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Profa Isabel Espinosa UNIDADE IV Matemática Função seno fx sen x Dom f IR Im f 1 1 Função seno x sen 1 1 Gráfico a fx sen x Função seno x rad senx 0 0 2 1 0 32 1 2 0 Gráfico a fx sen x Função seno 1 0 1 1 y 2 32 2 fx sen x x b fx sen 2x Função seno x rad sen2x 0 sen0 0 4 sen2 1 2 sen 0 34 sen32 1 sen2 0 54 sen52 1 32 sen3 0 74 sen72 1 2 sen4 0 b fx sen 2x p Função seno 1 0 1 1 y 2 3 2 2 x fx sen x fx sen 2x Função cosseno fx cos x Dom f IR Im f 1 1 Função cosseno x cos 1 1 Gráfico fx cos x Função cosseno x rad cosx 0 1 2 0 1 32 0 2 1 Gráfico fx cos x p 2 Função cosseno 1 0 1 1 y 2 32 2 x fx cos x b fx cos x2 Função cosseno x rad cosx2 0 cos0 1 2 cos4 cos2 0 32 cos34 2 cos 1 52 cos54 3 sen32 0 72 sen74 4 sen2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 b fx cos x2 p 4 Função cosseno 1 0 1 x y 2 3 2 2 fx cosx2 fx cos x 3 4 Função tangente fx tg x Função tangente x sen x 1 1 1 1 x cos x cos sen tg tgx Função tangente fx tg x Função tangente X rad tgx 0 tg 0 0 6 tg3 4 tg4 1 3 tg3 2 tg2 não existe 3 3 3 Função tangente fx tg x Função tangente 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 2 4 6 8 2 4 6 8 A função y cos 4x tem período igual a a p 2 π b p 4 π c p π2 d p π e p π4 Interatividade A função y cos 4x tem período igual a a p 2 π b p 4 π c p π2 d p π e p π4 Resposta Exemplos 1 Determinar o valor máximo da função y 5 2 sen3x Imagem de y sen3x é Maior valor de sen3x y Maior valor de y 5 2 sen3x será 7 Funções trigonométricas 2 Adaptado do ENEM 2017 A intensidade luminosa dos raios solares sob determinadas condições pode ser dada por Ix k senx em que x é o ângulo de incidência dos raios solares em uma superfície plana e k é uma constante Determine o percentual de seu valor máximo a que se reduz a intensidade luminosa quando x 60º Intensidade máxima senx 1 Funções trigonométricas Ix k senx Intensidade máxima quando senx 1 isto é ângulo Ix máxima x 60º I60 sen60º 08660 Comparando Funções trigonométricas 3 Adaptado do ENEM 2015 Certo produto sazonal tem o preço do quilograma em reais dado pela função sendo x o mês do ano Determine o mês de produção máxima Funções trigonométricas Produção máxima safra preço mínimo x 1 jan x 2 fev Resolvendo Funções trigonométricas 4 Determinar o valor mínimo da função y 8 2 cos2x Imagem de y cos2x é Valor mínimo de cos2x é y Maior valor de y 8 2 sen2x será 6 Funções trigonométricas 5 A imagem da função y 3 4 cos2x Imagem de y cos2x é Imagem de y 4 cos2x Imagem de y 3 4 cos2x Funções trigonométricas O valor mínimo da função y 3 2 cosx é igual a a 7 b 5 c 1 d 1 e 5 Interatividade O valor mínimo da função y 3 2 cosx é igual a a 7 b 5 c 1 d 1 e 5 Resposta Mínimo y cos x é Mínimo de y 2 cosx é Mínimo de y 3 2 cosx é Trigonometria do triângulo retângulo a hipotenusa b c catetos Teorema de Pitágoras a2 b2 c2 Trigonometria a c b Exemplo Determinar o valor de x no triângulo retângulo a2 b2 c2 Trigonometria x 8 6 a2 b2 c2 x Trigonometria x 8 6 Ciclo trigonométrico Trigonometria x sen x 1 1 1 1 x cos x cos sen tg tgx Relações trigonométricas no triângulo retângulo Trigonometria a c b hipotenusa Cateto oposto a a b sen hipotenusa Cateto adjacente a a c cos Exemplo Determinar sen cos sen cos Trigonometria 5 3 4 sen cos Trigonometria hipotenusa Cateto oposto a sen hipotenusa Cateto adjacente a cos 5 3 4 Trigonometria hipotenusa Cateto oposto a sen hipotenusa Cateto adjacente a cos 5 3 4 Relações trigonométricas no triângulo retângulo Trigonometria a c b Cateto oposto a c b tg Cateto adjacente a Exemplo Determinar a tangente de no triângulo c Trigonometria 10 cm c 8cm Pitágoras a2 b2 c2 tg 133 Trigonometria 10 cm c 8cm Cateto oposto a tg Cateto adjacente a No triângulo retângulo o valor de cos α é igual a a 