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Engenharia de Produção ·
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U N I D A D E 5 C Á L C U L O N U M É R I C O INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 1 Cristian Reis da Luz AUTOR Reforçamos mais uma vez que o cálculo numérico é uma disciplina da matemática que lida com a aplicação de métodos numéricos para resolver problemas matemáticos Esses métodos envolvem a utilização de técnicas de aproximação e arredondamento para obter soluções aproximadas de equações integrais e outras funções matemáticas É uma disciplina fundamental em muitas áreas da ciência incluindo engenharia física química e ciência da computação Alguns dos tópicos mais comuns em cálculo numérico e que estudaremos ao longo do curso são 1 Solução de equações algébricas e transcendentes o processo de encontrar soluções numéricas para equações matemáticas Isso pode ser feito usando técnicas como o método da bisseção e método das cordas 2 Interpolação o processo de estimar o valor de uma função em um ponto a partir de dados discretos Isso pode ser feito usando técnicas Este curso ofereça o aprendizado sobre Interpolação linear Interpolação quadrática e Interpolação de Lagrange 3 Integração numérica o processo de aproximar integrais de funções a partir de dados discretos Isso pode ser feito usando técnicas como diferenças finitas regra do trapézio e regras de Simpson Na Unidade anterior tratamos da teoria em torno da Interpolação e agora é hora de avançarmos com os cálculos Ressaltamos mais uma vez que queremos que no final deste curso você estudante de engenharia tenha embasamento para resolução de problemas complexos na área de engenharia conheça os métodos de cálculo numérico a fim de que você possa solucionar problemas matemáticos Além disso esperamos que você motive à pesquisa e ao estudo relacionado com a disciplina APRESENTAÇÃO 01 Objetivo da unidade Desenvolver habilidades de resolução de problemas modelar dados em aplicações práticas e aplicálas Aprender a calcular numericamente o valor de uma integral quando a solução analítica não é possível ou muito difícil de obter Entender as propriedades e limitações dos diferentes métodos de integração numérica Saber escolher o método de integração numérica mais adequado para uma determinada função e precisão desejada CONTEÚDO DA UNIDADE Nesta unidade veremos sobre a integração numérica que é uma técnica importante em cálculo numérico que permite estimar o valor de uma integral definida de uma função quando a integral não pode ser calculada analiticamente A integração numérica é amplamente usada em muitos campos incluindo engenharia física finanças e muito mais Estamos na penúltima unidade do módulo 2 e trataremos dos conceitos de Integração numérica e apresentaremos o método dos Trapézios Na última unidade finalizaremos apresentando outros métodos de integração numérica Espero que você aprofunde nos estudos e reforço a você estudante Estou à disposição para ajudálo em qualquer dúvida ou problema que você possa ter ao longo dos estudos APRESENTAÇÃO 02 CONHEÇA O CONTEUDISTA Sou o professor Cristian Reis casado possuo dois filhos e atuo em ações sociais pela Sociedade de São Vicente de Paulo desde criança Mineiro de Belo Horizonte torço pelo Atlético Mineiro e gosto de estar perto da família e dos amigos Como um apaixonado pela Matemática possuo mestrado em Matemática pela Universidade Federal de Ouro Preto 2019 especialização em Matemática Comparada pela ESAB e graduação em MatemáticaLicenciatura pela Universidade Federal de Minas Gerais 2005 Sou técnico em Eletromecânica pelo CEFETMG 2000 Desde 2006 estou em sala de aula e tive também a oportunidade de trabalhar em indústria Atualmente leciono para ensino fundamental médio e superior Minha maior experiência profissional é na área de Matemática com ênfase em Matemática atuando principalmente nos seguintes temas educação matemática tecnologias curvas elípticas Para os cursos superiores desde 2008 minha atuação predominante é na Engenharia Civil e nesse curso já lecionei Introdução ao Cálculo Cálculo Integral e Diferencial I II III e IV Geometria Descritiva Geometria Analítica e Álgebra Linear Estatística e não poderia faltar Cálculo Numérico Vamos embarcar comigo nesse fantástico mundo da Matemática Fraternos abraços Cristian Reis da Luz Cristian Reis da Luz 03 UNIDADE 5 04 Introdução A integração numérica é um tópico importante em muitos cursos superiores incluindo matemática física engenharia computação e ciências aplicadas em geral Em geral o estudo da integração numérica é realizado em disciplinas de cálculo numérico ou análise numérica que são comuns em cursos de engenharia e ciências aplicadas Em cursos de matemática a integração numérica é geralmente abordada como uma técnica para calcular o valor de integrais definidas numericamente Isso inclui o estudo de diferentes métodos de integração numérica como a regra do trapézio e a regra de Simpson além de técnicas mais avançadas como a integração numérica adaptativa e a integração numérica de Monte Carlo Em cursos de física e engenharia a integração numérica é frequentemente usada para resolver problemas práticos que envolvem o cálculo de áreas volumes trajetórias forças e outras quantidades físicas que dependem de integrais Por exemplo a integração numérica é usada para calcular a trajetória de um projétil a área sob uma curva de resposta de um sistema ou o volume de