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Deflexão em Vigas OBEJTIVO Determinar a equação da curva de deflexão e também encontrar deflexões ou flechas em pontos específicos ao longo do eixo da viga IMPORTÂNCIA Verificação de deformações excessivas estruturas estaticamente indeterminadas e análise dinâmica 2 Comparação dos Resultados Estruturas Planas DMF x Linha Elástica Deflexão em vigas Hipóteses Plano de simetria Material linearmente elástico Pequenas deformações Seções planas continuam planas Energia de cisalhamento desprezada 5 Figura 312 Analogia das seções transversais de uma viga com os passos da mola a Viga submetida a flexão b Seções transversais da viga c Mola submetida a flexão d Paços da mola Revisão de Flexão Equação da Linha Elástica Equação da Linha Elástica Do Cálculo sabemos que a curvatura de uma função é dada por Logo podemos concluir que para uma viga sujeita a um momento fletor 𝑀𝑥 Para pequenas deformações podemos desprezar o termo Τ 𝑑𝑣 𝑑𝑥 2 logo 9 Origem e EDOs Mesma origem para todos os trechos Uma origem para cada trecho 10 Condições de contorno Integração da EDO Para vigas prismáticas no caso da origem variar para cada trecho podemos interpretar as constantes de integração como sendo o ângulo inicial 𝜃0 e a deflexão inicial 𝑣0 do trecho 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑀𝑥 𝐸𝐼 𝜃 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 1 𝐸𝐼 න 𝑀 𝑥 𝑑𝑥 𝐶1 1 𝐸𝐼 න 0 𝑥 𝑀 𝑥 𝑑𝑥 𝜃0 𝑣 𝑥 1 𝐸𝐼 ඵ 0 𝑥 𝑀 𝑥 𝑑𝑥 𝜃0𝑥 𝑣0 12 Rigidez à flexão O produto EI é chamado de Rigidez à flexão Para um mesmo material as deflexões são inversamente proporcionais à inércia o que implica que podemos aplicar uma regra de três para dimensionar vigas a partir de uma linha elástica genérica 𝑣𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒𝐼𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑣𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜𝐼𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 13 Estado Limite de Serviço ELS No período de vida da estrutura usualmente são considerados estados limites de serviço caracterizados por a danos ligeiros ou localizados que comprometam o aspecto estético da construção ou a durabilidade da estrutura b deformações excessivas que afetem a utilização normal da construção ou seu aspecto estético c vibração excessiva ou desconfortável 14 Deslocamentos Máximos NBR88002008 15 Deslocamentos Máximos NBR88002008 16 Deslocamentos Máximos NBR88002008 17 Deslocamentos Máximos NBR88002008 18 Vibrações NBR 88002008 Exercício 01 HIBBELER adaptado Determine a deflexão e a rotação máxima da viga em balanço ao lado sendo 𝑃 100 𝑘𝑁 𝐿 6 𝑚 𝐸 200 𝐺𝑃𝑎 𝐼 12000 𝑐𝑚4 20 Exercício 02 BEER adaptado Para a viga ao lado determine a flecha do ponto D sendo a rigidez à flexão EI igual a 100 𝑀𝑁𝑚2 Caso fosse uma viga metálica de piso a mesma estaria aprovada segundo os critérios da NBR8800 21 Exercício 02 BEER adaptado Exercício 03 HIBBELER adaptado 23 Determine o deslocamento do ponto C sendo 𝐸 200 𝐺𝑃𝑎 e 𝐼 30 106 𝑚𝑚4 Exercício 03 HIBBELER adaptado Exercício 03 HIBBELER adaptado Finally the cantilevered portion BC is displaced by the 10kN force Fig 1229d