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Engenharia de Software ·
Matemática Aplicada
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Avaliação de Matemática Aplicada 1 Dê a ordem da equação diferencial e confirme que as funções da família dada são soluções 2 Resolva as equações diferenciais por separação de variáveis 4 Em aplicações físicas muitas vezes é necessário lidar com quantidades vetoriais que dependem não apenas da posição no espaço mas também do tempo Dê alguns exemplos e discuta como o conceito de campo vetorial deveria ser alterado para ser aplicável a essas situações 4 1 x4 dydx x3y y dy x3 1 x4 dx y dy x3 1 x4 dx y22 du 4u y22 14 lnu C u 1 x4 du 4x3 dx x3 du du4 y22 14 ln 1 x4 C y sqrt12 ln 1 x4 C 5 2 2 y2 dydx ex y 2 2 y2 y dy ex dx 2y 2 y dy ex dx 2 ln y y2 ex C 6 dydx x y dyy x dx dyy x dx lny x22 C y k ex22 y k ex22 k 0 7 ey sin x dydx cos2 x ey dy dx sin x cos2 x ey dy sin x cos2 x dx u cos x du sin x dx sin x dx du ey du u2 ey e1 C ey 1 cos x c y ln sec x C 2 1 Orden e confirmar os soluções 3 a 1 x dydx y y c 1 x dydx c 1 x c logo y c 1 x é solução Orden 1 b y y 0 y c₁ sint c₂ cost y c₁ cost c₂ sint y c₁ sint c₂ cost y y c₁ sint c₂ cost c₁ sint c₂ cost 0 logo y é solução da EDO dada quei é de 2ª orden 4 a 2 dydx y x 1 y cex2 x 3 dydx 12 c ex2 1 2 dydx y 2 12 c ex2 1 c ex2 x 3 c ex2 2 c ex2 x 3 x 1 logo y é solução da EDO dada que é de ordem 1 3 b y y 0 y c₁ et c₂ et y c₁ et c₂ et y c₁ et c₂ et y y c₁ et c₂ et c₁ et c₂ et 0 logo y é solução da EDO de ordem 1 2 a 1 dydx yx dyy dxx dyy dxx lny lnx C y e lnx C e lnx ec y k x k 0 2 dydx 2 1 y2 x dy 1 y2 2x dx dy 1 y2 2x dx arctan y x2 C y tan x2 C 3 sqrt1 x2 1 y dydx x dydx x dx 1 y dy 1 y x dx sqrt1 x2 ln 1 y 12 du sqrtu ln 1 y 12 u12 C ln 1 y sqrt1 x2 C 1 y k e sqrt1 x2 y k e sqrt1 x2 1 8 dydx 1 x 1 y2 dy1 y2 1 x dx dy1 y2 1 x dx arctan y x x22 C y tanx x22 C 9 dydx y2 ysin x dyy2 y dxsin x dyyy 1 cossce x dx 1yy 1 Ay By 1 y 1A By yy 1 A By A yy 1 A B 0 A 1 A 1 B 1 1yy 1 1y 1 1y dyyy 1 1y 1 dy 1y dy lny 1 ln y lny 1y I II cossce x dx cossce x cotg x logo lny 1y cossce x C é a solução 4 10 y dydx sec x dxsec x dyy dxsec x dyy cos x dx dyy lny sin x C y kesin x k 0 3 zxy 2x3 3y2 2 Du f11 onde u 22 Primeiro normalizamos u 1sqrt22 22 22 12sqrt 2 22 1sqrt 2 1sqrt 2 Du f11 f11 1sqrt 2 1sqrt 2 fx 11 fy 11 1sqrt 2 1sqrt 2 6x2 6y 11 1sqrt 2 1sqrt 2 66 1sqrt 2 1sqrt 2 6sqrt 2 6sqrt 2 0 4 O campo vetorial F xyz fxyzt gxyzt hxyzt é uma função de R3 em R3 que depende apenas do espaço xyz Para fazerlo dependente t do tempo basta acrescentar ao variável t como independente para ter mos uma função vetorial de R4 em R4 e assim esse conceito levar em conta o cálculo de fluxos em regime não estacionário por exemplo F R4 R4 xyzt Fxyzt fxyzt gxyzt hxyzt conceito extremamente útil na física e engenharias O grande Teorema que relaciona esses conceitos é o Teorema do Divergente igualamos uma integral de superfície com uma integral tripla
