx c bamx fx 4x comparando com a expressão completa temos a 4 b 1 c 0 e m 1 Para a construção do gráfico atribuiremos valores para x e calcularemos fx escolhendo alguns deles para x 122 Unidade III Tabela 22 x y 4x xy 2 2 1 f 2 4 16 1 216 1 1 1 f 1 4 4 1 14 0 f0 40 1 01 1 f1 41 4 14 2 f2 42 16 216 Resolvendo f2 temos pela propriedade de potência 2 2 1 1 f 2 4 16 4 Para efetuar os cálculos da função no valor escolhido devemos utilizar as propriedades de potência Note também que é possível escolher quaisquer outros valores para fazer os cálculos Colocando os pontos encontrados no sistema cartesiano temos a figura a seguir y 4x 16 4 1 2 1 1 2 x y 0 assíntota horizontal 0 y Figura 55 Observação Note que se for calculado fx para valores menores que 2 os resultados encontrados serão próximos de zero porém nunca iguais a zero O gráfico chegará próximo da reta y 0 assíntota mas não passará por ela Da mesma forma para valores de x muito grandes indo para encontraremos valores cada vez maiores também indo para 123 MATEMÁTICA 2 fx 2 4x Primeiramente separaremos os valores de a b c e m fx c b amx fx 2 4x Comparando com a expressão completa temos a 4 b 2 c 0 e m 1 Vejamos o que o valor de b 2 alterase no gráfico da função Para a construção do gráfico atribuiremos valores para x e calcularemos fx escolhendo alguns valores para x temos Tabela 23 x y 24x xy 2 2 1 f 2 2 4 8 1 2 8 1 1 1 f 1 2 4 2 1 1 2 0 f0 2 40 2 02 1 f1 2 41 8 18 2 f2 2 42 32 232 Resolvendo f2 temos pela propriedade de potência 2 2 1 1 1 f 2 2 4 2 2 16 8 4 Note que é possível escolher quaisquer outros valores para x e o gráfico encontrado será o mesmo Colocando os pontos encontrados no sistema cartesiano temos a figura a seguir 124 Unidade III y 2 4 02 32 8 2 1 1 2 x y 0 assíntota horizontal 0 y Figura 56 Observação O corte no eixo y da função fx 4x é o ponto 01 já o corte no eixo y da função fx 24x é o ponto 02 mas não alterará o fato de que o gráfico não corta o eixo x sua assíntota é o eixo x 3 fx 24x Primeiramente separaremos os valores de a b c e m fx c b amx fx 24x comparando com a expressão completa temos a 4 b 2 c 0 e m 1 Para a construção do gráfico atribuiremos valores para x e calcularemos fx escolhendo alguns valores para x temos Tabela 24 x y 2 4x xy 2 2 1 f 2 2 4 8 2 1 8 1 1 1 f 1 2 4 2 1 1 2 0 f0 240 2 02 1 f1 241 8 18 2 f2 242 32 232 125 MATEMÁTICA Resolvendo f2 temos pela propriedade de potência 2 2 2 1 f 2 2 4 8 4 Colocando os pontos encontrados no sistema cartesiano temos a figura a seguir 2 1 0 1 02 8 32 y 2 4x y 0 assíntota horizontal y 2 x Figura 57 Note que novamente o gráfico não corta o eixo x tem assíntota y 0 e o ponto 02 onde o eixo y é cortado 4 fx 3 4x Primeiramente separaremos os valores de a b c e m fx c b amx fx 3 4x Comparando com a expressão completa temos a 4 b 1 c 0 e m 1 Para a construção do gráfico atribuiremos valores para x e calcularemos fx escolhendo alguns valores para x temos Tabela 25 x y 3 4x xy 2 f2 3 42 306 2 306 1 f1 3 41 325 1 325 0 f0 3 40 4 0 4 1 f1 3 41 7 1 7 2 f2 3 42 19 2 19 126 Unidade III Resolvendo f2 temos pela propriedade de potência 2 2 1 1 f 2 3 4 3 3 306 16 4 Lembrete Note que é possível escolher quaisquer outros valores para x e o gráfico encontrado será o mesmo Colocando os pontos encontrados no sistema cartesiano temos a figura a seguir 19 y 0 4 2 1 0 1 2 x 7 3 y 3 4x y 3 assíntota horizontal Figura 58 Observação Note que agora a assíntota não é mais o eixo x ela é a reta y 3 5 fx 3 4x Primeiramente separaremos os valores de a b c e m fx c bamx fx 3 4x comparando com a expressão completa temos a 4 b 1 c 3 e m 1 127 MATEMÁTICA Para a construção do gráfico atribuiremos valores