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160 Unidade IV Unidade IV Nas funções periódicas os valores se repetem após um período Estudaremos algumas delas serão nosso objeto de estudo as funções seno cosseno e tangente Tais funções têm aplicações em física geometria analítica entre outras Saiba mais Para obter informações sobre funções trigonométricas consulte FLEMMING D M GONÇALVES M B Cálculo A funções limite derivação integração São Paulo Makron Books 1992 7 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Antes da definição das funções trigonométricas precisamos conhecer o conceito de ciclo trigonométrico Tratase de uma circunferência de centro 0 e raio 1 conforme modelo a seguir 0 1 1 1 1 Figura 64 71 Função seno No ciclo trigonométrico a função seno terá seus valores representados no eixo y o qual chamaremos de eixo dos senos Observe a seguir 161 MATEMÁTICA Eixo dos senos 0 1 1 2π π2 π 3π2 Figura 65 A função seno será definida por f IR IR fx sen x Observação Podemos escrever a função seno de x de duas maneiras com ou sem o uso de parênteses isto é pode ser y senx ou simplesmente y senx A fim de usar o ciclo trigonométrico para representar o valor do senx localizaremos o ângulo x e faremos a projeção no eixo dos senos eixo y a medida 0M será o valor de senx vejamos a seguir 1 1 1 1 0 M senx x Figura 66 Observando a figura anterior notamos algumas características da função seno Sinal seno será positivo se x estiver no 1 e 2 quadrantes negativo no 3 e 4 quadrantes e nulo quando x 0 ou x π ou x 2π isto é 162 Unidade IV senx 0 se 0 x senx 0 se x 2 senx 0 se x 0 ou x ou x 2 π π π π π Domínio não há restrição para os valores de x é possível calcular seno de x para qualquer x real assim podemos escrever que Df IR ou Df IR Imagem pelo ciclo trigonométrico notamos que os valores encontrados para y senx estão entre 1 e 1 isto é Imf y IR 1 y 1 Período notamos que a função seno inicia com valor zero quando x 0 Conforme os valores de x aumentam a função assume valores até ficar igual a 1 Quando x ou x 90º 2 π volta a diminuir passando por zero quando x π ou x 180º e chega ao valor mínimo de 1 quando 3 x ou x 270º 2 π voltando a aumentar até chegar em zero novamente quando x 2π ou x 360º Acabada a 1ª volta isto é 0 x 2π notamos que os valores vão se repetir o período da função seno será p 2π Gráfico o gráfico da função seno tem o formato de uma curva suave chamada de senoide geralmente é construído com o auxílio de uma tabela de pontos com valores suficientes para que se tenha todo o período 2π 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x y 3π2 fx senx π π2 Figura 67 Lembrete A senoide é uma curva suave que não deve ser construída unindo segmentos de retas 163 MATEMÁTICA Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado Exemplo 1 Esboçar o gráfico da função y 2senx depois determinar domínio imagem e período da função Solução Para fazer o gráfico da função utilize uma tabela de pontos os valores de x escolhidos serão os arcos notáveis Tabela 32 x y 2senx xy 0 y 2sen0 0 00 π2 y 2senπ2 2 1 2 π22 π y 2senπ 2 0 0 π0 3π2 y 2 sen3π2 2 1 2 3π22 2 π y 2 sen2π 2 0 0 2π0 Para efetuar os cálculos de senx na calculadora confira sempre se está no modo rad ou R para ângulos em radianos ou no modo Deg ou D para ângulos em graus 1 2 2 1 2π 3π2 π π2 2 3 4 5 6 7 0 Figura 68 O domínio da função é Df IR a imagem é Imf y IR 2 y 2 e o período é p 2π Observação Perceba que multiplicar senx por 2 não alterou o domínio nem o período mas modificou a imagem em relação à função y senx 164 Unidade IV Exemplo 2 Esboçar o gráfico da função y sen2x depois determinar domínio imagem e período da função Solução Para esboçar o gráfico da função utilizaremos uma tabela de pontos os valores de x escolhidos serão os arcos notáveis Tabela 33 x y sen2x xy 0 y sen20 sen0 0 00 π2 y sen2π2 senπ 0 π2 0 π y sen2π 0 π 0 3π2 y sen23π2 sen3π 0 3π2 0 2 π y sen2π2 sen4π 0 2π 0 Note que todos os valores de y encontrados são iguais a zero monte outra tabela com valores intermediários Tabela 34 x y sen2x xy 0 y sen20 sen0 0 00 π4 y sen2π4 senπ2 1 π4 1 π2 y sen2π2 senπ 0 π2 0 3π4 y sen23π4 sen3π2 1 3π4 1 π y sen2π 0 π 0 5π4 y sen25π4 sen5π2 1 5π4 1 3π2 y sen23π2 sen3π 0 3π2 0 7π4 y sen27π4 sen7π2 1 7π4 1 2 π y sen22π sen4π 0 2π 0 Antes de esboçar o gráfico de y sen2x notamos que o período agora é p π assim podemos colocar no gráfico somente os valores de x entre 0 e π isto é 0 x π 1 1 0 1 1 2 3 4 π4 π2 3π4 π Figura 69 165 MATEMÁTICA O domínio da função é Df IR a imagem é Imf y IR 1 y 1 e o período é p π Exemplo 3 Sabemos que o domínio da função y senx é p 2π o período da função é alterado quando multiplicamos x por um número n e daí o período da nova função y sennx passa a ser 2 p n π Determinar o período das funções a y sen4x Solução Neste caso n 4 assim o período da função y sen4x será 2 p 4 π isto é p 2 π b x y sen 8 Solução Neste caso 1 n 8 assim o período da função x y sen 8 será 2 p 1 8 π isto é 8 p 2 16 1 π π 72 Função cosseno No ciclo trigonométrico a função cosseno terá seus valores representados no eixo x que chamaremos de eixo dos cossenos Observe a seguir Eixo dos cossenos 0 1 1 2π π2 π 3π2 Figura 70 A função cosseno será definida por f IR IR fx cos x 166 Unidade IV Observação Podemos escrever a função cosseno de x de duas maneiras com ou sem o uso de parênteses isto é y cosx ou simplesmente y cosx A fim de usar o ciclo trigonométrico para representar o valor do cosx localizaremos o ângulo x e faremos a projeção no eixo dos cossenos eixo x a medida 0N será o valor de cosx vejamos a seguir 1 1 1 1 0 N cosx x Figura 71 Observando a figura anterior notamos algumas características da função cosseno Sinal cosseno será positivo se x estiver no 1 e 4 quadrantes negativo no 2 e 3 quadrantes e nulo quando x 2 π ou 3 x 2 π isto é 3 cosx 0 se 0 x ou x 2 2 2 3 cosx 0 se 2 x 2 3 cosx 0 se x 2 ou x 2 π π π π π π π Domínio não há restrição para os valores de x é possível calcular cosseno de x para qualquer x real assim podemos escrever que Df IR ou Df IR 167 MATEMÁTICA Imagem pelo ciclo trigonométrico notamos que os valores encontrados para y cosx estão entre 1 e 1 isto é Imf y IR 1 y 1 Período notamos que a função cosseno inicia com valor 1 quando x 0 Conforme os valores de x aumentam a função assume valores até ficar igual a 0 Quando x ou x 90º 2 π continua a diminuir chegando ao valor mínimo em 1 quando x π ou x 180º e volta a aumentar chegando ao valor 0 quando 3 x ou x 270º 2 π continuando a aumentar até chegar a 1 novamente quando x 2π ou x 360º Acabada a 1ª volta isto é 0 x 2π notamos que os valores vão se repetir assim o período da função cosseno será p 2π Gráfico o gráfico da função cosseno tem o formato de uma curva suave chamada de cossenoide Geralmente é construído com o auxílio de uma tabela de pontos com valores suficientes para que se tenha todo o período Lembrete A cossenoide é uma curva suave que não deve ser construída unindo segmentos de retas 1 1 1 2π 3π2 π π2 2 3 4 5 6 7 0 1 Figura 72 Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado Exemplo 1 Esboçar o gráfico da função y 2cosx depois determinar domínio imagem e período da função 168 Unidade IV Solução Para esboçar o gráfico da função utilizaremos uma tabela de pontos os valores de x escolhidos serão os arcos notáveis Tabela 35 x y 2cosx xy 0 y 2cos0 21 2 02 π2 y 2cosπ2 2 0 0 π2 0 π y 2cosπ 2 1 2 π 2 3π2 y 2 cos3π2 2 0 0 3π2 0 2 π y 2 cos2π 2 1 2 2π 2 Para efetuar os cálculos de cosx na calculadora confira sempre se está no modo rad ou R para ângulos em radianos ou no modo Deg ou D para ângulos em graus 1 2 1 2π 3π2 π π2 2 3 4 5 6 7 0 2 Figura 73 O domínio da função é Df IR a imagem é Imf y IR 2 y 2 e o período é p 2π Observação Perceba que multiplicar cosx por 2 não alterou o domínio nem o período mas modificou a imagem em relação à função y senx Exemplo 2 Esboçar o gráfico da função y cos2x depois determinar domínio imagem e período da função 169 MATEMÁTICA Solução A fim de esboçar o gráfico da função utilizaremos uma tabela de pontos Os valores de x escolhidos serão os arcos notáveis Tabela 36 x y cos2x xy 0 y cos20 cos0 1 0 1 π2 y cos2π2 cosπ 1 π2 1 π y cos2π 1 π 1 3π2 y cos23π2 cos3π 0 3π2 1 2 π y cos2π2 cos4π 1 2π 1 Note que ainda faltam alguns valores de y para facilitar o esboço do gráfico os valores quando y é igual a zero Montaremos outra tabela com valores intermediários Tabela 37 x y sen2x xy 0 y cos20 cos0 1 0 1 π4 y cos2π4 cosπ2 0 π4 0 π2 y cos2π2 cosπ 1 π2 1 3π4 y cos23π4 cos3π2 0 3π4 0 π y cos2π 1 π 1 5π4 y cos25π4 cos5π2 0 5π4 0 3π2 y cos23π2 cos3π 1 3π2 1 7π4 y cos27π4 cos7π2 0 7π4 0 2 π y sen22π sen4π 1 2π 1 Antes de esboçar o gráfico de y cos2x notamos que o período agora é p π assim podemos colocar no gráfico somente os valores de x entre 0 e π isto é 0 x π 1 1 0 1 1 2 3 4 π4 π2 3π4 π Figura 74 O domínio