Treliças - Exercicios

TRELIÇAS\nSão estruturas formadas por barras, ligadas entre si através de nós.\nConsideramos para efeito de cálculo os esforços aplicados nos nós.\nExistem alguns tipos de calculo para determinação dos esforços nas barras, como o Método dos Nós, Método Ritter ou Métodos das seções.\nNesta apostila, serão resolvidos apenas exercícios de treliças pelo Método dos Nós.\nPara determinar os esforços internos nas barras das treliças plana, devemos verificar a condição de Isostática da Treliça, sendo o primeiro passo.\nDepois calculamos as reações de apoio e os esforços normais axiais nos nós. Tais esforços serão denominados de N.\n\n1º Condição de Treliça Isostática:\n2 . n = b + \n Sendo\n n = nº de nós\n b = quantidade de barras\n = nº de reações (Verticais e)\n\n2º Calcular as Reações de Apoio (Vertical e Horizontal):\n∑FX = 0\n∑FY = 0\n∑M = 0 (Momento fletor)\nPor convenção usaremos: no sentido horário\n horário\n\n3º Métodos dos Nós\nQuando calculamos os esforços, admitimos que as forças saem dos nós e nos próximos nós usamos os resultados das forças do nó anterior fazendo a troca de sinais.\nImportante lembrar que somente o jogo de sinais deverão ser feitos na equação dos nós, pois as forças das reações horizontais e verticais devem ser inseridos na equação considerando-se exclusivamente os sinais que possuem, ou seja, não fazer jogo de sinais para tais reações.\nCalma, nos exercícios verá que é fácil. Por Convenção os sinais das forças das barras são:\n +\n TRAÇÃO\n -\n COMPRESSÃO\nTrelça Esquemática\n\n Montante\n Banzo Superior\n\n Altura\n\n Vão\n\n Banzo Inferior\n\n Diagonal Exercícios\n1º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.\n\n1º Passo Condição de Isostática\n2.n = b+v\n2.6 = 9+3\n12 = 12\nOK\n\n2º Passo Reações de Apoio\n∑FX = 0\ndiff∑FY = 0\n∑M = 0 (Momento fletor)\nHE = 0\nVA+VE = 50+100+50\nVA+VE = 200 KN\n100+VE = 200 KN\nVE = 200-100\nVE = 100 KN\n\n3º Passo Método dos Nós\n Decomposição das forças\n Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)\nNAB\n ---------- NAB\n NAF\n VA\n VA FV = 0\nFH = 0\nNAB = -100 KN\nNó \"B\"\nForças Verticais (V)\n50\n50\nNAB\nNBF\nNAB + NBF\nΣFV = 0\n-50 - NBA - NBF.cos 45° = 0\n-50 - (-100) - NBF.cos 45° = 0\n-NBF = -50 + cos 45°\nNBF = 70,7 KN\n\nNó \"C\"\nForças Verticais (V)\n10\n10\nNCA\nΣFV = 0\n-100 - NCF = 0\nNCF = -100 KN\n\nNó \"F\"\nForças Verticais (V)\nNBF\nNFC\nNFD\nΣFV = 0\nNFC + NFB.sen 45° + NFD.sen 45° = 0\n-NFB.cos 45° - NFD.cos 45° -\n-100 + 70,7.sen 45° + NFD.sen 45° = 0\n= 0 NFD = 70,7 KN\n\nNó \"E\"\nForças Verticais (V)\nNED\nNEF\n |\n | NE\n | VE\n | HE\n |\nVE\nΣFV = 0\nNED + 100 = 0\nNED = -100 KN\nHE = 0 KN\n\nNó \"D\"\nForças Verticais (V)\n 50\nND\nNB\nNDE\n |\n NDE\n |\n |\nΣFV = 0\n-50 - NDF.sen 45° - NDE = 0\n-50 - 70,7.sen 45° + 100 = 0\n-50 + 100 = 0\n0 = 0\n\nBARDA\nFORÇAS NORMAIS\nAXIAIS (KN)\nNAB\n-100\nNED\n-100\nNAF\n0\nNEF\n0\nNBC\n-50\nNDC\n-50\nNBF\n70,7\nNDF\n70,7 NCF\n-100\nCOMPRESSÃO\n\n2º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.\n\n1º Passo Condição de Isostática\n2.n = b + v\n2.5 = 7 + 3\n10 = 10\nOK\n\n2º Passo Reações de Apoio\nΣFx = 0\nΣFy = 0\nΣM = 0 (Momento fletor)\nHA + HB = 40\nVB = 20 KN\n-HA + 2.20.4 + 40.1 = 0\n-HA + 120 = 0\nHA = 120 + 2\nHA = 60 KN\n\n3º Passo Método dos Nós\nDecomposição das forças Nó \"B\"\nVB\nHB\nVB\nHB\nNAB 10 KN\nNBC = 22,36 KN\nNó \"A\"\nNAC = -22,36 KN\nNó \"E\"\nNEC = 0\nNED = -40 KN\nNó \"C\"\nNCB = 40\nN NCD = 44,7\nNDE\nND\n20\nND\n0 NAB 10\nNBC 22,36\nNAC -22,36\nNAE -40\nNED -40\nNCD 44,7 ΣFX = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)\nHA = 0\nVA + VB = 2 + 2 + 2\n- VB.16 + 2.12 + 8.2 + 2.4 = 0\nVA = 6 - 3 t\nVA = 3 t\nVB = 3 t\n3º Passo Método dos Nós\nDecomposição das forças\nForças Verticais (V)\nN13\nN13\nHA\nN12\nVA\nΣFV = 0\nN13.sen36,87°+VA = 0\nN13.sen36,87° + 3 = 0\n5).cos36,87° = 0\nN13 = -3.N13.sen36,87°\nN12 = 4 t\nN13 = -5 t\nNó \"2\"\nForças Verticais (V)\nN23\nN23\nN21\nN24\nΣFV = 0 ΣFH = 0\nN23 = 0\n- N21 + N24 = 0\n-4 + N24 = 0\nN24 = 4 t\nNó \"3\"\nForças Verticais (V)\n2\nN35\n2 N35\nN31\nN34\nN31 N32\nΣFV = 0 ΣFH = 0\n-2-N34.sen36,87°-N32-N31.sen36,87°-N35.sen36,87° = 0\nN31.cos36,87°+N35.cos36,87° = 0\n -2-N34.sen36,87°-0-0-(5).sen36,87°-N35.sen36,87° = 0\n5).cos36,87° = 0\n=-N34.sen36,87°+N35.sen36,87°-2+3 = 0\n= 0\n(-N34 + N35).sen36,87° = -1\nN34 - N35 = 1 + sen36,87°\nN34 - N35 = = -\n2N34 = -3,33\nN34 = -3,33 - 2\nN34 = -1,67 t\nNó \"5\"\nForças Verticais (V)\n2\n2N53\nN54\nN57\n-2-N53.sen36,87°-N57.sen36,87°-N54 = 0\nN53.cos36,87° + N57.cos36,87° = 0\n-2 - (-3,33).sen36,87°-N54 = 0\n3,33).cos36,87° + N57.cos36,87°= 0\n= 0\n-2+2+2-N54 = 0\n2,66+N57.cos36,87° = 0 N54 = 2 t\n2,66+cos36,87°\nN57 = -\nN57 = -3,33 t\nNó \"4\"\nForças Verticais (V)\nN43 N45 N47\nN42\nΣFV = 0\nN43.sen36,87°+N45+N47.sen36,87° = 0\nN43.cos36,87°+N47.cos36,87° = 0\n+(1,67).sen36,87°+2+N47.sen36,87° = 0\n(+(4)+N46-(-1,67).cos36,87°+(...)