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ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 2º Semestre de 2023 GR03672 ANÁLISE DE DADOS ANÁLISE DA VARIÂNCIA PARA UM FATOR Acervo Virtual MONTGOMERY Douglas C RUNGER George C Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros 6ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 Planejamento e Análise de Experimentos com um único Fator A Análise de Variância Capítulo 13 131 e 132 Análise da Variância Para Um e Dois Fatores httpsedisciplinasuspbrpluginfilephp326053 4modresourcecontent1TC3B3pico13p df Introdução Análise da Variância ANOVA é um método para testar a igualdade de três ou mais médias populacionais baseado na análise das variâncias amostrais Os dados amostrais são separados em grupos segundo uma característica tratamentos Tratamento é uma característica que permite distinguir diferentes populações umas das outras Introdução Análise Tratamento Categoria Pergunta Produtividade média dos turnos de trabalho Turno de trabalho Primeiro Segundo e Terceiro O turno de trabalho interfere na produtividade média Resistência à tração média da peça com adição de carga mineral na mistura Porcentagem de carga mineral adicionada à mistura 30 35 40 45 e 50 A adição de carga mineral na mistura afeta a resistência média à tração Influência da técnica de preparação na resistência média à compressão do concreto Técnica Técnica 1 Técnica 2 Técnica 3 e Técnica 4 A técnica interfere na resistência média à compressão do concreto Exemplos Analise da Variância um Fator Suposições População normalmente distribuída Amostras são aleatórias e mutuamente independentes As diferentes amostras são obtidas de populações classificadas em apenas uma categoria Hipótese da Analise da Variância para um Fator HIPÓTESE NULA a média μ de todas as populações são iguais ou seja o tratamento não tem efeito nenhuma variação na média entre grupos H0 μ1 μ2 μ3 μk HIPÓTESE ALTERNATIVA nem todas as médias populacionais são iguais ou seja Pelo menos uma média é diferente isto é existe efeito do tratamento a mudança do tratamento tem influência significativa na média Não quer dizer que todas as média são diferentes alguns pares podem ser iguais H1 Nem todas as médias populacionais são iguais Hipótese da Analise da Variância para um Fator Hipótese da Analise da Variância para um Fator Prof Mário Monteiro 9 Decomposição das observações em contribuições de diferentes fontes 𝒙𝒊𝒋 𝒙 𝒙 𝒋 𝒙 𝒙𝒊𝒋 𝒙 𝒋 Tratamentos Observações Xij j1 j2 j3 jn i1 x11 x12 x13 x1n i2 x21 x22 x23 x2n ia xa1 xa2 xa3 xan Grande média Desvio Médio no Tratamento Resíduo Cada observação 𝒙𝒊𝒋 tem a contribuição da grande média 𝒙 da média dentro do tratamento 𝒙 𝒊 𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑟𝑒𝑠í𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝒆𝒊𝒋 𝒙𝒊𝒋 𝒙 𝒙 𝒊 𝒆𝒊𝒋 i12a J12n Considerações sobre o resíduo erros Considerando que os erros eij sejam normalmente distribuídos e independente com média zero e variância σ2 Cada tratamento pode ser pensado como uma população normal com média populacional μ𝑖 e variância σ2 Hipótese da Analise da Variância para um Fator A ideia básica da ANOVA partição da variabilidade DENTRO do Tratamento ENTRE Tratamentos Hipótese da Analise da Variância para um Fator Variâncias Medida de variação variância amostral 𝑠2 𝑥𝑖 𝑥 2 𝑛 𝑖1 𝑛1 que depende de uma soma de quadrados Variação total variação entre amostras variação dentro das amostras Em símbolos SQtotal SQentre amostras SQdentro das amostras SQtotal ou soma total de quadrados é uma medida da variação total em torno de 𝑥 em todos os dados amostrais combinados SQentre é uma medida da variação entre as médias amostrais combinadas Também conhecida como SQtratamento Quando muda de uma