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Noções básicas sobre vetores Objetivos de aprendizagem Ao final dessa aula você deverá ser capaz de 1 Compreender o que são grandezas escalares e vetoriais 2 Entender as propriedades de um vetor módulo direção e sentido 3 Somar e subtrair vetores graficamente 4 Decompor um vetor em suas componentes i j e k 5 Somar e subtrair vetores usando suas componentes Grandezas físicas escalares São grandezas que ficam definidas quando expressas por um número e uma unidade de medida São exemplos tempo t volume V massa m distância percorrida As grandezas físicas vetoriais São grandezas que ficam definidas quando expressas por um número uma unidade de medida e uma orientação direção e sentido São exemplos Força módulo e unidade de medida100 N direção vertical sentido de baixo para cima velocidade 80 kmh na horizontal de oeste para leste entre outros exemplos Representase um vetor por um segmento de reta orientado Módulo É representado graficamente através do tamanho do vetor ou através de um valor numérico acompanhado de unidade Direção É a reta que dá suporte ao vetor Por exemplo reta r eixo x eixo y ou ainda a partir de um ângulo que a reta forma com uma reta de referência normalmente o eixo x Apesar de menos preciso os termos horizontal e vertical também são usados Sentido É a orientação do vetor dada pela seta Apesar de menos preciso os termos para a direita para a esquerda também são usados Mesma direção Mesmo módulo Sentidos opostos Vetor resultante Em algumas situações pode ser necessário fazer operações com vetores tais como soma subtração e multiplicação Um exemplo é quando um corpo está sob a ação de mais de uma força Neste caso pode ser necessário determinar a força resultante ou seja aquela que substitui o efeito das outas forças Para encontrar o vetor soma podemos usar métodos geométricos ou algébricos dependo das informações de que dispomos Vejamos a situação abaixo O gancho está sob a ação das duas forças e ao lado a força resultante Em A temse o método do paralelogramo e em B o método da poligonalDigite a equação aqui Obs