Vetores e uma Iniciação a Geometria Analítica Dorival Mello e Renate Watanabe 1

Vetores e uma iniciação à Geometria Analítica Dorival A. de Mello Renate G. Watanabe Livraria FI$CO Editora Copyright © 2011 Editora Livraria da Fïsica 1ª Edição Direção Editorial José Roberto Murialdo Capa Antonio Manuel Alves Moreira Diagramação Antonio Manuel Alves Moreira Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Mello, Dorival A. de Vetores e uma iniciação à geometria analítica / Dorival A. de Mello, Renate G. Watanabe. — São Paulo : Editora Livraria da Fïsica, 2011. Bibliografia. ISBN 978-85-7867-065-9 1. Geometria analítica 2. Vetores (Matemática) I. Watanabe, Renate G., II. Título. 11-09843 CDD-516.3 Índices para catálogo sistemático: 1. Geometria analítica : Matemática 516.3 2. Vetores : Geometria : Matemática 516.182 FI$CO Editora Editora Livraria da Física www.livrariadafisica.com.br Para você, estudante É consenso que pessoas como você, que futuramente vão atuar em alguma área ligada às ciências exatas, devem adquirir noções básicas de Matemática — e mais do que isso — devem desenvolver a habilidade de resolver problemas com ferramentas da Matemática. A noção de vetor é básica em Matemática. Num curso, como o de Vetores, o papel principal é sempre o seu. É na sua cabeça que precisa assimilar o conhecimento e na que precisam se estabelecer as misteriosas conexões que resultarão no "saber". Por isso é tão essencial que você participe ativamente do curso. Faça exercícios, de preferência todos os dias. Converse com seus colegas sobre a matéria, troque informações, pergunte o que você não entender e ensine o que você já aprendeu. Não tenha medo de errar — erro é útil para o aprendizado. Não tenha vergonha de perguntar. Tenha vergonha, sim, de não perguntar se você achar alguma dificuldade. No que couber aos, professores e livros têm como principal objetivo ajudá-lo a querer a aprender. Com votos de sucesso, nossos desejo é que você encontre neste livro o apoio necessário para completar, com muito sucesso, um curso inicial sobre Vetores. Dorival A. de Mello Renate G. Watanabe SUMÁRIO Capítulo 1 - Vetores 1.1 Segmentos orientados ......................................... 01 1.2 Segmentos equipolentes ........................................ 02 1.3 Vetor .......................................................... 04 1.4 Adição de vetores ............................................. 07 1.5 Multiplicação de um vetor por um número real .................. 10 1.6 Exercícios propostos e respostas ............................... 15 Capítulo 2 - Dependência Linear e Bases 2.1 Combinação linear ........................................... 21 2.2 Vetores linearmente dependentes e independentes .............. 24 2.3 Bases geométricas: a dependência linear ...................... 27 2.4 Bases e coordenadas .......................................... 29 2.5 Operação com vetores dados pelas suas coordenadas ............ 32 2.6 Dependência linear (método de comparação) .................... 34 2.7 Bases determinantes .......................................... 36 2.8 Exercícios resolvidos ......................................... 38 2.9 Exercícios propostos e respostas ............................... 41 Capítulo 3 - Produto Escalar 3.1 Produto escalar .............................................. 45 3.2 Projeção ortogonal ............................................ 47 3.3 Angulo entre dois vetores e produto escalar ................... 48 3.4 Igualdade angular e lei do cosseno ........................... 50 3.5 Bases ortonormais ............................................. 55 3.6 Eixos diferentes e produto escalar ............................. 51 3.7 Exercícios resolvidos ......................................... 56 3.8 Exercícios propostos e respostas ............................... 59 Capítulo 4 - Produto Vetorial 4.1 Orientação de eixos .......................................... 63 4.2 Produto vetorial ............................................... 65 4.3 Produto vetorial de dois vetores dados pelas suas coordenadas ... 67 4.4 Bases ortogonais e produto vetorial ........................... 70 4.5 Produto vetorial e base ortonormal ............................. 72 4.6 Desigualdade triangular e produto vetorial .................... 74 4.7 Deflexão do fenômeno ......................................... 76 4.8 Exercícios propostos e respostas ............................... 77 CAPÍTULO 5 - Produto Misto ........... 82 5.1 Invariabilidade do produto misto e suas propriedades .......... 82 5.2 Calculo.................................. 84 5.3 Aplicações.................................. 86 5.4 Exercicios resolvidos................. 88 5.5 Exercicios propostos e respostas....... 88 CAPÍTULO 6 - Sistema de Coordenadas no Espaço. Estudo da Reta ............... 90 6.1 Introdução.................................... 90 6.2 O sistema de coordenadas no espaço... 91 6.3 Relação entre coordenadas de vetores e de pontos.......... 92 6.4 Ponto médio de um segmento............ 95 6.5 Equações da reta........................... 97 6.6 Exercícios resolvidos.................. 102 6.7 Exercícios propostos e respsotas......... 106 CAPÍTULO 7 - Estudo do Plano .......... 107 7.1 Equações do plano....................... 108 7.2 Posição de um ponto com relação ao plano.............. 112 7.3 Vetor normal ao plano................. 112 7.4 Posição de uma reta com relação a um plano......... 114 7.5 Exercícios resolvidos.................. 116 7.6 Exercícios propostos e respostas.... 119 CAPITULO 8 - Superfície esférica.......... 125 8.1 Superfície esférica: alguns teoremas........ 127 8.2 Superfícies esféricas: posições relativas........... 131 8.3 Exercícios resolvidos......... 135 8.4 Exercícios propostos e respostas... 136 Exercícios Adicionais......... 138 Respostas.............. 146 Apendice - Cônicas.............. 173 CAPÍTULO I VETORES 1.1. SEGMENTOS ORIENTADOS Sejam A e B dois pontos de uma reta. Chama-se segmento AB ao conjunto formado pelos pontos A, B e todos os pontos C que estão entre A e B. Ao segmento AB estão associados, de modo natural, duas ideias: uma medida, que é um número real; e, numa unidade previamente eleita, a medida (ou o comprimento) do segmento AB; e a noção de direção. O segmento orientado AB é a generalização pelos pontos A e B, como se esses pontos se encontrassem e, no caso, A é, o que dizemos, a "origem" do segmento; enquanto que é ponto de "extremidade". Se indicarmos a "origem" por convensão tem-se: Se BC é uma segmento de comprimento c, escrevemos ABRBC. Assim voltamos designar o segmento orientado AB é AB = BC. Ao segmento orientado se escreve com sentido "positivo" uma escrevemos atingindo a partir do sentido. Se o sentido não influencia, esses são caso opostos se o representamos: {A B}, {B,A}. Pode definir um sentido do segmento orientado AB como sentido em que esse é um segmento orientado nulo, pelo que não possui direção. Se AB é origem primitiva em A, há dois definições são equivalentes. 1) Os segmentos orientados AB e BA são iguais. 2) A e B, se somente AA –A uma 0, então AA > 0, podemos entender AA como um segmento orientado nulo. Feliz ele é um numero real.