·
Administração ·
Outros
Send your question to AI and receive an answer instantly
Preview text
24022021 1 PROBABILIDADE Prof Dr André Wakamatsu 1 CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE Probabilidade a razão da possibilidade de que um evento incerto irá ocorrer em relação ao número de possibilidades sempre entre 0 e 1 Evento Impossível um evento que não tem chance de ocorrência probabilidade 0 Evento Certo um evento que é certeza que irá ocorrer probabilidade 1 2 1 2 24022021 2 AVALIANDO PROBABILIDADES Há três abordagens para avaliar a probabilidade de um evento incerto 1 a priori com base no conhecimento prévio do processo 2 probabilidade empírica 3 probabilidade subjetiva total e ventos número e ormas e um vento correr número e d o e d f d T X com base em uma combinação de experiências passadas de um indivíduo a opinião pessoal e análise de uma situação particular Assumindo que todos os resultados são igualmente prováveis probabilidade de ocorrência probabilidade de ocorrência total e ventos número e ormas e um vento correr número e d o e d d f 3 EXEMPLO DE PROBABILIDADE EMPÍRICA com filhos sem filhos Total Masculino 84 145 229 Feminino 76 134 210 Total 160 279 439 0191 439 84 de pessoas total número filhos de homens com número Encontrar a probabilidade de selecionar uma pessoa do sexo masculino com filhos da amostra descrita na tabela a seguir Probabilidade de homens com filhos 4 3 4 24022021 3 EXEMPLO Na tabela é mostrado o acompanhamento do número de computadores vendidos diariamente por uma loja varejista Determine a probabilidade de que hoje a loja venda a 2 b Menos de 3 c Mais de 1 d Pelo menos 1 Número de Computadores Vendidos Número de dias 0 12 1 43 2 18 3 20 4 25 5 RESPOSTA DO EXEMPLO Determine a probabilidade de que hoje a loja venda a 2 b Menos de 3 c Mais de 1 d Pelo menos 1 Número de Computadores Vendidos x Número de dias frequência simples Relativa Simples Probabilidade 0 12 12118 01017 1 43 43118 03644 2 18 18118 01525 3 20 20118 01695 4 25 25118 02119 Total 118 10000 6 01525 01525 03644 01017 06186 01525 01695 02119 05339 03644 01525 01695 02119 ou 1 01017 08983 5 6 24022021 4 EVENTOS Cada resultado possível de uma variável é um evento Evento simples Um evento descrito por uma única característica por exemplo uma carta vermelha de um baralho de cartas Evento conjunto Um evento descrito por duas ou mais características por exemplo um Ás que também é vermelho de um baralho de cartas Complementar de um evento A denotada A Todos os eventos que não fazem parte do evento A por exemplo todas as cartas que não são de copas 7 VISUALIZANDO EVENTOS Tabela de Contingência Árvore de Decisão Vermelho 2 24 26 Preto 2 24 26 Total 4 48 52 Ás Não Ás Total 52 cartas Espaço amostral Número total de resultados do espaço amostral 2 24 2 24 8 7 8 24022021 5 EXEMPLO DE TABELA DE CONTINGÊNCIA Economia Economistas Estável E Expansão Ex Contração C Total Acadêmicos A 125 100 100 325 Indústria Privada I 50 35 25 110 Governo G 25 40 0 65 Total 200 175 125 500 A partir da tabela de possibilidades encontre a PA b PG c PA e E d PA e Ex e PG e C 9 Evento Simples Evento Simples Evento Simples Evento Simples Evento Conjunto EXEMPLO DE TABELA DE CONTINGÊNCIA Economia Economistas Estável E Expansão Ex Contração C Total Acadêmicos A 125 100 100 325 Indústria Privada I 50 35 25 110 Governo G 25 40 0 65 Total 200 175 125 500 A partir da tabela de possibilidades encontre a PA b PG c PA e E d PA e Ex e PG e C 10 325500 065 65500 013 125500 025 100500 020 0500 000 Evento Impossível 9 10 24022021 6 CALCULANDO PROBABILIDADES CONDICIONAIS A probabilidade condicional é a probabilidade de um evento ocorrer dado que um outro evento ocorreu PB PAe B PA B PA PAe B PB A Em que PA e B probabilidade conjunta de A e B PA probabilidade marginal ou simples de A PB probabilidade marginal ou simples de B A probabilidade condicional de A dado que B tenha ocorrido A probabilidade condicional de B dado que A tenha ocorrido 11 EXEMPLO DE PROBABILIDADE CONDICIONAL Dado que foi escolhido um carro da loja qual é a probabilidade de que tenha um CD player uma vez que tem AC ou seja queremos encontrar PCD AC Dos carros em uma loja de carros usados 70 têm ar condicionado AC e 40 têm um leitor de CD CD 20 dos carros tem ambos 12 11 12 24022021 7 Não CD CD Total AC 02 05 07 Não AC 02 01 03 Total 04 06 10 Dos carros em uma loja de carros usados 70 têm ar condicionado AC e 40 têm um leitor de CD CD 20 dos carros tem ambos 02857 07 02 PAC PCDeAC PCD AC EXEMPLO DE PROBABILIDADE CONDICIONAL 13 EXEMPLO DE TABELA DE CONTINGÊNCIA Economia Economistas Estável E Expansão Ex Contração C Total Acadêmicos A 125 100 100 325 Indústria Privada I 50 35 25 110 Governo G 25 40 0 65 Total 200 175 125 500 A partir da tabela de possibilidades encontre a PAEx b PEG c PIE 14 100 175 05714 25 65 03846 50 200 025 13 14 24022021 8 REGRA GERAL DA ADIÇÃO