Formas equivalentes FR 𝐅𝐑 Paralelogramo Poligonal Métodos geométricos Considere os vetores abaixo e obtenha geometricamente o vetor resultante Ԧ𝐂 a S A B paralelogramo 2 vetores Ԧ𝐒 b S A B poligonal vários vetores 𝐁 𝐀 c S A B C poligonal 𝐀 𝐁 𝐁 𝐀 Ԧ𝐒 𝐀 𝐁 Ԧ𝐂 Ԧ𝐒 Ԧ𝐂 𝐁 𝐀 Ԧ𝐒 A sequência da soma vetorial não interfere no resultado Ԧ𝐂 𝐀 𝐁 Ԧ𝐒 Ԧ𝐂 𝐁 𝐀 a Paralelogramo S A B A B 𝐀 𝐁 Ԧ𝐒 b Poligonal S A B A B 𝐀 𝐁 Ԧ𝐒 Métodos equivalentes Exemplo 1 Dados os vetores abaixo representados obtenha graficamente no quadriculado os vetores resultantes 𝐚 Ԧ𝐛 Ԧ𝐝 𝐱 Exemplo 1 Dados os vetores abaixo representados obtenha graficamente no quadriculado os vetores resultantes 𝟐Ԧ𝐛 𝒅 𝒆 Ԧ𝐲 Exemplo 1 Dados os vetores abaixo representados obtenha graficamente no quadriculado os vetores resultantes 𝟐Ԧ𝐛 Ԧ𝐝 𝒆 Ԧ𝐲 Outra sequência 𝜃 𝜽 𝑳ê 𝒔𝒆 𝒕𝒆𝒕𝒂 𝒕𝒈𝜶 𝑭𝒚 𝑭𝒚 𝜶 𝒕𝒈𝟏 𝑭𝒚 𝑭𝒙 𝒔𝒆𝒏𝜶 𝑭𝒚 𝑭 𝜶 𝒔𝒆𝒏𝟏 𝑭𝒚 𝑭 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝑭𝒙 𝑭 𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟏𝑭𝒙 𝑭 De maneira geral o vetor pode ser escrito como Ԧ𝐹 Ԧ𝐹𝑥 Ԧ𝐹𝑦 Vetores unitários Versores Ƹ𝑖 e Ƹ𝑗 Exemplo Representar o vetor abaixo Ԧ𝐴 3 Ƹ𝑖 4 Ƹ𝑗 x y 3 4 Ԧ𝐴 Exemplo 2 Determine o módulo a direção e o sentido dos vetores representados pelos seguintes pares de componentes a AX 400 cm AY 300 cm a 4 3 𝐀 Módulo 𝐴2 𝐴𝑥2 𝐴𝑦2 𝐴2 4232 25 𝐴 25 5 𝑨 𝟓 𝟎𝒄𝒎 Direção e sentido 𝒔𝒆𝒏𝜶 𝑨𝒚 𝑨 𝜶 𝒔𝒆𝒏𝟏 𝑨𝒚 𝑨 𝜶 𝒔𝒆𝒏𝟏 𝟑 𝟓 𝟑𝟔 𝟖𝟕𝟎 O ângulo 𝜽 será 𝜽 𝟏𝟖𝟎 𝟑𝟔 𝟖𝟕 𝜽 𝟏𝟒𝟑 𝟏𝟑𝟎 𝜽 𝜶 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛300 05 𝑠𝑒𝑛𝜃 05 𝜃 𝜃 sin1 05 Exemplo 2 Determine o módulo a direção e o sentido dos vetores representados pelos seguintes pares de componentes a AX 300 m A Y 200 m 𝑠𝑒𝑛300 05 𝑠𝑒𝑛𝜃 05 𝜃 sin1 05 300 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐀 Módulo 𝐴2 𝐴𝑥2 𝐴𝑦2 𝐴2 3222 13 𝐴 13 361 𝐴 361𝑚 Direção e sentido 𝜶 𝒔𝒆𝒏𝟏 𝑨𝒚 𝑨 𝜶 𝒔𝒆𝒏𝟏 𝟐 𝟎 𝟑 𝟔𝟏 𝜶 𝟑𝟑 𝟔𝟒𝟎 O ângulo 𝜽 será 𝜽 𝟏𝟖𝟎 𝟑𝟑 𝟔𝟒 𝜽 𝟐𝟏𝟑 𝟔𝟒𝟎 𝜽 𝜶 𝜶 𝑨𝒚 𝐀 Usando a tangente 𝑡𝑎𝑛𝛼 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝛼 tan1 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝛼 tan1 2 3 𝛼 33690 Exemplo 3 Determine o módulo a direção e o sentido dos vetores representados pelos seguintes