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MECÂNICA GERAL Me Fernando Marques GUIA DA DISCIPLINA 2022 1 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância INTRODUÇÃO Mecânica Geral popularmente conhecida com Mec Gê faz parte de um grupo de disciplinas básicas necessárias para todos os cursos de Engenharia esta disciplina visa fornecer aos alunos conhecimentos cos na área de Estática Cada capítulo apresentado nesta disciplina retrata de forma clara e objetiva o conteúdo necessário para o bom desenvolvimento do aluno e o conhecimento específico para outras disciplinas da Engenharia Ao final do semestre os alunos devem ser capazes de analisar e resolver problemas envolvendo Estática de sólidos ideais além de estabelecer relações entre as leis físicas estudadas e suas aplicações OBJETIVO O objetivo da disciplina será o de preparar alunos para analisar e resolver problemas envolvendo estática de sólidos ideais e sistemas e também empregar raciocínio crítico ao selecionar e avaliar informações obtidas em contextos complexos e comunicar métodos usados e resultados obtidos Espero ao longo deste período despertar o interesse por este universo tão interessante e importante na carreira dos que pretendem assim como eu se apaixonar pela engenharia Sucesso e um maravilhoso e pleno curso a todos Prof Fernando Marques 2 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 1 EQUILÍBRIO DE FORÇAS Objetivo Mostrar como resolver problemas de equilíbrio em um sistema de forças usando as equações de equilíbrio introduzir o conceito do Diagrama de Corpo Livre DCL e resolver problemas contendo forças coplanares forças tridimensionais e molas 11 VETOR FORÇA O vetor força pode ser definido de algumas formas Força Peso P m g sendo g 981 ms2 Força Coplanar Bidimensional Força Tridimensional 𝐹 𝐹𝑥𝑖 𝐹𝑦𝑗 𝐹𝑧𝑘𝑁 Para determinar as projeções do vetor deve ser utilizada a seguinte expressão Coordenadas do Vetor Módulo da Força Módulo do Vetor 3 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 12 COORDENADAS CARTESIANAS OU RETANGULARES Coordenadas x y z Versores Unitários 𝑖 𝑗 𝑘 13 TRIGONOMETRIA 14 EQUILÍBRIO DE UM SISTEMA Condição para equilíbrio de um sistema para manter o equilíbrio é necessário satisfazer a primeira lei do movimento de Newton 𝑭 𝟎 onde ΣF é a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o sistema é a resultante do sistema 15 MOLAS Uma característica que define a elasticidade de uma mola é a constante da mola ou rigidez k A intensidade da força exercida sobre uma mola linearmente elástica é F k s 4 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 16 CABOS E POLIAS Para qualquer ângulo θ mostrado na figura o cabo está submetido a uma tração constante T ao longo de todo o seu comprimento ou seja a polia não altera o valor da tração apenas muda a sua direção 17 SISTEMAS DE FORÇAS COPLANARES Para que o equilíbrio vetorial seja satisfeito as componentes x e y da força devem ser iguais a zero Portanto 𝛴𝐹𝑥 0 𝛴𝐹𝑦 0 18 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DCL Procedimento Desenhe o contorno do ponto em equilíbrio a ser estudado Desenhe e identifique todas as intensidades e direções das forças conhecidas e desconhecidas no diagrama Estabeleça os eixos X e Y com orientação adequada O sentido de uma força que tenha intensidade desconhecida deve ser adotado Nesse caso é assumido ou adotado que a força incógnita F atua para a direita 5 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 19 ANÁLISE DO SISTEMA COPLANAR Procedimento Aplique as equações de equilíbrio 𝜮𝑭𝒙𝟎 𝒆 𝜮𝑭𝒚𝟎 As componentes serão positivas se forem direcionadas ao longo de um eixo positivo e negativas se forem direcionadas ao longo de um eixo negativo Se existirem mais de duas incógnitas e o problema envolver mola devese aplicar F ks para relacionar a força da mola com a deformações da mola Como a intensidade de uma força é sempre positiva então se a solução produzir um resultado negativo isso indica que o sentido da força é oposto ao mostrado no DCL que foi assumido Todas as respostas serão apresentadas com duas casas depois da vírgula 110 EXEMPLOS FORÇAS COPLANARES O bloco D representado na figura tem massa de 25 kg sabendo que o sistema está em equilíbrio determine as forças nos cabos BA e BC 𝑃 𝑚 𝑔 𝑃 25 981 𝑃 24525 𝑁 Para equilíbrio A carga representado na figura tem massa de 120 kg sabendo que o sistema está em equilíbrio determine as forças nos cabos CA e CB 𝑃 𝑚 𝑔 𝑃 120 981 𝑃 11772 𝑁 6 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Para equilíbrio A mola possui um comprimento de 220 mm sem deformação determine as forças nos cabos BC e BD quando a mola é mantida na posição indicada Para equilíbrio 111 SISTEMAS DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS No caso de um sistema de forças tridimensional como indicado na figura podemos decompor as forças em suas respectivas componentes i j k de modo que 𝜮𝑭𝒙 𝒊 𝜮𝑭𝒚 𝒋 𝜮𝑭𝒛 𝒌 𝟎 Portanto é necessário que 𝛴𝐹𝑥 0 𝛴𝐹𝑦 0 𝛴𝐹𝑧 0 F 7 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 112 ANÁLISE DO SISTEMA TRIDIMENSIONAL Procedimento Aplique as equações de equilíbrio 𝜮𝑭𝒙𝟎 𝜮𝑭𝒚𝟎 𝜮𝑭𝒛𝟎 As componentes serão positivas se forem direcionadas ao longo de um eixo positivo e negativas se forem direcionadas ao longo de um eixo negativo Se existirem mais de duas incógnitas e o problema envolver mola devese aplicar F ks para relacionar a força da mola a deformações da mola Como a intensidade de uma força é sempre positiva então se a solução produzir um resultado negativo isso indica que o sentido da força é oposto ao mostrado no diagrama de corpo livre que foi assumido Todas as respostas serão apresentadas com duas casas depois da vírgula 113 EXEMPLOS FORÇAS TRIDIMENSIONAIS O sistema da figura está em equilíbrio determine as trações nos cabos DA DB e DC Aplicando as equações de equilíbrio Se multiplicar a equação 3 por 3 teremos Σ𝐹Y 0 Σ𝐹Z 0 Σ𝐹X 0 8 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância A carga de 40 kN da figura está em equilíbrio determine a força em cada cabo Substituindo TC em 3 teremos Substituindo TC e TB em 1 teremos Aplicando as equações de equilíbrio Σ𝐹X 0 Σ𝐹Y 0 Σ𝐹Z 0 9 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 2 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FORÇAS Objetivo Mostrar como resolver problemas de equilíbrio em um sistema de forças usando as equações de equilíbrio Discutir o conceito do momento de uma força e mostrar como calculálo em duas e três dimensões Definir o momento de um binário 21 MOMENTO DE UMA FORÇA 211 Formação Escalar Quando uma força é aplicada a um corpo ela produzirá uma tendência de rotação do corpo em torno de um ponto que não está na linha de ação da força Essa tendência de rotação algumas vezes é chamada de torque mas normalmente é denominada momento de uma força ou simplesmente momento A intensidade do momento é MO F d Onde d é o braço do momento ou distância perpendicular do eixo no ponto O até a linha de ação da força A unidade da intensidade do momento consiste em força vezes a distância N m A direção de 𝑀𝑂 é definida pelo seu eixo do momento o qual é perpendicular ao plano que contém a força 𝐹 e seu braço do momento d 10 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância A direção e o sentido do momento são determinados pela regra da mão direita do produto vetorial Desta forma para o Momento Escalar se a tendência de rotação for horária momento negativo e antihorária momento positivo Exemplos 11 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância O momento resultante do sistema é dado por 𝑀𝑂 𝑀1 𝑀2 𝑀3 𝑀𝑂 𝐹1 𝑑1 𝐹2 𝑑2 𝐹3 𝑑3 Para os problemas bidimensionais 𝑀𝑂 𝐹𝑥 𝑦 𝐹𝑦 𝑥 Exemplos Determine o momento das forças aplicadas na figura em relação ao ponto O Determine o momento da força aplicada na figura em relação ao ponto O 12 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 212 Formação Vetorial Se estabelecermos os eixos coordenados X Y e Z então o vetor posição 𝑟 e a força 𝐹 podem ser expressos como vetores cartesianos Pelo princípio da transmissibilidade podemos usar qualquer vetor posição 𝑟 medido do ponto O a qualquer ponto sobre a linha de ação da força 𝐹 Desta forma 13 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância O momento resultante do sistema é dado por 213 Produto Vetorial É o produto entre dois vetores exemplo 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝑥 𝑖 𝐴𝑦 𝑗 𝐴𝑧 𝑘 𝐵𝑥 𝑖 𝐵𝑦 𝑗 𝐵𝑧 𝑘 Solução Solução 1 Matriz Determinante 𝐶 𝐴 𝐵 𝑖 𝑗 𝑘 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 2 Pela calculadora HP 3 Regra dos Versores A propriedade comutativa não é válida ou seja 14 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 Em vez disso 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 O momento de uma força cria a tendência de um corpo girar em torno de um eixo passando por um ponto específico O Usando a regra da mão direita o sentido da rotação é indicado pela curva dos dedos e o polegar é direcionado ao longo do eixo do momento ou linha de ação do momento A intensidade do momento é determinada através de MO F d onde d é chamado o braço do momento que representa a distância perpendicular ou mais curta do ponto O à linha de ação da força Em três dimensões o produto vetorial é usado para determinar