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Usuário: EBERSON COSTA Curso: GRA1559 ÁLGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL GR3391-212.9 - 202120.ead-10465.04 Teste: ATIVIDADE 2 (A2) Iniciado: 20/09/21 20:01 Enviado: 21/09/21 21:15 Status: Completada Resultado da tentativa 9 em 10 pontos Tempo decorrido 25 horas, 13 minutos Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários Pergunta 1 1 em 1 pontos As matrizes obedecem a certas propriedades de álgebra. Por exemplo, o produto entre as duas matrizes, geralmente, não é comutativo, AB ≠ BA. A única exceção seria quando B = A⁻¹, isto é, quando a matriz B for a inversa de A. Usando o conceito de propriedade de matriz inversa, assinale a alternativa correta referente à matriz \(A = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}\) Resposta Selecionada: \(\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{5} \\ -1 & \frac{4}{5} \end{pmatrix}\) Resposta Correta: \(\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{5} \\ -1 & \frac{4}{5} \end{pmatrix}\) Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois você precisa calcular da seguinte forma: \(A \times \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) Nesse caso, chegamos aos seguintes sistemas: \(4a - 3c = 1\\ 4b - 3d = 0 \\ 5a + c = 0 \\ 5b + d = 1\) Ao resolver este par de sistemas, temos: \(\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) e \(\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{pmatrix}\) Pergunta 2 1 em 1 pontos Considere as seguintes informações: 1) o sistema de equações não se altera quando permutamos as posições das equações; 2) o sistema de equações não se altera quando multiplicamos os membros de uma das equações por qualquer número real não nulo; 3) por inferência, podemos, então, substituir uma equação por outra obtida a partir da inclusão "membro a membro" dessa equação, no qual foi aplicada a transformação do Teorema II. Essas informações são concernentes aos três axiomas de Eliminação de Gauss. Assim, usando o conceito de eliminação gaussiana, assinale a alternativa correta referente à matriz triangular da seguinte matriz: \(\begin{pmatrix} 2 & 1 & 9 \\ 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}\) Resposta Selecionada: \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 9 \\ 2 & 1 & 9 \end{pmatrix}\) Resposta Correta: \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -9 \\ 2 & 9 & -3 \end{pmatrix}\) Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está incorreta, pois, nesse caso, você deverá utilizar os seguintes passos para resolver o problema: \(\begin{pmatrix} 2 & 1 & 9 \\ 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}\) Primeiramente, na linha 2, faremos: -2L1 + L2 e 3L1 + L2 \(\Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 5 & 19 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}\) Após isso, na linha 3, faremos: -2L2+L3 \(\Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 5 & 9 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}\) Depois, podemos trocar as linhas 2 e 3: \(\Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 5 & 9 \end{pmatrix}\) Por fim, na linha 3, faremos: -3L2+L3 \(\Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}\) Pergunta 3 1 em 1 pontos As matrizes são tipos de arranjos de números com n linha e n colunas. Podemos obter as matrizes a partir de leis de formação. Considere, por exemplo, uma matriz \(A = [a_{ij}],\) de ordem \(4\times4\), em que os elementos têm a seguinte lei de formação: \(1, se i = j\\ 0, se i \neq j\) Com base no exposto, analise as afirmativas a seguir: I. Na matriz A, o elemento a_{ij} é igual ao elemento a_{ij}. II. Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos. III. Se a matriz B é \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\), então o produto B . A é a matriz -B. IV. Sendo a matriz I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A+I possui todos os elementos iguais a 1. Está correto o que afirma em: Resposta Selecionada: I, II e IV, apenas. Resposta Correta: I, II e IV, apenas. Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois a matriz terá a seguinte forma: \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) Assim, percebemos que o elemento \(a_{31} = a{13}\). Também pode ser verificado que a matriz tem a diagonal principal igual a zero. Se multiplicarmos essa matriz por B, teremos: \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\) Ou seja, a matriz não será -B. Por fim, se somarmos A+I, teremos: \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) Pergunta 4 1 em 1 pontos Para calcular determinantes 2x2, apenas multiplicamos, de forma cruzada, os elementos. Para matrizes 3x3, usamos a regra de Sarrus, em que repetimos as duas primeiras colunas e multiplicamos os elementos também de forma cruzada. Para matrizes de ordem maior, usamos o teorema de Laplace. Com base no uso do conceito do teorema de Laplace, assinale a alternativa que apresenta o valor de x não nulo da seguinte equação: \(\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & x \\ x & 0 & 1 \end{vmatrix} \neq 0\) Resposta Selecionada: \(\frac{1}{2}\) Resposta Correta: \(\frac{1}{2}\) Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, você usou o fator \(A = \sum^{L_i} a_{ij} A_{ij}, A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}.\) No caso, podemos escrever a linha 1. Assim: \(det M = x(-1)^{1+1} A \ \Leftarrow M^{ij} = \begin\left| a \right|) \ \begin\left| b \right|) \ \begin\left| c \right|)\) \(det M = | x(1) - (1)(1) \ 0 \ 1 (1)| \ x \ 0 & -1 \\ x \ 0 & 1 \\ 1 \ 0 & -1 \ 0 \ x+1 \ 3(2)} - 1(mod^{(-3.xy)=0}) \ = \ 0\) A matriz x ▭, quando correntes ▭ ▻ ▻ Pergunta 5 1 em 1 pontos Suponha que você esteja analisando duas aplicações financeiras. Sua aplicação inicial foi de R$ 20000,00 por um ano em duas aplicações: A e B. A aplicação A rendeu 10% ao ano e a B rendeu 25% ao ano. Sabe-se que o ganho proporcionado pela aplicação B foi superior ao de A em R$ 100,00. Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta em R$ a diferença dos valores aplicados em cada investimento. Resposta Selecionada: 8000. Resposta Correta: 8000. Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois você, primeiramente, deve escrever o sistema linear: Lembre-se de que x seria a aplicação A e b equivale à aplicação y: x + y = 20000\\ 0,25y + 0,1x = 100 → 0,1x + 0,25y = 100 Ao resolver o sistema linear, tem-se: x = 14000 e y = 6000. Pergunta 6 1 em 1 pontos A multiplicação de matrizes é uma operação matemática que envolve duas matrizes. A condição para que duas matrizes \(A_{m,n}, B_{m,p}\) sejam multiplicadas é que o número de colunas da matriz \(A\) deve ser igual ao número de linhas da matriz \(B\.\) O resultado da multiplicação é dado por \(A.B.\) A partir do exposto, assinale a alternativa que apresenta a matriz \(X\) que corresponde à solução da seguinte equação matricial: \(AX = B\\ \text{Em que } A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{e } B = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}\) Resposta Selecionada: \(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) Resposta Correta: \(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois a matriz terá a seguinte forma: \(\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}\) Em seguida, escreve-se a matriz X como: \(X = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) Assim, você encontrou que \(x = \frac{-1}{2}(3 - 1)\) Pergunta 7 1 em 1 pontos A eliminação gaussiana, também conhecida como escalonamento, é um método para resolver sistemas lineares. Esse método consiste em manipular o sistema por meio de determinadas operações elementares, transformando a matriz estendida do sistema em uma matriz triangular (denominada matriz escalonada do sistema). Usando o conceito de eliminação gaussiana, assinale a alternativa correta referente à matriz triangular da seguinte matriz: \(\begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}\) Resposta Selecionada: \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -9 \\ 2 & 1 & 9 \end{pmatrix}\) Resposta Correta: \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -9 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}\) Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, devemos fazer: \(\begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}\) No primeiro passo, subtraímos da segunda linha o quádruplo da primeira e subtraímos da terceira linha o dobro da primeira: \(\Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 5 & 1 \\ 0 & 9 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}\) Assim, troca-se a segunda com a terceira linha: \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 9 & 9 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) Pergunta 8 1 em 1 pontos Um sistema linear pode ter ou não solução, sendo denominado sistema possível ou impossível, respectivamente. Dentre os sistemas que admitem solução, existem os que têm apenas uma única solução (determinado) e outros que podem apresentar um conjunto infinito de soluções (indeterminado). A partir do exposto, analise as assertivas a seguir e relacione proposta entre elas. I. O sistema linear 7x + 3y = 23 15x – 2y = 24 possui várias soluções. Porque: II. O determinante formado por 7 3 ( 15 -2 ) é diferente de zero. A seguir, assinale a alternativa correta. Resposta Selecionada: A assertiva