da função é Df IR a imagem é Imf y IR 1 y 1 e o período é p π 170 Unidade IV Observação Perceba que multiplicar x por 2 na função y cos2x não alterou o domínio nem a imagem mas modificou o período da função em relação à função y cosx Exemplo 3 Sabemos que o domínio da função y cosx é p 2π o período da função é alterado quando multiplicamos x por um número n e o período da nova função y cosnx passa a ser 2 p n π Determinar o período das funções a y cos4x Solução Neste caso n 4 assim o período da função y cos4x será 2 p 4 π isto é p 2 π b x y cos 3 Solução Neste caso 1 n 3 o período da função x y cos 3 será 2 p 1 3 π isto é 3 p 2 6 1 π π 73 Função tangente No ciclo trigonométrico a função tangente terá seus valores representados em uma reta paralela ao eixo x passando no ponto 10 o qual chamaremos de eixo das tangentes Observe a seguir Eixo das tangentes 0 1 2π π2 π 3π2 Figura 75 171 MATEMÁTICA A função tangente será definida por f D IR fx tg x com 2k 1 D x IR x k Z 2 π Observação Podemos escrever a função tangente de x de duas maneiras com ou sem o uso de parênteses isto é pode ser y tgx ou simplesmente y tgx A fim de usar o ciclo trigonométrico para representar o valor do tgx localizaremos o ângulo x e faremos a projeção no eixo das tangentes a medida AS será o valor de tgx vejamos a seguir 1 1 1 1 0 N S A tgx cosx x Figura 76 Observando a figura anterior notamos algumas características da função tangente Sinal tangente é positivo se x estiver no 1 e 3 quadrantes negativo no 2 e 4 quadrantes e nulo quando x 0 ou x π isto é 3 tgx 0 se 0 x ou x 2 2 3 tgx 0 se x ou x 2 2 2 tgx 0 se x 0 ou x π π π π π π π π 172 Unidade IV Domínio há restrição para os valores de x não é possível calcular tangente de x para x 2 π e 3 x 2 π não há interseção com o eixo das tangentes Assim 2k 1 Df x IR x k Z 2 π Imagem pelo ciclo trigonométrico notamos que os valores encontrados para y tgx vão de até Assim Im f IR Período para valores de x entre 0 e isto é 0 x 2 2 π π os valores da tangente vão de zero a infinito para valores de x entre 3 e isto é x 2 2 2 π π π π os valores da tangente vão de zero a menos infinito Observe que no 3º e 4º quadrantes os valores se repetem Assim o período da função tangente será p π Gráfico o gráfico da função tangente tem o formato de uma curva suave geralmente é construído com o auxílio de uma tabela de pontos com valores suficientes para que se tenha todo o período 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2π 3π2 π π2 Figura 77 Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado Exemplo 1 Esboçar o gráfico da função y 2 tgx depois determinar domínio imagem e período da função 173 MATEMÁTICA Solução A fim de esboçar o gráfico da função utilizaremos uma tabela de pontos Para a função tangente acrescentaremos alguns valores na tabela Tabela 38 x y 2tgx xy 0 y 2tg0 20 0 00 π4 y 2tgπ4 21 2 π4 2 π2 Não existe 3π4 y 2tg3π4 21 2 3π4 2 π y 2cosπ 2 0 0 π 0 5π4 y 2tg5π4 21 2 5π4 2 3π2 Não existe 2 π y 2 tg2π 2 0 0 2π 0 Para efetuar os cálculos de tgx na calculadora confira sempre se está no modo rad ou R para ângulos em radianos e no modo Deg ou D para ângulos em graus 2 2 π4 π2 3π4 π 5π4 3π2 2π Figura 78 O domínio é 2k 1 Df x IR x k Z 2 π a imagem é Imf IR e o período é p π Exemplo 2 Esboçar o gráfico da função y tg2x depois determinar domínio imagem e período da função 174 Unidade IV Solução A fim de esboçar o gráfico da função utilizaremos uma tabela de pontos para a função tangente acrescentaremos alguns valores na tabela Tabela 39 x y tg2x xy 0 y tg20 tg0 0 00 π4 y tg2π4 tgπ2 Não existe π2 y tg2π2 tgπ 0 π2 0 3π4 y tg23π4 tg3π2 Não existe π y tg2π 0 π 0 5π4 y tg25π4 tg5π2 Não existe 3π2 y tg23π2 tg3π0 3π2 0 7π4 y tg27π4 tg7π2 Não existe 2 π y tg4π 0 2π 0 Figura 79 O domínio é 2k 1 Df x IR x k Z 4 π a imagem é Imf IR e para determinar o domínio vamos fazer a diferença entre dois valores consecutivos onde não existe a tangente por exemplo 3 2 4 4 4 2 π π π π logo o período é p 2 π 74 Ampliando seu leque de exemplos Exemplo 1 Sabemos que o domínio da função y senx é p 2π o período da função é alterado quando multiplicamos x por um número n e o período da nova função y sennx passa a ser 2 p n π Determinar o período das funções a y sen3x Solução Neste caso n 3 assim o período da função y sen3x será 2 p 3 π isto é 2 p 3 π 175 MATEMÁTICA b x y sen 2 Solução Neste caso 1 n 2 assim o período da função x y sen 2 será 2 p 1 2 π isto é 2 p 2 4 1 π π Exemplo 2 Determinar a imagem da função y 3senx Solução Sabemos que y senx tem imagem entre 1 e 1 isto é 1 y 1 quando multiplicamos senx por 3 ela será multiplicada por 3 assim a imagem de y 3senx será 1 y 1 3 y 3 Logo a imagem da função y 3senx será 3 y 3 Observação Podemos escrever a expressão y 3senx ou simplesmente y 3senx com ou sem a indicação da multiplicação Note que não há outra interpretação possível para a expressão com ou sem a indicação da operação de multiplicação Exemplo 3 Determinar a imagem da função y 2 3senx Solução Sabemos que y senx tem imagem entre 1 e 1 isto é 1 y 1 quando multiplicamos senx por 3 ela será multiplicada por 3 assim a imagem de y 3senx será 3 y 3 Mas ainda pecisamos considerar o número que está sendo somado ao cálculo do 3senx a imagem da função y 2 3senx será acrescida desse valor isto é ela será 1 y 5 176 Unidade IV Logo a imagem da função y 2 3senx será 1 y 5 Exemplo 4 Sabemos que o domínio da função y cosx é p 2π o período da função é alterado quando multiplicamos x por um número n e o período da nova função y cosnx passa a ser 2 p n π Determinar o período das funções a y cos5x Solução Neste caso n 5 assim o período da função y cos5x será 2 p 5 π isto é 2 p 5 π b x y cos 7 Solução Neste caso 1 n 7 assim o período da função x y cos 7 será 2 p 1 7 π isto é 7 p 2 14 1 π π Exemplo 5 Determinar a imagem da função y 3cosx Solução Sabemos que y cosx tem imagem entre 1 e 1 isto é 1 y 1 quando multiplicamos cosx por 3 ela será multiplicada por 3 assim a imagem de y 3cos será 1 y 1 3 y 3 Logo a imagem da função y 3cosx será 3 y 3 Exemplo 6 Determinar o valor máximo da função y 8 3 cos4x 177 MATEMÁTICA Solução Sabemos que o valor máximo da função y cos4x é y 1 logo o valor máximo da função y 8 3 cos4x ocorre quando cos4x 1 assim teremos que o máximo da função é y 8 3 1 8 3 11 Logo o máximo da função y 8 3 cos4x será igual a 11 Exemplo 7 Enem 2017 adaptado Raios solares atingem a superfície de um lago formando um ângulo x com a superfície o ângulo x está entre 0º e 90º Em determinadas condições a intensidade luminosa dos raios solares na superfície do lago é dada pela expressão Ix ksenx sendo k uma constante Determine a qual percentual de seu valor máximo a intensidade luminosa se reduz quando x 30º Solução Na figura a seguir temos a representação do nosso problema x Figura 80 A intensidade luminosa máxima ocorre quando senx 1 isto é Ix k Quando x 30º temos I30 ksen30 logo I30 05 k Comparando os dois valores temos que I30 é 50 da intensidade máxima 178 Unidade IV Exemplo 8 Enem 2015 adaptado Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística IBGE produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção consumo e preços Isto é em determinadas épocas do ano temos escassez do produto preços mais altos e em outras épocas temos abundância do produto preço mais baixos Certo produto sazonal tem o preço do quilograma em reais descrito pela função x Px 8 5cos 6 π π sendo x o mês do ano onde x 1 é associado a janeiro x 2 é associado a fevereiro e assim por diante até x 12 Determine o mês de produção máxima desse produto Solução A produção máxima ocorre no mês da safra e daí teremos o preço mais baixo O cosx tem seu valor mínimo igual a 1 assim o preço será mínimo quando x cos 1 6 π π Isto é x 6 π π π x 6 π π π Colocando π em evidência e simplificando temos x 1 6 x 1 6 x 7 Como x 7 temos o mês de julho 179 MATEMÁTICA 8 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Estudaremos agora algumas relações trigonométricas úteis em várias áreas 81 Relações métricas no triângulo retângulo Triângulo retângulo é uma figura geométrica com três lados e um dos ângulos reto isto é um ângulo de 90º Os lados de um triângulo retângulo são chamados de catetos e de hipotenusa A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto como podemos ver a seguir B A C a b c Cateto Cateto Hipotenusa Figura 81 No triângulo retângulo temos o teorema de Pitágoras que relaciona os catetos e a hipotenusa a soma do quadrado dos catetos é igual à hipotenusa ao quadrado isto é a2 b2 c2 Em um triângulo retângulo temos outras relações entre as suas medidas associe algumas delas e observe a seguir B A C b c n m a Figura 82 Além do teorema de Pitágoras temos as relações b2 ma c2 na 180 Unidade IV h2 mn bcah Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado Exemplo 1 Dado o triângulo retângulo ABC conforme