o momento 𝑀𝑂 𝑟 𝐹 sendo que 𝑟 está direcionado do ponto O a qualquer ponto sobre a linha de ação de 𝐹 O princípio dos momentos afirma que o momento de uma força em relação a um ponto é igual à soma dos momentos das componentes da força em relação ao mesmo ponto Exemplos Determine o momento da força aplicada na árvore pelo trator em relação a O 15 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine o momento das forças aplicadas na figura em relação ao ponto O sendo 𝐹1 260 𝑖 140 𝑗 120𝑘 𝑘𝑁 𝑒 𝐹2 80 𝑖 140 𝑗 230𝑘 𝑘𝑁 Determine a resultante das forças aplicadas na figura e o momento em relação ao ponto O 21 MOMENTO DE UM BINÁRIO Um binário é definido como duas forças paralelas que têm a mesma intensidade porém direções opostas e são separadas por uma distância perpendicular d A resultante de um binário é nula portanto o único efeito de um binário é produzir rotação ou tendência de rotação em determinada direção 16 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Formulação escalar O momento de um binário M é definido como tendo uma intensidade M F d Formulação vetorial O momento de um binário também pode ser expresso pelo produto vetorial Dois binários são equivalentes quando produzem momentos equivalentes Um momento de binário é produzido por duas forças não colineares que são iguais em intensidade mas com direções opostas Seu efeito é produzir rotação pura ou tendência de rotação em uma direção específica Um momento de binário é um vetor livre e consequentemente causa o mesmo efeito rotacional em um corpo independentemente de onde o momento de binário é aplicado ao corpo O momento das duas forças de binário pode ser determinado em relação a qualquer ponto Por conveniência esse ponto normalmente é escolhido na linha de ação de uma das forças a fim de eliminar o momento dessa força em relação ao ponto Em três dimensões o momento de binário é determinado usando a formulação vetorial 𝑀 𝑟 𝐹 onde 𝑟 é direcionado a partir de qualquer ponto sobre a linha de ação de uma das forças até qualquer ponto sobre a linha de ação da outra força 𝐹 Um momento de binário resultante é simplesmente a soma vetorial de todos os momentos de binário do sistema 17 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Exemplos A chave da figura está sujeita a um momento de 3 Nm determine o valor de cada força F e de cada força P A ação da furadeira sobre a chapa provoca um momento de 10 Nm determine o valor da força provocada nos pontos de fixação se a chapa for fixada em a pontos A e B b pontos A e C Determine o momento de binário resultante na chapa da figura 18 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine o momento de binário em relação ao ponto O da engrenagem Determine o momento de binário agindo sobre o tubo da figura d Na forma escalar Na forma vetorial Pela regra da mão direita o momento é negativo em Y 19 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO BIDIMENSIONAL Objetivo Desenvolver as equações de equilíbrio para um corpo rígido Introduzir o conceito do diagrama de corpo livre para um corpo rígido Mostrar como resolver problemas de equilíbrio de corpo rígido usando as equações de equilíbrio 31 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO Como mostra a figura o corpo está sujeito a um sistema externo de forças e momentos que é o resultado dos efeitos das forças gravitacionais elétricas magnéticas ou de contato causadas pelos corpos adjacentes O sistema de forças e momentos que atuam sobre o corpo podem ser reduzidos a uma força resultante e um momento resultante equivalentes em qualquer ponto O arbitrário dentro ou fora do corpo Se essa força e momento resultantes são ambos iguais a zero então dizemos que o corpo está em equilíbrio 20 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Matematicamente o equilíbrio de um corpo é expresso como Essas duas equações não são apenas necessárias para o equilíbrio elas são também suficientes Na forma vetorial teremos 32 REAÇÕES DE APOIO ou Vínculos Vamos analisar os vários tipos de reações que ocorrem em apoios e pontos de contato entre corpos sujeitos a sistemas de forças coplanares Como regra geral Se um apoio impede a translação de um corpo em uma determinada direção então uma força é desenvolvida no corpo nessa direção Se a rotação é impedida um momento é exercido sobre o corpo Por exemplo vamos considerar três maneiras na qual um membro horizontal como uma viga é apoiado na sua extremidade Um método consiste em um rolete ou cilindro Como esse suporte apenas impede que a viga translade na direção vertical o rolete só exercerá uma força sobre a viga nessa direção Este vínculo é denominado Apoio Simples ou Apoio Móvel 21 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Em outro método a viga pode ser apoiada de uma forma mais restritiva por meio de um pino Este vínculo é denominado Apoio Fixo ou Articulação Simples Aqui o pino pode impedir a translação da viga em qualquer direção ϕ e portanto o pino deve exercer uma força F sobre a viga nessa direção Para fins de análise geralmente é mais fácil representar essa força resultante F por suas componentes retangulares Fx e Fy Outro método usa a maneira mais restritiva de apoiar a viga que seria usar um apoio fixo Esse apoio impedirá tanto a translação quanto a rotação da viga Este vínculo é denominado Engastamento 22 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Para impedir tanto a translação quanto a rotação da viga duas forças e um momento devem ser desenvolvidos sobre a viga em seu ponto de conexão Tabela 31 Suportes para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças bidimensionais 23 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 33 O PESO E O CENTRO DE GRAVIDADE Quando um corpo está dentro de um campo gravitacional cada uma de suas partículas possui um peso específico 24 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Esse sistema de forças pode ser reduzido a uma única força resultante que age em um ponto específico Essa força resultante é chamada de peso P do corpo e a posição de seu ponto de aplicação de centro de gravidade G Exemplos A barra da figura tem massa de 200 kg determine as reações vinculares no engastamento Para solução Colocar a força peso no centro de gravidade da barra Colocar as reações de acordo com o tipo de vínculo Aplicar as equações de equilíbrio da estática A barra da figura tem peso desprezível determine as reações nos vínculos Ax Ay MRA P 45m 25 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Para solução Como não foi informado consideramos a força peso da barra desprezível Colocar as reações de acordo com o tipo de vínculo Decompor a força de 800N em componentes horizontal e vertical Aplicar as equações de equilíbrio da estática O operador aplica uma força no pedal sabendo que a deformação da mola é de 50 mm e a força exercida na haste em B é de 150 N determine as reações no apoio e o valor da força F Dado k 400 Nm B x A y 56569 B y 56569 Ax A y 150 20 26 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância A haste da figura é conectada a um pino em A e apoiada em um apoio liso em B Determine as componentes da reação em A Ax A y 60 RB B x B y 27 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 4 EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO TRIDIMENSIONAL Objetivo Desenvolver as equações de equilíbrio para um corpo rígido Introduzir o conceito do diagrama de corpo livre para um corpo rígido Mostrar como resolver problemas de equilíbrio de corpo rígido usando as equações de equilíbrio Matematicamente o equilíbrio de um corpo é expresso como Essas duas equações não são apenas necessárias para o equilíbrio elas são também suficientes Na forma vetorial teremos 41 EQUILÍBRIO EM TRÊS DIMENSÕES As forças reativas e os momentos que atuam em vários tipos de suportes e conexões quando os membros são vistos em três dimensões são apresentados na tabela a seguir Tabela 41 Suportes para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças tridimensionais 28 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 29 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância É importante reconhecer os símbolos usados para representar cada um desses vínculos e entender claramente como as forças e os momentos devem ser representados nos diagramas de corpo livre Exemplos 30 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Exemplos A placa homogênea apresentada na figura tem massa de 100 kg ela está apoiada por um rolete em A uma junta esférica em B e um cabo em C determine as reações nos apoios e a força no cabo 31 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Através da massa e aceleração da gravidade calculamos a força peso Desenhase o diagrama de corpo livre adotando os eixos cartesianos xyz Colocase os pontos onde se localizam os vínculos e as forças identificamse os pontos com letras O peso 981N deve ser colocado no centro de gravidade no meio da placa neste caso A seguir identificamse os vínculos e desenhase as forças reativas e é dado um nome geralmente em relação ao ponto que contem a força e a direção do eixo cartesiano Exemplo Az 32 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Temos mais incógnitas do que equações então precisamos utilizar a 2ª condição 