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Na modelagem matemática de muitos problemas da engenharia e da ciência em geral surgem certos tipos de funçõesequações nas quais precisamos resolver algum tipo de integral Na estatística por exemplo precisamos resolver frequentemente certo tipo de integral que não pode ser solucionada a partir de técnicas de integração analíticas convencionais Dessa forma as técnicas para integração numérica de funções surgem naturalmente da necessidade de efetuar o cálculo de tais integrais Em vista dessa necessidade veremos uma técnica de integração numérica classificada entre as chamadas fórmulas de NewtonCôtes regra dos trapézios Para efeito de estudo dividimos a regra dos trapézios em simples e composta Em cada caso estudaremos a descrição do método a interpretação geométrica e o erro de truncamento bem como iremos desenvolver exemplos que mostram como aplicar tais métodos nas situações que conhecemos a forma analítica das funções e também quando dispomos de apenas uma tabela de valores da função Seja fx uma função contínua definida em um intervalo a b Se conhecemos a sua primitiva Fx então o teorema fundamental do cálculo nos diz que a integral definida dessa função no intervalo dado é igual a ab fxdx Fb Fa 11 Em que Fx fx Contudo em muitas situações a lei da primitiva Fx não é conhecida ou é de difícil determinação assim torna o cálculo dessa integral muito trabalhoso ou até mesmo impossível Em alguns casos não dispomos de métodos analíticos capazes de descrever essa primitiva como uma combinação finita de funções elementares Além disso em diversas situações práticas não temos a função a ser integrada através de uma fórmula analítica mas apenas por meio de alguns pontos tabelados e isso torna impraticável a utilização da Equação 11 Portanto nos casos citados acima dentre outros podemos recorrer aos métodos de integração numérica para efetuar o cálculo da integral definida de uma função genérica fx Historicamente a resolução numérica de uma integral simples foi conhecida como quadratura numérica pois foi com o problema da quadratura do círculo que Arquimedes realizou os primeiros cálculos usando a noção de integral SPERANDIO MENDES SILVA 2014 p 179 Dentre a grande variedade de métodos numéricos para a integração de funções podemos classificar os mais utilizados em dois grandes grupos a As fórmulas de NewtonCôtes Regra dos Trapézios Simples CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES Autor Me Ronald R Alves Revisor Raimundo Almeida INICIAR I a to b y0 zΔy0 dx x0 to x1 y0 zΔy0 dx 0 to 1 y0 zΔy0 hdz A B bh 2 E frach312fc E frac2312fc d leftfrac60 5660cdot100right 667 Em que fx é a frequência de ocorrência do valor x s é o desvio padrão e x é a média da amostra Portanto em nosso problema específico sabemos a priori que x0 5000 kg x 4991 kg e s 0005 kg logo vamos calcular Logo E 183 12 fε E esse erro de truncamento nos diz que I refinado 1078109 0486 0592109 Consequentemente podemos retornar e calcular o valor de F1 8 F1 8 05 1 2π 18 0 e 1 x² dz 05 1 2π 0592109 F1 8 07362 A análise desse resultado diz que existe uma probabilidade de 7362 de encontrarmos um pacote de açúcar com menos de 5 kg isto é 7362 dos pacotes no mercado estão com peso menor do que o indicado na embalagem Entretanto o resultado encontrado por nós está muito distante do valor calculado no exemplo original encontrado em Barroso 1987 p 268 a saber 964 Tal diferença indica que a regra dos trapézios simples não foi adequada para resolver a integral I 18 0 e 1 x² dz Uma vez que o erro de truncamento foi muito grande devido ao comprimento do intervalo ser igual a b a 18 A necessidade de aumentar a precisão dos resultados obtidos por meio da integração numérica nos motivará no próximo tópico a aprender a regra dos trapézios composta com a qual iremos calcular a integral até o grau de exatidão requerido Exemplo 3 Faça a estimativa da distância percorrida D por uma partícula cuja velocidade foi medida em alguns instantes conforme tabela a seguir VARGAS ARAKI 2017 Tempo s 0 10 20 