Apostila Calc2 Funçoes de Duas Variaveis Reais a Valores Reais Derivadas-2021 1

Fun¸c˜oes de duas vari´aveis reais a valores reais: Derivadas Prof. Dr. Douglas Azevedo 23 de mar¸co de 2021 Algumas indica¸c˜oes Nas notas que seguem, al´em do conte´udo vocˆes encontrar˜ao exerc´ıcios os quais devem ser resolvidos para fins de estudo para prova. N˜ao fique ‘travado’ em exerc´ıcios. Tente fazer e se n˜ao progrediu, tire suas d´uvidas. Caprichem! 1 Fun¸c˜ao diferenci´avel Relembremos que no C´alculo 1 uma fun¸c˜ao f(x) ´e deriv´avel (ou diferenci´avel) num ponto x0 de seu dom´ınio se e somente se existir o limite que define o valor a = f ′(x0) dado por a = lim x→x0 f(x) − f(x0) x − x0 = lim h→0 f(x0 + h) − f(x0) h . Podemos reescrever esta ultima como lim h→0 f(x0 + h) − f(x0) − ah h = 0 ⇔ lim h→0 f(x0 + h) − f(x0) − ah |h| = 0. Portanto, podemos concluir que uma fun¸c˜ao f ´e deriv´avel num ponto x0 de seu dom´ınio se, e somente se, existir um n´umero real a (que ´e dado por a = f ′(x0)) tal que lim h→0 f(x0 + h) − f(x0) − ah |h| = 0. (1) Uma propriedade caracter´ıstica da diferenciabilidade de fun¸c˜oes de uma vari´avel real a valores reais ´e: Teorema 1. Se f ′(x0) existe ent˜ao f ´e cont´ınua nesse ponto. Demonstrac˜ao. Provar que f ´e cont´ınua em x0 ´e provar que limx→x0 f(x) = f(x0). Ou seja, lim x→x0 f(x) = f(x0) ⇔ lim x→x0 f(x) − f(x0) = 0. 1 Logo lim x→x0 f(x) − f(x0) = lim x→x0 f(x) − f(x0) (x − x0) (x − x0) = 0 pois o limite do primeiro termo existe (´e f ′(x0)) e o segundo ´e zero. Vamos definir agora a no¸c˜ao de diferenciabilidade em duas vari´aveis Defini¸c˜ao. Sejam f : A ⊂ R2 → R, A aberto e (x0, y0) ∈ A. Dizemos que f ´e diferenci´avel em (x0, y0) se e somente se existirem numeros reais a e b (que ser˜ao a = fx(x0, y0) e b = fy(x0, y0)) tais que lim (h,k)→(0,0) f(x0 + h, y0 + k) − f(x0, y0) − ah − bk ||(h, k)|| = 0. (2) Escreveremos Df(x0, y0) para denotar a derivada de f no ponto (x0, y0) e esta derivada ´e dada pelo vetor Df(x0, y0) = (fx(x0, y0), fy(x0, y0)). Lembre que ||(h, k)|| = √ h2 + k2. Esta defini¸c˜ao estende o Teorema 1. Teorema 2. Se Df(x0, y0) existe ent˜ao f ´e cont´ınua nesse ponto. Demonstrac˜ao. Provar que f ´e cont´ınua em (x0, y0) ´e provar que lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = f(x0, y0). Ou seja, lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = f(x0, y0) ⇔ lim (h,k)→(0,0) f(x0 + h, y0 + k) − f(x0, y0) = 0. Supondo que Df(x0, y0) existe, ent˜ao temos que a e b na defini¸c˜ao acima exitem. Vamos ent˜ao introduzir uma fun¸c˜ao auxiliar E(h, k) = f(x0 + h, y0 + k) − f(x0, y0) − ah − bk. Temos que lim (h,k)→(0,0) E(h, k) = lim (h,k)→(0,0) E(h, k) ∥(h, k)∥∥(h, k)∥ = 0, pois lim(h,k)→(0,0) ah + bk = 