linha para outra SQ dentro soma de quadrados que representa a variabilidade comum a todas as populações em consideração Também conhecida como SQerro Mesma linha entre colunas Hipótese da Analise da Variância para um Fator Variâncias Medida de variação variância amostral 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑜𝑢 𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑀𝑄 𝑠2 𝑥𝑖 𝑥 2 𝑛 𝑖1 𝑛1 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑆𝑄 𝑔𝑎𝑢𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 Em símbolos SQtotal SQentre amostras SQdentro das amostras 𝑺𝑸 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑿𝒊𝒋 𝑿 𝟐 𝑺𝑸𝒕𝒓𝒂𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒊𝒏𝑿𝒊𝒋 𝑿 𝒋𝟐 𝒊𝟏 𝒋𝒂 𝒋𝟏 ou 𝐒𝐐 𝐭𝐫𝐚𝐭𝐚𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐧 𝑿 𝒋 𝑿 𝒊𝒋𝟐 SQentre é uma medida da variação entre as médias amostrais combinadas Também conhecida como SQtratamento Quando muda de uma linha para outra SQ erro 𝑺𝑸 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑺𝑸𝒕𝒓𝒂𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 SQ dentro soma de quadrados que representa a variabilidade comum a todas as populações em consideração Também conhecida como SQerro Mesma linha entre colunas Análise da Variância ANOVA Fonte de Variação Soma Quadrática Graus de liberdade Média Quadrática Variância Razão F Estatística do teste Tratamento SQTratamento a1 𝑀𝑄 𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑆𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑎 1 𝐹0 𝑀𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑀𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 Erro SQErro an1 𝑀𝑄 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑛 1 Total SQTotal an 1 SQErro SQTotal SQTratamento Análise da Variância ANOVA 𝑆𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑗𝑛 𝑥𝑖𝑗 𝑥 2 𝑗1 𝑖𝑎 𝑖1 𝑆𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛 𝑖𝑎 𝑥 𝑖 𝑥 2 𝑖1 1º Passo Calcular a grande média 𝑋 𝑋𝑖𝑗 𝑎 𝑛 𝑗𝑛 𝑗𝑛 𝑖𝑎 𝑖1 2º Passo Calcular a média para cada linha tratamento Sendo j de 1 até n Número de colunas réplicas i de 1 até a Número de colunas tratamentos 𝑋 𝑖 𝑋𝑖𝑗 𝑗𝑛 𝑗1 𝑛 3º Passo Calcular a soma quadrática total SQtotal ou soma total de quadrados é uma medida da variação total em torno de 𝑥 em todos os dados amostrais combinados 4º Passo Calcular a soma quadrática dos tratamentos SQentre é uma medida da variação entre as médias amostrais combinadas Também conhecida como SQtratamento 5º Passo Calcular a soma quadrática do erro SQ dentro soma de quadrados que representa a variabilidade comum a todas as populações em consideração Também conhecida como SQerro 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑥𝑖𝑗 𝑥 𝑖 2 𝑛 𝑗1 𝑎 𝑖1 Valor crítico para o Teste de Hipóteses Usando a tabela 1α 𝐹1α𝑎1 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑛1 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 α 10 1α 90 Coluna a1 no caso a5 a1 51 4 Graus de liberdade do tratamento Numerador Coluna Linha an1 no caso n3 an153 1 10 Graus de liberdade do erro Denominador Linha Exemplo Para um Nível de Confiança de 90 cinco tratamentos a5 e três amostras por tratamento n3 Valor crítico para o Teste de Hipóteses Usando a tabela 1α Exemplo Para um Nível de Confiança de 90 cinco tratamentos a5 e três amostras por tratamento n3 α 10 Coluna a1 no caso a5 a1 51 4 Graus de liberdade do tratamento Numerador Coluna Linha an1 no caso n3 an153 1 10 Graus de liberdade do erro Denominador Linha Hipótese da Analise da Variância para um Fator Tabela ANOVA Um fator Exemplo 1º Exercício O artigo Compression of singlewall corrugated shipping containers using fixed and floating test platens J Testing and Evaluation 1992 318320 relata um experimento em que se comparou a resistência