a figura a seguir determine o valor de x B A C 7 cm 9 cm x Figura 83 Solução O triângulo é retângulo logo podemos utilizar o teorema de Pitágoras para determinar o valor de x Conforme a figura anterior temos Catetos b 7 cm e c 9 cm Hipotenusa x a ser determinada Substituindo no teorema de Pitágoras a2 b2 c2 x2 72 92 x2 49 81 x2 130 x 130 Como x é uma medida que só tem significado se x 0 logo x 1140 cm 181 MATEMÁTICA Exemplo 2 Sabese que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º Considerando o triângulo retângulo representado na sequência determine a medida do ângulo A C B A 42º Figura 84 Solução No triângulo ABC temos ângulo C 42º e ângulo B 90º A B C 180º A 90º 42º 180º A 180º 90º 42º A 180º 90º 42º A 48º Exemplo 3 Observando o triângulo na figura anterior determine o valor de a m n h B A C 3 cm 4 cm n h m a Figura 85 182 Unidade IV Solução Sabemos que no triângulo retângulo vale o teorema de Pitágoras assim 2 2 2 2 2 2 2 a b c a 3 4 a 9 16 2a 25 a 5 Como a é a medida do lado do triângulo só tem significado se for positivo assim a 5 cm Na relação b2 ma obter o valor de m 2 2 b m a 3 m 5 9 m 5 m 18 cm Na relação c2 na obter o valor de n 2 2 c n a 4 n 5 16 n 5 n 32 cm Na relação h2 mn obter o valor de h 2 2 h m n h 18 32 h2 576 h 576 h 24 Como h 0 temos h 24 cm 183 MATEMÁTICA 82 Trigonometria no triângulo retângulo Quando observamos o ciclo trigonométrico e os valores de seno e cosseno notamos a existência de triângulos retângulos conseguindo assim relacionar catetos hipotenusa e as funções trigonométricas Retomaremos o ciclo trigonométrico e representaremos o seno de x e o cosseno de x no mesmo ciclo conforme veremos a seguir 1 1 1 1 0 M senx x 0 N P cosx x Figura 86 Notamos que os triângulos retângulos 0MP e 0NP são congruentes Destacaremos um deles para fora do ciclo trigonométrico por exemplo o triângulo 0NP 1 0 N cosx x senx P Figura 87 Observando o triângulo anterior podemos escrever a relação fundamental sen2x cos2x 1 Observação Para indicar que a função seno ou cosseno está ao quadrado temos duas formas corretas sen2x ou senx2 se escrevermos senx2 sem o uso dos parênteses estaremos indicando que somente x está ao quadrado e não o valor de senx 184 Unidade IV Em um triângulo retângulo temos que o seno de um ângulo é a razão entre as medidas do cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa assim se considerarmos o triângulo a seguir teremos C B A c b a α β Figura 88 Em relação ao ângulo α cateto oposto é c e hipotenusa b Em relação ao ângulo β cateto oposto é a e hipotenusa b Assim cateto oposto sen hipotenusa α isto é c sen b α cateto oposto sen hipotenusa β isto é a sen b β Em um triângulo retângulo temos que o cosseno de um ângulo é a razão entre as medidas do cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa assim se considerarmos o triângulo anterior teremos Em relação ao ângulo α cateto adjacente é a e hipotenusa b Em relação ao ângulo β cateto oposto é c e hipotenusa b Assim cateto adjacente cos hipotenusa α isto é a cos b α cateto adjacente cos hipotenusa β isto é c cos β b 185 MATEMÁTICA De modo semelhante podemos escrever a tangente de um ângulo como a razão entre cateto oposto e cateto adjacente pois temos senx tgx cosx e substituindo as expressões anteriores cateto oposto tg α cateto adjacente isto é c tg a α cateto oposto tg β cateto adjacente isto é a tg c β Exemplo 1 Determinar o valor de x nos triângulos a C B A 10 30º x Figura 89 O triângulo ABC é retângulo Podemos determinar o valor de x utilizando cos30 e a razão entre cateto adjacente e hipotenusa Não vamos utilizar a expressão para o sen30 pois não precisamos calcular o valor do cateto oposto Assim temos cateto adjacente cos hipotenusa α x cos30 10 x 087 10 x 087 10 x 87 Lembrese de verificar se a calculadora está no modo Deg ou D para calcular cos30 186 Unidade IV b A 12 C B 47º x Figura 90 O triângulo ABC é retângulo Podemos determinar o valor de x utilizando sen47º e a razão entre cateto oposto e hipotenusa Nesse caso não utilizaremos o cos47 pois não precisamos calcular o valor do cateto adjacente ao ângulo Assim temos cateto oposto sen hipotenusa α x sen47 12 x 073 12 x 073 12 x 876 Exemplo 2 Soltaremos um carrinho do topo de uma rampa que forma ângulo de 45º com a parede Se o topo da rampa está a 5 m do chão determine qual o comprimento da rampa Solução Inicialmente montaremos o modelo que represente a situação a ser estudada A x C B 5 m 45º Chão Figura 91 187 MATEMÁTICA Nosso modelo é um triângulo retângulo conhecemos o ângulo no vértice A e o cateto adjacente a esse ângulo O que queremos é o valor da hipotenusa então utilizaremos o cos45 como razão entre cateto adjacente e hipotenusa assim cateto adjacente cos hipotenusa α 5 cos45 x 5 071 x x 071 5 5 x 071 x 704 m 83 Relação trigonométrica em um triângulo qualquer As leis que estudaremos valem para triângulos quaisquer isto é para triângulos retângulos e aqueles que não são retângulos 831 Lei dos senos C B A b a c A C B Figura 92 A lei dos senos relaciona o lado oposto ao ângulo e ao seno do ângulo pela expressão a b c senA senB senC 188 Unidade IV Exemplo Determinar o valor de x nos triângulos a seguir a C B 60º 45º A x 18 cm Figura 93 Por se tratar de um triângulo qualquer e serem dados dois dos seus ângulos utilizaremos a lei dos senos Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º assim podemos determinar o valor do ângulo em C A B C 180º 45º 60º C 180º C 180º 45º 60º75º Substituindo na lei dos senos temos a b c senA senB senC x b 18 sen45 sen60 sen75 Calculando o seno de cada um dos ângulos x b 18 071 087 097 189 MATEMÁTICA Podemos multiplicar em cruz duas das frações o mais conveniente nesse caso é utilizar a primeira e a última x 18 071 097 Na sequência multiplicase em cruz 097x 07118 1278 x 097 x 1318 cm b C B 60º 45º A 18 cm x Figura 94 Queremos agora determinar o valor do outro lado do triângulo o lado oposto ao ângulo de 60º utilizando os dados do exemplo anterior Por se tratar de um triângulo qualquer e serem dados dois dos seus ângulos utilizaremos a lei dos senos Já sabemos que o ângulo em C vale 75º Substituindo na lei dos senos temos a b c senA senB senC a x 18 sen45 sen60 sen75 190 Unidade IV Calculando o seno de cada um dos ângulos a x 18 071 087 097 podemos multiplicar em cruz duas das frações o mais conveniente nesse caso é utilizar a segunda e a terceira frações x 18 087 097 Na sequência multiplicase em cruz 097x 087 18 1566 x 097 x 1614 cm 832 Lei dos cossenos C B A b a c Figura 95 A lei dos cossenos relaciona os lados do triângulo e o cosseno de um dos ângulos pela expressão 2 2 2 a b c 2 b c cosA Ela pode ser escrita em função de qualquer um dos três ângulos de nosso triângulo assim teremos também as expressões 2 2 2 b a c 2 a c cosB 2 2 2 c a b 2 a b cosC 191 MATEMÁTICA Observação Para saber se devemos resolver o exercício usando lei do seno ou do cosseno quando se tratar de um triângulo qualquer dependerá dos dados do enunciado Se temos mais ângulos conhecidos normalmente a lei do seno será melhor se temos mais lados do triângulo conhecidos geralmente a lei do cosseno será melhor Exemplo Se um triângulo tem seus lados medindo 10 cm 7 cm e 5 cm determine a medida do ângulo oposto ao lado de medida 7 cm Solução Como temos a medida dos 3 lados do triângulo e precisamos calcular um ângulo utilizaremos a lei dos cossenos 2 2 2 b a c 2 a c cosB 2 2 2 7 10 5 2 10 5 cosB 49 100 25 100 cosB 100 cosB 100 25 49 100 cosB 76 76 cosB 076 100 Como sabemos o valor do cosseno e queremos saber o ângulo precisamos usar a função que nas calculadoras aparece como cos1 assim encontramos B 4054º 192 Unidade IV Saiba mais A fim de adquirir conteúdo adicional sobre seno cosseno e tangente acesse SILVA L P M O que são seno cosseno e tangente Brasil Escola Disponível em httpsbrasilescolauolcombroqueematematicao quesaosenocossenotangentehtm Acesso em 11 jan 2019 84 Ampliando seu leque de exemplos Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado Exemplo 1 Você está em um ponto B e vê a janela de um prédio sob ângulo de 20º chegando 40 m mais próximo do prédio em um ponto A observa a mesma janela agora sob ângulo de 30º Determine a distância x do ponto B até a janela b distância y do ponto A até a janela c altura h da janela em relação ao solo desprezando a altura do observador Solução a Inicialmente montaremos o modelo matemático do nosso problema C D A B 40 m x y h 30º 20º Figura 96 Sabemos que a soma do ângulo externo com o ângulo interno de um triângulo é 180º então no vértice A temos 180º 30º 150º isto no triângulo BAC o ângulo A vale 150º E como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º temos a medida do ângulo C do triângulo 193 MATEMÁTICA C 180º A B C 180º 150º 20º C 10º Vejamos a seguir o triângulo BAC C D A B 40 m x y 10º 150º 20º Figura 97 Pela lei dos senos temos a b c