30 40 50 60 70 Velocidade ms 0 5 8 12 17 23 30 38 Tabela 41 Exemplo Fonte Adaptada de Vargas e Araki 2017 Sabemos da mecânica clássica que a integral da velocidade em relação ao tempo é igual à distância percorrida Assim aplicaremos a regra dos trapézios simples em cada subintervalo dado e somaremos os resultados D 10 0 vtdt 20 10 vtdt 30 20 vtdt 40 30 vtdt 50 40 vtdt 60 50 vtdt 70 60 vtdt Portanto nos casos em que não conhecemos uma fórmula analítica para a função a ser integrada mas apenas a conhecemos em alguns pontos tabelados também podemos realizar o cálculo da integral definida como pudemos perceber neste exemplo A última expressão para o cálculo da distância percorrida D foi reescrita de forma adequada a percebermos que poderíamos tratar a situação a partir da regra dos trapézios composta subdividindo o intervalo a b em n subintervalos de comprimento h ba n 700 7 10 cada um Nesse caso h também representa a altura de cada trapézio conforme veremos no próximo tópico A regra dos trapézios simples não resolveu adequadamente o problema de estatística no qual precisávamos calcular a integral de uma função cuja primitiva não pode ser escrita por uma combinação finita de funções elementares Nessa situação o erro de truncamento foi muito grande o que gerou uma diferença significativa na interpretação da solução encontrada Sendo assim fica evidente a necessidade de aumentar a precisão do método o que será alcançado através da aplicação sucessiva da regra dos trapézios simples em cada subintervalo conforme efetuamos no Exemplo 3 Descrição do Método e Interpretação Geométrica Com a finalidade de aperfeiçoar o resultado da integração numérica quando utilizamos a regra dos trapézios podemos subdividir o intervalo a b em n subintervalos de amplitude h ba n aplicar a regra dos trapézios simples em cada um deles e somar as parcelas encontradas Geometricamente podemos pensar que h representa a altura de cada trapézio e a integral da função fxdx é igual ao somatório das áreas de cada trapézio conforme figura 45 Fonte Barroso 1987 p 210 Mais precisamente a integral I da função fx pode ser calculada por I frach2y0 y1 frach2y1 y2 cdots frach2yn3 yn2 frach2yn2 yn1 frach2yn1 yn e colocandose frach2 em evidência temos I frach2y0 2y1 2y2 2y3 cdots 2yn3 2yn2 yn Em que yi fxi i 0 1 2 ldots n e h fracban Para alguns estudantes colocandose o número 2 em evidência temos uma expressão mais simples I frach2y0 2y1 y2 cdots yn3 yn2 yn Em outras palavras dados n 1 pontos distintos dividimos o intervalo a b em n subintervalos de comprimento h fracban que também é a altura de cada um dos n trapézios determinados Adicionalmente para n 1 essa expressão se reduz à fórmula dos trapézios simples Ei E0 E1 E2 cdots En3 En2 En1 Em que Ei é o erro cometido na aplicação da regra dos trapézios simples no intervalo cujos extremos são xi e xi1 ou seja Ei frach312 fc xi leq c leq xi1 i quad xi quad yi Consequentemente retornamos ao cálculo do valor do erro de truncamento e encontramos E 2312 527c 2312 52 24 E 064 Portanto lembrando que a diferença entre o valor exato da integral e a aproximação é igual ao erro de truncamento podemos escrever que Irefinado I E O que nos diz que Irefinado I E Irefinado 6048 064 Irefinado 5984 Por simplicidade se não houver chance de confusão após finalizados os cálculos geralmente chamaremos Irefinado apenas de I ou seja I Irefinado 5984 Relembre que o valor exato da integral I já foi calculado através da determinação de uma primitiva e é igual a I 401 x3dx 60 Portanto a diferença relativa percentual entre o valor exato e o valor calculado através da regra dos trapézios composta é d 60 598460100 027 Como prometido a regra dos trapézios composta com cinco subintervalos mostrou um resultado muito superior quando comparado com a regra dos trapézios simples Essa apresentou uma diferença de 667 para o valor exato enquanto aquela apenas de 027 Por curiosidade caso usássemos dez subintervalos teríamos h 02 I 6012 E 016 Irefinado 6012 016 5996 e uma diferença de apenas 007 para o valor exato mostrando a robustez