Lista de Exercícios: Teste de Hipóteses para uma População

Lista de Exercícios Teste de hipóteses para uma população Evite consultar colegas ou examinar o gabarito antes de de fato tentar resolver É fundamental passar pela experiência de ler um enunciado e pensar sobre o que fazer TESTE DE HIPÓTESE PARA UMA MÉDIA POPULACIONAL Questão 01 revisão distribuição amostral da média cap 7 O gasto médio mensal dos clientes de uma operadora de telefonia é R100 com desviopadrão R100 A distribuição do gasto mensal é Normal Qual é a probabilidade de uma amostra de 25 clientes terem um gasto médio acima de R120 A 04207 B 01586 C 03414 D 05793 E 00001 Questão 02 Um banco deseja estudar o tempo de espera na fila do caixa de uma agência Suponha que o tempo médio real populacional é 30 minutos com desvio padrão populacional de 3 minutos e normalmente distribuído A agência considerará evidência de que o tempo médio é menor do que 30 minutos se a amostra apresentar média amostral abaixo de 28 Qual a probabilidade de que isso ocorra com uma amostra de 16 casos A 00038 B 02514 C aproximadamente 05 D 07514 E aproximadamente 0 Questão 03 McClave adaptado A assistência técnica de uma empresa afirma que o tempo de reparo dos aparelhos tem distribuição normal com média 20 horas e desvio padrão 6 horas Uma amostra de 36 aparelhos deu como resultado uma média igual a 26 horas O que esse resultado sugere sobre a afirmação da empresa A Não é possível dizer que a afirmação é falsa pois a média amostral está apenas a 1 desviopadrão da média populacional B Não é possível dizer que a afirmação é falsa pois o tamanho da amostra é pequeno C Não é possível dizer que a afirmação é falsa pois a média amostral está a 6 desviospadrões da média populacional D A afirmação é muito provavelmente falsa pois a média amostral está a 6 desviospadrões da média populacional E A afirmação é falsa pois a média amostral é maior que 20 Questão 04 A quantidade de tempero presente em produtos com embalagem de 10 gramas foi identificada como tendo uma distribuição normal com média 105 gramas e variância de 004 gramas² Para aferição de qualidade o Diretor de Operações pediu para que se recolhesse um lote de 100 embalagens O lote será rejeitado se a média da quantidade de tempero for menor do que 102 gramas Qual é a probabilidade de o lote ser rejeitado A PZ 15 B 09332 C PZ 75 D 04332 E Aproximadamente 1 Questão 05 Um restaurante tradicional está investigando a possibilidade de começar a entregar seus pratos no domicílio dos clientes O dono do restaurante determinou que o delivery terá sucesso se a média do tempo gasto na entrega dos pratos não exceder 38 minutos O dono selecionou uma amostra aleatória de 15 clientes para que seus pedidos sejam entregues em casa Suponha que o valorp encontrado seja 00342 Seja α o nível de significância do teste Assinale a afirmação correta A Para α005 não se rejeita H0 B Para α 0025 aceitase H0 C Para α0025 não se rejeita H0 D Para α002 rejeitase H0 E Para α003 aceitase H0 Questão 06 Uma empresa fabricante de shake para pessoas que querem emagrecer escolheu 40 pessoas aleatoriamente para utilizarem o shake diariamente por um mês A mudança média de peso desse grupo foi 21kg Supondo σ48 kg teste usando α005 a hipótese de que o shake faz efeito na população A A decisão é rejeitar H0 pois o valor p do teste foi 00056 B A decisão é não rejeitar H0 pois o valor p do teste foi 00028 C A decisão é rejeitar H0 pois o valor p do teste foi 00028 D A decisão é não rejeitar H0 pois o valor