Flexão Composta e Pilares de Concreto Armado - Dimensionamento NBR 6118 2023

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP Campus de BauruSP Departamento de Engenharia Civil e Ambiental 2123 ESTRUTURAS DE CONCRETO II FLEXÃO COMPOSTA E PILARES DE CONCRETO ARMADO Prof Dr PAULO SÉRGIO BASTOS wwwpfebunespbrpbastos BauruSP Junho2024 APRESENTAÇÃO Esta publicação tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 2123 Estruturas de Concreto II do curso de Engenharia Civil da Universidade Estadual Paulista UNESP Campus de BauruSP O texto contém duas partes Flexão Composta e Pilares Na primeira parte são apresentadas as formulações da Flexão Composta Normal para o dimensionamento de elementos de seção retangular A segunda parte apresenta prescrições contidas na NBR 61182023 Projeto de estruturas de concreto para o dimensionamento de pilares de Concreto Armado O dimensionamento dos pilares é feito segundo dois métodos com base no pilar padrão a com curvatura aproximada b com rigidez aproximada considerando o momento fletor mínimo ou a excentricidade acidental São estudados os pilares de seção retangular e de nós fixos contraventados com índice de esbeltez máximo até 90 A apresentação do dimensionamento dos pilares é feita conforme a clássica divisão em pilares intermediários de extremidade e de canto Para fins didáticos os cálculos de dimensionamento são apresentados de maneiras diferentes explicitando os momentos fletores atuantes ou as excentricidades bem como com a equação direta da norma Conhecendo os diferentes modos o estudante poderá escolher aquele de sua preferência inclusive elaborar roteiros simples e objetivos Vários exemplos numéricos estão apresentados para cada um dos três tipos de pilares Críticas e sugestões serão bemvindas SUMÁRIO PARTE I FLEXÃO COMPOSTA 1 1 INTRODUÇÃO 1 2 CONCEITOS INICIAIS 1 21 Diagrama TensãoDeformação do Concreto 1 21 Diagrama TensãoDeformação do Aço 3 22 Solicitações Normais 4 23 Domínios de Deformações 5 231 Reta a e Domínio 1 6 232 Domínio 2 7 233 Domínio 3 8 234 Domínio 4 8 235 Domínio 4a 9 236 Domínio 5 e Reta b 9 24 Hipóteses Básicas 10 3 FLEXÃO COMPOSTA NORMAL 10 31 Tração Simples e FlexoTração com Pequena Excentricidade 10 311 Exemplo 11 32 FlexoCompressão e FlexoTração com Grande Excentricidade 12 321 FlexoCompressão 13 322 FlexoTração 14 323 Equações de Compatibilidade 14 324 Exemplo 1 15 325 Exemplo 2 16 326 Exemplo 3 18 327 Equações com Coeficientes Dimensionais K 20 328 Exemplo 4 22 329 Exemplo 5 23 33 FlexoCompressão com Pequena Excentricidade 25 331 Equações para 08x h 25 332 Equações para 08x h 26 333 Definição das Armaduras 26 334 Exemplo 1 27 335 Exemplo 2 28 34 Equações Adimensionais 29 341 Duas Armaduras Tracionadas 29 342 Uma Armadura Tracionada e outra Comprimida 30 343 Duas Armaduras Comprimidas 30 35 Ábaco com Armadura Bilateral Simétrica 31 36 Cálculo da Armadura com Ábacos 32 4 FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA 34 41 Cálculo da Armadura com Ábacos 34 REFERÊNCIAS 35 PARTE II PILARES DE CONCRETO ARMADO 37 5 INTRODUÇÃO 37 6 ESPECIFICAÇÕES DO CONCRETO E DO COBRIMENTO 37 7 CONCEITOS INICIAIS 40 71 Definições 40 72 Flambagem 41 73 Comprimento Equivalente e Índice de Esbeltez 41 74 Noções sobre Contraventamento de Estruturas 43 741 Estruturas de Nós Fixos e Móveis 44 742 Elementos Isolados 45 75 Não Linearidade Física e Geométrica 46 76 Equação da Curvatura de Elementos Fletidos 48 77 Definição de PilarPadrão e da Curvatura Aproximada 50 8 EXCENTRICIDADES 53 81 Excentricidade de 1a Ordem 53 82 Excentricidade Acidental 53 83 Excentricidade de 2a Ordem Local e ValorLimite 1 56 84 Excentricidade Devida à Fluência 57 9 SITUAÇÕES BÁSICAS DE PROJETO 57 91 Pilar Intermediário 58 92 Pilar de Extremidade 58 93 Pilar de Canto 60 10 DETERMINAÇÃO DO MOMENTO FLETOR TOTAL 61 101 Cálculo com o Momento Fletor Mínimo 62 1011 Momento Fletor Mínimo 62 1012 Método do PilarPadrão com Curvatura Aproximada 63 10121 Cálculo Via Diagramas de Momentos Fletores ou Excentricidades 63 10122 Cálculo Via Equação do Momento Fletor Total 69 1013 Método do PilarPadrão com Rigidez Aproximada 69 1014 Envoltória de Momentos Fletores Mínimos 70 102 Cálculo com a Excentricidade Acidental 71 1021 Pilar Intermediário 72 1022 Pilar de Extremidade 72 1023 Pilar de Canto 73 11 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 74 111 Dimensão Mínima e Coeficiente de Ponderação n 74 112 Armadura Longitudinal 74 1121 Diâmetro Mínimo 74 1122 Distribuição Transversal 74 1123 Armadura Mínima e Máxima 75 1124 Detalhamento da Armadura 75 1125 Proteção contra Flambagem 76 113 Armaduras Transversais 77 114 PilaresParede 77 12 ROTEIRO DE CÁLCULO DE PILARES 78 13 EXEMPLOS NUMÉRICOS 79 131 Pilares Intermediários 79 1311 Exemplo 1 79 1312 Exemplo 2 86 1313 Exemplo 3 90 1314 Exemplo 4 95 132 Pilares de Extremidade 97 1321 Exemplo 1 97 1322 Exemplo 2 104 1323 Exemplo 3 110 1324 Exemplo 4 116 133 Pilares de Canto 122 1331 Exemplo 1 122 1332 Exemplo 2 131 1333 Exemplo 3 138 14 ESTIMATIVA DE CARGA VERTICAL EM PILARES POR ÁREA DE INFLUÊNCIA E PRÉDIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL 145 15 EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE UMA EDIFICAÇÃO DE BAIXA ALTURA 147 151 Pilar Intermediário P8 149 152 Pilar de Extremidade P5 154 153 Pilar de Extremidade P6 159 154 Pilar de Canto P1 163 REFERÊNCIAS 169 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 169 TABELAS ANEXAS 171 ANEXOS 174 16 ANEXO A FLEXÃO COMPOSTA NORMAL 174 161 Tração Simples e FlexoTração com Pequena Excentricidade 174 1611 Exemplo 1 175 162 FlexoCompressão e FlexoTração com Grande Excentricidade 177 1621 Exemplo 1 178 1622 Exemplo 2 179 163 Compressão Simples e FlexoCompressão com Pequena Excentricidade 180 1631 Definição das Armaduras 181 1632 Armadura Unilateral 182 1633 Compressão Simples 182 UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 1 PARTE I FLEXÃO COMPOSTA 1 INTRODUÇÃO Esta Parte I do texto apresenta o dimensionamento de peças solicitadas à Flexão Composta Normal e Oblíqua conforme as prescrições da NBR 61181 Os parâmetros aplicados são aqueles da norma referentes apenas para os concretos do Grupo I de resistência do C20 ao C502 A Flexão Composta Normal e Oblíqua aplicase no dimensionamento de pilares tirantes vigas e lajes As vigas por exemplo são comumente solicitadas à flexão simples no entanto existem situações em que também atuam forças normais como em muros de arrimo estruturas de edifícios analisadas na forma de pórticos planos ou espacial sob ação do vento projetos de estruturas industriais com máquinas ou equipamentos que induzem forças nas vigas etc 2 CONCEITOS INICIAIS Para o estudo da Flexão Composta é necessário o conhecimento de alguns conceitos básicos como os domínios de deformações e os diagramas tensão x deformação do concreto e do aço 21 Diagrama TensãoDeformação do Concreto Para o dimensionamento de seções transversais de peças de concreto no EstadoLimite Último a NBR 6118 item 82101 indica os seguintes diagramas x a para concretos com fck 50 MPa O diagrama chamado parábolaretângulo é composto por uma parábola do 2º grau com vértice na deformação de encurtamento c2 2 e ordenada 085c fcd e de uma reta entre as deformações 2 e 35 cu Figura 1 A equação da parábola é 2 2 c c cd c c 1 1 f 0 85 Eq 1 com fcd sendo a resistência de cálculo do concreto à compressão fck c e c a deformação de encurtamento no concreto Figura 1 Diagrama x à compressão para concretos do Grupo I C20 ao C50 1 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto de estruturas de concreto NBR 6118 ABNT 2023 242p 2 Para os concretos do Grupo II alguns parâmetros devem ser alterados relativos principalmente ao diagrama tensão x deformação do concreto 2 35 f 085 fcd ck c c c2 2 cu 35 085c fcd UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 2 O valor de c assume os seguintes valores a 10 para fck 40 MPa b 3 1 40 f ck para fck 40 MPa b para concretos com fck 50 MPa até 90 MPa O diagrama parábolaretângulo é composto por uma parábola do 2o grau que passa pela origem e tem seu vértice correspondente à deformação εc2 e ordenada 085c fcd e de uma reta entre as deformações εc2 e εcu Figura 2 Figura 2 Diagrama x à compressão para concretos do Grupo II C55 ao C90 A equação da parábola é n 2 c c cd c c 1 1 f 0 85 Eq 2 4 ck 100 f 90 23 4 41 n Eq 3 εc2 20 0085 fck 50053 Eq 4 4 ck cu 100 f 90 35 62 Eq 5 No item 1722 a NBR 6118 admite a substituição dos diagramas parábolaretângulo por um mais simples conhecido como retangularsimplificado Figura 3 com profundidade y x onde 08 para fck 50 MPa concretos do Grupo I 08 fck 50400 para fck 50 MPa Eq 6 2 35 f 085 fcd ck c c c2 cu 085c fcd UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 3 h 35 2 x y 08 x cd cd LN cu Figura 3 Diagramas x parábolaretângulo e retangular simplificado para distribuição de tensões de compressão no concreto para concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa e seção retangular No caso da largura da seção medida paralelamente à linha neutra não diminuir da linha neutra em direção à borda comprimida a tensão é c ck c cd c cd f 0 85 f 0 85 para concretos do Grupo I fck 50 MPa cd c ck cd f 50 200 0 85 f 1 para concretos do Grupo II fck 50 MPa Eq 7 Em caso contrário isto é quando a seção diminui a tensão é c ck c cd c cd f 0 85 90 f 0 85 90 para concretos do Grupo I fck 50 MPa cd c ck cd f 0 85 90 50 200 f 1 para concretos do Grupo II fck 50 MPa Eq 8 21 Diagrama TensãoDeformação do Aço A NBR 6118 item 836 permite para cálculo nos EstadosLimites de Serviço e Último utilizar o diagrama x simplificado mostrado na Figura 4 para aços com ou sem patamar de escoamento aços encruados a frio As deformações últimas u são limitadas a 10 10 mmm para a tração alongamento e 35 para a compressão encurtamento A deformação de início de escoamento do aço yd é dada por s yd yd E f com tg Es 21000 kNcm2 210000 MPa Eq 9 A deformação de início de escoamento de cálculo yd é 104 para o aço CA25 207 para o CA50 e 248 para o CA60 Quaisquer deformações menores que a de início de escoamento resultam tensões menores que a máxima permitida fyd portanto contra a economia de modo que procurase sempre aplicar a tensão máxima fyd UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 4 Figura 4 Diagrama x para aços de armadura passiva 22 Solicitações Normais a Tração e Compressão Simples Na tração e compressão simples3 a força normal N é aplicada no centro de gravidade CG da seção transversal e a tensão normal de tração ou de compressão é constante em todos os pontos da seção transversal isto é a tensão é uniforme Figura 5 A tração simples corresponde ao domínio reta a e a compressão simples à reta b Figura 5 Solicitações de tração e compressão simples b Flexão Composta Na flexão composta ocorre a atuação conjunta de força normal N e momento fletor M para força de tração temse a flexotração e para compressão a flexocompressão Há dois casos Figura 6 Flexão Composta Normal ou Reta além da força normal existe um momento fletor em uma direção Mx ex N como mostrado na Figura 6a4 Flexão Composta Oblíqua além da força normal existem dois momentos fletores relativos às duas direções principais da seção Mx ex N e My ey N Figura 6b 3 Também recebem os nomes de centrada uniforme ou axial 4 Neste texto a notação utilizada para momento fletor momento de inércia e índice de esbeltez é relativa à direção da seção transversal x ou y e não em torno de um eixo o que em nada altera os resultados numéricos pois é apenas uma questão relativa à convenção adotada Basta trocar por exemplo Mx por My e My por Mx tração compressão fycd cu yd fyd 10 s s yd CG CG x N N y N CG UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 5 Figura 6 Tipos de flexão composta explicitadas por meio da excentricidade da força normal e pelos momentos fletores Como será apresentado adiante os pilares são classificados em função do tipo de solicitação a que é submetido a pilar intermediário Compressão Simples b pilar de extremidade Flexão Composta Normal c pilar de canto Flexão Composta Oblíqua 23 Domínios de Deformações No item 172 a NBR 6118 estabelece critérios para a determinação dos esforços resistentes das seções de vigas pilares e tirantes submetidas à força normal e momentos fletores e apresenta os domínios de deformações Figura 7 As deformações limites ou últimas são de 35 para os concretos do Grupo I de resistência5 para o encurtamento no concreto comprimido e 10 para o alongamento da armadura tracionada Como 35 e 10 são valores últimos dizse que o EstadoLimite Último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios Com os seguintes valores a x2lim 026d e x2lim xd 026 x2lim depende apenas da altura útil d b para os concretos do Grupo I e aço CA50 temse x3lim 063d e x3lim 063 x3lim depende do concreto e do aço 5 Nas descrições dos domínios apresentadas a seguir são consideradas as deformações de encurtamento no concreto de 20 εc2 e 35 εcu portanto para os concretos do Grupo I de resistência Para os concretos do Grupo II essas deformações assumem outros valores a Flexão Composta Normal b Flexão Composta Oblíqua h x hx N e hx hx ex Mx y N N N hy x y ex x y x y x ey Mx hy My hy hy UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 6 yd 4 3 1 d 10 A reta a s2 A d As1 h 2lim x 4a 5 0 x3lim reta b C 0 B Alongamento Encurtamento 2 cu c2 c2 c2 cu cu h Figura 7 Diagramas dos domínios de deformações com deformações dos concretos do Grupo I 231 Reta a e Domínio 1 Reta a Figura 8 Solicitação tração simples Posição da LN x Duas armaduras tracionadas As e As com deformação de alongamento εs εs 10 e tensão sd sd fyd Elemento tirante 10 s2 A F A s1 s2 0 s1 CG x LN 10 Figura 8 Tração simples representada pela reta a Domínio 1 Figura 9 Solicitação flexotração com pequena excentricidade Posição da LN x 0 Duas armaduras tracionadas As e As Deformação de alongamento na armadura mais tracionada fixa εs 10 Elemento tirante Figura 9 Tração não uniforme no domínio 1 CG 0 x 0 s s 10 As As LN F e h As As As s As s 2 35 2 3h7 UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 7 232 Domínio 2 Figura 10 Casos de solicitação e diagrama genérico de deformações do domínio 2 Solicitação flexão simples e flexotração ou flexocompressão com grande excentricidade Figura 10 Posição da LN 0 x x2lim Uma armadura tracionada As e outra comprimida As Deformação na armadura tracionada fixa εs 10 Deformação de encurtamento na fibra mais comprimida de concreto 0 εc 35 O domínio 2 pode ser subdividido em 2a e 2b em função da deformação na borda comprimida com 0 εc 2 para o subdomínio 2a e x2alim x2alimd 0167 e 2 εc 35 para o subdomínio 2b Figura 11 Elemento viga laje e pilar Figura 11 Domínio 2 e subdomínios 2a e 2b No subdomínio 2a a deformação na armadura comprimida As é muito pequena e pode ser ignorada Figura 12 O subdomínio 2b demarca a posição da LN em que a armadura comprimida passa a ser eficiente Fusco 19816 6 Outro aspecto é que no subdomínio 2b já existe alguma plastificação do concreto por microfissuração interna do concreto comprimido ainda não iniciada no subdomínio 2a cu A s2 M F A s1 e ou e ou F As1 s1 A As2 s2 A 10 cd x s1 LN s2 d h 2 d 0 yd 10 2b d 3 As As 4 2a 35 2 4a As As As As As As s 0 c 35 CG s 10 UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 8 Figura 12 Deformações nos subdomínios 2a e 2b 233 Domínio 3 A s2 A s2 A s1 A s1 F ou e ou e s1 A F M s2 A LN yd sd 10 s2 s1 cd cu cu Figura 13 Casos de solicitação e diagrama genérico de deformações do domínio 3 Solicitação flexão simples e flexotração ou flexocompressão com grande excentricidade Figura 13 Posição da LN x2lim x x3lim Uma armadura tracionada As e outra comprimida As Deformação de encurtamento fixa εc 35 no concreto da borda comprimida Deformação na armadura tracionada yd εs 10 e tensão sd fyd Elemento viga laje e pilar 234 Domínio 4 x sd yd s1 LN 0 s2 A s2 M F A s1 e ou s1 A s2 A cu cd cu Figura 14 Casos de solicitação e diagrama genérico de deformações do domínio 4 d 2 c 35 LN s 0 2 0 c 2 s 10 d As As x x2alim 35 Subdomínio 2a Subdomínio 2b LN s s 10 cd 085fcd 08x x x2lim As As As As s s s s As As As As As As c 35 c 35 UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 9 Solicitação flexão simples e flexocompressão com grande excentricidade Figura 14 Posição da LN x3lim x d Uma armadura tracionada As e outra comprimida As Deformação no concreto da borda comprimida fixa εc 35 Deformação na armadura tracionada 0 εs yd contra a economia Elemento viga laje e pilar 235 Domínio 4a Solicitação flexocompressão com pequena excentricidade Figura 15 Posição da LN d x h passa no cobrimento da armadura menos comprimida As Duas armaduras comprimidas As e As com tensão sd 0 na armadura As Deformação no concreto da borda comprimida fixa εc 35 Elemento pilar s2 A s1 A LN s1 cd e x F cu cu Figura 15 Solicitação e diagrama genérico de deformações do domínio 4a 236 Domínio 5 e Reta b Domínio 5 Figura 16 Solicitação flexocompressão com pequena excentricidade Posição da LN h x fora da seção transversal Duas armaduras comprimidas As e As Caracterizado pelo ponto C a 3h7 Deformações no concreto em função da posição da LN na borda mais comprimida 2 εc 35 na borda menos comprimida 0 εc 2 Elemento pilar Figura 16 Compressão não uniforme no domínio 5 Reta b Figura 17 Solicitação compressão simples Posição da LN x Duas armaduras comprimidas As e As Seção transversal inteiramente comprimida deformações εc εs εs 2 e tensões sd sd Elemento pilar c2 c2 0 A A s1 s2 s1 s2 cd F Figura 17 Compressão simples na reta b C s s 2 c 35 As As LN F e x 3h7 h CG As As As As s s s c 35 2 2 UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 10 24 Hipóteses Básicas As hipóteses básicas consideradas no dimensionamento de vigas à Flexão Simples são também consideradas na FCN como a seção permanece plana após a deformação existe aderência entre o aço e o concreto a resistência do concreto à tração é desprezada o diagrama retangular simplificado com altura y pode ser adotado para a distribuição de tensões de compressão no concreto Figura 3 a tensão no aço pode ser obtida com o diagrama x Figura 4 e o EstadoLimite Último é caracterizado em um dos domínios de deformações Figura 7 3 FLEXÃO COMPOSTA NORMAL Na Flexão Composta Normal FCN atuam os esforços solicitantes momento fletor M e força normal N com a flexão em torno de um eixo principal de inércia da seção ver Figura 6a Neste estudo são apresentadas as equações para dimensionamento de peças submetidas à força normal de tração e de compressão com casos que abrangem todos os domínios de deformações da reta a à reta b São equações aplicadas no dimensionamento de tirantes pilares vigas e lajes7 Aqui será estudada apenas a seção retangular com armaduras distribuídas em duas faces opostas As e As8 A divisão do estudo é feita do seguinte modo9 a tração simples e flexotração com pequena excentricidade duas armaduras tracionadas b flexotração e flexocompressão com grande excentricidade uma armadura tracionada e outra comprimida c flexocompressão com pequena excentricidade duas armaduras comprimidas 31 Tração Simples e FlexoTração com Pequena Excentricidade Na tração simples e na flexotração com pequena excentricidade o esforço solicitante predominante é a força normal N Como o momento fletor M é de pequena intensidade as duas armaduras são tracionadas As e As10 A seção transversal encontrase inteiramente tracionada e fissurada e não existe contribuição do concreto O EstadoLimite Último ELU é caracterizado pela deformação plástica de 10 na armadura mais tracionada As Figura 18 Figura 18 FCN em tirante de seção retangular com duas armaduras tracionadas domínio 1 7 Este texto toma como base os seguintes autores Pinheiro 1994 Fusco 1981 e Santos 1983 8 De modo geral a armadura As representa a armadura tracionada e As a armadura comprimida No entanto dependendo do caso de solicitação As pode representar a armadura menos comprimida e As a menos tracionada como será apresentado nos três diferentes casos de solicitação 9 Santos 1983 p502 apresenta que os processos mais frequentes na literatura técnica internacional dividem a FCN em três partes a tração simples e flexotração com pequena excentricidade domínio 1 b flexão simples e flexão composta com grande excentricidade domínios 2 3 e 4 c flexocompressão com pequena excentricidade domínios 4a e 5 Essa divisão é seguida de modo semelhante por Fusco 1981 10 A notação As indica a armadura menos tracionada b d CG 0 207 p CA50 x 0 d d h As d d Rs h2 s s 10 As As LN Nd e Rs As fyd sd Domínio 1 fyd UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 11 A armadura As estará tracionada com a linha neutra LN posicionada até o cobrimento d portanto no intervalo x d Fazendo x xd11 temse x dd Os domínios possíveis são a reta a 1 e 2a quando 0 x d A tensão na armadura mais tracionada As é sd fyd Para a solução dos problemas existem infinitas soluções no entanto como solução econômica procurase fazer s yd e consequentemente sd fyd A posição da LN fica então determinada com s e s conforme mostrado na Figura 18 As equações surgem da análise de equilíbrio das forças normais que ocorrem na seção Com o somatório de forças normais temse Nd Rs Rs e como Rs As fyd e Rs As sd Nd As fyd As sd Eq 10 Fazendo somatório de momentos fletores em h2 temse Nd e Rs h2 d Rs h2 d 0 e como Nd e Md substituindo Rs e Rs Md As fyd As sd h2 d Eq 11 Com semelhança de triângulos é definida a equação de compatibilidade de deformações x d x d s s x d x d s s Eq 12 311 Exemplo Calcular as armaduras As e As para uma seção transversal retangular submetida à flexotração com força normal Nk 1000 kN e momento fletor Mk 10000 kNcm Considerar concreto C35 aço CA50 fyd 435 kNcm2 seção retangular b 25 cm e h 80 cm d 76 cm d 4 cm f c 14 Figura 19 Figura 19 Flexotração com pequena excentricidade em seção retangular Resolução A excentricidade da força normal é e Mk Nk 100001000 100 cm pequena relativamente à altura da peça e o problema é de dimensionamento de tirante sob flexotração com pequena excentricidade12 com duas armaduras tracionadas LN no intervalo x d domínio 1 ver Figura 9 ou subdomínio 2a13 e infinitas soluções caso não se fixe a posição x da LN A deformação na armadura mais tracionada As é s 10 Figura 20 e tensão sd fyd 435 MPa de modo que a solução econômica é aplicar na armadura menos 11 Neste caso a posição x da LN é a distância entre a fibra menos tracionada e a LN e d é a distância entre a fibra menos tracionada e o CG da armadura mais tracionada As 12 Esta hipótese estará correta se resultar o domínio 1 ou subdomínio 2a 13 No domínio 1 a LN encontrase no intervalo x 0 e no subdomínio 2a está no intervalo 0 x d ou seja encontrase passando no cobrimento da armadura As d 4 As As h 80 cm b 25 d 76 d 4 CG As As 40 Nk 1000 kN e 10 cm 40 UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 12 tracionada também a máxima tensão que o aço pode resistir sd fyd 435 MPa ou seja s yd 207 para o aço CA50 ver Figura 4 Posição da LN com s 207 e s 10 Eq 12 x d x d s s x 76 10 x 4 07 2 x 1479 cm Equacionamento para cálculo das armaduras Eq 10 e Eq 11 com f 14 Nd As fyd As sd Md As fyd As sd h2 d 4 2 80 A 435 A 435 10000 41 A 435 A 435 1000 41 s s s s 8 94 A A 3218 A A s s s s 2 s 2 s 1162 cm A 2056 cm A Figura 20 Solução numérica adotada para o tirante Comparando com o valor absoluto de x para a LN 1479 cm valores menores proporcionam armaduras As maiores que a calculada pois resultam deformações s yd e valores maiores para x não alteram a armadura As pois resultam sempre tensões sd fyd correspondente ao trecho de plastificação do aço Figura 414 32 FlexoCompressão e FlexoTração com Grande Excentricidade Na flexão composta com grande excentricidade a força normal N é de baixa intensidade e o esforço predominante é o momento fletor M o que resulta uma armadura tracionada As e outra comprimida As Figura 21 e Figura 22 Os casos de solicitação são a flexotração e flexocompressão com grande excentricidade Os domínios de ocorrência são 3 4 e o 2b aquele com d x x2lim15 A linha neutra LN encontrase dentro da seção transversal entre as armaduras no intervalo entre d x d ou dd x 1 O ELU é caracterizado pela deformação de alongamento no aço de 10 no subdomínio 2b e pela deformação de encurtamento no concreto de 35 nos domínios 3 e 4 O problema é indeterminado e admite infinitas soluções infinitos valores possíveis para x uma vez que existem duas equações de equilíbrio e três incógnitas geralmente x As e As A solução mais econômica é adotar x no limite entre os domínios 3 e 4 x x3lim ou x3lim o que corresponde à deformação de início de escoamento yd na armadura tracionada As e o máximo encurtamento no concreto c 35 No entanto no caso de vigas e lajes16 deve também ser analisada a relação entre a posição x da linha neutra e a 14 Em Fusco 1981 e Santos 1983 são encontrados outros exemplos resolvidos bem como equações adimensionais 15 A divisão do domínio 2 nos subdomínios 2a e 2b tem a finalidade de separar os casos de duas armaduras tracionadas 2a e uma comprimida e outra tracionada 2b 16 O limite xd não é imposto aos pilares d 4 40 40 d 4 s 10 s yd 207 930 cm 2 As As LN Nd e 10 x 1479 As 2056 cm2 As 1162 cm 2 d 76 UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 13 altura útil d pois a NBR 6118 item 14643 apresenta limites para condições de ductilidade afirmando que A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU Quanto menor for xd tanto maior será essa capacidade E Para proporcionar o adequado comportamento dútil em vigas e lajes a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites a xd 045 para concretos com fck 50 MPa concretos do Grupo I b xd 035 para concretos com 50 fck 90 MPa Grupo II Eq 13 Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras como por exemplo os que produzem confinamento nessas regiões As equações de equilíbrio são divididas conforme a força normal seja de compressão ou de tração conforme mostrado a seguir 321 FlexoCompressão Conforme o equilíbrio das forças normais mostradas na Figura 21 temse Nd Rc Rs Rs Resultante de compressão no concreto Rc b 08x 085fcd 068b x fcd Nd 068b x fcd As sd As sd Eq 14 Substituindo x d x Nd 068b d x fcd As sd As sd Eq 15 Fazendo somatório de momentos fletores em h2 temse Nd e Rc h2 04x Rs h2 d Rs h2 d e substituindo Rc Rs e Rs e Nd e Md Md 068b x fcd h2 04x As sd As sd h2 d Eq 16 Substituindo x x d e alterando a equação fica Md 034b d2 x fcd hd 08x As sd As sd h2 d Eq 17 Figura 21 Flexocompressão com grande excentricidade em seção retangular no domínio 3 ou 4 h2 04x 04x LN b 08x CG Rs As d d s As s Rc Rs e As As Nd compressão c 35 d x 085fcd h2 UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 14 322 FlexoTração Na flexotração basta substituir Nd por Nd na Eq 14 ou Eq 15 e não há alteração na Eq 16 ou Eq 17 ou conforme a Figura 22 Nd Rc Rs Rs Nd 068b x fcd As sd As sd Eq 18 Nd 068b d x fcd As sd As sd Eq 19 Md 068b x fcd h2 04x As sd As sd h2 d Eq 20 Md 034b d2 x fcd hd 08x As sd As sd h2 d Eq 21 Figura 22 Flexotração com grande excentricidade em seção retangular no domínio 3 ou 4 323 Equações de Compatibilidade As equações de compatibilidade para os domínios 2b 3 e 4 são x d x x d c s s Eq 22 x c x s x s d d 1 Eq 23 com s 10 para o subdomínio 2b e c 35 para os domínios 3 e 4 A Tabela 1 resume as equações de compatibilidade para a Flexão Composta com Grande Excentricidade h2 Rs LN CG Rc d d Rs e As As Nd tração 04x c 35 x s s d 085fcd 08x UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 15 Tabela 1 Resumo de equações para a Flexão Composta com Grande Excentricidade Fonte Adaptada de Fusco 1981 Domínio Variáveis impostas pelo domínio Variáveis calculadas a partir do valor de x ou x Variáveis determinadas a partir das anteriores 2b d x 026d ou dd x 026 s 10 sd fyd x d d 10 x x d d x s s x x x x s s 1 d d 10 1 d d sd 3 026d x 063d ou 026 x 063 c 35 cd 085fcd x x d 53 x x d c s x x x x c s 53 1 1 sd fyd x d x 53 x d x c s x x x x c s d d 53 d d sd 4 063d x d ou 063 x 10 x x d 53 x x d c s x x x x c s 53 1 1 sd fyd x d x 53 x d x c s x x x x c s d d 53 d d sd 324 Exemplo 1 Calcular as armaduras As e As para uma seção transversal retangular submetida à flexocompressão com força normal de compressão Nd 2000 kN e momento fletor Md 100000 kNcm São conhecidos concreto C30 aço CA50 fyd 435 kNcm2 seção retangular b 25 cm e h 80 cm d 76 cm d 4 cm f c 14 Figura 23 Figura 23 Flexocompressão com grande excentricidade em seção retangular nos domínios 3 e 4 Resolução A excentricidade da força normal é e Md Nd 1000002000 500 cm grande relativamente à altura da peça e o problema é de flexocompressão com grande excentricidade com momento fletor preponderante d 4 As As h 80 cm b 25 d 76 d 4 CG x LN s s As As Rc Nd e 50 cm Rs Rs 085fcd 08x c 35 UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 16 O problema admite infinitas soluções em função da posição x adotada para a LN com uma armadura comprimida e outra tracionada A posição da LN é d x d nos domínios 2b 3 e 4 sendo o 3 o domínio econômico Assim uma solução econômica é com a LN no limite entre os domínios 3 e 4 x x3lim com c 35 s yd 207 e sd fyd 435 kNcm2 para o aço CA50 Portanto x3lim 063d 063 76 4788 cm x x3lim 063 As deformações nas armaduras com c 35 são Eq 22 ou Eq 23 x d x x d c s s 88 47 53 4 88 47 s s 321 armadura comprimida s 321 yd 207 de modo que sd fyd 435 kNcm2 E apenas como comprovação x d x x d c s s 88 47 53 4788 76 s s 207 armadura tracionada Equações para a flexocompressão Eq 15 e Eq 17 Nd 068b d x fcd As sd As sd Md 034b d2 x fcd hd 08x As sd As sd h2 d Substituindo as variáveis pelos valores numéricos 4 2 80 A 435 A 435 0 63 80 76 80 41 03 0 34 25 76 0 63 000 100 A 435 A 435 41 03 0 68 25 76 0 63 000 2 s s 2 s s 4064 A A 5 88 A A s s s s armadura comprimida 2326 cm A a armadura tracionad 1738 cm A 2 s 2 s Outras soluções também econômicas são possíveis com diferentes valores para x no domínio 3 e que proporcionam outros pares de armadura As e As 17 325 Exemplo 2 Calcular as armaduras As e As da peça do exemplo de Fusco 1981 p57 de seção retangular submetida à flexocompressão com força normal de compressão Nk 500 kN e excentricidade e 80 cm São conhecidos concreto C25 aço CA50 fyd 435 kNcm2 b 25 cm h 70 cm d 65 cm d 5 cm f c 14 Figura 24 17 Com a LN x x2lim 026d 1976 cm as armaduras resultam As 984 cm2 e As 3927 cm2 o que representa um acréscimo de 85 cm2 de armadura relativamente aos resultados com x x3lim No equilíbrio de forças a armadura As e o concreto comprimido se contrapõem à força Nd e à armadura As e o aumento da armadura As ocorre porque a diminuição de x acarreta uma menor contribuição do concreto comprimido UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 17 Figura 24 Flexocompressão com grande excentricidade em seção retangular nos domínios 3 e 4 Resolução O momento fletor atuante é Mk Nk e 500 80 40000 kNcm A excentricidade é grande relativamente à altura da peça e o problema é de flexocompressão com grande excentricidade com momento fletor preponderante Como uma solução econômica será adotada a LN no domínio 318 com x 0615 e x x d 0615 65 3998 cm 400 cm As deformações nas armaduras com c 35 são Eq 22 ou Eq 23 x d x x d c s s 0 40 53 40 0 65 s s 219 armadura tracionada x d x x d c s s 0 40 53 5 0 40 s s 306 armadura comprimida s 219 yd 207 e s 306 yd 207 sd sd fyd 435 kNcm2 Equações para a flexocompressão Eq 15 e Eq 17 Nd 068b d x fcd As sd As sd Md 034b d2 x fcd hd 08x As sd As sd h2 d Substituindo as variáveis pelos valores numéricos 5 2 70 A 435 A 435 0 615 80 65 70 41 52 0 34 25 65 0 615 40000 41 A 435 A 435 41 52 0 68 25 65 0 615 500 41 s s 2 s s 2523 A A 1181 A A s s s s armadura comprimida 6 71cm A a armadura tracionad 1853cm A 2 s 2 s 18 Quando a peça for viga ou laje os limites impostos na Eq 13 devem ser obedecidos d 5 As As h 70 cm b 25 d 65 d 5 x LN s s As As Rc Nd e 80 cm Rs Rs 085fcd 08x c 35 UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 18 Os resultados são muito próximos àqueles obtidos por Fusco 1981 p59 calculados considerando o diagrama parábolaretângulo de As 1890 cm2 e As 682 cm2 Outras soluções também econômicas são possíveis com diferentes valores para x no domínio 3 e que proporcionam outros diferentes pares de armadura As e As 326 Exemplo 3 Calcular a armadura do pilar mostrado na Figura 25 sob força normal Nd 840 kN e momento fletor Mdx 3545 kNcm excentricidade ex 422 cm concreto C30 CA50 b 15 cm h 40 cm d 11 cm d 4 cm c 14 Figura 24 Figura 25 Dimensões do pilar de seção retangular e deformações no domínio 4 Resolução A excentricidade ex 422 cm é grande relativamente à largura do pilar b 15 cm e o problema é de flexocompressão com grande excentricidade com momento fletor preponderante Por questões práticas nos pilares é usual fazer a armadura bilateral simétrica iguais em duas faces opostas Considerando a Eq 14 e a Eq 16 Nd 068b x fcd As sd As sd Md 068b x fcd h2 04x As sd As sd h2 d e fazendo As As Assim as equações ficam Nd 068b x fcd Assim sd sd Md 068b x fcd h2 04x Assim sd sd h2 d Nas equações as incógnitas são x Assim sd e sd de modo que o cálculo pode ser feito por tentativa adotandose um valor para x o que possibilita determinar as deformações e tensões nas armaduras A armadura Assim é calculada com a equação de Nd e a equação de Md deve ser verificada O limite entre os domínios 3 e 4 é x3lim 063d 063 11 693 cm Fazendo tentativas para x no domínio 4 onde ocorre c 35 e supondo que a armadura comprimida terá deformação s yd 207 portanto sd fyd 435 kNcm2 x b 15 ex Nd h 40 y LN 08x x b 15 s s As As Rc Nd ex 422 cm Rs Rs 085fcd c 35 UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 19 a 1a tentativa LN em x 100 cm A armadura tracionada tem a deformação Eq 22 x x d c s 0 10 53 10 0 11 s s 035 e com s 035 a tensão é sd s Es 000035 21000 735 kNcm2 Aplicando os valores numéricos na equação de Nd Nd 068b x fcd Assim sd sd 7 35 435 A 41 03 0 68 4010 0 840 s sim Assim 714 cm2 Aplicando na equação de Md Md 068b x fcd h2 04x Assim sd sd h2 d 4 2 15 435 7 35 714 10 0 40 2 15 41 03 0 68 4010 0 3 545 3545 33077 não ok b 2a tentativa LN em x 95 cm Deformação na armadura tracionada x x d c s 59 53 59 11 s s 055 com s 055 a tensão é sd s Es 000055 21000 1161 kNcm2 e 1161 435 A 41 03 59 0 68 40 840 s sim Assim 900 cm2 Aplicando na equação de Md 4 2 15 435 61 9 00 11 59 40 2 15 41 03 59 0 68 40 3 545 3545 3782 não ok c 3a tentativa LN em x 975 cm x x d c s 9 75 53 9 75 11 s s 045 a tensão é sd s Es 000045 21000 942 kNcm2 e 9 42 435 A 41 03 0 68 40 9 75 840 s sim Assim 800 cm2 e aplicando na equação de Md 4 2 15 435 9 42 8 00 9 75 40 2 15 41 03 0 68 40 9 75 3 545 3545 3525 ok com uma pequena diferença de 06 UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 20 A deformação na armadura comprimida é x d x c s 9 75 53 4 75 9 s s 206 yd 207 ok A solução com armadura bilateral simétrica Assim As As 800 cm2 Figura 26 é única como mostrado nas tentativas efetuadas com diferentes valores de x Figura 26 Armadura bilateral simétrica no pilar cm2 327 Equações com Coeficientes Dimensionais K Por meio de um artifício simples um problema de Flexão Composta Normal pode ser tratado como Flexão Simples com armadura simples ou com armadura dupla Figura 27 e Figura 2819 O processo consiste em transportar os esforços solicitantes Nd e Md relativos ao CG da seção transversal da peça para o CG da armadura tracionada As passando a ser considerado o momento fletor Msd Nd es Como a força normal Nd é aplicada diretamente na armadura As é por ela absorvida e a solicitação que resulta com o momento fletor Msd é de Flexão Simples Figura 27 Redução da FCN à Flexão Simples com armadura simples 19 Segundo Santos o processo é antigo e foi introduzido por Loeser em edição alemã em 1925 A formulação com coeficientes K é apresentada em Fusco 1981 e Santos 1983 As 800 b 15 h 40 As 800 Md CG d es As Nd Armadura Simples e s As Nd Msd UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 21 Figura 28 Redução da FCN à Flexão Simples com armadura dupla A posição da LN é definida pelo coeficiente Kc sd 2 c M K b d Eq 24 com Kc apresentado na Tabela A1 ou Tabela A2 que proporciona valores de x e Ks e o domínio de deformações Com x xd a posição x da LN pode ser determinada e um valor limite pode ser imposto a x com armadura simples e caso superado esse limite a solução passa a ser com armadura dupla Isso também pode ser feito diretamente com o coeficiente Kc isto é se Kc Kclim a seção resulta com armadura simples o que implica x xlim A área da armadura simples é composta por duas parcelas a primeira relativa ao momento fletor Msd e a segunda relativa à força normal Nd sd d sd s s N d K M A Eq 25 com sinal positivo para força normal de tração e negativo para N de compressão Para Kc Kclim x xlim a seção resulta com armadura dupla e fixandose Kc Kclim calculase o máximo momento fletor que a seção pode resistir com armadura simples relativa a x xlim lim c 2 sdlim K b d M Eq 26 e o momento fletor excedente é Msd Msd Msdlim Eq 27 o qual é resistido