PA ou B PA PB PA e B Regra geral da adição Se A e B são mutuamente exclusivos então PA e B 0 então a regra pode ser simplificada PA ou B PA PB Para eventos mutuamente exclusivos A e B 15 EXEMPLO DE TABELA DE CONTINGÊNCIA Economia Economistas Estável E Expansão Ex Contração C Total Acadêmicos A 125 100 100 325 Indústria Privada I 50 35 25 110 Governo G 25 40 0 65 Total 200 175 125 500 A partir da tabela de possibilidades encontre a PA ou G b PE ou G c PI ou Ex 16 325 500 65 500 065 013 078 200 500 65 500 25 500 040 013 005 048 110 500 175 500 35 500 022 035 007 050 15 16 24022021 9 EXEMPLO a PC b PB e S c PM ou S d PCM e PG f PM e C g PB ou S h PBS Quantidade de Contêineres Navios Baixo B 100 Médio M Entre 100 e 200 Grande G 200 Total Chegadas C 25 10 40 75 Saídas S 15 40 10 65 Total 40 50 50 140 17 a PC 05357 b PB e S 01071 c PM ou S 05357 d PCM 020 e PG 03571 f PM e C 00714 g PB ou S 06429 h PBS 02308 INDEPENDÊNCIA Dois eventos são independentes se e somente se Eventos A e B são independentes quando a probabilidade de um evento não é afetada pelo fato de que o outro evento ocorreu PA PA B 18 17 18 24022021 10 REGRAS DA MULTIPLICAÇÃO Regra da multiplicação por dois eventos A e B PA BPB PA e B PA PA B Nota Se A e B são independentes então e a regra da multiplicação é simplificada para PAPB PA e B 19 EXEMPLO C D Total A 10 20 30 B 5 15 20 Total 15 35 50 20 a Verifique se A e C são independentes 𝑃 𝐴 𝑒 𝐶 10 50 020 𝑃 𝐴 𝑃 𝐶 30 50 15 50 060 030 018 A e C são dependentes b Verifique se B e D são independentes 𝑃 𝐵 𝑒 𝐷 15 50 030 𝑃 𝐵 𝑃 𝐷 35 50 20 50 070 040 028 B e D são dependentes 19 20 24022021 11 EXEMPLO Zona Produto A B C Total Leste 50 70 80 200 Oeste 100 130 170 400 Norte 75 115 110 300 Sul 25 35 40 100 Total 250 350 400 1000 21 a Verifique se as vendas do produto A independe se é vendido na zona Norte b Verifique se as vendas do produto C independe se é vendido na zona Oeste c Verifique se as vendas do produto B independe se é vendido na zona Leste A e Norte são independentes C e Oeste são dependentes B e Leste são independentes EXEMPLO 1 Um gerente de crédito coletou dados de 100 de seus clientes Dos 60 homens 40 possuem cartão de crédito C Das 40 mulheres 30 tem cartão de crédito C Dez dos homens com cartão de crédito possuem balanço negativo B enquanto que 15 das mulheres com cartão de crédito possuem balanço negativo B Quem não tem cartão de crédito não tem balanço negativo O gerente de crédito quer determinar a probabilidade de que um cliente selecionado aleatoriamente seja a Uma mulher com cartão de crédito b Uma mulher com balanço negativo c Um homem sem balanço negativo d Um homem com balanço negativo e Um homem ou uma mulher com balanço negativo f Um homem ou balanço negativo g Um homem dado que tem balanço negativo 22 21 22 24022021 12 EXEMPLO 1 Neste exemplo temos 3 variáveis categóricas 1 Sexo a H Homens b M Mulheres 2 Cartão de crédito a C possui cartão de crédito b NC não possui cartão de crédito 3 Balanço negativo a B possui balanço negativo b NB não possui balanço negativo Como o problema possui 3 variáveis devemos separar em duas tabelas usando de preferência uma variável dicotômica que assume apenas dois estados possíveis 23 EXEMPLO 1 H C NC Total B 10 0 10 NB 30 20 50 Total 40 20 60 24 M C NC Total B 15 0 15 NB 15 10 25 Total 30 10 40 23 24 24022021 13 EXEMPLO 1 A H C NC Total B 10 0 10 NB 30 20 50 Total 40 20 60 25 M C NC Total B 15 0 15 NB 15 10 25 Total 30 10 40 O gerente de crédito quer determinar a probabilidade de que um cliente selecionado aleatoriamente seja uma mulher com cartão de crédito 𝑃 𝑀 𝑒 𝐶 30 100 030 Por que 100 EXEMPLO 1 B H C NC Total B 10 0 10 NB 30 20 50 Total 40 20 60 26 M C NC Total B 15 0 15 NB 15 10 25 Total 30 10 40 O gerente de crédito quer determinar a probabilidade de que um cliente selecionado aleatoriamente seja mulher com balanço negativo 𝑃 𝑀 𝑒 𝐵 15 100 015 25 26 24022021 14 EXEMPLO 1 C H C NC Total B 10 0 10 NB 30 20 50 Total 40 20 60 27 M C NC Total B 15 0 15 NB 15 10 25 Total 30 10 40 O gerente de crédito quer determinar a probabilidade de que um cliente selecionado aleatoriamente seja homem sem balanço negativo 𝑃 𝐻 𝑒 𝑁𝐵 50 100 050 EXEMPLO 1 D H C NC Total B 10 0 10 NB 30 20 50 Total 40 20 60 28 M C NC Total B 15 0 15 NB 15 10 25 Total 30 10 40 O gerente de crédito quer determinar a probabilidade de que um cliente selecionado aleatoriamente seja homem com balanço negativo 𝑃 𝐻 𝑒 𝐵 10 100 010 27 28 24022021 15 EXEMPLO 1 E H C NC Total B 10 0 10 NB 30 20 50 Total 40 20 60 29 M C NC Total B 15 0 15 NB 15 10 25 Total 30 10 40 O gerente de crédito quer determinar a probabilidade de que um cliente selecionado aleatoriamente seja homem ou uma mulher com balanço negativo 𝑃 𝐻 𝑜𝑢 𝑀 𝑒 𝐵 𝑃 𝐻 𝑒 𝐵 𝑃 𝑀 𝑒 𝐵 10 100 15 100 025 EXEMPLO 1 F H C NC Total B 10 0 10 NB 30 20 50 Total 40 20 60 30 M C NC Total B 15 0 15 NB 15 10 25 Total 30 10 40 O gerente de crédito