do método O Exemplo 2 tratou sobre a situação na qual os consumidores de um supermercado relataram que os pacotes de 5 kg de açúcar estavam com o peso abaixo do seu valor nominal Após a modelagem matemática do problema além de algumas simplificações chegamos a um ponto em que precisávamos calcular a integral a seguir F1 8 05 12π 018 e1x2 dz Usaremos sete pontos distintos para calcular a integral I 018 e1x2 dz Isto é vamos utilizar n 7 1 6 subintervalos ou 6 trapézios Assim h b an 18 06 03 Dessa forma precisamos determinar os valores de yi fzi e05zi2 i 0 1 2 6 os quais podem ser organizados em uma tabela como a seguinte i zi yi 0 0 1 1 03 0955997482 2 06 0835270211 3 09 0666976811 4 12 0486752256 5 15 0324652467 6 18 0197898699 Tabela 43 Determinação dos pontos para aplicação da regra dos trapézios composta com a subdivisão em seis subintervalos Fonte Elaborada pelo autor Nesse caso como n 6 a fórmula da regra dos trapézios composta fica igual a I h2 y0 2y1 2y2 2y3 2y4 2y5 y6 Substituindo os valores determinados para h e yi temos I 032 e0502 2e05032 2e05062 2e05092 2e05122 2e05152 e05182 I 1160579573 Como fizemos no Exemplo 2 devemos calcular o erro de truncamento associado ao problema e refinar o resultado encontrado para a integral I Conforme vimos a fórmula para o erro de truncamento no caso composto é igual a E b a3 12n2 fc a c b E aplicandoa em nosso problema ficamos com E 1831262fc 18312621 00135 Uma vez que já calculamos o valor máximo de fx em a b 0 1 8 encontrando fxmáx e055x2 1máx e05022 1 1 1 Consequentemente Irefinado I E 1160579573 00135 Irefinado 1147079573 Renomeando temos que I Irefinado 1147079573 Logo podemos calcular o valor de F1 8 F1 8 05 12π 018 e1x2 dz 05 12π 1147079573 F1 8 09576 A análise desse resultado diz que existe uma probabilidade de 9576 de encontrarmos um pacote de açúcar com menos de 5 kg isto é 9576 dos pacotes no mercado estão com peso menor do que o indicado na embalagem Dessa vez o resultado encontrado por nós está muito perto do valor calculado no exemplo original encontrado em Barroso 1987 p 268 a saber 964 Agora a regra dos trapézios composta com seis subintervalos mostrouse adequada para resolver a integral Uma vez que o erro de truncamento foi muito pequeno devido ao comprimento do intervalo ser igual a b a 03 seis vezes menor do que o anterior Adicionalmente se desejássemos refinar o resultado ainda mais para n 12 e n 24 subintervalos temos os seguintes resultados n h I E I refinado F1 8 12 015 1162582336 0003375 1159207336 0962456818 24 0075 116308321 000084375 116223946 0963666461 Tabela 44 Cálculo de Fleft 18 right para a regra dos trapézios composta com 12 e 24 subintervalos Fonte Elaborada pelo autor Para finalizar esse exemplo mostrou que ao utilizar a regra dos trapézios composta com uma pequena quantidade de subintervalos n 10 podese usar uma calculadora científica simples e efetuar as operações conforme realizamos para n 6 Entretanto para uma maior quantidade de subintervalos n 10 recomendamos a utilização de alguma ferramenta computacional mais apropriada como o Excel por exemplo conforme utilizamos para n 12 e n 24 Além disso para aplicações que suscitam a necessidade de uma precisão muito elevada e com rápida convergência recomendamos que o aluno pesquise sobre outros métodos de integração numérica por exemplo a primeira regra de Simpson e a quadratura Gaussiana Refita As regras dos trapézios e de Simpson são largamente utilizadas entretanto elas não são as mais eficientes uma vez que existem regras de integração igualmente precisas mas que podem utilizar uma menor quantidade de pontos de integração As regras de quadratura gaussiana são as mais utilizadas no método de elementos finitos MEF para análise estrutural dinâmica dos fluidos e para transferência de calor e massa VARGAS ARAKI 2017 Contudo a aplicação da fórmula de quadratura gaussiana requer a forma explícita da função a ser integrada quando em oposição as fórmulas de NewtonCôtes necessitam apenas de pontos tabelados o que é bastante útil em casos práticos BARROSO 1987 Fonte