33 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine as reações na junta esférica em A no mancal radial simples em B e no rolete em C Temos mais incógnitas do que equações então precisamos utilizar a 2ª condição 34 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância O vaso da figura tem peso de 400 N determine as reações na junta esférica em O e as trações nos cabos AC e AB 35 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Temos mais incógnitas do que equações então precisamos utilizar a 2ª condição 36 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 5 ANÁLISE ESTRUTURAL Objetivo Mostrar como determinar forças em membros de treliças planas usando o método dos nós Analisar as forças que atuam em estruturas compostas por membros conectados por pinos 51 TRELIÇA SIMPLES Treliça é uma estrutura de membros esbeltos conectados entre si em suas extremidades Os membros normalmente usados em construções consistem de escoras de madeira ou barras de metal A treliça mostrada na figura é um exemplo típico de treliça de telhado Como os esforços atuam no plano da treliça as análises das forças desenvolvidas nos membros da treliça serão bidimensionais Neste exemplo como temos duas treliças nas extremidades do telhado as forças serão divididas pelas duas No caso de uma ponte o peso no tabuleiro é primeiro transmitido para as longarinas depois para as vigas de piso e finalmente para os nós das duas treliças laterais Desta forma a carga aplicada na ponte é dividida pelo número de vigas de piso e dividida pelas duas treliças 37 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Assim como no telhado as análises das forças desenvolvidas nos membros da ponte serão bidimensionais Para projetar os membros e as conexões de uma treliça é necessário primeiro determinar a força desenvolvida em cada membro quando a treliça está sujeita a um determinado carregamento Para isso faremos duas hipóteses importantes Todas as cargas são aplicadas nos nós Os membros são unidos por pinos lisos Sendo n o número de NÓS e b o número de barras no plano uma treliça simples obedece a relação 2 n b 3 Devido a estas duas hipóteses cada membro de treliça agirá como um membro de duas forças e portanto a força atuando em cada extremidade do membro será direcionada ao longo do eixo do membro Estas forças podem ser de TRAÇÃO ou COMPRESSÃO 38 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Se três membros são conectados por pinos em suas extremidades eles formam uma treliça triangular que será rígida Para cada novo NÓ dois novos membros são adicionados a treliça e formam uma treliça maior 52 O MÉTODO DOS NÓS Para analisar ou projetar uma treliça é necessário determinar a força em cada um de seus membros Uma maneira de fazer isso é usar o Método dos NÓS Como os membros de uma treliça plana são membros de duas forças retos situados em um único plano cada NÓ está sujeito a um sistema de forças que é coplanar e concorrente Antes de começar o cálculo dos membros da treliça esta deve ser analisada como um único sólido e calculadas as reações vinculares utilizando as equações de equilíbrio 39 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Ao usar o método dos NÓS sempre comece em um NÓ que tenha pelo menos uma força conhecida Desse modo a aplicação de ΣFx 0 e ΣFy 0 produz duas equações algébricas que podem ser resolvidas para as incógnitas Sempre considere que as forças do membro incógnito que atuam no diagrama de corpo livre do NÓ estão sob TRAÇÃO Dessa maneira a solução numérica das equações de equilíbrio produzirá escalares positivos para os membros sob TRAÇÃO e escalares negativos para os membros sob COMPRESSÃO Uma vez que uma força de membro incógnito é encontrada use sua intensidade e sentido corretos T ou C no diagrama de corpo livre do NÓ subsequente lembrese de que um membro sob compressão empurra o nó e um membro sob tração puxa o nó Além disso certifiquese de escolher um nó que tenha pelo menos uma força conhecida e no máximo duas forças desconhecidas Usando os resultados calculados continue a analisar cada um dos outros nós Em uma treliça com n NÓS para determinação das forças em todos os membros o método será usada n 1 vezes Os membros de força zero são usados para aumentar a estabilidade da treliça durante a construção e para fornecer um apoio adicional se o carregamento for alterado 40 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Exemplos Determine todas as forças que atuam na treliça da figura utilize o método dos NÓS Determine as forças que atuam na treliça da figura utilize o método dos NÓS 41 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Dado o DCL determine as forças que atuam na treliça da figura todas as barras tem comprimento de 4m utilize o método dos NÓS 42 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância EXERCÍCIO PROPOSTO Determine todas as forças que atuam na treliça da figura utilize o método dos NÓS 43 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 6 CENTRO DE GRAVIDADE Objetivo Discutir o conceito do centro de gravidade centro de massa e o centroide Mostrar como determinar o local do centro de gravidade e centroide para um sistema de partículas discretas e um corpo de forma arbitrária Conceito Representa o centro geométrico de um corpo unidimensional linha bidimensional área ou tridimensional volume Um corpo é composto de uma série infinita de partículas de tamanho diferenciado e assim se o corpo estiver localizado dentro de um campo gravitacional então cada uma das partículas terá um peso dW Esses pesos formarão um sistema de forças aproximadamente paralelas e o resultante desse sistema é o peso total do corpo que passa por um único ponto chamado centro de gravidade G Imagine que o corpo está fixo dentro do sistema de coordenadas e esse sistema é girado em 90 em torno do eixo y 44 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Portanto o local do centro de gravidade G com relação aos eixos x y z tornase 61 CENTRO DE MASSA DE UM CORPO Para estudar a resposta dinâmica ou movimento acelerado de um corpo é importante localizar o centro de massa Cm do corpo Esse local pode ser determinado substituindo dW g dm nas equações mostradas anteriormente Como g é constante ele é removido e portanto 45 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 62 CENTROIDE DE UM VOLUME Se o corpo é composto de um material homogêneo então sua densidade ρ rho será constante Portanto um elemento diferencial de volume dV tem uma massa dm ρ dV Substituindo isso nas equações anteriormente apresentadas e removendo ρ obtemos fórmulas que localizam o centroide C ou centro geométrico do corpo 63 CENTROIDE DE UMA LINHA Se um segmento de linha ou vara se encontra dentro do plano xy e pode ser descrito por uma linha curva y f x conforme a figura então seu centroide é determinado a partir de 64 CENTROIDE DE UMA ÁREA Nomenclatura utilizada Hibbeler Estática 𝐴 𝑜𝑢 𝑆 Área da Seção Transversal 𝐺 𝐶𝐺 𝑜𝑢 𝐶 Centro de Gravidade Baricentro Centroide 𝑥 𝑦 Eixos Quaisquer 46 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 𝑥 𝑦 𝑜𝑢 𝑥𝐺 𝑦𝐺 Eixos Baricêntricos 𝑥 𝑦 Coordenadas do Baricentro 𝑄 Momento Estático Sendo uma área A situada no plano xy se 𝑥 e 𝑦 forem coordenadas de um elemento de área dA definimos o Momento Estático Q de área A como Dependendo da posição dos eixos referenciais as integrais podem ser positivas negativas ou nulas Os Momentos Estáticos são normalmente expressos em m3 ou mm3 no SI Sistema Internacional de Unidades O centroide de área A é definido como ponto G de coordenadas 𝑥 e 𝑦 que satisfazem as relações Comparando estas equações com as anteriores percebemos que os Momentos Estáticos de Área podem ser expressos por Se uma área se encontra no plano xy e está ligada pela curva y fx como mostra a figura então seu centroide estará nesse plano e pode ser determinado por 47 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Por exemplo se uma faixa vertical for usada a área do elemento é dA y dx e seu centroide está localizado em 𝑥 𝑥 e 𝑦 𝑦2 Se considerarmos uma faixa horizontal então dA x dy e seu centroide está localizado em 𝑥 𝑥2 e 𝑦 𝑦 O centroide representa o centro geométrico de um corpo Esse ponto coincide com o centro de massa ou centro de gravidade somente se o material compondo o corpo for uniforme ou homogêneo As fórmulas usadas para localizar o centro de gravidade ou o centroide simplesmente representam um equilíbrio entre a soma dos momentos de todas as partes do sistema e o momento do resultante para o sistema Em alguns casos o centroide está localizado em um ponto que não está no objeto como no caso de um anel onde o centroide está no seu centro FIGURA A Além disso esse ponto estará em qualquer eixo de simetria para o corpo FIGURA B 48 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Seção Transversal é a figura gerada pelo corte de uma barra viga ou elemento estrutural 65 CORPOS COMPOSTOS Um corpo composto consiste de uma série de corpos de formas mais simples conectados que podem ser retangulares triangulares semicirculares etc Tal corpo normalmente pode ser seccionado ou dividido em suas partes componentes e ao invés da solução integral considerando infinitésimos podemos considerar um número finito de partes desde que