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Engenharia de Bioprocessos e Biotecnologia ·
Termodinâmica 1
· 2023/2
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Trabalho 1 – Termodinâmica aplicada à biotecnologia - calcule o volume específico de uma mistura contendo 40 % molar de gás hidrogênio e 60 % molar de metano para a pressão de 6,7 MPa e temperatura de 400 K usando as equações de estado de Redlich-Kwong e Peng-Robinson, compare e discuta os resultados; - estime a quantidade de energia elétrica que pode ser gerada a partir da queima de 150 m3 deste gás se a eficiência do gerador for de 45 %. Entregar relatório contendo a memória de cálculos, as hipóteses adotadas (se possível com referências que corroborem a validade destas), a discussão e as conclusões. O trabalho pode ser enviado em grupos de até quatro pessoas. Entregar via moodle: Arquivo PDF contendo capa e os itens solicitados; O nome do arquivo deve estar no formato: T1_TAB_nome.pdf onde “nome” é o nome do aluno que enviará a tarefa. Desenvolva o texto com suas próprias palavras, textos com trechos parecidos serão penalizados com perda de pontos. Questão 1) Calcule o volume específico de uma mistura contendo 40 % molar de gás hidrogênio e 60 % molar de metano para a pressão de 6,7 MPa e temperatura de 400 K usando as equações de estado de Redlich-Kwong e Peng-Robinson, compare e discuta os resultados; Questão 2) Estime a quantidade de energia elétrica que pode ser gerada a partir da queima de 150 m³ deste gás se a eficiência do gerador for de 45 %. Solução: A equação de gases reais mais conhecida é a Van der Vals, dada por P= RT v−b− a v 2 . Contudo, para pressões maiores, a Equação de Redlich-Kwong, dada por P= RT v−b− a √T v(v+b) , onde b=0,08664 RT c Pc e a=0,42748R 2 T c 5 2 Pc , Nesse modelo, cada composto possui um valor de a e b que deve ser calculado, o que o torna específico. Para misturas, que o caso que abordaremos aqui, o b da mistura será bmis=∑i yi bi , onde temos que a mistura terá um valor de b igual a soma dos produtos da fração molar pelo b da substância pura. O valor de a para a mistura, será dado por amis=a1 y1 2+a2 y2 2+2a12 y1 y2 e a12=√a1a2 . Nesse caso, os valor de a e b, são apresentados abaixo. a b Tipo 1,428200714 0,00018284 Hidrogênio 1,00507942 1,87×10 −5 Metano 1,165431017 8,4×10 −5 Mistura Primeiro, precisamos encontrar o valor de V, real e positivo, que satisfaz a equação, para P, T, a e b, que a solução se encontra. Nesse caso, vamos entender que todos essas variáveis, nesse momento, são constantes. P= RT v−b− a √T v(v+b) P=RT⋅√T v(v+b)−a⋅(v−b) √T v(v 2−b²) P⋅√T v(v 2−b²)=RT⋅√T v(v+b)−a⋅(v−b) . Vale notar que foi tirado o MMC e multipliquei cruzado. Continuando com as contas. P⋅√T v(v 2−b²)=RT⋅√T v(v+b)−a⋅(v−b) P⋅√T v 3−b²⋅P⋅√T=R⋅ 3√T 2(v 2+bv)−a⋅v+ab P⋅T 1 2 v 3−R⋅T 3 2 v 2−bR⋅T 3 2 v+av−b²⋅P⋅T 1 2−ab=0 . Veja que temos um polinômio de grau 3 em V, de onde: P⋅T 1 2 v 3−R⋅T 3 2 v 2−bR⋅T 3 2 v+av−b²⋅P⋅T 1 2−ab=0 v 3−R⋅T P v 2−bR⋅T P v+ a P⋅T 1 2 v−b²− ab P⋅T 1 2 =0 V 3+a2V 2+a1V +a0=0 .Percebe-se que foi reduzida a uma equação de grau 3, que será resolvida pelo método