senA senB senC x 40 y sen150 sen10 sen20 Multiplicando em cruz as duas primeiras frações temos x 40 sen150 sen10 x 40 05 017 017 x 40 05 40 05 x 017 x 117 64 m 194 Unidade IV b Para determinar o valor de y multiplicaremos em cruz a segunda e a terceira frações 40 y 017 034 017 y 40 034 40 034 y 017 136 y 017 y 80 m c Para determinar a altura da janela trabalharemos agora com o triângulo ADC C D A 80 m h 30º Figura 98 Como o triângulo ADC é retângulo podemos usar sen30 para calcular a altura h cateto oposto sen30 hipotenusa h sen30 80 h 80 sen30 h 80 05 h 40 m 195 MATEMÁTICA A janela está a 40 m do chão Exemplo 2 Em Física temos os conceitos de trabalho τ força F e deslocamento d de um corpo calculados pela fórmula τ F d cos θ Determine o trabalho realizado pela força F de intensidade 30 N newtons aplicada a um bloco formando um ângulo de 30º com o vetor deslocamento que tem valor absoluto d 5 m 30º d Figura 99 Solução Segundo o enunciado temos F 30 N θ 30º d 5 m Substituindo os dados na fórmula temos τ F d cos θ 30 5 cos30 30 5 087 1305J τ τ τ Assim o trabalho realizado foi de 1305 J joules Exemplo 3 Em um aeroporto um avião ao decolar sobe formando ângulo de 30º com a pista Qual a altura do avião após percorrer 800 m 196 Unidade IV Solução Inicialmente faremos o modelo matemático do problema 800 m 30º h Figura 100 O deslocamento do avião é a hipotenusa do nosso triângulo queremos saber o cateto oposto ao ângulo assim usaremos o sen30º h sen30 800 h 05 800 h 400m O avião estará a 400 m de altura Resumo Nesta unidade tivemos contato com algumas funções trigonométricas seno cosseno e tangente Antes porém vimos algumas relações métricas no triângulo retângulo e relações trigonométricas em triângulos retângulos e em triângulos quaisquer No triângulo retângulo observamos o teorema de Pitágoras a2 b2 c2 a c Cateto Cateto Hipotenusa b C A B Figura 101 197 MATEMÁTICA Vejamos a seguir mais algumas relações métricas no triângulo retângulo B A C b h m c n a Figura 102 b2 ma c2 na h2 mn bc ah Estudamos também algumas relações trigonométricas no triângulo retângulo elas aparecem em várias aplicações de física que envolvam forças Vejamos agora algumas dessas relações sen2x cos2x 1 cateto oposto sen hipotenusa α cateto adjacente cos hipotenusa α senx cateto oposto tgx cosx cateto adjacente Para triângulos quaisquer vimos as leis do seno e do cosseno e algumas aplicações Lei dos senos a b c senA senB senC 198 Unidade IV Lei dos cossenos 2 2 2 a b c 2 b c cosA 2 2 2 b a c 2 a c cosB 2 2 2 c a b 2 a b cosC Exercícios Questão 1 Enade 2008 adaptada As duas figuras a seguir mostram uma representação da Terra iluminada pelo Sol Ambas correspondem ao 1o dia do verão no hemisfério sul A primeira foi obtida às 9 h da manhã com relação ao meridiano de Greenwich GMT Greenwich Mean Time A segunda imagem foi obtida três horas depois ou seja ao meiodia GMT As imagens podem ser usadas para se determinar o horário do amanhecer e do pôr do sol em qualquer cidade do mundo Nas figuras foi introduzido um sistema de coordenadas cartesianas no qual a linha do Equador é representada pelo eixo dos x dado em graus e o meridiano de Greenwich pelo eixo dos y também dado em graus de modo que y90 no polo norte e y90 no polo sul Nove horas da manhã GMT Meiodia GMT y y x x Figura Considere que t seja o tempo em horas de modo que t 0 corresponda ao meiodia GMT Escolha a opção que descreve um modelo mais preciso do deslocamento da curva que separa a área iluminada da região de sombra na Terra no dia representado nas figuras 199 MATEMÁTICA A y 75 cos x 15 t B y 75 sen x 24 t C y 75 sen x 15 t D y 90 cos x 24 t E y 90 sen x 24 t Resposta correta alternativa A Análise da questão Pelos dados da questão concluímos o que segue A amplitude é um valor menor que 90o Para x 0 y é diferente de 0 O modelo para o deslocamento da curva deve obedecer a função cosseno e não a função seno conforme mostrado na sequência y x Figura Função cosseno sobreposta à imagem da área iluminada Logo a única alternativa que atende aos dados da questão é a alternativa A Questão 2 As chapas metálicas são em geral obtidas a partir placas fundidas que sofrem redução de espessura por um processo conhecido como laminação Por consequência da redução de espessura há um aumento no comprimento da chapa Para provocar grandes reduções de espessura é necessário que a chapa sofra sucessivas pequenas reduções até que se obtenha a espessura desejada Cada operação de redução de espessura é conhecida como passe de laminação 200 Unidade IV A seguir é possível observar a produção de uma bobina de material metálico a partir da laminação em um laminador duo Laminador Duo Bobinador Figura Bobina de material metálico sendo produzida a partir de um processo de laminação Fonte httpwwwzzhzzgcnproduct310884006210052606Supplyaluminumcastingmillhtmltracelogcgsotherproduct1 Acesso em 13 fev 2019 A redução de espessura ocorre quando a distância entre os cilindros de laminação é menor que a espessura da chapa Assim quando uma chapa de espessura h0 passa por um laminador ela sofre redução para uma espessura hf como pode ser observado na sequência h0 hf Cilindro Cilindro Cilindro Cilindro Distância entre os cilindros Figura Chapa de espessura h0 sendo reduzida para espessura hf Na figura prévia o ângulo α é conhecido com ângulo de contato entre a chapa e o cilindro durante a laminação Este ângulo é função dos diâmetros dos cilindros da espessura inicial e da redução que se deseja Quanto maior a redução desejada maior será este ângulo Em um laminador em que os cilindros possuem 350 mm de diâmetro em um passe de laminação a chapa que tinha de 20 mm passa pelos cilindros de laminação com um ângulo de contato de 10º Nessa situação a espessura da chapa após o passe de laminação é aproximadamente 201 MATEMÁTICA A 147 mm B 173 mm C 53 mm D Zero E 27 mm Resolução desta questão na plataforma 202 REFERÊNCIAS Textuais BARBONI A PAULETTE W Cálculo e análise cálculo diferencial e integral Fundamentos de matemática Rio de Janeiro LTC 2007 BOYER C B História da matemática 2 ed São Paulo Edgard Blucher 1996 BRADLEY G L HOFFMANN L D Cálculo um curso moderno e suas aplicações Rio de Janeiro LTC 2008 CELESTINO K G PACHECO E R Bhaskara algumas evidências In ENCONTRO REGIONAL DE ESTUDANTES DE MATEMÁTICA DO SUL 16 2010 Porto Alegre Anais Porto Alegre Puc 2010 Disponível em httpwwwpucrsbredipucrserematsulcomunicacoes26kamilacelestinopdf Acesso em 7 jan 2019 DEMANA F et al Précálculo São Paulo Pearson Education do Brasil 2009 FLEMMING D M GONÇALVES M B Cálculo A funções limite derivação integração São Paulo Makron Books 1992 HOFFMANN L D Cálculo um curso moderno e suas aplicações 7 ed Rio de Janeiro LTC 2002 IEZZI G DOLCE O MACHADO A Matemática e realidade Ensino Fundamental 5 ed São Paulo Atual 2005 INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA Inep Exame Nacional do Ensino Médio Enem 2014 Prova de Redação e de Linguagens Códigos e suas Tecnologias Prova de Matemática e suas Tecnologias Questão 175 Disponível em httpdownload inepgovbreducacaobasicaenemprovas2014CADENEM2014DIA205AMARELOpdf Acesso em 11 jan 2019 Exame Nacional do Ensino Médio Enem 2015 Prova de Redação e de Linguagens Códigos e suas Tecnologias Prova de Matemática e suas Tecnologias Questão 180 Disponível em http downloadinepgovbreducacaobasicaenemprovas2015CADENEM202015DIA20207AZUL pdf Acesso em 11 jan 2019 Exame Nacional do Ensino Médio Enem 2017 Prova de Redação e de Linguagens Códigos e suas Tecnologias Prova de Matemática e suas Tecnologias Questão 146 Disponível em http downloadinepgovbreducacaobasicaenemprovas2017cad5provaamarelo12112017pdf Acesso em 11 jan 2019 LEITHOLD L O cálculo com geometria analítica Cap 11 São Paulo Harbra 1994 203 SCHEELYBERT R Considerações sobre o método de datação pelo Carbono14 e alguns comentários sobre a datação de sambaquis Revista do Museu de Arqueologia e Etnologia v 9 p 297301 1999 Disponível em wwwrevistasuspbrrevmaearticleview109360 Acesso em 11 jan 2019 SILVA L P M O que são seno cosseno e tangente Brasil Escola Disponível em httpsbrasilescola uolcombroqueematematicaoquesaosenocossenotangentehtm Acesso em 11 jan 2019 SÓ MATEMÁTICA Função quadrática Virtuous Tecnologia da Informação 19982019 Disponível em httpswwwsomatematicacombremediofuncao2funcao2php Acesso em 11 jan 2019 Números complexos Virtuous Tecnologia da Informação 19982019 Disponível em https wwwsomatematicacombremediocomplexoscomplexosphp Acesso em 7 jan 2019 STEWART J Cálculo São Paulo PioneiraThomson Learning 2001 v I THOMAS G Cálculo 11 ed São Paulo Pearson 2009 v I Exercícios Unidade II Questão 2 INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA Inep Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes Enade 2008 Matemática Questão 11 Disponível em httpdownloadinepgovbrdownloadEnade2008RNPMATEMATICApdf Acesso em 19 fev 2019 Unidade IV Questão 1 INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA Inep Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes Enade 2008 Engenharia Grupo II Questão 13 Disponível em httpdownloadinepgovbrdownloadEnade2008RNPENGENHARIA IIpdf Acesso em 19 fev 2019 Informações wwwsepiunipbr ou 0800 010 9000