à compressão lb 45 N de vários tipos diferentes de caixas A Tabela 101 apresenta os resultados de um experimento ANOVA de fator único envolvendo I 4 tipos de caixas as médias amostrais e os desvios padrão estão coerentes com os valores especificados no artigo Verificar ao Nível de Confiança de 95 se o tipo de caixa influência na Resistência à compressão Tipo de caixa Resistência à compressão N 1 6555 7883 7343 7214 6791 6994 2 7892 7725 7869 6861 7321 7748 3 7371 6390 6963 6717 7172 7271 4 5351 6287 5424 5590 5869 5200 Análise da Variância ANOVA 1º Exercício Fonte de Variação Soma Quadrática Graus de liberdade Média Quadrática Variância Razão F Estatística do teste Tratamento SQTratamento a1 𝑀𝑄 𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑆𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑎 1 𝐹0 𝑀𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑀𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 Erro SQErro an1 𝑀𝑄 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑛 1 Total SQTotal an 1 Fonte de Variação Soma Quadrática Graus de liberdade Média Quadrática Variância Razão F0 Estatística do teste Tratamento 12737475 3 4245825 2509 Erro 3383898 20 169195 Total 16121373 23 2º Exercício De acordo com o artigo Evaluating fracture behavior of brittle polymeric materials using an IASCB specimen J of Engr Manuf 2013 133140 pesquisadores recentemente propuseram um teste aperfeiçoado para a investigação de resistência à fratura de materiais poliméricos frágeis Esse novo teste de fratura foi aplicado ao polímero frágil polimetilmetacrilato PMMA mais popularmente conhecido como Plexiglas que é amplamente utilizado em produtos comerciais O teste foi realizado aplicandose cargas de flexão assimétricas de três pontos em tipos da amostra de PMMA A localização de um dos três pontos de carga foi então variada para determinar seu efeito na carga de fratura Em um experimento foram selecionadas três localizações de pontos de carga com base em distâncias diferentes do centro da base da amostra resultando nos seguintes dados sobre a carga de fratura kN Verificar ao nível de confiança de 95 se o ponto de carga influência na Resistência à fratura Distância Carga de fratura kN 42 mm 262 299 339 286 36 mm 347 385 377 363 312 mm 478 441 491 506 Análise da Variância ANOVA 2º Exercício Fonte de Variação Soma Quadrática Graus de liberdade Média Quadrática Variância Razão F Estatística do teste Tratamento SQTratamento a1 𝑀𝑄 𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑆𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑎 1 𝐹0 𝑀𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑀𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 Erro SQErro an1 𝑀𝑄 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑛 1 Total SQTotal an 1 Fonte de Variação Soma Quadrática Graus de liberdade Média Quadrática Variância Razão F0 Estatística do teste Tratamento 6775 2 33826 4858 Erro 0627 9 00696 Total 7392 11 3º Exercício Um estudo sobre as propriedades das vigas de conexão por chapa metálica para serem usadas como suporte de telhados Modeling joints made with lightgauge metal connector plates Fo rest Products J 1979 3944 apresentaram as seguintes observações sobre o índice de rigidez axial kipspol para chapas de 4 6 8 10 e 12 pol de comprimento A variação no comprimento da chapa tem algum efeito sobre a rigidez axial média verdadeira Defina e teste a hipótese relevante utilizando análise de variância com alfa 001 Apresente seus resultados em uma tabela ANOVA Comprimento Índice de Rigidez kpispol 4 pol 3092 4095 3110 3265 3168 3498 3097 6 pol 4021 3472 3610 4045 3310 3489 3817 8 pol 3924 3662 3510 3571 4099 3673 3820 10 pol 3467 4529 4614 4331 4106 3842 3626 12 pol 4074 