Eletromagnetismo I - Mônica Ferreira e Alexander Cascardo Carneiro

Eletromagnetismo I 1 Técnicas de Estudo e Pesquisa Mônica Ferreira Eletromagnetismo I Alexander Cascardo Carneiro 1ª edição Eletromagnetismo I Alexander Cascardo Carneiro Eletromagnetismo I 2 DIREÇÃO SUPERIOR Chanceler Joaquim de Oliveira Reitora Marlene Salgado de Oliveira Presidente da Mantenedora Wellington Salgado de Oliveira PróReitor de Planejamento e Finanças Wellington Salgado de Oliveira PróReitor de Organização e Desenvolvimento Jefferson Salgado de Oliveira PróReitor Administrativo Wallace Salgado de Oliveira PróReitora Acadêmica Jaina dos Santos Mello Ferreira PróReitor de Extensão Manuel de Souza Esteves DEPARTAMENTO DE ENSINO A DISTÂNCIA Gerência Nacional do EAD Bruno Mello Ferreira Gestor Acadêmico Diogo Pereira da Silva FICHA TÉCNICA Texto Revisão Ortográfica Rafael Dias de Carvalho Moraes Projeto Gráfico e Editoração Antonia Machado Eduardo Bordoni Fabrício Ramos e Victor Narciso Supervisão de Materiais Instrucionais Antonia Machado Ilustração Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos Capa Eduardo Bordoni e Fabrício Ramos COORDENAÇÃO GERAL Departamento de Ensino a Distância Rua Marechal Deodoro 217 Centro Niterói RJ CEP 24020420 wwwuniversoedubr Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universo Campus Niterói Bibliotecária ELIZABETH FRANCO MARTINS CRB 74990 Informamos que é de única e exclusiva responsabilidade do autor a originalidade desta obra não se responsabilizando a ASOEC pelo conteúdo do texto formulado Departamento de Ensino a Distância Universidade Salgado de Oliveira Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida arquivada ou transmitida de nenhuma forma ou por nenhum meio sem permissão expressa e por escrito da Associação Salgado de Oliveira de Educação e Cultura mantenedora da Universidade Salgado de Oliveira UNIVERSO Eletromagnetismo I 3 Palavra da Reitora Acompanhando as necessidades de um mundo cada vez mais complexo exigente e necessitado de aprendizagem contínua a Universidade Salgado de Oliveira UNIVERSO apresenta a UNIVERSOEAD que reúne os diferentes segmentos do ensino a distância na universidade Nosso programa foi desenvolvido segundo as diretrizes do MEC e baseado em experiências do gênero bemsucedidas mundialmente São inúmeras as vantagens de se estudar a distância e somente por meio dessa modalidade de ensino são sanadas as dificuldades de tempo e espaço presentes nos dias de hoje O aluno tem a possibilidade de administrar seu próprio tempo e gerenciar seu estudo de acordo com sua disponibilidade tornandose responsável pela própria aprendizagem O ensino a distância complementa os estudos presenciais à medida que permite que alunos e professores fisicamente distanciados possam estar a todo o momento ligados por ferramentas de interação presentes na Internet através de nossa plataforma Além disso nosso material didático foi desenvolvido por professores especializados nessa modalidade de ensino em que a clareza e objetividade são fundamentais para a perfeita compreensão dos conteúdos A UNIVERSO tem uma história de sucesso no que diz respeito à educação a distância Nossa experiência nos remete ao final da década de 80 com o bemsucedido projeto Novo Saber Hoje oferece uma estrutura em constante processo de atualização ampliando as possibilidades de acesso a cursos de atualização graduação ou pós graduação Reafirmando seu compromisso com a excelência no ensino e compartilhando as novas tendências em educação a UNIVERSO convida seu alunado a conhecer o programa e usufruir das vantagens que o estudar a distância proporciona Seja bemvindo à UNIVERSOEAD Professora Marlene Salgado de Oliveira Reitora Eletromagnetismo I 5 Sumário Apresentação da disciplina 7 Plano da disciplina 9 Unidade 1 Revisão de Álgebra Vetorial 13 Unidade 2 Cálculo Vetorial 67 Unidade 3 Campo Eletrostático 114 Unidade 4 Densidade de Fluxo Elétrico e Condições de Contorno 178 Unidade 5 Campo Magnetostático e Lei de Ampére 220 Considerações finais 259 Conhecendo o autor 261 Referências 263 Anexos 265 Eletromagnetismo I 7 Apresentação da Disciplina Caro Leitor A Teoria Eletromagnética é uma disciplina preocupada com o estudo das cargas elétricas em repouso ou em movimento as quais produzem correntes e campos elétricos e magnéticos Portanto ela é fundamental para o estudo da Física e da Engenharia Elétrica sendo indispensável para a compreensão projeto e operação de diversos sistemas práticos Algumas das aplicações da Teoria Eletromagnética incluem antenas circuitos de microondas rádio frequência comunicações óticas geociência radar eletrônica quântica circuitos de estado sólido conversão eletromecânica e computadores O estudo do Eletromagnetismo inclui conceitos tanto teóricos quanto aplicados Os conceitos teóricos são descritos por um conjunto de leis básicas formuladas através de experimentos conduzidos durante os últimos séculos em especial o século XIX Alguns dos principais cientistas são Faraday Ampere Gauss Lenz Coulomb e Volta A combinação dessas leis resulta em um conjunto de equações vetoriais propostas por Maxwell conhecidas como Equações de Maxwell Os conceitos aplicados de Eletromagnetismo são formulados por meio da aplicação dos conceitos teóricos a projetos e operações de sistemas práticos Nesse livro estudaremos os conceitos teóricos de Eletromagnetismo concluindo com a definição das Equações de Maxwell Além disso resolveremos uma série de problemas teóricos e práticos de Eletromagnetismo os quais podem ser solucionados por meio da Teoria Eletromagnética Seu Professor Alexander Cascardo Carneiro Eletromagnetismo I 9 Plano da Disciplina Prezado Vamos iniciar os nossos estudos sobre a disciplina de Eletromagnetismo a partir dos conceitos fundamentais de álgebra e do cálculo vetorial Em seguida estudaremos as principais características e parâmetros de natureza elétrica essenciais para entendermos os campos Eletrostáticos e Magnetostáticos O conteúdo da disciplina fica dividido nas seguintes seis Unidades Unidade 1 Revisão de Álgebra Vetorial Nesta Unidade inicial iremos começar a estudar os conceitos matemáticos da álgebra vetorial que são fundamentais ao estudo do Eletromagnetismo Objetivos da unidade Conhecer o histórico do Eletromagnetismo e as principais grandezas físicas e unidades de medidas Compreender os conceitos e operações algébricas envolvendo vetores como somas subtrações e produtos escalar e vetorial Entender os três principais sistemas de coordenadas ortogonais sistema de coordenadas retangulares cilíndricas e esféricas e as operações entre eles Eletromagnetismo I 10 Unidade 2 Cálculo Vetorial Nesta Unidade aprenderemos os fundamentos do Cálculo Vetorial que são a base matemática para o Eletromagnetismo Objetivos da unidade Conhecer os elementos diferenciais de volume área e comprimento Entender os operadores vetoriais como o gradiente o divergente e o rotacional Ser capaz de desenvolver sucessivas aplicações dos operadores vetoriais Unidade 3 Campo Eletrostático Nesta Unidade estudaremos os conceitos básicos sobre os campos Eletrostáticos incluindo o campo elétrico a força elétrica e o potencial elétrico Vamos aprender as expressões que relacionam esses parâmetros as quais são aplicações de álgebra e cálculo vetorial que vimos nas Unidades anteriores Objetivos da unidade Aprender os conceitos fundamentais sobre carga elétrica força elétrica e campo elétrico e suas relações Demonstrar a obtenção do campo elétrico através da Lei do Fluxo de Gauss Apresentar os modelos fórmulas e expressões para o potencial elétrico energia potencial e diferença de potencial Eletromagnetismo I 11 Unidade 4 Densidade de Fluxo Elétrico e Condições de Contorno Nesta Unidade vamos estudar os conceitos relacionados às propriedades dos materiais elétricos incluindo a definição de condutividade e permissividade Em seguida deduziremos a equação de Laplace a ser aplicada para diversas condições de contorno para determinar a capacitância de capacitores Objetivos da unidade Aprender sobre as principais propriedades dos materiais elétricos incluindo suas classificações fenômeno de polarização e grandezas como condutividade e permissividade Estudar as diversas condições de fronteira entre materiais condutores e dielétricos Conhecer as equações de Poisson e Laplace para a dedução das condições de contorno em problemas de Eletrostática Unidade 5 Campo Magnetostático e Lei de Ampére Nesta última Unidade de Eletromagnetismo I estudaremos os principais conceitos relacionados aos campos magnetostáticos incluindo as Leis de BiotSvart e a Lei de Ampére Encerraremos o aprendizado sobre a Teoria Eletromagnética considerado o caso estacionário sem variação dos campos em relação ao tempo Objetivos da unidade Estudar as propriedades magnéticas dos materiais como a permeabilidade e sua relação com as grandezas magnéticas Entender a Lei de BiotSavart para a densidade de fluxo magnético a partir de uma corrente elétrica percorrendo um material condutor Conhecer a Lei de Ampére e sua aplicação em diferentes configurações de condutores percorridos por corrente Eletromagnetismo I 13 Revisão de Álgebra Vetorial 1 1 Revisão de Álgebra Vetorial Eletromagnetismo I 14 Nesta Unidade inicial iremos começar a estudar os conceitos matemáticos da álgebra vetorial que são fundamentais ao estudo do Eletromagnetismo Objetivos da unidade Conhecer o histórico do Eletromagnetismo e as principais grandezas físicas e unidades de medidas Compreender os conceitos e operações algébricas envolvendo vetores como somas subtrações e produtos escalar e vetorial Entender os três principais sistemas de coordenadas ortogonais sistema de coordenadas retangulares cilíndricas e esféricas e as operações entre eles Plano da unidade Introdução ao Eletromagnetismo Álgebra Vetorial Bons estudos Eletromagnetismo I 15 Introdução ao Eletromagnetismo A Linha do Tempo para o Eletromagnetismo Em geral a história do Eletromagnetismo pode ser divida em duas eras que se sobrepõem a Era Clássica e a Era Moderna 1 Na Era Clássica foram descobertas e formuladas as leis fundamentais da Eletricidade e do Magnetismo 2 A Era Moderna iniciada a partir do século passado produziu resultados importantes para essas leis fundamentais introduzindo uma ampla gama de aplicações de Engenharia Elétrica A Figura a seguir apresenta os principais eventos históricos do Eletromagnetismo ocorridos na Era Clássica Fonte WENTWORTH 2009 Eletromagnetismo I 16 Como pode ser observado na Figura o primeiro relato do comportamento elétrico e magnético foi descrito por Thales de Mileto em 600 a C Thales de Mileto descreveu como a fricção do âmbar fazia o material desenvolver uma força que atraia objetos como plumas Em seu experimento Thales de Mileto mostrou como o âmbar ao ser friccionado com pele de gato pode atrair penas que hoje sabemos ser explicado pela Eletricidade Estática Mas foi só por volta de 1600 que o termo elétrico surgiu pela primeira vez originada da palavra grega elektron que significa âmbar em um tratado sobre força elétrica gerada por fricção de autoria do físico da rainha Elizabeth I William Gilbert Em seu experimento Gilbert observou que a agulha da bússola se posiciona na direção nortesul pois a Terra se comporta como um grande ímã Em 1752 Benjamin Franklin inventou o pararaios e demonstrou que o relâmpago é um fenômeno elétrico uma forma de eletricidade Todo o conhecimento científico do século XVIII sobre Eletricidade foi integrado nos trabalhos de Charles Augustin de Coulomb que formulou as equações matemáticas sobre a força elétrica entre duas cargas em termos de intensidade magnitude e polaridade direção em função da distância entre elas O estudo científico e qualitativo dos fenômenos elétricos e magnéticos ocorreu durante os séculos XVII e XVIII nas obras dos seguintes autores Gilbert 1600 Guericke 1660 Dufay 1733 Franklin 1752 Galvani 1771 Cavendish 1775 Coulomb 1785 e Volta 1800 As forças entre cargas elétricas estacionárias que não variam no tempo puderam ser explicadas graças a Lei de Coulomb A partir daí os campos eletrostáticos e magnetostáticos campos que não variam com o tempo puderam ser formulados e modelados matematicamente A partir da segunda metade do século XVIII em especial a partir do início do século XIX tivemos um grande progresso na compreensão do fenômeno eletromagnético Em torno de 1800 Alexandre Volta inventou a célula fotovoltaica pilha ou bateria elétrica permitindo que os experimentos realizados tivessem correntes controladas Eletromagnetismo I 17 Em 1819 Hans Christian Oersted descobriu que a corrente elétrica produz magnetismo campo magnético Em um experimento Oersted mostrou que a corrente elétrica em um fio faz uma agulha de uma bússola se orientar de forma perpendicular ao fio evidenciando a relação entre eletricidade e magnetismo No ano seguinte André Marie Ampère demonstrou que as correntes elétricas que circulam em um mesmo sentido fazem os fios se atraírem enquanto as correntes elétricas em sentidos contrários fazem os fios se repelirem No ano de 1826 Geog Simon Ohm publica a conhecida Lei de Ohm que relaciona o potencial elétrico à corrente elétrica e à resistência elétrica Em 1831 Michael Faraday demonstra que um campo magnético variante no tempo produz campo elétrico induzir uma força eletromotriz Além disso Faraday construiu o primeiro gerador elétrico que converte energia mecânica em energia elétrica o gerador elétrico tem a função contrária do motor elétrico este converte a energia elétrica em mecânica e foi proposto no mesmo ano por Joseph Henry As descobertas desse período em especial a de Oersted de que corrente elétrica cria campo magnético e a de Faraday de que a variação do campo magnético com o tempo cria campo elétrico culminaram na unificação da Eletricidade e do Magnetismo Eletromagnetismo em quatro equações por James Clerck Maxwell Essas equações são hoje conhecidas como equações de Maxwell sendo o seu desenvolvimento e entendimento o principal objetivo desse livro As equações de Maxwell consistem em um conjunto de fórmulas e fundamentos matemáticos para análise de campos e ondas eletromagnéticas A partir de 1820 foram formulados e modelados matematicamente as relações entre campos elétrico e magnético e do comportamento de campos variáveis no tempo presentes nas obras dos seguintes autores Oersted 1819 Ampère 1820 Faraday 1831 Henry 1831 e Maxwell 1863 Mais tarde em 1887 Hertz verificou experimentalmente a propagação de ondas eletromagnéticas que foram previstas teoricamente pelas Equações de Maxwell As equações de Maxwell representam os fundamentos da Teoria Eletromagnética representando o término da chamada Era Clássica do Eletromagnetismo Uma das Eletromagnetismo I 18 primeiras aplicações práticas da Teoria Eletromagnética foi apresentada em 1901 por Guglielmo Marconi que transmitiu e recebeu ondas eletromagnéticas ondas de rádio através do Oceano Atlântico A partir daí entramos na Era Moderna do Eletromagnetismo na qual começaram a ser desenvolvidas importantes aplicações da Teoria Eletromagnética como a propagação de ondas eletromagnéticas através de linhas de transmissão guias de ondas fibras óticas etc Algumas das aplicações mais atuais do Eletromagnetismo incluem diodos transistores circuitos integrados lasers fornos de microondas etc desempenhando um papel fundamental tanto nos projetos quanto nas operações de Engenharia Elétrica Grandezas Unidades e Prefixos Antes de entrarmos na revisão sobre álgebra vetorial é importante fazermos uma pequena revisão sobre as grandezas as unidades os prefixos e a notação científica O Sistema de Unidades Internacional SI apresenta o padrão para expressar as unidades das grandezas físicas Por exemplo o comprimento é uma grandeza enquanto o metro m é a sua unidade no SI da mesma forma o tempo é uma grandeza e o segundo s é a sua unidade no SI A Tabela 1 apresenta as unidades fundamentais ou unidades básicas no SI Tabela 1 Unidades fundamentais ou unidades básicas no SI Fonte NAHVIDEKHORDI e EDMINISTER 2013 Outros exemplos de grandezas básicas que não estão presentes na Tabela 1 são temperatura em kelvin K a intensidade luminosa em candelas cd e a quantidade de uma substância em mols mol Não iremos abordálas uma vez que não temos interesse nelas Eletromagnetismo I 19 As unidades para todas as demais grandezas são derivadas dessas quatro unidades fundamentais Por exemplo a unidade de carga elétrica é obtida a partir da corrente e do tempo um coulomb C é a quantidade de carga elétrica transportada em um segundo s por uma corrente de intensidade igual a um ampère A ou seja 1 C 1 A x 1 s Algumas das grandezas e unidades derivadas das grandezas básicas que são importantes para o nosso estudo estão presentes na Tabela 2 Tabela 2 Unidades adicionais no SI derivadas das unidades básicas Fonte NAHVIDEKHORDI e EDMINISTER 2013 Para representarmos múltiplos ou submúltiplos das unidades é comum utilizarmos os prefixos os quais são expressos em múltiplos de 103 A Tabela 3 apresenta os múltiplos e submúltiplos decimais das unidades do SI Eletromagnetismo I 20 Tabela 3 Múltiplos e submúltiplos decimais das unidades do SI Fonte NAHVIDEKHORDI e EDMINISTER 2013 Exemplos 1 50 mA 50 x 103 A 005 A 2 215 μV 215 x 106 V 0000215 V 3 44 km 44 x 103 m 4400 m 4 078 MΩ 078 x 106 Ω 780000 Ω Problema 1 Sabendo que a tensão elétrica pode ser obtida pela equação V i x R e que i 48 μA e R 005 GΩ calcule a tensão elétrica em kV Solução V i x R V 48 μ x 005 G V 48 x 106 x 005 x 109 V 2400 V V 24 x 103 V V 24 kV Resposta V 24 kV Eletromagnetismo I 21 Problema 2 Sabendo que a carga elétrica pode ser obtida pela equação Q i x t e que i 350 pA e t 22 s calcule a carga elétrica em μC Solução Q i x t Q 350 p x 22 Q 350 x 1012 x 22 Q 7700 x 1012 C Q 77 x 109 C Q 00077 x 106 C Q 00077 μC Resposta Q 00077 μC Em Eletromagnetismo lidamos tanto com grandezas escalares como nos problemas 1 e 2 quanto vetoriais Na próxima seção estudaremos as operações matemáticas com as grandezas vetoriais por meio da chamada Álgebra Vetorial Álgebra Vetorial Princípios da Álgebra Vetorial Enquanto as grandezas escalares possuem apenas intensidade as grandezas vetoriais possuem intensidade magnitude ou módulo direção e sentido Por exemplo quando falamos que a velocidade média de um móvel é igual a 30 ms temos uma grandeza escalar uma vez que a informação dessa grandeza considera apenas a sua magnitude Por outro lado quando falamos que o móvel está se deslocando a uma velocidade de 30 ms para frente temos uma grandeza vetorial pois possui tanto magnitude 30 ms quanto direção e sentido para frente Portanto grandezas vetoriais Eletromagnetismo I 22 possuem tanto informações em relação a sua magnitude quanto em relação a sua orientação direção e sentido Exemplo de Grandezas Escalares comprimento área volume temperatura massa velocidade envolvendo distância e tempo carga elétrica energia elétrica etc Exemplo de Grandezas Vetoriais velocidade envolvendo distância tempo e direção força trabalho campo elétrico campo magnético etc A maior parte das grandezas elétricas que iremos lidar em Eletromagnetismo são vetoriais em especial os campos elétricos e magnéticos Nesse contexto a análise vetorial fornece um conjunto de ferramentas matemáticas para a manipulação de grandezas vetoriais de forma eficiente Nessa seção estudaremos a Álgebra Vetorial que explica as operações de adição subtração e multiplicação de vetores Na próxima Unidade estudaremos o Cálculo Vetorial que incorpora as regras de diferenciação e integração de vetores a nossa análise Soma e Subtração de Vetores Um vetor é representado geometricamente por um seguimento de reta cuja orientação é dada por uma flecha Nesse exemplo observe que a orientação do vetor 𝐴 é para direita ou seja sua direção é horizontal e o seu sentido é para direita A magnitude ou módulo do vetor 𝐴 é o seu comprimento e representamos por 𝐴 lêse módulo de 𝐴 Temos que 𝐴 𝐴 Ou seja o módulo de um vetor é uma grandeza escalar o módulo ou magnitude é um valor que define a intensidade do vetor Para realizar a soma ou subtração de vetores podemos utilizar tanto o método geométrico Método do Polígono quanto o método analítico Eletromagnetismo I 23 Método do Polígono Método Geométrico Considere que temos um conjunto de N vetores por exemplo três vetores a Junte a origem de um vetor à extremidade de outro vetor Repita esse passo até o último vetor b Trace uma linha unindo a origem do primeiro vetor com a extremidade do último vetor Essa linha corresponde ao vetor resultante 𝑅 que representa a soma desses três vetores Problema 3 Considere dois vetores 𝐴 e 𝐵 como mostrado a seguir O vetor 𝐴 faz um ângulo de 30o com a horizontal Sabendo que os módulos dos vetores são dados por 𝐴 𝐴 12 e 𝐵 𝐵 5 determine o módulo do vetor resultante da soma desses dois vetores 𝑅 𝐴 𝐵 Eletromagnetismo I 24 Solução Pela Regra do Polígono temos O módulo do vetor resultante corresponde ao comprimento do lado de cor vermelha Temos os comprimentos dos outros dois lados do triângulo que são 12 e 5 e também o ângulo entre esses lados que é igual a 90o 30o 120o Para calcular o lado de um triângulo qualquer devemos utilizar a Lei dos Cossenos Assim 𝑅 2 𝐴 2 𝐵 2 2 𝐴 𝐵 cos120𝑜 𝑅 2 122 52 2 12 5 cos 120𝑜 𝑅 2 229 𝑅 𝑅 15133 A subtração de vetores é mostrada a seguir 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 O sinal de menos em vetores inverte o sentido do vetor o vetor mantém o seu módulo e sua direção mas inverte o seu sentido Então a subtração de vetores equivale a uma soma com a inversão de sentido Eletromagnetismo I 25 Problema 4 Considere o mesmo enunciado do Problema 3 Determine o módulo do vetor resultante da subtração desses dois vetores 𝑅 𝐴 𝐵 Solução Pela Regra do Polígono temos Observe que invertemos o sentido de 𝐵 O módulo do vetor resultante corresponde ao comprimento do lado de cor vermelha Temos os comprimentos dos outros dois lados do triângulo que são 12 e 5 e também o ângulo entre esses lados que é igual a 90o 30o 60o Para calcular o lado de um triângulo qualquer devemos utilizar a Lei dos Cossenos Assim 𝑅 2 𝐴 2 𝐵 2 2 𝐴 𝐵 cos 60𝑜 𝑅 2 122 52 2 12 5 cos 60𝑜 𝑅 2 109 𝑅 𝑅 1044 O Método Analítico se baseia na representação analítica do vetor que considera o vetor como um ponto em um sistema de coordenadas Por exemplo a figura a seguir mostra o vetor 𝐴 43 representado em um sistema de coordenadas cartesianas xy Eletromagnetismo I 26 O ponto 43 foi marcado no sistema de coordenada cartesiana Em seguida foi traçada uma reta da origem do sistema coordenado 00 até o ponto 43 Essa reta é a representação geométrica do vetor 𝐴 Considerando um vetor 𝐴 qualquer dado por 𝐴 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴𝑛 Para calcular o seu módulo teríamos que utilizar o Teorema de Pitágoras resultando em 𝐴 𝐴1 2 𝐴2 2 𝐴3 2 𝐴𝑛 2 No caso do sistema de coordenadas cartesianas temos 𝐴 𝐴𝑥 𝐴𝑦 Nesse caso o módulo é dado por 𝐴 𝐴𝑥 2 𝐴𝑦 2 Eletromagnetismo I 27 Problema 5 Calcule o módulo do vetor 𝐴 43 Solução O módulo do vetor pode ser calculado através da seguinte equação 𝐴 𝐴𝑥 2 𝐴𝑦 2 𝐴 42 32 𝐴 𝐴 5 Problema 6 Calcule o módulo do vetor 𝐵 225 Solução O módulo do vetor pode ser calculado através da seguinte equação 𝐵 𝐵1 2 𝐵2 2 𝐵3 2 𝐵 22 22 52 𝐵 33 𝐵 𝐵 574 Para somarmos vetores basta somarmos cada uma de suas componentes Analogamente no caso da subtração basta subtraímos cada uma de suas componentes Eletromagnetismo I 28 Exemplos Considere os vetores 𝐴 56 𝐵 23 e 𝐶 0 2 Determine 1 𝑅 𝐴 𝐵 56 23 5 2 6 3 79 𝑅 𝑅 72 92 114 2 𝑅 𝐴 𝐶 56 0 2 5 06 2 54 𝑅 𝑅 52 42 64 3 𝑅 𝐴 𝐵 56 23 5 2 6 3 33 𝑅 𝑅 32 32 424 4 𝑅 𝐵 𝐴 𝐶 23 56 0 2 2 5 0 3 6 2 3 1 𝑅 𝑅 32 12 316 Problema 7 Considere os vetores 𝐴 80 3 𝐵 6 53 e 𝐶 076 Determine o vetor 𝑅 𝐴 𝐵 𝐶 e o módulo de 𝑅 Solução Obtendo o vetor 𝑅 𝑅 𝐴 𝐵 𝐶 𝑅 80 3 6 53 076 𝑅 8 6 0 0 5 7 3 3 6 𝑅 2 12 0 Obtendo o módulo de 𝑅 𝑅 22 122 02 𝑅 148 𝑅 𝑅 1217 Eletromagnetismo I 29 Produto de Vetores Existem dois tipos de produtos ou multiplicação entre dois vetores o produto escalar representado pelo símbolo e o produto vetorial representado pelo símbolo O produto escalar entre dois vetores representa o produto resultante da projeção de um vetor sobre o outro Considere dois vetores 𝐴 e 𝐵 separados por um ângulo θ como mostrado a seguir No produto escalar devemos projetar o vetor 𝐴 sobre o vetor 𝐵 ou o 𝐵 sobre o 𝐴 tanto faz o vetor como mostrado a seguir O produto escalar entre 𝐴 e 𝐵 é então calculado por 𝐴 𝐵 𝐴cos 𝜃𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 cos 𝜃 𝐵 O produto escalar 𝐴 𝐵 lêse A escalar B é igual ao produto entre o módulo da projeção de 𝐴 sobre 𝐵 𝐴 cos 𝜃 e o módulo de 𝐵 𝐵 Observe que o produto escalar tem esse nome uma vez que resulta em um escalar um valor sem orientação Eletromagnetismo I 30 Analogamente temos que 𝐵 𝐴 𝐵 cos 𝜃 𝐴 Ou seja 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 Tanto faz se projetarmos 𝐴 sobre 𝐵 ou se projetarmos 𝐵 sobre 𝐴 Problema 8 Calcule o produto escalar entre os vetores 𝐴 e 𝐵 sabendo que seus módulos são dados por 𝐴 11 e 𝐵 4 e o ângulo entre eles é 𝜃 20o Solução 𝐴 𝐵 𝐴 cos 𝜃 𝐵 𝐴 𝐵 11 cos 20𝑜 4 𝐴 𝐵 4135 O produto escalar do ponto de vista geométrico representa a projeção de um vetor sobre o outro vetor Em outras palavras é o cálculo da componente de um vetor em dada direção Observe ainda que se o ângulo entre os dois vetores for 𝜃 90o então o produto escalar será dado por 𝐴 𝐵 𝐴 cos 90𝑜 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 0 𝐵 𝐴 𝐵 0 Ou seja caso o ângulo entre os dois vetores seja igual a 90o então o produto escalar entre esses dois vetores será igual a 0 Geometricamente quando o ângulo é igual a 90o os vetores estão perpendiculares são ditos ortogonais por isso não existe projeção de um vetor sobre o outro a projeção é nula Eletromagnetismo I 31 Caso 𝜃 90o então os vetores são ortogonais resultando em 𝐴 𝐵 0 Vetores ortogonais são representados da seguinte forma 𝐴 𝐵 Outro caso particular é o de 𝜃 0o ou seja quando um vetor já está sobre o outro os vetores são paralelos ou colineares Nesse caso temos 𝐴 𝐵 𝐴 cos 0𝑜 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 1 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 Ou seja nesse caso o produto entre dois vetores é igual ao produto entre os seus módulos não precisamos projetar o vetor 𝐴 sobre 𝐵 uma vez que ele já está sobre 𝐵 Problema 10 Calcule o produto escalar entre os vetores 𝐴 e 𝐵 sabendo que seus módulos são dados por 𝐴 11 e 𝐵 4 e que eles são paralelos Solução 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 11 4 44 Outro parâmetro importante definido a partir do produto escalar é o vetor unitário Eletromagnetismo I 32 Vetor Unitário Um vetor unitário 𝑎 é um vetor que possui módulo igual a 1 ou seja 𝑎 1 Por exemplo 𝐵 𝑎 𝐵 cos 𝜃 𝑎 𝐵 𝑎 𝐵 cos 𝜃 1 𝐵 𝑎 𝐵 cos 𝜃 Ou seja o produto escalar entre o vetor 𝐵 e o vetor unitário 𝑎 representa a projeção do vetor 𝐵 na direção de 𝑎 Considere agora um vetor 𝐴 com mesma direção do vetor unitário 𝐴 Podemos representar o vetor 𝐴 como 𝐴 𝐴𝑎 Assim 𝑎 𝐴 𝐴 Ou seja podemos obter o vetor unitário em dada direção é igual a razão entre o vetor 𝐴 e o seu módulo 𝐴 Observe que o produto escalar entre dois vetores unitários de mesma direção é sempre igual a 1 ou seja 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 1 1 1 E que o produto escalar entre dois vetores unitários ortogonais ângulo de 90o é sempre igual a 0 Eletromagnetismo I 33 Exemplos 1 Determine o vetor unitário na direção de 𝐴 dado 𝐴 56 𝐴 𝐴 52 62 781 𝑎 𝐴 𝐴 56 781 5 781 6 781 064 077 Observe que 𝑎 0642 0772 1 2 Determine o vetor unitário na direção de 𝐵 dado 𝐵 35 𝐵 𝐵 32 52 583 𝑏 𝐵 𝐵 35 583 3 583 5 583 051 086 Observe que 𝑏 0512 0862 1 Problema 11 Determine o vetor unitário na direção de 𝐴 dado 𝐴 218 Solução 𝐴 𝐴 22 12 82 831 𝑎 𝐴 𝐴 218 831 2 831 1 831 8 831 024 012 096 Resposta 𝑎 024 012 096 Observe que 𝑎 0242 0122 0962 1 Como discutido anteriormente o conceito de produto escalar em conjunto com o vetor unitário permite o cálculo das componentes de um vetor em dadas direções No Eletromagnetismo I 34 caso de um sistema de coordenadas cartesianas xy podemos obter as componentes x e y desse vetor que correspondem às projeções do vetor nos eixos x e y Por exemplo considere novamente o vetor 𝐴 43 Podemos representalo em termos de suas projeções sobre os eixos x e y 𝐴 43 4𝑥 3𝑦 Ou seja o comprimento ou módulo de 𝐴 projetado sobre o eixo x é igual a 4 enquanto no eixo y é igual a 3 De forma geral para o sistema de coordenadas cartesianas temos Assim 𝐴 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑥𝑥 𝐴𝑦𝑦 Eletromagnetismo I 35 Considerando um vetor 𝐴 qualquer 𝐴 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴1𝑎1 𝐴2𝑎2 𝐴3𝑎3 Problema 12 Calcule o produto escalar entre os vetores no sistema de coordenadas cartesianas 𝐴 24 e 𝐵 57 Solução completa Temos que 𝐴 24 2𝑥 4𝑦 𝐵 57 5𝑥 7𝑦 𝐴 𝐵 24 57 2𝑥 4𝑦 5𝑥 7𝑦 Fazendo a operação distributiva 𝐴 𝐵 2𝑥 5𝑥 2𝑥 7𝑦 4𝑦 5𝑥 4𝑦 7𝑦 Temos que o produto escalar de componentes paralelas é igual a 1 𝑥 𝑥 1 𝑦 𝑦 1 E o produto escalar entre as componentes ortogonais é igual a 0 𝑥 𝑦 0 𝑦 𝑥 0 Assim 𝐴 𝐵 2 5 0 0 4 7 38 Solução rápida Basta multiplicarmos as respectivas componentes de cada vetor 𝐴 𝐵 24 57 2 5 4 7 38 Eletromagnetismo I 36 Problema 13 Calcule o produto escalar entre os vetores no sistema de coordenadas retangulares 𝐴 104 e 𝐵 328 Solução 𝐴 𝐵 104 328 1 3 0 2 4 8 29 Problema 14 Calcule o produto escalar entre os vetores no sistema de coordenadas cartesianas 𝐴 11 e 𝐵 1 1 Solução 𝐴 𝐵 11 1 1 1 1 1 1 0 Portanto os vetores 𝐴 e 𝐵 são ortogonais Observe Propriedades do produto escalar 1 Comutativa 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 2 Distributiva 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 3 O produto escalar de um vetor por ele mesmo resulta em 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴 𝐴2 𝐴 𝐴 𝐴2 Eletromagnetismo I 37 Enquanto o produto escalar mede a projeção de um vetor sobre o outro vetor o produto vetorial mede a rotação de um vetor na direção de outro vetor Diferentemente de o produto escalar o resultado de um produto vetorial é um vetor Considere dois vetores 𝐴 e 𝐵 separados por um ângulo θ como mostrado a seguir No produto escalar devemos girar o vetor 𝐴 na direção do vetor 𝐵 Para saber a direção do vetor resultante utilizamos a chamada Regra da Mão Direita Com os quatro dedos da mão direita giramos o vetor 𝐴 na direção do vetor 𝐵 O polegar aponta a direção do vetor resultante Eletromagnetismo I 38 O produto vetorial entre dois vetores 𝐴 𝐵 lêse A vetorial B é um vetor cuja direção e sentido podem ser obtidas pela Regra da Mão Direita No exemplo ao girarmos o vetor 𝐴 na direção do vetor 𝐵 o dedo polegar aponta para cima ou para fora da folha Por outro lado no produto vetorial 𝐵 𝐴 giramos o vetor 𝐵 na direção do vetor 𝐴 fazendo com que o dedo polegar aponte para baixo ou para dentro da folha A direção do vetor resultante do produto vetorial é sempre perpendicular ao plano formado pelos vetores 𝐴 e 𝐵 Nesse caso a direção é dita normal ao plano formado entre os dois vetores Portanto definiremos 𝑛 como sendo um vetor unitário normal ao plano formado pelos vetores 𝐴 e 𝐵 cujo sentido é dado pela Regra da Mão Direita A figura a seguir ilustra o vetor unitário normal Observe que 𝑛 é normal ao plano formado pelos dois vetores e portanto deve fazer um ângulo de 90o com ambos Além disso pela Regra da Mão Direita temos que 𝐴 𝐵 resulta em um vetor apontando para cima positivo enquanto que 𝐵 𝐴 resulta em um vetor apontando para baixo negativo Ambos têm o mesmo módulo mas sentidos opostos Ou seja 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 Eletromagnetismo I 39 O sinal negativo representa a troca de sentido de rotação Observe na figura que no produto vetorial 𝐴 𝐵 estamos girando no sentido antihorário enquanto que no produto vetorial 𝐵 𝐴 estamos girando no sentido horário O módulo do produto