p do teste foi 00056 E A decisão é não rejeitar H0 pois o valor p do teste é 00014 Questão 07 Uma revista recentemente publicou uma matéria sobre o aumento do preço dos DVDs originais A matéria relatava que no início de 2004 os preços dos DVDs estavam em queda mas agora estão começando a subir assustadoramente De acordo com a revista a média do preço do DVD era 215 um unidades monetárias Testandose a hipótese de que a média dos preços é maior do que 215 obtevese um valorp igual a 0033 Assinale a afirmação correta A Para um nível de significância de 5 não há evidências suficientes para indicar que o valor médio do preço do DVD seja maior do que 215 um B Para um nível de significância de 1 há evidências suficientes para indicar que o valor médio do preço do DVD seja maior do que 215 um C Não é possível afirmar nada sobre o valor médio do preço do DVD pois o valor p no teste é bicaudal D Para um nível de significância de 3 não há evidências suficientes para indicar que o valor médio do preço do DVD seja maior do que 215 um E Para um nível de significância de 10 não há evidências suficientes para indicar que o valor médio do preço do DVD seja maior do que 215 um Questão 08 O salário médio dos empregados das indústrias siderúrgicas de um país é de 25 salários mínimos com desvio padrão populacional de 05 salário mínimo Uma indústria é escolhida ao acaso e desta é escolhida uma amostra de 49 empregados resultando num salário médio de 23 salários mínimos Podemos afirmar que esta indústria paga salários inferiores à média nacional com α 5 Questão 09 Na última semana um portal da internet observou o número de acessos únicos diários A tabela a seguir mostra o acesso diário nos sete dias Dia 1 2 3 4 5 6 7 Acessos em milhares 497 465 563 543 602 561 629 a Historicamente o número médio de acessos únicos diários era igual a 500 Há evidências estatísticas que o número médio de acessos diários aumentou Adote α 010 Mostre as hipóteses a estatística do teste o nível de significância e sua conclusão b Utilize a tabela tstudent para calcular o valorp do teste acima Você consegue encontrar o valorp exato E aproximadamente qual é o valorp Questão 10 Um fabricante alega que seu medicamento para enxaqueca é eficiente porque traz alívio tempo de reação em menos de 9 minutos Trinta pessoas com enxaqueca foram selecionadas aleatoriamente para testar a eficiência do medicamento Receberam o medicamento e tiveram seu tempo de reação anotado A média amostral foi de 842 minutos e o desviopadrão amostral foi de 220 minutos Use 95 de confiança ou seja α 005 para responder os itens abaixo a Com base nessa amostra você afirmaria que o medicamento é eficiente Apresente todos os passos do teste hipóteses estatística de teste região de rejeição e conclusão b Estime e interprete o valorp do teste Questão 11 ASW 2ª edição ex 28 cap 9 A National Association of Professional Baseball Leagues Inc divulgou que o público presente nos jogos das 176 equipes de beisebol da minor league atingiu níveis sem precedentes durante a temporada de 2001 New York Times 2872002 Por jogo a média de público nos jogos de beisebol da minor league foi de 3530 Na metade da temporada de 2002 o presidente da associação solicitou um relatório de presença do público que esperançosamente mostrasse que a média de público em 2002 ultrapassou o nível de 2001 a Formule hipóteses que poderiam ser usadas para determinar se a média de público por jogo em 2002 foi maior que o nível do ano anterior b Suponha que uma amostra de 