Atividades de Livro

Problema 415 Uma casca esférica grossa raio interno a raio externo b é feita de material dielétrico com polarização congelada Pr k rr³ onde k é uma constante e r é a distância a partir do centro Figura 418 Não existe carga livre no problema Encontre o campo elétrico nas três regiões por dois métodos diferentes a Localize toda a carga de polarização e use a lei de Gauss Equação 213 para calcular o campo que ela produz b Use a Equação 423 para encontrar D e depois obtenha E com a Equação 421 Observe que o segundo método é muito mais rápido e evita qualquer referência explícita às cargas de polarização Problema 416 Suponha que o campo dentro de um pedaço grande de material dielétrico é E0 de forma que o deslocamento dielétrico é D0 ε0E0 P Problema 418 O espaço entre as placas de um capacitor de placas paralelas Figura 424 é preenchido com duas chapas de material dielétrico linear Cada chapa tem espessura a de forma que a distância total entre as placas é 2a A chapa 1 tem constante dielétrica 2 e a chapa 2 tem constante dielétrica 15 A densidade de carga livre na placa superior é σ e na placa inferior é σ a Encontre o deslocamento dielétrico D em cada chapa b Encontre o campo elétrico E em cada chapa c Encontre a polarização P em cada chapa d Encontre a diferença de potencial entre as placas e Encontre a localização e a quantidade de toda a carga de polarização f Agora que você conhece toda a carga livre e de polarização recalcule o campo em cada chapa e confirme sua resposta para b Problema 51 Uma partícula de carga q entra em uma região de campo magnético uniforme B apontando para dentro da página O campo deflete a partícula uma distância d acima da linha de trajeto original como mostra a Figura 58 A carga q é positiva ou negativa Termos de a d B e q encontre o momento da partícula Problema 52 Encontre e desenhe a trajetória da partícula do Exemplo 52 se ela parte da origem com velocidade a v0 EBŷ b v0 E2Bŷ c v0 EBŷ ẑ Problema 55 Uma corrente I flui por um fio de raio a a Se ela estiver distribuída uniformemente sobre a superfície qual é a densidade superficial de corrente K b Se ela estiver distribuída de forma que a corrente volumétrica seja inversamente proporcional à distância do eixo quanto vale J Problema 58 a Encontre o campo magnético no centro de um circuito quadrado pelo qual passa uma corrente estacionária I Considere que R é a distância entre o centro e a lateral Figura 522 b Encontre o campo no centro de um polígono de n lados pelo qual passa uma corrente estacionária I Novamente considere que R é a distância entre o centro e qualquer um dos lados c Certifiquese de que sua fórmula se reduz ao campo no centro de um circuito circular no limite n 27 Prove que a corrente de deslocamento num capacitor de placas paralelas pode ser escrita como id C dvdt A corrente de deslocamento é dada por id ε0A dEdt onde A e área de uma das placas e E a magnitude do campo elétrico entre as placas O campo entre as placas e uniforme de modo que EVd onde V e a diferença de potencial entre as placas e d a separação das placas 28 Dispõese de um capacitor de placas paralelas de 1μF Como seria possível obter uma corrente de deslocamento instantânea de 1 A no espaço entre as placas No exemplo 52 o livro mostra que yt c1 cos ωt c2 sen ωt EtB c3 zt c2 cos ωt c1 sen ωt c4 Em todos os casos temos y0 0 e z0 0 logo c1 c3 e c2 c4 a Se dydtt0 Eβ e dzdtt0 0 logo c1 0 e c2 0 Daí yt EtB e zt 0 A trajetória é uma linha reta em ȳ b Se dydtt0 E2β e dzdtt0 0 logo c1 0 e c2 E2βu Daí yt E2βu sen ωt EtB e zt E2βu cos ωt E2βu Vamos definir a quantidade γ E2βu logo yt γ2ut sen ωt e zt γ1 cos ωt Logo y 2γut γ sen ωt e z γ γ cos ωt ou seja y 2γut2 z γ2 γ2 A trajetória é um círculo de raio γ cujo centro se move na direção y com velocidade 2γu c Se dydtt0 dzdtt0 Eβ logo c2 0 e c1 Euβ com yt Euβ sen ωt Eb t lu e zt Euβ sen ωt Se γ Euβ logo y γ1 ut γ cos ωt e z γ sen ωt de modo que y γ1 ut2 z2 γ2 