pares de componentes c AX 450 Km AY 200 km Módulo 𝐴2 𝐴𝑥2 𝐴𝑦2 𝐴2 45222 2425 𝐴 2425 492 𝐴 492𝑘𝑚 Direção e sentido 𝜽 𝒕𝒂𝒏𝟏 𝑨𝒚 𝑨𝒙 𝜽 𝒕𝒂𝒏𝟏 𝟐 𝟎 𝟒 𝟓 𝜽 𝟐𝟑 𝟗𝟔𝟎 𝑨 45 20 𝜽 Exemplo 3 Para a situação a seguir determine o vetor força resultante Ԧ𝐹𝐴𝐵 o módulo do vetor força resultante sua direção e seu sentido Considere 500 e FB 500 N 𝑭𝑨𝑿 𝐹𝐴𝑦 𝟔𝟎𝟎 Determinação do vetor Ԧ𝐹𝐴 Ԧ𝐹𝐴 𝐹𝐴𝑋 Ƹ𝑖 𝐹𝐴𝑦 Ƹ𝑗 Ԧ𝐹𝐴 350 Ƹ𝑖 6062 Ƹ𝑗 𝑁 Determinação do vetor Ԧ𝐹𝐵 Ԧ𝐹𝐵 𝐹𝐵𝑋 Ƹ𝑖 𝐹𝐵𝑦 Ƹ𝑗 Ԧ𝐹𝐵 3214 Ƹ𝑖 383 Ƹ𝑗 𝑁 Vetor força resultante entre A e B Ԧ𝐹𝐴𝐵 Ԧ𝐹𝐴 Ԧ𝐹𝐵 Ԧ𝐹𝐴𝐵 350 Ƹ𝑖 6062 Ƹ𝑗 3214 Ƹ𝑖 383 Ƹ𝑗 𝑭𝑨𝑩 𝟔𝟕𝟏 𝟒 Ƹ𝒊 𝟗𝟖𝟗 𝟐 Ƹ𝒋 𝑵 Módulo do vetor Ԧ𝐹𝐴𝐵 𝐹𝐴𝐵 2 𝟔𝟕𝟏 𝟒 2 𝟗𝟖𝟗 𝟐 2 𝐹𝐴𝐵 𝟔𝟕𝟏 𝟒 2 𝟗𝟖𝟗 𝟐 2 𝐹𝐴𝐵 450778 9785166 𝑭𝑨𝑩 𝟏𝟏𝟗𝟓 𝟓𝑵 Ƹ𝒊 Ƹ𝒋 x y 𝑠𝑒𝑛600 𝐹𝐴𝑌 𝐹𝐴 𝐹𝐴𝑌 𝐹𝐴𝑠𝑒𝑛600 𝐹𝐴𝑌 700𝑁 𝑠𝑒𝑛600 6062𝑁 𝑐𝑜𝑠600 𝐹𝐴𝑋 𝐹𝐴 𝐹𝐴𝑋 𝐹𝐴𝑐𝑜𝑠600 𝐹𝐴𝑋 700𝑁 𝑐𝑜𝑠600 350𝑁 𝑠𝑒𝑛500 𝐹𝐵𝑌 𝐹𝐵 𝐹𝐵𝑌 𝐹𝐵𝑠𝑒𝑛500 𝐹𝐵𝑌 500𝑁 𝑠𝑒𝑛500 383𝑁 𝑐𝑜𝑠500 𝐹𝐵𝑋 𝐹𝐵 𝐹𝐵𝑋 𝐹𝐵𝑐𝑜𝑠500 𝐹𝐵𝑋 500𝑁 𝑐𝑜𝑠500 3214𝑁 𝐹𝐴𝑌 𝟔𝟎𝟎 𝐹𝐴𝑋 𝐹𝐴 𝑭𝑩𝑿 𝐹𝐵𝑦 𝐹𝐵𝑋 𝐹𝐵𝑌 𝟓𝟎𝟎 𝐹𝐵 x y 6714 9892 𝜽 Direção e sentido 𝜽 𝒕𝒂𝒏𝟏 𝟗𝟖𝟗 𝟐 𝟔𝟕𝟏 𝟒 𝜽 𝟓𝟓 𝟖𝟎 𝑭𝑨𝑩 Exemplo 3 Para a situação a seguir determine o vetor força resultante Ԧ𝐹12 o módulo do vetor força resultante sua direção e seu sentido Respostas Módulo e direção 𝑭𝑨𝑩 𝟐𝟏𝟑𝑵 𝜽 𝟓𝟒 𝟖𝟎
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Noções básicas sobre vetores Objetivos de aprendizagem Ao final dessa aula você deverá ser capaz de 1 Compreender o que são grandezas escalares e vetoriais 2 Entender as propriedades de um vetor módulo direção e sentido 3 Somar e subtrair vetores graficamente 4 Decompor um vetor em suas componentes i j e k 5 Somar e subtrair vetores usando suas componentes Grandezas físicas escalares São grandezas que ficam definidas quando expressas por um número e uma unidade de medida São exemplos tempo t volume V massa m distância percorrida As grandezas físicas vetoriais São grandezas que ficam definidas quando expressas por um número uma unidade de medida e uma orientação direção e sentido São exemplos Força módulo e unidade de medida100 N direção vertical sentido de baixo para cima velocidade 80 kmh na horizontal de oeste para leste entre outros exemplos Representase um vetor por um segmento de reta