4418 4199 4107 4734 4412 4658 Análise da Variância ANOVA 3º Exercício Fonte de Variação Soma Quadrática Graus de liberdade Média Quadrática Variância Razão F Estatística do teste Tratamento SQTratamento a1 𝑀𝑄 𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑆𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑎 1 𝐹0 𝑀𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑀𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 Erro SQErro an1 𝑀𝑄 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑛 1 Total SQTotal an 1 Fonte de Variação Soma Quadrática Graus de liberdade Média Quadrática Variância Razão F0 Estatística do teste Tratamento 43992551 4 1099814 1048 Erro 31475031 30 104917 Total 75467583 34 4º Exercício Foram analisadas seis amostras de cada um dos quatro tipos de grão de cereal cultivados em uma região para determinar o teor de tiamina o que gerou os seguintes dados mgg Será que esses dados sugerem que pelo menos dois tipos de grãos são diferentes em relação ao teor médio verdadeiro de tiamina Testar para um nível de confiança de 95 Cereal Teor de tiamina mgg Trigo 52 45 60 61 67 58 Cevada 65 80 61 75 59 56 Milho 58 47 64 49 60 52 Aveia 83 61 78 70 55 72 Análise da Variância ANOVA 4º Exercício Fonte de Variação Soma Quadrática Graus de liberdade Média Quadrática Variância Razão F Estatística do teste Tratamento SQTratamento a1 𝑀𝑄 𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑆𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑎 1 𝐹0 𝑀𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑀𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 Erro SQErro an1 𝑀𝑄 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑛 1 Total SQTotal an 1 Fonte de Variação Soma Quadrática Graus de liberdade Média Quadrática Variância Razão F0 Estatística do teste Tratamento 8983 3 29944 396 Erro 15137 20 07568 Total 24120 23
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ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 2º Semestre de 2023 GR03672 ANÁLISE DE DADOS ANÁLISE DA VARIÂNCIA PARA UM FATOR Acervo Virtual MONTGOMERY Douglas C RUNGER George C Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros 6ª ed Rio de Janeiro LTC 2018 Planejamento e Análise de Experimentos com um único Fator A Análise de Variância Capítulo 13 131 e 132 Análise da Variância Para Um e Dois Fatores httpsedisciplinasuspbrpluginfilephp326053 4modresourcecontent1TC3B3pico13p df Introdução Análise da Variância ANOVA é um método para testar a igualdade de três ou mais médias populacionais baseado na análise das variâncias amostrais Os dados amostrais são separados em grupos segundo uma característica tratamentos Tratamento é uma característica que permite distinguir diferentes populações umas das outras Introdução Análise Tratamento Categoria Pergunta Produtividade média dos turnos de trabalho Turno de trabalho Primeiro Segundo e Terceiro O turno de trabalho interfere na produtividade média Resistência à tração média da peça com adição de carga mineral na mistura Porcentagem de carga mineral adicionada à mistura 30 35 40 45 e 50 A adição de carga mineral na mistura afeta a resistência média à tração Influência da técnica de preparação na resistência média à compressão do concreto Técnica Técnica 1 Técnica 2 Técnica 3 e Técnica 4 A técnica interfere na resistência média à compressão do concreto Exemplos Analise da Variância um Fator Suposições População normalmente distribuída Amostras são aleatórias e mutuamente independentes As diferentes amostras são obtidas de populações classificadas em apenas uma categoria Hipótese da Analise da Variância para um Fator HIPÓTESE NULA a média μ de todas as populações são iguais ou seja o tratamento não tem efeito nenhuma variação