We have Exercício 04 Para a viga metálica ao lado determine qual o perfil da Gerdau mais leve que atenderia a NBR8800 imaginando que a viga de piso seria para Uso normal Academia Academia com atividade aeróbica 27 Dimensões em kN e m Exercício 05 Exercício 04 28 Para o W530x82 𝐼 47569 𝑐𝑚4 Exercício 05 Determine a linha elástica da viga a seguir Dados Sua seção transversal é um retângulo com 14 cm de largura e 50 cm de altura feita de concreto armado que tem densidade de 2500 𝑘𝑔𝑚3 e 𝐸 20 𝐺𝑃𝑎 No primeiro trecho há uma alvenaria que pesa 3 toneladas por metro e no segundo trecho 1 tonelada por metro O pilar P2 descarrega 40 toneladas na viga e o pilar P4 10 toneladas Considere que o pilar P1 oferece restrição ao movimento horizontal e vertical enquanto que o pilar P3 oferece apenas restrição ao movimento vertical 29 Exercício 05 30 P1 P2 P4 P3 Dimensões em m Exercício 05 33 Deformada cm Zoom Teoria de Timoshenko Assim como nas hipóteses de Bernoulli 𝑢 𝑧𝜃 𝜀 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑧 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝜎 𝐸𝜀 𝐸𝑧 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑀𝑧 𝐼 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝜃 𝑑𝑥 Uma vez que é admitida apenas deformação por flexão podemos escrever 𝑑𝑤 𝑑𝑥 𝜃 𝑑2𝑤 𝑑𝑥2 𝑀 𝐸𝐼 34 Teoria de Timoshenko Timoshenko considerou ainda que de forma aproximada a deformação por cisalhamento na equação anterior de tal sorte que 𝑑𝑤 𝑑𝑥 𝜃 𝛾 Onde 𝜏 𝐺𝛾 𝑉 ඵ 𝜏𝑑𝑧𝑑𝑦 𝜅𝜏𝐴 𝜅𝐺𝐴𝛾 𝛾 𝑉 𝜅𝐺𝐴 35 Teoria de Timoshenko 36 Ainda que de forma aproximada Timoshenko quis analisar essas deformações Teoria de Timoshenko Fator de Forma Para perfis retangulares e circulares Retangulares 𝜅 101 𝜈 12 11𝜈 Retangulares aproximação 𝜅 5 6 Circulares 𝜅 61 𝜈 7 6𝜈 Para perfis I recomendase usar a área de cisalhamento 37 𝜅𝐴 𝐴𝑤 𝑑𝑡𝑤 Exercício 01 1 Para uma viga simplesmente apoiada com carregamento constante determine a diferença na flecha máxima pela teoria de Bernoulli e Timoshenko 2 Avalie numericamente para o caso de Perfil W610x820 com vãos de 5 10 e 15 m Carga de 1 tfm 38 Exercício 01 HIBBELER adaptado Determinar a flecha na ponta do balanço da viga metálica ao lado sabendo que sua seção transversal é um W310x21 Dados 𝐸 200 𝐺𝑃𝑎 𝐼 3776 𝑐𝑚4 39 Exercício 02 HIBBELER adaptado Determinar o perfil Gerdau mais leve no qual o deslocamento no balanço não ultrapasse o limite admissível Dados 𝐸 200 𝐺𝑃𝑎 𝑎𝑑𝑚 1 𝑐𝑚 40 Exercício 03 BEER adaptado Determinar a flecha máxima da viga metálica ao lado sabendo que sua seção transversal é um W200x225 Dados 𝐸 200 𝐺𝑃𝑎 𝐼 2029 𝑐𝑚4 𝑥𝑚á𝑥 255 𝑚 41 Vigas Estaticamente Indeterminadas 42 Estruturas Hiperestáticas Viga Hiperestática Vigas Contínuas Grau de Hiperestaticidade GH São três os graus de liberdade possibilidade de movimento no plano translação horizontal vertical e rotação Portanto são três as equações de equilíbrio 𝐹𝑥 0 𝐹𝑦 0 𝑀𝑃 0 Caso tenhamos três reações de apoio incógnitas podemos resolver o problema apenas por estática Caso tenhamos mais incógnitas reações de apoio do que equações para o plano 3 dizemos que a estrutura é estaticamente indeterminada ou Hiperestática Definese o grau de hiperestaticidade 