Aula 1: Eletromagnetismo e Relatividade - Introdução à Teoria da Relatividade Restrita

Eletromagnetismo e Relatividade M ODULO 1 AULA 1 Aula 1 Eletromagnetismo e Relatividade Meta da Aula Apresentar o dilema conceitual da Fısica que motivou a formulacao da Teoria da Relatividade Restrita Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Explicar o princıpio da Relatividade ou de equivalˆencia entre referen ciais inerciais Mostrar a incompatibilidade entre o Eletromagnetismo a Mecˆanica Newtoniana e o princıpio da Relatividade quando considerados de forma conjunta Prerequisitos Para compreender com mais facilidade esta aula recomendamos que vocˆe reveja os conceitos de Referenciais inerciais e a lei de composicao de velocidades de Galileu Fısica 1 Modulo 2 Aula 3 Ondas eletromagneticas Fısica 4A Modulo 1 Aula 2 Interferˆometro de Michelson Fısica 4A Modulo 2 Aula 7 Introducao Neste momento do curso vocˆe ja possui os prerequisitos necessarios para ser introduzido a um dos maiores momentos da ciˆencia no seculo XX a Teoria da Relatividade de Albert Einstein Ao final deste modulo vocˆe sera capaz de entender a Teoria da Relatividade na sua versao restrita ou especial Ao longo da presente aula vocˆe comecara a entender as dificul dades conceituais que deflagraram o trabalho de Einstein revolucionando a Fısica no inıcio do seculo passado Ainda nos dias atuais a Teoria da Re latividade desperta perplexidade pelo questionamento das nocoes do senso comum ligadas a definicao de tempo e simultaneidade 7 CEDERJ Eletromagnetismo e Relatividade A Teoria do Eletromagnetismo de Maxwell estudada no Modulo 1 foi um dos grandes trunfos da ciˆencia no seculo XIX Fenˆomenos fısicos apa rentemente descorrelacionados envolvendo a eletricidade o magnetismo e a otica passaram a ser compreendidos em termos de um unico conjunto de leis e princıpios fısicos fundamentais Como vimos na Aula 2 de Fısica 4A uma consequˆencia fundamental da teoria de Maxwell e a propagacao de ondas eletromagneticas O exemplo mais importante de onda eletromagnetica e a luz Ao observarmos o ceu a noite detectamos a luz emitida por estrelas muito distantes Para chegar ate nos a luz se propaga atraves do espaco vazio ou vacuo com a velocidade c 1 ϵ0µ0 3 0 108ms 11 De acordo com essa equacao constantes fundamentais associadas a eletrici dade a permissividade eletrica do vacuo ϵ0 e ao magnetismo a permeabili dade magnetica do vacuo µ0 determinam a velocidade de propagacao da luz no vacuo c Portanto essa equacao resume a unificacao da eletricidade do magnetismo e da optica sob uma mesma teoria fundamental descrita pelas Equacoes de Maxwell Todas as ondas eletromagneticas e nao apenas a luz se propagam no vacuo com a velocidade c nao importando o valor do comprimento de onda nem os detalhes do processo de geracao da onda por exemplo se o emissor da onda esta ou nao em movimento Essa e uma previsao fundamental das equacoes de Maxwell c e uma constante universal da Fısica que representa a velocidade de propagacao das ondas eletromagneticas no vacuo Entretanto a nocao de uma velocidade absoluta representada por uma constante universal parece estar em conflito direto com algumas das nocoes basicas da Mecˆanica estudadas no curso de Fısica 1 Vamos relembrar rapi damente alguns desses conceitos e introduzir o Princıpio da Relatividade O movimento de partıculas e a propagacao de ondas sao descritos do ponto de vista de um referencial associado a um sistema de eixos coordenados Como exemplo considere um aviao em movimento em relacao ao aeroporto Temos dois referenciais naturais nesse problema o referencial do aviao que corresponde a perspectiva de observacao de um passageiro sentado em seu interior e o referencial terrestre que corresponde por exemplo a perspectiva de um observador em repouso no aeroporto CEDERJ 8 Eletromagnetismo e Relatividade M ODULO 1 AULA 1 As leis de Newton valem numa classe especial de referenciais os re ferenciais inerciais Qualquer referencial em movimento com veloci dade constante em relacao a um referencial inercial tambem e inercial Como essa velocidade e arbitraria ha uma infinidade de referenciais inerciais cada um dos quais em movimento relativo com velocidade constante em relacao a qualquer outro Em muitas situacoes o refe rencial terrestre pode ser considerado inercial como boa aproximacao Nesse caso o referencial do aviao e inercial se ele se move em relacao ao aeroporto com velocidade constante Princıpio da Relatividade a equivalˆencia entre os referenciais inerciais Como as leis da Mecˆanica sao as mesmas em todos os refe renciais inerciais e impossıvel por uma questao de primeiros princıpios distinguir entre dois referenciais inerciais por meio de uma experiˆencia mecˆanica Vamos tomar como Galileu o exemplo de um navio em movimento Se a velocidade e constante movimento uniforme entao o referencial em que o navio esta em repouso e inercial Nesse caso qualquer experimento mecˆanico feito no interior do navio fornece os mesmos resultados que seriam obtidos no referencial terrestre Por e xemplo podemos pendurar uma bola de ferro no teto e verificar que sua posicao de equilıbrio sera vertical mesmo que o navio esteja em alta velocidade Mais geralmente podemos supor que todas as leis da Fısica e nao so as da Mecˆanica sao as mesmas em todos os referenciais inerciais Em consequˆencia desse princıpio nao ha como descobrir se o navio esta ou nao em movimento uniforme se estivermos no porao do na vio sem janelas para olhar para fora e verificar se ha movimento em relacao a alguma referˆencia externa ao navio Nao ha como definir o estado de repouso absoluto ou de movimento uniforme absoluto ape nas o movimento relativo tem significado fısico Isso explica por que ficamos confusos quando estamos no interior de um trem inicialmente estacionado ao lado de um outro trem Quando ha movimento rela tivo entre os dois trens pode ser difıcil decidir qual dos dois esta em repouso em relacao a estacao Apenas quando o trem esta acelerado podemos verificar o estado de movimento basta pendurar uma bola no teto e verificar que a sua posicao de equilıbrio nao e vertical ou que ela oscila mesmo estando inicialmente na vertical e em repouso em relacao ao trem 9 CEDERJ Apesar da completa equivalência entre os referenciais inerciais a descrição do movimento de uma dada partícula é diferente em dois referenciais distintos Em particular a velocidade vecv de uma dada partícula em relação a um referencial R difere da velocidade vecv da mesma partícula em relação a um outro referencial R pela relação vecv vecv vecV 12 onde vecV é a velocidade do referencial R em relação a R Essa relação é a lei de composição de velocidades de Galileu Velocidades de propagação de ondas em diferentes referenciais Vamos agora examinar a propagação da luz a partir das perspectivas de dois referenciais distintos Se no referencial R a velocidade de propagação é c então de acordo com a lei de composição de velocidades de Galileu Equação 625 a velocidade no referencial R em movimento com velocidade V ao longo do mesma direção e sentido da propagação da luz seria c V De acordo com esse argumento a velocidade da luz valeria c apenas num referencial específico Como a velocidade de cada pela Equação 11 foi derivada das equações de Maxwell seria preciso concluir também que estas só valeriam nesse referencial especial Que referencial especial seria esse Para ondas numa corda vibrante por exemplo o referencial natural é aquele em que a corda está globalmente em repouso por natural devese entender a escolha que resulta na mais simples descrição possível para o problema Nesse referencial cada ponto da corda executa um movimento transversal à direção de extensão da corda à medida que a onda se propaga ao longo dessa direção Conforme estudado no curso de Física 2 a velocidade de propagação depende das propriedades físicas da corda a sua densidade mu e tensão T No referencial de repouso da corda R a velocidade de propagação de ondas na corda vale sqrtTmu Outro exemplo importante de onda mecânica é o som Em muitos filmes de ficção científica batalhas espaciais são acompanhadas de forte barulho de explosões Entretanto no espaço entre os planetas e as estrelas não há propagação de som Todos os tipos de onda mecânica correspondem à propagação de perturbações de um meio material Portanto onde não há meio material não há propagação de ondas mecânicas Eletromagnetismo e Relatividade M ODULO 1 AULA 1 Exercıcio 11 Quando dizemos que a velocidade do som no ar vale cerca de 340ms de qual referencial estamos falando Resposta comentada para ondas mecˆanicas o referencial natural e sempre aquele em que o meio material esta globalmente em repouso conforme discutimos no exemplo da corda vibrante Portanto para o som a velocidade vale 340ms no referencial de repouso do ar Quando nao ha vento esse referencial coincide com o referencial terrestre Durante o seculo XIX e mesmo nas primeiras decadas apos a for mulacao do Eletromagnetismo por Maxwell acreditavase que a luz tambem so poderia se propagar atraves de um meio material Entao deveria existir um meio material ocupando todo o espaco entre as estrelas e os planetas ja que a luz se propaga das estrelas ate o nosso planeta Este meio mate rial hipotetico conhecido pelo nome de eter estaria em repouso em relacao as estrelas Para ser consistente com o carater transverso das ondas eletro magneticas o eter deveria ser rıgido como no exemplo da corda vibrante tensionada Ao mesmo tempo o eter nao poderia oferecer resistˆencia ao movimento dos corpos celestes o que parecia estar em contradicao com a primeira condicao Se acreditassemos na existˆencia do eter entao o referencial especial onde valeriam as equacoes de Maxwell e onde a velocidade da luz seria c seria o referencial Copernicano das estrelas fixas ja mencionado na Aula 3 de Fısica 1A pois nele o eter estaria em repouso No referencial terrestre a ve locidade de propagacao de um feixe de luz ao longo da direcao de movimento do planeta Terra seria c V onde V e a velocidade da Terra Exercıcio 12 Calcule a razao entre a velocidade da Terra e a velocidade da luz no vacuo Vc Qual seria a variacao percentual da velocidade de propagacao medida no referencial terrrestre em razao do movimento da Terra em relacao ao eter 11 CEDERJ Eletromagnetismo e Relatividade A hipotese do eter era importante para justificar a existˆencia de um referencial privilegiado em analogia ao caso de ondas sonoras e outras ondas mecˆanicas Entretanto ainda no final do seculo XIX a hipotese de um eter material foi aos poucos sendo substituıda pelo conceito de um eter vazio que seria equivalente a um referencial privilegiado onde valeriam as equacoes de Maxwell sem a justificativa decorrente da presenca de um meio material Isso implicava abandonar o princıpio de relatividade introduzido por Galileu Assim o eter vazio como referencial privilegiado introduziria o conceito de movimento absoluto um preco alto a ser pago mas aparentemente necessario para a interpretacao da constante universal c como uma velocidade absoluta associada a propagacao da luz no espaco vazio Ao longo do seculo XIX foram realizadas varias tentativas de medir a modificacao da velocidade da luz em experimentos terrestres Experimentos terrestres sao aqueles em que a fonte e o detector da luz estao na Terra Isso exclui por exemplo experimentos de observacao de estrelas Os experimen tos terrestres tinham duas interpretacoes diferentes dependendo do modelo suposto para o eter No caso de um eter material esses experimentos me diriam o movimento da Terra em relacao a um segundo corpo material o eter No problema do porao do navio ja discutido anteriormente isso seria analogo a ter escotilhas abertas o movimento do navio em relacao ao ar seria detectado gracas ao aparecimento de uma corrente de ar Esse efeito poderia ser observado pela alteracao da velocidade de propagacao do som medida no porao O eter material seria o analogo do ar para a propagacao da luz e a medida terrestre da velocidade da luz iria detectar o efeito do ventodo eter No contexto de um eter vazio a interpretacao do experimento seria bem mais estranha A modificacao da velocidade da luz seria indicadora de movimento absoluto da Terra isto e nao em relacao a um outro corpo material mas sim em relacao a um suposto referencial particular abstrato Seria o analogo de detectar o estado de movimento uniforme do navio por uma experiˆencia realizada no interior do seu porao sem nenhum contato ou interacao com o exterior Todos os experimentos terrestres obtiveram uma modificacao nula para a velocidade da luz O experimento mais preciso na epoca e com maior re percussao foi publicado por Albert Michelson em colaboracao com Edward Morley em 1887 Tratavase de um aprimoramento do interferˆometro de senvolvido por Michelson alguns anos antes Vocˆe ja trabalhou com o inter CEDERJ 12 Eletromagnetismo e Relatividade M ODULO 1 AULA 1 ferˆometro de Michelson na Aula 7 do Modulo 2 de Fısica 3A Agora vocˆe esta descobrindo que alem das suas varias aplicacoes praticas esse sistema teve uma enorme importˆancia na historia da Fısica O esquema basico do interferˆometro de Michelson e apresentado na Figura 11 Um feixe de luz se propaga ao longo da direcao do eixo X ate ser dividido pelo divisor de feixe DF em dois feixes que se propagam ao longo das direcoes X e Y Esses dois caminhos ortogonais sao os bracos do interferˆometro O feixe que segue pelo braco ao longo da direcao X e refletido pelo espelho E1 enquanto o outro feixe e refletido pelo espelho E2 Eles sao recombinados por DF e a intensidade resultante e observada sobre o anteparo A Ela e o resultado da inteferˆencia entre os dois feixes que depende da diferenca entre as fases acumuladas por cada feixe no seu caminho de ida e volta entre DF e E1 ou E2 Figura 11 Interferˆometro de Michelson Essa diferenca de fase e modificada se alteramos a velocidade de pro pagacao da luz em um dos bracos do interferˆometro Como vocˆe verificou na Aula 7 podemos observar esse efeito se por exemplo modificarmos o ındice de refracao do meio que preenche um dos bracos Suponha agora que o eixo X coincide com a direcao e o sentido da ve locidade V de propagacao do planeta em relacao ao referencial das estrelas fixas nesse referencial o eter estaria em repouso Conforme ja comentamos de acordo com a lei de composicao de velocidades de Galileu a velocidade de propagacao da luz em relacao ao referencial terrestre seria c V para o caminho de ida ao longo do braco alinhado com o eixo X Para o caminho de volta ao longo desse mesmo braco a velocidade seria c V Ao longo do outro braco a velocidade de propagacao no referencial terrestre teria um 13 CEDERJ Eletromagnetismo e Relatividade terceiro valor diferente dos anteriores e de c Se todas essas predicoes fossem verdadeiras seria possıvel observar uma modificacao da intensidade proje tada sobre o anteparo A ao girar o interferˆometro como um todo pois nesse caso estarıamos modificando as velocidades de propagacao em cada braco Michelson e Morley montaram o interferˆometro sobre uma plataforma gi rante e obtiveram uma modificacao nula dentro da incerteza experimental da intensidade ao girar o interferˆometro Como conciliar esses resultados negativos com a fısica conhecida na epoca Poderıamos imaginar que o eter material estivesse confinado a sala do laboratorio e fosse arrastado pelo movimento terrestre assim como o ar no porao e solidario ao movimento do navio se as escotilhas estao bem vedadas Para descartar essa improvavel possibilidade Michelson e Dayton Miller montaram em 1904 o aparato experimental ao ar livre no topo de uma colina e mais uma vez obtiveram resultado nulo A possibilidade de o eter ser arrastado pelo movimento da Terra numa escala planetaria eter em repouso em relacao a Terra ja havia sido descartada em funcao de observacoes astronˆomicas das posicoes aparentes de estrelas A situacao de crise foi sintetizada por Lord Kelvin um dos mais re nomados cientistas da epoca ao comentar que os resultados de Michelson e Morley representavam uma nuvem do seculo XIX sobre a teoria dinˆamica da luz em palestra para a Royal Institution em 1900 Lord Kelvin se refe ria a teoria eletromagnetica da luz desenvolvida por Maxwell Varias teorias alternativas a do eletromagnetismo de Maxwell foram propostas durante esse perıodo de crise mas nenhuma sobreviveu a passagem do tempo Einstein Relatividade e Eletromagnetismo sim Fısica Newtoniana nao Albert Einstein nasceu em Ulm Alemanha em 1879 Foi um dos mais importantes cientistas de todos os tempos Alem da teoria da relatividade Eisntein contribuiu de forma decisiva no desenvolvimento da fısica quˆantica e da mecˆanica estatıstica No inıcio do seculo XX a Fısica se encontrava num impasse Parecia difıcil conciliar o eletromagnetismo de Maxwell com o princıpio de relativi dade no quadro da Mecˆanica de Galileu e Newton A solucao para o impasse foi obtida por Albert Einstein de uma forma extremamente audaciosa Em vez de modificar o Eletromagnetismo de Maxwell era necessario romper com a Mecˆanica Newtoniana A Teoria da Relatividade foi uma das duas gran des revolucoes cientıficas do seculo XX a segunda revolucao foi a Mecˆanica Quˆantica que tambem contou com contribuicoes fundamentais de Einstein CEDERJ 14 Eletromagnetismo e Relatividade M ODULO 1 AULA 1 Einstein apresentou as bases da Teoria da Relatividade Restrita no ar tigo Sobre a Eletrodinˆanica de Corpos em Movimento publicado pela re vista alema Annalen der Physik em 1905 Na introducao do artigo Einstein argumenta que o eletromagnetismo nao parece ser intrinsicamente incom patıvel com a ideia central ao princıpio de relatividade de que apenas o movimento relativo tem sentido fısico Para ilustrar esse argumento Einstein tomou o seguinte exemplo con sidere uma espira de