0. Observa¸c˜ao. Lembre-se que vimos que a existˆencia de derivadas partiais n˜ao implica na continuidade! Ou seja, a defini¸c˜ao apresentada acima estende melhor a no¸c˜ao de derivadas de C´alculo 1. Para os interesses desse curso, estaremos interessados na seguinte condi¸c˜ao de diferenciabilidade (Guidorizzi, p.195). Teorema 3. Sejam f : A ⊂ R2 → R, aberto e (x0, y0) ∈ A. Se as derivadas parciais fx e fy existirem e forem cont´ınuas em (x0, y0), ent˜ao Df(x0, y0) existe. 2 1.1 Exemplos de fungoes derivaveis Com base no Teorema 3, dentre as fungdes que sao derivaveis, teremos todas as fungoes que tem derivadas parciais continuas. Por exemplo, polindmios, funcoes racionais, fungoes exponenciais e logaritmicas, trigonométricas. (A) f(z,y) =2?+y?. Como f,(z,y) = 2% e fy(x,y) = 2y sao continuas em todo R?, segue que Df (x,y) existe para todo (x,y), sendo Df (x,y) = (22, 2y). (B) f(x,y) = e*¥. Como f,(z,y) = ye*’ e fy(x,y) = xe*¥ sdo continuas em todo R?, segue que Df(zx,y) existe para todo (x,y), sendo Df(x,y) = (ye? we"). (C) f(x,y) = In(wt+y-1). Como f(x,y) = eEyct = fy(x, y) sao continuas em todo R? com y 4 —x + 1 segue que Df (x,y) existe para todo (zx, y), sendo _ 1 1 Df(a,y) = (5. =n). —, 0,0 (D) f(a,y) = x2+y2? (x,y) A ( ’ ) 0, (x,y) = (0,0). Esta fungao é diferencidvel em todo (x,y) 4 (0,0) e y(x? —y") x(v—y)(e+y) D = (20 9 ae 0,0). Fey) = (HE ee). (es) 4 (0.0) No entanto, f, apesar de estar definida em (0,0), nao é continua nesse ponto (pelo T2C mostra-se que o limite nesse ponto nao existe). Logo como f nao é continua em (0,0), f nao é diferencidvel nesse ponto. (E) f(x,y) = sin(x? + 5y°) é diferencidvel em todo R? pois f,(r,y) = 2x cos(x? + 5y°) e fy(x,y) = 25y cos(x* + 5y”) sao continuas em todo R?. Nesse caso Df (x, y) = (2x cos(x? + 5y®), 25y cos(x? + 5y®)). 1.2 Exercicios Justifique utilizando o Teorema 3 quais os pontos onde sao diferencidveis as fungoes abaixo. ; (a) fiz y)=er"; (b) f(@,y) = xy"; (c) h(s,t) = s/t; 2 (d) flay) = 4 Be? (YF (0.9) 0, (x,y) = (0,0). 3 2 Plano tangente Segue de (2) que se f(x,y) é diferencidvel em (xo, yo), entao lim f(2o + h, Yo + k) 7 f (0, Yo) 7 fu(%o,Yo)h 7 fy (0, Yo) =0 (h,k)+(0,0) I|(”, &)|| Fazendo as substituigoes = 7 +hey=yo+hk acima temos que lm f(x,y) = f(®0, Yo) = fe (ao, Yo)(% = xo) = Fy(%o,¥o)(Y = Yo) _ 0 (e,y)+(w0,yo) I|(x, ¥) — (0; Yo) Para que o limite acima tenda para zero devemos ter lim | f(x,y) — (f(x0, yo) + fe(X0, Yo)( — Lo) + fy(®o,Yo)(y — Yo)) = 9. (x,y)—(x0,Yo) a — T(x,y) Ou seja, quando (x,y) esta muito préximo de (x9, yo) podemos aproximar! os valores de f(x,y) pelos valores da fungao T(z, y): T(x,y) = f(o0, yo) + fx(%o, Yo)(@ — Lo) + fy(Xo, yo)(Y — Yo): Os pontos (x,y, T(x, y)) descrevem