quer determinar a probabilidade de que um cliente selecionado aleatoriamente seja homem ou balanço negativo 𝑃 𝐻 𝑜𝑢 𝐵 𝑃 𝐻 𝑃𝑀 𝑒 𝐵 60 100 15 100 075 29 30 24022021 16 EXEMPLO 1 G H C NC Total B 10 0 10 NB 30 20 50 Total 40 20 60 31 M C NC Total B 15 0 15 NB 15 10 25 Total 30 10 40 O gerente de crédito quer determinar a probabilidade de que um cliente selecionado aleatoriamente seja homem dado que tem balanço negativo 𝑃 𝐻 𝐵 10 10 15 040 EXEMPLOS 2 De cada 1000 pessoas acima de 18 anos 600 estão empregadas e 800 são graduadas Das 800 graduadas 500 possuem trabalho Qual a probabilidade de que uma pessoa acima de 18 anos escolhida aleatoriamente seja a um empregado graduado b empregado mas não graduado c desempregado ou graduado d empregado ou não graduado e empregado dado que é graduado f não graduado dado que é desempregado 32 31 32 24022021 17 EXEMPLOS 2 De cada 1000 pessoas acima de 18 anos 600 estão empregadas evento E e 800 são graduadas evento G Das 800 graduadas 500 possuem trabalho Evento D Desempregado Evento NG Não graduado Qual a probabilidade de que uma pessoa acima de 18 anos escolhida aleatoriamente seja a um empregado graduado b empregado mas não graduado c desempregado ou graduado d empregado ou não graduado e empregado dado que é graduado f não graduado dado que é desempregado 33 E D Total G 500 300 800 NG 100 100 200 Total 600 400 1000 0500 0100 0900 0700 0625 0250 TEOREMA DE BAYES O Teorema de Bayes é usado para rever probabilidades anteriormente calculadas com base em novas informações Desenvolvido por Thomas Bayes no século 18 É uma extensão da probabilidade condicional 34 33 34 24022021 18 TEOREMA DE BAYES Em que Bi iésimo evento de k eventos mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivos A novo evento que pode impactar PBi PA B PB PA B PB B PB PA PA B PB A PB k k 2 2 1 1 i i i 35 EXEMPLO 1 Assuma que uma indústria usa duas máquinas em sua produção A máquina A produz 60 da produção total e a B produz os restantes 40 2 das unidades produzidas por A são defeituosas evento D enquanto B tem taxa de 4 de defeito Dado que escolhemos uma peça qualquer do estoque e ela é defeituosa a qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina A b qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina B 36 100 A B D ND D ND 60 40 2 98 4 96 35 36 24022021 19 EXEMPLO 1 A Dado que escolhemos uma peça qualquer do estoque e ela é defeituosa qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina A 𝑃𝑥 𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑎 𝑋 𝑛º 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 37 100 A B D ND D ND 60 40 2 98 4 96 𝑃 𝐴 𝐷 𝑃 𝐴 𝑃 𝐷 𝐴 𝑃 𝐴 𝑃 𝐷 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐷 𝐵 060002 060 002 040004 𝑃 𝐴 𝐷 0012 0012 0016 0012 0028 04286 EXEMPLO 1 B Dado que escolhemos uma peça qualquer do estoque e ela é defeituosa qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina B 𝑃𝑥 𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑎 𝑋 𝑛º 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 38 100 A B D ND D ND 60 40 2 98 4 96 𝑃 𝐵 𝐷 𝑃 𝐵 𝑃 𝐷 𝐵 𝑃 𝐴 𝑃 𝐷 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐷 𝐵 040004 060 002 040004 𝑃 𝐵 𝐷 0016 0012 0016 0016 0028 05714 37 38 24022021 20 EXEMPLO 2 Apenas 75 dos alunos do curso de estatística foram aprovados A Desses 85 estudaram evento E e 15 dos que não foram aprovados evento R estudaram Você estudaria para as provas desse curso 39 100 A R E NE E NE 75 25 85 15 15 85 𝑃 𝐴 𝐸 𝑃 𝐴 𝑃 𝐸 𝐴 𝑃 𝐴 𝑃 𝐸 𝐴 𝑃 𝑅 𝑃 𝐸 𝑅 075085 075 085 025015 𝑃 𝐴 𝐷 06375 06375 00375 06375 06750 09444 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Variáveis aleatórias Distribuições discretas de probabilidade Média variância e desvio padrão Valor esperado 40 39 40 24022021 21 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Uma variável aleatória x representa um valor numérico associado a cada um dos resultados de um experimento probabilístico Existem dois tipos de variáveis aleatórias Uma variável aleatória será discreta se toma valores que podem ser contados Uma variável aleatória será contínua quando tomar qualquer valor de determinado intervalo Dica de estudo Se uma variável aleatória é discreta é possível enumerar os valores que ela pode assumir Entretanto é impossível listar todos os valores possíveis para uma variável aleatória contínua 41 DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE Uma distribuição discreta de probabilidade enumera cada valor que a variável aleatória pode assumir ao lado de sua probabilidade Uma distribuição de probabilidade satisfaz às seguintes condições Em palavras Em símbolos 1 A probabilidade de cada valor da variável discreta estar entre 0 e 1 inclusive 2 A soma de todas as probabilidades ser 1 1 0 x P 1 x P 42 41 42 24022021 22 CONSTRUÇÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADES x é uma variável aleatória discreta com resultados possíveis x1 