de cardano. Substituindo os valores para a, b, P e T, temos. P⋅T 1 2 v 3−R⋅T 3 2 v 2−bR⋅T 3 2 v+av−b ²⋅P⋅T 1 2−ab=0 v 3− R⋅T P v 2−bR⋅T P v+ a P⋅T 1 2 v−b²− ab P⋅T 1 2 =0 V 3+a2V 2+a1V +a0=0 v 3−8,314⋅400 6,7×10 6 v 2−8,4×10−5⋅8,314⋅400 6,7×10 6 v+ 1,165431017 6,7×10 6⋅400 1 2 v−8,4 2×10 −10−1,165431017⋅8,4×10−5 6,7×10 6⋅400 1 2 =0 a2=−8,314⋅400 6,7×10 6 a1=−8,4×10 −5⋅8,314⋅400 6,7×10 6 + 1,165431017 6,7×10 6⋅400 1 2 a0=−8,4 2×10 −10−1,165431017⋅8,4×10 −5 6,7×10 6⋅400 1 2 O método de Cardano é para obter as raízes de um polinômio de grau 3, que é o nosso caso. Assim se V 1=S+T−a2 3 V 2=−(S+T) 2 −1 3 a2+ √3 2 (S−T)i V 3=−(S+T) 2 −1 3 a2−√3 2 (S−T )i , onde S= 3√R+√Q 3+R 2 T= 3√R−√Q 3+R 2 Q=3a1−a2 2 9 R=9a1⋅a2−27 a0−2a2 3 54 . Aqui já sabemos que apenas a primeira solução será útil pois, o volume é uma grandeza real e positiva. a2=−8,314⋅400 6,7×10 6 =−0,000496358 a1=−8,4×10 −5⋅8,314⋅400 6,7×10 6 + 1,165431017 6,7×10 6⋅400 1 2 =−0,000000033 a0=−8,4 2×10 −10−1,165431017⋅8,4×10 −5 6,7×10 6⋅400 1 2 =−13118,091527359 . Então calculo os parâmetros de Cardano. Q=3(−0,000000033)−(−0,000496358) 2 9 =−0.000000038 R=9(−0,000000033)⋅(−0,000496358)−27⋅(−13118,091527359)−2(−0,000496358) 3 54 =6559.04576368 E levo para S e T. S= 3√6559.04576368+√(−0.000000038) 3+(6559.04576368) 2=23.584330501 T= 3√6559.04576368−√(−0.000000038) 3+(6559.04576368) 2=0.000000002 Finalmente, V 1=S+T−a2 3 V 1=23.584330501+0.000000002−(−0,000496358) 3 =23.584495956 . Então o volume molar é 23,58 l, para a mistura. Se o volume específico é o inverso da densidade, então: ve=V molar mmolar ve= 23.584495956⋅1000 0,6⋅16,043+0,4⋅2,016=2260.740395698 cm 3 g Para o modelo de Peng-Robinson tem equação de estado dada por: P= RT v−b− aα (v+b) 2−2b 2 . Onde os parâmetros são dados por: a=0,45724 R 2 T c 2 Pc e b=0,07780 RT c Pc e α=(1+f (ω)⋅(1−√ T Tc )) 2 . f (ω)=0,37464+1,54226ω−0,26992ω² Calculando os parâmetros da mistura, temos os dados da tabela abaixo. aα b Tipo 0,2286136179 0,000163505416207 hidrogêniio 0,0446821536 1,68212159860839×10 −5 Metano 0,101176888463558 7,5494896074514×10 −5 Mistura Vamos ter que fazer os mesmos passos feitos anteriormente. Lembrando que P, T, a e b, já estão dados. P= RT v−b− aα (v+b) 2−2b 2 P=RT ((v+b) 2−2b 2)−aα(v−b) (v−b)((v+b) 2−2b 2) P= RT(v 2+2bv+b 2−2b 2)−aα v+baα (v−b)(v 2+2bv+b 2−2b 2) P= RT (v 2+2bv−b 2)−aα v+baα (v−b)(v 2+2bv−b 2) P= RT (v 2+2bv−b 2)−aα v+baα v ³+2bv²−b² v−bv ²−2b ²v+b 3 . Veja que todos os passos do primeiro item foram repetidos. Pv³+(Pb−RT)v 2+(aα−2bRT−3b ²P)v+b 3P−baα=0 V ³+(b−RT P )v 2+( aα−2bRT P −3b²)v+b 3−baα P =0 V 3+a2V 2+a1V +a0=0 Precisamos do mesmo formato do primeiro item, para usar o método de Cardano, por isso toda equação foi dividida por P . Os coeficientes são: V ³+(b− RT P )v 2+( aα−2bRT P −3b²)v+b 3−baα P =0 V 3+a2V 2+a1V +a0=0 a2=b−RT P =7,5494896074514×10 −5−8.314⋅400 6,7×10 6 a1=aα−2bRT P −3b ²=0,101176888463558−2b⋅8.314⋅400 6,7×10 6 −3(7,5494896074514×10 −5)² a0=b 3−baα P =(7,5494896074514×10 −5) 3−7,5494896074514×10 −5⋅0,101176888463558 6,7×10 6 Fazendo as contas: a2=7,5494896074514×10 −5−8.314⋅400 6,7×10 6 =−0.000420863 