um sólido de revolução Em cursos de computação e ciências aplicadas em geral a integração numérica é uma técnica fundamental para a simulação de sistemas dinâmicos análise de dados experimentais e modelagem matemática em geral A integração numérica é uma ferramenta fundamental para o desenvolvimento de modelos numéricos que permitem a análise e previsão de fenômenos físicos e sistemas complexos em diversas áreas como engenharia física biologia economia entre outras Em resumo a integração numérica é um tópico importante em muitos cursos superiores e é fundamental para a compreensão e solução de problemas em diversas áreas da matemática aplicada da ciência e da engenharia além de ser uma ferramenta importante para o desenvolvimento de habilidades em programação e análise numérica Objetivos O estudo da integração numérica tem diversos objetivos importantes incluindo a Aprender a calcular numericamente o valor de uma integral quando a solução analítica não é possível ou muito difícil de obter b desenvolver habilidades em programação para implementar algoritmos de integração numérica em diferentes linguagens de programação c entender as propriedades e limitações dos diferentes métodos de integração numérica como a regra do trapézio e a regra de Simpson d saber escolher o método de integração numérica mais adequado para uma determinada função e precisão desejada e aplicar a integração numérica em diversas áreas da matemática aplicada da ciência e da engenharia como na solução de equações diferenciais na análise de dados experimentais na simulação de sistemas dinâmicos entre outros e f compreender os princípios básicos da integração numérica adaptativa e da integração numérica de Monte Carlo e como essas técnicas podem ser usadas para lidar com funções complexas ou intervalos de integração irregulares Dentre os objetivos apresentados nesta e na última unidade focaremos nas letras a b c e d Alguns conceitos e definições Nesta seção discutiremos os conceitos básicos e definições da integração numérica Definição A integração numérica é o processo de calcular o valor de uma integral definida de uma função usando métodos numéricos Os métodos numéricos de integração são usados quando a integral não pode ser calculada analiticamente Os métodos numéricos de integração envolvem a aproximação da área sob a curva da função a ser integrada em intervalos finitos 05 CÁLCULO NUMÉRICO 06 CÁLCULO NUMÉRICO Métodos de Integração Numérica Existem vários métodos de integração numérica mas todos eles envolvem a subdivisão do intervalo de integração em subintervalos menores e o cálculo de uma aproximação da área sob a curva da função em cada um desses subintervalos Alguns dos métodos de integração numérica mais comuns usados em cálculo numérico são a Regra do Ponto Médio A regra do ponto médio é um método de integração numérica que envolve a aproximação da integral de uma função usando a área de um retângulo com altura igual ao valor da função no ponto médio do intervalo de integração b Regra do Trapézio A regra do trapézio é um método de integração numérica que envolve a aproximação da integral de uma função usando a área de um trapézio com base igual aos limites do intervalo de integração e altura igual ao valor da função nos limites do intervalo c Regra de Simpson A regra de Simpson é um método de integração numérica que envolve a aproximação da integral de uma função usando a área de um polinômio de segundo grau que passa pelos limites do intervalo de integração e pelo ponto médio do intervalo d Quadratura Gaussiana A quadratura Gaussiana é um método de integração numérica que envolve a aproximação da integral de uma função usando pesos e pontos de amostragem cuidadosamente escolhidos para obter uma aproximação mais precisa da área sob a curva da função Faz parte da ementa do nosso curso a Regra do Trapézio e as Regras de Simpson De toda forma poderemos comentar sobre outros métodos ao longo das unidades 07 CÁLCULO NUMÉRICO Erros de Integração Numérica Assim como em outras técnicas numéricas a integração numérica também envolve erros O erro de integração numérica é a diferença entre o valor real da integral e o valor estimado usando um método de integração numérica Os erros de integração numérica podem ser reduzidos usando métodos mais avançados como a integração adaptativa que envolve a divisão do intervalo de integração em subintervalos menores e a escolha do método de integração mais adequado para cada subintervalo Aplicações na engenharia A integração numérica é amplamente utilizada na engenharia para calcular uma variedade de grandezas tais como áreas volumes cargas momentos forças e deslocamentos Alguns exemplos de aplicação da integração numérica na engenharia incluem a Análise estrutural A integração numérica é usada para calcular as cargas momentos e deslocamentos em vigas colunas e outras estruturas Esses cálculos são importantes para determinar a estabilidade e a segurança da estrutura b Projeto de sistemas de fluidos A integração numérica é usada para calcular o fluxo de líquidos e gases em tubulações dutos e canais Esses cálculos são importantes para o projeto de sistemas de distribuição de água esgoto gás e outras substâncias c Simulação de processos A integração numérica é usada para simular processos físicos tais como o comportamento de fluidos a transferência de calor e a difusão de gases Esses cálculos são importantes para entender o desempenho de sistemas e processos