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Avaliação de Matemática Aplicada 1 Dê a ordem da equação diferencial e confirme que as funções da família dada são soluções 2 Resolva as equações diferenciais por separação de variáveis 4 Em aplicações físicas muitas vezes é necessário lidar com quantidades vetoriais que dependem não apenas da posição no espaço mas também do tempo Dê alguns exemplos e discuta como o conceito de campo vetorial deveria ser alterado para ser aplicável a essas situações 4 1 x4 dydx x3y y dy x3 1 x4 dx y dy x3 1 x4 dx y22 du 4u y22 14 lnu C u 1 x4 du 4x3 dx x3 du du4 y22 14 ln 1 x4 C y sqrt12 ln 1 x4 C 5 2 2 y2 dydx ex y 2 2 y2 y dy ex dx 2y 2 y dy ex dx 2 ln y y2 ex C 6 dydx x y dyy x dx dyy x dx lny x22 C y k ex22 y k ex22 k 0 7 ey sin x dydx cos2 x ey dy dx sin x cos2 x ey dy sin x cos2 x dx u cos x du sin x dx sin x dx du ey du u2 ey e1 C ey 1 cos x c y ln sec x C 2 1 Orden e confirmar os soluções 3 a 1 x dydx y y c 1 x dydx c 1 x c logo y c 1 x é solução Orden 1 b y y 0 y c₁ sint c₂ cost y c₁ cost c₂ sint y c₁ sint c₂ cost y y c₁ sint c₂ cost c₁ sint c₂ cost 0 logo y é solução da EDO dada quei é de 2ª orden 4 a 2 dydx y x 1 y cex2 x 3 dydx 12 c ex2 1 2 dydx y 2 12 c ex2 1 c ex2 x 3 c ex2 2 c ex2 x 3 x 1 logo y é solução da EDO dada que é de ordem 1 3 b y y 0 y c₁ et c₂ et y c₁ et c₂ et y c₁ et c₂ et y y c₁ et c₂ et c₁ et c₂ et 0 logo y é solução da EDO de ordem 1 2 a 1 dydx yx dyy dxx dyy dxx lny lnx C y e lnx C e lnx ec y k x k 0 2 dydx 2 1 y2 x dy 1 y2 2x dx dy 1 y2 2x dx arctan y x2 C y tan x2 C 3 sqrt1 x2 1 y dydx x dydx x dx 1 y dy 1 y x dx sqrt1 x2 ln 1 y 12 du sqrtu ln 1 y 12 u12 C ln 1 y sqrt1 x2 C 1 y k e sqrt1 x2 y k e sqrt1 x2 1 8 dydx 1 x 1 y2 dy1 y2 1 x dx dy1 y2 1 x dx arctan y x x22 C y tanx x22 C 9 dydx y2 ysin x dyy2 y dxsin x dyyy 1 cossce x dx 1yy 1 Ay By 1 y 1A By yy 1 A By A yy 1 A B 0 A 1 A 1 B 1 1yy 1 1y 1 1y dyyy 1 1y 1 dy 1y dy lny 1 ln y lny 1y I II cossce x dx cossce x cotg x logo lny 1y cossce x C é a solução 4 10 y dydx sec x dxsec x dyy dxsec x dyy cos x dx dyy lny sin x C y kesin x k 0 3 zxy 2x3 3y2 2 Du f11 onde u 22 Primeiro normalizamos u 1sqrt22 22 22 12sqrt 2 22 1sqrt 2 1sqrt 2 Du f11 f11 1sqrt 2 1sqrt 2 fx 11 fy 11 1sqrt 2 1sqrt 2 6x2 6y 11 1sqrt 2 1sqrt 2 66 1sqrt 2 1sqrt 2 6sqrt 2 6sqrt 2 0 4 O campo vetorial F xyz fxyzt gxyzt hxyzt é uma função de R3 em R3 que depende apenas do espaço xyz Para fazerlo dependente t do tempo basta acrescentar ao variável t como independente para ter mos uma função vetorial de R4 em R4 e assim esse conceito levar em conta o cálculo de fluxos em regime não estacionário por exemplo F R4 R4 xyzt Fxyzt fxyzt gxyzt hxyzt conceito extremamente útil na física e engenharias O grande Teorema que relaciona esses conceitos é o Teorema do Divergente igualamos uma integral de superfície com uma integral tripla