para x e calcularemos fx escolhendo alguns valores para x temos Tabela 26 x y 3 4x xy 2 f2 3 42 293 2 29 1 f1 3 41 275 1 27 0 f0 3 40 2 0 2 1 f1 3 41 1 1 1 2 f2 3 42 13 2 13 Resolvendo f2 temos pela propriedade de potência 2 2 1 1 f 2 3 4 3 3 293 16 4 Colocando os pontos encontrados no sistema cartesiano temos a figura a seguir 13 0 1 1 1 2 x y 3 4x y 3 assíntota horizontal 2 2 3 y Figura 59 6 fx 42x Primeiramente vamos separar os valores de a b c e m fx c b amx fx 42x 128 Unidade III Comparando com a expressão completa temos a 4 b 1 c 0 e m 2 Para a construção do gráfico atribuiremos valores para x e calcularemos fx escolhendo alguns valores para x temos Tabela 27 x y 42x xy 2 2 2 4 1 1 f 2 4 256 4 2 0003 1 2 1 2 1 1 f 1 4 16 4 1 006 0 f0 420 1 0 1 1 f1 421 16 1 16 2 f2 422 44 256 2 256 Resolvendo f2 temos pela propriedade de potência 2 2 4 1 1 f 2 4 0003 256 4 Colocando os pontos encontrados no sistema cartesiano temos a figura a seguir 2 1 0 1 16 y x y 42x y 0 assíntota horizontal 01 2 Figura 60 Observando os gráficos podemos concluir que sendo fx c b am x temos Assíntota horizontal é a reta y c Crescimento e decrescimento 129 MATEMÁTICA mx m mx b 0 então y c b a é crescente a 1 e b 0 então y c b a é decrescente mx m mx b 0 então y c b a é decrescente 0 a 1 e b 0 então y c b a é crescente 53 Ampliando seu leque de exemplos Já vimos algumas propriedades de potência e a construção de gráficos agora estudaremos aplicações para a função exponencial Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado Exemplo 1 Capitalização contínua Capitalização composta é quando a taxa de juros incide sobre o principal corrigido de juros até o período anterior é o que se chama de juros sobre juros Para calcular o montante de uma aplicação com juros compostos usamos a fórmula M C01in sendo M o montante capital após aplicação C0 ou C0 capital inicial i taxa de juros por período em decimal n período de aplicação Se aplicamos R 50000 com taxa de juros de 8 ao ano após 4 anos quanto teremos aproximadamente Solução Há aqui um problema de capitalização composta para determinar quanto teremos após 4 anos devemos utilizar a fórmula de juro composto Segundo o enunciado temos Capital inicial C0 500 130 Unidade III taxa de juros por período i 8 ao ano isto é i 008 aa período em anos n Substituindo na fórmula de juro composto temos M C01in M 500 1 008n Como queremos o montante M após 4 anos de aplicação devemos substituir n por 4 na expressão assim M 500 1 0084 M 500 1084 M 68024448 Teremos após 4 anos aproximadamente R 68024 Note que se no cálculo da potência forem utilizadas somente 2 casas decimais o resultado encontrado será R 68000 assim quanto mais casas decimais forem usadas mais precisa será sua resposta Exemplo 2 Cultura de bactérias O crescimento ou decrescimento de alguns fenômenos da natureza são expressos por funções exponenciais Bactérias em geral tem crescimento exponencial Vejamos a seguinte situação Sob determinadas condições uma cultura de bactérias dobra seu número a cada hora Inicialmente existem 100 bactérias pedese a escreva a expressão que indica o número de bactérias em função do tempo em horas b determine o número de bactérias após 7 horas Solução a Para determinar a expressão que indica o número de bactérias em um tempo t qualquer escreveremos a função para alguns valores específicos e observando o seu comportamento encontraremos um padrão Estudaremos o comportamento da cultura de bactérias nos tempos 0h 1h 2h 3h e verificaremos se já encontramos um padrão 131 MATEMÁTICA Inicialmente temos N0 100 bactérias a cada hora dobra o número assim podemos escrever Tabela 28 thoras N nº bactérias 0 