06 b 07 c 08 d 05 e 04 Interatividade 4 3cm x No triângulo retângulo o valor de cos α é igual a a 06 b 07 c 08 d 05 e 04 Resposta 4 3cm x hipotenusa Cateto adjacente a cos x2 b2 c2 Relação fundamental sen2x cos2x 1 Exemplo Determinar o sen x sabendo que cos x 052 Trigonometria cos x 052 sen2x cos2x 1 sen2x 027 1 sen2x sen x 085 Trigonometria Relações em um triângulo qualquer Lei dos senos Lei dos cossenos Trigonometria B A C a c b a sen  c sen C b sen B B C a2 b2 c2 2 bc cos  b2 a2 c2 2 ac cos c2 a2 b2 2 ab cos Exemplos 1 Determine a medida de b na figura Utilizando a lei do cosseno b2 a2 c2 2 accos 97º Trigonometria B A C 15 cm 32 cm b 97º b2 a2 c2 2 accos 97º b2 b2 225 1024 2 1532 cos 97º b2 225 1024 960012 136420 b 3694 cm Trigonometria B A C 15 cm 32 cm b 97º 2 Determine a medida de a e b na figura Trigonometria B A C a b 100º 35º 15 cm a b Sabemos que Utilizando a lei dos senos Trigonometria B A C a b 100º 35º 15 cm B C A 180º C 45º a sen  c sen C b sen B Sabemos que Trigonometria a sen  c sen C b sen B a sen 35º 15 sen45º b sen 100º B A C a b 100º 35º 15 cm a 1204 cm Trigonometria a 057 15 071 b 098 B A C a b 100º 35º 15 cm b 2070 cm Trigonometria B A C a b 100º 35º 15 cm a 057 15 071 b 098 3 Um volume é lançado de um avião que está a 5 km de altitude Pela velocidade do avião e pela ação do vento o volume cai segundo uma reta que forma ângulo de 30º com a vertical Determine a distância aproximada d medida no solo que o volume percorreu Trigonometria 30º d 5 km 058 Trigonometria 30º d 5km Cateto oposto a 30 tg 30 Cateto adjacente a 30 No triângulo ABC o valor de b é igual a a 755 cm b 80 cm c 6658 cm d 6466 cm e 7243 cm Interatividade B A C b 30 cm 50 cm 105º No triângulo ABC o valor de b é igual a a 755 cm b 80 cm c 6658 cm d 6466 cm e 7243 cm Resposta B A C b 30 cm 50 cm 105º B b2 a2 c2 2 ac cos b2 502 302 2 50 30 cos105º b2 4180 b 6466 cm
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Profa Isabel Espinosa UNIDADE IV Matemática Função seno fx sen x Dom f IR Im f 1 1 Função seno x sen 1 1 Gráfico a fx sen x Função seno x rad senx 0 0 2 1 0 32 1 2 0 Gráfico a fx sen x Função seno 1 0 1 1 y 2 32 2 fx sen x x b fx sen 2x Função seno x rad sen2x 0 sen0 0 4 sen2 1 2 sen 0 34 sen32 1 sen2 0 54 sen52 1 32 sen3 0 74 sen72 1 2 sen4 0 b fx sen 2x p Função seno 1 0 1 1 y 2 3 2 2 x fx sen x fx sen 2x Função cosseno fx cos x Dom f IR Im f 1 1 Função cosseno x cos 1 1 Gráfico fx cos x Função cosseno x rad cosx 0 1 2 0 1 32 0 2 1 Gráfico fx cos x p 2 Função cosseno 1 0 1 1 y 2 32 2 x fx cos x b fx cos x2 Função cosseno x rad cosx2 0 cos0 1 2 cos4 cos2 0 32 cos34 2 cos 1 52 cos54 3 sen32 0 72 sen74 4 sen2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 b fx cos x2 p 4 Função cosseno 1 0 1 x y 2 3 2 2 fx cosx2 fx cos x 3 4 Função tangente fx tg x Função tangente x sen x 1 1 1 1 x cos x cos sen tg tgx Função tangente fx tg x Função tangente X rad tgx 0 tg 0 0 6 tg3 4 tg4 1 3 tg3 2 tg2 não existe 3 3 3 Função tangente fx tg x Função tangente 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 2 4 6 8 2 4 6 8 A função y cos 4x tem período igual a a p 2 π b p 4 π c p π2 d p π e p π4 Interatividade A função y cos 4x tem período igual a a p 2 π b p 4 π c p π2 d p π e p π4 Resposta Exemplos 1 Determinar o valor máximo da função y 5 2 sen3x Imagem de y sen3x é Maior valor de sen3x y Maior valor de y 5 2 sen3x será 7 Funções trigonométricas 2 Adaptado do ENEM 2017 A intensidade luminosa dos raios solares sob determinadas condições pode ser dada por Ix k senx em que x é o ângulo de incidência dos raios solares em uma superfície plana e k é uma constante Determine o percentual de seu valor máximo a que se reduz a intensidade luminosa quando x 60º Intensidade máxima senx 1 Funções trigonométricas