vetorial 𝐴 𝐵 do ponto de vista geométrico consiste na área do paralelogramo formado pelos vetores 𝐴 e 𝐵 A área do paralelogramo é igual a Á𝑟𝑒𝑎 𝐴 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝜃 Assim o produto vetorial entre os vetores 𝐴 e 𝐵 é dado por 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑛 Em que 𝑛 é um vetor unitário normal ao plano formado pelos vetores 𝐴 e 𝐵 O módulo do produto vetorial é dado por 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝜃 Problema 15 Calcule o módulo do produto vetorial entre 𝐴 e 𝐵 sabendo que seus módulos são dados por 𝐴 11 e 𝐵 4 e o ângulo entre eles é 𝜃 20o Solução 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐴 𝐵 11 4 𝑠𝑒𝑛 20𝑜 𝐴 𝐵 1505 Eletromagnetismo I 40 Se o ângulo entre os dois vetores for 𝜃 90o então o módulo do produto vetorial será dado por 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝑠𝑒𝑛90𝑜 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 Ou seja caso o ângulo entre os dois vetores seja igual a 90o então o módulo do produto vetorial entre esses dois vetores será igual ao produto dos módulos dos vetores Outro caso particular é o de 𝜃 0o ou seja quando um vetor já está sobre o outro os vetores são paralelos ou colineares Nesse caso temos 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝑠𝑒𝑛0𝑜 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 0 𝐴 𝐵 0 Ou seja caso os vetores sejam paralelos colineares isto é esteja um sobre o outro o produto vetorial será igual a 0 Visto que o produto vetorial mede a rotação de um vetor na direção do outro no caso de termos um vetor sobre o outro a rotação será nula portanto o produto vetorial será igual a 0 Temos então que se 𝐴 𝐵 0 então os vetores 𝐴 e 𝐵 são ortogonais Se 𝐴 𝐵 0 temos então que os vetores 𝐴 e 𝐵 são colineares Para calcularmos a direção do vetor resultante do produto vetorial entre dois vetores isto é para calcularmos vetor unitário normal 𝑛 precisamos conhecer o sistema de coordenadas retangulares Eletromagnetismo I 41 Observe os vetores unitários na direção de cada um de seus eixos A partir da Regra da Mão Direita podemos concluir que 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑧 𝑥 𝑧 𝑥 𝑦 𝑥 𝑧 𝑦 𝑦 𝑥 𝑧 𝑧 𝑦 𝑥 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 𝑧 0 Problema 16 Calcule o produto vetorial entre 𝐴 e 𝐵 dado 𝐴 7𝑥 e 𝐵 2𝑦 Solução 𝐴 𝐵 7𝑥 2𝑦 7 2 𝑥 𝑦 14𝑧 Resposta 14𝑧 Eletromagnetismo I 42 Problema 17 Calcule o produto vetorial entre os vetores no sistema de coordenadas cartesianas 𝐴 24 e 𝐵 57 Solução completa 𝐴 24 2𝑥 4𝑦 𝐵 57 5𝑥 7𝑦 𝐴 𝐵 24 57 2𝑥 4𝑦 5𝑥 7𝑦 Fazendo a operação distributiva 𝐴 𝐵 2𝑥 5𝑥 2𝑥 7𝑦 4𝑦 5𝑥 4𝑦 7𝑦 Temos que o produto vetorial de componentes paralelas é igual a 0 𝑥 𝑥 0 𝑦 𝑦 0 E o produto vetorial entre as componentes ortogonais é igual a 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑥 𝑧 Assim 𝐴 𝐵 0 2 7 𝑧 4 5 𝑧 0 14 𝑧 20 𝑧 6 𝑧 Solução rápida O produto vetorial é o determinante da matriz 𝐴 𝐵 𝑥 𝑦 𝑧 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 Assim 𝐴 𝐵 𝑥 𝑦 𝑧 2 4 0 5 7 0 2 7 𝑧 5 4 𝑧 6 𝑧 Eletromagnetismo I 43 Problema 18 Calcule o produto vetorial entre os vetores no sistema de coordenadas retangulares 𝐴 705 e 𝐵 1 36 Em seguida determine o vetor unitário normal 𝑛 Solução 𝐴 𝐵 𝑥 𝑦 𝑧 7 0 5 1 3 6 1 5 𝑦 7 3𝑧 3 5 𝑥 6 7 𝑦 5 𝑦 21 𝑧 15 𝑥 42 𝑦 15 𝑥 37 𝑦 21 𝑧 15 37 21 Ou seja 𝐴 𝐵 15 37 21 Para calcular o vetor unitário 𝐴 𝐵 152 372 212 4511 𝑛 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝑛 15 37 21 4511 033 082 047 Ou seja 𝑛 033 082 047 Isso significa que o vetor resultante do produto vetorial é 4511 𝑛 em que 𝑛 033 082 047 ou o vetor 15 37 21 Isto é 𝐴 𝐵 15 37 21 4511 𝑛 Em que 𝑛 033 082 047 Eletromagnetismo I 44 Propriedades do produto vetorial 1 Não é comutativo 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 2 Distributiva 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 3 O produto vetorial de um vetor por ele mesmo é igual a zero 𝐴 𝐴 0 Sistemas de Coordenadas Ortogonais Além de o sistema de coordenadas cartesianas xy e o sistema de coordenadas retangulares xyz que vimos na seção anterior existem ainda outros tipos de sistemas de coordenadas como o sistema de coordenadas polares rϕ o sistema de coordenadas cilíndricas rϕz e o sistema de coordenadas esféricas rθϕ Um sistema de coordenadas ortogonais é um sistema em que todas as suas componentes coordenadas são mutuamente perpendiculares ortogonais Por exemplo no sistema de coordenadas retangulares temos que as componentes x y e z fazem um ângulo de 90o entre elas ou seja são ortogonais Os sistemas de coordenadas bidimensionais de duas dimensões mais conhecidos são Sistema de coordenadas cartesianas Sistema de coordenadas polares Enquanto os sistemas de coordenadas tridimensionais de três dimensões mais conhecidos são Sistema de coordenadas retangulares Sistema de coordenadas cilíndricas Sistema de coordenadas esféricas Eletromagnetismo I 45 É importante observar que todas as operações com vetores que aprendemos soma subtração módulo vetor unitário produto escalar e produto vetorial continuam sendo resolvidas da mesma forma Ou seja as operações com vetores e suas soluções são as mesmas independente do sistema de coordenadas A mudança no sistema de coordenadas só implica em uma mudança na orientação do vetor devido à mudança na orientação das componentes Já vimos que um vetor no sistema de coordenadas cartesianas é representado da seguinte forma Em que 𝐴 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑥𝑥 𝐴𝑦𝑦 Um ponto Pxy no sistema de coordenadas cartesianas tem o seguinte domínio 𝑥 𝑦 No sistema de coordenadas polares um ponto é representado em termos de seu raio r e do ângulo com o eixo x ϕ Eletromagnetismo I 46 Considere um ponto Pxy em coordenadas cartesianas Assim 𝑟 𝑥2 𝑦2 ϕ 𝑡𝑎𝑛1 𝑦 𝑥 Ou seja podemos representar um ponto Pxy como um ponto Pr ϕ em coordenadas polares Problema 19 Considere o ponto 𝑃46 em coordenadas cartesianas Obtenha o ponto P em coordenadas polares Solução Temos 𝑥 4 𝑦 6 Assim 𝑟 𝑥2 𝑦2 𝑟 42 62 𝑟 721 ϕ 𝑡𝑎𝑛1 𝑦 𝑥 ϕ 𝑡𝑎𝑛1 6 4 ϕ 098 𝑟𝑎𝑑 Resposta 𝑃721 098 em coordenadas polares Eletromagnetismo I 47 A representação de um vetor no sistema de coordenadas polares é 𝐴 𝐴𝑟 𝐴ϕ 𝐴𝑟𝑟 𝐴ϕϕ Um ponto Prϕ no sistema de coordenadas cartesianas tem o seguinte domínio 𝑟 0 ϕ 02𝜋 Ou seja o raio pode assumir qualquer valor Real positivo e o ângulo deve assumir um valor entre 0 e 2π entre 0o e 360o Para a transformação do sistema de coordenadas cartesianas para as coordenadas polares devemos observar a transformação dos vetores unitários 𝑟 cosϕ 𝑥 senϕ 𝑦 cosϕ senϕ ϕ senϕ 𝑥 cosϕ 𝑦 senϕ cosϕ Assim 𝐴𝑟 𝐴𝑥 𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴𝑦 𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴ϕ 𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴𝑦 𝑐𝑜𝑠ϕ Eletromagnetismo I 48 Problema 20 Considere o ponto P46 e o vetor 𝐴 32 em coordenadas cartesianas Obtenha o vetor 𝐴 no ponto P em coordenadas polares Solução Do problema 19 temos P721 098 em coordenadas polares Ou seja 𝑟 721 ϕ 098 Assim 𝐴𝑟 𝐴𝑥 𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴𝑦 𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴𝑟 3 𝑐𝑜𝑠098 2 𝑠𝑒𝑛098 𝐴𝑟 333 𝐴ϕ 𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴𝑦 𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴ϕ 3 𝑠𝑒𝑛098 2 𝑐𝑜𝑠098 𝐴ϕ 133 𝑟𝑎𝑑 Resposta 𝐴 333 133 no ponto P em coordenadas polares Observe que o módulo do vetor 𝐴 32 em coordenadas cartesianas é igual ao módulo do vetor 𝐴 333 133 em coordenadas polares uma vez que o vetor é o mesmo Para a transformação do sistema de coordenadas polares para as coordenadas cartesianas devemos observar que Eletromagnetismo I 49 As componentes nas direções x e y são as projeções de r Assim 𝑥 𝑟 cosϕ 𝑦 𝑟 senϕ Para a transformação do sistema de coordenadas polares para as coordenadas cartesianas devemos observar a transformação dos vetores unitários 𝑥 cosϕ 𝑟 senϕ ϕ cosϕ senϕ y senϕ 𝑟 cosϕ ϕ senϕ cosϕ Assim 𝐴𝑥 𝐴𝑟 𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴ϕ 𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴y 𝐴𝑟 𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴ϕ 𝑐𝑜𝑠ϕ Problema 21 Considere o ponto P721 098 e o vetor 𝐴 333 133 em coordenadas polares Obtenha o vetor 𝐴 em coordenadas cartesianas Solução 𝐴𝑥 𝐴𝑟 𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴ϕ 𝑠𝑒𝑛ϕ 333 𝑐𝑜𝑠098 133 𝑠𝑒𝑛098 3 𝐴y 𝐴𝑟 𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴ϕ 𝑐𝑜𝑠ϕ 333 𝑠𝑒𝑛098 133 𝑐𝑜𝑠098 2 Resposta 𝐴 3 2 em coordenadas cartesianas que era o enunciado do problema anterior Eletromagnetismo I 50 Operações vetoriais no sistema de coordenadas bidimensionais Considere os vetores 𝐴 𝐴𝑖 𝐴j 𝐴𝑖𝑖 𝐴jj 𝐵 𝐵𝑖 𝐵j 𝐵𝑖𝑖 𝐵jj Para o sistema de coordenadas cartesianas 𝑖 𝑥 e 𝑗 𝑦 E para o sistema de coordenadas polares 𝑖 𝑟 e 𝑗 ϕ 1 Módulo 𝐴 𝐴𝑖 2 𝐴j 2 2 Unitário 𝑎 𝐴 𝐴 3 Soma 𝐴 𝐵 𝐴𝑖 𝐵𝑖 𝐴𝑗 𝐵𝑗 𝐴 𝐵 𝐴𝑖 𝐵𝑖𝑖 𝐴𝑗 𝐵𝑗𝑗 4 Subtração 𝐴 𝐵 𝐴𝑖 𝐵𝑖 𝐴𝑗 𝐵𝑗 𝐴 𝐵 𝐴𝑖 𝐵𝑖𝑖 𝐴𝑗 𝐵𝑗𝑗 5 Produto escalar 𝐴 𝐵 𝐴𝑖 𝐵𝑖 𝐴𝑗 𝐵𝑗 6 Produto vetorial 𝐴 𝐵 𝑖 𝑗 𝑧 𝐴𝑖 𝐴𝑗 0 𝐵𝑖 𝐵𝑗 0 𝐴 𝐵 𝐴𝑖 𝐵𝑗 𝐵𝑖 𝐴𝑗𝑧 Eletromagnetismo I 51 Um sistema de coordenadas tridimensionais possui três eixos coordenados Um ponto P será descrito em termos de xyz no sistema de coordenadas retangulares em termos de rϕz no sistema de coordenadas cilíndricas e em termos de rθϕ no sistema de coordenadas esféricas O sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas tridimensional é um sistema formado por dois sistemas do tipo cartesianocartesiano Fonte NAHVIDEKHORDI e EDMINISTER 2013 Temos que 𝐴 𝐴𝑥𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝐴𝑥𝑥 𝐴𝑦𝑦 𝐴𝑧𝑧 Um ponto Pxyz no sistema de coordenadas retangulares tem o seguinte domínio 𝑥 𝑦 𝑧 O sistema de coordenadas cilíndricas é um sistema formado por dois sistemas do tipo polarcartesiano observe que a base é um sistema de coordenadas polares enquanto a altura é o próprio z Eletromagnetismo I 52 Fonte NAHVIDEKHORDI e EDMINISTER 2013 Temos que 𝐴 𝐴𝑟 𝐴ϕ 𝐴z 𝐴𝑟𝑟 𝐴ϕϕ 𝐴𝑧𝑧 Um ponto Pr ϕ z no sistema de coordenadas cilíndricas tem o seguinte domínio 𝑟 0 ϕ 02𝜋 𝑧 O sistema de coordenadas esféricas é um sistema formado por dois sistemas do tipo polarpolar observe tanto a base quanto a altura são sistemas de coordenadas polares Fonte NAHVIDEKHORDI e EDMINISTER 2013 Eletromagnetismo I 53 Observe que ordem de se escrever as coordenadas é importante e deve ser cuidadosamente seguida Por exemplo Por exemplo o ângulo ϕ é o mesmo tanto em coordenadas cilíndricas quanto em coordenadas esféricas Porém na ordem das coordenadas ϕ aparece na segunda posição no sistema cilíndrico r ϕ z e na terceira posição no sistema esférico r θ ϕ Em coordenadas cilíndricas r mede a distância ao eixo z tomada no plano normal a este no plano xy enquanto no sistema esférico r mede a distância da origem ao ponto P Por isso será conveniente escrevermos Rθϕ para o sistema de coordenadas esféricas A componente θ representa o ângulo entre o vetor e o eixo vertical z Temos que 𝐴 𝐴𝑅 𝐴θ 𝐴ϕ 𝐴𝑅𝑅 𝐴θθ 𝐴ϕϕ Um ponto PR θ ϕ no sistema de coordenadas esféricas tem o seguinte domínio 𝑅 0 θ 0 𝜋 ϕ 02𝜋 Os vetores unitários no sistema de coordenadas cilíndricas são mostrados a seguir Fonte ULABY 2007 Eletromagnetismo I 54 Observe que o ponto Pr ϕ z pertence a qualquer posição na casca cilíndrica Os vetores unitários no sistema de coordenadas esféricas são mostrados a seguir Fonte ULABY 2007 Observe que o ponto PR θ ϕ pertence a qualquer posição na casca esférica A Tabela 4 resume as operações com vetores nos sistemas de coordenadas tridimensionais Tabela 4 Resumo das operações com vetores Fonte ULABY 2007 Eletromagnetismo I 55 Fórmula para o produto vetorial Considere os vetores 𝐴 𝐴𝑖 𝐴𝑗 𝐴𝑘 𝐴𝑖𝑖 𝐴𝑗𝑗 𝐴𝑘𝑘 𝐵 𝐵𝑖𝐵j 𝐵𝑘 𝐵𝑖𝑖 𝐵jj 𝐵𝑘𝑘 Para o sistema de coordenadas retangulares 𝑖 𝑥 𝑗 𝑦 e 𝑘 𝑧 Para o sistema de coordenadas cilíndricas 𝑖 𝑟 e 𝑗 ϕ e 𝑘 𝑧 E para o sistema de coordenadas esféricas 𝑖 𝑅 e 𝑗 θ e 𝑘 ϕ O produto vetorial é dado por 𝐴 𝐵 𝑖 𝑗 𝑧 𝐴𝑖 𝐴𝑗 𝐴𝑘 𝐵𝑖 𝐵𝑗 𝐵𝑘 𝐴 𝐵 𝐴𝑗𝐵𝑘 𝐴𝑘𝐵𝑗 𝑖 𝐴𝑘𝐵𝑖 𝐴𝑖𝐵𝑘 𝑗 𝐴𝑖𝐵𝑗 𝐴𝑗𝐵𝑖 𝑘 𝐴 𝐵 𝐴𝑗𝐵𝑘 𝐴𝑘𝐵𝑗 𝐴𝑘𝐵𝑖 𝐴𝑖𝐵𝑘 𝐴𝑖𝐵𝑗 𝐴𝑗𝐵𝑖 A escolha do sistema de coordenada adequado depende da geometria do problema Por exemplo se estivermos calculando o campo elétrico gerado por um fio de cobre que possui geometria cilíndrica a adoção de um sistema de coordenadas cilíndricas pode ser mais adequada para representarmos o campo elétrico nesse problema Na próxima seção estudaremos as fórmulas para mudança de sistema de coordenadas Transformações entre Sistemas de Coordenadas Nessa seção estabeleceremos as relações entre os vetores nos sistemas de coordenadas retangulares xyz cilíndricas rϕz e esféricas Rθϕ É importante observar que para uma dada posição desse vetor no sistema de coordenadas deve existir uma representação desse vetor para um desses três sistemas de coordenadas Eletromagnetismo I 56 Transformações Coordenadas RetangularCilíndrica e viceversa Coordenadas do Ponto P Pr ϕ z Pxyz 𝑟 𝑥2 𝑦2 𝑥 𝑟 cosϕ ϕ 𝑡𝑎𝑛1 𝑦 𝑥 𝑦 𝑟 senϕ 𝑧 𝑧 𝑧 𝑧 Vetores Unitários 𝑟 cosϕ 𝑥 senϕ 𝑦 𝑥 cosϕ 𝑟 senϕ ϕ ϕ senϕ 𝑥 cosϕ 𝑦 y senϕ 𝑟 cosϕ ϕ z z z z Componentes Vetoriais 𝐴 𝐴𝑟 𝐴ϕ 𝐴z 𝐴𝑟𝑟 𝐴ϕϕ 𝐴𝑧𝑧 𝐴 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝐴𝑥𝑥 𝐴𝑦𝑦 𝐴𝑧𝑧 𝐴𝑟 𝐴𝑥 𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴𝑦 𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴𝑥 𝐴𝑟 𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴ϕ 𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴ϕ 𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴𝑦 𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴y 𝐴𝑟 𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴ϕ 𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴z 𝐴z 𝐴z 𝐴z Problema 22 Considere o ponto P343 e o vetor 𝐴 2 34 em coordenadas retangulares Obtenha o ponto P em coordenadas cilíndricas e o vetor 𝐴 no ponto P em coordenadas cilíndricas Solução 𝑟 𝑥2 𝑦2 32 42 5 ϕ 𝑡𝑎𝑛1 𝑦 𝑥 𝑡𝑎𝑛1 4 3 093 𝑧 𝑧 3 Portanto o ponto é P50933 em coordenadas cilíndricas Eletromagnetismo I 57 Temos que 𝐴𝑟 𝐴𝑥 𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴𝑦 𝑠𝑒𝑛ϕ 2 𝑐𝑜𝑠093 3 𝑠𝑒𝑛093 36 𝐴ϕ 𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴𝑦 𝑐𝑜𝑠ϕ 2 𝑠𝑒𝑛093 3 𝑐𝑜𝑠093 019 𝐴z 𝐴z 4 Portanto o vetor é 𝐴 36 019 4 no ponto P50934 em coordenadas cilíndricas Problema 23 Considere o ponto P50933 e o vetor 𝐴 36 019 4 em coordenadas cilíndricas Obtenha o ponto P em coordenadas retangulares e o vetor 𝐴 no ponto P em coordenadas retangulares Solução 𝑥 𝑟 cosϕ 5 cos093 3 𝑦 𝑟 senϕ 5 sen093 4 𝑧 𝑧 3 Portanto o ponto é P343 em coordenadas retangulares Temos que 𝐴𝑥 𝐴𝑟 𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴ϕ 𝑠𝑒𝑛ϕ 36 𝑐𝑜𝑠093 019 𝑠𝑒𝑛093 2 𝐴y 𝐴𝑟 𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴ϕ 𝑐𝑜𝑠ϕ 36 𝑠𝑒𝑛093 019 𝑐𝑜𝑠093 3 𝐴z 𝐴z 4 Portanto o vetor é 𝐴 2 3 4 no ponto P343 em coordenadas retangulares Eletromagnetismo I 58 Transformações Coordenadas RetangularEsférica e viceversa Coordenadas do Ponto P PR θ ϕ Pxyz 𝑅 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑥 𝑟 𝑠𝑒𝑛θ cosϕ θ 𝑡𝑎𝑛1 𝑥2 𝑦2 𝑧 𝑦 𝑟 𝑠𝑒𝑛θ senϕ ϕ 𝑡𝑎𝑛1 𝑦 𝑥 𝑧 𝑟 𝑐𝑜𝑠θ Vetores Unitários 𝑅 𝑠𝑒𝑛θ cosϕ𝑥 𝑠𝑒𝑛θsenϕ𝑦 𝑐𝑜𝑠θ𝑧 𝑥 𝑠𝑒𝑛θ cosϕ 𝑅 cosθcosϕ θ senϕ ϕ θ 𝑐𝑜𝑠θ cosϕ 𝑥 cosθ senϕ 𝑦 𝑠𝑒𝑛θ𝑧 y 𝑠𝑒𝑛θ senϕ 𝑅 cosθsenϕθ cosϕ ϕ ϕ senϕ 𝑥 cosϕ 𝑦 z cosθ 𝑅 senθθ Componentes Vetoriais 𝐴 𝐴𝑅 𝐴θ 𝐴ϕ 𝐴𝑅𝑅 𝐴θθ 𝐴ϕϕ 𝐴 𝐴𝑥 𝐴𝑦𝐴𝑧 𝐴𝑥𝑥 𝐴𝑦𝑦 𝐴𝑧𝑧 𝐴𝑅 𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛θ𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴𝑦 𝑠𝑒𝑛θ𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴𝑧 𝑐𝑜𝑠θ 𝐴𝑥 𝐴𝑅 𝑠𝑒𝑛θ𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴θ𝑐𝑜𝑠θ 𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴ϕ 𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴θ 𝐴𝑥 𝑐𝑜𝑠θ𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴𝑦 𝑐𝑜𝑠θ𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴𝑧 𝑠𝑒𝑛θ 𝐴y 𝐴𝑅 𝑠𝑒𝑛θ𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴θ𝑐𝑜𝑠θ 𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴ϕ 𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴ϕ 𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴𝑦 cosϕ 𝐴z 𝐴𝑅𝑐𝑜𝑠θ 𝐴θ𝑠𝑒𝑛θ Eletromagnetismo I 59 Problema 24 Considere o ponto P351 e o vetor 𝐴 2 0 1 em coordenadas retangulares Obtenha o ponto P em coordenadas esféricas e o vetor 𝐴 no ponto P em coordenadas esféricas Solução 𝑅 𝑥2 𝑦2 𝑧2 32 52 12 5916 θ 𝑡𝑎𝑛1 𝑥2 𝑦2 𝑧 𝑡𝑎𝑛1 32 52 1 14 ϕ 𝑡𝑎𝑛1 𝑦 𝑥 𝑡𝑎𝑛1 5 3 103 Portanto o ponto é P5916 14 103 em coordenadas esféricas Temos que 𝐴𝑅 𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛θ𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴𝑦 𝑠𝑒𝑛θ𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴𝑧 𝑐𝑜𝑠θ 2 𝑠𝑒𝑛14𝑐𝑜𝑠103 0 𝑠𝑒𝑛14𝑠𝑒𝑛103 1 𝑐𝑜𝑠14 0845 𝐴θ 𝐴𝑥 𝑐𝑜𝑠θ𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴𝑦 𝑐𝑜𝑠θ𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴𝑧 𝑠𝑒𝑛θ 2 𝑐𝑜𝑠14𝑐𝑜𝑠103 0 𝑐𝑜𝑠14𝑠𝑒𝑛103 1 𝑠𝑒𝑛14 116 𝐴ϕ 𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴𝑦 cosϕ 2 𝑠𝑒𝑛103 0 cos103 1715 Portanto o vetor é 𝐴 0845 116 1715 no ponto P5916 14 103 em coordenadas esféricas Observe que o módulo do vetor 𝐴 não muda é igual para os dois sistemas de coordenadas Eletromagnetismo I 60 Problema 25 Considere o ponto P5916 14 103 e o vetor 𝐴 0845 116 1715 em coordenadas esféricas Obtenha o ponto P em coordenadas retangulares e o vetor 𝐴 no ponto P em coordenadas retangulares Solução 𝑥 𝑟 𝑠𝑒𝑛θ cosϕ 5916 𝑠𝑒𝑛14 cos103 3 y 𝑟 𝑠𝑒𝑛θ senϕ 5916 𝑠𝑒𝑛14 sen103 5 z 𝑟 𝑐𝑜𝑠θ 5916 𝑐𝑜𝑠14 1 Portanto o ponto é P3 5 1 em coordenadas retangulares Temos que 𝐴𝑥 𝐴𝑅 𝑠𝑒𝑛θ𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴θ𝑐𝑜𝑠θ 𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴ϕ 𝑠𝑒𝑛ϕ 0845 𝑠𝑒𝑛14𝑐𝑜𝑠103 116 𝑐𝑜𝑠14 𝑐𝑜𝑠103 1715 𝑠𝑒𝑛103 2 𝐴y 𝐴𝑅 𝑠𝑒𝑛θ𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴θ𝑐𝑜𝑠θ 𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴ϕ 𝑐𝑜𝑠ϕ 0845 𝑠𝑒𝑛14𝑠𝑒𝑛103 116 𝑐𝑜𝑠14 𝑠𝑒𝑛103 1715 𝑐𝑜𝑠103 0 𝐴z 𝐴z 𝐴𝑅𝑐𝑜𝑠θ 𝐴θ𝑠𝑒𝑛θ 0845 𝑐𝑜𝑠14 116 𝑠𝑒𝑛14 1 Portanto o vetor é 𝐴 2 0 1 no ponto P3 5 1 em coordenadas retangulares que é o enunciado do problema anterior Eletromagnetismo I 61 Transformações Coordenadas CilíndricaEsférica e viceversa Coordenadas do Ponto P PR θ ϕ Pr ϕ z 𝑅 𝑟2 𝑧2 𝑟 𝑅 𝑠𝑒𝑛θ θ 𝑡𝑎𝑛1 𝑟 𝑧 ϕ ϕ ϕ ϕ 𝑧 𝑅 𝑐𝑜𝑠θ Vetores Unitários 𝑅 𝑠𝑒𝑛θ𝑟 𝑐𝑜𝑠θ𝑧 𝑟 𝑠𝑒𝑛θ𝑅 cosθ θ θ 𝑐𝑜𝑠θ 𝑟 𝑠𝑒𝑛θ𝑧 ϕ ϕ ϕ ϕ z cosθ𝑅 senθ θ Componentes Vetoriais 𝐴 𝐴𝑅𝐴θ 𝐴ϕ 𝐴𝑅𝑅 𝐴θθ 𝐴ϕϕ 𝐴 𝐴𝑟 𝐴ϕ𝐴𝑧 𝐴𝑟𝑟 𝐴ϕϕ 𝐴𝑧𝑧 𝐴𝑅 𝐴𝑟 𝑠𝑒𝑛θ 𝐴𝑧 𝑐𝑜𝑠θ 𝐴𝑟 𝐴𝑅 𝑠𝑒𝑛θ 𝐴θ𝑐𝑜𝑠θ 𝐴θ 𝐴𝑟 𝑐𝑜𝑠θ 𝐴𝑧 𝑠𝑒𝑛θ 𝐴ϕ 𝐴ϕ 𝐴ϕ 𝐴ϕ 𝐴z 𝐴𝑅𝑐𝑜𝑠θ 𝐴θ𝑠𝑒𝑛θ Problema 26 Considere o ponto P123 e o vetor 𝐴 0 21 em coordenadas cilíndricas Obtenha o ponto P em coordenadas esféricas e o vetor 𝐴 no ponto P em coordenadas esféricas Solução 𝑅 𝑟2 𝑧2 12 32 316 θ 𝑡𝑎𝑛1 𝑟 𝑧 𝑡𝑎𝑛1 1 3 0322 ϕ ϕ 2 Eletromagnetismo I 62 Portanto o ponto é P316 0322 2 em coordenadas esféricas Temos que 𝐴𝑅 𝐴𝑟 𝑠𝑒𝑛θ 𝐴𝑧 𝑐𝑜𝑠θ 0 𝑠𝑒𝑛0322 1 𝑐𝑜𝑠0322 095 𝐴θ 𝐴𝑟 𝑐𝑜𝑠θ 𝐴𝑧 𝑠𝑒𝑛θ 0 𝑐𝑜𝑠0322 1 𝑠𝑒𝑛0322 0316 𝐴ϕ 𝐴ϕ 2 Portanto o vetor é 𝐴 095 0316 2 no ponto P316 0322 2 em coordenadas esféricas Problema 27 Considere o ponto P316 0322 2 e o vetor 𝐴 095 0316 2 em coordenadas esféricas Obtenha o ponto P em coordenadas cilíndricas e o vetor 𝐴 no ponto P em coordenadas cilíndricas Solução 𝑟 𝑅 𝑠𝑒𝑛θ 315 𝑠𝑒𝑛0322 1 ϕ ϕ 2 𝑧 𝑅 𝑐𝑜𝑠θ 315 𝑐𝑜𝑠0322 3 Portanto o ponto é P123 em coordenadas cilíndricas Temos que 𝐴𝑟 𝐴𝑅 𝑠𝑒𝑛θ 𝐴θ𝑐𝑜𝑠θ 095 𝑠𝑒𝑛0322 0316 𝑐𝑜𝑠0322 0 𝐴ϕ 𝐴ϕ 2 𝐴z 𝐴𝑅𝑐𝑜𝑠θ 𝐴θ𝑠𝑒𝑛θ 095 𝑐𝑜𝑠0322 0316 𝑠𝑒𝑛0322 1 Portanto o vetor é 𝐴 0 2 1 no ponto P123 em coordenadas cilíndricas que é o enunciado do problema anterior Nessa Unidade fizemos uma revisão de unidades de medida e de álgebra vetorial Na próxima Unidade vamos introduzir o estudo do cálculo diferencial e integral à álgebra vetorial resultando no chamado Cálculo Vetorial Eletromagnetismo I 63 Exercícios Unidade 1 1 Considere as seguintes afirmações sobre a Era Clássica do Eletromagnetismo I Thales de Mileto descreveu como a fricção do âmbar fazia o material desenvolver uma força que atraia objetos como plumas II Gilbert formulou as equações matemáticas sobre a força elétrica entre duas cargas em termos de intensidade magnitude e polaridade direção em função da distância entre elas III Alexandre Volta inventou o pararaios e demonstrou que o relâmpago é um fenômeno elétrico São corretas as afirmações a I apenas b I e II apenas c II e III apenas d TODAS as afirmações estão CORRETAS e TODAS as afirmações estão INCORRETAS 2 Sabendo que a tensão elétrica pode ser obtida pela equação V i x R e que i 35 mA e R 55 MΩ a tensão elétrica em MV será igual a a 325 MV b 1925 MV c 165 MV d 025 MV e 14488 MV Eletromagnetismo I 64 3 Sabendo que a carga elétrica pode ser obtida pela equação Q i x t e que i 30 A e t 75 ms a carga elétrica em mC será igual a a 75 mC b 225 mC c 225 mC d 2250 mC e 22500 mC Considere os vetores 𝑨 𝟑 𝟒 𝟓 e 𝑩 𝟎 𝟑 𝟎 para as questões 4 5 6 7 e 8 4 O módulo de 𝐴 é a 0 b 3 c 707 d 5 e 645 5 O resultado da operação 𝐴 𝐵 é a 80 3 b 31 5 c 37 5 d 0 30 e 300 Eletromagnetismo I 65 6 O vetor unitário 𝑎 na direção de 𝐴 é a 707 b 3 1 5 c 1 0 0 d 024 012 096 e 042 057 071 7 O produto escalar 𝐴 𝐵 é a 707 b 12 c 37 5 d 2 e 0 8 O produto vetorial 𝐴 𝐵 é a 37 5 b 15 37 21 c 73 5 d 1509 e 15 5 37 Eletromagnetismo I 66 Considere o ponto P201 e o vetor 𝑨 𝟑𝟐 𝟐 em coordenadas retangulares para os exercícios 9 e 10 9 Determine e o vetor 𝐴 no ponto P em coordenadas cilíndricas 10 Determine e o vetor 𝐴 no ponto P em coordenadas esféricas Eletromagnetismo I 67 2 Cálculo Vetorial Eletromagnetismo I 68 Nesta Unidade aprenderemos os fundamentos do Cálculo Vetorial que são a base matemática para o Eletromagnetismo Objetivos da unidade Conhecer os elementos diferenciais de volume área e comprimento Entender os operadores vetoriais como o gradiente o divergente e o rotacional Ser capaz de desenvolver sucessivas aplicações dos operadores vetoriais Plano da unidade Elementos diferenciais Operadores Vetoriais Bons estudos Eletromagnetismo I 69 Classificação dos materiais Elementos diferenciais Elementos diferenciais são muito utilizados em conjunto com as operações integrais para cálculo de comprimento área e volume Um elemento diferencial por exemplo dx é uma diferença muito pequena é um comprimento que tende à zero A letra d é a sigla para diferencial dx lêse diferencial x As operações com elementos diferenciais são muito utilizadas em cálculos envolvendo materiais sólidos Podemos representar um material sólido como sendo um somatório de infinitos elementos diferenciais de volume como uma soma de pequenos pedaços de geometria retangular cilíndrica ou esférica Lembrando que o somatório de elementos diferenciais é o que chamamos de integral Naturalmente as representações dos elementos diferenciais de comprimento área e volume dependem do sistema de coordenadas adotado se é retangular cilíndrica ou esférica Ou seja a representação dos elementos diferenciais depende do sistema de coordenadas A figura a seguir ilustra o comprimento a área e o volume diferenciais em coordenadas retangulares Fonte ULABY 2007 Eletromagnetismo I 70 O comprimento diferencial em coordenadas retangulares é o vetor 𝑑𝑙 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑦 𝑦 𝑑𝑧 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 Já vimos que a área é formada pelo produto vetorial entre dois vetores Assim um elemento diferencial de área da superfície frente é dado por 𝑑𝑆𝑥 𝑑𝑦 𝑦 𝑑𝑧 𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑥 Os elementos diferenciais de área das superfícies lateral e topo são respectivamente 𝑑𝑆𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑦 𝑑𝑆𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑧 Observe que para cada elemento diferencial de área existe um vetor unitário perpendicular normal à área diferencial O volume diferencial é o produto das três componentes diferenciais 𝑑𝑉 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 A figura a seguir ilustra o comprimento a área e o volume diferenciais em coordenadas cilíndricas Fonte ULABY 2007 Eletromagnetismo I 71 É importante observar que o arco de uma circunferência é igual ao produto entre o raio e o ângulo portanto um elemento diferencial de arco é igual ao produto 𝑟𝑑𝜙 O comprimento diferencial em coordenadas cilíndricas é o vetor 𝑑𝑙 𝑑𝑟 𝑟 𝑟𝑑𝜙 𝜙 𝑑𝑧 𝑧 𝑑𝑟 𝑟𝑑𝜙 𝑑𝑧 A área diferencial das superfícies frente lateral e topo são dadas respectivamente pelos vetores 𝑑𝑆𝑟 𝑟 𝑑𝜙 𝑑𝑧 𝑟 𝑑𝑆𝜙 𝑑𝑟 𝑑𝑧 𝜙 𝑑𝑆𝑧 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝜙 𝑧 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜙 𝑧 O volume diferencial em coordenadas cilíndricas é dado por 𝑑𝑉 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝜙 𝑑𝑧 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜙 𝑑𝑧 A figura a seguir ilustra o comprimento a área e o volume diferenciais em coordenadas esféricas Fonte ULABY 2007 Eletromagnetismo I 72 O comprimento diferencial em coordenadas esféricas é o vetor 𝑑𝑙 𝑑𝑅 𝑅 𝑅𝑑𝜃 𝜃 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙 𝜙 𝑑𝑅 𝑅𝑑𝜃 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙 As áreas diferenciais das superfícies em coordenadas esféricas são dadas pelos vetores 𝑑𝑆𝑅 𝑅 𝑑𝜃 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙 𝑅 𝑅2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝑅 𝑑𝑆𝜃 𝑑𝑅 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙 𝜃 𝑅 𝑑𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙 𝜃 𝑑𝑆𝜙 𝑑𝑅 𝑅 𝑑𝜃 𝜙 𝑅 𝑑𝑅 𝑑𝜃 𝜙 O volume diferencial em coordenadas esféricas é dado por 𝑑𝑉 𝑑𝑅 𝑅 𝑑𝜃 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙 𝑅2 𝑑𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙 A Tabela 5 resume os elementos diferenciais de comprimento área e volume para os sistemas de coordenadas retangulares cilíndricas e esféricas Tabela 5 Elementos diferenciais de comprimento área e volume para os sistemas de coordenadas retangulares cilíndricas e esféricas Fonte ULABY 2007 Operadores Vetoriais Um campo é a especificação de uma grandeza em função da posição em toda a região de interesse também chamada de região de observação Um campo pode ser tanto escalar quanto vetorial Um campo escalar é aquele em que todos os pontos apresentam grandezas sem orientação são isentas de direção e sentido possuindo apenas uma magnitude Eletromagnetismo I 73 Exemplos distribuição de temperatura e potencial elétrico Um campo escalar é também chamado de campo potencial As superfícies em que o campo escalar é constante são chamadas de equipotenciais Problema 1 Considere o campo escalar 𝑉𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2 𝑦2 2𝑧 Determine o valor desse campo no ponto P123 Solução 𝑉1 23 12 22 2 3 1 Resposta Temos o valor 𝑉 1 no ponto P123 Um campo vetorial é aquele em que cada ponto está associado a um vetor possui um módulo direção e sentido Exemplos distribuição da velocidade em um fluido e o campo elétrico Como pode ser observado na figura a seguir em um campo vetorial temos um vetor associado a cada ponto da região de interesse Para mapear campos vetoriais utilizamos as linhas de fluxo que são linhas tangenciais ao vetor em cada ponto do espaço Uma maior concentração de linhas indica que o campo vetorial é mais intenso Eletromagnetismo I 74 Problema 2 Considere o campo vetorial 𝑉𝑥 𝑦𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑥 2𝑧 4𝑦 Determine o vetor desse campo no ponto P123 Solução É importante observar que 𝑉𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑥 2𝑧 4𝑦 𝑥2 𝑦2 𝑥 𝑥 2𝑧 𝑦 4𝑦 𝑧 No ponto P123 𝑉1 23 12 22 1 2 3 4 2 5 5 8 𝑉1 23 5 𝑥 5 𝑦 8 𝑧 Resposta Temos o vetor 𝑉 5 5 8 no ponto P123 Logo um campo escalar representa uma distribuição de valores escalares ao longo de uma região enquanto um campo vetorial representa uma distribuição de vetores com magnitude e orientação ao longo de uma região No estudo de Eletromagnetismo precisamos de indicadores matemático para entendermos como um campo seja escalar ou vetorial varia no espaço Nessa seção aprenderemos três operadores para tal propósito 1 Gradiente operação sobre um campo escalar equipotencial que resulta em um vetor Ele fornece uma medida módulo e orientação para a máxima taxa espacial de variação do campo escalar de determinado ponto 2 Divergente operação sobre um campo vetorial linhas de fluxo que resulta em um escalar Ele fornece uma medida de fluxo por unidade de volume densidade de linhas de fluxo que emana de determinado ponto 3 Rotacional operação sobre um campo vetorial linhas de fluxo que resulta em um vetor Ele fornece informações sobre a circulação do campo vetorial das linhas de fluxo no entorno de determinado ponto Eletromagnetismo I 75 Gradiente de um campo escalar Ao trabalharmos com uma grandeza física escalar que é função de uma única variável como a temperatura 𝑇𝑥 em função do comprimento 𝑥 a taxa de variação de 𝑇 com o comprimento pode ser descrita pela derivada 𝑑𝑇𝑑𝑥 Entretanto se a temperatura é função das três dimensões 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 a sua taxa de variação espacial tornase algo não tão simples de descrever Considere um campo escalar 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 contínuo e diferenciável As superfícies equipotenciais são definidas por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝐶 Em que 𝐶 é uma constante Observe a figura a seguir Fonte ULABY 2007 Considere que a superfície lateral esquerda e direita sejam equipotenciais 𝑇1 𝐶1 ao longo da superfície da esquerda e 𝑇2 𝐶2 ao longo da superfície da direita e que a distância entre dois pontos dessas superfícies P2 P1 seja diferencial dada por 𝑑𝑙 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑦 𝑦 𝑑𝑧 𝑧 Tendo como base a fórmula da diferencial total podemos calcular 𝑑𝑇 𝑇2 𝑇1 como 𝑑𝑇 𝑇 𝑥 𝑑𝑥 𝑇 𝑦 𝑑𝑦 𝑇 𝑧 𝑑𝑧 Por definição 𝑑𝑥 𝑑𝑙 𝑥 Eletromagnetismo I 76 𝑑𝑦 𝑑𝑙 𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑙 𝑧 Substituindo 𝑑𝑇 𝑇 𝑥 𝑥 𝑑𝑙 𝑇 𝑦 𝑦 𝑑𝑙 𝑇 𝑧 𝑧 𝑑𝑙 𝑑𝑇 𝑇 𝑥 𝑥 𝑇 𝑦 𝑦 𝑇 𝑧 𝑧 𝑑𝑙 O vetor dentro dos colchetes define a variação do campo escalar temperatura ao longo de 𝑑𝑙 Esse vetor é denominado gradiente de T representado simbolicamente por 𝑇 𝑇 𝑇 𝑥 𝑥 𝑇 𝑦 𝑦 𝑇 𝑧 𝑧 Substituindo temos então que 𝑑𝑇 𝑇 𝑑𝑙 Observe que a projeção do vetor gradiente 𝑇 na direção especificada por 𝑑𝑙 corresponde à derivada direcional 𝑑𝑇 𝑇 𝑑𝑙 𝑙 𝑑𝑇 𝑑𝑙 𝑇 𝑙 Se 𝑑𝑙 for normal à superfície equipotencial o que corresponde ao menor deslocamento temos o valor máximo que corresponde a 𝑑𝑇 𝑑𝑛 𝑇 O gradiente de uma função potencial como o potencial elétrico é um campo vetorial que é normal às superfícies equipotenciais em todos os pontos Eletromagnetismo I 77 O símbolo é denominado del ou operador gradiente sendo definido em coordenadas retangulares por 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 𝑧 O campo vetorial 𝑇 é chamado de gradiente e representa a conversão de um campo escalar em um campo vetorial O campo vetorial gradiente representa a máxima taxa de acréscimo do campo escalar 𝑇 MÁXIMA Direção TAXA Magnitude DE ACRÉSCIMO Sentido Problema 3 Determine o gradiente do campo escalar 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2 𝑥𝑦2 2𝑧 Em seguida determine o gradiente desse campo no ponto P321 Solução 𝑇 𝑇 𝑥 𝑥 𝑇 𝑦 𝑦 𝑇 𝑧 𝑧 𝑇 2𝑥 𝑦2𝑥 2𝑥𝑦 𝑦 2 𝑧 2𝑥 𝑦2 2𝑥𝑦 2 No ponto P321 𝑇 2 3 22𝑥 2 3 2 𝑦 2 𝑧 10 𝑥 12 𝑦 2 𝑧 10 12 2 O vetor 10 12 2 representa a máxima taxa de acréscimo de T no ponto P321 Eletromagnetismo I 78 Problema 4 Determine a derivada direcional de 𝑇 𝑥2 𝑦2𝑧 ao longo da direção de 𝑙 2𝑥 3𝑦 2𝑧 e a calcule para P112 Solução Temos que 𝑑𝑇 𝑑𝑙 𝑇 𝑙 Ou seja a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de 𝑇 e o vetor unitário na direção de 𝑙 O gradiente de 𝑇 é dado por 𝑇 𝑇 𝑥 𝑥 𝑇 𝑦 𝑦 𝑇 𝑧 𝑧 𝑇 2𝑥 𝑥 2𝑦𝑧 𝑦 𝑦2 𝑧 2𝑥 2𝑦𝑧 𝑦2 O vetor unitário na direção de 𝑙 é dado por 𝑙 𝑙 𝑙 2𝑥 3𝑦 2𝑧 22 32 22 2𝑥 3𝑦 2𝑧 412 0485𝑥 073𝑦 0485𝑧 𝑙 0485 073 0485 Resultando em 𝑑𝑇 𝑑𝑙 𝑇 𝑙 2𝑥 2𝑦𝑧 𝑦2 0485 073 0485 𝑑𝑇 𝑑𝑙 097𝑥 146𝑦𝑧 0485𝑦2 No ponto P112 𝑑𝑇 𝑑𝑙 1 12 097 1 146 1 2 0485 12 𝑑𝑇 𝑑𝑙 1 12 2435 A expressão do gradiente deve ser igualmente válida para qualquer sistema de coordenadas ortogonais A equação para o gradiente em coordenadas cilíndricas e esféricas é obtido diretamente daquela em coordenadas cartesianas por meio de uma transformação do sistema de coordenadas Eletromagnetismo I 79 O operador gradiente em coordenadas cilíndricas pode ser definido como 𝑟 𝑟 1 𝑟 ϕ ϕ 𝑧 𝑧 O gradiente do