sabida a posição de cada centroide e as propriedades do corpo podemos então eliminar a necessidade de integração para determinar o centro de gravidade para o corpo inteiro O resultado são as equações Sendo i nº de corpos componentes i 123n 49 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 66 PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE DE CORPOS COMPOSTOS Usando um esboço divida o corpo ou objeto em um número finito de partes compostas que possuem formas mais simples Se um corpo composto tem um furo ou uma região geométrica sem material então considere o corpo composto sem o furo e considere o furo como uma parte composta adicional de peso ou dimensão negativos Estabeleça os eixos de coordenadas no esboço e determine as coordenadas 𝑥 𝑒 𝑦 do centro de gravidade ou centroide de cada parte Determine 𝑥 𝑒 𝑦 aplicando as equações de centro de gravidade ou as equações de centroide correspondentes Se um objeto é simétrico em relação ao eixo o centroide do objeto se encontra nesse eixo 67 BARICENTRO DE FIGURAS BÁSICAS 50 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Com os valores encontrados é possível posicionar o baricentro Exemplos Determine as coordenadas do centro de gravidade da figura composta Obs Segundo a ABNT as cotas em mm dispensam a colocação de unidade 51 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine as coordenadas do centro de gravidade da figura composta 52 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine as coordenadas do centro de gravidade da figura composta 53 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine as coordenadas do centro de gravidade da figura composta Exercício Proposto Determine as coordenadas do centro de gravidade da figura composta 54 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 7 MOMENTOS DE INÉRCIA Objetivo Desenvolver um método para determinar o momento de inércia de uma área Conceito Momento de Inércia de Área medida da resistência à flexão de uma viga característica que tem enorme influência na rigidez de uma estrutura Momento de Inércia de Massa medida da inércia resistência ao movimento de rotação de um corpo sólido Sempre que uma carga distribuída atua perpendicularmente a uma área e sua intensidade varia linearmente o cálculo do momento da distribuição de carga em relação a um eixo envolverá uma quantidade chamada momento de inércia de área Por exemplo Nomenclatura utilizada Hibbeler Estática 𝐴 𝑜𝑢 𝑆 Área da Seção Transversal 𝐺 𝐶𝐺 𝑜𝑢 𝐶 Centro de Gravidade Baricentro Centroide 𝑥 𝑦 Eixos Quaisquer 𝑥 𝑦 𝑜𝑢 𝑥𝐺 𝑦𝐺 Eixos Baricêntricos 𝑥 𝑦 Coordenadas do Baricentro 𝐼𝑥 𝐼𝑦 Momentos de Inércia dos Eixos Quaisquer 𝐼𝑥 𝐼𝑦 Momentos de Inércia dos Eixos Baricêntricos 𝑘 𝑜𝑢 𝑟𝑔 Raio de Giração 55 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Por definição os momentos de inércia de uma área diferencial dA em relação aos eixos x e y são dIx y2 dA e dIy x2 dA Para a área inteira A os momentos de inércia são determinados por integração 71 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS STEINER O momento de inércia para uma área em torno de um eixo é igual ao seu momento de inércia em torno de um eixo paralelo passando pelo centroide da área mais o produto da área pelo quadrado da distância perpendicular entre os eixos 56 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 72 RAIO DE GIRAÇÃO K OU RG O raio de giração de uma área em torno de um eixo tem unidades de comprimento e é uma característica usada para cálculo de estabilidade de colunas flambagem pois quantifica uma razão entre inércia e área 73 MOMENTOS DE INÉRCIA DE FIGURAS BÁSICAS 57 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 61 MOMENTOS DE INÉRCIA DE FIGURAS COMPOSTAS Figuras compostas aquelas que podem ser divididas em formas básicas retângulos triângulos semicírculos Conhecendose o momento de inércia das diferentes figuras em relação a um eixo comum o momento de inércia da área total é a soma algébrica dos momentos de inércia das partes Para os Eixos Baricêntricos teremos Sendo i nº de figuras componentes i 123n Exemplos Determine os momentos de inércia da figura composta em relação aos eixos Baricêntricos Com os valores encontrados é possível posicionar o baricentro 58 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine os momentos de inércia da figura composta em relação aos eixos Baricêntricos 59 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine os momentos de inércia da figura composta em relação aos eixos Baricêntricos 60 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância OBS Em relação ao semicírculo é preciso verificar a posição dos eixos Baricêntricos para poder definir a equação do momento de inércia a ser utilizado Determine os momentos de inércia da figura composta em relação aos eixos Baricêntricos 61 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 62 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Exercícios Propostos Determine os momentos de inércia da figura composta em relação aos eixos Baricêntricos Determine os momentos de inércia da figura composta em relação aos eixos Baricêntricos 63 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 8 PRODUTO DE INÉRCIA Objetivo Desenvolver um método para determinar o Produto de Inércia de uma área Conceito Também chamado de momento centrífugo é importante para a determinação dos Momentos de Inércia Máximo e Mínimo de uma área os quais permitem o cálculo estrutural O produto de inércia da área da figura em relação aos eixos x e y é definido como Assim como o momento de inércia o produto de inércia tem unidades de comprimento elevadas à quarta potência por exemplo m4 ou mm4 Aqui cada elemento dA localizado no ponto xy tem um elemento correspondente dA localizado em xy 64 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Dependendo do sinal de x e y o produto de inércia pode ser positivo negativo ou zero Para figuras que possuem simetria no eixo x ou no eixo y ou em ambos Ixy 0 81 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS STEINER 65 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 82 PRODUTOS DE INÉRCIA DE FIGURAS BÁSICAS Sinal dos Produtos de Inércia em relação aos eixos Baricêntricos para triângulo e quarto de círculo 66 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Figuras que possuem simetria no eixo x ou no eixo y ou em ambos possuem 𝐼𝑥𝑦 0 83 PRODUTOS DE INÉRCIA DE FIGURAS COMPOSTAS Figuras compostas aquelas que podem ser divididas em formas básicas retângulos triângulos semicírculos Conhecendose o produto de inércia das diferentes figuras em relação a um eixo comum o produto de inércia da área total é a soma algébrica dos produtos de inércia das partes Para os Eixos Baricêntricos teremos Lembrando que é muito importante que os sinais algébricos para 𝑥 e 𝑦 sejam mantidos ao se aplicar essa equação Exemplos Determine o produto de inércia da figura composta em relação aos eixos Baricêntricos 67 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine o produto de inércia da figura composta em relação aos eixos Baricêntricos 68 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine o produto de inércia da figura composta em relação aos eixos Baricêntricos 69 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine o produto de inércia da figura composta em relação aos eixos Baricêntricos 70 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 9 EIXOS CENTRAIS DE INÉRCIA 91 MOMENTOS DE INÉRCIA PARA UMA ÁREA EM RELAÇÃO A EIXOS INCLINADOS Em projeto estrutural ou mecânico às vezes é necessário calcular os momentos e o produto de inércia Iu Iv e Iuv para uma área em relação a um conjunto de eixos inclinados u e v quando os valores para θ Ix Iy e Ixy são conhecidos Para fazer isso usaremos equações de transformação que se relacionam às coordenadas x y e u v u x cos θ y sen θ e v y cos θ x sen θ Desta forma teremos EXEMPLO Determine o momento de inércia da figura em relação ao eixo A 71 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância O momento de inércia é variável em função de θ atingindo um valor máximo I1 e mínimo I2 para θ1 e θ2 respectivamente Desta forma os valores dos momentos de inércia I1 e I2 e a posição em relação ao eixo baricêntrico 𝑥 são calculados da seguinte forma 72 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Relações importantes EXEMPLOS Determine os eixos centrais de inércia θ1 e θ2 73 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 74 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 75 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Exercício Proposto Determine os eixos centrais de inércia θ1 e θ2 Este material foi criado utilizando a bibliografia abaixo BEER FP JOHNSTON JR ER MAZUREK DF e EISENBERG ER Mecânica Vetorial para Engenheiros Estática 9ª Ed São Paulo McGrawHill 2012 HIBBELER RC Estática Mecânica para Engenharia 12ª ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2011 MERIAM JL e KRAIGE LG Mecânica para Engenharia Estática 7ª ed Rio de Janeiro LTC Livros Técnicos e Científicos 2016 76 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Espero que este material incentive e sirva de inspiração aos usuários para que busquem novas pesquisas relacionadas a Mecânica Geral e suas ferramentas Sucesso a todos Fernando Marques