𝐺𝐻 𝐼𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝐸𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 45 Exercício 05 Como resolver 46 4 reações de apoio X 3 equações de equilíbrio DMF tfm Método da Superposição Cálculo das reações de apoio Exercício 01 HIBBELER adaptado Determine as reações de apoio da viga ao lado Sejam 𝐸 200 𝐺𝑃𝑎 𝐼 65 106 𝑚4 Realmente seriam necessários os valores de E e I 49 Exemplo ENG114 Mônica Exercício 02 HIBBELER adaptado Trace os diagramas de Força Cortante e Momento Fletor da viga ao lado Sejam 𝐸 20 𝐺𝑃𝑎 𝐼 75000 𝑐𝑚4 Realmente seriam necessários os valores de E e I 50 UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 HIPERESTÁTICA Calcular as reações de apoio e traçar os diagramas de esforços solicitantes para as vigas apresentadas a seguir 1 Exercício 03 HIBBELER adaptado Trace os diagramas de Força Cortante e Momento Fletor para a O apoio B indeslocável b O apoio B recalcando 3 cm Dados 𝐸 25 𝐺𝑃𝑎 𝐼 8 104 𝑚4 51 Exercício 04 HIBBELER adaptado Trace os diagramas de Força Cortante e Momento Fletor para a O apoio B indeslocável b O apoio B recalcando 3 cm Dados 𝐸 200 𝐺𝑃𝑎 𝐼 4000 𝑐𝑚4 52 Exemplo ENG114 Mônica 53 Resolver a viga da figura abaixo com grau de hiperestaticidade igual a 2 De acordo com os vínculos retirados as condições de compatibilidade de deslocamentos são Retirandose os vínculos internos correspondentes à força vertical Exemplo ENG114 Mônica Exemplo ENG114 Mônica 56 Diagrama de Força Cortante Lista de Exercícios Processo dos Esforços aplicado às Vigas Estrutura Exemplo ENG114 Mônica 59 Diagrama de Força Cortante Reações de apoio 2 Estrutura
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Deflexão em Vigas OBEJTIVO Determinar a equação da curva de deflexão e também encontrar deflexões ou flechas em pontos específicos ao longo do eixo da viga IMPORTÂNCIA Verificação de deformações excessivas estruturas estaticamente indeterminadas e análise dinâmica 2 Comparação dos Resultados Estruturas Planas DMF x Linha Elástica Deflexão em vigas Hipóteses Plano de simetria Material linearmente elástico Pequenas deformações Seções planas continuam planas Energia de cisalhamento desprezada 5 Figura 312 Analogia das seções transversais de uma viga com os passos da mola a Viga submetida a flexão b Seções transversais da viga c Mola submetida a flexão d Paços da mola Revisão de Flexão Equação da Linha Elástica Equação da Linha Elástica Do Cálculo sabemos que a curvatura de uma função é dada por Logo podemos concluir que para uma viga sujeita a um momento fletor 𝑀𝑥 Para pequenas deformações podemos desprezar o termo Τ 𝑑𝑣 𝑑𝑥 2 logo 9 Origem e EDOs Mesma origem para todos os trechos Uma origem para cada trecho 10 Condições de contorno Integração da EDO Para vigas prismáticas no caso da origem variar para cada trecho podemos interpretar as constantes de integração como sendo o ângulo inicial 𝜃0 e a deflexão inicial 𝑣0 do trecho 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 𝑀𝑥 𝐸𝐼 𝜃 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 1 𝐸𝐼 න 𝑀 𝑥 𝑑𝑥 𝐶1 1 𝐸𝐼 න 0 𝑥 𝑀 𝑥 𝑑𝑥 𝜃0 𝑣 𝑥 1 𝐸𝐼 ඵ 0 𝑥 𝑀 𝑥 𝑑𝑥 𝜃0𝑥 𝑣0 12 Rigidez à flexão O produto EI é chamado de