em diversas aplicações d Projeto de circuitos elétricos A integração numérica é usada para calcular a corrente a tensão e a potência em circuitos elétricos Esses cálculos são importantes para projetar sistemas elétricos seguros e eficientes e Projeto de sistemas mecânicos A integração numérica é usada para calcular as forças os momentos e os deslocamentos em sistemas mecânicos tais como motores turbinas e equipamentos de transporte Esses cálculos são importantes para projetar sistemas mecânicos confiáveis e eficientes Em resumo a integração numérica é uma ferramenta essencial para a análise e o projeto de sistemas e processos em diversas áreas da engenharia onde Fx f x Quando a obtenção da forma analítica de Fx é difícil ou quando apenas valores discretos de f x são conhecidos é necessário recorrer a métodos numéricos para avaliar a integral de f x Esses métodos envolvem a aproximação da função fx por um polinômio interpolador e em seguida a determinação analítica da integral desse polinômio no intervalo a b Fórmulas de NewtonCotes Seja uma função f x aproximada por um polinômio interpolador por exemplo um polinômio de GregoryNewton 08 CÁLCULO NUMÉRICO INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Formalização Seja uma função f x integrável no intervalo a b então onde Utilizando um polinômio interpolador de grau 1 n 1 para a fórmula acima obtemos o seguinte resultado Fazendo a mudança da variável de x u e simplificando a notação de u u obtemos x x 09 CÁLCULO NUMÉRICO e e usando a notação a equação de integração resulta em Integrando analiticamente este polinômio de grau 1 em relação a u temos que isto é que é conhecida como a regra do trapézio A figura abaixo mostra a aproximação de uma função f x por um polinômio interpolador Px de grau 1 CÁLCULO NUMÉRICO Pelo gráfico 73fxdx73P1xdx h2y0y173241221632 CÁLCULO NUMÉRICO Gráfico 52 Idéia geométrica da regra dos trapézios Área base maior base menor altura 2 Gráfico 53 Idéia geométrica da regra dos trapézios Área bhh22y0y1 Sendo B y1 e b y0 12 CÁLCULO NUMÉRICO Exemplo 51 Calcular pela regra do trapézio No gráfico 51 o trapézio abrange uma região menor que a região da integração já no gráfico 54 o trapézio abrange uma região maior que a região da integração Isso significa que no primeiro caso o erro da integração numérica é por falta e no segundo caso é por excesso De forma algébrica sabemos que a integral de O polinômio de grau 1 passa pelos pontos com abscissas assim 13 CÁLCULO NUMÉRICO então o valor calculado 1875 é 0489 1875 1386 0489 maior que o valor exato Podemos reduzir esse erro aplicando a regra do trapézio composta Regra do trapézio composta Seja a fórmula de integração que utiliza um polinômio interpolador de grau 1 Subdividindo o intervalo a b em m subintervalos iguais e aplicando a equação acima a cada 2 pontos temos com isto é 14 CÁLCULO NUMÉRICO com Para a regra do trapézio composta pode ser utilizado qualquer valor de número de subintervalos m Exemplo 52 Calcular pela regra do trapézio com m 3 subintervalos e comparar com os resultados do exemplo 51 e o resultado real da integração algébrica Podemos entender a fórmula como observe que sendo que o denominador 3 é o número de subintervalos então que pela fórmula podemos tabular 15 CÁLCULO NUMÉRICO Observamos que o resultado obtido é melhor que o encontrado no exemplo 51 sendo que o erro de 0489 caiu para 0072 1458 1386 0072 Podemos ainda concluir que quanto mais subintervalos m melhor é o resultado da integração numérica pela regra dos trapézios Perceba que no gráfico 55 o erro por excesso está praticamente no intervalo 12 já nos intervalos de 23 e 34 os polinômios interpoladores quase coincidem com a função original Exemplo 53 Calcular pela regra do trapézio com m 4 subintervalos Isso significa aplicar a regra dos trapézios para as 4 integrais abaixo 16 CÁLCULO NUMÉRICO Porém podemos construir um dispositivo prático para usarmos a fórmula ou seja então Exemplo 54 Calcular pela regra do trapézio com m 5 subintervalos 17 CÁLCULO NUMÉRICO Isso significa aplicar a regra dos trapézios para as 4 integrais abaixo Porém podemos construir um dispositivo prático para usarmos a fórmula ou seja Obs lembrese de usar a calculadora em radiano Então A integração numérica utilizando a regra dos trapézios é uma técnica amplamente utilizada na Engenharia Civil especialmente para o cálculo de áreas e volumes em projetos de estruturas e construções Outro exemplo de aplicação da integração numérica por trapézios na engenharia é no cálculo de cargas em estruturas por exemplo uma viga que é submetida a uma carga distribuída ao longo de seu comprimento Estes são apenas citações de exemplos de como a integração numérica por trapézios pode ser utilizada na engenharia mas há muitas outras aplicações em que essa técnica é útil para o cálculo de cargas momentos deslocamentos e outras quantidades físicas em projetos de estruturas e construções Exemplo 55 Engenheiros americanos querem construir uma estrada reta e nivelada em Minas Gerais com 600 pés de comprimento e 75 pés de largura fazendo um corte através de um morro conforme a imagem 18 CÁLCULO NUMÉRICO As alturas do morro acima da linha central da estrada proposta obtidas de vários pontos de um mapa topográfico da região estão na tabela que segue Para estimar o custo da construção eles precisam conhecer o volume de terra que deve ser removido Usando a regra dos trapézios aproxime esse volume arredondando ao pé cúbico