Ix k senx Intensidade máxima quando senx 1 isto é ângulo Ix máxima x 60º I60 sen60º 08660 Comparando Funções trigonométricas 3 Adaptado do ENEM 2015 Certo produto sazonal tem o preço do quilograma em reais dado pela função sendo x o mês do ano Determine o mês de produção máxima Funções trigonométricas Produção máxima safra preço mínimo x 1 jan x 2 fev Resolvendo Funções trigonométricas 4 Determinar o valor mínimo da função y 8 2 cos2x Imagem de y cos2x é Valor mínimo de cos2x é y Maior valor de y 8 2 sen2x será 6 Funções trigonométricas 5 A imagem da função y 3 4 cos2x Imagem de y cos2x é Imagem de y 4 cos2x Imagem de y 3 4 cos2x Funções trigonométricas O valor mínimo da função y 3 2 cosx é igual a a 7 b 5 c 1 d 1 e 5 Interatividade O valor mínimo da função y 3 2 cosx é igual a a 7 b 5 c 1 d 1 e 5 Resposta Mínimo y cos x é Mínimo de y 2 cosx é Mínimo de y 3 2 cosx é Trigonometria do triângulo retângulo a hipotenusa b c catetos Teorema de Pitágoras a2 b2 c2 Trigonometria a c b Exemplo Determinar o valor de x no triângulo retângulo a2 b2 c2 Trigonometria x 8 6 a2 b2 c2 x Trigonometria x 8 6 Ciclo trigonométrico Trigonometria x sen x 1 1 1 1 x cos x cos sen tg tgx Relações trigonométricas no triângulo retângulo Trigonometria a c b hipotenusa Cateto oposto a a b sen hipotenusa Cateto adjacente a a c cos Exemplo Determinar sen cos sen cos Trigonometria 5 3 4 sen cos Trigonometria hipotenusa Cateto oposto a sen hipotenusa Cateto adjacente a cos 5 3 4 Trigonometria hipotenusa Cateto oposto a sen hipotenusa Cateto adjacente a cos 5 3 4 Relações trigonométricas no triângulo retângulo Trigonometria a c b Cateto oposto a c b tg Cateto adjacente a Exemplo Determinar a tangente de no triângulo c Trigonometria 10 cm c 8cm Pitágoras a2 b2 c2 tg 133 Trigonometria 10 cm c 8cm Cateto oposto a tg Cateto adjacente a No triângulo retângulo o valor de cos α é igual a a 06 b 07 c 08 d 05 e 04 Interatividade 4 3cm x No triângulo retângulo o valor de cos α é igual a a 06 b 07 c 08 d 05 e 04 Resposta 4 3cm x hipotenusa Cateto adjacente a cos x2 b2 c2 Relação fundamental sen2x cos2x 1 Exemplo Determinar o sen x sabendo que cos x 052 Trigonometria cos x 052 sen2x cos2x 1 sen2x 027 1 sen2x sen x 085 Trigonometria Relações em um triângulo qualquer Lei dos senos Lei dos cossenos Trigonometria B A C a c b a sen  c sen C b sen B B C a2 b2 c2 2 bc cos  b2 a2 c2 2 ac cos c2 a2 b2 2 ab cos Exemplos 1 Determine a medida de b na figura Utilizando a lei do cosseno b2 a2 c2 2 accos 97º Trigonometria B A C 15 cm 32 cm b 97º b2 a2 c2 2 accos 97º b2 b2 225 1024 2 1532 cos 97º b2 225 1024 960012 136420 b 3694 cm Trigonometria B A C 15 cm 32 cm b 97º 2 Determine a medida de a e b na figura Trigonometria B A C a b 100º 35º 15 cm a b Sabemos que Utilizando a lei dos senos Trigonometria B A C a b 100º 35º 15 cm B C A 180º C 45º a sen  c sen C b sen B Sabemos que Trigonometria a sen  c sen C b sen B a sen 35º 15 sen45º b sen 100º B A C a b 100º 35º 15 cm a 1204 cm Trigonometria a 057 15 071 b 098 B A C a b 100º 35º 15 cm b 2070 cm Trigonometria B A C a b 100º 35º 15 cm a 057 15 071 b 098 3 Um volume é lançado de um avião que está a 5 km de altitude Pela velocidade do avião e pela ação do vento o volume cai segundo uma reta que forma ângulo de 30º com a vertical Determine a distância aproximada d medida no solo que o volume percorreu Trigonometria 30º d 5 km 058 Trigonometria 30º d 5km Cateto oposto a 30 tg 30 Cateto adjacente a 30 No triângulo ABC o valor de b é igual a a 755 cm b 80 cm c 6658 cm d 6466 cm e 7243 cm Interatividade B A C b 30 cm 50 cm 105º No triângulo ABC o valor de b é igual a a 755 cm b 80 cm c 6658 cm d 6466 cm e 7243 cm Resposta B A C b 30 cm 50 cm 105º B b2 a2 c2 2 ac cos b2 502 302 2 50 30 cos105º b2 4180 b 6466 cm