por uma segunda parcela da armadura tracionada e pela armadura comprimida ver Figura 28 Com Kslim correspondente a x xlim na Tabela A1 a armadura tracionada é d sd sd lim sd s lim s N d d M 1 d M K A Eq 28 com sinal para força normal de tração e para N de compressão Com Ks 1sd determinado na Tabela A3 é calculada a armadura comprimida Md CG d d As As1 As2 es As As Nd As2 d As Armadura Dupla e s As1 Nd Msdlim Msd UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 22 d d M K A sd s s Eq 29 Fusco 1981 observa que se o coeficiente de ponderação do concreto c for diferente de 14 deve ser empregada a largura fictícia para a peça com valor c fic 41 b b Eq 30 328 Exemplo 4 Calcular as armaduras da seção do Exemplo 2 item 32520 aplicando as equações com coeficientes K sendo força normal de compressão Nk 500 kN momento fletor Mk 40000 kNcm e 80 cm C25 CA50 f c 14 Figura 29 Figura 29 Flexocompressão com grande excentricidade em seção retangular nos domínios 3 e 4 Resolução A excentricidade da força normal e 80 cm é grande relativamente à altura da peça e o problema é de flexocompressão com grande excentricidade com momento fletor preponderante21 A excentricidade es da força normal em relação à armadura tracionada As é es e h2 d 80 35 5 1100 cm A força normal de cálculo é Nd f Nk 14 500 700 kN O momento fletor relativo à linha de ação da armadura tracionada As é Msd Nd es 700 110 77000 kNcm Com a Eq 24 é definido o valor de Kc e a posição da LN 41 000 77 65 25 M b d K 2 sd 2 c 20 Este exemplo consta em Fusco 1981 p57 21 Esta hipótese será comprovada com a determinação da posição x da LN e do domínio de deformações d 5 As As h 70 cm b 25 d 65 d 5 h2 d CG es 110 cm x LN s s As As Rc Nd e 80 cm Rs Rs 085fcd 08x c 35 UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 23 percebese que para o concreto C25 não existe Kc 14 na Tabela A1 pois encontrase no domínio 4 ou seja x supera o valor limite entre os domínios 3 e 4 x3lim 063 Com x3lim 063 temse os valores limites Kslim 0031 e Kclim 17 e22 Kc 14 Kclim 17 portanto a solução é com armadura dupla Com Kclim 17 determinase o momento fletor relativo à posição da LN em x3lim Eq 26 62132 71 65 25 K b d M 2 lim c 2 sdlim kNcm O momento fletor a ser resistido pela parcela As2 da armadura tracionada e pela armadura comprimida As é Eq 27 Msd Msd Msdlim 77000 62132 14868 kNcm A armadura tracionada resulta da Eq 28 fazendo Kslim 0031 e Nd negativa por ser de compressão 1923 700 5 65 868 14 5 43 1 65 0 03162132 N d d M 1 d M K A d sd sd lim sd s lim s cm2 Com dd 565 008 na Tabela A3 temse Ks 0023 e a armadura comprimida Eq 29 5 70 5 65 0 02314868 d d M K A sd s s cm2 E como foi fixada a LN em x3lim a deformação na armadura tracionada As é s yd 207 no concreto c 35 e as tensões s s fyd 435 kNcm2 Os resultados são muito próximos àqueles calculados por Fusco 1981 p59 de As 1890 cm2 e As 702 cm2 com diferenças devidas a simplificações nos valores das tabelas Outras diversas soluções também econômicas são possíveis com diferentes valores para x no domínio 3 e que proporcionam outros pares de armaduras As e As 329 Exemplo 5 Calcular as armaduras aplicando equações com coeficientes K sendo força normal de compressão Nd 1000 kN momento fletor Md 100000 kNcm C20 CA50 fyd 435 kNcm2 f c 14 Figura 30 Resolução A excentricidade da força normal relativa ao CG da seção é e Md Nd 1000001000 1000 cm grande relativamente à altura da peça 80 cm e o problema é de flexocompressão com grande excentricidade com momento fletor preponderante A excentricidade es da força normal em relação à armadura tracionada As é es e h2 d 100 40 4 1360 cm O momento fletor relativo à linha de ação da armadura tracionada As é Msd Nd es 1000 1360 136000 kNcm 22 Quando a peça for viga ou laje os limites impostos na Eq 13 devem ser obedecidos UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 24 Figura 30 Flexocompressão com grande excentricidade em seção retangular nos domínios 3 e 4 Com a Eq 24 é definido o valor de Kc e a posição da LN 80 000 136 76 20 M b d K 2 sd 2 c percebese na Tabela A1que para o concreto C20 não existe Kc 08 pois encontrase no domínio 4 ou seja x supera o valor limite entre os domínios 3 e 4 x3lim 063 ao qual corresponde os valores limites Kslim 0031 e Kclim 22 e Kc 08 Kclim 22 portanto a solução é com armadura dupla Com Kclim 22 determinase o momento fletor relativo à posição da LN em x3lim Eq 26 52509 22 76 20 K b d M 2 lim c 2 sdlim kNcm O momento fletor a ser resistido pela parcela As2 da armadura tracionada e pela armadura comprimida As é Eq 27 Msd Msd Msdlim 136000 52509 83491 kNcm Com Kslim 0031 correspondente à x3lim 063 na Tabela A1 a armadura tracionada é Eq 28 2509 1000 4 76 491 83 5 43 1 76 0 03152509 N d d M 1 d M K A d sd sd lim sd s lim s cm2 Com dd 476 005 na Tabela A3 temse Ks 0023 e a armadura comprimida Eq 29 2667 4 76 0 02383491 d d M K A sd s s cm2 Do mesmo modo como no exemplo anterior com a LN fixada em x3lim a deformação na armadura As é s yd 207 e as tensões s s fyd 435 kNcm2 Os resultados são muito próximos àqueles calculados por Santos 1983 p519 de As 2270 cm2 e As 3210 cm2 sendo as diferenças nas armaduras creditadas ao antigo aço CA50B utilizado por Santos Outras diversas soluções também econômicas são As As h 80 cm b 20 d 76 d 4 d 4 h2 d CG es 136 cm x LN s s As As Rc Nd e 100 cm Rs Rs 085fcd 08x c 35 UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 25 possíveis com diferentes valores para x no domínio 3 e que proporcionam outros pares de armaduras As e As 33 FlexoCompressão com Pequena Excentricidade O esforço predominante é a força normal de compressão Nd e devido à excentricidade da força dizse que ocorre a flexocompressão com pequena excentricidade O principal elemento é o pilar A seção transversal tem as duas armaduras comprimidas As e As como mostrado na Figura 31 para uma seção no domínio 5 Figura 31 FCN em seção retangular no domínio 5 com duas armaduras comprimidas A linha neutra LN encontrase no intervalo entre d x ou 1 x correspondente aos domínios 4a 5 e reta b O ELU é caracterizado pela deformação de encurtamento do concreto de 35 no domínio 4a e 20 a 3h7 no domínio 5 portanto a ruptura da peça ocorre pelo esmagamento do concreto comprimido O problema é indeterminado e com infinitas soluções uma vez que existem duas equações de equilíbrio e três incógnitas x As e As Adotado um valor para x são determinadas as deformações nas armaduras s e s e então as tensões atuantes que são aplicadas nas equações que equilibram os esforços resistentes com os esforços solicitantes de cálculo A condição econômica é obtida fixando a reta b c s s 2 e LN no ou com As 0 As equações surgem da análise do equilíbrio das forças normais que ocorrem na seção da Figura 31 São duas as situações possíveis em função da altura do diagrama retangular simplificado do concreto 08x h e 08x h 331 Equações para 08x h Neste caso as equações podem ser simplesmente obtidas invertendose o sinal de Rs na Eq 14 ou Eq 15 e na Eq 16 ou Eq 17 Nd 068b x fcd As sd As sd Eq 31 Md 068b x fcd h2 04x As sd As sd h2 d Eq 32 ou Nd 068b d x fcd As sd As sd Eq 33 Md 034b d2 x fcd hd 08x As sd As sd h2 d Eq 34 As As h b d d d h2 d C d h2 04 x 08x 2 d h2 d CG 3h7 x LN s s As As Rc Nd e Rs Rs 085fcd 2 c 35 UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 26 332 Equações para 08x h Neste caso toda a altura da seção está submetida a tensões de compressão conforme o diagrama retangular simplificado A resultante no concreto comprimido está aplicada em h2 e tem o valor Rc 085b h fcd A força normal e o momento fletor têm os valores Nd 085b h fcd As sd As sd Eq 35 Md As sd As sd h2 d Eq 36 As equações de compatibilidade de deformações são dependentes dos domínios a Domínio 4a c 35 x d x d x c s s ou x c x s x s d d 1 Eq 37 b Domínio 5 7 h 3 x 2 d x d x s s ou 7d h 3 2 d d 1 x x s x s Eq 38 c Reta b c s s 2 A tensão correspondente na armadura é 420 MPa para o aço CA50 333 Definição das Armaduras Considerando a máxima força relativa ao concreto comprimido Rc que pode ocorrer na seção e fazendo o equilíbrio de momentos fletores na armadura comprimida As fica Figura 32 Md Nd es Rc h2 d Rs d d com Rc 085fcd b h Tomando As 0 definese a excentricidade de Nd em relação à linha de ação de As d 2 h N b h 0 85f e d cd s Figura 32 Definição da excentricidade es Rs d Rs d h2 es 08x h CG As As Rc Nd e 085fcd UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 27 Com a excentricidade es a força normal Nd é absorvida apenas pela área de concreto comprimido e pela armadura mais comprimida As sem auxílio da armadura menos comprimida As de modo que es delimita a necessidade ou não da armadura menos comprimida Fazendo es como um valor limite temse es eslim armadura unilateral somente As es eslim armadura dupla As e As Eq 39 com es h2 e d Eq 40 d 2 h N b h 0 85f e d cd s lim Eq 41 334 Exemplo 1 Calcular as armaduras As e As para uma seção transversal retangular submetida à flexocompressão com força normal de compressão Nk 3000 kN e momento fletor Mk 20000 kNcm São conhecidos concreto C30 aço CA50 fyd 435 kNcm2 seção retangular b 25 cm e h 80 cm d 76 cm d 4 cm f c 14 Resolução Os valores de cálculo são Nd f Nk 14 3000 4200 kN e Md f Mk 14 20000 28000 kNcm A excentricidade da força normal é e Md Nd 280004200 667 cm Como a excentricidade é pequena relativamente à altura da peça 80 cm a hipótese é de flexocompressão com pequena excentricidade A definição quanto a colocar armadura unilateral As 0 ou armadura dupla As e As é feita com a comparação entre as excentricidades es e eslim sendo a armadura unilateral calculada nos domínios 4a ou 5 e armadura dupla na reta b Com a Eq 40 é calculada a excentricidade es entre a força Nd e a armadura comprimida As e com Eq 41 é calculada a excentricidade limite es h2 e d 802 667 4 2933 cm 22 31 4 2 80 200 4 41 2580 0 85 03 d 2 h N b h 0 85f e d cd s lim cm e conforme a Eq 39 como es 2933 cm eslim 3122 cm a solução com armadura unilateral As 0 é possível Figura 33 Assim será feita As 0 e neste caso a posição x da LN é uma das incógnitas juntamente com a armadura As Figura 33 Resultados numéricos na flexocompressão com pequena excentricidade em seção retangular d 4 As 0 As h 80 cm b 25 d 76 d 4 CG 0 es 2933 3886 08x 7773 x 9716 LN s 296 As 0 As 1532 Rc 35394 kN Nd e 667 Rs 6664 kN 085fcd c 309 UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 28 Tomando a hipótese de 08x h são aplicadas a Eq 31 e a Eq 32 para determinação de x e As Nd 068b x fcd As sd As sd Md 068b x fcd h2 04x As sd As sd h2 d Supondo que a armadura As escoa sd fyd 435 kNcm2 temse 4 2 80 A 435 40 x 2 80 41 03 0 68 25 x 000 28 A 435 41 03 0 68 25 x 200 4 s s Das equações resultam x 9716 cm e As 1532 cm2 Fazendo a verificação 08x 08 9716 7773 cm h 80 ok e como x h o domínio é o 5 A deformação na armadura As é 7 h 3 x 2 d x d x s s 780 3 16 97 2 4 16 97 s s 296 e como s 296 yd 207 está correta a tensão sd fyd 435 kNcm2 335 Exemplo 2 Dimensionar a seção transversal retangular submetida à flexocompressão apresentada por Fusco 1981 p77 São dados força normal de compressão Nd 4200 kN excentricidade e 100 cm concreto C25 aço CA50 fyd 435 kNcm2 seção retangular b 25 cm e h 70 cm d 65 cm d 5 cm f c 14 Resolução Como a excentricidade de 100 cm é pequena relativamente à altura da peça 70 cm a hipótese é de flexo compressão com pequena excentricidade Com a Eq 40 é calculada a excentricidade entre a força Nd e a armadura comprimida As e com Eq 41 é calculada a excentricidade limite es h2 e d 702 100 5 200 cm 1897 5 2 70 200 4 41 25 70 0 85 52 d 2 h N b h 0 85f e d cd s lim cm e conforme a Eq 39 como es 200 cm eslim 1897 cm a solução com armadura unilateral somente As não é possível e a solução é com armadura dupla As e As A seção está mostrada na Figura 34 Tomando a hipótese de 08x h são aplicadas a Eq 35 e a Eq 36 Nd 085b h fcd As sd As sd Md As sd As sd h2 d UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 29 Figura 34 Resultados numéricos na flexocompressão com pequena excentricidade em seção retangular Considerando a solução na reta b temse c s s 20 e sd sd 420 kNcm2 aço CA50 Aplicando os valores numéricos 5 2 70 A 42 0 A 42 0 20010 0 4 A 42 0 A 42 0 41 52 0 85 25 70 200 4 s s s s Das equações resultam As 171 cm2 e As 3504 cm2 34 Equações Adimensionais O dimensionamento de elementos com as equações de equilíbrio apresentadas é muito laborioso no trabalho no dia a dia e por esta razão há décadas foram desenvolvidas equações adimensionais de aplicação mais simples E com o auxílio de ábacos feitos para diferentes arranjos da armadura na seção transversal as armaduras podem ser determinadas rapidamente Conforme as equações desenvolvidas para os diferentes casos de solicitação são apresentadas a seguir as equações adimensionais separadas de acordo com as situações possíveis para as armaduras As e As duas armaduras tracionadas uma armadura tracionada e outra comprimida e duas armaduras comprimidas 341 Duas Armaduras Tracionadas Para a solicitação de tração simples e flexotração com pequena excentricidade foi definida a Eq 10 Nd As fyd As sd Dividindo todos os termos por b h fcd e multiplicando o último termo por fydfyd e chamando a equação como ni temse yd yd cd sd s cd yd s cd d f f f h b A f f b h A h f b N E nomeando o primeiro e o segundo termos como e ômega cd yd s f f b h A e cd yd s f f h b A Eq 42 resulta d 5 As As h 70 cm b 25 d 65 d 5 CG 0 reta b es 200 s 20 08x h 700 x s 20 As 171 As 3504 Rc Nd e 100 Rs 085fcd c 20 Rs UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 30 yd sd f Eq 43 E com a Eq 11 relativa ao momento fletor Md As fyd As sd h2 d Dividindo todos os termos por b h2 fcd e multiplicando o último termo por fydfyd e chamando a equação como mi d 2 h f f h 1 f h b A h 1 f f b h A h f b M yd yd cd sd s cd yd s cd 2 d h d 2h h f f f h b A f f b h A h f b M yd yd cd sd s cd yd s cd 2 d e com os valores de e definidos na Eq 42 h d 2 1 f yd sd Eq 44 342 Uma Armadura Tracionada e outra Comprimida Para a flexocompressão foram definidas a Eq 15 e a Eq 17 Nd 068b d x fcd As sd As sd Md 034b d2x fcd hd 08x As1 s1 As2 s2 h2 d Do mesmo modo como feito no item anterior são definidos os valores de e yd sd yd sd x f f h d 0 68 1 Eq 45 h d 2 1 f f 80 d h h d 34 1 0 yd sd yd sd x x 2 Eq 46 343 Duas Armaduras Comprimidas Para a 08x h foram definidas a Eq 33 e a Eq 34 Nd 068b d x fcd As sd As sd Md 034b d2 x fcd hd 08x As sd As sd h2 d E são definidos os valores de e yd sd yd sd x f f h d 0 68 1 Eq 47 h d 2 1 f f 80 d h h d 34 1 0 yd sd yd sd x x 2 Eq 48 E da Eq 35 e Eq 36 para a 08x h Nd 085b h fcd As sd As sd UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 31 Md As sd As sd h2 d yd sd yd sd f f 0 85 Eq 49 h d 2 1 f f yd sd yd sd Eq 50 35 Ábaco com Armadura Bilateral Simétrica A Figura 35 mostra a seção transversal com armadura igual em duas faces opostas bilateral simétrica A área de armadura total Astot é a soma das parcelas As e As Astot 2 As As tot 2 com cd c yd tot s tot f A f A e a área da seção transversal Ac b h Fixandose o tipo de aço e a relação dh para cada par x tot escolhido para a LN existe um único par cd c d f A N h e h f b M cd 2 d d d e Nd h b As 2 2 s A Figura 35 Seção transversal com armadura bilateral simétrica na FCN Exemplo Definir os valores adimensionais e sendo fixados os seguintes valores tot 08 e x 10 para x d ou seja no limite entre os domínios 4 e 4a dh 010 e aço CA50 Resolução Para a Resolução podem ser aplicadas as equações Eq 45 e Eq 46 relativas à Eq 15 e à Eq 17 ou Eq 33 e Eq 34 E como x d a tensão na armadura As é zero sd 0 portanto As 0 Com a Eq 45 e Eq 46 yd sd yd sd x f f h d 0 68 1 yd sd tot f 2 01 010 0 68 1 h d 2 1 f f 80 d h h d 34 1 0 yd sd yd sd x x 2 010 2 1 f 2 01 80 d h 01 010 34 1 0 yd sd tot 2 tot tot UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 32 A equação de compatibilidade a ser aplicada é a Eq 23 x c x s x s d d 1 x x c x x c s d h 1 h d d d 311 1 010 1 010 1 53 com h d 1 h d h d h h h d h d h h d d h d d d Como a deformação s 311 yd 207 a tensão na armadura As é sd fyd E aplicando nas equações de e 101 f f 2 80 01 010 0 68 1 f 2 01 010 68 1 0 yd yd yd sd tot 010 2 1 f 2 01 80 d h 01 010 34 1 0 yd sd tot 2 40 f f 2 80 80 h d 1 1 2754 0 yd yd com h d 1 1 h d h h h h d h h d h d d h d h d d d h 0 25 016 80 010 1 1 0 2754 O par 101 e 025 representa um ponto do ábaco Figura 36 e como se pode observar o ponto é próximo da linha divisória entre os domínios 4 e 4a dado que x d 36 Cálculo da Armadura com Ábacos No dimensionamento feito manualmente de elementos estruturais principalmente pilares os ábacos são imprescindíveis porque permitem a rápida determinação da taxa de armadura sem necessidade de aplicar as equações teóricas da Flexão Composta Além disso os ábacos proporcionam a fácil escolha de diferentes arranjos de armadura na seção transversal Para cada caso de solicitação ábacos diferentes podem ser utilizados no entanto o ábaco deve ser escolhido de modo a resultar na menor armadura e portanto a mais econômica Neste texto serão aplicados os ábacos de Venturini 198723 para a Flexão Composta Normal ou Reta Esses ábacos devem ser aplicados apenas no dimensionamento de elementos com concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa porque foram desenvolvidos com alguns parâmetros numéricos que não se aplicam aos concretos do Grupo II São válidos para seção transversal retangular 23 VENTURINI WS RODRIGUES RO Dimensionamento de peças retangulares de concreto armado solicitadas à flexão reta São Carlos Departamento de Engenharia de Estruturas USP 1987 133p Disponível em 100524 httpwwwpfebunespbrpbastosconcreto2Abacos Flexao Normal Venturini UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 33 Figura 36 Ponto para 082 no ábaco de Venturini 1987 com armadura bilateral simétrica para a FCN com dh 010 A Figura 37 mostra a notação aplicada nos ábacos onde d é a distância entre a face da seção transversal e o centro da barra de aço do canto sendo paralela à excentricidade e da força normal De modo geral temse d c t 2 com c cobrimento de concreto t diâmetro do estribo e diâmetro da barra longitudinal Nd d h2 h2 d e b Figura 37 Notação para a Flexão Composta Normal Venturini 1987 As equações para a construção dos ábacos encontramse apresentadas em Venturini 1987 e a determinação da armadura é iniciada pelo cálculo dos esforços adimensionais ni e mi já definidos e com os valores 082 UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 34 cd c d f A N Eq 51 cd c d A f h M ou Eq 52 h e Eq 53 Nd força normal de cálculo Ac área da seção transversal do pilar fcd resistência de cálculo do concreto à compressão fck c Md momento fletor de cálculo h dimensão do pilar na direção considerada e excentricidade na direção considerada Escolhida uma disposição construtiva para a armadura no pilar determinase o ábaco a ser utilizado em função do tipo de aço e do valor da relação dh No ábaco com o par e obtémse a taxa mecânica ômega A armadura é calculada pela expressão yd cd c s f A f A Eq 54 4 FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA Para o estudo da formulação teórica da Flexão Composta Oblíqua recomendamos os livros de Fusco 1981 e de Santos 1983 41 Cálculo da Armadura com Ábacos Neste texto serão aplicados os ábacos de Pinheiro et al 200924 para a Flexão Composta Oblíqua25 Os ábacos devem ser aplicados apenas no dimensionamento de elementos com concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa porque foram desenvolvidos com alguns parâmetros numéricos que não se aplicam aos concretos do Grupo II e para seção retangular Para cada caso de solicitação ábacos diferentes podem ser utilizados no entanto o ábaco deve ser escolhido de modo a resultar na menor armadura e portanto a mais econômica A Figura 38 mostra a notação aplicada nos ábacos onde as distâncias dx e dy têm o mesmo significado da distância d dos ábacos para FCN porém cada uma em uma direção do pilar 24 PINHEIRO LM BARALDI LT POREM ME Estruturas de Concreto Ábacos para Flexão Oblíqua São Carlos Departamento de Engenharia de Estruturas USP 2009 108p Disponível em 100524 httpwwwpfebunespbrpbastosconcreto2Abacos Flexao Obliqua Pinheiro 25 Outros ábacos também podem ser utilizados como de Fusco 1981 Santos 1983 Süssekind 1984 UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 35 M h Mx d yd d x y h d N x y d Figura 38 Flexão Composta Oblíqua Pinheiro 2009 A determinação da armadura é iniciada pelo cálculo dos esforços adimensionais e com segundo as duas direções principais da seção cd c d f A N x x cd c x xd x h e A f h M Eq 55 y y cd c y yd y h e A f h M Eq 56 Escolhido um arranjo ou disposição das barras de aço na seção transversal do pilar e em função dos valores das relações dxhx e dyhy determinase o ábaco a ser utilizado Com o trio x y obtémse a taxa mecânica A armadura é calculada com a Eq 54 yd cd c s f A f A REFERÊNCIAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto de estruturas de concreto NBR 6118 Rio de Janeiro ABNT 2023 242p FUSCO PB Estruturas de concreto Solicitações normais Rio de Janeiro Ed Guanabara Dois 1981 464p PINHEIRO LM BARALDI LT POREM ME Estruturas de Concreto Ábacos para Flexão Oblíqua São Carlos Departamento de Engenharia de Estruturas USP 2009 108p Disponível em 100524 httpwwwpfebunespbrpbastosconcreto2Abacos Flexao Obliqua Pinheiro PINHEIRO LM Flexão Composta e Instabilidade Notas de Aula São Carlos Departamento de Engenharia de Estruturas Escola de Engenharia de São Carlos USP 1994 SANTOS LM Cálculo de Concreto Armado vl São Paulo Ed LMS 1983 541p SÜSSEKIND JC Curso de concreto v 2 4a ed Porto Alegre Ed Globo 1984 280p VENTURINI WS RODRIGUES RO Dimensionamento de peças retangulares de concreto armado solicitadas à flexão reta São Carlos Departamento de Engenharia de Estruturas USP 1987 133p Disponível em 100524 httpwwwpfebunespbrpbastosconcreto2Abacos Flexao Normal Venturini UNESP BauruSP Parte I Flexão Composta 36 UNESP BauruSP Parte II Pilares 37 PARTE II PILARES DE CONCRETO ARMADO 5 INTRODUÇÃO O dimensionamento dos pilares é feito em função dos esforços externos solicitantes de cálculo que podem compreender forças normais Nd momentos fletores Mdx e Mdy e forças cortantes Vdx e Vdy A NBR 6118 na versão de 2003 fez modificações em algumas das metodologias de cálculo das estruturas de Concreto Armado como também em alguns parâmetros aplicados no dimensionamento e verificação de estruturas Especial atenção foi dada à questão da durabilidade das peças de concreto Particularmente no caso dos pilares a norma introduziu várias modificações como no valor da excentricidade acidental um maior cobrimento de concreto uma nova metodologia para o cálculo da esbeltez limite relativa à consideração ou não dos momentos fletores de 2a ordem e principalmente com a consideração de um momento fletor mínimo que pode substituir o momento fletor devido à excentricidade acidental A versão de 2014 da NBR 6118 manteve essas prescrições e introduziu que a verificação do momento fletor mínimo pode ser feita comparando uma envoltória resistente que englobe a envoltória mínima com 2ª ordem A versão de 2023 segue as versões anteriores Este texto trata apenas dos pilares ou seja não apresenta o dimensionamento dos pilaresparedes26 O dimensionamento dos pilares com índice de esbeltez máximo até 90 é feito segundo as duas possibilidades constantes da NBR6118 com a aplicação do momento fletor mínimo e com a excentricidade acidental em substituição ao momento fletor mínimo Cabe ao projetista estrutural escolher a metodologia que desejar aplicar No item 1725 Processo aproximado para o dimensionamento à flexão composta oblíqua a NBR 6118 apresenta um procedimento simplificado para o projeto de elementos sob flexão composta oblíqua simples ou composta que não será apresentado neste texto A definição das características do concreto e do cobrimento da armadura são itens muito importantes no projeto de estruturas de concreto sendo por isso apresentadas a seguir algumas prescrições da norma que auxiliam na escolha do concreto 6 ESPECIFICAÇÕES DO CONCRETO E DO COBRIMENTO Segundo a NBR 6118 item 641 A agressividade ambiental está relacionada às ações físicas e químicas que atuam sobre as estruturas de concreto independentemente das ações mecânicas das variações volumétricas de origem térmica da retração hidráulica e outras previstas no dimensionamento das estruturas Nos projetos das estruturas correntes a agressividade ambiental deve ser classificada de acordo com o apresentado na Tabela 2 e pode ser avaliada simplificadamente segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas partes NBR 6118 item 642 Conhecendo o ambiente em que a estrutura será construída o projetista estrutural pode considerar uma condição de agressividade maior que aquelas mostradas na Tabela 2 Segundo a NBR 6118 item 74 a durabilidade das estruturas é altamente dependente das características do concreto e da espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura Ensaios comprobatórios de desempenho da durabilidade da estrutura frente ao tipo e classe de agressividade prevista em projeto devem estabelecer os parâmetros mínimos a serem atendidos Na falta destes e devido à existência de uma forte correspondência entre a relação águacimento e a resistência à compressão do concreto e sua durabilidade permitese que sejam adotados simultaneamente os requisitos mínimos expressos na Tabela 71 aqui apresentada na Tabela 3 26 Para estudo de pilaresparedes ver KIMURA AE EE05 Pilares Módulo EE05 São Paulo FESPABECETQS 2010 272 p UNESP BauruSP Parte II Pilares 38 Tabela 2 Classes de agressividade ambiental CAA NBR 6118 Tabela 61 Classe de agressividade ambiental Agressividade Classificação geral do tipo de ambiente para efeito de projeto Risco de deterioração da estrutura I Fraca Rural Insignificante Submerso II Moderada Urbano12 Pequeno III Forte Marinho1 Grande Industrial12 IV Muito forte Industrial13 Elevado Respingos de maré NOTAS 1 Podese admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda uma classe acima para ambientes internos salas dormitórios banheiros cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura 2 Podese admitir uma classe de agressividade mais branda uma classe acima em obras em regiões de clima seco com umidade média relativa do ar menor ou igual a 65 partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos ou regiões onde raramente chove 3 Ambientes quimicamente agressivos tanques industriais galvanoplastia branqueamento em indústrias de celulose e papel armazéns de fertilizantes indústrias químicas elementos em contato com solo contaminado ou água subterrânea contaminada Tabela 3 Correspondência entre classe de agressividade ambiental e qualidade do Concreto Armado NBR 6118 Tabela 71 Concreto1 Tipo23 Classe de agressividade ambiental CAA I II III IV Relação águacimento em massa CA 065 060 055 045 CP 060 055 050 045 Classe de concreto NBR 8953 CA C20 C25 C30 C40 CP C25 C30 C35 C40 NOTAS 1 O concreto empregado na execução das estruturas deve cumprir com os requisitos estabelecidos na NBR 12655 2 CA corresponde a componentes e elementos estruturais de Concreto Armado 3 CP corresponde a componentes e elementos estruturais de Concreto Protendido Definese cobrimento de armadura a espessura da camada de concreto responsável pela proteção da armadura num elemento Essa camada iniciase a partir da face mais externa da barra de aço e se estende até a superfície externa do elemento em contato com o meio ambiente Em vigas e pilares é comum a espessura do cobrimento iniciar na face externa dos estribos da armadura transversal como mostrado na Figura 39 barra longitudinal estribo C C nom nom Figura 39 Espessura do cobrimento da armadura pelo concreto UNESP BauruSP Parte II Pilares 39 A NBR 6118 item 7471 define o cobrimento mínimo da armadura como o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado E no item 7472 Para garantir o cobrimento mínimo cmín o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal cnom que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução c c c c mín nom Eq 57 As dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais Nas obras correntes o valor de c deve ser maior ou igual a 10 mm item 7473 No entanto Para estruturas projetadas de acordo com a ABNT NBR 906227 quando houver um controle adequado de qualidade e limites rígidos de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotado o valor Δc 5 mm mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto Permitese então a redução dos cobrimentos nominais conforme a Tabela 72 em 5 mm item 7474 A NBR 6118 itens 7475 ainda estabelece que O cobrimento nominal de uma determinada barra deve sempre ser bainha nom n feixe nom barra nom 50 c n c c Eq 58 No item 7476 A dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado no concreto não pode superar em 20 a espessura nominal do cobrimento ou seja nom máx c 21 d Eq 59 A Tabela 4 NBR 6118 item 7472 apresenta valores de cobrimento nominal com tolerância de execução c de 10 mm em função da classe de agressividade ambiental Para concretos de classe de resistência superior à mínima exigida os cobrimentos definidos na Tabela 72 podem ser reduzidos em até 5 mm item 7476 portanto quando escolhido um concreto de resistência superior ao mínimo exigido conforme a Tabela 3 os cobrimentos da Tabela 4 podem ser reduzidos em 5 mm No caso de elementos estruturais préfabricados os valores relativos ao cobrimento das armaduras Tabela 72 devem seguir o disposto na ABNT NBR 9062 item 7477 Tabela 4 Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para c 10 mm NBR 6118 Tabela 72 Tipo de estrutura Componente ou elemento Classe de agressividade ambiental CAA I II III IVc Cobrimento nominal mm Concreto Armado Lajeb 20 25 35 45 VigabPilar 25 30 40 50 Elementos estruturais em contato com o solod 30 40 50 Concreto Protendidoa Laje 25 30 40 50 VigaPilar 30 35 45 55 27 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto e execução de estruturas de concreto pré moldado NBR 9062 ABNT 2017 86p UNESP BauruSP Parte II Pilares 40 Notas a Cobrimento nominal da bainha ou dos fios cabos e cordoalhas O cobrimento da armadura passiva deve respeitar os cobrimentos para concreto armado b Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira com argamassa de revestimento e acabamento como pisos de elevado desempenho pisos cerâmicos pisos asfálticos e outros as exigências desta Tabela podem ser substituídas pelas de 7475 respeitado um cobrimento nominal 15 mm c Nas superfícies expostas a ambientes agressivos como reservatórios estações de tratamento de água e esgoto condutos de esgoto canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos devem ser atendidos os cobrimentos da classe de agressividade IV d No trecho dos pilares em contato com o solo junto aos elementos de fundação a armadura deve ter cobrimento nominal 45 mm 7 CONCEITOS INICIAIS Neste item são apresentadas algumas definições com o objetivo de auxiliar o entendimento dos métodos do pilarpadrão com curvatura aproximada e com rigidez aproximada 71 Definições Pilares são Elementos lineares de eixo reto usualmente dispostos na vertical em que as forças normais de compressão são preponderantes NBR 6118 item 14412 Pilaresparede são Elementos de superfície plana ou casca cilíndrica usualmente dispostos na vertical e submetidos preponderantemente à compressão Podem ser compostos por uma ou mais superfícies associadas Para que se tenha um pilarparede em alguma dessas superfícies a menor dimensão deve ser menor que 15 da maior ambas consideradas na seção transversal do elemento estrutural item 14424 Por exemplo se um elemento de seção retangular tem largura de 20 cm será pilar se o comprimento não superar 100 cm 5 20 e pilarparede se o comprimento for maior que 100 cm Figura 40 No elemento da Figura 41b como existem superfícies com comprimento superior a cinco vezes a espessura tratase de um pilarparede a pilar b pilarparede Figura 40 Definição de pilar e pilarparede em função das dimensões da seção transversal a pilarparede em superfície curva b pilarparede de seção composta Figura 41 Exemplos de pilaresparedes hy hx 5hy hy hx 5hy b2 a3 b1 a b 5a a1 a2 b3 5a3 UNESP BauruSP Parte II Pilares 41 72 Flambagem Elementos submetidos à força normal de compressão podem apresentar deslocamentos laterais ou flambagem A máxima força axial que pode atuar em uma coluna quando ela está no limite da flambagem é chamada carga crítica Pcr E qualquer carga superior à Pcr provocará flambagem na coluna portanto deslocamento lateral Figura 42 Por isso os pilares devem ser projetados com atenção de modo que não ocorra flambagem que origine o EstadoLimite Último A ruína por efeito de flambagem é repentina e violenta mesmo sem a ocorrência de acréscimos bruscos nas ações aplicadas Figura 42 Flambagem em barra comprimida O pilar sob carga axial coluna sofrerá flambagem em torno do eixo principal da seção transversal de menor momento de inércia como ilustrado na Figura 43 para um pilar de seção retangular Por isso conseguese um melhor resultado mantendo os mesmos momentos de inércia em todas as direções como tubos circulares ou quadrados ou formas que tenham Ix Iy Figura 43 Flambagem na direção da largura da coluna de seção retangular Hibbeler 200428 73 Comprimento Equivalente e Índice de Esbeltez Em edifícios a linha deformada dos pilares contraventados apresentase como mostrada na Figura 44a A Figura 44b mostra a simplificação geralmente adotada 28 HIBBELER RC Resistência dos Materiais São Paulo Ed Pearson Prentice Hall 5a ed 2004 670p P Pcr Pcr Pcr P Pcr P a a b b UNESP BauruSP Parte II Pilares 42 1 2 FUNDAÇÃO 1 TETO 2 TETO n TETO n 2 TETO 1 TETO FUNDAÇÃO n n TETO e n 2 e 2 3 1 e 2 1 a situação real b situação simplificada Figura 44 Situação real e simplificada de pilares contraventados de edificações A NBR 6118 156 especifica que Nas estruturas de nós fixos o cálculo pode ser realizado considerando cada elemento comprimido isoladamente como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que ali concorrem onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura efetuada segundo a teoria de 1a ordem Assim o comprimento equivalente29 e Figura 45 do elemento comprimido pilar suposto vinculado em ambas as extremidades deve ser o menor dos seguintes valores h o e Eq 60 h h Figura 45 Valores de o e o é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais supostos horizontais que vinculam o pilar h é a altura da seção transversal do pilar medida no plano da estrutura em estudo é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado O índice de esbeltez é a razão entre o comprimento equivalente e o raio de giração segundo uma direção NBR 6118 1582 29 Para casos de determinação do comprimento equivalente mais complexos recomendamos a leitura de Süssekind 1984 v2 O comprimento equivalente era chamado comprimento de flambagem na NBR 6118 1 n 2 UNESP BauruSP Parte II Pilares 43 i e Eq 61 com o raio de giração A I i Para seção retangular o índice de esbeltez resulta h 346 h 12 e e Eq 62 e comprimento equivalente i raio de giração da seção geométrica da peça seção transversal de concreto não se considerando a presença de armadura I momento de inércia A área da seção h dimensão do pilar na direção considerada O comprimento equivalente de uma barra isolada depende das vinculações na base e no topo conforme os esquemas mostrados na Figura 46 No entanto no item 1582 a NBR 6118 prescreve No caso de pilar engastado na base e livre no topo o valor de e é igual a 2 Nos demais casos adotar os valores calculados conforme 156 isto é o valor dado na Eq 60 A Simples A Simples Engaste L e L 2 L e 05 L L e 05 L e 07 L e Livre Engaste Eng Elástico Eng Elástico Engaste Engaste A Simples Figura 46 Comprimento equivalente e Em função do índice de esbeltez máximo os pilares podem ser classificados como30 a Curto se 35 b Médio se 35 90 c Medianamente esbelto se 90 140 d Esbelto se 140 200 Eq 63 Os pilares curtos e médios 90 representam a grande maioria dos pilares das edificações Os pilares medianamente esbeltos e esbeltos são pouco frequentes 74 Noções sobre Contraventamento de Estruturas Os edifícios devem ser projetados de modo a apresentar estabilidade às ações verticais e horizontais ou seja devem apresentar a chamada Estabilidade Global Na estrutura de uma edificação os pilares são os principais elementos destinados à obtenção da Estabilidade Global e em edifícios altos pode ser necessário projetar outros elementos mais rígidos que além de também transmitirem as ações verticais garantem a estabilidade horizontal do edifício à ação do vento do desaprumo e de sismos quando existirem Ao mesmo tempo são esses elementos mais rígidos que permitem considerar a indeslocabilidade dos nós dos pilares 30 Até a versão de 2003 da NBR 6118 o limite de 35 era estabelecido como 40 pela antiga NB178 Uma outra classificação substitui o valor 35 pelo valor limite 1 apresentado adiante UNESP BauruSP Parte II Pilares 44 menos rígidos Com