mais próximo Sabendo que 1 pé 03048m DETERMINE o volume total em metros cúbicos Inicialmente vamos estabelecer uma integral para a área da seção transversal do corte ao longo da linha central da estrada depois vamos supor que a altura do morro não varia entre a linha central e as margens da estrada 19 CÁLCULO NUMÉRICO Vamos determinar pela regra do trapézio a área abaixo da curva que passa pelos pontos dados ou seja isto é 20 CÁLCULO NUMÉRICO Agora supondo que a altura do morro não varia entre a linha central e as margens da estrada a área calculada anteriormente funciona como base do sólido e o comprimento de 75 pés funciona como a altura o volume é dado por 21 CÁLCULO NUMÉRICO Sabendo que 1 pé 03048m então 1 pé³ 0028316846592m³ e o volume calculado em m³ é dado por A integração numérica é um método de calcular a integral de uma função utilizando técnicas numéricas Os métodos de integrações numéricas mais comuns incluem a regra do trapézio e a regra de Simpson A regra do trapézio é uma técnica simples que envolve a aproximação da área sob a curva da função por um trapézio com base no intervalo de integração A regra de Simpson utiliza uma aproximação mais precisa utilizando polinômios de segundo ou terceiro grau para aproximar a função em cada subintervalo e serão vistas na próxima unidade A integração numérica é uma técnica importante em cálculo numérico que permite estimar o valor de uma integral definida de uma função quando a integral não pode ser calculada analiticamente É importante estar ciente dos erros de integração numérica e usar métodos adequados para garantir que os resultados sejam precisos e confiáveis Vimos que uma das maneiras de melhorar o resultado na regra dos trapézios é aplicandoa em intervalos menores Regra dos Trapézios composta A regra dos trapézios é uma técnica numérica utilizada na integração numérica de funções em engenharia Ela é útil quando a função a ser integrada não pode ser resolvida analiticamente ou quando é muito complexa para ser tratada de forma analítica Reforçando que a regra dos trapézios é baseada na aproximação da área sob uma curva por meio de trapézios Ela divide a área em trapézios de largura uniforme e aproxima a área sob a curva como a soma das áreas dos trapézios Quanto maior o número de trapézios usados mais preciso é o resultado da integração A regra dos trapézios é uma técnica útil em engenharia porque permite que os engenheiros obtenham uma estimativa da área sob a curva de uma função sem ter que calcular a integral analiticamente Isso pode ser útil em muitos campos da engenharia como na análise de circuitos elétricos no projeto de estruturas e na modelagem de sistemas dinâmicos CONCLUINDO A UNIDADE 22 No entanto é importante lembrar que a regra dos trapézios é uma técnica de aproximação e portanto o resultado da integração numérica pode não ser exato Além disso a precisão da técnica depende do número de trapézios utilizados na aproximação o que pode levar a um aumento no tempo de processamento se muitos trapézios forem necessários para atingir a precisão desejada Na próxima e última unidade trabalharemos os métodos de Integração numérica pelos método de Simpson Estamos na reta final Façam as atividades de fixação Dediquem 23 DICA DO PROFESSOR 24 Acesse o link fileCUserscristDownloads6690Texto20do20artigo29077 11020160919pdf e veja uma atividade aplicada à Integração Numérica SEU GABARITO Questão 1 A tabela dá as velocidades em milhassegundo em vários instantes para um foguete de teste lançado para cima da superfície da Terra Use esses valores para aproximar através da regra do trapézio o número de milhas percorrido durante os primeiros 180s EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 25 A distância percorrida é dada por O valor encontrado foi de A 3055 milhas B 3355 milhas C 3655 milhas D 3855 milhas SEU GABARITO Questão 2 A tabela abaixo foi construída para o cálculo da integral numérica de EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 26 Usando a regra dos trapézios e a tabela encontramos o resultado da integral igual a A 03478 B 04228 C 06956 D 08456 SEU GABARITO Questão 3 Sabendo que o resultado da questão anterior foi 00025 a mais que o resultado real então o resultado real é A 04203 B 06931 C 06981 D 08431 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 27 SEU GABARITO A 08594 B 08438 C 08448 D 08240 Questão 4 CALCULANDO pelo regra do trapézio com m 6 subintervalos a integral abaixo encontramos EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 28 SEU GABARITO Questão 5 Sabendo que o gráfico representa a função f x calcule usando a regra dos trapézios com m 5 subintervalos a integral que representa a área sobre a curva no intervalo 010 e MARQUE a opção correta EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 29 A 30 u a B 33 u a C 36 u a D 39 u a ANOTAÇÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANTON Howard BIVENS Irl DAVIS Stephen Cálculo 8 ed Porto Alegre Bookman 2014 v1 BURDEN RichardL FAIRES J Douglas Análise Numérica São Paulo Cengage Learning 2015 CAMPOS FILHO Frederico Ferreira Algoritmos numéricos LTC 2007 31 Questão 2 Gabarito C Justificativa Aplicando a regra do trapézio GABARITO Questão 1 Gabarito D Justificativa Aplicando a regra do trapézio 32 Questão 3 Gabarito B Justificativa 06956 00025 06931 Questão 4 Gabarito A Justificativa Montando a tabela GABARITO 33 e aplicando a regra do trapézio Questão 5 Gabarito C Justificativa Montando a tabela e aplicando a regra do trapézio