corrente e um magneto ıma alinhado na direcao per pendicular ao plano da espira conforme indicado na Figura 12 Suponha que a espira esteja em repouso e o magneto se aproxime Em consequˆencia dessa aproximacao o modulo do campo magnetico cresce num ponto qual quer da superfıcie S interna ao contorno da espira Pela Lei de Faraday um campo eletrico e entao induzido no contorno da espira fazendo aparecer uma forca eletromotriz E e uma corrente I ER onde R e a resistˆencia da espira Figura 12 Espira em repouso magneto em movimento Suponha agora que seja o magneto que esta em repouso e a espira em movimento com velocidade V como mostra a Figura 13 Nesse caso o campo magnetico num dado ponto fixo do espaco e constante e nao ha campo eletrico induzido No entanto a forca de Lorentz F qV B tambem dara origem a uma forca eletromotriz 15 CEDERJ Eletromagnetismo e Relatividade Figura 13 Espira em movimento magneto em repouso Embora essas duas situacoes parecam distintas em ambas a forca ele tromotriz e dada por E dΦ dt onde Φ e o fluxo de campo magnetico atraves da espira Assim de acordo com o eletromagnetismo a corrente induzida na espira so depende do mo vimento relativo entre o magneto e a espira nao importando se e a espira ou o magneto que se movimenta Se o movimento relativo e uniforme entao as descricoes nos dois referenciais inerciais de repouso da espira e do mag neto fornecem o mesmo resultado final para a corrente na espira embora em cada referencial a explicacao fısica para a corrente pareca bastante di ferente Einstein entao conclui que exemplos desse tipo somados as ten tativas fracassadas de detectar o efeito do movimento da Terra relativo ao meio de propagacao da luz sugerem que os fenˆomenos da Eletrodinˆamica assim como os da Mecˆanica nao possuem propriedades associadas a ideia de repouso absoluto Einstein se referia ao eter ao mencionar o meio de propagacao da luz entre aspas no texto original Embora o artigo de 1905 nao mencione o experimento Michelson e Morley Einstein seguramente conhecia outros ex perimentos desse tipo dedicados a deteccao de uma suposta variacao da velocidade da luz em experimentos terrestres Para Einstein os resultados desses experimentos confirmavam a sua ideia intuitiva de que as leis do ele tromagnetismo deveriam se aplicar em todos os referenciais inerciais Assim como os fenˆomenos mecˆanicos nenhum fenˆomeno eletromagnetico seria ca paz por uma questao de primeiros princıpios de definir o estado de repouso CEDERJ 16 Eletromagnetismo e Relatividade M ODULO 1 AULA 1 absoluto ou de movimento uniforme absoluto Em particular experimentos terrestres de medida da velocidade da luz jamais poderiam medir uma modi ficacao devido ao movimento da Terra Essa modificacao so poderia aparecer se existisse o eter material nesse caso seria possıvel a princıpio detectar o efeito do movimento da Terra em relacao a esse corpo hipotetico Einstein descartou tanto o eter material como o eter vazio associado a um referencial privilegiado Se as equacoes de Maxwell valem em todos os referenciais inerciais princıpio da relatividade entao em todos eles a luz se propaga no vacuo com a mesma velocidade c 3 0 108ms porque a equacao para as ondas eletromagneticas e uma consequˆencia matematica das equacoes de Maxwell Essa hipotese audaciosa e claramente incompatıvel com a lei de composicao de velocidades de Galileu Equacao 625 Por sua vez essa lei esta na base de construcao da Mecˆanica de Newton Assim a teoria de Einstein representou uma ruptura com uma das teorias mais bem sucedidas da historia da Fısica que durante seculos tinha representado o papel de exemplo ou paradigma para a ciˆencia de uma forma geral O ponto de partida para a revisao da Mecˆanica Newtoniana e a refor mulacao do conceito de tempo tendo como base a hipotese elevada por Einstein ao status de postulado de que a velocidade da luz e a mesma em todos os referenciais Na proxima aula veremos como a teoria da relativi dade e construıda a partir desses dois postulados o princıpio de relatividade e a invariˆancia da velocidade da luz Conclusao Nesta aula vocˆe pˆode entender o dilema conceitual que motivou a for mulacao da Teoria da Relatividade Restrita A Teoria do Eletromagnetismo introduz uma constante fısica universal representando uma velocidade ab soluta a velocidade da luz no vacuo c Isto e incompatıvel com a lei de composicao de velocidades de Galileu se acreditarmos no princıpio da Re latividade Einstein optou por manter o eletromagnetismo e o princıpio da relatividade e descartar a lei de composicao de velocidades Para isso teve de romper com o conceito de tempo absoluto e como consequˆencia reformular completamente a Mecˆanica Newtoniana 17 CEDERJ Eletromagnetismo e Relatividade Atividades finais 1 Explique o Princıpio da Relatividade 2 Enuncie a lei de composicao de velocidades de Galileu e discuta alguns exemplos de aplicacao tomando situacoes praticas da vida diaria 3 De que variaveis depende a velocidade de propagacao de uma onda mecˆanica num meio material A velocidade depende da energia trans portada pela onda Depende das propriedades do meio material Forneca alguns exemplos 4 As cordas de um violao podem ser afinadas pela variacao da tensao T da corda Explique o que muda na propagacao de ondas na corda ao variar T 5 Explique os diferentes modelos de eter luminoso propostos ao longo do seculo XIX 6 Em que sentido a hipotese de um eter vazio violaria o princıpio de relatividade 7 Explique o objetivo do experimento de Michelson e Morley Qual foi o resultado obtido 8 Mostre que o postulado de que a velocidade da luz vale c em todos os referenciais inerciais e incompatıvel com a lei de composicao de veloci dades de Galileu Resumo De acordo com o princıpio da relatividade as leis da Fısica valem em todos os referenciais inerciais que fornecem portanto descricoes equivalen tes de um determinado fenˆomeno Em particular as Equacoes de Maxwell valem em todos os referenciais inerciais Em consequˆencia em todos eles a velocidade de propagacao das ondas eletromagneticas no vacuo possui o mesmo valor Esse resultado esta em contradicao com a lei de composicao de velocidades de Galileu Para derivar essa lei e preciso adotar o conceito Newtoniano de tempo absoluto isto e supor que o tempo e o mesmo para todos os referenciais inerciais Einstein descartou essa hipotese que parece tao natural e reformulou o conceito de tempo levando a uma completa revolucao das leis da Mecˆanica CEDERJ 18 Eletromagnetismo e Relatividade M ODULO 1 AULA 1 E ao longo das proximas aulas veremos em detalhe como Einstein reformulou os conceitos de tempo e simultaneidade rompendo com o conceito Newtoniano de tempo absoluto Vocˆe descobrira os estranhos efeitos previstos pela Teoria da Relatividade Restrita a dilatacao temporal a contracao de Lorentz e varios outros 19 CEDERJ Tempo simultaneidade e intervalo relativıstico M ODULO 1 AULA 2 Aula 2 Tempo simultaneidade e intervalo relativıstico Metas da aula Discutir as nocoes de tempo e simultaneidade na teoria da relatividade e definir o intervalo relativıstico Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Mostrar que tempo e simultaneidade nao sao absolutos Definir o intervalo relativıstico no espacotempo e explicar a sua pro priedade de invariˆancia Prerequisito A leitura da aula anterior e recomendavel Introducao os postulados da Relatividade Restrita Na aula anterior discutimos o impasse conceitual que houve na Fısica na virada do seculo XIX para o seculo XX Para conciliar o eletromagnetismo de Maxwell com o princıpio da relatividade Einstein elaborou uma teoria que representava uma ruptura com a Mecˆanica de Newton revolucionando a Fısica e as nocoes de tempo e simultaneidade A teoria da relatividade restrita de Einstein e derivada a partir de dois postulados fundamentais Princıpio da Relatividade As leis da Fısica e em particular as leis do eletromagnetismo sao as mesmas em qualquer referencial inercial Invariˆancia da velocidade da luz No espaco vazio as ondas ele tromagneticas se propagam com a mesma velocidade c em todos os referenciais e independentemente do estado de movimento da fonte O primeiro postulado foi discutido em detalhe na aula anterior Tambem ja comentamos que o segundo postulado de Einstein e claramente incom patıvel com a lei de composicao de velocidades de Galileu O que ha de 21 CEDERJ Tempo simultaneidade e intervalo relativıstico errado na derivacao dessa lei O problema esta na hipotese implıcita de tempo absoluto supoese que o tempo t medido pelos diferentes referenci ais e o mesmo Ao analisar detalhadamente o problema da contagem de tempo tomando como base os dois postulados anteriores vocˆe vera nesta aula que os intervalos de tempo entre dois eventos nao sao em geral iguais para diferentes referenciais Tempo e simultaneidade O conceito de tempo esta diretamente relacionado a nocao de eventos simultˆaneos No artigo publicado no Annalen der Physik de 1905 Einstein escreve todos os nossos julgamentos envolvendo o tempo sao sempre julgamentos de eventos simultˆaneos Se por exemplo eu digo aquele trem chega aqui as 700 horas quero dizer algo assim a posicao do ponteiro de meu relogio no numero 7 e a chegada do trem sao eventos simultˆaneos Vamos demonstrar a partir dos dois postulados de Einstein que a nocao de simultaneidade nao e absoluta dois eventos que sao simultˆaneos para um determinado referencial inercial ocorrem em instantes de tempo diferentes para outro referencial Vamos tomar o seguinte exemplo uma fonte de luz por exemplo uma lˆampada F e dois detectores de luz D1 e D2 sao fixados sobre uma plataforma que se movimenta com velocidade V constante ao longo do eixo OX do referencial S que supomos ser inercial Como mostra a Figura 21 D1 F e D2 estao alinhados ao longo da direcao paralela ao eixo OX e as distˆancias entre D1 e F e entre F e D2 sao idˆenticas Figura 21 A fonte F e os detectores D1 e D2 estao em repouso em relacao a S sistema de eixos coordenados OXY que se move em relacao a S sistema de eixos coordenados OXY com velocidade V CEDERJ 22 Tempo simultaneidade e intervalo relativıstico M ODULO 1 AULA 2 O referencial S sistema de coordenadas OXY acompanha o movi mento da plataforma e portanto esta em movimento em relacao a S com velocidade V ao longo do eixo OX Por construcao a fonte e os detectores estao em repouso no referencial S Dizemos entao que o referencial S e o referencial proprio ou referencial de repouso do conjunto formado pela pla taforma fonte e detectores Como S se move com velocidade constante em relacao ao referencial inercial S entao S tambem e inercial Num dado instante a fonte F e ligada A luz emitida por F se pro paga ate chegar aos detectores D1 e D2 Pelo princıpio da relatividade a propagacao da luz em S ocorre como em qualquer outro referencial inercial Para ambos os sentidos de propagacao ao longo do eixo OX a velocidade vale c Como os detectores D1 e D2 estao a mesma distˆancia da fonte F eles irao comecar a detectar luz simultaneamente veja a Figura 22 Figura 22 Emissao e deteccao do ponto de vista de S Assim dizemos que os eventos inıcio da deteccao de luz por D1 e inıcio da deteccao de luz por D2 sao simultˆaneos do ponto de vista do referencial S Como e a descricao desses mesmos dois eventos do ponto de vista do referencial S Pelo postulado da invariˆancia da velocidade da luz o estado de movimento da fonte F com velocidade V nao modifica a velocidade de propagacao da luz que tambem vale c para os dois sentidos de propagacao ao longo do eixo OX Enquanto a luz se propaga a partir de F o detector D1 se aproxima e o detector D2 se afasta de F Na Figura 23 mostramos as posicoes de D1 e D2 no momento da deteccao de luz por D1 junto com a posicao em que F estava no momento da emissao da luz Como a velocidade 23 CEDERJ Tempo simultaneidade e intervalo relativıstico e a mesma nos dois sentidos de propagacao a deteccao em D1 e anterior a deteccao em D2 do ponto de vista do referencial S Figura 23 Emissao e deteccao do ponto de vista de S As linhas cheias indicam as posicoes dos detectores D1 e D2 no instante em que a luz e detectada por D1 As linhas tracejadas indicam as posicoes dos detectores e da fonte no instante em que a luz foi emitida Em conclusao os dois eventos sao simultˆaneos do ponto de vista do referencial S mas nao do ponto de vista do referencial S Assim dizemos que a simultaneidade e relativa para indicar que ela nao e uma propriedade absoluta ou intrınseca de dois eventos dados devendo sempre ser definida em relacao a um dado referencial Existem tambem referenciais em que a deteccao por D1 ocorre depois da deteccao por D2 Vocˆe vai analisar um exemplo desse tipo no exercıcio a seguir Exercıcio 21 Considere o referencial S que se desloca com velocidade V no referencial S ao longo do eixo OX Mostre que no referencial S a deteccao de luz por D1 ocorre depois da deteccao por D2 Comentario Vocˆe deve descrever por meio de um desenho analogo ao da Figura 23 o movimento da fonte e dos detectores do ponto de vista do referencial S Nesse desenho os detectores se movimentam para a esquerda sentido negativo do eixo OX do referencial S com uma velocidade de modulo V CEDERJ 24 Tempo simultaneidade e intervalo relativıstico M ODULO 1 AULA 2 Talvez vocˆe esteja se perguntando a deteccao por D1 realmente ocorre antes depois ou e simultˆanea a deteccao por D2 Ou de outra forma qual dos referencias fornece a descricao corretados eventos Essa e a pergunta natural para todos nos impregnados pela nocao intuitiva de tempo absoluto A resposta da teoria da relatividade e chocante todos os referenciais inerciais sao igualmente bons e o ordenamento temporal de dois eventos dados e muitas vezes diferente para diferentes referenciais Voltaremos a discutir detalhadamente esse ponto mais adiante no curso depois de termos em maos algumas das ferramentas formais da teoria da relatividade Espacotempo relativıstico Um evento e descrito por um determinado referencial S por meio do tempo t em que ele ocorreu e das trˆes coordenadas cartesianas x y z que caracterizam a posicao espacial do evento Por exemplo o evento deteccao de luz por D1e caracterizado pelo tempo t1 em que ele ocorreu e pelas trˆes coordenadas cartesianas x1 y1 z1 indicadas na Figura 24 nesse exemplo z1 0 porque o detector esta no plano OXY que determinam a posicao de D1 no instante da deteccao Figura 24 Coordenadas espaciais do evento deteccao por D1 No referencial S as coordenadas x 1 y 1 z 1 desse mesmo evento de teccao de luz por D1 sao diferentes das coordenadas x1 y1 z1 Para a Mecˆanica Newtoniana as coordenadas espaciais estao relacionadas pela trans formacao de Galileu que vocˆe estudou na Aula 13 de Fısica 1A Perceba entao que as coordenadas espaciais de um evento sao diferentes para refe renciais diferentes ao passo que o tempo na Mecˆanica Newtoniana e um parˆametro absoluto independente de referencial Em contrapartida como 25 CEDERJ Tempo simultaneidade e intervalo relativıstico a nossa discussao sobre simultaneidade poderia sugerir na teoria da rela tividade o tempo tambem e um parˆametro relativo isto e diferente para diferentes referenciais Por exemplo o tempo t 1 em que ocorreu a deteccao por D1 de acordo com a marcacao de tempo no referencial S e em geral diferente do tempo t1 em que esse mesmo evento ocorreu de acordo com o referencial S As coordenadas espaciais x 1 y 1 z 1 e o tempo t 1 estao relacionados as coordenadas x1 y1 z1 e ao tempo t1 por um conjunto de equacoes conhecido como transformacao de Lorentz que estudaremos em detalhe mais adiante no curso A transformcao de Lorentz mistura as coordenadas espaciais e o tempo Como tempo e espaco nao sao entidades separadas na fısica rela tivıstica usamos as expressoes coordenada temporal para o tempo e coorde nadas espacotemporais para o conjunto das quatro coordenadas t x y z Assim o espacotempo da relatividade possui quatro dimensoes uma tem poral e trˆes espaciais Hendryk A Lorentz nasceu em Arnhem Holanda no ano de 1853 Contribuiu de forma significativa para a elaboracao da teoria do eletromagnetismo com ˆenfase nas aplicacoes em optica e na teoria do electron Para fazer justica as suas contribuicoes nessa area muitos autores utilizam a expressao eletrodinˆamica de MaxwellLorentz para designar a teoria do eletromagnetismo Foi um dos precursores da teoria da relatividade restrita Rotacoes espaciais Como parte da preparacao para o estudo da transformacao de Lorentz no espacotempo quadridimensional vamos analisar agora um exemplo im portante de transformacao das coordenadas espaciais o problema de rotacao dos eixos coordenados Suponha que o referencial S esteja em repouso em relacao ao referencial S e que as suas origens coincidam O O Os eixos coordenados de S sao obtidos a partir dos eixos de S por uma rotacao de ˆangulo θ em torno do eixo OZ como mostra a Figura 25 Figura 25 Os eixos coordenados do referencial S sao obtidos a partir de uma rotacao rıgida de ˆangulo θ do conjunto de eixos OX e OY de S em torno do eixo OZ CEDERJ 26 Podese mostrar que as coordenadas de um certo ponto P em S e S estão relacionadas pela transformação x cos heta x sen heta y 21 y sen heta x cos heta y 22 z z 23 Portanto as coordenadas espaciais x e y são misturadas devido à rotação dos eixos em torno do eixo OZ note que a coordenada z não é misturada e permanece inalterada devido à nossa escolha do eixo de rotação Exercício 22 Analisa a transformação de rotação para o caso particular em que heta pi2 Faça um desenho dos eixos de S e S nesse caso e explique o resultado da transformação Resposta x y y x e z z O eixo OX coincide com o eixo OY ao passo que o eixo OY tem a mesma direção e sentido oposto ao do eixo OX Na Figura 25 indicamos em destaque ell entre o ponto P e o ponto O que aqui representa a origem dos dois sistemas de coordenadas A distância