campo escalar 𝑇 em coordenadas cilíndricas é dado por 𝑇 𝑇 𝑟 𝑟 1 𝑟 𝑇 ϕ ϕ 𝑇 𝑧 𝑧 Problema 5 Determine o gradiente do campo escalar 𝑉𝑟ϕ 𝑧 2𝑒2𝑟𝑠𝑒𝑛3ϕ Em seguida determine o gradiente desse campo no ponto P1π23 em coordenadas cilíndricas Solução 𝑉 𝑉 𝑟 𝑟 1 𝑟 𝑉 ϕ ϕ 𝑉 𝑧 𝑧 𝑉 2 2𝑒2𝑟𝑠𝑒𝑛3ϕ𝑟 1 𝑟 2𝑒2𝑟 3𝑐𝑜𝑠3ϕϕ 0 𝑧 𝑉 4𝑒2𝑟𝑠𝑒𝑛3ϕ𝑟 6𝑒2𝑟𝑐𝑜𝑠3ϕ 𝑟 ϕ No ponto P1π23 𝑉 4𝑒21𝑠𝑒𝑛3π2𝑟 6𝑒21𝑐𝑜𝑠3π2 1 ϕ 𝑉 054𝑟 O operador gradiente em coordenadas esféricas pode ser definido como 𝑅 𝑅 1 𝑅 θ θ 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ϕ ϕ O gradiente do campo escalar 𝑇 em coordenadas esféricas é dado por 𝑇 𝑇 𝑅 𝑅 1 𝑅 𝑇 θ θ 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑇 ϕ ϕ Eletromagnetismo I 80 Problema 6 Determine o gradiente do campo escalar 𝑉𝑅 θ ϕ 𝑎2𝑅2𝑐𝑜𝑠2θ Em seguida determine o gradiente desse campo no ponto Pa0π em coordenadas esféricas Solução 𝑉 𝑉 𝑅 𝑅 1 𝑅 𝑉 θ θ 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑉 ϕ ϕ 𝑉 2 𝑎2 𝑅3 𝑐𝑜𝑠2θ𝑅 1 𝑅 𝑎2 𝑅2 2𝑠𝑒𝑛2θθ 0 ϕ 𝑉 2𝑎2 𝑅3 𝑐𝑜𝑠2θ𝑅 2𝑎2 𝑅3 𝑠𝑒𝑛2θθ No ponto Pa0π 𝑉 2𝑎2 𝑎3 𝑐𝑜𝑠2 0𝑅 2𝑎2 𝑎3 𝑠𝑒𝑛2 0θ 𝑉 2 𝑎 𝑅 Operador gradiente para os sistemas de coordenadas Retangulares 𝑇 𝑇 𝑥 𝑥 𝑇 𝑦 𝑦 𝑇 𝑧 𝑧 Cilíndricas 𝑇 𝑇 𝑟 𝑟 1 𝑟 𝑇 ϕ ϕ 𝑇 𝑧 𝑧 Esféricas 𝑇 𝑇 𝑅 𝑅 1 𝑅 𝑇 θ θ 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑇 ϕ ϕ Eletromagnetismo I 81 Propriedades do operador gradiente As relações a seguir se aplicam para quaisquer duas funções escalares 𝑇 e 𝑈 𝑇 𝑈 𝑇 𝑈 𝑇 𝑈 𝑇 𝑈 𝑈 𝑇 𝑇𝑛 𝑛𝑇𝑛1𝑇 Observe que essas regras são as mesmas da derivada Isso ocorre uma vez que o gradiente é uma derivada direcional ou seja é uma derivada Divergente de um campo vetorial Alguns campos vetoriais ao considerarmos uma região fechada tendem a possuir um fluxo de saída igual ao fluxo de entrada Em teoria Eletromagnética apenas os campos Magnetostáticos ditos solenoidais possuem esse comportamento Entretanto alguns campos vetoriais podem criar linhas de fluxo caso exista uma fonte de campo dentro da região de interesse Um exemplo é a presença de uma carga elétrica pontual O divergente de um campo vetorial resulta em um escalar e tem semelhança com uma operação de derivada sobre uma função escalar Imagine o fluxo de água través de um cano Em geral o fluxo de entrada deve ser igual ao fluxo de saída Entretanto caso exista uma fonte de campo uma nova entrada de água por esse cano o fluxo de saída será maior do que o de entrada E caso exista um sumidouro ou sorvedouro de campo um furo por onde sai água desse cano o fluxo de saída será menor do que o de entrada Portanto se o fluxo de saída for diferente do fluxo de entrada então existe fonte ou sumidouro na região de interesse Graficamente um campo vetorial é representado por linhas de fluxo em que as setas indicam a direção e sentido do campo no ponto onde a linha de campo é desenhada enquanto o comprimento da linha ou a densidade de linhas representa a intensidade do campo Eletromagnetismo I 82 Fluxo de entrada Região Fechada Fluxo de saída Por convenção o fluxo será considerado positivo quando as linhas de fluxo saem da superfície e negativo quando elas entram Na figura anterior o fluxo que penetra pela face da esquerda da superfície fechada é negativo o que sai pela face direita é positivo Assim 1 Caso não exista fonte ou sumidouro o somatório do fluxo através de todas as superfícies da região fechada deve ser igual a 0 2 Caso exista fonte de campo vetorial o somatório do fluxo através de todas as superfícies da região fechada deve ser igual à intensidade magnitude da fonte de campo vetorial O nosso objetivo é calcular a intensidade magnitude da fonte de campo vetorial A figura a seguir apresenta uma carga elétrica fonte de campo elétrico no interior de uma região fechada superfície esférica imaginária Apesar de o campo elétrico da carga q não se mover consideramos a sua presença como o fluxo que flui através do espaço e nos referimos a suas linhas como linhas de fluxo Eletromagnetismo I 83 Na fronteira de uma superfície definimos a densidade de fluxo como a quantidade de fluxo que atravessa a superfície dS elemento diferencial de área da superfície O fluxo total que atravessa a superfície fechada S como a esfera imaginária é dado por Fluxo Total Ф𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐹 𝑑𝑆 𝑆 Em que 𝐹 representa a fonte de campo vetorial É importante observar que a direção de 𝑑𝑆 é sempre normal à superfície da região fechada Portanto só contribuirão para o fluxo total a componente de 𝐹 que seja normal à superfície Considere o campo vetorial 𝐹 no sistema de coordenadas retangulares 𝐹 𝐹𝑥 𝑥 𝐹𝑦 𝑦 𝐹𝑧 𝑧 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧 Considere um paralelepípedo diferencial de lados dx dy e dz Temos que o fluxo líquido variação do fluxo na direção 𝑥 superfícies frente e costa é dado por Ф𝑥 𝐹𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑆𝑥 𝐹𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 O fluxo líquido na direção 𝑦 superfícies laterais é dado por Ф𝑦 𝐹𝑦 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑆𝑦 𝐹𝑦 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 O fluxo líquido na direção 𝑧 superfícies topo e base é dado por Eletromagnetismo I 84 Ф𝑧 𝐹𝑧 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑆𝑧 𝐹𝑧 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 O fluxo líquido total variação do fluxo total causada pela fonte de campo vetorial no paralelepípedo é a soma dos fluxos nas direções dos eixos coordenados Ф𝐿𝑇 Ф𝑥 Ф𝑦 Ф𝑧 Ф𝐿𝑇 𝐹𝑥 𝑥 𝐹𝑦 𝑦 𝐹𝑧 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 Ф𝐿𝑇 𝐹𝑥 𝑥 𝐹𝑦 𝑦 𝐹𝑧 𝑧 𝑑𝑉 O divergente de um campo vetorial é definido como 𝐹 𝐹𝑥 𝑥 𝐹𝑦 𝑦 𝐹𝑧 𝑧 Assim temos que Ф𝐿𝑇 𝐹 𝑑𝑉 Ou seja o divergente de um campo vetorial representa a taxa de variação de linhas de fluxo por unidade de volume densidade de linhas de fluxo O campo vetorial 𝐹 tem divergência positiva se o fluxo líquido que sai da superfície S for positiva o qual pode ser observado se o volume da região possuir uma fonte de fluxo Se o divergente for negativo a região pode ser considerada como um volume de absorção Para um campo vetorial uniforme em que a quantidade de fluxo que entra é a mesma que sai o divergente é igual a zero Campos elétricos em geral possuem divergente diferente de zero enquanto campos magnéticos possuem divergente nulo Eletromagnetismo I 85 O operador del e a divergência O operador del foi definido em coordenadas cartesianas como 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 𝑧 Fazendo o produto escalar do operador del com um vetor 𝐹 temos 𝐹 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 𝑧 𝐹𝑥 𝑥 𝐹𝑦 𝑦 𝐹𝑧 𝑧 𝐹 𝐹𝑥 𝑥 𝐹𝑦 𝑦 𝐹𝑧 𝑧 Que é a fórmula do divergente definida anteriormente Problema 7 Dado o campo vetorial 𝐹 5𝑥2 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑦 2 𝑥 2𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑦 2 𝑦 determine o divergente desse campo no ponto P211 em coordenadas retangulares Solução 𝐹 𝐹𝑥 𝑥 𝐹𝑦 𝑦 𝐹𝑧 𝑧 𝐹 10𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑦 2 2𝑧 𝜋 2 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑦 2 0 𝐹 10𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑦 2 𝑧𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑦 2 No ponto P211 𝐹 10 𝑠𝑒𝑛 𝜋 1 2 1 𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝜋 1 2 𝐹 10 𝜋 1314 Que corresponde à taxa de variação aumento das linhas de fluxo líquido por unidade de volume Eletromagnetismo I 86 Teorema da Divergência Temos que o fluxo líquido total através de um volume diferencial é dado por Ф𝐿𝑇 𝐹𝑑𝑉 Ao considerarmos uma região fechada de volume 𝑉 temos que Ф𝐿𝑇 𝐹 𝑉 𝑑𝑉 Ф𝐿𝑇 𝐹 𝑑𝑆 𝑆 Logo Ф𝐿𝑇 𝐹 𝑑𝑆 𝑆 𝐹 𝑉 𝑑𝑉 O Teorema da Divergência mostra que o fluxo líquido total gerado por uma fonte de campo vetorial pode ser obtido por meio da integral fechada do campo vetorial medir o fluxo total que passa através da superfície ao redor da região ou fazendo a integral do divergente do campo vetorial calcular o divergente que é a densidade volumétrica de linhas de fluxo seguida da integral ao longo da região que é o somatório de todos esses elementos diferenciais de volume O Teorema da Divergência é também chamado de Teorema de Gauss Eletromagnetismo I 87 Problema 8 Considere uma região fechada delimitada por 0 𝑥 2 1 𝑦 3 e 1 𝑧 2 Dado uma fonte de campo vetorial 𝐹 𝑥2𝑦 𝑥 𝑥𝑦𝑧 𝑦 3𝑦2 𝑧 determine o fluxo líquido total a por meio da integral fechada e b por meio do Teorema da Divergência Solução Observe a região no R3 a por meio da integral fechada temos Ф𝐿𝑇 𝐹 𝑑𝑆 𝑆 Temos que calcular o fluxo através de cada uma das 6 superfícies Ф𝑓𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐹𝑥 3 1 2 1 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑥2𝑦 3 1 2 1 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑥2𝑦2 2 3 1 2 1 𝑑𝑧 8𝑥2 2 2 1 𝑑𝑧 8𝑥2𝑧 2 2 1 8𝑥2 2 𝑥 2 16 Eletromagnetismo I 88 Ф𝑐𝑜𝑠𝑡𝑎 𝐹𝑥 3 1 2 1 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑥2𝑦 3 1 2 1 𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑥2𝑦2 2 3 1 2 1 𝑑𝑧 8𝑥2 2 2 1 𝑑𝑧 8𝑥2𝑧 2 2 1 8𝑥2 2 𝑥 0 0 Ф𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 𝐹𝑦 2 0 2 1 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑥𝑦𝑧 2 0 2 1 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑥2𝑦𝑧 2 2 0 2 1 𝑑𝑧 2𝑦𝑧 2 1 𝑑𝑧 𝑦𝑧2 2 1 3𝑦 𝑦 3 9 Ф𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝐹𝑦 2 0 2 1 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑥𝑦𝑧 2 0 2 1 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑥2𝑦𝑧 2 2 0 2 1 𝑑𝑧 2𝑦𝑧 2 1 𝑑𝑧 𝑦𝑧2 2 1 3𝑦 𝑦 1 3 Ф𝑡𝑜𝑝𝑜 𝐹𝑧 2 0 3 1 𝑑𝑥𝑑𝑦 3𝑦2 2 0 3 1 𝑑𝑥𝑑𝑦 3𝑦2𝑥 2 0 2 1 𝑑𝑦 6𝑦2 3 1 𝑑𝑦 2𝑦3 3 1 52 𝑧 2 52 Ф𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐹𝑧 2 0 3 1 𝑑𝑥𝑑𝑦 3𝑦2 2 0 3 1 𝑑𝑥𝑑𝑦 3𝑦2𝑥 2 0 2 1 𝑑𝑦 6𝑦2 3 1 𝑑𝑦 2𝑦3 3 1 52 𝑧 1 52 Ф𝐿𝑇 𝐹 𝑑𝑆 𝑆 16 0 9 3 52 52 22 Eletromagnetismo I 89 b por meio do Teorema da Divergência temos Ф𝐿𝑇 𝐹 𝑉 𝑑𝑉 Ф𝐿𝑇 𝐹𝑥 𝑥 𝐹𝑦 𝑦 𝐹𝑧 𝑧 2 0 3 1 2 1 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Ф𝐿𝑇 2𝑥𝑦 𝑥𝑧 0 2 0 3 1 2 1 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑥2𝑦 𝑥2𝑧 2 3 1 2 1 2 0 𝑑𝑦𝑑𝑧 4𝑦 2𝑧 3 1 2 1 𝑑𝑦𝑑𝑧 2𝑦2 2𝑧𝑦 3 1 2 1 𝑑𝑧 16 4𝑧 2 1 𝑑𝑧 16𝑧 2𝑧2 2 1 16 6 22 Considere agora o campo vetorial em coordenadas cilíndricas dado por 𝐹 𝐹𝑟 𝑟 𝐹ϕ ϕ 𝐹𝑧 𝑧 O operador divergente de um campo vetorial em coordenadas cilíndricas é definido como 𝐹 1 𝑟 𝑟𝐹𝑟 𝑟 1 𝑟 𝐹ϕ ϕ 𝐹𝑧 𝑧 Eletromagnetismo I 90 Problema 9 Dado o campo vetorial 𝐹 𝑟 𝑠𝑒𝑛ϕ𝑟 𝑟2 𝑐𝑜𝑠ϕϕ 2𝑟 𝑒5𝑧 𝑧 determine o divergente desse campo no ponto P12π20 em coordenadas cilíndricas Solução 𝐹 1 𝑟 𝑟𝐹𝑟 𝑟 1 𝑟 𝐹ϕ ϕ 𝐹𝑧 𝑧 𝐹 1 𝑟 2𝑟 𝑠𝑒𝑛ϕ 1 𝑟 𝑟2𝑠𝑒𝑛ϕ 2𝑟 5 𝑒5𝑧 𝐹 2 𝑠𝑒𝑛ϕ 𝑟 𝑠𝑒𝑛ϕ 10𝑟 𝑒5𝑧 No ponto P12π20 𝐹 2 𝑠𝑒𝑛 π 2 1 2 𝑠𝑒𝑛 π 2 5 𝑒0 𝐹 3 1 2 7 2 Considere agora o campo vetorial em coordenadas esféricas dado por 𝐹 𝐹𝑅 𝑅 𝐹θ θ 𝐹ϕ ϕ O operador divergente de um campo vetorial em coordenadas esféricas é definido como 𝐹 1 𝑅2 𝑅2𝐹𝑅 𝑅 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐹θ θ 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐹ϕ ϕ Eletromagnetismo I 91 Problema 10 Dado o campo vetorial 𝐹 5𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑅 𝑅 𝜃 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ϕ determine o divergente desse campo no ponto P1π2π em coordenadas esféricas Solução 𝐹 1 𝑅2 𝑅2𝐹𝑅 𝑅 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐹θ θ 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐹ϕ ϕ 𝐹 1 𝑅2 5 𝑠𝑒𝑛 𝜃 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑅 𝑐𝑜𝑠 𝜃 0 𝐹 5 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑅2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 No ponto P1π2π 𝐹 5 𝑠𝑒𝑛 π2 1 𝑐𝑜𝑠 π2 𝑠𝑒𝑛 π2 𝐹 5 Operador divergente para os sistemas de coordenadas Retangulares 𝐹 𝐹𝑥 𝑥 𝐹𝑦 𝑦 𝐹𝑧 𝑧 Cilíndricas 𝐹 1 𝑟 𝑟𝐹𝑟 𝑟 1 𝑟 𝐹ϕ ϕ 𝐹𝑧 𝑧 Esféricas 𝐹 1 𝑅2 𝑅2𝐹𝑅 𝑅 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐹θ θ 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐹ϕ ϕ Eletromagnetismo I 92 Propriedades do operador divergente O operador divergente admite a propriedade distributiva ou seja para qualquer par de vetores 𝐴 e 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 Se 𝐴 0 Então o campo vetorial 𝐴 é denominado solenoidal Rotacional de um campo vetorial O rotacional de um campo vetorial calcula a circulação líquida do campo vetorial Podemos representar um campo vetorial como 𝐹 𝐹𝑛 𝑛 𝐹𝑡 𝑡 Enquanto o divergente de 𝐹 é calculado sobre a componente normal à superfície 𝐹𝑛 o rotacional de 𝐹 é calculado sobre a componente tangencial à superfície 𝐹𝑡 É importante lembrar que a direção e sentido da rotação são dados pela Regra da Mão Direita Para um contorno fechado C a circulação de um campo vetorial 𝐵 é definida como a integral de linha de 𝐵 em torno do percurso C ou seja Circulação 𝐵 𝑑𝑙 𝐶 Considere um campo uniforme 𝐵 𝐵𝑜 𝑥 como mostrado a seguir Eletromagnetismo I 93 Fonte ULABY 2007 Medindo a circulação no contorno retangular abcd temos Circulação 𝐵 𝑑𝑙 𝐶 𝐵𝑜 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑏 𝑎 𝐵𝑜 𝑥 𝑑𝑦 𝑦 𝑐 𝑏 𝐵𝑜 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑑 𝑐 𝐵𝑜 𝑥 𝑑𝑦 𝑦 𝑎 𝑑 𝐵𝑜 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 0 𝐵𝑜 𝑑𝑥 𝑑 𝑐 0 𝐵𝑜 𝛥𝑥 𝐵𝑜 𝛥𝑥 0 Ou seja a circulação de um campo uniforme é zero A figura a seguir mostra um ímã e as linhas de campo magnético Fonte httpsphetcoloradoedu Eletromagnetismo I 94 Note que para qualquer que seja a superfície fechada ao redor desse ímã a taxa de variação das linhas de fluxo através dessa superfície sempre será igual a zero pois a quantidade de linhas que saem é igual a quantidade de linhas que entram Isso significa que o divergente desse campo é igual a zero Por outro lado como existe uma circulação dessas linhas de campo então o rotacional é diferente de 0 É importante observar que a magnitude módulo da circulação do campo vetorial 𝐵 depende do contorno escolhido Considere a figura a seguir em coordenadas cilíndricas Fonte ULABY 2007 Se o contorno escolhido for paralelo ao plano xy então teremos uma circulação diferente de 0 Por outro lado se escolhermos um contorno perpendicular ao plano xy paralelo ao plano xz ou yz então a circulação será nula pois 𝑑𝑙 não teria uma componente ϕ e a integral teria uma circulação líquida nula Em outras palavras o módulo da circulação de 𝐵 depende do contorno escolhido Além disso a direção e sentido orientação do contorno determina se a circulação é positiva sentido antihorário ou negativa sentido horário Assim gostaríamos de escolher um contorno tal que a circulação do campo vetorial fosse máxima módulo e com mesma direção e sentido do campo vetorial orientação O operador rotacional é definido para acomodar essas propriedades Ele fornece então as informações sobre a máxima magnitude e orientação da circulação das linhas de campo Eletromagnetismo I 95 Considere um campo vetorial em coordenadas retangulares 𝐹 𝐹𝑥 𝑥 𝐹𝑦 𝑦 𝐹𝑧 𝑧 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧 A direção do rotacional de 𝐹 é 𝑛 ou seja é um vetor unitário normal à superfície de circulação que define o eixo de rotação cuja direção e sentido são definidas pela Regra da Mão Direita Temos então que em coordenadas retangulares as três componentes do rotacional são componentes normais 𝑛 𝑥 se a rotação for no plano yz 𝑦 se a rotação for no plano xz 𝑧 se a rotação for no plano xy É importante observar que o rotacional de um campo vetorial resulta em um campo vetorial isto é um vetor definido para cada ponto que representa a circulação no entorno daquele ponto Vamos calcular apenas a componente na direção de 𝑥 Observe a seguir uma superfície diferencial paralela ao plano yz Fonte NAHVIDEKHORDI e EDMINISTER 2013 Nesse caso a componente normal estará na direção de 𝑥 Calculando a circulação de 𝐹 temos Circulação 𝐹 𝑑𝑙 𝐶 Eletromagnetismo I 96 𝐹𝑦 𝐹𝑦 𝑧 0 𝑑𝑦 2 1 𝐹𝑧 𝐹𝑧 𝑦 𝑦 𝑑𝑧 3 2 𝐹𝑦 𝐹𝑦 𝑧 𝑧 𝑑𝑦 4 3 𝐹𝑧 𝐹𝑧 𝑦 0 𝑑𝑧 1 4 𝐹𝑦 𝑑𝑦 2 1 𝐹𝑧 𝐹𝑧 𝑦 𝑦 𝑑𝑧 3 2 𝐹𝑦 𝐹𝑦 𝑧 𝑧 𝑑𝑦 4 3 𝐹𝑧 𝑑𝑧 1 4 𝐹𝑦𝑦 𝐹𝑧 𝐹𝑧 𝑦 𝑦 𝑧 𝐹𝑦 𝐹𝑦 𝑧 𝑧𝑦 𝐹𝑧𝑧 𝐹𝑧 𝑦 𝑦𝑧 𝐹𝑦 𝑧 𝑧𝑦 𝐹𝑧 𝑦 𝐹𝑦 𝑧 𝑦𝑧 Observe que apenas as componentes 𝐹𝑦 e 𝐹𝑧 contribuem para a circulação ao longo desse contorno Considerando as três componentes temos Circulação 𝐹𝑧 𝑦 𝐹𝑦 𝑧 𝑦𝑧 𝑥 𝐹𝑥 𝑧 𝐹𝑧 𝑥 𝑥𝑧 𝑦 𝐹𝑦 𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑧 O rotacional de um campo vetorial em coordenadas retangulares é definido como 𝐹 𝐹𝑧 𝑦 𝐹𝑦 𝑧 𝑥 𝐹𝑥 𝑧 𝐹𝑧 𝑥 𝑦 𝐹𝑦 𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 Assim Circulação 𝐹 𝑆 Em que 𝑆 representa a área da superfície O rotacional mede então a máxima circulação líquida por unidade de área É importante observar que o rotacional é o produto vetorial do operador del com o campo vetorial 𝐹 Eletromagnetismo I 97 Representação matricial do rotacional Assim como o produto vetorial o rotacional também pode ser escrito na forma matricial sendo o determinante da seguinte matriz 𝐹 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧 Observe que 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧 𝐹𝑧 𝑦 𝐹𝑦 𝑧 𝑥 𝐹𝑥 𝑧 𝐹𝑧 𝑥 𝑦 𝐹𝑦 𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 Problema 11 Dado o campo vetorial 𝐹 𝑥2 𝑦2 𝑥 determine o rotacional desse campo no ponto P012 em coordenadas retangulares Solução 𝐹 𝐹𝑧 𝑦 𝐹𝑦 𝑧 𝑥 𝐹𝑥 𝑧 𝐹𝑧 𝑥 𝑦 𝐹𝑦 𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝐹 𝐹𝑥 𝑧 𝑦 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝐹 0 𝑦 2𝑦 𝑧 𝐹 2𝑦 𝑧 No ponto P012 𝐹 2 1 𝑧 2 𝑧 Eletromagnetismo I 98 Problema 12 Dado o campo vetorial 𝐹 5𝑥2 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑦 2 𝑥 2𝑧 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑦 2 𝑦 determine o rotacional desse campo no ponto P211 em coordenadas retangulares Solução 𝐹 𝐹𝑧 𝑦 𝐹𝑦 𝑧 𝑥 𝐹𝑥 𝑧 𝐹𝑧 𝑥 𝑦 𝐹𝑦 𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝐹 𝐹𝑦 𝑧 𝑥 𝐹𝑥 𝑧 𝑦 𝐹𝑦 𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝐹 2 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑦 2 𝑥 0 𝑦 0 5𝑥2 𝜋 2 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑦 2 𝑧 𝐹 2 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑦 2 𝑥 5𝑥2 𝜋 2 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑦 2 𝑧 No ponto P211 𝐹 2 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 𝑥 5 22 𝜋 2 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 𝑧 0 Considere agora o campo vetorial em coordenadas cilíndricas dado por 𝐹 𝐹𝑟 𝑟 𝐹ϕ ϕ 𝐹𝑧 𝑧 O operador rotacional de um campo vetorial em coordenadas cilíndricas é definido como 𝐹 1 𝑟 𝐹𝑧 ϕ 𝐹ϕ 𝑧 𝑟 𝐹𝑟 𝑧 𝐹𝑧 𝑟 ϕ 1 𝑟 𝑟𝐹ϕ 𝑟 𝐹𝑟 ϕ 𝑧 𝐹 1 𝑟 𝑟 𝑟ϕ 𝑧 𝑟 ϕ 𝑧 𝐹𝑟 𝑟𝐹ϕ 𝐹𝑧 Eletromagnetismo I 99 Problema 13 Dado o campo vetorial 𝐹 𝑟 𝑠𝑒𝑛ϕ𝑟 𝑟2 𝑐𝑜𝑠ϕ𝑒5𝑧ϕ determine o rotacional desse campo no ponto P1π0 em coordenadas cilíndricas Solução 𝐹 1 𝑟 𝐹𝑧 ϕ 𝐹ϕ 𝑧 𝑟 𝐹𝑟 𝑧 𝐹𝑧 𝑟 ϕ 1 𝑟 𝑟𝐹ϕ 𝑟 𝐹𝑟 ϕ 𝑧 𝐹 𝐹ϕ 𝑧 𝑟 𝐹𝑟 𝑧 ϕ 1 𝑟 𝑟𝐹ϕ 𝑟 𝐹𝑟 ϕ 𝑧 𝐹 𝑟2 𝑐𝑜𝑠ϕ5𝑒5𝑧𝑟 0 ϕ 1 𝑟 3𝑟2 𝑐𝑜𝑠ϕ𝑒5𝑧 𝑟 𝑐𝑜𝑠ϕ 𝑧 𝐹 5𝑟2 𝑐𝑜𝑠ϕ𝑒5𝑧𝑟 3𝑟 𝑐𝑜𝑠ϕ𝑒5𝑧 𝑐𝑜𝑠ϕ 𝑧 No ponto P1π0 𝐹 5 𝑐𝑜𝑠π𝑒0𝑟 3 𝑐𝑜𝑠π𝑒0 𝑐𝑜𝑠π 𝑧 5 𝑟 2 𝑧 Considere agora o campo vetorial em coordenadas esféricas dado por 𝐹 𝐹𝑅 𝑅 𝐹θ θ 𝐹ϕ ϕ O operador rotacional de um campo vetorial em coordenadas esféricas é definido como 𝐹 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛θ 𝐹ϕ𝑠𝑒𝑛θ θ 𝐹θ ϕ 𝑅 1 𝑅 1 𝑠𝑒𝑛θ 𝐹𝑅 ϕ 𝑅𝐹ϕ 𝑅 θ 1 𝑅 𝑅𝐹θ 𝑅 𝐹𝑅 θ ϕ 𝐹 1 𝑅2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑅 𝑅θ 𝑅𝑠𝑒𝑛θ ϕ 𝑅 θ ϕ 𝐹𝑅 𝑅𝐹θ 𝑅𝑠𝑒𝑛θ 𝐹ϕ Eletromagnetismo I 100 Problema 14 Dado o campo vetorial 𝐹 5𝑅 𝑠𝑒𝑛 θ 𝑅 determine o rotacional desse campo no ponto P1π0 em coordenadas esféricas Solução 𝐹 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛θ 𝐹ϕ𝑠𝑒𝑛θ θ 𝐹θ ϕ 𝑅 1 𝑅 1 𝑠𝑒𝑛θ 𝐹𝑅 ϕ 𝑅𝐹ϕ 𝑅 θ 1 𝑅 𝑅𝐹θ 𝑅 𝐹𝑅 θ ϕ 𝐹 1 𝑅 1 𝑠𝑒𝑛θ 𝐹𝑅 ϕ θ 1 𝑅 𝐹𝑅 θ ϕ 𝐹 1 𝑅𝑠𝑒𝑛θ 0 θ 1 𝑅 5 𝑅 𝑐𝑜𝑠 θ ϕ 𝐹 5 𝑅2 𝑐𝑜𝑠 θ ϕ No ponto P1π0 𝐹 5 12 𝑐𝑜𝑠 π ϕ 𝐹 5 ϕ Eletromagnetismo I 101 Operador rotacional para os sistemas de coordenadas Retangulares 𝐹 𝐹𝑧 𝑦 𝐹𝑦 𝑧 𝑥 𝐹𝑥 𝑧 𝐹𝑧 𝑥 𝑦 𝐹𝑦 𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝐹 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧 Cilíndricas 𝐹 1 𝑟 𝐹𝑧 ϕ 𝐹ϕ 𝑧 𝑟 𝐹𝑟 𝑧 𝐹𝑧 𝑟 ϕ 1 𝑟 𝑟𝐹ϕ 𝑟 𝐹𝑟 ϕ 𝑧 𝐹 1 𝑟 𝑟 𝑟ϕ 𝑧 𝑟 ϕ 𝑧 𝐹𝑟 𝑟𝐹ϕ 𝐹𝑧 Esféricas 𝐹 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛θ 𝐹ϕ𝑠𝑒𝑛θ θ 𝐹θ ϕ 𝑅 1 𝑅 1 𝑠𝑒𝑛θ 𝐹𝑅 ϕ 𝑅𝐹ϕ 𝑅 θ 1 𝑅 𝑅𝐹θ 𝑅 𝐹𝑅 θ ϕ 𝐹 1 𝑅2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑅 𝑅θ 𝑅𝑠𝑒𝑛θ ϕ 𝑅 θ ϕ 𝐹𝑅 𝑅𝐹θ 𝑅𝑠𝑒𝑛θ 𝐹ϕ Propriedade do operador rotacional O operador vetorial admite a propriedade distributiva para quaisquer vetores 𝐴 e 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 Se 𝐴 0 Eletromagnetismo I 102 Então o campo vetorial 𝐴 é denominado conservativo ou uniforme O rotacional mede a máxima circulação líquida de um campo vetorial por unidade de área a área do contorno é orientada de forma que a circulação líquida seja máxima Podemos concluir então que a máxima circulação líquida de um campo vetorial pode ser obtida por meio da integral do rotacional sobre a sua área cuja fórmula é conhecida como Teorema de Stokes Teorema de Stokes Podemos obter a circulação líquida de duas formas Circulação 𝐹 𝑑𝑙 𝐶 𝐹 𝑑𝑆 𝑆 Podemos concluir então que 𝐹 𝑑𝑆 𝑆 𝐹 𝑑𝑙 𝐶 Que é o Teorema de Stokes Observe que o Teorema de Stokes converte a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial sobre a superfície S em uma integral de linha ao longo do contorno C que envolve a superfície S O processo de conversão dado pelo Teorema de Stokes é realizado frequentemente na solução de problemas de Eletromagnetismo No caso de 𝐹 0 dizemos que o campo vetorial 𝐹 é conservativo ou uniforme pois sua circulação representada pelo lado direito da equação é igual a zero Eletromagnetismo I 103 Problema 15 Um campo vetorial é dado por 𝐹 𝑐𝑜𝑠 ϕ𝑟 𝑧 Considere um segmento de superfície cilíndrica definida por 𝑟 2 π3 ϕ π2 e 0 z 3 Determine a máxima circulação líquida por meio do Teorema de Stokes utilizando a o lado esquerdo da fórmula e b o lado direito da fórmula A Figura a seguir ilustra a geometria do problema Solução a Utilizando o lado esquerdo Circulação 𝐹 𝑑𝑆 𝑆 𝐹 1 𝑟 𝐹𝑧 ϕ 𝐹ϕ 𝑧 𝑟 𝐹𝑟 𝑧 𝐹𝑧 𝑟 ϕ 1 𝑟 𝑟𝐹ϕ 𝑟 𝐹𝑟 ϕ 𝑧 𝐹 1 𝑟 𝐹𝑧 ϕ 𝑟 𝐹𝑧 𝑟 ϕ 𝐹 1 𝑟 𝑠𝑒𝑛 ϕ 𝑟 𝑟 𝑐𝑜𝑠 ϕ 𝑟2 ϕ 𝐹 𝑠𝑒𝑛 ϕ 𝑟2 𝑟 𝑐𝑜𝑠 ϕ 𝑟2 ϕ Circulação 𝐹 𝑑𝑆 𝑆 𝑠𝑒𝑛 ϕ 𝑟2 𝑟 𝑐𝑜𝑠 ϕ 𝑟2 ϕ 𝑟𝑑ϕ𝑑𝑧 π2 π3 3 0 𝑟 𝑠𝑒𝑛 ϕ 𝑟2 𝑟𝑑ϕ𝑑𝑧 π2 π3 3 0 𝑠𝑒𝑛 ϕ 𝑟 𝑑ϕ𝑑𝑧 π2 π3 3 0 Eletromagnetismo I 104 𝑐𝑜𝑠 ϕ 𝑟 π2 π3 𝑑𝑧 3 0 1 2𝑟 𝑑𝑧 3 0 1 2𝑟 𝑧 3 0 3 2𝑟 Como r 2 Circulação 3 4 b Utilizando o lado direito Circulação 𝐹 𝑑𝑙 𝐶 A superfície S é envolvida pelo contorno C abcd como mostrado na figura da geometria A direção de C é escolhida de forma que seja compatível com a superfície normal 𝑟 pela Regra da Mão Direita Assim 𝐹 𝑑𝑙 𝐶 𝐹𝑎𝑏 𝑑𝑙 𝑏 𝑎 𝐹𝑏𝑐 𝑑𝑙 𝑐 𝑏 𝐹𝑐𝑑 𝑑𝑙 𝑑 𝑐 𝐹𝑑𝑎 𝑑𝑙 𝑎 𝑑 em que 𝐹𝑎𝑏 𝐹𝑏𝑐 𝐹𝑐𝑑 e 𝐹𝑑𝑎 são as expressões para o campo 𝐹 calculadas para os segmentos ab bc cd e da respectivamente Como os segmentos ab e cd tem direção dada por 𝑑𝑙 𝑟𝑑ϕ ϕ o produto escalar com 𝐹𝑎𝑏 e 𝐹𝑐𝑑 cuja direção é dada por 𝑧 ou seja 𝐹𝑎𝑏 𝐹𝑐𝑑 𝑐𝑜𝑠 ϕ𝑟 𝑧 é zero Logo 𝐹 𝑑𝑙 𝐶 𝐹𝑏𝑐 𝑑𝑙 𝑐 𝑏 𝐹𝑑𝑎 𝑑𝑙 𝑎 𝑑 No segmento bc ϕ π2 portanto 𝐹𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠 π2𝑟 𝑧 0 Enquanto no segmento da ϕ π3 portanto 𝐹𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠 π3𝑟 𝑧 1 2𝑟 𝑧 Além disso 𝑑𝑙 𝑑z z Assim Circulação 𝐹 𝑑𝑙 𝐶 𝐹𝑑𝑎 𝑑𝑙 𝑎 𝑑 1 2𝑟 𝑧 𝑑z z 0 3 1 2𝑟 𝑑z 0 3 1 2𝑟 𝑧 0 3 3 2𝑟 Como r 2 Circulação 3 4 Que é o mesmo resultado calculado para o lado esquerdo do Teorema de Stokes Eletromagnetismo I 105 Sucessivas aplicações dos operadores vetoriais É possível realizar sucessivas aplicações dos operadores vetoriais Sobre o rotacional há duas propriedades frequentemente utilizadas 1 O divergente do rotacional de um campo vetorial resulta em um escalar zero 𝐹 0 para qualquer campo vetorial 𝐹 Enquanto o divergente considera a componente do campo vetorial normal à superfície o rotacional considera a componente tangencial à superfície por isso o resultado é zero As linhas de campo que atravessam a superfície não contribuem para a circulação e viceversa as linhas de campo que circulam a superfície não contribuem para o fluxo Problema 16 Dado o campo vetorial 𝐹 5𝑅 𝑠𝑒𝑛 θ 𝑅 determine o rotacional desse campo em coordenadas esféricas Em seguida calcule o divergente Solução Esse enunciado é o mesmo do Problema 14 cujo resultado é 𝐹 5 𝑅2 𝑐𝑜𝑠 θ ϕ O divergente desse campo vetorial é dado por 𝐹 1 𝑅2 𝑅2𝐹𝑅 𝑅 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐹θ θ 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐹ϕ ϕ 𝐹 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐹ϕ ϕ 𝐹 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 0 𝐹 0 Ou seja o divergente do rotacional de um campo vetorial é igual a zero Eletromagnetismo I 106 2 O rotacional do gradiente de um campo escalar resulta em um vetor zero 𝑇 0 para qualquer campo escalar 𝑇 Como o vetor gradiente é perpendicular à superfície o rotacional do gradiente é igual a zero Problema 17 Determine o gradiente do campo escalar 𝑉𝑅 θ ϕ 𝑎2𝑅2𝑐𝑜𝑠2θ Em seguida determine o seu rotacional Solução Esse enunciado é o mesmo do Problema 6 cujo resultado é 𝑉 2𝑎2 𝑅3 𝑐𝑜𝑠2θ𝑅 2𝑎2 𝑅3 𝑠𝑒𝑛2θθ O rotacional desse campo vetorial é dado por 𝑉 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛θ 𝐹ϕ𝑠𝑒𝑛θ θ 𝐹θ ϕ 𝑅 1 𝑅 1 𝑠𝑒𝑛θ 𝐹𝑅 ϕ 𝑅𝐹ϕ 𝑅 θ 1 𝑅 𝑅𝐹θ 𝑅 𝐹𝑅 θ ϕ 𝑉 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛θ 𝐹θ ϕ 𝑅 1 𝑅 1 𝑠𝑒𝑛θ 𝐹𝑅 ϕ θ 1 𝑅 𝑅𝐹θ 𝑅 𝐹𝑅 θ ϕ 𝑉 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛θ 0 𝑅 1 𝑅 1 𝑠𝑒𝑛θ 0 θ 1 𝑅 4𝑎2 𝑅3 𝑠𝑒𝑛2θ 4𝑎2 𝑅3 𝑠𝑒𝑛2θ ϕ 𝑉 0 𝑅 0 θ 1 𝑅 0 ϕ 𝑉 000 Ou seja o rotacional do gradiente de um campo escalar é igual a vetor nulo 3 O divergente do gradiente de um campo escalar 2𝑇 𝑇 Esse operador é conhecido como Laplaciano Escalar O símbolo 2 é pronunciado del ao quadrado No sistema de coordenadas retangulares é dado por 2𝑇 𝑇 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 𝑧 𝑇 𝑥 𝑥 𝑇 𝑦 𝑦 𝑇 𝑧 𝑧 Eletromagnetismo I 107 2𝑇 2𝑇 𝑥2 2𝑇 𝑦2 2𝑇 𝑧2 O Laplaciano escalar no sistema de coordenadas cilíndricas é dado por 2𝑇 1 𝑟 𝑟 𝑟 𝑇 𝑟 1 𝑟2 2𝑇 ϕ2 2𝑇 𝑧2 E no sistema de coordenadas esféricas é dado por 2𝑇 1 𝑅2 𝑅 𝑅2 𝑇 𝑅 1 𝑅2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 θ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑇 θ 1 𝑅2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 2𝑇 ϕ2 4 O Laplaciano de um vetor O Laplaciano escalar pode ser usado para definir o Laplaciano de um vetor Considere um vetor em coordenadas retangulares 𝐹 𝐹𝑥 𝑥 𝐹𝑦 𝑦 𝐹𝑧 𝑧 O Laplaciano de 𝐹 é definido como 2𝐹 2 𝑥2 2 𝑦2 2 𝑧2 𝐹 2𝐹𝑥 𝑥 2𝐹𝑦 𝑦 2𝐹𝑧 𝑧 Ou seja é o Laplaciano escalar da componente x do campo vetorial na direção de 𝑥 mais o Laplaciano da componente y do campo vetorial na direção de 𝑦 mais o Laplaciano da componente z do campo vetorial na direção de 𝑧 Portanto em coordenadas retangulares o Laplaciano de um vetor resulta em um campo vetorial cujas componentes são os Laplacianos das componentes do vetor Por meio de substituições podese demonstrar que 2𝐹 𝐹 𝐹 Essas propriedades envolvendo os operadores vetoriais são muito utilizadas em Eletromagnetismo Eletromagnetismo I 108 Resumo dos operadores vetoriais Sistema de Coordenadas Operador Fórmula Retangulares Gradiente 𝑇 𝑇 𝑥 𝑥 𝑇 𝑦 𝑦 𝑇 𝑧 𝑧 Divergente 𝐹 𝐹𝑥 𝑥 𝐹𝑦 𝑦 𝐹𝑧 𝑧 Rotacional 𝐹 𝐹𝑧 𝑦 𝐹𝑦 𝑧 𝑥 𝐹𝑥 𝑧 𝐹𝑧 𝑥 𝑦 𝐹𝑦 𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 Laplaciano escalar 2𝑇 2𝑇 𝑥2 2𝑇 𝑦2 2𝑇 𝑧2 Cilíndricas Gradiente 𝑇 𝑇 𝑟 𝑟 1 𝑟 𝑇 ϕ ϕ 𝑇 𝑧 𝑧 Divergente 𝐹 1 𝑟 𝑟𝐹𝑟 𝑟 1 𝑟 𝐹ϕ ϕ 𝐹𝑧 𝑧 Rotacional 𝐹 1 𝑟 𝐹𝑧 ϕ 𝐹ϕ 𝑧 𝑟 𝐹𝑟 𝑧 𝐹𝑧 𝑟 ϕ 1 𝑟 𝑟𝐹ϕ 𝑟 𝐹𝑟 ϕ 𝑧 Laplaciano escalar 2𝑇 1 𝑟 𝑟 𝑟 𝑇 𝑟 1 𝑟2 2𝑇 ϕ2 2𝑇 𝑧2 Esféricas Gradiente 𝑇 𝑇 𝑅 𝑅 1 𝑅 𝑇 θ θ 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑇 ϕ ϕ Divergente 𝐹 1 𝑅2 𝑅2𝐹𝑅 𝑅 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐹θ θ 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐹ϕ ϕ Rotacional 𝐹 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛θ 𝐹ϕ𝑠𝑒𝑛θ θ 𝐹θ ϕ 𝑅 1 𝑅 1 𝑠𝑒𝑛θ 𝐹𝑅 ϕ 𝑅𝐹ϕ 𝑅 θ 1 𝑅 𝑅𝐹θ 𝑅 𝐹𝑅 θ ϕ Laplaciano escalar 2𝑇 1 𝑅2 𝑅 𝑅2 𝑇 𝑅 1 𝑅2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 θ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑇 θ 1 𝑅2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 2𝑇 ϕ2 Eletromagnetismo I 109 Nessa Unidade finalizamos a nossa revisão sobre a álgebra e o cálculo vetorial cujas equações são fundamentais para o estudo do Eletromagnetismo Na próxima Unidade começaremos o estudo dos parâmetros elétricos iniciando pela Eletrostática Eletromagnetismo I 110 Exercícios Unidade 2 1 O valor do campo escalar 𝑉𝑥 𝑦 𝑧 5 3𝑥3 2𝑦2𝑧 no ponto P102 é igual a a 4 b 2 c 0 d 2 e 4 2 O vetor no ponto P203 do campo vetorial 𝑉𝑟 ϕ 𝑧 𝑟2𝑠𝑒𝑛3ϕ 1 2𝑧 cos 2ϕ 𝑟2 𝑧2 em coordenadas cilíndricas é a 4 5 5 b 5 0 4 c 0 5 13 d 5 4 0 e 4 5 5 Eletromagnetismo I 111 3 O gradiente do campo escalar 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2𝑦2 4𝑧𝑦3 4 no ponto P021 em coordenadas retangulares é igual a a 48𝑦 32𝑧 b 48𝑦 c 15𝑥 35𝑧 d 35𝑥 e 48𝑧 4 O gradiente do campo escalar 𝑉𝑅 θ ϕ 𝑉𝑜𝑎2𝑅𝑐𝑜𝑠2θ𝑠𝑒𝑛ϕ no ponto Pa π2 π2 em coordenadas esféricas é igual a a 2 𝑎 𝑅 b 𝑉𝑜𝑅 2𝑉𝑜θ c 𝑉𝑜𝑎 𝑅 2𝑉𝑜𝑎 θ d 𝑉𝑜θ 2𝑉𝑜𝑎 ϕ e 𝑉𝑜𝑅 5 O divergente do campo vetorial 𝐹 3𝑥2 𝑥 2𝑧 𝑦 𝑥2𝑧 𝑧 no ponto P2 2 0 em coordenadas retangulares é igual a a 10 b 16 c 0 d 10 e 10 𝑥 Eletromagnetismo I 112 6 O divergente do campo vetorial 𝐹 𝑎3𝑟2 cos ϕ 𝑟 𝑎3𝑟2 𝑠𝑒𝑛ϕ ϕ no ponto Pa2 π 0 em coordenadas cilíndricas é igual a a 10 b 16 c 0 d 10 e 10 𝑟 7 O rotacional do campo vetorial 𝐹 𝑦 𝑐𝑜𝑠 a𝑥 𝑥 𝑦 𝑒𝑥 𝑧 no ponto P000 em coordenadas retangulares é igual a a 1 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 b 1 𝑥 1 𝑧 c 2 𝑥 3 𝑧 d 1 𝑥 2 𝑦 e 0 8 O rotacional do campo vetorial 𝐹 5 𝑟 𝑠𝑒𝑛 ϕ 𝑧 no ponto P2π0 em coordenadas cilíndricas é igual a a 5 𝑟 5 ϕ b 1 𝑟 5 𝑧 c 5 𝑟 5 𝑧 d 5 𝑟 e 0 Eletromagnetismo I 113 Considere o seguinte campo vetorial em coordenadas esféricas para as questões 9 e 10 𝑭 𝟐𝑹𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝛉 𝑹 𝟐𝑹𝟑 𝛉 9 Determine o divergente desse campo vetorial 10 Considere uma região esférica delimitada pelo raio 1 𝑅 2 e pelos ângulos 0 θ 𝜋2 e 0 ϕ 2𝜋 Calcule o fluxo total através dessa região por meio do Teorema da Divergência Eletromagnetismo I 114 3 Campo Eletrostático Eletromagnetismo I 115 Nesta Unidade estudaremos os conceitos básicos sobre os campos Eletrostáticos incluindo o campo elétrico a força elétrica e o potencial elétrico Vamos aprender as expressões que relacionam esses parâmetros as quais são aplicações de álgebra e cálculo vetorial que vimos nas Unidades anteriores Objetivos da unidade Aprender os conceitos fundamentais sobre carga elétrica força elétrica e campo elétrico e suas relações Demonstrar a obtenção do campo elétrico através da Lei do Fluxo de Gauss Apresentar os modelos fórmulas e expressões para o potencial elétrico energia potencial e diferença de potencial Plano da unidade Considerações iniciais sobre o eletromagnetismo Carga elétrica fonte de campo eletromagnético Força elétrica força de interação entre cargas Campo elétrico Lei do Fluxo de Gauss Potencial Eletrostático Dipolo Elétrico Bons estudos Eletromagnetismo I 116 Introdução ao estudo dos metais Considerações iniciais sobre o eletromagnetismo O universo físico é governado por quatro forças fundamentais da natureza 1 A força nuclear é a mais forte das quatro porém está limitada a sistemas submicroscópicos núcleos dos átomos 2 A força eletromagnética a intensidade é da ordem de 102 da força nuclear sendo a força dominante entre os sistemas microscópios como átomos e moléculas ligações químicas 3 A força de interação fraca a intensidade é de apenas 1014 da força nuclear desempenhando um papel na interação que envolve partículas radioativas 4 A força gravitacional é a mais fraca das quatro porém é a força dominante em sistemas macroscópicos tal como o sistema solar O nosso interesse está voltado para a força eletromagnética e suas consequências A força eletromagnética consiste em uma força elétrica e uma força magnética A força elétrica e a força gravitacional são semelhantes com a diferença de enquanto a fonte de campo gravitacional é a massa a fonte de campo elétrico é a carga elétrica Tanto o campo elétrico quanto o campo gravitacional são inversamente proporcionais ao quadrado da distância a partir de suas respectivas fontes contudo a carga elétrica pode ter polaridade positiva ou negativa ao passo que a massa não apresenta essa propriedade Muitos dispositivos e sistemas eletrônicos são baseados nos princípios da Eletrostática como equipamentos de raios X osciloscópios displays de cristal líquido LCD muitos dispositivos de estado sólido usados para controle no projeto de sensores de diagnóstico médico como