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U N I D A D E 5 C Á L C U L O N U M É R I C O INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 1 Cristian Reis da Luz AUTOR Reforçamos mais uma vez que o cálculo numérico é uma disciplina da matemática que lida com a aplicação de métodos numéricos para resolver problemas matemáticos Esses métodos envolvem a utilização de técnicas de aproximação e arredondamento para obter soluções aproximadas de equações integrais e outras funções matemáticas É uma disciplina fundamental em muitas áreas da ciência incluindo engenharia física química e ciência da computação Alguns dos tópicos mais comuns em cálculo numérico e que estudaremos ao longo do curso são 1 Solução de equações algébricas e transcendentes o processo de encontrar soluções numéricas para equações matemáticas Isso pode ser feito usando técnicas como o método da bisseção e método das cordas 2 Interpolação o processo de estimar o valor de uma função em um ponto a partir de dados discretos Isso pode ser feito usando técnicas Este curso ofereça o aprendizado sobre Interpolação linear Interpolação quadrática e Interpolação de Lagrange 3 Integração numérica o processo de aproximar integrais de funções a partir de dados discretos Isso pode ser feito usando técnicas como diferenças finitas regra do trapézio e regras de Simpson Na Unidade anterior tratamos da teoria em torno da Interpolação e agora é hora de avançarmos com os cálculos Ressaltamos mais uma vez que queremos que no final deste curso você estudante de engenharia tenha embasamento para resolução de problemas complexos na área de engenharia conheça os métodos de cálculo numérico a fim de que você possa solucionar problemas matemáticos Além disso esperamos que você motive à pesquisa e ao estudo relacionado com a disciplina APRESENTAÇÃO 01 Objetivo da unidade Desenvolver habilidades de resolução de problemas modelar dados em aplicações práticas e aplicálas Aprender a calcular numericamente o valor de uma integral quando a solução analítica não é possível ou muito difícil de obter Entender as propriedades e limitações dos diferentes métodos de integração numérica Saber escolher o método de integração numérica mais adequado para uma determinada função e precisão desejada CONTEÚDO DA UNIDADE Nesta unidade veremos sobre a integração numérica que é uma técnica importante em cálculo numérico que permite estimar o valor de uma integral definida de uma função quando a integral não pode ser calculada analiticamente A integração numérica é amplamente usada em muitos campos incluindo engenharia física finanças e muito mais Estamos na penúltima unidade do módulo 2 e trataremos dos conceitos de Integração numérica e apresentaremos o método dos Trapézios Na última unidade finalizaremos apresentando outros métodos de integração numérica Espero que você aprofunde nos estudos e reforço a você estudante Estou à disposição para ajudálo em qualquer dúvida ou problema que você possa ter ao longo dos estudos APRESENTAÇÃO 02 CONHEÇA O CONTEUDISTA Sou o professor Cristian Reis casado possuo dois filhos e atuo em ações sociais pela Sociedade de São Vicente de Paulo desde criança Mineiro de Belo Horizonte torço pelo Atlético Mineiro e gosto de estar perto da família e dos amigos Como um apaixonado pela Matemática possuo mestrado em Matemática pela Universidade Federal de Ouro Preto 2019 especialização em Matemática Comparada pela ESAB e graduação em MatemáticaLicenciatura pela Universidade Federal de Minas Gerais 2005 Sou técnico em Eletromecânica pelo CEFETMG 2000 Desde 2006 estou em sala de aula e tive também a oportunidade de trabalhar em indústria Atualmente leciono para ensino fundamental médio e superior Minha maior experiência profissional é na área de Matemática com ênfase em Matemática atuando principalmente nos seguintes temas educação matemática tecnologias curvas elípticas Para os cursos superiores desde 2008 minha atuação predominante é na Engenharia Civil e nesse curso já lecionei Introdução ao Cálculo Cálculo Integral e Diferencial I II III e IV Geometria Descritiva Geometria Analítica e Álgebra Linear Estatística e não poderia faltar Cálculo Numérico Vamos embarcar comigo nesse fantástico mundo da Matemática Fraternos abraços Cristian Reis da Luz Cristian Reis da Luz 03 UNIDADE 5 04 Introdução A integração numérica é um tópico importante em muitos cursos superiores incluindo matemática física engenharia computação e ciências aplicadas em geral Em geral o estudo da integração numérica é realizado em disciplinas de cálculo numérico ou análise numérica que são comuns em cursos de engenharia e ciências aplicadas Em cursos de matemática a integração numérica é geralmente abordada como uma técnica para calcular o valor de integrais definidas numericamente Isso inclui o estudo de diferentes métodos de integração numérica como a regra do trapézio e a regra de Simpson além de técnicas mais avançadas como a integração numérica adaptativa e a integração numérica de Monte Carlo Em cursos de física e engenharia a integração numérica é frequentemente usada para resolver problemas práticos que envolvem o cálculo de áreas volumes trajetórias forças e outras quantidades físicas que dependem de integrais Por exemplo a integração numérica é usada para calcular a trajetória de um projétil a área sob uma curva de resposta de um sistema ou o volume de um sólido de revolução Em cursos de