Adaptado de Vargas e Araki 2017 e Barroso 1987 Exemplo 6 Aplicando a regra dos trapézios composta faça a estimativa da distância percorrida D por uma partícula cuja velocidade foi medida em alguns instantes conforme a tabela a seguir VARGAS ARAKI 2017 Tempo s 0 10 20 30 40 50 60 70 Velocidade ms 0 5 8 12 17 23 30 38 Tabela 45 Velocidade versus tempo de um móvel hipotético Fonte Vargas e Araki 2017 p 332 Nesse exemplo fazemos referência ao Exemplo 3 o qual foi resolvido a partir da soma dos valores obtidos com a aplicação da regra dos trapézios simples em cada intervalo dado na tabela acima Entretanto já mencionamos que podemos resolver essa integral com a aplicação da regra dos trapézios composta fazendo n 8 1 7 subintervalos e h b an 70 07 10 D 070 vtdt D h2 y0 2y1 2y2 2y3 2y4 2y5 2y6 y7 D 102 0 2 5 2 8 2 12 2 17 2 23 30 38 D 1140 metros Vamos Praticar Calcular a integral I 25 12 x12 dx analiticamente e depois através da aplicação da regra dos trapézios simples e da regra dos trapézios composta com a utilização de seis pontos distintos Em seguida marque a alternativa que apresenta os três valores calculados na ordem que foram solicitados a 02 019146 01 b 01 008923 009451 c 041 003922 040456 d 01 009859 009995 e 03 028325 030001 O Céu de Outubro Cálculo Numérico Nesta unidade os nossos esforços estavam voltados ao conhecimento e aplicação das técnicas de integração numérica de funções Como vimos ao longo do texto em muitas situações dispomos apenas de uma tabela com valores de determinada função que descreve um fenômeno e para resolvêlo precisamos realizar a integração dessa função Assim não temos outra opção a não ser utilizar algum método numérico de integração OCTOBER SKY TRAILER LEGENDADO 1 vídeo 2 min 18 s Publicado no canal Gustavo Henrique Soares Disponível em httpswwwyoutubecomwatchv8ut2UlckQ Acesso em 16 fev 2020 SPERANDIO D MENDES J T SILVA L H M e Cálculo numérico 2 ed São Paulo Pearson 2014 VARGAS J V C ARAKI L K Cálculo numérico aplicado Barueri Manole 2017
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Na modelagem matemática de muitos problemas da engenharia e da ciência em geral surgem certos tipos de funçõesequações nas quais precisamos resolver algum tipo de integral Na estatística por exemplo precisamos resolver frequentemente certo tipo de integral que não pode ser solucionada a partir de técnicas de integração analíticas convencionais Dessa forma as técnicas para integração numérica de funções surgem naturalmente da necessidade de efetuar o cálculo de tais integrais Em vista dessa necessidade veremos uma técnica de integração numérica classificada entre as chamadas fórmulas de NewtonCôtes regra dos trapézios Para efeito de estudo dividimos a regra dos trapézios em simples e composta Em cada caso estudaremos a descrição do método a interpretação geométrica e o erro de truncamento bem como iremos desenvolver exemplos que mostram como aplicar tais métodos nas situações que conhecemos a forma analítica das funções e também quando dispomos de apenas uma tabela de valores da função Seja fx uma função contínua definida em um intervalo a b Se conhecemos a sua primitiva Fx então o teorema fundamental do cálculo nos diz que a integral definida dessa função no intervalo dado é igual a ab fxdx Fb Fa 11 Em que Fx fx Contudo em muitas situações a lei da primitiva Fx não é conhecida ou é de difícil determinação assim torna o cálculo dessa integral muito trabalhoso ou até mesmo impossível Em alguns casos não dispomos de métodos analíticos capazes de descrever essa primitiva como uma combinação finita de funções elementares Além disso em diversas situações práticas não temos a função a ser integrada através de uma fórmula analítica mas apenas por meio de alguns pontos tabelados e isso torna impraticável a utilização da Equação 11 Portanto nos casos citados acima dentre outros podemos recorrer aos métodos de integração numérica para efetuar o cálculo da integral definida de uma função genérica fx Historicamente a resolução numérica de uma integral simples foi conhecida como