eletrocardiograma e eletroencefalograma e inúmeras aplicações industriais Além disso a Eletrostática é uma introdução ao estudo de campos variantes no tempo que aprenderemos em Eletromagnetismo II Eletromagnetismo I 117 Nessa Unidade iniciaremos o estudo da Eletrostática que são os fenômenos elétricos estacionários que tem por fonte cargas estacionárias ou seja estáticas as quais não variam no tempo O objetivo dessa Unidade é determinar o campo eletrostático em dada região de interesse conhecida a fonte do campo carga elétrica em repouso Carga elétrica fonte de campo eletromagnético A carga elétrica é uma propriedade da matéria assim como a massa A carga elétrica é portanto uma grandeza fundamental Sabemos a partir da física quântica que toda a matéria contém nêutrons prótons carga elétrica positiva e elétrons carga elétrica negativa A quantidade fundamental de carga corresponde à carga elétrica de um elétron indicado pela letra e A unidade de carga elétrica é Coulomb C em homenagem ao cientista Chales Augstin Coulomb 17361806 A intensidade módulo da carga elétrica é 𝑒 16 1019 C A carga de um único elétron é negativa 𝑞𝑒 𝑒 enquanto um próton tem carga elétrica igual em módulo mas de polaridade oposta 𝑞𝑝 𝑒 As cargas elétricas podem ser pontuais também chamadas de puntiformes ou contínuas A Figura a seguir apresenta cargas elétricas pontuais em uma região de interesse Eletromagnetismo I 118 É importante ressaltar que a dimensão física de cada carga elétrica é muito menor do que a distância entre elas e o ponto de interesse P ou seja podemos desprezar a dimensão da carga elétrica As cargas elétricas contínuas são distribuídas ao longo de um volume de uma superfície ou de uma linha Se as cargas elétricas estiverem em movimento as distribuições de cargas elétricas passam a ser distribuições de correntes elétricas Considere uma região do espaço preenchida com um número imenso de cargas separadas por distâncias diminutas diferencial Essa distribuição de partículas muito pequenas pode ser substituída por uma distribuição contínua e suave descrita por uma densidade volumétrica de carga Cm3 A densidade volumétrica de um elemento diferencial de volume é definida como 𝜌𝑉 𝑑𝑞 𝑑𝑉 em que 𝑑𝑞 é um elemento diferencial de carga elétrica em um elemento diferencial de volume 𝑑𝑉 Assim considerando a distribuição da densidade de carga elétrica 𝜌𝑉𝑥 𝑦 𝑧 a carga total em um dado volume V é obtida a partir de Eletromagnetismo I 119 Q 𝜌𝑉 𝑉 𝑑𝑉 Considerando o sistema de coordenadas retangulares um retângulo carregado eletricamente Q 𝜌𝑉𝑥 𝑦 𝑧 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Considerando o sistema de coordenadas cilíndricas um cilindro carregado eletricamente Q 𝜌𝑉𝑟 𝜙 𝑧 𝑉 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜙𝑑𝑧 Considerando o sistema de coordenadas esféricas uma esfera carregada eletricamente Q 𝜌𝑉𝑅 𝜃 𝜙 𝑉 𝑅2 𝑑𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙 Problema 1 Determine a carga elétrica total contida em um feixe de elétrons de 2 cm de comprimento em um cilindro de 1 cm de raio como mostrado na figura a seguir Eletromagnetismo I 120 Considere a densidade volumétrica de carga elétrica dada por 𝜌𝑉𝑟 𝜙 𝑧 5 103 𝑒102𝑧 Solução Q 𝜌𝑉𝑟 𝜙 𝑧 𝑉 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜙𝑑𝑧 Q 5 103 𝑒102𝑧 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜙𝑑𝑧 001 0 2𝜋 0 004 002 5 103 𝑒102𝑧 𝑟2 2 001 0 𝑑𝜙𝑑𝑧 2𝜋 0 004 002 25 107 𝑒102𝑧𝑑𝜙𝑑𝑧 2𝜋 0 004 002 25 107 𝑒102𝑧 𝜙 2𝜋 0 𝑑𝑧 004 002 5𝜋 107 𝑒102𝑧 𝑑𝑧 004 002 5𝜋 107 𝑒102𝑧 102 004 002 5𝜋 109𝑒102𝑧 004 002 184 pC Em alguns casos em particular quando lidamos com condutores as cargas elétricas podem ser distribuídas ao longo da superfície do material possuindo uma densidade superficial de cargas Cm2 Nesse caso a carga elétrica total em uma dada superfície S é obtida a partir de Q 𝜌𝑆 𝑆 𝑑𝑆 Os elementos diferenciais de área para cada superfície de cada sistema de coordenada foram dados no início da Unidade 2 Eletromagnetismo I 121 Problema 2 O disco circular de cargas elétricas mostrado na figura a seguir possui uma densidade superficial de carga de simetria azimutal que aumenta linearmente com o raio r a partir de 0 Cm2 do centro r 0 cm até 6 Cm2 na extremidade r 3 cm Determine a densidade de carga superficial Em seguida determine a carga elétrica total presente na superfície do disco Solução Como a densidade é simétrica em relação ao ângulo de azimute 𝜙 a sua função depende apenas de r sendo dada por 𝜌𝑆 6𝑟 003 2 102 𝑟 A carga total é Q 2 102 𝑟 𝑆 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜙 2 102 𝑟2 𝑑𝑟 𝑑𝜙 003 0 2𝜋 0 2 102 𝑟3 3 003 0 𝑑𝜙 2𝜋 0 18 103 1 𝑑𝜙 2𝜋 0 18 103 𝜙 2𝜋 0 001131 1131 mC De forma similar se a carga elétrica for distribuída ao longo de uma linha que não precisa ser reta caracterizamos a distribuição em termos da densidade linear de cargas Cm Nesse caso a carga elétrica total em uma dada linha L é obtida a partir de Eletromagnetismo I 122 Q 𝜌𝑙 𝐿 𝑑𝑙 Problema 3 Calcule a carga elétrica total contida em um tubo cilíndrico de cargas orientadas ao longo do eixo z conforme mostrado na figura em que a densidade linear de cargas é dada por 𝜌𝑙 2𝑧 e o comprimento do cubo é de 10 cm Solução Q 𝜌𝑙 𝐿 𝑑𝑙 2𝑧 01 0 𝑑𝑧 2𝑧2 2 01 0 001 C Força elétrica força de interação entre cargas Os experimentos de Coulomb demonstraram que 1 Duas cargas de mesmo sinal polaridade se repelem enquanto cargas de sinais polaridades opostos se atraem 2 A força elétrica age ao longo da linha que une as cargas 3 A intensidade módulo da força elétrica é proporcional ao produto dos módulos das cargas elétricas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas Essas propriedades constituem a chamada Lei de Coulomb a qual é expressa matematicamente pela seguinte equação Eletromagnetismo I 123 𝐹𝑒21 1 4𝜋ϵo 𝑞1𝑞2 𝑅12 2 𝑅12 Em que 𝐹𝑒21 é a força elétrica exercida pela carga elétrica 𝑞1 sobre a carga elétrica 𝑞2 R12 é a distância entre as duas cargas 𝑅12 é um vetor unitário que aponta da carga 𝑞1 para a carga 𝑞2 e ϵo é a permissividade elétrica no espaço livre tal que ϵo 885x10 12 farad por metro Fm Considerase que as cargas elétricas estejam no espaço livre vácuo e que estejam isoladas da ação de outras cargas elétricas são desprezadas as ações de cargas que estejam fora da região de observação A figura a seguir ilustra a Lei de Coulomb É importante observar que a força elétrica 𝐹𝑒12 consiste na força elétrica que age na carga 𝑞1 devido à carga 𝑞2 e que ela é igual em módulo e direção a 𝐹𝑒21 porém com sentido oposto 𝐹𝑒12 𝐹𝑒21 A Lei de Coulomb é válida apenas para cargas pontuais partículas carregadas e a objetos que podem ser tratados considerados cargas pontuais por aproximação No caso de objetos macroscópicos em que as cargas podem estar distribuídas de modo simétrico ou assimétrico precisamos recorrer às integrais como vimos na seção anterior Uma vez que as cargas não variam no tempo são estacionárias a força elétrica dada pela Lei de Coulomb pode ser chamada de força elétrica estática ou então força eletrostática Eletromagnetismo I 124 Problema 4 Determine o módulo da força eletrostática em kN exercida por uma carga elétrica 𝑞1 4 μC sobre uma carga elétrica 𝑞2 2 μC situada a uma distância R 2 mm Solução 𝐹𝑒21 1 4𝜋ϵo 𝑞1𝑞2 𝑅12 2 4 106 2 106 4𝜋 885 1012 2 1032 1798 104 1798 kN A Lei de Coulomb pode ser reescrita em termos do vetor unitário da seguinte forma 𝐹𝑒 1 4𝜋ϵo 𝑞𝑄 𝑅2 𝑅 𝐹𝑒 1 4𝜋ϵo 𝑞𝑄 𝑟 𝑟2 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝐹𝑒 1 4𝜋ϵo 𝑞𝑄 𝑟 𝑟3 𝑟 𝑟 Em que 𝑄 é a carga de prova que é a carga elétrica na posição onde estamos medindo a força elétrica 𝑞 é a carga da fonte que é a carga elétrica que está atuando sobre a carga de prova 𝑟 é a posição da carga de prova 𝑄 e 𝑟 é a posição da carga da fonte 𝑞 Eletromagnetismo I 125 Problema 5 Considere uma carga elétrica 𝑞1 3x104 C posicionada em O123 m e uma carga elétrica 𝑞2 104 C posicionada em P205 m ambas no vácuo Determine a força elétrica exercida em 𝑞2 por 𝑞1 Solução Temos 𝑄 104 𝑞 3 104 𝑟 205 𝑟 123 𝑟 𝑟 205 123 122 1𝑥 2𝑦 2𝑧 𝑟 𝑟 12 22 22 3 Assim 𝐹𝑒 1 4𝜋ϵo 𝑞𝑄 𝑟 𝑟3 𝑟 𝑟 3 104 104 4𝜋 885 1012 33 1𝑥 2𝑦 2𝑧 𝐹𝑒 10 1𝑥 2𝑦 2𝑧 10𝑥 20𝑦 20𝑧 N Observe que a força pode ser escrita da seguinte forma 𝐹𝑒 𝐹𝑒 𝑅 30 1𝑥 2𝑦 2𝑧 3 N Considerando um conjunto finito de cargas pontuais isto é o domínio é discreto A força elétrica resultante em 𝑄 devido a 𝑛 cargas elétricas pontuais é igual ao somatório das forças elétricas exercidas por cada uma das cargas elétricas 𝐹𝑒 𝐹𝑒𝑖 𝑛 𝑖1 𝐹𝑒𝑖 1 4𝜋ϵo 𝑞𝑖𝑄 𝑟 𝑟𝑖3 𝑟 𝑟𝑖 Em que 𝑟𝑖 é a posição da carga elétrica 𝑞𝑖 Assim Eletromagnetismo I 126 𝐹𝑒 𝑄 4𝜋ϵo 𝑞𝑖 𝑟 𝑟𝑖3 𝑟 𝑟𝑖 𝑛 𝑖1 Problema 6 Quatro cargas elétricas de 10 μC são colocadas no espaço livre em 300 300 030 e 030 em um sistema de coordenadas retangulares todas as distâncias estão em metros Determine a força elétrica sobre uma carga de 20 μC colocada em 004 Solução 𝑟 𝑟1 004 300 304 𝑟 𝑟2 004 300 304 𝑟 𝑟3 004 0 30 034 𝑟 𝑟4 004 030 0 34 𝐹𝑒 𝑄 4𝜋ϵo 𝑞𝑖 𝑟 𝑟𝑖3 𝑟 𝑟𝑖 4 𝑖1 𝐹𝑒 20 106 4𝜋 885 1012 10 106 53 304 10 106 53 304 10 106 53 034 10 106 53 0 34 𝐹𝑒 20 106 4𝜋 885 1012 10 106 53 0016 0 0 023 023 𝑧 N As equações da Lei de Coulomb que vimos até aqui são válidas para um sistema de cargas elétricas pontuais domínio discreto de modo que as cargas são finitas contáveis Contudo em sistemas reais as cargas elétricas são distribuídas ao longo de um volume superfície ou linha devendo então introduzir o conceito de densidade de carga elétrica a esses sistemas No domínio discreto temos 𝐹𝑒 𝑄 4𝜋ϵo 𝑞𝑖 𝑟 𝑟𝑖3 𝑟 𝑟𝑖 𝑛 𝑖1 Eletromagnetismo I 127 No domínio contínuo o termo 𝑞𝑖 é substituído por 𝑑𝑞 e o somatório é substituído por uma integral vamos calcular o somatório de infinitos elementos diferenciais de carga elétrica resultando em 𝐹𝑒 𝑄 4𝜋ϵo 𝑑𝑞 𝑟 𝑟𝑖 𝑟 𝑟𝑖3 Assim a força elétrica resultante de uma distribuição de carga elétrica volumétrica é dada por 𝑑𝑞 𝜌𝑉 𝑑𝑉 𝐹𝑒 𝑄 4𝜋ϵo 𝜌𝑉 𝑟 𝑟𝑖 𝑟 𝑟𝑖3 𝑑𝑉 𝑉 A força elétrica resultante de uma distribuição de carga elétrica superficial é dada por 𝑑𝑞 𝜌𝑆 𝑑𝑆 𝐹𝑒 𝑄 4𝜋ϵo 𝜌𝑆 𝑆 𝑟 𝑟𝑖 𝑟 𝑟𝑖3 𝑑𝑆 A força elétrica resultante de uma distribuição de carga elétrica linear é dada por 𝑑𝑞 𝜌𝑙 𝑑𝑙 𝐹𝑒 𝑄 4𝜋ϵo 𝜌𝑙 𝑟 𝑟𝑖 𝑟 𝑟𝑖3 𝐿 𝑑𝑙 Nessa seção estudamos a Lei de Coulomb em sua forma discreta e contínua Na próxima seção estudaremos o Campo Elétrico e sua relação com a força elétrica e a carga elétrica Essa relação permitirá obtermos a força elétrica calculada a partir do campo elétrico Eletromagnetismo I 128 Campo elétrico A carga elétrica é a fonte de campo elétrico Em uma região de observação existe um campo elétrico se em cada ponto dessa região puder ser detectada a presença de uma força elétrica Portanto carga elétrica força elétrica e campo elétrico são grandezas elétricas que se relacionam entre si O campo elétrico pode ser obtido a partir da força elétrica e da carga elétrica por meio da seguinte equação 𝐸 𝐹𝑒 𝑄 Em que 𝐹𝑒 é a força elétrica e 𝑄 é a carga de prova no ponto de interesse no ponto em que se deseja obter o campo elétrico É importante observar que no caso de estarmos lidando com uma força eletrostática então o campo elétrico obtido é dito campo eletrostático A força elétrica poderia ser obtida também da seguinte forma 𝐹𝑒 𝐸 𝑄 Essa equação evidencia que após obtermos o campo elétrico gerado por uma carga elétrica q chamada de carga fonte podemos obter a força elétrica multiplicandose o campo elétrico pela carga elétrica Q presente no ponto de interesse Essa equação é válida tanto para cargas elétricas pontuais quanto para cargas elétricas contínuas Campo elétrico de cargas pontuais Considerando a equação da força elétrica entre duas cargas pontuais Lei de Coulomb podemos obter a equação do campo elétrico de uma carga pontual 𝐸 𝐹𝑒 𝑄 1 4𝜋ϵo 𝑞𝑄 𝑄𝑟 𝑟3 𝑟 𝑟 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝑞 𝑟 𝑟3 𝑟 𝑟 A unidade do campo elétrico pode ser tanto volt por metro Vm quanto newton por coulomb NC Observe que basta existir uma única carga elétrica pontual q denominada carga fonte ou carga geradora para que o campo elétrico 𝐸 exista Eletromagnetismo I 129 A presença do campo elétrico no entanto só é revelada se uma força elétrica for exercida sobre outra carga elétrica Q denominada carga de prova ou carga teste que é colocada no ponto onde se deseja medir o campo elétrico A figura a seguir ilustra as linhas de campo elétrico devido a uma carga q Observe que as características vetoriais do campo elétrico são semelhantes às características vetoriais da força elétrica enquanto o sentido da força elétrica depende dos sinais da carga fonte e prova o sentido do campo elétrico depende exclusivamente do sinal da carga fonte caso o sinal da carga elétrica seja positivo as linhas de campo elétrico terão sentido para fora da carga por outro lado caso o sinal da carga elétrica seja negativo as linhas de campo elétrico terão sentido para dentro da carga Eletromagnetismo I 130 Dessa forma o sentido do vetor campo elétrico no ponto de interesse dependerá do sinal da carga fonte como mostrado na figura a seguir Observe que o vetor campo elétrico é sempre tangente à linha de campo em qualquer que seja o ponto de interesse Problema 7 Uma carga elétrica pontual 𝑞 2x105 C é colocada no espaço livre em 131 no sistema de coordenadas retangulares Determine a o campo elétrico em 312 e b a força elétrica em uma carga de 8x105 C localizada no referido ponto Todas as distâncias estão em metros Solução a 𝑟 𝑟 312 13 1 22 1 2𝑥 2𝑦 1𝑧 𝑟 𝑟 22 22 12 3 Assim 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝑞 𝑟 𝑟3 𝑟 𝑟 2 105 4𝜋 885 1012 33 2𝑥 2𝑦 1𝑧 𝐸 666 103 2𝑥 2𝑦 1𝑧 Vm 1998 103 2𝑥 2𝑦 1𝑧 3 Vm b 𝐹𝑒 𝐸 𝑄 𝐹𝑒 1998 103 8 105 2𝑥 2𝑦 1𝑧 3 16 2𝑥 2𝑦 1𝑧 3 N Eletromagnetismo I 131 A figura a seguir mostra as linhas de campo elétrico de duas partículas com cargas elétricas positivas iguais Observe que nesse caso as linhas de campo são curvas mas as regras paras o campo elétrico continuam as mesmas 1 O vetor campo elétrico em qualquer ponto é tangente à linha de campo que passa por esse ponto e tem o mesmo sentido que a linha de campo 2 Quanto menos espaçadas estiverem as linhas de campo maior será o módulo do campo elétrico naquele ponto A figura mostra também o vetor campo elétrico em um ponto do espaço o vetor campo elétrico é tangente à linha de campo que passa pelo ponto O desenho não transmite a ideia de que as partículas se repelem Uma carga elétrica exibe duas propriedades fundamentais 1 A carga elétrica resultante não pode ser nem criada e nem destruída lei da conservação da carga elétrica 2 O vetor campo elétrico resultante em um ponto devido a um conjunto de cargas elétricas pontuais é igual a soma dos vetores campo elétrico devido a cada carga no referido ponto princípio da superposição linear O segundo princípio permite obtermos o campo elétrico resultante a partir do somatório de cada campo elétrico Eletromagnetismo I 132 𝐸 𝐸𝑖 𝑛 𝑖1 𝐸𝑖 1 4𝜋ϵo 𝑞𝑖 𝑟 𝑟𝑖3 𝑟 𝑟𝑖 Assim 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝑞𝑖 𝑟 𝑟𝑖3 𝑟 𝑟𝑖 𝑛 𝑖1 Problema 8 Duas cargas elétricas pontuais 𝑞1 2x105 C e 𝑞2 4x105 C são colocadas no espaço livre em 131 e 312 respectivamente no sistema de coordenadas retangulares Determine a o campo elétrico em 312 e b a força elétrica em uma carga de 8x105 C localizada no referido ponto Todas as distâncias estão em metros Solução a 𝑟 𝑟1 31 2 13 1 2 2 1 𝑟 𝑟2 31 2 312 600 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝑞𝑖 𝑟 𝑟𝑖3 𝑟 𝑟𝑖 2 𝑖1 𝐸 1 4𝜋 885 1012 2 105 33 2 2 1 4 105 63 600 𝐸 1 4𝜋 885 1012 0037 0148 0074 105 𝐸 899 104 0037 0148 0074 Vm b 𝐹𝑒 𝐸 𝑄 𝐹𝑒 899 104 0037 0148 0074 8 105 𝐹𝑒 7192 0037 0148 0074 N Eletromagnetismo I 133 Laboratório Virtual para o Campo Elétrico Podemos utilizar o seguinte laboratório virtual para simular medidas de campo elétrico gerado por cargas pontuais httpsphetcoloradoedusimshtmlchargesandfieldslatestchargesandfieldsptBRhtml Experimente colocar duas ou três cargas elétricas positivas eou negativas e detecte o valor do campo por meio do sensor em algum ponto Consegue calcular o vetor campo elétrico com a fórmula Por exemplo Vamos experimentar colocar uma carga positiva 1 nC no centro 00 uma negativa 1 nC 1 metro para cima 01 e outra carga positiva 1 nC 2 metros para a direita 20 Em seguida vamos colocar o sensor entre as duas cargas positivas no ponto 10 A figura a seguir ilustra o que deve ser feito Observe que a intensidade do campo elétrico é igual a 446 Vm e que o ângulo desse vetor campo elétrico é igual a 1348 graus faça você mesmo e anote o valor que você encontrar Agora vamos tentar calcular o vetor campo elétrico resultante a partir da fórmula 𝑟 𝑟1 10 00 10 𝑟 𝑟2 10 01 1 1 𝑟 𝑟3 10 20 10 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝑞𝑖 𝑟 𝑟𝑖3 𝑟 𝑟𝑖 3 𝑖1 Eletromagnetismo I 134 𝐸 1 4𝜋 885 1012 1 109 13 10 1 109 2 3 1 1 1 109 13 10 𝐸 1 4𝜋 885 1012 1 109 2 1 1 2 45 11 2 Vm ϕ 𝑡𝑎𝑛1 12 12 135 graus Campo elétrico de distribuições contínuas de cargas No caso de a carga elétrica ser continuamente distribuída em um volume ou área ou comprimento devemos recorrer às equações para as distribuições contínuas de cargas elétricas 𝑑𝑞 𝜌𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑞 𝜌𝑆 𝑑𝑆 𝑑𝑞 𝜌𝑙 𝑑𝑙 O campo elétrico diferencial medido no ponto P devido a uma carga diferencial dq é dado por 𝑑𝐸 1 4𝜋ϵo 𝑑𝑞 𝑟 𝑟3 𝑟 𝑟 A Figura a seguir ilustra o campo elétrico devido a uma distribuição volumétrica de cargas Eletromagnetismo I 135 Aplicando o princípio da superposição linear o campo elétrico total somatório dos infinitos elementos diferenciais de carga pode ser obtido pela integração dos campos gerados por todas as cargas que compõem a distribuição de cargas 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟3 𝑑𝑞 Se as cargas estiverem distribuídas por um volume distribuição volumétrica de cargas o campo elétrico total é dado por 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑉 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟3 𝑑𝑉 𝑉 Se as cargas estiverem distribuídas por uma superfície distribuição superficial de cargas o campo elétrico total é dado por 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑆 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟3 𝑑𝑆 𝑆 Se as cargas estiverem distribuídas por uma linha distribuição linear de cargas o campo elétrico total é dado por 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑙 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟3 𝑑𝑙 𝐿 É importante destacar que os elementos diferenciais de volume área ou comprimento dependem do sistema de coordenadas ortogonais utilizado A seguir veremos alguns dos exemplos clássicos de Eletromagnetismo para obtenção do campo elétrico 1Campo elétrico de um anel de cargas ou espira de carga Considere um anel muito fino de raio b com densidade linear de carga elétrica 𝜌𝑙 uniforme e positiva posicionado no espaço livre no plano xy Eletromagnetismo I 136 Fonte ULABY 2007 Vamos determinar a intensidade do campo elétrico em um ponto de altura h ao longo do eixo z ou seja em um ponto 00h Solução Observe que o objetivo desse problema é calcular o campo elétrico em um ponto ao longo do eixo do anel para uma distância h a partir do centro do anel Considerando o campo elétrico gerado pelo segmento diferencial do anel como o segmento 1 mostrado na Figura temos que o segmento tem comprimento 𝑑𝑙 𝑏 𝑑ϕ e contém a carga elétrica 𝑑𝑞 𝜌𝑙 𝑑𝑙 𝜌𝑙 𝑏 𝑑ϕ Além disso o vetor distância a partir do segmento 1 até o ponto de interesse 00h é dado por 𝑟 𝑟 0 𝑟 ℎ 𝑧 𝑏 𝑟 0 𝑧 𝑏 𝑟 ℎ 𝑧 𝑟 𝑟 𝑏2 𝑧2 Assim temos que o campo elétrico é dado por 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑙 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟3 𝑑𝑙 𝐿 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑙 𝑏 𝑟 ℎ 𝑧 𝑏2 ℎ232 𝑏 𝑑ϕ 2𝜋 0 Observe a figura a seguir destacando dois segmentos Eletromagnetismo I 137 Note que o segmento 2 é diametralmente oposto ao segmento 1 Por conta disso o campo elétrico gerado pelo segmento 2 𝑑𝐸2 é idêntico ao campo elétrico gerado pelo segmento 1 𝑑𝐸1 exceto que a componente 𝑟 de 𝑑𝐸2 é oposta à de 𝑑𝐸𝑎 Portanto as componentes 𝑟 se cancelam enquanto que as componentes 𝑧 se somam Observe que essa abordagem é válida para qualquer que sejam os dois segmentos para todo segmento haverá um segmento diametralmente oposto por isso podemos cancelar por simetria a contribuição da componente 𝑟 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑙 ℎ 𝑧 𝑏2 ℎ232 𝑏 𝑑ϕ 2𝜋 0 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑙2𝜋𝑏 ℎ 𝑧 𝑏2 ℎ232 Assim o campo elétrico ao longo do eixo de um anel carregado é dado por 𝐸 𝜌𝑙𝑏 ℎ 2ϵo𝑏2 ℎ232 𝑧 Sabemos que a carga elétrica total nesse caso é dada por 𝑄 𝜌𝑙2𝜋𝑏 Substituindo 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑙2𝜋𝑏 ℎ 𝑧 𝑏2 ℎ232 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝑄 ℎ 𝑧 𝑏2 ℎ232 Eletromagnetismo I 138 Que é a fórmula do campo elétrico evidenciando a carga elétrica total da fonte Considere agora que o ponto de interesse está muito distante ou seja que ℎ 𝑏 Nesse caso 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝑄 ℎ 𝑧 ℎ232 𝐸 𝑄 4𝜋ϵo ℎ 𝑧 ℎ3 Que é a fórmula para a carga elétrica pontual Em outras palavras à medida que nos afastamos do anel a equação para o campo elétrico se aproxima daquela utilizada para a carga pontual Isso significa que nesse caso o anel se aproxima a um ponto uma carga pontual quando a distância h for muito grande Esse resultado é razoável já que visto de uma grande distância o anel parece uma carga pontual Problema 9 Considere um anel muito fino de raio b 1 mm com densidade linear de carga elétrica 𝜌𝑙 2x104 Cm posicionado no espaço livre Determine o campo elétrico em um ponto h 5 m situado no eixo do anel Solução 𝐸 𝜌𝑙𝑏 ℎ 2ϵo𝑏2 ℎ232 𝑧 𝐸 2 104 1 103 5 2 885 1012 1 1032 5232 𝑧 𝐸 5 105 885 106 2532 𝑧 226 103 𝑧 Vm Observe que como ℎ 𝑏 poderíamos considerar o anel como uma carga pontual e obter o campo elétrico utilizando a fórmula para a carga pontual confira Eletromagnetismo I 139 Problema 10 Calcular o campo elétrico de um disco circular de cargas Nesse problema vamos determinar o campo elétrico no mesmo ponto 00h situado no espaço livre ao longo do eixo z que é o eixo do disco devido a um disco circular de cargas no plano xy com densidade superficial de carga uniforme e positiva Solução Observe que um segmento do disco consiste em um anel de raio r e largura dr Logo esse segmento tem uma área 𝑑𝑆 2𝜋𝑟 𝑑r e contém a carga elétrica 𝑑𝑞 𝜌𝑆 𝑑𝑆 𝜌𝑆 2𝜋𝑟 𝑑r Podemos obter a equação do campo elétrico para o disco a partir da equação do anel substituindo b por r e considerando a integral ao longo do raio Assim 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑆 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟3 𝑑𝑆 𝑆 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑆 ℎ 𝑧 𝑟2 ℎ232 𝑟𝑑𝑟𝑑ϕ 𝑧 𝑎 0 2𝜋 0 𝜌𝑆 𝑟 ℎ 2ϵo𝑟2 ℎ232 𝑑𝑟 𝑧 𝑎 0 𝑢 𝑟2 ℎ2 𝑑𝑢 2𝑟𝑑𝑟 𝐸 𝜌𝑆 ℎ 4ϵo𝑢 3 2 𝑑𝑢 𝑧 𝜌𝑆 ℎ 4ϵo 𝑢3 2𝑑𝑢 𝑧 𝜌𝑆 ℎ 2ϵo 1 𝑢 𝑧 𝜌𝑆 ℎ 2ϵo 1 𝑟2 ℎ2 a 0 𝑧 Eletromagnetismo I 140 𝜌𝑆 ℎ 2ϵo 1 𝑎2 ℎ2 𝜌𝑆 ℎ 2ϵo 1 0 ℎ2 𝑧 𝜌𝑆 2ϵo 1 ℎ 𝑎2 ℎ2 𝑧 𝐸 𝜌𝑆 2ϵo 1 ℎ 𝑎2 ℎ2 𝑧 2Campo elétrico de um plano infinito de cargas Considere um plano infinito carregado com uma densidade superficial de carga elétrica 𝜌𝑆 uniforme e positiva posicionado no espaço livre no plano xy Fonte httpswww3ufpebr Vamos determinar a intensidade do campo elétrico em um ponto qualquer de altura h acima do plano infinito Observe que podemos considerar o plano infinito como sendo um disco do problema 10 de raio a infinito Fazendo a tender a infinito na equação do disco temos 𝐸 𝜌𝑆 2ϵo 𝑧 Que é a equação do campo elétrico acima do plano infinito É importante observar que as linhas de campo elétrico devem estar apontando para fora do plano infinito pois a densidade de carga elétrica é positiva Portanto o campo elétrico será positivo em qualquer ponto acima do plano e negativo em qualquer ponto abaixo do plano assim 𝐸 𝜌𝑆 2ϵo 𝑧 Note que o campo elétrico é constante é o mesmo não importa o valor da altura h A única alteração é no seu sentido que é positivo acima do plano e negativo abaixo Eletromagnetismo I 141 do plano se a densidade de carga fosse negativa o campo elétrico seria negativo acima do plano e positivo abaixo do plano Problema 11 Considere um plano infinito com densidade superficial 𝜌𝑆 109 Cm2 posicionado no espaço livre Determine a o campo elétrico em um ponto abaixo desse plano e b a força elétrica em uma carga q 5 nC situada abaixo desse plano Solução a 𝐸 𝜌𝑆 2ϵo 𝑧 𝐸 109 2 885 1012 𝑧 565 𝑧 Vm b 𝐹𝑒 𝐸 𝑄 565 5 109 𝑧 2825 109 𝑧 N Considere agora dois planos infinitos paralelos o primeiro com densidade de carga elétrica positiva e o segundo com densidade de carga elétrica negativa 𝐸 𝜌𝑆 2ϵo 𝑧 𝜌𝑆 2ϵo 𝑧 𝐸 𝜌𝑆 2ϵo 𝑧 𝜌𝑆 2ϵo 𝑧 𝐸 𝜌𝑆 2ϵo 𝑧 𝜌𝑆 2ϵo 𝑧 𝐸 0 𝐸 𝜌𝑆 ϵo 𝑧 𝐸 0 Ou seja o campo elétrico entre as duas placas paralelas e infinitas é dado por Eletromagnetismo I 142 𝐸 𝜌𝑆 ϵo 𝑧 E é nulo 𝐸 0 na região externa Problema 12 Uma folha infinita carregada uniformemente com uma densidade superficial 𝜌𝑆 109 Cm2 está situada em z 0 plano xy Outra folha infinita com densidade 𝜌𝑆 109 Cm2 está situada em z 2 m Determine o campo elétrico em todas as regiões Solução 𝐸 𝜌𝑆 ϵo 𝑧 109 885 1012 𝑧 113 𝑧 Vm para 0 z 2 𝐸 0 para z 0 ou z 2 3Campo elétrico de um fio infinito carregado Considere um fio infinito carregado com uma densidade linear de carga elétrica 𝜌𝑙 uniforme e positiva posicionado no espaço livre ao longo do eixo z Considerando o campo elétrico gerado por um segmento diferencial de fio temos que o segmento tem comprimento 𝑑𝑙 𝑑z e contém a carga elétrica 𝑑𝑞 𝜌𝑙 𝑑𝑙 𝜌𝑙 𝑑𝑧 Vamos determinar a intensidade do campo elétrico em um ponto qualquer a uma distância de raio r do fio infinito Considere que o ponto de interesse está sobre o plano xy ou seja em z 0 assim 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 0 𝑧 0 𝑟 𝑧 𝑧 𝑟 𝑟 𝑧 𝑧 Eletromagnetismo I 143 𝑟 𝑟 𝑟2 𝑧2 Assim temos que o campo elétrico é dado por 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑙 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟3 𝑑𝑙 𝐿 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑙 𝑟 𝑟 𝑧 𝑧 𝑟2 𝑧232 𝑑𝑧 Observe que a componente 𝑧 do campo elétrico de um segmento diferencial de altura h é anulada pela componente 𝑧 do campo elétrico de um segmento diferencial de altura h Dessa forma a componente 𝑧 é anulada para qualquer que seja a altura h 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑙 𝑟 𝑟 𝑟2 𝑧232 𝑑𝑧 𝐸 𝜌𝑙 𝑟 4𝜋ϵo 1 𝑟2 𝑧232 𝑑𝑧 𝑟 Considere a seguinte integral 1 𝑎2 𝑢232 𝑑𝑢 𝑢 𝑎2 𝑎2 𝑢2 Temos então que 𝑟 𝑎 𝑧 𝑢 𝑑𝑧 𝑑𝑢 Assim 𝐸 𝜌𝑙 𝑟 4𝜋ϵo 1 𝑎2 𝑢2 3 2 𝑑𝑢 𝑟 𝜌𝑙 𝑟 4𝜋ϵo 𝑧 𝑟2 𝑟2 𝑧2 𝑟 𝜌𝑙 4𝜋ϵo𝑟 𝑧 𝑟2 𝑧2 𝑟 𝜌𝑙 4𝜋ϵo𝑟 𝜌𝑙 4𝜋ϵo𝑟 𝑟 𝐸 𝜌𝑙 2𝜋ϵo𝑟 𝑟 Eletromagnetismo I 144 Que é a equação do campo elétrico em um ponto r ϕz qualquer gerado por um fio infinito situado no eixo z Problema 13 Considere um fio infinito com densidade linear 𝜌𝑙 3x108 Cm posicionado no espaço livre ao longo do eixo z Determine a o campo elétrico no ponto 3π5 em coordenadas cilíndricas em metros e b a força elétrica em uma carga q 8 mC situada nesse ponto Solução a 𝐸 𝜌𝑙 2𝜋ϵo𝑟 𝑟 𝐸 3 108 2 𝜋 885 1012 3 𝑟 17983 𝑟 Vm b 𝐹𝑒 𝐸 𝑄 17983 8 103 𝑟 144 𝑟 N Problema 14 Calcular o campo elétrico de um fio finito carregado Nesse problema vamos determinar o campo elétrico em um ponto qualquer devido a um fio finito situado no eixo z de comprimento L2 z L2 comprimento L com densidade linear de carga uniforme e positiva Solução 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 ℎ 𝑧 0 𝑟 𝑧 𝑧 𝑟 𝑟 ℎ 𝑧 𝑧 𝑟 𝑟 𝑟2 ℎ 𝑧2 Assim temos que o campo elétrico é dado por 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑙 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟3 𝑑𝑙 𝐿 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑙 𝑟 𝑟 ℎ 𝑧 𝑧 𝑟2 ℎ 𝑧232 𝑑𝑧 𝐿2 𝐿2 Eletromagnetismo I 145 Para simplificar vamos fazer a substituição 𝑢 ℎ 𝑧 𝑑𝑢 𝑑𝑧 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑙 𝑟 𝑟 𝑢 𝑧 𝑟2 𝑢2 3 2 𝑑𝑢 𝐿2 𝐿2 𝜌𝑙 4𝜋ϵo 𝑢 𝑧 𝑟2 𝑢232 𝑑𝑢 𝑟 𝑟 𝑟2 𝑢232 𝑑𝑢 Temos que 𝑢 𝑟2 𝑢2 3 2 𝑑𝑢 1 𝑟2 𝑢2 1 𝑟2 ℎ 𝑧2 L2 𝐿2 1 𝑟2 ℎ 𝐿22 1 𝑟2 ℎ 𝐿22 𝑟 𝑟2 𝑢2 3 2 𝑑𝑢 𝑢 𝑟 𝑟2 𝑢2 ℎ 𝑧 𝑟 𝑟2 ℎ 𝑧2 L2 𝐿2 ℎ 𝐿2 𝑟 𝑟2 ℎ 𝐿22 ℎ 𝐿2 𝑟 𝑟2 ℎ 𝐿22 Assim 𝐸 𝜌𝑙 4𝜋ϵo 1 𝑟2 ℎ 𝐿22 1 𝑟2 ℎ 𝐿22𝑧 ℎ 𝐿2 𝑟 𝑟2 ℎ 𝐿22 ℎ 𝐿2 𝑟 𝑟2 ℎ 𝐿22 𝑟 No caso particular em que o ponto está no plano xy h 0 temos 𝐸 𝜌𝑙 𝐿 4𝜋ϵo𝑟 𝑟2 𝐿22 𝑟 E se o fio for infinito L tender a infinito temos 𝐸 𝜌𝑙 2𝜋ϵo𝑟 𝑟 Que é a fórmula do campo elétrico para o fio infinito Eletromagnetismo I 146 Considere a seguinte vídeo aula httpswwwyoutubecomwatchvklEZTj5w7P8 O Wolfram Alpha pode ser muito útil para a resolução de integrais confira Lei do Fluxo de Gauss Na Unidade anterior vimos que o conceito de linhas de fluxo é útil para mapearmos campos vetoriais Nesse contexto temos as linhas de campo elétrico as quais exibem as seguintes propriedades 1 Nascem se originam em cargas elétricas positivas e morrem terminam em cargas elétricas negativas 2 Em cada ponto do espaço as linhas de fluxo têm a direção e sentido do campo elétrico resultante 3 A densidade de linhas de fluxo é proporcional ao valor da carga elétrica ou à intensidade do campo elétrico Assim o fluxo elétrico através de uma superfície é a quantidade de campo elétrico que atravessa a superfície Partindo da Lei de Gauss para a Divergência temos que o fluxo total através de uma superfície fechada é dado por Ф𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐸 𝑑𝑆 𝑆 Observe que essa equação foi dada na Unidade anterior A unidade para o fluxo total pode ser tanto V m quanto 𝑁 𝐶 𝑚2 Para o cálculo do fluxo do campo elétrico começaremos considerando uma única carga pontual Q Uma carga elétrica pontual exibe uma simetria esférica radial como mostrado na figura a seguir Eletromagnetismo I 147 Observe que não importa o raio da superfície o número de linhas que atravessa essa superfície é sempre o mesmo Essa superfície desenhada ao redor da fonte de carga elétrica é chamada de Superfície Gaussiana A carga elétrica é uma fonte de campo elétrico campo vetorial Portanto o fluxo elétrico que passa por uma superfície fechada é proporcional à carga elétrica total contida no interior dessa superfície Dessa forma considerando o sistema de coordenadas esféricas para a equação do campo elétrico temos 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝑄 𝑅2 𝑅 Assim o fluxo é dado por Ф𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐸 𝑑𝑆 𝑆 1 4𝜋ϵo 𝑄 𝑅2 𝑅 𝑑𝑆 𝑆 Uma superfície diferencial de área na direção radial casca esférica é dada por 𝑑𝑆 𝑅 𝑑𝜃 𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜙 𝑅 𝑅2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝑅 Substituindo 1 4𝜋ϵo 𝑄 𝑅2 𝑅 𝑅2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝑅 𝜋 0 2𝜋 0 𝑄 4𝜋ϵo 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝜋 0 2𝜋 0 𝑄 4𝜋ϵo 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜋 0 𝑑𝜙 2𝜋 0 𝑄 2𝜋ϵo 𝑑𝜙 2𝜋 0 2𝜋𝑄 2𝜋ϵo 𝑄 ϵo Eletromagnetismo I 148 Ou seja chegamos a duas equações 𝐸 𝑑𝑆 𝑆 𝑄 ϵo Ф𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑄 ϵo A última equação mostra que o fluxo do campo elétrico depende de dois parâmetros a carga elétrica discreta ou contínua contida no interior da superfície e o meio em que ela está inserida No caso de a carga elétrica ser continua basta utilizarmos os conceitos do início dessa Unidade para obtenção da carga elétrica total dentro da superfície desejada Problema 15 Dada uma carga elétrica pontual de 60 µC na origem calcule o fluxo do campo elétrico que passa através de uma porção da esfera de raio R 26 cm limitada por 0 𝜃 π2 e 0 𝜙 π2 Solução Ф𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐸 𝑑𝑆 𝑆 1 4𝜋ϵo 𝑄 𝑅2 𝑅 𝑑𝑆 𝑆 1 4𝜋ϵo 𝑄 𝑅2 𝑅 𝑅2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝑅 𝜋2 0 𝜋2 0 𝑄 4𝜋ϵo 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝜋2 0 𝜋2 0 𝑄 4𝜋ϵo 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜋 2 0 𝑑𝜙 𝜋 2 0 𝑄 4𝜋ϵo 𝑑𝜙 𝜋 2 0 𝜋𝑄 2 4𝜋ϵo 𝑄 8ϵo 84746 kV m 60 106 8 885 1012 84746 kV m Observe que o fluxo elétrico nesse caso foi igual a um oitavo do fluxo elétrico da superfície fechada pois escolhemos uma superfície que corresponde a um oitavo da área da casca esférica Além disso perceba que o fluxo não depende do raio da esfera Eletromagnetismo I 149 Problema 