essas premissas classificamse os elementos verticais de edifícios em elementos de contraventamento e elementos contraventados Definese o sistema de contraventamento como o conjunto de elementos que proporcionarão a estabilidade horizontal do edifício e a indeslocabilidade ou quaseindeslocabilidade dos pilares contraventados que são aqueles que não fazem parte do sistema de contraventamento A NBR 6118 item 1543 diz que Por conveniência de análise é possível identificar dentro da estrutura subestruturas que devido à sua grande rigidez a ações horizontais resistem à maior parte dos esforços decorrentes dessas ações Essas subestruturas são chamadas subestruturas de contraventamento Os elementos que não participam da subestrutura de contraventamento são chamados elementos contraventados Os elementos de contraventamento são constituídos por pilares de grandes dimensões pilaresparede ou simplesmente paredes estruturais por treliças ou pórticos de grande rigidez núcleos de rigidez etc como mostrados na Figura 47 As lajes dos pavimentos do edifício também podem participar da estabilidade horizontal ao atuarem como elementos de rigidez infinita no próprio plano o que se chama diafragma rígido fazendo a ligação entre elementos de contraventamento formados por pórticos por exemplo Segundo Süssekind 1984 p 175 Toda estrutura independentemente do número de andares e das dimensões em planta deve ter seu sistema de contraventamento estudado e adequadamente dimensionado Pilares ou Elementos de Contraventamentos Pilares Contraventados Figura 47 Pilares contraventados e elementos de contraventamento Fusco 1981 741 Estruturas de Nós Fixos e Móveis No item 1542 a NBR 6118 define o que são para efeito de cálculo estruturas de nós fixos e de nós móveis A Figura 49 e a Figura 50 ilustram os tipos a Estruturas de nós fixos As estruturas são consideradas para efeito de cálculo de nós fixos quando os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e por decorrência os efeitos globais de 2a ordem são desprezíveis inferiores a 10 dos respectivos esforços de 1a ordem Nessas estruturas basta considerar os efeitos locais e localizados de 2a ordem No item 1541 a NBR 6118 apresenta definições de efeitos globais locais e localizados de 2a ordem Sob a ação das cargas verticais e horizontais os nós da estrutura deslocamse horizontalmente Os esforços de 2a ordem decorrentes desses deslocamentos são chamados efeitos globais de 2a ordem Nas barras da estrutura como um lance de pilar os respectivos eixos não se mantêm retilíneos surgindo aí efeitos locais de 2a ordem que em princípio afetam principalmente os esforços solicitantes ao longo delas Em pilaresparede simples ou compostos podese ter uma região que apresenta não retilineidade maior do que a do eixo do pilar como um todo Nessas regiões surgem efeitos de 2a ordem maiores chamados de efeitos de 2a ordem localizados ver Figura 153 O efeito de 2a ordem localizado além de aumentar nessa região a flexão longitudinal aumenta também a flexão transversal havendo a necessidade de aumentar a armadura transversal nessas regiões ver Figura 48 UNESP BauruSP Parte II Pilares 45 Figura 48 Efeitos de 2a ordem localizados NBR 6118 b Estruturas de nós móveis As estruturas de nós móveis são aquelas onde os deslocamentos horizontais não são pequenos e em decorrência os efeitos globais de 2a ordem são importantes superiores a 10 dos respectivos esforços de 1a ordem Nessas estruturas devem ser considerados tanto os esforços de 2a ordem globais como os locais e localizados As subestruturas de contraventamento podem ser de nós fixos ou de nós móveis de acordo com as definições acima Figura 49 e Figura 50 Para verificar se a estrutura está sujeita ou não a esforços globais de 2a ordem ou seja se a estrutura pode ser considerada como de nós fixos lançase mão do cálculo do parâmetro de instabilidade NBR 6118 item 1552 ou do coeficiente z item 1553 Para mais informações sobre a Estabilidade Global dos edifícios podem ser consultados Fusco 2000 e Süssekind 1984 entre outros Pilares Contraventados Elementos de Contraventamento nós móveis nós fixos Figura 49 Pilares contraventados e elementos de contraventamento Fusco 1981 742 Elementos Isolados A NBR 6118 item 1544 define que são considerados elementos isolados os seguintes a os elementos estruturais isostáticos b os elementos contraventados c os elementos das estruturas de contraventamento de nós fixos d os elementos das subestruturas de contraventamento de nós móveis desde que aos esforços nas extremidades obtidos em uma análise de 1a ordem sejam acrescentados os determinados por análise global de 2a ordem UNESP BauruSP Parte II Pilares 46 Neste texto são apresentados somente os pilares contraventados a Estrutura deslocável b Estrutura indeslocável a estrutura deslocável b estrutura indeslocável nós móveis nós fixos Figura 50 Estruturas de nós fixos e móveis Fusco 1981 75 Não Linearidade Física e Geométrica O conceito de linearidade ou não linearidade consiste em existir ou não proporcionalidade entre duas variáveis Pode ser aplicado às estruturas aos elementos estruturais e aos materiais Quando não há proporcionalidade dizse que há não linearidade como por exemplo a relação existente entre uma força aquilo que causa um efeito e o deslocamento o efeito ou também aquela relação muito útil na análise de materiais a tensão versus deformação No dimensionamento de pilares é muito importante considerar duas não linearidades que ocorrem uma relativa ao material Concreto Armado não linearidade física e outra relativa à geometria do pilar não linearidade geométrica As não linearidades podem ser consideradas de maneira aproximada ou rigorosa conforme os diferentes processos preconizados na NBR 6118 a não linearidade física A não linearidade física referese ao material no caso aqui o Concreto Armado O material com diagrama x mostrado na Figura 51a é elástico linear onde existe proporcionalidade entre a tensão e a deformação sendo válida a Lei de Hooke e o material da Figura 51b é não linear O Concreto Simples apresenta comportamento elastoplástico em ensaios de compressão simples com um trecho inicial linear até aproximadamente 03fc Figura 51b O Concreto Armado apresenta comportamento não linear devido aos efeitos da fissuração fluência do concreto e escoamento da armadura a elástico linear b não linear concreto Figura 51 Exemplos de diagramas x de um material fc E 03fc UNESP BauruSP Parte II Pilares 47 Por exemplo um pilar armado não esbelto e carregado axialmente quando submetido a uma carga crescente o concreto e o aço apresentam variação de tensão como mostradas na Figura 52 No estágio inicial ambos os materiais concreto e aço apresentam comportamento elástico linear porém nos estágios mais avançados o comportamento alterase para o não linear Com deformação em torno de 02 a 03 2 a 3 o concreto alcança a resistência máxima à compressão fc e teoricamente a carga máxima que o pilar pode ter Aumentos adicionais de carga são possíveis apenas com a contribuição do aço Nawy 2005 Figura 52 Comportamento do concreto e do aço em pilar sob compressão simples Adptado de Nawy 2005 Quando sob uma força de compressão o pilar apresenta deslocamentos laterais que são diretamente afetados pela rigidez dos materais concreto e aço que deve ser estimada por meio de processos que considerem a não linearidade física dos materiais31 b não linearidade geométrica Ocorre a não linearidade geométrica quando não é proporcional a relação entre uma força aplicada em uma estrutura ou elemento e o deslocamento provocado No caso por exemplo do pilar mostrado na Figura 53 o deslocamento máximo horizontal no topo a é função da força P porém o aumento do deslocamento não é proporcional ao crescimento da força de modo que se a força P ultrapassar a força crítica Pcr o deslocamento aumenta rapidamente Figura 53c No caso de deslocamentos relativamente grandes a análise do pilar em sua posição deformada é necessária pois ocorrem momentos fletores adicionais denominados de 2a ordem como o momento fletor máximo na base do pilar M2 P a A NBR 6118 item 1541 define Nas barras da estrutura como um lance32 de pilar os respectivos eixos não se mantêm retilíneos surgindo aí efeitos locais de 2ª ordem que em princípio afetam principalmente os esforços solicitantes ao longo delas Portanto os pilares têm um comportamento geometricamente não linear ou seja a análise do equilíbrio deve ser feita na condição deformada conforme a chamada teoria de 2a ordem em que são levados em conta os efeitos dos deslocamentos nos esforços solicitantes33 31 PINTO RS Não linearidade física e geométrica no projeto de edifícios usuais de concreto armado Dissertação Mestrado Departamento de Estruturas Universidade de São Paulo São Carlos 1997 128 f Disponível em httpwwwseteescuspbrstaticmediaproducao1997MERivellidaSilvaPintopdf Acesso em 23032020 32 Lance é a parte comprimento de um pilar relativa ao trecho entre dois pavimentos de uma edificação 33 PIRES SL Análise de pilares de concreto armado submetidos à flexão normal composta considerando as não linearidades física e geométrica Dissertação Mestrado Curso de Engenharia Civil Universidade Estadual de Campinas Campinas 2006 115p Disponível em 23032020 httprepositoriounicampbrjspuibitstreamREPOSIP2577311PiresSusanadeLimaMpdf u fc fy deformação do concreto em fc escoamento do aço escoamento do aço ruptura do concreto UNESP BauruSP Parte II Pilares 48 a posição inicial b posição final c relação força x deslocamento Figura 53 Não linearidade geométrica de pilar No cálculo de pilares com índice de esbeltez máximo igual a 90 a NBR 6118 permite algumas simplificações na avaliação dos momentos fletores de 2a ordem M2 No método do pilarpadrão com curvatura aproximada a não linearidade geométrica é considerada de forma aproximada supondose que a deformação da barra seja senoidal e a não linearidade física é considerada por meio de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica No método do pilarpadrão com rigidez aproximada a não linearidade geométrica é também considerada supondo a forma senoidal no entanto a não linearidade física é considerada por meio de uma expressão aproximada da rigidez do pilar Porém no caso de pilares esbeltos as simplificações não são permitidas e as não linearidades devem ser consideradas de maneira rigorosa por meio do Método Geral 76 Equação da Curvatura de Elementos Fletidos Com o intuito de subsidiar o entendimento do método do pilarpadrão apresentado adiante e da expressão para cálculo do momento fletor de 2a ordem apresentase em seguida a equação da curvatura de peças fletidas34 Considerando a Lei de Hooke E a equação da curvatura de uma barra submetida à Flexão Simples Figura 54 tem a seguinte dedução35 B A r d ds D C r y d r d y d ds y d O alongamento da fibra D C é D C ds 1 ds ds o que resulta y d ds e y ds d r 1 Eq 64 aplicando essa equação às fibras extremas temse 0 y y r 1 2 2 1 1 34 A equação da curvatura é geralmente estudada na disciplina Resistência dos Materiais 35 A dedução toma como base aquela apresentada em Fusco 1981 Pcr Força Deslocamento P x P y a P a UNESP BauruSP Parte II Pilares 49 pois 1 0 e y1 0 e 2 0 e y2 0 o que resulta h y y y y r 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Para uma viga de Concreto Armado com deformações nas fibras extremas de c no concreto comprimido e s na armadura tracionada temse d r 1 s c Eq 65 com c e s em valor absoluto e d altura útil da armadura A NBR 6118 aplica esta equação no cálculo do momento fletor de 2a ordem M2 com as deformações s e c substituídas por valores numéricos ver Eq 77 Figura 54 Curvatura de uma peça sob Flexão Simples Admitindo a linearidade física do material temse E e I y M resulta EI y M E com a Eq 64 E I M y r 1 Eq 66 Da Resistência dos Materiais temse a expressão exata da curvatura linha elástica de uma viga submetida a duas forças F Figura 55 3 2 2 2 2 dx dy 1 dx y d r 1 Eq 67 d s ds C r y M 2 D B c 1 A r h d M y 0 y 0 UNESP BauruSP Parte II Pilares 50 Figura 55 Linha elástica de uma viga Para pequenos deslocamentos pequena inclinação temse 2 dx dy 1 o que leva a 2 2 dx y d r 1 Eq 68 Juntando a Eq 66 e a Eq 68 encontrase a equação aproximada para a curvatura E I M dx y d r 1 2 2 Eq 69 77 Definição de PilarPadrão e da Curvatura Aproximada Como já comentado nos métodos do pilarpadrão com curvatura aproximada e com rigidez aproximada a não linearidade geométrica é considerada de forma aproximada supondose que a deformação da barra seja senoidal De modo que neste item apresentamse a definição do pilarpadrão e a dedução da equação simplificada da deformação senoidal de barra comprimida necessária à aplicação dos métodos do pilarpadrão no dimensionamento de pilares O pilarpadrão36 é uma simplificação do chamado Método Geral37 sendo definido como um pilar em balanço engastado na base e livre no topo com uma curvatura conhecida que origina no topo o deslocamento horizontal de valor Figura 56 base 2 e r 1 10 a 36 É importante salientar que o Método do pilarpadrão é aplicável somente a pilares de seção transversal e armadura constantes ao longo do comprimento do pilar 37 O Método Geral conforme a NBR 6118 item 15832 Consiste na análise não linear de 2a ordem efetuada com discretização adequada da barra consideração da relação momentocurvatura real em cada seção e consideração da não linearidade geométrica de maneira não aproximada O método geral é obrigatório para λ 140 Geralmente não é estudado em cursos de graduação y x dx x ds F O r y d F UNESP BauruSP Parte II Pilares 51 Figura 56 Pilarpadrão Fusco 1981 No pilarpadrão é admitida que o deslocamento a seja uma função linear da curvatura na base do pilar A dedução da equação simplificada da deformação senoidal do pilarpadrão como mostrado na Figura 57 é como segue Como definida na Eq 68 a equação aproximada da curvatura é 2 2 dx y d r 1 O momento fletor externo solicitante é Mext N y Considerando a Eq 69 E I M dx y d 2 2 com material elástico linear e fazendo o equilíbrio entre o momento fletor externo e o momento fletor interno Mext Mint temse k y E I y N dx d y 2 2 2 0 y k dx d y 2 2 2 com k2 NEI A solução geral para a equação diferencial tem a forma y C1 sen k x C2 cos k x Eq 70 As condições de contorno para definição das constantes C1 e C2 são a para x 0 y 0 C1 0 C2 1 0 C2 0 A Eq 70 simplificase para Figura 57 Curvatura de uma barra comprimida engastada na base e livre no topo y C1 sen k x Eq 71 N e1 H a N e 2 r y a N e x y base UNESP BauruSP Parte II Pilares 52 b para x 0 dx dy 0 k C cos k k C cos k x dx dy 1 x 1 x Eq 72 Para barra fletida a constante C1 na Eq 72 deve ser diferente de zero o que leva a cos k 0 k 2 k 2 A Eq 71 toma a forma C sen 2 x y 1 Eq 73 Para x o deslocamento y é igual ao deslocamento máximo a ver Figura 57 Portanto aplicando a Eq 73 a C sen 2 y 1 donde resulta que C1 a Sendo 2 e e comprimento equivalente38 e com a determinação da constante C1 definese a equação simplificada para a curvatura deformação da barra comprimida uma função senoidal e x a sen y Eq 74 Chamando o deslocamento horizontal máximo a como a excentricidade de 2a ordem e2 a equação fica e 2 x e sen y A primeira e a segunda derivada da equação fornecem e x cos e dx dy e e 2 e 2 e 2 2 2 x sen e dx y d E fazendo x sendo e 2 2 e 2 2 2 2 e dx y d Eliminando o sinal negativo e considerando a Eq 68 2 2 dx y d r 1 com 1r relativo à seção crítica base temse base 2 e 2 2 2 2 r 1 e dx d y Com 2 10 o deslocamento no topo da barra é39 base 2 e 2 r 1 10 e Eq 75 38 A NBR 6118 passou a denominar como comprimento equivalente o antes donominado comprimento de flambagem 39 Fusco 1981 p 182 apresenta a excentricidade e2 de maneira mais simples partindo da equação senoidal para a curvatura UNESP BauruSP Parte II Pilares 53 Devido à excentricidade local de 2a ordem e2 surge o chamado momento fletor de 2a ordem M2d Nd e2 base 2 e d r 1 10 N Eq 76 A verificação da segurança é feita arbitrandose deformações c e s tais que não ocorra o EstadoLimite Último de ruptura ou alongamento plástico excessivo na seção mais solicitada da peça Fusco 1981 Tomando a Eq 65 e considerando aço CA50 γs 115 e εc 35 00035 podese determinar o valor da curvatura 1r na base do pilarpadrão d r 1 s c base d 00557 0 d 0 00207 0035 0 d 21000 0035 50 115 0 d E f 0035 0 s yd A NBR 6118 item 158332 toma uma expressão aproximada para a curvatura na base como h 005 0 50 h 005 0 r 1 base Eq 77 com ni sendo um valor adimensional relativo à força normal Nd40 cd c d f A N Eq 78 h altura da seção na direção considerada Ac área da seção transversal fcd resistência de cálculo do concreto à compressão fckc 8 EXCENTRICIDADES Neste item são apresentadas outras excentricidades além da excentricidade de 2a ordem que podem ocorrer no dimensionamento dos pilares excentricidade de 1a ordem excentricidade acidental e excentricidade devida à fluência 81 Excentricidade de 1a Ordem A excentricidade de 1a ordem e141 é devida aos esforços solicitantes de 1a ordem que são aqueles existentes na estrutura não deformada e pode ocorrer devido à existência de momentos fletores solicitantes ao longo do lance do pilar independentes da força normal ou devido ao ponto teórico de aplicação da força normal não coincidir com o centro de gravidade CG da seção transversal ou seja quando existe uma excentricidade inicial a Considerando a força normal N e a existência ou não de momento fletor de 1a ordem M1 independente de N na Figura 58 são mostrados casos possíveis da excentricidade de 1a ordem 82 Excentricidade Acidental Segundo a NBR 6118 11334 Na verificação do estadolimite último das estruturas reticuladas devem ser consideradas as imperfeições geométricas do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada Essas imperfeições podem ser divididas em dois grupos imperfeições globais e imperfeições locais E no item 113342 No caso do dimensionamento ou verificação de um lance de pilar deve ser considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilineidade do eixo do pilar Admitese que nos casos usuais de estruturas reticuladas a consideração apenas da falta de retilineidade ao longo do lance de pilar seja suficiente42 40 A equação do valor adimensional foi inicialmente apresentada no item 34 41 A excentricidade de primeira ordem pode ocorrer tanto na direção x como na direção y do pilar 42 A norma deixa claro que a imperfeição geométrica local pode ser considerada apenas com a falta de retilinidade do pilar UNESP BauruSP Parte II Pilares 54 a N suposta centrada e M1 0 e1 0 b N suposta aplicada à distância a do CG e M1 0 e1 a c N suposta centrada e M1 0 e1 M1N d N suposta aplicada à distância a do CG e M1 0 e1 a M1N Figura 58 Casos de excentricidade de 1a ordem M1 suposto zero ou constante Para determinar a excentricidade acidental antes é necessário calcular o ângulo relativo ao desaprumo da estrutura reticulada da edificação No item 113341 a NBR 6118 estabelece Na análise global dessas estruturas sejam elas contraventadas ou não deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais A imperfeição geométrica global pode ser avaliada pelo ângulo 1 conforme a Figura 5943 H 100 1 1 Eq 79 H altura total da edificação expressa em metros m 1mín 1300 para estruturas reticuladas e imperfeições locais44 1máx 1200 Para pilares isolados em balanço devese adotar 1 1200 43 As fórmulas para cálculo da imperfeição global bem como da excentricidade acidental constam do Eurocode 2 Na NBR 6118 há outras prescrições relativas à imperfeição global não apresentadas neste texto ver item 113341 44 A NBR 6118 especifica o valor mínimo para a imperfeição local porém o valor máximo não está especificado para a imperfeição local a M1 0 M1 0 M1 0 a M1 y N N N N x y N a x y x y x N M1 0 N M1 a N UNESP BauruSP Parte II Pilares 55 Figura 59 Imperfeições geométricas globais Figura 111 da NBR 6118 A excentricidade acidental por falta de retilineidade é Figura 60b45 2 e e 1 a Eq 80 A excentricidade acidental por desaprumo do pilar é Figura 60c46 e 1 a e Eq 81 a Elementos de travamento tracionado ou comprimido b Falta de retilineidade no pilar c Desaprumo do pilar Figura 60 Imperfeições geométricas locais Figura 112 da NBR 6118 Segundo a NBR 6118 item 113343 O efeito das imperfeições locais nos pilares e pilaresparede pode ser substituído em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1ª ordem ou seja no cálculo dos pilares a imperfeição geométrica local considerada por meio da excentricidade acidental pode ser substituída por um momento fletor mínimo como será mostrado no item 1011 Relativamente à situação de elementos de travamento como mostrada na Figura 60a a NBR 6118 113342 prescreve No caso de elementos que ligam pilares contraventados a pilares de 45 Na Figura 112 a NBR 6118 mostra a altura Hi porém não a define No Eurocode 2 a excentricidade acidental é calculada em função do comprimento equivalente e e assim será feito neste texto 46 A antiga NB 178 avaliava a excentricidade acidental como ea h30 com valor mínimo de 2 cm A NBR 6118 a partir da versão de 2003 modificou o valor da excentricidade acidental conforme os critérios apresentados acima n prumadas de pilares H pilar de contraventamento pilar contraventado Hi2 ea ea 1 1 1 1 i elemento de travamento Hi 2 UNESP BauruSP Parte II Pilares 56 contraventamento usualmente vigas e lajes deve ser considerada a tração decorrente do desaprumo do pilar contraventado 83 Excentricidade de 2a Ordem Local e ValorLimite 1 Conforme a NBR 6118 item 1574 A análise global de 2a ordem fornece apenas os esforços nas extremidades das barras devendo ser realizada uma análise dos efeitos locais de 2a ordem ao longo dos eixos das barras comprimidas de acordo com o prescrito em 158 Os elementos isolados para fins de verificação local devem ser formados pelas barras comprimidas retiradas da estrutura com comprimento e de acordo com o estabelecido em 156 porém aplicandose às suas extremidades os esforços obtidos através da análise global de 2a ordem Nos métodos do pilarpadrão com curvatura aproximada e com rigidez aproximada os efeitos locais de 2a ordem são avaliados por meio da excentricidade máxima de 2a ordem e2 que origina o momento fletor de 2a ordem M2 como mostrados na Eq 75 e Eq 76 E no item 1582 da NBR 6118 Os esforços locais de 2a ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez for menor que o valorlimite 1 O valor de 1 depende de diversos fatores mas os preponderantes são a excentricidade relativa de 1a ordem e1 h na extremidade do pilar onde ocorre o momento de 1a ordem de maior valor absoluto a vinculação dos extremos da coluna isolada a forma do diagrama de momentos de 1a ordem O valorlimite 1 é b 1 1 h 12 5 e 25 com 35 λ1 90 Eq 82 e1 excentricidade de 1a ordem não inclui a excentricidade acidental ea e1 h excentricidade relativa de 1a ordem No item 1581 da NBR 6118 encontrase que o pilar deve ser do tipo isolado e de seção e armadura constantes ao longo do eixo longitudinal submetidos à flexocompressão Os pilares devem ter índice de esbeltez menor ou igual a 200 λ 200 Apenas no caso de elementos pouco comprimidos com força normal menor que 010fcd Ac o índice de esbeltez pode ser maior que 200 Para pilares com índice de esbeltez superior a 140 devese majorar os efeitos locais de 2a ordem por um coeficiente adicional calculado conforme a seguir 1 140 140 1 n1 Eq 83 O valor de b deve ser obtido conforme estabelecido a seguir NBR 6118 1582 a para pilares biapoiados sem cargas transversais A B b M M 40 60 com 04 b 10 Eq 84 MA e MB são os momentos de 1a ordem nos extremos do pilar obtidos na análise de 1a ordem no caso de estruturas de nós fixos e os momentos totais 1a ordem 2a ordem global no caso de estruturas de nós móveis Deve ser adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB o sinal positivo se tracionar a mesma face que MA e negativo em caso contrário A Figura 61 ilustra as possibilidades mais comuns de ocorrência dos momentos fletores de 1a ordem MA e MB nos pilares UNESP BauruSP Parte II Pilares 57 Figura 61 Ocorrências mais comuns dos momentos fletores de 1a ordem MA e MB nos pilares b para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura b 1 c para pilares em balanço b 1 d para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo estabelecido em 113343 b 1 O fator b consta do ACI 318 1995 com a notação Cm item 101231 Porém ao contrário da NBR 6118 que também considera a excentricidade relativa e1h tanto o ACI como o Eurocode 2 1992 e o MC 90 1990 do CEB calculam a esbeltez limite em função da razão entre os momentos fletores ou entre as excentricidades nas extremidades do pilar 84 Excentricidade Devida à Fluência A consideração da fluência deve obrigatoriamente ser realizada em pilares com índice de esbeltez 90 e pode ser efetuada de maneira aproximada considerando a excentricidade adicional ecc dada a seguir NBR 6118 1584 1 2 718 e N M e sg e sg N N N a sg sg cc Eq 85 2 e c ci e I 10 E N Eq 86 ea excentricidade devida a imperfeições locais Msg e Nsg esforços solicitantes devidos à combinação quase permanente coeficiente de fluência Eci módulo de elasticidade tangente Ic momento de inércia e comprimento equivalente A consideração do efeito de 2ª ordem deve ser feita conforme 1583 como se fosse um efeito imediato que se soma à excentricidade e1 9 SITUAÇÕES BÁSICAS DE PROJETO Para efeito de projeto os pilares de edifícios podem ser classificados nos seguintes tipos intermediário de extremidade e de canto A cada um desses tipos básicos corresponde uma situação de projeto diferente dependente do tipo de solicitação que atua no pilar Compressão Simples e Flexão Composta Normal ou Oblíqua B MA MB MA MA B M ou ou ou ou M 0 A M B topo base M MB A M UNESP BauruSP Parte II Pilares 58 91 Pilar Intermediário No pilar intermediário Figura 62 considerase a Compressão Simples também chamada Uniforme ou Centrada na situação de projeto pois como as lajes e vigas são contínuas sobre o pilar podese admitir que os momentos fletores transmitidos ao pilar sejam pequenos e desprezíveis Não existem portanto os momentos fletores MA e MB de 1a ordem nas extremidades do pilar como descritos no item 83 y x Nd SITUAÇÃO DE PROJETO PLANTA Figura 62 Arranjo estrutural e situação de projeto de pilar intermediário 92 Pilar de Extremidade O pilar de extremidade de modo geral encontrase posicionado nas bordas das edificações sendo também chamado pilar lateral de face ou de borda47 O termo pilar de extremidade advém do fato do pilar ser um apoio extremo para uma viga ou seja uma viga que não tem continuidade sobre o pilar como mostrado na Figura 63 Na situação de projeto ocorre a Flexão Composta Normal FCN decorrente da não continuidade da viga Existem portanto os momentos fletores MA e MB de 1a ordem em uma direção do pilar como descritos no item 8348 Nas seções de topo e base do pilar podem ocorrer excentricidades e1 de 1a ordem na direção principal x ou y com49 N e1 M Eq 87 onde M pode ser o momento fletor MA ou MB e N a força normal de compressão 47 O pilar de extremidade não ocorre necessariamente na borda da edificação isto é pode ocorrer na zona interior da edificação desde que uma viga não apresente continuidade sobre ele 48 O momento fletor MB pode ser zero 49 Nos pilares de extremidade ocorre apenas uma excentricidade inicial que é na direção da viga não contínua sobre o pilar UNESP BauruSP Parte II Pilares 59 d N x y e1 SITUAÇÃO DE PROJETO PLANTA Figura 63 Arranjo do pilar de extremidade na estrutura real em planta e situação de projeto Os momentos fletores MA e MB são geralmente provenientes da ligação da viga não contínua sobre o pilar e obtidos calculandose os pilares em conjunto com as vigas formando pórticos planos ou espaciais ou de uma maneira mais simples e que pode ser feita manualmente50 com a aplicação das equações da NBR 6118 Conforme a Figura 64 os momentos fletores nos lances inferior e superior do pilar são viga sup inf inf eng inf r r r r M M Eq 88 viga sup inf sup eng sup r r r r M M Eq 89 Meng momento fletor de engastamento perfeito na ligação entre a viga e o pilar r I índice de rigidez relativa I momento de inércia da seção transversal do pilar na direção considerada vão efetivo do tramo adjacente da viga ao pilar extremo ou comprimento de flambagem do pilar Na determinação dos momentos fletores de 1a ordem que ocorrem nos pilares de edifícios de pavimentos devese considerar a superposição dos efeitos das vigas dos diferentes níveis Figura 64 Considerandose por exemplo o lance tramo do pilar compreendido entre os pavimentos i e i 1 os momentos fletores na base e no topo do lance são infi 1 supi base M 50 M M supi infi 1 topo M 50 M M Eq 90 50 Ver aplicação em BASTOS PS Vigas de Concreto Armado Dimensionamento flecha e fissuração BauruSP Universidade Estadual Paulista UNESP Abril2024 173p Disponível em 290424 httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm UNESP BauruSP Parte II Pilares 60 Se os pavimentos i e i 1 forem pavimentos tipo ou seja idênticos os momentos fletores na base e no topo serão iguais e Msupi Minfi1 Mbase Mtopo 15 Msupi 15 Minfi1 Eq 91 1 2 M M inf 1 2 M tramo extremo supi1 1 2 M M supi1 infi nível i 1 infi viga inf M M 1 2 M sup sup M pilar de extremidade 1 2 M 1 2 M M supi M infi1 infi1 nível i supi nível i 1 Figura 64 Momentos fletores nos pilares de extremidade provenientes da ligação com a viga não contínua sobre o pilar Fusco 1981 Os exemplos numéricos apresentados no item 15 mostram o cálculo dos momentos fletores solicitantes por meio da Eq 88 a Eq 91 93 Pilar de Canto De modo geral o pilar de canto encontrase posicionado nos cantos dos edifícios vindo daí o nome como mostrado na Figura 65 Na situação de projeto ocorre a Flexão Composta Oblíqua FCO decorrente da não continuidade de duas vigas no pilar ou seja o pilar é um apoio extremo para duas vigas Existem portanto os momentos fletores MA e MB de 1a ordem nas duas direções principais do pilar e consequentemente ocorrem as excentricidades de 1a ordem e1x e e1y simultaneamente Os momentos fletores MA e MB podem ser calculados da forma como apresentado nos pilares de extremidade ou da análise de pórtico plano ou espacial UNESP BauruSP Parte II Pilares 61 N d e1x y x e1y SITUAÇÃO DE PROJETO PLANTA Figura 65 Arranjo do pilar de canto na estrutura real em planta e situação de projeto 10 DETERMINAÇÃO DO MOMENTO FLETOR TOTAL No dimensionamento de um lance de pilar é necessário determinar o momento fletor total máximo que atua em cada direção principal x e y composto pelos momentos fletores de 1a e de 2a ordem Mdtot M1d M2d O momento fletor de 1ª ordem é aquele como mostrado no item 92 e Figura 61 e Figura 64 e o momento fletor de 2a ordem consequência dos efeitos locais de 2a ordem pode ser calculado por diferentes métodos Conforme a NBR 6118 1583 a determinação dos efeitos locais de 2a ordem pode ser feito pelo Método Geral ou por métodos aproximados sendo o Método Geral obrigatório para pilares com 140 ver Tabela 5 Quanto aos métodos aproximados aplicados em pilares com λ 9051 a norma apresenta quatro a pilarpadrão com curvatura aproximada item 158332 b pilarpadrão com rigidez aproximada 158333 c pilarpadrão acoplado a diagramas M N 1r 158334 d pilarpadrão para pilares de seção retangular submetidos à Flexão Composta Oblíqua 158335 O pilarpadrão foi apresentado no item 77 Os dois primeiros métodos aproximados embora conservadores são simples e não requerem o uso de programas computacionais e podem ser aplicados manualmente sendo por isso aqui apresentados O método com diagramas M N 1r é laborioso e por isso é necessário o uso de computador 51 A consideração da fluência é obrigatória para 90 conforme 1584 UNESP BauruSP Parte II Pilares 62 Tabela 5 Exigências da NBR 6118 no projeto de pilares conforme o índice de esbeltez Índice de Esbeltez Consideração dos Efeitos Locais de 2a Ordem Métodos de Cálculo Método Geral Métodos Aproximados do PilarPadrão Com Curvatura Aproximada Com Rigidez Aproximada Acoplado a Diagrama M N 1r 140 200 Obrigatória Obrigatório Não Permitido Não Permitido Não Permitido 90 140 Obrigatória Não Permitido Não Permitido Permitido 1 90 Obrigatória Permitido Permitido 0 1 Não obrigatória Nos métodos do pilarpadrão com curvatura aproximada e no de rigidez aproximada a NBR 6118 prescreve que devese considerar a atuação de um momento fletor mínimo M1dmín a ser comparado com os momentos fletores de 1a ordem que ocorrem no pilar E como opção à aplicação do momento fletor mínimo a norma possibilita considerar uma excentricidade acidental ea a fim de levar em conta as imperfeições geométricas locais do pilar ver item 82 Por este motivo o cálculo dos momentos fletores máximos atuantes no pilar será apresentado de dois modos neste texto com a consideração do momento fletor mínimo e com a excentricidade acidental em substituição ao momento fletor mínimo52 Outra questão consiste no modo como se faz os cálculos manualmente sendo um com o desenvolvimento de desenhos e que por ser visual é também mais didático e outro modo é com a aplicação das equações da NBR 6118 No caso de uso de desenhos são apresentados dois procedimentos neste texto a com os diagramas dos momentos fletores atuantes ao longo do lance do pilar com o objetivo de visualizar o momento fletor total atuante b com os gráficos das excentricidades correspondentes aos momentos fletores53 calculadas considerando o momento fletor mínimo ou a excentricidade acidental Qualquer que seja o modo de cálculo os resultados finais são os mesmos Nos itens seguintes procurase ilustrar os modos de cálculo e nos itens 131 132 e 133 são apresentados exercícios numéricos 101 Cálculo com o Momento Fletor Mínimo O momento fletor mínimo será aplicado aos métodos do pilarpadrão com curvatura aproximada e com rigidez aproximada No item seguinte 102 é aplicada a excentricidade acidental ea como opção ao momento fletor mínimo 1011 Momento Fletor Mínimo Na versão de 2003 a NBR 6118 introduziu um parâmetro novo no cálculo dos pilares o momento fletor mínimo o qual consta no código ACI 318 2011 item 10106554 a esbeltez é levada em consideração aumentandose os momentos fletores nos extremos do pilar Se os momentos atuantes no pilar são muito pequenos ou zero o projeto de pilares esbeltos deve se basear sobre uma excentricidade mínima correspondente ao momento fletor mínimo A NBR 6118 113343 diz que O efeito das imperfeições locais nos pilares e pilaresparede pode ser substituído em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1a ordem dado a seguir 0 03h N 0 015 M d 1 d mín Eq 92 sendo h é a dimensão total da seção transversal na direção considerada em metro m Nas estruturas reticuladas usuais admitese que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo A este momento devem ser acrescidos os momentos de 2a ordem definidos na Seção 15 Portanto ao se considerar o momento fletor mínimo não há a necessidade de acrescentar a excentricidade acidental ea ver Figura 60 52 A NBR 6118 permite ambos os processos ficando a escolha a critério do projetista 53 Na antiga NB 178 o cálculo era feito considerandose as excentricidades Já a NBR 6118 de 2003 introduziu a equação do momento fletor total Mdtot direcionando de certa forma o cálculo por meio dos momentos fletores 54 O ACI 318 2011 p152 também especifica que o momento fletor mínimo deve ser considerado sobre cada eixo separamente UNESP BauruSP Parte II Pilares 63 Da Eq 92 definese a excentricidade mínima55 e1mín 15 003 h com h em cm Eq 93 1012 Método do PilarPadrão com Curvatura Aproximada Conforme a NBR 6118 158332 o método Pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com λ 90 com seção constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo A não linearidade geométrica é considerada de forma aproximada supondose que a deformação da barra seja senoidal A não linearidade física é considerada através de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica A equação senoidal para a linha elástica foi definida na Eq 74 e a Eq 75 define a excentricidade máxima de 2a ordem e2 A não linearidade física com a curvatura aproximada foi apresentada na Eq 65 e Eq 77 O momento fletor de 2a ordem máximo é calculado com a Eq 76 r 1 10 N M 2 e d d 2 Nd força normal solicitante de cálculo e comprimento equivalente 1r curvatura na seção crítica avaliada pela expressão aproximada Eq 77 h 005 0 50 h 005 0 r 1 onde h é a dimensão da seção transversal na direção considerada A força normal adimensional foi definida na Eq 78 cd c d f A N Ac área da seção transversal do pilar fcd resistência de cálculo do concreto à compressão fcd fck c A necessidade de considerar ou não os efeitos locais de 2a ordem via o momento fletor de 2a ordem é avaliada comparando o índice de esbeltez do pilar com o valor limite 1 Eq 82 em cada direção principal tal que se 1 não há necessidade de considerar o momento fletor de 2ª ordem na direção é pequeno e pode ser desprezado56 10121 Cálculo Via Diagramas de Momentos Fletores ou Excentricidades A visualização dos diagramas dos