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160 Unidade IV Unidade IV Nas funções periódicas os valores se repetem após um período Estudaremos algumas delas serão nosso objeto de estudo as funções seno cosseno e tangente Tais funções têm aplicações em física geometria analítica entre outras Saiba mais Para obter informações sobre funções trigonométricas consulte FLEMMING D M GONÇALVES M B Cálculo A funções limite derivação integração São Paulo Makron Books 1992 7 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Antes da definição das funções trigonométricas precisamos conhecer o conceito de ciclo trigonométrico Tratase de uma circunferência de centro 0 e raio 1 conforme modelo a seguir 0 1 1 1 1 Figura 64 71 Função seno No ciclo trigonométrico a função seno terá seus valores representados no eixo y o qual chamaremos de eixo dos senos Observe a seguir 161 MATEMÁTICA Eixo dos senos 0 1 1 2π π2 π 3π2 Figura 65 A função seno será definida por f IR IR fx sen x Observação Podemos escrever a função seno de x de duas maneiras com ou sem o uso de parênteses isto é pode ser y senx ou simplesmente y senx A fim de usar o ciclo trigonométrico para representar o valor do senx localizaremos o ângulo x e faremos a projeção no eixo dos senos eixo y a medida 0M será o valor de senx vejamos a seguir 1 1 1 1 0 M senx x Figura 66 Observando a figura anterior notamos algumas características da função seno Sinal seno será positivo se x estiver no 1 e 2 quadrantes negativo no 3 e 4 quadrantes e nulo quando x 0 ou x π ou x 2π isto é 162 Unidade IV senx 0 se 0 x senx 0 se x 2 senx 0 se x 0 ou x ou x 2 π π π π π Domínio não há restrição para os valores de x é possível calcular seno de x para qualquer x real assim podemos escrever que Df IR ou Df IR Imagem pelo ciclo trigonométrico notamos que os valores encontrados para y senx estão entre 1 e 1 isto é Imf y IR 1 y 1 Período notamos que a função seno inicia com valor zero quando x 0 Conforme os valores de x aumentam a função assume valores até ficar igual a 1 Quando x ou x 90º 2 π volta a diminuir passando por zero quando x π ou x 180º e chega ao valor mínimo de 1 quando 3 x ou x 270º 2 π voltando a aumentar até chegar em zero novamente quando x 2π ou x 360º Acabada a 1ª volta isto é 0 x 2π notamos que os valores vão se repetir o período da função seno será p 2π Gráfico o gráfico da função seno tem o formato de uma curva suave chamada de senoide geralmente é construído com o auxílio de uma tabela de pontos com valores suficientes para que se tenha todo o período 2π 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x y 3π2 fx senx π π2 Figura 67 Lembrete A senoide é uma curva suave que não deve ser construída unindo segmentos de retas 163 MATEMÁTICA Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado Exemplo 1 Esboçar o gráfico da função y 2senx depois determinar domínio imagem e período da função Solução Para fazer o gráfico da função utilize uma tabela de pontos os valores de x escolhidos serão os arcos notáveis Tabela 32 x y 2senx xy 0 y 2sen0 0 00 π2 y 2senπ2 2 1 2 π22 π y 2senπ 2 0 0 π0 3π2 y 2 sen3π2 2 1 2 3π22 2 π y 2 sen2π 2 0 0 2π0 Para efetuar os cálculos de senx na calculadora confira sempre se está no modo rad ou R para ângulos em radianos ou no modo Deg ou D para ângulos em graus 1 2 2 1 2π 3π2 π π2 2 3 4 5 6 7 0 Figura 68 O domínio da função é Df IR a imagem é Imf y IR 2 y 2 e o período é p 2π Observação Perceba que multiplicar senx por 2 não alterou o domínio nem o período mas modificou a imagem em relação à função y senx 164 Unidade IV Exemplo 2 Esboçar o gráfico da função y sen2x depois determinar domínio imagem e período da função Solução Para esboçar o gráfico da função utilizaremos uma tabela de pontos os valores de x escolhidos serão os arcos notáveis Tabela 33 x y sen2x xy 0 y sen20 sen0 0 00 π2 y sen2π2 senπ 0 π2 0 π y sen2π 0 π 0 3π2 y sen23π2 sen3π 0 3π2 0 2 π y sen2π2 sen4π 0 2π 0 Note que todos os valores de y encontrados são iguais a zero monte outra tabela com valores intermediários Tabela 34 x y sen2x xy 0 y sen20 sen0 0 00 π4 y sen2π4 senπ2 1 π4 1 π2 y sen2π2 senπ 0 π2 0 3π4 y sen23π4 sen3π2 1 3π4 1 π y sen2π 0 π 0 5π4 y sen25π4 sen5π2 1 5π4 1 3π2 y sen23π2 sen3π 0 3π2 0 7π4 y sen27π4 sen7π2 1 7π4 1 2 π y sen22π sen4π 0 2π 0 Antes de esboçar o gráfico de y sen2x notamos que o período agora é p π assim podemos colocar no gráfico somente os valores de x entre 0 e π isto é 0 x π 1 1 0 1 1 2 3 4 π4 π2 3π4 π Figura 69 165 MATEMÁTICA O domínio da função é Df IR a imagem é Imf y IR 1 y 1 e o período é p π Exemplo 3 Sabemos que o domínio da função y senx é p 2π o período da função é alterado quando multiplicamos x por um número n e daí o período da nova função y sennx passa a ser 2 p n π Determinar o período das funções a y sen4x Solução Neste caso n 4 assim o período da função y sen4x será 2 p 4 π isto é p 2 π b x y sen 8 Solução Neste caso 1 n 8 assim o período da função x y sen 8 será 2 p 1 8 π isto é 8 p 2 16 1 π π 72 Função cosseno No ciclo trigonométrico a função cosseno terá seus valores representados no eixo x que chamaremos de eixo dos cossenos Observe a seguir Eixo dos cossenos 0 1 1 2π π2 π 3π2 Figura 70 A função cosseno será definida por f IR IR fx cos x 166 Unidade IV Observação Podemos escrever a função cosseno de x de duas maneiras com ou sem o uso de parênteses isto é y cosx ou simplesmente y cosx A fim de usar o ciclo trigonométrico para representar o valor do cosx localizaremos o ângulo x e faremos a projeção no eixo dos cossenos eixo x a medida 0N será o valor de cosx vejamos a seguir 1 1 1 1 0 N cosx x Figura 71 Observando a figura anterior notamos algumas características da função cosseno Sinal cosseno será positivo se x estiver no 1 e 4 quadrantes negativo no 2 e 3 quadrantes e nulo quando x 2 π ou 3 x 2 π isto é 3 cosx 0 se 0 x ou x 2 2 2 3 cosx 0 se 2 x 2 3 cosx 0 se x 2 ou x 2 π π π π π π π Domínio não há restrição para os valores de x é possível calcular cosseno de x para qualquer x real assim podemos escrever que Df IR ou Df IR 167 MATEMÁTICA Imagem pelo ciclo trigonométrico notamos que os valores encontrados para y cosx estão entre 1 e 1 isto é Imf y IR 1 y 1 Período notamos que a função cosseno inicia com valor 1 quando x 0 Conforme os valores de x aumentam a função assume valores até ficar igual a 0 Quando x ou x 90º 2 π continua a diminuir chegando ao valor mínimo em 1 quando x π ou x 180º e volta a aumentar chegando ao valor 0 quando 3 x ou x 270º 2 π continuando a aumentar até chegar a 1 novamente quando x 2π ou x 360º Acabada a 1ª volta isto é 0 x 2π notamos que os valores vão se repetir assim o período da função cosseno será p 2π Gráfico o gráfico da função cosseno tem o formato de uma curva suave chamada de cossenoide Geralmente é construído com o auxílio de uma tabela de pontos com valores suficientes para que se tenha todo o período Lembrete A cossenoide é uma curva suave que não deve ser construída unindo segmentos de retas 1 1 1 2π 3π2 π π2 2 3 4 5 6 7 0 1 Figura 72 Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado Exemplo 1 Esboçar o gráfico da função y 2cosx depois determinar domínio imagem e período da função 168 Unidade IV Solução Para esboçar o gráfico da função utilizaremos uma tabela de pontos os valores de x escolhidos serão os arcos notáveis Tabela 35 x y 2cosx xy 0 y 2cos0 21 2 02 π2 y 2cosπ2 2 0 0 π2 0 π y 2cosπ 2 1 2 π 2 3π2 y 2 cos3π2 2 0 0 3π2 0 2 π y 2 cos2π 2 1 2 2π 2 Para efetuar os cálculos de cosx na calculadora confira sempre se está no modo rad ou R para ângulos em radianos ou no modo Deg ou D para ângulos em graus 1 2 1 2π 3π2 π π2 2 3 4 5 6 7 0 2 Figura 73 O domínio da função é Df IR a imagem é Imf y IR 2 y 2 e o período é p 2π Observação Perceba que multiplicar cosx por 2 não alterou o domínio nem o período mas modificou a imagem em relação à função y senx Exemplo 2 Esboçar o gráfico da função y cos2x depois determinar domínio imagem e período da função 169 MATEMÁTICA Solução A fim de esboçar o gráfico da função utilizaremos uma tabela de pontos Os valores de x escolhidos serão os arcos notáveis Tabela 36 x y cos2x xy 0 y cos20 cos0 1 0 1 π2 y cos2π2 cosπ 1 π2 1 π y cos2π 1 π 1 3π2 y cos23π2 cos3π 0 3π2 1 2 π y cos2π2 cos4π 1 2π 1 Note que ainda faltam alguns valores de y para facilitar o esboço do gráfico os valores quando y é igual a zero Montaremos outra tabela com valores intermediários Tabela 37 x y sen2x xy 0 y cos20 cos0 1 0 1 π4 y cos2π4 cosπ2 0 π4 0 π2 y cos2π2 cosπ 1 π2 1 3π4 y cos23π4 cos3π2 