computação e ciências aplicadas em geral a integração numérica é uma técnica fundamental para a simulação de sistemas dinâmicos análise de dados experimentais e modelagem matemática em geral A integração numérica é uma ferramenta fundamental para o desenvolvimento de modelos numéricos que permitem a análise e previsão de fenômenos físicos e sistemas complexos em diversas áreas como engenharia física biologia economia entre outras Em resumo a integração numérica é um tópico importante em muitos cursos superiores e é fundamental para a compreensão e solução de problemas em diversas áreas da matemática aplicada da ciência e da engenharia além de ser uma ferramenta importante para o desenvolvimento de habilidades em programação e análise numérica Objetivos O estudo da integração numérica tem diversos objetivos importantes incluindo a Aprender a calcular numericamente o valor de uma integral quando a solução analítica não é possível ou muito difícil de obter b desenvolver habilidades em programação para implementar algoritmos de integração numérica em diferentes linguagens de programação c entender as propriedades e limitações dos diferentes métodos de integração numérica como a regra do trapézio e a regra de Simpson d saber escolher o método de integração numérica mais adequado para uma determinada função e precisão desejada e aplicar a integração numérica em diversas áreas da matemática aplicada da ciência e da engenharia como na solução de equações diferenciais na análise de dados experimentais na simulação de sistemas dinâmicos entre outros e f compreender os princípios básicos da integração numérica adaptativa e da integração numérica de Monte Carlo e como essas técnicas podem ser usadas para lidar com funções complexas ou intervalos de integração irregulares Dentre os objetivos apresentados nesta e na última unidade focaremos nas letras a b c e d Alguns conceitos e definições Nesta seção discutiremos os conceitos básicos e definições da integração numérica Definição A integração numérica é o processo de calcular o valor de uma integral definida de uma função usando métodos numéricos Os métodos numéricos de integração são usados quando a integral não pode ser calculada analiticamente Os métodos numéricos de integração envolvem a aproximação da área sob a curva da função a ser integrada em intervalos finitos 05 CÁLCULO NUMÉRICO 06 CÁLCULO NUMÉRICO Métodos de Integração Numérica Existem vários métodos de integração numérica mas todos eles envolvem a subdivisão do intervalo de integração em subintervalos menores e o cálculo de uma aproximação da área sob a curva da função em cada um desses subintervalos Alguns dos métodos de integração numérica mais comuns usados em cálculo numérico são a Regra do Ponto Médio A regra do ponto médio é um método de integração numérica que envolve a aproximação da integral de uma função usando a área de um retângulo com altura igual ao valor da função no ponto médio do intervalo de integração b Regra do Trapézio A regra do trapézio é um método de integração numérica que envolve a aproximação da integral de uma função usando a área de um trapézio com base igual aos limites do intervalo de integração e altura igual ao valor da função nos limites do intervalo c Regra de Simpson A regra de Simpson é um método de integração numérica que envolve a aproximação da integral de uma função usando a área de um polinômio de segundo grau que passa pelos limites do intervalo de integração e pelo ponto médio do intervalo d Quadratura Gaussiana A quadratura Gaussiana é um método de integração numérica que envolve a aproximação da integral de uma função usando pesos e pontos de amostragem cuidadosamente escolhidos para obter uma aproximação mais precisa da área sob a curva da função Faz parte da ementa do nosso curso a Regra do Trapézio e as Regras de Simpson De toda forma poderemos comentar sobre outros métodos ao longo das unidades 07 CÁLCULO NUMÉRICO Erros de Integração Numérica Assim como em outras técnicas numéricas a integração numérica também envolve erros O erro de integração numérica é a diferença entre o valor real da integral e o valor estimado usando um método de integração numérica Os erros de integração numérica podem ser reduzidos usando métodos mais avançados como a integração adaptativa que envolve a divisão do intervalo de integração em subintervalos menores e a escolha do método de integração mais adequado para cada subintervalo Aplicações na engenharia A integração numérica é amplamente utilizada na engenharia para calcular uma variedade de grandezas tais como áreas volumes cargas momentos forças e deslocamentos Alguns exemplos de aplicação da integração numérica na engenharia incluem a Análise estrutural A integração numérica é usada para calcular as cargas momentos e deslocamentos em vigas colunas e outras estruturas Esses cálculos são importantes para determinar a estabilidade e a segurança da estrutura b Projeto de sistemas de fluidos A integração numérica é usada para calcular o fluxo de líquidos e gases em tubulações dutos e canais Esses cálculos são importantes para o projeto de sistemas de distribuição de água esgoto gás e outras substâncias c Simulação de processos A integração numérica é usada para simular processos físicos tais como o comportamento de fluidos a transferência de calor e a difusão de gases Esses cálculos são importantes para entender o desempenho de sistemas e processos em diversas aplicações d Projeto de