entre dois pontos é uma propriedade intrínseca do par de pontos considerado e não do sistema de coordenadas ou referencial usado para descrever as suas posições Portanto devemos obter o mesmo valor para ell quando ela é calculada seja através das coordenadas em S seja através de S Para calcular ell primeiro tomamos a projeção de P sobre o plano OXY que é representada pelo ponto Q na Figura 25 Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo OPQ obtemos ell sqrtOQ2 z2 O comprimento OQ pode ser calculado novamente usando o teorema de Pitágoras no referencial S a partir do triângulo OQR mostrado na Figura 26 OQ2 x2 y2 O resultado final é então ell sqrtx2 y2 z2 24 Podemos expressar o comprimento ℓ também em termos das coordenadas em S aplicando o teorema de Pitágoras para o triângulo OQR Usando que z z obtemos ℓ x² y² z² 25 Exercício 23 Mostre que x² y² z² x² y² z² por substituição direta das Equações 2123 Comentário Você vai precisar do resultado sen²θ cos²θ 1 s² c²t2 t1² x2 x1² y2 y1² z2 z1² 210 Demonstrando a invariança do intervalo relativístico Para referencias em repouso em relação a S a parcela temporal ct2 t1 e a parcela espacial x2 x1² y2 y1² z2 z1² são separadamente invariantes e portanto Δs tem o mesmo valor em todos esses referenciais Em contrapartida para um referencial S em movimento em relação a S com velocidade V o intervalo de tempo entre os dois eventos t2 t1 é diferente do intervalo de tempo t2 t1 marcado no referencial S o que está diretamente relacionado à ambiguidade da noção de simultaneidade discutida no início da aula Nesse caso não é óbvio que o intervalo seja invariantes e é preciso analisar a possibilidade de o valor do intervalo mudar quando passamos de S para S O intervalo Δs medido no referencial S seria então uma função do intervalo Δs medido no referencial S Δs fΔs A função f é determinada pela velocidade V de S em relação a S Na verdade apenas o módulo da velocidade já é relevante já que todas as direções espaciais são equivalentes isto é estão em pé de igualdade Esta propriedade de equivalência entre as diferentes direções é o que chamamos de isotropia do espaço Por exemplo se tomarmos uma velocidade de 100ms ao longo da direção do eixo OX ou ao longo do eixo OY a transformação do intervalo será dada pela Equação 212 com a mesma função f nestes dois casos De fato as coordenadas x e y entram em pé de igualdade na definição do intervalo relativístico dada pela Equação 210 e portanto a transformação não pode fazer distinção entre as direções dos eixos OX e OY A Equação 212 descreve a transformação do intervalo quando passamos do referencial S para o referencial S Pelo princípio da relatividade S e S são equivalentes e portanto a lei de transformação de S para S deve ter a mesma forma funcional Em relação a S o referencial S se move com velocidade V Como V V a transformação de S para S é dada pela Equação 212 com a mesma função que implementa a transformação de S para S Δs fΔs Substituindo a Equação 212 na 213 obtemos Δs ffΔs o que significa que a função f é idêntica à sua inversa f1 a função inversa é definida pela relação Δs f1fΔs Só há então duas possibilidades fΔs Δs e fΔs Δs Em ambos os casos Δs² é invariantes Adotando uma convenção uniforme para o sinal da raiz quadrada obtemos Δs Δs Podemos concluir então que o intervalo relativístico entre dois eventos dados é uma propriedade intrínseca ou absoluta do par de eventos considerados As coordenadas espaçotemporais dos dois eventos são diferentes em diferentes referenciais mas a combinação específica das coordenadas que aparece no lado direito da Equação 210 é invariantes Essa propriedade é análoga à invariância do comprimento espacial x² y² z² por rotações dos eixos coordenados Entretanto ao contrário do comprimento espacial o intervalo relativístico pode ser nulo para um par de eventos distintos como no exemplo considerado anteriormente Além disso o intervalo ao quadrado Δs² pode ser negativo como você mostrará no exercício a seguir quando isto ocorre Δs é um número complexo Exercício 24 Suponha que a distância entre os detectores D1 e D2 na Figura 22 referencial S seja d Calcule o intervalo ao quadrado Δs² entre os eventos início da detecção por D1 e início da detecção por D2 tomando as coordenadas relativas ao referencial S Resposta Δs² d² Conclusão Nesta aula iniciamos o estudo da Teoria da Relatividade Restrita tomando como ponto de partida o Princípio da Relatividade e a invariância da velocidade da luz no vácuo Para mostrar a necessidade de romper com o conceito newtoniano de tempo absoluto apresentamos um exemplo de dois eventos simultâneos em um certo referencial mas que não são simultâneos em outro referencial Embora o transcurso do tempo seja diferente para diferentes referenciais é possível definir uma grandeza invariante o intervalo relativístico Todos os referenciais inerciais medem o mesmo intervalo relativístico entre dois eventos dados Tempo simultaneidade e intervalo relativıstico M ODULO 1 AULA 2 Atividades Finais 1 Enuncie os dois postulados da teoria da relatividade restrita Seriam eles independentes Mostre que o segundo postulado e na verdade consequˆencia do primeiro Resposta comentada como lembrado na Aula 1 e discutido em detalhes no curso de Fısica 4A a propagacao da luz no vacuo com velocidade c independentemente do estado de movimento da fonte e uma con sequˆencia direta das Equacoes de Maxwell De acordo com o princıpio da relatividade primeiro postulado as leis da Fısica e em particular as Equacoes de Maxwell sao as mesmas em todos os referenciais iner ciais Portanto em todos eles a luz se propaga no vacuo com a mesma velocidade c Assim o segundo postulado invariˆancia da velocidade da luz e uma consequˆencia do princıpio da relatividade e nao uma hipotese adicional independente 2 Explique o significado da frase a simultaneidade e relativaForneca um exemplo de dois eventos que sejam simultˆaneos do ponto de vista de um referencial mas nao do ponto de vista de outro referencial 3 Defina o intervalo relativıstico ao quadrado s2 Forneca um exemplo em que s2 seja negativo 4 Para a Fısica Newtoniana simultaneidade e tempo sao absolutos Nesse problema vocˆe ira examinar o experimento descrito nas Figuras 21 a 23 do ponto de vista da Fısica Newtoniana usando a lei de com posicao de velocidades de Galileu a Analisando o problema do ponto de vista do referencial S em relacao ao qual fonte e detectores se movem com velocidade V calcule usando a lei de composicao de velocidades de Galileu o intervalo de tempo t1 transcorrido entre o momento da emissao da luz pela fonte F e o momento de deteccao por D1 Suponha que a distˆancia entre F e D1 seja ℓ como mostra a Figura 27 33 CEDERJ Tempo simultaneidade e intervalo relativıstico Figura 27 A fonte F e os detectores D1 e D2 se movem com velocidade V em relacao ao referencial S sistema de eixos coordenados OXY A distˆancia entre F e cada detector vale ℓ O sistema de eixos coordenados OXY corresponde ao referencial de repouso S b Ainda analisando do ponto de vista do referencial S calcule o in tervalo de tempo t2 transcorrido entre o momento da emissao da luz pela fonte F e o momento de deteccao por D2 Suponha que a distˆancia entre F e D2 tambem valha ℓ Conclua que os eventos deteccao por D1e deteccao por D2seriam simultˆaneos de acordo com a Fısica Newtoniana Mostre ainda que os tempos decorridos entre a emissao e a deteccao seriam os mesmos para todos os referenciais inerciais em acordo com a nocao de tempo absoluto da Fısica Newtoniana Solucao a A distˆancia percorrida por D1 entre os instantes de emissao e de teccao vale V t1 Se usarmos a lei de composicao de velocidades de Galileu a velocidade de propagacao da luz de F ate D1 valeria c V como discutido ao longo dessa aula na verdade a velocidade da luz no vacuo vale c em todos os referenciais Entao a distˆancia percorrida pela luz entre os instantes de emissao e deteccao valeria c V t1 Como a distˆancia entre F e D1 vale ℓ temos veja a Figura 28 V t1 c V t1 ℓ 216 Observe que o termo V t1 e cancelado Resolvendo esta equacao para t1 obtemos t1 ℓ c 217 CEDERJ 34 Tempo simultaneidade e intervalo relativıstico M ODULO 1 AULA 2 Figura 28 Distˆancias percorridas pela luz e por D1 de acordo com a lei de composicao de velocidades de Galileu As linhas tracejadas indicam as posicoes em que D1 e F estavam no momento da emissao b Ainda de acordo com a lei de composicao de velocidades de Galileu a velocidade de propagacao da luz de F ate D2 valeria c V Entao a distˆancia percorrida pela luz entre os instantes de emissao e deteccao valeria c V t2 Para alcancar o detector D2 a luz precisa cobrir a distˆancia inicial ate D2 que vale ℓ alem da distˆancia percorrida por D2 durante o intervalo entre a emissao e a deteccao que vale V t2 como mostra a Figura 28 c V t2 ℓ V t2 218 Novamente o termo V t2 e cancelado fornecendo t2 ℓ c 219 Comparando com a Equacao 217 concluımos que t1 t2 Por tanto as deteccoes por D1 e D2 seriam simultˆaneas no referencial S de acordo com a Fısica Newtoniana Note que a aproximacao de D1 seria compensada exatamente pela diminuicao da velocidade de propagacao ao longo do sentido negativo do eixo OX prevista pela lei de composicao de velocidades de Gali leu De forma analoga o afastamento de D2 seria compensado pelo aumento da velocidade de propagacao ao longo do sentido positivo do eixo OX 35 CEDERJ Tempo simultaneidade e intervalo relativıstico Como t1 ou t2 nao dependeria de V o intervalo de tempo seria o mesmo para todos os referenciais Por exemplo para o referencial de repouso S e muito facil perceber que o intervalo de tempo entre emissao e deteccao valeria ℓc se supusermos qua a distˆancia entre F e cada detector medida no referencial S tambem valha ℓ Em conclusao a lei de composicao de veloci dades de Galileu esta intimamente relacionada a nocao de tempo absoluto De fato a hipotese de que o tempo e o mesmo para todos os referenciais e crucial na derivacao dessa lei Resumo A simultaneidade e relativa referenciais inerciais diferentes podem nao concordar sobre o ordenamento temporal de dois eventos dados O espaco tempo da Teoria da Relatividade e composto por trˆes coordenadas espaciais e pela coordenada temporal Esta ultima nao e em geral invariante quando mudamos de referencial O intervalo relativıstico ao quadrado s2 entre dois eventos de coordenadas t1 x1 y1 z1 e t2 x2 y2 z2 e definido pela ex pressao s2 c2t2 t12 x2 x12 y2 y12 z2 z12 Embora as coordenadas espacotemporais dos eventos sejam diferentes para diferentes referenciais inerciais todos eles medem o mesmo valor para s2 E na proxima aula vamos discutir uma consequˆencia muito importante da invariˆancia do intervalo relativıstico o efeito de dilatacao temporal CEDERJ 36 Dilatacao temporal M ODULO 1 AULA 3 Aula 3 Dilatacao temporal Metas da aula Apresentar o efeito de dilatacao temporal e discutir o limite naorelativıstico Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Explicar o efeito de dilatacao temporal Identificar as situacoes fısicas que podem ser descritas pela Mecˆanica Newtoniana Prerequisito Para compreender esta aula vocˆe precisa do conceito de intervalo rela tivıstico apresentado na aula anterior Cronˆometro em movimento Na aula anterior obtivemos um resultado fundamental da Teoria da Relatividade a invariˆancia do intervalo relativıstico s Vamos agora de rivar uma consequˆencia importante dessa propriedade o efeito de dilatacao temporal Consideremos um cronˆometro em movimento ao longo da direcao OX em relacao ao referencial inercial S como mostra a Figura 31 A velocidade V do cronˆometro e constante Como na aula anterior vamos considerar tambem o ponto de vista do referencial proprio inercial S que acompanha o cronˆometro em seu movimento Em relacao a S o cronˆometro esta em repouso e o tempo transcorrido entre dois cliques consecutivos vale t0 por exemplo poderıamos ter t0 1 seg Esse e o intervalo de tempo proprioentre dois cliques Quanto vale o intervalo relativıstico entre dois cliques consecutivos Calculando pelas coordenadas relativas a S temos x y z 0 porque as coordenadas espaciais dos dois eventos sao idˆenticas o cronˆometro esta parado do ponto de vista de S Assim obtemos s2 c2t02 31 37 CEDERJ Cronômetro em movimento com velocidade V em relação ao referencial S O referencial S acompanha o movimento do cronômetro Vamos agora calcular o intervalo usando as coordenadas relativas ao referencial S Entre um clique e o seguinte o cronômetro se deslocou de uma distância Δx VΔt onde Δt é o tempo entre dois cliques do ponto de vista de S Assim o intervalo ao quadrado vale Δs² c²Δt² V²Δt² Como o intervalo é invariantes temos Δs² Δs² Comparando as Equações 31 e 32 obtemos c² V²Δt² c²Δt0² Podemos resolver esta equação para Δt e obter Δt γΔt0 onde o fator de Lorentz γ é definido pela equação γ 1 1 V²c² Dilatacao temporal M ODULO 1 AULA 3 Note que γ so esta bem definido como numero real se V c Para qualquer valor de V satisfazendo essa condicao temos γ 1 ja que o denominador na Equacao 35 e 1 Portanto de acordo com a Equacao 34 o inter valo entre dois cliques consecutivos e dilatado pelo efeito do movimento do cronˆometro Exercıcio 31 Calcule o fator de Lorentz γ para V 0 Nesse caso o cronˆometro esta em repouso em relacao ao referencial S e portanto o tempo marcado por S coincide com o tempo proprio O efeito de dilatacao temporal contradiz a nocao intuitiva de tempo absoluto que e baseada no acumulo de experiˆencias do diaadia Em nossa vida diaria os valores tıpicos de velocidade sao sempre muito menores do que c correspondendo a valores de γ muito proximos da unidade De fato para V c podemos tomar a aproximacao γ 1 1 2 V 2 c2 36 que e obtida truncandose a expansao em serie de potˆencias de Vc serie de Taylor ate termos da ordem de Vc2 como vocˆe mostrara a seguir 39 CEDERJ Dilatacao temporal Exercıcio 32 Demonstre o resultado da Equacao 36 usando a formula de expansao em serie de Taylor em torno da origem para a funcao fu fu f0 f 0u f 0 2 u2 f 0 3 u3 37 Solucao Vamos analisar o fator de Lorentz γ como uma funcao de Vc γ fu 1 1 u2 38 com u Vc Portanto vamos substituir a variavel u por Vc na Equacao 39 γ f0 f 0Vc f 0 2 Vc2 f 0 3 Vc3 39 Se Vc 1 podemos desprezar Vc3 nesta equacao e com maior razao ainda as potˆencias de ordem mais alta Resta entao calcular os valores das derivadas para Vc 0 O valor de γ para Vc 0 que corresponde a parcela f0 na Equacao 39 foi calculado no exercıcio anterior f0 1 A derivada primeira e dada por f u u 1 u232 310 fornecendo f 0 0 A derivada segunda e dada por f u 1 2u2 1 u252 311 Tomando u 0 nesta equacao obtemos f 0 1 Com esses valores para as derivadas obtemos o resultado da Equacao 36 a partir da 39 No exercıcio a seguir vocˆe mostrara a partir da Equacao 36 que o efeito de dilatacao temporal e em geral desprezıvel nas situacoes tıpicas de nosso diaadia CEDERJ 40 Dilatacao temporal M ODULO 1 AULA 3 Exercıcio 33 Em referˆencia a nossa escala de velocidades tıpicas do diaadia poderıamos dizer que um jato comercial e rapido Entretanto quando comparada a c sua velocidade e muito pequena A velocidade tıpica de cruzeiro de um jato comercial e de 270ms ou 972kmh em relacao ao referencial terrestre Usando a Equacao 36 calcule o fator de Lorentz neste caso Calcule a diferenca acumulada entre o tempo medido no referencial terrestre e o tempo proprio apos 20 horas de vˆoo Resposta γ 1 405 1013 e t t0 29 108seg A situacao discutida anteriormente e um exemplo do limite naorelativıs tico quase todos os efeitos relativısticos como por exemplo a dilatacao temporal analisada aqui sao desprezıveis se Vc for suficientemente pequeno Quando isto ocorre podemos com seguranca confiar nos resultados da Fısica newtoniana Quase todas as situacoes de nossa vida diaria correspondem a esse regime de baixasvelocidades Nao e por acaso que o efeito de dilatacao temporal nos parece tao estranho Entretanto nesse exemplo o efeito e curiosamente grande o bastante para ser relevante na comparacao entre relogios atˆomicos transportados por avioes devido a enorme precisao desses relogios O efeito de dilatacao e importante em varias outras situacoes fısicas Nos aceleradores de partıculas em muitas situacoes sao produzidos feixes de partıculas com velocidades muito proximas a c de forma que o fator de Lorentz e grande e o efeito de dilatacao temporal se torna facilmente detectavel No exercıcio a seguir vocˆe vai analisar outro exemplo desse tipo 41 CEDERJ Dilatacao temporal Exercıcio 34 O muon e uma partıcula elementar de carga igual a do electron mas de massa muito maior Muons sao produzidos quando protons de alta ener gia vindos do espaco penetram na atmosfera raios cosmicos O muon e uma partıcula instavel que se desintegra apos um intervalo de tempo de 22 106seg Tipicamente eles sao produzidos a uma altura de 9km na atmosfera com uma velocidade v 0 998c Mostre que se desconsi derassemos o efeito de dilatacao temporal o muon viajaria apenas 660m antes de se desintegrar e portanto nao chegaria a superfıcie da Terra Assim e gracas ao efeito de dilatacao temporal que os muons de raios cosmicos chegam a superfıcie O processo de desintegracao desempenha aqui o papel do clique do cronˆometro e o tempo de 22 106seg se re fere ao referencial proprio da partıcula tempo proprio Calcule o tempo de vida medido no referencial terrestre e determine o valor correto para a distˆancia que o muon pode percorrer antes de se desintegrar Cuidado se usar a aproximacao naorelativıstica dada pela Equacao 36 vocˆe estara subestimando o efeito Nesse exemplo e preciso usar a expressao exata para o fator de Lorentz dada pela Equacao 35 Resposta O tempo de vida no referencial terrestre vale 35 105seg e a distˆancia que o muon pode percorrer antes de se desintegrar e de 10km Conexao com o problema da simultaneidade Para entender melhor o efeito de