N0 100 1 N1 2 N0 2100 2 N2 2 N1 22100 22100 3 N3 2 N2 222100 23100 Note que se efetuamos os cálculos fica mais difícil procurar o padrão em geral as contas a serem feitas ficam só indicadas Observando os cálculos feitos para os períodos indicados percebemos o padrão para nossa função Nt 2t100 b Para determinar o número de bactérias após 7 horas basta substituir t 7 na expressão encontrada para N assim N7 27100 N7 12800 bactérias Após 7 horas teremos 12800 bactérias Observação O processo de procurar um padrão para a expressão da função é usado em várias situações em alguns casos pode ser necessário o cálculo para mais pontos até que se encontre um padrão Exemplo 3 Certa cultura de bactérias tem inicialmente 1000 bactérias Após 5 minutos passa a ter 3000 bactérias O crescimento das bactérias obedece à expressão Pt P0 ek t sendo P número de bactérias t tempo em horas k constante 132 Unidade III Determine quantas bactérias existirão em 1 hora Solução Segundo o enunciado temos P0 1000 t0 0 t 5 min 1 12 hora 1 P 3000 12 Substituindo na fórmula temos Pt P0 ek t 1 k12 1 P 1000 e 12 k 12 3000 1000 e k 12 3000 e 1000 k e12 3 Queremos calcular o número de bactérias após 1 hora isto é P1 P1 1000 ek1 Precisamos encontrar o valor de ek1 e sabemos que k e12 3 reescreveremos a expressão ek1 usando propriedade de potência 12 k k1 12 e e 133 MATEMÁTICA Assim temos 12 k k1 12 12 e e 3 531411 Voltando para P1 há P1 1000 5314111 531411000 Após 1 hora teremos 531411000 bactérias Exemplo 4 Certas substâncias se decompõem em padrão exponencial O tempo necessário para que a massa de certa substância seja reduzida à metade é chamada de meiavida P a cada período de tempo P a quantidade de material radioativo cai à metade A função que relaciona a quantidade de material existente com a quantidade inicial é a função exponencial t P 0 1 Nt N 2 sendo N0 ou N0 quantidade inicial de material radioativo t tempo decorrido P meiavida do material radioativo Radiofármacos são substâncias químicas que possuem algum elemento radioativo usados na medicina nuclear em diagnósticos e em tratamentos Entre os elementos radioativos mais usados injetados em pacientes que serão submetidos à tomografia está o carbono 11 que tem meiavida em torno de 20 minutos Determine após quantos minutos uma amostra de carbono 11 se reduz a 18 do que era inicialmente Solução Conforme o enunciado temos 134 Unidade III Meiavida P 20 min Quantidade inicial de carbono 11 N0 1 Quantidade final Nt 1 8 Substituindo na expressão que dá a quantidade de material restante após determinado tempo t P 0 1 Nt N 2 t 20 1 1 1 8 2 t 3 20 1 1 2 2 Igualando os expoentes t 3 20 t 60 min Exemplo 5 Em pediatria o modelo de JenssBayley é uma fórmula utilizada para avaliar a altura de uma criança em idade préescolar A fórmula para a altura hx é dada por 3261 0993 x hx 79041 639 x e sendo altura em centímetros hx idade em anos x com 1 x 6 4 135 MATEMÁTICA Temos também uma expressão para a taxa de crescimento com 1 x 6 4 dada por vx 639 0993 e32610993x Baseado no modelo de JenssBayley determine qual a altura e a taxa de variação para uma criança com 2 anos Solução Conforme o enunciado devemos utilizar o modelo de JenssBayley para x 2 Assim temos h2 79041 639 2 e326109932 h2 79041 1278 e1275 h2 8824 cm A altura aproximada aos 2 anos será de 8824 cm Para determinar a taxa de crescimento substituiremos x 2 na expressão vx 639 0993 e32610993x v2 639 0993 e326109932 v2 639 0993 e1275 v2 994 cmano A taxa de variação aos 2 anos é de 994 cmano Exemplo 6 Uma função da forma Qt B A e k t onde A B e k são constantes é chamada de curva de aprendizado recebe este nome pois essas funções descrevem