O círculo é centrado em ȳ 418 Vamos calcular o campo D na região entre as placas Pela Lei de Gauss temos D dA q cargas livres Vamos explorar a simetria do sistema Como o plano é infinito e a densidade de carga é uniforme logo D é perpendicular ao plano em todos os pontos e deve ser constante Vamos usar um cilindro perpendicular ao plano com área da base A Como o campo é perpendicular ao plano a área lateral do cilindro é paralela ao campo e não contribui para o fluxo Logo E dA 2EA q Agora a carga q englobada pelo cilindro é q σ dA σA de modo que 2DA σAε₀ D σ2 Como E aponta na direção da normal do plano D σ2 n Portanto pelo princípio da superposição o campo de duas placas é D σ entre as placas 0 fora das placas E₁ σε₁ σ2ε₀ pois ε₁ 2ε₀ Na placa 2 E₂ σε₂ 2σ3ε₀ pois ε₂ 32 ε₀ c Como P ε₀ Χₑ E logo P ε₀ Χₑ σε₀ εᵣ 1 1εᵣσ Logo P₁ σ2 e P₂ σ3 d V E₁ a E₂ a 7σa6ε₀ e Como P é uniforme nos volumes ρb 0 Claro no topo da placa 1 σb P₁ σ2 Note que os campos apontam para baixo Na base da placa 1 σb P₁ σ2 No topo da placa 2 σb P₂ σ3 Na base da placa 2 σb P2 σ3 b A densidade de carga total no topo da placa 1 i σt 0 σ2 σ2 A densidade de carga total na base da placa 1 i σt σ2 σ3 σ3 σ σ2 Logo o campo entre esses capacitores é como sabemos E1 σ2ε0 de acordo com o que calculamos Por fim A densidade de carga total no topo da placa 2 i σt 0 σ2 σ2 σ3 2σ3 A densidade de carga total na base da placa 2 i σt σ3 σ 2σ3 Logo E2 2σ3 415 a Temos ρb 𝑝 1π2 r r2 kπ Logo ρb 1π2 r kπ ρb kπ2 Além disso σb 𝑝 n 𝑝 n kb em rb 𝑝 n ka em ra Note que 𝑝 e n são antiparalelos em ra Como não há cargas para r a ou r b a carga total de polarização é nula logo E 0 se r a ou r b Para a r b temos a carga total q ka 4πa2 aπ kr2 4πr2 dr 4πk a 4πkr a q 4πk r Logo pela Lei de Gauss E q4πε0 r2 n kε0 r n b Como não há cargas livres D 0 em todo espaço Daí se D ε0 E 𝑝 E 𝑝 ε0 Logo E 0 se r a ou r b E kε0 r n a r b 51 Vamos definir o seguinte sistema y x B B ẑ Se F q v B v v x B B ẑ e sabemos que F aponta em ŷ logo como x ẑ ŷ concluímos que a carga é positiva Sabemos que o momento no movimento ciclotron da carga é p qBR onde R é o raio da trajetória Mas pelo desenho abaixo Rd2 a2 R2 R2 2Rd d2 a2 R2 R a2 d2 2d Logo ρ q₀ B a² d² 2d 55 a O comprimento perpendicular ao fluxo de corrente é o comprimento do círculo de raio a Logo k I 2πa b Aqui J λπ Vamos encontrar λ sabendo que I J dA λ 2π rπ dr 2π λ a λ I 2πa e J I 2πar 58 a BiotSavart d 𝐵 μ₀ i d𝐿 𝑟 4π r3 Vamos usar o principio da Superposição O campo total é o campo dos 4 segmentos separadamente Para os segmentos Horizontais R I y dl r d𝐿 dx ẋ r x ẋ R ŷ Logo d 𝐵H μ₀ i R dx ẑ 4π x² R²32 𝐵H μ₀ i R 4π R to R dx ẑ x² R²32 2 0 to R dx x² R²32 𝐵H μ₀ i R 4π 2 R² ẑ μ₀ i 2 4π R ẑ Para os segmentos verticais basta fazermos um procedimento análogo 𝐵v μ₀ i 2 4π R ẑ O campo total é 𝐵 2 𝐵H 2 𝐵v 4 2 i μ₀ ẑ 4π R Reservendo 𝐵 2 μ₀ i π R ẑ O campo total aponta para fora da página b Nesse caso precisamos usar o resultado 535 do livro 𝐵 μ₀ i sin θ₂ sin θ₁ 4π r onde θ₂ e θ₁ são os ângulos que definem o começo e o fim do segmento Num polígono regular os lados são simétricos e θ₁ θ₂ de modo que mínimo de segmentos 𝐵 n μ₀ i 2 sin θ₁ 4π R Aqui θ₁ é metade do ângulo varrido por qualquer segmento Mas como o polígono deve ter 360º 2π θ₁ 12 2πn πn Logo 𝐵 n μ₀ i sinπn 2π R Se n senπn 1x Mas nessas condições senπn πn e então sin x x x³3 x⁵5 Se x 1 retemos apenas o primeiro termo B μ0 i 2 R que é o campo de uma espira circular no centro Abaixo seguem as questões 27 e 28 27 A corrente de deslocamento é definida como id ε0 dØdt onde Ø S E dA Seja um capacitor de placas paralelas de capacitância C Sabemos que o campo entre as placas é Et σt ε0 onde σt é a densidade de carga Logo Et q0t ε0 A e então Ø S E dA E A q0t A ε0 A q0t ε0 Logo id ε0 ddt q0t ε0 d q0tdt Mas a carga no capacitor é q0t C Vct de modo que idt C dVctdt 28 Vimos que dVdt id C Logo dVdt 1 106 106 Vs Precisamos variar a diferença de potencial a uma taxa de 106 Vs