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Prof Me Francisco Antonio Kraemer Condução do Calor Disciplina de Fenômenos de Transporte 2 Condução do Calor 21 Introdução a Condução de Calor Na seção anterior vimos que a equação que governa a transferência de calor por condução é a Lei de Fourier A Lei de Fourier foi desenvolvida a partir de fenômenos observados ao invés de ser derivada a partir de princípios fundamentais Considere o seguinte exemplo de condução de calor em regime estacionário T1 T2 ΔT Diferença de Temperatura A Área ΔX Comprimento do Bastão A Lei de Fourier se aplica a todo material independente do seu estado físico 2 Condução do Calor 21 Introdução a Condução de Calor Se mudar o material de ferro para um plastico observariamos que a proporcionalidade anterior permanece válida No entanto para valores idênticos de ΔT ΔX e A foi observado que qx é menor para o plástico do que para o metal Concluímos que a proporcionalidade pode ser convertida em uma igualdade pela introdução de um coeficiente que é uma medida do material assim Unidimensional Condutividade Térmica Wmc 2 Condução do Calor 21 Introdução a Condução de Calor Se mudar o material de ferro para um plastico observariamos que a proporcionalidade anterior permanece válida No entanto para valores idênticos de ΔT ΔX e A foi observado que qx é menor para o plástico do que para o metal Concluímos que a proporcionalidade pode ser convertida em uma igualdade pela introdução de um coeficiente que é uma medida do material assim Unidimensional Condutividade Térmica Wmc 2 Condução do Calor 21 Introdução a Condução de Calor Se levarmos em consideração a Lei de Fourier de forma tridimensional em regime estacionário podemos descrever Lei de Fourier tridimensional para taxa de transferência de calor 2 Condução do Calor 22 As Propriedades Térmicas da Matéria Vimos que para utilizar a Lei de Fourier devemos conhecer a condutividade térmica do material esta propriedade depende das estruturas fisicas da materia que esta relacionada ao estado da matéria 221 Condutividade Térmica a partir da Lei de Fourier associada a condução na direção x y e z são definidas como 2 Condução do Calor Estado Sólido um sólido pode ser composto por elétrons livres a átomos em um arranjo periódico da teoria cinética fornece a expressão a seguir 221 Condutividade Térmica a partir da Lei de Fourier associada a condução na direção x y e z são definidas como Experimentalmente Teoria da Cinética 2 Condução do Calor Materiais Condutores C Ce calor específico do elétron por unidade de volume Ć velocidade média do elétron λIpm λe é o livre percurso médio do elétron 221 Condutividade Térmica a partir da Lei de Fourier associada a condução na direção x y e z são definidas como Materiais não Condutores C Cf calor específico do fônon Ć velocidade média do som λIpm λf é o livre percurso médio do fônon 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor O objetivo de uma análise da condução de calor é determinar a distribuição de temperatura que representa como a temperatura varia com a posição no meio Determinando a distribuição de temperatura o fluxo de calor por condução pode ser determinado em qualquer ponto Considere um meio homogêneo no inferior no qual não há advecção e a distribuição de energia temperatura está representada em coordenadas cartesianas As taxas de transferência de calor por condução são indicadas pelos termos 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor 1 passo aplicar a série de Taylor desprezando os termos de origem superior No interior do volume pode haver o termo Fonte de Energia associado a taxa de geração de térmica 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor A geração de energia é a manifestação de algum processo de conversão de energia como Energia química elétrica ou nuclear O termo é positivo uma fonte se a energia térmica esta sendo gerada O termo é negativo um sumidouro se a energia térmica é consumida Quando os efeitos de energia latente não são pertinentes o termo referese ao acúmulo de energia Taxa de variação com o tempo de energia sensível no meio 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor 2 passo Aplicar a conservação de energia Substituindo as frações de energia que entra sai acúmulo e geração obtemos Reorganizando e substituindo as variações dx dy e dz 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor Considerando q como a taxa de transferência de calor por condução através da equação de fourier devemos considerar Substituindo conseguimos descrever a Equação da Difusão do Calor 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor 𝒫cp capacidade do material em armazenar energia 𝛼k𝒫cp mede a capacidade do material de conduzir energia em relação ao que pode armazenar 𝛼 difusividade térmica A equação da difusão do calor postula que em qualquer ponto do meio a taxa líquida de transferência de energia por condução para o interior de um volume unitário somado a taxa volumétrica de geração de energia térmica deve ser igual