\n-1+2+N47.sen36,87° = 0\nN47 = -1.sen36,87°\nN47 = 1,67 t\nN46 = 4 t\nPor simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, ângulos), as barras dos nós 7, 6 e 8 são iguais as dos nós 1, 2 e 3, conforme tabela.\n\nBARRA FORÇAS NORMAIS ESFORÇO\nN13 = N87 -5 COMPRESSÃO\nN12 = N86 4 TRAÇÃO\n N24 = N64\n4\nTRAÇÃO\nN23 = N67\n0\n-\nN34 = N74\n-1,67\nCOMPRESSÃO\nN35 = N75\n-3,33\nCOMPRESSÃO\nN54\n2\nTRAÇÃO\n4) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós. 1° Passo Condição de Isostática\n2.n = b+v\n2.7 = 11+3\n14 = 14\nOK\n2° Passo Reações de Apoio\nΣFX = 0\nΣFY = 0\nHA+HB = 0\nVB = 0\nHA = -HB\nΣM = 0 (Momento fletor)\n-HA.3+2.6+2.4+2.2=0\nHA = 24+3\nHB = -8 t\nHA = 8 t\n3° Passo Método dos Nós\nDecomposição das forças\nForças Verticais (V)\nForças Verticais (H)\nNó \"5\"\nVB\nHB\nN56\nN51\nN56\nΣFV = 0\nVB-N51-N56.sen26,57° = 0\n= 0\n0\n8+cos26,57° = 0\n6-N51-6-4= 0\nN51 = 2 t\nN56 = 8,94 t Nó \"1\"\nForças Verticais (V)\nHA\nN15\nN16\nHA\nN12\nForças Verticais (H)\nN16\nΣFV = 0\nN15+N16.sen45° = 0\nHA+N12+N16.cos45° = 0\n2,83).cos45° = 0\nN16 = -2.sen45°\nN16 = -2,83 t\nN12 = 6 t\nNó \"6\"\nForças Verticais (V)\nN65\n2\nN65\n2\nForças Verticais (H)\nN61\nN62\nN67\n$\nΣFV = 0\n-2+N65.sen26,57°-N61.sen45°-N62-N67.sen26,57°-N65.cos26,57°\n-2+8.94.sen26,57°-(-2.83).sen26,57-2.6.sen26,57 -8.94.cos26,57\n2.83).cos45°+N67.cos26,57 = 0\n-2+4-2-3-N62 = 0\nN62 = 1 t\nN67 = 6,7 t N27 = -1 + sen26,57°\nN27 = -2,23 †\nN23 - 6 - 2 = 0\nN23 = -4 †\n\nN6 \"3\"\nForças Verticais (V)\nN37\nN34\n\nN37\nN32 N34\nΣF V = 0\nN37 = 0\n\nN6 \"7\"\nForças Verticais (V)\nN76\n2 N76\nN72\nN74\nN73\nΣF V = 0\n-2*N76*sin26,57° - N72*sin26,57° - N73 - N74*sin26,57° = 0\nN72*cos26,57° + N74*cos26,57° = 0\n-ΣF H = 0\n-N76*cos26,57° = 0\n\nN6 \"4\"\nForças Verticais (V)\nN47\n2 N47\nN43\nΣF V = 0\n\nN47 = 2\nN37 = 4\nN34 = -4\nN74 = 4,47 † 0\n-2 + 4.47*sin26,57° = 0\n-(-4) - 4.47*cos26,57° = 0\n-2 + 2 = 0\n0 = 0\n\nBARDA FORÇAS NORMAIS\nAXIAIS (t)\nESFORÇO\nN51 2 TRAÇÃO\nN56 8,94 TRAÇÃO\nN16 -2,83 COMPRESSÃO\nN12 -6 COMPRESSÃO\nN62 1 TRAÇÃO\nN67 6,7 TRAÇÃO\nN27 -2,23 COMPRESSÃO\nN37 0 COMPRESSÃO\nN34 -4 COMPRESSÃO\nN74 4,47 TRAÇÃO 5º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.