a relação entre o tempo de experiência e a eficiência de um funcionário Uma indústria afirma que após t meses de trabalho um funcionário consegue montar Qt 7 4 e 03t peças por hora 136 Unidade III Pedese a quantas peças um funcionário inexperiente consegue montar b quantas peças um funcionário com 6 meses de experiência consegue montar Solução a o funcionário inexperiente tem t 0 meses de experiência logo substituindo na função temos Q0 7 4 e 03 0 Q0 7 4 1 Q0 7 4 Q0 3 Portanto um funcionário inexperiente monta 3 peças por hora b o funcionário com 6 meses tem t 6 meses de experiência logo substituindo na função temos Q6 7 4 e 03 6 Q6 7 401653 Q0 7 06612 Q0 633 Ele monta aproximadamente 6 peças por hora 6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA John Napier 15501617 descobriu os logaritmos quando procurava métodos para agilizar o cálculo em astronomia e navegação Em 1914 publicou Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio Descrição da Maravilhosa Regra de Logaritmos em que dava a descrição de logaritmos tabelas e regras para seu uso Atualmente usamos calculadoras para fazer cálculos com logaritmos Antes de iniciarmos o estudo das funções logarítmicas relembraremos algumas propriedades e a definição de logaritmo 137 MATEMÁTICA Saiba mais Para saber mais sobre Napier e os logaritmos leia BOYER C B História da matemática 2 ed São Paulo Edgard Blucher 1996 61 Logaritmo definição e propriedades Dados dois números a e b positivos a 1 definimos logaritmo de b na base a como b x a x a b log Temos também o logaritmo natural ou logaritmo neperiano nome dado em homenagem ao matemático Napier em que a base utilizada é e e número de Euler número irracional com valor aproximado de 2718281 b x e x e b log Normalmente utilizamos a notação específica para logaritmo neperiano Ln b assim temos Ln b x ex b Observação Quando utilizamos base 10 para o logaritmo dizemos que o sistema é de logaritmos decimais e quando utilizamos base e falamos que o sistema é de logaritmos neperianos ou naturais Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado Exemplo Calcular a 25 5 x log Pela definição temos 138 Unidade III 25 x x 2 5 x 5 25 5 5 log Usando a propriedade de potência concluímos que x 2 b 16 1 4 x log Pela definição temos x 16 1 4 1 x 16 4 log Usando a propriedade de potência temos x 1 x x 2 1 16 4 16 4 4 4 Comparando os expoentes concluímos que x 2 logo x 2 c 1 7 x log Pela definição temos 1 x x 0 7 x 7 1 7 7 log Comparando os expoentes temos x 0 d Ln e2 x Pela definição temos Ln e2 x ex e2 Comparando os expoentes temos x 2 Propriedades 1 1 a log 0 139 MATEMÁTICA 2 a a 1 log 3 ka a k k IR log 4 b aloga b 5 b c a a b c log log 6 logaritmo do produto bc b c a a a log log log 7 logaritmo do quociente b b c c a a a log log log 8 logaritmo da potência bk b a a k log log 9 logaritmo da raiz n bm b a a m n log log 10 mudança de base da base a para a base c b b c a a c log log log As propriedades auxiliam na resolução de cálculos envolvendo logaritmo Vejamos alguns exemplos Exemplo 1 Determinar o valor de x nos logaritmos a 3 1000 4 x 4 log log Queremos determinar a base x do logaritmo Inicialmente calcularemos 3 4 log4 utilizando as propriedades temos 3 4 4 3 log Voltando ao enunciado 3 1000 4 x 4 log log 140 Unidade III 1000 x 3 log Pela definição x3 1000 x3 103 Como os expoentes são iguais usando propriedade de potência concluímos que x 10 b x x9 1 3 3 log log O primeiro passo para resolver o exercício é deixar os dois logaritmos na mesma base Assim x9 x9 3 1 13 3 3 log log log Calcularemos 13 log3 utilizando as propriedades temos 13 c c 1 3 1 c 3 3 3 c 1 3 log Voltando à expressão temos