a taxa de variação da energia térmica acumulada no interior deste volume 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor Se a condutividade térmica for constante k Cte 𝛼k𝒫cp A equação do calor é dividida por k e vamos ter Para condições de regime estacionário onde não haverá variação na quantidade de energia armazenada vamos ter 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor Além disso se a transferência de calor for unidimensional por exemplo na direção x e não haver geração de energia a equação se reduz para 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor A equação do calor também pode ser escrita em coordenadas cilíndricas e esféricas Os volumes de controles diferenciais para esses dois sistemas de coordenadas são mostradas a seguir Coordenadas Cilíndricas Quando o operador grad é representado em coordenadas cilíndricas a forma geral do vetor fluxo térmico e portanto da Lei de Fourier 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor A equação de Fourier para coordenadas cilíndricas é Na qual são componentes do fluxo térmico nas direções radial circunferencial e axial respectivamente 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor Aplicando um balanço de energia no volume de controle diferencial da figura é obtida a forma geral da equação do calor a seguir 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor Em coordenadas esféricas a forma geral do vetor fluxo térmico e da Lei de Fourier é 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor A equação de Fourier para coordenadas esféricas é Na qual são componentes do fluxo térmico nas direções radial polar e azimutal respectivamente 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor Aplicando um balanço de energia no volume de controle diferencial da figura é obtida a forma geral da equação do calor a seguir 2 Condução do Calor 23 Exemplo A distribuição de temperatura ao longo de uma parede com espessura de 1m em determinado ponto instante de tempo é dada por Tx a bx cx² na qual T está em graus celsius e x em metros enquanto a 900C b 300Cm e c 50Cm² Umas geração de calor uniforme q 1000 Wm³ está presente na parede cuja área é de 10 m² O seu material apresenta as seguintes propriedades 𝒫 1600 Kgm³ k40 WmC e cp 4 KJKgK 1 Determine a taxa de transferência de calor que entra na parede x0 e que deixa a parede x1 2 Determine a taxa de variação de energia acumulada na parede 3 Determine a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo nas posições x 0 025 e 05 Prof Me Francisco Kraemer 2 Condução do Calor 24 Condições de Contorno Para se determinar a distribuição de temperatura Ex Tx c1x c2 em um meio é necessário resolver a forma apropriada da equação do calor Tal solução depende das condições físicas existentes nas fronteiras do meio e se a situação variar com o meio tempo a solução também depende das condições existentes no meio em alguns instante inicial Com a relação as condições nas fronteiras ou condições de contorno há várias possibilidades comuns expressas em formas matemáticas Dessa forma podemos dividir as condições de contorno de três maneiras 2 Condução do Calor 24 Condições de Contorno 1 Condição de DIRICHLet ou condição de primeira espécie temperatura da superfície constante 2 Condução do Calor 24 Condições de Contorno 2 Condição de NEUMANN ou fluxo térmico na superfície constante ou condição de segunda espécie fluxo térmico constante superfície adiabática 2 Condução do Calor 24 Condições de Contorno 3 Condição de ROBIN ou condição de terceira espécie Convecção na Superfície 2 Condução do Calor 241 Exemplo Uma parede feita de madeira carvalho com espessura de 10cm é mantida a temperatura constante de T135C T2 15C lados externos e internos respectivamente determine a A temperatura para os pontos de 18 cm 26 cm 34 cm e 88 cm b O fluxo de calor sob a condição permanente 2 Condução do Calor 242 Exemplo Dona Tereza tem um ferro de passar roupas de 250W com uma base de 07 cm de espessura e área de 250 cm² A condutividade térmica do material da base é de 18Wm C A superfície interna é submetida a um fluxo de calor uniforme gerado pela resistência interna enquanto a superfície externa perde calor para o meio T 25C por convecção h 80Wm²C despreze a radiação e determine a A expressão para variação de temperatura na placa da base do ferro b A temperatura na superfície interna e externa da base 2 Condução do Calor 24 Exemplo Incropera Uma longa barra de cobre com seção transversal retangular cuja largura w é muito maior que sua espessura L mantida em contato com um sumidouro de calor na sua superfície inferior e a temperatura ao longo da barra é aproximadamente a do sumidouro To Subitamente um corrente elétrica é passada através da barra e uma corrente de ar com temperatura T é passada sobre sua superfície superior enquanto a superfície inferior continua mantida a To Obtenha a equação diferencial e as condições iniciais e de contorno que podem ser usadas para determinar a temperatura em função da posição e do tempo na barra