dilatacao temporal precisamos dis cutir com mais detalhe o conceito de referencial Alem do sistema de eixos coordenados usado para a marcacao da posicao espacial de um determinado evento necessitamos de um sistema para a medida do instante de tempo em que ele ocorre Para isso o uso de um unico cronˆometro ou relogio seria incon veniente porque ao medirmos o tempo de um evento numa posicao distante da posicao do cronˆometro terıamos de levar em conta o tempo de propagacao da luz desse aparelho ate a posicao espacial do evento Para contornar esse problema o nosso referencial S dispoe de uma rede de cronˆometros idˆenticos de forma que ha um cronˆometro bem proximo a qualquer ponto do espaco Para que a medida de tempo esteja bem definida e preciso que todos esses cronˆometros estejam sincronizados todos eles sao disparados a partir da marcacao 0000 simultaneamente do ponto de vista do referencial S CEDERJ 42 Dilatacao temporal M ODULO 1 AULA 3 O efeito de dilatacao temporal e ilustrado pelas Figuras 32 e 33 A e B fazem parte da rede de cronˆometros do referencial S Eles marcam o mesmo tempo nas duas figuras porque estas representam o ponto de vista do referencial S Atencao Quando apresentamos uma rede de cronˆometros marcando o mesmo tempo numa figura nao estamos representando tempo e simulta neidade absolutos independentes de referencial Mesmo que um observa dor esteja em repouso em relacao ao referencial S ele nao vai observar os cronˆometros de S marcando o mesmo tempo como vocˆe observa nas Figu ras 32 e 33 devido a diferenca entre os tempos para a propagacao da luz de cada cronˆometro ate o observador Portanto as figuras tˆem apenas um significado simbolico o de que os cronˆometros A e B estao sincronizados do ponto de vista do referencial S Tambem apresentamos nas Figuras 32 e 33 o cronˆometro A em tudo idˆentico aos cronˆometros do referencial S A se movimenta em relacao a S com velocidade V ao longo da direcao do eixo OX No instante em que os cronˆometros de S sao disparados tempo t 0 do refencial S a posicao de A coincide com a posicao de A e A e disparado tambem nesse mesmo instante Mais tarde A e comparado com um outro cronˆometro do referencial S B cuja posicao coincide com a de A nesse instante posterior Do ponto de vista de S o cronˆometro em movimento esta se atrasando o tempo transcorrido de acordo com o referencial S e de 30 segundos mas A marca 26 segundos 43 CEDERJ Dilatacao temporal Figura 32 No instante em que os cronˆometros A e B do referencial S sao disparados o cronˆometro idˆentico em movimento A tambem e disparado e sua posicao coincide com a posicao de A Figura 33 Efeito de dilatacao temporal do ponto de vista do referencial S o cronˆometro em movimento A se atrasa Qual e a interpretacao do efeito de dilatacao temporal do ponto de vista do referencial proprio de A S Para S os cronˆometros A e B nao foram disparados simultaneamente e portanto nao estao sincronizados Mostra mos na aula anterior que a nocao de simultaneidade e relativa Veremos agora que o efeito de dilatacao temporal esta diretamente relacionado a esse fato A sincronizacao dos cronˆometros do referencial S pode ser realizada atraves do metodo discutido na aula anterior a fonte de luz F e ligada e os cronˆometros A e B sao disparados no momento em que a luz e detectada pelos detectores D1 e D2 como mostramos na Figura 34 CEDERJ 44 Dilatacao temporal M ODULO 1 AULA 3 Figura 34 Sincronizacao dos cronˆometros A e B do ponto de vista do referencial S Para o referencial S os cronˆometros sao disparados simultaneamente ja que F e equidistante de D1 e D2 Entretanto do ponto de vista do referencial S os disparos nao sao simultˆaneos como mostra a Figura 35 Note que em relacao a S fonte e detectores se deslocam com velocidade V isto e com modulo V ao longo do sentido negativo do eixo OX A situacao aqui e muito semelhante a da Figura 23 na Aula 2 como a velocidade da luz no referencial S tambem vale c B e disparado antes de A ja que aquele se aproxima a fonte enquanto este se afasta as linhas tracejadas indicam as posicoes dos detectores no instante da emissao da luz Portanto para S o tempo marcado por B e maior do que o tempo marcado por A simplesmente porque B foi disparado prematuramente Figura 35 Disparo dos cronˆometros A e B do ponto de vista do referencial S B sera disparado antes de A 45 CEDERJ Dilatacao temporal Essa discussao ilustra bem a natureza do efeito de dilatacao temporal O estado de movimento uniforme do cronˆometro S em nada modifica o mecanismo fısico reponsavel pelos cliques do relogio Dizemos entao que o efeito e puramente cinematico ja que a dinˆamica associada aos cliques nao e afetada pelo movimento para ilustrar este ponto vamos considerar um exemplo concreto de cronˆometro no final da aula O intervalo de tempo entre os cliques consecutivos do cronˆometro A e simplesmente descrito de forma diferente pelos diferentes referenciais Pelo princıpio da relatividade os referenciais S e S estarao em pe de igualdade contanto que o referencial proprio S seja inercial caso de movimento uniforme de A Assim o efeito de dilatacao temporal tambem ocorrera ao examinarmos um dado cronˆometro do referencial S por exemplo o cronˆometro B com o auxılio de uma rede de cronˆometros afixada ao referencial S nao mostrada nas figuras anteriores Em outras palavras B parece atrasado do ponto de vista de S Esse fato nao esta em contradicao com a Figura 33 que ilustra a marcacao de tempo no referencial S Note que nunca comparamos um unico cronˆometro de S com um unico de S Para medir o efeito de dilatacao do cronˆometro A do ponto de vista de S precisamos comparar A com dois cronˆometros diferentes de S conforme mostrado nas Figuras 32 e 33 devido ao seu movimento uniforme De forma analoga a verificacao da dilatacao temporal de B do ponto de vista de S envolveria pelo menos dois cronˆometros distintos de S nao mostrados nas figuras anteriores conforme vocˆe mostrara no exercıcio a seguir CEDERJ 46 Exercício 35 Explique por meio de uma sequência de desenhos o efeito de dilatação temporal do cronômetro B da Figura 32 do ponto de vista do referencial S Os seus desenhos devem incluir dois cronômetros para a marcação de tempo em S A e B O cronômetro B de S está na posição de B no momento em que este é disparado e também é disparado nesse momento O cronômetro A de S é usado para marcar um tempo a ser comparado com o tempo marcado por B num instante posterior Os dois cronômetros de S foram sincronizados do ponto de vista de S pelo método ilustrado pela Figura 34 exceto que fonte e detectores agora estão em repouso em relação a S Mas de acordo com S A foi disparado depois de B Explique o efeito de dilatação em termos desse fato Dilatacao temporal que nos levaria a concluir erroneamente que A estaria atrasado ao inves de adiantado como concluımos acima em relacao a A Entretanto como A descreve um movimento acelerado ou naouniforme condicao necessaria para voltar a sua posicao inicial o referencial proprio nao e inercial nesse caso Lembre a definicao de referencial inercial S e inercial se ele se mo vimenta em relacao a um referencial inercial S com velocidade constante movimento uniforme Vocˆe aprendeu no curso de Fısica 1 que as leis da Mecˆanica de Newton so valem em referenciais inerciais Por exemplo o refe rencial de um ˆonibus que freia violentamente nao e inercial porque o ˆonibus esta acelerado em relacao ao referencial inercial terrestre e por isso que somos jogados para a frente apesar da ausˆencia de qualquer forca aplicada Todas as regras que aprendemos aqui tambem so valem para referenciais inerciais e exatamente devido a essa importante restricao que usamos a expressao relatividade restrita ou especial em oposicao a relatividade geral em que essa restricao e relaxada Portanto nao podemos aplicar o resultado obtido nesta aula para o referencial proprio de A e concluir que A estaria atrasado em relacao a esse referencial Assim quando comparamos A e A e A que esta atrasado em relacao a A e nao o contrario No lugar de dois cronˆometros podemos tomar o exemplo de duas irmas gˆemeas idˆenticas Clara e Julia Num dado momento Clara parte num fo guete para uma longa viagem espacial Ao voltar o seu relogio biologico associado ao processo de envelhecimento estara atrasado em relacao ao de Julia e portanto ela estara mais jovem que Julia Como o referencial do fo guete nao e inercial seria incorreto inverter o argumento e concluir que Julia estaria mais jovem do que Clara esse falso argumento e conhecido como o paradoxo dos gˆemeos Em resumo e a irma que se acelerou que estara mais jovem do que a outra No exercıcio a seguir vocˆe descobrira que esse nao e um metodo muito eficiente para evitar o envelhecimento CEDERJ 48 Dilatacao temporal M ODULO 1 AULA 3 Exercıcio 36 O cosmonauta russo Valery Polyakov passou 438 dias a bordo da estacao espacial Mir A velocidade orbital da estacao era de 7700 ms Apos voltar para a companhia de seu irmao gˆemeo imaginario na Terra quanto tempo Valery estaria mais jovem Sugestao use a Equacao 313 tomando γ constante pois nesse exem plo podemos supor que o modulo da velocidade da estacao seja aproxi madamente constante embora o vetor velocidade varie no tempo de forma apreciavel Para calcular esse valor constante use a aproximacao nao relativıstica Equacao 36 Resposta 0 012seg ou 12 milesimos de segundo Cronˆometro de luz Ate aqui representamos os cronˆometros por caixinhas pretasconfira as Figuras 31 e 34 sem discutir o mecanismo fısico reponsavel pelo seu funcionamento Tomando como ponto de partida a invariˆancia do intervalo relativıstico deduzimos o efeito de dilatacao temporal de uma forma muito geral e independente dos detalhes do mecanismo responsavel pelos cliques Por ser um efeito cinematico sem envolver a dinˆamica associada aos cliques a dilatacao ocorre com todos os tipos de cronˆometros e relogios que se possam imaginar Vamos agora discutir um exemplo especıfico de cronˆometro com o proposito de compreender ainda melhor a natureza do efeito de dilatacao temporal Nosso cronˆometro descrito por meio das Figuras 36 e 37 con siste em uma fonte F que emite um pulso de luz de duracao muito curta e de dois espelhos paralelos O pulso e refletido pelo espelho de cima e volta para junto de F onde ha tambem um detector Uma pequena fracao da energia do pulso e absorvida no detector disparando o primeiro clique A maior parte da energia e refletida de volta para cima refletese novamente no espelho de cima e volta para a regiao de deteccao provocando o segundo clique e assim sucessivamente Como a separacao entre os espelhos vale L o intervalo de tempo entre dois cliques consecutivos vale t0 2L c 315 49 CEDERJ Dilatacao temporal Figura 36 Cronˆometro de luz fonte F e espelhos paralelos separados por distˆancia L Figura 37 O clique do cronˆometro ocorre quando o pulso de luz e detectado no espelho de baixo apos reflexao pelo espelho de cima Nessa analise supusemos que o cronˆometro estivesse em repouso Por tanto t0 representa o intervalo de tempo proprio entre dois cliques O que ocorre quando o cronˆometro esta em movimento Na Figura 38 mostramos o cronˆometro se deslocando com velocidade V constante e perpendicular a direcao que liga os dois espelhos em relacao ao referencial inercial S Vamos supor que a distˆancia entre os espelhos tambem valha L para o referencial S Se vocˆe acha essa hipotese obvia cuidado Na proxima aula veremos que a distˆancia entre dois objetos dados pode nao ser a mesma para diferentes referenciais Entretanto no caso de um comprimento perpendicular a direcao do movimento como no exemplo que nos interessa aqui o seu valor e de fato o mesmo para todos os referenciais conforme mostraremos logo no inıcio da proxima aula CEDERJ 50 Figura 38 Em relação ao referencial S o cronômetro de luz se movimenta com velocidade V Para saber o tempo Δt entre dois cliques consecutivos do nosso cronômetro conforme o ponto de vista de S basta determinar o tempo necessário para o pulso de luz realizar uma volta completa entre os dois espelhos O intervalo de tempo para a propagação do espelho de baixo para o de cima é igual ao intervalo de tempo para o percurso inverso Logo ele vale Δt2 Figura 310 A distância ℓ percorrida pelo pulso de luz no referencial S é calculada a partir do triângulo retângulo mostrado acima A distância percorrida pelo pulso de luz do espelho de cima até o de baixo também vale ℓ De acordo com o segundo postulado da Teoria da Relatividade a luz se propaga no referencial S com a mesma velocidade c medida no referencial próprio Em particular o fato de que a fonte está em movimento em relação a S em nada modifica a velocidade Portanto o intervalo Δt entre dois cliques é dado por Δt 2ℓc Dilatacao temporal M ODULO 1 AULA 3 que a velocidade da luz nao e alterada pelo movimento do cronˆometro a di latacao ocorre simplesmente porque a distˆancia percorrida pelo pulso de luz de acordo com o referencial S e maior quando o cronˆometro se movimenta Exercıcio 37 O nosso cronˆometro de luz nao e um dispositivo pratico para a vida diaria Entretanto em muitos laboratorios de pesquisa utilizamse lasers operando num regime especial conhecido como travamento de modos que e muito semelhante ao esquema apresentado aqui O laser mostrado na Figura 311 e constituıdo por dois espelhos E1 e E2 formando uma cavidade optica e um material responsavel pela emissao da luz M No regime de travamento de modos um pulso de luz de curtıssima duracao e gerado no interior da cavidade do laser O pulso circula entre os dois espelhos exatamente como no nosso cronˆometro mas nao ha nenhum detector no interior da cavidade A cada momento em que o pulso atinge o espelho E2 mostrado na Figura 311 uma pequena fracao da sua energia e transmitida para fora da cavidade do laser ficando disponıvel para varias aplicacoes Portanto quando o laser opera no regime de travamento de modos ele produz uma sequˆencia de pulsos separados por uma distˆancia 2L como indicamos na Figura 311 Determine o intervalo de tempo t0 entre dois pulsos consecutivos supondo que o comprimento da cavidade seja L 5cm Resposta t0 2Lc 3 3 1010seg 53 CEDERJ Dilatacao temporal Figura 311 Esquema de um laser em regime de travamento de modos Conclusao Nesta aula analisamos em detalhe o feito de dilatacao temporal Nosso ponto de partida foi a propriedade de invariˆancia do intervalo relativıstico Para a maioria das situacoes praticas da nossa vida diaria as velocidades envolvidas sao muito pequenas quando comparadas a velocidade da luz c limite naorelativıstico Neste caso o efeito de dilatacao temporal e muito pequeno o que explica a nossa concepcao intuitiva de tempo absoluto Discutimos a conexao entre a dilatacao temporal e a relatividade da nocao de simultaneidade Para ilustar o efeito de forma mais concreta apre sentamos o exemplo do cronˆometro de luz Nesse modelo a dilatacao tem poral foi diretamente derivada a partir do postulado de invariˆancia da velo cidade da luz Atividades Finais 1 Explique o que e o efeito de dilatacao temporal 2 Um relogio e posto em orbita no interior de um satelite por varios anos Ao voltar ao seu ponto de partida e preciso adiantalo ou atrasalo para que ele volte a marcar a hora certa Justifique sua resposta 3 Por que o efeito de dilatacao temporal e desprezıvel na grande maioria das situacoes fısicas associadas a nossa vida diaria CEDERJ 54 Dilatacao temporal M ODULO 1 AULA 3 4 Explique o paradoxo dos gˆemeos Por que os referenciais proprios de cada irma gˆemea nao estao em pe de igualdade 5 A partir da comparacao entre os tempos marcados pelos cronˆometros A e B mostrados na Figura 33 determine a velocidade de A Resposta 1 5 108ms 6 Por que o tempo biologico de uma pessoa embarcada numa viagem es pacial deve sofrer o mesmo atraso que um relogio embarcado no mesmo foguete Resposta comentada Se nao fosse assim seria possıvel determinar o estado de movimento uniforme absoluto atraves da medida do tempo do processo de enve lhecimento de acordo com o relogio embarcado violando o princıpio da relatividade No exemplo discutido por Galileu veja a Aula 1 perceber o estado de movimento do foguete seria analogo a perceber o estado de movimento uniforme de um navio mesmo com as escoti lhas fechadas de forma a impedir a observacao de alguma referˆencia externa ao navio Note que esse mesmo argumento pode ser usado para mostrar que qualquer tipo de cronˆometro sofreria o mesmo efeito de dilatacao que o cronˆometro de luz discutido no final desta aula Resumo Um cronˆometro ou relogio em movimento em relacao a um referencial inercial S estara sempre atrasado em relacao aos cronˆometros responsaveis pela marcacao de tempo em S Este efeito a dilatacao temporal e muito pequeno para as velocidades tıpicas do diaadia limite naorelativıstico E na proxima aula vamos novamente utilizar a propriedade de invariˆancia do intervalo relativıstico desta vez para derivar a transformacao de Lorentz que relaciona as coordenadas espacotemporais em diferentes referenciais inerciais Vamos explorar uma consequˆencia importante da transformacao de Lorentz o efeito de contracao de LorentzFitzgerald 55 CEDERJ A transformacao de Lorentz M ODULO 1 AULA 4 Aula 4 A transformacao de Lorentz Meta da aula Obter a transformacao de Lorentz a partir da invariˆancia do intervalo relativıstico e aplicala ao problema da medida de comprimentos em diferen tes referenciais Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Escrever e utilizar a transformacao de Lorentz Obter o efeito de contracao de LorentzFitzgerald a partir da trans formacao de Lorentz Prerequisitos A leitura das Aulas 2 e 3 e recomendavel pois os conceitos de intervalo relativıstico e dilatacao temporal sao importantes para o acompanha mento desta aula Introducao Na aula anterior analisamos uma consequˆencia importante da