x9 x 3 3 1 log log x x9 3 3 log log x 1 x9 3 3 log log 1 x x 9 141 MATEMÁTICA 1 x x 9 x2 9 x 3 Note que x 3 não serve pois por definição x 0 logo temos x 3 62 Função logarítmica Uma função é chamada de logarítmica se for do tipo m x n a y c b log sendo a 0 a 1 b 0 c qualquer e m x n 0 Domínio Condição de existência do logaritmo n mx n 0 mx n x m Df x IRmx n 0 ou f n D x IR x m Exemplos Determinar o domínio das funções logarítmicas 2x f 3 a y 2 D x IR x 0 log 2 x1 f 2 b y 3 D x IR2x 1 0 log 1 2x 1 0 2x 1 x 2 Assim f 1 D x IR x 2 x 7 c y 4 1log Df x Rx 0 142 Unidade III 621 Gráfico Geralmente construímos o gráfico de uma função utilizando tabela de pontos O gráfico será uma curva suave não utilize segmentos de reta para unir os pontos encontrados Exemplos Construir o gráfico das funções logarítmicas 1 x y log3 Primeiramente separaremos os valores de a b c m e n m xn a y c b log x y log3 comparando com a expressão completa temos a 3 b 1 c 0 m 1 e n 0 Para a construção do gráfico atribuiremos valores para x e calcularemos fx escolhendo alguns valores para x temos Tabela 29 x x y log3 xy 1 9 1 9 3 f 1 2 9 log 1 2 9 1 3 1 3 3 f 1 1 3 log 1 1 3 1 1 3 f1 0 log 10 3 3 3 f3 1 log 31 9 9 3 f9 2 log 92 143 MATEMÁTICA Resolvendo 1 f 9 temos pela propriedade de potência 1 c c 2 9 3 1 1 f c 3 3 3 c 2 9 9 log Substituindo os valores no plano cartesiano temos o gráfico na figura a seguir y logx 3 y x 0 assíntota vertical 2 0 1 1 2 1 3 9 x 19 13 Figura 61 Note que quando os valores de x se aproximam de zero pelo lado positivo os valores de y ficam cada vez mais negativos tendem para como x 0 o gráfico não corta o eixo y Neste exemplo o eixo y é uma assíntota vertical isto é a reta x 0 é assíntota 2 x y log13 Primeiramente separaremos os valores de a b c m e n m x n a y c b log x y log13 Comparando com a expressão completa temos a 13 b 1 c 0 m 1 e n 0 144 Unidade III Para a construção do gráfico atribuiremos valores para x e calcularemos fx escolhendo alguns valores para x temos Tabela 30 x x y log13 xy 1 9 1 9 13 f 1 2 9 log 12 9 1 3 1 3 13 f 1 1 3 log 11 3 1 1 13 f1 0 log 10 3 3 13 f3 1 log 31 9 9 13 f9 2 log 92 Resolvendo 1 f 9 temos pela propriedade de potência c c 2 1 9 13 1 1 1 1 1 f c c 2 9 3 9 3 3 log Substituindo os valores no plano cartesiano temos o gráfico a seguir y logx 13 y 2 0 1 1 3 9 x 19 13 x 0 assíntota vertical 1 2 Figura 62 145 MATEMÁTICA Lembrete Quando os valores de x se aproximam de zero pelo lado positivo os valores de y ficam cada vez maiores tendem para como x 0 o gráfico não corta o eixo y Neste exemplo o eixo y é uma assíntota vertical isto é a reta x 0 é assíntota 3 x2 2 y log Primeiramente separaremos os valores de a b c m e n m xn a y c b log x2 2 y log Comparando com a expressão completa temos a 2 b 1 c 0 m 1 e n 2 Para a construção do gráfico atribuiremos valores para x e calcularemos fx escolhendo alguns valores para x temos Tabela 31 x x2 2 y log xy 22 22 2 2 f22 232 log 22 23 23 23 2 2 f23 1 log 23 1 3 3 2 2 f3 0 log 30 4 2 2 f4 1 log 4 1 6 6 2 4 f6 2 log 6 2 146 Unidade III Resolvendo f22 temos pela propriedade de potência 02 22 2 2 2 f 22 232 log log log Substituindo os valores no plano cartesiano temos o gráfico na figura a seguir 1 1 2 0 2 3 4 6 x y 2 x 2 assíntota vertical y logx2 3 Figura 63 Observando os gráficos podemos concluir que sendo m xn a y c b log temos Assíntota vertical é a reta n x m Crescimento e decrescimento mx n a mx n a b 0 então y c b é crescente a 1 e b 0 então y c b é decrescente log log mx n a mx n a b 0 então y c b é decrescente 0 a 1 e b 0 então y c b é crescente log log 147 MATEMÁTICA 63 Ampliando seu leque de