Eletromagnetismo: Revisão e Cálculo Vetorial

ELETROMAGNETISMO Prof Dr Vicente Idalberto Becerra Sablon Eletromagnetismo Revisão Cálculo Vetorial Lei de Gauss Maxwell Sumario 1 Tema I Calculo Vetorial I Vetores e Escalares II Multiplicação Vetorial III Operador nabla del IV Gradiente de um Campo Escalar V Divergência de um Campo Vetorial VI Rotacional de um Campo Vetorial 2 Tema II Eletrostática Lei de Gauss Maxwell Bibliografias 1 Notas e Exercícios de Aula Cálculo Vetorial Gradiente de um Escalar 2 William H Hayt Jr John A Buck Eletromagnetismo Bookman 2013 httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks9788580551549pageid15 BIBLIOGRAFIA Lei de Gauss Maxwell Operador nabla del Gradiente de um Campo Escalar Divergência de um Campo Vetorial Rotacional de um Campo Vetorial N1 Metodologia e Objetivos INTRODUÇÃO A análise vetorial é uma ferramenta matemática pela qual os conceitos do eletromagnetismo EM são mais convenientemente expressos e melhor compreendidos Precisamos primeiramente aprender suas regras e técnicas antes de aplicálas com segurança VETORES E ESCALARES GRANDEZAS FÍSICAS VETOR UNITÁRIO Vetores Unitários Versores Um vetor unitário tem módulo 1 e a direção dos eixos de coordenadas Um vetor A em coordenadas cartesianas ou retangulares pode ser representado como Ax Ay Az ou A Axax Ayay Azaz onde Ax Ay e Az são denominadas as componentes de A respectivamente nas direções x y e z a a e a são respectivamente os vetores unitários nas direções x y e z Um vetor A tem magnitude e orientação A magnitude de A é um escalar escrito como A ou A Um vetor unitário aA ao longo de A é definido como um vetor cuja magnitude é a unidade isto é 1 e a orientação é ao longo de A isto é aA A A Axax Ayay Azaz Ax² Ay² Az² Observe que aA 1 Dessa forma podemos escrever A como A AaA o que especifica completamente A em termos de sua magnitude A e sua orientação aA MULTIPLICAÇÃO VETORIAL Quando dois vetores A e B são multiplicados entre si o resultado tanto pode ser um escalar quanto um vetor dependendo de como eles são multiplicados Dessa forma existem dois tipos de multiplicação vetorial 1 produto escalar ou ponto A B 2 produto vetorial ou cruzado A B O produto cruzado de dois vetores A e B é uma quantidade vetorial cuja magnitude é a área do paralelogramo formado por A e B ver Figura e cuja orientação é dada pelo avanço de um parafuso de rosca direita à medida que A gira em direção a B A B C O produto ponto de dois vetores A e B escrito como A B é definido geometricamente como o produto das magnitudes de A e B e do cosseno do ângulo entre eles PRODUTO VETORIAL OU CRUZADO é denominada produto cruzado devido à cruz sinal que identifica a operação E também denominada produto vetorial porque o resultado é um vetor Se A Ax Ay Az e B Bx By Bz A B AB sen θABan Operador o operador pronunciado nabla ou del é um símbolo usado para denotar uma série de operadores diferenciais definidos em campos escalares e vetoriais como gradiente divergente e rotacional Operador nabla ou del Operador diferencial com caráter vetorial em coordenadas Cartesianas Ƹ𝑖 𝑥 Ƹ𝑗 𝑦 𝑘 𝑧 1 𝑜 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 𝑉 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑉 2 𝑜 𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐸 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝐸 3 𝑜 𝒓𝒐𝒕𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐵 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑋 𝐵 GRADIENTE EM COORDENADAS CILÍNDRICAS Um ponto P em coordenadas cilíndricas é representado por ρ φ z ρ é o raio do cilindro que passa por P ou é a distância radial a partir do eixo z φ denominado ângulo azimutal é medido a partir do eixo x no plano xy e z é o mesmo do sistema cartesiano Os intervalos das variáveis são 0 ρ 0 φ 2π z Um vetor A em coordenadas cilíndricas pode ser escrito como Aρ Aφ Az ou Aρaρ Aφaφ Azaz COORDENADAS ESFÉRICAS Um ponto P pode ser representado como r θ φ r é definido como a distância a partir da origem até o ponto P ou o raio da esfera centrada na origem e que passa por P θ denominado colatitude é o ângulo entre o eixo z e o vetor posição de P e φ é medido a partir do eixo x o mesmo ângulo azimutal em coordenadas cilíndricas 0 r 0 θ π 0 φ 2π Um vetor A em um sistema de coordenadas esféricas pode ser escrito como Ar Aθ Aφ ou Aara Aθaθ Aφaφ GRADIENTE DE UM ESCALAR As curvas de mesma audibilidade também chamadas curvas isofônicas O DESEMPENHO ACÚSTICO ISOLAMENTO SONORO 𝐺 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 𝑉 𝑥 Ƹ𝑖 𝑉 𝑦 Ƹ𝑗 𝑉 𝑧 𝑘 O gradiente de um campo escalar V é um vetor que representa a magnitude e a orientação da máxima taxa espacial de variação de V O gradiente de um campo escalar V é um vetor que representa a magnitude e a orientação da máxima taxa espacial de variação de V Exercícios Gradiente de um Campo Escalar Metodologia para a Resolução de Exercícios Problemas 1º Passo Leitura identificando os Dados 2º Passo Visualize Desenhar o problema 3º Passo Construa uma Estratégia de Resolução Já encontrou este problema ou algum parecido Identifique as fórmulas Compare os dados obtidos com às informações da fórmula Começar a direcionar sua resolução 4º Passo Execute a Estratégia 5º Passo REVISEExamine a solução obtida Ao fazer o desenho você estará sendo forçado a entender e visualizar o problema além de coletar as principais informações no enunciado para resolver a questão Em coordenadas cartesianas V Vx ax Vy ay Vz az Em coordenadas cilíndricas V Vρ aρ 1ρ Vφ aφ Vz az Em coordenadas esféricas V Vr ar 1r Vθ aθ 1r senθ Vφ aφ DIVERGÊNCIA CONVERGÊNCIA Convergentes Se dirigem a um só ponto Divergentes Se dirigem para vários pontos partindo de um mesmo lugar Parallelas Seguem na mesma direção mantendo a mesma distância entre si Perpendiculares São linhas que se cruzam formando ângulos retos O campo elétrico de uma carga positiva isolada O campo elétrico de uma carga negativa isolada S N Pólo sul magnético Inclinação da Terra Pólo norte geográfico Linhas de indução Linhas de indução Pólo sul Pólo norte EQUADOR Divergent Wind FLUXO DE UM VETOR A Q DIVERGÊNCIA DE UM VETOR Definição A divergência de A em um dado ponto P é o fluxo que sai por unidade de volume à medida que o volume se reduz a zero em torno de P A divergência de A em um dado ponto P é o fluxo que sai por unidade de volume à medida que o volume se reduz a zero em torno de P div A A lim AdSΔν0 Δν onde Δν é o volume encerrado pela superfície fechada S na qual P está localizado Fisicamente podemos considerar a divergência de um campo vetorial A em um dado ponto como uma medida de quanto o campo diverge ou emana desse ponto A divergência de um campo vetorial pode ser vista como simplesmente o limite da intensidade da fonte de campo por unidade de volume ou densidade da fonte é positiva em um pontofonte e negativa em um pontosumidor ou zero em um ponto nem sumidor nem fonte Em coordenadas cartesianas A Axx Ayy Azz Em coordenadas cilíndricas A 1ρ ρρAρ 1ρ Aφφ Azz Em coordenadas esféricas A 1r² rr²Ar 1r senθ θAθ senθ 1r senθ Aφφ Teorema da divergência gauss ostrogradsky Relação Fluxo Divergência O teorema da divergência estabelece que o fluxo total de um campo vetorial A que sai de uma superfície fechada S é igual a integral de volume da divergência de A Exercícios Divergência de um Campo Vetorial Metodologia para a Resolução de Exercícios Problemas 1º Passo Leitura identificando os Dados 2º Passo Visualize Desenhar o problema 3º Passo Construa uma Estratégia de Resolução Já encontrou este problema ou algum parecido Identifique as fórmulas Compare os dados obtidos com às informações da fórmula Começar a direcionar sua resolução 4º Passo Execute a Estratégia 5º Passo REVISEExamine a solução obtida Ao fazer o desenho você estará sendo forçado a entender e visualizar o problema além de coletar as principais informações no enunciado para resolver a questão Em coordenadas cartesianas A Axx Ayy Azz Em coordenadas cilíndricas A 1ρ ρρAρ 1ρ Aφφ Azz Em coordenadas esféricas A 1r² rr²Ar 1r sen θ θAθ sen θ 1r sen θ Aφφ ROTACIONAL ROTAÇÃO circulação A maioria dos geradores eólicos geram energia na forma de corrente alternada trifásica É necessário um transformador para elevar a tensão ao nível da rede de transmissão No caso do gerador gerar corrente contínua devese usar inversores para transformar a corrente em corrente alternada Wind energy conversion Hurricane Katrina using only asc data 2005 Aug 28 Thunderstorm cloud formation 28 AUG 05 G12 IMG 0145 Image shows a blurred and dark scene with palm trees and a waterlogged area during a storm Images of a motor with labeled components Commutator Shaft Brushes Rotor Coils Stator