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MECÂNICA GERAL Me Fernando Marques GUIA DA DISCIPLINA 2022 1 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância INTRODUÇÃO Mecânica Geral popularmente conhecida com Mec Gê faz parte de um grupo de disciplinas básicas necessárias para todos os cursos de Engenharia esta disciplina visa fornecer aos alunos conhecimentos cos na área de Estática Cada capítulo apresentado nesta disciplina retrata de forma clara e objetiva o conteúdo necessário para o bom desenvolvimento do aluno e o conhecimento específico para outras disciplinas da Engenharia Ao final do semestre os alunos devem ser capazes de analisar e resolver problemas envolvendo Estática de sólidos ideais além de estabelecer relações entre as leis físicas estudadas e suas aplicações OBJETIVO O objetivo da disciplina será o de preparar alunos para analisar e resolver problemas envolvendo estática de sólidos ideais e sistemas e também empregar raciocínio crítico ao selecionar e avaliar informações obtidas em contextos complexos e comunicar métodos usados e resultados obtidos Espero ao longo deste período despertar o interesse por este universo tão interessante e importante na carreira dos que pretendem assim como eu se apaixonar pela engenharia Sucesso e um maravilhoso e pleno curso a todos Prof Fernando Marques 2 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 1 EQUILÍBRIO DE FORÇAS Objetivo Mostrar como resolver problemas de equilíbrio em um sistema de forças usando as equações de equilíbrio introduzir o conceito do Diagrama de Corpo Livre DCL e resolver problemas contendo forças coplanares forças tridimensionais e molas 11 VETOR FORÇA O vetor força pode ser definido de algumas formas Força Peso P m g sendo g 981 ms2 Força Coplanar Bidimensional Força Tridimensional 𝐹 𝐹𝑥𝑖 𝐹𝑦𝑗 𝐹𝑧𝑘𝑁 Para determinar as projeções do vetor deve ser utilizada a seguinte expressão Coordenadas do Vetor Módulo da Força Módulo do Vetor 3 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 12 COORDENADAS CARTESIANAS OU RETANGULARES Coordenadas x y z Versores Unitários 𝑖 𝑗 𝑘 13 TRIGONOMETRIA 14 EQUILÍBRIO DE UM SISTEMA Condição para equilíbrio de um sistema para manter o equilíbrio é necessário satisfazer a primeira lei do movimento de Newton 𝑭 𝟎 onde ΣF é a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre o sistema é a resultante do sistema 15 MOLAS Uma característica que define a elasticidade de uma mola é a constante da mola ou rigidez k A intensidade da força exercida sobre uma mola linearmente elástica é F k s 4 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 16 CABOS E POLIAS Para qualquer ângulo θ mostrado na figura o cabo está submetido a uma tração constante T ao longo de todo o seu comprimento ou seja a polia não altera o valor da tração apenas muda a sua direção 17 SISTEMAS DE FORÇAS COPLANARES Para que o equilíbrio vetorial seja satisfeito as componentes x e y da força devem ser iguais a zero Portanto 𝛴𝐹𝑥 0 𝛴𝐹𝑦 0 18 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DCL Procedimento Desenhe o contorno do ponto em equilíbrio a ser estudado Desenhe e identifique todas as intensidades e direções das forças conhecidas e desconhecidas no diagrama Estabeleça os eixos X e Y com orientação adequada O sentido de uma força que tenha intensidade desconhecida deve ser adotado Nesse caso é assumido ou adotado que a força incógnita F atua para a direita 5 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 19 ANÁLISE DO SISTEMA COPLANAR Procedimento Aplique as equações de equilíbrio 𝜮𝑭𝒙𝟎 𝒆 𝜮𝑭𝒚𝟎 As componentes serão positivas se forem direcionadas ao longo de um eixo positivo e negativas se forem direcionadas ao longo de um eixo negativo Se existirem mais de duas incógnitas e o problema envolver mola devese aplicar F ks para relacionar a força da mola com a deformações da mola Como a intensidade de uma força é sempre positiva então se a solução produzir um resultado negativo isso indica que o sentido da força é oposto ao mostrado no DCL que foi assumido Todas as respostas serão apresentadas com duas casas depois da vírgula 110 EXEMPLOS FORÇAS COPLANARES O bloco D representado na figura tem massa de 25 kg sabendo que o sistema está em equilíbrio determine as forças nos cabos BA e BC 𝑃 𝑚 𝑔 𝑃 25 981 𝑃 24525 𝑁 Para equilíbrio A carga representado na figura tem massa de 120 kg sabendo que o sistema está em equilíbrio determine as forças nos cabos CA e CB 𝑃 𝑚 𝑔 𝑃 120 981 𝑃 11772 𝑁 6 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Para equilíbrio A mola possui um comprimento de 220 mm sem deformação determine as forças nos cabos BC e BD quando a mola é mantida na posição indicada Para equilíbrio 111 SISTEMAS DE FORÇAS TRIDIMENSIONAIS No caso de um sistema de forças tridimensional como indicado na figura podemos decompor as forças em suas respectivas componentes i j k de modo que 𝜮𝑭𝒙 𝒊 𝜮𝑭𝒚 𝒋 𝜮𝑭𝒛 𝒌 𝟎 Portanto é necessário que 𝛴𝐹𝑥 0 𝛴𝐹𝑦 0 𝛴𝐹𝑧 0 F 7 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 112 ANÁLISE DO SISTEMA TRIDIMENSIONAL Procedimento Aplique as equações de equilíbrio 𝜮𝑭𝒙𝟎 𝜮𝑭𝒚𝟎 𝜮𝑭𝒛𝟎 As componentes serão positivas se forem direcionadas ao longo de um eixo positivo e negativas se forem direcionadas ao longo de um eixo negativo Se existirem mais de duas incógnitas e o problema envolver mola devese aplicar F ks para relacionar a força da mola a deformações da mola Como a intensidade de uma força é sempre positiva então se a solução produzir um resultado negativo isso indica que o sentido da força é oposto ao mostrado no diagrama de corpo livre que foi assumido Todas as respostas serão apresentadas com duas casas depois da vírgula 113 EXEMPLOS FORÇAS TRIDIMENSIONAIS O sistema da figura está em equilíbrio determine as trações nos cabos DA DB e DC Aplicando as equações de equilíbrio Se multiplicar a equação 3 por 3 teremos Σ𝐹Y 0 Σ𝐹Z 0 Σ𝐹X 0 8 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância A carga de 40 kN da figura está em equilíbrio determine a força em cada cabo Substituindo TC em 3 teremos Substituindo TC e TB em 1 teremos Aplicando as equações de equilíbrio Σ𝐹X 0 Σ𝐹Y 0 Σ𝐹Z 0 9 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 2 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FORÇAS Objetivo Mostrar como resolver problemas de equilíbrio em um sistema de forças usando as equações de equilíbrio Discutir o conceito do momento de uma força e mostrar como calculálo em duas e três dimensões Definir o momento de um binário 21 MOMENTO DE UMA FORÇA 211 Formação Escalar Quando uma força é aplicada a um corpo ela produzirá uma tendência de rotação do corpo em torno de um ponto que não está na linha de ação da força Essa tendência de rotação algumas vezes é chamada de torque mas normalmente é denominada momento de uma força ou simplesmente momento A intensidade do momento é MO F d Onde d é o braço do momento ou distância perpendicular do eixo no ponto O até a linha de ação da força A unidade da intensidade do momento consiste em força vezes a distância N m A direção de 𝑀𝑂 é definida pelo seu eixo do momento o qual é perpendicular ao plano que contém a força 𝐹 e seu braço do momento d 10 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância A direção e o sentido do momento são determinados pela regra da mão direita do produto vetorial Desta forma para o Momento Escalar se a tendência de rotação for horária momento negativo e antihorária momento positivo Exemplos 11 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância O momento resultante do sistema é dado por 𝑀𝑂 𝑀1 𝑀2 𝑀3 𝑀𝑂 𝐹1 𝑑1 𝐹2 𝑑2 𝐹3 𝑑3 Para os problemas bidimensionais 𝑀𝑂 𝐹𝑥 𝑦 𝐹𝑦 𝑥 Exemplos Determine o momento das forças aplicadas na figura em relação ao ponto O Determine o momento da força aplicada na figura em relação ao ponto O 12 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 212 Formação Vetorial Se estabelecermos os eixos coordenados X Y e Z então o vetor posição 𝑟 e a força 𝐹 podem ser expressos como vetores cartesianos Pelo princípio da transmissibilidade podemos usar qualquer vetor posição 𝑟 medido do ponto O a qualquer ponto sobre a linha de ação da força 𝐹 Desta forma 13 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância O momento resultante do sistema é dado por 213 Produto Vetorial É o produto entre dois vetores exemplo 𝐶 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴𝑥 𝑖 𝐴𝑦 𝑗 𝐴𝑧 𝑘 𝐵𝑥 𝑖 𝐵𝑦 𝑗 𝐵𝑧 𝑘 Solução Solução 1 Matriz Determinante 𝐶 𝐴 𝐵 𝑖 𝑗 𝑘 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐴𝑧 𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧 2 Pela calculadora HP 3 Regra dos Versores A propriedade comutativa não é válida ou seja 14 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 Em vez disso 𝐴 𝐵 𝐵 𝐴 O momento de uma força cria a tendência de um corpo girar em torno de um eixo passando por um ponto específico O Usando a regra da mão direita o sentido da rotação é indicado pela curva dos dedos e o polegar é direcionado ao longo do eixo do momento ou linha de ação do momento A intensidade do momento é determinada através de MO F d onde d é chamado o braço do momento que representa a distância perpendicular ou mais curta do ponto O à linha de ação da força Em três dimensões o produto vetorial é usado para determinar o momento 