92 jogos de beisebol da minor league disputados durante a primeira metade da temporada de 2002 apresente uma média de público de 3740 pessoas por jogo com um desviopadrão amostral igual a 810 Qual é o valor p c Com α 001 qual é a sua conclusão GABARITO Respostas Questão 01 B Se nossa variável aleatória X gasto tem µ 100 e σ 100 a probabilidade de uma amostra de 25 clientes apresentar gasto médio média amostral acima de 120 é 𝑃𝑋 120 𝑃 𝑍 120 100 100 25 𝑃𝑍 1 01586 Usando Excel DISTNORMPN1001 01586 R 01586 Questão 02 A Sendo µ 30 min σ 3 min e o tempo de espera na fila do caixa em uma agência uma variável aleatória normalmente distribuída colhendose uma amostra de n 16 a probabilidade de que 𝑥 seja menor que 28 será P 𝑋 28 𝑃 𝑍 2830 3 16 𝑃𝑍 267 00038 Usando Excel DISTNORMPN2671 000379 Questão 03 D Se de fato o tempo de reparo dos aparelhos tem distribuição normal com µ 20h e σ 6h então a probabilidade de que em uma amostra de 36 aparelhos o tempo médio de reparo seja de 26 horas ou algo maior é de 𝑃𝑋 26 𝑃 𝑍 26 20 6 36 𝑃𝑧 6 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 0 Usando Excel DISTNORMPN61 0 Logo como a chance de que o evento observado ocorra é extremamente baixa está a 6 desviospadrões da média populacional podemos dizer que a alegação da empresa é falsa Como não podemos calcular a probabilidade de um ponto de uma distribuição contínua calculamos a probabilidade de que ocorra o evento em questão ou uma situação ainda mais desfavorável à alegação da empresa Questão 04 A Sendo a quantidade de tempero uma variável aleatória normalmente distribuída com µ 105g e σ 02g a probabilidade de que o peso médio de um lote de 100 embalagens seja menor do que 102g é 𝑃𝑋 102 𝑃 𝑍 102 105 02 100 𝑃𝑍 15 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑧𝑒𝑟𝑜 R 𝑃𝑍 15 Usando Excel DISTNORMPN151 00000 Questão 05 C 𝐻0 𝜇𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 38 𝐻𝑎 𝜇𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 38 Valorp 00342 Para α abaixo deste valor não se rejeita H0 R Para α 0025 não se rejeita H0 Questão 06 C 𝑛 40 𝐴𝐴𝑆 𝑥 21 𝑘𝑔 𝜎 48 𝑘𝑔 005 P 𝑂 𝑠ℎ𝑎𝑘𝑒 𝑒𝑚𝑎𝑔𝑟𝑒𝑐𝑒 Solução 𝐻0 𝜇𝑝𝑒𝑠𝑜 0 o shake não tem efeito ou engorda 𝐻𝑎 𝜇𝑝𝑒𝑠𝑜 0 o shake emagrece O teste é Unicaudal porque se quer verificar apenas se emagrece um sentido só Como n 30 a distribuição aproximase da Normal 𝜇𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑁 𝜇 𝜎2 𝑛 Estatística do teste 𝑧 𝑥𝜇 𝜎𝑥 𝑥𝜇 𝜎 𝑛 210 48 40 277 Valorp PZ 277 00028 Usando Excel DISTNORMPN2771 00028 Rejeitase H0 e concluise que há evidências de que o shake emagreça R A decisão é rejeitar H0 pois o valorp do teste é 00028 Questão 07 D 𝐻0 215 𝐻𝑎 215 Valorp 0033 Para nível de significância acima deste valor rejeitase H0 R Para um nível de significância de 3 não há evidências suficientes para indicar que o valor médio do preço do DVD seja maior do que 215 um Questão 08 𝐻0 25 𝑠 𝑚 𝐻𝑎 25 𝑠 𝑚 Usando Excel DISTNORMPN2801 000256 Com 5 de significância existem evidências para rejeitar a hipótese H0 Zobs 280 e valorp 000256 Questão 09 a H0 µ 500 Ha µ 500 𝑇 55143 500 5672112 7 240 Estatística t observada 240 Com α 010 rejeitamos H0 b Usando Excel DISTTCD2846 001478 Questão 10 a H0 µ 9 minutos Ha µ 9 minutos Região de rejeição 170 Estatística t observada 144 Com α 005 não rejeitamos H0 Não podemos dizer que o medicamento seja eficiente como alegado b O valorp a partir da tabela 29 graus de liberdade está entre 005 e 010 Usando Excel DISTT144291 008029 Questão 11 a 𝐻0 µ2002 3530 𝐻𝑎 µ2002 3530 b n 92 𝑥 3740 s 810 𝑡 3740 3530 