circuitos elétricos A integração numérica é usada para calcular a corrente a tensão e a potência em circuitos elétricos Esses cálculos são importantes para projetar sistemas elétricos seguros e eficientes e Projeto de sistemas mecânicos A integração numérica é usada para calcular as forças os momentos e os deslocamentos em sistemas mecânicos tais como motores turbinas e equipamentos de transporte Esses cálculos são importantes para projetar sistemas mecânicos confiáveis e eficientes Em resumo a integração numérica é uma ferramenta essencial para a análise e o projeto de sistemas e processos em diversas áreas da engenharia onde Fx f x Quando a obtenção da forma analítica de Fx é difícil ou quando apenas valores discretos de f x são conhecidos é necessário recorrer a métodos numéricos para avaliar a integral de f x Esses métodos envolvem a aproximação da função fx por um polinômio interpolador e em seguida a determinação analítica da integral desse polinômio no intervalo a b Fórmulas de NewtonCotes Seja uma função f x aproximada por um polinômio interpolador por exemplo um polinômio de GregoryNewton 08 CÁLCULO NUMÉRICO INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Formalização Seja uma função f x integrável no intervalo a b então onde Utilizando um polinômio interpolador de grau 1 n 1 para a fórmula acima obtemos o seguinte resultado Fazendo a mudança da variável de x u e simplificando a notação de u u obtemos x x 09 CÁLCULO NUMÉRICO e e usando a notação a equação de integração resulta em Integrando analiticamente este polinômio de grau 1 em relação a u temos que isto é que é conhecida como a regra do trapézio A figura abaixo mostra a aproximação de uma função f x por um polinômio interpolador Px de grau 1 CÁLCULO NUMÉRICO Pelo gráfico 73fxdx73P1xdx h2y0y173241221632 CÁLCULO NUMÉRICO Gráfico 52 Idéia geométrica da regra dos trapézios Área base maior base menor altura 2 Gráfico 53 Idéia geométrica da regra dos trapézios Área bhh22y0y1 Sendo B y1 e b y0 12 CÁLCULO NUMÉRICO Exemplo 51 Calcular pela regra do trapézio No gráfico 51 o trapézio abrange uma região menor que a região da integração já no gráfico 54 o trapézio abrange uma região maior que a região da integração Isso significa que no primeiro caso o erro da integração numérica é por falta e no segundo caso é por excesso De forma algébrica sabemos que a integral de O polinômio de grau 1 passa pelos pontos com abscissas assim 13 CÁLCULO NUMÉRICO então o valor calculado 1875 é 0489 1875 1386 0489 maior que o valor exato Podemos reduzir esse erro aplicando a regra do trapézio composta Regra do trapézio composta Seja a fórmula de integração que utiliza um polinômio interpolador de grau 1 Subdividindo o intervalo a b em m subintervalos iguais e aplicando a equação acima a cada 2 pontos temos com isto é 14 CÁLCULO NUMÉRICO com Para a regra do trapézio composta pode ser utilizado qualquer valor de número de subintervalos m Exemplo 52 Calcular pela regra do trapézio com m 3 subintervalos e comparar com os resultados do exemplo 51 e o resultado real da integração algébrica Podemos entender a fórmula como observe que sendo que o denominador 3 é o número de subintervalos então que pela fórmula podemos tabular 15 CÁLCULO NUMÉRICO Observamos que o resultado obtido é melhor que o encontrado no exemplo 51 sendo que o erro de 0489 caiu para 0072 1458 1386 0072 Podemos ainda concluir que quanto mais subintervalos m melhor é o resultado da integração numérica pela regra dos trapézios Perceba que no gráfico 55 o erro por excesso está praticamente no intervalo 12 já nos intervalos de 23 e 34 os polinômios interpoladores quase coincidem com a função original Exemplo 53 Calcular pela regra do trapézio com m 4 subintervalos Isso significa aplicar a regra dos trapézios para as 4 integrais abaixo 16 CÁLCULO NUMÉRICO Porém podemos construir um dispositivo prático para usarmos a fórmula ou seja então Exemplo 54 Calcular pela regra do trapézio com m 5 subintervalos 17 CÁLCULO NUMÉRICO Isso significa aplicar a regra dos trapézios para as 4 integrais abaixo Porém podemos construir um dispositivo prático para usarmos a fórmula ou seja Obs lembrese de usar a calculadora em radiano Então A integração numérica utilizando a regra dos trapézios é uma técnica amplamente utilizada na Engenharia Civil especialmente para o cálculo de áreas e volumes em projetos de estruturas e construções Outro exemplo de aplicação da integração numérica por trapézios na engenharia é no cálculo de cargas em estruturas por exemplo uma viga que é submetida a uma carga distribuída ao longo de seu comprimento Estes são apenas citações de exemplos de como a integração numérica por trapézios pode ser utilizada na engenharia mas há muitas outras aplicações em que essa técnica é útil para o cálculo de cargas momentos deslocamentos e outras quantidades físicas em projetos de estruturas e construções Exemplo 55 Engenheiros americanos querem construir uma estrada reta e nivelada em Minas Gerais com 600 pés de comprimento e 75 pés de largura fazendo um corte através de um morro conforme a imagem 18 CÁLCULO NUMÉRICO As alturas do morro acima da linha central da estrada proposta obtidas de vários pontos de um mapa topográfico da região estão na tabela que segue Para estimar o custo da construção eles precisam conhecer o volume de terra que deve ser removido Usando a regra dos trapézios aproxime esse volume arredondando ao pé cúbico mais próximo Sabendo que 1 pé 03048m