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Prof Me Francisco Antonio Kraemer Condução do Calor Disciplina de Fenômenos de Transporte 2 Condução do Calor 21 Introdução a Condução de Calor Na seção anterior vimos que a equação que governa a transferência de calor por condução é a Lei de Fourier A Lei de Fourier foi desenvolvida a partir de fenômenos observados ao invés de ser derivada a partir de princípios fundamentais Considere o seguinte exemplo de condução de calor em regime estacionário T1 T2 ΔT Diferença de Temperatura A Área ΔX Comprimento do Bastão A Lei de Fourier se aplica a todo material independente do seu estado físico 2 Condução do Calor 21 Introdução a Condução de Calor Se mudar o material de ferro para um plastico observariamos que a proporcionalidade anterior permanece válida No entanto para valores idênticos de ΔT ΔX e A foi observado que qx é menor para o plástico do que para o metal Concluímos que a proporcionalidade pode ser convertida em uma igualdade pela introdução de um coeficiente que é uma medida do material assim Unidimensional Condutividade Térmica Wmc 2 Condução do Calor 21 Introdução a Condução de Calor Se mudar o material de ferro para um plastico observariamos que a proporcionalidade anterior permanece válida No entanto para valores idênticos de ΔT ΔX e A foi observado que qx é menor para o plástico do que para o metal Concluímos que a proporcionalidade pode ser convertida em uma igualdade pela introdução de um coeficiente que é uma medida do material assim Unidimensional Condutividade Térmica Wmc 2 Condução do Calor 21 Introdução a Condução de Calor Se levarmos em consideração a Lei de Fourier de forma tridimensional em regime estacionário podemos descrever Lei de Fourier tridimensional para taxa de transferência de calor 2 Condução do Calor 22 As Propriedades Térmicas da Matéria Vimos que para utilizar a Lei de Fourier devemos conhecer a condutividade térmica do material esta propriedade depende das estruturas fisicas da materia que esta relacionada ao estado da matéria 221 Condutividade Térmica a partir da Lei de Fourier associada a condução na direção x y e z são definidas como 2 Condução do Calor Estado Sólido um sólido pode ser composto por elétrons livres a átomos em um arranjo periódico da teoria cinética fornece a expressão a seguir 221 Condutividade Térmica a partir da Lei de Fourier associada a condução na direção x y e z são definidas como Experimentalmente Teoria da Cinética 2 Condução do Calor Materiais Condutores C Ce calor específico do elétron por unidade de volume Ć velocidade média do elétron λIpm λe é o livre percurso médio do elétron 221 Condutividade Térmica a partir da Lei de Fourier associada a condução na direção x y e z são definidas como Materiais não Condutores C Cf calor específico do fônon Ć velocidade média do som λIpm λf é o livre percurso médio do fônon 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor O objetivo de uma análise da condução de calor é determinar a distribuição de temperatura que representa como a temperatura varia com a posição no meio Determinando a distribuição de temperatura o fluxo de calor por condução pode ser determinado em qualquer ponto Considere um meio homogêneo no inferior no qual não há advecção e a distribuição de energia temperatura está representada em coordenadas cartesianas As taxas de transferência de calor por condução são indicadas pelos termos 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor 1 passo aplicar a série de Taylor desprezando os termos de origem superior No interior do volume pode haver o termo Fonte de Energia associado a taxa de geração de térmica 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor A geração de energia é a manifestação de algum processo de conversão de energia como Energia química elétrica ou nuclear O termo é positivo uma fonte se a energia térmica esta sendo gerada O termo é negativo um sumidouro se a energia térmica é consumida Quando os efeitos de energia latente não são pertinentes o termo referese ao acúmulo de energia Taxa de variação com o tempo de energia sensível no meio 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor 2 passo Aplicar a conservação de energia Substituindo as frações de energia que entra sai acúmulo e geração obtemos Reorganizando e substituindo as variações dx dy e dz 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor Considerando q como a taxa de transferência de calor por condução através da equação de fourier devemos considerar Substituindo conseguimos descrever a Equação da Difusão do Calor 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor 𝒫cp capacidade do material em armazenar energia 𝛼k𝒫cp mede a capacidade do material de conduzir energia em relação ao que pode armazenar 𝛼 difusividade térmica A equação da difusão do calor postula que em qualquer ponto do meio a taxa líquida de transferência de energia por condução para o interior de um volume unitário somado a taxa volumétrica de geração de energia térmica deve ser