·
Matemática ·
Algebra Linear
· 2024/1
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Ministerio da Educacao Universidade Tecnologica Federal do Parana Cˆampus Pato Branco IA 25 M 20241 RECUPERAC AO 1 Resolva os sistemas de equacoes lineares a seguir empregando o metodo de eli minacao de Gauss escalonamento a x1 2x2 3x3 1 x1 3x2 6x3 3 2x1 6x2 13x3 5 b x1 2x2 2x3 1 2x1 5x2 x3 9 x1 3x2 4x3 9 2 Discuta o sistema de equacoes lineares x1 x2 2x3 4 2x1 3x2 x3 1 7x1 3x2 4x3 7 3 Discuta o sistema de equacoes lineares 2x1 3x2 x3 1 x1 x2 x3 3 3x1 4x2 2x3 4 4 Considere o sistema de equacoes lineares x1 x2 2x3 0 a Resolva esse sistema b Encontre os geradores do conjuntosolucao c Descreva geometricamente o conjuntosolucao 5 Encontre o valor de x y e z de modo que os vetores u v R3 sejam iguais sendo u x y x y z 1 e v 4 2 3 R x 4 y 1 z 4 6 Se u v V R3 e u 2 4 5 e v 1 6 9 calcule a u v b 3u 5v 7 Mostre que o conjunto H x1 x2 R2 x1 2x2 1 nao e um espaco vetorial 1 8 Verifique se o vetor b 74 3 é combinagao linear dos vetores u 1 2 5 U2 256 Em caso afirmativo escreva tal combinacao linear 9 Escreva o vetor v 374 R como combinacao linear dos vetores uy 1 23 wa 237 e ug 35 6 1 2 3 1 10 Determine o nucleo da matriz A 9 4 6 3 Encontre também seus geradores 11 Descreva o conjuntosolugao S do sistema de equacoes lineares U1 273 1 em termos de uma variedade linear Apresente um esboco grafico de S e faca comentarios sobre suas principais caracteristicas 12 Encontre uma base e a dimensao para o subespaco H C R definido por H x2 R x 2x2 23 O Interprete H geometricamente 13 Considere 0 conjunto Mo2R onde aj ag e ay2 2 Encontre uma base e a dimensao de M 14 Sejam A e B matrizes 6 x 5 Se dim NA 2 qual 0 posto de A Se o posto de B for 4 qual vai ser a dim NB 15 Mostre que a transformada T R R definida por Ax122 271 r2 é linear 16 Mostre que a transformada T R R definida por Ax1 2 cos 71 272 é nao linear 1 8 17 Data a matriz A 35 e os vetores u 2 1 b 325 e 1 7 c 3 25 defina a transformacao associada T e em seguida resolva os itens a Sendo Ty R R determine k e kg b Escreva uma expressao algébrica formula para T4z c Determine Tu a imagem de u pela transformacao T4 d Existe mais de um x cuja imagem por T é b e Determine se c esta na imagem da transformacao Ty 18 Seja T a transformacaéo linear de R R definida por Tx 2x rg 3 249 41 13243 21 X12 i Determine a matriz A de T 2 ii Determine Tx para x 53 2 iii Determine se T é injetora iv Determine de T é sobrejetora v T admite inversa Em caso afirmativo apresentea 19 Seja V Mo x2IR 0 espacgo vetorial das matrizes quadradas de ordem 2 com entradas reais Considere H C Moy2IR onde H fe 3 1 A144 A12 0e ag wan 21 G22 a 100 Ponto Mostre que H é um subespaco vetorial de V Mox2R c 050 Ponto Determine uma base para H d 050 Ponto Determine a dimensao de H 20 Obtenha as coordenadas do vetor u 374 de V R em relacao a base B v V2 03 de V R sendo v 1 23 ve 237 e v2 3 56 21 Determine a dimensao do subespaco H de V R gerado pelos seguintes vetores uz 112 u2 2 2 2 ug 3 25 e us 2 13 22 Encontre uma base para o espaco linha uma base para o espaco coluna e uma base 2 1 1 2 para o ntcleo da matriz A 1 2 1 2 3 2 1 1 23 Sejam 7T4 e Tz os operadores lineares cujas matrizes canonicas sao respectiva 1 2 0 2 3 3 mente A 4 1 3 eB 5 0 1 Encontre as matrizes canonicas 5 2 4 6 1 7 dos seguintes operadores a 2T 4 3Tp b 27T Oo Te 24 Sejam os operadores lineares T41 23 41 2273 27 41 322423 e Tp 21 2 23 22 Lg 24321 Fg 13 X1 3 13 Determine a a matriz canonica do operador T4 273 b a matriz canonica do operador 2T4 o Tp c o conjunto imagem do operador Tz o Ty 25 Sendo o operador linear T R R definido por T4x1 2273 x1 2 22320 23 2 3 a mostre que o mesmo e injetor b mostre que o mesmo e sobrejetor c determine uma formula para T 1 A xx2 x3 d calcule T 1 A 1 2 2 4
