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Professora Rafaela Dourado 1º semestre de 2023 ENEC50318 Estatística I Variáveis aleatórias e distribuições contínuas Variáveis aleatórias Fonte BARBETTA REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Atlas 2004 Variáveis aleatórias discretas Relembrando 0 1 2 3 4 Número de filhos de um professor escolhido ao acaso do Mackenzie Contagem de caras em 2 lançamentos de uma moeda comum 0 1 2 Lançamento de uma moeda comum Cara 0 Coroa 10 0 PX0 04 1 PX1 02 2 PX2 02 3 PX3 01 4 PX4 01 Variáveis aleatórias contínuas Entendimento inicial Valores dentro do conjunto dos números reais positivos Área atingida pelo óleo derramado por um navio petroleiro Tempo de vida de um componente eletrônico Valores dentro do conjunto dos números reais positivos Temperatura climática no Brasil Fonte temperatura httpssuperabrilcombrmundoestranhoqualeorecordedefrionobrasiledecalor 111𝐶 a 447𝐶 Valores dentro do conjunto dos números reais Variáveis aleatórias contínuas Entendimento inicial Valores dentro do conjunto dos números reais positivos Y Z Valores dentro do conjunto dos números reais positivos X Valores dentro do conjunto dos números reais 111𝐶 a 447𝐶 É quantitativa e seus resultados dependem de fatores aleatórios É uma função 𝑋 definida sobre o espaço amostral Ω e que assume qualquer valor numérico em um determinado intervalo ou coleção de intervalos Variáveis aleatórias va contínuas Definições Função de densidade de probabilidade Definições As probabilidades de eventos associados a uma variável aleatória contínua 𝑋 podem ser calculadas através de uma função densidade de probabilidade ou função contínua de probabilidade 𝑓𝑥 que deve satisfazer 1 𝑓 𝑥 0 para todo x 2 A área definida por 𝑓𝑥 é igual a 1 ou seja 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 1 A notação a ser utilizada para a probabilidade de uma variável aleatória contínua 𝑋 em um intervalo definido de 𝑎 a 𝑏 é 𝑃 𝑎 𝑋 𝑏 න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Função de densidade de probabilidade Definições Se 𝑋 for uma variável aleatória contínua então para qualquer 𝑥1 e 𝑥2 temos 𝑃 𝑥1 𝑋 𝑥2 𝑃 𝑥1 𝑋 𝑥2 𝑃 𝑥1 𝑋 𝑥2 𝑃 𝑥1 𝑋 𝑥2 Vídeo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab6 6vsameintegrationbounds 𝑃 𝑎 𝑋 𝑏 න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 O tempo em minutos de digitação de um texto por secretárias experientes é uma variável aleatória contínua 𝑋 Sua densidade de probabilidade é apresentada a seguir Obtenha a 𝑃 𝑋 3 b 𝑃1 𝑋 4 c 𝑃𝑋 3𝑋 1 Fonte MAGALHÃES LIMA 2015 p 188 Função densidade de probabilidade Exemplo 𝑓 𝑥 1 4 se 0 x 2 1 8 𝑠𝑒 2 𝑥 6 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 a 𝑃 𝑋 3 3 6 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 6 𝑓 𝑥 3 6 1 8 𝑑𝑥 0 ቚ 1 8 𝑥 3 6 1 8 6 3 3 8 b 𝑃 1 𝑋 4 1 4 𝑓 𝑥 1 2 1 4 𝑑𝑥 2 4 1 8 𝑑𝑥 1 ቤ 4 𝑥 1 2 1 ቤ 8 𝑥 2 4 1 4 2 1 1 8 4 2 1 4 1 4 1 2 Função densidade de probabilidade Exemplo 𝑓 𝑥 1 4 se 0 x 2 1 8 𝑠𝑒 2 𝑥 6 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 c 𝑃 𝑋 3𝑋 1 𝑃𝑋3 𝑋1 𝑃𝑋1 𝑃 1𝑋3 𝑃𝑋1 1 2 1 4 𝑑𝑥 2 3 1 8 𝑑𝑥 1 2 1 4 𝑑𝑥 2 6 1 8 𝑑𝑥 1 ฬ 4 𝑥 1 2 1 ฬ 8 𝑥 2 3 1 ฬ 4 𝑥 1 2 1 ฬ 8 𝑥 2 6 1 4 1 8 1 4 4 8 3 8 6 8 1 2 Função densidade de probabilidade Exemplo 𝑓 𝑥 1 4 se 0 x 2 1 8 𝑠𝑒 2 𝑥 6 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 Lembrete 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐵 A quantia gasta anualmente em milhões de reais na manutenção do asfalto em uma cidade do interior é representada pela variável 𝑋 com densidade de dada por Obtenha a 𝑃 𝑋 08 b 𝑃 𝑋 15 𝑋 1 Fonte MAGALHÃES LIMA 2015 p 188 Função Densidade de Probabilidade Exercício 𝑓 𝑥 8 9 𝑥 4 9 se 05 x 2 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑓 𝑥 8 9 𝑥 4 9 se 05 x 2 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 a 𝑃 𝑋 08 05 08 8 9 𝑥 4 9 𝑑𝑥 ฬ 8 9 𝑥2 2 05 08 ቚ 4 9 𝑥 05 08 02844 01111 03556 02222 004 Função Densidade de Probabilidade Exercício 𝑓 𝑥 8 9 𝑥 4 9 se 05 x 2 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 b 𝑃 𝑋 15 𝑋 1 𝑃𝑋15 𝑋1 𝑃𝑋1 𝑃15𝑋2 𝑃𝑋1 15 2 8 9 𝑥 4 9 𝑑𝑥 1 2 8 9 𝑥 4 9 𝑑𝑥 ቤ 8 9 𝑥2 2 15 2 ฬ 4 9 𝑥 15 2 ฬ 8 9 𝑥2 2 1 2 ฬ 4 9 𝑥 1 2 17778 02222 13334 04445 06250 Função Densidade de Probabilidade Exercício Esperança Variância e Desvio Padrão de uma VA contínua Definição A média Esperança ou Valor Esperado de uma variável 𝑋 contínua é dada por 𝐸 𝑋 𝜇 න 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 A variância de uma variável 𝑋 contínua é dada por 𝑉 𝑋 𝜎2 න 𝑥 𝐸𝑋 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝐸 𝑋2 𝐸 𝑋 2 Com 𝐸 𝑋2 𝑥2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 O desvio padrão de uma variável 𝑋 contínua é dada por 𝜎 𝜎2 𝑉𝑋 Esperança Variância e Desvio Padrão Exemplo o mesmo O tempo em minutos de digitação de um texto por secretárias experientes é uma variável aleatória contínua 𝑋 Sua densidade de probabilidade é apresentada a seguir Obtenha a Valor esperado b Variância e desvio padrão Fonte MAGALHÃES LIMA 2015 p 188 𝑓 𝑥 1 4 se 0 x 2 1 8 𝑠𝑒 2 𝑥 6 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 Esperança Variância e Desvio Padrão Exemplo o mesmo 𝑓 𝑥 1 4 se 0 x 2 1 8 𝑠𝑒 2 𝑥 6 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 a 𝐸 𝑋 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 0 2 1 4 𝑥 𝑑𝑥 2 6 1 8 𝑥 𝑑𝑥 ቚ 1 8 𝑥2 0 2 ቚ 1 16 𝑥2 2 6 1 8 4 0 1 16 36 4 05 2 25 b 𝐸 𝑋2 𝑥2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 0 2 1 4 𝑥2 𝑑𝑥 2 6 1 8 𝑥2 𝑑𝑥 ቤ 1 12 𝑥3 0 2 ቤ 1 24 𝑥3 2 6 1 12 8 0 1 24 216 8 8 12 104 12 93333 𝑉 𝑋 𝐸 𝑋2 𝐸 𝑋 2 93333 25 2 30833 𝜎 𝑉𝑋 30833 17559 A quantia gasta anualmente em milhões de reais na manutenção do asfalto em uma cidade do interior é representada pela variável 𝑋 com densidade de dada por Obtenha a O valor esperado b A variância e o desvio padrão de 𝑋 Fonte MAGALHÃES LIMA 2015 p 188 Esperança Variância e Desvio Padrão Exercício o mesmo 𝑓 𝑥 8 9 𝑥 4 9 se 05 x 2 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑓 𝑥 8 9 𝑥 4 9 se 05 x 2 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 a 𝐸 𝑋 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 05 2 8 9 𝑥2 4 9 𝑥 𝑑𝑥 ቚ 8 27 𝑥3 4 18 𝑥2 05 2 23704 08889 00370 00556 14815 00186 15 b 𝐸 𝑋2 𝑥2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 05 2 8 9 𝑥3 4 9 𝑥2 𝑑𝑥 ቚ 8 9 𝑥4 4 27 𝑥3 05 2 8 9 24 054 4 27 23 053 35417 11667 2375 𝑉 𝑋 𝐸 𝑋2 𝐸 𝑋 2 2375 15 2 0125 𝜎 𝑉𝑋 0125 03536 Esperança Variância e Desvio Padrão Exercício o mesmo Uniforme Exponencial De Weibull Normal Quiquadrado t de student Distribuição F Principais distribuições de probabilidade para va contínuas Distribuição Uniforme Definições Uma variável aleatória 𝑋 tem distribuição uniforme contínua no intervalo 𝑎 𝑏 sendo 𝑎 𝑏 se sua função densidade de probabilidade é dada por 𝑓 𝑥 ቐ 1 𝑏 𝑎 𝑎 𝑥 𝑏 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 Notação 𝑋𝑈𝑎 𝑏 𝑃 𝑋 𝑥 𝑥𝑎 𝑏𝑎 𝜇 𝑎𝑏 2 𝜎2 𝑏𝑎2 12 Distribuição Uniforme Exemplo Faça a variável aleatória contínua 𝑋 denotar a corrente medida em um fio delgado de cobre em miliamperes Considere que a faixa de 𝑋 seja 0 20𝑚𝐴 e suponha que a função densidade de probabilidade seja 𝑓 𝑥 005 0 𝑥 20 Mostre que 𝑓𝑥 é uma função densidade de probabilidade Qual é a probabilidade da medida da corrente estar entre 5 e 10 miliamperes Determine a média e o desvio padrão da medida da corrente MONTGOMERY RUNGER 2009 p 72 𝑓 𝑥 ቐ 1 𝑏 𝑎 𝑎 𝑥 𝑏 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑃 𝑋 𝑥 𝑥𝑎 𝑏𝑎 𝜇 𝑎𝑏 2 𝜎2 𝑏𝑎2 12 Distribuição Uniforme Exemplo 𝑋𝑈020 𝑓𝑥 é uma função densidade de probabilidade pois o intervalo dado é a b 020 e temos que 𝑓 𝑥 005 5 100 1 20 1 𝑏𝑎 conforme a definição da distribuição uniforme 𝑃 5 𝑋 10 න 5 10 005 𝑑𝑥 ቚ 005𝑥 5 10 05 025 025 Ou utilizando 𝑃 𝑋 𝑥 𝑥𝑎 𝑏𝑎 𝑃 5 𝑋 10 𝑃 𝑋 10 𝑃 𝑋 5 10 0 20 0 5 0 20 0 5 20 025 Distribuição Uniforme Exemplo 𝐸 𝑋 𝑎 𝑏 2 0 20 2 10 𝑚𝐴 𝜎2 𝑏 𝑎2 12 20 02 12 3333 𝜎 3333 577 𝑚𝐴 Distribuição Uniforme Exercício O tempo necessário para um medicamento contra dor fazer efeito foi modelado de acordo com a densidade Uniforme no intervalo de 5 a 15 minutos tendo por base experimentos conduzidos em animais Um paciente que esteja sofrendo dor recebe o remédio e supondo válido o modelo mencionado acima perguntase a probabilidade da dor a Cessar em até 10 minutos b Demorar pelo menos 12 minutos c Durar mais de 7 minutos sabendose que durou menos de 10 𝑓 𝑥 ቐ 1 𝑏 𝑎 𝑎 𝑥 𝑏 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑃 𝑋 𝑥 𝑥𝑎 𝑏𝑎 𝜇 𝑎𝑏 2 𝜎2 𝑏𝑎2 12 MAGALHÃES LIMA 2015 p 209 Distribuição Uniforme Exercício 𝑋𝑈 5 15 a 𝑃 𝑋 10 𝑥𝑎 𝑏𝑎 105 155 5 10 05 b 𝑃 𝑋 12 1 𝑃 𝑋 12 1 125 155 1 7 10 03 c 𝑃 𝑋 7 𝑋 10 𝑃𝑋7 𝑋10 𝑃𝑋10 𝑃7𝑋10 𝑃𝑋10 7 10 1 15 5 𝑑𝑥 10 5 15 5 1 ฬ 10 7 10 5 10 10 7 10 5 10 3 10 10 5 06 Distribuição Exponencial Definições Uma variável aleatória contínua 𝑋 assumindo valores não negativos segue o modelo exponencial com parâmetro λ 0 se 𝑋 for igual à distância entre contagens sucessivas de um processo de Poisson com média λ 0 Sua função densidade é 𝑓 𝑥 ቊ𝜆 𝑒𝜆𝑥 𝑥 0 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 Notação 𝑋𝐸𝑋𝑃𝜆 𝐹 𝑥 𝑃 𝑋 𝑥 1 𝑒𝜆𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 𝑃 𝑋 𝑥 𝑒𝜆𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 𝜇 1 𝜆 𝜎2 1 𝜆2 Distribuição Exponencial Propriedade da falta de memória Para variável aleatória 𝑋 com distribuição exponencial temos 𝑃 𝑋 𝑥 𝑡 𝑋 𝑥 𝑃 𝑋 𝑡 Para chegar nessa propriedade 𝑃 𝑋 𝑥 𝑡 𝑋 𝑥 𝑃𝑋 𝑥 𝑡ځ 𝑋 𝑥 𝑃𝑋 𝑥 𝑃𝑋 𝑥 𝑡 𝑃𝑋 𝑥 𝑒𝜆𝑥𝑡 𝑒𝜆𝑥 𝑒𝜆𝑥𝑒𝜆𝑡 𝑒𝜆𝑥 𝑒𝜆𝑡 𝑃 𝑋 𝑡 Distribuição Exponencial Exemplo O intervalo de tempo em minutos entre emissões consecutivas de uma fonte radioativa é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro 02 a Calcular a probabilidade da primeira emissão ser após 2 minutos b Calcular a probabilidade do intervalo ser superior ou igual a 7 minutos sabendose que ele é superior ou igual a 5 minutos MAGALHÃES LIMA 2015 p 193 adaptado 𝑓 𝑥 ቊ𝜆 𝑒𝜆𝑥 𝑥 0 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝐹 𝑥 𝑃 𝑋 𝑥 1 𝑒𝜆𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 𝑃 𝑋 𝑥 𝑒𝜆𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 Falta de memória 𝑃 𝑋 𝑥 𝑡 𝑋 𝑥 𝑃 𝑋 𝑡 Distribuição Exponencial Exemplo 𝑋𝐸𝑋𝑃 02 a 𝑃 𝑋 2 𝑒𝜆𝑥 𝑒02 2 𝑒04 06703 b 𝑃 𝑋 7 𝑋 5 𝑃𝑋7 𝑋5 𝑃𝑋5 𝑃𝑋7 𝑃𝑋5 𝑒02 7 𝑒02 5 𝑒14 𝑒1 06703 𝑥 𝑡 𝑥 Podemos usar a propriedade da falta de memória DISTEXPON202VERDADEIRO Distribuição Exponencial Exercício Suponha que o tempo de vida 𝑋 em segundos de um vírus exposto ao meio ambiente segue uma distribuição exponencial com parâmetro λ 1 20 s Calcule a probabilidade condicional 𝑃 𝑋 15 𝑋 10 MAGALHÃES LIMA 2015 p 210 𝑓 𝑥 ቊ𝜆 𝑒𝜆𝑥 𝑥 0 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝐹 𝑥 𝑃 𝑋 𝑥 1 𝑒𝜆𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 𝑃 𝑋 𝑥 𝑒𝜆𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 Falta de memória 𝑃 𝑋 𝑥 𝑡 𝑋 𝑥 𝑃 𝑋 𝑡 Distribuição Exponencial Exercício 𝑋𝐸𝑋𝑃 005 𝑃 𝑇 15 𝑇 10 𝑃 𝑋 5 𝑒005 5 𝑒025 07788 𝑥 𝑡 𝑥 Podemos usar a propriedade da falta de memória Distribuição ou lei de falha de Weibull Extra Entendimento inicial É uma generalização da Distribuição Exponencial A Distribuição Exponencial é um caso específico com β 1 Temos um parâmetro a mais Frequentemente usada para modelar o tempo até a falha Frequentemente usada também para análise de sobrevivência na área de saúde Podemos usála para modelar sistemas em que o número de falhas aumenta com o tempo desgaste de rolamento diminui com o tempo alguns semicondutores ou permanecem constantes com o tempo falhas causadas pelos choques externos ao sistema Distribuição ou lei de falha de Weibull Definições Uma variável aleatória contínua 𝑇 com parâmetro de forma 𝛼 0 e de escala β 0 segue uma distribuição de Weibull se tiver a seguinte função densidade de probabilidade 𝑓 𝑡 𝛼𝛽𝑡𝛽1𝑒𝛼𝑡𝛽 com 𝑡 0 e 𝛼 𝑒 𝛽 0 A função de distribuição acumulada de Weibull é dada por 𝑓 𝑇 𝑡 ቐ 0 𝑠𝑒 𝑡 0 1 𝑒 𝑡 𝛽 𝛼 𝑠𝑒 𝑡 0 Distribuição ou lei de falha de Weibull Exemplo Suponha que T seja um tempo de vida que tem distribuição de Weibull com 𝛼 02 e 𝛽 100 horas Determine a probabilidade de 𝑇 durar mais de 5000 horas 𝑓 𝑇 𝑡 ൝ 0 𝑠𝑒 𝑡 0 1 𝑒 𝑡 𝛽 𝛼 𝑠𝑒 𝑡 0 MONTGOMERY RUNGER 2003 p 96 adaptado Distribuição ou lei de falha de Weibull Exemplo 𝑃 𝑇 5000 1 𝑃 𝑇 5000 1 1 𝑒 𝑡 𝛽 𝛼 𝑒 5000 100 02 𝑒5002 01123 DISTWEIBULL500002100VERDADEIRO Distribuição ou lei de falha de Weibull Exercício A vida em horas de uma unidade de processamento de um computador CPU é modelada por uma distribuição de Weibull com parâmetros 𝛼 3 e 𝛽 900 horas Determine a probabilidade da CPU falhar antes de 500 horas 𝑓 𝑇 𝑡 ൝ 0 𝑠𝑒 𝑡 0 1 𝑒 𝑡 𝛽 𝛼 𝑠𝑒 𝑡 0 MONTGOMERY RUNGER 2018 p 116 Distribuição ou lei de falha de Weibull Exercício 𝑃 𝑇 500 1 𝑒 𝑡 𝛽 𝛼 1 𝑒 500 900 3 1 𝑒01715 01576 Distribuição Normal Entendimento inicial É a distribuição de probabilidade mais importante Também chamada de gaussiana Mais utilizada para descrever fenômenos naturais Médias e proporções de grandes amostras se aproximam da distribuição normal Teorema Central do Limite Tem o formato de sino É simétrica É unimodal Média mediana moda 𝑓 𝑥 0 quando 𝑥 Vídeo httpswwwyoutubecomwatchvFZDbJGqXywt1s Distribuição Normal Definições Uma variável aleatória 𝑋 tem distribuição normal com parâmetros 𝜇 e 𝜎 se sua função densidade de probabilidade é dada por 𝑓 𝑥 1 𝜎 2𝜋 𝑒 𝑥𝜇2 2𝜎2 com 𝑥 Sendo 𝐸 𝑋 𝜇 e 𝑉 𝑋 𝜎2 Notação 𝑋𝑁 𝜇 𝜎2 Como vimos para calcular a probabilidade devemos calcular a integral da função de densidade de probabilidade acima porém ela só pode ser resolvida de modo aproximado e por métodos numéricos Por esse motivo as probabilidades para uma distribuição normal são calculadas com o auxílio de tabelas utilizando a normal padrão que veremos a seguir Distribuição Normal Normal Padrão É uma distribuição com média igual a 0 e desvio padrão igual a 1 Normalmente a variável aleatória associada à distribuição normal padrão é chamada de 𝑍 Notação 𝑍𝑁 01 Toda variável 𝑋𝑁𝜇 𝜎2 deve ser transformada em 𝑍𝑁 01 para que possamos fazer os cálculos de probabilidades utilizando a tabela da Normal Padrão chamamos essa transformação de padronização 𝑋𝑁𝜇 𝜎2 𝑍𝑁 01 Para padronizar devemos fazer 𝑍 𝑋𝜇 𝜎 sendo 𝜇 a média e 𝜎 o desvio padrão de 𝑋 padronização Distribuição Normal Normal Padrão 𝑋𝑁𝜇 𝜎2 𝑍𝑁 01 padronização 𝜇 0 𝜎2 1 Tabela Normal Padrão inteiro e 1ª decimal de z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 39 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 38 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 37 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 36 00002 00002 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 35 00002 00002 00002 00002 00002 00002 00002 00002 00002 00002 34 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00002 33 00005 00005 00005 00004 00004 00004 00004 00004 00004 00003 32 00007 00007 00006 00006 00006 00006 00006 00005 00005 00005 31 00010 00009 00009 00009 00008 00008 00008 00008 00007 00007 30 00013 00013 00013 00012 00012 00011 00011 00011 00010 00010 29 00019 00018 00018 00017 00016 00016 00015 00015 00014 00014 28 00026 00025 00024 00023 00023 00022 00021 00021 00020 00019 27 00035 00034 00033 00032 00031 00030 00029 00028 00027 00026 26 00047 00045 00044 00043 00041 00040 00039 00038 00037 00036 25 00062 00060 00059 00057 00055 00054 00052 00051 00049 00048 24 00082 00080 00078 00075 00073 00071 00069 00068 00066 00064 23 00107 00104 00102 00099 00096 00094 00091 00089 00087 00084 22 00139 00136 00132 00129 00125 00122 00119 00116 00113 00110 21 00179 00174 00170 00166 00162 00158 00154 00150 00146 00143 20 00228 00222 00217 00212 00207 00202 00197 00192 00188 00183 19 00287 00281 00274 00268 00262 00256 00250 00244 00239 00233 18 00359 00351 00344 00336 00329 00322 00314 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5 6 7 8 9 050 00000 00025 00050 00075 00100 00125 00150 00175 00201 00226 051 00251 00276 00301 00326 00351 00376 00401 00426 00451 00476 052 00502 00527 00552 00577 00602 00627 00652 00677 00702 00728 053 00753 00778 00803 00828 00853 00878 00904 00929 00954 00979 054 01004 01030 01055 01080 01105 01130 01156 01181 01206 01231 055 01257 01282 01307 01332 01358 01383 01408 01434 01459 01484 056 01510 01535 01560 01586 01611 01637 01662 01687 01713 01738 057 01764 01789 01815 01840 01866 01891 01917 01942 01968 01993 058 02019 02045 02070 02096 02121 02147 02173 02198 02224 02250 059 02275 02301 02327 02353 02378 02404 02430 02456 02482 02508 060 02533 02559 02585 02611 02637 02663 02689 02715 02741 02767 061 02793 02819 02845 02871 02898 02924 02950 02976 03002 03029 062 03055 03081 03107 03134 03160 03186 03213 03239 03266 03292 063 03319 03345 03372 03398 03425 03451 03478 03505 03531 03558 064 03585 03611 03638 03665 03692 03719 03745 03772 03799 03826 065 03853 03880 03907 03934 03961 03989 04016 04043 04070 04097 066 04125 04152 04179 04207 04234 04261 04289 04316 04344 04372 067 04399 04427 04454 04482 04510 04538 04565 04593 04621 04649 068 04677 04705 04733 04761 04789 04817 04845 04874 04902 04930 069 04958 04987 05015 05044 05072 05101 05129 05158 05187 05215 070 05244 05273 05302 05330 05359 05388 05417 05446 05476 05505 071 05534 05563 05592 05622 05651 05681 05710 05740 05769 05799 072 05828 05858 05888 05918 05948 05978 06008 06038 06068 06098 073 06128 06158 06189 06219 06250 06280 06311 06341 06372 06403 074 06433 06464 06495 06526 06557 06588 06620 06651 06682 06713 075 06745 06776 06808 06840 06871 06903 06935 06967 06999 07031 076 07063 07095 07128 07160 07192 07225 07257 07290 07323 07356 077 07388 07421 07454 07488 07521 07554 07588 07621 07655 07688 078 07722 07756 07790 07824 07858 07892 07926 07961 07995 08030 079 08064 08099 08134 08169 08204 08239 08274 08310 08345 08381 080 08416 08452 08488 08524 08560 08596 08632 08669 08706 08742 081 08779 08816 08853 08890 08927 08965 09002 09040 09078 09116 082 09154 09192 09230 09269 09307 09346 09385 09424 09463 09502 083 09542 09581 09621 09661 09701 09741 09782 09822 09863 09904 084 09945 09986 10027 10069 10110 10152 10194 10237 10279 10322 085 10364 10407 10451 10494 10537 10581 10625 10669 10714 10758 086 10803 10848 10893 10939 10985 11031 11077 11123 11170 11217 087 11264 11311 11359 11407 11455 11503 11552 11601 11650 11700 088 11750 11800 11850 11901 11952 12004 12055 12107 12160 12212 089 12265 12319 12372 12426 12481 12536 12591 12646 12702 12759 090 12816 12873 12930 