exemplos Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado Exemplo 1 Para calcular o montante de uma aplicação com juros compostos usamos a fórmula M C01 in sendo M o montante capital após aplicação C0 capital inicial i taxa de juros por período em decimal n período de aplicação Se aplicamos R 50000 à taxa de juros de 8 ao ano após quanto tempo teremos aproximadamente R 92000 Solução Embora a fórmula a ser usada seja de uma exponencial para determinar o tempo de aplicação será necessário utilizar logaritmo Segundo o enunciado temos Capital inicial C0 500 Taxa de juros anual i 008 Montante M 920 Substituindo na fórmula de juros compostos M C01 in n 920 5001 008 148 Unidade III n 920 108 500 184 108n Aplicando Ln nos dois lados da igualdade vem n Ln184 Ln 108 Pela propriedade de logaritmo podemos escrever Ln184 nLn108 Ln184 n Ln108 n 792 Logo para ter aproximadamente R 92000 é preciso aplicar por 8 anos Observação Note que foi usado o logaritmo neperiano Ln para determinar o valor de n porém podemos utilizar o logaritmo em qualquer base As calculadoras trabalham com a base 10 logaritmo decimal ou base e logaritmo neperiano mas se usarmos a propriedade de mudança de base é possível trabalhar com qualquer outra base Exemplo 2 Cultura de bactérias O crescimento ou decrescimento de alguns fenômenos da natureza são expressos por funções exponenciais Bactérias em geral têm crescimento exponencial Vejamos a seguinte situação Sob determinadas condições uma cultura de bactérias dobra seu número a cada hora Inicialmente existem 100 bactérias sabemos que a expressão que dá o crescimento das bactérias em função do tempo é dada por Nt 2t N0 149 MATEMÁTICA Determine o tempo mínimo em horas para que se tenha mais de 4000 bactérias Solução Segundo o enunciado N0 100 queremos mais de 4000 bactérias assim devemos determinar o valor de t que satisfaz a condição 2n100 4000 Podemos resolver utilizando a desigualdade ou solucionar a equação igualdade e depois analisar a solução Nesse exemplo resolveremos dos dois modos para que se possa comparar e quando for preciso fazer esse tipo de cálculo novamente basta decidir qual processo é o mais conveniente 1º modo utilizando a desigualdade 2n 100 4000 n 4000 2 100 2n 40 Como 40 não pode ser escrito como potência de 2 será necessário utilizar logaritmo Nesse caso usaremos logaritmo decimal nos dois lados da desigualdade para determinar o valor de n assim Log 2n log 40 Pela propriedade de logaritmo temos n Log 2 log 40 Por ser uma inequação precisamos saber o sinal de Log 2 antes de dividir os dois lados por Log 2 Calculando temos log 2 03010 e log 40 16021 substituindo na inequação temos n 03010 16021 16021 n 03010 n 53226 150 Unidade III Como n 53226 horas teremos mais de 4000 bactérias após 6 horas 2º modo utilizando igualdade e depois analisando a solução encontrada 2n 100 4000 n 4000 2 100 2n 40 Como 40 não pode ser escrito como potência de 2 será necessário utilizar logaritmo Nesse caso usaremos logaritmo decimal nos dois lados da desigualdade para determinar o valor de n assim Log 2n log 40 Pela propriedade de logaritmo temos Log 2n log 40 Dividindo os dois lados da expressão por Log 2 vem Log 40 n Log 2 Calculando temos log 2 03010 e log 40 16021 substituindo na expressão 16021 n 03010 n 53226 horas Analisando a resposta concluímos que após 6 horas teremos mais de 4000 bactérias Observação Deu para notar que as duas resoluções são muito parecidas e com o mesmo nível de dificuldade Na inequação devese ter o cuidado de ao dividir pelo logaritmo calcular o seu valor antes e verificar seu sinal pois multiplicar uma inequação por número negativo inverte o sinal da desigualdade 151 MATEMÁTICA