𝑀𝑂 𝑟 𝐹 sendo que 𝑟 está direcionado do ponto O a qualquer ponto sobre a linha de ação de 𝐹 O princípio dos momentos afirma que o momento de uma força em relação a um ponto é igual à soma dos momentos das componentes da força em relação ao mesmo ponto Exemplos Determine o momento da força aplicada na árvore pelo trator em relação a O 15 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine o momento das forças aplicadas na figura em relação ao ponto O sendo 𝐹1 260 𝑖 140 𝑗 120𝑘 𝑘𝑁 𝑒 𝐹2 80 𝑖 140 𝑗 230𝑘 𝑘𝑁 Determine a resultante das forças aplicadas na figura e o momento em relação ao ponto O 21 MOMENTO DE UM BINÁRIO Um binário é definido como duas forças paralelas que têm a mesma intensidade porém direções opostas e são separadas por uma distância perpendicular d A resultante de um binário é nula portanto o único efeito de um binário é produzir rotação ou tendência de rotação em determinada direção 16 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Formulação escalar O momento de um binário M é definido como tendo uma intensidade M F d Formulação vetorial O momento de um binário também pode ser expresso pelo produto vetorial Dois binários são equivalentes quando produzem momentos equivalentes Um momento de binário é produzido por duas forças não colineares que são iguais em intensidade mas com direções opostas Seu efeito é produzir rotação pura ou tendência de rotação em uma direção específica Um momento de binário é um vetor livre e consequentemente causa o mesmo efeito rotacional em um corpo independentemente de onde o momento de binário é aplicado ao corpo O momento das duas forças de binário pode ser determinado em relação a qualquer ponto Por conveniência esse ponto normalmente é escolhido na linha de ação de uma das forças a fim de eliminar o momento dessa força em relação ao ponto Em três dimensões o momento de binário é determinado usando a formulação vetorial 𝑀 𝑟 𝐹 onde 𝑟 é direcionado a partir de qualquer ponto sobre a linha de ação de uma das forças até qualquer ponto sobre a linha de ação da outra força 𝐹 Um momento de binário resultante é simplesmente a soma vetorial de todos os momentos de binário do sistema 17 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Exemplos A chave da figura está sujeita a um momento de 3 Nm determine o valor de cada força F e de cada força P A ação da furadeira sobre a chapa provoca um momento de 10 Nm determine o valor da força provocada nos pontos de fixação se a chapa for fixada em a pontos A e B b pontos A e C Determine o momento de binário resultante na chapa da figura 18 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine o momento de binário em relação ao ponto O da engrenagem Determine o momento de binário agindo sobre o tubo da figura d Na forma escalar Na forma vetorial Pela regra da mão direita o momento é negativo em Y 19 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO BIDIMENSIONAL Objetivo Desenvolver as equações de equilíbrio para um corpo rígido Introduzir o conceito do diagrama de corpo livre para um corpo rígido Mostrar como resolver problemas de equilíbrio de corpo rígido usando as equações de equilíbrio 31 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO Como mostra a figura o corpo está sujeito a um sistema externo de forças e momentos que é o resultado dos efeitos das forças gravitacionais elétricas magnéticas ou de contato causadas pelos corpos adjacentes O sistema de forças e momentos que atuam sobre o corpo podem ser reduzidos a uma força resultante e um momento resultante equivalentes em qualquer ponto O arbitrário dentro ou fora do corpo Se essa força e momento resultantes são ambos iguais a zero então dizemos que o corpo está em equilíbrio 20 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Matematicamente o equilíbrio de um corpo é expresso como Essas duas equações não são apenas necessárias para o equilíbrio elas são também suficientes Na forma vetorial teremos 32 REAÇÕES DE APOIO ou Vínculos Vamos analisar os vários tipos de reações que ocorrem em apoios e pontos de contato entre corpos sujeitos a sistemas de forças coplanares Como regra geral Se um apoio impede a translação de um corpo em uma determinada direção então uma força é desenvolvida no corpo nessa direção Se a rotação é impedida um momento é exercido sobre o corpo Por exemplo vamos considerar três maneiras na qual um membro horizontal como uma viga é apoiado na sua extremidade Um método consiste em um rolete ou cilindro Como esse suporte apenas impede que a viga translade na direção vertical o rolete só exercerá uma força sobre a viga nessa direção Este vínculo é denominado Apoio Simples ou Apoio Móvel 21 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Em outro método a viga pode ser apoiada de uma forma mais restritiva por meio de um pino Este vínculo é denominado Apoio Fixo ou Articulação Simples Aqui o pino pode impedir a translação da viga em qualquer direção ϕ e portanto o pino deve exercer uma força F sobre a viga nessa direção Para fins de análise geralmente é mais fácil representar essa força resultante F por suas componentes retangulares Fx e Fy Outro método usa a maneira mais restritiva de apoiar a viga que seria usar um apoio fixo Esse apoio impedirá tanto a translação quanto a rotação da viga Este vínculo é denominado Engastamento 22 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Para impedir tanto a translação quanto a rotação da viga duas forças e um momento devem ser desenvolvidos sobre a viga em seu ponto de conexão Tabela 31 Suportes para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças bidimensionais 23 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 33 O PESO E O CENTRO DE GRAVIDADE Quando um corpo está dentro de um campo gravitacional cada uma de suas partículas possui um peso específico 24 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Esse sistema de forças pode ser reduzido a uma única força resultante que age em um ponto específico Essa força resultante é chamada de peso P do corpo e a posição de seu ponto de aplicação de centro de gravidade G Exemplos A barra da figura tem massa de 200 kg determine as reações vinculares no engastamento Para solução Colocar a força peso no centro de gravidade da barra Colocar as reações de acordo com o tipo de vínculo Aplicar as equações de equilíbrio da estática A barra da figura tem peso desprezível determine as reações nos vínculos Ax Ay MRA P 45m 25 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Para solução Como não foi informado consideramos a força peso da barra desprezível Colocar as reações de acordo com o tipo de vínculo Decompor a força de 800N em componentes horizontal e vertical Aplicar as equações de equilíbrio da estática O operador aplica uma força no pedal sabendo que a deformação da mola é de 50 mm e a força exercida na haste em B é de 150 N determine as reações no apoio e o valor da força F Dado k 400 Nm B x A y 56569 B y 56569 Ax A y 150 20 26 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância A haste da figura é conectada a um pino em A e apoiada em um apoio liso em B Determine as componentes da reação em A Ax A y 60 RB B x B y 27 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 4 EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO TRIDIMENSIONAL Objetivo Desenvolver as equações de equilíbrio para um corpo rígido Introduzir o conceito do diagrama de corpo livre para um corpo rígido Mostrar como resolver problemas de equilíbrio de corpo rígido usando as equações de equilíbrio Matematicamente o equilíbrio de um corpo é expresso como Essas duas equações não são apenas necessárias para o equilíbrio elas são também suficientes Na forma vetorial teremos 41 EQUILÍBRIO EM TRÊS DIMENSÕES As forças reativas e os momentos que atuam em vários tipos de suportes e conexões quando os membros são vistos em três dimensões são apresentados na tabela a seguir Tabela 41 Suportes para corpos rígidos sujeitos a sistemas de forças tridimensionais 28 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 29 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância É importante reconhecer os símbolos usados para representar cada um desses vínculos e entender claramente como as forças e os momentos devem ser representados nos diagramas de corpo livre Exemplos 30 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Exemplos A placa homogênea apresentada na figura tem massa de 100 kg ela está apoiada por um rolete em A uma junta esférica em B e um cabo em C determine as reações nos apoios e a força no cabo 31 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Através da massa e aceleração da gravidade calculamos a força peso Desenhase o diagrama de corpo livre adotando os eixos cartesianos xyz Colocase os pontos onde se localizam os vínculos e as forças identificamse os pontos com letras O peso 981N deve ser colocado no centro de gravidade no meio da placa neste caso A seguir identificamse os vínculos e desenhase as forças reativas e é dado um nome geralmente em relação ao ponto que contem a força e a direção do eixo cartesiano Exemplo Az 32 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Temos mais incógnitas do que equações então precisamos utilizar a 2ª condição 33 