invariˆancia do intervalo relativıstico a dilatacao temporal Nesta aula vamos nova mente usar a propriedade de invariˆancia para obter um resultado mais geral a transformacao de Lorentz que relaciona as coordenadas espacotemporais em diferentes referenciais inerciais A partir da transformacao de Lorentz podemos obter varios efeitos interessantes Aqui vamos analisar em detalhe a contracao de LorentzFitzgerald 57 CEDERJ A transformacao de Lorentz Coordenadas espacotemporais em diferentes referenciais Como discutimos nas duas aulas anteriores um determinado evento e descrito no referencial S pelas coordenadas espacotemporais t x y z Quando utilizamos um outro referencial S para descrever esse mesmo evento suas coordenadas passam a valer t x y z note que a coordenada tempo ral tambem e modificada quando passamos de S para S A transformacao de Lorentz relaciona as coordenadas em S e S desde que ambos os referenciais sejam inerciais Vamos supor inicialmente que o referencial S se mova com velocidade V em relacao ao referencial S ao longo da direcao do eixo OX como mostra a Figura 41 O caso mais geral com S se movendo com velocidade V ao longo de uma direcao arbitraria pode ser obtido combinandose a trans formacao de Lorentz analisada aqui com uma transformacao de rotacao dos eixos coordenados exemplos de transformacoes deste tipo foram discutidas na Aula 2 Figura 41 O referencial S se move em relacao ao referencial S com velocidade V ao longo da direcao do eixo OX Invariˆancia dos comprimentos transversais Nossa primeira etapa na construcao da transformacao de Lorentz e mostrar que as coordenadas espaciais transversais a direcao de movimento de S sao invariantes y y 41 z z 42 CEDERJ 58 A transformacao de Lorentz M ODULO 1 AULA 4 Na Figura 42 mostramos a barra B alinhada com o eixo OY do referen cial proprio S e em movimento com velocidade V ao longo da direcao OX em relacao ao referencial S Figura 42 Medida do comprimento da barra B no referencial S No referencial proprio S o comprimento da barra L0 e igual a coor denada y da sua extremidade Para medir o comprimento no referencial S a extremidade da barra possui uma ponta perfurante mostrada na Figura 42 que marca a regua R que por sua vez esta em repouso em relacao a S no momento em que a barra passa pela posicao de R A coordenada y marcada e igual ao comprimento da barra L medida no referencial S Imagine agora que uma segunda barra B em tudo idˆentica a B es teja em repouso em relacao a S Quando nao ha movimento relativo entre as barras elas tˆem exatamente o mesmo comprimento Como S e o referencial proprio de B o seu comprimento vale L0 nesse referencial Na situacao da Figura 43 ha movimento relativo entre as barras e assim temos de ana lisar a possibilidade de que os comprimentos sejam diferentes Vocˆe vera a seguir que essa possibilidade implicara uma contradicao o que nos permitira concluir que os comprimentos sao de fato iguais 59 CEDERJ A transformacao de Lorentz Figura 43 Em relacao ao referencial S a barra B esta em movimento e a barra B em repouso Se o comprimento L de B for menor do que L0 entao a extremidade de B vai riscar a barra B num ponto abaixo da sua extremidade O que ocorreria do ponto de vista de S nesse caso Pelo princıpio da relatividade o mesmo efeito de contracao do comprimento ocorreria para a barra B pois ela esta em movimento em relacao a S com velocidade de modulo V ao longo do sentido negativo do eixo OX como ilustra a Figura 44 Assim B riscaria B num ponto abaixo de sua extremidade em contradicao com nossa hipotese inicial Podemos entao concluir que os comprimentos de B e B sao iguais em qualquer dos dois referenciais L L0 Figura 44 Em relacao ao referencial S a barra B se desloca com velocidade de modulo V ao longo do sentido negativo do eixo OX Naturalmente o mesmo argumento poderia ser aplicado se a barra es tivesse alinhada ao longo de qualquer direcao perpendicular a direcao do movimento que na figura anterior coincide com o eixo OX demonstrando assim as Equacoes 41 e 42 Se vocˆe considera essa conclusao obvia cui dado Para um referencial se movendo ao longo da direcao da barra direcao CEDERJ 60 A transformacao de Lorentz M ODULO 1 AULA 4 do eixo OY o comprimento e contraıdo Esse e mais um efeito relativıstico contraintuitivo conhecido como contracao de LorentzFitzgerald que es tudaremos mais adiante George Fitzgerald nasceu em Monkstown Irlanda em 1851 Especialista em optica e eletromagnetismo Para explicar o resultado do experimento de Michelson e Morley propˆos em 1889 que corpos em movimento em relacao ao eter teriam o seu comprimento na direcao paralela ao movimento contraıdo contracao de LorentzFitzgerald Usando a invariˆancia do intervalo relativıstico Vamos supor que no instante t 0 marcado pelo referencial S as ori gens dos sistemas de coordenadas de S e S coincidam e que o cronˆometro de S na origem A seja sincronizado com os cronˆometros de S nesse instante como mostra a Figura 45 Figura 45 No tempo t 0 as origens de S e S coincidem Portanto o evento de coordenadas espaciais x y z 0 origem de S e tempo t 0 de acordo com o referencial S tem coordenadas x y z 0 e tempo t 0 de acordo com o referencial S Considere agora um outro evento qualquer de coordenadas t x y z no referencial S e o intervalo relativıstico ao quadrado entre esse evento e o evento de coordenadas nulas Calculando em termos das coordenadas em S obtemos s2 c2t2 x2 y2 z2 43 Como s e invariante devemos obter o mesmo valor para o intervalo quando utilizamos as coordenadas em S s2 c2t2 x2 y2 z2 44 61 CEDERJ A transformacao de Lorentz Igualando as equacoes acima e usando a invariˆancia das coordenadas transversais ao movimento obtemos c2t2 x2 c2t2 x2 45 A transformacao linear mais geral de t x para t x que satisfaz a condicao de transformar t 0 x 0 em t 0 x 0 e da forma x A x B c t 46 c t C x D c t 47 onde os coeficientes A B C e D sao adimensionais note que introduzimos o fator c representando a velocidade da luz no vacuo para obter a grandeza produto c t que tem dimensao de comprimento c t e medido em metros no Sistema Internacional de Unidades Esses coeficientes dependem da velo cidade V do referencial S em relacao a S Existe um caso particular muito simples em que podemos obtˆelos de forma imediata quando V 0 os referenciais S e S coincidem e entao x x e t t transformacao identi dade Comparando com as Equacoes 46 e 47 obtemos A D 1 e B C 0 nesse caso Para valores arbitrarios de V qual e a condicao sobre A B C e D para que a Equacao 735 seja satisfeita Se usarmos essa equacao e a condicao de que para V 0 tenhamos a transformacao identidade podemos eliminar B C e D em termos de A conforme se mostra no exercıcio resolvido a seguir CEDERJ 62 Exercício 41 Determine a condição satisfeita pelos coeficientes A B e C em D para que a transformação de coordenadas dada pelas Equações 46 e 47 seja compatível com a propriedade de invariância do intervalo relativístico expressa pela Equação 735 e com a condição de ter como caso particular a transformação identidade Solução das Equações 46 e 47 obtemos c²t² x² D² B² c²t² A² C² x² 2AB CD x c t Para que a Equação 735 seja válida para todos os valores de x e t que variam independentemente devemos ter D² B² 1 A² C² 1 AB CD 0 A partir das Equações acima podemos eliminar B C e D em termos de A Da Equação 49 é imediato obter C em termos de A Das equações 48 e 410 derivamos D²1 B²D² D²1 C²A² 1 Substituindo a Equação 49 na equação acima obtemos D² A² A solução com D A não tem como caso particular a transformação identidade portanto tomamos a raiz D A Finalmente combinando esse resultado com a equação 410 obtemos B C A² 1 onde os dois sinais representam as duas raízes da Equação 49 Substituindo os resultados do exercício anterior nas Equações 46 e 47 obtemos x A x A² 1 c t ct A² 1 x A c t Para completar a derivação da transformação de Lorentz resta apenas relacionar o coeficiente A com a velocidade V do referencial S em relação a S e determinar qual dos dois sinais nas equações acima fornece o resultado fisicamente correto A origem de S que corresponde a x 0 se desloca com velocidade constante V ao longo do eixo OX do referencial S e em t 0 estava na posição x 0 Portanto a coordenada x 0 corresponde a x Vt como mostra a Figura 46 Figura 46 Posição da origem de S em relação ao referencial S no tempo t Tomando x 0 na Equação 416 obtemos x A² 1 A c t Para termos x Vt é preciso então escolher um coeficiente A que satisfaz Vc A² 1A Além disso é preciso escolher o sinal inferior na Equação 413 sinal mais que corresponde a tomar o sinal inferior nas Equações 416 e 417 sinal menos Podemos inverter a Equação 414 para obter A em função de V Ao fazêlo obtemos que A é igual ao fator de Lorentz γ definido na Aula 3 A γ 11 V²c² Vamos colocar o coeficiente A em evidência nas Equações 416 e 417 antes de substituir o resultado obtido para A x A x A2 1 ct 416 ct A ct A2 1 x 417 Usando a Equação 414 podemos agora substituir a expressão envolvendo A que aparece nestas equações por Vc além de substituir A pelo fator de Lorentz γ Desta forma obtemos finalmente a transformação de Lorentz das coordenadas espaçotemporais x γ x Vt 418 y y 419 z z 420 t γ t Vc2 x 421 Este conjunto de quatro equações é o resultado mais importante da aula Não é difícil verificar que essas equações satisfazem a propriedade de invariância do intervalo relativístico Δs2 conforme você mostrará no exercício a seguir A transformacao de Lorentz Tambem e muito simples verificar que as Equacoes 629628 repro duzem a transformacao identidade para o caso particular de V 0 basta perceber que γ 1 neste caso conforme esperado A transformacao de Lorentz apresentada aqui permite obter as coorde nadas de um evento no referencial S a partir de suas coordenadas no refe rencial S Vamos examinar o seguinte exemplo ilustrado pela Figura 47 o cronˆometro A posicionado na origem de S esta na posicao do cronˆometro B No referencial S esse evento tem coordenadas x e t satisfazendo x V t porque essa e a equacao que descreve a posicao da origem de S de acordo com S num tempo t qualquer confira a Figura 46 Quais sao as coor denadas desse evento no referencial S A Equacao 629 fornece x 0 como esperado de fato essa foi uma das propriedades utilizadas na propria construcao da transformacao de Lorentz Ja a Equacao 628 fornece t γ1 V 2 c2 t 1 γ t 422 Como γ 1 o tempo proprio t marcado por A e menor do que o tempo t marcado pelo cronˆometro B do referencial S como mostramos na Figura 47 Esse e o efeito de dilatacao temporal que foi derivado na Aula 3 dire tamente da propriedade de invariˆancia do intervalo relativıstico Figura 47 Efeito de dilatacao temporal Em certas situacoes estamos interessados no caminho inverso obter as coordenadas no referencial S a partir das coordenadas em S No exercıcio resolvido a seguir vocˆe obtera a transformacao de Lorentz de S para S calculando a inversa da transformacao dada pelas Equacoes 629628 CEDERJ 66 Exercício 43 Inverta as Equações 629628 para obter as coordenadas x e t como funções de x e t Solução Podemos escrever a transformação de Lorentz de S para S na forma matricial ct x γ 1 Vc Vc 1 ct x Para obter a transformação de Lorentz de S para S basta calcular a inversa da matriz 2 x 2 que aparece na equação acima ct x 1γ 1 1 Vc 1ct x O préfator que aparece nesta equação pode ser simplificado se usarmos a definição do fator de Lorentz γ resultando em ct x γ 1c 1 Vc 1ct x Podemos escrever a transformação de Lorentz inversa obtida no exercício acima na forma explícita x γ x Vt 423 y y 424 z z 425 t γ t Vc2 x 426 Comparando com as Equações 629628 você deve perceber que a transformação de S para S tem a mesma forma que a transformação de S para S bastando trocar V por V Poderíamos ter adivinhado este resultado Do ponto de vista do referencial S o referencial S se move com velocidade V isto é ao longo do sentido negativo do eixo OX Pelo princípio da relatividade S e S são equivalentes e portanto a transformação de S para S deve ter a mesma forma que a transformação de S para S mudando apenas A transformacao de Lorentz o parˆametro que caracteriza essa transformacao a velocidade relativa entre os referenciais Isto explica por que tomamos uma transformacao linear bem no inıcio da nossa derivacao confira as Equacoes 46 e 47 Quando a inversa de uma transformacao linear existe como ocorre aqui ela tambem e uma trans formacao linear Se tivessemos uma transformacao quadratica por exemplo sua inversa jamais teria a mesma forma o que violaria o princıpio da relati vidade A seguir derivaremos um segundo efeito cinematico importante da re latividade restrita o primeiro foi a dilatacao temporal analisado na Aula 3 e rederivado acima a contracao de LorentzFitzgerald Nosso ponto de partida sera a transformacao de Lorentz Contracao de LorentzFitzgerald No inıcio desta aula discutimos como medir o comprimento de uma barra basta marcar as coordenadas espaciais das suas duas extremidades Para um referencial em que a barra esteja em repouso esse procedimento nao apresenta nenhuma dificuldade Tambem nao ha dificuldade se a barra se movimenta ao longo de uma direcao perpendicular a sua extensao como discutido anteriormente Entretanto para o referencial S em que a barra se movimenta ao longo de sua extensao como na Figura 48 e preciso um pouco mais de cuidado Figura 48 Comprimento de uma barra em movimento em relacao ao referencial S Para que a medida esteja correta e preciso marcar as posicoes das extremidades 1 e 2 simultaneamente no referencial S Por exemplo se me dirmos a posicao da extremidade 2 x2 antes de medirmos x1 como indicado na Figura 49 entao a diferenca x2 x1 sera menor do que o comprimento da barra CEDERJ 68 A transformacao de Lorentz M ODULO 1 AULA 4 Figura 49 A linha pontilhada indica a posicao em que a barra estava quando a posicao x2 da extremidade 2 foi medida O comprimento da barra e subestimado se a medida de x1 ocorre depois da medida de x2 Assim e preciso tomar o cuidado de medir ambas as extremidades num mesmo tempo t do referencial S Nesse caso podemos identificar o comprimento da barra L no referencial S com a diferenca L x2 x1 427 Quais sao as coordenadas dos eventos medida da extremidade 1e me dida da extremidade 2no referencial proprio S Usando a transformacao de Lorentz Equacoes 629 e 628 obtemos x 1 γx1 V t 428 t 1 γt V c2x1 429 para o primeiro evento e x 2 γx2 V t 430 t 2 γt V c2x2 431 69 CEDERJ A transformacao de Lorentz para o segundo Observe que t 1 t 2 e portanto os eventos nao sao si multˆaneos do ponto de vista de S Apesar disso a diferenca L0 x 2 x 1 γx2 x1 432 representa o comprimento da barra no referencial S De fato como a barra esta em repouso em relacao a S podemos medir as coordenadas das ex tremidades em tempos diferentes neste referencial L0 e conhecido como o comprimento proprio da barra ja que representa o comprimento no referen cial proprio Ele e uma propriedade intrınseca da barra assim como o tempo proprio entre os cliques de um cronˆometro e uma propriedade intrınseca do cronˆometro Ja o comprimento L medido em S depende da velocidade da barra em relacao a S comparando as Equacoes 427 e 432 obtemos L L0 γ 433 Como γ 1 se V 0 esse resultado mostra que o comprimento medido em S e sempre menor que o comprimento proprio se a barra se movimenta em relacao a S Esse e o efeito de contracao de LorentzFitzgerald diferentes referenciais medem comprimentos diferentes de uma mesma barra Para as situacoes da vida diaria ele e quase sempre desprezıvel porque o fator de Lorentz γ e muito proximo da unidade conforme discutido na Aula 3 Entretanto ha situacoes em que γ e bastante grande como no exemplo dos muons de raios cosmicos discutido na Aula 3 CEDERJ 70 A transformacao de Lorentz M ODULO 1 AULA 4 Exercıcio 44 No Exercıcio 27 vocˆe mostrou que o efeito de dilatacao temporal permite que os muons produzidos a uma altura de 9000m na atmosfera cheguem a superfıcie terrestre antes de se desintegrarem Essa analise foi realizada do ponto de vista do referencial terrestre Como analisar esse mesmo problema a partir do referencial proprio do muon Nesse caso temos de tomar o valor para o tempo proprio para a desintegracao 22106seg Entretanto nesse referencial a espessura da atmosfera a ser percorrida e contraıda Calcule a espessura no referencial proprio do muon Cuidado nao o confunda com o referencial proprio da atmosfera A velocidade do muon em relacao ao referencial terrestre vale v 0 998c O muon chega a superfıcie Solucao O fator de Lorentz vale γ 15 8 nesse exemplo A espessura da camada de atmosfera vale L0 9000m no referencial proprio da atmosfera que e o referencial terrestre No referencial proprio do muon a atmosfera se desloca com velocidade de modulo igual a v 0 998c Devido ao efeito de contracao de LorentzFitzgerald a espessura no referencial proprio do muon vale L L0γ 570m Assim o tempo necessario para percorrer a camada de atmosfera e chegar a superfıcie da Terra vale de acordo com este referencial t Lc 1 9 106seg que e menor que o tempo proprio de desintegracao Portanto o muon chega a superfıcie antes de se desintegrar Obtivemos a mesma conclusao na Aula 3 adotando o ponto de vista do referencial terrestre Nesse caso nao ha contracao mas o tempo para desintegracao e maior do que o tempo proprio devido ao efeito de dilatacao temporal Note que a resposta a pergunta o muon chega a superfıciedeve ser sempre a mesma independentemente do referencial escolhido para a analise do problema A contracao de LorentzFitzgerald foi proposta pela primeira vez em 1889 por Fitzgerald como uma forma de explicar o resultado negativo do experimento de Michelson e Morley Em 1892 essa hipotese foi proposta no vamente por Lorentz de forma independente mas com a mesma finalidade Para Fitzgerald e Lorentz as forcas intermoleculares responsaveis pela es trutura material da barra