I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. Resposta Correta: A assertiva I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois, quando calculamos o determinante dos elementos ( 7 3 15 -2 ) será igual a -59. Pela classificação dos sistemas lineares, o sistema linear terá apenas uma solução. Assim, se o determinante fosse igual a zero, teríamos infinitas soluções. Pergunta 9 0 em 1 pontos Um sistema pode ser resolvido pelo método da substituição isolando uma variável ou substituindo em outras. Outro método que podemos usar é a regra de Cramer, na qual podemos nos apoiar no conceito de determinante. Por fim, temos o método de escalonamento de matrizes dos coeficientes numéricos de um sistema de equações lineares, com a finalidade de simplificar o sistema por meio de operações entre os coeficientes das linhas de uma matriz. Usando o conceito de escalonamento, assinale a alternativa correta referente ao resultado da seguinte matriz escalonada: 1 1 4 15 2 0 1 18 0 1/2 7 21 0 0 1 57 Resposta Selecionada: 2 0 1 18 0 1 8 1 0 –1/7 11 –57 Resposta Correta: 1 1 4 15 0 2 –7 –12 0 –1/2 –1 –9 Comentário da resposta: Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois você precisa fazer: 1 1 4 15 2 0 1 18 0 1 8 11 0 0 1 57 Em um primeiro momento, subtraímos os elementos da linha L2 pela metade dos elementos da linha L1. Também subtraímos os elementos da linha L3 pelo subtripo dos elementos da linha L2 (após os cálculos anteriores): 1 1 4 15 0 1 7 –1 0 1/2 11 –57 Pergunta 10 1 em 1 pontos Na modelagem de muitos sistemas físicos, encontramos sistemas lineares, tendo a quantidade de incógnitas similar à quantidade de equações. Nessa situação, sempre podemos montar uma matriz e calcular o determinante para verificarmos a solução de sistema lineares. Assim, nessa circunstância, considere que A seja uma matriz quadrada de ordem 2 e B uma matriz quadrada de ordem 3, tal que det(A) = det(B) = 1. Assinale a alternativa que apresenta o valor de det(3A)·det(2B). Resposta Selecionada: 72. Resposta Correta: 72. Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois é preciso usar a seguinte propriedade de determinante: det(m·B) = mⁿ·det(B). Em que n e a ordem da matriz. No nosso problema: det(3A)·det(2B) = 3²·2³·(det(1)·det(1) = 9·8·1 = 72. Quarta-feira, 29 de Setembro de 2021 ás 19h45min05s BRT
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Usuário: EBERSON COSTA Curso: GRA1559 ÁLGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL GR3391-212.9 - 202120.ead-10465.04 Teste: ATIVIDADE 2 (A2) Iniciado: 20/09/21 20:01 Enviado: 21/09/21 21:15 Status: Completada Resultado da tentativa 9 em 10 pontos Tempo decorrido 25 horas, 13 minutos Resultados exibidos Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários Pergunta 1 1 em 1 pontos As matrizes obedecem a certas propriedades de álgebra. Por exemplo, o produto entre as duas matrizes, geralmente, não é comutativo, AB ≠ BA. A única exceção seria quando B = A⁻¹, isto é, quando a matriz B for a inversa de A. Usando o conceito de propriedade de matriz inversa, assinale a alternativa correta referente à matriz \(A = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}\) Resposta Selecionada: \(\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{5} \\ -1 & \frac{4}{5} \end{pmatrix}\) Resposta Correta: \(\begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{5} \\ -1 & \frac{4}{5} \end{pmatrix}\) Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois você precisa calcular da seguinte forma: \(A \times \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) Nesse caso, chegamos aos seguintes sistemas: \(4a - 3c = 1\\ 4b - 3d = 0 \\ 5a + c = 0 \\ 5b + d = 1\) Ao resolver este par de sistemas, temos: \(\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\) e \(\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} \\ \frac{4}{5} \end{pmatrix}\) Pergunta 2 1 em 1 pontos Considere as seguintes informações: 1) o sistema de equações não se altera quando permutamos as posições das equações; 2) o sistema de equações não se altera quando multiplicamos os membros de uma das equações por qualquer número real não nulo; 3) por inferência, podemos, então, substituir uma equação por outra obtida a partir da inclusão "membro a membro" dessa equação, no qual foi aplicada a transformação do Teorema II. Essas informações são concernentes aos três axiomas de Eliminação de Gauss. Assim, usando o conceito de eliminação gaussiana, assinale a alternativa correta referente à matriz triangular da seguinte matriz: \(\begin{pmatrix} 2 & 1 & 9 \\ 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}\) Resposta Selecionada: \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 9 \\ 2 & 1 & 9 \end{pmatrix}\) Resposta Correta: \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -9 \\ 2 & 9 & -3 \end{pmatrix}\) Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está incorreta, pois, nesse caso, você deverá utilizar os seguintes passos para resolver o problema: \(\begin{pmatrix} 2 & 1 & 9 \\ 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}\) Primeiramente, na linha 2, faremos: -2L1 + L2 e 3L1 + L2 \(\Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 5 & 19 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}\) Após isso, na linha 3, faremos: -2L2+L3 \(\Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 5 & 9 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}\) Depois, podemos trocar as linhas 2 e 3: \(\Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 5 & 9 \end{pmatrix}\) Por fim, na linha 3, faremos: -3L2+L3 \(\Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}\) Pergunta 3 1 em 1 pontos As matrizes são tipos de arranjos de números com n linha e n colunas. Podemos obter as matrizes a partir de leis de formação. Considere, por exemplo, uma matriz \(A = [a_{ij}],\) de ordem \(4\times4\), em que os elementos têm a seguinte lei de formação: \(1, se i = j\\ 0, se i \neq j\) Com base no exposto, analise as afirmativas a seguir: I. Na matriz A, o elemento a_{ij} é igual ao elemento a_{ij}. II. Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos. III. Se a matriz B é \(\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\), então o produto B . A é a matriz -B. IV. Sendo a matriz I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A+I possui todos os elementos iguais a 1. Está correto o que afirma em: Resposta Selecionada: I, II e IV, apenas. Resposta Correta: I, II e IV, apenas. Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois a matriz terá a seguinte forma: \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\) Assim, percebemos que o elemento \(a_{31} = a{13}\). Também pode ser verificado que a matriz tem a diagonal principal igual a zero. Se multiplicarmos essa matriz por B, teremos: \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\) Ou seja, a matriz não será -B. Por fim, se somarmos A+I, teremos: \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) Pergunta 4 1 em 1 pontos Para calcular determinantes 2x2, apenas multiplicamos, de forma cruzada, os elementos. Para matrizes 3x3, usamos a regra de Sarrus, em que repetimos as duas primeiras colunas e multiplicamos os elementos também de forma cruzada. Para matrizes de ordem maior, usamos o teorema de Laplace. Com base no uso do conceito do teorema de Laplace, assinale a alternativa que apresenta o valor de x não nulo da seguinte equação: \(\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & x \\ x & 0 & 1 \end{vmatrix} \neq 0\) Resposta Selecionada: \(\frac{1}{2}\) Resposta Correta: \(\frac{1}{2}\) Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, você usou o fator \(A = \sum^{L_i} a_{ij} A_{ij}, A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}.\) No caso, podemos escrever a linha 1. Assim: \(det M = x(-1)^{1+1} A \ \Leftarrow M^{ij} = \begin\left| a \right|) \ \begin\left| b \right|) \ \begin\left| c \right|)\) \(det M = | x(1) - (1)(1) \ 0 \ 1 (1)| \ x \ 0 & -1 \\ x \ 0 & 1 \\ 1 \ 0 & -1 \ 0 \ x+1 \ 3(2)} - 1(mod^{(-3.xy)=0}) \ = \ 0\) A matriz x ▭, quando correntes ▭ ▻ ▻ Pergunta 5 1 em 1 pontos Suponha que você esteja analisando duas aplicações financeiras. Sua aplicação inicial foi de R$ 20000,00 por um ano em duas aplicações: A e B. A aplicação A rendeu 10% ao ano e a B rendeu 25% ao ano. Sabe-se que o ganho proporcionado pela aplicação B foi superior ao de A em R$ 100,00. Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta em R$ a diferença dos valores aplicados em cada investimento. Resposta Selecionada: 8000. Resposta Correta: 8000. Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois você, primeiramente, deve escrever o sistema linear: Lembre-se de que x seria a aplicação A e b equivale à aplicação y: x + y = 20000\\ 0,25y + 0,1x = 100 → 0,1x + 0,25y = 100 Ao resolver o sistema linear, tem-se: x = 14000 e y = 6000. Pergunta 6 1 em 1 pontos A multiplicação de matrizes é uma operação matemática que envolve duas matrizes. A condição para que duas matrizes \(A_{m,n}, B_{m,p}\) sejam multiplicadas é que o número de colunas da matriz \(A\) deve ser igual ao número de linhas da matriz \(B\.\) O resultado da multiplicação é dado por \(A.B.