12988 13047 13106 13165 13225 13285 13346 091 13408 13469 13532 13595 13658 13722 13787 13852 13917 13984 092 14051 14118 14187 14255 14325 14395 14466 14538 14611 14684 093 14758 14833 14909 14985 15063 15141 15220 15301 15382 15464 094 15548 15632 15718 15805 15893 15982 16072 16164 16258 16352 095 16449 16546 16646 16747 16849 16954 17060 17169 17279 17392 096 17507 17624 17744 17866 17991 18119 18250 18384 18522 18663 097 18808 18957 19110 19268 19431 19600 19774 19954 20141 20335 098 20537 20748 20969 21201 21444 21701 21973 22262 22571 22904 099 23263 23656 24089 24573 25121 25758 26521 27478 28782 30902 3ª decimal de p Tabela Inversa da Normal Padrão P 𝑧 𝑃𝑍𝑧 Distribuição Normal Exemplo1 O peso de uma lata de certo produto tem distribuição normal com média de 105 kg e desvio padrão de 002 kg a Se o peso escrito na embalagem for de 1 kg qual a probabilidade da lata estar abaixo do peso b Qual o número esperado de latas abaixo do peso se foram produzidas 200 latas Distribuição Normal Exemplo1 𝑋𝑁 105 0022 a 𝑃 𝑋 1 𝑃 𝑥𝜇 𝜎 1105 002 𝑃 𝑍 25 00062 b 𝑝 𝑃 𝑙𝑎𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑠𝑜 00062 𝑌𝐵 𝑛 𝑝 𝑌𝐵 200 00062 𝐸 𝑌 𝑛𝑝 200 00062 124 𝑙𝑎𝑡𝑎𝑠 Pela tabela da Distribuição Normal Padrão DISTNORMN1105002VERDADEIRO Distribuição Normal Padrão No Excel Distribuição Normal Exemplo2 Estudos meteorológicos indicam que a precipitação pluviométrica mensal em períodos de seca em certa região pode ser considerada como seguindo a distribuição Normal com média igual a 30mm e variância igual a 16mm2 a Qual seria o valor da precipitação pluviométrica de modo que exista apenas 10 de probabilidade de haver uma precipitação inferior a esse valor b Construa um intervalo central em torno da média que contenha 80 dos possíveis valores de precipitação pluviométrica MAGALHÃES LIMA 2009 p 220 Distribuição Normal Exemplo2 𝑋𝑁 30 42 a 𝑃 𝑋 𝑥 010 𝑃 𝑋 𝜇 𝜎 𝑥 𝜇 𝜎 010 𝑃 𝑍 𝑥 30 4 010 𝑥 30 4 12816 𝑥 2487 𝑚𝑚 Pela tabela da Distribuição Normal Padrão ou pela tabela da Distribuição Inversa da Normal Padrão mais direto Distribuição Normal Exemplo2 𝑋𝑁 30 42 b É solicitado 80 em torno da média portanto para manter a simetria faremos de 10 a 90 Do item anterior temos 𝑃 𝑍 128 010 e 𝑥 2487 𝑃 𝑋 𝑥 090 𝑃 𝑋 𝜇 𝜎 𝑥 𝜇 𝜎 090 𝑃 𝑍 𝑥 30 4 090 𝑥 30 4 12816 𝑥 3513 Portanto o intervalo 2487 3513 contém 80 dos possíveis valores de precipitação pluviométrica Pela tabela da Distribuição Normal Padrão ou apenas lembrando que a Distribuição Normal é simétrica Distribuição Inversa da Normal Padrão No Excel Distribuição Normal Exercício A resistência à compressão de amostras de cimento pode ser modelada por uma distribuição normal com uma média de 6000 quilogramas por centímetro quadrado e um desvio padrão de 100 quilogramas por centímetro quadrado a Qual é a probabilidade de a resistência da amostra ser menor do que 6250 kgcm2 b Qual é a probabilidade de a resistência da amostra estar entre 5800 e 5900 kgcm2 c Que resistência é excedida por 95 das amostras MONTGOMERY RUNGER 2018 p 101 Distribuição Normal Exercício X𝑁 6000 1002 a 𝑃 𝑋 6250 𝑃 𝑥𝜇 𝜎 62506000 100 𝑃 𝑍 25 09938 b 𝑃 5800 𝑋 5900 𝑃 58006000 100 𝑥𝜇 𝜎 59006000 100 𝑃 2 𝑍 1 𝑃 𝑍 1 𝑃 𝑍 2 01587 00228 01359 Pela tabela da Distribuição Normal Padrão Pela tabela da Distribuição Normal Padrão Distribuição Normal Exercício X𝑁 6000 1002 c Para encontrar o valor excedido por 95 das amostras é preciso encontrar o a valor associado a 5 10095 𝑃 𝑍 𝑥 6000 100 005 𝑥 6000 100 16449 𝑥 165 6000 𝑥 583551 Pela tabela Inversa da Distribuição Normal Padrão 005 16449 Distribuição Normal Propriedade Seja 𝑌 𝑎 𝑏1𝑋1 𝑏2𝑋2 com 𝑎 𝑏1e 𝑏2 constantes Se 𝑋1𝑁𝜇1 𝜎1 2 e 𝑋2𝑁𝜇2 𝜎1 2 e 𝑋1 𝑒 𝑋2 são va independentes então 𝑌𝑁𝜇𝑦 𝜎𝑦2 com 𝜇𝑦 𝑎 𝑏1𝜇1 𝑏2𝜇2 e 𝜎𝑦2 𝑏1 2𝜎1 2 𝑏2 2𝜎2 2 Seja 𝑋𝑖𝑁𝜇 𝜎2 e 𝑆 𝑋1 𝑋2 𝑋𝑛 com as v a 𝑋𝑖 independentes então 𝑆𝑁𝜇𝑆 𝜎𝑆 2 com 𝜇𝑆 𝜇 𝜇 𝜇 𝑛𝜇 e 𝜎𝑆 2 𝜎2 𝜎2 𝜎2 𝜎2 𝑛𝜎2 Distribuição Normal Propriedade Exemplo O consumo diário de combustível em um coletivo é uma variável aleatória normal com média de 100 litros e desvio padrão de 11 litros O litro do combustível custa 4000 por litro O motorista leva a conta ao proprietário após 30 dias de trabalho Se em dois períodos consecutivos a conta apresentada foi superior a 12660000 há motivo para se suspeitar da honestidade do motorista BACH BARIBOLDI p 122 Distribuição Normal Propriedade Exemplo Consumo diário 𝑋𝑁100 112 Consumo mensal 𝑌 𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋30 Pela propriedade 𝑌𝑁 30 100 30 112 𝑌𝑁 3000 3630 Custo mensal 𝑊 40𝑌 𝑊𝑁 40 3000 402 3630 𝑊𝑁 120000 5808000 𝑃 𝑊 126600 𝑃 𝑤 𝜇 𝜎 126600 120000 5808000 𝑃 𝑍 274 1 𝑃 𝑍 274 1 09969 00031 𝑃 2 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑎 126600 000312 000001 Portanto há evidências para suspeitar da honestidade do motorista Teorema Central do Limite Entendimento inicial Uma razão para a distribuição Normal ser considerada tão importante é porque qualquer que seja a distribuição da variável de interesse para grande amostras 𝑛 30 a distribuição das médias amostrais serão aproximadamente normalmente distribuídas e tenderão a uma distribuição normal à medida que o tamanho de amostra crescer Então podemos ter uma variável original com uma distribuição muito diferente da Normal pode até mesmo ser discreta mas se tomarmos várias amostras grandes desta distribuição e então fizermos um histograma das médias amostrais a forma se parecerá como uma curva Normal Para quem quiser se aprofundar httpsptkhanacademyorgmathapstatisticssamplingdistributionapsamplingdistribution meanvcentrallimittheorem httpswwwyoutubecomwatchvzEwTfIpSBE Teorema Central do Limite Entendimento inicial Fonte MAGALHÃES LIMA 2009 p 240 𝑋 𝐸𝑋𝑃𝜆 02 𝑋𝐵 𝑛 5 𝑝 02 𝑋𝑈 𝑎 1 𝑏 10 𝑓 𝑥 1 8 𝑠𝑒 0 𝑥 4 1 2 𝑠𝑒 4 𝑥 5 Teorema Central do Limite Definição Para qualquer amostra de tamanho 𝑛 moderadamente grande 𝑛 30 e para qualquer distribuição de probabilidades de uma variável aleatória 𝑋 com média 𝜇 e variância 𝜎2 a média terá sempre uma distribuição aproximadamente Normal ത𝑋𝑁 𝜇 𝜎2 𝑛 Demonstração httpswwwyoutubecomwatchvjKGhnQ1WCHYt181s Distribuição Binomial Triângulo de Pascal Aproximação a curva normal a demonstração da validade dessa aproximação é feita utilizando o Teorema Central do Limite quanto maior o n melhor a aproximação Tabuleiro de Galton Extra httpswwwyoutubecomwatchv9xUBhhM4vbM httpswwwyoutubecomwatchv4HpvBZnHOVI Para quem quiser se aprofundar httpswwwyoutubecomwatchvEy614BKT1wgt400s httpswwwyoutubecomwatchv9QuPHf1xi4 Distribuição t de Student Definição Seja 𝑍𝑁 0 1 𝑒 𝑌𝜒𝑛2 com 𝑍 e 𝑌 independentes Então 𝑡 𝑍 𝑌 𝑛 tem distribuição t de Student com 𝑛 graus de liberdade Se 𝑛 for grande a distribuição t de Student se aproxima da distribuição Normal Padrão 𝑍 𝐸 𝑡 0 e 𝑉 𝑡 𝑛 𝑛2 É uma das distribuições mais utilizadas na estatística com aplicações que vão desde a modelagem estatística até testes de hipóteses Ideia do sentido de graus de liberdade Considere um conjunto de dados qualquer Graus de liberdade é o número de valores deste conjunto de dados que podem variar após terem sido impostas certas restrições a outros valores Vídeo httpswwwyoutubecomwatchvRXvvhCng48 Distribuição t de Student Definição Uma variável aleatória contínua 𝑋 tem distribuição t de Student com 𝑛 𝑣 graus de liberdade denotada por 𝑡𝑛 se sua função densidade for dada por É uma função complexa por esse motivo assim como a distribuição Normal utilizamos tabelas para calcular as probabilidades Distribuição t de Student Definição A função densidade tem a mesma forma em sino da distribuição Normal mas reflete uma maior variabilidade com curvas mais alargadas que é de se esperar em amostras pequenas A distribuição tStudent se aproxima da normal quando aumenta o número de graus de liberdade Tabela t de student 𝑃𝑇 𝑡 𝑝 𝛼 gl 04000 02500 01000 00500 00250 00200 00100 00050 00025 00010 00005 1 0325 1000 3078 6314 12706 15894 31821 63656 127321 318289 636578 2 0289 0816 1886 2920 4303 4849 6965 9925 14089 22328 31600 3 0277 0765 1638 2353 3182 3482 4541 5841 7453 10214 12924 4 0271 0741 1533 2132 2776 2999 3747 4604 5598 7173 8610 5 0267 0727 1476 2015 2571 2757 3365 4032 4773 5894 6869 6 0265 0718 1440 1943 2447 2612 3143 3707 4317 5208 5959 7 0263 0711 1415 1895 2365 2517 2998 3499 4029 4785 5408 8 0262 0706 1397 1860 2306 2449 2896 3355 3833 4501 5041 9 0261 0703 1383 1833 2262 2398 2821 3250 3690 4297 4781 10 0260 0700 1372 1812 2228 2359 2764 3169 3581 4144 4587 11 0260 0697 1363 1796 2201 2328 2718 3106 3497 4025 4437 12 0259 0695 1356 1782 2179 2303 2681 3055 3428 3930 4318 13 0259 0694 1350 1771 2160 2282 2650 3012 3372 3852 4221 14 0258 0692 1345 1761 2145 2264 2624 2977 3326 3787 4140 15 0258 0691 1341 1753 2131 2249 2602 2947 3286 3733 4073 16 0258 0690 1337 1746 2120 2235 2583 2921 3252 3686 4015 17 0257 0689 1333 1740 2110 2224 2567 2898 3222 3646 3965 18 0257 0688 1330 1734 2101 2214 2552 2878 3197 3610 3922 19 0257 0688 1328 1729 2093 2205 2539 2861 3174 3579 3883 20 0257 0687 1325 1725 2086 2197 2528 2845 3153 3552 3850 21 0257 0686 1323 1721 2080 2189 2518 2831 3135 3527 3819 22 0256 0686 1321 1717 2074 2183 2508 2819 3119 3505 3792 23 0256 