Exemplo 3 A forma comum dos átomos de carbono é o carbono12 mas existem outras na natureza dentre elas o carbono14 um isótopo raro que está presente nos seres vivos A quantidade encontrada em cada ser permanece constante durante sua vida Usase o C14 para determinar a idade estimada de fósseis pois com a morte o nível de C14 decai A meiavida do C14 é de 5730 anos A expressão que dá o decaimento da atividade radioativa do C14 com o tempo pós morte é t 5730 0 1 At A 2 sendo A0 quantidade de C14 no organismo vivo t tempo decorrido em anos após a morte Um fóssil encontrado foi levado a um laboratório para análise a quantidade de radiações por grama hora emitida pelo fóssil foi 10 radiações por gramahora e sabendo que o animal vivo emite 896 radiações por gramahora determine a idade aproximada do fóssil Solução Pelo enunciado temos A0 896 radiações por gramahora At 10 radiações por gramahora Substituindo na fórmula t 5730 0 1 At A 2 t 5730 1 10 896 2 152 Unidade III t 5730 10 1 896 2 t 5730 1 00111 2 Aplicando o logaritmo neperiano nos dois lados da expressão temos t 5730 1 Ln 00111 Ln 2 Utilizando as propriedades de logaritmo temos t 1 Ln 00111 5730 Ln 2 t Ln 00111 1 5730 Ln 2 t 45008 5730 06931 t 64937 5730 t 37209037 anos O fóssil tem aproximadamente 37209 anos Exemplo 4 Se a população de uma cidade tem crescimento de 31 ao ano em quanto tempo a população terá triplicado se a taxa de crescimento for mantida Sabemos que a expressão que dá a população em função do tempo é dada por Pn P0 1in 153 MATEMÁTICA onde Pn indica a população ao final de n anos P0 indica a população inicial i taxa de crescimento anual Solução Segundo o enunciado temos P0 população inicial i 31 isto é i 0031 Pn 3 P0 Na fórmula temos n n 0 n 0 P P 1 0031 P 3P Daí teremos 3 P0 P0 1 0031n Dividindo os dois lados por P0 vem 3 1 0031n Utilizando logaritmo nos dois lados da equação Log 3 Log 1 0031n Pelas propriedades de logaritmo Log 3 n Log 1 0031 Log 3 n Log 1031 154 Unidade III 04771 n 00133 n 3587 A população triplicará em aproximadamente 36 anos Resumo Estudamos as funções exponenciais e as funções logarítmicas Foram apresentadas aplicações em várias áreas como problemas de crescimento populacional datação de carbono cultura de bactérias entre outros Antes de demonstrar a função exponencial foi visto o conceito de potenciação vejamos agora alguns itens importantes sobre este teor n inteiro e n 0 n n vezes a a a a a n racional e n 0 isto é n é do tipo p n q com p e q inteiros e maiores que zero então p q n p q a a a Vimos também as propriedades de potência úteis para resolver problemas envolvendo funções exponenciais Demonstraremos algumas delas para isso consideramos a b 0 n m 0 n e m inteiros 1 a0 1 2 n n 1 a a 3 an am anm 4 n n m m a a a 5 anm anm 6 n n n a a b b Escrevemos a função exponencial de base a sendo a 0 e a 1 b 0 e m 0 como fx c b amx 155 MATEMÁTICA Para a construção do gráfico de uma função exponencial temos algumas características importantes ele sempre terá assíntota horizontal que será a reta y c e o seu crescimento dependerá tanto do valor de am como do sinal de b A fim de determinarmos se a função é crescente ou decrescente devemos analisar o seguinte mx m mx b 0 então y c b a é crescente a 1 e b 0 então y c b a é decrescente mx m mx b 0 então y c b a é decrescente 0 a 1 e b 0 então y c b a é crescente Antes da função logarítmica foi apresentado o conceito de logaritmo sua definição depende do conceito de potenciação b x a x a b log Vimos também o logaritmo neperiano logaritmo na base e Ln b x ex b logaritmo neperiano ou natural Foram estudadas ainda algumas propriedades de logaritmo úteis para a resolução