x2 xn Estabeleça uma distribuição de freqüência para os resultados possíveis Obtenha a soma de todas as freqüências Calcule a probabilidade de cada resultado possível dividindo sua freqüência pela soma das freqüências Verifique se cada probabilidade está entre 0 e 1 e sua soma é 1 43 MÉDIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA E VALOR ESPERADO A média de uma variável aleatória discreta é dada por Cada valor de x deve ser multiplicado por sua probabilidade correspondente e os produtos devem ser somados O valor esperado de uma variável aleatória discreta é igual à média da variável aleatória x Px x Px Ex esperado valor 44 43 44 24022021 23 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA A variância de uma variável aleatória discreta é O desvio padrão é Obs A média da soma de duas ou mais variáveis aleatórias é igual à soma das médias das variáveis aleatórias A variância da soma de duas ou mais variáveis aleatórias é igual à soma das variâncias das variáveis aleatórias Px x 2 2 2 45 EXEMPLO 1 Uma companhia analisa diariamente o número de vendas de seus novos funcionários durante um período de testes de cem dias Os resultados para um novo funcionário são apresentados abaixo Construa um gráfico da distribuição de probabilidade a Obtenha a probabilidade de cada resultado b Organize as probabilidades em uma distribuição c Faça o gráfico da distribuição de probabilidade Vendas por dia x 0 1 2 3 4 5 6 7 Número de dias f 16 19 15 21 9 10 8 2 46 45 46 24022021 24 EXEMPLO 1 RESPOSTAS Vendas por dia x 0 1 2 3 4 5 6 7 Total Número de dias f 16 19 15 21 9 10 8 2 100 Probabilidade Px 016 019 015 021 009 010 008 002 100 47 EXEMPLOS 2 Utilizando os dados do exemplo 1 calcule o valor esperado de vendas e o desvio padrão 3 Um investidor julga que tem 040 de probabilidade de ganhar 25000 e 060 de probabilidade de perder 15000 em um investimento Qual o seu ganho esperado 4 Um empreiteiro faz as seguintes estimativas Calcule o prazo esperado para a execução da obra Prazo de execução Probabilidade 10 dias 030 15 dias 020 22 dias 050 48 47 48 24022021 25 EXEMPLOS 2 Utilizando os dados do exemplo 1 calcule o valor esperado de vendas e o desvio padrão 49 𝑥 𝑃𝑥 𝑥 𝑃𝑥 𝑥 𝜇 2 𝑃𝑥 0 016 000 10816 1 019 019 04864 2 015 030 00540 3 021 063 00336 4 009 036 01764 5 010 050 05760 6 008 048 09248 7 002 014 03872 Total 100 260 37200 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 260 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑠 𝑥 𝜇 2 𝑃 𝑥 37200 19287 EXEMPLOS 3 Um investidor julga que tem 040 de probabilidade de ganhar 25000 e 060 de probabilidade de perder 15000 em um investimento Qual o seu ganho esperado 4 Um empreiteiro faz as seguintes estimativas Calcule o prazo esperado para a execução da obra Prazo de execução Probabilidade 10 dias 030 15 dias 020 22 dias 050 50 Resposta 𝐺𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 25000 040 15000 060 𝐺𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 1000 Resposta 𝑃𝑟𝑎𝑧𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 𝑃𝑟𝑎𝑧𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 10 030 15 020 22 050 𝑃𝑟𝑎𝑧𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 17 𝑑𝑖𝑎𝑠 49 50 24022021 26 EXEMPLOS 5 O número de chamadas telefônicas recebidas por uma mesa e suas respectivas probabilidades para um intervalo de 3 minutos são Em média quantas chamadas podem ser esperadas num intervalo de 3 minutos 6 Uma firma está trabalhando em 4 projetos independentes A B C e D com lucros esperados de 4000 5000 10000 e 20000 e desvios padrões de 100 200 300 e 400 Determine o lucro esperado total desses 4 projetos e o desvio padrão total Número de chamadas 0 1 2 3 4 5 Freqüência relativa 060 020 010 004 003 003 51 EXEMPLOS 5 O número de chamadas telefônicas recebidas por uma mesa e suas respectivas probabilidades para um intervalo de 3 minutos são Em média quantas chamadas podem ser esperadas num intervalo de 3 minutos Número de chamadas 0 1 2 3 4 5 Freqüência relativa 060 020 010 004 003 003 52 Resposta 𝐶ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 𝜇 0 060 1 020 2 010 3 004 4 003 5 003 𝐶ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝜇 079 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 51 52 24022021 27 EXEMPLOS 6 Uma firma está trabalhando em 4 projetos independentes A B C e D com lucros esperados de 4000 5000 10000 e 20000 e desvios padrões de 100 200 300 e 400 Determine o lucro esperado total desses 4 projetos e o desvio padrão total 53 Respostas Lembrando A média da soma de duas ou mais variáveis aleatórias é igual à soma das médias das variáveis aleatórias 𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 4000 5000 10000 20000 39000 Lembrando A variância da soma de duas ou mais variáveis aleatórias é igual à soma das variâncias das variáveis aleatórias 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝜎𝑡 𝜎𝑖 2 𝜎𝑡 1002 2002 3002 4002 𝜎𝑡 300000 5477226 53