momentos fletores de 1a e 2a ordens e o mínimo ou das excentricidades relativas aos momentos fletores torna o dimensionamento dos pilares mais didático e auxilia o iniciante no cálculo do momento fletor total ou máximo atuante no pilar 55 Na antiga NB 178 válida até 2003 o momento fletor mínimo não existia e as impefeições locais eram consideradas por meio de uma excentricidade acidental atuante em cada direção principal do pilar com o maior valor entre 20 cm e h30 de modo que até 60 cm a excentricidade a se considerar era de 20 cm A excentricidade mínima igual a 20 cm é obtida com a largura de 167 cm para o pilar de modo que para larguras de 14 15 e 16 cm a excentricidade mínima é um pouco menor que 20 cm e entre 17 e 20 cm a excentricidade mínima é um pouco maior que 20 cm Para pilares de edifícios de pavimentos com largura comumente de 20 cm a excentricidade mínima é de 21 cm e como nos pilares retangulares geralmente a armadura final resulta da direção relativa à largura a armadura calculada com a excentricidade mínima é praticamente igual àquela calculada com a excentricidade acidental da NB 178 No caso da NBR 6118 o valor da excentricidade acidental é dependente da altura do pilar e para 280 cm por exemplo a excentricidade resulta 084 cm muito menor que 21 cm Portanto a armadura com a nova excentricidade acidental da norma será muito menor àquelas calculadas com a excentricidade mínima e com a excentricidade acidental da NB 178 56 O momento fletor de 2ª ordem quando tiver que ser considerado em uma direção do pilar deve ser somado ao maior momento fletor de 1ª ordem solicitante no pilar o momento fletor MA como definido no item 83 e no caso de se fazer o cálculo com o momento fletor mínimo devese ter M1dA M1dmín Portanto se não existir o momento fletor MA deverá ser considerado o momento fletor mínimo UNESP BauruSP Parte II Pilares 64 Sendo constante a força normal Nd no dimensionamento deve ser analisada segundo as direções principais x e y qual é a seção ao longo da altura do lance que está submetida ao momento fletor máximo Normalmente basta verificar as seções de extremidade topo e base e uma seção intermediária C que é aquela onde supõese ocorra o momento fletor de 2a ordem máximo M2dmáx O cálculo pode ser feito explicitando os momentos fletores ou as excentricidades correspondentes conforme os três tipos de pilar intermediário de extremidade e de canto para λmáx 90 a Pilar Intermediário O pilar intermediário é aquele solicitado à Compressão Simples na situação de projeto SP ver Figura 62 de modo que são nulos os momentos fletores de 1a ordem MA e MB A Figura 66 mostra os momentos fletores que podem atuar no pilar M1dmín e M2d e a Figura 67 mostra as excentricidades correspondentes aos momentos fletores O momento fletor mínimo M1dmín Eq 92 deve ser sempre considerado nas duas direções57 O momento fletor de 2a ordem pode ou não ocorrer conforme a comparação entre e 1 em cada direção principal x e y Se ocorrer 1 a deformação horizontal do pilar pode ser desprezada pois é pequena e M2d 0 O momento fletor total Mdtot máximo em cada direção consiste na soma do momento fletor mínimo com o momento fletor de 2a ordem de modo que a seção mais solicitada é uma intermediária C onde ocorre o máximo M2d Não ocorrendo M2d o pilar deve ser dimensionado apenas para o momento fletor mínimo58 Em princípio para cada momento fletor total deve ser calculada uma armadura longitudinal sendo adotada a armadura maior59 M1dmínx M1dmíny Dir x Dir y M 2dx Nd 2dy M Mdtotx M1dmínx M2dx Mdtoty M1dmíny M2dy Figura 66 Momentos fletores atuantes no pilar intermediário com máx 90 Como opção ao cálculo com os momentos fletores a Figura 67 explicita as excentricidades e mostra a situação de projeto SP e as situações de cálculo sc para a seção intermediária C do pilar intermediário Na 1a situação de cálculo 1a sc são indicadas as excentricidades na direção x e na 2a sc as excentricidades na direção y Verificase que ocorrem duas Flexões Compostas Normais FCN A excentricidade mínima correspondente ao momento fletor mínimo tem o valor e1mín 15 003h ver Eq 93 Para cada direção sc deve ser calculada uma armadura longitudinal devendo ser adotada a maior A consideração ou não da excentricidade de 2a ordem e2 depende da comparação entre e 1 Para 1 temse e2 0 em uma dada direção do pilar e neste caso basta considerar a excentricidade mínima 57 A NBR 6118 não define se o momento fletor mínimo deve ser considerado agir simultaneamente nas duas direções principais do pilar assim como do mesmo modo também não define essa questão relativamente à excentricidade acidental No passado a excentricidade acidental foi considerada agir nas duas direções Quanto ao momento fletor mínimo a NBR 6118 coloca que Para pilares de seção retangular podese definir uma envoltória mínima de 1ª ordem tomada a favor da segurança de acordo com a Figura 113 Neste caso a verificação do momento mínimo pode ser considerada atendida quando no dimensionamento adotado obtémse uma envoltória resistente que englobe a envoltória mínima de 1ª ordem Quando houver a necessidade de calcular os efeitos locais de 2ª ordem em alguma das direções do pilar a verificação do momento mínimo deve considerar ainda a envoltória mínima com 2ª ordem conforme 1532 item 113343 58 Nas edificações a maioria dos pilares tem seção retangular com larguras comumente entre 14 cm mínima e 20 cm de modo que é comum ocorrer o momento fletor de 2a ordem apenas na direção da largura do pilar a qual configura a direção crítica 59 As armaduras devem ser calculadas com um mesmo arranjo posicionamento de barras na seção transversal importante porque a armadura final deve atender simultaneamente as duas direções principais do pilar UNESP BauruSP Parte II Pilares 65 Se 1 a excentricidade de 2a ordem deve ser somada à excentricidade mínima A excentricidade de 2a ordem foi definida na Eq 75 e com a Eq 77 base 2 e 2 r 1 10 e com h 005 0 50 h 005 0 r 1 base e definido na Eq 78 cd c d f A N 1 sc SP Nd e 2 sc 1ymín Nd e x y Nd 1xmín x e e 2y e ey 2x Figura 67 Situação de projeto e situações de cálculo de pilar intermediário com máx 90 b Pilar de Extremidade No pilar de extremidade ocorre a Flexão Composta Normal na situação de projeto com existência de momento fletor de 1a ordem MA e MB em uma direção do pilar x ou y ver Figura 63 No caso de momento fletor de 1a ordem variável ao longo da altura do pilar o valor maior deve ser nomeado M1dA e considerado positivo O valor menor na outra extremidade será nomeado M1dB e considerado negativo se tracionar a fibra oposta à de M1dA ver Figura 61 Como exemplo no pilar da Figura 68 o momento fletor de 1a ordem variável está considerado na direção x Conforme a Figura 68 o momento fletor total em cada direção pode ocorrer em uma das seções de extremidade topo ou base com M2d 0 ou em uma seção intermediária C onde ocorre o máximo momento fletor de 2a ordem O momento de 1a ordem M1dC é avaliado como d A 1 1 d B d A 1 1 d C M 40 M 40 M 60 M Eq 94 A Eq 94 tem os coeficientes 06 e 04 relativos à variável b definida no item 83 Na direção x o momento fletor M1dA deve ser comparado com o momento fletor mínimo M1dmín e adotado o maior ou seja o momento fletor mínimo não é somado ao momento fletor de 1a ordem Na direção y onde neste exemplo não ocorre momento fletor de 1a ordem deve ser considerado o momento fletor mínimo Semelhantemente ao pilar intermediário para cada momento fletor total direção x e y deve ser calculada uma armadura longitudinal considerandose o mesmo arranjo de barras da armadura na seção transversal A armadura final adotada será a maior UNESP BauruSP Parte II Pilares 66 1dmínx M C M1dCx topo base B A 2dx M M1dBx M1dAx N e1x Dir x Dir y M 2dy M1dmíny ou Seção de Extremidade d mínx 1 d Ax 1 d totx M M M Mdtoty M1dmíny Seção Intermediária 2 d x d mínx 1 2 d x d Cx 1 d totx M M M M M Mdtoty M1dmíny M2dy Figura 68 Momentos fletores atuantes nos pilares de extremidade Como opção aos diagramas de momentos fletores a Figura 69 e a Figura 70 mostram as excentricidades com as situações de projeto SP e as situações de cálculo sc para as seções de extremidade e intermediária C Nas 1as situações de cálculo 1a sc estão indicadas as excentricidades que ocorrem na direção x e nas 2as sc as excentricidades na direção y A Figura 69 mostra a situação para a seção de extremidade do topo do pilar que neste exemplo é onde se considerou atuar o maior momento fletor de 1a ordem M1dAx ver Figura 68 De modo genérico as excentricidades de 1a ordem topo ou base e seção intermediária C são calculadas como d dA 1 1 A N M e d dB 1 1 B N M e Eq 95 A 1 1 B A 1 1 C e 40 e 40 e 60 e Eq 96 Nas seções de base e topo do pilar devido aos apoios vínculos não ocorre deslocamento horizontal de modo que e2 0 Lembrando que a excentricidade de 2a ordem deve ser considerada somente se 1 para uma dada direção do pilar sendo máxima na seção intermediária C onde é considerada a excentricidade de 1a ordem e1xC na situação de projeto Figura 70 As excentricidades de 1a ordem extremidade e seção intermediária e1A e e1C devem ser comparadas à excentricidade mínima Eq 93 Para a 2a sc existem duas opções Figura 69 e Figura 70 em função de se considerar ou não a excentricidade de 1a ordem e1xA ou e1xC A não consideração é uma simplificação que evita a Flexão Composta Oblíqua e possibilita o cálculo da armadura do pilar somente como dois casos de Flexão Composta Normal que tem ábacos em maior quantidade Tal simplificação apoiase em Fusco 1981 p 254 e foi muito utilizada nas décadas passadas Portanto a Flexão Composta Oblíqua da 2a sc é uma opção UNESP BauruSP Parte II Pilares 67 Figura 69 Situação de projeto e de cálculo para a seção de extremidade do pilar de extremidade Figura 70 Situação de projeto e situações de cálculo para a seção intermediária do pilar de extremidade Para cada situação de cálculo deve ser calculada uma armadura longitudinal sendo adotada como armadura final a maior considerandose no entanto o mesmo arranjo das barras da armadura na seção transversal c Pilar de Canto No pilar de canto a solicitação de projeto é a Flexão Composta Oblíqua ver Figura 65 com a existência de momentos fletores de 1a ordem nas duas direções principais do pilar como mostrados na Figura 71 e conforme as excentricidades e1x e e1y na Figura 72 e Figura 73 No pilar em questão está indicado que é na seção de extremidade do topo que ocorre o momento fletor MA MA MB nas duas direções sendo portanto a seção de extremidade a ser analisada No entanto o momento fletor MA em cada direção pode não ocorrer na mesma seção de extremidade sendo por isso importante comparar as seções de topo e base O momento fletor total Mdtot em cada direção está indicado na Figura 71 podendo ocorrer na seção de extremidade topo neste caso ou na seção intermediária C correspondente ao M2d máximo sendo o momento fletor de 1a ordem M1dC avaliado com a Eq 94 A armadura longitudinal é calculada para as duas direções principais considerandose as barras distribuídas de modo idêntico na seção transversal do pilar e como armadura final adotase a maior e1ymín y 2a sc opção x e1xA Nd 1xA x y 2 sc Nd e1ymín e e 1xmín 1xA e Nd d N SP 1 sc e2y e1ymín y 2a sc opção x e1xC e1xmín Nd ey e2x 1ymín e e y d N 2 sc e2y 1xC e x 1xmín 1xC e e e SP 1 sc Nd Nd UNESP BauruSP Parte II Pilares 68 ou 1dmíny M Dir x e1x ou N 1dAx M 1dBx M M 2dx A B base topo 1dCx M C M1dmínx e1y C M1dCy B A 2dy M M1dBy M1dAy Dir y ou d Seção de Extremidade topo d mínx 1 d Ax 1 d totx M M M d míny 1 d Ay 1 d toty M M M Seção de Extremidade base d mínx 1 d Bx 1 d totx M M M d míny 1 d By 1 d toty M M M Seção Intermediária 2 d x d mínx 1 2 d x d Cx 1 d totx M M M M M 2 d y d míny 1 2 d y d Cy 1 d toty M M M M M Figura 71 Momentos fletores atuantes no pilar de canto Como opção aos diagramas de momentos fletores a Figura 72 mostra a situação de projeto SP e a situação de cálculo sc para a seção de extremidade mais solicitada topo neste exemplo onde ocorre M1dAx e a Figura 73 mostra a seção intermediária C A solicitação nas situações de projeto e de cálculo é de Flexão Composta Oblíqua Na situação de projeto da seção intermediária C a excentricidade de 1a ordem alterase de e1A para e1C calculadas com a Eq 95 e Eq 96 As excentricidades de 1a ordem devem ser sempre comparadas às excentricidades mínimas Eq 93 Conforme a comparação entre λ e λ1 em cada direção principal considerandose excentricidades de 2a ordem elas devem ser acrescentadas às excentricidades de 1a ordem Para cada situação de cálculo deve ser determinada uma armadura longitudinal calculadas com o mesmo arranjo de barras na seção transversal devendose escolher a maior como armadura final Figura 72 Situação de projeto e de cálculo para a seção de extremidade topo e base do pilar de canto e1yA ou e1yB x x e1xA ou e1xB y SP topo ou base Nd y 1a sc topo Nd x Nd y 2a sc base xmín 1 1xA e e ymín 1 1yA e e xmín 1 1xB e e ymín 1 1yB e e UNESP BauruSP Parte II Pilares 69 2 sc SP 1 sc Nd d N d N e 2y e y e e 1ymín 1yC e e 1xmín 1xC e1xC e1yC e x y x 2x e 1xC 1xmín ee 1yC 1ymín ee Figura 73 Situação de projeto e situações de cálculo para a seção intermediária do pilar de canto 10122 Cálculo Via Equação do Momento Fletor Total No caso de se desejar uma forma mais direta de calcular o momento fletor total Mdtot em cada direção do pilar pode ser utilizada a equação fornecida pela NBR 6118 158332 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada que soma o momento fletor de 1a ordem corrigido pelo coeficiente b com o momento fletor de 2a ordem60 d A 1 2 e d 1 d A b d tot M r 1 10 N M M Eq 97 b parâmetro definido no item 83 Nd força normal solicitante de cálculo e comprimento equivalente 1r curvatura na seção crítica já avaliada pela expressão aproximada Eq 77 h 005 0 50 h 005 0 r 1 onde h é a dimensão da seção transversal na direção considerada A força normal adimensional foi definida na Eq 78 cd c d f A N Ac área da seção transversal do pilar fcd resistência de cálculo à compressão do concreto fcd fck c 1013 Método do PilarPadrão com Rigidez Aproximada O Método do pilarpadrão com rigidez aproximada pode ser utilizado em opção ao Método do pilar padrão com curvatura aproximada Conforme a NBR 6118 158333 o método Pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com λ 90 com seção retangular constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo A não linearidade geométrica deve ser considerada de forma aproximada supondose que a deformação da barra seja senoidal A não linearidade física deve ser considerada através de uma expressão aproximada da rigidez O momento total máximo no pilar deve ser calculado a partir da majoração do momento de 1a ordem pela expressão 60 Também devese considerar M1dA M1dmín e b M1dA M1dmín Esta comparação não consta na norma UNESP BauruSP Parte II Pilares 70 1 d A 2 1 d A b Sdtot M 120 1 M M Eq 98 Para o valor da rigidez adimensional κ pode ser utilizada a expressão aproximada d tot Rd aprox h N 5 M 32 1 Eq 99 Em um processo de dimensionamento tomase MRdtot MSdtot Em um processo de verificação onde a armadura é conhecida MRdtot é o momento resistente calculado com essa armadura e com Nd NSd NRd As variáveis h M1dA e b são as mesmas já definidas Substituindo a Eq 99 na Eq 98 obtémse uma equação do 2o grau útil para calcular diretamente o valor de MSdtot sem a necessidade de iterações fornecida pela norma 0 c b M a M tot Sd 2 Sdtot Eq 100 1 d A b 2 d 1 d A b 2 e d d 2 M N h c M 5h 320 N N h b 5h a Eq 101 a 2 4ac b b M 2 tot Sd Eq 102 Como opção às equações Eq 100 Eq 101 e Eq 102 o cálculo do momento fletor total também pode ser feito aplicando a equação do 2o grau seguinte com M1dA M1dmín 0 h N M 3840 M M 19200 h N 3840h N 19200M 1 d A d b Sdtot 1 d A b d 2 d 2 Sdtot Eq 103 1014 Envoltória de Momentos Fletores Mínimos Conforme a NBR 6118 113343 Para pilares de seção retangular podese definir uma envoltória mínima de 1ª ordem tomada a favor da segurança de acordo com a Figura 113 ver Figura 74 1 M M M M 2 d mínyy 1 d míny 1 2 d mínxx 1 1 d mínx Eq 104 M1dmínxx Nd 0015 003h M1dmínyy Nd 0015 003b M1dmínxx e M1dmínyy componentes em flexão composta normal M1dmínx e M1dmíny componentes em flexão composta oblíqua Neste caso a verificação do momento mínimo pode ser considerada atendida quando no dimensionamento adotado obtémse uma envoltória resistente que englobe a envoltória mínima de 1ª ordem Quando houver a necessidade de calcular os efeitos locais de 2ª ordem em alguma das direções do pilar a verificação do momento mínimo deve considerar ainda a envoltória mínima com 2ª ordem conforme 1532 UNESP BauruSP Parte II Pilares 71 Figura 74 Envoltória mínima de 1ª ordem Figura 113 da NBR 6118 No item 1532 a norma reapresenta o diagrama da Figura 74 contendo a envoltória mínima acrescida dos efeitos da 2a ordem Figura 75 Para pilares de seção retangular quando houver a necessidade de calcular os efeitos locais de 2ª ordem a verificação do momento mínimo pode ser considerada atendida quando no dimensionamento adotado obtémse uma envoltória resistente que englobe a envoltória mínima com 2ª ordem cujos momentos totais são calculados a partir dos momentos mínimos de 1ª ordem e de acordo com item 1583 A consideração desta envoltória mínima pode ser realizada através de duas análises à flexão composta normal calculadas de forma isolada e com momentos fletores mínimos de 1ª ordem atuantes nos extremos do pilar nas suas direções principais Figura 75 Envoltória mínima com 2ª ordem Figura 152 da NBR 6118 102 Cálculo com a Excentricidade Acidental Como já comentado no início do item 101 o dimensionamento de pilares com base na excentricidade acidental é uma opção ao dimensionamento com o momento fletor mínimo O que difere um procedimento do outro é que com a aplicação da excentricidade acidental a excentricidade de 1a ordem se existir deve sempre ser somada à excentricidade acidental Como foi visto aplicando o momento fletor mínimo a excentricidade de 1a ordem é desprezada quando menor que a excentricidade mínima Os casos mostrados a seguir são válidos apenas para pilares com máx 90 Para cada situação de cálculo deve ser calculada uma armadura considerandose o mesmo arranjo posicionamento das barras na seção transversal e a armadura final será a maior UNESP BauruSP Parte II Pilares 72 1021 Pilar Intermediário A Figura 76 mostra a situação de projeto SP e as situações de cálculo sc do pilar intermediário Na SP a solicitação é de Compressão Simples e ocorre Flexão Composta Normal nas situações de cálculo A excentricidade acidental ea é calculada com a Eq 80 ou Eq 81 respectivamente para falta de retilineidade e desaprumo do pilar A NBR 6618 preconiza que considerar a falta de retilineidade é suficiente e como mostrado na Figura 60 a excentricidade máxima ocorre em uma seção intermediária ao longo da altura do pilar Por segurança a excentricidade acidental é adotada simultaneamente nas duas direções devendo ser somada à excentricidade de 2a ordem quando existir calculada com a Eq 75 ay e 2x e y e 2y e e x ax d N y x d N 2 sc e d N SP 1 sc Figura 76 Situação de projeto e situações de cálculo de pilar intermediário com máx 90 1022 Pilar de Extremidade No pilar de extremidade ocorre uma excentricidade de 1a ordem na situação de projeto na direção x ou y Nos gráficos da Figura 77 e Figura 78 está suposta na direção x As seções de extremidade topo e base onde geralmente ocorrem os maiores momentos fletores de 1a ordem deve ser analisada para o maior momento fletor MA Quando a excentricidade acidental é considerada por falta de retilineidade ela é zero nas extremidades do pilar e máxima na seção intermediária a H2 ver Figura 60 onde deve ser somada à excentricidade de 2a ordem e2x ou e2y Na seção intermediária deve ser considerada a excentricidade de 1a ordem e1xC ver Eq 95 e Eq 96 suposta aqui na direção x Figura 77 Situação de projeto e de cálculo para as seções de extremidade topo ou base do pilar de extremidade x e1xA y SP 1a sc Nd x e1xA Nd y Seção Extremidade UNESP BauruSP Parte II Pilares 73 Figura 78 Situação de projeto e situações de cálculo para a seção intermediária do pilar de extremidade Como apresentado no item 10121 a não consideração das excentricidades de 1a ordem e1xA e e1xC nas situações de cálculo na direção y configura uma simplificação apresentada por Fusco 1981 p 254 e que possibilita o cálculo da armadura do pilar somente como dois casos de Flexão Composta Normal 1023 Pilar de Canto Como no pilar de canto ocorrem momentos fletores de 1a ordem nas duas direções principais ambas as seções de extremidade topo e base devem ser analisadas pois dependendo dos valores e da combinação dos momentos fletores nas duas direções a situação mais crítica pode ser na base ou no topo Figura 79 com excentricidade acidental por falta de retilineidade zero nas extremidades ver Figura 60 Na seção intermediária C as excentricidades de 1a ordem alteramse para e1xC e e1yC como mostrado na Figura 80 e a excentricidade acidental é acrescentada em cada direção E ocorrendo excentricidades de 2a ordem elas devem ser acrescentadas Figura 79 Situação de projeto para as seções de extremidade topo e base do pilar de canto e x ax e 1x e 1y e 2 sc 1 sc d N d N e ay e y e1x 1y e 2x e e2y 1xC e 1yC e x y ey ay e Nd Nd Nd SP Seção Intemediária Seção Extremidade 1 sc SP 2 sc Nd e1yC e1xC e ax x y x e 1yC e 1xC e e e 1y 1x Figura 80 Situação de projeto e situações de cálculo para a seção intermediária do pilar de canto e2y eay y y x 2y e 2 sc Nd y e eay 1xA ax e Nd d N SP 1 sc SP Nd e Seção Extremidade Seção Intemediária C e e2x x e1xC x 1xA e e 1 sc Nd eax ay e d N 2 sc 1xC e 2a sc opção x e1xC Nd ey ex x e1ybase e1xbase y SP base SP topo Nd x e1ytopo e1xtopo Nd y Seções Extremidade UNESP BauruSP Parte II Pilares 74 11 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 111 Dimensão Mínima e Coeficiente de Ponderação n A NBR 6118 item 1323 impõe que A seção transversal de pilares e pilaresparede maciços qualquer que seja a sua forma não pode apresentar dimensão menor que 19 cm Em casos especiais permitese a consideração de dimensões entre 19 cm e 14 cm desde que se multipliquem os esforços solicitantes de cálculo a serem considerados no dimensionamento por um coeficiente adicional n de acordo com o indicado na Tabela 131 e na Seção 11 Em qualquer caso não se permite pilar com seção transversal de área inferior a 360 cm2 o que representa a seção mínima de 14 x 257 cm A Tabela 6 apresenta o coeficiente adicional n É importante salientar que o texto indica que todos os esforços solicitantes atuantes no pilar devem ser majorados por γn ou seja forças normais forças cortantes e momentos fletores que existirem Tabela 6 Coeficiente adicional n para pilares e pilaresparede Tabela 131 da NBR 6118 b cm 19 18 17 16 15 14 n 100 105 110 115 120 125 onde n 195 005 b b é a menor dimensão da seção transversal expressa em centímetros cm Nota O coeficiente n deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo quando de seu dimensionamento Segundo a NBR 6118 1821 O arranjo das armaduras deve atender não só à sua função estrutural como também às condições adequadas de execução particularmente com relação ao lançamento e ao adensamento do concreto Os espaços devem ser projetados para a introdução do vibrador e de modo a impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no interior do elemento estrutural Essas recomendações da norma são gerais válidas para todos os elementos estruturais No caso dos pilares devese ter uma atenção especial à região de ligação com as vigas onde pode existir grande quantidade de barras verticais nos pilares e horizontais nas vigas além dos estribos 112 Armadura Longitudinal Segundo a NBR 6118 184 As exigências que seguem referemse aos pilares cuja maior dimensão da seção transversal não exceda cinco vezes a menor dimensão e não são válidas para as regiões especiais ver Seção 21 Quando a primeira condição não for satisfeita o pilar deve ser tratado como pilarparede aplicandose o disposto em 185 As disposições relativas à armadura longitudinal dos pilares encontramse no item 1842 da NBR 6118 1121 Diâmetro Mínimo O diâmetro das barras longitudinais deve ser 8 b mm 10 b menor dimensão da seção transversal do pilar Eq 105 1122 Distribuição Transversal NBR 6118 18422 As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal de forma a garantir a resistência adequada do elemento estrutural Em seções poligonais deve existir pelo menos uma barra em cada vértice em seções circulares no mínimo seis barras distribuídas ao longo do perímetro O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais medido no plano da seção transversal fora da região de emendas deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores UNESP BauruSP Parte II Pilares 75 agreg máx luva feixe livre mín d 21 ou cm 2 e Eq 106 diâmetro da barra longitudinal feixe n n onde n é o número de barras do feixe dmáxagreg dimensão máxima característica do agregado graúdo 19 mm para brita 1 e 25 mm para brita 2 Esses valores se aplicam também às regiões de emendas por traspasse das barras Quando estiver previsto no plano de concretagem o adensamento através de abertura lateral na face da fôrma o espaçamento das armaduras deve ser suficiente para permitir a passagem do vibrador O espaçamento máximo entre eixos das barras ou de centros de feixes de barras deve ser menor ou igual a duas vezes a menor dimensão da seção no trecho considerado sem exceder 400 mm isto é cm 40 2 b e máxeixos b menor dimensão da seção transversal do pilar Eq 107 1123 Armadura Mínima e Máxima A armadura longitudinal mínima é calculada por item 173531 c yd d s mín 0 004A f 015 N A Eq 108 Nd força normal de cálculo fyd resistência de cálculo de início de escoamento do aço Ac área da seção transversal do pilar A armadura longitudinal máxima item 173532 é dada por Asmáx 008 Ac Eq 109 A máxima armadura permitida em pilares deve considerar inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de emenda devendo ser também respeitado o disposto em 18422 item que trata da distribuição transversal da armadura longitudinal na seção transversal 1124 Detalhamento da Armadura O arranjo típico do detalhamento da armadura de pilar de um pavimento de edificação está mostrado na Figura 81 UNESP BauruSP Parte II Pilares 76 Figura 81 Detalhamento típico das armaduras de pilar em um pavimento 1125 Proteção contra Flambagem No item 1824 da NBR 6118 encontrase Sempre que houver possibilidade de flambagem das barras da armadura situadas junto à superfície do elemento estrutural devem ser tomadas precauções para evitála Os estribos poligonais garantem contra a flambagem as barras longitudinais situadas em seus cantos e as por eles abrangidas situadas no máximo à distância 20t do canto se nesse trecho de comprimento 20t não houver mais de duas barras não contando a de canto Quando houver mais de duas barras nesse trecho ou barra fora dele deve haver estribos suplementares Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta terminada em ganchos 90 a 180 ele deve atravessar a seção do elemento estrutural e os seus ganchos devem envolver a barra longitudinal ver Figura 182 A Figura 82 e a Figura 83 mostram os critérios da norma com a necessidade de estribos grampos suplementares nas barras longitudinais situadas fora da distância 20t ou seja todas as barras além de 20t devem ser protegidas com grampos O estribo suplementar deve atender ao mínimo estabelecido em 1843 podendo ter o seu diâmetro e espaçamento diferentes do estribo poligonal Figura 82 Proteção contra flambagem das barras Figura 182 da NBR 6118 50 N3 15 c20 N2 15 c20 300 N2 15 5 C 150 18000 6o Pav P10 2060 N1 10 125 C 350 10 N1 15000 5o Pav 55 15 N3 15 5 C 35 17 UNESP BauruSP Parte II Pilares 77 20 t 20 t Figura 83 Critério para proteção de barras longitudinais contra a flambagem No caso de estribos curvilíneos cuja concavidade esteja voltada para o interior do concreto não há necessidade de estribos suplementares Se as seções das barras longitudinais se situarem em uma curva de concavidade voltada para fora do concreto cada barra longitudinal deve ser ancorada pelo gancho de um estribo reto ou pelo canto de um estribo poligonal 113 Armaduras Transversais A armadura transversal de pilares constituída por estribos e quando for o caso por grampos suplementares deve ser colocada em toda a altura do pilar sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes NBR 6118 1843 O diâmetro dos estribos em pilares deve obedecer a 4 4 ou mm 5 feixe t Eq 110 O espaçamento longitudinal entre estribos medido na direção do eixo do pilar para garantir o posicionamento impedir a flambagem das barras longitudinais e garantir a costura das emendas de barras longitudinais nos pilares usuais deve ser igual ou inferior ao menor dos seguintes valores 50 para CA 2512 para CA 24 menor dimensão do pilar b cm 20 smáx Eq 111 Pode ser adotado o valor t 4 quando as armaduras forem constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite também a limitação yk 2 t máx f 1 90000 s com fyk em MPa Eq 112 Quando houver necessidade de armaduras transversais para forças cortantes e torção esses valores devem ser comparados com os mínimos especificados em 183 para vigas adotandose o menor dos limites especificados Com vistas a garantir a dutilidade dos pilares recomendase que os espaçamentos máximos entre os estribos sejam reduzidos em 50 para concretos de classe C55 a C90 com inclinação dos ganchos de pelos menos 135 114 PilaresParede NBR 6118 185 No caso de pilares cuja maior dimensão da seção transversal exceda em cinco vezes a menor dimensão além das exigências constantes nesta subseção e na subseção 184 deve também ser UNESP BauruSP Parte II Pilares 78 atendido o que estabelece a Seção 15 relativamente a esforços solicitantes na direção transversal decorrentes de efeitos de 1a e 2a ordens em especial dos efeitos de 2a ordem localizados A armadura transversal de pilaresparede deve respeitar a armadura mínima de flexão de placas se essa flexão e a armadura correspondente forem calculadas Caso contrário a armadura transversal por metro de face deve respeitar o mínimo de 25 da armadura longitudinal por metro da maior face da lâmina considerada 12 ROTEIRO DE CÁLCULO DE PILARES Apresentase o roteiro de cálculo que será aplicado nos exemplos numéricos com a aplicação do Método do pilarpadrão com curvatura aproximada e do Método do pilarpadrão com rigidez aproximada para pilares com máx 90 a Força normal A força normal de cálculo pode ser determinada como Nd n f Nk Eq 113 Nk força normal característica do pilar n coeficiente de majoração da força normal Tabela 6 f coeficiente de ponderação das ações no ELU definido na Tabela 111 da NBR 6118 b Índice de esbeltez Eq 61 e Eq 62 i e A I i para seção retangular h 346 e c Momento fletor mínimo Eq 92 M1dmín Nd 15 003 h com h dimensão do pilar em cm na direção considerada d Esbeltez limite Eq 82 b 1 1 h 125 e 25 com 35 λ1 90 e1 0 para pilar intermediário 1 não se considera o efeito local de 2ª ordem na direção considerada 1 se considera o efeito local de 2ª ordem na direção considerada e Cálculo do momento fletor total e da armadura O cálculo da armadura pode ser determinado em função do momento fletor mínimo ou da excentricidade acidental O cálculo do momento fletor total em cada direção do pilar será feito explicitandose os diagramas de momentos fletores e das excentricidades e com a aplicação da equação de Mdtot segundo os processos aproximados da norma e1 Com os diagramas de momentos fletores Método do pilarpadrão com curvatura aproximada e2 Com os diagramas de excentricidades Método do pilarpadrão com curvatura aproximada e3 Com a Eq 97 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada dA 1 2 e d 1dA b dtot M r 1 N 10 M M e b M1dA M1dmín UNESP BauruSP Parte II Pilares 79 e4 Com a Eq 103 ou Eq 100 a Eq 102 Método do pilarpadrão com rigidez aproximada 0 h N M 3840 M M 19200 h N 3840h N 19200M 1 d A d b Sdtot 1 d A b d 2 d 2 Sdtot e5 Com a excentricidade acidental sem consideração do momento fletor mínimo Calculase o ângulo 1 Eq 79 e a excentricidade acidental para um lance do pilar considerando falta de retilineidade do pilar para uma seção intermediária Eq 80 H 100 1 1 2 e e 1 a falta de retilineidade 13 EXEMPLOS NUMÉRICOS Os exemplos a seguir são de pilares simplesmente apoiados na base e no topo de nós fixos contraventados e sem forças transversais atuantes Os cálculos serão feitos mostrandose os diagramas de momentos fletores solicitantes e também as excentricidades como apresentado no item 10121 considerandose o momento fletor mínimo ou a excentricidade acidental 131 Pilares Intermediários No pilar intermediário devido à continuidade de vigas e lajes sobre o pilar os momentos fletores de 1a ordem são nulos em ambas as direções xy MA MB 0 e e1x e1y 0 Os seguintes dados são comuns nos exemplos coeficientes de ponderação c f 14 s 115 aço CA50 fyd 50115 435 kNcm2 1311 Exemplo 1 Dimensionar a armadura longitudinal do pilar mostrado na Figura 84 sendo conhecidos Nk 1000 kN 100 tf seção transversal 20 x 50 Ac 1000 cm2 comprimento equivalente ex ey 280 cm concreto C30 d 40 cm 280 cm ex ey 280 cm d N x y h 50 cm x h 20 cm y Figura 84 Posição do pilar em relação às vigas vínculos na base e no topo nas direções x e y dimensões da seção transversal e situação de projeto Resolução a Força normal A força normal de cálculo é Eq 113 Nd n f Nk 10 14 1000 1400 kN com γn 10 determinado na Tabela 6 em função da largura da seção transversal do pilar hy 20 cm b Índice de esbeltez Eq 62 O índice de esbeltez deve ser calculado para as direções x e y conforme os eixos mostrados na Figura 84 A fim de padronizar e simplificar a notação e como já comentado aqui se considera a direção e não o eixo do pilar UNESP BauruSP Parte II Pilares 80 19 4 50 46 280 3 h 46 3 x ex x pilar curto na dir x ver Eq 63 máx 484 90 ok61 48 4 20 46 280 3 h 46 3 y ey y pilar médio na dir y c Momento fletor mínimo O momento fletor mínimo em cada direção é calculado com a Eq 92 que com h em cm fica M1dmín Nd 15 003 h Dir x M1dmínx 1400 15 003 50 4200 kNcm e1xmín 3 00 1 400 200 4 N M cm Dir y M1dmíny 1400 15 003 20 2940 kNcm e1ymín 210 1 400 940 2 N M cm d Esbeltez limite Eq 82 b 1 1 h 125 e 25 com 35 λ1 90 Nos pilares intermediários não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem assim e1 0 e b 10 ver item 83 e 1x 1y 25 35 1x 1y 35 Desse modo x 194 1x 35 não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção x y 484 1y 35 são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção y Em pilares retangulares correntes geralmente há a necessidade de considerar os efeitos de 2a ordem e2 e M2 somente na direção da largura do pilar e Cálculo do momento fletor total e da armadura Como comentado no roteiro de cálculo o momento fletor total será calculado com a consideração do momento fletor mínimo e depois com base na excentricidade acidental Os momentos fletores totais serão calculados explicitandose os diferentes momentos fletores bem como depois as excentricidades e1 Cálculo com os diagramas de momentos fletores Método do pilarpadrão com curvatura aproximada O momento fletor de 2a ordem deve ser calculado para a direção y Figura 85 sendo Força normal adimensional Eq 78 65 0 41 03 000 1 400 1 f A N cd c d Curvatura na direção y Eq 77 com h sendo o lado hy 61 A comparação com o valor 90 foi feita para verificar se os métodos aproximados que serão aplicados no dimensionamento do pilar podem ser aplicados UNESP BauruSP Parte II Pilares 81 1 4 1 4 cm 10 52 20 005 0 h 0 005 cm 2173910 50 0 65 20 005 0 0 50 h 005 0 r 1 ok A excentricidade máxima de 2a ordem é Eq 75 170 2173910 10 280 r 1 10 e 4 2 2 e 2y cm O momento fletor de 2a ordem é Eq 76 2 380 1400 170 N e r 1 10 N M 2y d 2 2 d 2 d y kNcm Observando os diagramas da Figura 85 notase que os momentos fletores totais são62 Dir x Mdtotx M1dmínx 4200 kNcm Dir y Mdtoty M1dmíny M2dy 2940 2380 5320 kNcm d N x y h 50 cm x h 20 cm y Figura 85 Momentos fletores atuantes no pilar nas direções x e y e2 Cálculo com os diagramas de excentricidades Método do pilarpadrão com curvatura aproximada As excentricidades correspondentes aos momentos fletores já calculadas estão indicadas na Figura 8663 Nas situações de cálculo surgem duas Flexões Compostas Normais ver Figura 67 Figura 86 Situação de projeto e situações de cálculo do pilar intermediário Os momentos fletores totais são 62 Nos pilares retangulares de modo geral é suficiente considerar apenas a direção da largura do pilar que configura a direção crítica e aquela que conduz à armadura final Neste texto com fins didáticos as duas direções serão sempre analisadas 63 Como a excentricidade mínima de 210 cm é próxima da excentricidade acidental 20 cm da NB 178 a armadura é praticamente igual à da NB 178 M1dmínx 2940 M2dmáxy 2380 Dir y M1dmíny 4200 Dir x x x e2y 170 ey 380 e1ymín 210 Nd 2a sc hx 50 e1xmín y SP Nd hy 20 x y y 1a sc 300 Nd UNESP BauruSP Parte II Pilares 82 Dir x