0 3π4 0 π y cos2π 1 π 1 5π4 y cos25π4 cos5π2 0 5π4 0 3π2 y cos23π2 cos3π 1 3π2 1 7π4 y cos27π4 cos7π2 0 7π4 0 2 π y sen22π sen4π 1 2π 1 Antes de esboçar o gráfico de y cos2x notamos que o período agora é p π assim podemos colocar no gráfico somente os valores de x entre 0 e π isto é 0 x π 1 1 0 1 1 2 3 4 π4 π2 3π4 π Figura 74 O domínio da função é Df IR a imagem é Imf y IR 1 y 1 e o período é p π 170 Unidade IV Observação Perceba que multiplicar x por 2 na função y cos2x não alterou o domínio nem a imagem mas modificou o período da função em relação à função y cosx Exemplo 3 Sabemos que o domínio da função y cosx é p 2π o período da função é alterado quando multiplicamos x por um número n e o período da nova função y cosnx passa a ser 2 p n π Determinar o período das funções a y cos4x Solução Neste caso n 4 assim o período da função y cos4x será 2 p 4 π isto é p 2 π b x y cos 3 Solução Neste caso 1 n 3 o período da função x y cos 3 será 2 p 1 3 π isto é 3 p 2 6 1 π π 73 Função tangente No ciclo trigonométrico a função tangente terá seus valores representados em uma reta paralela ao eixo x passando no ponto 10 o qual chamaremos de eixo das tangentes Observe a seguir Eixo das tangentes 0 1 2π π2 π 3π2 Figura 75 171 MATEMÁTICA A função tangente será definida por f D IR fx tg x com 2k 1 D x IR x k Z 2 π Observação Podemos escrever a função tangente de x de duas maneiras com ou sem o uso de parênteses isto é pode ser y tgx ou simplesmente y tgx A fim de usar o ciclo trigonométrico para representar o valor do tgx localizaremos o ângulo x e faremos a projeção no eixo das tangentes a medida AS será o valor de tgx vejamos a seguir 1 1 1 1 0 N S A tgx cosx x Figura 76 Observando a figura anterior notamos algumas características da função tangente Sinal tangente é positivo se x estiver no 1 e 3 quadrantes negativo no 2 e 4 quadrantes e nulo quando x 0 ou x π isto é 3 tgx 0 se 0 x ou x 2 2 3 tgx 0 se x ou x 2 2 2 tgx 0 se x 0 ou x π π π π π π π π 172 Unidade IV Domínio há restrição para os valores de x não é possível calcular tangente de x para x 2 π e 3 x 2 π não há interseção com o eixo das tangentes Assim 2k 1 Df x IR x k Z 2 π Imagem pelo ciclo trigonométrico notamos que os valores encontrados para y tgx vão de até Assim Im f IR Período para valores de x entre 0 e isto é 0 x 2 2 π π os valores da tangente vão de zero a infinito para valores de x entre 3 e isto é x 2 2 2 π π π π os valores da tangente vão de zero a menos infinito Observe que no 3º e 4º quadrantes os valores se repetem Assim o período da função tangente será p π Gráfico o gráfico da função tangente tem o formato de uma curva suave geralmente é construído com o auxílio de uma tabela de pontos com valores suficientes para que se tenha todo o período 1 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2π 3π2 π π2 Figura 77 Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado Exemplo 1 Esboçar o gráfico da função y 2 tgx depois determinar domínio imagem e período da função 173 MATEMÁTICA Solução A fim de esboçar o gráfico da função utilizaremos uma tabela de pontos Para a função tangente acrescentaremos alguns valores na tabela Tabela 38 x y 2tgx xy 0 y 2tg0 20 0 00 π4 y 2tgπ4 21 2 π4 2 π2 Não existe 3π4 y 2tg3π4 21 2 3π4 2 π y 2cosπ 2 0 0 π 0 5π4 y 2tg5π4 21 2 5π4 2 3π2 Não existe 2 π y 2 tg2π 2 0 0 2π 0 Para efetuar os cálculos de tgx na calculadora confira sempre se está no modo rad ou R para ângulos em radianos e no modo Deg ou D para ângulos em graus 2 2 π4 π2 3π4 π 5π4 3π2 2π Figura 78 O domínio é 2k 1 Df x IR x k Z 2 π a imagem é Imf IR e o período é p π Exemplo 2 Esboçar o gráfico da função y tg2x depois determinar domínio imagem e período da função 174 Unidade IV Solução A fim de esboçar o gráfico da função utilizaremos uma tabela de pontos para a função tangente acrescentaremos alguns valores na tabela Tabela 39 x y tg2x xy 0 y tg20 tg0 0 00 π4 y tg2π4 tgπ2 Não existe π2 y tg2π2 tgπ 0 π2 0 3π4 y tg23π4 tg3π2 Não existe π y tg2π 0 π 0 5π4 y tg25π4 tg5π2 Não existe 3π2 y tg23π2 tg3π0 3π2 0 7π4 y tg27π4 tg7π2 Não existe 2 π y tg4π 0 2π 0 Figura 79 O domínio é 2k 1 Df x IR x k Z 4 π a imagem é Imf IR e para determinar o domínio vamos fazer a diferença entre dois valores consecutivos onde não existe a tangente por exemplo 3 2 4 4 4 2 π π π π logo o período é p 2 π 74 Ampliando seu leque de exemplos Exemplo 1 Sabemos que o domínio da função y senx é p 2π o período da função é alterado quando multiplicamos x por um número n e o período da nova função y sennx passa a ser 2 p n π Determinar o período das funções a y sen3x Solução Neste caso n 3 assim o período da função y sen3x será 2 p 3 π isto é 2 p 3 π 175 MATEMÁTICA b x y sen 2 Solução Neste caso 1 n 2 assim o período da função x y sen 2 será 2 p 1 2 π isto é 2 p 2 4 1 π π Exemplo 2 Determinar a imagem da função y 3senx Solução Sabemos que y senx tem imagem entre 1 e 1 isto é 1 y 1 quando multiplicamos senx por 3 ela será multiplicada por 3 assim a imagem de y 3senx será 1 y 1 3 y 3 Logo a imagem da função y 3senx será 3 y 3 Observação Podemos escrever a expressão y 3senx ou simplesmente y 3senx com ou sem a indicação da multiplicação Note que não há outra interpretação possível para a expressão com ou sem a indicação da operação de multiplicação Exemplo 3 Determinar a imagem da função y 2 3senx Solução Sabemos que y senx tem imagem entre 1 e 1 isto é 1 y 1 quando multiplicamos senx por 3 ela será multiplicada por 3 assim a imagem de y 3senx será 3 y 3 Mas ainda pecisamos considerar o número que está sendo somado ao cálculo do 3senx a imagem da função y 2 3senx será acrescida desse valor isto é ela será 1 y 5 176 Unidade IV Logo a imagem da função y 2 3senx será 1 y 5 Exemplo 4 Sabemos que o domínio da função y cosx é p 2π o período da função é alterado quando multiplicamos x por um número n e o período da nova função y cosnx passa a ser 2 p n π Determinar o período das funções a y cos5x Solução Neste caso n 5 assim o período da função y cos5x será 2 p 5 π isto é 2 p 5 π b x y cos 7 Solução Neste caso 1 n 7 assim o período da função x y cos 7 será 2 p 1 7 π isto é 7 p 2 14 1 π π Exemplo 5 Determinar a imagem da função y 3cosx Solução Sabemos que y cosx tem imagem entre 1 e 1 isto é 1 y 1 quando multiplicamos cosx por 3 ela será multiplicada por 3 assim a imagem de y 3cos será 1 y 1 3 y 3 Logo a imagem da função y 3cosx será 3 y 3 Exemplo 6 Determinar o valor máximo da função y 8 3 cos4x 177 MATEMÁTICA Solução Sabemos que o valor máximo da função y cos4x é y 1 logo o valor máximo da função y 8 3 cos4x ocorre quando cos4x 1 assim teremos que o máximo da função é y 8 3 1 8 3 11 Logo o máximo da função y 8 3 cos4x será igual a 11 Exemplo 7 Enem 2017 adaptado Raios solares atingem a superfície de um lago formando um ângulo x com a superfície o ângulo x está entre 0º e 90º Em determinadas condições a intensidade luminosa dos raios solares na superfície do lago é dada pela expressão Ix ksenx sendo k uma constante Determine a qual percentual de seu valor máximo a intensidade luminosa se reduz quando x 30º Solução Na figura a seguir temos a representação do nosso problema x Figura 80 A intensidade luminosa máxima ocorre quando senx 1 isto é Ix k Quando x 30º temos I30 ksen30 logo I30 05 k Comparando os dois valores temos que I30 é 50 da intensidade máxima 178 Unidade IV Exemplo 8 Enem 2015 adaptado Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística IBGE produtos sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção consumo e preços Isto é em determinadas épocas do ano temos escassez do produto preços mais altos e em outras épocas temos abundância do produto preço mais baixos Certo produto sazonal tem o preço do quilograma em reais descrito pela função x Px 8 5cos 6 π π sendo x o mês do ano onde x 1 é associado a janeiro x 2 é associado a fevereiro e assim por diante até x 12 Determine o mês de produção máxima desse produto Solução A produção máxima ocorre no mês da safra e daí teremos o preço mais baixo O cosx tem seu valor mínimo igual a 1 assim o preço será mínimo quando x cos 1 6 π π Isto é x 6 π π π x 6 π π π Colocando π em evidência e simplificando temos x 1 6 x 1 6 x 7 Como x 7 temos o mês de julho 179 MATEMÁTICA 8 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Estudaremos agora algumas relações trigonométricas úteis em várias áreas 81 Relações métricas no triângulo retângulo Triângulo retângulo é uma figura geométrica com três lados e um dos ângulos reto isto é um ângulo de 90º Os lados de um triângulo retângulo são chamados de catetos e de hipotenusa A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto como podemos ver a seguir B A C a b c Cateto Cateto Hipotenusa Figura 81 No triângulo retângulo temos o teorema de Pitágoras que relaciona os catetos e a hipotenusa a soma do quadrado dos catetos é igual à hipotenusa ao quadrado