igual a taxa de variação da energia térmica acumulada no interior deste volume 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor Se a condutividade térmica for constante k Cte 𝛼k𝒫cp A equação do calor é dividida por k e vamos ter Para condições de regime estacionário onde não haverá variação na quantidade de energia armazenada vamos ter 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor Além disso se a transferência de calor for unidimensional por exemplo na direção x e não haver geração de energia a equação se reduz para 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor A equação do calor também pode ser escrita em coordenadas cilíndricas e esféricas Os volumes de controles diferenciais para esses dois sistemas de coordenadas são mostradas a seguir Coordenadas Cilíndricas Quando o operador grad é representado em coordenadas cilíndricas a forma geral do vetor fluxo térmico e portanto da Lei de Fourier 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor A equação de Fourier para coordenadas cilíndricas é Na qual são componentes do fluxo térmico nas direções radial circunferencial e axial respectivamente 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor Aplicando um balanço de energia no volume de controle diferencial da figura é obtida a forma geral da equação do calor a seguir 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor Em coordenadas esféricas a forma geral do vetor fluxo térmico e da Lei de Fourier é 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor A equação de Fourier para coordenadas esféricas é Na qual são componentes do fluxo térmico nas direções radial polar e azimutal respectivamente 2 Condução do Calor 23 Equação da Difusão do Calor Aplicando um balanço de energia no volume de controle diferencial da figura é obtida a forma geral da equação do calor a seguir 2 Condução do Calor 23 Exemplo A distribuição de temperatura ao longo de uma parede com espessura de 1m em determinado ponto instante de tempo é dada por Tx a bx cx² na qual T está em graus celsius e x em metros enquanto a 900C b 300Cm e c 50Cm² Umas geração de calor uniforme q 1000 Wm³ está presente na parede cuja área é de 10 m² O seu material apresenta as seguintes propriedades 𝒫 1600 Kgm³ k40 WmC e cp 4 KJKgK 1 Determine a taxa de transferência de calor que entra na parede x0 e que deixa a parede x1 2 Determine a taxa de variação de energia acumulada na parede 3 Determine a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo nas posições x 0 025 e 05 Prof Me Francisco Kraemer 2 Condução do Calor 24 Condições de Contorno Para se determinar a distribuição de temperatura Ex Tx c1x c2 em um meio é necessário resolver a forma apropriada da equação do calor Tal solução depende das condições físicas existentes nas fronteiras do meio e se a situação variar com o meio tempo a solução também depende das condições existentes no meio em alguns instante inicial Com a relação as condições nas fronteiras ou condições de contorno há várias possibilidades comuns expressas em formas matemáticas Dessa forma podemos dividir as condições de contorno de três maneiras 2 Condução do Calor 24 Condições de Contorno 1 Condição de DIRICHLet ou condição de primeira espécie temperatura da superfície constante 2 Condução do Calor 24 Condições de Contorno 2 Condição de NEUMANN ou fluxo térmico na superfície constante ou condição de segunda espécie fluxo térmico constante superfície adiabática 2 Condução do Calor 24 Condições de Contorno 3 Condição de ROBIN ou condição de terceira espécie Convecção na Superfície 2 Condução do Calor 241 Exemplo Uma parede feita de madeira carvalho com espessura de 10cm é mantida a temperatura constante de T135C T2 15C lados externos e internos respectivamente determine a A temperatura para os pontos de 18 cm 26 cm 34 cm e 88 cm b O fluxo de calor sob a condição permanente 2 Condução do Calor 242 Exemplo Dona Tereza tem um ferro de passar roupas de 250W com uma base de 07 cm de espessura e área de 250 cm² A condutividade térmica do material da base é de 18Wm C A superfície interna é submetida a um fluxo de calor uniforme gerado pela resistência interna enquanto a superfície externa perde calor para o meio T 25C por convecção h 80Wm²C despreze a radiação e determine a A expressão para variação de temperatura na placa da base do ferro b A temperatura na superfície interna e externa da base 2 Condução do Calor 24 Exemplo Incropera Uma longa barra de cobre com seção transversal retangular cuja largura w é muito maior que sua espessura L mantida em contato com um sumidouro de calor na sua superfície inferior e a temperatura ao longo da barra é aproximadamente a do sumidouro To Subitamente um corrente elétrica é passada através da barra e uma corrente de ar com temperatura T é passada sobre sua superfície superior enquanto a superfície inferior continua mantida a To Obtenha a equação diferencial e as condições iniciais e de contorno que podem ser usadas para determinar a temperatura em função da posição e do tempo na barra