Mdtotx Nd e1xmín 1400 300 4200 kNcm Dir y Mdtoty Nd ey 1400 380 5320 kNcm e3 Cálculo com a equação da norma Eq 97 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada dA 1 2 e d 1dA b dtot M r 1 N 10 M M com b M1dA M1dmín Em pilar intermediário não existe o momento fletor de 1a ordem M1dA de modo que b M1dA M1dmín em cada direção ver Figura 85 Dir x Mdtotx M1dmínx 4200 kNcm Dir y Mdtoty M1dmíny M2dy 2940 2380 5320 kNcm e4 Cálculo com a Eq 103 ou Eq 100 a Eq 102 Método do pilarpadrão com rigidez aproximada 0 h N M 3840 M M 19200 h N 3840h N 19200M 1 d A d b Sdtot 1 d A b d 2 d 2 Sdtot Aplicando na direção y que é a direção onde ocorre a excentricidade de 2a ordem e2 e fazendo M1dA M1dmíny 2940 kNcm e h hy 20 cm 3840 01 2014002940 0 M 201400 19200 01 2940 3840 201400 48 4 19200M tot Sd 2 2 Sdtot 0 316108810 14519680M 19200M 11 tot Sd 2 Sdtot 0 16464000 7562 M M tot Sd 2 Sdtot A raiz positiva da equação de 2o grau é MSdtot 4453 kNcm M1dA M1dmíny 2940 kNcm ok e5 Cálculo da armadura longitudinal Conforme os cálculos feitos com o Método do pilarpadrão com curvatura aproximada ocorrem no pilar dois momentos fletores totais nas direções principais dir x Mdtotx 4200 kNcm e dir y Mdtoty 5320 kNcm Fica claro que se calculada uma armadura para cada direção a maior será aquela relativa à direção y pois além do momento fletor total ser maior ele é relativo à direção de menor rigidez do pilar que é a direção da largura da seção transversal Analisando as excentricidades na Figura 86 isto também fica claro com a maior excentricidade na direção de menor rigidez do pilar Quando há certeza nesta análise apenas esta armadura maior pode ser determinada ou melhor todos os cálculos de dimensionamento do pilar podem ser feitos apenas para a direção de menor rigidez ou de maior esbeltez Com 065 e utilizando os ábacos de Venturini 198764 para Flexão Reta fazse o cálculo de Eq 52 ou Eq 53 e dh para a dir y O valor admensional pode ser calculado em função do momento fletor total ou da excentricidade cd c y toty d f A h M 12 0 41 1000 03 20 5 320 ou 012 20 0 65 3 80 h e y y y y h d 20 04 020 com o Ábaco A4 ω 022 quadrante superior Compressão na Figura 8765 A armadura resulta de 022 Eq 54 As yd cd c f A f 1084 5 43 41 221000 03 0 cm2 deve ser adotado um número par de barras como 10 125 mm 1250 cm2 ou 6 16 mm 1200 cm2 64 Os ábacos podem ser encontrados em httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm 65 Na determinação de no ábaco devese ter muito cuidado pois um pequeno erro no valor poderá significar um grande erro no valor da armadura do pilar UNESP BauruSP Parte II Pilares 83 Esta quantidade de armadura é pequena o que significa que a largura do pilar poderia ser diminuída de 20 cm para um valor menor obedecida a largura mínima de 14 cm bem como questões arquitetônicas e estruturais como a relativa à Estabilidade Global da edificação Figura 87 Ábaco A4 dh 020 de Venturini 1987 para a Flexão Reta Cada ábaco tem um desenho esquemático da forma de distribuição da armadura na seção transversal do pilar mostrado no lado direito superior ver Figura 87 Nos ábacos A1 a A5 por exemplo metade da armadura é disposta em uma face e a outra metade na face oposta Outros ábacos têm fixado o número total de barras bem como o número de barras em cada face Como os ábacos A1 a A5 não fixam a quantidade de barras uma quantidade qualquer pode ser colocada nas duas faces66 sendo por isso ábacos muito interessantes Figura 88 66 Os espaçamentos livres entre as barras devem obedecer valores práticos e de norma UNESP BauruSP Parte II Pilares 84 Figura 88 Detalhe da armadura dos ábacos A1 a A5 de Venturini 1987 para a Flexão Reta Deve sempre ser observado o posicionamento correto da armadura na seção transversal do pilar de acordo com o ábaco escolhido Nos ábacos A1 a A5 por exemplo Figura 88 observase que a armadura é posicionada nas faces ou lados com direção perpendicular à excentricidade e da força Nd Ou em outras palavras com a regra da mão direita para indicar o momento fletor Nd e observase que a direção da armadura é coincidente com a direção do dedo polegar67 Portanto não é correto considerar que a posição da armadura no desenho esquemático indica que ela deve ser posionada nos lados menores do pilar Com essas considerações observase que no exemplo em questão a armadura deverá ser disposta nas duas faces maiores do pilar ao longo dos lados hx o que fica claro analisando a 2a situação de cálculo sc que originou a armadura ver Figura 86 com a armadura posicionada na direção perpendicular à direção da excentricidade ey ver Figura 89 a excentricidade está desenhada fora de escala Análise semelhante pode ser feita com o momento fletor total que originou a armadura da direção y Figura 89 Posicionamento da armadura no pilar de acordo com o ábaco A4 de Venturini 1987 Se aplicado o momento fletor total resultante do cálculo segundo o Método do pilarpadrão com rigidez aproximada a armadura resulta cd c y toty d f A h M 41 1000 03 20 4 453 010 y y h d 20 04 020 e com 065 Ábaco A4 ω 013 As yd cd c f A f 6 40 5 43 41 131000 03 0 cm2 67 Isto é muito importante de modo que a posição da armadura no detalhamento final do pilar não pode sob sérias consequências ficar trocada errada b d e Nd 2As2 h2 h2 d hy hx ey Nd 2As 2 d UNESP BauruSP Parte II Pilares 85 e6 Cálculo com a excentricidade acidental sem consideração do momento fletor mínimo A NBR 6118 permite que caso o dimensionamento do pilar seja feito com base na excentricidade acidental e não no momento fletor mínimo que seja considerada apenas a excentricidade por falta de retilineidade do pilar Como se observa na Figura 60 a excentricidade por falta de retilineidade é considerada em uma seção intermediária em H2 Com a Eq 79 é calculado o ângulo 00598 0 82 100 1 H 100 1 1 rad tomando H como a altura do lance do pilar68 O valor de 1 deve ser comparado ao valor mínimo 1 000598 rad 1mín 1300 000333 rad 1 000598 rad Com a Eq 80 é calculada a excentricidade acidental por falta de retilineidade 2 e e 1 a 0 84cm 2 0 00598280 e e ay ax A Figura 90 mostra as excentricidades que devem ser consideradas tomando como base a Figura 76 Figura 90 Situação de projeto e situações de cálculo para a seção intermediária para dimensionamento do pilar com base na excentricidade acidental por falta de retilineidade A armadura resulta 0 08 20 0 65 2 54 h e y y y y h d 20 04 020 Ábaco A4 ω 008 As yd cd c f A f 3 94 5 43 41 081000 03 0 cm2 Resumo Método As cm2 Pilarpadrão com curvatura aproximada com M1dmín 1084 100 Pilarpadrão com rigidez aproximada com M1dmín 640 41 Pilarpadrão com curvatura aproximada com ea 394 36 de 1084 68 A altura H pode ser tomada como a distância entre os eixos longitudinais das vigas apoiadas no topo e na base do pilar No caso de pilares apoiados na base e no topo a altura H coincide ou é muito próxima ao comprimento equivalente e x x e2y 170 ey 254 eay 084 Nd 2a sc hx 50 eax y SP Nd hy 20 x y y 1a sc 084 Nd UNESP BauruSP Parte II Pilares 86 A armadura calculada com o momento fletor mínimo que proporciona a excentricidade mínima de 210 cm é praticamente igual àquela que era calculada com a excentricidade acidental da antiga NB 178 a qual seria 20 cm neste caso No entanto com o novo valor da NBR 6118 para a excentricidade acidental de 084 cm a armadura diminui bastante e representa apenas 36 da armadura calculada com o momento fletor mínimo ou seja quase um terço apenas Portanto calcular o pilar com o momento fletor mínimo resulta armadura próxima àquela calculada com a antiga NB 178 válida até 2003 ano que a NBR 6118 diminuiu o valor da excentricidade acidental e que está mantido na versão de 2023 Se o pilar for dimensionado com a excentricidade acidental devida ao desaprumo do pilar a armadura resulta 837 cm2 com redução de 23 do valor de 1084 cm2 No dimensionamento via o método com rigidez aproximada a armadura também foi menor que aquela com o momento fletor mínimo 41 Essas diferenças justificam a necessidade de realização de ensaios experimentais de pilares para comparação e uma avaliação mais precisa e realística dos modelos teóricos 1312 Exemplo 2 Este exemplo é semelhante ao anterior com a diferença da maior altura do pilar expressa no comprimento equivalente ex ey 480 cm Figura 91 O exemplo mostra a influência da altura do pilar na quantidade de armadura necessária Dados Nk 1000 kN seção transversal 20 x 50 Ac 1000 cm2 concreto C30 d 40 cm 480 cm ey ex 480 cm d N x y h 50 cm x h 20 cm y Figura 91 Posição do pilar em relação às vigas vínculos na base e no topo nas direções x e y dimensões da seção transversal e situação de projeto Resolução69 a Força normal A força normal de cálculo é Eq 113 Nd n f Nk 10 14 1000 1400 kN com γn 10 determinado na Tabela 6 em função da largura da seção transversal do pilar b Índice de esbeltez Eq 62 Dir x 33 2 50 46 480 3 h 46 3 x ex x pilar curto na dir x ver Eq 63 máx 830 90 ok Dir y 830 20 46 480 3 h 46 3 y ey y pilar médio na dir y c Momento fletor mínimo Como visto no Exemplo 1 a armadura do pilar resulta da direção de maior esbeltez relativa à largura da seção transversal hy na direção y de modo que os cálculos serão feitos apenas para esta direção pois a 69 Por uma questão didática vários dos cálculos já feitos no Exemplo 1 são aqui repetidos UNESP BauruSP Parte II Pilares 87 direção x não tem importância no dimensionamento do pilar deste exemplo O momento fletor mínimo na direção y Eq 92 é M1dmíny Nd 15 003 h 1400 15 003 20 2940 kNcm e1ymín 15 003 20 210 cm d Esbeltez limite Eq 82 b 1 1 h 125 e 25 com 35 λ1 90 Como mostrado no Exemplo 1 1x 1y 35 Desse modo x 332 1x 35 não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção x y 830 1y 35 são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção y e Cálculo do momento fletor total e da armadura Como comentado no roteiro de cálculo o momento fletor total será calculado com a consideração do momento fletor mínimo e depois com base na excentricidade acidental Os momentos fletores totais serão calculados explicitandose os diferentes momentos fletores bem como depois as excentricidades e1 Cálculo com os diagramas de momentos fletores Método do pilarpadrão com curvatura aproximada Na direção y ocorrem efeitos locais de 2a ordem e o momento fletor de 2a ordem deve ser calculado Figura 92 Força normal adimensional Eq 78 65 0 41 03 000 1 400 1 f A N cd c d Curvatura na dir y Eq 77 com h sendo o lado hy 1 4 1 4 cm 10 52 20 0 005 cm 2173910 50 0 65 20 005 0 0 50 h 005 0 r 1 ok A excentricidade máxima de 2a ordem na dir y é Eq 75 5 00 2173910 10 480 r 1 10 e 4 2 2 e 2y cm O momento fletor de 2a ordem é Eq 76 7 000 1400 5 00 N e r 1 10 N M 2y d 2 2 d 2 d y kNcm Observando os diagramas da Figura 92 notase que o momento fletor total na dir y é Mdtoty M1dmíny M2dy 2940 7000 9940 kNcm UNESP BauruSP Parte II Pilares 88 d N x y h 50 cm x h 20 cm y Figura 92 Momentos fletores atuantes no pilar na direção y e2 Cálculo com os diagramas de excentricidades Método do pilarpadrão com curvatura aproximada As excentricidades correspondentes aos momentos fletores para a dir y estão indicadas na Figura 93 e tomam como base a Figura 67 Figura 93 Situação de projeto e situação de cálculo do pilar intermediário para a direção y O momento fletor total é Mdtoty Nd ey 1400 710 9940 kNcm e3 Cálculo com a Eq 97 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada dA 1 2 e d 1dA b dtot M r 1 N 10 M M com b M1dA M1dmín Em pilar intermediário não existe momento fletor M1dA de modo que b M1dA M1dmín 2940 kNcm Mdtoty M1dmíny M2dy 2940 7000 9940 kNcm e4 Com a Eq 103 ou Eq 100 a Eq 102 Método do pilarpadrão com rigidez aproximada 0 h N M 3840 M M 19200 h N 3840h N 19200M 1 d A d b Sdtot 1 d A b d 2 d 2 Sdtot Aplicando na dir y que é a direção de e2 e fazendo M1dA M1dmíny 2940 kNcm e hy 20 cm 3840 01 201400 2940 0 M 201400 19200 01 2940 3840 201400 830 19200M tot Sd 2 2 Sdtot 2940 M2dy 7000 Dir y M1dmíny x e2y 500 ey 710 e1ymín 210 Nd 2a sc hx 50 y SP hy 20 x y Nd UNESP BauruSP Parte II Pilares 89 0 316108810 141820000M 19200M 11 tot Sd 2 Sdtot 0 16464000 7 3865 M M tot Sd 2 Sdtot A raiz positiva da equação de 2o grau é MSdtot 9180 kNcm M1dA e5 Cálculo da armadura longitudinal Segundo o Método do pilarpadrão com curvatura aproximada o momento fletor total na dir y é Mdtoty 9940 kNcm Com 065 e utilizando os ábacos de Venturini 198770 para Flexão Reta fazse o cálculo de Eq 52 ou Eq 53 e dh para a dir y cd c y toty d f A h M 23 0 41 1000 03 20 9 940 ou 0 23 20 0 65 710 h e y y y y h d 20 04 020 com 065 no Ábaco A4 temse ω 063 quadrante superior Compressão ver Figura 8771 A armadura resulta Eq 54 As yd cd c f A f 3103 5 43 41 631000 03 0 cm2 arranjo com 16 16 mm 3200 cm2 ou 10 20 mm 3150 cm2 A armadura aumentou bastante de 1084 cm2 do Exemplo 1 para 3103 cm2 devido à altura do pilar ser 71 maior Se aplicado o momento fletor total resultante do cálculo segundo o Método do pilarpadrão com rigidez aproximada a armadura resulta cd c y toty d f A h M 21 0 41 1000 03 20 9 180 y y h d 20 04 020 e com 065 Ábaco A4 ω 055 As yd cd c f A f 2709 5 43 41 551000 03 0 cm2 14 16 mm 2800 cm2 e6 Cálculo com a excentricidade acidental sem consideração do momento fletor mínimo Com a Eq 79 é calculado o ângulo 00456 0 84 100 1 H 100 1 1 rad tomado H como a altura do lance do pilar72 O valor de 1 deve ser comparado ao valor mínimo 1 000456 rad 1mín 1300 000333 rad 1 000456 rad A excentricidade acidental por falta de retilineidade é Eq 80 70 Os ábacos podem ser encontrados em httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm 71 Na determinação de no ábaco devese ter muito cuidado pois um pequeno erro no valor poderá significar um grande erro no valor da armadura do pilar 72 Cada caso deve ser analisado pois a altura do lance pode não coincidir com o comprimento equivalente UNESP BauruSP Parte II Pilares 90 2 e e 1 a 110 cm 2 0 00456480 e e ay ax Tomando como base a Figura 76 a Figura 94 mostra as excentricidades que devem ser consideradas Figura 94 Situação de projeto e de cálculo dir y para a seção intermediária para dimensionamento do pilar com base na excentricidade acidental por falta de retilineidade A armadura resulta 0 20 20 0 65 610 h e y y y y h d 20 04 020 Ábaco A4 ω 052 As yd cd c f A f 2562 5 43 41 521000 03 0 cm2 Resumo Método As cm2 Pilarpadrão com curvatura aproximada com M1dmín 3103 100 Pilarpadrão com rigidez aproximada com M1dmín 2709 13 Pilarpadrão com curvatura aproximada com ea 2562 17 As três armaduras deste exemplo não se apresentam tão diferentes como ocorrido no Exemplo 1 O momento fletor mínimo resultou na excentricidade mínima de 210 cm muito maior que a excentricidade acidental da NBR 6118 de 084 cm do Exemplo 1 No entanto como a excentricidade de 2a ordem foi elevada 500 cm a diferença entre as excentricidades mínima e acidental influenciou menos no valor da armadura comparativamente com o ocorrido no Exemplo 1 1313 Exemplo 3 Este exemplo é semelhante ao Exemplo 1 com a diferença de uma maior força normal de compressão de 1000 kN para 1400 kN 40 Figura 95 de modo a ilustrar a influência do valor da força normal na armadura do pilar São conhecidos x e2y 500 ey 610 eay 110 Nd 2a sc hx 50 y SP hy 20 x y Nd UNESP BauruSP Parte II Pilares 91 concreto C30 d 40 cm Nk 1400 kN seção transversal 20 x 50 Ac 1000 cm2 comprimento equivalente ex ey 280 cm d N x y h 50 cm x h 20 cm y Figura 95 Dimensões da seção transversal e posição da força normal Resolução a Força normal A força normal de cálculo é Eq 113 Nd n f Nk 10 14 1400 1960 kN com γn 10 determinado na Tabela 6 em função da largura da seção transversal do pilar b Índice de esbeltez Eq 62 Dir x 19 4 50 46 280 3 h 46 3 x ex x máx 484 90 ok pilar médio Dir y 48 4 20 46 280 3 h 46 3 y ey y c Momento fletor mínimo Como visto no Exemplo 1 a armadura do pilar resulta da direção de maior esbeltez dir y de modo que os cálculos serão feitos relativos somente a esta direção O momento fletor mínimo na direção y Eq 92 é M1dmíny Nd 15 003 h 1960 15 003 20 4116 kNcm e1ymín 15 003 20 210 cm d Esbeltez limite Eq 82 b 1 1 h 125 e 25 com 35 λ1 90 Nos pilares intermediários não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem daí e1 0 e b 10 ver item 83 Assim 1x 1y 25 35 1x 1y 35 Desse modo x 194 1x 35 não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção x y 484 1y 35 são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção y e Cálculo do momento fletor total e da armadura Como comentado no roteiro de cálculo o momento fletor total será calculado com a consideração do momento fletor mínimo e depois com base na excentricidade acidental Os momentos fletores totais serão calculados explicitandose os diferentes momentos fletores bem como depois as excentricidades UNESP BauruSP Parte II Pilares 92 e1 Cálculo com os diagramas de momentos fletores Método do pilarpadrão com curvatura aproximada No pilar intermediário atua somente o momento fletor mínimo ao qual deve ser acrescido o momento fletor de 2a ordem na direção y neste caso Figura 92 sendo calculado como Força normal adimensional Eq 78 91 0 41 03 1000 1960 f A N cd c d Curvatura na dir y Eq 77 com h sendo o lado hy 1 4 1 4 cm 10 52 20 0 005 cm 1773010 50 0 91 20 005 0 0 50 h 005 0 r 1 ok A excentricidade máxima de 2a ordem na dir y é Eq 75 139 1773010 10 280 r 1 10 e 4 2 2 e 2y cm O momento fletor de 2a ordem é Eq 76 2 725 1960 139 N e r 1 10 N M 2y d 2 2 d 2 d y kNcm Observando os diagramas da Figura 92 notase que o momento fletor total na dir y é Mdtoty M1dmíny M2dy 4116 2725 6841 kNcm d N x y h 50 cm x h 20 cm y Figura 96 Momentos fletores atuantes no pilar na direção y e2 Cálculo com os diagramas de excentricidades Método do pilarpadrão com curvatura aproximada As excentricidades correspondentes aos momentos fletores para a dir y estão indicadas na Figura 97 e tomam como base a Figura 67 Figura 97 Situação de projeto e situação de cálculo do pilar intermediário para a direção y 4116 M2dmáxy 2725 Dir y M1dmíny x e2y 139 ey 349 e1ymín 210 Nd 2a sc hx 50 y SP hy 20 x y Nd UNESP BauruSP Parte II Pilares 93 O momento fletor total é Mdtoty Nd ey 1960 349 6840 kNcm e3 Cálculo com a Eq 97 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada dA 1 2 e d 1dA b dtot M r 1 N 10 M M com b M1dA M1dmín Não existe o momento fletor M1dA de modo que b M1dA M1dmíny 4116 kNcm Mdtoty M1dmíny M2dy 4116 2725 6841 kNcm e4 Com a Eq 103 ou Eq 100 a Eq 102 Método do pilarpadrão com rigidez aproximada 0 h N M 3840 M M 19200 h N 3840h N 19200M 1 d A d b Sdtot 1 d A b d 2 d 2 Sdtot Aplicando na dir y que é a direção de e2 e fazendo M1dA M1dmíny 4116 kNcm e hy 20 cm 3840 01 2019604116 0 M 201960 19200 01 4116 3840 201960 48 4 19200M tot Sd 2 2 Sdtot 0 61957310 20327552M 19200M 11 tot Sd 2 Sdtot 0 32269440 1 0587 M M tot Sd 2 Sdtot A raiz positiva da equação de 2o grau é MSdtot 6235 kNcm M1dA e5 Cálculo da armadura longitudinal Segundo o Método do pilarpadrão com curvatura aproximada o momento fletor total na dir y é Mdtoty 6841 kNcm Com 091 e utilizando os ábacos de Venturini 198773 para Flexão Reta fazse o cálculo de Eq 52 ou Eq 53 e dh para a dir y cd c y toty d f A h M 16 0 41 1000 03 20 6 841 ou 016 20 0 91 3 49 h e y y y y h d 20 04 020 com o Ábaco A4 ω 060 quadrante superior Compressão na Figura 8774 A armadura resulta de 060 As yd cd c f A f 2956 5 43 41 601000 03 0 cm2 16 16 mm 3200 cm2 ou 10 20 mm 3150 cm2 A armadura aumentou significativamente de 1084 cm2 do Exemplo 1 para 2956 cm2 embora com uma carga de compressão maior em apenas 40 Se aplicado o momento fletor resultante do cálculo segundo o Método do pilarpadrão com rigidez aproximada a armadura resulta cd c y toty d f A h M 15 0 41 1000 03 20 6235 73 Os ábacos podem ser encontrados em httpwwwpfebunespbrpbastospagconcreto2htm 74 Na determinação de no ábaco devese ter muito cuidado pois um pequeno erro no valor poderá significar um grande erro no valor da armadura do pilar UNESP BauruSP Parte II Pilares 94 y y h d 20 04 020 e com 091 Ábaco A4 ω 055 As yd cd c f A f 2709 5 43 41 551000 03 0 cm2 14 16 mm 2800 cm2 e6 Cálculo com a excentricidade acidental sem consideração do momento fletor mínimo Com a Eq 79 é calculado o ângulo 00598 0 82 100 1 H 100 1 1 rad com H como a altura do lance do pilar O valor de 1 deve ser comparado ao valor mínimo 1 000598 1mín 1300 000333 rad 1 000598 rad A excentricidade acidental por falta de retilineidade é Eq 80 2 e e 1 a 0 84cm 2 0 00598280 e e ay ax A Figura 98 mostra as excentricidades que devem ser consideradas com base na Figura 76 Figura 98 Situação de projeto e de cálculo dir y para a seção intermediária para dimensionamento do pilar com base na excentricidade acidental por falta de retilineidade A armadura resulta 010 20 0 91 2 23 h e y y y y h d 20 04 020 Ábaco A4 ω 038 As yd cd c f A f 1872 5 43 41 381000 03 0 cm2 10 16 mm 2000 cm2 Resumo Método As cm2 Pilarpadrão com curvatura aproximada com M1dmín 2956 100 Pilarpadrão com rigidez aproximada com M1dmín 2709 8 Pilarpadrão com curvatura aproximada com ea 1872 367 x e2y 139 ey 223 eay 084 Nd 2a sc hx 50 y SP hy 20 x y Nd UNESP BauruSP Parte II Pilares 95 Com o aumento de 40 na carga Nk do Exemplo 1 verificase que a armadura quase triplicou a quantidade de 1084 para 2956 cm2 O cálculo com a excentricidade acidental da NBR 6118 apresentou armadura 367 menor que a armadura com o momento fletor mínimo o que é devido à diferença entre a excentricidade mínima 210 cm e a excentricidade acidental 084 cm Embora apenas três exemplos numéricos tenham sido apresentados pelos valores obtidos podese observar que o método do pilarparão com rigidez aproximada resulta armaduras um pouco inferiores àquelas do método do pilarparão com curvatura aproximada com diferença mais significativa no Exempo 1 Dentre as opções existentes o cálculo com momento fletor mínimo apresenta valores de armadura semelhantes aos valores obtidos com a antiga NB 178 norma anterior às versões de 2003 2014 e a atual 2023 1314 Exemplo 4 Dimensionar a armadura de um pilar intermediário de edificação de pequeno porte com dois pavimentos sobrado sendo conhecidos Figura 99 concreto C25 d 30 cm Nk 220 kN seção transversal 14 x 30 Ac 420 cm275 comprimento equivalente ex ey 280 cm Figura 99 Dimensões da seção transversal e posição da força normal Resolução a Força normal Para a largura de 14 cm na Tabela 6 encontrase o coeficiente γn 125 e a força normal de cálculo é Eq 113 Nd n f Nk 125 14 220 385 kN b Índice de esbeltez Eq 62 Dir x 32 3 30 46 280 3 h 46 3 x ex x máx 692 90 ok pilar médio Dir y 69 2 14 46 280 3 h 46 3 y ey y c Momento fletor mínimo O momento fletor mínimo Eq 92 é M1dmín Nd 15 003 h M1dmínx 385 15 003 30 924 kNcm e1xmín 15 003 30 240 cm M1dmíny 385 15 003 14 739 kNcm e1ymín 15 003 14 192 cm d Esbeltez limite Eq 82 b 1 1 h 125 e 25 com 35 λ1 90 Nos pilares intermediários não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem assim e1 0 e b 10 ver item 83 e 75 Conforme a NBR 6118 a menor dimensão de um pilar é 14 cm e o pilar deve ter seção transversal com área mínima de 360 cm2 x hx 30 y hy 14 Nd UNESP BauruSP Parte II Pilares 96 1x 1y 25 35 1x 1y 35 Desse modo x 323 1x 35 não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção x y 692 1y 35 são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção y e Cálculo do momento fletor total e da armadura Como comentado no roteiro de cálculo o momento fletor total será calculado com a consideração do momento fletor mínimo e depois com base na excentricidade acidental Os momentos fletores totais serão calculados explicitandose os diferentes momentos fletores bem como depois as excentricidades e1 Cálculo com os diagramas de momentos fletores Método do pilarpadrão com curvatura aproximada No pilar intermediário atua somente o momento fletor mínimo ao qual deve ser acrescido o momento fletor de 2a ordem na direção y Figura 100 sendo Força normal adimensional Eq 78 51 0 41 52 420 385 f A N cd c d Curvatura na direção y Eq 77 com h sendo o lado hy 1 4 1 4 cm 3 5710 14 0 005 cm 3 524410 50 0 51 14 005 0 0 50 h 005 0 r 1 ok A excentricidade máxima de 2a ordem na direção y é Eq 75 2 76 3 524410 10 280 r 1 10 e 4 2 2 e 2y cm O momento fletor de 2a ordem é Eq 76 1 064 385 2 76 N e r 1 10 N M 2y d 2 2 d 2 d y kNcm Na dir x atua somente o momento fletor mínimo e o momento fletor total é Mdtotx M1dmínx 924 kNcm Na dir y o momento fletor total é a soma dos momentos fletores de 1a e 2a ordem Figura 100 Mdtoty M1dmíny M2dy 739 1064 1803 kNcm Figura 100 Momentos fletores atuantes no pilar na direção y x hx 30 y hy 14 Nd 739 M2dmáxy 1064 Dir y M1dmíny UNESP BauruSP Parte II Pilares 97 e2 Cálculo com os diagramas de excentricidades Método do pilarpadrão com curvatura aproximada As excentricidades correspondentes aos momentos fletores da dir y estão indicadas na Figura 101 com base na Figura 67 Figura 101 Situação de projeto e situação de cálculo do pilar intermediário para a direção y O momento fletor total na dir y é Mdtoty Nd ey 385 468 1802 kNcm e3 Cálculo da armadura longitudinal Com 051 fazse o cálculo de Eq 52 ou Eq 53 e dh para a dir y cd c y toty d f A h M 17 0 41 52 420 14 1803 ou 017 14 0 51 4 68 h e y y y y h d 14 03 021 020 com o Ábaco A4 de Venturini 1987 Figura 87 ω 032 A armadura resulta As yd cd c f A f 5 52 5 43 41 52 32 420 0 cm2 8 10 mm 640 cm2 132 Pilares de Extremidade Os exemplos numéricos a seguir são de pilares de extremidade apoiados na base e no topo de nós fixos pilar contraventado e sem forças transversais horizontais atuantes Os cálculos serão feitos mostrandose os diagramas de momentos fletores solicitantes e também as excentricidades como mostrado no item 10121 considerandose o momento fletor mínimo ou a excentricidade acidental por falta de retilineidade Os seguintes dados são comuns em todos os exemplos coeficientes de ponderação c f 14 e s 115 aço CA50 fyd 50115 435 kNcm2 d 4 cm 1321 Exemplo 1 Para o pilar mostrado na Figura 102 calcular a armadura longitudinal necessária Este exemplo é semelhante àquele encontrado em Fusco 1981 p 297 com a diferença da alteração do concreto de C15 para C2576 e da largura do pilar de 25 cm para 20 cm São conhecidos 76 Até a década de 70 do século passado eram comuns os concretos C135 e C15 Na década de 80 foram comuns o C15 e o C18 e que foram sendo substituídos gradativamente pelos C20 e C25 E nos últimos quinze anos são mais aplicados nos edifícios o C30 e C35 e até com resistências maiores como C40 ou superiores x e2y 276 ey 468 e1ymín 192 Nd 2a sc hx 30 y SP hy 14 x y Nd UNESP BauruSP Parte II Pilares 98 Nk 1110 kN M1dAx M1dBx 2170 kNcm seção transversal 20 x 70 cm Ac 1400 cm2 comprimento equivalente ex ey 280 cm V1 y h 20 cm x h 70 cm y x e1x d N M M 1dAx 1dBx A B ex M1dAx M1dBx 2170 kNcm 2170 kNcm ey 280 Figura 102 Arranjo estrutural do pilar na planta de fôrma dimensões da seção transversal e momentos fletores de cálculo de 1a ordem atuantes na direção x do pilar Resolução a Esforços solicitantes A força normal de cálculo é Eq 113 Nd n f Nk 10 14 1110 1554 kN com n 10 na Tabela 6 Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nas extremidades do pilar M1dAx M1dBx 2170 kNcm que o solicitam na direção x em função de existir a viga V1 não contínua sobre o pilar na direção x Figura 102 e Figura 103 Estes momentos fletores de 1a ordem são valores de cálculo já majorados pelos coeficientes de ponderação f e n 77 Como os momentos fletores são iguais a excentricidade inicial de 1ª ordem também é igual em módulo na base e no topo do pilar d dx 1 1x N M e 1 40 1 554 2 170 e e 1xB 1xA cm V1 2170 kNcm 2170 kNcm 2170 kNcm 2170 kNcm 140 cm 140 cm 140 cm 140 cm 280 280 Figura 103 Momentos fletores de cálculo de 1a ordem e excentricidades no topo e na base do pilar na direção x 77 Todos os esforços solicitantes devem ser majorados por n e não somente a força normal UNESP BauruSP Parte II Pilares 99 Em função dos momentos fletores de 1a ordem existentes no pilar percebese que o melhor posicionamento para a armadura longitudinal aquele que é mais racional e econômico é com as barras de aço distribuídas ao longo das duas faces maiores dimensão hy ver Figura 102 A armadura simétrica com barras em ambas as faces do pilar proporciona resistência aos momentos fletores de 1a ordem aplicados no topo e na base b Índice de esbeltez Eq 62 48 4 20 46 280 3 h 46 3 x ex x pilar médio na dir x ver Eq 63 máx 484 90 ok 138 70 46 280 3 h 46 3 y ey y pilar curto na dir y c Momento fletor mínimo Eq 92 M1dmín Nd 15 003 h com h em cm O momento fletor mínimo em cada direção é Dir x M1dmínx 1554 15 003 20 3263 kNcm e1xmín 1 554 3 263 210 cm Dir y M1dmíny 1554 15 003 70 5594 kNcm e1ymín 1 554 5 594 360 cm d Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 com 35 λ1 90 Dir x a excentricidade de 1a ordem e1 é 140 cm e como os momentos fletores de 1a ordem M1dAx M1dBx 2170 kNcm78 são menores que o momento fletor mínimo M1dmínx 3263 kNcm temse que bx 10 ver item 83 e 25 9 01 20 125140 25 1 x 35 1x 35 Dir y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem portanto e1y 0 e by 10 e 25 0 01 70 125 0 25 1 y 35 1y 35 Desse modo x 484 1x são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção x y 138 1y não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção y Em pilares retangulares correntes geralmente a armadura final resulta da direção correspondente à largura do pilar devido aos efeitos locais de 2a ordem No pilar deste exemplo em particular isso é certo pois na direção da largura ocorre o momento fletor de 1a ordem e o M2dx sendo portanto suficiente a análise apenas da direção x79 Porém com fins didáticos os cálculos para a direção y também serão mostrados 78 Se os momentos de 1a ordem forem diferentes MA e MB deve ser considerado o maior o MA 79 Esta análise deve ser feita com muito cuidado em função das diversas possibilidades de solicitação de um pilar UNESP BauruSP Parte II Pilares 100 e Cálculo do momento fletor total e da armadura O momento fletor total será calculado com a consideração do momento fletor mínimo e depois com base na excentricidade acidental Os momentos fletores totais serão calculados explicitandose os diferentes momentos fletores bem como depois as diferentes excentricidades e1 Cálculo com os diagramas de momentos fletores Método do pilarpadrão com curvatura aproximada Na direção x do pilar ocorrem efeitos locais de 2ª ordem e2 e M2 com o seguinte cálculo Força normal adimensional Eq 78 62 0 41 52 400 1 554 1 f A N cd c d Curvatura na dir x Eq 77 com h hx 20 cm 1 4 1 4 cm 10 52 20 005 0 h 0 005 cm 2 232110 50 0 62 20 005 0 0 50 h 005 0 r 1 ok A excentricidade máxima de 2a ordem é Eq 75 r 1 10 e 2 e x 2 175 2 232110 10 280 4 2 cm O momento fletor de 2a ordem é Eq 76 2 720 1554 175 N e r 1 10 N M 2x d 2 2 d 2 d x kNcm Os momentos fletores atuantes no pilar estão indicados na Figura 104 Deve ser determinado o momento fletor total em cada direção ver a Figura 68 Na direção x onde ocorre o momento fletor de 2a ordem o momento fletor total máximo ocorrerá na seção de extremidade ou na seção intermediária C sendo que neste exemplo os momentos fletores de 1a ordem nas duas extremidades são iguais em módulo Quando são diferentes devese considerar a extremidade com o maior momento fletor de 1a ordem o M1dA Neste exemplo a rigor não seria necessário considerar a direção y pois a armadura do pilar resultará dos momentos fletores da direção x que é a direção de maior esbeltez e onde além disso ocorre o momento fletor de 2a ordem Dir x Seção de extremidade A 3 263kNcm M 2 170kNcm M M d mínx 1 d Ax 1 d totx Mdtotx 3263 kNcm Para a seção intermediária C deve ser determinado o momento fletor de 1a ordem M1dCx Eq 94 d Ax 1 1 d Bx d Ax 1 1 d Cx M 40 M 40 M 60 M 2170 868kNcm 40 434kNcm 2170 40 2170 60 M 1 d Cx M1dCx 868 kNcm porém não se pode considerar momento fletor menor que o momento fletor mínimo M1dmínx 3263 kNcm de modo que o momento fletor total na seção intermediária da dir x é Mdtotx M1dmínx M2dx 3263 2720 5983 kNcm valor a ser considerado no cálculo da armadura pois resultou maior que o calculado para a seção de extremidade Dir y Mdtoty M1dmíny 5594 kNcm UNESP BauruSP Parte II Pilares 101 y h 20 cm x h 70 cm y x e1x d N M M 1dAx 1dBx 2dx M Dir x Dir y 1dmínx M 3263 5594 M1dmíny 2720 ou M1dAx 2170 A C B Figura 104 Momentos fletores atuantes no pilar nas direções x e y e2 Cálculo com os diagramas de excentricidades Método do pilarpadrão com curvatura aproximada As situações de projeto e de cálculo para as seções de extremidade e intermediária estão mostradas na Figura 105 e Figura 106 Como as seções de extremidade de topo e base do pilar estão submetidas a momento fletor de 1a ordem de igual valor embora de sinais diferentes80 a seção de extremidade mostrada na Figura 105 é representativa de ambas as extremidades do pilar81 Nas seções de topo e base não ocorre deformação de 2a ordem e2 0 ver Figura 69 a qual deve ser considerada na seção intermediária C ver Figura 70 Na seção de extremidade na direção x 1a sc deve ser considerada a maior excentricidade entre a de 1a ordem e1xA 140 cm e a relativa ao momento fletor mínimo e1xmín 210 cm Figura 105 Situações de projeto e de cálculo das seções de extremidade topo e base A excentricidade inicial na seção intermediária C é calculada com a Eq 96 que corresponde à Eq 94 relativa aos momentos fletores em função da excentricidade inicial e1x nas extremidades submetidas aos momentos fletores de 1a ordem M1dA e M1dB A 1 1B A 1 1C e 40 e 40 e 60 e 0 56cm 1 40 40 e 40 0 28cm 1 40 40 1 40 60 e 40 e 60 e xA 1 1xB xA 1 1xC e1xC 056 cm 80 Os momentos fletores de 1a ordem M1dA M1dB tracionam o pilar em bordas opostas no entanto a armadura simétrica nas duas bordas que será escolhida resolve este problema e atende a ambos os momentos fletores 81 No caso de momentos fletores na base e topo diferentes devese considerar a seção de extremidade submetida ao maior momento fletor M1dA 2 sc a e 360 1ymín Nd SP d N y 1 sc a 210 e N x 1xmín d e 1x 140 e1xA UNESP BauruSP Parte II Pilares 102 Na situação de cálculo relativa à direção x 1a sc deve ser considerada a maior excentricidade entre a de 1a ordem e1xC 056 cm e a relativa ao momento fletor mínimo e1xmín 210 cm ver Figura 70 d N y x 056 d N 2x e 175 385 x e 1ymín d e 360 N 2 sc a e e SP 1xC 210 1xmín a1 sc Figura 106 Situação de projeto e situações de cálculo para a seção intermediária C O momento fletor total máximo é resultante da maior excentricidade em cada direção Dir x Mdtotx Nd ex 1554 385 5983 kNcm 1a sc da seção intermediária Dir y Mdtoty Nd e1ymín 1554 360 5594 kNcm e3 Cálculo com a Eq 97 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada dA 1 2 e d 1dA b dtot M r 1 N 10 M M com b M1dA M1dmín Dir x temse b M1dA 10 2170 2170 kNcm M1dmín 3263 kNcm portanto aplicase na equação o momento fletor mínimo 5 983 2 232110 10 1 554 280 3 263 M 4 2 d totx kNcm M1dAx 2170 kNcm ok Dir y não existem momentos fletores MA e M2 portanto Mdtoty M1dmíny 5594 kNcmNota 82 e4 Cálculo com a Eq 103 ou Eq 100 a Eq 102 Método do pilarpadrão com rigidez aproximada 0 h N M 3840 M M 19200 h N 3840h N 19200M 1 d A d b Sdtot 1 d A b d 2 d 2 Sdtot Na direção x temse h hx 20 cm M1dAx 2170 kNcm e M1dmínx 3263 kNcm e considerando que devese ter M1dAx M1dmínx para o valor M1dA da equação será aplicado o momento fletor mínimo tot Sd 2 2 Sdtot M 201554 19200 01 3263 3840 201554 48 4 19200M 3840 01 2015543263 0 0 389429910 16109165M 19200M 11 tot Sd 2 Sdtot 0 20282808 8390 M M tot Sd 2 Sdtot A raiz positiva da equação de 2o grau é MSdtot 4943 kNcm M1dA 2170 kNcm ok 82 Como se pode notar o cálculo do momento fletor total é muito simples rápido e direto com a aplicação da equação da NBR6118 Por outro lado os desenhos dos diagramas de momentos fletores e das excentricidades têm a intenção de facilitar o aprendizado inicial do estudante UNESP BauruSP Parte II Pilares 103 e5 Cálculo da armadura longitudinal Como já comentado e conforme análise da Figura 104 Figura 105 e Figura 106 a armadura do pilar resultará do cálculo relativo à direção x de maior esbeltez e maior momento fletor total Segundo o Método do pilarpadrão com curvatura aproximada o momento fletor total é Mdtotx 5983 kNcm Com 062 e utilizando os ábacos de Venturini 1987 para Flexão Reta fazse o cálculo de Eq 52 ou Eq 53 e dh para a dir x cd c x totx d f A h M 12 0 41 1400 52 20 5983 ou 012 20 0 62 3 85 h e x x x x h d 20 04 020 Ábaco A4 ω 019 e a armadura longitudinal é Eq 54 As yd cd c f A f 1092 5 43 41 191400 52 0 cm2 10 125 mm 1250 cm2 No detalhamento da armadura longitudinal do pilar devese tomar cuidado de posicionar as barras de aço de acordo com o arranjo de barras do ábaco escolhido A4 neste caso como apresentado no Exemplo 1 dos pilares intermediários Se aplicado o momento fletor total resultante do cálculo segundo o Método do pilarpadrão com rigidez aproximada a armadura resulta cd c x totx d f A h M 10 0 41 1400 52 20 4943 com dxhx 020 e 062 Ábaco A4 ω 010 As yd cd c f A f 5 75 5 43 41 101400 52 0 cm2 e6 Cálculo com as excentricidades acidentais sem consideração do momento fletor mínimo