isto é a2 b2 c2 Em um triângulo retângulo temos outras relações entre as suas medidas associe algumas delas e observe a seguir B A C b c n m a Figura 82 Além do teorema de Pitágoras temos as relações b2 ma c2 na 180 Unidade IV h2 mn bcah Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado Exemplo 1 Dado o triângulo retângulo ABC conforme a figura a seguir determine o valor de x B A C 7 cm 9 cm x Figura 83 Solução O triângulo é retângulo logo podemos utilizar o teorema de Pitágoras para determinar o valor de x Conforme a figura anterior temos Catetos b 7 cm e c 9 cm Hipotenusa x a ser determinada Substituindo no teorema de Pitágoras a2 b2 c2 x2 72 92 x2 49 81 x2 130 x 130 Como x é uma medida que só tem significado se x 0 logo x 1140 cm 181 MATEMÁTICA Exemplo 2 Sabese que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º Considerando o triângulo retângulo representado na sequência determine a medida do ângulo A C B A 42º Figura 84 Solução No triângulo ABC temos ângulo C 42º e ângulo B 90º A B C 180º A 90º 42º 180º A 180º 90º 42º A 180º 90º 42º A 48º Exemplo 3 Observando o triângulo na figura anterior determine o valor de a m n h B A C 3 cm 4 cm n h m a Figura 85 182 Unidade IV Solução Sabemos que no triângulo retângulo vale o teorema de Pitágoras assim 2 2 2 2 2 2 2 a b c a 3 4 a 9 16 2a 25 a 5 Como a é a medida do lado do triângulo só tem significado se for positivo assim a 5 cm Na relação b2 ma obter o valor de m 2 2 b m a 3 m 5 9 m 5 m 18 cm Na relação c2 na obter o valor de n 2 2 c n a 4 n 5 16 n 5 n 32 cm Na relação h2 mn obter o valor de h 2 2 h m n h 18 32 h2 576 h 576 h 24 Como h 0 temos h 24 cm 183 MATEMÁTICA 82 Trigonometria no triângulo retângulo Quando observamos o ciclo trigonométrico e os valores de seno e cosseno notamos a existência de triângulos retângulos conseguindo assim relacionar catetos hipotenusa e as funções trigonométricas Retomaremos o ciclo trigonométrico e representaremos o seno de x e o cosseno de x no mesmo ciclo conforme veremos a seguir 1 1 1 1 0 M senx x 0 N P cosx x Figura 86 Notamos que os triângulos retângulos 0MP e 0NP são congruentes Destacaremos um deles para fora do ciclo trigonométrico por exemplo o triângulo 0NP 1 0 N cosx x senx P Figura 87 Observando o triângulo anterior podemos escrever a relação fundamental sen2x cos2x 1 Observação Para indicar que a função seno ou cosseno está ao quadrado temos duas formas corretas sen2x ou senx2 se escrevermos senx2 sem o uso dos parênteses estaremos indicando que somente x está ao quadrado e não o valor de senx 184 Unidade IV Em um triângulo retângulo temos que o seno de um ângulo é a razão entre as medidas do cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa assim se considerarmos o triângulo a seguir teremos C B A c b a α β Figura 88 Em relação ao ângulo α cateto oposto é c e hipotenusa b Em relação ao ângulo β cateto oposto é a e hipotenusa b Assim cateto oposto sen hipotenusa α isto é c sen b α cateto oposto sen hipotenusa β isto é a sen b β Em um triângulo retângulo temos que o cosseno de um ângulo é a razão entre as medidas do cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa assim se considerarmos o triângulo anterior teremos Em relação ao ângulo α cateto adjacente é a e hipotenusa b Em relação ao ângulo β cateto oposto é c e hipotenusa b Assim cateto adjacente cos hipotenusa α isto é a cos b α cateto adjacente cos hipotenusa β isto é c cos β b 185 MATEMÁTICA De modo semelhante podemos escrever a tangente de um ângulo como a razão entre cateto oposto e cateto adjacente pois temos senx tgx cosx e substituindo as expressões anteriores cateto oposto tg α cateto adjacente isto é c tg a α cateto oposto tg β cateto adjacente isto é a tg c β Exemplo 1 Determinar o valor de x nos triângulos a C B A 10 30º x Figura 89 O triângulo ABC é retângulo Podemos determinar o valor de x utilizando cos30 e a razão entre cateto adjacente e hipotenusa Não vamos utilizar a expressão para o sen30 pois não precisamos calcular o valor do cateto oposto Assim temos cateto adjacente cos hipotenusa α x cos30 10 x 087 10 x 087 10 x 87 Lembrese de verificar se a calculadora está no modo Deg ou D para calcular cos30 186 Unidade IV b A 12 C B 47º x Figura 90 O triângulo ABC é retângulo Podemos determinar o valor de x utilizando sen47º e a razão entre cateto oposto e hipotenusa Nesse caso não utilizaremos o cos47 pois não precisamos calcular o valor do cateto adjacente ao ângulo Assim temos cateto oposto sen hipotenusa α x sen47 12 x 073 12 x 073 12 x 876 Exemplo 2 Soltaremos um carrinho do topo de uma rampa que forma ângulo de 45º com a parede Se o topo da rampa está a 5 m do chão determine qual o comprimento da rampa Solução Inicialmente montaremos o modelo que represente a situação a ser estudada A x C B 5 m 45º Chão Figura 91 187 MATEMÁTICA Nosso modelo é um triângulo retângulo conhecemos o ângulo no vértice A e o cateto adjacente a esse ângulo O que queremos é o valor da hipotenusa então utilizaremos o cos45 como razão entre cateto adjacente e hipotenusa assim cateto adjacente cos hipotenusa α 5 cos45 x 5 071 x x 071 5 5 x 071 x 704 m 83 Relação trigonométrica em um triângulo qualquer As leis que estudaremos valem para triângulos quaisquer isto é para triângulos retângulos e aqueles que não são retângulos 831 Lei dos senos C B A b a c A C B Figura 92 A lei dos senos relaciona o lado oposto ao ângulo e ao seno do ângulo pela expressão a b c senA senB senC 188 Unidade IV Exemplo Determinar o valor de x nos triângulos a seguir a C B 60º 45º A x 18 cm Figura 93 Por se tratar de um triângulo qualquer e serem dados dois dos seus ângulos utilizaremos a lei dos senos Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º assim podemos determinar o valor do ângulo em C A B C 180º 45º 60º C 180º C 180º 45º 60º75º Substituindo na lei dos senos temos a b c senA senB senC x b 18 sen45 sen60 sen75 Calculando o seno de cada um dos ângulos x b 18 071 087 097 189 MATEMÁTICA Podemos multiplicar em cruz duas das frações o mais conveniente nesse caso é utilizar a primeira e a última x 18 071 097 Na sequência multiplicase em cruz 097x 07118 1278 x 097 x 1318 cm b C B 60º 45º A 18 cm x Figura 94 Queremos agora determinar o valor do outro lado do triângulo o lado oposto ao ângulo de 60º utilizando os dados do exemplo anterior Por se tratar de um triângulo qualquer e serem dados dois dos seus ângulos utilizaremos a lei dos senos Já sabemos que o ângulo em C vale 75º Substituindo na lei dos senos temos a b c senA senB senC a x 18 sen45 sen60 sen75 190 Unidade IV Calculando o seno de cada um dos ângulos a x 18 071 087 097 podemos multiplicar em cruz duas das frações o mais conveniente nesse caso é utilizar a segunda e a terceira frações x 18 087 097 Na sequência multiplicase em cruz 097x 087 18 1566 x 097 x 1614 cm 832 Lei dos cossenos C B A b a c Figura 95 A lei dos cossenos relaciona os lados do triângulo e o cosseno de um dos ângulos pela expressão 2 2 2 a b c 2 b c cosA Ela pode ser escrita em função de qualquer um dos três ângulos de nosso triângulo assim teremos também as expressões 2 2 2 b a c 2 a c cosB 2 2 2 c a b 2 a b cosC 191 MATEMÁTICA Observação Para saber se devemos resolver o exercício usando lei do seno ou do cosseno quando se tratar de um triângulo qualquer dependerá dos dados do enunciado Se temos mais ângulos conhecidos normalmente a lei do seno será melhor se temos mais lados do triângulo conhecidos geralmente a lei do cosseno será melhor Exemplo Se um triângulo tem seus lados medindo 10 cm 7 cm e 5 cm determine a medida do ângulo oposto ao lado de medida 7 cm Solução Como temos a medida dos 3 lados do triângulo e precisamos calcular um ângulo utilizaremos a lei dos cossenos 2 2 2 b a c 2 a c cosB 2 2 2 7 10 5 2 10 5 cosB 49 100 25 100 cosB 100 cosB 100 25 49 100 cosB 76 76 cosB 076 100 Como sabemos o valor do cosseno e queremos saber o ângulo precisamos usar a função que nas calculadoras aparece como cos1 assim encontramos B 4054º 192 Unidade IV Saiba mais A fim de adquirir conteúdo adicional sobre seno cosseno e tangente acesse SILVA L P M O que são seno cosseno e tangente Brasil Escola Disponível em httpsbrasilescolauolcombroqueematematicao quesaosenocossenotangentehtm Acesso em 11 jan 2019 84 Ampliando seu leque de exemplos Constam na sequência alguns exercícios para auxiliar no entendimento do conteúdo apresentado Exemplo 1 Você está em um ponto B e vê a janela de um prédio sob ângulo de 20º chegando 40 m mais próximo do prédio em um ponto A observa a mesma janela agora sob ângulo de 30º Determine a distância x do ponto B até a janela b distância y do ponto A até a janela c altura h da janela em relação ao solo desprezando a altura do observador Solução a Inicialmente montaremos o modelo matemático do nosso problema C D A B 40 m x y h 30º 20º Figura 96 Sabemos que a soma do ângulo externo