810 92 249 Valorp 000729 obtido a partir da seguinte função no Excel DISTTCD24991 Utilizandose a tabela t percebese que o valorp está entre 001 e 0005 c Com α 001 devemos rejeitar a hipótese nula Há evidência estatística de que a média de público em 2002 é maior do que no ano anterior TESTE DE HIPÓTESE PARA UMA PROPORÇÃO POPULACIONAL Questão 1 adaptado de Mc Clave Médicos em uma clínica em La Jolla Califórnia deram o que eles pensaram ser drogas para 7000 pacientes de asma úlcera e herpes Apesar de os médicos depois ficarem sabendo que os medicamentos eram na verdade placebos 70 dos pacientes relataram melhoras em suas condições Use essa informação para testar com α 5 o efeito placebo na clínica Presuma que se o placebo não é efetivo a probabilidade de a condição do paciente melhorar é de 50 Questão 2 adaptado de Mc Clave Aceite o desafio Pepsi foi uma campanha de marketing usada pela PepsiCola Company Consumidores de CocaCola participaram de um teste cego no qual deveriam experimentar o conteúdo de copos não marcados de Pepsi e Coca e em seguida dizer de qual tinham gostado mais Em um comercial de televisão da Pepsi o anunciante diz que em testes cegos recentes mais da metade de consumidores de CocaCola pesquisados disse que preferia o sabor da Pepsi Suponha que 100 consumidores de CocaCola tenham participado do teste cego e que 56 tenham preferido o sabor da Pepsi Determine se mais da metade de todos os consumidores de CocaCola selecionarão Pepsi em testes cegos Adote α 5 Quais as consequências do resultado do teste na perspectiva da empresa CocaCola Questão 3 Em 2014 a proporção dos assinantes que haviam adquirido algum pacote de serviço extra não incluído na assinatura básica de uma operadora de TV a cabo que atua na Grande São Paulo foi 32 Ciente da importância dessa fonte de receitas o Diretor de Marketing instituiu como meta para 2015 que essa proporção aumente Um levantamento com amostragem aleatória foi feito junto às contas de 300 assinantes e dentre esses 110 haviam adquirido algum pacote de serviço extra em janeiro de 2015 A partir da amostra de dados de janeiro de 2015 há evidência de que a proporção de assinantes que adquirem esse tipo de serviço tenha aumentado em relação a 2014 Apresente as hipóteses nula e alternativa a regra de rejeição a estatística de teste o valorp e a conclusão Adote probabilidade de 5 de cometer um erro do tipo I Respostas Questão 01 Amostra n 7000 𝑝 070 Teste de Hipótese H0 p 050 Ha p 050 Estatística teste 𝑍𝑜𝑏𝑠 070050 0501050 7000 3347 Logo ao nível de 5 de significância rejeitamos H0 O pvalor neste caso é bem próximo de 0 Questão 02 Amostra n 100 𝑝 056 proporção amostral de pessoas que preferiram Pepsi no teste cego Teste de Hipótese H0 p 050 Ha p 050 Estatística teste 𝑍𝑜𝑏𝑠 056050 0501050 100 120 Valorp PZ 120 0115 115 Usando Excel Valorp DISTNORMPN1201 011507 Logo ao nível de 5 de significância não rejeitamos H0 Não temos evidências estatísticas de que mais de 50 das pessoas da população preferirão Pepsi no teste cego Logo da perspectiva da empresa CocaCola cabe exigir à Pepsi que não divulgue informações falsas para as quais não há evidência estatística Questão 03 Hipóteses 𝐻0 𝑝 032 ou sem alterar o teste 𝑝 032 𝐻𝑎 𝑝 032 Regra de rejeição Valorp 005 Estatística de teste 𝑧𝑜𝑏𝑠 03667032 0321032 300 173 Valorp P Z 173 00418 Usando Excel Valorp DISTNORMPN1731 004182 Decisão conclusão rejeitar H0 Com 5 de significância temos evidência de que a proporção de assinantes que adquirem pacotes extras de serviços aumentou