a1=0,101176888463558−2⋅(7,5494896074514×10 −5)⋅8.314⋅400 6,7×10 6 −3(7,5494896074514×10 −5)²=−0.000000077 a0=(7,5494896074514×10 −5) 3−7,5494896074514×10 −5⋅0,101176888463558 6,7×10 6 =0 Agora vamos buscar o valor do volume por meio de Cardano. Q=3 a1−a2 2 9 =3(−0.000000077)−(−0.000420863) 2 9 =−0.000000045 R=9a1⋅a2−27 a0−2a2 3 54 =9(−0.000000077)⋅(−0.000420863)−2(−0.000420863)3 54 =0 . Percebe- se que S=T, então: S= 3√R+√Q 3+R 2= 3√√(−0.000000045) 3=√(−0.000000045)=i 0.000212132 . Nesse caso, as soluções são apenas complexas, o que deixa o modelo de Peng-Robinson, com limitação para descrever essa mistura, nessas condições termodinâmicas. Questão 2) Solução: Seja que a combustão do hidrogênio libera 286,84 kj/mol e a do metano libera 802 kj/mol. Como a mistura possui volume molar igual a 23,58 l, então teremos : Emetano=150×1000 23,58 ⋅0,6×802 Ehidrogênio=150×1000 23,58 ⋅0,4×286,84 Etotal=Emetano+Ehidrogênio Substituindo os valores numéricos, temos que: Etotal=150×1000 22,4 ⋅0,6×802+ 150×1000 22,4 ⋅0,4×286,84 Etotal=150×1000 22,4 (0,6×802+0,4×286,84)=3990642,86kJ .Assim, apenas 45% dessa energia seria convertida em energia elétrica. Recorde que 1kWh=3,6×10 6 J . Assim, Energia gerada=0,45⋅Etotal 3,6×10 6 Energiagerada= 0,45⋅(150×1000 23,58 (0,6×802+0,4×286,84)⋅1000) 3,6×10 6 =473,837kWh , onde o último fator 1000 é devido ao fato de energia liberada estava em kJ e deveria ser transformada para Joule. Conclusões: O modelo de Peng-Robinson não pode ser usado para essa mistura nessas condições, pois a solução não possui valores reais para o volume, mostrando a limitação do modelo para essas condições termodinâmicas.
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Trabalho 1 – Termodinâmica aplicada à biotecnologia - calcule o volume específico de uma mistura contendo 40 % molar de gás hidrogênio e 60 % molar de metano para a pressão de 6,7 MPa e temperatura de 400 K usando as equações de estado de Redlich-Kwong e Peng-Robinson, compare e discuta os resultados; - estime a quantidade de energia elétrica que pode ser gerada a partir da queima de 150 m3 deste gás se a eficiência do gerador for de 45 %. Entregar relatório contendo a memória de cálculos, as hipóteses adotadas (se possível com referências que corroborem a validade destas), a discussão e as conclusões. O trabalho pode ser enviado em grupos de até quatro pessoas. Entregar via moodle: Arquivo PDF contendo capa e os itens solicitados; O nome do arquivo deve estar no formato: T1_TAB_nome.pdf onde “nome” é o nome do aluno que enviará a tarefa. Desenvolva o texto com suas próprias palavras, textos com trechos parecidos serão penalizados com perda de pontos. Questão 1) Calcule o volume específico de uma mistura contendo 40 % molar de gás hidrogênio e 60 % molar de metano para a pressão de 6,7 MPa e temperatura de 400 K usando as equações de estado de Redlich-Kwong e Peng-Robinson, compare e discuta os resultados; Questão 2) Estime a quantidade de energia elétrica que pode ser gerada a partir da queima de 150 m³ deste gás se a eficiência do gerador for de 45 %. Solução: A equação de gases reais mais conhecida é a Van der Vals, dada por