0685 1319 1714 2069 2177 2500 2807 3104 3485 3768 24 0256 0685 1318 1711 2064 2172 2492 2797 3091 3467 3745 25 0256 0684 1316 1708 2060 2167 2485 2787 3078 3450 3725 26 0256 0684 1315 1706 2056 2162 2479 2779 3067 3435 3707 27 0256 0684 1314 1703 2052 2158 2473 2771 3057 3421 3689 28 0256 0683 1313 1701 2048 2154 2467 2763 3047 3408 3674 29 0256 0683 1311 1699 2045 2150 2462 2756 3038 3396 3660 30 0256 0683 1310 1697 2042 2147 2457 2750 3030 3385 3646 31 0256 0682 1309 1696 2040 2144 2453 2744 3022 3375 3633 32 0255 0682 1309 1694 2037 2141 2449 2738 3015 3365 3622 33 0255 0682 1308 1692 2035 2138 2445 2733 3008 3356 3611 34 0255 0682 1307 1691 2032 2136 2441 2728 3002 3348 3601 35 0255 0682 1306 1690 2030 2133 2438 2724 2996 3340 3591 36 0255 0681 1306 1688 2028 2131 2434 2719 2990 3333 3582 37 0255 0681 1305 1687 2026 2129 2431 2715 2985 3326 3574 38 0255 0681 1304 1686 2024 2127 2429 2712 2980 3319 3566 39 0255 0681 1304 1685 2023 2125 2426 2708 2976 3313 3558 40 0255 0681 1303 1684 2021 2123 2423 2704 2971 3307 3551 41 0255 0681 1303 1683 2020 2121 2421 2701 2967 3301 3544 42 0255 0680 1302 1682 2018 2120 2418 2698 2963 3296 3538 43 0255 0680 1302 1681 2017 2118 2416 2695 2959 3291 3532 44 0255 0680 1301 1680 2015 2116 2414 2692 2956 3286 3526 45 0255 0680 1301 1679 2014 2115 2412 2690 2952 3281 3520 46 0255 0680 1300 1679 2013 2114 2410 2687 2949 3277 3515 47 0255 0680 1300 1678 2012 2112 2408 2685 2946 3273 3510 48 0255 0680 1299 1677 2011 2111 2407 2682 2943 3269 3505 49 0255 0680 1299 1677 2010 2110 2405 2680 2940 3265 3500 50 0255 0679 1299 1676 2009 2109 2403 2678 2937 3261 3496 60 0254 0679 1296 1671 2000 2099 2390 2660 2915 3232 3460 70 0254 0678 1294 1667 1994 2093 2381 2648 2899 3211 3435 80 0254 0678 1292 1664 1990 2088 2374 2639 2887 3195 3416 90 0254 0677 1291 1662 1987 2084 2368 2632 2878 3183 3402 100 0254 0677 1290 1660 1984 2081 2364 2626 2871 3174 3390 110 0254 0677 1289 1659 1982 2078 2361 2621 2865 3166 3381 120 0254 0677 1289 1658 1980 2076 2358 2617 2860 3160 3373 0253 0674 1282 1645 1960 2054 2326 2576 2807 3090 3290 Distribuição QuiQuadrado Definição A variável aleatória contínua 𝑋 tem distribuição QuiQuadrado com 𝑛 graus de liberdade denotada por 𝜒𝑛2 se 𝜒𝑛2 𝑍1 2 𝑍2 2 𝑍𝑛2 com 𝑍𝑖𝑁 01 𝐸 𝜒𝑛2 𝑛 e 𝑉 𝜒𝑛2 2𝑛 Interpretamos como a soma de normais padronizada ao quadrado Possui aplicações importantes em estatística inferencial como verificar existência de associação entre variáveis e testes de hipóteses além disso a variância amostral 𝑆2 se distribui conforme a distribuição quiquadrado com 𝑛 1 graus de liberdade A função densidade de probabilidade é dada por É uma função complexa por esse motivo assim como a distribuição Normal utilizamos tabelas para calcular as probabilidades Distribuição QuiQuadrado Definição Tabela Quiquadrado gl 0995 099 0975 095 09 01 005 0025 001 0005 1 0000 0000 0001 0004 0016 2706 3841 5024 6635 7879 2 0010 0020 0051 0103 0211 4605 5991 7378 9210 10597 3 0072 0115 0216 0352 0584 6251 7815 9348 11345 12838 4 0207 0297 0484 0711 1064 7779 9488 11143 13277 14860 5 0412 0554 0831 1145 1610 9236 11070 12832 15086 16750 6 0676 0872 1237 1635 2204 10645 12592 14449 16812 18548 7 0989 1239 1690 2167 2833 12017 14067 16013 18475 20278 8 1344 1647 2180 2733 3490 13362 15507 17535 20090 21955 9 1735 2088 2700 3325 4168 14684 16919 19023 21666 23589 10 2156 2558 3247 3940 4865 15987 18307 20483 23209 25188 11 2603 3053 3816 4575 5578 17275 19675 21920 24725 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18939 37916 41337 44461 48278 50994 29 13121 14256 16047 17708 19768 39087 42557 45722 49588 52335 30 13787 14953 16791 18493 20599 40256 43773 46979 50892 53672 31 14458 15655 17539 19281 21434 41422 44985 48232 52191 55002 32 15134 16362 18291 20072 22271 42585 46194 49480 53486 56328 33 15815 17073 19047 20867 23110 43745 47400 50725 54775 57648 34 16501 17789 19806 21664 23952 44903 48602 51966 56061 58964 35 17192 18509 20569 22465 24797 46059 49802 53203 57342 60275 36 17887 19233 21336 23269 25643 47212 50998 54437 58619 61581 37 18586 19960 22106 24075 26492 48363 52192 55668 59893 62883 38 19289 20691 22878 24884 27343 49513 53384 56895 61162 64181 39 19996 21426 23654 25695 28196 50660 54572 58120 62428 65475 40 20707 22164 24433 26509 29051 51805 55758 59342 63691 66766 41 21421 22906 25215 27326 29907 52949 56942 60561 64950 68053 42 22138 23650 25999 28144 30765 54090 58124 61777 66206 69336 43 22860 24398 26785 28965 31625 55230 59304 62990 67459 70616 44 23584 25148 27575 29787 32487 56369 60481 64201 68710 71892 45 24311 25901 28366 30612 33350 57505 61656 65410 69957 73166 46 25041 26657 29160 31439 34215 58641 62830 66616 71201 74437 47 25775 27416 29956 32268 35081 59774 64001 67821 72443 75704 48 26511 28177 30754 33098 35949 60907 65171 69023 73683 76969 49 27249 28941 31555 33930 36818 62038 66339 70222 74919 78231 50 27991 29707 32357 34764 37689 63167 67505 71420 76154 79490 60 35534 37485 40482 43188 46459 74397 79082 83298 88379 91952 70 43275 45442 48758 51739 55329 85527 90531 95023 100425 104215 80 51172 53540 57153 60391 64278 96578 101879 106629 112329 116321 90 59196 61754 65647 69126 73291 107565 113145 118136 124116 128299 100 67328 70065 74222 77929 82358 118498 124342 129561 135807 140170 P2 valor tabelado Distribuição F Definição Se 𝑋 e 𝑌 são variáveis aleatórias com distribuição quiquadrado com 𝑚 e 𝑛 graus de liberdade respectivamente então se diz que a variável aleatória 𝐹 𝑋𝑚 𝑌𝑛 tem distribuição 𝐹 com 𝑚 e 𝑛 graus de liberdade Uma variável aleatória contínua 𝑋 tem distribuição 𝐹 de Fisher com 𝑚𝑣1 e 𝑛𝑣2 graus de liberdade se sua função densidade for dada por É uma função complexa por esse motivo assim como a distribuição Normal utilizamos tabelas para calcular as probabilidades Tabela F de Fisher 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 2 1 1614462 1994995 2157067 2245833 2301604 2339875 2367669 2388842 2405432 2418819 2439047 2459492 2480156 2490524 2500965 2511442 2521956 2532543 2 185128 190000 191642 192467 192963 193295 193531 193709 193847 193959 194125 194291 194457 194541 194625 194707 194791 194873 3 101280 95521 92766 91172 90134 89407 88867 88452 88123 87855 87447 87028 86602 86385 86166 85944 85720 85494 4 77086 69443 65914 63882 62561 61631 60942 60410 59988 59644 59117 58578 58025 57744 57459 57170 56878 56581 5 66079 57861 54094 51922 50503 49503 48759 48183 47725 47351 46777 46188 45581 45272 44957 44638 44314 43985 6 59874 51432 47571 45337 43874 42839 42067 41468 40990 40600 39999 39381 38742 38414 38082 37743 37398 37047 7 55915 47374 43468 41203 39715 38660 37871 37257 36767 36365 35747 35107 34445 34105 33758 33404 33043 32674 8 53176 44590 40662 38379 36875 35806 35005 34381 33881 33472 32839 32184 31503 31152 30794 30428 30053 29669 9 51174 42565 38625 36331 34817 33738 32927 32296 31789 31373 30729 30061 29365 29005 28637 28259 27872 27475 10 49646 41028 37083 34780 33258 32172 31355 30717 30204 29782 29130 28450 27740 27373 26996 26609 26211 25801 11 48443 39823 35874 33567 32039 30946 30123 29480 28962 28536 27876 27186 26464 26090 25705 25309 24901 24480 12 47472 38853 34903 32592 31059 29961 29134 28486 27964 27534 26866 26169 25436 25055 24663 24259 23842 23410 13 46672 38056 34105 31791 30254 29153 28321 27669 27144 26710 26037 25331 24589 24202 23803 23392 22966 22524 14 46001 37389 33439 31122 29582 28477 27642 26987 26458 26022 25342 24630 23879 23487 23082 22663 22229 21778 15 45431 36823 32874 30556 29013 27905 27066 26408 25876 25437 24753 24034 23275 22878 22468 22043 21601 21141 16 44940 36337 32389 30069 28524 27413 26572 25911 25377 24935 24247 23522 22756 22354 21938 21507 21058 20589 17 44513 35915 31968 29647 28100 26987 26143 25480 24943 24499 23807 23077 22304 21898 21477 21040 20584 20107 18 44139 35546 31599 29277 27729 26613 25767 25102 24563 24117 23421 22686 21906 21497 21071 20629 20166 19681 19 43808 35219 31274 28951 27401 26283 25435 24768 24227 23779 23080 22341 21555 21141 20712 20264 19795 19302 20 43513 34928 30984 28661 27109 25990 25140 24471 23928 23479 22776 22033 21242 20825 20391 19938 19464 18963 21 43248 34668 30725 28401 26848 25727 24876 24205 23661 23210 22504 21757 20960 20540 20102 19645 19165 18657 22 43009 34434 30491 28167 26613 25491 24638 23965 23419 22967 22258 21508 20707 20283 19842 19380 18894 18380 23 42793 34221 30280 27955 26400 25277 24422 23748 23201 22747 22036 21282 20476 20050 19605 19139 18648 18128 24 42597 34028 30088 27763 26207 25082 24226 23551 23002 22547 21834 21077 20267 19838 19390 18920 18424 17896 25 42417 33852 29912 27587 26030 24904 24047 23371 22821 22365 21649 20889 20075 19643 19192 18718 18217 17684 26 42252 33690 29752 27426 25868 24741 23883 23205 22655 22197 21479 20716 19898 19464 19010 18533 18027 17488 27 42100 33541 29603 27278 25719 24591 23732 23053 22501 22043 21323 20558 19736 19299 18842 18361 17851 17307 28 41960 33404 29467 27141 25581 24453 23593 22913 22360 21900 21179 20411 19586 19147 18687 18203 17689 17138 29 41830 33277 29340 27014 25454 24324 23463 