16 Dada uma carga elétrica pontual de 60 µC na origem calcule o fluxo do campo elétrico que passa por uma superfície fechada cilíndrica de raio r 26 cm z 26 cm e z 26 cm Solução Como a superfície é fechada ao redor da carga elétrica então o fluxo será Ф𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑄 ϵo 60 106 885 1012 677966 kV m Observe que essa equação do fluxo do campo elétrico é válida para qualquer que seja a superfície fechada ao redor da carga elétrica Note ainda que esse resultado é igual a oito vezes o resultado do problema anterior uma vez que agora estamos considerando toda a superfície ao redor da carga Problema 17 Qual é o fluxo de campo elétrico que atravessa a superfície S na forma de disco plano de raio 4 m que contém uma distribuição de carga elétrica com densidade superficial 𝜌𝑆 12𝑟 nCm2 Solução Ф𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑄 ϵo 1 ϵo 1 2𝑟 109𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜙 4 0 2𝜋 0 109 2ϵo 1 𝑑𝑟𝑑𝜙 4 0 2𝜋 0 109 2ϵo 4 𝑑𝜙 2𝜋 0 109 8𝜋 2ϵo 109 4 𝜋 885 1012 141993 V m É importante destacar que se a carga elétrica estiver fora da superfície fechada então o fluxo será nulo pois a quantidade de linhas que entram será igual a quantidade de linhas que saem Isso significa que ao considerarmos a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico devemos escolher a superfície fechada superfície gaussiana de forma adequada A resolução para obtenção da equação do campo elétrico fica muito simples desde que Eletromagnetismo I 150 uma superfície fechada adequada denominada superfície gaussiana seja escolhida Nesse caso duas condições devem ser satisfeitas 1 O campo elétrico 𝐸 deve ser normal ou tangencial à superfície 𝑆 de forma que o produto escalar 𝐸 𝑑𝑆 seja uma simples multiplicação algébrica 𝐸 𝑑𝑆 para a componente normal ou nulo para a componente tangencial 2 Na parte da superfície em que o produto escalar é não nulo o campo elétrico 𝐸 deve ser constante para que a integral possa ser removida A escolha da superfície gaussiana depende de uma prévia investigação da simetria Para exemplificar a aplicação da Lei de Gauss vamos obter o campo elétrico em um ponto P devido a uma linha de cargas infinitamente longa com densidade de carga elétrica uniforme 𝜌𝑙 ao longo do eixo z É importante observar que nós já obtemos essa equação na seção anterior por meio da Lei de Coulomb Como a linha de cargas é uma extensão infinita ao longo do eixo z as condições de simetria determinam que o campo elétrico 𝐸 deve estar na direção de 𝑟 e não depende de 𝜙 ou z o campo elétrico não varia com 𝜙 ou z Os quatro passos para a utilização da Lei de Gauss é 1 Escolher o tipo de simetria entre retangular cilíndrica ou esférica 2 Escolher a superfície gaussiana 3 Calcular o fluxo 4 Calcular o campo elétrico 𝐸 Solução do problema 1 A simetria do problema do fio infinito é cilíndrica radial ou seja como discutido anteriormente o campo elétrico está na direção de 𝑟 e só depende de r 𝐸 𝐸𝑟 𝑟 2 Nesse caso é natural escolhermos como superfície gaussiana uma superfície cilíndrica Eletromagnetismo I 151 Fonte ULABY 2007 3 Observe que o fluxo atravessa é normal apenas à superfície lateral do cilindro Portanto Ф𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐸 𝑑𝑆 𝑆 𝐸𝑟 𝑟 𝑟 𝑑𝜙𝑑𝑧 2𝜋 0 ℎ 0 𝑟 𝐸𝑟 𝑟 𝑑𝜙𝑑𝑧 2𝜋 0 ℎ 0 Ф𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 2𝜋ℎ𝐸𝑟𝑟 4 Temos o fluxo dado por Ф𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑄 ϵo Em que a carga elétrica total dentro dessa superfície gaussiana é dada por 𝑄 𝜌𝑙ℎ Assim Ф𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝜌𝑙ℎ ϵo Logo 2𝜋ℎ𝐸𝑟𝑟 𝜌𝑙ℎ ϵo 𝐸𝑟 𝜌𝑙ℎ 2𝜋ℎϵo𝑟 𝜌𝑙 2𝜋ϵo𝑟 Como 𝐸 𝐸𝑟 𝑟 Eletromagnetismo I 152 Então 𝐸 𝜌𝑙 2𝜋ϵo𝑟 𝑟 Que é a expressão do campo elétrico gerado por um fio infinito já obtida na seção anterior Problema 18 O problema de um cabo coaxial é quase idêntico àquele da linha de cargas e é um exemplo extremamente difícil de resolver a partir da lei de Coulomb Suponha que tenhamos dois condutores cilíndricos coaxiais o interno de raio a e o externo de raio b ambos de extensão infinita Considere uma distribuição de cargas superficial 𝜌𝑆 na superfície externa do condutor interno Vamos calcular o campo elétrico 𝐸 na região entre os dois condutores cilíndricos Solução 1 Considerações de simetria nos mostram que apenas a componente 𝑟 está presente e que somente pode ser função de r ou seja 𝐸 𝐸𝑟 𝑟 2 Nesse caso a superfície cilíndrica de comprimento L e raio r tal que a r b deve ser escolhida como superfície gaussiana 3 Observe que o fluxo atravessa é normal apenas à superfície lateral do cilindro Portanto Ф𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐸 𝑑𝑆 𝑆 𝐸𝑟 𝑟 𝑟 𝑑𝜙𝑑𝑧 2𝜋 0 𝐿 0 𝑟 𝐸𝑟 𝑟 𝑑𝜙𝑑𝑧 2𝜋 0 𝐿 0 Eletromagnetismo I 153 Ф𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 2𝜋𝐿𝐸𝑟𝑟 4 A carga total na superfície externa do cilindro interno é dada por 𝑄 𝜌𝑆 𝑎 𝑑𝜙𝑑𝑧 2𝜋 0 𝐿 0 2𝜋𝐿𝜌𝑆𝑎 Assim o fluxo através da superfície lateral Ф𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑄 ϵo 2𝜋𝐿𝜌𝑆𝑎 ϵo Logo 2𝜋𝐿𝐸𝑟𝑟 2𝜋𝐿𝜌𝑆𝑎 ϵo 𝐸𝑟 2𝜋𝐿𝜌𝑆𝑎 2𝜋𝐿𝑟ϵo 𝜌𝑆𝑎 𝑟ϵo Então 𝐸 𝜌𝑆𝑎 𝑟ϵo 𝑟 Que é a expressão do campo elétrico entre os dois cilindros infinitos para a r b É importante observar no Problema 18 que poderíamos expressar a densidade de carga superficial como uma densidade de carga linear 𝜌𝑙 2𝜋𝑎𝜌𝑆 Assim 𝜌𝑆 𝜌𝑙 2𝜋𝑎 Substituindo 𝐸 𝜌𝑆𝑎 𝑟ϵo 𝑟 𝜌𝑙 2𝜋𝑎 𝑎 𝑟ϵo 𝑟 𝜌𝑙 2𝜋ϵo𝑟 𝑟 Que é a expressão para o fio infinito calculada anteriormente Eletromagnetismo I 154 Ainda sobre o problema do cabo coaxial toda linha de fluxo elétrico que começa da carga no cilindro interno deve terminar em uma carga negativa na superfície interna do cilindro externo Portanto o campo elétrico na região de r b região externa deve ser igual a zero 𝐸 0 para r b Esse mesmo resultado é encontrado para a região dentro do condutor interno para r a Assim o cabo ou capacitor coaxial não possui campo elétrico externo o condutor externo é uma blindagem e não existe campo elétrico dentro do condutor central Outro exemplo que pode ser facilmente solucionado via Lei de Gauss é o problema do campo elétrico gerado por uma superfície esférica metálica carregada Considere uma casca esférica de raio a cuja superfície tem uma densidade uniforme e positiva de carga 𝜌𝑆 Vamos determinar a expressão para o campo elétrico 𝐸 em um ponto arbitrário do espaço 1 É importante observar que o campo elétrico possui geometria esférica radial 𝐸 𝐸𝑅 𝑅 2 Nesse caso escolheremos como superfície gaussiana uma casca esférica de raio R 3 O fluxo que atravessa a superfície gaussiana é normal à superfície da casca esférica ou seja Ф𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐸 𝑑𝑆 𝑆 𝐸𝑅 𝑅 𝑅2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝑅 𝜋 0 2𝜋 0 𝐸𝑅 𝑅2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝜋 0 2𝜋 0 Ф𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 4𝜋𝐸𝑅𝑅2 Eletromagnetismo I 155 4 A carga total na superfície da carga esférica é dada por 𝑄 𝜌𝑆 𝑎2 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝜋 0 2𝜋 0 4𝜋𝜌𝑆𝑎2 Se o raio R da superfície gaussiana for menor do que o raio a da casca cilíndrica então não haverá carga elétrica dentro da superfície gaussiana Logo 𝐸 0 Em um ponto qualquer para R a no interior da casca esférica A Lei de Gauss mostra que o campo elétrico no interior de superfícies carregadas em geral condutores é sempre nulo Por outro lado se o raio R da superfície gaussiana for maior do que o raio a da casca cilíndrica então Ф𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑄 ϵo 4𝜋𝜌𝑆𝑎2 ϵo Logo 4𝜋𝐸𝑅𝑅2 4𝜋𝜌𝑆𝑎2 ϵo 𝐸𝑅 4𝜋𝜌𝑆𝑎2 ϵo4𝜋𝑅2 𝜌𝑆𝑎2 ϵo𝑅2 Então 𝐸 𝜌𝑆𝑎2 ϵo𝑅2 𝑅 Que é o campo elétrico em um ponto qualquer para R a no exterior da casca esférica Observe que essa equação do campo elétrico no exterior da casca esférica poderia ser escrita como 4𝜋𝐸𝑅𝑅2 𝑄 ϵo Eletromagnetismo I 156 𝐸𝑅 𝑄 4𝜋ϵo𝑅2 𝐸 𝑄 4𝜋ϵo𝑅2 𝑅 Que é a equação do campo elétrico produzido por uma carga pontual Isso significa que o campo elétrico produzido por uma superfície esférica carregada tem um comportamento idêntico ao do campo elétrico produzido por uma carga pontual Problema 19 Um volume esférico de raio a contém uma densidade volumétrica de carga 𝜌𝑉 Utilize a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico 𝐸 para a R a e b R a Solução Já sabemos que a geometria é esférica radial e que a superfície gaussiana será uma casca esférica de raio R Nesse caso o fluxo já foi calculado e vale Ф𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 4𝜋𝐸𝑅𝑅2 a Para R a 𝑄 𝜌𝑉 𝑅2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑅𝑑𝜃𝑑𝜙 𝑅 0 𝜋 0 2𝜋 0 4𝜋𝜌𝑉𝑅3 3 4𝜋𝐸𝑅𝑅2 4𝜋𝜌𝑉𝑅3 3ϵo 𝐸 4𝜋𝜌𝑉𝑅3 3ϵo4𝜋𝑅2 𝜌𝑆𝑅 3ϵo 𝑅 Para R a 𝑄 𝜌𝑉 𝑅2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑅𝑑𝜃𝑑𝜙 𝑎 0 𝜋 0 2𝜋 0 4𝜋𝜌𝑉𝑎3 3 4𝜋𝐸𝑅𝑅2 4𝜋𝜌𝑉𝑎3 3 𝐸 4𝜋𝜌𝑉𝑎3 3ϵo4𝜋𝑅2 𝜌𝑆𝑎3 3ϵo𝑅2 𝑅 Eletromagnetismo I 157 Potencial eletrostático No estudo de circuitos elétricos nos deparamos com tensões e correntes elétricas A tensão elétrica V entre dois pontos de um circuito elétrico representa a quantidade de trabalho ou energia potencial necessária para mover uma carga elétrica entre dois pontos Na verdade o termo tensão elétrica é uma versão reduzida de tensão potencial elétrica ou simplesmente potencial elétrico O interessante é que ao resolvermos problemas de circuitos elétricos não percebemos e nem consideramos a presença dos campos elétricos Mas é justamente a existência de um campo elétrico entre dois pontos que origina a diferença de potencial ddp entre eles assim como entre os terminais de um resistor ou de um capacitor A relação entre o campo elétrico 𝐸 e o potencial elétrico V será tratada nessa seção Considere duas partículas carregadas Quando liberamos a partícula Q carga teste no ponto P ela começa a se mover e portanto adquire energia cinética Como a energia não pode ser criada de onde vem essa energia Essa energia vem da energia potencial elétrica U associada à força elétrica entre as duas partículas Para explicar a origem da energia potencial U que é uma grandeza escalar definimos um potencial elétrico V que também é uma grandeza escalar criado pela partícula q caga fonte sobre o ponto P Quando a partícula Q é colocada no ponto P a energia potencial do sistema de duas partículas se deve à carga elétrica Q e ao potencial elétrico V da carga q Considere um sistema formado por 2 cargas pontuais q fonte e Q prova O nosso objetivo é deslocar a carga prova na presença da carga fonte A força elétrica de interação entre as cargas fonte e prova é dada por 𝐹𝑒 1 4𝜋ϵo 𝑞𝑄 𝑅2 𝑅 Eletromagnetismo I 158 Vamos calcular o trabalho realizado por uma força elétrica 𝐹𝑒 para deslocar a carga elétrica Q na presença da carga fonte q a partir de um ponto inicial Ri até um ponto final Rf ao longo de um percurso qualquer C O trabalho de uma força é definido como 𝑊 𝐹𝑒 𝐶 𝑑𝑙 Medido em Joule J Problema 20 Um campo eletrostático é dado por 𝐸 𝑥2 2𝑦𝑥 2𝑥𝑦 Vm Calcule o trabalho necessário para mover uma carga pontual Q 20 µC da origem até o ponto 400 Solução 𝑊 𝐹𝑒 𝐶 𝑑𝑙 𝑄𝐸 𝐶 𝑑𝑙 𝑑𝑙 𝑑𝑥𝑥 𝑊 20 106 𝑥 2 2𝑦𝑥 2𝑥𝑦 4 0 𝑑𝑥𝑥 20 106 𝑥 2 2𝑦 4 0 𝑑𝑥 80 µJ Como a força elétrica possui apenas a componente na direção de 𝑅 devemos considerar apenas a componente de 𝑑𝑙 na direção de 𝑅 𝑑𝑙 𝑑𝑅 𝑅 Assim 𝑊 𝐹𝑒 𝐶 𝑑𝑙 1 4𝜋ϵo 𝑞𝑄 𝑅2 𝑅 𝐶 𝑑𝑅 𝑅 𝑞𝑄 4𝜋ϵo𝑅2 𝑅𝑓 𝑅𝑖 𝑑𝑅 𝑞𝑄 4𝜋ϵo𝑅 𝑅𝑓 𝑅𝑖 𝑞𝑄 4𝜋ϵo 1 𝑅𝑓 1 𝑅𝑖 Ou seja Eletromagnetismo I 159 𝑊 𝑞𝑄 4𝜋ϵo 1 𝑅𝑓 1 𝑅𝑖 A análise da fórmula do trabalho realizado por uma força elétrica permite concluirmos que 1 O trabalho realizado pela força elétrica independe da trajetória percorrida pela carga Q dependendo apenas dos pontos inicial e final Essa característica é consequência da Lei da Conservação da Energia 2 Se os pontos inicial e final formarem um percurso fechado o ponto final ser igual ao inicial o trabalho realizado será nulo 3 A força eletrostática é conservativa Isso significa que a circulação ou rotacional de 𝐹𝑒 é nula 𝐹𝑒 𝑑𝑙 𝐶 0 𝐹𝑒 0 O trabalho pode ser definido como a variação da energia potencial interna do sistema formado pelas cargas q e Q 𝑊 𝑈 𝑈𝑓 𝑈𝑖 Assim temos que 𝑈 𝑞𝑄 4𝜋ϵo 1 𝑅𝑓 1 𝑅𝑖 Que é uma função escalar e também medida em Joule J Ao analisarmos essas duas últimas equações podemos concluir que 1 Se W 0 temos 𝑈𝑓 𝑈𝑖 ou seja há gasto de energia 𝑈 0 2 Se W 0 temos 𝑈𝑓 𝑈𝑖 ou seja o sistema recebe energia 𝑈 0 Por convenção adotase como referência o infinito isto é 𝑅𝑖 tende a infinito e consequentemente 𝑈𝑖 tende a zero Assim 𝑈 𝑈𝑓 𝑈𝑖 𝑈𝑓 𝑞𝑄 4𝜋ϵo𝑅𝑓 Logo Eletromagnetismo I 160 𝑈 𝑞𝑄 4𝜋ϵo𝑅 Em que a carga prova Q foi deslocada a partir do infinito até 𝑅 É importante observar que para que o infinito seja adotado como referência é necessário que a distribuição de carga fonte seja finita A relação entre a força elétrica 𝐹𝑒 e a energia potencial U é dada por 𝐹𝑒 𝑈 Para provar essa fórmula considere o cálculo do gradiente da energia potencial 𝑈 𝑑𝑈 𝑑𝑅 𝑅 1 4𝜋ϵo 𝑞𝑄 𝑅2 𝑅 𝐹𝑒 É importante destacar que essa equação só é válida para campos conservativos campos em que o rotacional é nulo 𝐹𝑒 0 𝑈 0 A relação entre a força elétrica e o campo elétrico é dada por 𝐸 𝐹𝑒 𝑄 Além disso o potencial elétrico é ser definido como 𝑉 𝑈 𝑄 𝑞 4𝜋ϵo𝑅 Que é a equação do potencial elétrico para uma carga pontual q A unidade do potencial elétrico é Joule por Coulomb JC ou simplesmente Volt V Eletromagnetismo I 161 Problema 21 Calcule o potencial elétrico em 𝑅𝐴 5 m em 𝑅𝐵 15 m e a diferença de potencial ddp entre os dois pontos devido a uma carga pontual q 500 pC na origem considerando a referência de zero no infinito Solução 𝑉𝐴 𝑞 4𝜋ϵo𝑅𝐴 500 1012 4 𝜋 885 1012 5 09 V 𝑉𝐵 𝑞 4𝜋ϵo𝑅𝐵 500 1012 4 𝜋 885 1012 15 03 V 𝑑𝑑𝑝 𝑉 𝑉𝐴 𝑉𝐵 09 03 06 V Assim temos a seguinte relação para o campo elétrico e o potencial elétrico 𝐸 𝑉 Isso significa que o gradiente do potencial elétrico nos fornece o campo elétrico Ou seja podemos obter a equação do campo elétrico a partir da equação do potencial elétrico Podemos definir o campo elétrico como sendo o máximo decréscimo da função potencial eletrostático Aprendemos até aqui três formas de se obter a equação para o campo elétrico por meio da Lei de Coulomb através da Lei de Gauss e também a partir do potencial elétrico Com isso podemos definir ainda a diferença de potencial ddp como 𝑑𝑑𝑝 𝑉 𝐸 𝑑𝑙 𝐶 Ou 𝑉𝑓 𝑉𝑖 𝐸 𝑑𝑙 𝑅𝑓 𝑅𝑖 Eletromagnetismo I 162 Assim como definido anteriormente para o trabalho em Eletrostática a diferença de potencial entre 𝑅𝑓 P2 e 𝑅𝑖 P1 é a mesma independente do percurso utilizado para calcular a integral de linha do campo elétrico entre esses dois pontos Fonte ULABY 2007 É importante observar que se a força eletrostática é conservativa então o campo eletrostático também é conservativo ou nãorotacional 𝐸 0 𝐸 𝑑𝑙 𝐶 0 Considerando como referência o potencial nulo no infinito temos 𝑉𝑓 𝑉𝑖 𝑉𝑓 𝐸 𝑑𝑙 𝑅𝑓 Portanto o potencial elétrico pode ser calculado a partir da expressão do campo elétrico 𝑉𝑓 𝐸 𝑑𝑙 𝑅𝑓 A função potencial eletrostático pode ser escrita da seguinte forma 𝑉 𝑞 4𝜋ϵo𝑅 Em que q representa a carga fonte que pode ser discreta ou contínua Considere uma carga elétrica de 1 nC A figura a seguir mostra o campo elétrico apontando para fora da carga elétrica e algumas superfícies equipotenciais com o valor do potencial elétrico Eletromagnetismo I 163 No caso da figura acima essas superfícies são esféricas ao redor da carga elétrica é a vista superior da esfera por isso forma uma circunferência Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma superfície equipotencial pode ser uma superfície imaginária ou uma superfície real Fonte HALLIDAY et al 2019 Eletromagnetismo I 164 Observe que o campo elétrico é perpendicular às superfícies equipotenciais Além disso note que o campo elétrico aponta para o máximo decrescimento do potencial elétrico Por isso 𝐸 𝑉 Problema 22 Como exemplo de aplicação da fórmula para o cálculo do potencial elétrico vamos considerar a figura anterior e obter o potencial elétrico da segunda superfície equipotencial que está a 1 m de distância da carga elétrica de 1 nC Solução 𝑉 𝑞 4𝜋ϵo𝑅 𝑉 1 109 4 𝜋 885 1012 1 9 V Que é o valor mostrado na figura Para um conjunto discreto de cargas pontuais temos 𝑉 𝑉𝑖 𝑛 𝑖1 𝑉𝑖 𝑞𝑖 4𝜋ϵo𝑟 𝑟𝑖 Assim 𝑉 1 4𝜋ϵo 𝑞𝑖 𝑟 𝑟𝑖 𝑛 𝑖1 Observe que o resultado é uma função escalar Duas observações importantes 1 O nome adotado há muitos anos para a grandeza V foi uma escolha infeliz porque potencial elétrico V pode ser facilmente confundido com energia potencial U É verdade que as duas grandezas estão relacionadas daí a escolha mas são muito diferentes e uma não pode ser usada no lugar da outra 2 O potencial elétrico V não é um vetor como o campo elétrico e sim Eletromagnetismo I 165 um escalar na hora de resolver os problemas você vai ver que isso facilita muito as coisas Laboratório Virtual para o Potencial Elétrico Podemos utilizar o seguinte laboratório virtual para simular medidas de potencial elétrico gerado por cargas pontuais httpsphetcoloradoedusimshtmlchargesandfieldslatestchargesandfieldsptBRhtml Experimente colocar duas ou três cargas elétricas positivas eou negativas e detecte o valor do potencial elétrico em algum ponto Consegue calcular o potencial elétrico com a fórmula Por exemplo Vamos experimentar colocar uma carga positiva 1 nC no centro 00 uma negativa 1 nC 1 metro para cima 01 e outra carga positiva 1 nC 2 metros para a direita 20 Em seguida vamos colocar o medidor entre as duas cargas positivas no ponto 10 A figura a seguir ilustra o que deve ser feito Observe que o potencial elétrico é igual a 1163 faça você mesmo e anote o valor que você encontrar Eletromagnetismo I 166 Agora vamos tentar calcular o potencial elétrico resultante a partir da fórmula 𝑟 𝑟1 10 00 10 𝑟 𝑟1 1 𝑟 𝑟2 10 01 1 1 𝑟 𝑟2 2 𝑟 𝑟3 10 20 10 𝑟 𝑟3 1 𝑉 1 4𝜋ϵo 𝑞𝑖 𝑟 𝑟𝑖 3 𝑖1 1 4 𝜋 885 1012 1 109 1 1 109 2 1 109 1 𝑉 9 109 1293 109 1163 V Que é o resultado encontrado no laboratório virtual Para uma distribuição contínua de cargas elétrica 𝑉 1 4𝜋ϵo 1 𝑟 𝑟𝑖 𝑑𝑞 Assim considerando uma distribuição volumétrica 𝑉 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑉 𝑟 𝑟𝑖 𝑑𝑉 𝑉 Para distribuição superficial 𝑉 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑆 𝑟 𝑟𝑖 𝑑𝑆 𝑆 Para distribuição linear 𝑉 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑙 𝑟 𝑟𝑖𝑑𝑙 𝐿 Eletromagnetismo I 167 Problema 23 Calcular o potencial elétrico de um disco circular de cargas Nesse problema vamos determinar o potencial elétrico no mesmo ponto 00h situado no espaço livre ao longo do eixo z que é o eixo do disco devido a um disco circular de cargas de raio a no plano xy com densidade superficial de carga uniforme e positiva 𝜌𝑆 Em seguida vamos determinar o campo elétrico 𝐸 Solução 𝑟 𝑟𝑖 ℎ2 𝑟2 𝑉 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑆 𝑟 𝑟𝑖 𝑑𝑆 𝑆 𝜌𝑆 4𝜋ϵo 1 ℎ2 𝑟2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜙 𝑎 0 2𝜋 0 2𝜋𝜌𝑆 4𝜋ϵo 1 ℎ2 𝑟2 𝑟𝑑𝑟 𝑎 0 𝑢 ℎ2 𝑟2 𝑑𝑢 2𝑟𝑑𝑟 𝑟𝑑𝑟 𝑑𝑢 2 𝑉 𝜌𝑆 2ϵo 𝑢1 2𝑑𝑢 2 𝜌𝑆𝑢 2ϵo 𝜌𝑆ℎ2 𝑟2 2ϵo 𝑎 0 𝜌𝑆 2ϵo ℎ2 𝑎2 ℎ Para obter o campo elétrico 𝐸 𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑧 𝑧 𝜌𝑆 2ϵo 𝑑𝑧2 𝑎2 𝑧 𝑑𝑧 𝑧 𝜌𝑆 2ϵo 1 𝑧 𝑎2 𝑧2 𝑧 𝐸 𝜌𝑆 2ϵo 1 ℎ 𝑎2 ℎ2 𝑧 Eletromagnetismo I 168 A expressão para o potencial elétrico V envolve somas e integrais escalares que como tal são geralmente mais simples do que as integrais vetoriais baseadas na Lei de Coulomb Por isso ainda que a abordagem para a determinação do campo elétrico a partir do potencial elétrico possua dois passos ela é computacionalmente mais simples do que o método direto baseado na Lei de Coulomb Dipolo elétrico O dipolo elétrico é uma configuração formada por 2 cargas elétricas pontuais de mesma magnitude e sinais opostos separadas por uma distância d Fonte HAYT e BUCK 2013 As linhas de campo elétrico podem ser observadas a seguir Fonte HALLIDAY et al 2019 Eletromagnetismo I 169 Admita que a distância d entre as cargas elétricas é muito menor do que a distância que as separa do ponto P d R Assim vamos determinar o campo elétrico em um ponto P no espaço a partir da seguinte abordagem 1 Determinar o potencial elétrico V 2 Determinar o campo elétrico 𝐸 a partir de V 𝐸 𝑉 Em primeiro lugar uma vez que d R podemos aproximar as distâncias das cargas ao ponto P a retas paralelas Fonte HAYT e BUCK 2013 Com isso temos as seguintes expressões para as distâncias 𝑅1 𝑅 𝑑 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑅2 𝑅 𝑑 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 O potencial elétrico será a soma do potencial elétrico gerado por ambas as cargas 𝑉 1 4𝜋ϵo 𝑞 𝑅1 𝑞 𝑅2 𝑞 4𝜋ϵo 1 𝑅1 1 𝑅2 𝑞 4𝜋ϵo 𝑅2 𝑅1 𝑅1𝑅2 𝑉 𝑞 𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝜃 4𝜋ϵo 𝑅2 Podemos observar o seguinte comportamento para o potencial elétrico Eletromagnetismo I 170 1 Para uma única carga pontual monopolo elétrico o potencial elétrico é proporcional a 1R 𝑉1𝑅 2 Para o dipolo elétrico o potencial elétrico é proporcional a 1R2 𝑉1𝑅2 Isso significa que o campo elétrico 𝐸 gerado pelo dipolo elétrico deva ser proporcional a 1R3 𝐸1𝑅3 O campo elétrico pode então ser obtido a partir do potencial elétrico 𝐸 𝑉 𝑉 𝑅 𝑅 1 𝑅 𝑉 θ θ 2𝑞 𝑑 𝑐𝑜𝑠 𝜃 4𝜋ϵo 𝑅3 𝑅 𝑞 𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝜃 4𝜋ϵo 𝑅3 θ 𝐸 𝑞𝑑 4𝜋ϵo 𝑅3 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 θ Problema 24 Determine o campo elétrico no ponto 300 em coordenadas esféricas produzido por um dipolo de comprimento d 10 µm e carga elétrica q 50 µC na origem Solução 𝐸 𝑞𝑑 4𝜋ϵo 𝑅3 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 θ 50 106 10 106 4 𝜋 885 1012 33 2𝑐𝑜𝑠 0 𝑅 𝑠𝑒𝑛 0 θ 033 𝑅 Vm Eletromagnetismo I 171 Problema 25 Problema do quadrupolo elétrico ou dipolo back to back Considere dois dipolos elétricos como mostrado na figura Vamos determinar o campo elétrico 𝐸 em um ponto P distante R a Solução 𝑉 1 4𝜋ϵo 𝑞 𝑅1 𝑞 𝑅2 2𝑞 𝑅 𝑞 4𝜋ϵo 1 𝑅1 1 𝑅2 2 𝑅 𝑞 4𝜋ϵo 𝑅𝑅2 𝑅𝑅1 2𝑅1𝑅2 𝑅1𝑅2𝑅 𝑞 4𝜋ϵo𝑅 2𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑅2 𝑎2 4 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑞 4𝜋ϵo 2𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑅3 𝐸 𝑉 𝑉 𝑅 𝑅 1 𝑅 𝑉 θ θ 𝑞 4𝜋ϵo 2𝑎23𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑅4 𝑅 𝑞 4𝜋ϵo 2𝑎22𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑅4 θ 𝐸 𝑞 2𝑎2 4𝜋ϵo𝑅4 3𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑅 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 θ Eletromagnetismo I 172 Nessa Unidade aprendemos os principais parâmetros elétricos do estudo dos campos eletrostáticos deduzindo algumas expressões a partir dos conceitos matemáticos de álgebra e cálculo vetorial descritos nas Unidades 1 e 2 Na próxima Unidade estudaremos a densidade de fluxo elétrico e as condições de contorno na Eletrostática Eletromagnetismo I 173 Exercícios Unidade 3 1 Uma placa quadrada no plano xy está situada no espaço definido por 0 𝑥 2 e 0 𝑦 2 ambas em metros Sabendo que a densidade superficial de carga é dada por 𝜌𝑆 2𝑥 Cm2 a carga elétrica total na placa é igual a a 8 C b 4 C c 2 C d 1 C e 05 C 2 Uma carga elétrica 𝑞1 20 µC está posicionada em 647 e uma carga elétrica 𝑞2 50 µC está posicionada em 582 ambas no espaço livre as medidas são dadas em metros Nesse caso a força elétrica exercida sobre 𝑞1 por 𝑞2 é aproximadamente igual a a 24𝑥 81𝑦 232𝑧 N b 0031𝑥 0011𝑦 0025𝑧 N c 04𝑥 01𝑦 077𝑧 N d 04𝑦 77𝑧 N e 215𝑥 N Eletromagnetismo I 174 3 Cargas pontuais de 50 nC cada estão posicionadas em A1 0 0 B1 0 0 C0 1 0 e D0 1 0 no espaço livre em metros A força total na carga em A é igual a a 24𝑥 81𝑦 232𝑧 µN b 407𝑥 30𝑦 55𝑧 µN c 4𝑥 1𝑦 77𝑧 µN d 04𝑦 77𝑧 µN e 215𝑥 µN 4 Uma carga de 03 µC está posicionada em 253015 cm e uma segunda carga de 05 µC em 10812 cm O campo elétrico no ponto 152050 cm é igual a a 055𝑥 kVm b 05𝑥 01𝑦 kVm c 1196𝑥 046𝑦 125𝑧 kVm d 46𝑦 217𝑧 kVm e 320𝑧 kVm Eletromagnetismo I 175 5 Considere dois anéis concêntricos de raios R e R no plano xy O ponto P está no eixo z eixo central a uma distância D do centro dos anéis como mostrado na figura O anel menor possui uma distribuição de carga elétrica uniforme e positiva 𝜌𝑙 enquanto no anel maior ela é negativa 𝜌𝑙 Sabendo que R 3R a expressão do campo elétrico em P é dada por a 0 b 1 c 𝜌𝑙𝑅 𝐷 2ϵo𝑅2𝐷232 𝑧 d 𝜌𝑙𝑅 𝐷 2ϵo𝑅2𝐷232 𝑧 𝜌𝑙3𝑅 𝐷 2ϵo9𝑅2𝐷232 𝑧 e 𝜌𝑙3𝑅 𝐷 2ϵo9𝑅2𝐷232 𝑧 6 Considere três cargas elétricas pontuais de 60 µC 30 µC e 50 µC o fluxo do campo elétrico que atravessa uma superfície esférica fechada é aproximadamente igual a a 82374 kV m b 65532 kV m c 903955 kV m d 129436 kV m e 0 Eletromagnetismo I 176 7 Considere uma linha uniforme de cargas 𝜌𝑙em forma de anel de raio a e sobre o plano xy z 0 Nesse caso a expressão para o potencial elétrico V em um ponto h ao longo do eixo z que passa pelo centro do anel é dada por a 𝜌𝑙 𝑎 4𝜋ϵo 𝑎2ℎ2 b 𝜌𝑙 𝑎 2ϵo 𝑎2ℎ2 c 𝜌𝑙 4𝜋ϵo 𝑎2ℎ2 d 𝜌𝑙 𝑎 𝑎2ℎ2 e 0 8 O campo elétrico no ponto 2π0 em coordenadas esféricas produzido por um dipolo de comprimento d 20 nm e carga elétrica q 30 mC na origem é aproximadamente igual a a 135 𝑅 Vm b 135 𝑅 Vm c 033 𝑅 Vm d 033 𝑅 Vm e 003 𝑅 Vm Eletromagnetismo I 177 9 A força elétrica gerada por uma carga elétrica sobre uma carga prova de 150 mC no ponto P é 𝐹𝑒 30 𝑅 N Determine o campo elétrico no ponto P 10 Determine o potencial elétrico no ponto P situado no centro de um quadrado de cargas pontuais dados q1 12 nC q2 24 nC q3 31 nC e q4 17 nC A distância d 13 m Eletromagnetismo I 178 4 Densidade de Fluxo Elétrico e Condições de Contorno Eletromagnetismo I 179 Nesta Unidade vamos estudar os conceitos relacionados às propriedades dos materiais elétricos incluindo a definição de condutividade e permissividade Em seguida deduziremos a equação de Laplace a ser aplicada para diversas condições de contorno para determinar a capacitância de capacitores Objetivos da unidade Aprender sobre as principais propriedades dos materiais elétricos incluindo suas classificações fenômeno de polarização e grandezas como condutividade e permissividade Estudar as diversas condições de fronteira entre materiais condutores e dielétricos Conhecer as equações de Poisson e Laplace para a dedução das condições de contorno em problemas de Eletrostática Plano da unidade Propriedades elétricas dos materiais Densidade de fluxo elétrico Problemas de valor de contorno na Eletrostática Bons estudos Eletromagnetismo I 180 Propriedades elétricas dos materiais Os materiais podem ser classificados de acordo com a facilidade com a qual as cargas elétricas se movem no seu interior 1 Condutores as cargas elétricas se movem com facilidade Exemplos o cobre dos fios elétricos o corpo humano e a água de torneira 2 Isolantes ou dielétricos as cargas não se movem Exemplos os plásticos do isolamento dos fios a borracha o vidro e a água destilada 3 Semicondutores conduzem eletricidade melhor que os isolantes mas não tão bem como os condutores Exemplos o silício e o germânio Os semicondutores são os principais responsáveis pela revolução da microeletrônica que nos trouxe a era da informação 4 Supercondutores ou condutores perfeitos são condutores perfeitos materiais nos quais as cargas se movem sem encontrar nenhuma resistência Em 1911 o físico holandês Kamerlingh Onnes descobriu que a resistência elétrica do mercúrio cai para zero quando o metal é resfriado abaixo de 4 K Esse fenômeno é conhecido como supercondutividade e permite que as cargas circulem em um supercondutor sem perder energia na forma de calor Os dois principais parâmetros constitutivos dos materiais elétricos são a condutividade e a permissividade A condutividade está relacionada com a capacidade do material em conduzir eletricidade No nosso tratamento dos parâmetros constitutivos assumiremos que os materiais são homogêneos suas propriedades são as mesmas em qualquer ponto do material e isotrópicos suas propriedades não dependem da direção A Tabela 6 apresenta a condutividade de alguns materiais a temperatura de 20oC Eletromagnetismo I 181 Tabela 6 Condutividade de alguns materiais a temperatura de 20oC Fonte ULABY 2007 A unidade para a condutividade em geral é Sm siemens por metro Os materiais que exibem condutividade acima de 104 σ 104 Sm são considerados bons condutores enquanto os materiais que exibem condutividade abaixo de 104 σ 104 Sm são considerados bons isolantes Entre essas duas faixas estão os materiais semicondutores A maior parte dos condutores são metais com uma abundância de elétrons disponíveis para condução A condutividade nos metais depende da densidade de carga e do espalhamento dos elétrons devido a suas interações com a rede cristalina Com o aumento da temperatura a condutividade decresce nos metais pois há uma maior vibração na rede cristalina elevando a ocorrência do espalhamento Um condutor perfeito ou supercondutor possui condutividade infinita Até a década de 1980 apenas um número limitado de metais podia superconduzir a temperaturas muito baixas em torno de 10 K Nos anos seguintes uma descoberta impressionante foi realizada determinadas estruturas com camadas cerâmicas como o óxido de ítriobáriocobre poderiam superconduzir a temperaturas significativamente elevadas Ainda assim os supercondutores mais avançados de hoje são limitados a níveis de intensidade de campos modestos e são operáveis somente a temperaturas bem abaixo da temperatura ambiente Em um bom isolante ou dielétrico os elétrons estão fortemente ligados aos seus átomos não estando disponíveis para conduzir Contudo na presença de um campo Eletromagnetismo I 182 elétrico muito intenso os elétrons podem ser retirados das suas órbitas ocorrendo a condução Esta tensão de ruptura em materiais isolantes é portanto um parâmetro crítico que deve ser considerado na presença de campos elétricos intensos Nos semicondutores os elétrons estão fracamente ligados aos seus átomos e com a adição de energia térmica se tornam disponíveis para condução Quando o elétron é puxado do seu átomo ele deixa para trás um lugar vago ou uma lacuna que se comporta como uma carga positiva móvel Para o silício puro à temperatura ambiente o número de portadores de carga móvel elétrons e lacunas é modesto sendo a condutividade baixa da ordem de 104 Sm Com o aumento da temperatura entretanto o número de portadores de carga aumenta rapidamente aumentando a condutividade mesmo com o aumento das vibrações da rede cristalina Outra forma de aumentar a condutividade de um material semicondutor é adicionar intencionalmente ou dopar impurezas que podem facilmente doar um portador de carga essas impurezas são chamadas de dopantes O silício fortemente dopado pode atingir uma condutividade da ordem de 104 Sm A Lei de Ohm na forma pontual define a densidade de corrente elétrica de condução ou simplesmente densidade de corrente como 𝐽 𝜎𝐸 A unidade da densidade de corrente é Ampére por metro quadrado Am2 Observe que 𝐽 é um vetor com mesma direção e sentido do campo elétrico 𝐸 Note que em dielétricos perfeitos 𝜎 0 portanto a densidade de corrente é igual a 0 𝐽 0 independentemente de 𝐸 Já em condutores perfeitos 𝜎 logo 𝐸 𝐽 𝜎 𝐽 0 O campo elétrico em um condutor perfeito é sempre igual a zero independentemente de 𝐽 É importante observar que a maioria dos materiais possuirá ambas as propriedades dielétrica e condutora Ou seja um material considerado dielétrico pode ser Eletromagnetismo I 183 ligeiramente condutivo e um material que é principalmente condutivo pode ser ligeiramente dielétrico Problema 1 Um fio de cobre com condutividade de 58 107 Sm está sujeito a um campo elétrico de 20 𝑟 mVm Determine a densidade de corrente Solução 𝐽 𝜎𝐸 58 107 20 103 𝑟 116 106 Am2 Como discutido anteriormente a diferença fundamental entre condutores e dielétricos é que em um condutor os elétrons livres estão fracamente ligados ao átomo permitindo que eles migrem de um átomo para outro através da estrutura cristalina do material enquanto no dielétrico os elétrons das últimas camadas estão fortemente ligados aos átomos Na ausência de um campo elétrico externo os elétrons em qualquer material formam uma nuvem simétrica em torno dos núcleos nesse caso o centro da nuvem eletrônica coincide com o centro do núcleo conforme a Figura a Quando um condutor está sujeito a um campo elétrico aplicado externamente a maior parte dos elétrons livres migra facilmente de um