orientado Módulo É representado graficamente através do tamanho do vetor ou através de um valor numérico acompanhado de unidade Direção É a reta que dá suporte ao vetor Por exemplo reta r eixo x eixo y ou ainda a partir de um ângulo que a reta forma com uma reta de referência normalmente o eixo x Apesar de menos preciso os termos horizontal e vertical também são usados Sentido É a orientação do vetor dada pela seta Apesar de menos preciso os termos para a direita para a esquerda também são usados Mesma direção Mesmo módulo Sentidos opostos Vetor resultante Em algumas situações pode ser necessário fazer operações com vetores tais como soma subtração e multiplicação Um exemplo é quando um corpo está sob a ação de mais de uma força Neste caso pode ser necessário determinar a força resultante ou seja aquela que substitui o efeito das outas forças Para encontrar o vetor soma podemos usar métodos geométricos ou algébricos dependo das informações de que dispomos Vejamos a situação abaixo O gancho está sob a ação das duas forças e ao lado a força resultante Em A temse o método do paralelogramo e em B o método da poligonalDigite a equação aqui Obs Formas equivalentes FR 𝐅𝐑 Paralelogramo Poligonal Métodos geométricos Considere os vetores abaixo e obtenha geometricamente o vetor resultante Ԧ𝐂 a S A B paralelogramo 2 vetores Ԧ𝐒 b S A B poligonal vários vetores 𝐁 𝐀 c S A B C poligonal 𝐀 𝐁 𝐁 𝐀 Ԧ𝐒 𝐀 𝐁 Ԧ𝐂 Ԧ𝐒 Ԧ𝐂 𝐁 𝐀 Ԧ𝐒 A sequência da soma vetorial não interfere no resultado Ԧ𝐂 𝐀 𝐁 Ԧ𝐒 Ԧ𝐂 𝐁 𝐀 a Paralelogramo S A B A B 𝐀 𝐁 Ԧ𝐒 b Poligonal S A B A B 𝐀 𝐁 Ԧ𝐒 Métodos equivalentes Exemplo 1 Dados os vetores abaixo representados obtenha graficamente no quadriculado os vetores resultantes 𝐚 Ԧ𝐛 Ԧ𝐝 𝐱 Exemplo 1 Dados os vetores abaixo representados obtenha graficamente no quadriculado os vetores resultantes 𝟐Ԧ𝐛 𝒅 𝒆 Ԧ𝐲 Exemplo 1 Dados os vetores abaixo representados obtenha graficamente no quadriculado os vetores resultantes 𝟐Ԧ𝐛 Ԧ𝐝 𝒆 Ԧ𝐲 Outra sequência 𝜃 𝜽 𝑳ê 𝒔𝒆 𝒕𝒆𝒕𝒂 𝒕𝒈𝜶 𝑭𝒚 𝑭𝒚 𝜶 𝒕𝒈𝟏 𝑭𝒚 𝑭𝒙 𝒔𝒆𝒏𝜶 𝑭𝒚 𝑭 𝜶 𝒔𝒆𝒏𝟏 𝑭𝒚 𝑭 𝒄𝒐𝒔𝜶 𝑭𝒙 𝑭 𝜶 𝒄𝒐𝒔𝟏𝑭𝒙 𝑭 De maneira geral o vetor pode ser escrito como Ԧ𝐹 Ԧ𝐹𝑥 Ԧ𝐹𝑦 Vetores unitários Versores