o que definimos como plano tangente ao grafico de f(x,y) no ponto (xo, Yo, f(2o, Yo))- Vamos reescrever a equacao do plano tangente z— f (x0, Yo) = f(Xo, Yo)(x — 0) + fy(Xo, Yo) (Y — Yo) ou seja, fx (X0,Yo)(& — Xo) — fy(Xo, Yo)(Y — Yo) — 2 + F (Xo, Yo) = 0. Agora, note que esta ultima pode ainda ser reescrita em termos do produto escalar: (fc(X0, Yo); fy(®o, Yo), -1) I(x, y, 2) — (xo, Yo, f(Xo; Yo))] = 9. eS Vetor normal ao plano tangente Segue que o plano plano tangente ao grafico de f(x, y) no ponto (x9, yo, f (Zo, yo)) é perpendicular a direcao do vetor N(a, y) = (fx (Xo, yo); fy(o, Yo); —1). A reta perpendicular ao plano T (2, y) que passa pelo ponto (20, yo, f (#0, yo)) é chamada de reta normal ao grafico de f(x,y) no ponto (20, yo, f (Xo, yo)) e é dada pela expressao (x, Y; z) = (xo, Yo, f (xo, Yo)) ~ AN (x,y), AER. Veja a Figura 1 que ilustra os objetos que acabamos de definir. 1Uma ideia que ilustra essa 6: se vc esté olhando para o grafico de uma fungao diferencidvel de duas varidveis, entao num ponto (20, yo), se ”dermos alguns zooms na diregéo desse ponto” , ve vai ver que o grafico da fungao vai ficar cada vez mais ” parecido”com um plano passando pelo ponto 4 Figura 1: Plano tangente e reta normal ao gr´afico de f 2.1 Exemplo ilustrativo Seja f(x, y) = 3x2y − x. Determine as equa¸c˜oes do plano tangente e da reta normal no ponto (1, 2, f(1, 2)) Solu¸c˜ao: Apliquemos as f´ormulas do plano tangente e da reta normal com x0 = 1 e y0 = 2: z − f(1, 2) = fx(1, 2)(x − 1) − fy(1, 2)(y − 2). Como f(1, 2) = 5, fx(1, 2) = 11 e fy(1, 2) = 3 , segue que, z − 5 = 11(x − 1) − 3(y − 2) ´e a equa¸c˜ao de T(x, y). Para reta normal a f´ormula ´e (x, y, z) = (1, 2, f(1, 2)) − λN(1, 2), λ ∈ R, com N(x0, y0) sendo o vetor normal ao plano no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) dado por N(x0, y0) = (fx(x0, y0), fy(x0, y0), −1). Ou seja, N(1, 2) = (fx(1, 2), fy(1, 2), −1) = (5, 11, −1). 5 Logo a equa¸c˜ao da reta normal ´e (x, y, z) = (1, 2, 5) − λ(11, 3, −1), λ ∈ R 2.2 Exerc´ıcios Determine a equa¸c˜ao do plano tangente e da reta normal ao gr´afico da f(x, y) no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) nos casos indicados abaixo. (A) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1)) (B) f(x, y) = x2 + y2 em (0, 1, f(0, 1)) (C) f(x, y) = xex2−y2 em (2, 2, f(2, 2)). 