Lista de Exercícios Eletromagnetismo - Teoria e Aplicações

Lista Eletromagnetismo Professor Ricardo Lopes da Silva Questão1 Um eletron de carga q 16 x 1019 C move com velocidade v 2 x 106 ms î 3 x 106 ms j através de uma região que contém um campo magnético Calcule a força magnética sobre a carga em movimento escreva seu resultado em forma de vetores unitários sendo B003 T î 015 T j Questão2 Na figura abaixo um elétron é acelerado por uma diferença de potencial V1 10 kV para dentro de uma região entre placas paralelas tendo uma separação entre elas de d 20 mm e diferença de potencial V2 100 V A placa de baixo tem o menor potencial Se o vetor velocidade do elétron é perpendicular ao vetor campo elétrico entre as placas encontre o vetor campo magnético Questão 3 Em um fio longo mostrado na figura abaixo passa uma corrente I Ele é dobrado em seu centro formando um arco de raio r Determine o campo magnético no ponto P Questão 4 Uma barra condutora é mostrada na figura abaixo se movendo em um circuito na presença de um campo magnético A barra tem massa m e comprimento l A barra tem velocidade inicial v para a direita em t 0 Usando as leis de Newton calcule a velocidade da barra como função do tempo Questão5 Uma carga positiva q 32 x 1019 C move com velocidde v2 î 3 j k ms através de uma região que contém um campo elétrico uniforme e um campo magnético Calcule a força total sobre a carga em movimento escreva seu resultado em forma de vetores unitários sendo B2 î 4 j k T e E4 î j 2 k Vm Questão6 Uma esfera isolante de massa 80 g e raio 20 cm tem um fio condutor de cobre enrolado em torno dela fazendo cinco voltas espira A esfera é colocada em um plano com inclinação θ Um campo magnético uniforme é aplicado no sistema como é mostrado na figura abaixo Qual a corrente que deve passar na espira para que a esfera fique em repouso Questão7 Considere um fio fino passando uma corrente I como mostrado na figura abaixo Determine o vetor campo magnético no ponto P usando a lei de BiotSavart Questão8 Na figura abaixo um circuito de largura L resistência R e massa m é suspenso em uma região com campo magnético uniforme B como mostrado na figura abaixo Deixase o circuito cair e ele acelera até atingir a velocidade constante v Ignorando a resistência do ar calcule v A força magnética é dada por Na forma matricial é mais fácil de enxergar corretamente os produtos vetoriais Vamos omitir as unidades na matriz para que a notação não fique poluída Agora só precisamos multiplicar este resultado pela carga pontual Deixei o resultado final com 1 significativo porque é isso o que o enunciado está indicando Quando o elétron segue um caminho retilíneo a força total sobre ele é nula Assim