\n\n1º Passo Condição de Isostática\n2.n = b + v\n2.5 = 7 + 3\n10 = 10\nOK\n\n2º Passo Reações de Apoio\nΣF X = 0\nΣF Y = 0\nΣM = 0 (Momento)\n\nHA = 0\nVB . 2.4 + 20.1.8 + 10.0.6 = 0\n\nVA + VB = 10 + 20\nVA + 17,5 = 30\nVA = 30 - 17,5\n\nVA = 12,5 KN\n\nVB = 42 + 2,4\nVB = 17,5 KN 3º Passo Método dos Nós\nNó \"A\"\nForças Verticais (V) Forças Verticais (H)\nNA NA\nHA-----> NAE HA-----> NAE\nVA VA\nΣFV = 0\nVA+NAC.sen53,13° = 0\nHA+NAE+NAC.cos53,13° = 0\n15,63).cos53,13° = 0\nNAC = -12,5.sen53,13°\nNAC = -15,63 KN\n\nNó \"C\"\nForças Verticais (V) Forças Verticais (H)\n10 10\nNC NC\nNC<------- NCE NC<------- NCE\nΣFV = 0\n-10-NCA.sen53,13°-NCE.sen53,13°=0\nNCA.cos53,13°+NCD+NC.cos53,13°=0\n-10-(15,63).sen53,13°-NCE.sen53,13°=0\n15,63).cos53,13°+NCD+3,13.cos53,13°=0\n-10+12,50-NCE.sen53,13°=0\n= 0\nNCE = 2,5.sen53,13°\n\nNCE = 3,13 KN\n\nNó \"E\"\nForças Verticais (V) Forças Verticais (H)\nNED NED\nNEC NED\nNEA<--- NED NEA<--- NED\nΣFV = 0\nNEC.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0\nNEC.cos53,13° = 0\n\nNED = -3,13 KN\nNEB = 13,14 KN\nNDB = -21,88 KN\n\n 3,13.sen53,13°+NED.sen53,13° = 0\n(+3,13).cos53,13° = 0\n0\nNED = -2,5.sen53,13°\nNEB=-9,38+(-3,13).cos53,13°-\n\nNó \"D\"\nForças Verticais (V) Forças Verticais (H)\n20 20\nND ND\nNBD NBD\nNED<--- NDE NDE<--- NDA\nΣFV = 0\n-20-NDE.sen53,13°-NDB.sen53,13°=0\nNDC+NDB.cos53,13°=0\n-20-(3,13).sen53,13°-NDB.sen53,13°=0\n21,88).cos53,13°=0\n-20+2,50-NDB.sen53,13°=0\n= 0\nNDB = -17,50-sen53,13°\n\nNDB = -21,88 KN\n Nó \"B\"\nForças Verticais (V) Forças Verticais (H)\nNBD NBE\nVB VB\nΣFV = 0\nVB+NBD.sen53,13° = 0\n17,5+(-21,88).sen53,13° = 0\n0 = 0\n\n0 = 0\n\nBARDA FORÇAS NORMAIS\nAXIAIS (KN)\n\nNAC = -15,63 COMPRESSÃO\nNAE = 9,38 TRAÇÃO\nNCE = 3,13 TRAÇÃO\nNCD = -11,26 COMPRESSÃO\nNED = -3,13 COMPRESSÃO\nNEB = 13,14 TRAÇÃO\nNDB = -21,88 COMPRESSÃO\n6) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.