Send your question to AI and receive an answer instantly
Preview text
24022021 1 PROBABILIDADE Prof Dr André Wakamatsu 1 CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE Probabilidade a razão da possibilidade de que um evento incerto irá ocorrer em relação ao número de possibilidades sempre entre 0 e 1 Evento Impossível um evento que não tem chance de ocorrência probabilidade 0 Evento Certo um evento que é certeza que irá ocorrer probabilidade 1 2 1 2 24022021 2 AVALIANDO PROBABILIDADES Há três abordagens para avaliar a probabilidade de um evento incerto 1 a priori com base no conhecimento prévio do processo 2 probabilidade empírica 3 probabilidade subjetiva total e ventos número e ormas e um vento correr número e d o e d f d T X com base em uma combinação de experiências passadas de um indivíduo a opinião pessoal e análise de uma situação particular Assumindo que todos os resultados são igualmente prováveis probabilidade de ocorrência probabilidade de ocorrência total e ventos número e ormas e um vento correr número e d o e d d f 3 EXEMPLO DE PROBABILIDADE EMPÍRICA com filhos sem filhos Total Masculino 84 145 229 Feminino 76 134 210 Total 160 279 439 0191 439 84 de pessoas total número filhos de homens com número Encontrar a probabilidade de selecionar uma pessoa do sexo masculino com filhos da amostra descrita na tabela a seguir Probabilidade de homens com filhos 4 3 4 24022021 3 EXEMPLO Na tabela é mostrado o acompanhamento do número de computadores vendidos diariamente por uma loja varejista Determine a probabilidade de que hoje a loja venda a 2 b Menos de 3 c Mais de 1 d Pelo menos 1 Número de Computadores Vendidos Número de dias 0 12 1 43 2 18 3 20 4 25 5 RESPOSTA DO EXEMPLO Determine a probabilidade de que hoje a loja venda a 2 b Menos de 3 c Mais de 1 d Pelo menos 1 Número de Computadores Vendidos x Número de dias frequência simples Relativa Simples Probabilidade 0 12 12118 01017 1 43 43118 03644 2 18 18118 01525 3 20 20118 01695 4 25 25118 02119 Total 118 10000 6 01525 01525 03644 01017 06186 01525 01695 02119 05339 03644 01525 01695 02119 ou 1 01017 08983 5 6 24022021 4 EVENTOS Cada resultado possível de uma variável é um evento Evento simples Um evento descrito por uma única característica por exemplo uma carta vermelha de um baralho de cartas Evento conjunto Um evento descrito por duas ou mais características por exemplo um Ás que também é vermelho de um baralho de cartas Complementar de um evento A denotada A Todos os eventos que não fazem parte do evento A por exemplo todas as cartas que não são de copas 7 VISUALIZANDO EVENTOS Tabela de Contingência Árvore de Decisão Vermelho 2 24 26 Preto 2 24 26 Total 4 48 52 Ás Não Ás Total 52 cartas Espaço amostral Número total de resultados do espaço amostral 2 24 2 24 8 7 8 24022021 5 EXEMPLO DE TABELA DE CONTINGÊNCIA Economia Economistas Estável E Expansão Ex Contração C Total Acadêmicos A 125 100 100 325 Indústria Privada I 50 35 25 110 Governo G 25 40 0 65 Total 200 175 125 500 A partir da tabela de possibilidades encontre a PA b PG c PA e E d PA e Ex e PG e C 9 Evento Simples Evento Simples Evento Simples Evento Simples Evento Conjunto EXEMPLO DE TABELA DE CONTINGÊNCIA Economia Economistas Estável E Expansão Ex Contração C Total Acadêmicos A 125 100 100 325 Indústria Privada I 50 35 25 110 Governo G 25 40 0 65 Total 200 175 125 500 A partir da tabela de possibilidades encontre a PA b PG c PA e E d PA e Ex e PG e C 10 325500 065 65500 013 125500 025 100500 020 0500 000 Evento Impossível 9 10 24022021 6 CALCULANDO PROBABILIDADES CONDICIONAIS A probabilidade condicional é a probabilidade de um evento ocorrer dado que um outro evento ocorreu PB PAe B PA B PA PAe B PB A Em que PA e B probabilidade conjunta de A e B PA probabilidade marginal ou simples de A PB probabilidade marginal ou simples de B A probabilidade condicional de A dado que B tenha ocorrido A probabilidade condicional de B dado que A tenha ocorrido 11 EXEMPLO DE PROBABILIDADE CONDICIONAL Dado que foi escolhido um carro da loja qual é a probabilidade de que tenha um CD player uma vez que tem AC ou seja queremos encontrar PCD AC Dos carros em uma loja de carros usados 70 têm ar condicionado AC e 40 têm um leitor de CD CD 20 dos carros tem ambos 12 11 12 24022021 7 Não CD CD Total AC 02 05 07 Não AC 02 01 03 Total 04 06 10 Dos carros em uma loja de carros usados 70 têm ar condicionado AC e 40 têm um leitor de CD CD 20 dos carros tem ambos 02857 07 02 PAC PCDeAC PCD AC EXEMPLO DE PROBABILIDADE CONDICIONAL 13 EXEMPLO DE TABELA DE CONTINGÊNCIA Economia Economistas Estável E Expansão Ex Contração C Total Acadêmicos A 125 100 100 325 Indústria Privada I 50 35 25 110 Governo G 25 40 0 65 Total 200 175 125 500 A partir da tabela de possibilidades encontre a PAEx b PEG c PIE 14 100 175 05714 25 65 03846 50 200 025 13 14 24022021 8 REGRA GERAL DA