3 Vetor gradiente Se z = f(x, y) admite derivadas parciais em (x0, y0), o vetor ∇f(x0, y0) = (fx(x0, y0), fy(x0, y0)) . denomina-se gradiente de f em (x0, y0) . Geometricamente, ∇f(x0, y0) ´e interpretado como um vetor aplicado ao ponto (x0, y0). Exemplo. Calcule ∇f(x, y) e represente-o geometricamente para f(x, y) = x2 + y2 no ponto (1, 1). Solu¸c˜ao. ∇f(x, y) = (2x, 2y). Logo ∇f(1, 1) = (2, 2). Na figura 2 a repre- senta¸c˜ao geom´etrica. Figura 2: Vetor gradiente de f(x, y) = x2 + y2 no ponto (1, 1) 6 3.1 Exercicios (1) Calcule V f(a, y) para as fung6es abaixo (A) f(x,y) = x?y (B) f(x,y) = x/y (C) f(x,y) = er! (2) Defina V f(x,y, z) para uma funcao de 3 varidveis e calcule Vf (x,y, z) para (A) flt,y,2) = 0? + y? + 2? (B) f(x,y,2) =(@ +y? +)" (3) Seja f(x,y) = x? — y?. Represente geometricamente no plano cartesiano (todos representados no mesmo plano) V f(x,y) para os seguintes pontos (A) (1,1) (B) (-1,-1) (C) (1,—-1) (D) (-1,1) (E) (0,1) (F) (1,0) 3.2 Regra da cadeia Nesta subsecao apresentaremos uma primeira aplicacao do uso do gradiente. Considere o seguinte resultado conhecido como regra da cadeia (Guidorizzi, p.212). Teorema Sejam f : D C R? > R, D abertoe y: I C R > R? tais que y(t) = (a(t), b(t)) € D para todo t no intervalo I. Nestas condigdes, se y é diferencidvel? em to e f for diferenciavel em Xo = (a(to), b(to)) entao a composta F(t) = f(y(t)) = f(a(t), b()) sera diferencidvel em to e vale a regra da cadeia d at Hr=to = Vf (alto), b(to)) - (a’(to), &'(to)) Ou seja, segue que se f for diferencidvel em D C R? e y(t) = (x(t), y(t)) € D para todo t € I, com 74 diferencidvel em I entéo a composta f(y(t)) sera diferencidvel e vale F'(t) = (fo(x(t), y(t)), fy(x(t), y(t))) > (a(t), y(t). (3) Vamos reescrever esta ultima mudando as notacoes das derivadas: Of Of dx dy F'(t) = ( (a(t), y(@), —(2(0), y(t) J} - ( —, = }. 4 ©) = (SEee.vioy, Zot.) (Ga (a) ?Isso significa que y(t) = (a(t), b(t)) é tal que a(t) e b(t) so derivaveis 7 Aplicando o produto escalar, segue que F ′(t) = ∂f ∂x(x(t), y(t))dx dt + ∂f ∂y (x(t), y(t))dy dt . (5) Utilizaremos a f´ormula a seguir com frequˆencia: dF dt = ∂f ∂x dx dt + ∂f ∂y dy dt . (6) 3.2.1 Exemplos (1) Sejam z = x2y e x = et2 e y = 2t + 1 Calcule dz dt . Solu¸c˜ao: Poderiamos escrever z em termos de t: z = x2y = (et2)2(2t + 1) = e2t2(2t + 1), e da´ı calcular a dz dt = 4te2t2(2t + 1) + 2e2t2. Ou fazer pela regra da cadeia: dz dt = ∂z ∂x dx dt + ∂z ∂y dy dt , a qual nos devolve a mesma resposta dz dt = (2xy)(2t) + (x2)(2) = 4xytet2 + 2x2. (2) Seja F(t) = f(et2, sin(t)), com f(x, y) uma fun¸c˜ao diferenci´avel em R2. (a) Expresse F ′(0) em termos das derivadas parciais de f (b) Calcule F ′(0) supondo ∂f ∂y (1, 0) = 5 Solu¸c˜ao: Para o item (a), segue da regra da cadeia que F ′(t) = ∂f ∂x(x(t), y(t))dx dt + ∂f ∂y (x(t), y(t))dy dt . Como x(t) = et2 e y(t) = sin(t), temos que F ′(t) = ∂f ∂x(et2, sin(t)) 2tet2 + ∂f ∂y (et2, sin(t)) cos(t). Para o item (b), u tilizando ∂f ∂y (1, 0) = 5, temos que F ′(0) = ∂f ∂x(e02, sin(0)) 2.0.e02 + ∂f ∂y (e02, sin(0)) cos(0) = 5. 