22782 22229 21768 21045 20275 19446 19005 18543 18055 17537 16981 30 41709 33158 29223 26896 25336 24205 23343 22662 22107 21646 20921 20148 19317 18874 18409 17918 17396 16835 40 40847 32317 28387 26060 24495 23359 22490 21802 21240 20773 20035 19245 18389 17929 17444 16928 16373 15766 60 40012 31504 27581 25252 23683 22541 21665 20970 20401 19926 19174 18364 17480 17001 16491 15943 15343 14673 120 39201 30718 26802 24472 22899 21750 20868 20164 19588 19105 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Professora Rafaela Dourado 1º semestre de 2023 ENEC50318 Estatística I Variáveis aleatórias e distribuições contínuas Variáveis aleatórias Fonte BARBETTA REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática Atlas 2004 Variáveis aleatórias discretas Relembrando 0 1 2 3 4 Número de filhos de um professor escolhido ao acaso do Mackenzie Contagem de caras em 2 lançamentos de uma moeda comum 0 1 2 Lançamento de uma moeda comum Cara 0 Coroa 10 0 PX0 04 1 PX1 02 2 PX2 02 3 PX3 01 4 PX4 01 Variáveis aleatórias contínuas Entendimento inicial Valores dentro do conjunto dos números reais positivos Área atingida pelo óleo derramado por um navio petroleiro Tempo de vida de um componente eletrônico Valores dentro do conjunto dos números reais positivos Temperatura climática no Brasil Fonte temperatura httpssuperabrilcombrmundoestranhoqualeorecordedefrionobrasiledecalor 111𝐶 a 447𝐶 Valores dentro do conjunto dos números reais Variáveis aleatórias contínuas Entendimento inicial Valores dentro do conjunto dos números reais positivos Y Z Valores dentro do conjunto dos números reais positivos X Valores dentro do conjunto dos números reais 111𝐶 a 447𝐶 É quantitativa e seus resultados dependem de fatores aleatórios É uma função 𝑋 definida sobre o espaço amostral Ω e que assume qualquer valor numérico em um determinado intervalo ou coleção de intervalos Variáveis aleatórias va contínuas Definições Função de densidade de probabilidade Definições As probabilidades de eventos associados a uma variável aleatória contínua 𝑋 podem ser calculadas através de uma função densidade de probabilidade ou função contínua de probabilidade 𝑓𝑥 que deve satisfazer 1 𝑓 𝑥 0 para todo x 2 A área definida por 𝑓𝑥 é igual a 1 ou seja 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 1 A notação a ser utilizada para a probabilidade de uma variável aleatória contínua 𝑋 em um intervalo definido de 𝑎 a 𝑏 é 𝑃 𝑎 𝑋 𝑏 න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Função de densidade de probabilidade Definições Se 𝑋 for uma variável aleatória contínua então para qualquer 𝑥1 e 𝑥2 temos 𝑃 𝑥1 𝑋 𝑥2 𝑃 𝑥1 𝑋 𝑥2 𝑃 𝑥1 𝑋 𝑥2 𝑃 𝑥1 𝑋 𝑥2 Vídeo httpsptkhanacademyorgmathapcalculusababintegrationnewab6 6vsameintegrationbounds 𝑃 𝑎 𝑋 𝑏 න 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 O tempo em minutos de digitação de um texto por secretárias experientes é uma variável aleatória contínua 𝑋 Sua densidade de probabilidade é apresentada a seguir Obtenha a 𝑃 𝑋 3 b 𝑃1 𝑋 4 c 𝑃𝑋 3𝑋 1 Fonte MAGALHÃES LIMA 2015 p 188 Função densidade de probabilidade Exemplo 𝑓 𝑥 1 4 se 0 x 2 1 8 𝑠𝑒 2 𝑥 6 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 a 𝑃 𝑋 3 3 6 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 6 𝑓 𝑥 3 6 1 8 𝑑𝑥 0 ቚ 1 8 𝑥 3 6 1 8 6 3 3 8 b 𝑃 1 𝑋 4 1 4 𝑓 𝑥 1 2 1 4 𝑑𝑥 2 4 1 8 𝑑𝑥 1 ቤ 4 𝑥 1 2 1 ቤ 8 𝑥 2 4 1 4 2 1 1 8 4 2 1 4 1 4 1 2 Função densidade de probabilidade Exemplo 𝑓 𝑥 1 4 se 0 x 2 1 8 𝑠𝑒 2 𝑥 6 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 c 𝑃 𝑋 3𝑋 1 𝑃𝑋3 𝑋1 𝑃𝑋1 𝑃 1𝑋3 𝑃𝑋1 1 2 1 4 𝑑𝑥 2 3 1 8 𝑑𝑥 1 2 1 4 𝑑𝑥 2 6 1 8 𝑑𝑥 1 ฬ 4 𝑥 1 2 1 ฬ 8 𝑥 2 3 1 ฬ 4 𝑥 1 2 1 ฬ 8 𝑥 2 6 1 4 1 8 1 4 4 8 3 8 6 8 1 2 Função densidade de probabilidade Exemplo 𝑓 𝑥 1 4 se 0 x 2 1 8 𝑠𝑒 2 𝑥 6 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 Lembrete 𝑃 𝐴 𝐵 𝑃𝐴 𝐵 𝑃𝐵 A quantia gasta anualmente em milhões de reais na manutenção do asfalto em uma cidade do interior é representada pela variável 𝑋 com densidade de dada por Obtenha a 𝑃 𝑋 08 b 𝑃 𝑋 15 𝑋 1 Fonte MAGALHÃES LIMA 2015 p 188 Função Densidade de Probabilidade Exercício 𝑓 𝑥 8 9 𝑥 4 9 se 05 x 2 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑓 𝑥 8 9 𝑥 4 9 se 05 x 2 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 a 𝑃 𝑋 08 05 08 8 9 𝑥 4 9 𝑑𝑥 ฬ 8 9 𝑥2 2 05 08 ቚ 4 9 𝑥 05 08 02844 01111 03556 02222 004 Função Densidade de Probabilidade Exercício 𝑓 𝑥 8 9 𝑥 4 9 se 05 x 2 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 b 𝑃 𝑋 15 𝑋 1 𝑃𝑋15 𝑋1 𝑃𝑋1 𝑃15𝑋2 𝑃𝑋1 15 2 8 9 𝑥 4 9 𝑑𝑥 1 2 8 9 𝑥 4 9 𝑑𝑥 ቤ 8 9 𝑥2 2 15 2 ฬ 4 9 𝑥 15 2 ฬ 8 9 𝑥2 2 1 2 ฬ 4 9 𝑥 1 2 17778 02222 13334 04445 06250 Função Densidade de Probabilidade Exercício Esperança Variância e Desvio Padrão de uma VA contínua Definição A média Esperança ou Valor Esperado de uma variável 𝑋 contínua é dada por 𝐸 𝑋 𝜇 න 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 A variância de uma variável 𝑋 contínua é dada por 𝑉 𝑋 𝜎2 න 𝑥 𝐸𝑋 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝐸 𝑋2 𝐸 𝑋 2 Com 𝐸 𝑋2 𝑥2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 O desvio padrão de uma variável 𝑋 contínua é dada por 𝜎 𝜎2 𝑉𝑋 Esperança Variância e Desvio Padrão Exemplo o mesmo O tempo em minutos de digitação de um texto por secretárias experientes é uma variável aleatória contínua 𝑋 Sua densidade de probabilidade é apresentada a seguir Obtenha a Valor esperado b Variância e desvio padrão Fonte MAGALHÃES LIMA 2015 p 188 𝑓 𝑥 1 4 se 0 x 2 1 8 𝑠𝑒 2 𝑥 6 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 Esperança Variância e Desvio Padrão Exemplo o mesmo 𝑓 𝑥 1 4 se 0 x 2 1 8 𝑠𝑒 2 𝑥 6 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 a 𝐸 𝑋 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 0 2 1 4 𝑥 𝑑𝑥 2 6 1 8 𝑥 𝑑𝑥 ቚ 1 8 𝑥2 0 2 ቚ 1 16 𝑥2 2 6 1 8 4 0 1 16 36 4 05 2 25 b 𝐸 𝑋2 𝑥2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 0 2 1 4 𝑥2 𝑑𝑥 2 6 1 8 𝑥2 𝑑𝑥 ቤ 1 12 𝑥3 0 2 ቤ 1 24 𝑥3 2 6 1 12 8 0 1 24 216 8 8 12 104 12 93333 𝑉 𝑋 𝐸 𝑋2 𝐸 𝑋 2 93333 25 2 30833 𝜎 𝑉𝑋 30833 17559 A quantia gasta anualmente em milhões de reais na manutenção do asfalto em uma cidade do interior é representada pela variável 𝑋 com densidade de dada por Obtenha a O valor esperado b A variância e o desvio padrão de 𝑋 Fonte MAGALHÃES LIMA 2015 p 188 Esperança Variância e Desvio Padrão Exercício o mesmo 𝑓 𝑥 8 9 𝑥 4 9 se 05 x 2 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑓 𝑥 8 9 𝑥 4 9 se 05 x 2 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 a 𝐸 𝑋 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 05 2 8 9 𝑥2 4 9 𝑥 𝑑𝑥 ቚ 8 27 𝑥3 4 18 𝑥2 05 2 23704 08889 00370 00556 14815 00186 15 b 𝐸 𝑋2 𝑥2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 05 2 8 9 𝑥3 4 9 𝑥2 𝑑𝑥 ቚ 8 9 𝑥4 4 27 𝑥3 05 2 8 9 24 054 4 27 23 053 35417 11667 2375 𝑉 𝑋 𝐸 𝑋2 𝐸 𝑋 2 2375 15 2 0125 𝜎 𝑉𝑋 0125 03536 Esperança Variância e Desvio Padrão Exercício o mesmo Uniforme Exponencial De Weibull Normal Quiquadrado t de student Distribuição F Principais distribuições de probabilidade para va contínuas Distribuição Uniforme Definições Uma variável aleatória 𝑋 tem distribuição uniforme contínua no intervalo 𝑎 𝑏 sendo 𝑎 𝑏 se sua função densidade de probabilidade é dada por 𝑓 𝑥 ቐ 1 𝑏 𝑎 𝑎 𝑥 𝑏 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 Notação 𝑋𝑈𝑎 𝑏 𝑃 𝑋 𝑥 𝑥𝑎 𝑏𝑎 𝜇 𝑎𝑏 2 𝜎2 𝑏𝑎2 12 Distribuição Uniforme Exemplo Faça a variável aleatória contínua 𝑋 denotar a corrente medida em um fio delgado de cobre em miliamperes Considere que a faixa de 𝑋 seja 0 20𝑚𝐴 e suponha que a função densidade de probabilidade seja 𝑓 𝑥 005 0 𝑥 20 Mostre que 𝑓𝑥 é uma função densidade de probabilidade Qual é a probabilidade da medida da corrente estar entre 5 e 10 miliamperes Determine a média e o desvio padrão da medida da corrente MONTGOMERY RUNGER 2009 p 72 𝑓 𝑥 ቐ 1 𝑏 𝑎 𝑎 𝑥 𝑏 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑃 𝑋 𝑥 𝑥𝑎 𝑏𝑎 𝜇 𝑎𝑏 2 𝜎2 𝑏𝑎2 12 Distribuição Uniforme Exemplo 𝑋𝑈020 𝑓𝑥 é uma função densidade de probabilidade pois o intervalo dado é a b 020 e temos que 𝑓 𝑥 005 5 100 1 20 1 𝑏𝑎 conforme a definição da distribuição uniforme 𝑃 5 𝑋 10 න 5 10 005 𝑑𝑥 ቚ 005𝑥 5 10 05 025 025 Ou utilizando 𝑃 𝑋 𝑥 𝑥𝑎 𝑏𝑎 𝑃 5 𝑋 10 𝑃 𝑋 10 𝑃 𝑋 5 10 0 20 0 5 0 20 0 5 20 025 Distribuição Uniforme Exemplo 𝐸 𝑋 𝑎 𝑏 2 0 20 2 10 𝑚𝐴 𝜎2 𝑏 𝑎2 12 20 02 12 3333 𝜎 3333 577 𝑚𝐴 Distribuição Uniforme Exercício O tempo necessário para um medicamento contra dor fazer efeito foi modelado de acordo com a densidade Uniforme no intervalo de 5 a 15 minutos tendo por base experimentos conduzidos em animais Um paciente que esteja sofrendo dor recebe o remédio e supondo válido o modelo mencionado acima perguntase a probabilidade da dor a Cessar em até 10 minutos b Demorar pelo menos 12 minutos c Durar mais de 7 minutos sabendose que durou menos de 10 𝑓 𝑥 ቐ 1 𝑏 𝑎 𝑎 𝑥 𝑏 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑃 𝑋 𝑥 𝑥𝑎 𝑏𝑎 𝜇 𝑎𝑏 2 𝜎2 𝑏𝑎2 12 MAGALHÃES LIMA 2015 p 209 Distribuição Uniforme Exercício 𝑋𝑈 5 15 a 𝑃 𝑋 10 𝑥𝑎 𝑏𝑎 105 155 5 10 05 b 𝑃 𝑋 12 1 𝑃 𝑋 12 1 125 155 1 7 10 03 c 𝑃 𝑋 7 𝑋 10 𝑃𝑋7 𝑋10 𝑃𝑋10 𝑃7𝑋10 𝑃𝑋10 7 10 1 15 5 𝑑𝑥 10 5 15 5 1 ฬ 10 7 10 5 10 10 7 10 5 10 3 10 10 5 06 Distribuição Exponencial Definições Uma variável