Controle PID e Análise de Sistemas de Primeira Ordem - Estabilidade e Diagramas

QUESTÃO 1 Para o controle da variável de um processo de primeira ordem foi desenvolvido um sistema em malha fechada utilizandose controle proporcional integral e derivativo PID O diagrama de blocos da figura a seguir representa o sistema implementado Após um ajuste do sistema e testes preliminares obtevese a resposta representada no gráfico a seguir A referência foi fixada na amplitude 5 no entanto a variável do processo estabilizouse abaixo desta referência caracterizando erro em regime permanente 1 Com base no gráfico apresentado em qual ganho do PID devemos atuar de forma a eliminar o erro estacionário 2 Qual a consequência desse ajuste na resposta do sistema 3 A ação integral pode atuar sozinho num sistema Por quê QUESTÃO 2 Com base nos dados apresentados faça o que se pede 1 Simplifique a expressão e coloquea na forma reduzida K1Ts em seguida calcule o valor de K e de T 2 Calcule o polo da função Gs e plote o diagrama de polos e zeros usando o Octave mostre os comandos Responda se o sistema é estável ou instável Justifique 3 Usando o Octave ou o Matlab versão online gere o Diagrama de Bode de Ganho e Fase do motor Mostre os comandos usados 4 Utilizando o Diagrama de Bode indique o ponto e o valor da frequência de corte da faixa de passagem e da margem de fase do sistema Gs 5 Usando o Ocatve ou o Matlab gere a resposta ao degrau unitário do sistema e anote o tempo de resposta Explique a relação entre a localização do polo no Diagrama de Bode e o tempo de resposta do sistema QUESTÃO 2 Um motor elétrico de corrente contínua é composto por uma parte móvel rotor definida por um conjunto de espiras e uma parte fixa estator geradora de campo magnético O seguinte esquema eletromecânico representa o motor elétrico CC Após realizado o modelamento matemático encontrase a seguinte função de transferência que expressa a relação entre a velocidade angular e a tensão aplicada na entrada Considere o motor modelo SRV02 Quanser cujos parâmetros são mostrados abaixo Quando aplicados à função de transferência 1 obtémse a seguinte expressão Com base nos dados apresentados faça o que se pede 1 Simplifique a expressão e coloquea na forma reduzida K1Ts em seguida calcule o valor de K e de T 2 Calcule o polo da função Gs e plote o diagrama de polos e zeros usando o Octave mostre os comandos Responda se o sistema é estável ou instável Justifique 3 Usando o Octave ou o Matlab versão online gere o Diagrama de Bode de Ganho e Fase do motor Mostre os comandos usados 4 Utilizando o Diagrama de Bode indique o ponto e o valor da frequência de corte da faixa de passagem e da margem de fase do sistema Gs 5 Usando o Ocatve ou o Matlab gere a resposta ao degrau unitário do sistema e anote o tempo de resposta Explique a relação entre a localização do polo no Diagrama de Bode e o tempo de resposta do sistema Questão 1 Item 1 O ganho responsável por alterar o erro em regime permanente é o ganho integral Dessa forma para que o erro em estado estacionário seja reduzido ou eliminado devese alterar o ganho integral do controlador PID Item 2 Com a alteração do ganho integral o erro em regime permanente é melhorado no entanto o período transitório da dinâmica do sistema é afetada O aumento do ganho integral provoca um aumento na ultrapassagem percentual da resposta ao degrau da planta assim ao alterar o ganho integral os ganhos proporcional e derivativo devem ser reprojetados Item 3 Tipicamente a ação integral não pode ser utilizada sozinha pois para baixos valores de ganho a resposta pode ser lenta e para altos valores de ganho a resposta do processo pode se tornar oscilatória Dessa forma a ação integral é utilizada em conjunto com a ação derivativa Questão 2 Item 1 Para que Gs fique na forma reduzida solicitada o termo independente do denominador deve ser unitário assim devese dividir tanto o numerador quanto o denominador para que isso ocorra veja G s 0333 0189 0005s0189 0189 1761 026s1 Dessa forma por inspeção determinase o valor de k e T k1761 T026 Item 2 Primeiramente a função de transferência é definida no código G tf1761026 1 Em seguida utilizase a função pole para determinar o valor do polo poleG Finalmente utilizase a seguinte chamada da função para que o diagrama de polos seja plotado pzplotG O código retorna um polo em 38462 e o gráfico da figura acima Veja que o polo está localizado no semiplano esquerdo do diagrama de zeros e polos assim o sistema definido pela função de transferência Gs é estável Item 3 Os comandos que geram o diagrama de bode são mostrados a seguir G tf1761026 1 bodeG Item 4 Para determinar o valor da frequência de corte devese determinar o encontro das assíntotas do diagrama de bode veja Veja que as assíntotas se encontram em uma frequência entre 1 e 10 rads O ponto de encontro está na quarta divisão logo a frequência de corte é de 4 rads A faixa de passagem é determinada pela frequência em que o ganho está 3dB abaixo do ganho em CC O ganho CC ocorre para uma frequência próxima de 0 rads pelo diagrama abaixo esse ganho é de aproximadamente 491 dB Dessa forma a faixa de passagem ocorrera em um ganho de 491 3 191 dB assim de acordo com o diagrama de bode abaixo a frequência para esse ganho corresponde a aproximadamente 384 rads Portanto a faixa de passagem é de 384 rads Para determinar a margem de fase primeiro determinase a frequência em que o ganho é igual a 0dB pelo gráfico abaixo essa frequência é de aproximadamente 556 rads Para essa mesma frequência a fase é de 553 dessa forma a margem de fase será dada por 1805531247 Portanto a margem de fase é de aproximadamente 1247 Item 5 Resolução A resposta ao degrau pode ser gerada pelo seguinte código stepG O tempo de resposta é definido como o tempo necessário para a resposta alcançar 6321 de seu valor final logo Pelo gráfico acima o valor final é de 176 assim o tempo de resposta do sistema é de 026 segundos pois esse é o tempo para a resposta do sistema alcançar o valor de 6321 x 176 111 Veja que o polo do sistema está localizado na posição 38462 assim a relação entre a resposta do sistema e a localização do polo é a seguinte τ 1 σ 1 38462026 Portanto o tempo de resposta do sistema é igual ao inverso do módulo do polo da função de transferência