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Engenharia Elétrica ·
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ESTATÍSTICA APLICADA À ENGENHARIA Roberto Carlos Lourenço 31 4 MEDIDAS Neste bloco estudaremos os métodos para calcular a média aritmética simples a mediana a moda e os quatis que são as medidas de posição Dando sequência aos nossos estudos vamos conhecer as medidas de dispersão ferramenta fundamental na Estatística sendo assim o cálculo de Amplitude Total Variância Desvio padrão Coeficiente de Variação e intervalos interquartil estarão complementando nossos estudos 41 Medidas de posição média mediana moda e quartil Média Aritmética Simples ou Média x Para dados não agrupados é a soma dos valores da variável dividida pelo total de observações Exemplo Após realização de uma pesquisa sobre qual quantia em reais cada pessoa estava disposta a pagar em um lanche de rua foram coletados os valores 9 13 6 12 e 5 Qual é a média referente os valores coletados 32 Para dados agrupados Mediana md Para dados não agrupados é o valor da variável que ocupa a posição central dos dados ordenados Exemplo Calcular a mediana dos valores 9 12 8 6 14 11 5 Primeiro coloque os números em ordem seja crescente ou decrescente 5 6 8 9 11 12 14 Segundo se o número de elementos é ímpar temos como mediana o único elemento central md 9 Outro caso Calcular a mediana dos valores 9 12 8 6 14 11 Primeiro coloque os números em ordem seja crescente ou decrescente 6 8 9 11 12 14 33 Depois calculamos a média dos dois valores centrais por se tratar de quantidade par de elementos Para dados agrupados Exemplo 34 Moda mo Para dados não agrupados é o valor da variável mais frequente da distribuição Exemplo 1 Determine a moda para o seguinte conjunto de dados 65 87 49 58 65 60 80 65 90 mo 65 por aparecer 3 vezes 35 2 Determine a moda para o seguinte conjunto de dados 65 80 87 49 58 65 80 65 90 80 mo 65 por aparecer 3 vezes mo 80 por aparecer 3 vezes Temos duas modas sendo uma distribuição bimodal Para dados agrupados Exemplo 36 Os quartis Temos como definição que os quartis são os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais Existem três quartis Primeiro quartil Q1 valor situado de tal modo na série que 25 dos dados são menores que ele e 75 restantes são maiores Segundo quartil Q2 coincide com a mediana Terceiro quartil Q3 valor situado de tal modo na série que 75 dos dados são menores que ele e 25 restantes são maiores Para determinar cada quartil trabalhamos da seguinte maneira 38 42 Medidas de dispersão amplitude variância e desvio padrão As medidas de dispersão servem para quantificar a variabilidade dos valores da variável isto é a dispersão dos dados ou a forma como os valores de cada conjunto se espalha ao redor das medidas de tendência central Exemplo Valores de duas carteiras de ações na Bolsa de Valores A média em ambas carteiras x R 150 Mediana da carteira A md R 150 Mediana da carteira B md R 151 39 Observando os dados pelo gráfico a seguir é possível identificar uma maior oscilação da carteira A comparando com a carteira B mostrando que um investidor mais conservador iria optar pela carteira B por apresentar uma menor oscilação de valores dentro do período apresentado Além do gráfico podemos utilizar a Medida de Dispersão para estudar a variabilidade entre os valores Amplitude total R Diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados Variância σ² ou S² É um estudo sobre os desvios em torno da média aritmética determinando a média dos quadrados dos desvios ² ² populacional n x x s i Σ 1 ² ² amostral n x x s i Σ 40 Propriedades 1 Somando ou subtraindo um valor constante k a todos os valores de uma variável o desvio padrão não altera 2 Multiplicando todos os valores de uma variável por uma constante k não nula o desvio padrão fica multiplicado por essa constante k 41 Exemplo Calcule a amplitude total variância desvio padrão e coeficiente de variação para a variável Idade da tabela a seguir Acrescentamos uma nova coluna para colaborar Amplitude total 43 43 Medidas de dispersão intervalo interquartil e coeficiente de variação Na estatística trabalhamos com dados que por sua vez precisam de interpretações onde conhecer a medida de posição média aritmética mediana ou moda não é o suficiente para uma análise mais ampla Dessa forma chamando de dispersão ou variabilidade a maior ou a menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central tomado como ponto de comparação a Estatística recorre às medidas de dispersão ou de variabilidade Nesse tópico vamos estudar o intervalo interquartil e o coeficiente de variação Intervalo interquartil Outra ferramenta útil para calcular uma medida de variabilidade é conhecida como variação interquartil ou