aleatória contínua 𝑋 assumindo valores não negativos segue o modelo exponencial com parâmetro λ 0 se 𝑋 for igual à distância entre contagens sucessivas de um processo de Poisson com média λ 0 Sua função densidade é 𝑓 𝑥 ቊ𝜆 𝑒𝜆𝑥 𝑥 0 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 Notação 𝑋𝐸𝑋𝑃𝜆 𝐹 𝑥 𝑃 𝑋 𝑥 1 𝑒𝜆𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 𝑃 𝑋 𝑥 𝑒𝜆𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 𝜇 1 𝜆 𝜎2 1 𝜆2 Distribuição Exponencial Propriedade da falta de memória Para variável aleatória 𝑋 com distribuição exponencial temos 𝑃 𝑋 𝑥 𝑡 𝑋 𝑥 𝑃 𝑋 𝑡 Para chegar nessa propriedade 𝑃 𝑋 𝑥 𝑡 𝑋 𝑥 𝑃𝑋 𝑥 𝑡ځ 𝑋 𝑥 𝑃𝑋 𝑥 𝑃𝑋 𝑥 𝑡 𝑃𝑋 𝑥 𝑒𝜆𝑥𝑡 𝑒𝜆𝑥 𝑒𝜆𝑥𝑒𝜆𝑡 𝑒𝜆𝑥 𝑒𝜆𝑡 𝑃 𝑋 𝑡 Distribuição Exponencial Exemplo O intervalo de tempo em minutos entre emissões consecutivas de uma fonte radioativa é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro 02 a Calcular a probabilidade da primeira emissão ser após 2 minutos b Calcular a probabilidade do intervalo ser superior ou igual a 7 minutos sabendose que ele é superior ou igual a 5 minutos MAGALHÃES LIMA 2015 p 193 adaptado 𝑓 𝑥 ቊ𝜆 𝑒𝜆𝑥 𝑥 0 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝐹 𝑥 𝑃 𝑋 𝑥 1 𝑒𝜆𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 𝑃 𝑋 𝑥 𝑒𝜆𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 Falta de memória 𝑃 𝑋 𝑥 𝑡 𝑋 𝑥 𝑃 𝑋 𝑡 Distribuição Exponencial Exemplo 𝑋𝐸𝑋𝑃 02 a 𝑃 𝑋 2 𝑒𝜆𝑥 𝑒02 2 𝑒04 06703 b 𝑃 𝑋 7 𝑋 5 𝑃𝑋7 𝑋5 𝑃𝑋5 𝑃𝑋7 𝑃𝑋5 𝑒02 7 𝑒02 5 𝑒14 𝑒1 06703 𝑥 𝑡 𝑥 Podemos usar a propriedade da falta de memória DISTEXPON202VERDADEIRO Distribuição Exponencial Exercício Suponha que o tempo de vida 𝑋 em segundos de um vírus exposto ao meio ambiente segue uma distribuição exponencial com parâmetro λ 1 20 s Calcule a probabilidade condicional 𝑃 𝑋 15 𝑋 10 MAGALHÃES LIMA 2015 p 210 𝑓 𝑥 ቊ𝜆 𝑒𝜆𝑥 𝑥 0 0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝐹 𝑥 𝑃 𝑋 𝑥 1 𝑒𝜆𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 𝑃 𝑋 𝑥 𝑒𝜆𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 Falta de memória 𝑃 𝑋 𝑥 𝑡 𝑋 𝑥 𝑃 𝑋 𝑡 Distribuição Exponencial Exercício 𝑋𝐸𝑋𝑃 005 𝑃 𝑇 15 𝑇 10 𝑃 𝑋 5 𝑒005 5 𝑒025 07788 𝑥 𝑡 𝑥 Podemos usar a propriedade da falta de memória Distribuição ou lei de falha de Weibull Extra Entendimento inicial É uma generalização da Distribuição Exponencial A Distribuição Exponencial é um caso específico com β 1 Temos um parâmetro a mais Frequentemente usada para modelar o tempo até a falha Frequentemente usada também para análise de sobrevivência na área de saúde Podemos usála para modelar sistemas em que o número de falhas aumenta com o tempo desgaste de rolamento diminui com o tempo alguns semicondutores ou permanecem constantes com o tempo falhas causadas pelos choques externos ao sistema Distribuição ou lei de falha de Weibull Definições Uma variável aleatória contínua 𝑇 com parâmetro de forma 𝛼 0 e de escala β 0 segue uma distribuição de Weibull se tiver a seguinte função densidade de probabilidade 𝑓 𝑡 𝛼𝛽𝑡𝛽1𝑒𝛼𝑡𝛽 com 𝑡 0 e 𝛼 𝑒 𝛽 0 A função de distribuição acumulada de Weibull é dada por 𝑓 𝑇 𝑡 ቐ 0 𝑠𝑒 𝑡 0 1 𝑒 𝑡 𝛽 𝛼 𝑠𝑒 𝑡 0 Distribuição ou lei de falha de Weibull Exemplo Suponha que T seja um tempo de vida que tem distribuição de Weibull com 𝛼 02 e 𝛽 100 horas Determine a probabilidade de 𝑇 durar mais de 5000 horas 𝑓 𝑇 𝑡 ൝ 0 𝑠𝑒 𝑡 0 1 𝑒 𝑡 𝛽 𝛼 𝑠𝑒 𝑡 0 MONTGOMERY RUNGER 2003 p 96 adaptado Distribuição ou lei de falha de Weibull Exemplo 𝑃 𝑇 5000 1 𝑃 𝑇 5000 1 1 𝑒 𝑡 𝛽 𝛼 𝑒 5000 100 02 𝑒5002 01123 DISTWEIBULL500002100VERDADEIRO Distribuição ou lei de falha de Weibull Exercício A vida em horas de uma unidade de processamento de um computador CPU é modelada por uma distribuição de Weibull com parâmetros 𝛼 3 e 𝛽 900 horas Determine a probabilidade da CPU falhar antes de 500 horas 𝑓 𝑇 𝑡 ൝ 0 𝑠𝑒 𝑡 0 1 𝑒 𝑡 𝛽 𝛼 𝑠𝑒 𝑡 0 MONTGOMERY RUNGER 2018 p 116 Distribuição ou lei de falha de Weibull Exercício 𝑃 𝑇 500 1 𝑒 𝑡 𝛽 𝛼 1 𝑒 500 900 3 1 𝑒01715 01576 Distribuição Normal Entendimento inicial É a distribuição de probabilidade mais importante Também chamada de gaussiana Mais utilizada para descrever fenômenos naturais Médias e proporções de grandes amostras se aproximam da distribuição normal Teorema Central do Limite Tem o formato de sino É simétrica É unimodal Média mediana moda 𝑓 𝑥 0 quando 𝑥 Vídeo httpswwwyoutubecomwatchvFZDbJGqXywt1s Distribuição Normal Definições Uma variável aleatória 𝑋 tem distribuição normal com parâmetros 𝜇 e 𝜎 se sua função densidade de probabilidade é dada por 𝑓 𝑥 1 𝜎 2𝜋 𝑒 𝑥𝜇2 2𝜎2 com 𝑥 Sendo 𝐸 𝑋 𝜇 e 𝑉 𝑋 𝜎2 Notação 𝑋𝑁 𝜇 𝜎2 Como vimos para calcular a probabilidade devemos calcular a integral da função de densidade de probabilidade acima porém ela só pode ser resolvida de modo aproximado e por métodos numéricos Por esse motivo as probabilidades para uma distribuição normal são calculadas com o auxílio de tabelas utilizando a normal padrão que veremos a seguir Distribuição Normal Normal Padrão É uma distribuição com média igual a 0 e desvio padrão igual a 1 Normalmente a variável aleatória associada à distribuição normal padrão é chamada de 𝑍 Notação 𝑍𝑁 01 Toda variável 𝑋𝑁𝜇 𝜎2 deve ser transformada em 𝑍𝑁 01 para que possamos fazer os cálculos de probabilidades utilizando a tabela da Normal Padrão chamamos essa transformação de padronização 𝑋𝑁𝜇 𝜎2 𝑍𝑁 01 Para padronizar devemos fazer 𝑍 𝑋𝜇 𝜎 sendo 𝜇 a média e 𝜎 o desvio padrão de 𝑋 padronização Distribuição Normal Normal Padrão 𝑋𝑁𝜇 𝜎2 𝑍𝑁 01 padronização 𝜇 0 𝜎2 1 Tabela Normal Padrão inteiro e 1ª decimal de z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 39 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 38 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 37 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 36 00002 00002 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 35 00002 00002 00002 00002 00002 00002 00002 00002 00002 00002 34 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00002 33 00005 00005 00005 00004 00004 00004 00004 00004 00004 00003 32 00007 00007 00006 00006 00006 00006 00006 00005 00005 00005 31 00010 00009 00009 00009 00008 00008 00008 00008 00007 00007 30 00013 00013 00013 00012 00012 00011 00011 00011 00010 00010 29 00019 00018 00018 00017 00016 00016 00015 00015 00014 00014 28 00026 00025 00024 00023 00023 00022 00021 00021 00020 00019 27 00035 00034 00033 00032 00031 00030 00029 00028 00027 00026 26 00047 00045 00044 00043 00041 00040 00039 00038 00037 00036 25 00062 00060 00059 00057 00055 00054 00052 00051 00049 00048 24 00082 00080 00078 00075 00073 00071 00069 00068 00066 00064 23 00107 00104 00102 00099 00096 00094 00091 00089 00087 00084 22 00139 00136 00132 00129 00125 00122 00119 00116 00113 00110 21 00179 00174 00170 00166 00162 00158 00154 00150 00146 00143 20 00228 00222 00217 00212 00207 00202 00197 00192 00188 00183 19 00287 00281 00274 00268 00262 00256 00250 00244 00239 00233 18 00359 00351 00344 00336 00329 00322 00314 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5 6 7 8 9 050 00000 00025 00050 00075 00100 00125 00150 00175 00201 00226 051 00251 00276 00301 00326 00351 00376 00401 00426 00451 00476 052 00502 00527 00552 00577 00602 00627 00652 00677 00702 00728 053 00753 00778 00803 00828 00853 00878 00904 00929 00954 00979 054 01004 01030 01055 01080 01105 01130 01156 01181 01206 01231 055 01257 01282 01307 01332 01358 01383 01408 01434 01459 01484 056 01510 01535 01560 01586 01611 01637 01662 01687 01713 01738 057 01764 01789 01815 01840 01866 01891 01917 01942 01968 01993 058 02019 02045 02070 02096 02121 02147 02173 02198 02224 02250 059 02275 02301 02327 02353 02378 02404 02430 02456 02482 02508 060 02533 02559 02585 02611 02637 02663 02689 02715 02741 02767 061 02793 02819 02845 02871 02898 02924 02950 02976 03002 03029 062 03055 03081 03107 03134 03160 03186 03213 03239 03266 03292 063 03319 03345 03372 03398 03425 03451 03478 03505 03531 03558 064 03585 03611 03638 03665 03692 03719 03745 03772 03799 03826 065 03853 03880 03907 03934 03961 03989 04016 04043 04070 04097 066 04125 04152 04179 04207 04234 04261 04289 04316 04344 04372 067 04399 04427 04454 04482 04510 04538 04565 04593 04621 04649 068 04677 04705 04733 04761 04789 04817 04845 04874 04902 04930 069 04958 04987 05015 05044 05072 05101 05129 05158 05187 05215 070 05244 05273 05302 05330 05359 05388 05417 05446 05476 05505 071 05534 05563 05592 05622 05651 05681 05710 05740 05769 05799 072 05828 05858 05888 05918 05948 05978 06008 06038 06068 06098 073 06128 06158 06189 06219 06250 06280 06311 06341 06372 06403 074 06433 06464 06495 06526 06557 06588 06620 06651 06682 06713 075 06745 06776 06808 06840 06871 06903 06935 06967 06999 07031 076 07063 07095 07128 07160 07192 07225 07257 07290 07323 07356 077 07388 07421 07454 07488 07521 07554 07588 07621 07655 07688 078 07722 07756 07790 07824 07858 07892 07926 07961 07995 08030 079 08064 08099 08134 08169 08204 08239 08274 08310 08345 08381 080 08416 08452 08488 08524 08560 08596 08632 08669 08706 08742 081 08779 08816 08853 08890 08927 08965 09002 09040 09078 09116 082 09154 09192 09230 09269 09307 09346 09385 09424 09463 09502 083 09542 09581 09621 09661 09701 09741 