Ƹ𝑖 e Ƹ𝑗 Exemplo Representar o vetor abaixo Ԧ𝐴 3 Ƹ𝑖 4 Ƹ𝑗 x y 3 4 Ԧ𝐴 Exemplo 2 Determine o módulo a direção e o sentido dos vetores representados pelos seguintes pares de componentes a AX 400 cm AY 300 cm a 4 3 𝐀 Módulo 𝐴2 𝐴𝑥2 𝐴𝑦2 𝐴2 4232 25 𝐴 25 5 𝑨 𝟓 𝟎𝒄𝒎 Direção e sentido 𝒔𝒆𝒏𝜶 𝑨𝒚 𝑨 𝜶 𝒔𝒆𝒏𝟏 𝑨𝒚 𝑨 𝜶 𝒔𝒆𝒏𝟏 𝟑 𝟓 𝟑𝟔 𝟖𝟕𝟎 O ângulo 𝜽 será 𝜽 𝟏𝟖𝟎 𝟑𝟔 𝟖𝟕 𝜽 𝟏𝟒𝟑 𝟏𝟑𝟎 𝜽 𝜶 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝑠𝑒𝑛300 05 𝑠𝑒𝑛𝜃 05 𝜃 𝜃 sin1 05 Exemplo 2 Determine o módulo a direção e o sentido dos vetores representados pelos seguintes pares de componentes a AX 300 m A Y 200 m 𝑠𝑒𝑛300 05 𝑠𝑒𝑛𝜃 05 𝜃 sin1 05 300 𝐴𝑥 𝐴𝑦 𝐀 Módulo 𝐴2 𝐴𝑥2 𝐴𝑦2 𝐴2 3222 13 𝐴 13 361 𝐴 361𝑚 Direção e sentido 𝜶 𝒔𝒆𝒏𝟏 𝑨𝒚 𝑨 𝜶 𝒔𝒆𝒏𝟏 𝟐 𝟎 𝟑 𝟔𝟏 𝜶 𝟑𝟑 𝟔𝟒𝟎 O ângulo 𝜽 será 𝜽 𝟏𝟖𝟎 𝟑𝟑 𝟔𝟒 𝜽 𝟐𝟏𝟑 𝟔𝟒𝟎 𝜽 𝜶 𝜶 𝑨𝒚 𝐀 Usando a tangente 𝑡𝑎𝑛𝛼 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝛼 tan1 𝐴𝑦 𝐴𝑥 𝛼 tan1 2 3 𝛼 33690 Exemplo 3 Determine o módulo a direção e o sentido dos vetores representados pelos seguintes pares de componentes c AX 450 Km AY 200 km Módulo 𝐴2 𝐴𝑥2 𝐴𝑦2 𝐴2 45222 2425 𝐴 2425 492 𝐴 492𝑘𝑚 Direção e sentido 𝜽 𝒕𝒂𝒏𝟏 𝑨𝒚 𝑨𝒙 𝜽 𝒕𝒂𝒏𝟏 𝟐 𝟎 𝟒 𝟓 𝜽 𝟐𝟑 𝟗𝟔𝟎 𝑨 45 20 𝜽 Exemplo 3 Para a situação a seguir determine o vetor força resultante Ԧ𝐹𝐴𝐵 o módulo do vetor força resultante sua direção e seu sentido Considere 500 e FB 500 N 𝑭𝑨𝑿 𝐹𝐴𝑦 𝟔𝟎𝟎 Determinação do vetor Ԧ𝐹𝐴 Ԧ𝐹𝐴 𝐹𝐴𝑋 Ƹ𝑖 𝐹𝐴𝑦 Ƹ𝑗 Ԧ𝐹𝐴 350 Ƹ𝑖 6062 Ƹ𝑗 𝑁 Determinação do vetor Ԧ𝐹𝐵 Ԧ𝐹𝐵 𝐹𝐵𝑋 Ƹ𝑖 𝐹𝐵𝑦 Ƹ𝑗 Ԧ𝐹𝐵 3214 Ƹ𝑖 383 Ƹ𝑗 𝑁 Vetor força resultante entre A e B Ԧ𝐹𝐴𝐵 Ԧ𝐹𝐴 Ԧ𝐹𝐵 Ԧ𝐹𝐴𝐵 350 Ƹ𝑖 6062 Ƹ𝑗 3214 Ƹ𝑖 383 Ƹ𝑗 𝑭𝑨𝑩 𝟔𝟕𝟏 𝟒 Ƹ𝒊 𝟗𝟖𝟗 𝟐 Ƹ𝒋 𝑵 Módulo do vetor Ԧ𝐹𝐴𝐵 𝐹𝐴𝐵 2 𝟔𝟕𝟏 𝟒 2 𝟗𝟖𝟗 𝟐 2 𝐹𝐴𝐵 𝟔𝟕𝟏 𝟒 2 𝟗𝟖𝟗 𝟐 2 𝐹𝐴𝐵 450778 9785166 𝑭𝑨𝑩 𝟏𝟏𝟗𝟓 𝟓𝑵 Ƹ𝒊 Ƹ𝒋 x y 𝑠𝑒𝑛600 𝐹𝐴𝑌 𝐹𝐴 𝐹𝐴𝑌 𝐹𝐴𝑠𝑒𝑛600 𝐹𝐴𝑌 700𝑁 𝑠𝑒𝑛600 6062𝑁 𝑐𝑜𝑠600 𝐹𝐴𝑋 𝐹𝐴 𝐹𝐴𝑋 𝐹𝐴𝑐𝑜𝑠600 𝐹𝐴𝑋 700𝑁 𝑐𝑜𝑠600 350𝑁 𝑠𝑒𝑛500 𝐹𝐵𝑌 𝐹𝐵 𝐹𝐵𝑌 𝐹𝐵𝑠𝑒𝑛500 𝐹𝐵𝑌 500𝑁 𝑠𝑒𝑛500 383𝑁 𝑐𝑜𝑠500 𝐹𝐵𝑋 𝐹𝐵 𝐹𝐵𝑋 𝐹𝐵𝑐𝑜𝑠500 𝐹𝐵𝑋 500𝑁 𝑐𝑜𝑠500 3214𝑁 𝐹𝐴𝑌 𝟔𝟎𝟎 𝐹𝐴𝑋 𝐹𝐴 𝑭𝑩𝑿 𝐹𝐵𝑦 𝐹𝐵𝑋 𝐹𝐵𝑌 𝟓𝟎𝟎 𝐹𝐵 x y 6714 9892 𝜽 Direção e sentido 𝜽 𝒕𝒂𝒏𝟏 𝟗𝟖𝟗 𝟐 𝟔𝟕𝟏 𝟒 𝜽 𝟓𝟓 𝟖𝟎 𝑭𝑨𝑩 Exemplo 3 Para a situação a seguir determine o vetor força resultante Ԧ𝐹12 o módulo do vetor força resultante sua direção e seu sentido Respostas Módulo e direção 𝑭𝑨𝑩 𝟐𝟏𝟑𝑵 𝜽 𝟓𝟒 𝟖𝟎