intervalo interquartil IQR do inglês interquartile range onde podemos afirmar que quanto maior a IQR maior a distribuição ou a variabilidade A IQR é obtida por meio do cálculo IQR Q3 Q1 É a diferença entre o primeiro e o terceiro quartis Por definição temos que a variação de interquartil inclui 50 de valores do meio na distribuição quando estes são organizados em ordem crescente ou decrescente Isso acontece pois 44 Primeiro quartil Q1 valor situado de tal modo na série que 25 dos dados são menores que ele e 75 restantes são maiores Segundo quartil Q2 coincide com a mediana Terceiro quartil Q3 valor situado de tal modo na série que 75 dos dados são menores que ele e 25 restantes são maiores Exemplo Considere as 20 notas a seguir obtidas em uma prova de Gestão de Negócios 1º Passo Encontramos Q1 e Q3 Posição de Q3 075 20 1 1575 Posição de Q1 025 20 1 525 63 5 2 65 62 1 Q 84 5 2 85 84 3 Q 45 2º Passo Calculamos IQR IQR Q3 Q1 IQR 845 635 21 Portanto a variação interquartil é igual a 21 Coeficiente de variação O Coeficiente de Variação é um cálculo que colabora no estudo de medida de dispersão sendo indicado como CV x 100 CV s Onde s é o desvio padrão e x representa a média aritmética dos valores Exemplo Tomemos os resultados das medidas das estaturas das massas de um mesmo grupo de indivíduos média Desvio padrão Estaturas em cm 175 50 Massas em kg 68 20 Verifique qual variável apresenta maior grau de dispersão Resolução 2 86 175100 5 CVE Coeficiente de variação para a variável Estatura em cm 2 94 68100 2 CVM Coeficiente de variação para a variável Massa em kg 46 Portanto podemos afirmar que para esse grupo de indivíduos as massas apresentam maior grau de dispersão que as estaturas Conclusão Neste bloco estudamos a média aritmética simples a mediana a moda e os quatis que são as medidas de posição que são chamadas de medidas de posição E completamos nossos estudos desse bloco conhecendo as medidas de dispersão que são Amplitude Total Variância Desvio padrão Coeficiente de Variação e intervalos interquartil REFERÊNCIAS CRESPO A A Estatística Fácil São Paulo Saraiva 2009 DANTE L R Matemática São Paulo Ática 2009 V único DOWNING D CLARK J Estatística aplicada São Paulo Saraiva 2011 LEVIN J FOX J A FORDE D R Estatística para ciências humanas São Paulo Pearson 2014 SMOLE K C S Matemática São Paulo Saraiva 1999 v 1 DINIZ M I Matemática Ensino Médio São Paulo Saraiva 2003 v 1
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ESTATÍSTICA APLICADA À ENGENHARIA Roberto Carlos Lourenço 31 4 MEDIDAS Neste bloco estudaremos os métodos para calcular a média aritmética simples a mediana a moda e os quatis que são as medidas de posição Dando sequência aos nossos estudos vamos conhecer as medidas de dispersão ferramenta fundamental na Estatística sendo assim o cálculo de Amplitude Total Variância Desvio padrão Coeficiente de Variação e intervalos interquartil estarão complementando nossos estudos 41 Medidas de posição média mediana moda e quartil Média Aritmética Simples ou Média x Para dados não agrupados é a soma dos valores da variável dividida pelo total de observações Exemplo Após realização de uma pesquisa sobre qual quantia em reais cada pessoa estava disposta a pagar em um lanche de rua foram coletados os valores 9 13 6 12 e 5 Qual é a média referente os valores coletados 32 Para dados agrupados Mediana md Para dados não agrupados é o valor da variável que ocupa a posição central dos dados ordenados Exemplo Calcular a mediana dos valores 9 12 8 6 14 11 5 Primeiro coloque os números em ordem seja crescente ou decrescente 5 6 8 9 11 12 14 Segundo se o número de elementos é ímpar temos como mediana o único elemento central md 9 Outro caso Calcular a mediana dos valores 9 12 8 6 14 11 Primeiro coloque os números em ordem seja crescente ou decrescente 6 8 9 11 12 14 33 Depois calculamos a média dos dois valores centrais por se tratar de quantidade par de elementos Para dados agrupados Exemplo 34 Moda mo Para dados não agrupados é o valor da variável mais frequente da distribuição Exemplo 1 Determine a moda para o seguinte conjunto de dados 65 87 49 58 65 60 80 65 90 mo 65 por aparecer 3 vezes 35 2 Determine a moda para o seguinte conjunto de dados 65 80 87 49 58 65 80 65 90 80 mo 65 por aparecer 3 vezes mo 80 por aparecer 3 vezes Temos duas modas sendo uma distribuição bimodal Para dados agrupados Exemplo 36 Os quartis Temos como definição que os quartis são os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais Existem três quartis Primeiro quartil Q1 valor situado de tal modo na série que 25 dos dados são menores que ele e 75 restantes são maiores Segundo quartil Q2 coincide com a mediana Terceiro quartil Q3 valor situado de tal modo na série que 75 dos dados