8 (3) Seja z = f(e−u, u2), com f(x, y) uma fun¸c˜ao diferenci´avel em R2. Expresse dz du em termos das derivadas parciais de f Nesse caso, x(u) = e−u e y(u) = u2. Segue da regra da cadeia que dz du = ∂z ∂x(x(u), y(u))dx du + ∂z ∂y (x(u), y(u))dy du. Logo, dz du = −eu ∂z ∂x(x, y) + 2u∂z ∂y (x, y). (4) Seja f : D ⊂ R2 → R uma fun¸c˜ao diferenci´avel e c ∈Im(f). Se (x0, y0) um ponto na curva de n´ıvel f(x, y) = c com ∇f(x0, y0) ̸= (0, 0). Podemos mostrar que ∇f(x0, y0) ´e perpendicular em (x0, y0) a toda curva γ, diferenci´avel, passando por (x0, y0), cuja imagem esteja contida na curva de n´ıvel {(x, y) ∈ D, f(x, y) = c}. Se γ(t), com t ∈ I, ´e uma tal curva, com γ(t0) = (x0, y0), contida na curva de n´ıvel f(x, y) = c, teremos f(γ(t)) = c, t ∈ I. Derivando com rela¸c˜ao a t essa igualdade, temos da regra da cadeia que d dtf(γ(t)) = 0 ⇔ ∇f(γ(t)) · γ′(t) = 0, para todo t ∈ I. Em particular, para t0 ∈ I ∇f(γ(t0)) · γ′(t0) = 0. Dizemo ent˜ao que ∇f(x0, y0) ´e um vetor normal `a curva de n´ıvel f(x, y) = c, em (x0, y0). A reta perpendicular a ∇f(x0, y0), passando por (x0, y0), denomina-se reta tangente, em (x0, y0), `a curva de n´ıvel f(x, y) = c e a equa¸c˜ao de tal reta ´e ∇f(x0, y0) · [(x, y) − (x0, y0)] = 0. Uma aplica¸c˜ao deste conceito ´e: seja f(x, y) = x3y3 − xy. Considere a curva de n´ıvel f(x, y) = 6. Determine a equa¸c˜ao da reta tangente a curva de n´ıvel f(x, y) = 6 no ponto (1, 2). Veja a Figura 3. Pelo que vimos acima, a equa¸c˜ao desta reta ´e dada por ∇f(1, 2) · [(x, y) − (1, 2)] = 0 ou seja, como fx(1, 2) = 22 e fy(1, 2) = 11, ent˜ao (22, 11) · [(x, y) − (1, 2)] = 0, isto ´e, 22(x − 1) + 11(y − 2) = 0 ⇔ y = −2x + 4. 9 Figura 3: ∇f(x0, y0) perpendicular `a curva de n´ıvel de f(x, y) = c no ponto (x0, y0) 3.3 Exerc´ıcios (1) Seja g(t) = f(3t, 2t2 − 1). (i) Expresse g′(t) em termos das derivadas parciais de f; (ii) Calcule g′(0) admitindo ∂f ∂x(0, −1) = 1 3. (2) Expresse dz dt em termos das derivadas parciais de f, sendo z = f(x, y) e (i) x = t2 e y = 3t. (ii) x = sin(t2) e y = cos(2t). (3) Suponha que, para todo x, f(3x, x3) =arctan(x). (i) Calcule fx(3, 1) admitindo que fy(3, 1) = 2. (ii) Determine a equa¸c˜ao do plano tangente ao gr´afico de f no ponto (3, 1, f(3, 1)). (4) Determine a equa¸c˜ao da reta tangente `a curva de n´ıvel x2 +xy +y2 −3y = 1 no ponto (1, 2). (5) Determine uma reta tangente `a el´ıpse 2x2 + y2 = 3 e paralela a reta y = −2x + 5. (Dica: Escreva a equa¸c˜ao da reta tangente em termos de um ponto (x0, y0) gen´erico da curva de n´ıvel 2x2 + y2 = 3. Organize essa equa¸c˜ao da reta tangente que vc obteve e compare o coeficientes angular desta reta com o da reta y = −2x + 5. ) 10 4 Bibliografia Guidorizzi, L.H. Um curso de C´alculo, Vol. 2, 5 Ed., LTC, 2001. 11