P= RT v−b− a v 2 . Contudo, para pressões maiores, a Equação de Redlich-Kwong, dada por P= RT v−b− a √T v(v+b) , onde b=0,08664 RT c Pc e a=0,42748R 2 T c 5 2 Pc , Nesse modelo, cada composto possui um valor de a e b que deve ser calculado, o que o torna específico. Para misturas, que o caso que abordaremos aqui, o b da mistura será bmis=∑i yi bi , onde temos que a mistura terá um valor de b igual a soma dos produtos da fração molar pelo b da substância pura. O valor de a para a mistura, será dado por amis=a1 y1 2+a2 y2 2+2a12 y1 y2 e a12=√a1a2 . Nesse caso, os valor de a e b, são apresentados abaixo. a b Tipo 1,428200714 0,00018284 Hidrogênio 1,00507942 1,87×10 −5 Metano 1,165431017 8,4×10 −5 Mistura Primeiro, precisamos encontrar o valor de V, real e positivo, que satisfaz a equação, para P, T, a e b, que a solução se encontra. Nesse caso, vamos entender que todos essas variáveis, nesse momento, são constantes. P= RT v−b− a √T v(v+b) P=RT⋅√T v(v+b)−a⋅(v−b) √T v(v 2−b²) P⋅√T v(v 2−b²)=RT⋅√T v(v+b)−a⋅(v−b) . Vale notar que foi tirado o MMC e multipliquei cruzado. Continuando com as contas. P⋅√T v(v 2−b²)=RT⋅√T v(v+b)−a⋅(v−b) P⋅√T v 3−b²⋅P⋅√T=R⋅ 3√T 2(v 2+bv)−a⋅v+ab P⋅T 1 2 v 3−R⋅T 3 2 v 2−bR⋅T 3 2 v+av−b²⋅P⋅T 1 2−ab=0 . Veja que temos um polinômio de grau 3 em V, de onde: P⋅T 1 2 v 3−R⋅T 3 2 v 2−bR⋅T 3 2 v+av−b²⋅P⋅T 1 2−ab=0 v 3−R⋅T P v 2−bR⋅T P v+ a P⋅T 1 2 v−b²− ab P⋅T 1 2 =0 V 3+a2V 2+a1V +a0=0 .Percebe-se que foi reduzida a uma equação de grau 3, que será resolvida pelo método de cardano. Substituindo os valores para a, b, P e T, temos. P⋅T 1 2 v 3−R⋅T 3 2 v 2−bR⋅T 3 2 v+av−b ²⋅P⋅T 1 2−ab=0 v 3− R⋅T P v 2−bR⋅T P v+ a P⋅T 1 2 v−b²− ab P⋅T 1 2 =0 V 3+a2V 2+a1V +a0=0 v 3−8,314⋅400 6,7×10 6 v 2−8,4×10−5⋅8,314⋅400 6,7×10 6 v+ 1,165431017 6,7×10 6⋅400 1 2 v−8,4 2×10 −10−1,165431017⋅8,4×10−5 6,7×10 6⋅400 1 2 =0 a2=−8,314⋅400 6,7×10 6 a1=−8,4×10 −5⋅8,314⋅400 6,7×10 6 + 1,165431017 6,7×10 6⋅400 1 2 a0=−8,4 2×10 −10−1,165431017⋅8,4×10 −5 6,7×10 6⋅400 1 2 O método de Cardano é para obter as raízes de um polinômio de grau 3, que é o nosso caso. Assim se V 1=S+T−a2 3 V 2=−(S+T) 2 −1 3 a2+ √3 2 (S−T)i V 3=−(S+T) 2 −1 3 a2−√3 2 (S−T )i , onde S= 3√R+√Q 3+R 2 T= 3√R−√Q 3+R 2 Q=3a1−a2 2 9 R=9a1⋅a2−27 a0−2a2 3 54 . Aqui já sabemos que apenas a primeira solução será útil pois, o volume é uma grandeza real e positiva. a2=−8,314⋅400 6,7×10 6 =−0,000496358 a1=−8,4×10 −5⋅8,314⋅400 6,7×10 6 + 1,165431017 6,7×10 6⋅400 1 2 =−0,000000033 a0=−8,4 2×10 −10−1,165431017⋅8,4×10 −5 6,7×10 6⋅400 1 2 =−13118,091527359 . Então calculo os parâmetros de Cardano. Q=3(−0,000000033)−(−0,000496358) 2 9 =−0.000000038 R=9(−0,000000033)⋅(−0,000496358)−27⋅(−13118,091527359)−2(−0,000496358) 3 54 =6559.04576368 E levo para S e T. S= 3√6559.04576368+√(−0.000000038) 3+(6559.04576368) 2=23.584330501 T= 3√6559.04576368−√(−0.000000038) 3+(6559.04576368) 2=0.000000002 Finalmente, V 1=S+T−a2 3 V 1=23.584330501+0.000000002−(−0,000496358) 3 =23.584495956 . Então o volume molar é 23,58 l, para a mistura. Se o volume específico é o inverso da densidade, então: ve=V molar mmolar ve= 23.584495956⋅1000 0,6⋅16,043+0,4⋅2,016=2260.740395698 