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Ministerio da Educacao Universidade Tecnologica Federal do Parana Cˆampus Pato Branco IA 25 M 20241 RECUPERAC AO 1 Resolva os sistemas de equacoes lineares a seguir empregando o metodo de eli minacao de Gauss escalonamento a x1 2x2 3x3 1 x1 3x2 6x3 3 2x1 6x2 13x3 5 b x1 2x2 2x3 1 2x1 5x2 x3 9 x1 3x2 4x3 9 2 Discuta o sistema de equacoes lineares x1 x2 2x3 4 2x1 3x2 x3 1 7x1 3x2 4x3 7 3 Discuta o sistema de equacoes lineares 2x1 3x2 x3 1 x1 x2 x3 3 3x1 4x2 2x3 4 4 Considere o sistema de equacoes lineares x1 x2 2x3 0 a Resolva esse sistema b Encontre os geradores do conjuntosolucao c Descreva geometricamente o conjuntosolucao 5 Encontre o valor de x y e z de modo que os vetores u v R3 sejam iguais sendo u x y x y z 1 e v 4 2 3 R x 4 y 1 z 4 6 Se u v V R3 e u 2 4 5 e v 1 6 9 calcule a u v b 3u 5v 7 Mostre que o conjunto H x1 x2 R2 x1 2x2 1 nao e um espaco vetorial 1 8 Verifique se o vetor b 74 3 é combinagao linear dos vetores u 1 2 5 U2 256 Em caso afirmativo escreva tal combinacao linear 9 Escreva o vetor v 374 R como combinacao linear dos vetores uy 1 23 wa 237 e ug 35 6 1 2 3 1 10 Determine o nucleo da matriz A 9 4 6 3 Encontre também seus geradores 11 Descreva o conjuntosolugao S do sistema de equacoes lineares U1 273 1 em termos de uma variedade linear Apresente um esboco grafico de S e faca comentarios sobre suas principais caracteristicas 12 Encontre uma base e a dimensao para o subespaco H C R definido por H x2 R x 2x2 23 O Interprete H geometricamente 13 Considere 0 conjunto Mo2R onde aj ag e ay2 2 Encontre uma base e a dimensao de M 14 Sejam A e B matrizes 6 x 5 Se dim NA 2 qual 0 posto de A Se o posto de B for 4 qual vai ser a dim NB 15 Mostre que a transformada T R R definida por Ax122 271 r2 é linear 16 Mostre que a transformada T R R definida por Ax1 2 cos 71 272 é nao linear 1 8 17 Data a matriz A 35 e os vetores u 2 1 b 325 e 1 7 c 3 25 defina a transformacao associada T e em seguida resolva os itens a Sendo Ty R R determine k e kg b Escreva uma expressao algébrica formula para T4z c Determine Tu a imagem de u pela transformacao T4 d Existe mais de um x cuja imagem por T é b e Determine se c esta na imagem da transformacao Ty 18 Seja T a transformacaéo linear de R R definida por Tx 2x rg 3 249 41 13243 21 X12 i Determine a matriz A de T 2 ii Determine Tx para x 53 2 iii Determine se T é injetora iv Determine de T é sobrejetora v T admite inversa Em caso afirmativo apresentea 19 Seja V Mo x2IR 0 espacgo vetorial das matrizes quadradas de ordem 2 com entradas reais Considere H C Moy2IR onde H fe 3 1 A144 A12 0e ag wan 21 G22 a 100 Ponto Mostre que H é um subespaco vetorial de V Mox2R c 050 Ponto Determine uma base para H d 050 Ponto Determine a dimensao de H 20 Obtenha as coordenadas do vetor u 374 de V R em relacao a base B v V2 03 de V R sendo v 1 23 ve 237 e v2 3 56 21 Determine a dimensao do subespaco H de V R gerado pelos seguintes vetores uz 112 u2 2 2 2 ug 3 25 e us 2 13 22 Encontre uma base para o espaco linha uma base para o espaco coluna e uma base 2 1 1 2 para o ntcleo da matriz A 1 2 1 2 3 2 1 1 23 Sejam 7T4 e Tz os operadores lineares cujas matrizes canonicas sao respectiva 1 2 0 2 3 3 mente A 4 1 3 eB 5 0 1 Encontre as matrizes canonicas 5 2 4 6 1 7 dos seguintes operadores a 2T 4 3Tp b 27T Oo Te 24 Sejam os operadores lineares T41 23 41 2273 27 41 322423 e Tp 21 2 23 22 Lg 24321 Fg 13 X1 3 13 Determine a a matriz canonica do operador T4 273 b a matriz canonica do operador 2T4 o Tp c o conjunto imagem do operador Tz o Ty 25 Sendo o operador linear T R R definido por T4x1 2273 x1 2 22320 23 2 3 a mostre que o mesmo e injetor b mostre que o mesmo e sobrejetor c determine uma formula para T 1 A xx2 x3 d calcule T 1 A 1 2 2 4