\n\n1º Passo Condição de Isostática\n 2° Passo Reacões de Apoio\nΣFx = 0 fletor\nΣFy = 0\nVA = 225\n-HB.0,9+75.2,4+150.1,2 = 0\nHB = 360+0,9\n\nHA = 400 KN\n\n3° Passo Método dos Nós\nNó \"B\"\nForças Verticais (V)\nNBA\nNBA\nHB\n\nΣFV = 0\nNBA = 0\nHB + NBD = 0\n400+NBD = -400 KN\nNBD = -400 KN\n\nNó \"A\"\nForças Verticais (V)\nVA\nHA\nNA\nNAB\n\nΣFV = 0\nVA-NAB-NAD.sen36,87° = 0\nHA+NAC+NAD.cos36,87° = 0\n225-0-NAD.sen36,87 = 0\n400+NAD+375.cos36,87 = 0 2.n = b+v\n2.5 = 7+3\n10 = 10\nOK\n\n2° Passo Reacões de Apoio\nΣFx = 0 fletor\nΣFy = 0\nVA = 225\n-HB.0,9+75.2,4+150.1,2 = 0\nHB = 360+0,9\n\nHA = 400 KN\n\n3° Passo Método dos Nós\nNó \"B\"\nForças Verticais (V)\nNBA\nHB\n\nΣFV = 0\nNBA = 0\nHB+NBD = 0\n400+NBD = -400 KN\nNBD = -400 KN NAD = 225+sen36,87°\nNAC = 100 KN\nNó \"D\"\nForças Verticais (V)\nND\nND\nNDB\n\nΣFV = 0\nNDA.sen36,87°+NDC = 0\n375.sen36,87°+NDC = 0\nNDC = -225 KN\n\nNó \"C\"\nForças Verticais (V)\n15\n15\nNC\nNCE\nNC\n\nΣFV = 0\n-150-NCD-NCE.sen36,87°=0\n-150-(-225)-NCE.sen36,87°=0\n100+100 = 0\nNCE = 75+sen36,87°\nNCE = 125 KN\n\nNó \"E\"\nForças Verticais (V)\nNEC\n75\nNED\n\nΣFV = 0\n 1º Passo Condição de Isostática\n2.n = b+v\n2.8 = 13+3\n16 = 16\nOK\n2º Passo Reações de Apoio\nΣFX = 0 ΣFY = 0 ΣM = 0 (Momento)\nHE = 0\nVA + VE = 8\n4 + VE = 8\nVE = 8 - 4\nVE = 4 KN\nVA = 4 KN\n3º Passo Método dos Nós\nNó \"A\"\n Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)\n NAB \n NAF VA\n\nΣFV = 0\nVA + NAB.sen30° = 0\n= 0\n4 + NAB.sen30° = 0\nNAB = -4.sen30°\nNAB = -8 KN Nó \"F\"\n Forças Verticais (V) Forças Verticais (H)\n NFB \n NFA NFG\n 4\nΣFV = 0\nNFB - 4 = 0\nNFB = 4 KN\n\nNó \"B\"\n Forças Verticais (V)\n NBC\n NBA N\n NBF N\nΣFV = 0\nNBC.sen30° - NBA.sen30° - NBF - NBG.sen30° = 0\nNBA.cos30° + NBC.cos30° + NBG.cos30° = 0\n6.9 + NBC.sen30° + NBG.cos30° = 0\nNBC.sen30° + NBG.cos30° = -6.9\n( NBC + NBG ).cos30° = 0\nNBC - NBG = 0\n6.9 + cos30°\nNBC - NBG = 0\n\"1\"\n\"2\"\nNBC + NBG = -8 Nó \"C\"\n Forças Verticais (V)\n NCB\n NC\n NC\nΣFV = 0\n - NCB.sen30° - NCD.sen30° - NCG = 0\nNCB.cos30° + NCD.cos30° = 0\n0\n2 + 2 - NCG = 0\n0\n3.5 + cos30°\nNCG = 4 KN\nNó \"G\"\n Forças Verticais (V)\n NG\n NG\n NG\n NG\nΣFV = 0\nNGB.sen30° + NGC + NGD.sen30° = 0\n-4.sen30° + 4.NGD.sen30° = 0\n6.9 + NGH = 0\n6.9 + 0 = 0 8º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós.\n\n1º Passo Condição de Isostática\n2.n = b+v\n2.10 = 17+3\n20 = 20 OK\n\n2º Passo Reações de Apoio\nΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0 (Momento fletor)\nHJ = 0\n400.2.a - 400.1.a = 0\nVF + VJ = 2000\nVF.4.a - 400.4.a - 400.3.a - 3º Passo Método dos Nós\nNó \"A\"\nForças Verticais (V)\n40\n NA\nF\nNAF\nΣFV = 0\n-400 - NAF = 0\nNAF = -400 N\nNó \"F\"\nForças Verticais (V)\nNFA\nNFB\nNFG\nVF\nΣFV = 0\nNFB.sen45° + NFA + VF = 0\nNFG = 0\n848.5.cos45° + NFG = 0\nNFB = -600 - sen45°\nNFB = -848,5 N\nNó \"G\"\nForças Verticais (V)\nNG\nNG\nNGF\nΣFV = 0\nNGB = 0\nΣFH = 0\n-NGF + NGH = 0\n-600 + NGH = 0 Nó \"B\" Forças Verticais (V) NGH = 600 N\nΣFV = 0\n-400-NBF.sen45°-NBG-NBH.sen45°=0\n= 0\n-400 -NBF.sen45°-0-NBH.sen45°=0\n848,5).cos45°+282,8.cos45°=0\n0\nNBH = 200·sen45°\nNBH = 282,8 N\nNó \"C\" Forças Verticais (V)\nΣFV = 0\n-400-NCH=0\nNCH = -400 N\nForças Verticais (H)\nΣFH = 0\n-NCB+NCD = 0\n-(-800)+NCD=0\nNCD = -800 N\nPor simetria dos carregamentos e das características das barras (dimensões, ângulos), as barras dos nós H, D, I, E e J não precisam ser calculadas.\nBARRA FORÇAS NORMAIS AXIAIS (N)\nNAB = NED 0\n NAF = NEJ -400\nNFB = NJD -848.5\nNFG = NJI 600\nNGB = NID 0\nNGH = NIH 600\nNBH = NDH 282.8\nNBC = NDC -800\nNCH -400\n9º) Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós. 1º Passo Condição de Isostática\n2.n = b+v\n2.6 = 8+4\n12 = 12\nOK\n2º Passo Reações de Apoio\nΣFX = 0\nΣFy = 0\nΣM = 0 (Momento)\nHE = 18 KN\nHF = 0\nVE + VF = 0\nVE = -VF\nVF = -20,25 KN\nVE = 72,9+3,6\nVE = 20,25 KN\nPor se tratarem de forças de reação horizontal e estarem na mesma linha de ação, bem como as forças externas de 9 KN serem aplicadas no segmento AE, a reação horizontal HE sofre sozinha a ação dos 18 KN enquanto a HF não é solicitada. 3º Passo Método dos Nós\nNó \"A\"\nForças Verticais (V)\n9\nNA\nNAB\nNA\n\nΣFV = 0\nNAC = 0\n\nNó \"B\"\nForças Verticais (V)\nNBA\nNBC\nNBD\n\nΣFV = 0\n-NBD-NBC.sen36,87°=0\n-NBD-(-11,25).sen36,87°=0\n-NBD+6,75=0\n= 0\n\nNBD = 6,75 KN\nNó \"C\"\nForças Verticais (V)\nNc\nNc\n\nΣFV = 0\n9+NCB.cos36,87°+NCD = 0\n11,25).cos36,87°= 0\nNCE = -6,75 KN\nNCD = 18 KN\n Nó \"D\"\nForças Verticais (V)\nNDB\nND\nNDE\nNDF\n\nΣFV = 0\nNDB-NDE.sen36,87°-NDF=0\n6,75-(-22,5).sen36,87°-NDF=0\n6,75+13,5-NDF=0\nNDF = 20,25 KN\nNDE = -22,5 KN\nNó \"E\"\nForças Verticais (V)\nNEC\nNED\nHE\nVE\n\nΣFV = 0\nVE+NEC+NED.sen36,87° = 0\n20,25+(6,75)-(-22,5).sen36,87° = 0\n= 0\nNó \"F\"\nForças Verticais (V)\nNFD\nHF\nVF\n\nΣFV = 0\nNFD-VF = 0\n20,25-20,25 = 0\n