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine as reações na junta esférica em A no mancal radial simples em B e no rolete em C Temos mais incógnitas do que equações então precisamos utilizar a 2ª condição 34 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância O vaso da figura tem peso de 400 N determine as reações na junta esférica em O e as trações nos cabos AC e AB 35 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Temos mais incógnitas do que equações então precisamos utilizar a 2ª condição 36 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 5 ANÁLISE ESTRUTURAL Objetivo Mostrar como determinar forças em membros de treliças planas usando o método dos nós Analisar as forças que atuam em estruturas compostas por membros conectados por pinos 51 TRELIÇA SIMPLES Treliça é uma estrutura de membros esbeltos conectados entre si em suas extremidades Os membros normalmente usados em construções consistem de escoras de madeira ou barras de metal A treliça mostrada na figura é um exemplo típico de treliça de telhado Como os esforços atuam no plano da treliça as análises das forças desenvolvidas nos membros da treliça serão bidimensionais Neste exemplo como temos duas treliças nas extremidades do telhado as forças serão divididas pelas duas No caso de uma ponte o peso no tabuleiro é primeiro transmitido para as longarinas depois para as vigas de piso e finalmente para os nós das duas treliças laterais Desta forma a carga aplicada na ponte é dividida pelo número de vigas de piso e dividida pelas duas treliças 37 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Assim como no telhado as análises das forças desenvolvidas nos membros da ponte serão bidimensionais Para projetar os membros e as conexões de uma treliça é necessário primeiro determinar a força desenvolvida em cada membro quando a treliça está sujeita a um determinado carregamento Para isso faremos duas hipóteses importantes Todas as cargas são aplicadas nos nós Os membros são unidos por pinos lisos Sendo n o número de NÓS e b o número de barras no plano uma treliça simples obedece a relação 2 n b 3 Devido a estas duas hipóteses cada membro de treliça agirá como um membro de duas forças e portanto a força atuando em cada extremidade do membro será direcionada ao longo do eixo do membro Estas forças podem ser de TRAÇÃO ou COMPRESSÃO 38 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Se três membros são conectados por pinos em suas extremidades eles formam uma treliça triangular que será rígida Para cada novo NÓ dois novos membros são adicionados a treliça e formam uma treliça maior 52 O MÉTODO DOS NÓS Para analisar ou projetar uma treliça é necessário determinar a força em cada um de seus membros Uma maneira de fazer isso é usar o Método dos NÓS Como os membros de uma treliça plana são membros de duas forças retos situados em um único plano cada NÓ está sujeito a um sistema de forças que é coplanar e concorrente Antes de começar o cálculo dos membros da treliça esta deve ser analisada como um único sólido e calculadas as reações vinculares utilizando as equações de equilíbrio 39 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Ao usar o método dos NÓS sempre comece em um NÓ que tenha pelo menos uma força conhecida Desse modo a aplicação de ΣFx 0 e ΣFy 0 produz duas equações algébricas que podem ser resolvidas para as incógnitas Sempre considere que as forças do membro incógnito que atuam no diagrama de corpo livre do NÓ estão sob TRAÇÃO Dessa maneira a solução numérica das equações de equilíbrio produzirá escalares positivos para os membros sob TRAÇÃO e escalares negativos para os membros sob COMPRESSÃO Uma vez que uma força de membro incógnito é encontrada use sua intensidade e sentido corretos T ou C no diagrama de corpo livre do NÓ subsequente lembrese de que um membro sob compressão empurra o nó e um membro sob tração puxa o nó Além disso certifiquese de escolher um nó que tenha pelo menos uma força conhecida e no máximo duas forças desconhecidas Usando os resultados calculados continue a analisar cada um dos outros nós Em uma treliça com n NÓS para determinação das forças em todos os membros o método será usada n 1 vezes Os membros de força zero são usados para aumentar a estabilidade da treliça durante a construção e para fornecer um apoio adicional se o carregamento for alterado 40 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Exemplos Determine todas as forças que atuam na treliça da figura utilize o método dos NÓS Determine as forças que atuam na treliça da figura utilize o método dos NÓS 41 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Dado o DCL determine as forças que atuam na treliça da figura todas as barras tem comprimento de 4m utilize o método dos NÓS 42 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância EXERCÍCIO PROPOSTO Determine todas as forças que atuam na treliça da figura utilize o método dos NÓS 43 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 6 CENTRO DE GRAVIDADE Objetivo Discutir o conceito do centro de gravidade centro de massa e o centroide Mostrar como determinar o local do centro de gravidade e centroide para um sistema de partículas discretas e um corpo de forma arbitrária Conceito Representa o centro geométrico de um corpo unidimensional linha bidimensional área ou tridimensional volume Um corpo é composto de uma série infinita de partículas de tamanho diferenciado e assim se o corpo estiver localizado dentro de um campo gravitacional então cada uma das partículas terá um peso dW Esses pesos formarão um sistema de forças aproximadamente paralelas e o resultante desse sistema é o peso total do corpo que passa por um único ponto chamado centro de gravidade G Imagine que o corpo está fixo dentro do sistema de coordenadas e esse sistema é girado em 90 em torno do eixo y 44 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Portanto o local do centro de gravidade G com relação aos eixos x y z tornase 61 CENTRO DE MASSA DE UM CORPO Para estudar a resposta dinâmica ou movimento acelerado de um corpo é importante localizar o centro de massa Cm do corpo Esse local pode ser determinado substituindo dW g dm nas equações mostradas anteriormente Como g é constante ele é removido e portanto 45 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 62 CENTROIDE DE UM VOLUME Se o corpo é composto de um material homogêneo então sua densidade ρ rho será constante Portanto um elemento diferencial de volume dV tem uma massa dm ρ dV Substituindo isso nas equações anteriormente apresentadas e removendo ρ obtemos fórmulas que localizam o centroide C ou centro geométrico do corpo 63 CENTROIDE DE UMA LINHA Se um segmento de linha ou vara se encontra dentro do plano xy e pode ser descrito por uma linha curva y f x conforme a figura então seu centroide é determinado a partir de 64 CENTROIDE DE UMA ÁREA Nomenclatura utilizada Hibbeler Estática 𝐴 𝑜𝑢 𝑆 Área da Seção Transversal 𝐺 𝐶𝐺 𝑜𝑢 𝐶 Centro de Gravidade Baricentro Centroide 𝑥 𝑦 Eixos Quaisquer 46 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 𝑥 𝑦 𝑜𝑢 𝑥𝐺 𝑦𝐺 Eixos Baricêntricos 𝑥 𝑦 Coordenadas do Baricentro 𝑄 Momento Estático Sendo uma área A situada no plano xy se 𝑥 e 𝑦 forem coordenadas de um elemento de área dA definimos o Momento Estático Q de área A como Dependendo da posição dos eixos referenciais as integrais podem ser positivas negativas ou nulas Os Momentos Estáticos são normalmente expressos em m3 ou mm3 no SI Sistema Internacional de Unidades O centroide de área A é definido como ponto G de coordenadas 𝑥 e 𝑦 que satisfazem as relações Comparando estas equações com as anteriores percebemos que os Momentos Estáticos de Área podem ser expressos por Se uma área se encontra no plano xy e está ligada pela curva y fx como mostra a figura então seu centroide estará nesse plano e pode ser determinado por 47 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Por exemplo se uma faixa vertical for usada a área do elemento é dA y dx e seu centroide está localizado em 𝑥 𝑥 e 𝑦 𝑦2 Se considerarmos uma faixa horizontal então dA x dy e seu centroide está localizado em 𝑥 𝑥2 e 𝑦 𝑦 O centroide representa o centro geométrico de um corpo Esse ponto coincide com o centro de massa ou centro de gravidade somente se o material compondo o corpo for uniforme ou homogêneo As fórmulas usadas para localizar o centro de gravidade ou o centroide simplesmente representam um equilíbrio entre a soma dos momentos de todas as partes do sistema e o momento do resultante para o sistema Em alguns casos o centroide está localizado em um ponto que não está no objeto como no caso de um anel onde o centroide está no seu centro FIGURA A Além disso esse ponto estará em qualquer eixo de simetria para o corpo FIGURA B 48 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Seção Transversal é a figura gerada pelo corte de uma barra viga ou elemento estrutural 65 CORPOS COMPOSTOS Um corpo composto consiste de uma série de corpos de formas mais simples conectados que podem ser retangulares triangulares semicirculares etc Tal corpo normalmente pode ser seccionado ou dividido em suas partes componentes e ao invés da solução integral considerando infinitésimos podemos considerar um número finito de partes desde que sabida a posição de cada