Magnets O produto cruzado de dois vetores A e B escrito como A B é uma quantidade vetorial cuja magnitude é a área do paralelogramo formado por A e B ver Figura e cuja orientação é dada pelo avanço de um parafuso de rosca direita à medida que A gira em direção a B Regra da Mão Direita httpfisicaufmtbrnuvemwpcontentuploads201509finalvet3gif C A B REGRA DA MÃO DIREITA curve os dedos da sua mão direita na direção da rotação e mantenha o polegar esticado O vetor que representa essa rotação tridimensional é por definição orientado na direção do seu polegar Para fazer isso a rotação em três dimensões é tipicamente representada por um único vetor A magnitude do vetor indica a velocidade angular e a direção do vetor é determinada por uma convenção super importante chamada de regra da mão direita C A B i i Rotacional de um Vetor 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎çã𝑜 𝑂𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 PRODUTO VETORIAL OU CRUZADO é denominada produto cruzado devido à cruz sinal que identifica a operação E também denominada produto vetorial porque o resultado é um vetor Se A Aₓ Aᵧ A₂ e B Bₓ Bᵧ B₂ A B AB sen θᵢAₙ Cartesianas Cilíndricas Esféricas O Rotacional de um Vetor A é um PRODUTO VETORIAL Observações Dados dois vetores e Ԧ𝐴 podemos agora definir o produto vetorial de e Ԧ𝐴 que e escrito com um sinal de cruz entre os dois vetores como 𝑥 Ԧ𝐴 O resultado do produto vetorial e um vetor A intensidade 𝒙𝑨 e igual ao produto das intensidades e do seno do menor ângulo entre os vetores A direção de 𝒙𝑨 e perpendicular ao plano que contem e Ԧ𝐴 O sentido e aquele relacionado ao avanço de um parafuso dextrogiro parafuso de rosca direita que e girado de para Ԧ𝐴 A direção e o sentido de 𝑥 Ԧ𝐴 são na direção e no sentido de avanço de um parafuso rotacionado no sentido de para A Ԧ𝐴 𝑥 Ԧ𝐴 Teorema de Stokes 𝐴 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝒅𝒍 𝑒 𝒅𝒔 𝑛𝑜 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑆𝑡𝑜𝑘𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑣𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑖𝑑𝑎 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑎 𝒓𝒆𝒈𝒓𝒂 𝒅𝒂 𝒎ã𝒐 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒊𝒕𝒂 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑓𝑢𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑠𝑐𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 Circulação do campo Vetorial A 𝐴𝑜 𝑢𝑠𝑎𝑟 𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑚ã𝑜 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑠𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑚𝑜𝑠 𝒐𝒔 𝒅𝒆𝒅𝒐𝒔 𝒂𝒐 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒐 𝒅𝒆 𝒅𝒍 𝑜 𝒑𝒐𝒍𝒆𝒈𝒂𝒓 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂𝒓á 𝒂 𝒐𝒓𝒊𝒆𝒏𝒕𝒂çã𝒐 𝒅𝒐 𝒅𝒔 𝒅𝒔 𝒏𝒅𝒔 𝒅𝒍 𝒅𝒔 𝒏𝒅𝒔 𝒅𝒍 𝒅𝒔 𝒏𝒅𝒔 𝒅𝒍 ර 𝑙 Ԧ𝐴 𝑑𝑙 න 𝑠 𝑥 Ԧ𝐴 𝑑𝑠 Teorema de Stokes Significado de dl e ds 𝑹𝒆𝒈𝒓𝒂 𝒅𝒂 𝑴ã𝒐 𝑫𝒊𝒓𝒆𝒊𝒕𝒂 𝒅𝒍 𝒆 𝒅𝒔 Figura Ilustração de um rotacional a rotacional em P aponta para fora da página b rotacional em P é zero Exercícios Rotacional de um Campo Vetorial Metodologia para a Resolução de Exercícios Problemas 1º Passo Leitura identificando os Dados 2º Passo Visualize Desenhar o problema 3º Passo Construa uma Estratégia de Resolução Já encontrou este problema ou algum parecido Identifique as fórmulas Compare os dados obtidos com às informações da fórmula Começar a direcionar sua resolução 4º Passo Execute a Estratégia 5º Passo REVISEExamine a solução obtida Ao fazer o desenho você estará sendo forçado a entender e visualizar o problema além de coletar as principais informações no enunciado para resolver a questão Em coordenadas cartesianas A aₓ aᵧ a₂ ou A Aₓ Aᵧ ax A₂ z az Aᵧ x az em coordenadas cilíndricas A 1ρ aₓ aᵧ a₂ ou e em coordenadas esféricas A 1 r² sen θ aₓ Eletromagnetismo Eletrostática Eletricidade Magnetismo Ondas Eletromagnéticas Eletrostática Eletricidade Estática Cargas em Repouso Campos Elétricos Estáticos invariantes no tempo Um Campo Eletrostático é gerado por uma Distribuição de Cargas Estáticas Fk q₁ q₂ r² 011 mN Fq₂ k q₁ q₂ r² APLICAÇÕES FONTES DO CAMPO ELETROSTÁTICO Fontes do Campo Eletrostático na carga positiva o campo elétrico sai da carga na carga negativa o campo elétrico entra da carga Representação do Campo Eletrostático Afastamse das cargas positivas e aproximamse das cargas negativas O campo elétrico é sempre