Como se observa na Figura 60 a excentricidade por falta de retilineidade é considerada na seção intermediária C onde a excentricidade de 1ª ordem é e1xC 056 cm Com a Eq 79 e Eq 80 são calculados os valores 00598 0 82 100 1 H 100 1 1 rad com H 28 m altura do lance do pilar Comparando com o valor mínimo 1mín 1300 000333 rad 1 000598 rad 2 e e 1 a 0 84cm 2 0 00598280 e e ay ax Com base na Figura 78 as excentricidades que ocorrem no pilar são mostradas na Figura 107 UNESP BauruSP Parte II Pilares 104 Figura 107 Situação de projeto e situações de cálculo para a seção intermediária para dimensionamento do pilar com base na excentricidade acidental por falta de retilineidade A armadura resulta 010 20 0 62 315 h e x x com dxhx 020 e 062 Ábaco A4 ω 010 As yd cd c f A f 5 75 5 43 41 101400 52 0 cm2 Resumo Método As cm2 Pilarpadrão com curvatura aproximada com M1dmín 1092 100 Pilarpadrão com rigidez aproximada com M1dmín 575 48 Pilarpadrão com curvatura aproximada com ea 575 48 1322 Exemplo 2 Para o pilar mostrado na Figura 108 calcular a armadura longitudinal necessária São conhecidos concreto C25 N k 1110 kN M1dAx 7000 kNcm M1dBx 3500 kNcm seção transversal 20 x 70 Ac 1400 cm2 comprimento equivalente ou de flambagem ex ey 460 cm e1x h 20 cm x h 70 cm y Nd x y 1dBx M 3500 kNcm 7000 kNcm 1dAx M Figura 108 Dimensões da seção transversal arranjo estrutural do pilar na planta de fôrma e momentos fletores de primeira ordem na direção x ex 315 056 eixC 056 x x e1xC e2x eay 084 Nd 2a sc hx 20 eax y SP Nd hy 70 x y y 1a sc 084 Nd 175 UNESP BauruSP Parte II Pilares 105 Resolução a Esforços solicitantes A força normal de cálculo é Eq 113 Nd n f Nk 10 14 1110 1554 kN com n 10 na Tabela 6 Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores de 1a ordem na direção x ao longo da altura do pilar e com valores nas extremidades topo M1dAx 7000 kNcm e base M1dBx 3500 kNcm advindo da ligação do pilar com a viga da direção x Estes momentos fletores são valores de cálculo já estão majorados pelos coeficientes de ponderação n e f As excentricidades de 1a ordem na direção x são topo 4 50 1 554 000 7 N M e d Ax 1d 1xA cm base 2 25 1 554 500 3 N M e d Bx 1d 1xB cm b Índice de esbeltez Eq 62 22 7 70 46 460 3 h 46 3 x ex x máx 796 90 ok pilar médio 79 6 20 46 460 3 h 46 3 y ey y c Momento fletor mínimo M1dmín Nd 15 003 h com h em cm Os momentos fletores mínimos são Dir x M1dmínx 1554 15 003 70 5594 kNcm e1xmín 15 003 70 360 cm Dir y M1dmíny 1554 15 003 20 3263 kNcm e1ymín 15 003 20 210 cm d Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 com 35 λ1 90 Dir x como o maior momento fletor de 1a ordem M1dAx 7000 kNcm é maior que o momento fletor mínimo M1dmínx 5594 kNcm os valores de b e 1x devem ser determinados ver item 83 40 80 7000 3500 40 60 M M 40 60 A B b bx 08 E com a excentricidade de 1a ordem e1xA 450 cm relativa à hy 70 cm 32 3 80 70 125 450 25 x1 35 1x 35 Dir y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem portanto e1y 0 e by 10 e 25 0 01 20 125 0 25 1 y 35 1y 35 UNESP BauruSP Parte II Pilares 106 Desse modo x 227 1x 35 não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção x y 796 1y 35 são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção y e2 e M2 No pilar deste exemplo existe um elevado momento fletor de 1a ordem na dir x no entanto a dir y será a crítica devido aos efeitos locais de 2ª ordem e2 e M2d na direção da largura do pilar de modo que conduzirá à armadura final do pilar Neste texto as duas direções serão analisadas para um melhor conhecimento e Cálculo dos momentos fletores totais e da armadura Os cálculos serão demonstrados primeiramente com a consideração do momento fletor mínimo e depois com a excentricidade acidental explicitandose por meio de diagramas os diferentes momentos fletores e as excentricidades e1 Cálculo com os diagramas de momentos fletores Método do pilarpadrão com curvatura aproximada Cálculo dos efeitos locais de 2ª ordem na direção y A força normal adimensional é Eq 78 62 0 41 52 1400 1554 f A N cd c d Curvatura na dir y Eq 77 com h hy 20 cm 1 4 1 4 cm 10 52 20 005 0 h 0 005 cm 2 232110 50 0 62 20 005 0 0 50 h 005 0 r 1 ok A excentricidade máxima de 2a ordem é Eq 75 r 1 10 e 2 e y 2 4 72 2 232110 10 460 4 2 cm O momento fletor de 2a ordem é Eq 76 7 339 1554 4 72 N e r 1 10 N M 2y d 2 2 d 2 d y kNcm Os momentos fletores atuantes no pilar estão indicados na Figura 109 Deve ser determinado o momento fletor total máximo em cada direção ver Figura 68 Dir x Seção de extremidade A 5 594kNcm M 7 000kNcm M M d mínx 1 d Ax 1 d totx Mdtotx 7000 kNcm Dir y nessa direção atuam apenas os momentos fletores mínimo e de 2a ordem de modo que o momento fletor total ocorre na seção intermediária C Mdtoty M1dmíny M2dy 3263 7339 10602 kNcm Portanto a direção y é realmente a direção crítica pois além do maior momento fletor total este ocorre na direção de menor rigidez do pilar ou de maior esbeltez UNESP BauruSP Parte II Pilares 107 e1x h 20 cm x h 70 cm y Nd x y 1dAx M 7000 ou 7339 1dmíny M 3263 5594 M1dmínx Dir y Dir x M 2dy A B M 3500 1dBx Figura 109 Momentos fletores atuantes no pilar nas direções x e y e2 Cálculo com os diagramas das excentricidades Método do pilarpadrão com curvatura aproximada As situações de projeto e de cálculo para as seções de extremidade e intermediária C estão mostradas na Figura 110 e Figura 111 A seção de extremidade que interessa é a de topo submetida ao maior momento fletor de 1a ordem M1dA Nas seções de extremidade não ocorre deformação de 2a ordem e2 0 que deve ser considerada apenas na seção intermediária C ver Figura 69 e Figura 70 Nas situações de cálculo relativas à direção x deve ser feita a comparação entre a excentricidade de 1a ordem e a relativa ao momento fletor mínimo A simplificação sugerida por Fusco 1981 foi considerada e a opção de Flexão Composta Oblíqua na 2a sc não foi adotada ver Figura 69 e Figura 70 450 1x e Nd e 210 2 sc a 1ymín d N SP d N y 1 sc x e 1x a 450 Figura 110 Situações de projeto e situações de cálculo na seção de extremidade A topo A excentricidade inicial na seção intermediária C é calculada com a Eq 96 em função das excentricidades iniciais de 1a ordem e1x nas extremidades ver Figura 70 A 1 1B A 1 1C e 40 e 40 e 60 e 180 cm 4 50 40 e 40 3 60 cm 2 25 40 4 50 60 e 40 e 60 e xA 1 1xB xA 1 1xC e1xA e1xA UNESP BauruSP Parte II Pilares 108 e1xC 360 cm e1xmín 360 cm ok ver Figura 70 360 1xC e Nd Nd e e 682 e 210 e 472 Nd 360 1 sc a 2 sc a 1ymín 1xC y 2y SP y x Figura 111 Situação de projeto e situações de cálculo para a seção intermediária C Considerando as situações de cálculo com a maior excentricidade em cada direção os momentos fletores totais máximos são83 Dir x Mdtotx Nd e1x 1554 450 6993 7000 kNcm Dir y Mdtoty Nd ey 1554 682 10598 10602 kNcm e3 Cálculo com a Eq 97 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada dA 1 2 e d 1dA b dtot M r 1 N 10 M M com b M1dA M1dmín Dir x com bx 08 temse bx M1dAx 08 7000 5600 kNcm M1dmínx 5594 kNcm ok Mdtotx 5600 0 5600 kNcm M1dAx Mdtotx M1dAx 7000 kNcm Dir y não existe momento fletor MA de modo que b M1dA M1dmíny 3263 kNcm portanto 10603 2 232110 10 1 554 460 3 263 M 4 2 d toty kNcm e4 Cálculo com a Eq 103 ou Eq 100 a Eq 102 Método do pilarpadrão com rigidez aproximada 0 h N M 3840 M M 19200 h N 3840h N 19200M 1 d A d b Sdtot 1 d A b d 2 d 2 Sdtot Para a dir y com h hy 20 cm y 796 by 10 e aplicando M1dA M1dmíny 3263 kNcm tem se 3840 01 2015543263 0 M 201554 19200 01 3263 3840 201554 79 6 19200M tot Sd 2 2 Sdtot 0 3894310 140230253M 19200M 11 tot Sd 2 Sdtot 0 20282808 7 3037 M M tot Sd 2 Sdtot A raiz positiva da equação de 2o grau é MSdtot 9450 kNcm M1dAy 0 83 As pequenas diferenças nos valores são devidas à simplificação nas casas decimais UNESP BauruSP Parte II Pilares 109 e5 Cálculo da armadura longitudinal Segundo o Método do pilarpadrão com curvatura aproximada ocorrem no pilar os dois momentos fletores totais dir x Mdtotx 7000 kNcm e dir y Mdtoty 10602 kNcm sendo crítica a direção y como já comentado com a 2a sc da seção intermediária ver Figura 110 e Figura 111 Para a dir y com 062 e utilizando os ábacos de Venturini 1987 para Flexão Reta fazse o cálculo de Eq 52 ou Eq 53 e dh cd c y toty d f A h M 21 0 41 1400 52 20 10602 ou 0 21 20 0 62 6 82 h e y y y y h d 20 04 020 Ábaco A4 ω 054 A armadura longitudinal é As yd cd c f A f 3103 5 43 41 541400 52 0 cm2 Se aplicado o momento fletor resultante do cálculo segundo o Método do pilarpadrão com rigidez aproximada a armadura resulta cd c y toty d f A h M 19 0 41 1400 52 20 9 450 com 062 Ábaco A4 ω 048 As yd cd c f A f 2759 5 43 41 481400 52 0 cm2 e6 Cálculo com as excentricidades acidentais sem consideração do momento fletor mínimo A excentricidade acidental por falta de retilineidade Figura 60 é calculada com a Eq 79 e Eq 80 004663 0 64 100 1 H 100 1 1 rad com H suposto igual a e 460 cm 46 m O valor de 1 deve ser comparado ao valor mínimo 1mín 1300 000333 rad 1 0004663 rad 2 e e 1 a 107cm 2 0 004663460 e e ay ax A Figura 112 mostra a situação de projeto e a situação de cálculo para a seção de extremidade do topo submetida ao momento fletor M1dAx 7000 kNcm e onde a excentricidade acidental por falta de retilineidade é nula ver Figura 60 e Figura 77 A Figura 113 mostra a seção intermediária C ver Figura 78 onde a excentricidade de 1a ordem é e1xC 360 cm UNESP BauruSP Parte II Pilares 110 Figura 112 Situação de projeto e situações de cálculo para a seção de extremidade do topo para dimensionamento do pilar com base na excentricidade acidental e 107 N y 360 N e 1xC SP x d y e 579 2 sc a d ay e 472 2y 107 360 1 sc a e 1xC e ax e 467 d N x Figura 113 Situação de projeto e situações de cálculo para a seção intermediária para dimensionamento do pilar com base na excentricidade acidental A maior armadura ocorre para a 2a sc da seção intermediária dir y 018 20 0 62 5 79 h e y y com dyhy 020 Ábaco A4 ω 046 As yd cd c f A f 2644 5 43 41 461400 52 0 cm2 Resumo Método As cm2 Pilarpadrão com curvatura aproximada M1dmín 3103 100 Pilarpadrão com rigidez aproximada M1dmín 2759 11 Pilarpadrão com curvatura aproximada ea 2644 15 1323 Exemplo 3 Este exemplo é igual ao anterior com a diferença do momento fletor que agora não é constante ao longo da altura do pilar como mostrado na Figura 114 São conhecidos 450 450 x e1xA y SP 1a sc Nd x e1xA Nd y UNESP BauruSP Parte II Pilares 111 concreto C30 Nk 500 kN momentos fletores de 1a ordem M1dAx 3500 kNcm M1dBx 2000 kNcm seção 15 x 40 Ac 600 cm2 comprimento equivalente ex ey 280 cm V1 Figura 114 Dimensões da seção transversal e momentos fletores de 1a ordem na direção y Resolução a Esforços solicitantes A força normal de cálculo é Nd n f Nk 12 14 500 840 kN n 12 na Tabela 6 Além da força normal de compressão ocorrem também momentos fletores nos extremos do pilar que o solicitam na direção x em função de existir a viga V 1 não contínua sobre o pilar nessa direção Estes momentos fletores de 1a ordem são valores de cálculo já majorados pelos coeficientes de ponderação f e n Como os momentos fletores não são iguais as excentricidades iniciais de 1ª ordem na base e no topo são 417 840 3500 N M e d dx 1 1xA cm 2 38 840 2000 e 1xB cm b Índice de esbeltez 64 6 15 46 280 3 h 46 3 x ex x máx 646 90 ok pilar médio 24 2 40 46 280 3 h 46 3 y ey y c Momento fletor mínimo M1dmín Nd 15 003 h com h em cm O momento fletor mínimo em cada direção é Dir x M1dmínx 840 15 003 15 1638 kNcm e1xmín 15 003 15 195 cm Dir y M1dmíny 840 15 003 40 2268 kNcm e1ymín 15 003 40 270 cm d Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 com 35 λ1 90 Dir x como o maior momento fletor de 1a ordem M1dAx 3500 kNcm é maior que o momento fletor mínimo M1dmínx 1638 kNcm os valores de b e 1x devem ser calculados item 83 x hx 15 e1x Nd hy 40 y 2000 M1dBx ex ey 280 M1dAx 3500 UNESP BauruSP Parte II Pilares 112 0 83 3500 2000 40 60 M M 40 60 A B b 04 bx 083 E com a excentricidade de 1a ordem e1xA 417 cm relativa à hx 15 cm 34 3 83 0 15 125 417 25 1 x 35 1x 35 Dir y na direção não ocorrem momentos e excentricidades de 1a ordem portanto e1y 0 e by 10 e 25 0 01 40 125 0 25 1 y 35 1y 35 Desse modo x 646 1x 35 são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção x e2 e M2 y 242 1y 35 não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção y A direção x é a crítica do pilar porque tem os efeitos locais de 2ª ordem além do momento fletor de 1ª ordem A rigor apenas a direção x pode ser analisada e Cálculo dos momentos fletores totais e da armadura e1 Cálculo com os diagramas de momentos fletores Método do pilarpadrão com curvatura aproximada Os efeitos locais de 2ª ordem na direção x devem ser determinados A força normal adimensional Eq 78 é 65 0 41 03 600 840 f A N cd c d Curvatura na direção x sujeita aos momentos fletores de 2a ordem Eq 77 1 4 1 4 cm 3 3310 15 0 005 cm 2 898610 50 0 65 15 005 0 0 50 h 005 0 r 1 ok A excentricidade máxima de 2a ordem é Eq 75 r 1 10 e 2 e x 2 2 27 2 898610 10 280 4 2 cm O momento fletor de 2a ordem é Eq 76 1 907 840 2 27 N e r 1 10 N M 2 d 2 2 d 2 d x kNcm Os momentos fletores atuantes no pilar estão indicados na Figura 115 A direção x é a que apresenta a maior esbeltez e onde ocorre o momento fletor de 2a ordem e por isso conduz à armadura final do pilar A direção y é secundária neste caso Na direção x o momento fletor total máximo pode ocorrer na seção de extremidade mais solicitada para o maior momento fletor de 1a ordem MA ou na seção intermediária C Dir x Seção de extremidade A 1 638kNcm M 3 500kNcm M M d mínx 1 d Ax 1 d totx Mdtotx 3500 kNcm Para a seção intermediária C deve ser determinado o momento fletor de 1a ordem M1dCx UNESP BauruSP Parte II Pilares 113 d Ax 1 1 d Bx d Ax 1 1 d Cx M 40 M 40 M 60 M 1 400kNcm 3500 40 2 900kNcm 2000 40 3500 60 M 1 d Cx M1dCx 2900 kNcm M1dmínx 1638 kNcm Neste caso o momento fletor na seção intermediária C M1dCx superou o momento fletor mínimo e o momento fletor total é Mdtotx M1dCx M2dx 2900 1907 4807 kNcm Dir y Mdtoty M1dmíny 2268 kNcm Figura 115 Momentos fletores atuantes no pilar nas direções x e y e2 Cálculo com os diagramas das excentricidades Método do pilarpadrão com curvatura aproximada As situações de projeto e de cálculo para as seções de extremidade e intermediária estão mostradas na Figura 116 e na Figura 117 Como as seções de extremidade de topo e base do pilar estão submetidas a diferentes momentos fletores de 1a ordem deve ser analisada a seção de extremidade onde ocorre o maior momento fletor a de topo neste caso Figura 116 Entre e1xA e e1xmín deve ser escolhido o maior valor ver Figura 69 Figura 116 Situações de projeto e de cálculo da seção de extremidade de topo A excentricidade inicial ou de 1a ordem na seção intermediária C é calculada com a Eq 96 em função das excentricidades de 1a ordem inicial e1x x hx 15 e1x Nd hy 40 y C A M1dCx 2900 M1dAx 3500 ou 2000 M1dmínx 2268 M2dmáxx 1907 Dir y M1dmíny 1638 Dir x M1dBx 1a sc y 417 x e1xA y SP 2a sc Nd x e1ymín 270 Nd 417 x e1xA y Nd UNESP BauruSP Parte II Pilares 114 A 1 1B A 1 1C e 40 e 40 e 60 e 171cm 4 27 40 e 40 3 45cm 2 38 40 417 60 e 40 e 60 e xA 1 1xB xA 1 1xC e1xC 345 cm e1xmín 195 cm ok ver Figura 70 Figura 117 Situação de projeto e situações de cálculo para a seção intermediária C Os momentos fletores totais máximos são Dir x Mdtotx Nd ex 840 572 4805 kNcm Dir y Mdtoty Nd e1ymín 840 270 2268 kNcm e3 Cálculo com a Eq 97 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada dA 1 2 e d 1dA b dtot M r 1 N 10 M M com b M1dA M1dmín Dir x com bx 083 temse b M1dA 083 3500 2905 kNcm M1dmínx 1638 kNcm e 4 814 2 898610 10 2 905 840 280 M 4 2 d totx kNcm 480584 M1dAx 3500 kNcm Dir y não existe momento fletor de 1a ordem portanto Mdtoty M1dmíny 2268 kNcm e4 Cálculo com a Eq 103 ou Eq 100 a Eq 102 Método do pilarpadrão com rigidez aproximada 0 h N M 3840 M M 19200 h N 3840h N 19200M 1 d A d b Sdtot 1 d A b d 2 d 2 Sdtot Para a direção x temse h hx 15 cm x 646 bx 083 e fazendo M1dAx 3500 kNcm M1dmínx 1638 kNcm temse 0 3840 0 83158403500 M 15840 19200 0 833500 384015840 64 6 19200M tot Sd 2 2 Sdtot 0 1 40555510 59973816M 19200M 11 tot Sd 2 Sdtot 0 7 320600 3 1236 M M tot Sd 2 Sdtot A raiz positiva da equação de 2o grau é MSdtot 4686 kNcm M1dA 3500 kNcm ok 84 A diferença devese à simplifações nas casas decimais dos valores numéricos e2x 227 572 ex 1a sc y 345 x e1xC y SP 2a sc Nd x e1ymín 270 Nd 345 x e1xC y Nd UNESP BauruSP Parte II Pilares 115 e5 Cálculo da armadura longitudinal Segundo o Método do pilarpadrão com curvatura aproximada ocorrem no pilar os dois momentos fletores máximos dir x Mdtotx 4805 kNcm da 1a sc da seção intermediária onde ocorre a maior excentricidade na direção de menor rigidez do pilar x Figura 117 Com 065 e os ábacos de Venturini 1987 para Flexão Reta fazse o cálculo de Eq 52 ou Eq 53 e dh para a dir x cd c x totx d f A h M 25 0 41 600 03 15 4805 ou 0 25 15 0 65 5 72 h e x x x x h d 15 04 027 Ábaco A5 ω 084 As yd cd c f A f 2483 5 43 41 84 600 03 0 cm2 Se aplicado o momento fletor resultante do cálculo segundo o Método do pilarpadrão com rigidez aproximada a armadura resulta cd c x totx d f A h M 24 0 41 600 03 15 4686 com dxhx 027 e 065 Ábaco A4 ω 081 As yd cd c f A f 2394 5 43 41 81 600 03 0 cm2 e6 Cálculo com as excentricidades acidentais sem consideração do momento fletor mínimo A excentricidade por falta de retilineidade Figura 60 é determinada com a Eq 79 e Eq 80 00598 0 82 100 1 H 100 1 1 rad com H 28 m altura do lance do pilar 1mín 1300 000333 rad 1 000598 rad 2 e e 1 a 0 84cm 2 0 00598280 e e ay ax As situações de projeto e de cálculo das seções de extremidade e intermediária estão na Figura 118 e Figura 119 ver Figura 77 e Figura 78 UNESP BauruSP Parte II Pilares 116 Figura 118 Situações de projeto e de cálculo da seção de extremidade topo para dimensionamento do pilar com base na excentricidade acidental por falta de retilineidade Figura 119 Situação de projeto e situações de cálculo para a seção intermediária para dimensionamento do pilar com base na excentricidade acidental por falta de retilineidade A armadura resulta 0 28 15 0 65 6 56 h e x x com dxhx 027 e 065 Ábaco A4 ω 102 As yd cd c f A f 3015 5 43 41 02 600 03 1 cm2 Resumo Método As cm2 Pilarpadrão com curvatura aproximada M1dmín 2483 100 Pilarpadrão com rigidez aproximada M1dmín 2394 36 Pilarpadrão com curvatura aproximada ea 3015 21 1324 Exemplo 4 Para o pilar mostrado na Figura 120 calcular a armadura longitudinal necessária São conhecidos 1a sc 417 x e1xA y SP Nd 417 x e1xA y Nd 227 ex 656 345 eixC 345 x x e1xC e2x eay 084 Nd 2a sc hx 15 eax y SP Nd hy 40 x y y 1a sc 084 Nd UNESP BauruSP Parte II Pilares 117 concreto C30 Nk 500 kN M1dAy M1dBy 3500 kNcm seção transversal 15 x 40 Ac 600 cm2 comprimento equivalente ex ey 280 cm Figura 120 Dimensões da seção transversal e momentos fletores de 1a ordem na direção y Resolução a Esforços solicitantes A força normal de cálculo é Nd n f Nk 12 14 500 840 kN n 12 na Tabela 6 Atuam também momentos fletores ao longo da altura do pilar na direção y já majorados pelos coeficientes de ponderação f e n Como o momento fletor é constante a excentricidade inicial de 1ª ordem é 417 840 3500 N M e e d dy 1 1 y B 1 y A cm b Índice de esbeltez 64 6 15 46 280 3 h 46 3 x ex x máx 646 90 ok pilar médio 24 2 40 46 280 3 h 46 3 y ey y c Momento fletor mínimo Eq 92 M1dmín Nd 15 003 h com h em cm O momento fletor mínimo em cada direção é Dir x M1dmínx 840 15 003 15 1638 kNcm e1xmín 15 003 15 195 cm Dir y M1dmíny 840 15 003 40 2268 kNcm e1ymín 15 003 40 270 cm d Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 com 35 λ1 90 Dir x na direção não ocorrem momentos e excentricidades de 1a ordem portanto e1x 0 e bx 10 e x hx 15 e1y Nd hy 40 y 3500 M1dBy ex ey 280 M1dAy 3500 UNESP BauruSP Parte II Pilares 118 25 0 01 15 125 0 25 1 x 35 1x 35 Dir y o momento fletor de 1a ordem M1dAy 3500 kNcm é maior que o momento fletor mínimo M1dmíny 2268 kNcm por isso b deve ser calculado No entanto como o momento fletor é constante o valor de b resulta igual a 10 ver item 83 01 3500 3500 40 60 M M 40 60 A B b 04 by 10 A excentricidade de 1a ordem é e1yA e1yB 417 cm e 26 3 01 40 125 417 25 1 y 35 1y 35 Desse modo x 646 1x 35 são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção x e2 e M2 y 242 1y 35 não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção y Embora a existência do momento fletor de 1a ordem na direção y a direção x é a crítica devido aos efeitos locais de 2ª ordem que devem ser considerados e Cálculo dos momentos fletores totais e da armadura e1 Cálculo com os diagramas de momentos fletores Método do pilarpadrão com curvatura aproximada Os efeitos locais de 2ª ordem na direção x são determinados com a força normal adimensional Eq 78 65 0 41 03 600 840 f A N cd c d Curvatura na direção x Eq 77 1 4 1 4 cm 3 3310 15 0 005 cm 2 898610 50 0 65 15 005 0 0 50 h 005 0 r 1 ok A excentricidade máxima de 2a ordem é Eq 75 r 1 10 e 2 e x 2 2 27 2 898610 10 280 4 2 cm O momento fletor de 2a ordem é Eq 76 1 907 840 2 27 N e r 1 10 N M 2 d 2 2 d 2 d x kNcm Os momentos fletores atuantes no pilar estão indicados na Figura 121 A direção x é a que apresenta a maior esbeltez onde ocorre o momento fletor de 2a ordem e por isso deve conduzir à armadura final do pilar A direção y é secundária mas deve ser checada Na direção x o momento fletor total máximo ocorre na seção intermediária onde atua o momento fletor M2 máximo Dir x Mdtotx M1dmínx M2dx 1638 1907 3545 kNcm Dir y Mdtoty M1dAy 3500 kNcm M1dmíny 2268 kNcm UNESP BauruSP Parte II Pilares 119 Figura 121 Momentos fletores atuantes no pilar nas direções x e y e2 Cálculo com os diagramas de excentricidades Método do pilarpadrão com curvatura aproximada As situações de projeto e de cálculo para as seções de extremidade e intermediária estão mostradas na Figura 122 e na Figura 123 e devem ser comparadas com a Figura 69 e Figura 70 Como as seções de extremidade estão submetidas ao mesmo momento fletor de 1a ordem as seções de topo e base são iguais Figura 122 Situações de projeto e de cálculo da seção de extremidade topo base Na seção intermediária devese analisar na direção y e1yA 417 cm e1ymín 270 cm e na direção x atuam as excentricidades correspondentes ao momento fletor mínimo e ao momento fletor de 2a ordem Figura 123 Situação de projeto e situações de cálculo para a seção intermediária C x hx 15 e1y Nd hy 40 y M1dmíny M1dAy 3500 ou 3500 M1dmínx 2268 M2dmáxx 1907 Dir y 1638 Dir x M1dBy 417 1a sc y 417 x e1yA y SP 2a sc Nd x e1yA Nd 195 x e1xmín y Nd ex e2x 417 1a sc y 417 x e1yA y SP 2a sc Nd x e1yA Nd 195 x e1xmín y Nd 227 422 UNESP BauruSP Parte II Pilares 120 Os momentos fletores totais máximos são Dir x Mdtotx Nd ex 840 422 3545 kNcm Dir y Mdtoty Nd e1yA 840 417 3503 kNcm 3500 kNcm e3 Cálculo com a Eq 97 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada dA 1 2 e d 1dA b dtot M r 1 N 10 M M com b M1dA M1dmín Dir x temse e2x 227 cm bx 10 e M1dA 0 portanto b M1dA M1dmínx 1638 kNcm e 3 545 1 638 840 2 27 M d totx kNcm Dir y e2y 0 by 10 e existe o momento fletor de 1a ordem M1dAy 3500 kNcm M1dmíny 2268 kNcm portanto Mdtoty M1dAy 3500 kNcm e4 Cálculo com a Eq 103 ou Eq 100 a Eq 102 Método do pilarpadrão com rigidez aproximada 0 h N M 3840 M M 19200 h N 3840h N 19200M 1 d A d b Sdtot 1 d A b d 2 d 2 Sdtot Para a direção x temse h hx 15 cm x 646 bx 10 e fazendo M1dA M1dmínx 1638 kNcm temse 0 3840 01 158401638 M 15840 19200 01 1638 384015840 64 6 19200M tot Sd 2 2 Sdtot 0 7 925310 35647416M 19200M 10 tot Sd 2 Sdtot 0 4 127760 1 8566 M M tot Sd 2 Sdtot A raiz positiva da equação de 2o grau é MSdtot 3162 kNcm M1dmínx 1638 kNcm ok e5 Cálculo da armadura longitudinal Segundo o Método do pilarpadrão com curvatura aproximada ocorrem no pilar os dois momentos fletores máximos dir x Mdtotx 3545 kNcm da 1a sc da seção intermediária onde ocorre a maior excentricidade na direção de menor rigidez do pilar x Figura 123 Com 065 e os ábacos de Venturini 1987 para Flexão Reta fazse o cálculo de Eq 52 ou Eq 53 e dh para a dir x cd c x totx d f A h M 18 0 41 600 03 15 3545 ou 018 15 0 65 4 22 h e x x x x h d 15 04 027 Ábaco A5 ω 053 As yd cd c f A f 1567 5 43 41 53 600 03 0 cm2 Se aplicado o momento fletor resultante do cálculo segundo o Método do pilarpadrão com rigidez aproximada a armadura resulta cd c x totx d f A h M 16 0 41 600 03 15 3162 com dxhx 027 e 065 Ábaco A4 ω 042 UNESP BauruSP Parte II Pilares 121 As yd cd c f A f 1241 5 43 41 42 600 03 0 cm2 e6 Cálculo com as excentricidades acidentais sem consideração do momento fletor mínimo A excentricidade por falta de retilineidade Figura 60 é determinada com a Eq 79 e Eq 80 00598 0 82 100 1 H 100 1 1 rad com H 28 m altura do lance do pilar 1mín 1300 000333 rad 1 000598 rad 0 84 2 0 00598280 2 e e 1 a cm As situações de projeto e de cálculo das seções de extremidade e intermediária estão na Figura 124 e Figura 125 ver Figura 77 e Figura 78 Figura 124 Situações de projeto e de cálculo da seção de extremidade topo base para dimensionamento do pilar com base na excentricidade acidental por falta de retilineidade Figura 125 Situação de projeto e situações de cálculo para a seção intermediária para dimensionamento do pilar com base na excentricidade acidental por falta de retilineidade A armadura resulta da 1a sc da seção intermediária 013 15 0 65 311 h e x x com dxhx 027 e 065 Ábaco A4 ω 029 As yd cd c f A f 8 57 5 43 41 29600 03 0 cm2 417 y 417 x e1yA y SP 2a sc Nd x e1yA Nd 501 084 eay ex e2x 417 1a sc y 417 x e1yA y SP 2a sc Nd x e1yA Nd 084 x eax y Nd 227 311 ey UNESP BauruSP Parte II Pilares 122 Resumo Método As cm2 Pilarpadrão com curvatura aproximada M1dmín 1567 100 Pilarpadrão com rigidez aproximada M1dmín 1241 21 Pilarpadrão com curvatura aproximada ea 857 55 133 Pilares de Canto Os exemplos numéricos a seguir são de pilares de canto apoiados na base e no topo de nós fixos pilar contraventado e sem forças transversais horizontais atuantes Os cálculos serão feitos mostrandose os diagramas de momentos fletores solicitantes e também as excentricidades como apresentado no item 10121 considerandose o momento fletor mínimo ou a excentricidade acidental Os seguintes dados são comuns em todos os exemplos coeficientes de ponderação c f 14 s 115 aço CA50 fyd 50115 435 kNcm2 1331 Exemplo 1 Dimensionar a armadura longitudinal do pilar mostrado na Figura 126 sendo conhecidos concreto C25 Nk 850 kN M1kAx M1kBx 2041 kNcm M1kAy M1kBy 13605 kNcm seção transversal 18 x 50 Ac 900 cm2 comprimento equivalente ex ey 350 cm x y 13605 2041 h 18 cm x h 50 cm y 1y e x 1x e N d y Figura 126 Arranjo estrutural do pilar na planta de fôrma dimensões da seção transversal e posição do ponto de aplicação da força normal Nd e momentos fletores solicitantes de 1a ordem Resolução a Esforços solicitantes A força normal de cálculo é Eq 113 Nd n f Nk 105 14 850 1250 kN n 105 na Tabela 6 Atuam também momentos fletores de 1a ordem na base e no topo do pilar M1kAx M1kBx 2041 kNcm na direção x e M1kAy M1kBy 13605 kNcm na direção y Figura 126 em função da existência de duas vigas não contínuas sobre o pilar nas direções x e y Estes momentos fletores também devem ser majorados com os coeficientes n e f para serem transformados em valores de cálculo M1dAx M1dBx 105 14 2041 3000 kNcm M1dAy M1dBy 105 14 13605 2000 kNcm As excentricidades de 1a ordem na base e no topo do pilar são Figura 127 UNESP BauruSP Parte II Pilares 123 Dir x 2 40 1 250 000 3 N M e e d x 1d 1xB 1xA cm Dir y 160 1 250 000 2 N M e e d y 1d 1 y B 1 y A cm b Índice de esbeltez Eq 62 67 3 18 46 350 3 h 46 3 x ex x pilar médio na dir x 24 2 50 46 350 3 h 46 3 y ey y pilar curto na dir y e máx 673 90 ok 160 240 x y e1x e1y Figura 127 Excentricidades de 1a ordem valores de cálculo cm nas direções x e y c Momento fletor mínimo Eq 92 M1dmín Nd 15 003 h com h em cm O momento fletor mínimo e a excentricidade correspondente em cada direção são Dir x M1dmínx 1250 15 003 18 2550 kNcm e1xmín 2 04 250 1 2 550 cm Dir y M1dmíny 1250 15 003 50 3750 kNcm e1ymín 3 00 250 1 3 750 cm d Esbeltez limite Eq 82 b 1 1 h 125 e 25 com 35 λ1 90 Dir x o momento fletor de 1a ordem85 é M1dAx 3000 kNcm maior que o momento fletor mínimo M1dmínx 2550 kNcm o que leva ao cálculo de b ver item 83 40 20 000 3 3 000 40 60 M M 40 60 A B b bx 04 Com a excentricidade de 1a ordem e1xA 240 cm e h hx 18 cm 66 7 40 18 125 240 25 x1 35 ok Dir y o maior momento fletor de 1a ordem nesta direção é M1dAy 2000 kNcm menor que o momento fletor mínimo M1dmíny 3750 kNcm o que leva a by 10 e com a excentricidade de 1a ordem correspondente e1yA 160 cm e h hy 50 cm 85 Deve ser considerado o maior momento fletor MA quando os valores no topo e na base forem diferentes UNESP BauruSP Parte II Pilares 124 25 4 01 50 125160 25 y1 35 1y 35 Desse modo x 673 1x 667 são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção x y 242 1y 35 não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção y Na direção x ocorrem os efeitos locais de 2ª ordem bem como o maior momento fletor de 1ª ordem portanto a direção x é a crítica No entanto como o pilar é de canto onde a situação de projeto é de Flexão Composta Oblíqua os momentos fletores na direção y também necessitam ser considerados para o cálculo da armadura final do pilar O maior momento fletor solicitante deve ocorrer na seção intermediária devido à existência da excentricidade e2x mas para fins didáticos as seções de extremidade também serão verificadas e Cálculo do momento fletor total e da armadura e1 Cálculo com os diagramas de momentos fletores Método do pilarpadrão com curvatura aproximada Os efeitos locais de 2a ordem devem ser calculados para a direção x A força normal adimensional é Eq 78 78 0 41 52 900 1250 f A N cd c d Curvatura na direção x Eq 77 1 4 1 4 cm 2 777810 18 005 0 h 0 005 cm 2170110 50 0 78 18 005 0 0 50 h 005 0 r 1 ok A excentricidade máxima de 2a ordem é Eq 75 r 1 10 e 2 e x 2 2 66 2170110 10 350 4 2 cm O momento fletor de 2a ordem é Eq 76 3 325 1250 2 66 N e r 1 10 N M 2x d 2 e d 2 d x kNcm Os momentos fletores atuantes no pilar estão indicados na Figura 128 Deve ser determinado o momento fletor total máximo em cada direção ver Figura 71 nas seções de extremidade e na seção intermediária C sendo que as seções de extremidade são iguais neste caso Seção de extremidade topo e base Dir x 2 550kNcm M 3 000kNcm M M d mínx 1 d Ax 1 d totx Dir y 3 750kNcm M 2 000kNcm M M d míny 1 d Ay 1 d toty Portanto Mdtotx 3000 kNcm e Mdtoty 3750 kNcm Seção intermediária C Dir x nesta direção ocorre M2dx e deve ser determinado o momento fletor de 1a ordem M1dCx Eq 94 dA x 1 1dB x dA x 1 1dC x M 40 M 40 M 60 M 1 200kNcm 3000 40 600kNcm 3000 40 3000 60 M 1dC x UNESP BauruSP Parte II Pilares 125 M1dCx 1200 kNcm M1dmínx 2550 kNcm não ok Neste caso deve ser considerado o momento fletor mínimo e Mdtotx M1dmínx M2dx 2550 3325 5875 kNcm ver Figura 128 Dir y como se observa na Figura 128 fica claro que o momento fletor de 1a ordem M1dCy é menor que o momento fletor mínimo mas fazendo o cálculo d Ay 1 1 d By d Ay 1 1 d Cy M 40 M 40 M 60 M 2000 800kNcm 40 400kNcm 2000 40 2000 60 M 1 d Cy M1dCy 800 kNcm M1dmíny 3750 kNcm não ok Portanto Mdtoty M1dmíny 3750 kNcm 2000 1dAy M ou 3323 1dmíny M 3750 2550 M1dmínx Dir y Dir x M 2dx M1dAx 3000 ou A C B Figura 128 Momentos fletores atuantes no pilar nas direções x e y e2 Com os diagramas das excentricidades Método do pilarpadrão com curvatura aproximada As situações de projeto e de cálculo para as seções de extremidade e intermediária estão mostradas na Figura 129 e Figura 130 Como as seções de extremidade de topo e base do pilar estão submetidas ao mesmo valor de momento fletor de 1a ordem as seções são iguais86 Quando os momentos fletores são diferentes devese buscar a extremidade que conduz à maior armadura para o pilar Conforme a excentricidades mostradas na Figura 72 a Figura 129 mostra a situação de cálculo para as seções de extremidade As excentricidades de 1a ordem e1 devem ser comparadas às excentricidades de 1a ordem mínimas sendo assumidas as maiores para cada direção 86 Os momentos fletores nas extremidades têm sinais diferentes ou seja tracionam bordas opostas na base e no topo porém a escolha de armadura bilateral simétrica é uma solução que proporciona resistência ao pilar a ambos os momentos fletores UNESP BauruSP Parte II Pilares 126 Figura 129 Situações de projeto e de cálculo das seções de extremidade topo e base A excentricidade inicial de 1a ordem na seção intermediária C é calculada com a Eq 96 em função da excentricidade de 1a ordem e1 nas extremidades do pilar em cada direção Dir x A 1 1B A 1 1C e 40 e 40 e 60 e 0 96 cm 2 40 40 e 40 0 48cm 2 40 40 2 40 60 e 40 e 60 e xA 1 1xB xA 1 xC 1 e1xC 096 cm Dir y A 1 1B A 1 1C e 40 e 40 e 60 e 0 64 cm 160 40 e 40 0 32 cm 160 40 160 60 e 40 e 60 e y A 1 1 y B y A 1 1 y C e1yC 064 cm Conforme a excentricidades mostradas na Figura 73 a Figura 130 mostra as situações de cálculo para a seção intermediária onde em cada direção deve ser assumida a maior excentricidade entre a de 1a ordem na seção C e aquela correspondente ao momento fletor mínimo e 300 SP 096 e e 064 1yC x 1xC d N 1ymín a1 sc e 266 1xmín y Nd 2x e 204 e 470 x d N 2 sc e 300 1ymín 204 1xmín e a Figura 130 Situação de projeto e situações de cálculo para a seção intermediária C Notase que a solicitação mostrada na 1a sc da seção intermediária é aquela que conduz à maior armadura do pilar como mostrado adiante Os momentos fletores totais são Dir x Mdtotx Nd ex 1250 470 5875 kNcm Dir y Mdtoty Nd ey 1250 300 3750 kNcm SP d N y 1 sc x e 240 1x e 160 1y e 300 1ymín N 1x e 240 d e1xA e1xA e1yA UNESP BauruSP Parte II Pilares 127 e3 Com a Eq 97 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada dA 1 2 e d 1dA b dtot M r 1 N 10 M M com b M1dA M1dmín Como a seção crítica é a intermediária os momentos fletores totais podem ser determinados apenas para essa seção em cada direção Dir x com bx 04 devese ter b M1dA 04 3000 1200 kNcm M1dmínx 2550 kNcm não ok portanto deve ser considerado o momento fletor mínimo acrescido do momento fletor M2dx 5 873 2170110 10 1 250 350 2 550 M 4 2 d totx kNcm Dir y não ocorre momento fletor de 2a ordem e com by 10 devese ter b M1dA 10 2000 2000 kNcm M1dmíny 3750 kNcm não ok portanto Mdtoty M1dmíny 3750 kNcm Portanto na seção mais solicitada intermediária os momentos fletores totais a serem considerados no cálculo da armadura do pilar são Mdtotx 5873 kNcm e Mdtoty 3750 kNcm e4 Com a Eq 103 ou Eq 100 a Eq 102 Método do pilarpadrão com rigidez aproximada 0 h N M 3840 M M 19200 h N 3840h N 19200M 1 d A d b Sdtot 1 d A b d 2 d 2 Sdtot Aplicando na direção x onde ocorre e2 e com M1dAx 3000 kNcm M1dmínx 2550 kNcm hx 18 cm bx 04 e x 673 temse 0 1812503000 40 3840 M 3000 40 181250 19200 3840181250 67 3 19200M tot Sd 2 2 Sdtot 0 1 036810 38549025M 19200M 11 tot Sd 2 Sdtot 0 5 400000 2 0078 M M tot Sd 2 Sdtot A raiz positiva da equação de 2o grau é MSdtotx 3535 kNcm M1dAx 3000 kNcm ok e5 Cálculo da armadura longitudinal Os momentos fletores totais são dir x Mdtotx 5875 kNcm e dir y Mdtoty 3750 kNcm os quais correspondem às excentricidades mostradas na 1a sc da seção intermediária Figura 130 Essa sc é a crítica e que conduz à maior armadura Os coeficientes adimensionais da Flexão Composta Oblíqua são Eq 55 e Eq 56 cd c x totx d x f A h M 20 0 41 52 900 18 5 875 ou 0 20 18 0 78 4 70 h e x x x cd c y toty d y f A h M 05 0 41 52 900 50 3 750 ou 0 05 50 0 78 3 00 h e y y y x x h d 0 28 18 05 025Nota 87 y y h d 010 50 05 87 Utilizar um ábaco com relação dh menor é contra a segurança UNESP BauruSP Parte II Pilares 128 Em função dos momentos fletores solicitantes totais máximos que ocorrem no pilar observase que o maior momento fletor é na direção da largura hx do pilar Mdtotx 5875 kNcm de modo que o melhor posicionamento da armadura é sua distribuição ao longo do comprimento do pilar nos lados hy ver Figura 126 ou seja a maior capacidade resistente do pilar será proporcionada com as barras distribuídas ao longo dos lados hy Na Figura 131 estão mostrados os possíveis arranjos de armadura conforme Pinheiro 200988 para a Flexão Composta Oblíqua Os arranjos diferem em número e posição das barras devendo ser obedecidos no detalhamento das barras da armadura no pilar O arranjo número 4 com apenas quatro barras nos cantos é indicado apenas para pilares quadrados ou de menores dimensões como 2020 E como foi visto no item 1122 o espaçamento máximo entre duas barras de armadura é de 40 cm de modo que como o pilar deste exemplo tem comprimento de 50 cm o arranjo 4 não é adequado O arranjo 1 também não é indicado porque o número de barras é elevado Os demais arranjos são mais indicados principalmente os arranjos 2 e 3 Figura 131 Arranjos de armadura no pilar conforme Pinheiro 2009 para a Flexão Composta Oblíqua Escolhido o arranjo de barras na seção transversal do pilar devese verificar um ábaco que apresente as relações dxhx 025 e dyhy 010 conforme calculadas Na Figura 132 Tabela 1 de Pinheiro 2009 consta a relação de ábacos conforme os diferentes arranjos de armadura e as relações dxhx e dyhy Para o arranjo 