Listas Matematica Derivadas e Limites-2018 2

Lista de limites I Prof Adriana Cálculo “A” e Matemática Aplicada a Zootecnia/ AGRONOMIA 1)Calcule os limites 2)Obtenha os limites 1 Lista de limites I Prof Adriana Cálculo “A” e Matemática Aplicada a Zootecnia/ AGRONOMIA 3)Para cada função abaixo calcule e , quando existirem: 4)Calcule os seguintes limites: 2 Lista de limites I Prof Adriana Cálculo “A” e Matemática Aplicada a Zootecnia/ AGRONOMIA Aplicação de Limites 1) Considerando que, em um experimento de adubação, a resposta do crescimento de uma planta (cm) pode ser dada por , em que x > 0 (g/m2) é a quantidade de fertilizante adicionada, calcule o que acontece com o crescimento da planta quando a quantidade x de fertilizante aumenta indefinidamente? R=20 2) Em certas situações é necessário comparar os benefícios de uma certa medida com o custo necessário para executa-la, suponha por exemplo, que para remover x% da poluição causada por um derramamento de petróleo seja preciso gastar C milhares de reais, onde : a) Quanto custa para remover 25% da poluição? E 50%? b) O que acontece quando x 100-? É possível remover toda a poluição? 3) Estima-se que daqui a t anos a população de um certo bairro será p mil habitantes, onde , o que acontece com a população à longo prazo (quando o tempo cresce indefinidamente). R=20 4)Para estudar o aprendizado em animais, um estudante de psicologia realizou um experimento, em que um rato teve que atravessar várias vezes o mesmo labirinto. Supondo que o tempo que o rato levou para atravessar o labirinto na enésima tentativa tenha sido da ordem T(n)= minutos. O que acontece com este tempo quando número de tentativas n aumenta indefinidamente. Interprete o resultado. R=5 5) Em uma determinada fábrica um gerente observa a função que determina o custo da fabricação de x unidades de um determinado produto é C(x)=125x+4000. A função custo médio é dada por Cme(x)= . Calcule: e justifique o resultado? R=125 3 1 LISTA - DERIVADAS “CÁLCULO A” Agronomia e “MATEMÁTICA” Zootecnia 2 sem. 2018 Prof. Dra Adriana Sbardelotto Di Domenico 1) Calcule as derivadas pelas regras de derivação.                                       x x x q x x x x x y o t t y m x a a f a k t x x x x y c x y a 3 2 dx d ) 3) 5 4x (2 ) p)y ( ) 6x 5 5 n)f(x) 3 ) 4 1 4x l)g(x) 2 1 4 1 ( ) ) 3 3 t 2 j)g(t) 3 x - x 1 i)h(x) 2 5 3 x 1- 2x - x h)y g)y x 1 x f)y e)y 1 2 3x d)y 2 4 ) -4 3 b)y 7 ) 3 2 3 2 3 5 4 2 4 4 2 4 3 3 3 2 3 2 3 2 2 RESPOSTAS: a) y’= 7 b) y’= 0 c) y’= -4x d) y’= 6x-2 e) y’= 1 2√x f) y’= −1 3 x 3√x g) y’= -2-2x h) y’= 3x²-6x+5 i) y’= x²-1 j) y’= t²- 9 t 4 k) y’= a³-a l) y’= 16x³+16 x 5 m) y’= - 6 t ³ - 20 t 5 n) y’= - 6 x 6 o) y’= 4x³-3x² p) y’= 40x4-80x³+36x² q) y’= 4x 2) Calcule as derivadas pela regra do produto ou do quociente.                                1 2 6 ) 2t 1 5t 4 e)y 3 1 2 dy d ) 1 dx (7 - 3t ) d) d c)y 5)(4x -1) (2x 6 ) b) 1)(5 (2 ) 2 2 3 2 3 4 t t f y y e x x dx d x x x y a RESPOSTAS: a) y’= 70x6+60x4-15x²-6 b) y’= 24x²-4x+20 c) y’= -126t²+54t5 d) y’= −1 ( x−1)² e) y’= 5 (3 y+4)² 2 e) y’= 5−10t ² (1+2t 2)² f) y’= −12 (2t−1)² 3) Questões 01, 02 e 03 abaixo. RESPOSTAS: Questão 01: a) y’=6x²-26x+15; b) w’=2t+2; c) p’=6t²+6t-10 Questão 02: a) y’ = 13 (x+5) 2 ; b) w’= 3t 2+8t−8 (3t+4 ) 2 ; c) p’= −10t+15 (t 2−3t+5) 2 Questão 03: a) y’=375x²-300x+60; b) w’= 4 t+5 2√2t 2+5t ; c) p’ = −12 (2t−5) 3 4) Calcule as derivadas exponenciais, logarítmicas e trigonométricas cossec x n)y