na média entre grupos H0 μ1 μ2 μ3 μk HIPÓTESE ALTERNATIVA nem todas as médias populacionais são iguais ou seja Pelo menos uma média é diferente isto é existe efeito do tratamento a mudança do tratamento tem influência significativa na média Não quer dizer que todas as média são diferentes alguns pares podem ser iguais H1 Nem todas as médias populacionais são iguais Hipótese da Analise da Variância para um Fator Hipótese da Analise da Variância para um Fator Prof Mário Monteiro 9 Decomposição das observações em contribuições de diferentes fontes 𝒙𝒊𝒋 𝒙 𝒙 𝒋 𝒙 𝒙𝒊𝒋 𝒙 𝒋 Tratamentos Observações Xij j1 j2 j3 jn i1 x11 x12 x13 x1n i2 x21 x22 x23 x2n ia xa1 xa2 xa3 xan Grande média Desvio Médio no Tratamento Resíduo Cada observação 𝒙𝒊𝒋 tem a contribuição da grande média 𝒙 da média dentro do tratamento 𝒙 𝒊 𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑟𝑒𝑠í𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝒆𝒊𝒋 𝒙𝒊𝒋 𝒙 𝒙 𝒊 𝒆𝒊𝒋 i12a J12n Considerações sobre o resíduo erros Considerando que os erros eij sejam normalmente distribuídos e independente com média zero e variância σ2 Cada tratamento pode ser pensado como uma população normal com média populacional μ𝑖 e variância σ2 Hipótese da Analise da Variância para um Fator A ideia básica da ANOVA partição da variabilidade DENTRO do Tratamento ENTRE Tratamentos Hipótese da Analise da Variância para um Fator Variâncias Medida de variação variância amostral 𝑠2 𝑥𝑖 𝑥 2 𝑛 𝑖1 𝑛1 que depende de uma soma de quadrados Variação total variação entre amostras variação dentro das amostras Em símbolos SQtotal SQentre amostras SQdentro das amostras SQtotal ou soma total de quadrados é uma medida da variação total em torno de 𝑥 em todos os dados amostrais combinados SQentre é uma medida da variação entre as médias amostrais combinadas Também conhecida como SQtratamento Quando muda de uma linha para outra SQ dentro soma de quadrados que representa a variabilidade comum a todas as populações em consideração Também conhecida como SQerro Mesma linha entre colunas Hipótese da Analise da Variância para um Fator Variâncias Medida de variação variância amostral 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑜𝑢 𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑀𝑄 𝑠2 𝑥𝑖 𝑥 2 𝑛 𝑖1 𝑛1 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑆𝑄 𝑔𝑎𝑢𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒 Em símbolos SQtotal SQentre amostras SQdentro das amostras 𝑺𝑸 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑿𝒊𝒋 𝑿 𝟐 𝑺𝑸𝒕𝒓𝒂𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒊𝒏𝑿𝒊𝒋 𝑿 𝒋𝟐 𝒊𝟏 𝒋𝒂 𝒋𝟏 ou 𝐒𝐐 𝐭𝐫𝐚𝐭𝐚𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐧 𝑿 𝒋 𝑿 𝒊𝒋𝟐 SQentre é uma medida da variação entre as médias amostrais combinadas Também conhecida como SQtratamento Quando muda de uma linha para outra SQ erro 𝑺𝑸 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑺𝑸𝒕𝒓𝒂𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 SQ dentro soma de quadrados que representa a variabilidade comum a todas as populações em consideração Também conhecida como SQerro Mesma linha entre colunas Análise da Variância ANOVA Fonte de Variação Soma Quadrática Graus de liberdade Média Quadrática Variância Razão F Estatística do teste Tratamento SQTratamento a1 𝑀𝑄 𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑆𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑎 1 𝐹0 𝑀𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑀𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 Erro SQErro an1 𝑀𝑄 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑛 1 Total SQTotal an 1 SQErro SQTotal SQTratamento Análise da Variância ANOVA 𝑆𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑗𝑛 𝑥𝑖𝑗 𝑥 2 𝑗1 𝑖𝑎 𝑖1 𝑆𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑛 𝑖𝑎 𝑥 𝑖 𝑥 2 𝑖1 1º Passo Calcular a grande média 𝑋 𝑋𝑖𝑗 𝑎 𝑛 𝑗𝑛 𝑗𝑛 𝑖𝑎 𝑖1 2º Passo Calcular a média para cada linha tratamento Sendo j de 1 até n Número de colunas réplicas i de 1 até a Número de colunas tratamentos 𝑋 𝑖 𝑋𝑖𝑗 𝑗𝑛 𝑗1 𝑛 3º Passo Calcular a soma quadrática total SQtotal ou soma total de quadrados é uma medida da variação total em torno de 𝑥 em todos os dados amostrais combinados 4º Passo Calcular a soma quadrática dos tratamentos SQentre é uma medida da variação entre as médias amostrais combinadas Também conhecida como SQtratamento 5º Passo Calcular a soma quadrática do erro SQ dentro soma de quadrados que representa a variabilidade comum a todas as populações em consideração Também conhecida como SQerro 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑥𝑖𝑗 𝑥 𝑖 2 𝑛 𝑗1 𝑎 𝑖1 Valor crítico para o Teste de Hipóteses Usando a tabela 1α 𝐹1α𝑎1 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑛1 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 α 10 1α 90 Coluna a1 no caso a5 a1 51 4 Graus de liberdade do tratamento Numerador Coluna Linha an1 no caso n3 an153 1 10 Graus de liberdade do erro Denominador Linha Exemplo Para um Nível de Confiança de 90 cinco tratamentos a5 e três amostras por tratamento n3 Valor crítico para o Teste de Hipóteses Usando a tabela 1α Exemplo Para um Nível de Confiança de 90 cinco tratamentos a5 e três amostras por tratamento n3 α 10 Coluna a1 no caso a5 a1 51 4 Graus de liberdade do tratamento Numerador Coluna Linha an1 no caso n3 an153 1 10 Graus de liberdade do erro Denominador Linha Hipótese da Analise da Variância para um Fator Tabela ANOVA Um fator Exemplo 1º Exercício O artigo Compression of singlewall corrugated shipping containers using fixed and floating test platens J Testing and Evaluation 1992 318320 relata um experimento em que se comparou a resistência à compressão lb 45 N de vários tipos diferentes de caixas A Tabela 101 apresenta os resultados de um experimento ANOVA de fator único envolvendo I 4 tipos de caixas as médias amostrais e os desvios padrão estão coerentes com os valores especificados no artigo Verificar ao Nível de Confiança de 95 se o tipo de caixa influência na Resistência à compressão Tipo de caixa Resistência à compressão N 1 6555 7883 7343 7214 6791 6994 2 7892 7725 7869 6861 7321 7748 3 7371 6390 6963 6717 7172 7271 4 5351 6287 5424 5590 5869 5200 Análise da Variância ANOVA 1º Exercício Fonte de Variação Soma Quadrática Graus de liberdade Média Quadrática Variância Razão F Estatística do teste Tratamento SQTratamento a1 𝑀𝑄 𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑆𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑎 1 𝐹0 𝑀𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑀𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 Erro SQErro an1 𝑀𝑄 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑛 1 Total SQTotal an 1 Fonte de Variação Soma Quadrática Graus de liberdade Média Quadrática Variância Razão F0 Estatística do teste Tratamento 12737475 3 4245825 2509 Erro 3383898 20 169195 Total 16121373 23 2º Exercício De acordo com o artigo Evaluating fracture behavior of brittle polymeric materials using an IASCB specimen J of Engr Manuf 2013 133140 pesquisadores recentemente propuseram um teste aperfeiçoado para a investigação de resistência à fratura de materiais poliméricos frágeis Esse novo teste de fratura foi aplicado ao polímero frágil polimetilmetacrilato PMMA mais popularmente conhecido como Plexiglas que é amplamente utilizado em produtos comerciais O teste foi realizado aplicandose cargas de flexão assimétricas de três pontos em tipos da amostra de PMMA A localização de um dos três pontos de carga foi então variada para determinar seu efeito na