Agora usamos o fato de que 𝐸 𝑉2 𝑑 𝐾 𝑒𝑉1 𝐵 𝑉2 𝑑 2𝑒𝑉1 𝑚 𝑉2 𝑑 𝑚 2𝑒𝑉1 100 𝑉 20 𝑚𝑚 911 1031 𝑘𝑔 216 1019 𝐶10 𝑘𝑉 𝐵 100 𝑉 20 103𝑚 911 1031 𝑘𝑔 216 1019 𝐶10 103 𝑉 27 104 𝑇 Vetorialmente Vamos somar o campo das 3 regiões 𝐵 𝐵1 𝐵2 𝐵3 Os módulos dos campos 1 e 3 são iguais Campo magnético devido a um fio longo 𝐵1 𝐵3 𝜇0𝐼 4𝜋𝑟 Campo magnético devido ao arco 𝐵2 𝜇0𝐼 4𝜋𝑟 𝜃 Como só temos 14 de arco o ângulo é igual a 𝜋 2 Então 𝐵 2 𝜇0𝐼 4𝜋𝑟 𝜇0𝐼 4𝜋𝑟 𝜋 2 1 2𝜋 𝜋 8𝜋 𝜇0𝐼 𝑟 4 𝜋 𝜇0𝐼 8𝜋𝑟 Podemos usar a lei de Lenz 𝜀 𝑑𝜙 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝐵𝐴 Também sabemos que 𝜀 𝑖𝑅 Vamos unir as expressões 𝑖 𝐵 𝑅 𝑑𝐴 𝑑𝑡 𝐵 𝑅 𝑑𝓁𝑥 𝑑𝑡 𝐵𝓁 𝑅 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝐵𝓁 𝑅 𝑣 A força magnética é 𝐹 𝑖𝓁𝐵 𝐵2𝓁2 𝑅 𝑣 Agora vamos usar a 2ª lei de Newton e igualar a expressão de força acima com o produto da massa pelo deslocamento 𝐵2𝓁2 𝑅 𝑣 𝑚𝑎 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 Vamos rearranjar a expressão e integrar em ambos os lados 𝑑𝑣 𝑣 𝐵2𝓁2 𝑚𝑅 𝑑𝑡 𝑑𝑣 𝑣 𝑣 𝑣𝑖 𝐵2𝓁2 𝑚𝑅 𝑑𝑡 𝑡 0 ln𝑣 ln𝑣𝑖 𝐵2𝓁2 𝑚𝑅 𝑡 0 ln 𝑣 𝑣𝑖 𝐵2𝓁2 𝑚𝑅 𝑡 Aplicando exponencial em ambos os lados exp ln𝑣 𝑣𝑖 exp 𝐵2𝓁2 𝑚𝑅 𝑡 Logo 𝑣 𝑣𝑖 exp 𝐵2𝓁2 𝑚𝑅 𝑡 𝑣𝑡 𝑣𝑖 exp 𝐵2𝓁2 𝑚𝑅 𝑡 Força magnética Força elétrica Agora basta somar as duas forças Somatório das forças em x equilíbrio translacional 𝑥 𝑓 𝑚𝑔 sin𝜃 0 𝑓 𝑚𝑔 sin𝜃 𝑓 força de atrito Equilíbrio rotacional 𝑓𝑅 𝜇𝐵 sin𝜃 Usando o resultado anterior para f 𝑚𝑔 sin𝜃 𝑅 𝜇𝐵 sin𝜃 𝑚𝑔𝑅 𝜇𝐵 O momento magnético 𝜇 pode ser substituído por 𝜇 𝑁𝐼𝐴 𝑚𝑔𝑅 𝑁𝐼𝐴𝐵 Agora vamos isolar a corrente e substituir na mesma expressão o valor da área em termos de R 𝐼 𝑚𝑔𝑅 𝑁𝐴𝐵 𝑚𝑔𝑅 𝑁𝜋𝑅2𝐵 𝑚𝑔 𝑁𝜋𝑅𝐵 𝐼 𝑚𝑔 𝑁𝜋𝑅𝐵 80 𝑔 98 𝑚 𝑠2 5𝜋20 𝑐𝑚𝐵 80 103 𝑘𝑔 98 𝑚 𝑠2 5𝜋20 102 𝑚𝐵 0784 𝜋 1 𝐵 𝐴 O VALOR DO MÓDULO DO CAMPO MAGNÉTICO NÃO FOI INDICADO NO ENUNCIADO Podemos escrever 𝑑𝐵 𝜇0 4𝜋 𝐼𝑑𝑠 sin𝜃 𝑟2 Vamos fazer as seguintes mudanças 𝑟2 𝑥2 𝑎2 sin𝜃 𝑎 𝑟 𝑎 𝑥2 𝑎2 𝑑𝑠 𝑑𝑥 Assim 𝑑𝐵 𝜇0 4𝜋 𝐼𝑑𝑥 𝑥2 𝑎2 𝑎 𝑥2 𝑎2 𝜇0𝐼𝑎 4𝜋 𝑑𝑥 𝑥2 𝑎2 3 2 𝐵 𝜇0𝐼𝑎 4𝜋 𝑑𝑥 𝑥2 𝑎2 3 2 A integral é feita por substituição 𝑥 𝑎 tan𝑢 𝑑𝑥 𝑎 sec2𝑢 𝑑𝑢 𝐵 𝜇0𝐼𝑎 4𝜋 𝑑𝑥 𝑥2 𝑎2 3 2 𝜇0𝐼𝑎 4𝜋 𝑎 sec2𝑢 𝑑𝑢 𝑎2 tan2𝑢 𝑎2 3 2 𝑢2 𝑢1 𝜇0𝐼𝑎 4𝜋 𝑎 sec2𝑢 𝑑𝑢 𝑎3tan2𝑢 1 3 2 𝑢2 𝑢1 𝐵 𝜇0𝐼𝑎 4𝜋 𝑎 sec2𝑢 𝑑𝑢 𝑎3sec2𝑢 3 2 𝑢2 𝑢1 𝜇0𝐼𝑎2 4𝜋𝑎3 sec2𝑢 𝑑𝑢 sec3𝑢 𝑢2 𝑢1 𝜇0𝐼 4𝜋𝑎 𝑑𝑢 sec𝑢 𝑢2 𝑢1 𝐵 𝜇0𝐼 4𝜋𝑎 cos𝑢 𝑑𝑢 𝑢2 𝑢1 𝜇0𝐼 4𝜋𝑎 sin𝑢𝑢1 𝑢2 𝜇0𝐼 4𝜋𝑎 sin 𝜋 2 sin 𝜋 2 𝜇0𝐼 4𝜋𝑎 2 onde os limites de integração são 𝑢 arctan 𝑥 𝑎 𝑢1 𝜋 2 𝑢2 𝜋 2 𝐵 𝜇0𝐼 2𝜋𝑎 Jordan Pool Lymphoma Foundation of America LFA Fathers Day 2019 Save more lives Donate blood Save a Life Please donate blood LFA Lymphoma Research Foundation of America Always thankful for the love help and support No equilíbrio 𝐹𝑚 𝐹𝑔 0 𝑖𝐿𝐵 𝑚𝑔 0 Vamos isolar a corrente 𝑖 𝑚𝑔 𝐿𝐵 𝜀 𝑅 Usando a lei de Lenz 𝑚𝑔 𝐿𝐵 1 𝑅 𝑑𝜙 𝑑𝑡 1 𝑅 𝑑𝐵𝐴 𝑑𝑡 𝐵 𝑅 𝑑𝑅𝐿 𝑑𝑡 𝐵𝐿 𝑅 𝑣 Isolando a velocidade 𝑣 𝑚𝑔𝑅 𝐵2𝐿2 constante