DETERMINE o volume total em metros cúbicos Inicialmente vamos estabelecer uma integral para a área da seção transversal do corte ao longo da linha central da estrada depois vamos supor que a altura do morro não varia entre a linha central e as margens da estrada 19 CÁLCULO NUMÉRICO Vamos determinar pela regra do trapézio a área abaixo da curva que passa pelos pontos dados ou seja isto é 20 CÁLCULO NUMÉRICO Agora supondo que a altura do morro não varia entre a linha central e as margens da estrada a área calculada anteriormente funciona como base do sólido e o comprimento de 75 pés funciona como a altura o volume é dado por 21 CÁLCULO NUMÉRICO Sabendo que 1 pé 03048m então 1 pé³ 0028316846592m³ e o volume calculado em m³ é dado por A integração numérica é um método de calcular a integral de uma função utilizando técnicas numéricas Os métodos de integrações numéricas mais comuns incluem a regra do trapézio e a regra de Simpson A regra do trapézio é uma técnica simples que envolve a aproximação da área sob a curva da função por um trapézio com base no intervalo de integração A regra de Simpson utiliza uma aproximação mais precisa utilizando polinômios de segundo ou terceiro grau para aproximar a função em cada subintervalo e serão vistas na próxima unidade A integração numérica é uma técnica importante em cálculo numérico que permite estimar o valor de uma integral definida de uma função quando a integral não pode ser calculada analiticamente É importante estar ciente dos erros de integração numérica e usar métodos adequados para garantir que os resultados sejam precisos e confiáveis Vimos que uma das maneiras de melhorar o resultado na regra dos trapézios é aplicandoa em intervalos menores Regra dos Trapézios composta A regra dos trapézios é uma técnica numérica utilizada na integração numérica de funções em engenharia Ela é útil quando a função a ser integrada não pode ser resolvida analiticamente ou quando é muito complexa para ser tratada de forma analítica Reforçando que a regra dos trapézios é baseada na aproximação da área sob uma curva por meio de trapézios Ela divide a área em trapézios de largura uniforme e aproxima a área sob a curva como a soma das áreas dos trapézios Quanto maior o número de trapézios usados mais preciso é o resultado da integração A regra dos trapézios é uma técnica útil em engenharia porque permite que os engenheiros obtenham uma estimativa da área sob a curva de uma função sem ter que calcular a integral analiticamente Isso pode ser útil em muitos campos da engenharia como na análise de circuitos elétricos no projeto de estruturas e na modelagem de sistemas dinâmicos CONCLUINDO A UNIDADE 22 No entanto é importante lembrar que a regra dos trapézios é uma técnica de aproximação e portanto o resultado da integração numérica pode não ser exato Além disso a precisão da técnica depende do número de trapézios utilizados na aproximação o que pode levar a um aumento no tempo de processamento se muitos trapézios forem necessários para atingir a precisão desejada Na próxima e última unidade trabalharemos os métodos de Integração numérica pelos método de Simpson Estamos na reta final Façam as atividades de fixação Dediquem 23 DICA DO PROFESSOR 24 Acesse o link fileCUserscristDownloads6690Texto20do20artigo29077 11020160919pdf e veja uma atividade aplicada à Integração Numérica SEU GABARITO Questão 1 A tabela dá as velocidades em milhassegundo em vários instantes para um foguete de teste lançado para cima da superfície da Terra Use esses valores para aproximar através da regra do trapézio o número de milhas percorrido durante os primeiros 180s EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 25 A distância percorrida é dada por O valor encontrado foi de A 3055 milhas B 3355 milhas C 3655 milhas D 3855 milhas SEU GABARITO Questão 2 A tabela abaixo foi construída para o cálculo da integral numérica de EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 26 Usando a regra dos trapézios e a tabela encontramos o resultado da integral igual a A 03478 B 04228 C 06956 D 08456 SEU GABARITO Questão 3 Sabendo que o resultado da questão anterior foi 00025 a mais que o resultado real então o resultado real é A 04203 B 06931 C 06981 D 08431 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 27 SEU GABARITO A 08594 B 08438 C 08448 D 08240 Questão 4 CALCULANDO pelo regra do trapézio com m 6 subintervalos a integral abaixo encontramos EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 28 SEU GABARITO Questão 5 Sabendo que o gráfico representa a função f x calcule usando a regra dos trapézios com m 5 subintervalos a integral que representa a área sobre a curva no intervalo 010 e MARQUE a opção correta EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 29 A 30 u a B 33 u a C 36 u a D 39 u a ANOTAÇÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANTON Howard BIVENS Irl DAVIS Stephen Cálculo 8 ed Porto Alegre Bookman 2014 v1 BURDEN RichardL FAIRES J Douglas Análise Numérica São Paulo Cengage Learning 2015 CAMPOS FILHO Frederico Ferreira Algoritmos numéricos LTC 2007 31 Questão 2 Gabarito C Justificativa Aplicando a regra do trapézio GABARITO Questão 1 Gabarito D Justificativa Aplicando a regra do trapézio 32 Questão 3 Gabarito B Justificativa 06956 00025 06931 Questão 4 Gabarito A Justificativa Montando a tabela GABARITO 33 e aplicando a regra do trapézio Questão 5 Gabarito C Justificativa Montando a tabela e aplicando a regra do trapézio