átomo para o próximo estabelecendo uma corrente elétrica Por outro lado um campo elétrico aplicado externamente em um dielétrico não apresenta o efeito de migração visto que eles não podem se mover livremente Nesse caso a nuvem de elétrons é distorcida as cargas negativas são atraídas e as positivas repelidas pelo campo elétrico externo formando um átomo ou molécula polarizado o centro da nuvem de elétrons representa o polo negativo enquanto o núcleo representa o polo positivo O processo de polarização está ilustrado na Figura b O átomo ou molécula polarizado pode ser representado por um dipolo elétrico conforme mostra a Figura c com uma carga elétrica q no centro do núcleo separada a uma distância d de uma carga elétrica q no centro da nuvem de elétrons Eletromagnetismo I 184 Fonte ULABY 2007 Este campo elétrico induzido denominado campo elétrico de polarização é mais fraco e oposto ao campo elétrico externo aplicado Por conta disso o campo elétrico resultante presente no material dielétrico é menor que o campo elétrico externo a polarização cria um campo elétrico oposto no interior do material tendo como efeito resultante a diminuição do campo elétrico externo total Nesse ponto podemos definir permissividade elétrica como sendo uma grandeza física que descreve o quanto um campo elétrico afeta e é afetado por um material ou meio A permissividade está diretamente relacionada com a susceptibilidade elétrica que determina o grau com o qual um material é suscetível propenso a polarização É comum caracterizar a permissividade ϵ de um material em relação ao espaço livre ϵo denominada permissividade relativa ou constante dielétrica representada pelo símbolo 𝜖𝑟 A Tabela 7 apresenta valores para a permissividade relativa constante dielétrica e para a rigidez dielétrica de materiais comuns Tabela 7 Permissividade relativa constante dielétrica e rigidez dielétrica de materiais comuns Fonte ULABY 2007 Eletromagnetismo I 185 A aplicação de um campo elétrico suficientemente forte pode tirar elétrons do átomo e permitir condução nos dielétricos Isso pode causar um efeito de fuga segundo o qual a colisão de um elétron extirpado com outro átomo pode causar uma geração adicional de cargas e a ruptura do dielétrico quando isso acontece podem ocorrer faíscas e o material dielétrico pode ser danificado permanentemente devido às colisões de elétrons com a estrutura molecular A rigidez dielétrica consiste no campo elétrico máximo a que um dielétrico pode ser submetido antes da ruptura Um exemplo mais comum de ruptura dielétrica é a descarga atmosférica onde carga suficiente tem sido acumulada para superar a rigidez dielétrica do ar aproximadamente 3 MVm Uma nuvem carregada com um potencial elétrico V em relação ao solo induz um campo elétrico E Vd no meio ar entre a nuvem e o solo em que d é a altura entre a base da nuvem e o solo Se V for suficientemente grande de forma que E exceda a rigidez dielétrica do ar ocorrerá a ionização do ar formação de íons devido à condução de elétrons seguida de uma descarga elétrica relâmpago Em aplicações de alta tensão ou potência elevada envolvendo dielétricos por exemplo cabos de alta tensão a rigidez dielétrica é um importante critério de projeto No projeto de capacitores cuidado tem que ser tomado para não exceder a tensão de ruptura do dielétrico Densidade de fluxo elétrico A densidade de fluxo elétrico pode ser definida matematicamente como 𝐷 ϵ 𝐸 A unidade da densidade de fluxo elétrico é Coulomb por metro quadrado Cm2 Observe que 𝐷 é um vetor que preserva a direção e sentido do campo elétrico 𝐸 Observe que a partir de agora estamos considerando a permissividade do meio ϵ no lugar da permissividade no vácuo ϵo É importante destacar que a permissividade do meio é obtida a partir da seguinte equação Eletromagnetismo I 186 ϵ 𝜖𝑟𝜖𝑜 Em que 𝜖𝑟 é permissividade relativa ou constante dielétrica do material ou do meio Vale ressaltar ainda que 𝜖𝑜 de todas as equações que vimos na Unidade anterior pode ser substituído por 𝜖𝑟𝜖𝑜 caso o material ou meio não seja o ar ou o vácuo Ao fazer essa substituição note que apenas a intensidade do campo elétrico irá mudar devido à polarização do material ou do meio sendo mantida a sua orientação direção e sentido se mantêm Problema 2 Determine a densidade de fluxo elétrico para um campo elétrico de 30 𝑧 kVm aplicado sobre um material com constante dielétrica de 5 Solução 𝐷 ϵ 𝐸 𝜖𝑟𝜖𝑜𝐸 5 885 1012 30 103 𝑧 13 106 𝑧 Cm2 Como discutido na seção anterior em um bom condutor idealmente perfeito o campo elétrico é igual a zero Para entender esse fato suponha que apareça subitamente uma quantidade de elétrons no interior de um condutor Como os campos elétricos criados por esses elétrons não são contrapostos por nenhuma carga positiva os elétrons irão se repelir afastandose uns dos outros Isso continua até os elétrons atingirem a superfície do condutor Neste ponto a progressão dos elétrons afastandose uns dos outros é interrompida pois o material que envolve o condutor é um dielétrico que não permite a condução Assim nenhuma carga deve permanecer dentro do condutor caso permanecesse o campo elétrico resultante forçaria essas cargas em direção à superfície do condutor O resultado final dentro de um condutor é uma densidade de carga elétrica igual a zero e uma densidade superficial de carga elétrica em sua superfície exterior Nessas condições pela Lei do Fluxo de Gauss temos que o campo elétrico dentro de um condutor é igual a zero Não existem campo elétrico dento de um condutor Eletromagnetismo I 187 Vamos agora avaliar como os campos elétricos se comportam na fronteira entre um par de dielétricos ou entre um dielétrico e um condutor Calculamos uma integral de linha de 𝐸 ao redor de um caminho retangular fechado como indicado na Figura Fonte WENTWORTH 2009 O campo elétrico 𝐸 nos meios 1 e 2 podem ser escritos em termos das direções tangenciais e normais 𝐸1 𝐸𝑇1 𝐸𝑁1 𝐸2 𝐸𝑇2 𝐸𝑁2 Para deduzir as condições de fronteira para as componentes tangenciais 𝐸 e 𝐷 começamos construindo um loop fechado abcda e então aplicamos a propriedade da conservação do campo elétrico integral de linha do campo eletrostático em torno de um percurso fechado é igual a zero Assim temos 𝐸 𝑑𝑙 𝐶 𝐸𝑇1 𝑑𝑙 𝑏 𝑎 𝐸𝑁1 𝑑𝑙 𝑐 𝑏 𝐸𝑇2 𝑑𝑙 𝑑 𝑐 𝐸𝑁2 𝑑𝑙 𝑎 𝑑 0 Fazendo Δh tender a zero as contribuições das integrais de linha dos seguimentos bc e da são zero Com isso 𝐸𝑇1 𝑑𝑙 𝑏 𝑎 𝐸𝑇2 𝑑𝑙 𝑑 𝑐 0 Ao longo do segmento ab 𝐸𝑇1 e 𝑑𝑙 têm mesmo sentido já no seguimento cd 𝐸𝑇2 e 𝑑𝑙 têm sentidos opostos logo 𝐸𝑇1 Δw 𝐸𝑇2 Δw 0 Eletromagnetismo I 188 𝐸𝑇1 Δw 𝐸𝑇2 Δw 0 Portanto 𝐸𝑇1 𝐸𝑇2 Ou seja a componente tangencial do campo elétrico tem que ser contínua através da fronteira entre os dois meios Podemos escrever ainda em termos da densidade de fluxo elétrico 𝐷𝑇1 𝜖1 𝐷𝑇2 𝜖2 Assim 𝐷𝑇1 𝐷𝑇2 𝜖1 𝜖2 Podendo ser escrito como 𝐷𝑇1 𝐷𝑇2 𝜖𝑟1 𝜖𝑟2 Ou seja as componentes tangenciais do vetor densidade de fluxo elétrico nos meios 1 e 2 depende da constante dielétrica de cada meio Para determinar as componentes normais de 𝐸 e de 𝐷 devemos partir da Lei de Fluxo de Gauss 𝐸 𝑑𝑆 𝑆 𝑄 ϵ 𝐷 ϵ 𝑑𝑆 𝑆 𝑄 ϵ 𝐷 𝑑𝑆 𝑆 𝑄 Essa equação comprova que a integral da densidade de fluxo elétrico sobre a superfície fechada é igual a carga elétrica total contida no interior dessa superfície Lembrando que no caso particular de o meio ser condutor então 𝐷 𝑑𝑆 𝑆 0 Eletromagnetismo I 189 Considere novamente dois meios 1 e 2 Vamos traçar uma superfície gaussiana como mostrado a seguir Partindo da Lei de Fluxo de Gauss para 𝐷 considerando a superfície gaussiana da figura temos 𝐷 𝑑𝑆 𝑆 𝐷𝑁1 𝑑𝑆 𝑡𝑜𝑝𝑜 𝐷𝑁2 𝑑𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐷 𝑑𝑆 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑄 Fazendo Δh tender a zero a contribuição da integral da superfície lateral será zero o fluxo através da superfície lateral será nulo Assim 𝐷𝑁1 𝑑𝑆 𝑡𝑜𝑝𝑜 𝐷𝑁2 𝑑𝑆 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑄 Temos que as áreas das superfícies topo e base são iguais ΔS mas de sentidos opostos o vetor superfície topo aponta para cima ΔS enquanto o vetor superfície base aponta para baixo ΔS Logo 𝐷𝑁1 Δ𝑆 𝐷𝑁2 Δ𝑆 𝑄 Como 𝑄 𝜌𝑆Δ𝑆 temos 𝐷𝑁1 Δ𝑆 𝐷𝑁2 Δ𝑆 𝜌𝑆Δ𝑆 Assim 𝐷𝑁1 𝐷𝑁2 𝜌𝑆 Ou seja a componente normal da densidade de fluxo elétrico varia abruptamente na fronteira entre os dois meios a qual está carregada com uma densidade de cargas superficial 𝜌𝑆 Eletromagnetismo I 190 Observe que a densidade de fluxo elétrico e a densidade de carga elétrica superficial tem a mesma unidade Cm2 Podemos escrever ainda em termos do campo elétrico 𝜖1𝐸𝑁1 𝜖2𝐸𝑁2 𝜌𝑆 Essa equação vale para qualquer que sejam os dois meios Para o caso particular em que os meios são dois dielétricos temos que 𝜌𝑆 0 Portanto 𝐷𝑁1 𝐷𝑁2 0 𝐷𝑁1 𝐷𝑁2 Ou seja a componente normal da densidade de fluxo elétrico é contínua através da fronteira entre os dois meios dielétricos Assim 𝜖1𝐸𝑁1 𝜖2𝐸𝑁2 𝐸𝑁1 𝐸𝑁2 𝜖2 𝜖1 Podendo ser escrito como 𝐸𝑁1 𝐸𝑁2 𝜖𝑟2 𝜖𝑟1 Válida quando os dois meios são dielétricos No caso de um dos meios ser condutor por exemplo o meio 2 temos que o campo elétrico será 𝐸2 0 Pois o campo elétrico em um material condutor é sempre igual a zero Consequentemente as componentes tangenciais e normais tanto do campo elétrico quanto da densidade de fluxo elétrico no meio 2 será igual a zero Com isso Eletromagnetismo I 191 𝐸𝑇1 𝐸𝑇2 0 Ou seja a componente tangencial do campo elétrico na fronteira em qualquer que seja o meio será igual a 0 O mesmo vale para a densidade de fluxo elétrico 𝐷𝑇1 𝐷𝑇2 0 Para as componentes normais do campo elétrico 𝜖1𝐸𝑁1 𝜖2𝐸𝑁2 𝜌𝑆 𝜖1𝐸𝑁1 𝜌𝑆 𝐸𝑁1 𝜌𝑆 𝜖1 E da densidade de fluxo elétrico 𝐷𝑁1 𝐷𝑁2 𝜌𝑆 𝐷𝑁1 𝜌𝑆 Podemos resumir essas equações como mostrado na Tabela 8 Tabela 8 Condições de contorno na fronteira entre dois meios Quaisquer dois meios Meio 1 Meio 2 Dielétrico Dielétrico Meio 1 Meio 2 Dielétrico Condutor 𝐸𝑇1 𝐸𝑇2 𝐸𝑇1 𝐸𝑇2 𝐸𝑇1 𝐸𝑇2 0 𝐷𝑇1 𝐷𝑇2 𝜖𝑟1 𝜖𝑟2 𝐷𝑇1 𝐷𝑇2 𝜖𝑟1 𝜖𝑟2 𝐷𝑇1 𝐷𝑇2 0 𝜖1𝐸𝑁1 𝜖2𝐸𝑁2 𝜌𝑆 𝐸𝑁1 𝐸𝑁2 𝜖2 𝜖1 𝐸𝑁1 𝜌𝑆 𝜖1 𝐸𝑁2 0 𝐷𝑁1 𝐷𝑁2 𝜌𝑆 𝐷𝑁1 𝐷𝑁2 𝐷𝑁1 𝜌𝑆 𝐷𝑁2 0 A partir das informações contidas na Tabela 8 podemos concluir que 1 A componente tangencial do campo elétrico é sempre contínua na fronteira entre dois meios 2 A componente tangencial da densidade de fluxo elétrico é sempre descontínua na fronteira entre dois meios Eletromagnetismo I 192 3 A componente normal do campo elétrico é sempre descontínua na fronteira entre dois meios 4 A componente normal da densidade de fluxo elétrico é contínua na fronteira entre dois meios apenas em uma interface dielétricodielétrico Problema 3 Considere um plano xy como uma fronteira livre de cargas que separa dois meios dielétricos com permissividade relativa iguais a 𝜖𝑟1 3 e 𝜖𝑟2 6 Se o campo elétrico no meio 2 é dado por 𝐸2 10 𝑥 5 𝑧 Vm determine o campo elétrico na fronteira do meio 1 Solução 𝐸𝑇2 10 𝑥 𝐸𝑁2 5 𝑧 𝐸𝑇1 𝐸𝑇2 10 𝑥 𝐸𝑁1 𝐸𝑁2 𝜖2 𝜖1 𝐸𝑁2 𝜖𝑟2 𝜖𝑟1 5 6 3 10 𝑧 𝐸1 10 𝑥 10 𝑧 Vm Problema 4 Aplicação das condições de contorno O plano xy é uma fronteira livre de cargas que separa dois meios dielétricos com permissividade 𝜖1 e 𝜖1 conforme mostrado na figura Se o campo elétrico no meio 1 é 𝐸1 𝐸𝑥1 𝑥 𝐸𝑦1 𝑦 𝐸𝑧1 𝑧 determine a o campo elétrico 𝐸2 no meio 2e b os ângulos 𝜃1 e 𝜃2 Eletromagnetismo I 193 Solução a Temos 𝐸2 𝐸𝑥2 𝑥 𝐸𝑦2 𝑦 𝐸𝑧2 𝑧 Como as componentes tangenciais do campo elétrico são contínuas 𝐸𝑥2 𝐸𝑥1 𝐸𝑦2 𝐸𝑦1 Para as componentes normais 𝐸𝑧2 𝐸𝑧1 𝜖1 𝜖2 𝐸2 𝐸𝑥1 𝑥 𝐸𝑦1 𝑦 𝐸𝑧1 𝜖1 𝜖2 𝑧 b Temos que 𝐸𝑇1 𝐸𝑥1 2 𝐸𝑦1 2 𝐸𝑇2 𝐸𝑥2 2 𝐸𝑦2 2 𝐸𝑥1 2 𝐸𝑦1 2 𝐸𝑁1 𝐸𝑧1 𝐸𝑁2 𝐸𝑧2 𝐸𝑧1 𝜖1 𝜖2 Assim 𝜃1 𝑡𝑎𝑛1 𝐸𝑇1 𝐸𝑁1 𝑡𝑎𝑛1 𝐸𝑥1 2 𝐸𝑦1 2 𝐸𝑧1 𝜃2 𝑡𝑎𝑛1 𝐸𝑇2 𝐸𝑁2 𝑡𝑎𝑛1 𝐸𝑥1 2 𝐸𝑦1 2 𝐸𝑧1𝜖1𝜖2 Observe que 𝑡𝑎𝑛 𝜃2 𝑡𝑎𝑛 𝜃1 𝜖2 𝜖1 Eletromagnetismo I 194 Problemas de valor de contorno na Eletrostática Na Unidade anterior aprendemos diversas formas de obter o campo elétrico 1 O campo elétrico 𝐸 pode ser determinada pelo somatório ou pela integração de cargas pontuais linhas de cargas e outras configurações de cargas 2 Por meio da lei de Gauss a partir da qual podemos determinar o campo E associado 3 Apesar dessas duas abordagens terem importância na compreensão da teoria eletromagnética ambas tendem a ter aplicação relativamente restrita pois em geral as distribuições de cargas não são conhecidas na prática A partir daí definimos um novo método em que o campo elétrico 𝐸 é obtido a partir do potencial elétrico 𝑉 Entretanto esse método requer que a função potencial seja conhecida em toda a região de interesse que geralmente não é conhecida a priori Em vez disso materiais condutores na forma de planos superfícies curvas ou linhas são normalmente especificados e o potencial sobre esses materiais é conhecido em relação a uma referência em geral outro condutor Nestes casos a solução da equação de Laplace é um método a partir do qual a função potencial 𝑉 pode ser obtida uma vez especificadas as condições ou valor de fronteira ou de contorno sobre os condutores que delimitam a região de interesse As condições de fronteira são úteis para se determinar os campos elétricos quando algumas das grandezas de campo são conhecidas Em muitos exemplos entretanto apenas os potenciais elétricos são conhecidos com talvez alguma informação a respeito da distribuição de cargas Em geral sabemos a diferença de potencial DDP através de um par de condutores com alguma configuração geométrica sistema de coordenada que estão separados por um dielétrico Desejamos calcular o potencial elétrico em qualquer lugar em conjunto com o campo elétrico Nessa seção estudaremos os problemas de síntese dada uma configuração de corpos condutores superfícies metálicas e especificadas condições de contorno ou de Eletromagnetismo I 195 fronteira para a função potencial eou sua derivada determinaremos a função potencial 𝑉 e o campo elétrico 𝐸 associado O campo elétrico 𝐸 pode ser obtido a partir do potencial elétrico 𝑉 𝐸 𝑉 Além disso o campo elétrico 𝐸 pode ser usado para determinar a densidade de fluxo elétrico 𝐷 𝐷 ϵ 𝐸 Em um condutor as cargas induzidas estão depositadas na superfície do material e os campos 𝐷 e 𝐸 são normais à superfície 𝐷𝑁 𝜌𝑆 Nos problemas de síntese a carga total Q no condutor e a capacitância são obtidas quando pertinente Dois corpos condutores separados por um meio dielétrico formam um capacitor Sabemos que a carga elétrica se distribui na superfície dos condutores e o campo elétrico é normal à superfície Além disso cada condutor é uma superfície equipotencial Se uma fonte de tensão contínua por exemplo uma bateria for conectada aos condutores cargas iguais e de polaridades opostas são transferidas para as suas superfícies A superfície do condutor conectado ao lado positivo da fonte acumula uma carga Q enquanto uma carga Q se acumula na superfície do outro condutor À medida que Eletromagnetismo I 196 os condutores vão sendo carregados a diferença de potencial aumenta até se tornar igual à diferença de potencial V entre os terminais da fonte de tensão Quando um condutor tem excesso de cargas elas se distribuem na superfície mantendo o campo elétrico zero em qualquer ponto dentro do condutor Isso assegura que o condutor seja um corpo equipotencial isto é o potencial elétrico é o mesmo em cada ponto de sua superfície Vamos então definir a capacitância de um capacitor como 𝐶 𝑄 𝑉 Em que Q é o valor absoluto da carga total em um dos condutores e V agora é o valor absoluto da diferença de potencial entre os condutores A unidade da capacitância é coulomb por volt CV ou farads F sendo esta última mais comum A constante de proporcionalidade C é chamada de capacitância do capacitor O valor de C depende da geometria dos condutores do tamanho da forma e da posição relativa dos dois condutores e da permissividade do material dielétrico mas não depende da carga Q nem da diferença de potencial V A capacitância é uma medida da quantidade de carga que precisa ser acumulada nos condutores para produzir certa diferença de potencial Quanto maior a capacitância maior a carga necessária Problema 5 A carga elétrica total acumulada na superfície de dois condutores é igual a 60 nC Se a diferença de potencial entre esses condutores é de 10 V determine a sua capacitância Solução 𝐶 𝑄 𝑉 60 109 10 6 109 6 nF O problema de síntese matematicamente se relaciona com a solução das equações de Poisson e Laplace Nesse caso podemos aplicar as equações de Poisson e Laplace Eletromagnetismo I 197 para nos auxiliar a determinar a função potencial quando as condições na fronteira forem especificadas Equações de Poisson e Laplace As equações de Poisson e Laplace permitem a determinação da função potencial Quando comparadas a outros métodos são geralmente mais úteis uma vez que muitos problemas em engenharia envolvem dispositivos cujas diferenças de potencial aplicadas são conhecidas e cujas fronteiras estão submetidas a potenciais constantes Dada uma distribuição de cargas volumétrica temos Ф𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝐸 𝑑𝑆 𝑆 𝑄 ϵ 𝑉 𝜌𝑉 𝑑𝑉 ϵ Ou seja 𝐸 𝑑𝑆 𝑆 𝑉 𝜌𝑉 𝑑𝑉 ϵ Considere 𝐸 𝐷 ϵ Substituindo 𝐷 𝑑𝑆 𝑆 𝜌𝑉 𝑉 𝑑𝑉 Aplicando o Teorema da Divergência 𝐷 𝑑𝑆 𝑆 𝐷 𝑉 𝑑𝑉 Assim 𝐷 𝑉 𝑑𝑉 𝜌𝑉 𝑉 𝑑𝑉 Que resulta em Eletromagnetismo I 198 𝐷 𝜌𝑉 Essa equação demonstra que a densidade de fluxo elétrico que atravessa um ponto dessa superfície é igual a densidade de carga volumétrica naquele ponto Naturalmente calculada a integral tripla em ambos os lados da equação temos que o fluxo total integral da densidade de fluxo elétrico em toda a região de interesse é igual a carga elétrica total dentro dessa região Como 𝐸 𝑉 𝐷 ϵ 𝐸 Chegamos em 𝑉 𝜌𝑉 ϵ 2𝑉 𝜌𝑉 ϵ Que é a equação de Poisson Essa equação mostra que o laplaciano escalar do potencial elétrico é igual a menos a densidade de carga volumétrica nos condutores dividida pela permissividade do meio dielétrico Considerando agora uma região sem cargas livres 𝜌𝑉 0 2𝑉 0 Que é a equação de Laplace Considerando cada sistema de coordenada Temos que a equação de Laplace em coordenadas retangulares é dada por 2𝑉 𝑥2 2𝑉 𝑦2 2𝑉 𝑧2 0 Em coordenadas cilíndricas é dada por 1 𝑟 𝑟 𝑟 𝑉 𝑟 1 𝑟2 2𝑉 ϕ2 2𝑉 𝑧2 0 E no sistema de coordenadas esféricas é dada por 1 𝑅2 𝑅 𝑅2 𝑉 𝑅 1 𝑅2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 θ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑉 θ 1 𝑅2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 2𝑉 ϕ2 0 Eletromagnetismo I 199 A equação de Laplace é bastante abrangente Quando aplicada a qualquer local onde a densidade volumétrica de carga é zero ela determina que toda configuração imaginável de eletrodos ou condutores produz um campo para o qual o laplaciano é igual a zero uma vez que nos condutores as cargas se depositam na superfície a densidade volumétrica será igual a zero Todos esses campos são diferentes com diversos valores de potenciais e de taxas de variação espacial e ainda assim o laplaciano é igual a zero para cada um deles Uma vez que todos os campos se 𝜌𝑉 0 satisfazem a equação de Laplace podemos reverter o procedimento e utilizála para encontrar um campo específico no qual tenhamos interesse Naturalmente são necessárias mais informações de forma que devemos resolver a equação de Laplace sujeita a algumas condições de fronteira Todo problema físico deve conter pelo menos uma fronteira condutora normalmente ele contém duas ou mais Os potenciais nessas fronteiras devem ser conhecidos Essas superfícies equipotenciais definidas fornecerão as condições de fronteira para o tipo de problema a ser resolvido Portanto a solução das equações de Poisson e Laplace para determinar o campo potencial requer que conheçamos o potencial nas fronteiras isto é os valores de contorno nas fronteiras Assumimos uma superfície condutora em cada extremidade do material e então aplicamos a equação de Laplace para obter uma expressão para o potencial que é resolvido com base nas condições de fronteira ou seja os potenciais em cada lado O campo elétrico é determinado utilizandose a equação do gradiente Restringimos nossa discussão para geometrias simples e simétricas para as quais a aplicação das equações é direta A técnica de solução aqui aplicada estará baseada no Método de Separação de Variáveis que se baseia em uma interpretação das condições de contorno que são conhecidas Os problemas de valor de contorno podem ser classificados em três tipos 1 Dirichlet a função potencial 𝑉 é especificada em toda a superfície de descontinuidade 2 Neumann a derivada da função potencial em relação à normal é especificada em toda a superfície Eletromagnetismo I 200 3 Cauchy condições de contorno mistas Para solucionar os problemas de valor de contorno utilizaremos uma particularização do Método de Separação de Variáveis baseado no Método de Integração Direta aplicados a problemas unidimensionais Problemas unidimensionais método da integração direta Vamos começar estudando o problema do capacitor plano de placas paralelas o qual pode ser resolvido considerando o sistema de coordenadas retangulares No sistema de coordenadas retangulares a equação de Laplace pode ser escrita como 2𝑉 𝑥2 2𝑉 𝑦2 2𝑉 𝑧2 0 A geometria do problema é mostrada na figura a seguir O capacitor consiste de duas placas infinitas paralelas ao plano xy posicionadas a uma distância d entre elas Considere que o potencial elétrico em z 0 é 0 e que o potencial elétrico em z d é Vo de forma que a diferença de potencial é igual a Vo que é a diferença de potencial da fonte de tensão As placas condutoras estão separadas por um material dielétrico com permissividade ϵ Note ainda que as linhas de campo elétrico apontam do condutor de carga elétrica Q para o de carga elétrica Q Nessas condições as superfícies equipotenciais são planos infinitos paralelos ao plano xy ou seja não dependem nem de x e nem de y paralelos entre si e perpendiculares ao eixo z Logo o potencial elétrico não varia nem com x e nem com y Portanto a equação de Laplace pode ser escrita como Eletromagnetismo I 201 𝑑2𝑉 𝑑𝑧2 0 Por integração direta 𝑑𝑉 𝑑𝑧 𝐴 Integrando novamente temos 𝑉𝑧 𝐴 𝑧 𝐵 Para 0 𝑧 𝑑 isto é a região entre as planos As condições de contorno são 𝑉0 0 𝑉𝑑 𝑉𝑜 Assim 𝑉0 𝐴 0 𝐵 0 𝐵 0 E 𝑉𝑑 𝐴 𝑑 𝐵 𝑉𝑜 𝐴 𝑑 0 𝑉𝑜 𝐴 𝑉𝑜 𝑑 Substituindo 𝑉𝑧 𝑉𝑜 𝑑 𝑧 Que é a função potencial elétrico em qualquer ponto entre as placas condutoras Para o campo elétrico temos 𝐸 𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑧 𝑧 𝐸 𝑉𝑜 𝑑 𝑧 Eletromagnetismo I 202 Observe que o campo elétrico aponta para z negativo como mostrado na figura e sua magnitude é constante entre as placas condutoras Considerando um material dielétrico de permissividade ϵ entre as placas condutoras temos a densidade de fluxo elétrico dada por 𝐷 ϵ 𝐸 𝐷 ϵ 𝑉𝑜 𝑑 𝑧 Temos ainda que a componente normal à placa condutora da densidade de fluxo elétrico é 𝐷𝑁 𝜌𝑆 𝜌𝑆 ϵ 𝑉𝑜 𝑑 Considerando que as dimensões da área das placas sejam finitas dada por A entretanto sejam muito maior do que a distância entre as placas A d Nesse caso as soluções encontradas se mantêm válidas uma vez que os planos podem ser considerados infinitos A carga elétrica total é dada então por 𝑄 𝜌𝑆 𝐴 𝑄 ϵ 𝑉𝑜 𝐴 𝑑 Por fim a capacitância pode ser calculada como 𝐶 𝑄 𝑉𝑜 𝐶 ϵ 𝐴 𝑑 Como discutido anteriormente a capacitância não depende nem da diferença de potencial elétrico e nem da carga elétrica Como pode ser observado ele depende apenas da geometria do capacitor e da permissividade do meio dielétrico Eletromagnetismo I 203 Problema 6 Considere um capacitor plano de placas paralelas posicionadas ao longo do plano xy em que as placas condutoras possuem área de 400 cm2 e estão a uma distância de 20 mm entre elas A permissividade relativa do meio dielétrico entre essas placas é igual a 5 Se uma diferença de potencial de 10 V for aplicada determine a a expressão do potencial elétrico b o campo elétrico c a capacitância Solução a 𝑉𝑧 𝑉𝑜 𝑑 𝑧 10 20 103 𝑧 500 𝑧 V b 𝐸 𝑉𝑜 𝑑 𝑧 10 20 103 𝑧 500 𝑧 Vm c 𝐶 ϵ 𝐴 𝑑 5 885 1012 400 104 20 103 885 1011 F Experimente o seguinte laboratório para realizar simulações sobre um capacitor de placas paralelas httpsphetcoloradoedusimshtmlcapacitorlabbasicslatestcapacitorlabbasicsptBRhtml Vamos agora estudar o problema do capacitor cilíndrico de cascas paralelas também conhecido como capacitor coaxial o qual pode ser resolvido considerando o sistema de coordenadas cilíndricas No sistema de coordenadas cilíndricas a equação de Laplace pode ser escrita como 1 𝑟 𝑟 𝑟 𝑉 𝑟 1 𝑟2 2𝑉 ϕ2 2𝑉 𝑧2 0 A geometria do problema é mostrada na figura a seguir Eletromagnetismo I 204 O capacitor consiste de duas cascas cilíndricas condutoras infinitas e paralelas posicionadas em r a e em r b Considere que o potencial elétrico em r a é 0 e que o potencial elétrico em r b é Vo de forma que a diferença de potencial é igual a Vo que é a diferença de potencial da fonte de tensão As cascas condutoras estão separadas por um material dielétrico com permissividade ϵ Note ainda que as linhas de campo elétrico apontam do condutor de carga elétrica Q para o de carga elétrica Q no sentido do eixo central do condutor interno isto é na direção de r negativo apontando para o eixo r 0 Nessas condições as superfícies equipotenciais são cascas cilíndricas infinitas e paralelas não dependem de ϕ nem de z Portanto a equação de Laplace pode ser escrita como 1 𝑟 𝑑 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑉 𝑑𝑟 0 Ou seja a função potencial elétrico depende apenas da coordenada radial varia apenas com r Simplificando 𝑑 𝑑𝑟 𝑟 𝑑𝑉 𝑑𝑟 0 Por integração direta 𝑟 𝑑𝑉 𝑑𝑟 𝐴 Resolvendo essa equação diferencial 𝑑𝑉 𝑑𝑟 𝐴 𝑟 𝑑𝑉 𝐴 𝑟 𝑑𝑟 𝑉𝑟 𝐴 ln 𝑟 𝐵 Eletromagnetismo I 205 Para 𝑎 𝑟 𝑏 isto é a região entre as cascas cilíndricas As condições de contorno são 𝑉𝑎 0 𝑉𝑏 𝑉𝑜 Assim 𝑉𝑎 𝐴 ln 𝑎 𝐵 0 𝐴 ln 𝑎 𝐵 0 E 𝑉𝑏 𝐴 ln 𝑏 𝐵 𝑉𝑜 𝐴 ln 𝑏 𝐵 𝑉𝑜 Temos o seguinte sistema de equações 𝐴 ln 𝑎 𝐵 0 𝐴 ln 𝑏 𝐵 𝑉𝑜 Fazendo a segunda equação menos a primeira equação temos 𝐴 ln 𝑏 𝐴 ln 𝑎 𝑉𝑜 𝐴 ln 𝑏 ln 𝑎 𝑉𝑜 𝐴 ln 𝑏𝑎 𝑉𝑜 𝐴 𝑉𝑜 ln 𝑏𝑎 Substituindo na primeira equação 𝑉𝑜 ln 𝑏𝑎 ln 𝑎 𝐵 0 𝐵 𝑉𝑜 ln 𝑎 ln 𝑏𝑎 Assim 𝑉𝑟 𝑉𝑜 ln 𝑟 ln 𝑏𝑎 𝑉𝑜 ln 𝑎 ln 𝑏𝑎 Eletromagnetismo I 206 Que é a função potencial elétrico em qualquer ponto entre as cascas cilíndricas condutoras Para o campo elétrico temos 𝐸 𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑟 𝑟 𝐸 𝑉𝑜 ln 𝑏𝑎 1 𝑟 𝑟 Observe que o campo elétrico aponta para r negativo como mostrado na figura e sua magnitude depende de r a magnitude do campo elétrico não é constante ela varia com r A equação mostra que a intensidade do campo elétrico é maior próximo a casca interna e menor próximo a casca externa Considerando um material dielétrico de permissividade ϵ entre as cascas condutoras temos a densidade de fluxo elétrico dada por 𝐷 ϵ 𝐸 𝐷 ϵ 𝑉𝑜 ln 𝑏𝑎 1 𝑟 𝑟 Temos ainda que a componente normal à casca condutora da densidade de fluxo elétrico é 𝐷𝑁 𝜌𝑆 𝜌𝑆𝑖𝑛𝑡 ϵ 𝑉𝑜 ln 𝑏𝑎 1 𝑎 𝜌𝑆𝑒𝑥𝑡 ϵ 𝑉𝑜 ln 𝑏𝑎 1 𝑏 Apesar de as densidades de cargas serem diferentes a carga elétrica total nos condutores externos e internos devem ser as mesmas 𝑄𝑖𝑛𝑡 𝑄𝑒𝑥𝑡 Considerando que as dimensões da área das cascas cilíndricas sejam finitas dada por A entretanto sejam muito maior do que a distância entre as cascas Nesse caso as soluções encontradas se mantêm válidas uma vez que as cascas podem ser consideradas infinitas A carga elétrica total é dada então por 𝑄𝑖𝑛𝑡 𝜌𝑆𝑖𝑛𝑡 𝐴 Eletromagnetismo I 207 𝑄𝑖𝑛𝑡 𝜌𝑆𝑖𝑛𝑡 2𝜋𝑎𝐿 𝑄𝑖𝑛𝑡 ϵ 𝑉𝑜 ln 𝑏𝑎 1 𝑎 2𝜋𝑎𝐿 𝑄𝑖𝑛𝑡 2𝜋𝐿 ϵ 𝑉𝑜 ln 𝑏𝑎 Para a carga elétrica na superfície externa 𝑄𝑒𝑥𝑡 𝜌𝑆𝑒𝑥𝑡 𝐴 𝑄𝑒𝑥𝑡 𝜌𝑆𝑒𝑥𝑡 2𝜋𝑏𝐿 𝑄𝑒𝑥𝑡 ϵ 𝑉𝑜 ln 𝑏𝑎 1 𝑏 2𝜋𝑏𝐿 𝑄𝑒𝑥𝑡 2𝜋𝐿 ϵ 𝑉𝑜 ln 𝑏𝑎 Ou seja como explicado 𝑄𝑖𝑛𝑡 𝑄𝑒𝑥𝑡 𝑄 2𝜋𝐿 ϵ 𝑉𝑜 ln 𝑏𝑎 Por fim a capacitância pode ser calculada como 𝐶 𝑄 𝑉𝑜 𝐶 2𝜋𝐿 ϵ ln 𝑏𝑎 Observe novamente que a capacitância não depende nem da diferença de potencial elétrico e nem da carga elétrica dependendo apenas da geometria do capacitor e da permissividade do meio dielétrico Eletromagnetismo I 208 Problema 7 Considere um capacitor coaxial de comprimento de 60 cm em que a casca cilíndrica interna está posicionada em r 2 mm e a casca cilíndrica externa está posicionada em r 4 mm A permissividade relativa do meio dielétrico entre as cascas cilíndricas é igual a 3 Se uma diferença de potencial de 10 V for aplicada determine a o potencial elétrico b o campo elétrico c a capacitância Solução a 𝑉𝑟 𝑉𝑜 ln 𝑟 ln 𝑏𝑎 𝑉𝑜 ln 𝑎 ln 𝑏𝑎 10 ln 𝑟 ln42 10 ln2 103 ln42 1443 ln 𝑟 8966 V b 𝐸 𝑉𝑜 ln 𝑏𝑎 1 𝑟 𝑟 10 ln42 1 𝑟 𝑟 1443 𝑟 𝑟 Vm c 𝐶 2𝜋𝐿 ϵ ln 𝑏𝑎 2 𝜋 60 102 3 885 1012 ln42 144 1010 F Vamos agora estudar o problema do capacitor esférico o qual pode ser resolvido considerando o sistema de coordenadas esféricas No sistema de coordenadas esféricas a equação de Laplace pode ser escrita como 1 𝑅2 𝑅 𝑅2 𝑉 𝑅 1 𝑅2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 θ 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑉 θ 1 𝑅2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 2𝑉 ϕ2 0 A geometria do problema é mostrada na figura a seguir Eletromagnetismo I 209 O capacitor consiste de duas cascas esféricas condutoras posicionadas em R a e em R b Considere que o potencial elétrico em R a é Vo e que o potencial elétrico em R b é 0 de forma que a diferença de potencial é igual a Vo que é a diferença de potencial da fonte de tensão As cascas condutoras estão separadas por um material dielétrico com permissividade ϵ Nesse caso as linhas de campo elétrico vão apontar do condutor interno de carga elétrica Q para o condutor externo que possui carga elétrica Q isto é na direção de R positivo saindo do centro da esfera de R 0 Nessas condições as superfícies equipotenciais são cascas esféricas portanto não dependem de 𝜃 nem de ϕ Então a equação de Laplace pode ser escrita como 1 𝑅2 𝑑 𝑑𝑅 𝑅2 𝑑𝑉 𝑅 0 Ou seja a função potencial elétrico depende apenas da coordenada radial varia apenas com R Simplificando 𝑑 𝑑𝑅 𝑅2 𝑑𝑉 𝑅 0 Por integração direta 𝑅2 𝑑𝑉 𝑅 𝐴 Resolvendo essa equação diferencial 𝑑𝑉 𝑑𝑅 𝐴 𝑅2 𝑑𝑉 𝐴 𝑅2 𝑑𝑅 𝑉𝑅 𝐴 𝑅 𝐵 Eletromagnetismo I 210 Para 𝑎 𝑅 𝑏 isto é a região entre as cascas esféricas As condições de contorno são 𝑉𝑎 𝑉𝑜 𝑉𝑏 0 Assim 𝑉𝑎 𝐴 𝑎 𝐵 𝑉𝑜 𝐴 𝑎 𝐵 𝑉𝑜 E 𝑉𝑏 𝐴 𝑏 𝐵 0 𝐴 𝑏 𝐵 0 Temos o seguinte sistema de equações 𝐴 𝑎 𝐵 𝑉𝑜 𝐴 𝑏 𝐵 0 Fazendo a segunda equação menos a primeira equação temos 𝐴 𝑏 𝐴 𝑎 𝑉𝑜 𝐴 1 𝑎 1 𝑏 𝑉𝑜 𝐴 𝑉𝑜 1 𝑎 1 𝑏 Substituindo na segunda equação 𝑉𝑜 1 𝑎 1 𝑏 𝑏 𝐵 0 𝐵 𝑉𝑜𝑏 1 𝑎 1 𝑏 Eletromagnetismo I 211 Assim 𝑉𝑅 𝑉𝑜𝑅 1 𝑎 1 𝑏 𝑉𝑜𝑏 1 𝑎 1 𝑏 𝑉𝑅 𝑉𝑜 𝑅 𝑉𝑜 𝑏 1 𝑎 1 𝑏 Que é a função potencial elétrico em qualquer ponto entre as cascas esféricas condutoras Para o campo elétrico temos 𝐸 𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑅 𝑅 𝐸 𝑉𝑜 𝑅2 1 𝑎 1 𝑏 𝑅 𝐸 𝑉𝑜 1 𝑎 1 𝑏 1 𝑅2 𝑅 Observe que o campo elétrico aponta para R positivo sai do condutor interno e entra no condutor externo sendo perpendicular as suas superfícies e sua magnitude depende de R a magnitude do campo elétrico não é constante ela varia com R A equação mostra que a intensidade do campo elétrico é maior próximo a casca interna e menor próximo a casca externa Considerando um material dielétrico de permissividade ϵ entre as cascas condutoras temos a densidade de fluxo elétrico dada por 𝐷 ϵ 𝐸 𝐷 ϵ 𝑉𝑜 1 𝑎 1 𝑏 1 𝑅2 𝑅 Temos ainda que a componente normal à casca condutora da densidade de fluxo elétrico é 𝐷𝑁 𝜌𝑆 Eletromagnetismo I 212 𝜌𝑆𝑖𝑛𝑡 ϵ 𝑉𝑜 1 𝑎 1 𝑏 1 𝑎2 𝜌𝑆𝑒𝑥𝑡 ϵ 𝑉𝑜 1 𝑎 1 𝑏 1 𝑏2 Apesar de as densidades de cargas serem diferentes a carga elétrica total nos condutores externos e internos devem ser as mesmas 𝑄𝑖𝑛𝑡 𝑄𝑒𝑥𝑡 A carga elétrica total é dada por 𝑄𝑖𝑛𝑡 𝜌𝑆𝑖𝑛𝑡 𝐴 𝑄𝑖𝑛𝑡 𝜌𝑆𝑖𝑛𝑡 4𝜋𝑎2 𝑄𝑖𝑛𝑡 ϵ 𝑉𝑜 1 𝑎 1 𝑏 1 𝑎2 4𝜋𝑎2 𝑄𝑖𝑛𝑡 4𝜋 ϵ 𝑉𝑜 1 𝑎 1 𝑏 Para a carga elétrica na superfície externa 𝑄𝑒𝑥𝑡 𝜌𝑆𝑒𝑥𝑡 𝐴 𝑄𝑒𝑥𝑡 𝜌𝑆𝑒𝑥𝑡 4𝜋𝑏2 𝑄𝑒𝑥𝑡 ϵ 𝑉𝑜 1 𝑎 1 𝑏 1 𝑏2 4𝜋𝑏2 𝑄𝑒𝑥𝑡 4𝜋 ϵ 𝑉𝑜 1 𝑎 1 𝑏 Ou seja como explicado 𝑄𝑖𝑛𝑡 𝑄𝑒𝑥𝑡 𝑄 4𝜋 ϵ 𝑉𝑜 1 𝑎 1 𝑏 Por fim a capacitância pode ser calculada como 𝐶 𝑄 𝑉𝑜 Eletromagnetismo I 213 𝐶 4𝜋 ϵ 1 𝑎 1 𝑏 Observe novamente que a capacitância não depende nem da diferença de potencial elétrico e nem da carga elétrica dependendo apenas da geometria do capacitor e da permissividade do meio dielétrico Problema 8 Considere um capacitor esférico em que a casca interna está posicionada em R 2 mm e a casca externa está posicionada em R 4 mm A permissividade relativa do meio dielétrico entre as cascas esféricas é igual a 3 Se uma diferença de potencial de 10 V for aplicada determine a o potencial elétrico b o campo