quadratura numérica pois foi com o problema da quadratura do círculo que Arquimedes realizou os primeiros cálculos usando a noção de integral SPERANDIO MENDES SILVA 2014 p 179 Dentre a grande variedade de métodos numéricos para a integração de funções podemos classificar os mais utilizados em dois grandes grupos a As fórmulas de NewtonCôtes Regra dos Trapézios Simples CÁLCULO NUMÉRICO COMPUTACIONAL MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INTEGRAÇÃO DE FUNÇÕES Autor Me Ronald R Alves Revisor Raimundo Almeida INICIAR I a to b y0 zΔy0 dx x0 to x1 y0 zΔy0 dx 0 to 1 y0 zΔy0 hdz A B bh 2 E frach312fc E frac2312fc d leftfrac60 5660cdot100right 667 Em que fx é a frequência de ocorrência do valor x s é o desvio padrão e x é a média da amostra Portanto em nosso problema específico sabemos a priori que x0 5000 kg x 4991 kg e s 0005 kg logo vamos calcular Logo E 183 12 fε E esse erro de truncamento nos diz que I refinado 1078109 0486 0592109 Consequentemente podemos retornar e calcular o valor de F1 8 F1 8 05 1 2π 18 0 e 1 x² dz 05 1 2π 0592109 F1 8 07362 A análise desse resultado diz que existe uma probabilidade de 7362 de encontrarmos um pacote de açúcar com menos de 5 kg isto é 7362 dos pacotes no mercado estão com peso menor do que o indicado na embalagem Entretanto o resultado encontrado por nós está muito distante do valor calculado no exemplo original encontrado em Barroso 1987 p 268 a saber 964 Tal diferença indica que a regra dos trapézios simples não foi adequada para resolver a integral I 18 0 e 1 x² dz Uma vez que o erro de truncamento foi muito grande devido ao comprimento do intervalo ser igual a b a 18 A necessidade de aumentar a precisão dos resultados obtidos por meio da integração numérica nos motivará no próximo tópico a aprender a regra dos trapézios composta com a qual iremos calcular a integral até o grau de exatidão requerido Exemplo 3 Faça a estimativa da distância percorrida D por uma partícula cuja velocidade foi medida em alguns instantes conforme tabela a seguir VARGAS ARAKI 2017 Tempo s 0 10 20 30 40 50 60 70 Velocidade ms 0 5 8 12 17 23 30 38 Tabela 41 Exemplo Fonte Adaptada de Vargas e Araki 2017 Sabemos da mecânica clássica que a integral da velocidade em relação ao tempo é igual à distância percorrida Assim aplicaremos a regra dos trapézios simples em cada subintervalo dado e somaremos os resultados D 10 0 vtdt 20 10 vtdt 30 20 vtdt 40 30 vtdt 50 40 vtdt 60 50 vtdt 70 60 vtdt Portanto nos casos em que não conhecemos uma fórmula analítica para a função a ser integrada mas apenas a conhecemos em alguns pontos tabelados também podemos realizar o cálculo da integral definida como pudemos perceber neste exemplo A última expressão para o cálculo da distância percorrida D foi reescrita de forma adequada a percebermos que poderíamos tratar a situação a partir da regra dos trapézios composta subdividindo o intervalo a b em n subintervalos de comprimento h ba n 700 7 10 cada um Nesse caso h também representa a altura de cada trapézio conforme veremos no próximo tópico A regra dos trapézios simples não resolveu adequadamente o problema de estatística no qual precisávamos calcular a integral de uma função cuja primitiva não pode ser escrita por uma combinação finita de funções elementares Nessa situação o erro de truncamento foi muito grande o que gerou uma diferença significativa na interpretação da solução encontrada Sendo assim fica evidente a necessidade de aumentar a precisão do método o que será alcançado através da aplicação sucessiva da regra dos trapézios simples em cada subintervalo conforme efetuamos no Exemplo 3 Descrição do Método e Interpretação Geométrica Com a finalidade de aperfeiçoar o resultado da integração numérica quando utilizamos a regra dos trapézios podemos subdividir o intervalo a b em n subintervalos de amplitude h ba n aplicar a regra dos trapézios simples em cada um deles e somar as parcelas encontradas Geometricamente podemos pensar que h representa a altura de cada trapézio e a integral da função fxdx é igual ao somatório das áreas de cada