secx 3 m)y ) x lnx j)f(x) . i)y 2cosx - 4 5senx 6 h)y 3 10ln ) 5 2 f)y e)y tgx ln d)y ) x senx 5 b)y 3ln ( ) ) x x 2 2                   x ex y l senx x x x y g x x y c x f x a RESPOSTAS: a) y’= 3/x b) y’= (xcos x – 2sen x)/ x³ c) y’= 2x ln x + x d) y’= sec² x e) y’= x ln 2 f) y’= 5x ln x g) y’= 10 x -3 h) y’= 5cos x – 2sen x i) y’= senx 2√ x + √ x cos x j) y’= 2 x−xlnx 2 x ² √ x l) y’= e x+3 xln3 m) y’= tg x sec x n) y’= - cossec x cotg x 3 LISTA – DERIVADA E SUAS APLICAÇÕES 1) Uma doença está de disseminando em um rebanho de tal forma que, após t semanas, o número de animais infectados é dado por N (t )=5175−t 3 (t−8),0≤t ≤8. a) A que taxa a epidemia está se disseminando após 3 semanas? R: 108 b) Após quantas semanas a epidemia poderá ser controlada? R: 6 semanas 2) A vazão (cm³) de um canal de irrigação na horizontal, considerando a distância do jato igual a 30 cm, é dada em função do diâmetro do tubo d, sendo Q (d) = 375. d², em que D= {d ∈ R∨7 ,5≤d ≤15cm}. Calcule Q’(9), justificando seu significado. R: 6750 3) O modelo N=t 2−t+1 t 2+1 mede a porcentagem do nível de oxigênio em uma lagoa; t é o tempo em semanas após o lançamento de detritos orgânicos na lagoa. Ache a taxa de variação de N em relação a t quando: a) t=0,5 R: -0,48% b) t=2 R: 0,12% c) t=8 R: 0,015% 4) O custo total da fabricação de x unidades de um produto é dada pela função C (x )=1500+300 x+x 2. Ache a função custo marginal e o custo marginal quando x=40. R: 380 5) Uma mancha de óleo em um rio se alastra sempre circularmente. Ache a taxa de variação da área A da superfície da mancha em relação ao raio r do círculo, para r = 200 m. R: A’= 1256,64 m² 6) Um rebanho é atingido por um vírus epidêmico. Calcula-se que o número de animais atingidos pelo vírus depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é dado, aproximadamente, por n=64t−t 3 3 . a) Qual a taxa da expansão da epidemia após 4 dias? R: 48 animais b) Qual a taxa da expansão da epidemia após 8 dias? R: 0, o vírus foi controlado 7) A população de uma colônia de bactérias é dada por P (t )=24 t+10 3t 2+1 milhares, t horas após a introdução de uma toxina. Com que taxa a população está variando 1 h após a toxina ser introduzida? A população estará aumentando ou diminuindo? R: -6,75, diminuindo 8) A massa de uma cultura de bactérias viáveis tem seu crescimento representado pela função M(t)= p + 60t - 2,5t² (t medido em horas e M em cm3), sendo p uma constante positiva. Calcule a velocidade de crescimento dessa cultura quando t=6 h. O que representa o ponto onde M’(t)=0? R: 30 cm³/h 9) Um analgésico oral é administrado a um paciente e t horas depois, a concentração do medicamento no sangue é dada por 16 3 2 ( ) 2   t t t C . Qual é a taxa de variação da concentração com o tempo? Qual é a taxa de variação da concentração do medicamento 1 h depois que é ministrado? A concentração está aumentando ou diminuindo neste instante? 4 R: C’(t) = −6t 2+32 (3t 2+16)² ; C’(1)=0,065, a concentração está diminuindo LISTA DE REGRA DE CADEIA a) y= (2x+1)4 b) y= (x5 - 4x3 - 7)8 c) y= 1 (5t 2−6t+2) 2 d) y= 12 5 x6  e) y= 1 √4 x 2+1 f) y= 2)4 1( 3  x g) y= 5) 3 1( x  h) y= cos(x+1) i) y= xe 2 j) y= ln(x+1) k) y= x e l) y= sen5x2 m) y= ln x2 5 RESPOSTAS a) y’= 8(2x+1)³ b) y’= 8(x5- 4x³-7)7(5x4-12x²) c) y’= −10t+6 (5t 2−6t+2)² d) y’= 30 x 5 2√5 x 6−12 e) y’= x √(4 x 2+1)³ f) y’= −24 (1−x 2) 5 g) y’= 5(1+√3 x) 4 2√3 x h) y’= -sen (x+1) i) y’= e x 2 2 x j) y’= 1 x+1 k) y’= e √ x 2√ x l) y’= 10x cos (5x²) m) y’= 2/x 6 Aplicações de Regra de Cadeia 1) Quando um certo produto é vendido por p reais a unidade, os consumidores compram D(p) = p 40000 unidades do produto por mês. Calcula-se que daqui a t meses, o preço do produto será p(t) = 0,4t3/2 + 6,8 reais por unidade. Qual será a taxa de variação da demanda mensal do produto com o tempo daqui a 4 meses? R: -480 2) O número de unidades Q de um certo produto que serão fabricados com um capital de K milhares de reais é modelado com a função Q(K)=500K2/3 Suponha que o investimento de capital varie d4e tal forma que daqui a t meses haja um investimento K(t) milhares de reais, onde K(t)= 2 149 3 2 4    t t t . a) Qual será o investimento de capital daqui a 3 meses? Quantas unidades serão produzidas nessa ocasião? R: 64 milhões e 8000 unidades b) Qual será a taxa de variação de produção com o tempo daqui a 5 meses? A produção estará aumentando ou reduzindo nessa ocasião? R: 202 milhões e 45504,81 unidades 3) Estima-se que daqui a t anos a população de um certo país será p(t)= t e 50 0,02 milhões de habitantes. Qual a taxa de variação da população com o tempo daqui a 10 anos? R: 1,22 milhões 4) Uma certa maquina sofre uma depreciação tal que seu valor após t anos é dado por Q(t)= t e ,0 4 20000  em reais. Qual é a taxa de variação com o tempo do valor da máquina após 5 anos? R: -1082,68 reais LISTA ESTUDO DO SINAL DA 1ª DERIVADA PARA DETERMINAÇÃO DE EXTREMOS RELATIVOS. 1) Determine os intervalos em que a função está crescendo, ou decrescendo, os extremos relativos e faça o esboço do gráfico. a) F(x)= x2-4x+5 b) y= x3-3x+4 c) f(x)= 3x4 - 8x3 + 6x2 + 2 d) f(t)= 2t3 + 6t2 + 6t + 5 e) g(x)= (x-1)5 f) h(t)= 2 2 2  t  t t g) y= 2  3 a a Aplicações do Sinal da Primeira Derivada 1) Uma empresa determina que se x milhares de reais forem investidos na propaganda de um certo produto, S(x) unidades do produto serão vendidas, onde S(x)= 17 x 207 0 132 27 2 2 3       x x x Quanto a empresa deve investir para maximizar as vendas? 7 2) Um estudo de eficiência realizado no turno da manha (8 às 12h) revela que um operário que chega para trabalhar as 8h produziu Q(t)= t t t 12 2 9 2 3    unidades t horas mais tarde. Em que instantes a produtividade é máxima? Que horas representa esse instante? 3) Uma projeção válida para 5 anos, revela que daqui a t anos a população de um bairro será: P(t)= 50 48 9 2 3     t t t mil habitantes. a) Após quanto tempo a população será máxima? 4) Um fabricante estima que quando x milhares de unidades de certa mercadoria forem produzidas, seu custo será C(x)=4x2+3x+30. Sabendo que x unidades podem ser vendidas por p(x)=28 – x reais a unidade. a) Determine a função receita e a função lucro. b) Determine quantos unidades devem ser produzidas e vendidas para gerar o lucro máximo e o lucro mínimo? 5) Uma estação de rádio fez um levantamento dos hábitos dos ouvintes entre 17h e meia-noite. A pesquisa mostra que a porcentagem de ouvintes sintonizados na estação x horas depois das 17h é dada pela função F(x)= 240) 108 27 6 ( 2 1 2 3     x x x . a) Em que instante a porcentagem de ouvintes é máxima? b) Em que instante a porcentagem de ouvintes é mínima? 6) Considere a quantidade de produção vegetal como função da quantidade de sementes colocada na terra (cova), dada pela função f(x)= 2 3  x 12x (Kg/ha). a) analise os intervalos onde a função é crescente ou decrescente. b) Determine a quantidade de sementes que maximiza a quantidade de produção vegetal e calcule qual é essa produção? 