09782 09822 09863 09904 084 09945 09986 10027 10069 10110 10152 10194 10237 10279 10322 085 10364 10407 10451 10494 10537 10581 10625 10669 10714 10758 086 10803 10848 10893 10939 10985 11031 11077 11123 11170 11217 087 11264 11311 11359 11407 11455 11503 11552 11601 11650 11700 088 11750 11800 11850 11901 11952 12004 12055 12107 12160 12212 089 12265 12319 12372 12426 12481 12536 12591 12646 12702 12759 090 12816 12873 12930 12988 13047 13106 13165 13225 13285 13346 091 13408 13469 13532 13595 13658 13722 13787 13852 13917 13984 092 14051 14118 14187 14255 14325 14395 14466 14538 14611 14684 093 14758 14833 14909 14985 15063 15141 15220 15301 15382 15464 094 15548 15632 15718 15805 15893 15982 16072 16164 16258 16352 095 16449 16546 16646 16747 16849 16954 17060 17169 17279 17392 096 17507 17624 17744 17866 17991 18119 18250 18384 18522 18663 097 18808 18957 19110 19268 19431 19600 19774 19954 20141 20335 098 20537 20748 20969 21201 21444 21701 21973 22262 22571 22904 099 23263 23656 24089 24573 25121 25758 26521 27478 28782 30902 3ª decimal de p Tabela Inversa da Normal Padrão P 𝑧 𝑃𝑍𝑧 Distribuição Normal Exemplo1 O peso de uma lata de certo produto tem distribuição normal com média de 105 kg e desvio padrão de 002 kg a Se o peso escrito na embalagem for de 1 kg qual a probabilidade da lata estar abaixo do peso b Qual o número esperado de latas abaixo do peso se foram produzidas 200 latas Distribuição Normal Exemplo1 𝑋𝑁 105 0022 a 𝑃 𝑋 1 𝑃 𝑥𝜇 𝜎 1105 002 𝑃 𝑍 25 00062 b 𝑝 𝑃 𝑙𝑎𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑠𝑜 00062 𝑌𝐵 𝑛 𝑝 𝑌𝐵 200 00062 𝐸 𝑌 𝑛𝑝 200 00062 124 𝑙𝑎𝑡𝑎𝑠 Pela tabela da Distribuição Normal Padrão DISTNORMN1105002VERDADEIRO Distribuição Normal Padrão No Excel Distribuição Normal Exemplo2 Estudos meteorológicos indicam que a precipitação pluviométrica mensal em períodos de seca em certa região pode ser considerada como seguindo a distribuição Normal com média igual a 30mm e variância igual a 16mm2 a Qual seria o valor da precipitação pluviométrica de modo que exista apenas 10 de probabilidade de haver uma precipitação inferior a esse valor b Construa um intervalo central em torno da média que contenha 80 dos possíveis valores de precipitação pluviométrica MAGALHÃES LIMA 2009 p 220 Distribuição Normal Exemplo2 𝑋𝑁 30 42 a 𝑃 𝑋 𝑥 010 𝑃 𝑋 𝜇 𝜎 𝑥 𝜇 𝜎 010 𝑃 𝑍 𝑥 30 4 010 𝑥 30 4 12816 𝑥 2487 𝑚𝑚 Pela tabela da Distribuição Normal Padrão ou pela tabela da Distribuição Inversa da Normal Padrão mais direto Distribuição Normal Exemplo2 𝑋𝑁 30 42 b É solicitado 80 em torno da média portanto para manter a simetria faremos de 10 a 90 Do item anterior temos 𝑃 𝑍 128 010 e 𝑥 2487 𝑃 𝑋 𝑥 090 𝑃 𝑋 𝜇 𝜎 𝑥 𝜇 𝜎 090 𝑃 𝑍 𝑥 30 4 090 𝑥 30 4 12816 𝑥 3513 Portanto o intervalo 2487 3513 contém 80 dos possíveis valores de precipitação pluviométrica Pela tabela da Distribuição Normal Padrão ou apenas lembrando que a Distribuição Normal é simétrica Distribuição Inversa da Normal Padrão No Excel Distribuição Normal Exercício A resistência à compressão de amostras de cimento pode ser modelada por uma distribuição normal com uma média de 6000 quilogramas por centímetro quadrado e um desvio padrão de 100 quilogramas por centímetro quadrado a Qual é a probabilidade de a resistência da amostra ser menor do que 6250 kgcm2 b Qual é a probabilidade de a resistência da amostra estar entre 5800 e 5900 kgcm2 c Que resistência é excedida por 95 das amostras MONTGOMERY RUNGER 2018 p 101 Distribuição Normal Exercício X𝑁 6000 1002 a 𝑃 𝑋 6250 𝑃 𝑥𝜇 𝜎 62506000 100 𝑃 𝑍 25 09938 b 𝑃 5800 𝑋 5900 𝑃 58006000 100 𝑥𝜇 𝜎 59006000 100 𝑃 2 𝑍 1 𝑃 𝑍 1 𝑃 𝑍 2 01587 00228 01359 Pela tabela da Distribuição Normal Padrão Pela tabela da Distribuição Normal Padrão Distribuição Normal Exercício X𝑁 6000 1002 c Para encontrar o valor excedido por 95 das amostras é preciso encontrar o a valor associado a 5 10095 𝑃 𝑍 𝑥 6000 100 005 𝑥 6000 100 16449 𝑥 165 6000 𝑥 583551 Pela tabela Inversa da Distribuição Normal Padrão 005 16449 Distribuição Normal Propriedade Seja 𝑌 𝑎 𝑏1𝑋1 𝑏2𝑋2 com 𝑎 𝑏1e 𝑏2 constantes Se 𝑋1𝑁𝜇1 𝜎1 2 e 𝑋2𝑁𝜇2 𝜎1 2 e 𝑋1 𝑒 𝑋2 são va independentes então 𝑌𝑁𝜇𝑦 𝜎𝑦2 com 𝜇𝑦 𝑎 𝑏1𝜇1 𝑏2𝜇2 e 𝜎𝑦2 𝑏1 2𝜎1 2 𝑏2 2𝜎2 2 Seja 𝑋𝑖𝑁𝜇 𝜎2 e 𝑆 𝑋1 𝑋2 𝑋𝑛 com as v a 𝑋𝑖 independentes então 𝑆𝑁𝜇𝑆 𝜎𝑆 2 com 𝜇𝑆 𝜇 𝜇 𝜇 𝑛𝜇 e 𝜎𝑆 2 𝜎2 𝜎2 𝜎2 𝜎2 𝑛𝜎2 Distribuição Normal Propriedade Exemplo O consumo diário de combustível em um coletivo é uma variável aleatória normal com média de 100 litros e desvio padrão de 11 litros O litro do combustível custa 4000 por litro O motorista leva a conta ao proprietário após 30 dias de trabalho Se em dois períodos consecutivos a conta apresentada foi superior a 12660000 há motivo para se suspeitar da honestidade do motorista BACH BARIBOLDI p 122 Distribuição Normal Propriedade Exemplo Consumo diário 𝑋𝑁100 112 Consumo mensal 𝑌 𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋30 Pela propriedade 𝑌𝑁 30 100 30 112 𝑌𝑁 3000 3630 Custo mensal 𝑊 40𝑌 𝑊𝑁 40 3000 402 3630 𝑊𝑁 120000 5808000 𝑃 𝑊 126600 𝑃 𝑤 𝜇 𝜎 126600 120000 5808000 𝑃 𝑍 274 1 𝑃 𝑍 274 1 09969 00031 𝑃 2 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑎 126600 000312 000001 Portanto há evidências para suspeitar da honestidade do motorista Teorema Central do Limite Entendimento inicial Uma razão para a distribuição Normal ser considerada tão importante é porque qualquer que seja a distribuição da variável de interesse para grande amostras 𝑛 30 a distribuição das médias amostrais serão aproximadamente normalmente distribuídas e tenderão a uma distribuição normal à medida que o tamanho de amostra crescer Então podemos ter uma variável original com uma distribuição muito diferente da Normal pode até mesmo ser discreta mas se tomarmos várias amostras grandes desta distribuição e então fizermos um histograma das médias amostrais a forma se parecerá como uma curva Normal Para quem quiser se aprofundar httpsptkhanacademyorgmathapstatisticssamplingdistributionapsamplingdistribution meanvcentrallimittheorem httpswwwyoutubecomwatchvzEwTfIpSBE Teorema Central do Limite Entendimento inicial Fonte MAGALHÃES LIMA 2009 p 240 𝑋 𝐸𝑋𝑃𝜆 02 𝑋𝐵 𝑛 5 𝑝 02 𝑋𝑈 𝑎 1 𝑏 10 𝑓 𝑥 1 8 𝑠𝑒 0 𝑥 4 1 2 𝑠𝑒 4 𝑥 5 Teorema Central do Limite Definição Para qualquer amostra de tamanho 𝑛 moderadamente grande 𝑛 30 e para qualquer distribuição de probabilidades de uma variável aleatória 𝑋 com média 𝜇 e variância 𝜎2 a média terá sempre uma distribuição aproximadamente Normal ത𝑋𝑁 𝜇 𝜎2 𝑛 Demonstração httpswwwyoutubecomwatchvjKGhnQ1WCHYt181s Distribuição Binomial Triângulo de Pascal Aproximação a curva normal a demonstração da validade dessa aproximação é feita utilizando o Teorema Central do Limite quanto maior o n melhor a aproximação Tabuleiro de Galton Extra httpswwwyoutubecomwatchv9xUBhhM4vbM httpswwwyoutubecomwatchv4HpvBZnHOVI Para quem quiser se aprofundar httpswwwyoutubecomwatchvEy614BKT1wgt400s httpswwwyoutubecomwatchv9QuPHf1xi4 Distribuição t de Student Definição Seja 𝑍𝑁 0 1 𝑒 𝑌𝜒𝑛2 com 𝑍 e 𝑌 independentes Então 𝑡 𝑍 𝑌 𝑛 tem distribuição t de Student com 𝑛 graus de liberdade Se 𝑛 for grande a distribuição t de Student se aproxima da distribuição Normal Padrão 𝑍 𝐸 𝑡 0 e 𝑉 𝑡 𝑛 𝑛2 É uma das distribuições mais utilizadas na estatística com aplicações que vão desde a modelagem estatística até testes de hipóteses Ideia do sentido de graus de liberdade Considere um conjunto de dados qualquer Graus de liberdade é o número de valores deste conjunto de dados que podem variar após terem sido impostas certas restrições a outros valores Vídeo httpswwwyoutubecomwatchvRXvvhCng48 Distribuição t de Student Definição Uma variável aleatória contínua 𝑋 tem distribuição t de Student com 𝑛 𝑣 graus de liberdade denotada por 𝑡𝑛 se sua função densidade for dada por É uma função complexa por esse motivo assim como a distribuição Normal utilizamos tabelas para calcular as probabilidades Distribuição t de Student Definição A função densidade tem a mesma forma em sino da distribuição Normal mas reflete uma maior variabilidade com curvas mais alargadas que é de se esperar em amostras pequenas A distribuição tStudent se aproxima da normal quando aumenta o número de graus de liberdade Tabela t de student 𝑃𝑇 𝑡 𝑝 𝛼 gl 04000 02500 01000 00500 00250 00200 00100 00050 00025 00010 00005 1 0325 1000 3078 6314 12706 15894 31821 63656 127321 318289 636578 2 0289 0816 1886 2920 4303 4849 6965 9925 14089 22328 31600 3 0277 0765 1638 2353 3182 3482 4541 5841 7453 10214 12924 4 0271 0741 1533 2132 2776 2999 3747 4604 5598 7173 8610 5 0267 0727 1476 2015 2571 2757 3365 4032 4773 5894 6869 6 0265 0718 1440 1943 2447 2612 3143 3707 4317 5208 5959 7 0263 0711 1415 1895 2365 2517 2998 3499 4029 4785 5408 8 0262 0706 1397 1860 2306 2449 2896 3355 3833 4501 5041 9 0261 0703 1383 1833 2262 2398 2821 3250 3690 4297 4781 10 0260 0700 1372 1812 2228 2359 2764 3169 3581 4144 4587 11 0260 0697 1363 1796 2201 2328 2718 3106 3497 4025 4437 12 0259 0695 1356 1782 2179 2303 2681 3055 3428 3930 4318 13 0259 0694 1350 1771 2160 2282 2650 3012 3372 3852 4221 14 0258 0692 1345 1761 2145 2264 2624 2977 3326 3787 4140 15 0258 0691 1341 1753 2131 2249 2602 2947 