trapézio conforme figura 45 Fonte Barroso 1987 p 210 Mais precisamente a integral I da função fx pode ser calculada por I frach2y0 y1 frach2y1 y2 cdots frach2yn3 yn2 frach2yn2 yn1 frach2yn1 yn e colocandose frach2 em evidência temos I frach2y0 2y1 2y2 2y3 cdots 2yn3 2yn2 yn Em que yi fxi i 0 1 2 ldots n e h fracban Para alguns estudantes colocandose o número 2 em evidência temos uma expressão mais simples I frach2y0 2y1 y2 cdots yn3 yn2 yn Em outras palavras dados n 1 pontos distintos dividimos o intervalo a b em n subintervalos de comprimento h fracban que também é a altura de cada um dos n trapézios determinados Adicionalmente para n 1 essa expressão se reduz à fórmula dos trapézios simples Ei E0 E1 E2 cdots En3 En2 En1 Em que Ei é o erro cometido na aplicação da regra dos trapézios simples no intervalo cujos extremos são xi e xi1 ou seja Ei frach312 fc xi leq c leq xi1 i quad xi quad yi Consequentemente retornamos ao cálculo do valor do erro de truncamento e encontramos E 2312 527c 2312 52 24 E 064 Portanto lembrando que a diferença entre o valor exato da integral e a aproximação é igual ao erro de truncamento podemos escrever que Irefinado I E O que nos diz que Irefinado I E Irefinado 6048 064 Irefinado 5984 Por simplicidade se não houver chance de confusão após finalizados os cálculos geralmente chamaremos Irefinado apenas de I ou seja I Irefinado 5984 Relembre que o valor exato da integral I já foi calculado através da determinação de uma primitiva e é igual a I 401 x3dx 60 Portanto a diferença relativa percentual entre o valor exato e o valor calculado através da regra dos trapézios composta é d 60 598460100 027 Como prometido a regra dos trapézios composta com cinco subintervalos mostrou um resultado muito superior quando comparado com a regra dos trapézios simples Essa apresentou uma diferença de 667 para o valor exato enquanto aquela apenas de 027 Por curiosidade caso usássemos dez subintervalos teríamos h 02 I 6012 E 016 Irefinado 6012 016 5996 e uma diferença de apenas 007 para o valor exato mostrando a robustez do método O Exemplo 2 tratou sobre a situação na qual os consumidores de um supermercado relataram que os pacotes de 5 kg de açúcar estavam com o peso abaixo do seu valor nominal Após a modelagem matemática do problema além de algumas simplificações chegamos a um ponto em que precisávamos calcular a integral a seguir F1 8 05 12π 018 e1x2 dz Usaremos sete pontos distintos para calcular a integral I 018 e1x2 dz Isto é vamos utilizar n 7 1 6 subintervalos ou 6 trapézios Assim h b an 18 06 03 Dessa forma precisamos determinar os valores de yi fzi e05zi2 i 0 1 2 6 os quais podem ser organizados em uma tabela como a seguinte i zi yi 0 0 1 1 03 0955997482 2 06 0835270211 3 09 0666976811 4 12 0486752256 5 15 0324652467 6 18 0197898699 Tabela 43 Determinação dos pontos para aplicação da regra dos trapézios composta com a subdivisão em seis subintervalos Fonte Elaborada pelo autor Nesse caso como n 6 a fórmula da regra dos trapézios composta fica igual a I h2 y0 2y1 2y2 2y3 2y4 2y5 y6 Substituindo os valores determinados para h e yi temos I 032 e0502 2e05032 2e05062 2e05092 2e05122 2e05152 e05182 I 1160579573 Como fizemos no Exemplo 2 devemos calcular o erro de truncamento associado ao problema e refinar o resultado encontrado para a integral I Conforme vimos a fórmula para o erro de truncamento no caso composto é igual a E b a3 12n2 fc a c b E aplicandoa em nosso problema ficamos com E 1831262fc 18312621 00135 Uma vez que já calculamos o valor máximo de fx em a b 0 1 8 encontrando fxmáx e055x2 1máx e05022 1 1 1 Consequentemente Irefinado I E 1160579573 00135 Irefinado 1147079573 Renomeando temos que I Irefinado 1147079573 Logo podemos calcular o valor de F1 8 F1 8 05 12π 018 e1x2 dz 05 12π 1147079573 F1 8 09576 A análise desse resultado diz que existe uma probabilidade de 9576 de encontrarmos um pacote de açúcar com menos de 5 kg isto é 9576 dos pacotes no mercado estão com peso menor do que o indicado na embalagem Dessa vez o resultado encontrado por nós está muito perto do