7) Um bezerro recebe uma dose de fortificante a cada 5 dias (durante 6 meses). A taxa de crescimento do animal pode ser verificada através da função F(x)= x x 5 2 2   (% /ml). Determine: a) A função marginal do crescimento b) A taxa de crescimento marginal para as quantidades x=0,9 e x=1,1? Interprete. c) A quantidade de fortificante x que maximiza o crescimento do animal, e qual este percentual de crescimento? 8) Tem-se que a função que dá a quantidade de sementes de uma variedade de soja (Kg) a ser plantada, como Q=349800. x 45 y em que x representa a área (alq.) e y (%) o poder germinativo da semente. Fixando a área em x=1, análise o crescimento ou decrescimento dessa função. Calcule Q’(0,8), justificando seu significado. R: a função é decrescente para o poder germinativo de 0,8 % em – 12 145, 83 Kg. 8 9) Uma pesquisa avaliou a produção de um pomar de nozes pecãn durante um período de 30 anos, e com isso encontrou um modelo para estimar a produção y (kg) em função da idade (x) das árvores em anos. Sabendo que o modelo encontrado após 5 anos de idade das plantas é y = -26,045x2 + 1249,5x - 5733,7 determine após quanto tempo a produção será máxima. Qual é essa produção? 10) Os experimentos mostram que quando uma pulga dá um pulo, a altura atingida pelo animal (em metros) após t segundos é dada pela função H(t)= 4,4 t - 4,9 t2. Em que instante H’(t)=0. E qual o significado físico desse instante? 11) Determine 2 números positivos cuja a soma é 50, e o produto é o maior possível. 12) Determine dois números positivos cuja a soma é 30 e o produto xy2 é o maior possível. 13) Uma empresa de turismo aluga um ônibus com capacidade para 50 pessoas a grupos de 35 ou mais. Quando um grupo contém exatamente 35 pessoas, cada pessoa paga R$60,00. Nos grupos maiores, o preço por pessoa é reduzido de R$1,00 para cada pessoa que exceder a 35. Determine o tamanho do grupo para o qual a receita da empresa será a máxima. 14) A prefeitura de um município pretende construir um parque retangular, cercado, com uma área de 3600m2. De forma a ter o parque cujo o comprimento da cerca seja mínimo. 15) Existem 320 metros de cerca disponíveis para cercar um terreno retangular. Como deve ser cercado o terreno para que a área seja a maior possível? 16) Um fazendeiro deseja usar 300 m de cerca para delimitar dois curais retangulares iguais e adjacentes, como mostra a figura. Quais de vem ser as dimensões dos curais de forma que a área total seja a maior possível? 9 17) Encontre a função que relaciona x e y e a dose de fertilizante que maximiza a produção de soja. X doses de fertilizante (ton/ha) Y produção de soja (sc/ha) 3 55 4 70 8 75 10 65 11 60 18) Um produtor de gado estima que se colocar 50 cabeças de gado em um piquete em média cada cabeça produzirá 280kg de carne. E que cada cabeça que ele colocar a mais no piquete diminui da produção de carne 5kg por cabeça. Qual a quantidade de cabeças a ser colocada de forma obter a máxima produção? 19) Uma nova embalagem de cerveja, isto é, uma lata cilíndrica fechada deve conter 290 mL (cm3) de líquido. Como deveria ser a altura e o raio dessa lata para minimizar a quantidade de material usado na sua confecção? Há alguma relação específica entre eles? (Somente a resolução por derivadas será considerada). 20) Para cercar uma pastagem de 1ha, de forma retangular, qual será o mínimo comprimento de cerca necessário?