são menores que ele e 25 restantes são maiores Para determinar cada quartil trabalhamos da seguinte maneira 38 42 Medidas de dispersão amplitude variância e desvio padrão As medidas de dispersão servem para quantificar a variabilidade dos valores da variável isto é a dispersão dos dados ou a forma como os valores de cada conjunto se espalha ao redor das medidas de tendência central Exemplo Valores de duas carteiras de ações na Bolsa de Valores A média em ambas carteiras x R 150 Mediana da carteira A md R 150 Mediana da carteira B md R 151 39 Observando os dados pelo gráfico a seguir é possível identificar uma maior oscilação da carteira A comparando com a carteira B mostrando que um investidor mais conservador iria optar pela carteira B por apresentar uma menor oscilação de valores dentro do período apresentado Além do gráfico podemos utilizar a Medida de Dispersão para estudar a variabilidade entre os valores Amplitude total R Diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados Variância σ² ou S² É um estudo sobre os desvios em torno da média aritmética determinando a média dos quadrados dos desvios ² ² populacional n x x s i Σ 1 ² ² amostral n x x s i Σ 40 Propriedades 1 Somando ou subtraindo um valor constante k a todos os valores de uma variável o desvio padrão não altera 2 Multiplicando todos os valores de uma variável por uma constante k não nula o desvio padrão fica multiplicado por essa constante k 41 Exemplo Calcule a amplitude total variância desvio padrão e coeficiente de variação para a variável Idade da tabela a seguir Acrescentamos uma nova coluna para colaborar Amplitude total 43 43 Medidas de dispersão intervalo interquartil e coeficiente de variação Na estatística trabalhamos com dados que por sua vez precisam de interpretações onde conhecer a medida de posição média aritmética mediana ou moda não é o suficiente para uma análise mais ampla Dessa forma chamando de dispersão ou variabilidade a maior ou a menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central tomado como ponto de comparação a Estatística recorre às medidas de dispersão ou de variabilidade Nesse tópico vamos estudar o intervalo interquartil e o coeficiente de variação Intervalo interquartil Outra ferramenta útil para calcular uma medida de variabilidade é conhecida como variação interquartil ou intervalo interquartil IQR do inglês interquartile range onde podemos afirmar que quanto maior a IQR maior a distribuição ou a variabilidade A IQR é obtida por meio do cálculo IQR Q3 Q1 É a diferença entre o primeiro e o terceiro quartis Por definição temos que a variação de interquartil inclui 50 de valores do meio na distribuição quando estes são organizados em ordem crescente ou decrescente Isso acontece pois 44 Primeiro quartil Q1 valor situado de tal modo na série que 25 dos dados são menores que ele e 75 restantes são maiores Segundo quartil Q2 coincide com a mediana Terceiro quartil Q3 valor situado de tal modo na série que 75 dos dados são menores que ele e 25 restantes são maiores Exemplo Considere as 20 notas a seguir obtidas em uma prova de Gestão de Negócios 1º Passo Encontramos Q1 e Q3 Posição de Q3 075 20 1 1575 Posição de Q1 025 20 1 525 63 5 2 65 62 1 Q 84 5 2 85 84 3 Q 45 2º Passo Calculamos IQR IQR Q3 Q1 IQR 845 635 21 Portanto a variação interquartil é igual a 21 Coeficiente de variação O Coeficiente de Variação é um cálculo que colabora no estudo de medida de dispersão sendo indicado como CV x 100 CV s Onde s é o desvio padrão e x representa a média aritmética dos valores Exemplo Tomemos os resultados das medidas das estaturas das massas de um mesmo grupo de indivíduos média Desvio padrão Estaturas em cm 175 50 Massas em kg 68 20 Verifique qual variável apresenta maior grau de dispersão Resolução 2 86 175100 5 CVE Coeficiente de variação para a variável Estatura em cm 2 94 68100 2 CVM Coeficiente de variação para a variável Massa em kg 46 Portanto podemos afirmar que para esse grupo de indivíduos as massas apresentam maior grau de dispersão que as estaturas Conclusão Neste bloco estudamos a média aritmética simples a mediana a moda e os quatis que são as medidas de posição que são chamadas de medidas de posição E completamos nossos estudos desse bloco conhecendo as medidas de dispersão que são Amplitude Total Variância Desvio padrão Coeficiente de Variação e intervalos interquartil REFERÊNCIAS CRESPO A A Estatística Fácil São Paulo Saraiva 2009 DANTE L R Matemática São Paulo Ática 2009 V único DOWNING D CLARK J Estatística aplicada São Paulo Saraiva 2011 LEVIN J FOX J A FORDE D R Estatística para ciências humanas São Paulo Pearson 2014 SMOLE K C S Matemática São Paulo Saraiva 1999 v 1 DINIZ M I Matemática Ensino Médio São Paulo Saraiva 2003 v 1