carga de fratura Em um experimento foram selecionadas três localizações de pontos de carga com base em distâncias diferentes do centro da base da amostra resultando nos seguintes dados sobre a carga de fratura kN Verificar ao nível de confiança de 95 se o ponto de carga influência na Resistência à fratura Distância Carga de fratura kN 42 mm 262 299 339 286 36 mm 347 385 377 363 312 mm 478 441 491 506 Análise da Variância ANOVA 2º Exercício Fonte de Variação Soma Quadrática Graus de liberdade Média Quadrática Variância Razão F Estatística do teste Tratamento SQTratamento a1 𝑀𝑄 𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑆𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑎 1 𝐹0 𝑀𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑀𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 Erro SQErro an1 𝑀𝑄 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑛 1 Total SQTotal an 1 Fonte de Variação Soma Quadrática Graus de liberdade Média Quadrática Variância Razão F0 Estatística do teste Tratamento 6775 2 33826 4858 Erro 0627 9 00696 Total 7392 11 3º Exercício Um estudo sobre as propriedades das vigas de conexão por chapa metálica para serem usadas como suporte de telhados Modeling joints made with lightgauge metal connector plates Fo rest Products J 1979 3944 apresentaram as seguintes observações sobre o índice de rigidez axial kipspol para chapas de 4 6 8 10 e 12 pol de comprimento A variação no comprimento da chapa tem algum efeito sobre a rigidez axial média verdadeira Defina e teste a hipótese relevante utilizando análise de variância com alfa 001 Apresente seus resultados em uma tabela ANOVA Comprimento Índice de Rigidez kpispol 4 pol 3092 4095 3110 3265 3168 3498 3097 6 pol 4021 3472 3610 4045 3310 3489 3817 8 pol 3924 3662 3510 3571 4099 3673 3820 10 pol 3467 4529 4614 4331 4106 3842 3626 12 pol 4074 4418 4199 4107 4734 4412 4658 Análise da Variância ANOVA 3º Exercício Fonte de Variação Soma Quadrática Graus de liberdade Média Quadrática Variância Razão F Estatística do teste Tratamento SQTratamento a1 𝑀𝑄 𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑆𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑎 1 𝐹0 𝑀𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑀𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 Erro SQErro an1 𝑀𝑄 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑛 1 Total SQTotal an 1 Fonte de Variação Soma Quadrática Graus de liberdade Média Quadrática Variância Razão F0 Estatística do teste Tratamento 43992551 4 1099814 1048 Erro 31475031 30 104917 Total 75467583 34 4º Exercício Foram analisadas seis amostras de cada um dos quatro tipos de grão de cereal cultivados em uma região para determinar o teor de tiamina o que gerou os seguintes dados mgg Será que esses dados sugerem que pelo menos dois tipos de grãos são diferentes em relação ao teor médio verdadeiro de tiamina Testar para um nível de confiança de 95 Cereal Teor de tiamina mgg Trigo 52 45 60 61 67 58 Cevada 65 80 61 75 59 56 Milho 58 47 64 49 60 52 Aveia 83 61 78 70 55 72 Análise da Variância ANOVA 4º Exercício Fonte de Variação Soma Quadrática Graus de liberdade Média Quadrática Variância Razão F Estatística do teste Tratamento SQTratamento a1 𝑀𝑄 𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑆𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑎 1 𝐹0 𝑀𝑄𝑡𝑟𝑎𝑡 𝑀𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 Erro SQErro an1 𝑀𝑄 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑆𝑄𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑛 1 Total SQTotal an 1 Fonte de Variação Soma Quadrática Graus de liberdade Média Quadrática Variância Razão F0 Estatística do teste Tratamento 8983 3 29944 396 Erro 15137 20 07568 Total 24120 23