valor calculado no exemplo original encontrado em Barroso 1987 p 268 a saber 964 Agora a regra dos trapézios composta com seis subintervalos mostrouse adequada para resolver a integral Uma vez que o erro de truncamento foi muito pequeno devido ao comprimento do intervalo ser igual a b a 03 seis vezes menor do que o anterior Adicionalmente se desejássemos refinar o resultado ainda mais para n 12 e n 24 subintervalos temos os seguintes resultados n h I E I refinado F1 8 12 015 1162582336 0003375 1159207336 0962456818 24 0075 116308321 000084375 116223946 0963666461 Tabela 44 Cálculo de Fleft 18 right para a regra dos trapézios composta com 12 e 24 subintervalos Fonte Elaborada pelo autor Para finalizar esse exemplo mostrou que ao utilizar a regra dos trapézios composta com uma pequena quantidade de subintervalos n 10 podese usar uma calculadora científica simples e efetuar as operações conforme realizamos para n 6 Entretanto para uma maior quantidade de subintervalos n 10 recomendamos a utilização de alguma ferramenta computacional mais apropriada como o Excel por exemplo conforme utilizamos para n 12 e n 24 Além disso para aplicações que suscitam a necessidade de uma precisão muito elevada e com rápida convergência recomendamos que o aluno pesquise sobre outros métodos de integração numérica por exemplo a primeira regra de Simpson e a quadratura Gaussiana Refita As regras dos trapézios e de Simpson são largamente utilizadas entretanto elas não são as mais eficientes uma vez que existem regras de integração igualmente precisas mas que podem utilizar uma menor quantidade de pontos de integração As regras de quadratura gaussiana são as mais utilizadas no método de elementos finitos MEF para análise estrutural dinâmica dos fluidos e para transferência de calor e massa VARGAS ARAKI 2017 Contudo a aplicação da fórmula de quadratura gaussiana requer a forma explícita da função a ser integrada quando em oposição as fórmulas de NewtonCôtes necessitam apenas de pontos tabelados o que é bastante útil em casos práticos BARROSO 1987 Fonte Adaptado de Vargas e Araki 2017 e Barroso 1987 Exemplo 6 Aplicando a regra dos trapézios composta faça a estimativa da distância percorrida D por uma partícula cuja velocidade foi medida em alguns instantes conforme a tabela a seguir VARGAS ARAKI 2017 Tempo s 0 10 20 30 40 50 60 70 Velocidade ms 0 5 8 12 17 23 30 38 Tabela 45 Velocidade versus tempo de um móvel hipotético Fonte Vargas e Araki 2017 p 332 Nesse exemplo fazemos referência ao Exemplo 3 o qual foi resolvido a partir da soma dos valores obtidos com a aplicação da regra dos trapézios simples em cada intervalo dado na tabela acima Entretanto já mencionamos que podemos resolver essa integral com a aplicação da regra dos trapézios composta fazendo n 8 1 7 subintervalos e h b an 70 07 10 D 070 vtdt D h2 y0 2y1 2y2 2y3 2y4 2y5 2y6 y7 D 102 0 2 5 2 8 2 12 2 17 2 23 30 38 D 1140 metros Vamos Praticar Calcular a integral I 25 12 x12 dx analiticamente e depois através da aplicação da regra dos trapézios simples e da regra dos trapézios composta com a utilização de seis pontos distintos Em seguida marque a alternativa que apresenta os três valores calculados na ordem que foram solicitados a 02 019146 01 b 01 008923 009451 c 041 003922 040456 d 01 009859 009995 e 03 028325 030001 O Céu de Outubro Cálculo Numérico Nesta unidade os nossos esforços estavam voltados ao conhecimento e aplicação das técnicas de integração numérica de funções Como vimos ao longo do texto em muitas situações dispomos apenas de uma tabela com valores de determinada função que descreve um fenômeno e para resolvêlo precisamos realizar a integração dessa função Assim não temos outra opção a não ser utilizar algum método numérico de integração OCTOBER SKY TRAILER LEGENDADO 1 vídeo 2 min 18 s Publicado no canal Gustavo Henrique Soares Disponível em httpswwwyoutubecomwatchv8ut2UlckQ Acesso em 16 fev 2020 SPERANDIO D MENDES J T SILVA L H M e Cálculo numérico 2 ed São Paulo Pearson 2014 VARGAS J V C ARAKI L K Cálculo numérico aplicado Barueri Manole 2017