elétrico c a capacitância Solução a 𝑉𝑅 𝑉𝑜 𝑅 𝑉𝑜 𝑏 1 𝑎 1 𝑏 10 𝑅 10 4 103 1 2 103 1 4 103 10 𝑅 2500 250 V b 𝐸 𝑉𝑜 1 𝑎 1 𝑏 1 𝑅2 𝑅 10 1 2 103 1 4 103 1 𝑅2 𝑅 004 𝑅2 𝑅 Vm c 𝐶 4𝜋 ϵ 1 𝑎 1 𝑏 4 𝜋 3 885 1012 1 2 103 1 4 103 133 1012 F Um último exemplo seria a gente considerar um condutor esférico isolado isto é a expressão considerando apenas um dos condutores Nesse caso podemos fazer a casca externa infinitamente grande ou seja o raio da casca externa b tender a infinito Com isso temos um condutor esférico de raio a e estamos interessados na região dielétrica região externa em que R a Fazendo b tender a infinito temos Eletromagnetismo I 214 O potencial elétrico 𝑉𝑅 𝑉𝑜 𝑎 𝑅 O campo elétrico 𝐸 𝑉𝑜 𝑎 𝑅2 𝑅 A capacitância 𝐶 4𝜋 ϵ a Problema 9 Considere uma casca esférica isolada de raio R 5 mm A permissividade relativa do meio dielétrico na região externa à casca esférica é igual a 2 Se uma diferença de potencial de 10 V for aplicada determine a o potencial elétrico b o campo elétrico c a capacitância Solução a 𝑉𝑅 𝑉𝑜 𝑎 𝑅 10 5 103 𝑅 5 102 𝑅 V b 𝐸 𝑉𝑜 𝑎 𝑅2 𝑅 10 5 103 𝑅2 𝑅 5 102 𝑅2 𝑅 Vm c 𝐶 4𝜋 ϵ a 4 𝜋 2 885 1012 5 103 111 1012 F Nessa Unidade concluímos os estudos envolvendo os campos eletrostáticos considerando as diversas grandezas físicas e métodos de soluções de problemas Na próxima Unidade estudaremos os campos magnetostáticos suas características propriedades grandezas físicas associadas e métodos para solucionar os problemas Eletromagnetismo I 215 Exercícios Unidade 4 1 Sobre a classificação dos materiais é correto afirmar que a Nos materiais condutores as cargas elétricas não se movem b Nos materiais dielétricos as cargas elétricas se movem melhor do que nos semicondutores c Os supercondutores são condutores perfeitos no qual as cargas se movem sem encontrar nenhuma resistência d TODAS as alternativas anteriores estão CORRETAS e TODAS as alternativas anteriores estão INCORRETAS 2 Um fio de ferro com condutividade de 107 Sm está sujeito a um campo elétrico de 40 𝑟 mVm A densidade de corrente elétrica é igual a a 5 103 Am2 b 4 105 Am2 c 40 107 Am2 d 50 105 Am2 e 400 105 Am2 Eletromagnetismo I 216 3 A densidade de fluxo elétrico para um campo elétrico de 50 𝑦 kVm aplicado sobre um material com constante dielétrica de 3 é igual a a 133 106 𝑦 Cm2 b 150 103 𝑦 Cm2 c 133 106 𝑦 Cm2 d 150 109 𝑦 Cm2 e 15 106 𝑦 Cm2 4 Para 𝑟 2 𝜖𝑟1 2 e 𝐸1 3 𝑟 6 ϕ 9 𝑧 Vm Para 𝑟 2 𝜖𝑟2 3 Nesse caso 𝐸2 é igual a a 3 𝑟 6 ϕ 9 𝑧 Vm b 2 𝑟 4 ϕ 6 𝑧 Vm c 2 𝑟 6 ϕ 4 𝑧 Vm d 2 𝑟 6 ϕ 9 𝑧 Vm e 0 5 Considere uma fronteira separando dois meios dielétricos em z 4 Dados 𝐸2 2 𝑥 3 y 3 𝑧 𝜖𝑟1 2 e 𝜖𝑟2 8 então 𝐸1 será a 2 𝑥 3 y 3 𝑧 Vm b 2 𝑥 3 y 12 𝑧 Vm c 2 𝑥 3 y 3 𝑧 Vm d 8 𝑥 12 y 12 𝑧 Vm e 0 Eletromagnetismo I 217 6 A carga elétrica total acumulada na superfície de dois condutores é igual a 200 nC Se a diferença de potencial entre esses condutores é de 40 V a sua capacitância será de a 25 nF b 20 nF c 15 nF d 10 nF e 5 nF 7 Considere um capacitor plano de placas paralelas posicionadas ao longo do plano xy em que as placas condutoras possuem área de 80 cm2 e estão a uma distância de 4 mm entre elas A permissividade relativa do meio dielétrico entre essas placas é igual a 5 A capacitância desse capacitor é igual a a 885 1011 F b 885 1010 F c 885 109 F d 885 108 F e 885 107 F Eletromagnetismo I 218 8 Considere um capacitor coaxial de comprimento de 20 cm em que a casca cilíndrica interna está posicionada em r 1 mm e a casca cilíndrica externa está posicionada em r 2 mm A permissividade relativa do meio dielétrico entre as cascas cilíndricas é igual a 4 A capacitância desse capacitor é igual a a 144 1011 F b 885 1011 F c 64 1011 F d 144 1012 F e 64 1010 F Considere o seguinte enunciado para as questões 9 e 10 Um capacitor é formado por duas cascas cilíndricas condutoras ao longo do plano rz posicionadas em 𝛟 𝛟𝟏 e em 𝛟 𝛟𝟐 Dado que o potencial elétrico é igual a 0 em 𝛟𝟏 e igual a 𝑽𝒐 em 𝛟𝟐 9 Determine a função potencial elétrico e do campo elétrico na região dielétrica entre as cascas condutoras Eletromagnetismo I 219 10 Determine a capacitância do capacitor considerando que a permissividade do meio é dada por ϵ e as dimensões das placas sejam 𝑎 𝑟 𝑏 e 0 𝑧 ℎ Eletromagnetismo I 220 5 Campo Magnetostático e Lei de Ampére Eletromagnetismo I 221 Nesta última Unidade de Eletromagnetismo I estudaremos os principais conceitos relacionados aos campos magnetostáticos incluindo as Leis de BiotSvart e a Lei de Ampére Encerraremos o aprendizado sobre a Teoria Eletromagnética considerado o caso estacionário sem variação dos campos em relação ao tempo Objetivos da unidade Estudar as propriedades magnéticas dos materiais como a permeabilidade e sua relação com as grandezas magnéticas Entender a Lei de BiotSavart para a densidade de fluxo magnético a partir de uma corrente elétrica percorrendo um material condutor Conhecer a Lei de Ampére e sua aplicação em diferentes configurações de condutores percorridos por corrente Plano da unidade Considerações iniciais sobre o campo Magnetostático Corrente elétrica Força Magnética A Lei de BiotSavart Lei de Ampére Equações de Maxwell caso estático Bons estudos Eletromagnetismo I 222 Considerações iniciais sobre o campo Magnetostático Em um ímã as linhas de campo magnético atravessam dois pontos diametralmente opostos denominados polo norte e polo sul As linhas de campo magnético em um ímã são mostradas na figura a seguir Observe que as linhas de campo magnético formam um percurso fechado isso significa que o fluxo ou o divergente será igual a 0 uma vez que a quantidade de linhas que entram é igual a quantidade de linhas que saem É importante observar que polos iguais de ímãs diferentes se repelem enquanto polos diferentes se atraem similar à força elétrica dando origem à força magnética Entretanto as cargas elétricas podem ser isoladas enquanto os polos magnéticos sempre existem em pares Não existem monopolos magnéticos apenas dipolos Se um ímã permanente é cortado em dois pedaços ele sempre terá um polo norte e um polo sul não importando o tamanho de cada pedaço As linhas de campo ao redor do ímã são denominadas linhas de campo magnético representando a existência de um campo magnético denominado densidade de fluxo magnético 𝐵 Eletromagnetismo I 223 Um campo magnético não existe apenas no entorno de um ímã permanente ele pode ser criado por uma corrente elétrica Ou seja a corrente elétrica que passa através de um fio produz linhas de campo magnético Fonte ULABY 2007 Observe que a corrente elétrica em um fio induz uma densidade de fluxo magnético que forma loops circulares ao redor desse fio Ou seja a direção da densidade de fluxo elétrico é tangencial direção de ϕ ao círculo em torno da corrente Por outro lado se os fios formassem um loop circular loop de corrente também chamada de espira então a densidade de fluxo magnético atravessaria o centro dessa espira Outra grandeza importante no estudo do eletromagnetismo é a permeabilidade magnética que tal qual a permissividade dielétrica é uma constante de proporcionalidade De fato a permeabilidade magnética tem uma representação análoga à permissividade elétrica para o campo magnético medindo o quão suscetível o material ou o meio está para o campo magnético isto é para sua magnetização quanto maior a permeabilidade magnética mais facilmente será induzida uma densidade de fluxo magnético nesse material A grandeza permeabilidade magnética no espaço livre é dada por µo 4π x 107 sendo sua unidade newton por ampere ao quadrado NA2 ou henry por metro Hm sendo esta última mais comum Eletromagnetismo I 224 Observe ainda que 1 𝜇𝑜𝜖𝑜 1 4𝜋 107 885 1012 29986338 ms Que é o valor aproximado da velocidade da luz no vácuo ou no espaço livre em metros por segundo ms Ou seja a velocidade da luz c pode ser escrita como 𝑐 1 𝜇𝑜𝜖𝑜 A maioria dos materiais é nãomagnético ou seja apresentam uma permeabilidade magnética 𝜇 𝜇𝑜 Para materiais ferromagnéticos como o ferro e o níquel 𝜇 pode ser muito maior do que 𝜇𝑜 A permeabilidade magnética de um material pode ser obtida a partir da permeabilidade magnética relativa mostrada na Tabela 9 𝜇 𝜇𝑟𝜇𝑜 Tabela 9 Permeabilidade relativa para alguns materiais Fonte ULABY 2007 Eletromagnetismo I 225 Problema 1 Determine a permeabilidade magnética do cobalto dado que a sua permeabilidade relativa é de 250 Solução 𝜇 𝜇𝑟𝜇𝑜 250 4𝜋 107 314 104 Hm O objetivo dessa Unidade é então abordar os problemas de análise para o campo magnético Para isso será realizado um estudo semelhante ao aplicado ao campo elétrico 1 A fonte do campo magnético é investigada 2 A força magnética é obtida 3 O campo magnético é determinado É importante observar que existe uma analogia entre as formulações obtidas para o campo elétrico com as que serão determinadas para o campo magnético Lei de BiotSavart é análoga a Lei de Coulomb Lei de Ampére é análoga a Lei de Gauss Potencial Magnético é análogo ao Potencial Elétrico Corrente elétrica As duas fontes mais comuns de campo magnético são os condutores percorridos por corrente elétrica e o campo elétrico variável no tempo este último não abordaremos nesse livro Cargas elétricas em movimento produzem geram corrente elétrica Vamos nos concentrar na determinação do campo magnético produzido por corrente estacionária ou seja estática contínua que não varia no tempo Imagine um elemento de carga dq deslocandose a uma velocidade 𝑣 Então Eletromagnetismo I 226 𝑑𝑞 𝑣 𝜌𝑉 𝑑𝑉 𝑣 𝜌𝑉 𝑣𝑑𝑉 𝐽 𝑑𝑉 Assim a densidade de corrente elétrica é dada por 𝐽 𝜌𝑉 𝑣 A unidade da densidade de corrente é Ampére por metro quadrado Am2 Observe que a densidade de corrente tem mesma direção e sentido orientação da velocidade Para comprovar essa equação observe a seguinte relação entre as unidades 𝐶 𝑚3 𝑚 𝑠 𝐶 𝑠 1 𝑚2 𝐴 𝑚2 O termo 1m2 representa a área que é perpendicular à densidade de corrente unidade de área que é perpendicular ao fluxo de carga elétrica que o atravessa Nas Unidades anteriores aprendemos que se houver uma fonte de campo elétrico uma carga elétrica ou um dipolo elétrico por exemplo no interior de uma superfície fechada então haverá um fluxo elétrico através dessa superfície Isso significa que uma fonte de campo elétrico produz linhas de campos que são direcionais o fluxo elétrico é direcional No caso de haver uma fonte de campo magnético um dipolo magnético no interior de uma superfície fechada o fluxo líquido através dessa superfície será zero as linhas que saem retornam ou seja não possuem começo nem fim Observe as linhas de 𝐵 para diferentes superfícies gaussianas Fonte httpensinoadistanciaprobr Eletromagnetismo I 227 Em uma barra imantada as linhas de campo saem do polo norte e entram no polo sul A aparência dessas linhas é semelhante a de um dipolo elétrico daí o nome dipolo magnético Aprendemos então que o fluxo do campo magnético é nulo e que a corrente elétrica forma loop de corrente forma um percurso fechado Matematicamente 𝐼 𝐽 𝑑𝑆 𝑆 𝑑𝑄 𝑑𝑡 Em que I é a corrente elétrica líquida medida em ampere A Observe que o fluxo magnético através de uma área é acompanhado por uma redução da carga elétrica ao longo do tempo Aplicando o Teorema da Divergência 𝐽 𝑑𝑆 𝑆 𝐽 𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑄 𝑑𝑡 Assim 𝐽 𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑄 𝑑𝑡 𝑑𝜌𝑉 𝑑𝑡 𝑉 𝑑𝑉 Logo 𝐽 𝑑𝜌𝑉 𝑑𝑡 Essa equação é denominada Equação da Continuidade de Carga Elétrica Como a corrente elétrica é contínua isto é a densidade de corrente é constante não há acumulo ou perda de carga elétrica dentro do volume ou seja a corrente que entra é igual a corrente que sai não há variação da densidade de carga elétrica Dessa forma 𝐽 0 É importante destacar que os campos que têm divergente nulo são ditos solenoidais Eletromagnetismo I 228 Um campo magnético tem divergente nulo e portanto é solenoidal Logo o seu rotacional é não nulo Além disso o loop de corrente é a fonte de campo magnético Em um loop de corrente a corrente elétrica é contínua estática não varia no tempo e forma um percurso fechado Problema 2 Considere a velocidade de deslocamento de uma carga elétrica dada por 𝑣 2𝑥𝑥 4𝑦𝑦 em uma caixa retangular de dimensões 0 𝑥 2 0 𝑦 3 e 0 𝑧 4 com densidade volumétrica de carga de 25 nCm3 Determine a a densidade de corrente elétrica no ponto 456 e b a corrente elétrica total que flui através dessa caixa Solução a 𝐽 𝜌𝑉 𝑣 25 109 2 4𝑥 4 5𝑦 250 107Am2 b 𝐼 𝐽 𝑑𝑆 𝑆 𝐽 𝑉 𝑑𝑉 25 109 6 2 0 3 0 4 0 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 25 109 2 3 4 6 36 106 36 µA Eletromagnetismo I 229 Força Magnética A Lei de BiotSavart Uma corrente elétrica que percorre um fio condutor consiste em partículas carregadas que se movimentam através do fio Consequentemente um fio percorrido por uma corrente elétrica quando colocado em um campo magnético sofrerá uma força que equivale à soma das forças magnéticas que atuam nas partículas carregadas que se movem no interior do fio Fonte ULABY 2007 Sem corrente elétrica percorrendo o fio a força magnética é igual a zero e o fio se mantém na posição vertical Quando se aplica uma corrente sobre o fio ele se deflete para a esquerda direção de 𝑦 se a direção da corrente for para cima direção de 𝑧 e ele se deflete para a direita direção de 𝑦 se a direção da corrente for para baixo direção de 𝑧 Enquanto a força eletrostática se dá pela interação entre cargas elétricas a força magnética ocorre pela interação entre loops de corrente Considere dois loops de corrente fio condutor percorrido por corrente formando um percurso fechado a uma distância 𝑅 𝑅 entre eles em que 𝑅 𝑅 representa o vetor deslocamento do elemento de corrente isto é o vetor distância entre 𝐼1 𝑑𝑙1 e 𝐼2 𝑑𝑙2 Eletromagnetismo I 230 Temos que 𝑅 𝑅 𝑟 𝑟 Ou seja o vetor deslocamento é a diferença entre o vetor posição da correnteprova 𝐼2 𝑟 e o vetor posição da correntefonte 𝐼1 𝑟 Resultados experimentais mostraram que a força magnética exercida em um loop de corrente C2 devido a interação entre 𝐼1 e 𝐼2 é dada por 𝐹𝑚 𝜇𝑜 4𝜋 𝐼2 𝑑𝑙2 𝐼1 𝑑𝑙1 𝑅 𝑅2 𝐶1 𝐶2 A unidade da força magnética é newton N Podemos definir a densidade de fluxo magnético 𝐵 de um loop de corrente como 𝐵 𝜇𝑜 4𝜋 𝐼1 𝑑𝑙1 𝑅 𝑅2 𝐶1 A unidade da densidade de fluxo magnético é tesla T Observe que a força magnética pode ser reescrita como 𝐹𝑚 𝐼2 𝑑𝑙2 𝐵 𝐶2 Ou seja a força magnética depende da corrente e do percurso fechado loop de corrente de prova e da densidade de fluxo magnético da fonte correntefonte Observe que o campo 𝐵 depende apenas de 𝐼1 enquanto a força magnética depende de ambas as correntes 𝐼1 e 𝐼2 Considere um fio que forma um loop fechado percorrido por uma corrente elétrica 𝐼 e sendo colocado em um campo magnético 𝐵 externo que seja uniforme constante conforme mostrado na figura Eletromagnetismo I 231 Fonte ULABY 2007 Nesse caso como 𝐵 é constante podemos retirálo da integral 𝐹𝑚 𝐼 𝑑𝑙 𝐵 𝐶 𝐼 𝑑𝑙 𝐶 𝐵 𝐼 0 𝐵 0 Esse resultado é consequência de a soma dos vetores deslocamentos 𝑑𝑙 ao longo de um percurso fechado ser igual a zero a origem coincide com o destino Isso significa que a força magnética total em qualquer loop fechado de corrente na presença de um campo magnético uniforme é zero Considere agora um fio nãoretilíneo e aberto que não forma um loop fechado colocado na presença de um campo magnético uniforme tal como mostrado a seguir Fonte ULABY 2007 Nesse caso a força magnética se torna Eletromagnetismo I 232 𝐹𝑚 𝐼 𝑑𝑙 𝐵 𝑏 𝑎 𝐼 𝑑𝑙 𝑏 𝑎 𝐵 𝐼 𝑙 𝐵 Ou seja é igual ao produto vetorial entre a corrente multiplicada pelo vetor deslocamento 𝑙 que é um vetor direcionado de a até b e a densidade de fluxo magnético Problema 3 Considere um condutor semicircular no plano xy percorrido por uma corrente elétrica I O circuito fechado é colocado em um campo magnético uniforme 𝐵 𝐵𝑜𝑦 Determine a a força magnética na seção retilínea do fio e b a força magnética na seção curva do fio Solução a O comprimento da seção retilínea é de 2r e a corrente está ao longo da direção positiva de 𝑥 Assim 𝑙 2𝑟 𝑥 resultando em 𝐹𝑚 𝐼 𝑑𝑙 𝐵 𝑏 𝑎 𝐼 𝑙 𝐵 𝐼 2𝑟 𝑥 𝐵𝑜𝑦 𝐼 2𝑟 𝐵𝑜 𝑧 N b Considerando o segmento de comprimento diferencial na parte curva do círculo observe que como 𝑑𝑙 e 𝐵 estão no plano xy então o produto vetorial 𝑑𝑙 𝐵 entre eles aponta na direção negativa de z 𝑧 Já o módulo de um produto vetorial é dado por 𝑑𝑙 𝐵 𝑑𝑙 𝐵 𝑠𝑒𝑛 ϕ 𝑟 𝑑ϕ 𝐵𝑜 𝑠𝑒𝑛 ϕ Eletromagnetismo I 233 Em que ϕ é o ângulo entre eles Assim 𝐹𝑚 𝐼 𝑑𝑙 𝐵 𝜋 0 𝐼 𝑟 𝑑ϕ 𝐵𝑜 𝑠𝑒𝑛 ϕ 𝑧 𝜋 0 𝐼 𝐵𝑜 𝑟 𝑠𝑒𝑛 ϕ 𝑑ϕ 𝑧 𝜋 0 𝐼 𝐵𝑜 𝑟 2 𝑧 𝐼 2𝑟 𝐵𝑜𝑧 N Observe que se somarmos as duas forças do exercício a com a do exercício b temos que 𝐹𝑚 𝐼 2𝑟 𝐵𝑜𝑧 𝐼 2𝑟 𝐵𝑜𝑧 0 Ou seja a força magnética resultante em um loop fechado quando o campo magnético é uniforme é igual a zero Observe que a partir desse momento em que estamos representando a força magnética eou a força elétrica podemos criar exercícios de Mecânica relacionando as com forças mecânicas envolvendo por exemplo o torque momento de um corpo A densidade de fluxo magnético pode ainda ser escrita como 𝐵 𝜇𝑜 4𝜋 𝐼1 𝑑𝑙1 𝑅 𝑅 𝑅3 𝐶1 A direção do vetor densidade de fluxo magnético é perpendicular ao plano formado entre 𝐼1 𝑑𝑙1 direção do fluxo de carga elétrica e 𝑅 𝑅 direção do vetor deslocamento A Lei de BiotSavart enuncia que em qualquer ponto P o campo magnético 𝐵 é diretamente proporcional à corrente fonte e inversamente proporcional ao quadrado da distância do elemento de corrente prova no ponto P A direção do campo magnético é perpendicular ao longo do plano formado pelo elemento de corrente 𝐼 𝑑𝑙 e o vetor deslocamento 𝑅 𝑅 O sentido é dado pela Regra da Mão Direita Matematicamente 𝐵 𝜇𝑜 4𝜋 𝐼 𝑑𝑙 𝑅 𝑅 𝑅3 𝐶 𝜇𝑜 4𝜋 𝐼 𝑑𝑙 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟3 𝐶 Eletromagnetismo I 234 Ou seja 𝐵 𝜇𝑜 4𝜋 𝐼 𝑑𝑙 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟3 𝐶 Essa equação pode ser ainda escrita como 𝐵 𝜇𝑜 4𝜋 𝐽 𝑑𝑉 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟3 𝐶 Observe a aplicação da regra da mão direita para os dois pontos da figura a seguir Para qualquer ponto acima do fio a regra da mão direita mostra que a densidade de fluxo magnético terá sentido saindo da página enquanto em qualquer ponto abaixo do fio o sentido será entrando na página Fio infinitamente longo Considere um fio infinitamente longo de corrente condutor linear infinito colocado ao longo do eixo z como mostrado na figura a seguir Eletromagnetismo I 235 Fonte ULABY 2007 Vamos determinar a densidade de fluxo magnético 𝐵 em um ponto P situado a uma distância r no plano xy no espaço livre O sistema de coordenadas mais adequado para esse problema é o sistema de coordenadas cilíndricas A simetria do problema é cilíndrica radial ou seja a variação de 𝐵 se dá apenas em relação a r Temos que 𝐼 𝑑𝑙 𝐼 𝑑𝑧 𝑧 E 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝑧 𝑧 Assim 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝑧 𝑧 𝑟 𝑟 𝑟2 𝑧2 Substituindo 𝐵 𝜇𝑜 4𝜋 𝐼 𝑑𝑧 𝑧 𝑟 𝑟 𝑧 𝑧 𝑟2 𝑧232 Fazendo o produto vetorial Eletromagnetismo I 236 𝐵 𝜇𝑜𝐼 𝑟 4𝜋 1 𝑟2 𝑧232 𝑑𝑧 ϕ Considere a seguinte integral 1 𝑟2 𝑧232 𝑑𝑢 𝑧 𝑟2 𝑟2 𝑧2 Assim 𝐵 𝜇𝑜𝐼 𝑟 4𝜋 1 𝑟2 𝑧232 𝑑𝑧 ϕ 𝜇𝑜𝐼 4𝜋 𝑟 𝑧 𝑟2 𝑧2 ϕ 𝜇𝑜𝐼 4𝜋 𝑟 2 ϕ Resultando em 𝐵 𝜇𝑜𝐼 2𝜋 𝑟 ϕ Que representa a densidade de fluxo magnético em um ponto a uma distância r do fio infinitamente longo Problema 4 Um condutor linear infinito ao longo do eixo z é percorrido por uma corrente elétrica de 40 mA Determine a densidade de fluxo magnético em um ponto distante 04 m desse condutor Solução 𝐵 𝜇𝑜𝐼 2𝜋 𝑟 ϕ 4𝜋 107 40 103 2𝜋 04 ϕ 2 108 ϕ T Espira circular Considere uma espira circular loop circular de raio a que conduz uma corrente elétrica contínua 𝐼 ϕ Vamos calcular a densidade de fluxo magnético 𝐵 em um ponto sobre o eixo da espira Considere a espira colocada sobre o plano xy como mostrado na figura a seguir Eletromagnetismo I 237 Se imaginarmos um plano formado entre 𝑅 𝑅 e 𝐼 𝑎 𝑑ϕ ϕ a densidade de fluxo magnético é perpendicular a esse plano Observe na figura que a componente na direção de 𝑟 da densidade de fluxo magnético é anulada por simetria portanto 𝐵 só possui componente na direção de 𝑧 Temos que 𝐼 𝑑𝑙 𝐼 𝑎 𝑑ϕ ϕ 𝑟 𝑟 𝑧 𝑧 𝑎 𝑟 Substituindo 𝐵 𝜇𝑜 4𝜋 𝐼 𝑎 𝑑ϕ ϕ 𝑧 𝑧 𝑎 𝑟 𝑧2 𝑎232 2𝜋 0 𝐵 𝜇𝑜 𝐼 𝑎 4𝜋 𝑧 𝑟 𝑎 𝑧 𝑧2 𝑎232 2𝜋 0 𝑑ϕ Considerando a simetria chegamos em 𝐵 𝜇𝑜 𝐼 𝑎 4𝜋 𝑎 𝑧2 𝑎232 2𝜋 0 𝑑ϕ 𝑧 Eletromagnetismo I 238 𝐵 𝜇𝑜 𝐼 𝑎 4𝜋 2𝜋 𝑎 𝑧2 𝑎232 𝑧 𝐵 𝜇𝑜 𝐼 𝑎2 2𝑧2 𝑎232 𝑧 Observe que no centro da espira z 0 a densidade de fluxo magnético é dada por 𝐵 𝜇𝑜𝐼 2𝑎 𝑧 Para pontos muitos distante em que 𝑧 𝑎 a densidade de fluxo magnético pode ser aproximada para 𝐵 𝜇𝑜 𝐼 𝑎2 2𝑧3 𝑧 Problema 5 Um condutor na forma de uma espira circular de raio 30 cm posicionada no plano xy é percorrido por uma corrente elétrica de 05 A Determine a densidade de fluxo magnético a no centro da espira e b em um ponto de altura 2 m sobre o eixo da espira Solução a 𝐵 𝜇𝑜𝐼 2𝑎 𝑧 4𝜋 107 05 2 30 102 𝑧 105 𝑧 µT b 𝐵 𝜇𝑜 𝐼 𝑎2 2𝑧2 𝑎232 𝑧 4𝜋 107 05 900 104 2 22 900 10432 𝑧 342 𝑧 nT Observe que a densidade de fluxo magnético é uma função par ou seja 𝐵𝑧 𝐵𝑧 Isso significa que a densidade de fluxo magnético em pontos simetricamente opostos tem mesma magnitude direção e sentido Lembrese que as linhas de campo magnético são fechadas diferente do campo elétrico que são direcionais Logo ao Eletromagnetismo I 239 longo do eixo z eixo da espira a densidade de fluxo magnético aponta sempre para cima sentido positivo de z tanto abaixo quanto acima da espira Fonte httpseducacaouolcombr Uma espira circular de corrente é chamada de dipolo magnético devido ao comportamento das linhas de campo serem semelhantes a de um dipolo elétrico Para um dipolo elétrico em que z d o campo elétrico ao longo do eixo z é dado por 𝐸 𝑞𝑑 2𝜋ϵo 𝑧3 𝑧 Podemos definir o momento do dipolo elétrico como 𝑝 𝑞𝑑 𝑧 Isto é é o produto entre a carga elétrica e a distância entre os polos Assim 𝐸 𝑝 2𝜋ϵo 𝑧3 Voltando à solução do dipolo magnético temos 𝐵 𝜇𝑜 𝐼 𝑎2 2𝑧2 𝑎232 𝑧 Considerando que z d chegamos em 𝐵 𝜇𝑜 𝐼 𝑎2 2𝑧3 𝑧 Multiplicando por π no numerador e no denominador Eletromagnetismo I 240 𝐵 𝜇𝑜 𝐼 𝜋𝑎2 2𝜋𝑧3 𝑧 Podemos definir o momento do dipolo magnético como 𝑚 𝐼 𝜋𝑎2 𝑧 Ou seja é o produto entre a corrente elétrica e a área formada pela espira Assim 𝐵 𝜇𝑜 𝑚 2𝜋𝑧3 Dessa forma em pontos suficientemente afastados da fonte de carga ou de corrente os campos 𝐸 e 𝐵 têm estruturas comportamentos semelhantes Lei de Ampére Em Eletrostática consideramos o fluxo do campo elétrico o qual pode ser obtido via Lei de Gauss Na Magnetostática temos a circulação do campo magnético a qual é obtida via Lei de Ampére A Lei de Gauss para o Magnetismo evidencia que o fluxo de campo magnético através de uma superfície fechada é sempre nulo Matematicamente 𝐵 𝑑𝑆 𝑆 0 A Lei de Circulação de Ampére ou simplesmente Lei de Ampére enuncia que a circulação integral ao longo de um percurso fechado do campo 𝐵 é igual ao produto entre a permeabilidade do meio e a corrente total que flui através perpendicular ao plano do contorno Ou seja 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝐵 𝑑𝑙 𝐶 𝜇𝑜 𝐼𝑓𝑙𝑢𝑖 Em que 𝐵 é a densidade de fluxo magnético Ao considerarmos meios homogêneos e isotrópicos temos a seguinte relação 𝐵 𝜇𝑜𝐻 Eletromagnetismo I 241 A unidade de 𝐻 é ampere por metro Am Para um meio qualquer 𝐵 𝜇 𝐻 Em que 𝐻 é o vetor intensidade de campo magnético Nesse caso a circulação do campo magnético 𝐻 é dada por 𝐻 𝑑𝑙 𝐶 𝐼𝑓𝑙𝑢𝑖 Assim a Lei de Ampére demonstra que a integral de linha do campo magnético 𝐻 em torno de um percurso fechado C é igual à corrente transversal ao plano em que o percurso está contido Ou seja a circulação de 𝐻 produz uma corrente elétrica I perpendicular a essa circulação e viceversa uma corrente elétrica I produz um campo 𝐻 que à circula Lembrando que as direções e sentidos para I e para 𝐻 podem ser obtidos via Regra da Mão Direita A integral de linha nos leva a multiplicar o componente de 𝐻 na direção do caminho por um pequeno incremento de comprimento em um ponto do caminho e também faz com que nos movemos ao longo do caminho até o próximo comprimento diferencial repetindo o procedimento e continuando até que o caminho seja totalmente percorrido Observe o seguinte condutor percorrido por uma corrente I Fonte HAYT e BUCK 2013 Eletromagnetismo I 242 A integral de linha de 𝐻 ao longo dos percursos fechados a e b são iguais a I enquanto a integral ao longo do caminho c é menor do que I uma vez que não foi formado um percurso fechado isto é a corrente inteira não foi envolvida pelo caminho Devese escolher uma geometria que acompanhe a simetria do campo 𝐻 Dessa forma o contorno fechado C é chamado de contorno amperiano Ainda que todos os percursos fechados resultem em I a escolha de uma geometria percurso adequada contorno amperiano deve permitir que a integral de linha se torne uma simples multiplicação Observe ainda que pelo Teorema de Stokes 𝐻 𝑑𝑙 𝐶 𝐻 𝑑𝑆 𝑆 Logo 𝐻 𝑑𝑆 𝑆 𝐼𝑓𝑙𝑢𝑖 𝐽 𝑑𝑆 𝑆 Assim 𝐻 𝐽 Ou seja a densidade de corrente elétrica é igual ao rotacional do vetor intensidade de campo magnético Isso significa que um elemento de circulação de campo magnético produz uma densidade de corrente elétrica e viceversa Ao considerarmos toda a área a integral em relação a área em que ocorre a circulação integral do lado esquerdo teremos a corrente elétrica que flui através dessa área integral do lado direito Podemos utilizar a Lei de Ampére para obter a equação de 𝐻 dado que conhecemos I Para isso seguimos os seguintes passos 1 Definir a simetria do problema 𝐻 varia em função de quais coordenadas e qual é a sua direção e sentido 2 Escolher o contorno C contorno amperiano que acompanhe a simetria de 𝐻 3 Calcular a circulação do campo 𝐻 igualandoa com I Essa abordagem será utilizada em alguns exemplos mostrados a seguir Eletromagnetismo I 243 Fio infinitamente longo Um fio infinitamente longo sobre o eixo z é percorrido por uma corrente elétrica contínua I uniformemente distribuída ao longo de sua seção reta não varia com z Vamos determinar o campo magnético 𝐻 em um ponto a uma distância r do fio Temos que 𝐻 apresenta uma simetria cilíndrica radial varia apenas com r e tem direção ϕ 𝐻 𝐻𝑟 ϕ Um contorno amperiano deve então ter direção de ϕ ou seja circular o fio infinito variação e 0 a 2π Um comprimento diferencial desse percurso será então um comprimento diferencial de arco de uma circunferência de raio r 𝑑𝑙 𝑟 𝑑ϕ ϕ Logo 𝐻 𝑑𝑙 𝐶 𝐼𝑓𝑙𝑢𝑖 𝐼 𝐻𝑟 ϕ 𝑟 𝑑ϕ ϕ 2𝜋 0 𝐼 𝐻𝑟 𝑟 𝑑ϕ 2𝜋 0 𝐼 𝐻𝑟 𝑟 2π I 𝐻𝑟 𝐼 2𝜋𝑟 Assim 𝐻 𝐼 2𝜋𝑟 ϕ Podemos obter a densidade de fluxo magnético a partir de 𝐵 𝜇𝑜𝐻 𝐵 𝜇𝑜𝐼 2𝜋 𝑟 ϕ Que é a mesma solução encontrada via Lei de BiotSavart Eletromagnetismo I 244 Problema 6 Obtenha o campo magnético 𝐻 produzido por um fio infinitamente longo em um ponto a uma distância de 5 cm desse fio quando este é percorrido por uma corrente de 10 A Solução 𝐻 𝐼 2𝜋𝑟 ϕ 10 2𝜋 5 102 ϕ 3183 ϕ Am Linha coaxial infinita Como um segundo exemplo da aplicação da lei Ampére considere uma linha de transmissão coaxial infinita ao longo do eixo z pela qual flui uma corrente total I uniformemente distribuída no condutor central e I no condutor externo Fonte HAYT e BUCK 2013 Já sabemos que nesse caso 𝐻 possui apenas a componente na direção de ϕ uma vez que a componente 𝑧 acima do ponto de interesse cancela a componente abaixo do ponto de interesse pois a linha coaxial é infinita e a componente na direção de 𝑟 é cancelada por simetria a componente 𝐻𝑟 produzida por um filamento posicionado em ϕ ϕ1 é cancelado pela componente 𝐻𝑟 produzida por um filamento posicionado simetricamente em ϕ ϕ1 Além disso novamente 𝐻 varia apenas em função de r como no caso do fio infinito Temos que 𝐻 apresenta uma simetria cilíndrica radial varia apenas com r e tem direção ϕ Eletromagnetismo I 245 𝐻 𝐻𝑟 ϕ Um contorno amperiano deve então ter direção de ϕ ou seja circular o fio infinito variação e 0 a 2π Um comprimento diferencial desse percurso será então um comprimento diferencial de arco de uma circunferência de raio r 𝑑𝑙 𝑟 𝑑ϕ ϕ Temos que a densidade de corrente elétrica no caso de a corrente elétrica ser uniformemente distribuída ao longo da seção transversal da linha coaxial é dada por 𝐽𝑖𝑛𝑡 𝐼 𝐴 z Em que A representa a área da seção transversal da linha coaxial Assim para o condutor interno temos 𝐽𝑖𝑛𝑡 𝐼 𝜋𝑎2 z E para o condutor externo coroa temos 𝐽𝑒𝑥𝑡 𝐽𝑐𝑜𝑟𝑜𝑎 𝐼 𝜋𝑐2 𝑏2 z Agora devemos calcular a corrente que flui 𝐼𝑓𝑙𝑢𝑖 𝐽 𝑑𝑆 𝑆 Observe que o cálculo da corrente que flui em geral deve ser feito utilizando a integral da densidade de corrente A utilização de uma simples regra de três só seria válida caso a densidade de corrente seja uniforme não varie ao longo da seção transversal Agora vamos obter o campo magnético 𝐻 em cada uma das regiões da linha coaxial diferentes contornos amperianos circunferências com raios r diferentes Eletromagnetismo I 246 Para r a condutor interno 𝐼𝑓𝑙𝑢𝑖 𝐽𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑆 𝑟 0 2𝜋 0 𝐼 𝜋𝑎2 z 𝑟 𝑑𝑟 𝑑ϕ z 𝑟 0 2𝜋 0 𝐼 𝜋𝑎2 𝑟 𝑑𝑟 𝑑ϕ 𝑟 0 2𝜋 0 𝐼𝑓𝑙𝑢𝑖 𝐼 𝜋𝑎2 2𝜋𝑟2 2 𝐼𝑟2 𝑎2 Assim para r a condutor interno 𝐻𝑟 ϕ 𝑟 𝑑ϕ ϕ 2𝜋 0 𝐼𝑟2 𝑎2 𝐻𝑟 𝑟 2π 𝐼𝑟2 𝑎2 𝐻𝑟 𝐼 𝑟 2π 𝑎2 Logo 𝐻 𝐼 𝑟 2π 𝑎2 ϕ Para a r b região dielétrica entre os dois condutores 𝐼𝑓𝑙𝑢𝑖 𝐼 𝐻𝑟 𝑟 2π I 𝐻𝑟 𝐼 2𝜋𝑟 Logo 𝐻 𝐼 2𝜋𝑟 ϕ Para b r c condutor externo ou coroa 𝐼𝑓𝑙𝑢𝑖 𝐼 𝐽𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑆 𝑟 0 2𝜋 0 𝐼 𝐼 𝜋𝑐2 𝑏2 z 𝑟 𝑑𝑟 𝑑ϕ z 𝑟 0 2𝜋 0 𝐼𝑓𝑙𝑢𝑖 𝐼 𝐼 𝜋𝑐2 𝑏2 𝑟 𝑑𝑟 𝑑ϕ 𝑟 0 2𝜋 0 𝐼 2𝜋𝑟2𝐼 2𝜋𝑐2 𝑏2 𝐼𝑓𝑙𝑢𝑖 𝐼 𝑟2𝐼 𝑐2 𝑏2 𝐼𝑐2 𝑟2 𝑐2 𝑏2 Eletromagnetismo I 247 Assim para b r c condutor externo ou coroa 𝐻𝑟 𝑟 2π 𝐼𝑐2 𝑟2 𝑐2 𝑏2 𝐻𝑟 𝐼 𝑐2 𝑟2 2𝜋𝑟 𝑐2 𝑏2 Logo 𝐻 𝐼 𝑐2 𝑟2 2𝜋𝑟 𝑐2 𝑏2 ϕ Para r c região externa à linha coaxial 𝐼𝑓𝑙𝑢𝑖 𝐼 𝐼 0 Logo 𝐻 0 Problema 7 Considere uma linha coaxial infinita de raios a 5 mm b 20 mm e c 25 mm Uma corrente de 10 A atravessa o condutor interno e de 10 A atravessa o condutor externo Determine o campo magnético 𝐻 no ponto r 22 mm Solução Observe que o ponto se situa no condutor externo 20 22 25 Assim 𝐻 𝐼 𝑐2 𝑟2 2𝜋𝑟 𝑐2 𝑏2 ϕ 10 141 2𝜋 22 103 225 ϕ 453 ϕ Am Solenoide Uma importante classe de problemas de Eletromagnetismo diz respeito ao enrolamento de espiras como o solenoide e o toroide Um solenoide é formado pelo enrolamento de um núcleo de formato cilíndrico por espiras espaçadas em intervalos regulares O objetivo é calcular o campo 𝐵 em um ponto P sobre o eixo do solenoide sobre o eixo z Eletromagnetismo I 248 Considere um solenoide de comprimento L formado por N espiras de raio a cada qual portando uma corrente elétrica I Fonte WENTWORTH 2009 Nesse caso a corrente total produzida pela soma das correntes de cada espira será dada por 𝐼𝑠𝑜𝑙𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑁 𝐼 Vamos medir a densidade de fluxo magnético 𝐵 em um ponto de altura h a partir da base do solenoide z 0 Para 1 espira 𝐵𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎 𝜇𝑜 𝐼 𝑎2 2𝑧2 𝑎232 𝑧 Para N espiras ao longo de um comprimento L na direção de 𝑧 𝐵𝑠𝑜𝑙𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎 𝐿 0 A corrente total por unidade de comprimento de espira é dada por 𝑁𝐼𝐿 Assim em um elemento diferencial de comprimento de espira ao longo de z 𝑑𝐼 𝑁𝐼 𝐿 𝑑𝑧 Eletromagnetismo I 249 Dessa forma o campo 𝐵 produzido por um solenoide pode ser obtido a partir do campo 𝐵 produzido por uma espira a partir de 𝐵𝑠𝑜𝑙𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑠𝑝𝑖𝑟𝑎 𝐿 0 𝜇𝑜 𝑑𝐼 𝑎2 2ℎ 𝑧2 𝑎232 𝑧 𝐿 0 𝜇𝑜 𝑁𝐼 𝑑𝑧 𝑎2 2𝐿 ℎ 𝑧2 𝑎232 𝑧 𝐿 0 𝐵𝑠𝑜𝑙𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑒 𝜇𝑜 𝑁𝐼 𝑎2 2𝐿 1 ℎ 𝑧2 𝑎232 𝑑𝑧 𝑧 𝐿 0 Em z 0 temos a espira de número 1 enquanto em z L temos a espira de número N Sabendo que 1 ℎ 𝑧2 𝑎232 ℎ 𝑧 𝑎2ℎ 𝑧2 𝑎2 Então 𝐵𝑠𝑜𝑙𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑒 𝜇𝑜 𝑁𝐼 𝑎2 2𝐿 ℎ 𝑧 𝑎2ℎ 𝑧2 𝑎2 𝐿 0 𝑧 𝐵𝑠𝑜𝑙𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑒 𝜇𝑜 𝑁𝐼 2𝐿 ℎ 𝐿 ℎ 𝐿2 𝑎2 ℎ ℎ2 𝑎2 𝑧 𝐵𝑠𝑜𝑙𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑒 𝜇𝑜 𝑁𝐼 2𝐿 ℎ ℎ2 𝑎2 ℎ 𝐿 ℎ 𝐿2 𝑎2 𝑧 Que é a equação da densidade de fluxo magnético produzida por um solenoide de comprimento L e corrente I contendo N espiras medido em um ponto de altura h sobre o eixo do solenoide a partir da base do solenoide Observe que o campo 𝐵 aumenta com o aumento da corrente elétrica com o aumento do número de espiras e com a redução do comprimento do solenoide redução da distância entre as espiras