2 8 barras pode ser utilizado o ábaco 5 Figura 133 88 A publicação com os ábacos de PINHEIRO 2009 pode ser baixada em 170524 httpwwwpfebunespbrpbastosconcreto2Abacos Flexao Obliqua Pinheiro UNESP BauruSP Parte II Pilares 129 Figura 132 Relação dos ábacos de Pinheiro 2009 conforme os diferentes arranjos de armadura e relações dxhx e dyhy para a Flexão Composta Oblíqua Nos ábacos de Pinheiro 2009 cada quadrante é relativo a um valor de ni de modo que para o valor 078 é necessário fazer uma interpolação para maior precisão Com os valores adimensionais mi x 020 e y 005 são determinados os parâmetros ω no ábaco 5A e 5B Figura 133 060 ω 070 080 ω 084 0126 x 0 60 78 0 0 70 0 84 0 60 0 80 078 ω 070 0126 0826 A armadura resulta As yd cd c f A f 3052 5 43 41 52 826900 0 cm2 UNESP BauruSP Parte II Pilares 130 Figura 133 Ábacos 5A e 5B de Pinheiro 2009 Se aplicado o momento fletor total para a direção x MSdtotx 3535 kNcm resultante do cálculo segundo o Método do pilarpadrão com rigidez aproximada e com Mdtoty 3750 kNcm a armadura resulta cd c x totx Sd x f h A M 12 0 41 52 900 18 3 535 e com o mesmo y 005 no mesmo ábaco 5 temse 060 ω 030 080 ω 048 0162 x 0 60 78 0 0 30 0 48 0 60 0 80 078 ω 030 0162 0462 As yd cd c f A f 1707 5 43 41 52 462900 0 cm2 e6 Com as excentricidades acidentais sem consideração do momento fletor mínimo Com a Eq 79 e Eq 80 são calculados os valores 005345 0 53 100 1 H 100 1 1 rad com H igual à altura do lance do pilar O valor mínimo é 1mín 1300 000333 rad 1 0005345 rad A excentricidade acidental na seção intermediária é 2 e e 1 a 0 94cm 2 0 005345350 e e ay ax UNESP BauruSP Parte II Pilares 131 E com base nas excentricidades mostradas na Figura 80 são desenhadas as excentricidades do pilar Figura 134 y SP e 064 1yC 450 e x x 096 e 1xC d N 1 sc a e 096 1xC e 266 2x d N a 2 sc e 064 1yC 088 e ax 096 e e 064 1yC 1xC d N ay e 088 e 152 y Figura 134 Situação de projeto e situações de cálculo para a seção intermediária para dimensionamento do pilar com base na excentricidade acidental por falta de retilineidade Da 1a sc resulta a maior armadura 0 20 18 0 78 4 56 h e x x x 0 01 50 0 78 0 64 h e y y y dxhx 025 dyhy 010 Para 078 no ábaco 5 temse 060 ω 057 080 ω 073 0144 x 0 60 78 0 0 57 0 73 0 60 0 80 078 ω 057 0144 0714 A armadura resulta As yd cd c f A f 2638 5 43 41 52 714 900 0 cm2 Resumo Método As cm2 Pilarpadrão com curvatura aproximada M1dmín 3052 100 Pilarpadrão com rigidez aproximada M1dmín 1707 44 Pilarpadrão com curvatura aproximada ea 2638 14 1332 Exemplo 2 Dimensionar a armadura longitudinal do pilar mostrado na Figura 135 considerando concreto C25 sendo conhecidos 094 094 456 158 UNESP BauruSP Parte II Pilares 132 Nk 850 kN M1kAx M1kBx 2041 kNcm M1kAy M1kBy 13605 kNcm seção transversal 18 x 50 Ac 900 cm2 comprimento equivalente ex ey 350 cm 13605 x y 2041 y h 18 cm x N 1x e 1y e x d y h 50 cm Figura 135 Arranjo estrutural do pilar na planta de fôrma dimensões da seção transversal e posição do ponto de aplicação da força normal Nd Resolução a Esforços solicitantes A força normal de cálculo é Nd n f Nk 105 14 850 1250 kN n 105 na Tabela 6 Atuam também momentos fletores de 1a ordem na base e no topo do pilar M1kAx M1kBx 2041 kNcm na direção x e M1kAy M1kBy 13605 kNcm na direção y Figura 135 Esses momentos fletores também devem ser majorados com os coeficientes n e f M1dAx M1dBx 105 14 2041 3000 kNcm M1dAy M1dBy 105 14 13605 2000 kNcm As excentricidades de 1a ordem na base e no topo do pilar são Figura 136 Dir x 2 40 1250 3000 N M e e d x 1d 1xB 1xA cm Dir y 160 1250 2000 N M e e d x 1d 1yB 1yA cm b Índice de esbeltez 67 3 18 46 350 3 h 46 3 x ex x pilar médio na dir x 24 2 50 46 350 3 h 46 3 y ey y pilar curto na dir y máx 673 90 ok 160 1y e 240 1x e x y Figura 136 Excentricidades de 1a ordem cm nas direções x e y do pilar UNESP BauruSP Parte II Pilares 133 c Momento fletor mínimo M1dmín Nd 15 003 h com h em cm O momento fletor mínimo em cada direção é Dir x M1dmínx 1250 15 003 18 2550 kNcm e1xmín 2 04 1250 2550 cm Dir y M1dmíny 1250 15 003 50 3750 kNcm e1ymín 3 00 1250 3750 cm d Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 com 35 λ1 90 Dir x o momento fletor de 1a ordem é constante e M1dAx 3000 kNcm é maior que o momento fletor mínimo M1dmínx 2550 kNcm o que leva ao cálculo de b 40 01 3000 3000 40 60 M M 40 60 A B b bx 10 E com hx 18 cm e a excentricidade de 1a ordem e1 240 cm 26 7 01 18 125 240 25 x1 35 λ1x 35 Dir y o momento fletor de 1a ordem M1dAy 2000 kNcm é menor que o momento fletor mínimo M1dmíny 3750 kNcm o que significa by 10 Com a excentricidade de 1a ordem e1 160 cm 25 4 01 50 125160 25 y1 35 1y 35 Desse modo x 673 1x 35 são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção x y 242 1y 35 não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção y Da mesma forma que o pilar do Exemplo 1 a direção x é a crítica para o pilar com e2 e M2d No entanto os momentos fletores na direção y também ser necessitam ser considerados por tratarse de Flexão Composta Oblíqua Deve ser verificada em qual seção de extremidade ou intermediária ocorre a situação que conduz à maior armadura no pilar e Cálculo dos momentos fletores totais e da armadura e1 Cálculo com os diagramas de momentos fletores Método do pilarpadrão com curvatura aproximada Os cálculos dos efeitos de 2a ordem na direção x estão mostrados no Exemplo 1 sendos os mesmos para este exemplo 078 e2x 266 cm e M2dx 3325 kNcm Os momentos fletores atuantes no pilar estão indicados na Figura 137 Devem ser determinados os momentos fletores totais máximos em cada direção nas seções de extremidade e intermediária C As seções de extremidade do topo e da base são iguais neste caso e89 89 No caso de momentos fletores de 1a ordem diferentes na base e no topo devese buscar a combinação mais desfavorável ao pilar UNESP BauruSP Parte II Pilares 134 Seção de extremidade topo base Dir x 2 550kNcm M 3 000kNcm M M d mínx 1 d Ax 1 d totx Dir y 3 750kNcm M 2 000kNcm M M d míny 1 d Ay 1 d toty Portanto Mdtotx 3000 kNcm e Mdtoty 3750 kNcm Seção intermediária C Dir x nesta direção ocorre M2dx 3325 kNcm e como o momento fletor de 1a ordem é constante não é necessário calcular M1dCx ver Figura 137 e 5 875kNcm 3 325 2 550 M M 6 325kNcm 3 325 3 000 M M M 2 d x d mínx 1 2 d x d Ax 1 d totx Portanto Mdtotx 6325 kNcm Dir y o momento fletor de 1a ordem na seção intermediária é M1dCy e d Ay 1 1 d By d Ay 1 1 d Cy M 40 M 40 M 60 M 2000 800kNcm 40 400kNcm 2000 40 2000 60 M 1 d Cy M1dCy 800 kNcm M1dmíny 3750 kNcm não ok Portanto Mdtoty M1dmíny 3750 kNcm 2550 3750 M1dmíny 3323 ou M1dAy 2000 B C A ou 3000 1dAx M 2dx M Dir x Dir y 1dmínx M Figura 137 Momentos fletores atuantes no pilar nas direções x e y e2 Cálculo com os diagramas das excentricidades Método do pilarpadrão com curvatura aproximada Tomando como base as excentricidades mostradas na Figura 72 e Figura 73 são desenhadas na Figura 138 e Figura 139 as situações de projeto e de cálculo para as seções de extremidade e intermediária Como as seções de extremidade de topo e base do pilar estão submetidas aos mesmos momentos fletores de 1a ordem as seções são iguais90 90 Quando os momentos fletores são diferentes devese buscar a extremidade que conduza a maior armadura do pilar UNESP BauruSP Parte II Pilares 135 Figura 138 Situações de projeto e de cálculo das seções de extremidade topo e base Para a seção intermediária C temse que o momento fletor de 1a ordem é constante na dir x portanto e1xC e1xA 240 cm Na dir y deve ser calculada a excentricidade Eq 96 A 1 1B A 1 1C e 40 e 40 e 60 e 0 64cm 1 60 40 e 40 0 32cm 160 40 1 60 60 e 40 e 60 e y A 1 1 y B y A 1 1 y C e1yC 064 cm e1míny 300 cm não ok portanto deve ser adotada e1míny 300 cm nas situações de cálculo ver Figura 73 e 300 1ymín e 300 y e 064 1yC SP 240 e 1xC Nd x x 506 1 sc a 1xC 240 e 2x e 266 d N 1ymín e 2 sc a 1xC 240 e d N Figura 139 Situação de projeto e situações de cálculo para a seção intermediária C Notase que a solicitação mostrada na 1a sc da seção intermediária é aquela que conduz à maior armadura do pilar como mostrado adiante Os momentos fletores totais são Dir x Mdtotx Nd ex 1250 506 6325 kNcm Dir y Mdtoty Nd ey 1250 300 3750 kNcm e3 Cálculo com a Eq 97 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada dA 1 2 e d 1dA b dtot M r 1 N 10 M M com b M1dA M1dmín Como a seção crítica é a intermediária os momentos fletores totais podem ser determinados apenas para essa seção em cada direção SP d N y 1 sc x e 240 1x e 160 1y e 300 1ymín N 1x e 240 d e1yA e1xA e1xA UNESP BauruSP Parte II Pilares 136 Dir x com bx 10 temse b M1dA 10 3000 3000 kNcm M1dmínx 2550 kNcm ok portanto 6 325 01 3000 1250 2 66 M d totx kNcm Dir y não ocorre momento fletor de 2a ordem e com by 10 temse b M1dA 10 2000 2000 kNcm M1dmíny 3750 kNcm portanto Mdtoty 3750 kNcm e4 Cálculo com a Eq 103 ou Eq 100 a Eq 102 Método do pilarpadrão com rigidez aproximada 0 h N M 3840 M M 19200 h N 3840h N 19200M 1 d A d b Sdtot 1 d A b d 2 d 2 Sdtot Aplicando na direção x e fazendo bx 10 hx 18 cm x 673 e M1dAx 3000 kNcm M1dmínx 2550 kNcm temse 0 3840 01 1812503000 M 181250 19200 01 3000 3840181250 67 3 19200M tot Sd 2 2 Sdtot 0 2 59210 73109025M 19200M 11 tot Sd 2 Sdtot 0 13500000 3 8078 M M tot Sd 2 Sdtot A raiz positiva da equação de 2o grau é MSdtotx 6042 kNcm M1dAx 3000 kNcm e5 Cálculo da armadura longitudinal Para o Método do pilarpadrão com curvatura aproximada notase que entre as três situações de cálculo é a 1a sc da seção intermediária que resultará na maior armadura Fazendo os cálculos dos coeficientes adimensionais da Flexão Composta Oblíqua por meio dos momentos fletores e também com as excentricidades temse x cd c x totx d f A h M 22 0 41 52 900 18 6 325 ou 0 22 18 0 78 5 06 h e x x x y cd c y toty d f A h M 05 0 41 52 900 50 3 750 ou 0 05 50 0 78 3 00 h e y y y x x h d 0 28 18 05 025 y y h d 010 50 05 Como no Exemplo 1 para os ábacos 5A e 5B de Pinheiro 2009 Figura 133 com 078 temse 060 ω 081 080 ω 094 0117 x 0 60 78 0 0 81 0 94 0 60 0 80 078 ω 081 0117 0927 A armadura resulta As yd cd c f A f 3425 5 43 41 52 927900 0 cm2 UNESP BauruSP Parte II Pilares 137 Se aplicado o momento fletor total para a direção x MSdtotx 6042 kNcm do cálculo com o Método do pilarpadrão com rigidez aproximada e com Mdtoty 3750 kNcm a armadura resulta cd c x totx Sd x f h A M 21 0 41 52 900 18 6042 e com y 005 no mesmo ábaco 5 temse 060 ω 076 080 ω 089 0117 x 0 60 78 0 0 76 0 89 0 60 0 80 078 ω 076 0117 0877 As yd cd c f A f 3240 5 43 41 52 877 900 0 cm2 e6 Cálculo com as excentricidades acidentais sem consideração do momento fletor mínimo A excentricidade acidental por falta de retilineidade é considerada na seção intermediária C Figura 60 e com a Eq 79 e Eq 80 temse 005345 0 53 100 1 H 100 1 1 rad O valor mínimo é 1mín 1300 000333 rad 1 0005345 rad 2 e e 1 a 0 94cm 2 0 005345350 e e ay ax Com base nas excentricidades mostradas na Figura 80 são desenhadas as excentricidades do pilar Figura 140 240 e e 064 y SP e 240 1yC 1xC x Nd 1 sc a e 064 1yC 1xC e 088 e 064 x 594 ax e 088 2x e 266 d N 1yC ay e N e 152 2 sc a 240 1xC e d y Figura 140 Situação de projeto e situações de cálculo para a seção intermediária para dimensionamento do pilar com base na excentricidade acidental por falta de retilineidade A maior armadura resulta da 1a sc 0 26 18 0 78 6 00 h e x x x 0 01 50 0 78 0 64 h e y y y dxhx 028 025 dyhy 010 Para 078 e com o ábaco 5 Figura 133 temse 094 600 094 158 UNESP BauruSP Parte II Pilares 138 060 ω 087 080 ω 101 0126 x 0 60 78 0 0 87 101 0 60 0 80 078 ω 087 0126 0996 As yd cd c f A f 3680 5 43 41 52 996 900 0 cm2 Resumo Método As cm2 Pilarpadrão com curvatura aproximada M1dmín 3425 100 Pilarpadrão com rigidez aproximada M1dmín 3240 5 Pilarpadrão com curvatura aproximada ea 3680 7 1333 Exemplo 3 Dimensionar a armadura longitudinal do pilar mostrado na Figura 141 sendo conhecidos concreto C30 Nk 350 kN M1dAx M1dBx 3500 kNcm M1dAy M1dBy 1105 kNcm seção transversal 15 x 30 Ac 450 cm2 comprimento equivalente ex ey 300 cm d N x y h 30 cm x h 20 cm y 1y e x e1 3500 1105 x y Figura 141 Arranjo estrutural do pilar na planta de fôrma dimensões da seção transversal posição do ponto de aplicação da força normal Nd e momentos fletores de 1a ordem kNcm nas direções x e y Resolução a Esforços solicitantes A força normal de cálculo é Nd n f Nk 120 14 350 588 kN n 120 na Tabela 6 Atuam também momentos fletores de 1a ordem na base e no topo do pilar M1dAx M1dBx 3500 kNcm na direção x e M1dAy M1dBy 1105 kNcm na direção y Figura 141 em função de existirem duas vigas não contínuas sobre o pilar nas direções x e y Os momentos fletores já se encontram majorados pelos coeficientes n e f As excentricidades de 1a ordem na base e no topo do pilar são Figura 142 15 cm UNESP BauruSP Parte II Pilares 139 Dir x 5 95 588 3500 N M e e d x 1d 1xB 1xA cm Dir y 188 588 1105 N M e e d y 1d 1 y B 1 y A cm b Índice de esbeltez 34 6 30 46 300 3 h 46 3 x ex x pilar curto na direção x 69 2 15 46 300 3 h 46 3 y ey y pilar médio na direção y máx 692 90 ok 197 e1y x y e1x 625 Figura 142 Excentricidades de 1a ordem cm nas direções x e y do pilar c Momento fletor mínimo M1dmín Nd 15 003 h com h em cm Dir x M1dmínx 588 15 003 30 1411 kNcm e1xmín 15 003 30 240 cm Dir y M1dmíny 588 15 003 15 1147 kNcm e1ymín 15 003 15 195 cm d Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 com 35 λ1 90 Dir x o momento fletor de 1a ordem M1dAx 3500 kNcm é maior que o momento fletor mínimo M1dmínx 1411 kNcm o que leva ao cálculo de b 40 20 3500 3500 40 60 M M 40 60 A B b bx 04 A excentricidade de 1a ordem correspondente e1 na direção x é 595 cm e 68 7 40 30 125 595 25 1 x 35 ok 1x 687 Dir y o momento fletor de 1a ordem M1dAy 1105 kNcm é menor que o momento fletor mínimo M1dmíny 1147 kNcm o que significa by 10 e com a excentricidade de 1a ordem correspondente 188 cm temse 26 6 01 15 125188 25 1 y 35 1y 35 Desse modo 595 188 UNESP BauruSP Parte II Pilares 140 x 346 1x 687 não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção x y 692 1y 35 são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção y e Cálculo dos momentos fletores totais e da armadura e1 Cálculo com os diagramas de momentos fletores Método do pilarpadrão com curvatura aproximada Os efeitos locais de 2a ordem na direção y devem ser calculados A força normal adimensional é Eq 78 61 0 41 03 450 588 f A N cd c d Curvatura na dir y Eq 77 1 4 1 4 cm 3 33310 15 005 0 h 0 005 cm 3 00310 50 0 61 15 005 0 0 50 h 005 0 r 1 ok A excentricidade máxima de 2a ordem é Eq 75 r 1 10 e 2 e y 2 2 70 3 00310 10 300 4 2 cm O momento fletor de 2a ordem é Eq 76 1 588 588 2 70 N e r 1 10 N M 2 d 2 2 d 2 d y kNcm Os momentos fletores atuantes no pilar estão indicados na Figura 143 Devem ser determinados os momentos fletores totais máximos em cada direção para as seções de extremidade e intermediária C pois há efeito local de 2a ordem que deve ser considerado na dir y A rigor em função das diferentes combinações possíveis entre os momentos fletores de 1a ordem nas seções de topo e base segundo as duas direções do pilar tanto a seção de topo como a de base devem ser analisadas No caso deste exemplo como os momentos fletores na base e no topo são iguais nas duas direções apenas uma seção é suficiente Seção de Extremidade base e topo Dir x 1 411kNcm M 3 500kNcm M M d mínx 1 d Ax 1 d totx Mdtotx 3500 kNcm Dir y 1 147kNcm M 1 105kNcm M M d míny 1 d Ay 1 d toty Mdtoty 1147 kNcm Na seção intermediária os momentos fletores nas duas direções são dA x 1 1dB x dA x 1 1dC x M 40 M 40 M 60 M 1 400kNcm 3500 40 700kNcm 3500 40 3500 60 M 1 d Cx M1dCx 1400 kNcm dA y 1 1dB y dA y 1 1dC y M 40 M 40 M 60 M 442kNcm 1105 40 221kNcm 1105 40 1105 60 M 1 d Cy M1dCy 442 kNcm UNESP BauruSP Parte II Pilares 141 Seção Intermediária Dir x 1 411kNcm M 1 400kNcm M M d mínx 1 d Cx 1 totx d Mdtotx 1411 kNcm Dir y 2 735kNcm 1 588 1 147 M M 2 030kNcm 1 588 442 M M M 2 d y d míny 1 2 d y d Cy 1 d toty Mdtoty 2735 kNcm 2dy M 1260 1105 1dAy M ou 1dmíny M 1176 1344 M1dmínx Dir y Dir x M1dAx 3500 ou Figura 143 Momentos fletores atuantes no pilar nas direções x e y e2 Cálculo com os diagramas das excentricidades Método do pilarpadrão com curvatura aproximada As situações de projeto e de cálculo para as seções de extremidade e intermediária estão mostradas na Figura 144 e Figura 145 e tomam como base as excentricidades mostradas na Figura 72 e Figura 73 Como as seções de extremidade topo e base estão submetidas aos mesmos momentos fletores de 1a ordem em cada direção apenas uma seção de extremidade pode ser analisada Figura 144 Situações de projeto e de cálculo das seções de extremidade topo e base A excentricidade de 1a ordem na seção intermediária C é calculada com a Eq 96 em cada direção Dir x A 1 1B A 1 1C e 40 e 40 e 60 e 2 38cm 5 95 40 e 40 119 cm 5 95 40 5 95 60 e 40 e 60 e xA 1 1xB xA 1 1xC e1xC 238 cm SP 625 e e 197 x d N 1 sc y 1x 1y a 1x e 625 e 210 1ymín x Nd y e1yA e1xA 595 595 188 e1xA 195 1411 1147 1588 UNESP BauruSP Parte II Pilares 142 Dir y A 1 1B A 1 1C e 40 e 40 e 60 e 0 75cm 188 40 e 40 0 38cm 188 40 188 60 e 40 e 60 e y A 1 1 y B y A 1 1 y C e1yC 075 cm 2 sc a 1ymín e 210 250 1xC e Nd e 225 2y e 435 y 250 N e SP e 079 y d N 1 sc e 210 x d 250 e 1xC 1yC a 1xC 1ymín Figura 145 Situação de projeto e situações de cálculo para a seção intermediária C Notase que a solicitação da 2a sc da seção intermediária é aquela que conduz à maior armadura do pilar Os momentos fletores totais são Dir x Mdtotx Nd ex 588 240 1411 kNcm Dir y Mdtoty Nd ey 588 465 2734 kNcm e3 Cálculo com a Eq 97 Método do pilarpadrão com curvatura aproximada dA 1 2 e d 1dA b dtot M r 1 N 10 M M com b M1dA M1dmín Como a seção crítica é a intermediária os momentos fletores totais podem ser determinados apenas para essa seção em cada direção Dir x não ocorre momento fletor de 2a ordem e com bx 04 temse b M1dA 04 3500 1400 kNcm M1dmínx 1411 kNcm portanto Mdtotx 1411 kNcm Dir y ocorre momento fletor de 2a ordem e com by 10 temse b M1dA 10 1105 1105 kNcm M1dmíny 1147 kNcm e 2735 588 270 1 147 r 1 N 10 M M 2 e d 1 d A b d tot kNcm e4 Cálculo com a Eq 103 ou Eq 100 a Eq 102 Método do pilarpadrão com rigidez aproximada 0 h N M 3840 M M 19200 h N 3840h N 19200M 1 d A d b Sdtot 1 d A b d 2 d 2 Sdtot Aplicando na direção y e fazendo M1dAy 1105 kNcm M1dmíny 1147 kNcm temse 0 3840 01 155881147 15588 19200 01 1147 M 384015588 69 2 19200M tot Sd 2 2 Sdtot 0 38847510 30389405M 19200M 10 tot Sd 2 Sdtot 075 238 240 195 240 195 270 465 e1xmín e1xmín UNESP BauruSP Parte II Pilares 143 0 2 023308 1 5828 M M tot Sd 2 Sdtot A raiz positiva da equação de 2o grau é MSdtoty 2419 kNcm M1dAy 1105 kNcm e5 Cálculo da armadura longitudinal Para o Método do pilarpadrão com curvatura aproximada notase que entre as três situações de cálculo é a 2a sc da seção intermediária que resultará na maior armadura Fazendo os cálculos também com os momentos fletores totais de cada direção os coeficientes adimensionais da Flexão Composta Oblíqua são cd c x totx d x f A h M 05 0 41 450 03 30 1411 ou 0 05 30 0 61 2 40 h e x x x y cd c y toty d f A h M 19 0 41 450 03 15 2735 ou 019 15 0 61 4 65 h e y y y x x h d 015 013 30 04 y y h d 0 25 0 27 15 04 Entre os vários arranjos de barras dos ábacos de Pinheiro 2009 ver Figura 131 apenas o arranjo 1 não é indicado pela elevada quantidade de barras maior que 5 em cada face Dos demais ábacos apenas os arranjos 2 3 e 4 têm relações dxhx 015 e dyhy 025 ver Figura 132 Escolhendo por exemplo o ábaco 8 relativo ao arranjo 2 verificase que as quatro barras das faces devem ser posicionadas ao longo do lado hy do pilar Figura 146 No pilar deste Exemplo equivale a posicionar as quatro barras na dimensão de 15 cm do pilar como mostrado na Figura 147a que não configura o posicionamento mais racional e econômico em função dos momentos fletores solicitantes no pilar pois para o maior momento fletor Myd 2735 kNcm o posicionamento mais indicado é o apresentado na Figura 147b Para aplicar o ábaco 8 posicionandose as barras como mostradas na Figura 147b tornase necessário utilizar o ábaco com os valores trocados em relação aos valores calculados para as variáveis x y dxhx e dyhy Portanto modificando os valores tem se x 019 y 005 dxhx 025 dyhy 015 e com 061 são determinados no Ábaco 8 os seguintes valores 060 ω 070 080 ω 082 0 006 x 0 60 61 0 0 70 0 82 0 60 0 80 061 ω 070 0006 0706 Figura 146 Arranjo de barras da armadura do Ábaco 8 de Pinheiro 2009 para FCO UNESP BauruSP Parte II Pilares 144 a posiconamento das barras de aço seção tranversal do pilar conforme o dimensionamento b armadura reposicionada após a modificação nos valores das variáveis do ábaco Figura 147 Posicionamento das barras na seção transversal do pilar conforme o Ábaco 8 de Pinheiro 2009 A armadura resulta As yd cd c f A f 1565 5 43 41 706 450 03 0 cm2 com as barras da armadura a serem dispostas na seção transversal conforme o arranjo da Figura 147b Se aplicado o momento fletor total para a direção y MSdtoty 2419 kNcm do cálculo com o Método do pilarpadrão com rigidez aproximada e com Mdtotx 3500 kNcm a armadura resulta cd c y toty Sd y f A h M 17 0 41 450 03 15 2419 no ábaco 8 com os valores modificados x 017 y 005 dxhx 025 dyhy 015 encontram se 060 ω 062 080 ω 072 0 005 x 0 60 61 0 0 62 0 72 0 60 0 80 061 ω 062 0005 0625 A armadura resulta As yd cd c f A f 1385 5 43 41 625 450 03 0 cm2 e6 Cálculo com as excentricidades acidentais sem consideração do momento fletor mínimo A excentricidade acidental por falta de retilineidade é calculada com a Eq 79 e Eq 80 para a seção intermediária C ver Figura 60 005774 0 03 100 1 H 100 1 1 rad com H altura do lance em m 1mín 1300 000333 rad 1 0005774 rad M 1400 xd yd M 2436 d 025 y x d 015 h 30 x h 20 y 15 2735 1411 h 30 y h 20 x d 015 y x d 025 M 2436 xd M 1400 yd 1411 2735 15 UNESP BauruSP Parte II Pilares 145 2 e e 1 a 0 87cm 2 0 005774300 e e ay ax E com base nas excentricidades mostradas na Figura 80 são desenhadas as excentricidades do pilar Figura 148 2 sc a e 250 1xC y d N 250 e 079 1yC 1xC e y x Nd e 075 ax e 079 1yC ay e 075 e 225 y 250 N SP e 079 1yC e 1xC 1 sc a x d e 379 2y Figura 148 Situação de projeto e situações de cálculo para a seção intermediária para dimensionamento do pilar com base na excentricidade acidental por falta de retilineidade A maior armadura resulta da 2a sc 0 05 30 0 61 2 38 h e x x x 018 15 0 61 4 32 h e y y y dxhx 015 dyhy 025 no ábaco 8 com os valores modificados x 018 y 005 dxhx 025 dyhy 015 encontram se 060 ω 065 080 ω 079 0 007 x 0 60 61 0 0 65 0 79 0 60 0 80 061 ω 062 0007 0627 As yd cd c f A f 1390 5 43 41 627 450 03 0 cm2 Resumo Método As cm2 Pilarpadrão com curvatura aproximada M1dmín 1565 100 Pilarpadrão com rigidez aproximada M1dmín 1385 11 Pilarpadrão com curvatura aproximada ea 1390 11 14 ESTIMATIVA DE CARGA VERTICAL EM PILARES POR ÁREA DE INFLUÊNCIA E PRÉDIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL Durante o desenvolvimento e desenho da planta de fôrma dos pavimentos é necessário definir as dimensões dos pilares antes mesmo que se conheçam os esforços solicitantes neles atuantes de modo que deve ser feito um prédimensionamento da seção transversal Alguns processos podem ser utilizados na fixação das dimensões dos pilares entre eles a experiência do engenheiro mas um processo simples de pré 238 075 238 075 087 238 075 087 270 432 UNESP BauruSP Parte II Pilares 146 dimensionamento consiste na estimativa da carga vertical no pilar determinada pela área de influência Com a carga vertical estimada a seção do pilar pode ser calculada O conceito é de que a carga que se encontra dentro da área de influência do pilar caminhará até o pilar A Figura 149 mostra como determinar a área de influência de modo simples Para a estimativa da carga é necessário ter um valor que represente a carga total por metro quadrado de laje do pavimento levandose em conta todos os carregamentos permanentes e variáveis Para edifícios com fins residenciais e de escritórios podese estimar a carga total de 10 kNm2 Edifícios com outras finalidades de utilização podem ter cargas mais elevadas A carga de um pavimento no pilar é a área de influência multiplicada pela carga total e em um determinado lance do pilar devese considerar os pavimentos acima do lance É muito importante salientar que a carga estimada serve apenas para o prédimensionamento da seção transversal e não pode ser utilizada no dimensionamento do pilar o qual deve ser feito com os esforços solicitantes corretos calculados em função das cargas das vigas e lajes apoiadas no pilar e com a atuação das forças do vento e outras ações que existirem na estrutura 4 4 5 5 1 1 2 2 3 3 5 4 1 2 3 04 06 05 05 06 04 04 06 06 04 P9 P5 P1 P2 P3 P4 P6 P7 P8 P10 P11 P12 Figura 149 Processo simplificado para determinação da área de influência dos pilares As equações seguintes para prédimensionamento da seção transversal são aplicadas apenas a pilares de edificações de pequeno porte baixa altura Edifícios onde a ação do vento origina solicitações significativas devem ter a seção transversal majorada em relação àquelas resultantes deste pré dimensionamento ou outras equações devem ser utilizadas Tomando como base o processo de pré dimensionamento apresentado por Fusco 1981 foram desenvolvidas as seguintes equações com o aço CA 5091 a Pilar Intermediário 40 f 50 N A ck d c Eq 114 91 As equações podem ser refinadas para apresentarem resultados melhores em função de algumas variáveis principalmente da largura de pilares retangulares UNESP BauruSP Parte II Pilares 147 b Pilares de Extremidade e de Canto 40 f 50 N 51 A ck d c Eq 115 Ac área da seção transversal do pilar cm2 Nd força normal de cálculo kN fck resistência característica do concreto kNcm2 15 EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE UMA EDIFICAÇÃO DE BAIXA ALTURA São apresentados a seguir exemplos de dimensionamento de pilares de uma edificação de pequeno porte e de baixa altura A Figura 150 mostra a planta de fôrma do pavimento tipo da edificação com três pavimentos Devido à baixa altura da edificação os efeitos do vento não serão considerados A planta de fôrma foi concebida considerando que existem paredes de alvenaria de vedação ao longo de toda a periferia da edificação com espessura de um tijolo confeccionadas com blocos cerâmicos de dimensão 19 cm de modo que as vigas e pilares da periferia foram especificados com largura de 19 cm a fim de ficarem embutidos nas paredes Já as paredes internas sobre as vigas V2 V3 e V6 são de meio tijolo construídas com blocos cerâmicos de vedação de dimensão 14 cm de modo que essas vigas têm largura de 14 cm Os pilares P5 e P8 com intenção de também ficarem embutidos nas paredes serão inicialmente dimensionados com a largura de 14 cm A edificação está inserida em zona urbana de uma cidade de região litorânea de tal modo que será considerada a Classe de Agressividade Ambiental III Em consequência conforme a Tabela 3 e Tabela 4 o concreto deve ser no mínimo o C30 fck 30 MPa a relação ac 055 e o cobrimento de concreto de 40 cm para viga e pilar com c 10 mm Considerando que existirá fiscalização e controle adequado de qualidade durante a execução será adotado c 5 mm e assim o cobrimento de 35 cm Outros dados adotados aço CA50 coeficientes de ponderação c γf 14 s 115 concreto com brita 1 Para a tensão de início de escoamento do aço será adotado o valor fyd fyks 50115 435 kNcm2 Será apresentado o dimensionamento apenas do lance compreendido entre o 1 pavimento e o 2 pavimento ver Figura 151 dos pilares P1 P2 P5 P6 e P8 A carga normal característica Nk aplicada na base dos lances dos pilares está indicada na Tabela 7 Tabela 7 Carga normal kN característica nos pilares Pilar P1 P5 P6 P8 Nk 130 650 300 700 UNESP BauruSP Parte II Pilares 148 500 500 500 500 480 550 520 h 12 cm h 12 cm P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 P 9 P 10 P 11 P 12 V 1 V 2 V 3 V4 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 14 x 60 14 x 60 19 x 50 19 x 50 14 x 60 19 x 50 19 x 50 V5 V6 V7 h 12 cm h 12 cm h 12 cm Figura 150 Planta de fôrma do pavimento tipo do edifício UNESP BauruSP Parte II Pilares 149 Cob 2 Pav 1 Pav Tér 280 280 280 Figura 151 Lance dos pilares a ser dimensionado A distância do centro da barra do canto até a face do pilar d Figura 152 é d c t 2 Para o cobrimento c 35 cm e adotando t 5 mm e 125 mm no cálculo dos pilares d será considerado igual a dx dy 35 05 1252 46 cm Figura 152 Distância d 151 Pilar Intermediário P8 Dados Nk 700 kN 70 tf ex ey 280 cm comprimento equivalente nas direções x e y O pilar P8 é classificado como pilar intermediário porque as vigas V3 e V6 são contínuas sobre ele não originando flexão importante que deva ser considerada no seu dimensionamento a Força normal De acordo com a NBR 6118 a largura mínima para um pilar é 14 cm Considerando que a largura do pilar seja de 14 cm o coeficiente de majoração da carga n Tabela 6 é 12592 A força normal de cálculo é Nd n f Nk 125 14 700 1225 kN 1225 tf Prédimensionamento para pilar intermediário Eq 114 2 ck d c 645cm 40 03 50 225 1 40 f 50 N A 360 cm2 92 Segundo a NBR 6118 todas as ações atuantes no pilar devem ser majoradas por esse coeficiente dy t hy hx c dx UNESP BauruSP Parte II Pilares 150 Conforme a NBR 6118 a área mínima de um pilar deve ser de 360 cm2 Podese adotar Ac 14 x 50 700 cm2 Figura 15393 b Índice de esbeltez94 Eq 62 69 2 14 46 280 3 h 46 3 x ex x 19 4 50 46 280 3 h 46 3 y ey y máx 692 90 pilar médio95 Figura 153 Dimensões da seção transversal do pilar P8 c Momento fletor mínimo O momento fletor mínimo em cada direção é calculado com a Eq 92 M1dmín Nd 15 003 h com h em cm Dir x M1dmínx 1225 15 003 14 2352 kNcm Dir y M1dmíny 1225 15 003 50 3675 kNcm momentos fletores que devem ser assumidos constantes ao longo da altura do lance do pilar ver Figura 154 d Esbeltez limite Eq 82 b 1 1 h 125 e 25 com 35 λ1 90 Nos pilares intermediários não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem em ambas as direções principais x e y isto é MA MB 0 e e1 0 Daí resulta que b é igual a 10 e 1x 1y 25 35 1x 1y 35 Desse modo x 692 1x são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção x y 194 1y não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção y e Momentos fletores totais e armadura segundo o método do pilarpadrão com curvatura aproximada M r 1 N 10 M M A 1d 2 e d 1 d A b d tot e b M1dA M1dmín 93 Geralmente adotase o comprimento de pilares retangulares com valores múltiplos de 5 cm 94 A notação aplicada referese às direções x ou y do pilar e não em torno de um eixo do pilar e como tratase de convenção os resultados são idênticos caso a convenção seja alterada para em torno de um eixo 95 Os valores do índice de esbeltez indicam que a armadura do pilar resultará da direção de maior esbeltez da largura do pilar Nos pilares intermediários devido à inexistência de momentos fletores de 1a ordem a armadura resulta da direção da largura do pilar Com fins acadêmicos aqui são mostrados em todos os exemplos numéricos os cálculos para as duas direções x e y y x h 14 h 50 x y UNESP BauruSP Parte II Pilares 151 Força normal adimensional Eq 78 82 0 41 03 700 225 1 f A N cd c d Curvatura na direção x sujeita a momentos fletores de 2a ordem Eq 77 1 4 1 4 cm 3 5710 14 005 0 h 0 005 cm 2 705610 50 0 82 14 005 0 50 h 005 0 r 1 ok Como não ocorrem momentos fletores de 1a ordem em pilares intermediários devese fazer b M1dA M1dmín em cada direção Os momentos fletores totais máximos são Dir x Mdtotx 4 950 2 705610 10 1 225 280 2 352 4 2 kNcm Dir y Mdtoty M1dmíny 3675 kNcm Os momentos fletores atuantes no pilar estão indicados na Figura 154 a qual mostra que na direção x de maior esbeltez o momento fletor solicitante máximo Mdtotx é a soma do momento fletor mínimo com o momento fletor de 2a ordem máximo A armadura final do pilar resulta deste momento fletor total e 300 2dmáxx M Dir y Dir x 1dmíny M 3675 2352 M1dmínx 2598 e 212 2xmáx e 192 1xmín 1ymín Figura 154 Momentos fletores atuantes no pilar nas direções x e y Com 082 e utilizando os ábacos de Venturini 1987 cd c x totx d f A h M 24 0 41 700 03 14 4 950 x x h d 14 64 033 na publicação não tem ábaco para a relação 033 de modo que será utilizado o ábaco A596 com relação 025 o que resulta 095 A armadura é As yd cd c f A f 3276 5 43 41 95700 03 0 cm2 96 A utilização de um ábaco com relação d h menor que o valor calculado configurase contra a segurança no entanto neste caso a diferença não é significativa UNESP BauruSP Parte II Pilares 152 f Detalhamento Armadura mínima Eq 108 c yd d s mín 0 004A f 015 N A 4 22 435 015 1 225 A mín s cm2 0004Ac 0004 700 280 cm2 Asmín 422 cm2 e As 3276 cm2 Asmín As 3276 cm2 26 125 mm 3250 cm2 ou 16 16 mm 3200 cm297 A taxa de armadura com 26 125 resulta 64 100 700 3250 A 100 A c s s s 46 máx 8 Conforme a Eq 109 a taxa máxima de armadura é 8 No entanto considerando simplificadamente que as armaduras dos diferentes lances do pilar sejam iguais a taxa máxima deve ser reduzida à metade pois na região de emenda das barras a armadura será dobrada o que leva então à taxa máxima de 4 em cada lance Portanto a taxa de armadura do pilar de 46 supera o valor de 4 Entre algumas soluções possíveis para resolver o problema uma é escalonar as emendas das barras em regiões diferentes ao longo da altura do pilar No caso de se aumentar a seção transversal do pilar o aumento do comprimento pouco ajuda a diminuir a armadura pois geralmente a direção crítica do pilar é a direção da largura e não do comprimento Portanto o aumento da largura do pilar é que pode diminuir significativamente a armadura longitudinal A título de exemplo a largura do pilar será aumentada em 1 cm de 14 para 15 cm e a armadura será novamente dimensionada a fim de ilustrar a grande diferença de armadura embora com aumento de apenas 1 cm na largura do pilar Os cálculos serão feitos apenas para a direção x que é a crítica do pilar98 a Esforços solicitantes e força normal para a nova seção transversal Ac 15 x 50 750 cm2 Com n 120 da Tabela 6 Nd n f Nk 120 14 700 1176 kN b Índice de esbeltez Eq 62 64 6 15 46 280 3 h 46 3 x ex x c Momento fletor mínimo Eq 92 Dir x M1dmínx 1176 15 003 15 2293 kNcm d Esbeltez limite Eq 82 1x 35 sem alteração x 646 1x são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção x e Momento fletor total e armadura segundo o método do pilarpadrão com curvatura aproximada Força normal adimensional Eq 78 73 0 41 03 750 176 1 f A N cd c d 97 Deve ser colocado um número par de barras longitudinais 98 Com a aplicação de bloco com largura de 14 cm na confecção das paredes internas de meio tijolo o pilar com 15 cm de largura ficará aparente na parede a menos que se aumente a espessura do revestimento de argamassa da parede UNESP BauruSP Parte II Pilares 153 Curvatura na direção x 1 4 1 4 cm 3 333310 15 0 005 cm 2 710010 50 0 73 15 005 0 50 h 005 0 r 1 ok Mdtotx 4 791 2 498 2 293 2 710010 10 1 176 280 2 293 4 2 kNcm Figura 155 A armadura resulta cd c x totx d f A h M 20 0 41 750 03 15 4 791 x x h d 15 64 031 025 Ábaco A5 069 As yd cd c f A f 2549 5 43 41 69 750 03 0 cm2 Asmín ok 2498 1dmínx M 2293 Dir x M 2dmáxx Figura 155 Momentos fletores atuantes no pilar na direção x f Detalhamento As 2549 cm2 20 125 mm 2500 cm2 ou 14 16 2800 cm2 A taxa de armadura com 20 125 resulta 33 100 750 2500 A 100 A c s s s 33 4 da região de emenda de barras Portanto o aumento de apenas 1 cm para a largura do pilar de 14 para 15 cm fez a taxa de armadura diminuir para um valor aceitável A armadura diminuiu em 22 de 3276 para 2549 cm2 de 26 125 para 20 125 mm99 Com 20 125 o diâmetro do estribo t e o espaçamento máximo dos estribos são Eq 110 e Eq 111 13 mm 12 5 4 4 mm 5 t t 5 mm 15cm 12 1 25 12 15cm b cm 20 smáx smáx 15 cm A distância entre os eixos de duas barras adjacentes é 54 1 25 9 1 25 10 50 53 2 50 av cm 99 Se a largura do pilar for de 16 cm a armadura diminui em 41 para 1931 cm2 16 125 UNESP BauruSP Parte II Pilares 154 O desenho do ábaco A5 indica que o momento fletor resultante da força normal excêntrica é em torno do eixo x e que as barras devem ser distribuídas simetricamente nas duas faces paralelas ao mesmo eixo Ou de outro modo que as barras sejam alojadas nas faces perpendiculares à excentricidade e da força normal No caso em questão do pilar P8 de acordo com essas análises as barras devem ficar distribuídas ao longo das faces maiores do pilar de comprimento 50 cm Figura 156 O canto do estribo protege contra a flambagem as barras até 6 que estiverem dentro da distância 20t Existem quatro barras protegidas por cada canto e as demais pelo critério da NBR 6118 necessitam de grampos suplementares100 Como possíveis alternativas para diminuir a quantidade de grampos podese fazer dois estribos independentes ou diminuir o número de barras longitudinais para 14 16 por exemplo A solução melhor será aquela mais simples de executar e mais econômica 20 125 h 50 y h 15 x 100 20 47 t t 20 100 Figura 156 Alternativas para o detalhamento da armadura na seção transversal do pilar P8 com um estribo e com dois estribos 152 Pilar de Extremidade P5 Dados Nk 650 kN 65 tf ex