de problemas envolvendo funções exponenciais e logarítmicas Certas delas constam na sequência 1 log1 a 0 2 loga a 1 3 ka a k k IR log 4 b aloga b 5 logb a logc a b c 6 logaritmo do produto logbc a logb a logc a 7 logaritmo do quociente b b c c a a a log log log 8 logaritmo da potência bk b a a k log log 156 Unidade III 9 logaritmo da raiz n m b b a a m n log log 10 mudança de base da base a para a base c b b c a a c log log log A função logarítmica y c b logmxn a sendo a 0 a 1 b 0 c qualquer e m x n 0 isto é só pode ser calculada se mx n 0 assim o domínio da função será Df x IR mx n 0 ou f n D x IR x m Para a construção do gráfico de uma função logarítmica temos algumas características importantes o gráfico sempre terá assíntota vertical que será a reta n x m e o seu crescimento dependerá tanto do valor de a e do sinal de b Vejamos a seguir como determinar se a função é crescente ou decrescente mx n a mx n a b 0 então y c b é crescente a 1 e b 0 então y c b é decrescente log log mx n a mx n a b 0 então y c b é decrescente 0 a 1 e b 0 então y c b é crescente log log Exercícios Questão 1 Para saldar uma dívida o Sr Juroquepago dono de uma pequena mercearia tomou emprestado do Banco Deusmeacuda a quantia de R 5000000 O Sr Juroquepago informou ao gerente do banco Sr Tetaxopracaramba que conseguiria pagar a dívida totalmente após um período de seis meses O gerente do banco informou ao Sr Juroquepago que os juros a serem pagos seriam no regime de juros compostos de 1 ao mês capitalizados mensalmente e que para essa transação ser efetivada ele deveria assinar uma nota promissória com vencimento para seis meses Nessa transação o valor da promissória é A R 162764 157 MATEMÁTICA B R 100000 C R 68000 D R 50000 E R 71682 Resposta correta alternativa E Considere n M C 1 i em que M montante C capital i taxa de juros na forma decimal n número de períodos ln 50000 1082 ln101 001 e1118 71682 e12 162764 ln12 248 ln001 46 e92 100000 Resolução da questão n M C 1 i 36 M 50000 1 001 158 Unidade III 36 ln M ln 50000 1 001 ln M ln 50000 36 ln 101 ln M 1082 36 001 ln M 1118 1118 M e M R 7168200 Questão 2 Uma empresa usina peças de ferro fundido que possui dureza superficial de 207 HB com ferramentas de metal duro que permitem uma velocidade de corte de 100 mmin Para esta operação o tempo entre duas afiações é determinado pela expressão de Taylor 1n t v c C T v Na expressão de Taylor vc é a velocidade de corte dada em m min Tv é o tempo efetivo de corte entre duas afiações sucessivas tempo de vida da ferramenta em minutos Ct é uma constante cujo valor depende de outras variáveis oriundas da máquina da ferramenta e da peça seu valor é numericamente igual à velocidade de corte que dá à ferramenta a vida de um minuto e n é um expoente experimental Um novo fornecedor de ferramentas está propondo o uso de seus produtos e ofertando dois tipos de ferramenta que sem que a velocidade de corte atualmente usada seja alterada as constantes Ct e o expoente n são Produto a Produto b Ct 380 Ct 250 n 03 n 02 Considerando a velocidade de corte c m v 100min assinale a alternativa correta A Os produtos a e b têm um tempo efetivo de corte entre duas afiações sucessivas de 143 h B Os produtos a e b têm um tempo efetivo de corte entre duas afiações sucessivas de 163 h 159 MATEMÁTICA C O produto a tem um tempo efetivo de corte entre duas afiações sucessivas de 143 h e o produto b de 163 h D O produto a tem um tempo efetivo de corte entre duas afiações sucessivas de 163 h e o produto b de 143 h E O produto a tem um tempo efetivo de corte entre duas afiações sucessivas de 163 h e o produto b de 113 h Resolução desta questão na plataforma