cm 3 g Para o modelo de Peng-Robinson tem equação de estado dada por: P= RT v−b− aα (v+b) 2−2b 2 . Onde os parâmetros são dados por: a=0,45724 R 2 T c 2 Pc e b=0,07780 RT c Pc e α=(1+f (ω)⋅(1−√ T Tc )) 2 . f (ω)=0,37464+1,54226ω−0,26992ω² Calculando os parâmetros da mistura, temos os dados da tabela abaixo. aα b Tipo 0,2286136179 0,000163505416207 hidrogêniio 0,0446821536 1,68212159860839×10 −5 Metano 0,101176888463558 7,5494896074514×10 −5 Mistura Vamos ter que fazer os mesmos passos feitos anteriormente. Lembrando que P, T, a e b, já estão dados. P= RT v−b− aα (v+b) 2−2b 2 P=RT ((v+b) 2−2b 2)−aα(v−b) (v−b)((v+b) 2−2b 2) P= RT(v 2+2bv+b 2−2b 2)−aα v+baα (v−b)(v 2+2bv+b 2−2b 2) P= RT (v 2+2bv−b 2)−aα v+baα (v−b)(v 2+2bv−b 2) P= RT (v 2+2bv−b 2)−aα v+baα v ³+2bv²−b² v−bv ²−2b ²v+b 3 . Veja que todos os passos do primeiro item foram repetidos. Pv³+(Pb−RT)v 2+(aα−2bRT−3b ²P)v+b 3P−baα=0 V ³+(b−RT P )v 2+( aα−2bRT P −3b²)v+b 3−baα P =0 V 3+a2V 2+a1V +a0=0 Precisamos do mesmo formato do primeiro item, para usar o método de Cardano, por isso toda equação foi dividida por P . Os coeficientes são: V ³+(b− RT P )v 2+( aα−2bRT P −3b²)v+b 3−baα P =0 V 3+a2V 2+a1V +a0=0 a2=b−RT P =7,5494896074514×10 −5−8.314⋅400 6,7×10 6 a1=aα−2bRT P −3b ²=0,101176888463558−2b⋅8.314⋅400 6,7×10 6 −3(7,5494896074514×10 −5)² a0=b 3−baα P =(7,5494896074514×10 −5) 3−7,5494896074514×10 −5⋅0,101176888463558 6,7×10 6 Fazendo as contas: a2=7,5494896074514×10 −5−8.314⋅400 6,7×10 6 =−0.000420863 a1=0,101176888463558−2⋅(7,5494896074514×10 −5)⋅8.314⋅400 6,7×10 6 −3(7,5494896074514×10 −5)²=−0.000000077 a0=(7,5494896074514×10 −5) 3−7,5494896074514×10 −5⋅0,101176888463558 6,7×10 6 =0 Agora vamos buscar o valor do volume por meio de Cardano. Q=3 a1−a2 2 9 =3(−0.000000077)−(−0.000420863) 2 9 =−0.000000045 R=9a1⋅a2−27 a0−2a2 3 54 =9(−0.000000077)⋅(−0.000420863)−2(−0.000420863)3 54 =0 . Percebe- se que S=T, então: S= 3√R+√Q 3+R 2= 3√√(−0.000000045) 3=√(−0.000000045)=i 0.000212132 . Nesse caso, as soluções são apenas complexas, o que deixa o modelo de Peng-Robinson, com limitação para descrever essa mistura, nessas condições termodinâmicas. Questão 2) Solução: Seja que a combustão do hidrogênio libera 286,84 kj/mol e a do metano libera 802 kj/mol. Como a mistura possui volume molar igual a 23,58 l, então teremos : Emetano=150×1000 23,58 ⋅0,6×802 Ehidrogênio=150×1000 23,58 ⋅0,4×286,84 Etotal=Emetano+Ehidrogênio Substituindo os valores numéricos, temos que: Etotal=150×1000 22,4 ⋅0,6×802+ 150×1000 22,4 ⋅0,4×286,84 Etotal=150×1000 22,4 (0,6×802+0,4×286,84)=3990642,86kJ .Assim, apenas 45% dessa energia seria convertida em energia elétrica. Recorde que 1kWh=3,6×10 6 J . Assim, Energia gerada=0,45⋅Etotal 3,6×10 6 Energiagerada= 0,45⋅(150×1000 23,58 (0,6×802+0,4×286,84)⋅1000) 3,6×10 6 =473,837kWh , onde o último fator 1000 é devido ao fato de energia liberada estava em kJ e deveria ser transformada para Joule. Conclusões: O modelo de Peng-Robinson não pode ser usado para essa mistura nessas condições, pois a solução não possui valores reais para o volume, mostrando a limitação do modelo para essas condições termodinâmicas.