3286 3733 4073 16 0258 0690 1337 1746 2120 2235 2583 2921 3252 3686 4015 17 0257 0689 1333 1740 2110 2224 2567 2898 3222 3646 3965 18 0257 0688 1330 1734 2101 2214 2552 2878 3197 3610 3922 19 0257 0688 1328 1729 2093 2205 2539 2861 3174 3579 3883 20 0257 0687 1325 1725 2086 2197 2528 2845 3153 3552 3850 21 0257 0686 1323 1721 2080 2189 2518 2831 3135 3527 3819 22 0256 0686 1321 1717 2074 2183 2508 2819 3119 3505 3792 23 0256 0685 1319 1714 2069 2177 2500 2807 3104 3485 3768 24 0256 0685 1318 1711 2064 2172 2492 2797 3091 3467 3745 25 0256 0684 1316 1708 2060 2167 2485 2787 3078 3450 3725 26 0256 0684 1315 1706 2056 2162 2479 2779 3067 3435 3707 27 0256 0684 1314 1703 2052 2158 2473 2771 3057 3421 3689 28 0256 0683 1313 1701 2048 2154 2467 2763 3047 3408 3674 29 0256 0683 1311 1699 2045 2150 2462 2756 3038 3396 3660 30 0256 0683 1310 1697 2042 2147 2457 2750 3030 3385 3646 31 0256 0682 1309 1696 2040 2144 2453 2744 3022 3375 3633 32 0255 0682 1309 1694 2037 2141 2449 2738 3015 3365 3622 33 0255 0682 1308 1692 2035 2138 2445 2733 3008 3356 3611 34 0255 0682 1307 1691 2032 2136 2441 2728 3002 3348 3601 35 0255 0682 1306 1690 2030 2133 2438 2724 2996 3340 3591 36 0255 0681 1306 1688 2028 2131 2434 2719 2990 3333 3582 37 0255 0681 1305 1687 2026 2129 2431 2715 2985 3326 3574 38 0255 0681 1304 1686 2024 2127 2429 2712 2980 3319 3566 39 0255 0681 1304 1685 2023 2125 2426 2708 2976 3313 3558 40 0255 0681 1303 1684 2021 2123 2423 2704 2971 3307 3551 41 0255 0681 1303 1683 2020 2121 2421 2701 2967 3301 3544 42 0255 0680 1302 1682 2018 2120 2418 2698 2963 3296 3538 43 0255 0680 1302 1681 2017 2118 2416 2695 2959 3291 3532 44 0255 0680 1301 1680 2015 2116 2414 2692 2956 3286 3526 45 0255 0680 1301 1679 2014 2115 2412 2690 2952 3281 3520 46 0255 0680 1300 1679 2013 2114 2410 2687 2949 3277 3515 47 0255 0680 1300 1678 2012 2112 2408 2685 2946 3273 3510 48 0255 0680 1299 1677 2011 2111 2407 2682 2943 3269 3505 49 0255 0680 1299 1677 2010 2110 2405 2680 2940 3265 3500 50 0255 0679 1299 1676 2009 2109 2403 2678 2937 3261 3496 60 0254 0679 1296 1671 2000 2099 2390 2660 2915 3232 3460 70 0254 0678 1294 1667 1994 2093 2381 2648 2899 3211 3435 80 0254 0678 1292 1664 1990 2088 2374 2639 2887 3195 3416 90 0254 0677 1291 1662 1987 2084 2368 2632 2878 3183 3402 100 0254 0677 1290 1660 1984 2081 2364 2626 2871 3174 3390 110 0254 0677 1289 1659 1982 2078 2361 2621 2865 3166 3381 120 0254 0677 1289 1658 1980 2076 2358 2617 2860 3160 3373 0253 0674 1282 1645 1960 2054 2326 2576 2807 3090 3290 Distribuição QuiQuadrado Definição A variável aleatória contínua 𝑋 tem distribuição QuiQuadrado com 𝑛 graus de liberdade denotada por 𝜒𝑛2 se 𝜒𝑛2 𝑍1 2 𝑍2 2 𝑍𝑛2 com 𝑍𝑖𝑁 01 𝐸 𝜒𝑛2 𝑛 e 𝑉 𝜒𝑛2 2𝑛 Interpretamos como a soma de normais padronizada ao quadrado Possui aplicações importantes em estatística inferencial como verificar existência de associação entre variáveis e testes de hipóteses além disso a variância amostral 𝑆2 se distribui conforme a distribuição quiquadrado com 𝑛 1 graus de liberdade A função densidade de probabilidade é dada por É uma função complexa por esse motivo assim como a distribuição Normal utilizamos tabelas para calcular as probabilidades Distribuição QuiQuadrado Definição Tabela Quiquadrado gl 0995 099 0975 095 09 01 005 0025 001 0005 1 0000 0000 0001 0004 0016 2706 3841 5024 6635 7879 2 0010 0020 0051 0103 0211 4605 5991 7378 9210 10597 3 0072 0115 0216 0352 0584 6251 7815 9348 11345 12838 4 0207 0297 0484 0711 1064 7779 9488 11143 13277 14860 5 0412 0554 0831 1145 1610 9236 11070 12832 15086 16750 6 0676 0872 1237 1635 2204 10645 12592 14449 16812 18548 7 0989 1239 1690 2167 2833 12017 14067 16013 18475 20278 8 1344 1647 2180 2733 3490 13362 15507 17535 20090 21955 9 1735 2088 2700 3325 4168 14684 16919 19023 21666 23589 10 2156 2558 3247 3940 4865 15987 18307 20483 23209 25188 11 2603 3053 3816 4575 5578 17275 19675 21920 24725 26757 12 3074 3571 4404 5226 6304 18549 21026 23337 26217 28300 13 3565 4107 5009 5892 7041 19812 22362 24736 27688 29819 14 4075 4660 5629 6571 7790 21064 23685 26119 29141 31319 15 4601 5229 6262 7261 8547 22307 24996 27488 30578 32801 16 5142 5812 6908 7962 9312 23542 26296 28845 32000 34267 17 5697 6408 7564 8672 10085 24769 27587 30191 33409 35718 18 6265 7015 8231 9390 10865 25989 28869 31526 34805 37156 19 6844 7633 8907 10117 11651 27204 30144 32852 36191 38582 20 7434 8260 9591 10851 12443 28412 31410 34170 37566 39997 21 8034 8897 10283 11591 13240 29615 32671 35479 38932 41401 22 8643 9542 10982 12338 14041 30813 33924 36781 40289 42796 23 9260 10196 11689 13091 14848 32007 35172 38076 41638 44181 24 9886 10856 12401 13848 15659 33196 36415 39364 42980 45558 25 10520 11524 13120 14611 16473 34382 37652 40646 44314 46928 26 11160 12198 13844 15379 17292 35563 38885 41923 45642 48290 27 11808 12878 14573 16151 18114 36741 40113 43195 46963 49645 28 12461 13565 15308 16928 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27575 29787 32487 56369 60481 64201 68710 71892 45 24311 25901 28366 30612 33350 57505 61656 65410 69957 73166 46 25041 26657 29160 31439 34215 58641 62830 66616 71201 74437 47 25775 27416 29956 32268 35081 59774 64001 67821 72443 75704 48 26511 28177 30754 33098 35949 60907 65171 69023 73683 76969 49 27249 28941 31555 33930 36818 62038 66339 70222 74919 78231 50 27991 29707 32357 34764 37689 63167 67505 71420 76154 79490 60 35534 37485 40482 43188 46459 74397 79082 83298 88379 91952 70 43275 45442 48758 51739 55329 85527 90531 95023 100425 104215 80 51172 53540 57153 60391 64278 96578 101879 106629 112329 116321 90 59196 61754 65647 69126 73291 107565 113145 118136 124116 128299 100 67328 70065 74222 77929 82358 118498 124342 129561 135807 140170 P2 valor tabelado Distribuição F Definição Se 𝑋 e 𝑌 são variáveis aleatórias com distribuição quiquadrado com 𝑚 e 𝑛 graus de liberdade respectivamente então se diz que a variável aleatória 𝐹 𝑋𝑚 𝑌𝑛 tem distribuição 𝐹 com 𝑚 e 𝑛 graus de liberdade Uma variável aleatória contínua 𝑋 tem distribuição 𝐹 de Fisher com 𝑚𝑣1 e 𝑛𝑣2 graus de liberdade se sua função densidade for dada por É uma função complexa por esse motivo assim como a distribuição Normal utilizamos tabelas para calcular as probabilidades Tabela F de Fisher 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 2 1 1614462 1994995 2157067 2245833 2301604 2339875 2367669 2388842 2405432 2418819 2439047 2459492 2480156 2490524 2500965 2511442 2521956 2532543 2 185128 190000 191642 192467 192963 193295 193531 193709 193847 193959 194125 194291 194457 194541 194625 194707 194791 194873 3 101280 95521 92766 91172 90134 89407 88867 88452 88123 87855 87447 87028 86602 86385 86166 85944 85720 85494 4 77086 69443 65914 63882 62561 61631 60942 60410 59988 59644 59117 58578 58025 57744 57459 57170 56878 56581 5 66079 57861 54094 51922 50503 49503 48759 48183 47725 47351 46777 46188 45581 45272 44957 44638 44314 43985 6 59874 51432 47571 45337 43874 42839 42067 41468 40990 40600 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24753 24034 23275 22878 22468 22043 21601 21141 16 44940 36337 32389 30069 28524 27413 26572 25911 25377 24935 24247 23522 22756 22354 21938 21507 21058 20589 17 44513 35915 31968 29647 28100 26987 26143 25480 24943 24499 23807 23077 22304 21898 21477 21040 20584 20107 18 44139 35546 31599 29277 27729 26613 25767 25102 24563 24117 23421 22686 21906 21497 21071 20629 20166 19681 19 43808 35219 31274 28951 27401 26283 25435 24768 24227 23779 23080 22341 21555 21141 20712 20264 19795 19302 20 43513 34928 30984 28661 27109 25990 25140 24471 23928 23479 22776 22033 21242 20825 20391 19938 19464 18963 21 43248 34668 30725 28401 26848 25727 24876 24205 23661 23210 22504 21757 20960 20540 20102 19645 19165 18657 22 43009 34434 30491 28167 26613 25491 24638 23965 23419 22967 22258 21508 20707 20283 19842 19380 18894 18380 23 42793 34221 30280 27955 26400 25277 24422 23748 23201 22747 22036 21282 20476 20050 19605 19139 18648 18128 24 42597 34028 30088 27763 26207 25082 24226 23551 23002 22547 21834 21077 20267 19838 19390 18920 18424 17896 25 42417 33852 29912 27587 26030 24904 24047 23371 22821 22365 21649 20889 20075 19643 19192 18718 18217 17684 26 42252 33690 29752 27426 25868 24741 23883 23205 22655 22197 21479 20716 19898 19464 19010 18533 18027 17488 27 42100 33541 29603 27278 25719 24591 23732 23053 22501 22043 21323 20558 19736 19299 18842 18361 17851 17307 28 41960 33404 29467 27141 25581 24453 23593 22913 22360 21900 21179 20411 19586 19147 18687 18203 17689 17138 29 41830 33277 29340 27014 25454 24324 23463 22782 22229 21768 21045 20275 19446 19005 18543 18055 17537 16981 30 41709 33158 29223 26896 25336 24205 23343 22662 22107 21646 20921 20148 19317 18874 18409 17918 17396 16835 40 40847 32317 28387 26060 24495 23359 22490 21802 21240 20773 20035 19245 18389 17929 17444 16928 16373 15766 60 40012 31504 27581 25252 23683 22541 21665 20970 20401 19926 19174 18364 17480 17001 16491 15943 15343 14673 120 39201 30718 26802 24472 22899 21750 20868 20164 19588 19105 18337 17505 16587 16084 15543 14952 14290 13519 5