Rigidez à flexão Para um mesmo material as deflexões são inversamente proporcionais à inércia o que implica que podemos aplicar uma regra de três para dimensionar vigas a partir de uma linha elástica genérica 𝑣𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒𝐼𝑡𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑣𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜𝐼𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 13 Estado Limite de Serviço ELS No período de vida da estrutura usualmente são considerados estados limites de serviço caracterizados por a danos ligeiros ou localizados que comprometam o aspecto estético da construção ou a durabilidade da estrutura b deformações excessivas que afetem a utilização normal da construção ou seu aspecto estético c vibração excessiva ou desconfortável 14 Deslocamentos Máximos NBR88002008 15 Deslocamentos Máximos NBR88002008 16 Deslocamentos Máximos NBR88002008 17 Deslocamentos Máximos NBR88002008 18 Vibrações NBR 88002008 Exercício 01 HIBBELER adaptado Determine a deflexão e a rotação máxima da viga em balanço ao lado sendo 𝑃 100 𝑘𝑁 𝐿 6 𝑚 𝐸 200 𝐺𝑃𝑎 𝐼 12000 𝑐𝑚4 20 Exercício 02 BEER adaptado Para a viga ao lado determine a flecha do ponto D sendo a rigidez à flexão EI igual a 100 𝑀𝑁𝑚2 Caso fosse uma viga metálica de piso a mesma estaria aprovada segundo os critérios da NBR8800 21 Exercício 02 BEER adaptado Exercício 03 HIBBELER adaptado 23 Determine o deslocamento do ponto C sendo 𝐸 200 𝐺𝑃𝑎 e 𝐼 30 106 𝑚𝑚4 Exercício 03 HIBBELER adaptado Exercício 03 HIBBELER adaptado Finally the cantilevered portion BC is displaced by the 10kN force Fig 1229d We have Exercício 04 Para a viga metálica ao lado determine qual o perfil da Gerdau mais leve que atenderia a NBR8800 imaginando que a viga de piso seria para Uso normal Academia Academia com atividade aeróbica 27 Dimensões em kN e m Exercício 05 Exercício 04 28 Para o W530x82 𝐼 47569 𝑐𝑚4 Exercício 05 Determine a linha elástica da viga a seguir Dados Sua seção transversal é um retângulo com 14 cm de largura e 50 cm de altura feita de concreto armado que tem densidade de 2500 𝑘𝑔𝑚3 e 𝐸 20 𝐺𝑃𝑎 No primeiro trecho há uma alvenaria que pesa 3 toneladas por metro e no segundo trecho 1 tonelada por metro O pilar P2 descarrega 40 toneladas na viga e o pilar P4 10 toneladas Considere que o pilar P1 oferece restrição ao movimento horizontal e vertical enquanto que o pilar P3 oferece apenas restrição ao movimento vertical 29 Exercício 05 30 P1 P2 P4 P3 Dimensões em m Exercício 05 33 Deformada cm Zoom Teoria de Timoshenko Assim como nas hipóteses de Bernoulli 𝑢 𝑧𝜃 𝜀 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑧 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝜎 𝐸𝜀 𝐸𝑧 𝑑𝜃 𝑑𝑥 𝑀𝑧 𝐼 𝑀 𝐸𝐼 𝑑𝜃 𝑑𝑥 Uma vez que é admitida apenas deformação por flexão podemos escrever 𝑑𝑤 𝑑𝑥 𝜃 𝑑2𝑤 𝑑𝑥2 𝑀 𝐸𝐼 34 Teoria de Timoshenko Timoshenko considerou ainda que de forma aproximada a deformação por cisalhamento na equação anterior de tal sorte que 𝑑𝑤 𝑑𝑥 𝜃 𝛾 Onde 𝜏 𝐺𝛾 𝑉 ඵ 𝜏𝑑𝑧𝑑𝑦 𝜅𝜏𝐴 𝜅𝐺𝐴𝛾 𝛾 𝑉 𝜅𝐺𝐴 35 Teoria de Timoshenko 36 Ainda que de forma aproximada Timoshenko quis analisar essas deformações Teoria de Timoshenko Fator de