\) A partir do exposto, assinale a alternativa que apresenta a matriz \(X\) que corresponde à solução da seguinte equação matricial: \(AX = B\\ \text{Em que } A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{e } B = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix}\) Resposta Selecionada: \(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) Resposta Correta: \(\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois a matriz terá a seguinte forma: \(\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \end{pmatrix}\) Em seguida, escreve-se a matriz X como: \(X = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) Assim, você encontrou que \(x = \frac{-1}{2}(3 - 1)\) Pergunta 7 1 em 1 pontos A eliminação gaussiana, também conhecida como escalonamento, é um método para resolver sistemas lineares. Esse método consiste em manipular o sistema por meio de determinadas operações elementares, transformando a matriz estendida do sistema em uma matriz triangular (denominada matriz escalonada do sistema). Usando o conceito de eliminação gaussiana, assinale a alternativa correta referente à matriz triangular da seguinte matriz: \(\begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}\) Resposta Selecionada: \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -9 \\ 2 & 1 & 9 \end{pmatrix}\) Resposta Correta: \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & -9 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}\) Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, devemos fazer: \(\begin{pmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}\) No primeiro passo, subtraímos da segunda linha o quádruplo da primeira e subtraímos da terceira linha o dobro da primeira: \(\Rightarrow \begin{pmatrix} 0 & 5 & 1 \\ 0 & 9 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}\) Assim, troca-se a segunda com a terceira linha: \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & 9 & 9 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) Pergunta 8 1 em 1 pontos Um sistema linear pode ter ou não solução, sendo denominado sistema possível ou impossível, respectivamente. Dentre os sistemas que admitem solução, existem os que têm apenas uma única solução (determinado) e outros que podem apresentar um conjunto infinito de soluções (indeterminado). A partir do exposto, analise as assertivas a seguir e relacione proposta entre elas. I. O sistema linear 7x + 3y = 23 15x – 2y = 24 possui várias soluções. Porque: II. O determinante formado por 7 3 ( 15 -2 ) é diferente de zero. A seguir, assinale a alternativa correta. Resposta Selecionada: A assertiva I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. Resposta Correta: A assertiva I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois, quando calculamos o determinante dos elementos ( 7 3 15 -2 ) será igual a -59. Pela classificação dos sistemas lineares, o sistema linear terá apenas uma solução. Assim, se o determinante fosse igual a zero, teríamos infinitas soluções. Pergunta 9 0 em 1 pontos Um sistema pode ser resolvido pelo método da substituição isolando uma variável ou substituindo em outras. Outro método que podemos usar é a regra de Cramer, na qual podemos nos apoiar no conceito de determinante. Por fim, temos o método de escalonamento de matrizes dos coeficientes numéricos de um sistema de equações lineares, com a finalidade de simplificar o sistema por meio de operações entre os coeficientes das linhas de uma matriz. Usando o conceito de escalonamento, assinale a alternativa correta referente ao resultado da seguinte matriz escalonada: 1 1 4 15 2 0 1 18 0 1/2 7 21 0 0 1 57 Resposta Selecionada: 2 0 1 18 0 1 8 1 0 –1/7 11 –57 Resposta Correta: 1 1 4 15 0 2 –7 –12 0 –1/2 –1 –9 Comentário da resposta: Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois você precisa fazer: 1 1 4 15 2 0 1 18 0 1 8 11 0 0 1 57 Em um primeiro momento, subtraímos os elementos da linha L2 pela metade dos elementos da linha L1. Também subtraímos os elementos da linha L3 pelo subtripo dos elementos da linha L2 (após os cálculos anteriores): 1 1 4 15 0 1 7 –1 0 1/2 11 –57 Pergunta 10 1 em 1 pontos Na modelagem de muitos sistemas físicos, encontramos sistemas lineares, tendo a quantidade de incógnitas similar à quantidade de equações. Nessa situação, sempre podemos montar uma matriz e calcular o determinante para verificarmos a solução de sistema lineares. Assim, nessa circunstância, considere que A seja uma matriz quadrada de ordem 2 e B uma matriz quadrada de ordem 3, tal que det(A) = det(B) = 1. Assinale a alternativa que apresenta o valor de det(3A)·det(2B). Resposta Selecionada: 72. Resposta Correta: 72. Comentário da resposta: Resposta correta. A alternativa está correta, pois é preciso usar a seguinte propriedade de determinante: det(m·B) = mⁿ·det(B). Em que n e a ordem da matriz. No nosso problema: det(3A)·det(2B) = 3²·2³·(det(1)·det(1) = 9·8·1 = 72. Quarta-feira, 29 de Setembro de 2021 ás 19h45min05s BRT