ADIÇÃO PA ou B PA PB PA e B Regra geral da adição Se A e B são mutuamente exclusivos então PA e B 0 então a regra pode ser simplificada PA ou B PA PB Para eventos mutuamente exclusivos A e B 15 EXEMPLO DE TABELA DE CONTINGÊNCIA Economia Economistas Estável E Expansão Ex Contração C Total Acadêmicos A 125 100 100 325 Indústria Privada I 50 35 25 110 Governo G 25 40 0 65 Total 200 175 125 500 A partir da tabela de possibilidades encontre a PA ou G b PE ou G c PI ou Ex 16 325 500 65 500 065 013 078 200 500 65 500 25 500 040 013 005 048 110 500 175 500 35 500 022 035 007 050 15 16 24022021 9 EXEMPLO a PC b PB e S c PM ou S d PCM e PG f PM e C g PB ou S h PBS Quantidade de Contêineres Navios Baixo B 100 Médio M Entre 100 e 200 Grande G 200 Total Chegadas C 25 10 40 75 Saídas S 15 40 10 65 Total 40 50 50 140 17 a PC 05357 b PB e S 01071 c PM ou S 05357 d PCM 020 e PG 03571 f PM e C 00714 g PB ou S 06429 h PBS 02308 INDEPENDÊNCIA Dois eventos são independentes se e somente se Eventos A e B são independentes quando a probabilidade de um evento não é afetada pelo fato de que o outro evento ocorreu PA PA B 18 17 18 24022021 10 REGRAS DA MULTIPLICAÇÃO Regra da multiplicação por dois eventos A e B PA BPB PA e B PA PA B Nota Se A e B são independentes então e a regra da multiplicação é simplificada para PAPB PA e B 19 EXEMPLO C D Total A 10 20 30 B 5 15 20 Total 15 35 50 20 a Verifique se A e C são independentes 𝑃 𝐴 𝑒 𝐶 10 50 020 𝑃 𝐴 𝑃 𝐶 30 50 15 50 060 030 018 A e C são dependentes b Verifique se B e D são independentes 𝑃 𝐵 𝑒 𝐷 15 50 030 𝑃 𝐵 𝑃 𝐷 35 50 20 50 070 040 028 B e D são dependentes 19 20 24022021 11 EXEMPLO Zona Produto A B C Total Leste 50 70 80 200 Oeste 100 130 170 400 Norte 75 115 110 300 Sul 25 35 40 100 Total 250 350 400 1000 21 a Verifique se as vendas do produto A independe se é vendido na zona Norte b Verifique se as vendas do produto C independe se é vendido na zona Oeste c Verifique se as vendas do produto B independe se é vendido na zona Leste A e Norte são independentes C e Oeste são dependentes B e Leste são independentes EXEMPLO 1 Um gerente de crédito coletou dados de 100 de seus clientes Dos 60 homens 40 possuem cartão de crédito C Das 40 mulheres 30 tem cartão de crédito C Dez dos homens com cartão de crédito possuem balanço negativo B enquanto que 15 das mulheres com cartão de crédito possuem balanço negativo B Quem não tem cartão de crédito não tem balanço negativo O gerente de crédito quer determinar a probabilidade de que um cliente selecionado aleatoriamente seja a Uma mulher com cartão de crédito b Uma mulher com balanço negativo c Um homem sem balanço negativo d Um homem com balanço negativo e Um homem ou uma mulher com balanço negativo f Um homem ou balanço negativo g Um homem dado que tem balanço negativo 22 21 22 24022021 12 EXEMPLO 1 Neste exemplo temos 3 variáveis categóricas 1 Sexo a H Homens b M Mulheres 2 Cartão de crédito a C possui cartão de crédito b NC não possui cartão de crédito 3 Balanço negativo a B possui balanço negativo b NB não possui balanço negativo Como o problema possui 3 variáveis devemos separar em duas tabelas usando de preferência uma variável dicotômica que assume apenas dois estados possíveis 23 EXEMPLO 1 H C NC Total B 10 0 10 NB 30 20 50 Total 40 20 60 24 M C NC Total B 15 0 15 NB 15 10 25 Total 30 10 40 23 24 24022021 13 EXEMPLO 1 A H C NC Total B 10 0 10 NB 30 20 50 Total 40 20 60 25 M C NC Total B 15 0 15 NB 15 10 25 Total 30 10 40 O gerente de crédito quer determinar a probabilidade de que um cliente selecionado aleatoriamente seja uma mulher com cartão de crédito 𝑃 𝑀 𝑒 𝐶 30 100 030 Por que 100 EXEMPLO 1 B H C NC Total B 10 0 10 NB 30 20 50 Total 40 20 60 26 M C NC Total B 15 0 15 NB 15 10 25 Total 30 10 40 O gerente de crédito quer determinar a probabilidade de que um cliente selecionado aleatoriamente seja mulher com balanço negativo 𝑃 𝑀 𝑒 𝐵 15 100 015 25 26 24022021 14 EXEMPLO 1 C H C NC Total B 10 0 10 NB 30 20 50 Total 40 20 60 27 M C NC Total B 15 0 15 NB 15 10 25 Total 30 10 40 O gerente de crédito quer determinar a probabilidade de que um cliente selecionado aleatoriamente seja homem sem balanço negativo 𝑃 𝐻 𝑒 𝑁𝐵 50 100 050 EXEMPLO 1 D H C NC Total B 10 0 10 NB 30 20 50 Total 40 20 60 28 M C NC Total B 15 0 15 NB 15 10 25 Total 30 10 40 O gerente de crédito quer determinar a probabilidade de que um cliente selecionado aleatoriamente seja homem com balanço negativo 𝑃 𝐻 𝑒 𝐵 10 100 010 27 28 24022021 15 EXEMPLO 1 E H C NC Total B 10 0 10 NB 30 20 50 Total 40 20 60 29 M C NC Total B 15 0 15 NB 15 10 25 Total 30 10 40 O gerente de crédito quer determinar a probabilidade de que um cliente selecionado aleatoriamente seja homem ou uma mulher com balanço negativo 𝑃 𝐻 𝑜𝑢 𝑀 𝑒 𝐵 𝑃 𝐻 𝑒 𝐵 𝑃 𝑀 𝑒 𝐵 10 100 15 100 025 EXEMPLO 1 F H C NC Total B 10 0 10 NB 30 20 50 Total 40 20 60 30 M C NC Total B 15 0 15 NB 15 10 25 Total 30 10 40 O gerente