centroide e as propriedades do corpo podemos então eliminar a necessidade de integração para determinar o centro de gravidade para o corpo inteiro O resultado são as equações Sendo i nº de corpos componentes i 123n 49 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 66 PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE DE CORPOS COMPOSTOS Usando um esboço divida o corpo ou objeto em um número finito de partes compostas que possuem formas mais simples Se um corpo composto tem um furo ou uma região geométrica sem material então considere o corpo composto sem o furo e considere o furo como uma parte composta adicional de peso ou dimensão negativos Estabeleça os eixos de coordenadas no esboço e determine as coordenadas 𝑥 𝑒 𝑦 do centro de gravidade ou centroide de cada parte Determine 𝑥 𝑒 𝑦 aplicando as equações de centro de gravidade ou as equações de centroide correspondentes Se um objeto é simétrico em relação ao eixo o centroide do objeto se encontra nesse eixo 67 BARICENTRO DE FIGURAS BÁSICAS 50 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Com os valores encontrados é possível posicionar o baricentro Exemplos Determine as coordenadas do centro de gravidade da figura composta Obs Segundo a ABNT as cotas em mm dispensam a colocação de unidade 51 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine as coordenadas do centro de gravidade da figura composta 52 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine as coordenadas do centro de gravidade da figura composta 53 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine as coordenadas do centro de gravidade da figura composta Exercício Proposto Determine as coordenadas do centro de gravidade da figura composta 54 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 7 MOMENTOS DE INÉRCIA Objetivo Desenvolver um método para determinar o momento de inércia de uma área Conceito Momento de Inércia de Área medida da resistência à flexão de uma viga característica que tem enorme influência na rigidez de uma estrutura Momento de Inércia de Massa medida da inércia resistência ao movimento de rotação de um corpo sólido Sempre que uma carga distribuída atua perpendicularmente a uma área e sua intensidade varia linearmente o cálculo do momento da distribuição de carga em relação a um eixo envolverá uma quantidade chamada momento de inércia de área Por exemplo Nomenclatura utilizada Hibbeler Estática 𝐴 𝑜𝑢 𝑆 Área da Seção Transversal 𝐺 𝐶𝐺 𝑜𝑢 𝐶 Centro de Gravidade Baricentro Centroide 𝑥 𝑦 Eixos Quaisquer 𝑥 𝑦 𝑜𝑢 𝑥𝐺 𝑦𝐺 Eixos Baricêntricos 𝑥 𝑦 Coordenadas do Baricentro 𝐼𝑥 𝐼𝑦 Momentos de Inércia dos Eixos Quaisquer 𝐼𝑥 𝐼𝑦 Momentos de Inércia dos Eixos Baricêntricos 𝑘 𝑜𝑢 𝑟𝑔 Raio de Giração 55 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Por definição os momentos de inércia de uma área diferencial dA em relação aos eixos x e y são dIx y2 dA e dIy x2 dA Para a área inteira A os momentos de inércia são determinados por integração 71 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS STEINER O momento de inércia para uma área em torno de um eixo é igual ao seu momento de inércia em torno de um eixo paralelo passando pelo centroide da área mais o produto da área pelo quadrado da distância perpendicular entre os eixos 56 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 72 RAIO DE GIRAÇÃO K OU RG O raio de giração de uma área em torno de um eixo tem unidades de comprimento e é uma característica usada para cálculo de estabilidade de colunas flambagem pois quantifica uma razão entre inércia e área 73 MOMENTOS DE INÉRCIA DE FIGURAS BÁSICAS 57 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 61 MOMENTOS DE INÉRCIA DE FIGURAS COMPOSTAS Figuras compostas aquelas que podem ser divididas em formas básicas retângulos triângulos semicírculos Conhecendose o momento de inércia das diferentes figuras em relação a um eixo comum o momento de inércia da área total é a soma algébrica dos momentos de inércia das partes Para os Eixos Baricêntricos teremos Sendo i nº de figuras componentes i 123n Exemplos Determine os momentos de inércia da figura composta em relação aos eixos Baricêntricos Com os valores encontrados é possível posicionar o baricentro 58 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine os momentos de inércia da figura composta em relação aos eixos Baricêntricos 59 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine os momentos de inércia da figura composta em relação aos eixos Baricêntricos 60 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância OBS Em relação ao semicírculo é preciso verificar a posição dos eixos Baricêntricos para poder definir a equação do momento de inércia a ser utilizado Determine os momentos de inércia da figura composta em relação aos eixos Baricêntricos 61 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 62 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Exercícios Propostos Determine os momentos de inércia da figura composta em relação aos eixos Baricêntricos Determine os momentos de inércia da figura composta em relação aos eixos Baricêntricos 63 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 8 PRODUTO DE INÉRCIA Objetivo Desenvolver um método para determinar o Produto de Inércia de uma área Conceito Também chamado de momento centrífugo é importante para a determinação dos Momentos de Inércia Máximo e Mínimo de uma área os quais permitem o cálculo estrutural O produto de inércia da área da figura em relação aos eixos x e y é definido como Assim como o momento de inércia o produto de inércia tem unidades de comprimento elevadas à quarta potência por exemplo m4 ou mm4 Aqui cada elemento dA localizado no ponto xy tem um elemento correspondente dA localizado em xy 64 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Dependendo do sinal de x e y o produto de inércia pode ser positivo negativo ou zero Para figuras que possuem simetria no eixo x ou no eixo y ou em ambos Ixy 0 81 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS STEINER 65 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 82 PRODUTOS DE INÉRCIA DE FIGURAS BÁSICAS Sinal dos Produtos de Inércia em relação aos eixos Baricêntricos para triângulo e quarto de círculo 66 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Figuras que possuem simetria no eixo x ou no eixo y ou em ambos possuem 𝐼𝑥𝑦 0 83 PRODUTOS DE INÉRCIA DE FIGURAS COMPOSTAS Figuras compostas aquelas que podem ser divididas em formas básicas retângulos triângulos semicírculos Conhecendose o produto de inércia das diferentes figuras em relação a um eixo comum o produto de inércia da área total é a soma algébrica dos produtos de inércia das partes Para os Eixos Baricêntricos teremos Lembrando que é muito importante que os sinais algébricos para 𝑥 e 𝑦 sejam mantidos ao se aplicar essa equação Exemplos Determine o produto de inércia da figura composta em relação aos eixos Baricêntricos 67 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine o produto de inércia da figura composta em relação aos eixos Baricêntricos 68 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine o produto de inércia da figura composta em relação aos eixos Baricêntricos 69 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Determine o produto de inércia da figura composta em relação aos eixos Baricêntricos 70 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 9 EIXOS CENTRAIS DE INÉRCIA 91 MOMENTOS DE INÉRCIA PARA UMA ÁREA EM RELAÇÃO A EIXOS INCLINADOS Em projeto estrutural ou mecânico às vezes é necessário calcular os momentos e o produto de inércia Iu Iv e Iuv para uma área em relação a um conjunto de eixos inclinados u e v quando os valores para θ Ix Iy e Ixy são conhecidos Para fazer isso usaremos equações de transformação que se relacionam às coordenadas x y e u v u x cos θ y sen θ e v y cos θ x sen θ Desta forma teremos EXEMPLO Determine o momento de inércia da figura em relação ao eixo A 71 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância O momento de inércia é variável em função de θ atingindo um valor máximo I1 e mínimo I2 para θ1 e θ2 respectivamente Desta forma os valores dos momentos de inércia I1 e I2 e a posição em relação ao eixo baricêntrico 𝑥 são calculados da seguinte forma 72 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Relações importantes EXEMPLOS Determine os eixos centrais de inércia θ1 e θ2 73 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 74 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância 75 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Exercício Proposto Determine os eixos centrais de inércia θ1 e θ2 Este material foi criado utilizando a bibliografia abaixo BEER FP JOHNSTON JR ER MAZUREK DF e EISENBERG ER Mecânica Vetorial para Engenheiros Estática 9ª Ed São Paulo McGrawHill 2012 HIBBELER RC Estática Mecânica para Engenharia 12ª ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2011 MERIAM JL e KRAIGE LG Mecânica para Engenharia Estática 7ª ed Rio de Janeiro LTC Livros Técnicos e Científicos 2016 76 Mecânica Geral Universidade Santa Cecília Educação a Distância Espero que este material incentive e sirva de inspiração aos usuários para que busquem novas pesquisas relacionadas a Mecânica Geral e suas ferramentas Sucesso a todos Fernando Marques