tangente as linhas de força em cada ponto E o número de linhas de força por unidade de volume representa qualitativamente a intensidade do vetor campo elétrico As linhas de campo elétrico se afastam das cargas positivas onde começam e se aproximam das cargas negativas onde terminam Campo elétrico é tangente as linhas de campo em qualquer ponto O campo elétrico é mais intenso nas regiões em que as linhas de campo estão mais próximas número de linhasunidade de área ൯ 𝐸 0 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 Φ 0 𝐹𝑙𝑢𝑥𝑜 ൯ 𝐸 0 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 Φ 0 𝐹𝑙𝑢𝑥𝑜 Representação do Campo Eletrostático 𝐷 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝐹𝑙𝑢𝑥𝑜 𝐸𝑙𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑜𝑢 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑚 𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝐸 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜 𝐸𝑙𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑚 𝑣𝑜𝑙𝑡 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝐷 𝜀𝑜𝐸 𝜀𝑜 885 𝑥 1012 Τ 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑎𝑦 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 constante dielétrica LEI DE GAUSS MAXWELL A lei de Gauss constituise em uma das leis fundamentais do eletromagnetismo Karl Friedrich Gauss 17771855 matemático alemão desenvolveu o teorema da divergência A lei de Gauss é uma forma alternativa de estabelecer a lei de Coulomb A aplicação adequada do teorema da divergência à lei de Coulomb resulta na lei de Gauss A lei de Gauss se apresenta como uma maneira fácil de se determinar E ou D para distribuições simétricas de carga tais como uma carga pontual uma linha infinita de cargas uma superfície cilíndrica infinita de cargas e uma distribuição esférica de cargas Uma distribuição contínua de cargas tem uma simetria retangular se depende só de x ou y ou z simetria cilíndrica se depende só de r independente de θ e φ Lei de Gauss Maxwell Forma diferencial ou forma pontual da Lei de Gauss A densidade volumétrica de carga ρ é igual à divergência da densidade do fluxo elétrico D 𝐷 𝜌 𝐸 𝜌 𝜀𝑜 𝐷 𝜀𝑜𝐸 𝜌 𝑒 𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑉𝑜𝑙𝑜𝑢𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑏 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑐𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 Lei de Gauss Maxwell Forma diferencial ou forma pontual da Lei de Gauss 𝐷 𝜌 𝐸 𝜌 𝜀𝑜 𝐷 𝜀𝑜𝐸 𝜌 𝑒 𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑉𝑜𝑙𝑜𝑢𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑏 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑢𝑏𝑖𝑐𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 Expressões para o Cálculo da Divergência Lei de Gauss Maxwell Teorema da Divergência Fluxo Elétrico Lei de Gauss e Divergência ൯ 𝜌 0 𝐷 0 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐸 0 Φ 0 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 ൯ 𝜌 0 𝐷 0 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐸 0 Φ 0 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 ൯ 𝜌 0 𝐷 0 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐸 0 Φ 0 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 𝐷 𝜌 EXERCÍCIOS Lei de Gauss Maxwell Metodologia para a Resolução de Exercícios Problemas 1º Passo Leitura identificando os Dados 2º Passo Visualize Desenhar o problema 3º Passo Construa uma Estratégia de Resolução Já encontrou este problema ou algum parecido Identifique as fórmulas Compare os dados obtidos com às informações da fórmula Começar a direcionar sua resolução 4º Passo Execute a Estratégia 5º Passo REVISEExamine a solução obtida Ao fazer o desenho você estará sendo forçado a entender e visualizar o problema além de coletar as principais informações no enunciado para resolver a questão PRÓXIMA AULA N1 70 P 30 Listas 12042021 21h01 às 23h31 Tema I Calculo Vetorial Saber calcular Gradiente de um Escalar Divergência de um Vetor Rotacional de um Vetor Tema II Eletrostática Lei de Gauss e Teorema da Divergência Saber a relação entre a carga divergência e o fluxo Metodologia para o Estudo Reveja as Notas de Aula Faça Refaça os Exercícios Problemas Reveja a Metodologia de resolução de exercíciosproblemas Organização de cadernos separação das anotações por temas e materiais digitais Referências Bibliográficas