Forma Para perfis retangulares e circulares Retangulares 𝜅 101 𝜈 12 11𝜈 Retangulares aproximação 𝜅 5 6 Circulares 𝜅 61 𝜈 7 6𝜈 Para perfis I recomendase usar a área de cisalhamento 37 𝜅𝐴 𝐴𝑤 𝑑𝑡𝑤 Exercício 01 1 Para uma viga simplesmente apoiada com carregamento constante determine a diferença na flecha máxima pela teoria de Bernoulli e Timoshenko 2 Avalie numericamente para o caso de Perfil W610x820 com vãos de 5 10 e 15 m Carga de 1 tfm 38 Exercício 01 HIBBELER adaptado Determinar a flecha na ponta do balanço da viga metálica ao lado sabendo que sua seção transversal é um W310x21 Dados 𝐸 200 𝐺𝑃𝑎 𝐼 3776 𝑐𝑚4 39 Exercício 02 HIBBELER adaptado Determinar o perfil Gerdau mais leve no qual o deslocamento no balanço não ultrapasse o limite admissível Dados 𝐸 200 𝐺𝑃𝑎 𝑎𝑑𝑚 1 𝑐𝑚 40 Exercício 03 BEER adaptado Determinar a flecha máxima da viga metálica ao lado sabendo que sua seção transversal é um W200x225 Dados 𝐸 200 𝐺𝑃𝑎 𝐼 2029 𝑐𝑚4 𝑥𝑚á𝑥 255 𝑚 41 Vigas Estaticamente Indeterminadas 42 Estruturas Hiperestáticas Viga Hiperestática Vigas Contínuas Grau de Hiperestaticidade GH São três os graus de liberdade possibilidade de movimento no plano translação horizontal vertical e rotação Portanto são três as equações de equilíbrio 𝐹𝑥 0 𝐹𝑦 0 𝑀𝑃 0 Caso tenhamos três reações de apoio incógnitas podemos resolver o problema apenas por estática Caso tenhamos mais incógnitas reações de apoio do que equações para o plano 3 dizemos que a estrutura é estaticamente indeterminada ou Hiperestática Definese o grau de hiperestaticidade 𝐺𝐻 𝐼𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝐸𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 45 Exercício 05 Como resolver 46 4 reações de apoio X 3 equações de equilíbrio DMF tfm Método da Superposição Cálculo das reações de apoio Exercício 01 HIBBELER adaptado Determine as reações de apoio da viga ao lado Sejam 𝐸 200 𝐺𝑃𝑎 𝐼 65 106 𝑚4 Realmente seriam necessários os valores de E e I 49 Exemplo ENG114 Mônica Exercício 02 HIBBELER adaptado Trace os diagramas de Força Cortante e Momento Fletor da viga ao lado Sejam 𝐸 20 𝐺𝑃𝑎 𝐼 75000 𝑐𝑚4 Realmente seriam necessários os valores de E e I 50 UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 HIPERESTÁTICA Calcular as reações de apoio e traçar os diagramas de esforços solicitantes para as vigas apresentadas a seguir 1 Exercício 03 HIBBELER adaptado Trace os diagramas de Força Cortante e Momento Fletor para a O apoio B indeslocável b O apoio B recalcando 3 cm Dados 𝐸 25 𝐺𝑃𝑎 𝐼 8 104 𝑚4 51 Exercício 04 HIBBELER adaptado Trace os diagramas de Força Cortante e Momento Fletor para a O apoio B indeslocável b O apoio B recalcando 3 cm Dados 𝐸 200 𝐺𝑃𝑎 𝐼 4000 𝑐𝑚4 52 Exemplo ENG114 Mônica 53 Resolver a viga da figura abaixo com grau de hiperestaticidade igual a 2 De acordo com os vínculos retirados as condições de compatibilidade de deslocamentos são Retirandose os vínculos internos correspondentes à força vertical Exemplo ENG114 Mônica Exemplo ENG114 Mônica 56 Diagrama de Força Cortante Lista de Exercícios Processo dos Esforços aplicado às Vigas Estrutura Exemplo ENG114 Mônica 59 Diagrama de Força Cortante Reações de apoio 2 Estrutura