de crédito quer determinar a probabilidade de que um cliente selecionado aleatoriamente seja homem ou balanço negativo 𝑃 𝐻 𝑜𝑢 𝐵 𝑃 𝐻 𝑃𝑀 𝑒 𝐵 60 100 15 100 075 29 30 24022021 16 EXEMPLO 1 G H C NC Total B 10 0 10 NB 30 20 50 Total 40 20 60 31 M C NC Total B 15 0 15 NB 15 10 25 Total 30 10 40 O gerente de crédito quer determinar a probabilidade de que um cliente selecionado aleatoriamente seja homem dado que tem balanço negativo 𝑃 𝐻 𝐵 10 10 15 040 EXEMPLOS 2 De cada 1000 pessoas acima de 18 anos 600 estão empregadas e 800 são graduadas Das 800 graduadas 500 possuem trabalho Qual a probabilidade de que uma pessoa acima de 18 anos escolhida aleatoriamente seja a um empregado graduado b empregado mas não graduado c desempregado ou graduado d empregado ou não graduado e empregado dado que é graduado f não graduado dado que é desempregado 32 31 32 24022021 17 EXEMPLOS 2 De cada 1000 pessoas acima de 18 anos 600 estão empregadas evento E e 800 são graduadas evento G Das 800 graduadas 500 possuem trabalho Evento D Desempregado Evento NG Não graduado Qual a probabilidade de que uma pessoa acima de 18 anos escolhida aleatoriamente seja a um empregado graduado b empregado mas não graduado c desempregado ou graduado d empregado ou não graduado e empregado dado que é graduado f não graduado dado que é desempregado 33 E D Total G 500 300 800 NG 100 100 200 Total 600 400 1000 0500 0100 0900 0700 0625 0250 TEOREMA DE BAYES O Teorema de Bayes é usado para rever probabilidades anteriormente calculadas com base em novas informações Desenvolvido por Thomas Bayes no século 18 É uma extensão da probabilidade condicional 34 33 34 24022021 18 TEOREMA DE BAYES Em que Bi iésimo evento de k eventos mutuamente exclusivos e coletivamente exaustivos A novo evento que pode impactar PBi PA B PB PA B PB B PB PA PA B PB A PB k k 2 2 1 1 i i i 35 EXEMPLO 1 Assuma que uma indústria usa duas máquinas em sua produção A máquina A produz 60 da produção total e a B produz os restantes 40 2 das unidades produzidas por A são defeituosas evento D enquanto B tem taxa de 4 de defeito Dado que escolhemos uma peça qualquer do estoque e ela é defeituosa a qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina A b qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina B 36 100 A B D ND D ND 60 40 2 98 4 96 35 36 24022021 19 EXEMPLO 1 A Dado que escolhemos uma peça qualquer do estoque e ela é defeituosa qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina A 𝑃𝑥 𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑎 𝑋 𝑛º 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 37 100 A B D ND D ND 60 40 2 98 4 96 𝑃 𝐴 𝐷 𝑃 𝐴 𝑃 𝐷 𝐴 𝑃 𝐴 𝑃 𝐷 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐷 𝐵 060002 060 002 040004 𝑃 𝐴 𝐷 0012 0012 0016 0012 0028 04286 EXEMPLO 1 B Dado que escolhemos uma peça qualquer do estoque e ela é defeituosa qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela máquina B 𝑃𝑥 𝑛º 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑎 𝑋 𝑛º 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 38 100 A B D ND D ND 60 40 2 98 4 96 𝑃 𝐵 𝐷 𝑃 𝐵 𝑃 𝐷 𝐵 𝑃 𝐴 𝑃 𝐷 𝐴 𝑃 𝐵 𝑃 𝐷 𝐵 040004 060 002 040004 𝑃 𝐵 𝐷 0016 0012 0016 0016 0028 05714 37 38 24022021 20 EXEMPLO 2 Apenas 75 dos alunos do curso de estatística foram aprovados A Desses 85 estudaram evento E e 15 dos que não foram aprovados evento R estudaram Você estudaria para as provas desse curso 39 100 A R E NE E NE 75 25 85 15 15 85 𝑃 𝐴 𝐸 𝑃 𝐴 𝑃 𝐸 𝐴 𝑃 𝐴 𝑃 𝐸 𝐴 𝑃 𝑅 𝑃 𝐸 𝑅 075085 075 085 025015 𝑃 𝐴 𝐷 06375 06375 00375 06375 06750 09444 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE Variáveis aleatórias Distribuições discretas de probabilidade Média variância e desvio padrão Valor esperado 40 39 40 24022021 21 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Uma variável aleatória x representa um valor numérico associado a cada um dos resultados de um experimento probabilístico Existem dois tipos de variáveis aleatórias Uma variável aleatória será discreta se toma valores que podem ser contados Uma variável aleatória será contínua quando tomar qualquer valor de determinado intervalo Dica de estudo Se uma variável aleatória é discreta é possível enumerar os valores que ela pode assumir Entretanto é impossível listar todos os valores possíveis para uma variável aleatória contínua 41 DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE Uma distribuição discreta de probabilidade enumera cada valor que a variável aleatória pode assumir ao lado de sua probabilidade Uma distribuição de probabilidade satisfaz às seguintes condições Em palavras Em símbolos 1 A probabilidade de cada valor da variável discreta estar entre 0 e 1 inclusive 2 A soma de todas as probabilidades ser 1 1 0 x P 1 x P 42 41 42 24022021 22 CONSTRUÇÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADES x é uma variável aleatória discreta com resultados possíveis x1 x2 xn Estabeleça uma distribuição de