seriam afetadas pelo seu movimento em relacao ao eter causando a contracao 71 CEDERJ A transformacao de Lorentz Com a teoria da relatividade de Einstein o efeito de contracao foi no vamente obtido mas de forma completamente distinta O efeito nao e uma hipotese adicional pelo contrario ele e uma consequˆencia da teoria da relatividade sendo derivado a partir do seu formalismo conforme discuti mos anteriormente Einstein tambem obteve a interpretacao correta para a contracao As propriedades intrınsecas da barra nao mudam quando ela se desloca em movimento uniforme nem poderiam pelo princıpio da relati vidade uma vez que nao existe o eter como referˆencia para o movimento Portanto nao ha nenhum mecanismo dinˆamico por exemplo de modificacao das forcas intermoleculares responsaveis pela rigidez da barra responsavel pelo efeito Diferentes referenciais inerciais em movimento relativo observam comprimentos diferentes para a nossa barra simplesmente porque eles nao estao em acordo sobre a simultaneidade dos eventos de marcacao das posicoes das suas extremidades Assim a contracao de LorentzFitzgerald e um efeito cinematico como a dilatacao temporal estudada na Aula 3 Conclusao Nesta aula derivamos a transformacao de Lorentz para as coordenadas espacotemporais de um determinado evento tomando como ponto de par tida o princıpio da relatividade e a invariˆancia do intervalo relativıstico De posse deste resultado poderemos obter as coordenadas em qualquer referen cial inercial S se soubermos as coordenadas no referencial S e a velocidade de S em relacao a S A transformacao de Lorentz mistura a coordenada tem poral e a coordenada espacial associada a direcao da velocidade de S relativa a S Por outro lado as coordenadas espaciais transversais a velocidade sao invariantes Exploramos duas aplicacoes importantes da transformacao de Lorentz rederivamos o efeito de dilatacao temporal discutido na Aula 3 e obtivemos o efeito da contracao de LorentzFitzgerald Atividades Finais No final da aula vocˆe encontrara as respostas das questoes 3 e 4 Nao olhe as respostas antes de tentar obtˆelas sozinho CEDERJ 72 1 Explique com argumentos físicos a razão de a transformação de Lorentz inversa ter a mesma forma que a transformação direta bastando trocar V por V 2 Por que não observamos o efeito da contração de Lorentz nas situações de nossa vida diária 3 Ao medir o comprimento da barra da Figura 48 no referencial S o que acontece se a extremidade 2 for medida depois da extremidade 1 Nesse caso x2 x1 é menor igual ou maior do que o comprimento L da barra no referencial S Para justificar a sua resposta faça um desenho análogo ao da Figura 49 4 Suponha que o referencial S se move em relação ao referencial S com velocidade V ao longo do eixo OX Quais são as coordenadas espaciais invariantes nesse caso Escreva por analogia ao caso estudado nesta aula e sem fazer cálculos as quatro equações que implementam a transformação de Lorentz nesses casos 5 O referencial S se move em relação a S com velocidade V ao longo do eixo OX O referencial S se move em relação a S também com velocidade V ao longo da mesma direção Obtenha a coordenada x relativa ao referencial S em termos das coordenadas no referencial S Mostre que seu resultado tem a mesma forma que a Equação 629 exceto pela substituição de V por um parâmetro com dimensão de velocidade Qual deveria ser a interpretação física desse parâmetro Na próxima aula você verá por que ele não é igual a 2V Podemos colocar o fator γ em evidência e agrupar os termos envolvendo x e t x γ² 1 V²c²x 2Vt 436 x γcx Vc t 440 x x 441 y γy Vt 442 z z 443 t γ t Vc²y 444 Causalidade relativıstica M ODULO 1 AULA 5 Aula 5 Causalidade relativıstica Meta da aula Analisar os conceitos de passado e futuro e o princıpio da causalidade na teoria da relatividade Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Identificar as situacoes em que o ordenamento temporal de dois deter minados eventos e invariante Apresentar a condicao para a existˆencia de conexao causaefeito entre dois eventos quaisquer Prerequisitos Para compreender esta aula e recomendavel ler e realizar as atividades propostas nas aulas anteriores desta disciplina Em especial os conteudos das Aulas 2 relatividade da simultaneidade e 4 transformacao de Lorentz serao muito importantes Passado e futuro na teoria da relatividade Como vocˆe aprendeu ao longo das quatro aulas anteriores a relatividade do tempo e da simultaneidade e um dos aspectos mais fundamentais e menos intuitivos da teoria da relatividade Eventos simultˆaneos para um determinado referencial podem ocorrer em tempos diferentes de acordo com a perspectiva de um segundo referencial Ja mencionamos brevemente na Aula 2 que o ordenamento temporal de dois determinados eventos digamos A e B nao e em geral igual para referenciais diferentes Em outras palavras dois referenciais diferentes podem nao concordar sobre qual dos dois eventos ocorreu primeiro ou se ocorreram simultaneamente Vamos analisar esta questao a partir da transformacao de Lorentz que vocˆe estudou na Aula 4 Sejam tA e xA as coordenadas espacotemporais do evento A no refe rencial S e tB e xB as coordenadas do evento B neste mesmo referencial 77 CEDERJ Vamos supor que para o referencial S B tenha ocorrido depois de A tB tA Causalidade relativıstica M ODULO 1 AULA 5 Figura 51 Em relacao ao referencial S os detectores D1 e D2 se movem com veloci dade v ao longo do sentido positivo do eixo OX As posicoes em que os detectores estavam no momento da emissao estao representadas por linhas tracejadas Nesta figura tambem indicamos o movimento do referencial S em relacao a S com velocidade 2v ao longo do sentido positivo do eixo OX se vocˆe esta lendo simultaneamente a Aula 2 note que estamos usando uma notacao diferente da usada naquela aula para nomear os diferentes re ferenciais Para determinar a velocidade v dos detectores em relacao a S vamos supor que v c Nesse caso a lei de composicao de velocidades de Galileu e uma boa aproximacao para a lei de composicao relativıstica que vocˆe estudara na proxima aula Assim podemos tomar a aproximacao v v 2v v O sinal negativo significa que do ponto de vista do re ferencial S os detectores se deslocam para a esquerda sentido negativo do eixo OX como mostra a Figura 52 Figura 52 Ponto de vista do referencial S E muito simples entender de forma intuitiva por que os detectores se deslocam para a esquerda Quando estamos no interior de um automovel que ultrapassa um ˆonibus na estrada temos a sensacao de que este anda para tras ao observalo do ponto de vista do interior do automovel O referencial do automovel e o analogo de S e o ˆonibus desempenha o papel dos nossos dois detectores 79 CEDERJ Causalidade relativıstica Como consequˆencia deste sentido do movimento dos detectores agora e o detector D1 que se afasta e o detector D2 que se aproxima da fonte invertendo a situacao descrita pelo referencial S compare as Figuras 51 e 52 Portanto do ponto de vista do referencial S e D2 que ira detectar a luz primeiro Para o referencial S o evento A e posterior ao evento B t A t B invertendo o ordenamento temporal observado no referencial S Observe que estamos discutindo um unico par de eventos utilizando duas descricoes diferentes associadas aos referenciais S e S Em cada descricao a sequˆencia temporal em que os dois eventos ocorrem e diferente B depois de A de acordo com S A depois de B de acordo com S Na Atividade Final 5 vocˆe vai mostrar que para o referencial S o in tervalo de tempo entre os eventos vale tB tA vLc2 ao passo que para o referencial S podemos usar a a Equacao 53 para obter t B t A vLc2 observe a diferenca de sinal Para uma distˆancia L 10m e uma veloci dade v 10ms o intervalo de tempo em S vale apenas 1 11015seg Como e muito difıcil medir um tempo tao curto na pratica ambos os referenciais concluiriam neste exemplo que os eventos foram simultˆaneos dentro da in certeza experimental Isso mostra que o problema de ordenamento temporal nao e importante na maioria das situacoes praticas do diaadia nas quais podemos nos guiar por nossa intuicao Newtoniana de tempo absoluto Cone de luz Vamos a partir deste ponto inverter a discussao analisando a condicao para que este tipo de ambiguidade sobre o ordenamento temporal nao aconteca Mostraremos que se o comprimento xB xA for suficientemente pequeno lembre que x representa o modulo do numero x todos os referenciais se deslocando ao longo da direcao do eixo OX concordarao com o ordenamento temporal obtido no referencial S Qual e entao a condicao a ser satisfeita pelo evento B para que ele seja posterior a A em todos esses referenciais Se xB xA c tB tA 54 entao para qualquer referencial S vale a desigualdade V c xB xA c tB tA 55 ja que sua velocidade V deve sempre satisfazer a condicao V c 1 De acordo com a Equacao 53 teremos nesse caso t B t A para qualquer re ferencial S se movendo ao longo da direcao do eixo OX inclusive aqueles CEDERJ 80 Figura 53 Neste exemplo a direção que liga os pontos espaciais em que os eventos A e B ocorreram é paralela ao eixo OX Causalidade relativıstica Figura 54 A diferenca temporal entre os eventos e minimizada para referenciais com velocidade V paralela a direcao que liga os pontos espaciais Pelo argumento de isotropia equivalˆencia entre as varias direcoes do espaco a condicao para esta classe de referenciais e analoga a Equacao 54 com a distˆancia d desempenhando o papel do comprimento xB xA Portanto a condicao para que t B t A 0 para qualquer referencial S independentemente da direcao do seu movimento em relacao a S e dada por uma desigualdade analoga a 54 com xB xA substituıdo por d d c tB tA 57 Em termos do intervalo relativıstico ao quadrado definido na Aula 2 s2 c2tB tA2 d2 58 podemos expressar esta condicao pela desigualdade s2 0 Quando o inter valo satisfaz a desigualdade s2 0 dizemos que ele e do tipo tempo pois neste caso existe um referencial para o qual as coordenadas espaciais dos dois eventos sao iguais como ilustraremos num exemplo mais adiante Note que essa e uma propriedade intrınseca do par de eventos nao dependendo do referencial escolhido para descrevˆelos ja que s2 assume o mesmo valor em todos os referenciais O ordenamento temporal tambem e invariante quando s2 0 e nesse caso dizemos que o intervalo e do tipo luz Por outro lado quando s2 0 o ordenamento temporal dos dois eventos nao e o mesmo para todos os re ferenciais Em particular existe nesse caso um referencial para os quais os eventos sao simultˆaneos e por isso dizemos que o intervalo e do tipo espaco Para o exemplo dos dois detectores discutido anteriormente este referencial seria o referencial proprio dos detectores neste referencial as deteccoes sao simultˆaneas ja que os detectores estao em repouso e sao equidistantes da fonte no momento da emissao CEDERJ 82 É imediato verificar que dois eventos associados a um intervalo de tipo tempo não poderiam ser simultâneos em nenhum referencial Figura 55 Pontos espaciais em que ocorreram os eventos A e B Causalidade relativıstica M ODULO 1 AULA 5 Figura 56 Cone de luz relativo ao evento A No caso mais geral para valores arbitrarios de z a desigualdade 57 define uma esfera solida de raio ct tA para cada tempo t em vez de um disco O conjunto das varias bolas forma um hipercone no espacotempo quadridimensional O corte ou secao do hipercone associado a z zA define o cone tri dimensional mostrado na Figura 56 Se tomarmos mais um corte nos restringindo aos eventos com y yA obtemos a regiao bidimensional mos trada em cinza na Figura 57 Ela corresponde justamente a desigualdade 54 que se refere aos eventos cujas posicoes espaciais estao alinhadas com a direcao do eixo OX Figura 57 Os eventos B e D estao respectivamente no futuro e no passado absolutos de A O evento C ocorreu apos o evento A para o referencial S mas existem referenciais para os quais ele ocorreu antes de A 85 CEDERJ Causalidade relativıstica Nesta figura indicamos as coordenadas espacotemporais do evento B que esta no interior do cone de luz de A correspondendo ao futuro absoluto de A Isto significa que as coordenadas espacotemporais de B xB e tB satisfazem a desigualdade 54 O evento D tambem esta no interior do cone de luz e satisfaz esta desigualdade mas corresponde ao passado absoluto de A Por outro lado o evento C que esta fora do cone ocorreu apos o evento A de acordo com o referencial S mas nao de acordo com os referenciais que se deslocam ao longo do eixo OX com velocidade V na faixa definida pelas desigualdades V0 V c onde V0 c2tC tA xC xA 512 Observe que a condicao V0 c e satisfeita ja que xC xA ctC tA Exercıcio 52 Mostre que o evento C indicado na Figura 57 ocorre antes do evento A de acordo com os referenciais que se deslocam ao longo do eixo OX com velocidades em relacao ao referencial S V V0 Como o intervalo entre A e C e do tipo espaco existe um referencial para o qual os eventos sao simultˆaneos qual e ele Sugestao use a Equacao 53 com tB e xB substituıdos por tC e xC Resposta tratase do referencial que se desloca em relacao a S com velocidade V V0 CEDERJ 86 Causalidade relativıstica M ODULO 1 AULA 5 Exercıcio 53 Forneca exemplos para as coordenadas de eventos B C e D que estejam em relacao ao evento A no futuro absoluto no futuro fora do cone de luz correspondendo a um intervalo tipo espaco e no passado absoluto respectivamente como na Figura 57 Tome os seguintes valores para as coordenadas do evento A tA 0 e xA 0 Resposta comentada para o evento B quaisquer valores de xB e tB que satisfacam xB ctB Por exemplo xB 1m e tB 2seg Para C quaisquer valores com 0 ctC xC Uma possibilidade seria xC 4108m e tC 1seg Para D quaisquer valores que satisfacam ambas as desigualdades tD 0 e xD ctD Digamos xD 20m e tD 3seg Princıpio da causalidade Os conceitos de passado e futuro absolutos estao relacionados a possi bilidade de conexao causal entre dois eventos Suponha que o evento A seja a causa do evento B Por exemplo A pode ser o evento arremesso de uma pedra e B o evento quebra de uma janela Vamos supor que a quebra da janela seja consequˆencia ou efeito do arremesso da pedra Todos os re ferenciais inerciais devem estar de acordo sobre o fato de que B e causado por A porque o conceito de causaefeito e absoluto ele nao pode depender de qual referencial e escolhido para descrever os eventos Como o efeito e necessariamente posterior a sua causa entao B deve ocorrer depois de A qualquer que seja o referencial usado na descricao dos eventos A e B Por tanto B deve estar na parte superior do cone de luz de A que corresponde ao futuro absoluto de A como mostra a Figura 58 Este e o princıpio da causalidade 87 CEDERJ Causalidade relativıstica Figura 58 O evento A pode ser causa dos eventos B e E mas nao do evento C Para o exemplo discutido aqui esta propriedade pode ser demonstrada explicitamente Digamos que a pedra se desloca ao longo do sentido positivo do eixo OX com velocidade constante v Entao se xB 0 e a coordenada que fornece a posicao da janela o instante de tempo tB em que a pedra quebra a janela e tal que xB xA v tB tA 513 ja que xB xA e a distˆancia percorrida pela pedra desde o arremesso ate a colisao com a janela Como v c entao a Equacao 513 implica 0 xB xA ctB tA em acordo com a desigualdade 54 Como o intervalo entre os eventos A e B e do tipo tempo existe um referencial em relacao ao qual as coordenadas espaciais dos dois eventos sao idˆenticas No exemplo considerado aqui tratase do referencial proprio da pedra De fato as coordenadas espaciais dos dois eventos sao idˆenticas nesse caso porque elas marcam a posicao da pedra que esta em repouso neste referencial e a janela que se aproxima com velocidade v ate colidir com a pedra Em lugar de quebrar a janela com uma pedra poderıamos usar um laser de alta potˆencia Digamos entao que A seja o evento emissao de um pulso de luz laser O pulso se propaga no vacuo em direcao a janela com velocidade c Chamemos E o evento quebra da janela por meio do pulso de luz Pelo mesmo argumento do caso anterior as coordenadas xE e tE satisfazem xE xA c tE tA 514 pois basta trocar v na Equacao 513 pela velocidade do pulso c CEDERJ 88 Causalidade relativıstica M ODULO 1 AULA 5 Pela Equacao 514 o evento E esta bem sobre a fronteira do cone de luz de A o intervalo entre A e E e do tipo luz E tambem satisfaz a condicao 54 e portanto esta no futuro absoluto de A como deveria ser ja que E e explicitamente causado por A Nestes dois exemplos a localizacao do evento quebra da janelano futuro absoluto e consequˆencia do fato de que a conexao causal se da por meio de uma propagacao com velocidade menor ou igual a c No primeiro exemplo a conexao e mediada pelo movimento da pedra em direcao a janela com velocidade v c No segundo exemplo ela e mediada pela propagacao do pulso de luz com velocidade igual a c O que aconteceria se pudessemos estabelecer uma conexao com veloci dade maior do que c Neste caso estarıamos causando um evento localizado fora do futuro absoluto como o evento C da Figura 58 Vocˆe mostrou no Exercıcio 52 que do ponto de vista de varios referenciais o evento C ocorreu antes de A Assim se C fosse causado por A isto estaria violando um princıpio muito fundamental a de que um efeito e sempre posterior a sua causa Devemos entao concluir que nenhuma conexao superluminal isto e com velocidade maior do que a da luz no vacuo pode ocorrer E impossıvel enviar qualquer sinal ou informacao com velocidade superluminal imagine no exemplo da janela que a destruıssemos enviando um sinal para um me canismo de disparo de uma bomba colocada ao seu lado Este e um limite de carater fundamental e nao apenas uma limitacao tecnologica passageira porque esta ligado ao princıpio da causalidade Qualquer interacao fısica por exemplo a interacao eletromagnetica tem a sua velocidade de pro pagacao limitada por c 89 CEDERJ Causalidade