A densidade de fluxo magnético medida na base do solenoide h 0 é dada por 𝐵𝑠𝑜𝑙𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑒 𝜇𝑜 𝑁𝐼 2𝐿 𝐿 𝐿2 𝑎2 𝑧 𝐵𝑠𝑜𝑙𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑒 𝜇𝑜 𝑁𝐼 2𝐿2 𝑎2 𝑧 A densidade de fluxo magnético medida no centro do solenoide h L2 é dada por Eletromagnetismo I 250 𝐵𝑠𝑜𝑙𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑒 𝜇𝑜 𝑁𝐼 2𝐿 𝐿2 𝐿22 𝑎2 𝐿2 𝐿22 𝑎2 𝑧 𝐵𝑠𝑜𝑙𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑒 𝜇𝑜 𝑁𝐼 2𝐿 𝐿 𝐿22 𝑎2 𝑧 𝐵𝑠𝑜𝑙𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑒 𝜇𝑜 𝑁𝐼 2𝐿22 𝑎2 𝑧 Observe que a densidade de fluxo magnético no centro do solenoide é mais intensa do que em suas extremidades Isso acontece pois a menor distância entre as espiras ocorre no centro do solenoide Assim quanto mais afastado das extremidades maior é a intensidade do campo magnético Considere um solenoide longo e estreito isto é com L muito grande tendendo a infinito e muito maior do que o seu raio a Nesse caso a densidade de fluxo magnético se torna 𝐵𝑠𝑜𝑙𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑒 𝜇𝑜 𝑁𝐼 𝐿 𝑧 Com o comprimento do solenoide infinito as linhas de campo magnético não retornam uma vez que não existe topo para as linhas saírem e nem base para elas retornarem Nesse caso temos que a densidade de fluxo magnético no interior do solenoide é dada por 𝐵𝑠𝑜𝑙𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑒 𝜇𝑜 𝑁𝐼 𝐿 𝑧 𝐵𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑧 E no lado externo do solenoide é dado por 𝐵𝑠𝑜𝑙𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑒 0 Para o vetor intensidade de campo magnético temos no interior de uma espira longa e estreita 𝐻𝑠𝑜𝑙𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑁𝐼 𝐿 𝑧 𝐻𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑧 E no lado externo do solenoide é dado por 𝐻𝑠𝑜𝑙𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑒 0 Eletromagnetismo I 251 Problema 8 Considere um solenoide muito longo de comprimento 06 m contendo 50 enrolamentos Determine o vetor intensidade de campo magnético 𝐻 no interior desse solenoide caso uma corrente de 20 A esteja sendo transmitida por ele Solução 𝐻𝑠𝑜𝑙𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑁𝐼 𝐿 𝑧 50 20 06 𝑧 166667 𝑧 Am Toroide Um toroide também chamado de bobina toroidal consiste em um núcleo na forma de rosca com espiras de fio enroladas próximas umas das outras em torno desse núcleo Fonte ULABY 2007 Observe que formamos um toroide com a união das extremidades de um solenoide Note que b representa o raio do toroide enquanto b a2 representa o raio do solenoide raio do núcleo no formato de rosca Para fins práticos de aplicação da Lei de Ampére vamos considerar que o raio do toroide é muito maior do que o raio do núcleo Novamente o problema apresenta uma simetria radial de forma que 𝐻 só depende de r e possui apenas a componente na direção de ϕ Por isso optaremos por um contorno amperiano na forma de uma circunferência de raio r É importante observar que na Eletromagnetismo I 252 região em que r a não haverá corrente através da superfície delimitada pelo contorno e portanto 𝐻 0 De forma similar para r b a corrente resultante através dessa superfície é igual a 0 não tem variação de corrente portanto 𝐼𝑓𝑙𝑢𝑖 é zero daí 𝐻 0 Isso significa que o campo magnético é nulo no interior e na região externa da bobina Para a região interna ao núcleo a r b temos que 𝐻 𝐻𝑟 ϕ 𝑑𝑙 𝑟 𝑑ϕ ϕ 𝐼𝑓𝑙𝑢𝑖 𝑁𝐼 Temos 𝐻𝑟 ϕ 𝑟 𝑑ϕ ϕ 2𝜋 0 𝑁𝐼 𝐻𝑟 𝑟 2π 𝑁𝐼 𝐻𝑟 𝑁𝐼 2𝜋 𝑟 Logo 𝐻𝑡𝑜𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑁𝐼 2𝜋 𝑟 ϕ Problema 8 Considere um toroide contendo 50 enrolamentos Determine o módulo do vetor intensidade de campo magnético 𝐻 em r 250 mm no interior do núcleo desse toroide caso uma corrente de 50 A esteja sendo transmitida por ele Solução 𝐻𝑡𝑜𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒 𝑁𝐼 2𝜋 𝑟 50 50 2𝜋 250 103 159 kAm Eletromagnetismo I 253 Equações de Maxwell caso estático A Tabela 10 apresenta um resumo das principais equações que estudamos nesse livro Tabela 10 Principais equações da Eletrostática e da Magnetostática Fonte ULABY 2007 É importante observar que essas equações dão origem às chamadas Equações de Maxwell para o caso Estático no qual os campos não variam com o tempo são estacionários A Tabela 10 apresenta as quatro equações de Maxwell tanto na forma diferencial quanto na forma integral Note que nós já utilizamos todas essas fórmulas para resolver os problemas ao longo das Unidades desse livro e que a sua interpretação matemática foi introduzida na Unidade 2 Assim a partir desse conjunto contendo quatro equações tanto na forma diferencial operadores vetoriais quanto na forma integral integrais vetoriais podemos solucionar uma vasta gama de problemas de Eletromagnetismo considerando o caso estático Eletrostática e Magnetostática Somos capazes de observar ainda que as equações da primeira e da terceira linha são consequência da aplicação da Lei de Gauss para os campos elétricos e magnéticos enquanto as equações da segunda e quarta linha são consequência da aplicação da Lei de Ampére Eletromagnetismo I 254 Exercícios Unidade 5 1 A permeabilidade de um material que possui permeabilidade relativa igual a 600 é a 314 104 Hm b 754 104 Hm c 268 103 Hm d 935 103 Hm e 127 102 Hm Considere o seguinte vetor densidade de corrente para os exercícios 2 e 3 𝑱 𝟏𝟎 𝒓𝟐𝒛 𝒓 𝟒 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝟐𝛟 𝛟 𝐦𝐀𝐦𝟐 2 A densidade de corrente no ponto P3 052 2 em coordenadas cilíndricas é igual a a 18 𝑟 9 ϕ mAm2 b 15 𝑟 6 ϕ mAm2 c 90 𝑟 6 ϕ mAm2 d 90 𝑟 9 ϕ mAm2 e 180 𝑟 9 ϕ mAm2 Eletromagnetismo I 255 3 A corrente total que flui para fora de uma faixa circular de raio r 3 m ângulo 0 ϕ 2π rad e altura 2 z 28 é a 116 A b 326 A c 3508 mA d 875 mA e 183 mA 4 Um condutor linear infinito ao longo do eixo z é percorrido por uma corrente elétrica de 80 A A densidade de fluxo magnético em um ponto distante 50 mm desse condutor é igual a a 32 104 ϕ T b 2 105 ϕ T c 57 106 ϕ T d 14 107 ϕ T e 79 108 ϕ T 5 Considere um loop de corrente em forma de forma de torta como mostrado a seguir A expressão do vetor densidade de fluxo magnético no ponto O é Eletromagnetismo I 256 a 𝐵 𝜇𝑜 𝐼 4𝜋 𝑎2 𝑧 b 𝐵 𝜇𝑜 𝐼 𝑎 4𝜋 𝑧 c 𝐵 𝜇𝑜 𝐼 ϕ 4𝜋 𝑎 𝑧 d 𝐵 𝜇𝑜𝐼 2𝑎 𝑧 e 𝐵 𝜇𝑜𝐼𝑎 2 𝑧 6 Um condutor na forma de uma espira circular de raio 50 mm posicionada no plano xy é percorrido por uma corrente elétrica de 100 A Nesse caso a densidade de fluxo magnético no centro da espira é igual a a 055 𝑧 mT b 155 𝑧 mT c 76 𝑧 mT d 126 𝑧 mT e 0 7 Considere um fio retilíneo longo infinito em termos práticos ao longo do eixo z de raio a percorrido por uma corrente I que é uniformemente distribuída ao longo de sua seção reta Nesse caso o campo magnético 𝐻 a uma distância r do eixo fio em um ponto no interior do fio é dado por a 𝐻 𝐼 𝑟 2π 𝑎2 ϕ b 𝐻 𝐼 𝑟 𝑎 ϕ c 𝐻 𝐼 2𝑎 ϕ d 𝐻 𝐼 2𝜋𝑟 ϕ e 𝐻 𝐼 2𝜋𝑟2 ϕ Eletromagnetismo I 257 8 Considere uma linha coaxial infinita de raios a 10 mm b 30 mm e c 40 mm Uma corrente de 30 A atravessa o condutor interno e de 30 A atravessa o condutor externo Nesse caso o campo magnético 𝐻 no ponto r 35 mm é igual a a 3322 ϕ Am b 7308 ϕ Am c 12847 ϕ Am d 18519 ϕ Am e 20213 ϕ Am Considere o enunciado a seguir para os problemas 9 e 10 Um campo 𝑩 𝟐 𝒙 𝟑 𝒚 𝟒 𝒛 T está presente no espaço livre Um fio retilíneo conduz uma corrente elétrica de 12 A a partir do ponto A111 até o ponto B 9 Determine o vetor força magnética exercida pelo campo 𝐵 sobre o fio retilíneo no caso de o fio terminar no ponto B211 Eletromagnetismo I 258 10 Determine o vetor força magnética exercida pelo campo 𝐵 sobre o fio retilíneo no caso de o fio terminar no ponto B356 Eletromagnetismo I 259 Considerações Finais Caro Leitor Esse livro reuniu décadas de estudo sobre o tema Eletromagnetismo de forma a permitir que seja aplicado ao curso de Engenharia Elétrica ou em uma de suas ênfases como Eletrônica Telecomunicações e Automação O livro visa servir como referência para que seja uma ponte entre o ciclo básico e específico do curso Por isso em suas primeiras Unidades foi realizada uma revisão de Análise Vetorial seguida do Cálculo Vetorial Em seguida foram tratados os principais conceitos de Eletromagnetismo incluindo as definições de diversos parâmetros elétricos e magnéticos e suas relações seguindo leis fundamentais como a Lei de Coulomb e a Lei do Fluxo de Gauss para o campo elétrico e a Lei de Ampére para o campo Magnético As soluções via equação de Laplace para os capacitores também foi descrita É importante observar que sem a compreensão do Eletromagnetismo quaisquer discussões sobre os circuitos elétricos se darão de modo superficial Como os circuitos microeletrônicos vêm se tornando cada vez menores e mais rápidos a teoria de circuitos simples não é suficiente Apenas com a aplicação dos princípios elétricos e magnéticos os circuitos microeletrônicos podem ser compreendidos e projetados O livro finalizou o estudo de Eletromagnetismo com um conjunto de equações que resumem tudo que aprendemos conhecidas como equações de Maxwell Entretanto as equações de Maxwell aqui apresentadas foram aplicadas apenas em casos estáticos isto é em que os campos elétricos e magnéticos não variam no tempo A partir do próximo livro para a disciplina de Eletromagnetismo II estudaremos então as equações de Maxwell para campos variantes no tempo e todas as suas implicações Eletromagnetismo I 261 Conhecendo o autor Alexander Cascardo Carneiro Obteve o título de graduação em Engenharia de Telecomunicações na Universidade Federal Fluminense UFF no ano de 2011 Possui Mestrado na área de Comunicações Ópticas pela UFF 2014 e é doutorando em Instrumentação e Óptica Aplicada também pela UFF Já trabalhou em projetos na área de smart grids para monitoramento em tempo real da saúde de transformadores de subestações de distribuição de energia elétrica ELETRONORTE no desenvolvimento de detectores acústicos baseados em fibra ópticas para comunicação submarina FAPERJ e com sensores de vibrações e temperatura baseados em fibras ópticas na área de smart structures para o monitoramento de estruturas inteligentes Atualmente é professor do curso de Engenharia de Produção e Engenharia Elétrica na Universidade Salgado de Oliveira e trabalha na área de Pesquisa e Desenvolvimento PD em técnicas de interrogação de sensores baseados em fibras ópticas para o monitoramento da concentração de misturas e em técnicas de detecção de sensores óticos com elevada sensibilidade a partir de métodos interferométricos Eletromagnetismo I 263 Referências BALANIS C A Advanced Engineering Electromagnetics New York John Wiley Sons 1989 HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de Física Volume 3 Eletromagnetismo 10a Edição Rio de Janeiro LTC 2019 HAYT JR W H BUCK J A Eletromagnetismo 8a Edição Porto Alegre AMGH 2013 NAHVIDEKHORDI M EDMINISTER J A Eletromagnetismo Coleção Schaum 3a Edição Porto Alegre Bookman 2013 NOTAROS B M Eletromagnetismo São Paulo Pearson Education do Brasil 2012 RAMOS A Eletromagnetismo São Paulo Blucher 2016 REGO R A Eletromagnetismo Básico Rio de Janeiro LTC 2017 SERWAY R A JEWETT JR J W Princípios de Física Volume 3 Eletromagnetismo 5a Edição São Paulo Cengage Learning 2014 SILVA C L SANTIAGO A J MACHADO A F ASSIS A S Eletromagnetismo Fundamentos e Simulações São Paulo Pearson Education do Brasil 2014 ULABY F T Eletromagnetismo para Engenheiros Porto Alegre Bookman 2007 WENTWORTH S M Fundamentos de Eletromagnetismo com Aplicações em Engenharia Rio de Janeiro LTC 2006 WENTWORTH S M Eletromagnetismo Aplicado Abordagem Antecipada das Linhas de Transmissão Porto Alegre Bookman 2009 YOUNG H D FREEDMAN R A Física Volume 3 Eletromagnetismo 14a Edição São Paulo Pearson Education do Brasil 2015 Eletromagnetismo I 265 nexos A Eletromagnetismo I 266 Gabaritos UNIDADE 1 1 Considere as seguintes afirmações sobre a Era Clássica do Eletromagnetismo I Thales de Mileto descreveu como a fricção do âmbar fazia o material desenvolver uma força que atraia objetos como plumas II Gilbert formulou as equações matemáticas sobre a força elétrica entre duas cargas em termos de intensidade magnitude e polaridade direção em função da distância entre elas III Alexandre Volta inventou o pararaios e demonstrou que o relâmpago é um fenômeno elétrico São corretas as afirmações a I apenas b I e II apenas c II e III apenas d TODAS as afirmações estão CORRETAS e TODAS as afirmações estão INCORRETAS 2 Sabendo que a tensão elétrica pode ser obtida pela equação V i x R e que i 35 mA e R 55 MΩ a tensão elétrica em MV será igual a a 325 MV b 1925 MV c 165 MV d 025 MV e 14488 MV Eletromagnetismo I 267 Solução V i x R V 35 m x 55 M V 35 x 103 x 55 x 106 V 1925000 V V 1925 x 106 V V 1925 MV 3 Sabendo que a carga elétrica pode ser obtida pela equação Q i x t e que i 30 A e t 75 ms a carga elétrica em mC será igual a a 75 mC b 225 mC c 225 mC d 2250 mC e 22500 mC Solução Q i x t Q 30 x 75 m Q 30 x 75 x 103 Q 2250 x 103 C Q 2250 mC Considere os vetores 𝑨 𝟑 𝟒 𝟓 e 𝑩 𝟎 𝟑 𝟎 para as questões 4 5 6 7 e 8 4 O módulo de 𝐴 é a 0 b 3 c 707 d 5 e 645 Eletromagnetismo I 268 Solução 𝐴 32 42 52 𝐴 50 707 5 O resultado da operação 𝐴 𝐵 é a 80 3 b 31 5 c 37 5 d 0 30 e 300 Solução 𝐴 𝐵 34 5 0 30 31 5 6 O vetor unitário 𝑎 na direção de 𝐴 é a 707 b 3 1 5 c 1 0 0 d 024 012 096 e 042 057 071 Solução 𝐴 32 42 52 𝐴 50 707 𝑎 𝐴 𝐴 34 5 707 3 707 4 707 5 707 042 057 071 Eletromagnetismo I 269 7 O produto escalar 𝐴 𝐵 é a 707 b 12 c 37 5 d 2 e 0 Solução 𝐴 𝐵 34 5 030 3 0 4 3 5 0 12 8 O produto vetorial 𝐴 𝐵 é a 37 5 b 15 37 21 c 73 5 d 1509 e 15 5 37 Solução 𝐴 𝐵 𝑥 𝑦 𝑧 3 4 5 0 3 0 3 3𝑧 3 5𝑥 9 𝑧 15𝑥 1509 Eletromagnetismo I 270 Considere o ponto P201 e o vetor 𝑨 𝟑𝟐 𝟐 em coordenadas retangulares para os exercícios 9 e 10 9 Determine e o vetor 𝐴 no ponto P em coordenadas cilíndricas Solução 𝑟 𝑥2 𝑦2 22 02 2 ϕ 𝑡𝑎𝑛1 𝑦 𝑥 𝑡𝑎𝑛1 0 2 0 𝑧 𝑧 1 Portanto o ponto é P201 em coordenadas cilíndricas Temos que 𝐴𝑟 𝐴𝑥 𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴𝑦 𝑠𝑒𝑛ϕ 3 𝑐𝑜𝑠0 2 𝑠𝑒𝑛0 3 𝐴ϕ 𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴𝑦 𝑐𝑜𝑠ϕ 3 𝑠𝑒𝑛0 2 𝑐𝑜𝑠0 2 𝐴z 𝐴z 2 Portanto o vetor é 𝐴 3 22 no ponto P201 em coordenadas cilíndricas 10 Determine e o vetor 𝐴 no ponto P em coordenadas esféricas Solução 𝑅 𝑥2 𝑦2 𝑧2 22 02 12 2236 θ 𝑡𝑎𝑛1 𝑥2 𝑦2 𝑧 𝑡𝑎𝑛1 22 02 1 1107 ϕ 𝑡𝑎𝑛1 𝑦 𝑥 𝑡𝑎𝑛1 0 2 0 Portanto o ponto é P2236 1107 0 em coordenadas esféricas Temos que 𝐴𝑅 𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛θ𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴𝑦 𝑠𝑒𝑛θ𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴𝑧 𝑐𝑜𝑠θ 3 𝑠𝑒𝑛1107𝑐𝑜𝑠0 2 𝑠𝑒𝑛1107𝑠𝑒𝑛0 2 𝑐𝑜𝑠1107 3578 𝐴θ 𝐴𝑥 𝑐𝑜𝑠θ𝑐𝑜𝑠ϕ 𝐴𝑦 𝑐𝑜𝑠θ𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴𝑧 𝑠𝑒𝑛θ 3 𝑐𝑜𝑠1107𝑐𝑜𝑠0 2 𝑐𝑜𝑠1107𝑠𝑒𝑛0 2 𝑠𝑒𝑛1107 0447 𝐴ϕ 𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛ϕ 𝐴𝑦 cosϕ 3 𝑠𝑒𝑛0 2 cos0 2 Portanto o vetor é 𝐴 3578 0447 2 no ponto P2236 1107 0 em coordenadas esféricas Eletromagnetismo I 271 UNIDADE 2 1 O valor do campo escalar 𝑉𝑥 𝑦 𝑧 5 3𝑥3 2𝑦2𝑧 no ponto P102 é igual a a 4 b 2 c 0 d 2 e 4 Solução 𝑉102 5 3 13 2 02 2 2 2 O vetor no ponto P203 do campo vetorial 𝑉𝑟 ϕ 𝑧 𝑟2𝑠𝑒𝑛3ϕ 1 2𝑧 cos 2ϕ 𝑟2 𝑧2 em coordenadas cilíndricas é a 4 5 5 b 5 0 4 c 0 5 13 d 5 4 0 e 4 5 5 Solução 𝑉203 22𝑠𝑒𝑛3 0 1 2 3 cos 2 0 22 32 𝑉203 0 5 13 3 O gradiente do campo escalar 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2𝑦2 4𝑧𝑦3 4 no ponto P021 em coordenadas retangulares é igual a a 48𝑦 32𝑧 b 48𝑦 Eletromagnetismo I 272 c 15𝑥 35𝑧 d 35𝑥 e 48𝑧 Solução 𝑇 𝑇 𝑥 𝑥 𝑇 𝑦 𝑦 𝑇 𝑧 𝑧 𝑇 2𝑥𝑦2𝑥 2𝑦𝑥2 12𝑧𝑦2 𝑦 4𝑦3𝑧 No ponto P021 𝑇 2 0 22𝑥 2 2 02 12 1 22 𝑦 4 23𝑧 𝑇 48𝑦 32𝑧 4 O gradiente do campo escalar 𝑉𝑅 θ ϕ 𝑉𝑜𝑎2𝑅𝑐𝑜𝑠2θ𝑠𝑒𝑛ϕ no ponto Pa π2 π2 em coordenadas esféricas é igual a a 2 𝑎 𝑅 b 𝑉𝑜𝑅 2𝑉𝑜θ c 𝑉𝑜𝑎 𝑅 2𝑉𝑜𝑎 θ d 𝑉𝑜θ 2𝑉𝑜𝑎 ϕ e 𝑉𝑜𝑅 Solução 𝑉 𝑉 𝑅 𝑅 1 𝑅 𝑉 θ θ 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑉 ϕ ϕ 𝑉 𝑉𝑜 𝑎2 𝑅2 𝑐𝑜𝑠2θ𝑠𝑒𝑛ϕ 𝑅 1 𝑅 𝑉𝑜 𝑎2 𝑅 2𝑠𝑒𝑛2θ𝑠𝑒𝑛ϕ θ 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑉𝑜 𝑎2 𝑅 cos2θ cos ϕ ϕ 𝑉 𝑉𝑜 𝑎2 𝑅2 𝑐𝑜𝑠2θ𝑠𝑒𝑛ϕ𝑅 2𝑉𝑜 𝑎2 𝑅2 𝑠𝑒𝑛2θ𝑠𝑒𝑛ϕ θ 𝑉𝑜 𝑎2 𝑅2𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos2θcos ϕ ϕ No ponto Pa π2 π2 Eletromagnetismo I 273 𝑉 𝑉𝑜 𝑎2 𝑎2 𝑐𝑜𝑠2π2 𝑠𝑒𝑛π2𝑅 2𝑉𝑜 𝑎2 𝑎2 𝑠𝑒𝑛2π2𝑠𝑒𝑛π2 θ 𝑉𝑜 𝑎2 𝑎2𝑠𝑒𝑛 π2 cos2π2cos π2 ϕ 𝑉 𝑉𝑜𝑅 5 O divergente do campo vetorial 𝐹 3𝑥2 𝑥 2𝑧 𝑦 𝑥2𝑧 𝑧 no ponto P2 2 0 em coordenadas retangulares é igual a a 10 b 16 c 0 d 10 e 10 𝑥 Solução 𝐹 𝐹𝑥 𝑥 𝐹𝑦 𝑦 𝐹𝑧 𝑧 𝐹 6𝑥 0 𝑥2 6𝑥 𝑥2 No ponto P2 2 0 𝐹 6 2 22 16 6 O divergente do campo vetorial 𝐹 𝑎3𝑟2 cos ϕ 𝑟 𝑎3𝑟2 𝑠𝑒𝑛ϕ ϕ no ponto Pa2 π 0 em coordenadas cilíndricas é igual a a 10 b 16 c 0 d 10 e 10 𝑟 Solução 𝐹 1 𝑟 𝑟𝐹𝑟 𝑟 1 𝑟 𝐹ϕ ϕ 𝐹𝑧 𝑧 Eletromagnetismo I 274 𝐹 1 𝑟 𝑎3 𝑟2 cosϕ 1 𝑟 𝑎3 𝑟2 cosϕ 𝐹 𝑎3 𝑟3 cosϕ 𝑎3 𝑟3 cosϕ 0 Logo o campo vetorial 𝐹 é solenoidal 7 O rotacional do campo vetorial 𝐹 𝑦 𝑐𝑜𝑠 a𝑥 𝑥 𝑦 𝑒𝑥 𝑧 no ponto P000 em coordenadas retangulares é igual a a 1 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 b 1 𝑥 1 𝑧 c 2 𝑥 3 𝑧 d 1 𝑥 2 𝑦 e 0 Solução 𝐹 𝐹𝑧 𝑦 𝐹𝑦 𝑧 𝑥 𝐹𝑥 𝑧 𝐹𝑧 𝑥 𝑦 𝐹𝑦 𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝐹 𝐹𝑧 𝑦 𝑥 𝐹𝑥 𝑧 𝐹𝑧 𝑥 𝑦 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝐹 1 𝑥 0 𝑒𝑥 𝑦 𝑐𝑜𝑠 a𝑥 𝑧 𝐹 1 𝑥 𝑒𝑥 𝑦 𝑐𝑜𝑠 a𝑥 𝑧 No ponto P000 𝐹 1 𝑥 𝑒0 𝑦 𝑐𝑜𝑠 0 𝑧 𝐹 1 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 8 O rotacional do campo vetorial 𝐹 5 𝑟 𝑠𝑒𝑛 ϕ 𝑧 no ponto P2π0 em coordenadas cilíndricas é igual a a 5 𝑟 5 ϕ b 1 𝑟 5 𝑧 c 5 𝑟 5 𝑧 d 5 𝑟 Eletromagnetismo I 275 e 0 Solução 𝐹 1 𝑟 𝐹𝑧 ϕ 𝐹ϕ 𝑧 𝑟 𝐹𝑟 𝑧 𝐹𝑧 𝑟 ϕ 1 𝑟 𝑟𝐹ϕ 𝑟 𝐹𝑟 ϕ 𝑧 𝐹 1 𝑟 𝐹𝑧 ϕ 𝑟 𝐹𝑧 𝑟 ϕ 𝐹 1 𝑟 5𝑟 𝑐𝑜𝑠 ϕ 𝑟 5 𝑠𝑒𝑛 ϕ ϕ 𝐹 5 𝑐𝑜𝑠 ϕ 𝑟 5 𝑠𝑒𝑛 ϕ ϕ No ponto P2 π0 𝐹 5 𝑐𝑜𝑠 π 𝑟 5 𝑠𝑒𝑛 π ϕ 𝐹 5 𝑟 Considere o seguinte campo vetorial em coordenadas esféricas para as questões 9 e 10 𝑭 𝟐𝑹𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝛉 𝑹 𝟐𝑹𝟑 𝛉 9 Determine o divergente desse campo vetorial Solução 𝐹 1 𝑅2 𝑅2𝐹𝑅 𝑅 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐹θ θ 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐹ϕ ϕ 𝐹 1 𝑅2 0 1 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑅3 0 𝐹 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑅4 10 Considere uma região esférica delimitada pelo raio 1 𝑅 2 e pelos ângulos 0 θ 𝜋2 e 0 ϕ 2𝜋 Calcule o fluxo total através dessa região por meio do Teorema da Divergência Ф𝐿𝑇 𝐹 𝑉 𝑑𝑉 Ф𝐿𝑇 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑅4 2 1 𝜋2 0 2𝜋 0 𝑅2 𝑑𝑅 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜙 Eletromagnetismo I 276 Ф𝐿𝑇 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑅2 2 1 𝜋2 0 2𝜋 0 𝑑𝑅 𝑑𝜃 𝑑𝜙 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑅 𝜋2 0 2 1 2𝜋 0 𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝜋2 0 2𝜋 0 𝑑𝜃 𝑑𝜙 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜋2 0 2𝜋 0 𝑑𝜙 1 2𝜋 0 𝑑𝜙 𝜙 2𝜋 0 2𝜋 UNIDADE 3 1 Uma placa quadrada no plano xy está situada no espaço definido por 0 𝑥 2 e 0 𝑦 2 ambas em metros Sabendo que a densidade superficial de carga é dada por 𝜌𝑆 2𝑥 Cm2 a carga elétrica total na placa é igual a a 8 C b 4 C c 2 C d 1 C e 05 C Solução Q 2𝑥 𝑆 𝑑𝑥 𝑑𝑦 2𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 0 2 0 4𝑥 𝑑𝑥 2 0 8 2 Uma carga elétrica 𝑞1 20 µC está posicionada em 647 e uma carga elétrica 𝑞2 50 µC está posicionada em 582 ambas no espaço livre as medidas são dadas em metros Nesse caso a força elétrica exercida sobre 𝑞1 por 𝑞2 é aproximadamente igual a a 24𝑥 81𝑦 232𝑧 N b 0031𝑥 0011𝑦 0025𝑧 N c 04𝑥 01𝑦 077𝑧 N d 04𝑦 77𝑧 N Eletromagnetismo I 277 e 215𝑥 N Solução 𝑄 20 106 𝑞 50 106 𝑟 647 𝑟 58 2 𝑟 𝑟 647 58 2 11 49 11𝑥 4𝑦 9𝑧 𝑟 𝑟 112 42 92 1476 Assim 𝐹𝑒 1 4𝜋ϵo 𝑞𝑄 𝑟 𝑟3 𝑟 𝑟 50 106 20 106 4𝜋 885 1012 14763 11𝑥 4𝑦 9𝑧 𝐹𝑒 00028 11𝑥 4𝑦 9𝑧 0031𝑥 0011𝑦 0025𝑧 N 3 Cargas pontuais de 50 nC cada estão posicionadas em A1 0 0 B1 0 0 C0 1 0 e D0 1 0 no espaço livre em metros A força total na carga em A é igual a a 24𝑥 81𝑦 232𝑧 µN b 407𝑥 30𝑦 55𝑧 µN c 4𝑥 1𝑦 77𝑧 µN d 04𝑦 77𝑧 µN e 215𝑥 µN Solução 𝑟 𝑟1 100 100 200 Eletromagnetismo I 278 𝑟 𝑟2 100 010 1 10 𝑟 𝑟3 100 0 10 110 𝐹𝑒 𝑄 4𝜋ϵo 𝑞𝑖 𝑟 𝑟𝑖3 𝑟 𝑟𝑖 3 𝑖1 𝐹𝑒 50 109 4𝜋 885 1012 50 109 23 200 50 109 2 3 1 10 50 109 2 3 110 𝐹𝑒 50 109 4𝜋 885 1012 4786 109 𝑥 215 𝑥 µN 4 Uma carga de 03 µC está posicionada em 253015 cm e uma segunda carga de 05 µC em 10812 cm O campo elétrico no ponto 152050 cm é igual a a 055𝑥 kVm b 05𝑥 01𝑦 kVm c 1196𝑥 046𝑦 125𝑧 kVm d 46𝑦 217𝑧 kVm e 320𝑧 kVm Solução 𝑟 𝑟1 152050 25 3015 105035 01 05 035 𝑟 𝑟2 152050 10812 251238 025 012 038 𝐸 1 4𝜋ϵo 𝑞𝑖 𝑟 𝑟𝑖3 𝑟 𝑟𝑖 2 𝑖1 Eletromagnetismo I 279 𝐸 1 4𝜋 885 1012 03 106 0623 01 05 035 05 106 0473 025 012 038 𝐸 1 4𝜋 885 1012 133 106𝑥 515 108𝑦 139 106𝑧 11𝑥 4𝑦 9𝑧 kVm 𝐸 1196𝑥 046𝑦 125𝑧 kVm 5 Considere dois anéis concêntricos de raios R e R no plano xy O ponto P está no eixo z eixo central a uma distância D do centro dos anéis como mostrado na figura O anel menor possui uma distribuição de carga elétrica uniforme e positiva 𝜌𝑙 enquanto no anel maior ela é negativa 𝜌𝑙 Sabendo que R 3R a expressão do campo elétrico em P é dada por a 0 b 1 c 𝜌𝑙𝑅 𝐷 2ϵo𝑅2𝐷232 𝑧 d 𝜌𝑙𝑅 𝐷 2ϵo𝑅2𝐷232 𝑧 𝜌𝑙3𝑅 𝐷 2ϵo9𝑅2𝐷232 𝑧 e 𝜌𝑙3𝑅 𝐷 2ϵo9𝑅2𝐷232 𝑧 Solução Eletromagnetismo I 280 O campo elétrico de um anel carregado é dado por 𝐸 𝜌𝑙𝑏 ℎ 2ϵo𝑏2 ℎ232 𝑧 Considerando a contribuição dos dois anéis 𝐸 𝜌𝑙𝑅 𝐷 2ϵo𝑅2 𝐷232 𝑧 𝜌𝑙3𝑅 𝐷 2ϵo9𝑅2 𝐷232 𝑧 6 Considere três cargas elétricas pontuais de 60 µC 30 µC e 50 µC o fluxo do campo elétrico que atravessa uma superfície esférica fechada é aproximadamente igual a a 82374 kV m b 65532 kV m c 903955 kV m d 129436 kV m e 0 Solução Como a superfície é fechada ao redor das cargas elétricas então o fluxo será Ф𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑄 ϵo 60 30 50 106 885 1012 80 106 885 1012 903955 kV m 7 Considere uma linha uniforme de cargas 𝜌𝑙em forma de anel de raio a e sobre o plano xy z 0 Nesse caso a expressão para o potencial elétrico V em um ponto h ao longo do eixo z que passa pelo centro do anel é dada por a 𝜌𝑙 𝑎 4𝜋ϵo 𝑎2ℎ2 b 𝜌𝑙 𝑎 2ϵo 𝑎2ℎ2 c 𝜌𝑙 4𝜋ϵo 𝑎2ℎ2 d 𝜌𝑙 𝑎 𝑎2ℎ2 Eletromagnetismo I 281 e 0 Solução 𝑉 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑙 𝑟 𝑟𝑖𝑑𝑙 𝐿 1 4𝜋ϵo 𝜌𝑙 𝑎2 ℎ2 𝑎 𝑑𝜙 2𝜋 0 2𝜋 4𝜋ϵo 𝜌𝑙 𝑎 𝑎2 ℎ2 𝜌𝑙 𝑎 2ϵo 𝑎2 ℎ2 8 O campo elétrico no ponto 2π0 em coordenadas esféricas produzido por um dipolo de comprimento d 20 nm e carga elétrica q 30 mC na origem é aproximadamente igual a a 135 𝑅 Vm b 135 𝑅 Vm c 033 𝑅 Vm d 033 𝑅 Vm e 003 𝑅 Vm Solução 𝐸 𝑞𝑑 4𝜋ϵo 𝑅3 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜃 θ 20 109 30 103 4 𝜋 885 1012 23 2𝑐𝑜𝑠 𝜋 𝑅 𝑠𝑒𝑛 𝜋 θ 135 𝑅 Vm 9 A força elétrica gerada por uma carga elétrica sobre uma carga prova de 150 mC no ponto P é 𝐹𝑒 30 𝑅 N Determine o campo elétrico no ponto P Solução Eletromagnetismo I 282 𝐸 𝐹𝑒 𝑄 30 𝑅 150 103 200 𝑅 Vm 10 Determine o potencial elétrico no ponto P situado no centro de um quadrado de cargas pontuais dados q1 12 nC q2 24 nC q3 31 nC e q4 17 nC A distância d 13 m Solução A distância R entre as cargas é 𝑅 0652 0652 0919 O potencial elétrico é dado por 𝑉 1 4𝜋ϵo 𝑞1 𝑅 𝑞2 𝑅 𝑞3 𝑅 𝑞4 𝑅 109 4 𝜋 885 1012 12 24 31 17 0919 0352 V UNIDADE 4 1 Sobre a classificação dos materiais é correto afirmar que a Nos materiais condutores as cargas elétricas não se movem b Nos materiais dielétricos as cargas elétricas se movem melhor do que nos semicondutores c Os supercondutores são condutores perfeitos no qual as cargas se movem sem encontrar nenhuma resistência d TODAS as alternativas anteriores estão CORRETAS Eletromagnetismo I 283 e TODAS as alternativas anteriores estão INCORRETAS 2 Um fio de ferro com condutividade de 107 Sm está sujeito a um campo elétrico de 40 𝑟 mVm A densidade de corrente elétrica é igual a a 5 103 Am2 b 4 105 Am2 c 40 107 Am2 d 50 105 Am2 e 400 105 Am2 Solução 𝐽 𝜎𝐸 107 40 103 𝑟 4 105 Am2 3 A densidade de fluxo elétrico para um campo elétrico de 50 𝑦 kVm aplicado sobre um material com constante dielétrica de 3 é igual a a 133 106 𝑦 Cm2 b 150 103 𝑦 Cm2 c 133 106 𝑦 Cm2 d 150 109 𝑦 Cm2 e 15 106 𝑦 Cm2 Solução 𝐷 ϵ 𝐸 𝜖𝑟𝜖𝑜𝐸 3 885 1012 50 103 𝑦 133 106 𝑦 Cm2 Eletromagnetismo I 284 4 Para 𝑟 2 𝜖𝑟1 2 e 𝐸1 3 𝑟 6 ϕ 9 𝑧 Vm Para 𝑟 2 𝜖𝑟2 3 Nesse caso 𝐸2 é igual a a 3 𝑟 6 ϕ 9 𝑧 Vm b 2 𝑟 4 ϕ 6 𝑧 Vm c 2 𝑟 6 ϕ 4 𝑧 Vm d 2 𝑟 6 ϕ 9 𝑧 Vm e 0 Solução A fronteira ocorre em r 2 portanto ela consiste em um plano ao longo de ϕz que separa os dois meios dielétricos Nesse caso temos que as componentes tangenciais se mantêm 𝐸𝑇2 𝐸𝑇1 6 ϕ 9 𝑧 E a componente normal é dada por 𝐸𝑁2 𝐸𝑁1 𝜖𝑟1 𝜖𝑟2 3 2 3 𝑟 2 𝑟 Assim 𝐸2 2 𝑟 6 ϕ 9 𝑧 Vm 5 Considere uma fronteira separando dois meios dielétricos em z 4 Dados 𝐸2 2 𝑥 3 y 3 𝑧 𝜖𝑟1 2 e 𝜖𝑟2 8 então 𝐸1 será a 2 𝑥 3 y 3 𝑧 Vm b 2 𝑥 3 y 12 𝑧 Vm c 2 𝑥 3 y 3 𝑧 Vm d 8 𝑥 12 y 12 𝑧 Vm e 0 Eletromagnetismo I 285 Solução A fronteira ocorre em z 4 portanto ela consiste em um plano ao longo de xy que separa os dois meios dielétricos Nesse caso temos que as componentes tangenciais se mantêm 𝐸𝑇1 𝐸𝑇2 2 𝑥 3 y E a componente normal é dada por 𝐸𝑁1 𝐸𝑁2 𝜖𝑟2 𝜖𝑟1 3 8 2 𝑧 12 𝑟 Assim 𝐸1 2 𝑥 3 y 12 𝑧 Vm 6 A carga elétrica total acumulada na superfície de dois condutores é igual a 200 nC Se a diferença de potencial entre esses condutores é de 40 V a sua capacitância será de a 25 nF b 20 nF c 15 nF d 10 nF e 5 nF Solução 𝐶 𝑄 𝑉 200 109 40 5 109 5 nF 7 Considere um capacitor plano de placas paralelas posicionadas ao longo do plano xy em que as placas condutoras possuem área de 80 cm2 e estão a uma distância Eletromagnetismo I 286 de 4 mm entre elas A permissividade relativa do meio dielétrico entre essas placas é igual a 5 A capacitância desse capacitor é igual a a 885 1011 F b 885 1010 F c 885 109 F d 885 108 F e 885 107 F Solução 𝐶 ϵ 𝐴 𝑑 5 885 1012 80 104 4 103 885 1011 F 8 Considere um capacitor coaxial de comprimento de 20 cm em que a casca cilíndrica interna está posicionada em r 1 mm e a casca cilíndrica externa está posicionada em r 2 mm A permissividade relativa do meio dielétrico entre as cascas cilíndricas é igual a 4 A capacitância desse capacitor é igual a a 144 1011 F b 885 1011 F c 64 1011 F d 144 1012 F e 64 1010 F Solução 𝐶 2𝜋𝐿 ϵ ln 𝑏𝑎 2 𝜋 20 102 4 885 1012 ln21 64 1011 F Eletromagnetismo I 287 Considere o seguinte enunciado para as questões 9 e 10 Um capacitor é formado por duas cascas cilíndricas condutoras ao longo do plano rz posicionadas em 𝛟 𝛟𝟏 e em 𝛟 𝛟𝟐 Dado que o potencial elétrico é igual a 0 em 𝛟𝟏 e igual a 𝑽𝒐 em 𝛟𝟐 9 Determine a função potencial elétrico e do campo elétrico na região dielétrica entre as cascas condutoras Solução 1 𝑟2 𝑑2𝑉 𝑑ϕ2 0 𝑑2𝑉 𝑑ϕ2 0 𝑑𝑉 𝑑ϕ 𝐴 𝑉ϕ 𝐴ϕ B Para ϕ1 ϕ ϕ2 isto é a região entre as planos As condições de contorno são 𝑉ϕ1 0 𝑉ϕ2 𝑉𝑜 Assim 𝑉ϕ1 𝐴 ϕ1 𝐵 0 𝐴 ϕ1 𝐵 0 E 𝑉ϕ2 𝐴 ϕ2 𝐵 𝑉𝑜 𝐴 ϕ2 𝐵 𝑉𝑜 Fazendo a segunda equação menos a primeira equação temos 𝐴 ϕ2 𝐴 ϕ1 𝑉𝑜 Eletromagnetismo I 288 𝐴 ϕ2 ϕ1 𝑉𝑜 𝐴 𝑉𝑜 ϕ2 ϕ1 Substituindo na primeira equação 𝑉𝑜 ϕ2 ϕ1 ϕ1 𝐵 0 𝐵 𝑉𝑜 ϕ1 ϕ2 ϕ1 Assim 𝑉ϕ 𝑉𝑜ϕ ϕ2 ϕ1 𝑉𝑜 ϕ1 ϕ2 ϕ1 𝑉𝑜ϕ ϕ1 ϕ2 ϕ1 Para o campo elétrico temos 𝐸 𝑉 1 𝑟 𝑑𝑉 𝑑ϕ ϕ 𝐸 1 𝑟 𝑉𝑜 ϕ2 ϕ1 ϕ 10 Determine a capacitância do capacitor considerando que a permissividade do meio é dada por ϵ e as dimensões das placas sejam 𝑎 𝑟 𝑏 e 0 𝑧 ℎ Solução Considerando um material dielétrico de permissividade ϵ entre as cascas condutoras temos a densidade de fluxo elétrico dada por 𝐷 ϵ 𝐸 𝐷 ϵ 𝑉𝑜 ϕ2 ϕ1 1 𝑟 ϕ Temos ainda que a componente normal à casca condutora da densidade de fluxo elétrico é 𝐷𝑁 𝜌𝑆 𝜌𝑆 ϵ 𝑉𝑜 ϕ2 ϕ1 1 𝑟 Eletromagnetismo I 289 A carga elétrica total é dada então por 𝑄 𝜌𝑆 𝑑𝑟𝑑𝑧 𝑏 𝑎 ℎ 0 ϵ 𝑉𝑜 ϕ2 ϕ1 1 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝑧 𝑏 𝑎 ℎ 0 ϵ 𝑉𝑜 ϕ2 ϕ1 1 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝑧 𝑏 𝑎 ℎ 0 ϵ 𝑉𝑜ℎ ϕ2 ϕ1 1 𝑟 𝑑𝑟 𝑏 𝑎 ϵ 𝑉𝑜ℎ ϕ2 ϕ1 ln𝑏𝑎 Por fim a capacitância pode ser calculada como 𝐶 𝑄 𝑉𝑜 𝐶 ϵ ℎ ϕ2 ϕ1 ln𝑏𝑎 UNIDADE 5 1 A permeabilidade de um material que possui permeabilidade relativa igual a 600 é a 314 104 Hm b 754 104 Hm c 268 103 Hm d 935 103 Hm e 127 102 Hm Solução 𝜇 𝜇𝑟𝜇𝑜 600 4𝜋 107 754 104 Hm Eletromagnetismo I 290 Considere o seguinte vetor densidade de corrente para os exercícios 2 e 3 𝑱 𝟏𝟎 𝒓𝟐𝒛 𝒓 𝟒 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝟐𝛟 𝛟 𝐦𝐀𝐦𝟐 2 A densidade de corrente no ponto P3 052 2 em coordenadas cilíndricas é igual a a 18 𝑟 9 ϕ mAm2 b 15 𝑟 6 ϕ mAm2 c 90 𝑟 6 ϕ mAm2 d 90 𝑟 9 ϕ mAm2 e 180 𝑟 9 ϕ mAm2 Solução 𝐽 10 𝑟2𝑧 𝑟 4 𝑟 𝑐𝑜𝑠2ϕ ϕ 10 32 2 𝑟 4 3 𝑐𝑜𝑠2052 ϕ 180 𝑟 9 ϕ mAm2 3 A corrente total que flui para fora de uma faixa circular de raio r 3 m ângulo 0 ϕ 2π rad e altura 2 z 28 é a 116 A b 326 A c 3508 mA d 875 mA e 183 mA Eletromagnetismo I 291 Solução 𝐼 𝐽 𝑑𝑆 𝑆 103 10 𝑟2𝑧 𝑟 4 𝑟 𝑐𝑜𝑠2ϕ ϕ 2π 0 28 2 𝑟 𝑑ϕ d𝑧 𝑟 103 90𝑧 2π 0 28 2 3 𝑑ϕ d𝑧 2𝜋 103 270𝑧 28 2 d𝑧 270 2𝜋 103 𝑧2 2 28 2 326 A 4 Um condutor linear infinito ao longo do eixo z é percorrido por uma corrente elétrica de 80 A A densidade de fluxo magnético em um ponto distante 50 mm desse condutor é igual a a 32 104 ϕ T b 2 105 ϕ T c 57 106 ϕ T d 14 107 ϕ T e 79 108 ϕ T Solução 𝐵 𝜇𝑜𝐼 2𝜋 𝑟 ϕ 4𝜋 107 80 2𝜋 50 103 ϕ 32 104 ϕ T Eletromagnetismo I 292 5 Considere um loop de corrente em forma de forma de torta como mostrado a seguir A expressão do vetor densidade de fluxo magnético no ponto O é a 𝐵 𝜇𝑜 𝐼 4𝜋 𝑎2 𝑧 b 𝐵 𝜇𝑜 𝐼 𝑎 4𝜋 𝑧 c 𝐵 𝜇𝑜 𝐼 ϕ 4𝜋 𝑎 𝑧 d 𝐵 𝜇𝑜𝐼 2𝑎 𝑧 e 𝐵 𝜇𝑜𝐼𝑎 2 𝑧 Solução Ao longo dos segmentos retilíneos OA e CO o campo magnético medido em O é igual a 0 Isso ocorre pois para todos os pontos ao longo desse segmentos 𝑑𝑙 está em paralelo com 𝑟 e portanto o produto vetorial entre eles é igual a 0 Para o segmento AC 𝑑𝑙 é perpendicular a 𝑟 de modo que 𝑑𝑙 𝑟 resulta em um vetor na direção de 𝑧 Temos então que 𝐼 𝑑𝑙 𝐼 𝑎 𝑑ϕ ϕ 𝑟 𝑟 𝑎 𝑟 Substituindo Eletromagnetismo I 293 𝐵 𝜇𝑜 4𝜋 𝐼 𝑎 𝑑ϕ ϕ 𝑎 𝑟 𝑎232 ϕ 0 𝐵 𝜇𝑜 𝐼 𝑎2 4𝜋 𝑎3 1 ϕ 0 𝑑ϕ 𝑧 𝐵 𝜇𝑜 𝐼 ϕ 4𝜋 𝑎 𝑧 6 Um condutor na forma de uma espira circular de raio 50 mm posicionada no plano xy é percorrido por uma corrente elétrica de 100 A Nesse caso a densidade de fluxo magnético no centro da espira é igual a a 055 𝑧 mT b 155 𝑧 mT c 76 𝑧 mT d 126 𝑧 mT e 0 Solução 𝐵 𝜇𝑜𝐼 2𝑎 𝑧 4𝜋 107 100 2 50 103 𝑧 126 𝑧 mT Eletromagnetismo I 294 7 Considere um fio retilíneo longo infinito em termos práticos ao longo do eixo z de raio a percorrido por uma corrente I que é uniformemente distribuída ao longo de sua seção reta Nesse caso o campo magnético 𝐻 a uma distância r do eixo fio em um ponto no interior do fio é dado por a 𝐻 𝐼 𝑟 2π 𝑎2 ϕ b 𝐻 𝐼 𝑟 𝑎 ϕ c 𝐻 𝐼 2𝑎 ϕ d 𝐻 𝐼 2𝜋𝑟 ϕ e 𝐻 𝐼 2𝜋𝑟2 ϕ Solução Temos que 𝐻 apresenta uma simetria cilíndrica radial varia apenas com r e tem direção ϕ 𝐻 𝐻𝑟 ϕ Um contorno amperiano deve então ter direção de ϕ ou seja circular o fio infinito variação e 0 a 2π Um comprimento diferencial desse percurso será então um comprimento diferencial de arco de uma circunferência de raio r 𝑑𝑙 𝑟 𝑑ϕ ϕ Temos que a densidade de corrente elétrica no caso de a corrente elétrica ser uniformemente distribuída ao longo da seção transversal é dada por 𝐽 𝐼 𝐴 z Em que A representa a área da seção transversal da linha coaxial Assim para o fio temos 𝐽 𝐼 𝜋𝑎2 z Para r a interior do fio Eletromagnetismo I 295 𝐼𝑓𝑙𝑢𝑖 𝐽𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑆 𝑟 0 2𝜋 0 𝐼 𝜋𝑎2 z 𝑟 𝑑𝑟 𝑑ϕ z 𝑟 0 2𝜋 0 𝐼 𝜋𝑎2 𝑟 𝑑𝑟 𝑑ϕ 𝑟 0 2𝜋 0 𝐼𝑓𝑙𝑢𝑖 𝐼 𝜋𝑎2 2𝜋𝑟2 2 𝐼𝑟2 𝑎2 Assim para r a interior do fio 𝐻𝑟 ϕ 𝑟 𝑑ϕ ϕ 2𝜋 0 𝐼𝑟2 𝑎2 𝐻𝑟 𝑟 2π 𝐼𝑟2 𝑎2 𝐻𝑟 𝐼 𝑟 2π 𝑎2 Logo 𝐻 𝐼 𝑟 2π 𝑎2 ϕ 8 Considere uma linha coaxial infinita de raios a 10 mm b 30 mm e c 40 mm Uma corrente de 30 A atravessa o condutor interno e de 30 A atravessa o condutor externo Nesse caso o campo magnético 𝐻 no ponto r 35 mm é igual a a 3322 ϕ Am b 7308 ϕ Am c 12847 ϕ Am d 18519 ϕ Am e 20213 ϕ Am Solução 𝐻 𝐼 𝑐2 𝑟2 2𝜋𝑟 𝑐2 𝑏2 ϕ 30 375 2𝜋 35 103 700 ϕ 7308 ϕ Am Eletromagnetismo I 296 Considere o enunciado a seguir para os problemas 9 e 10 Um campo 𝑩 𝟐 𝒙 𝟑 𝒚 𝟒 𝒛 T está presente no espaço livre Um fio retilíneo conduz uma corrente elétrica de 12 A a partir do ponto A111 até o ponto B 9 Determine o vetor força magnética exercida pelo campo 𝐵 sobre o fio retilíneo no caso de o fio terminar no ponto B211 Solução 𝐹𝑚 𝐼 𝑑𝑙 𝐵 𝑏 𝑎 𝐼 𝑙 𝐵 𝑙 211 111 1 𝑥 𝐹𝑚 𝐼 𝑙 𝐵 12 𝑥 2 𝑥 3 𝑦 4 𝑧 𝐹𝑚 36 𝑧 48 𝑦 48 𝑦 36 𝑧 N 10 Determine o vetor força magnética exercida pelo campo 𝐵 sobre o fio retilíneo no caso de o fio terminar no ponto B356 Solução 𝐹𝑚 𝐼 𝑑𝑙 𝐵 𝑏 𝑎 𝐼 𝑙 𝐵 𝑙 356 111 2 𝑥 4 𝑦 5 𝑧 𝐹𝑚 𝐼 𝑙 𝐵 24 𝑥 48 𝑦 60 𝑧 2 𝑥 3 𝑦 4 𝑧 𝐹𝑚 12 𝑥 216 𝑦 168 𝑧 N