com o ângulo interno de um triângulo é 180º então no vértice A temos 180º 30º 150º isto no triângulo BAC o ângulo A vale 150º E como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º temos a medida do ângulo C do triângulo 193 MATEMÁTICA C 180º A B C 180º 150º 20º C 10º Vejamos a seguir o triângulo BAC C D A B 40 m x y 10º 150º 20º Figura 97 Pela lei dos senos temos a b c senA senB senC x 40 y sen150 sen10 sen20 Multiplicando em cruz as duas primeiras frações temos x 40 sen150 sen10 x 40 05 017 017 x 40 05 40 05 x 017 x 117 64 m 194 Unidade IV b Para determinar o valor de y multiplicaremos em cruz a segunda e a terceira frações 40 y 017 034 017 y 40 034 40 034 y 017 136 y 017 y 80 m c Para determinar a altura da janela trabalharemos agora com o triângulo ADC C D A 80 m h 30º Figura 98 Como o triângulo ADC é retângulo podemos usar sen30 para calcular a altura h cateto oposto sen30 hipotenusa h sen30 80 h 80 sen30 h 80 05 h 40 m 195 MATEMÁTICA A janela está a 40 m do chão Exemplo 2 Em Física temos os conceitos de trabalho τ força F e deslocamento d de um corpo calculados pela fórmula τ F d cos θ Determine o trabalho realizado pela força F de intensidade 30 N newtons aplicada a um bloco formando um ângulo de 30º com o vetor deslocamento que tem valor absoluto d 5 m 30º d Figura 99 Solução Segundo o enunciado temos F 30 N θ 30º d 5 m Substituindo os dados na fórmula temos τ F d cos θ 30 5 cos30 30 5 087 1305J τ τ τ Assim o trabalho realizado foi de 1305 J joules Exemplo 3 Em um aeroporto um avião ao decolar sobe formando ângulo de 30º com a pista Qual a altura do avião após percorrer 800 m 196 Unidade IV Solução Inicialmente faremos o modelo matemático do problema 800 m 30º h Figura 100 O deslocamento do avião é a hipotenusa do nosso triângulo queremos saber o cateto oposto ao ângulo assim usaremos o sen30º h sen30 800 h 05 800 h 400m O avião estará a 400 m de altura Resumo Nesta unidade tivemos contato com algumas funções trigonométricas seno cosseno e tangente Antes porém vimos algumas relações métricas no triângulo retângulo e relações trigonométricas em triângulos retângulos e em triângulos quaisquer No triângulo retângulo observamos o teorema de Pitágoras a2 b2 c2 a c Cateto Cateto Hipotenusa b C A B Figura 101 197 MATEMÁTICA Vejamos a seguir mais algumas relações métricas no triângulo retângulo B A C b h m c n a Figura 102 b2 ma c2 na h2 mn bc ah Estudamos também algumas relações trigonométricas no triângulo retângulo elas aparecem em várias aplicações de física que envolvam forças Vejamos agora algumas dessas relações sen2x cos2x 1 cateto oposto sen hipotenusa α cateto adjacente cos hipotenusa α senx cateto oposto tgx cosx cateto adjacente Para triângulos quaisquer vimos as leis do seno e do cosseno e algumas aplicações Lei dos senos a b c senA senB senC 198 Unidade IV Lei dos cossenos 2 2 2 a b c 2 b c cosA 2 2 2 b a c 2 a c cosB 2 2 2 c a b 2 a b cosC Exercícios Questão 1 Enade 2008 adaptada As duas figuras a seguir mostram uma representação da Terra iluminada pelo Sol Ambas correspondem ao 1o dia do verão no hemisfério sul A primeira foi obtida às 9 h da manhã com relação ao meridiano de Greenwich GMT Greenwich Mean Time A segunda imagem foi obtida três horas depois ou seja ao meiodia GMT As imagens podem ser usadas para se determinar o horário do amanhecer e do pôr do sol em qualquer cidade do mundo Nas figuras foi introduzido um sistema de coordenadas cartesianas no qual a linha do Equador é representada pelo eixo dos x dado em graus e o meridiano de Greenwich pelo eixo dos y também dado em graus de modo que y90 no polo norte e y90 no polo sul Nove horas da manhã GMT Meiodia GMT y y x x Figura Considere que t seja o tempo em horas de modo que t 0 corresponda ao meiodia GMT Escolha a opção que descreve um modelo mais preciso do deslocamento da curva que separa a área iluminada da região de sombra na Terra no dia representado nas figuras 199 MATEMÁTICA A y 75 cos x 15 t B y 75 sen x 24 t C y 75 sen x 15 t D y 90 cos x 24 t E y 90 sen x 24 t Resposta correta alternativa A Análise da questão Pelos dados da questão concluímos o que segue A amplitude é um valor menor que 90o Para x 0 y é diferente de 0 O modelo para o deslocamento da curva deve obedecer a função cosseno e não a função seno conforme mostrado na sequência y x Figura Função cosseno sobreposta à imagem da área iluminada Logo a única alternativa que atende aos dados da questão é a alternativa A Questão 2 As chapas metálicas são em geral obtidas a partir placas fundidas que sofrem redução de espessura por um processo conhecido como laminação Por consequência da redução de espessura há um aumento no comprimento da chapa Para provocar grandes reduções de espessura é necessário que a chapa sofra sucessivas pequenas reduções até que se obtenha a espessura desejada Cada operação de redução de espessura é conhecida como passe de laminação 200 Unidade IV A seguir é possível observar a produção de uma bobina de material metálico a partir da laminação em um laminador duo Laminador Duo Bobinador Figura Bobina de material metálico sendo produzida a partir de um processo de laminação Fonte httpwwwzzhzzgcnproduct310884006210052606Supplyaluminumcastingmillhtmltracelogcgsotherproduct1 Acesso em 13 fev 2019 A redução de espessura ocorre quando a distância entre os cilindros de laminação é menor que a espessura da chapa Assim quando uma chapa de espessura h0 passa por um laminador ela sofre redução para uma espessura hf como pode ser observado na sequência h0 hf Cilindro Cilindro Cilindro Cilindro Distância entre os cilindros Figura Chapa de espessura h0 sendo reduzida para espessura hf Na figura prévia o ângulo α é conhecido com ângulo de contato entre a chapa e o cilindro durante a laminação Este ângulo é função dos diâmetros dos cilindros da espessura inicial e da redução que se deseja Quanto maior a redução desejada maior será este ângulo Em um laminador em que os cilindros possuem 350 mm de diâmetro em um passe de laminação a chapa que tinha de 20 mm passa pelos cilindros de laminação com um ângulo de contato de 10º Nessa situação a espessura da chapa após o passe de laminação é aproximadamente 201 MATEMÁTICA A 147 mm B 173 mm C 53 mm D Zero E 27 mm Resolução desta questão na plataforma 202 REFERÊNCIAS Textuais BARBONI A PAULETTE W Cálculo e análise cálculo diferencial e integral Fundamentos de matemática Rio de Janeiro LTC 2007 BOYER C B História da matemática 2 ed São Paulo Edgard Blucher 1996 BRADLEY G L HOFFMANN L D Cálculo um curso moderno e suas aplicações Rio de Janeiro LTC 2008 CELESTINO K G PACHECO E R Bhaskara algumas evidências In ENCONTRO REGIONAL DE ESTUDANTES DE MATEMÁTICA DO SUL 16 2010 Porto Alegre Anais Porto Alegre Puc 2010 Disponível em httpwwwpucrsbredipucrserematsulcomunicacoes26kamilacelestinopdf Acesso em 7 jan 2019 DEMANA F et al Précálculo São Paulo Pearson Education do Brasil 2009 FLEMMING D M GONÇALVES M B Cálculo A funções limite derivação integração São Paulo Makron Books 1992 HOFFMANN L D Cálculo um curso moderno e suas aplicações 7 ed Rio de Janeiro LTC 2002 IEZZI G DOLCE O MACHADO A Matemática e realidade Ensino Fundamental 5 ed São Paulo Atual 2005 INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA Inep Exame Nacional do Ensino Médio Enem 2014 Prova de Redação e de Linguagens Códigos e suas Tecnologias Prova de Matemática e suas Tecnologias Questão 175 Disponível em httpdownload inepgovbreducacaobasicaenemprovas2014CADENEM2014DIA205AMARELOpdf Acesso em 11 jan 2019 Exame Nacional do Ensino Médio Enem 2015 Prova de Redação e de Linguagens Códigos e suas Tecnologias Prova de Matemática e suas Tecnologias Questão 180 Disponível em http downloadinepgovbreducacaobasicaenemprovas2015CADENEM202015DIA20207AZUL pdf Acesso em 11 jan 2019 Exame Nacional do Ensino Médio Enem 2017 Prova de Redação e de Linguagens Códigos e suas Tecnologias Prova de Matemática e suas Tecnologias Questão 146 Disponível em http downloadinepgovbreducacaobasicaenemprovas2017cad5provaamarelo12112017pdf Acesso em 11 jan 2019 LEITHOLD L O cálculo com geometria analítica Cap 11 São Paulo Harbra 1994 203 SCHEELYBERT R Considerações sobre o método de datação pelo Carbono14 e alguns comentários sobre a datação de sambaquis Revista do Museu de Arqueologia e Etnologia v 9 p 297301 1999 Disponível em wwwrevistasuspbrrevmaearticleview109360 Acesso em 11 jan 2019 SILVA L P M O que são seno cosseno e tangente Brasil Escola Disponível em httpsbrasilescola uolcombroqueematematicaoquesaosenocossenotangentehtm Acesso em 11 jan 2019 SÓ MATEMÁTICA Função quadrática Virtuous Tecnologia da Informação 19982019 Disponível em httpswwwsomatematicacombremediofuncao2funcao2php Acesso em 11 jan 2019 Números complexos Virtuous Tecnologia da Informação 19982019 Disponível em https 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