relativıstica Exercıcio 54 Um cantor de opera resolve demonstrar a potˆencia da sua voz destruindo uma janela situada a d 5m de distˆancia Calcule o tempo transcorrido entre o grito do cantor e a quebra da janela e mostre que o segundo evento esta no futuro absoluto do primeiro A velocidade de propagacao do som no ar vale vs 340ms Solucao seja A o evento gritoe B o evento quebra da janela Sem perda de generalidade podemos supor tA 0 e xA 0 As coordenadas do evento B sao xB d 5m e tB dvs 00147seg aproximadamente 15 milesimos de segundo Note que ctB cvsxB 147 106m xB portanto o evento B satisfaz a desigualdade 54 logo esta no futuro ab soluto de A Isto e consequˆencia de a velocidade do som ser menor do que c Conclusao Nesta aula discutimos em detalhe o problema do ordenamento tempo ral de dois eventos Mostramos que em alguns casos este ordenamento pode ser diferente para referenciais diferentes Para que um determinado evento B seja posterior ao evento A para todos os referenciais ele precisa estar lo calizado na metade superior do cone de luz de A Esta e a condicao para que B possa ser consequˆencia de A Discutimos varios exemplos de eventos conectados por uma relacao de causaefeito Em todos eles a conexao causal e mediada por uma propagacao com velocidade menor ou igual a c E justa mente esta limitacao da velocidade que garante que o evento efeitoesteja sempre no futuro absoluto do evento causa Atividades Finais As solucoes das questoes 4 e 5 sao apresentadas no final da aula 1 Escreva a condicao para que um determinado evento B esteja no futuro absoluto de um evento A Represente graficamente as regioes do espaco tempo associadas ao futuro e ao passado absolutos de A cone de luz 2 Determine a condicao para que possa existir conexao causal entre dois determinados eventos CEDERJ 90 3 Explique por que não é possível a propagação de sinal com velocidade maior do que a velocidade da luz 4 Um torcedor muito supersticioso assistiu pela televisão em sua casa no Rio de Janeiro à final da Copa do Mundo de 2002 realizada em Tóquio A seleção brasileira fez o seu primeiro gol 1 centésimo de segundo após o torcedor ter colocado o seu boné de sorte de acordo com o referencial terrestre Para a distância entre o torcedor e o estádio tome o valor do diâmetro da Terra Suponha que o referencial terrestre seja aproximadamente inercial a Este gol pode ter sido causado ou influenciado pelo gesto do torcedor Justifique b Determine um referencial para o qual o gol ocorreu antes do gesto do torcedor 5 Em relação ao referencial S mostrado na Figura 51 os detectores D1 e D2 se movimentam com velocidades iguais a v ao longo do sentido positivo do eixo OX A distância entre os detectores leva L No instante t 0 uma fonte de luz equidistante dos detectores é ligada e o detector D1 se encontra na posição de coordenada x 0 Chame A o evento detecção de luz por D1 e B o evento detecção de luz por D2 O referencial S se desloca em relação a S com velocidade 2v também ao longo do sentido positivo do eixo OX Ao resolver os itens a seguir suponha que v c e despreze termos da ordem de vc² a Calcule as coordenadas espaçotemporais dos eventos A e B no referencial S Determine o intervalo de tempo tB tA entre os eventos observado por este referencial b Calcule o intervalo de tempo tB tA observado pelo referencial S por dois métodos diferentes utilizando a Equação 53 e por meio da análise do movimento dos detectores no referencial S Resumo O evento B está no cone de luz do evento A se as suas coordenadas espaçotemporais satisfazem a desigualdade xB xA² yB yA² zB zA² ctB tA Esta é a condição para que possa existir conexão causal entre A e B Causalidade relativıstica E na proxima aula vamos derivar a lei de composicao de velocidades relativıstica Solucao da questao 4 a Seja A o evento torcedor colocou bonee B o evento selecao fez o primeiro gol No referencial terrestre o intervalo de tempo entre os eventos e tal que ctB tA 3 106m A distˆancia entre as posicoes em que ocorreram os eventos vale d 13 107m Como d ctB tA o intervalo entre os eventos e do tipo espaco e A nao pode ser a causa de B nem mesmo parcialmente b Tome um referencial inercial se movendo em relacao ao referencial terrestre ao longo da direcao que liga as cidades do Rio de Janeiro e Toquio no sentido RioToquio Se a velocidade do referencial for maior do que V0 c2tB tAd 0 23 c 6 9 107mseg entao para este referencial o gol aconteceu antes do gesto do torcedor E por esta razao que este nao pode ser a causa daquele Solucao da questao 5 Comentario inicial na Atividade Final 4 da Aula 2 vocˆe fez uma analise semelhante pedida aqui exceto por uma diferenca fundamental la vocˆe usou a lei de composicao de velocidades para a propagacao da luz porque o objetivo era analisar o problema a luz da Fısica Newtoniana Aqui ao contrario vamos usar o postulado da invariˆancia da velocidade da luz e usar explicitamente que ela tem o mesmo valor em todas as direcoes e para todos os referenciais independentemente do movimento da fonte a O tempo transcorrido entre a emissao de luz e a deteccao por D1 vale tA D1 percorre uma distˆancia igual a vtA durante este intervalo e a luz percorre uma distˆancia igual a ctA A Figura 59 mostra que a soma dessas duas distˆancias e igual a separacao entre a fonte e D1 que vale L2 Temos entao ctA vtA L 2 515 e logo tA L 2c v 516 CEDERJ 92 Causalidade relativıstica M ODULO 1 AULA 5 Figura 59 Descricao pelo referencial S entre os instantes de emissao e deteccao da luz D1 se aproxima da fonte de uma distˆancia vtA As coordenadas do evento A sao tA e xA vtA vL 2c v 517 De forma analoga tB representa o intervalo de tempo entre a emissao de luz e a deteccao por D2 Para atingir D2 a luz precisa percorrer uma distˆancia maior do que L2 devido ao movimento do detector que esta se afastando da fonte De acordo com a Figura 510 temos ctB vtB L 2 518 e logo tB L 2c v 519 Figura 510 Descricao pelo referencial S D2 se afasta da fonte A coordenada espacial de B vale xB L vtB L vL 2c v 520 93 CEDERJ Comparando as Equações 516 e 519 podemos concluir que tB tA em acordo com a discussão qualitativa no início da aula já que cv cv Ainda de acordo com estas equações o intervalo de tempo entre os eventos vale tB tA L 2 1 cv 1 cv vL c²1 v²c² Podemos colocar c² em evidência tB tA vL c²1 v²c² Desprezando o termo vc² obtemos tB tA vL c² b Vamos começar calculando tB tA a partir da Equação 53 e dos resultados obtidos para xB e xA dados pelas Equações 517 e 520 respectivamente tB tA γ tB tA 2v c² L vtB tA Substituindo nesta equação o resultado para tB tA dado pela Equação 522 obtemos tB tA γ 1 2v² c² vL c²1 v²c² 2vL c² Desprezando os termos com vc² nesse caso γ 1 nesta equação obtemos tB tA vL c² Portanto tB tA tem sinal oposto ao de tB tA Para o referencial S B ocorre antes de A embora B ocorra depois de A do ponto de vista de S Vamos calcular tB tA por meio de um segundo método analisando as Figuras 511 e 512 onde apresentamos o ponto de vista de S para os dois eventos Neste referencial os detectores se movem para a esquerda com velocidade em módulo aproximadamente igual a v Note que podemos usar a lei de composição de Galileu para analisar os detectores porque v c Por outro lado certamente não podemos usála para analisar a velocidade de propagação da luz Causalidade relativıstica M ODULO 1 AULA 5 Chamemos t 0 o instante de emissao de acordo com o referencial S Entre os instantes da emissao e deteccao D1 se afastou de vt A t 0 De acordo com a Figura 511 temos ct A t 0 vt A t 0 L 2 527 e logo t A t 0 L 2c v 528 Figura 511 Ponto de vista do referencial S D1 se afasta da fonte Por outro lado o detector B se aproxima da fonte a distˆancia vt Bt 0 de acordo com a descricao do referencial S Pela Figura 512 temos ct B t 0 vt B t 0 L 2 529 e entao t B t 0 L 2c v 530 Figura 512 Ponto de vista do referencial S D2 se aproxima da fonte Combinando estes resultados obtemos novamente o resultado dado pela Equacao 526 95 CEDERJ Composicao de velocidades e quadrivelocidade M ODULO 1 AULA 6 Aula 6 Composicao de velocidades e quadrivelocidade Meta da aula Derivar a lei de composicao de velocidades relativıstica e apresentar o conceito de quadrivelocidade Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de descrever e utilizar a lei de composicao de velocidades relativıstica escrever as regras de transformacao de um quadrivetor definir a quadrivelocidade de um partıcula Prerequisitos Para compreender esta aula e recomendavel ler e realizar as atividades propostas nas aulas anteriores desta disciplina Os topicos listados a seguir serao particularmente importantes espacotempo Aula 2 tempo proprio Aula 3 transformacao de Lorentz Aula 4 Tambem e interessante rever a lei de composicao de velocidades de Galileu apresentada na Aula 13 da disciplina Fısica 1A Introducao Nesta aula vamos concluir a nossa introducao a cinematica relativıstica apresentando dois topicos relacionados a lei de composicao de velocidades relativıstica e o conceito de quadrivelocidade Apos esta aula vocˆe estara preparado para aprender na proxima aula nocoes basicas de dinˆamica rela tivıstica 97 CEDERJ Lei de composição de velocidades relativística Mais uma vez nosso ponto de partida é a transformação de Lorentz que fornece as coordenadas espaçotemporais de um determinado evento no referencial S a partir das coordenadas no referencial S x γx Vt 61 y y 62 z z 63 t γt Vc² x 64 onde V é a velocidade de S em relação a S ao longo do sentido positivo do eixo OX Note que o vetor V que representa a velocidade de S é paralelo a esse eixo e o seu sentido coincide com o sentido positivo de OX Podemos descrever o movimento de uma partícula no referencial S pelas três funções xt yt e zt que determinam a sua posição num tempo t qualquer As derivadas dessas funções representam as componentes cartesianas do vetor velocidade v da partícula de acordo com o referencial S veja a Figura 61 vx dxdt 65 vy dydt 66 vz dzdt 67 Figura 61 Velocidade v de uma partícula em relação ao referencial S O referencial S se move em relação a S com velocidade V ao longo do sentido do eixo OX Para o referencial S a velocidade v dessa mesma partícula é dada de forma análoga pelas derivadas das funções xt yt e zt note que nesse caso derivamos em relação a t que é o tempo do referencial S vx dxdt 68 vy dydt 69 vz dzdt 610 Podemos derivar a relação entre os vetores v e v a partir da transformação de Lorentz para as coordenadas espaçotemporais Das Equações 6164 obtemos dx γdx V dt 611 dy dy 612 dz dz 613 dt γdt Vc² dx 614 Combinando as Equações 611 e 614 encontramos dxdt dxdt V1 Vdxdtc² 615 Comparando com as Equações 65 e 68 obtemos vx vx V 1 vxc² 616 De forma análoga obtemos para as demais componentes vy vy γ1 vxc² 617 vz vz γ1 vxc² 618 As Equações 616618 fornecem a lei de composição de velocidades relativística Exercício 61 Obtenha a Equação 617 a partir das Equações 612 e 614 Composicao de velocidades e quadrivelocidade Embora os deslocamentos infinitesimais transversais a velocidade V dy e dz sejam invariantes as componentes transversais da velocidade sao diferentes em S e S conforme mostram as Equacoes 617 e 618 Essa propriedade decorre da diferenca entre os intervalos de tempo infinitesimais dt e dt No exercıcio a seguir voce ira inverter as Equacoes 616618 para obter a velocidade no referencial S em termos da velocidade em S Exercıcio 62 Partindo das Equacoes 616618 determine as componentes cartesianas de v em termos das componentes de v Sugestao comece pela Equacao 616 Resposta vx v x V 1 V vx c2 619 vy v y γ1 V vx c2 620 vz v z γ1 V vx c2 621 O resultado desse exercıcio poderia ser obtido sem nenhum calculo Pelo princıpio da relatividade a regra de transformacao de S para S deve ter a mesma forma da transformacao de S para S Afinal S e S nao possuem nenhum atributo especial e o que vale para o primeiro certamente valera para o segundo Como S se move em relacao a S com velocidade V a transformacao de S para S deve ter a mesma forma das 616618 bastando trocar V por V lembre que o mesmo argumento foi usado para a propria transformacao de Lorentz na Aula 4 Compare as Equacoes 616 618 com as 619621 Usando a Equacao 619 vocˆe sera capaz de compreender melhor o resultado da Atividade Final 5 da Aula 4 Nesta atividade vocˆe havia tomado duas transformacoes de Lorentz sucessivas de S para S e de S CEDERJ 100 Composicao de velocidades e quadrivelocidade M ODULO 1 AULA 6 e S Nos dois casos a velocidade relativa entre os referenciais valia V Vocˆe havia mostrado que a transformacao de S para S obtida pela composicao das duas transformacoes tinha a forma da transformacao de Lorentz associada a uma velocidade Vc 2V1 V 2c2 Pela Equacao 619 a velocidade de S em relacao a S tem justamente este valor O limite naorelativıstico e a lei de composicao de velocidades de Galileu Na maioria das situacoes do nosso diaadia as velocidades envolvidas tanto da partıcula como do referencial S em relacao a S sao muito me nores do que a velocidade da luz c Como ja discutimos nas aulas anteriores esse regime e conhecido como limite naorelativıstico Neste limite podemos desprezar o termo V vxc2 nas Equacoes 616618 assim como os termos da ordem de V 2c2 o que permite tomar γ 1 Entao obtemos neste limite v x vx V 622 v y vy 623 v z vz 624 Essas trˆes equacoes podem ser condensadas numa unica equacao veto rial se lembrarmos de que o vetor V que representa a velocidade de S em relacao a S possui componentes y e z nulas ja que S se desloca ao longo do eixo OX do referencial S veja novamente a Figura 61 Podemos entao escrever a equacao vetorial v v V 625 que e a lei de composicao de velocidades de Galileu Este e mais um exem plo em que obtemos o resultado da Mecˆanica Newtoniana no limite nao relativıstico vocˆe ja viu na Aula 3 por exemplo que o efeito de dilatacao temporal e desprezıvel neste limite resgatando a nocao Newtoniana de tempo absoluto Em outras palavras a Mecˆanica Newtoniana e uma boa apro ximacao da teoria da relatividade quando as velocidades sao muito menores do que c como no exemplo proposto pelo exercıcio a seguir 101 CEDERJ Composicao de velocidades e quadrivelocidade Exercıcio 63 Um ˆonibus se desloca com velocidade V de modulo igual a 80kmh em relacao ao referencial da estrada Ele e ultrapassado por um carro que se desloca com velocidade v relativa a S paralela a V de modulo igual a 100kmh como mostra a Figura 62 S e o referencial proprio do ˆonibus Portanto ele e o referencial associado a um observador sentado no interior do ˆonibus Determine a velocidade do carro medida por um observador no interior do ˆonibus velocidade v em relacao a S Podemos usar a lei de composicao de velocidades de Galileu neste exemplo Justifique Solucao neste exemplo as velocidades sao muito menores do que c e portanto a lei de composicao de Galileu dada pela Equacao 625 fornece uma otima aproximacao Como os vetores V e v sao paralelos e tˆem o mesmo sentido a diferenca v V tem modulo igual a v V 40kmh Este e o modulo da velocidade medida no referencial S do ˆonibus Podemos verificar que a expressao relativıstica exata dada pela Equacao 616 fornece na pratica o mesmo resultado Para isto precisamos calcu lar o termo V vxc2 V vc2 8 2 1015 note que tomamos o eixo OX ao longo da direcao das velocidades O resultado exato e entao dado por v 40 1 8 2 1015kmh 626 Este resultado e tao proximo de 40kmh que a sua calculadora nao sera capaz de apontar a diferenca De fato o resultado e v 40 3 3 1013kmh 40 00000000000033kmh Assim a correcao relativıstica 3 3 1013kmh e completamente des prezıvel e certamente muito menor do que as incertezas na determinacao experimental das velocidades As previsoes da teoria da relatividade nos parecem sempre contra intuitivas quando lidamos com situacoes distantes do limite naorelativıstico Na atividade proposta a seguir vamos analisar um exemplo deste tipo Cui dado Para a atividade a seguir a lei de composicao de Galileu nao e uma boa aproximacao CEDERJ 102 Composicao de velocidades e quadrivelocidade M ODULO 1 AULA 6 Figura 62 No referencial S da estrada um ˆonibus se movimenta com velocidade V Ele e ultrapassado por um carro com velocidade v S representa o referencial proprio do ˆonibus Exercıcio 64 No referencial terrestre S um muon confira a Aula 3 de velocidade V 0 998c e ultrapassado por um feixe de luz de velocidade c como mostra a Figura 63 Calcule a velocidade v do feixe em relacao ao referencial proprio S do muon Mostre que neste exemplo nao podemos usar a lei de composicao de velocidades de Galileu Solucao vamos novamente escolher os eixos cartesianos de forma a ter os vetores V e v este representando a velocidade do feixe no referencial S com v c paralelos ao eixo OX Portanto vy vz 0 fornecendo pelas Equacoes 617 e 618 v y v z 0 Assim o vetor v tambem e paralelo ao eixo OX e aos vetores V e v O seu modulo e igual a v x que e dado pelo Equacao 616 v c V 1 V c c2 c V 1 V c c 627 Portanto a velocidade da luz no referencial S tambem vale c nao importando o valor da velocidade V de S em relacao a S Se tivessemos usado a lei de composicao de Galileu terıamos obtido c V 0 002c para a velocidade do feixe em relacao ao referencial S Este valor e muito diferente do resultado correto 103 CEDERJ Composicao de velocidades e quadrivelocidade Figura 63 Um feixe de luz se propaga com velocidade v de modulo igual a c ao longo da mesma direcao e sentido do muon Vocˆe poderia ter antecipado o resultado do exercıcio anterior mesmo se nao soubesse nada sobre a lei de composicao de velocidades relativıstica Como vocˆe viu na Aula 2 a invariˆancia da velocidade da luz que vale c 3 0 108ms em todos os referenciais inerciais foi um dos dois postulados fundamentais a partir dos quais Einstein construiu a teoria da relatividade restrita Naturalmente a lei de composicao de velocidades relativıstica deve necessariamente estar