freqüência para os resultados possíveis Obtenha a soma de todas as freqüências Calcule a probabilidade de cada resultado possível dividindo sua freqüência pela soma das freqüências Verifique se cada probabilidade está entre 0 e 1 e sua soma é 1 43 MÉDIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA E VALOR ESPERADO A média de uma variável aleatória discreta é dada por Cada valor de x deve ser multiplicado por sua probabilidade correspondente e os produtos devem ser somados O valor esperado de uma variável aleatória discreta é igual à média da variável aleatória x Px x Px Ex esperado valor 44 43 44 24022021 23 VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA A variância de uma variável aleatória discreta é O desvio padrão é Obs A média da soma de duas ou mais variáveis aleatórias é igual à soma das médias das variáveis aleatórias A variância da soma de duas ou mais variáveis aleatórias é igual à soma das variâncias das variáveis aleatórias Px x 2 2 2 45 EXEMPLO 1 Uma companhia analisa diariamente o número de vendas de seus novos funcionários durante um período de testes de cem dias Os resultados para um novo funcionário são apresentados abaixo Construa um gráfico da distribuição de probabilidade a Obtenha a probabilidade de cada resultado b Organize as probabilidades em uma distribuição c Faça o gráfico da distribuição de probabilidade Vendas por dia x 0 1 2 3 4 5 6 7 Número de dias f 16 19 15 21 9 10 8 2 46 45 46 24022021 24 EXEMPLO 1 RESPOSTAS Vendas por dia x 0 1 2 3 4 5 6 7 Total Número de dias f 16 19 15 21 9 10 8 2 100 Probabilidade Px 016 019 015 021 009 010 008 002 100 47 EXEMPLOS 2 Utilizando os dados do exemplo 1 calcule o valor esperado de vendas e o desvio padrão 3 Um investidor julga que tem 040 de probabilidade de ganhar 25000 e 060 de probabilidade de perder 15000 em um investimento Qual o seu ganho esperado 4 Um empreiteiro faz as seguintes estimativas Calcule o prazo esperado para a execução da obra Prazo de execução Probabilidade 10 dias 030 15 dias 020 22 dias 050 48 47 48 24022021 25 EXEMPLOS 2 Utilizando os dados do exemplo 1 calcule o valor esperado de vendas e o desvio padrão 49 𝑥 𝑃𝑥 𝑥 𝑃𝑥 𝑥 𝜇 2 𝑃𝑥 0 016 000 10816 1 019 019 04864 2 015 030 00540 3 021 063 00336 4 009 036 01764 5 010 050 05760 6 008 048 09248 7 002 014 03872 Total 100 260 37200 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 260 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑠 𝑥 𝜇 2 𝑃 𝑥 37200 19287 EXEMPLOS 3 Um investidor julga que tem 040 de probabilidade de ganhar 25000 e 060 de probabilidade de perder 15000 em um investimento Qual o seu ganho esperado 4 Um empreiteiro faz as seguintes estimativas Calcule o prazo esperado para a execução da obra Prazo de execução Probabilidade 10 dias 030 15 dias 020 22 dias 050 50 Resposta 𝐺𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 25000 040 15000 060 𝐺𝑎𝑛ℎ𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 1000 Resposta 𝑃𝑟𝑎𝑧𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 𝑃𝑟𝑎𝑧𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 10 030 15 020 22 050 𝑃𝑟𝑎𝑧𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 17 𝑑𝑖𝑎𝑠 49 50 24022021 26 EXEMPLOS 5 O número de chamadas telefônicas recebidas por uma mesa e suas respectivas probabilidades para um intervalo de 3 minutos são Em média quantas chamadas podem ser esperadas num intervalo de 3 minutos 6 Uma firma está trabalhando em 4 projetos independentes A B C e D com lucros esperados de 4000 5000 10000 e 20000 e desvios padrões de 100 200 300 e 400 Determine o lucro esperado total desses 4 projetos e o desvio padrão total Número de chamadas 0 1 2 3 4 5 Freqüência relativa 060 020 010 004 003 003 51 EXEMPLOS 5 O número de chamadas telefônicas recebidas por uma mesa e suas respectivas probabilidades para um intervalo de 3 minutos são Em média quantas chamadas podem ser esperadas num intervalo de 3 minutos Número de chamadas 0 1 2 3 4 5 Freqüência relativa 060 020 010 004 003 003 52 Resposta 𝐶ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 𝜇 0 060 1 020 2 010 3 004 4 003 5 003 𝐶ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝜇 079 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎𝑠 51 52 24022021 27 EXEMPLOS 6 Uma firma está trabalhando em 4 projetos independentes A B C e D com lucros esperados de 4000 5000 10000 e 20000 e desvios padrões de 100 200 300 e 400 Determine o lucro esperado total desses 4 projetos e o desvio padrão total 53 Respostas Lembrando A média da soma de duas ou mais variáveis aleatórias é igual à soma das médias das variáveis aleatórias 𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 4000 5000 10000 20000 39000 Lembrando A variância da soma de duas ou mais variáveis aleatórias é igual à soma das variâncias das variáveis aleatórias 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝜎𝑡 𝜎𝑖 2 𝜎𝑡 1002 2002 3002 4002 𝜎𝑡 300000 5477226 53