ey 280 cm comprimento equivalente O pilar P5 embora seja um pilar interno à edificação é classificado como pilar de extremidade porque tem a viga V6 não contínua sobre ele o que origina momento fletor de 1a ordem na direção da largura do pilar dir y ver Figura 150 a Força normal Tendo em vista o cálculo já feito do pilar P8 será adotada também a largura de 15 cm O coeficiente de majoração da carga n Tabela 6 é 120 A força normal de cálculo é Nd n f Nk 120 14 650 1092 kN O prédimensionamento com a Eq 115 resulta Figura 157 2 ck d c 862cm 40 03 50 1092 51 40 f 50 51 N A Os cálculos mostrarão que podese adotar Ac 15 x 50 750 cm2 360 cm2 h 50 x h 15 y Figura 157 Dimensões da seção transversal do pilar P5 100 Os grampos devem ser aplicados com o mesmo diâmetro e espaçamento dos estribos 45 20 125 UNESP BauruSP Parte II Pilares 155 b Índice de esbeltez 19 4 50 46 280 3 h 46 3 x ex x 64 6 15 46 280 3 h 46 3 y ey y pilar médio c Excentricidade de 1a ordem Existe excentricidade de 1a ordem devido ao momento fletor Myd de ligação entre a viga V6 e o pilar P5 na direção y d yd 1y N M e Os momentos fletores solicitantes na base e no topo do pilar serão avaliados com a Eq 88 e Eq 89 fornecidas pela NBR 6116 sendo p inf viga sup p pilar keng ksup k inf r r r r M M M Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo da altura temse101 4 100 2 280 12 15 50 2 I r r r 3 ey pilar p inf p sup pilar cm3 Rigidez da viga V6 com seção transversal 14 x 60 cm e vão efetivo de 525 cm entre os pilares P5 e P8 252000 12 60 14 12 h b I 3 3 w viga cm4 4800 525 252000 I r ef viga viga cm3 Para o momento fletor de engastamento perfeito da viga V6 no pilar P5 será adotada a carga total uniformemente distribuída de 39 kNm Figura 158 39 kNm P 8 P 5 525 cm Figura 158 Esquema estático e carregamento no vão da viga V6 adjacente ao pilar P5 O momento fletor de engastamento perfeito no pilar P5 é 8958 12 5 25 39 12 q M 2 2 eng kNm 8958 kNcm Os momentos fletores na base e no topo do lance do pilar resultam 101 A dimensão do pilar que considerase ao cubo é aquela na direção da viga que origina os momentos fletores de 1a ordem no pilar UNESP BauruSP Parte II Pilares 156 1 321 1004 4800 4 100 1004 8 958 M M ksup kinf kNcm Considerando a propagação dos momentos fletores no pilar102 conforme mostrada na Figura 159 os momentos fletores totais na base e no topo são 1 982 2 1 321 1 321 M M kbase ktopo kNcm Transformando em momentos fletores de cálculo com γf 14 e γn 120 ver Tabela 6103 Mdtopo Mdbase 120 14 1982 3330 kNcm Os momentos fletores atuantes na base e no topo do pilar estão indicados na Figura 159 A excentricidade de 1a ordem na direção y é 3 05 1 092 330 3 N M e d d 1y cm d Momento fletor mínimo M1dmín Nd 15 003 h com h em cm Dir x M1dmínx 1092 15 003 50 3276 kNcm e1xmín 15 003 50 300 cm Dir y M1dmíny 1092 15 003 15 2129 kNcm e1ymín 15 003 15 195 cm 525 cm ef 280 inf 50 15 x y kinf 12 M 1321 dtopo 3330 1321 Mksup M kinf M ksup 12 M sup 280 3330 dbase M P 8 39 kNm V 6 P 5 x y Figura 159 Momentos fletores de 1a ordem kNcm no topo e na base do pilar P5 na direção y 102 Os momentos fletores de 1a ordem atuantes nos pilares devem ser estudados com cuidado pois a propagação pode ser diferente da indicada neste exemplo ou pode não existir Tome como exemplo o lance do pilar relativo ao pavimento térreo ou o lance entre o 2o pavimento e a cobertura 103 Segundo a NBR 6118 os esforços solicitantes atuantes no pilar devem ser majorados por γn UNESP BauruSP Parte II Pilares 157 e Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 com 35 λ1 90 Dir x não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem portanto e1 0 e b 10 e 25 01 50 125 0 25 1 x 35 1x 35 Dir y a excentricidade de 1a ordem e1 é 305 cm Os momentos fletores de 1a ordem são M1dAy M1dBy 3330 kNcm maiores que o momento fletor mínimo M1dmíny 2129 kNcm o que leva ao cálculo de b 20 330 3 3 330 40 60 M M 40 60 A B b 04 by 04 68 9 40 15 125 305 25 1 y 35 1y 689 Desse modo x 194 1x 35 não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção x y 646 1y 689 não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção y f Momentos fletores totais e cálculo da armadura A Figura 160 mostra os momentos fletores considerados no pilar Neste pilar não é necessário considerar excentricidade de 2a ordem nas duas direções do pilar e os momentos fletores totais resultam Dir x Mdtotx M1dmínx 3276 kNcm Dir y Mdtoty M1dAy 3330 kNcm M1dmíny 2129 kNcm ok A força normal adimensional é Eq 78 68 0 41 03 750 092 1 f A N cd c d 1dmínx M 3276 2129 M1dmíny Dir x Dir y e 195 1ymín 1xmín e 300 e 305 1Ay 3330 1dAy M OU Figura 160 Momentos fletores atuantes no pilar P5 nas direções x e y Com 068 e utilizandose os ábacos de Venturini 1987 para a Flexão Reta considerando apenas a direção y UNESP BauruSP Parte II Pilares 158 cd c y toty d f A h M 41 03 750 15 3 330 014 ou 014 15 0 68 3 05 h e y y y y h d 15 64 031 025 Ábaco A5 ω 038 As yd cd c f A f 1404 5 43 41 03 38 750 0 cm2 12 125 mm 1500 cm2 g Detalhamento Armadura mínima Eq 58 c yd d s mín 0 004A f 015 N A 3 77 435 015 1 092 A mín s cm2 0004 750 300 cm2 As 1404 cm2 Asmín 377 cm2 A taxa de armadura resulta 02 100 750 1500 A 100 A c s s máx 4 ok O diâmetro t e espaçamento máximo dos estribos são Eq 110 e Eq 111 13 mm 12 5 4 4 mm 5 t t 5 mm 15cm 12 1 25 12 15cm b cm 20 smáx smáx 15 cm A distância entre os eixos das barras adjacentes é 28 1 25 5 1 25 6 50 53 2 50 ah cm O canto do estribo protege contra a flambagem as barras até 6 que estiverem dentro da distância 20 t Existem quatro barras protegidas por cada canto de modo que as demais pelo critério da NBR 6118 necessitam grampos suplementares Figura 161 Uma alternativa que resulta na eliminação dos grampos é fazer dois estribos independentes A solução melhor será aquela mais simples de executar e também mais econômica UNESP BauruSP Parte II Pilares 159 12 125 100 20 t 20 t 100 x h 15 y h 50 86 Figura 161 Detalhamento da armadura na seção transversal do pilar P5 com solução de um estribo e de dois estribos 153 Pilar de Extremidade P6 Dados Nk 300 kN 30 tf ex ey 280 cm a Força normal O pilar P6 está na periferia da edificação e tem largura de 19 cm O coeficiente de majoração da carga n Tabela 6 não necessita ser considerado pois é considerado apenas para larguras entre 14 e 18 cm A força normal de cálculo é Nd f Nk 14 300 420 kN Prédimensionamento Eq 115 2 ck d c 332cm 40 03 50 420 51 40 f 50 51 N A A área mínima de um pilar deve ser de 360 cm2 de modo que podese adotar um pilar quadrado Ac 19 x 19 361 cm2 Figura 162104 h 19 y h 19 x Figura 162 Dimensões cm da seção transversal do pilar P6 b Índice de esbeltez 510 19 46 280 3 h 3 46 e y x c Excentricidade de 1a ordem Existe excentricidade de 1a ordem devido ao momento fletor Mxd de ligação entre a viga V2 e o pilar P6 na direção x d xd 1x N M e Os momentos fletores solicitantes na base e no topo do pilar serão avaliados com a Eq 88 e Eq 89 da NBR 6116 sendo 104 Observase que o pilar ficará embutido na parede de um tijolo disposta na direção vertical do desenho da planta de fôrma A parede pode ser confeccionada com bloco de largura 19 cm cerâmico ou de concreto 82 12 125 UNESP BauruSP Parte II Pilares 160 p inf viga sup p pilar keng ksup k inf r r r r M M M Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo da sua altura temse a rigidez 6 77 2 280 12 19 19 2 I r r r 3 ex pilar p inf p sup pilar cm3 A rigidez da viga V2 com seção transversal 14 x 60 cm e vão efetivo de 493 cm é 252000 12 60 14 12 h b I 3 3 w viga cm4 5112 493 252000 I r ef viga viga cm3 Para o momento fletor de engastamento perfeito da viga V2 no pilar P6 será adotada a carga total uniformemente distribuída de 32 kNm Figura 163 32 kNm P 5 493 cm P 6 Figura 163 Esquema estático e carregamento no vão da viga V2 O momento fletor de engastamento perfeito no pilar P6 é 6 481 100 12 4 93 32 12 q M 2 2 eng kNcm Os momentos fletores na base e no topo do lance do pilar resultam 755 77 6 5112 6 77 77 6 6 481 M M ksup kinf kNcm Considerando a propagação dos momentos fletores no pilar conforme Figura 164 os momentos fletores de cálculo com n 10 e f 14 na base e no topo são Figura 164 1 586 2 755 755 01 41 M M d base d topo kNcm A excentricidade de 1a ordem na direção x é 3 78 420 586 1 N M e d d 1x cm d Momento fletor mínimo M1dmín Nd 15 003 h com h em cm Dir x e y M1dmínx M1dmíny 420 15 003 19 8694 kNcm UNESP BauruSP Parte II Pilares 161 x y ef 493 cm P 5 P 6 V 2 32 kNm 280 y x 19 19 12 M ksup 12 Mkinf Mdtopo 1586 1586 dbase M sup 280 inf 755 755 kinf M Mksup Figura 164 Momentos fletores de 1a ordem kNcm no topo e na base do pilar P6 na direção x e Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 com 35 λ1 90 Dir x a excentricidade de 1a ordem e1 é 378 cm Os momentos fletores de 1a ordem são M1dAx M1dBx 1586 kNcm maiores que o momento fletor mínimo 8694 kNcm o que leva ao cálculo de b 20 586 1 1 586 40 60 M M 40 60 A B b 04 bx 04 68 7 40 19 125378 25 1 x 35 1x 687 Dir y não ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem portanto e1 0 e b 10 e 25 01 19 125 0 25 1 y 35 1y 35 Desse modo x 510 1x 687 não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção x y 510 1y 35 são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção y f Momentos fletores totais pelo método do pilarpadrão com curvatura aproximada O momento fletor total é Eq 97 UNESP BauruSP Parte II Pilares 162 d A 1 2 e d 1 d A b d tot M r 1 N 10 M M com b M1dA M1dmín Força normal adimensional 54 0 41 03 361 420 f A N cd c d Curvatura na direção y sujeita a momentos fletores de 2a ordem 1 4 1 4 cm 2 6310 19 0 005 cm 2 530410 50 0 54 19 005 0 0 50 h 005 0 r 1 ok Na direção x tomando bx 04 e M1dAx 1586 kNcm temse Eq 97 Mdtotx 04 1586 6344 kNcm M1dAx 1586 kNcm não ok ver Figura 165 Portanto Mdtotx M1dAx 1586 kNcm M1dmín 8694 kNcm ok Na direção y com b M1dA M1dmín 8694 kNcm temse Eq 97 Mdtoty 4 2 2 530410 10 420 280 8694 8694 8332 1703 kNcm OU M1dAx 1586 1Ax e 378 e 207 1xmín 1ymín e 207 Dir y Dir x 1dmíny M 8694 8694 M1dmínx 8332 M 2dmáxy 2ymáx e 198 Figura 165 Momentos fletores atuantes no pilar nas direções x e y O pilar tem seção transversal quadrada e a maior armadura resulta da direção com o maior momento fletor total a direção y no caso com Mdtoty 1703 kNcm Com 054 e utilizandose os ábacos de Venturini 1987 para Flexão Reta cd c y toty d f A h M 41 361 03 19 1 703 012 y y h d 19 64 024 025 Ábaco A5 ω 013 A armadura longitudinal é UNESP BauruSP Parte II Pilares 163 As yd cd c f A f 2 31 5 43 41 13361 03 0 cm2 4 10 mm 320 cm2 ver Figura 166 g Detalhamento Armadura mínima Eq 58 c yd d s mín 0 004A f 015 N A 1 45 435 015 420 A mín s 0004 361 144 cm2 As 231 cm2 Asmín 145 cm2 O diâmetro mínimo da barra longitudinal dos pilares deve ser 10 mm Eq 105 A taxa de armadura resulta 0 89 100 361 3 20 A 100 A c s s máx 4 O diâmetro t e espaçamento máximo dos estribos Eq 110 e Eq 111 são mm 52 10 4 4 mm 5 t t 5 mm 12cm 01 12 12 19cm b cm 20 smáx smáx 12 cm Figura 166 Detalhamento da armadura na seção transversal do pilar P6 154 Pilar de Canto P1 Dados Nk 130 kN 13 tf ex ey 280 cm a Força normal O pilar P1 está na periferia da edificação e tem largura de 19 cm Conforme a Tabela 6 o coeficiente de majoração da carga n é 10 de modo que a força normal de cálculo é Nd n f Nk 10 14 130 182 kN Prédimensionamento Eq 115 2 ck d c 144cm 40 03 50 182 51 40 f 50 51 N A A área mínima de um pilar deve ser de 360 cm2 e neste caso podese adotar um pilar quadrado 19 x 19 361 cm2 No entanto a fim de melhor exemplicar os cálculos necessários em um pilar de canto a seção será adotada com comprimentos diferentes para os lados retangular 19 x 25 475 cm2 Figura 167 4 10 x h 19 y h 19 hx 19 hy 19 4 10 UNESP BauruSP Parte II Pilares 164 b Índice de esbeltez 389 25 46 280 3 h 46 3 x ex x 510 19 46 280 3 h 46 3 y ey y x h 25 y h 19 Figura 167 Dimensões cm da seção transversal do pilar P1 c Excentricidades de 1a ordem Dir x existe o momento fletor Mxd de ligação entre a viga V1 e o pilar P1 e a excentricidade d xd 1x N M e O momento fletor solicitante na base e no topo do pilar é avaliado com a Eq 88 e Eq 89 sendo p inf viga sup p pilar keng ksup k inf r r r r M M M Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo da sua altura temse 7 176 2 280 12 25 19 2 I r r r 3 ex pilar p inf p sup pilar cm3 Rigidez da viga V1 com seção transversal 19 x 50 cm e vão efetivo de 497 cm 197917 12 50 19 12 h b I 3 3 w viga cm4 3982 497 197917 I r ef viga viga cm3 Para o momento fletor de engastamento perfeito da viga V1 no pilar P1 será adotada a carga de 25 kNm conforme Figura 168 497 cm 25 kNm P 1 P 2 Figura 168 Esquema estático e carregamento no vão da viga V1 O momento fletor de engastamento perfeito no pilar P1 é 5 146 100 12 4 97 25 12 q M 2 2 eng kNm Os momentos fletores na base e no topo do lance do pilar resultam UNESP BauruSP Parte II Pilares 165 1 210 1767 3982 7 176 1767 5 146 M M ksup kinf kNcm Considerando a propagação dos momentos fletores nos lances do pilar os momentos fletores de cálculo com n 10 e f 14 na base e no topo são 2 541 2 1 210 1 210 01 41 M M d base d topo kNcm que é o momento fletor Mxd M1dAx M1dBx de modo que a excentricidade de 1a ordem na dir x é 1396 182 541 2 N M e d xd 1x cm Dir y existe o momento fletor Myd de ligação entre a viga V5 e o pilar P1 e a excentricidade de 1a ordem d yd 1y N M e Supondo que a seção transversal do pilar não varia ao longo da sua altura temse 1 102 2 280 12 19 25 2 I r r r 3 ey pilar p inf p sup pilar cm3 Rigidez da viga V5 com seção transversal 19 x 50 cm e vão efetivo de 480 cm 197917 12 50 19 12 h b I 3 3 w viga cm4 4123 480 197917 I r ef viga viga cm3 Para o momento de engastamento perfeito da viga V5 no pilar P1 será adotada a carga de 18 kNm conforme Figura 169 480 cm P 4 18 kNm P 1 Figura 169 Esquema estático e carregamento no vão da viga adjacente ao pilar P1 3 456 100 12 84 18 12 q M 2 2 eng kNm 5724 1021 4123 1 102 1021 3 456 M M ksup kinf kNcm Considerando a propagação dos momentos fletores no pilar os momentos fletores de cálculo com n 10 e f 14 na base e no topo são 1 202 2 5724 5724 41 01 M M d base dtopo kNcm UNESP BauruSP Parte II Pilares 166 que é o momento fletor Myd M1dAy M1dBy de modo que a excentricidade de 1a ordem na dir y é 6 60 182 202 1 N M e d yd iy cm Os momentos fletores de 1a ordem nas direções x e y estão mostrados na Figura 170 x y 2541 M1dAx M1dAy 1202 topo base Figura 170 Momentos fletores de 1a ordem kNcm atuantes no pilar P1 d Momento fletor mínimo M1dmín Nd 15 003 h com h em cm Dir x M1dmínx 182 15 003 25 4095 kNcm Dir y M1dmíny 182 15 003 19 3767 kNcm e Esbeltez limite b 1 1 h 125 e 25 com 35 λ1 90 Dir x a excentricidade de 1a ordem e1 é 1396 cm e os momentos fletores de 1a ordem são M1dAx M1dBx 2541 kNcm maiores que o momento fletor mínimo M1dmínx 4095 kNcm o que leva ao cálculo de b 20 541 2 2 541 40 60 M M 40 60 A B b 04 bx 04 80 0 40 25 1251396 25 1 x 35 1x 800 90 ok Dir y a excentricidade de 1a ordem e1 é 660 cm e os momentos fletores de 1a ordem são M1dAy M1dBy 1202 kNcm maiores que o momento fletor mínimo M1dmíny 3767 kNcm o que leva ao cálculo de b UNESP BauruSP Parte II Pilares 167 20 202 1 1 202 40 60 M M 40 60 A B b 04 by 04 73 4 40 19 125 660 25 1 y 35 1y 734 90 ok Desse modo x 389 1x 800 não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção x y 510 1y 734 não são considerados os efeitos locais de 2ª ordem na direção y f Momentos fletores totais e cálculo da armadura Como os momentos fletores de 2a ordem são de baixa intensidade e podem ser desprezados os momentos fletores totais são iguais aos máximos momentos fletores de 1a ordem como indicados na Figura 171105 Dir x Mdtotx M1dAx 2541 kNcm M1dmínx 4095 kNcm ok Dir y Mdtoty M1dAy 1202 kNcm M1dmíny 3767 kNcm ok 1dmínx M 4095 3767 M1dmíny Dir x Dir y e 207 1ymín 1xmín e 225 e 1396 1Ax 2541 1dAx M OU OU M1dAy 1202 1Ay e 660 Figura 171 Momentos fletores kNcm atuantes no pilar P1 nas direções x e y A força normal adimensional é Eq 78 18 0 41 03 475 182 f A N cd c d Os coeficientes adimensionais da Flexão Composta Oblíqua são Eq 55 e Eq 56 x cd c x totx d f A h M 10 0 41 475 03 25 2 541 e y cd c y toty d f A h M 41 475 03 19 1 202 006 x x h d 25 64 018 e y y h d 19 64 024 025 105 Observase que neste pilar a armadura resulta das seções de extremidade topo base onde ocorrem os momentos fletores máximos UNESP BauruSP Parte II Pilares 168 Observase na publicação de Pinheiro 2009 para Flexão Composta Oblíqua que não existe um ábaco que atenda as relações calculadas para dh No entanto considerando o valor 018 como aproximadamente 015 podese escolher o ábaco 10A106 Fica dxhx 015 e dyhy 025 Porém é necessário trocar as notações para adequação ao ábaco 10A Figura 172 e neste caso a armadura também deve ser girada em 90 tal que107 dxhx 025 dyhy 015 e x 006 y 010 Com 018 e interpolando entre 00 e 02 a taxa de armadura é para 00 030 para 02 018 para 018 019 A armadura resulta As yd cd c f A f 4 45 5 43 41 19 475 03 0 cm2 Figura 172 Ábaco 10A de Pinheiro 2009 para Flexão Composta Oblíqua g Detalhamento Armadura mínima Eq 58 c yd d s mín 0 004A f 015 N A 0 63 435 015 182 A mín s cm2 0004 475 190 cm2 As 445 cm2 Asmín 190 cm2 4 125 mm 500 cm2 ver Figura 173 A taxa de armadura s resulta 105 100 475 5 00 A 100 A c s s máx 4 ok 106 Utilizar um ábaco com relação dh menor implica calcular uma armadura um pouco menor que a necessária 107 No caso de ábaco com 4 barras nos vértices da seção o giro da armadura não modifica o arranjo das barras UNESP BauruSP Parte II Pilares 169 O diâmetro t e espaçamento máximo dos estribos Eq 110 e Eq 111 são 13 mm 12 5 4 4 mm 5 t t 5 mm 12 1 25 15cm 12 19cm b cm 20 smáx smáx 15 cm Figura 173 Detalhamento da armadura na seção transversal do pilar P1 REFERÊNCIAS AMERICAN CONCRETE INSTITUTE Building code requirements for structural concrete ACI 318 R95 Farmington Hills 1995 369p AMERICAN CONCRETE INSTITUTE Building Code Requirements for Structural Concrete ACI 31811 and Comentary Reported by ACI Committee 318 2011 503p ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Projeto de estruturas de concreto NBR 6118 Rio de Janeiro ABNT 2023 242p ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS Concreto de cimento Portland Preparo controle recebimento e aceitação Procedimento NBR 12655 ABNT 2015 23p COMITÉ EUROINTERNATIONAL DU BÉTON CEBFIP Model Code 1990 final draft Bulletim DInformation n203 204 e 205 jul 1991 COMITÉ EUROPEO DE NORMALIZACIÓN Proyeto de Estructuras de Hormigon Parte 1 Reglas Generales y Reglas para Edificacion Eurocódigo 2 ENV19921 febrero 1992 FUSCO PB Estruturas de concreto Solicitações normais Rio de Janeiro Ed Guanabara Dois 1981 464p NAWY EG Reinforced concrete A fundamental approach Englewood Cliffs Ed Prentice Hall 2005 5a ed 824p PINHEIRO LM BARALDI LT POREM ME Estruturas de Concreto Ábacos para Flexão Oblíqua São Carlos Departamento de Engenharia de Estruturas USP 2009 108p Disponível em 270524 httpwwwpfebunespbrpbastosconcreto2Abacos Flexao Obliqua Pinheiro PINHEIRO LM Flexão Composta e Instabilidade Notas de Aula São Carlos Departamento de Engenharia de Estruturas Escola de Engenharia de São Carlos USP 1994 SANTOS LM Cálculo de Concreto Armado vl São Paulo Ed LMS 1983 541p SÜSSEKIND JC Curso de concreto v 2 4a ed Porto Alegre Ed Globo 1984 280p VENTURINI WS RODRIGUES RO Dimensionamento de peças retangulares de concreto armado solicitadas à flexão reta São Carlos Departamento de Engenharia de Estruturas USP 1987 133p Disponível em 270524 httpwwwpfebunespbrpbastosconcreto2Abacos Flexao Normal Venturini BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR AMERICAN CONCRETE INSTITUTE ACI 31814 Building Code Requirements for Structural Concrete and Commentary ACI committee 318 2014 520p 26 CARVALHO RC PINHEIRO LM Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado v 2 São Paulo Ed Pini 2009 589p COMITÉ EUROPEO DE NORMALIZACIÓN Eurocode 2 Design of concrete structures Part 11 Part 12 2005 4 125 x h 25 y h 19 hx 25 hy 19 4 125 UNESP BauruSP Parte II Pilares 170 FUSCO PB Técnica de armar as estruturas de concreto São Paulo Ed Pini 2000 382p SANTOS LM Cálculo de concreto armado segundo a nova NB1 e o CEB São Paulo Ed LMS 2a ed v12 1983 UNESP BauruSP Tabelas Anexas 171 TABELAS ANEXAS Tabela A1 Valores de Kc e Ks para o aço CA50 para concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa c 14 γs 115 FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR ARMADURA SIMPLES d x x Kc cm2kN Ks cm2kN Dom C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA50 001 1034 827 689 591 517 478 445 0023 2 002 519 415 346 296 259 240 224 0023 003 347 278 232 198 174 161 150 0023 004 262 209 174 149 131 121 113 0023 005 210 168 140 120 105 97 91 0023 006 176 141 117 100 88 81 76 0024 007 151 121 101 86 76 70 65 0024 008 133 106 89 76 66 61 57 0024 009 119 95 79 68 59 55 51 0024 010 107 86 71 61 54 50 46 0024 011 98 78 65 56 49 45 42 0024 012 90 72 60 51 45 42 39 0024 013 84 67 56 48 42 39 36 0024 014 78 62 52 45 39 36 34 0024 015 73 58 49 42 37 34 31 0024 016 69 55 46 39 34 32 30 0025 017 65 52 43 37 32 30 28 0025 018 62 49 41 35 31 28 27 0025 019 59 47 39 34 29 27 25 0025 020 56 45 37 32 28 26 24 0025 021 54 43 36 31 27 25 23 0025 022 51 41 34 29 26 24 22 0025 023 49 39 33 28 25 23 21 0025 024 47 38 32 27 24 22 20 0025 025 46 37 31 26 23 21 20 0026 026 44 35 29 25 22 20 19 0026 027 43 34 28 24 21 20 18 0026 3 028 41 33 28 24 21 19 18 0026 029 40 32 27 23 20 19 17 0026 030 39 31 26 22 19 18 17 0026 031 38 30 25 22 19 18 16 0026 032 37 30 25 21 18 17 16 0026 033 36 29 24 21 18 17 15 0026 034 35 28 23 20 18 16 15 0027 035 34 27 23 20 17 16 15 0027 036 33 27 22 19 17 15 14 0027 037 33 26 22 19 16 15 14 0027 038 32 26 21 18 16 15 14 0027 040 31 25 20 18 15 14 13 0027 042 29 24 20 17 15 14 13 0028 044 28 23 19 16 14 13 12 0028 045 28 22 19 16 14 13 12 0028 046 27 22 18 16 14 13 12 0028 048 27 21 18 15 13 12 11 0028 050 26 21 17 15 13 12 11 0029 052 25 20 17 14 12 12 11 0029 054 24 19 16 14 12 11 10 0029 056 24 19 16 14 12 11 10 0030 058 23 18 15 13 12 11 10 0030 060 23 18 15 13 11 10 10 0030 062 22 18 15 13 11 10 10 0031 063 22 17 15 12 11 10 09 0031 UNESP BauruSP Tabelas Anexas 172 Tabela A2 Valores de Kc e Ks para os aços CA25 CA50 e CA60 para concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa c 14 γs 115 FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR ARMADURA SIMPLES d x x Kc cm2kN Ks cm2kN Dom C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA25 CA50 CA60 001 1034 827 689 591 517 478 445 0046 0023 0019 2 002 519 415 346 296 259 240 224 0046 0023 0019 003 347 278 232 198 174 161 150 0047 0023 0019 004 262 209 174 149 131 121 113 0047 0023 0019 005 210 168 140 120 105 97 91 0047 0023 0020 006 176 141 117 100 88 81 76 0047 0024 0020 007 151 121 101 86 76 70 65 0047 0024 0020 008 133 106 89 76 66 61 57 0048 0024 0020 009 119 95 79 68 59 55 51 0048 0024 0020 010 107 86 71 61 54 50 46 0048 0024 0020 012 90 72 60 51 45 42 39 0048 0024 0020 013 84 67 56 48 42 39 36 0049 0024 0020 014 78 62 52 45 39 36 34 0049 0024 0020 015 73 58 49 42 37 34 31 0049 0024 0020 016 69 55 46 39 34 32 30 0049 0025 0020 017 65 52 43 37 32 30 28 0049 0025 0021 018 62 49 41 35 31 28 27 0050 0025 0021 019 59 47 39 34 29 27 25 0050 0025 0021 020 56 45 37 32 28 26 24 0050 0025 0021 021 54 43 36 31 27 25 23 0050 0025 0021 022 51 41 34 29 26 24 22 0050 0025 0021 023 49 39 33 28 25 23 21 0051 0025 0021 024 47 38 32 27 24 22 20 0051 0025 0021 025 46 37 31 26 23 21 20 0051 0026 0021 026 44 35 29 25 22 20 19 0051 0026 0021 027 43 34 28 24 21 20 18 0052 0026 0021 3 028 41 33 28 24 21 19 18 0052 0026 0022 029 40 32 27 23 20 19 17 0052 0026 0022 030 39 31 26 22 19 18 17 0052 0026 0022 031 38 30 25 22 19 18 16 0053 0026 0022 032 37 30 25 21 18 17 16 0053 0026 0022 033 36 29 24 21 18 17 15 0053 0026 0022 034 35 28 23 20 18 16 15 0053 0027 0022 035 34 27 23 20 17 16 15 0053 0027 0022 036 33 27 22 19 17 15 14 0054 0027 0022 037 33 26 22 19 16 15 14 0054 0027 0022 038 32 26 21 18 16 15 14 0054 0027 0023 040 31 25 20 18 15 14 13 0055 0027 0023 042 29 24 20 17 15 14 13 0055 0028 0023 044 28 23 19 16 14 13 12 0056 0028 0023 045 28 22 19 16 14 13 12 0056 0028 0023 046 27 22 18 16 14 13 12 0056 0028 0023 048 27 21 18 15 13 12 11 0057 0028 0024 050 26 21 17 15 13 12 11 0058 0029 0024 052 25 20 17 14 12 12 11 0058 0029 0024 054 24 19 16 14 12 11 10 0059 0029 0024 056 24 19 16 14 12 11 10 0059 0030 0025 058 23 18 15 13 12 11 10 0060 0030 0025 059 23 18 15 13 11 11 10 0060 0030 0025 060 23 18 15 13 11 10 10 0061 0030 0025 4 062 22 18 15 13 11 10 10 0061 0031 0025 063 22 17 15 12 11 10 09 0061 0031 0026 064 22 17 14 12 11 10 09 0062 0031 0026 066 21 17 14 12 11 10 09 0063 0031 0026 070 20 16 14 12 10 09 09 0064 0032 0027 074 20 16 13 11 10 09 09 0065 0033 0027 077 19 15 13 11 10 09 08 0066 0033 0028 UNESP BauruSP Tabelas Anexas 173 Tabela A3 Valores de cálculo da tensão sd e da deformação sd na armadura comprimida e coeficiente Ks para a linha neutra fixada em 045d para concretos do Grupo I de resistência fck 50 MPa γs 115 dd Deformação sd CA25 CA50 CA60 sd MPa Ks 1sd 1kNcm2 CA25 CA50 CA60 CA25 CA50 CA60 005 311 2174 4350 5217 0046 0023 0019 010 272 5217 015 233 4909 0020 020 194 4084 4091 0024 0024 025 156 3267 3273 0031 0031 030 117 2450 2454 0041 0041 43 43 cd 35 sd x 045d d sd d UNESP BauruSP Anexos 174 ANEXOS 16 ANEXO A FLEXÃO COMPOSTA NORMAL Como opção às formulações para a Flexão Composta Normal apresentadas no item 3 apresentase a seguir equações com uma abordagem um pouco diferente como opção àquelas A metodologia a seguir toma como base àquelas de Fusco 1981 161 Tração Simples e FlexoTração com Pequena Excentricidade Na tração simples e na tração com pequena excentricidade a seção transversal encontrase inteiramente tracionada e fissurada sendo o EstadoLimite Último ELU caracterizado pela deformação plástica de 10 na armadura mais tracionada As Figura 174 As duas armaduras são tracionadas As e As Figura 174 FCN em tirante de seção retangular com duas armaduras tracionadas no domínio 1 No domínio 1 a LN varia no intervalo x 0 e a armadura As ainda estará tracionada com a posição da linha neutra LN até x d subdomínio 2a ou seja no cobrimento da armadura As A tensão na armadura mais tracionada As é sd fyd Entre as infinitas soluções a solução econômica é fazer s yd sd fyd a Equações de equilíbrio Conforme as forças normais mostradas na Figura 174 temse Nd Rs Rs com Rs As fyd e Rs As sd Nd As fyd As sd Eq 116 Fazendo somatório de momentos fletores em Rs temse Nd es Rs d d s s d e d R d N Eq 117 d CG 0 2 x 0 d d h As d d Rs h2 es s s 10 As As LN Nd e Rs As b fyd sd Domínio 1 fyd UNESP BauruSP Anexos 175 E fazendo somatório de momentos fletores em Rs Nd d d es Rs d d s s d e d d d d R N Eq 118 b Cálculo de Verificação O valor da força normal de tração Nd é o menor valor de s yd s 2 d s yd s 1 d d e d d d d A f N e d d A f N N Eq 119 com 0 es d d2 Ocorrerá Nd1 Nd2 quando a posição x da LN for grande o suficiente para que s yd portanto sd fyd c Cálculo de Dimensionamento Pode ser imposta a condição de sd sd fyd ficando como incógnitas As e As na Eq 117 e Eq 118 tal que d d f N e A yd s d s Eq 120 d d f e d d N A yd s d s Eq 121 o que implica s yd domínio 1 e reta b e x dyd 10dyd 10 d Equação de Compatibilidade Com semelhança de triângulos é definida a equação de compatibilidade de deformações x d x d s1 2 s x d x d s1 s2 Eq 122 1611 Exemplo 1 Para o Exemplo 1 apresentado no item 311 calcular as armaduras As e As para a seção retangular submetida à flexotração com força normal Nk 1000 kN e momento fletor Mk 10000 kNcm Considerar concreto C35 aço CA50 fyd 435 kNcm2 seção retangular b 25 cm e h 80 cm d 76 cm d 4 cm f c 14 Figura 175 UNESP BauruSP Anexos 176 Figura 175 Flexotração com pequena excentricidade em seção retangular Resolução A excentricidade da força normal em relação ao CG da seção transversal é e Mk Nk 100001000 100 cm E em relação à armadura As é es h2 d e 40 4 10 460 cm O problema é de dimensionamento de tirante na flexotração com pequena excentricidade com duas armaduras tracionadas LN no intervalo x d e infinitas soluções caso não se fixe a posição x da LN A solução econômica é aplicar na armadura menos tracionada também a máxima tensão que o aço pode resistir sd fyd 435 MPa ou seja s yd Figura 176 Figura 176 Solução numérica adotada Com a Eq 120 e Eq 121 e sd sd fyd temse d d f N e A yd s d s 2056 4 76 5 43 1000 46 41 cm2 d d f e d d N A yd s d s 62 11 4 76 5 43 46 4 1000 76 41 cm2 Posição da LN Eq 122 com s 10 e s yd 207 x d x d s s x 76 10 x 4 07 2 x 1479 cm Figura 176 As As h 80 cm b 25 d 76 d 4 As As 40 Nk 1000 kN e 10 cm 40 d 4 40 40 es 46 d 4 s 10 s yd 207 930 cm 2 As As LN Nd e 10 x 1479 As 2056 cm2 As 1162 cm 2 d 76 UNESP BauruSP Anexos 177 Comparando com o valor absoluto de x para a LN 1479 cm valores menores proporcionam armaduras As maiores que a calculada pois resultam deformações s yd e valores maiores para x não alteram As pois resultam sempre tensões sd fyd 162 FlexoCompressão e FlexoTração com Grande Excentricidade Na flexão composta com grande excentricidade o esforço predominante é o momento fletor M Os domínios que ocorrem são o 2 3 4 e 4a ver Figura 7 e inclui a flexão simples quando a força normal não existe N 0 Como nos domínios 2 3 e 4108 a LN encontrase dentro da seção transversal uma armadura é tracionada As e a outra é comprimida As Figura 177 Os casos de solicitação são a flexotração e a flexo compressão com grande excentricidade Exemplos de elementos são tirante pilar viga e laje A LN encontrase no intervalo 0 x h O ELU é caracterizado pela deformação de alongamento no aço de 10 no domínio 2 e pela deformação de encurtamento no concreto de 35 nos domínios 3 4 e 4a As equações de equilíbrio são divididas conforme a força normal se de compressão ou de tração Figura 177 Flexotração Nd Rs Rc Rs Nd es Rc d 04x Rs d d Flexocompressão Nd Rc Rs Rs Nd es Rc d 04x Rs d d Figura 177 Equilíbrio de forças normais na flexotração e flexocompressão com grande excentricidade As equações contidas na Figura 177 podem se tornar idênticas caso a força Nd para a flexotração seja colocada com sinal negativo Nd 0 Tomando as equações da flexocompressão temse Nd Rc Rs Rs Eq 123 Nd es Rc d 04x Rs d d Eq 124 com Nd 0 para compressão e Nd 0 para tração109 e o momento fletor Md Nd es tomado no CG da armadura tracionada As 110 As forças resultantes são Rc 068b x fcd com o diagrama retangular simplificado Eq 125 108 No entanto no domínio 4a ambas as armaduras estarão comprimidas 109 Em Fusco 1981 encontrase esta formulação e fazendo Nd 0 e Nd es Md temse a flexão simples 110 Fusco 1981 p49 também apresenta a dedução de equações adimensionais com coeficientes tabelados que auxiliam no cálculo de seções submetidas à flexão composta com grande excentricidade Rs Rc d d Rs es As As Nd tração 04x Rs Rc d d Rs es As As Nd compressão 04x UNESP BauruSP Anexos 178 Rs As sd Rs As sd Eq 126 As equações de compatibilidade de deformações para os domínios 2 3 4 e 4a são x d x x d c s s Eq 127 x c x s x s d d 1 Eq 128 com s 10 para o domínio 2 c 35 para os domínios 3 4 e 4a e com s 0 negativo quando a armadura As for comprimida somente domínio 4a 1621 Exemplo 1 Para o Exemplo 1 do item 324 calcular as armaduras para a seção retangular submetida à flexo compressão com força normal Nd 2000 kN e momento fletor Md 100000 kNcm São conhecidos concreto C30 aço CA50 fyd 435 kNcm2 seção retangular b 25 cm e h 80 cm d 76 cm d 4 cm f c 14 Figura 178 Figura 178 Flexocompressão com grande excentricidade em seção retangular nos domínios 3 e 4 Resolução A excentricidade da força normal é e Md Nd 1000002000 500 cm grande relativamente à altura da peça problema de flexocompressão com grande excentricidade O problema admite infinitas soluções em função da posição x da LN O domínio 3 é o econômico Fazendo no limite entre os domínios 3 e 4 temse x x3lim c 35 s yd 207 e sd fyd 435 kNcm2 Portanto x3lim 063d 063 76 4788 cm A deformação na armadura comprimida com c 35 é Eq 127 x d x c s 88 47 53 4 88 47 s s 321 s 321 yd 207 de modo que também sd fyd 435 kNcm2 A excentricidade de Nd com a armadura tracionada é d 4 As As h 80 cm b 25 d 76 d 4 es 86 CG x LN s s As As Rc Nd e 50 Rs Rs 085fcd 08x c 35 UNESP BauruSP Anexos 179 es e h2 d 50 40 4 86 cm As forças resultantes são Eq 124 Figura 178 Nd Rc Rs Rs Nd es Rc d 04x Rs d d Substituindo as variáveis pelos valores numéricos 4 76 435 A 4788 40 14 76 30 068 25 4788 00086 0 2 A 435 14 A 435 30 068 25 4788 2000 s s s com Nd 0 para compressão e Nd 0 para tração 2326 A 5 88 A A s s s armadura comprimida 2326 cm A a armadura tracionad 1738 cm A 2 s 2 s Outras diversas soluções também econômicas são possíveis com diferentes valores para x no domínio 3 e que proporcionam outros pares de armadura As e As 1622 Exemplo 2 Calcular as armaduras da seção do Exemplo 4 item 328 sendo força normal de compressão Nk 500 kN momento fletor Mk 40000 kNcm e 80 cm C25 CA50 f c 14 Figura 179 Figura 179 Flexocompressão com grande excentricidade em seção retangular nos domínios 3 e 4 Resolução Com a excentricidade da força normal e 800 cm o problema é de flexocompressão com grande excentricidade O problema admite infinitas soluções em função da posição x da LN Será adotada a mesma solução feita no Exemplo 4 no domínio 3 com x 400 cm valor um pouco inferior a x3lim 063d 063 65 4095 cm As deformações nas armaduras tracionada e comprimida com c 35 são Eq 127 d 5 As As h 70 cm b 25 d 65 d 5 h2 d CG es 110 cm x LN s s As As Rc Nd e 80 cm Rs Rs 085fcd 08x c 35 UNESP BauruSP Anexos 180 x x d c s 0 40 53 40 0 65 s s 219 x d x c s 0 40 53 5 0 40 s s 306 como s 219 e s 306 são maiores que yd 207 as tensões são sd sd fyd 435 kNcm2 A excentricidade de Nd com a armadura tracionada é es e h2 d 80 35 5 1100 cm As forças resultantes são Eq 124 Nd Rc Rs Rs Nd es Rc d 04x Rs d d Substituindo as variáveis pelos valores numéricos 5 65 435 A 40 0 40 14 65 25 068 25 400 5001100 41 A 435 14 A 435 25 500 068 25 400 14 s s s 6 70 A 1182 A A s s s armadura comprimida 6 70 cm A a armadura tracionad 1852 cm A 2 s 2 s Resultados coincidentes àqueles calculados no Exemplo 4 163 Compressão Simples e FlexoCompressão com Pequena Excentricidade O esforço predominante é a força normal de compressão Nd e devido à excentricidade temse a flexo compressão com pequena excentricidade Nos domínios 4a e 5 e na reta b a seção transversal encontrase inteiramente comprimida bem como as armaduras As e As Figura 180 Figura 180 FCN em seção retangular com duas armaduras comprimidas No domínio 5 a linha neutra LN encontrase no intervalo entre h x caracterizado pela deformação de 20 a 3h7 O problema é resolvido de modo geral segundo duas soluções armadura As As h b d d d C d 04x d 08x 2 d h2 d CG 3h7 x LN s s As As Rc Nd e Rs Rs 085fcd 2 c 35 es UNESP BauruSP Anexos 181 unilateral As 0 com 08x h ou com duas armaduras As e As na reta b com 08x h c s s 2 e LN no As equações de equilíbrio consideram as forças mostradas na Figura 180 com somatório de momentos fletores tomados na linha de ação da armadura mais comprimida As com diagrama retangular simplificado de tensões no concreto Nd Rc Rs Rs Eq 129 Msd Nd es Rc 04x d Rs d d Eq 130 No domínio 5 as equações de compatibilidade são 7 h 3 x 2 d x d x x s s c Eq 131 7d h 3 2 d d 1 x x s x s Eq 132 1631 Definição das Armaduras Considerando a máxima força relativa ao concreto comprimido Rc que pode ocorrer na seção e fazendo o equilíbro de momentos fletores na armadura comprimida As fica Figura 181 Md Nd es Rc h2 d Rs d d com Rc 085fcd b h Tomando As 0 definese a excentricidade de Nd em relação à linha de ação de As d 2 h N b h 0 85f e d cd s Figura 181 Definição da excentricidade es Com a excentricidade es a força normal Nd é absorvida apenas pela área de concreto comprimido e pela armadura mais comprimida As sem auxílio da armadura menos comprimida As de modo que es delimita a necessidade ou não da armadura menos comprimida Fazendo es como um valor limite temse es eslim armadura unilateral somente As es eslim armadura dupla As e As Eq 133 com d Rs d h2 es 08x h CG As As Rc Nd e 085fcd UNESP BauruSP Anexos 182 es h2 e d Eq 134 d 2 h N b h 0 85f e d cd s lim Eq 135 1632 Armadura Unilateral Com As 0 a Eq 136 e a Eq 137 tornamse Figura 182 Nd Rc Rs Eq 136 Msd Nd es Rc 04x d Eq 137 Figura 182 Armadura unilateral 1633 Compressão Simples Neste caso toda a altura h da seção está submetida a tensões de compressão conforme o diagrama retangular simplificado Figura 183 A resultante no concreto comprimido está aplicada em h2 e tem o valor Rc 085b h fcd A força normal e o momento fletor têm os valores Nd Rc Rs Rs Nd 085b h fcd As sd As sd Eq 138 Msd Nd es Rc 04x d Rs d d Msd Nd es 085b h fcd 04x d As sd d d Eq 139 Na reta b temse c s s 2 com a tensão correspondente na armadura de 420 MPa para o aço CA50 As h b d es 085fcd 04x d 08x x LN s As Rc Nd e Rs c UNESP BauruSP Anexos 183 Figura 183 Duas armaduras comprimidas na Compressão Simples reta b d As As h b d d CG LN s 20 08x x s 20 As As Rc Nd e Rs 085fcd c 20 Rs es