em acordo com este postulado fundamental ja que ela e derivada no contexto da teoria da relatividade Em contrapartida a lei de composicao de Galileu e claramente incom patıvel com este postulado como exemplificado pelo exercıcio anterior Ao romper com esta lei somos obrigados a romper tambem com a Mecˆanica Newtoniana De fato para que a segunda lei de Newton fosse compatıvel com o princıpio da relatividade seria preciso que a aceleracao de uma dada partıcula tivesse o mesmo valor em diferentes referenciais inerciais Isto ga rantiria que as leis da Mecˆanica teriam a mesma forma em todos os referen ciais inerciais conforme exigido pelo princıpio da relatividade Basta derivar em relacao ao tempo ambos os lados da Equacao 625 para concluir que esta propriedade seria verdadeira se valesse a lei de composicao de Galileu Entretanto ao trocar a lei de Galileu pela lei de composicao relativıstica a aceleracao deixa de ser invariante Em outras palavras a aceleracao de uma dada partıcula e diferente para diferentes referenciais de acordo com a cinematica relativıstica Portanto podemos concluir que os postulados da teoria da relatividade sao incompatıveis com a Mecˆanica Newtoniana o que mostra a necessidade de trocala por uma nova dinˆamica construıda em sintonia com a cinematica relativıstica Na proxima aula faremos uma breve introducao a dinˆamica re lativıstica Para podermos iniciar esta nova etapa precisamos ainda de mais CEDERJ 104 um conceito de cinemática relativística apresentado a seguir que irá preparar o terreno para a definição de momento linear na teoria da relatividade Para explorar esta analogia mais a fundo dizemos que ct x y z é um quadrivetor Assim como o quadrivetor posição está associado a uma grandeza invariante s2 dado pela Equação 632 qualquer quadrivetor tem a quantidade invariante Composicao de velocidades e quadrivelocidade embora ela nao mude de valor quando passamos para um referencial se mo vendo ao longo da direcao do eixo OX como mostra a Equacao 617 De fato ela nao tem o mesmo valor em todos os referenciais inerciais Em parti cular o seu valor e modificado para os referenciais que se deslocam ao longo da direcao do eixo OY A seguir vocˆe ira conhecer um segundo exemplo de quadrivetor Quadrivelocidade Vamos voltar a situacao apresentada no inıcio da aula o movimento de uma partıcula e descrito pelo referencial S atraves das trˆes funcoes do tempo xt yt zt que representam as componentes cartesianas do vetor posicao espacial rt Para cada valor do tempo t medido em S sabemos que rt e a parte espacial do quadrivetor posicao ct xt yt zt associado ao evento passagem da partıcula pelo ponto espacial rt Observe que a velocidade v dr dt da partıcula e um vetor no espaco tridimensional Sera que ela e a parte espacial de um quadrivetor Para responder a esta pergunta precisamos analisar como a velocidade se transforma quando passamos para um referencial S se movendo ao longo da direcao do eixo OX Este e justamente o problema de composicao de velocidades que vocˆe estudou na primeira parte desta aula Analisando as Equacoes 617 e 618 vocˆe chegara rapidamente a conclusao que v nao e a parte espacial de um quadrivetor ja que v y vy e v z vz ao passo que pelas Equacoes 635 e 636 estas componentes nao poderiam mudar se v fosse a parte espacial de um quadrivetor Ja comentamos nesta aula sobre a razao de vy dy dt ser diferente de v y dy dt um argumento em tudo analogo vale para vz Embora dy seja igual a dy porque S se move ao longo da direcao do eixo OX o intervalo de tempo infinitesimal dt medido em S e diferente do intervalo dt medido em S Este argumento sugere que se dividıssemos dy por alguma grandeza infinitesimal invariante de Lorentz terıamos como resultado a componente de um quadrivetor De forma mais rigorosa devemos derivar y em relacao a algum parˆametro invariante com dimensao fısica de tempo em lugar de derivar em relacao ao tempo t do referencial S CEDERJ 108 Você já conhece da Aula 3 um parâmetro com estas propriedades o tempo próprio τ Ele representa o tempo medido no referencial inercial em relação ao qual a partícula está instantaneamente em repouso referencial próprio Por construção o tempo próprio τ é invariante de Lorentz ao contrário do tempo t do referencial S Assim se derivamos o quadrivetor posição ct x y z em relação a τ devemos obter um quadrivetor com dimensão física de velocidade Vamos então definir a quadrivelocidade U₀ U₁ U₂ U₃ por meio das seguintes equações para as suas quatro componentes U₀ dctdτ 641 U₁ dxdτ 642 U₂ dydτ 643 U₃ dzdτ 644 Você aprendeu na Aula 3 que o tempo do referencial S é dilatado em relação ao tempo próprio τ dt γdτ 645 onde γ 11 v²c² 646 é definido aqui em termos da velocidade da partícula em relação ao referencial S ou de forma equivalente da velocidade do referencial próprio da partícula em relação a S Substituindo este resultado nas Equações 641644 obtemos U₀ γ dctdt γ c 647 U₁ dxdt γ vₓ 648 U₂ dydt γ vᵧ 649 U₃ dzdt γ v𝓩 650 Portanto a quadrivelocidade é da forma γ c γ vₓ γ vᵧ γ v𝓩 Sua parte espacial é o vetor tridimensional γv Exercício 66 Em relação ao referencial da Terra referencial S um elétron se desloca com velocidade v 0 98 c ao longo do sentido positivo do eixo OX Determine a sua quadrivelocidade Solução como as componentes da velocidade vᵧ e v𝓩 são nulas a quadrivelocidade é da forma γ c γ v 0 0 com γ 11 v²c² 11 098² 5 0 Assim a quadrivelocidade vale 50 c 49 c 0 0 Note que neste exemplo a parte espacial da quadrivelocidade tem módulo comparável ao da parte temporal 49 c contra 50 c Esta situação é típica de velocidades relativísticas isto é muito altas próximas de c Observe que nestas situações a parte espacial da quadrivelocidade é muito diferente da velocidade v Em contrapartida para velocidades v 1 temos γ 1 e então a parte espacial é aproximadamente igual à v Nestes situações a componente temporal da quadrivelocidade é muito maior do que o módulo da parte espacial Exercício 67 Calcule a quadrivelocidade do elétron do exercício anterior em relação ao seu referencial próprio por dois métodos diferentes diretamente a partir da definição da quadrivelocidade a partir do valor no referencial S obtido no exercício anterior usando a regra de transformação de um quadrivector dada pelas Equações 633636 Solução como o referencial próprio acompanha o movimento da partícula ela está parada em relação a este referencial v 0 Usando a sua definição a quadrivelocidade vale c 0 0 0 já que γ 1 no caso considerado aqui Vamos agora calcular usando a regra de transformação de um quadrivector No exercício anterior obtemos as componentes em relação ao referencial S U₀ γ c U₁ γ vₓ e U₂ U₃ 0 A Equação 633 fornece então U₀ γU₀ vc U₁ γ γ c vc γ vₓ Colocando γc em evidência temos U₀ γ² c 1 v²c² c Usando a Equação 634 obtemos U₁ γU₁ vc U₀ γ γ vₓ vc γ c 0 As Equações 635 e 636 também fornecem valores nulos para U₂ e U₃ Dessa forma obtemos o mesmo resultado para a quadrivelocidade como se poderia esperar Agora você irá fazer mais um teste para verificar que a quadrivelocidade é de fato um quadrivector analisando uma propriedade muito importante de quadrivectors Composicao de velocidades e quadrivelocidade Exercıcio 68 Conforme discutimos anteriormente para todo quadrivetor a0 a1 a2 a3 a quantidade a2 0 a2 1 a2 2 a2 3 e invariante de Lorentz reveja a Equacao 637 e o Exercıcio 65 Verifique se esta propriedade e satisfeita pelo quadrivetor velocidade calculado nos Exercıcios 66 no referencial S e 67 no referencial S Solucao de acordo com o resultado obtido no Exercıcio 66 no referencial S a quadrivelocidade e da forma γ c γ v 0 0 Temos entao U2 0 U2 1 U2 2 U2 3 γ2c2 γ2v2 γ2c21 v2c2 c2 que e independente de v Nao e difıcil verificar que este resultado e geral qualquer que seja a direcao do vetor velocidade v esta grandeza invariante de Lorentz e independente de v e vale c2 Esta propriedade poderia ser antecipada como o conceito de velocidade necessariamente faz referˆencia a um determinado referencial nao existe velocidade absoluta uma grandeza invariante de Lorentz e logo inde pendente de referencial nao poderia depender de v E imediato verificar para o quadrivetor c 0 0 0 calculado no referencial proprio S que U 0 2 U 1 2 U 2 2 U 3 2 c2 Conclusao Nesta aula derivamos a lei de composicao de velocidades relativıstica a partir da transformacao de Lorentz Um propriedade importante desta lei e a invariˆancia da velocidade da luz em acordo com o postulado discutido na Aula 2 Por outro lado para velocidades muito menores do que c reobtemos como uma aproximacao a lei de composicao de velocidades de Galileu Este e mais um exemplo ilustrando a relacao entre o limite naorelativıstico e a Mecˆanica Newtoniana Na segunda parte da aula apresentamos o conceito de quadrivetor que esta associado a uma regra especıfica de transformacao por mudanca de referencial Apresentamos dois exemplos de quadrivetor o quadrivetor CEDERJ 112 Composicao de velocidades e quadrivelocidade M ODULO 1 AULA 6 posicao e a quadrivelocidade Este segundo exemplo sera o nosso ponto de partida para a introducao do momento relativıstico na proxima aula que sera dedicada a dinˆamica relativıstica Atividades finais As solucoes dos Problemas 2 e 3 serao apresentadas no final da aula 1 Uma partıcula se move em relacao ao referencial S com velocidade v c2 ao longo do sentido positivo do eixo OX S se move em relacao ao referencial S com velocidade V 3c4 ao longo do sentido positivo do eixo OX Determine a velocidade da partıcula em relacao ao referencial S e mostre que o seu modulo e menor do que c Podese mostrar de forma mais geral que o resultado da composicao de duas velocidades menores do que c e sempre menor que c Compare com o resultado da lei de composicao de Galileu Resposta a velocidade e paralela ao eixo OX e seu modulo vale v 1011c c Em contrapartida a lei de composicao de Galileu forneceria 54c c 2 Um feixe de luz se propaga ao longo do sentido positivo do eixo OY do referencial S que se move em relacao ao referencial S com velocidade V ao longo do sentido positivo do eixo OX Determine a velocidade e a direcao de propagacao do feixe em relacao ao referencial S 3 Nesta atividade o objetivo e obter a lei de composicao de velocidades de Galileu a partir da regra de transformacao da quadrivelocidade tomando o limite naorelativıstico Um partıcula se move em relacao ao referencial S com velocidade v c ao longo do sentido positivo do eixo OX como mostra a Figura 64 a Calcule a quadrivelocidade deprezando termos da ordem de vc2 b O referencial S se move em relacao a S com velocidade V c tambem ao longo da direcao do eixo OX veja a Figura 64 Calcule a quadrivelocidade da partıcula no referencial S usando a regra de transformacao de quadrivetores desprezando termos da ordem V 2c2 e V vc2 Mostre que o resultado coincide com a lei de composicao de velocidades de Galileu 113 CEDERJ FÍSICA 4B Composição de velocidades e quadrivelocidade MÓDULO 1 AULA 6 Dinˆamica relativıstica M ODULO 1 AULA 7 Aula 7 Dinˆamica relativıstica Meta da aula Apresentar uma introducao a dinˆamica relativıstica de uma partıcula Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de definir o quadrimomento e o vetor momento relativıstico de uma partıcula determinar a velocidade de uma partıcula sob o efeito de uma forca constante em funcao do tempo calcular as energias total cinetica e de repouso de uma partıcula de massa de repouso e velocidade conhecidas explicar e expressar matematicamente o princıpio de equivalˆencia entre massa e energia escrever a relacao entre energia e momento de uma partıcula Prerequisitos Para compreender esta aula e recomendavel ler e realizar as atividades propostas nas aulas anteriores desta disciplina O conceito de quadrivelo cidade apresentado no final da Aula 6 e especialmente importante para a compreensao desta aula Introducao Nas seis aulas anteriores apresentamos a cinematica relativıstica Vocˆe teve a oportunidade de conhecer detalhadamente varios efeitos cinematicos importantes tais como a dilatacao temporal e a contracao de Lorentz En cerrando o nosso estudo da teoria da relatividade restrita apresentaremos nesta aula alguns dos conceitos basicos da dinˆamica relativıstica Vamos comecar revendo resultados importantes da dinˆamica Newto niana e em seguida discutir o conceito de momento linear na teoria da relatividade Como coroamento do nosso estudo vamos derivar no final da 117 CEDERJ Dinˆamica relativıstica aula o princıpio de equivalˆencia entre massa e energia que se traduz na famosa equacao E mc2 Alguns resultados da dinˆamica Newtoniana Antes de iniciar o estudo da dinˆamica relativıstica vamos fazer uma re visao rapida de alguns conceitos muito importantes da dinˆamica Newtoniana prerelativıstica que vocˆe estudou nos cursos de Fısica 1A e 1B Um dos resultados fundamentais da Mecˆanica Newtoniana e a Segunda Lei de Newton uma partıcula de massa m sob a acao de uma forca F adquire uma aceleracao a F m 71 Ja comentamos que esta Lei nao e compatıvel com o Princıpio da Rela tividade quando empregamos a cinematica relativıstica Para entender como ela sera modificada na teoria da relatividade e interessante escrevˆela em termos do momento linear p mv Newtoniano 72 onde v e a velocidade da partıcula O momento linear desempenha um papel fundamental na Mecˆanica Newtoniana Vocˆe pode ter uma ideia intuitiva sobre o significado do mo mento linear refletindo sobre a seguinte situacao fısica imagine que uma bicicleta e um caminhao se desloquem com a mesma velocidade e colidam contra um muro Qual dos dois ira provocar o maior estrago sobre o muro Sabemos de nossa experiˆencia diaria que o caminhao ira provocar um es trago maior Isto acontece porque ele possui uma massa maior do que a bicicleta Por outro lado esse mesmo caminhao produziria um estrago ainda maior sobre o muro se sua velocidade fosse maior Este exemplo sugere que a grandeza fısica chave nos processos de colisao e o momento linear que na Mecˆanica Newtoniana e o produto da massa pela velocidade como mostra a Equacao 72 De fato o momento linear total de duas partıculas e con servado num processo de colisao entre elas se nenhuma forca externa isto e que nao esteja associada a interacao entre as partıculas atuar sobre elas Para escrever a Segunda Lei de Newton em termos do momento linear p basta lembrar que a aceleracao de uma partıcula e a derivada temporal da sua velocidade a dv dt CEDERJ 118 Dinˆamica relativıstica M ODULO 1 AULA 7 Combinando esta equacao com a Equacao 71 obtemos dp dt F 73 que expressa a Segunda Lei em termos da derivada ou taxa de variacao do momento da partıcula De acordo com este resultado a taxa de variacao do momento de uma partıcula e igual a forca F exercida sobre ela Ao empurrar um carro ini cialmente em repouso vocˆe esta exercendo uma forca aproximadamente cons tante F sobre ele durante um intervalo de tempo t De acordo com a Equacao 73 o carro adquire entao um momento linear p Ft Se em lugar do carro estivessemos empurrando um carrinho de bebˆe com a mesma forca F e durante o mesmo intervalo de tempo o ganho de momento do car rinho seria o mesmo Como o carrinho tem uma massa bem menor do que o carro este momento p mv adquirido corresponderia a uma velocidade de modulo bem maior Para encerrar a nossa breve revisao da Mecˆanica Newtoniana vamos destacar o carater vetorial do momento p Isto significa que a Segunda Lei dada pela Equacao 73 tem a mesma forma qualquer que seja a orientacao dos eixos coordenados utilizados para descrever o movimento da partıcula Se usarmos dois sistemas de eixos com orientacoes diferentes as componen tes cartesianas px py e pz serao diferentes mas o vetor p sera o mesmo nos dois casos pois o conceito de vetor no espaco tridimensional independe do sistema de eixos coordenados Em consequˆencia px py e pz se transformam por uma regra bem especıfica quando rodamos os eixos coordenados como vocˆe estudou na Aula 2 reveja a secao Rotacoes espaciais Esta regra que expressa matematicamente o carater vetorial de p garante que as compo nentes do momento transformadas por rotacao dos eixos tambem satisfacam a Equacao 73 Momento relativıstico No espacotempo quadridimensional da teoria da relatividade o con ceito de quadrivetor que vocˆe estudou na Aula 6 e o analogo do conceito de vetor tridimensional Para que as leis da Mecˆanica sejam as mesmas em todos os referenciais inerciais Princıpio da Relatividade elas devem ser formula das em termos de quadrivetores pois estes se transformam por mudanca de referencial transformacao de Lorentz exatamente da forma necessaria para garantir a equivalˆencia entre os diferentes referenciais inerciais 119 CEDERJ Como na Mecânica Newtoniana a grandeza chave para a dinâmica relativística de uma partícula é o seu momento linear Como definir o quadrivetor momento Você aprendeu na aula anterior que podemos definir a quadrivelocidade de uma partícula gamma c gamma vx gamma vy gamma vz onde gamma frac1sqrt1 fracv2c2 é o fator de Lorentz associado à velocidade vecv da partícula Note que v2 vx2 vy2 vz2 é o módulo ao quadrado da velocidade da partícula Por analogia com a Mecânica Newtoniana vamos multiplicar o quadrivetor pela grandeza que representa a massa da partícula medida no seu referencial de repouso ou referencial próprio Esta grandeza que chamamos massa de repouso ou massa própria m0 representa uma propriedade intrínseca da partícula considerada e não depende do referencial usado para descrever o seu movimento Vamos então definir o quadrimomento da partícula como sendo o produto da sua massa de repouso m0 pelo quadrivetor p0 px py pz m0 gamma c gamma vx gamma vy gamma vz 74 ou de forma mais explícita p0 fracm0 c2sqrt1 fracv2c2 75 px fracm0 vxsqrt1 fracv2c2 76 py fracm0 vysqrt1 fracv2c2 77 pz fracm0 vzsqrt1 fracv2c2 78 A massa de repouso m0 da partícula é um invariante de Lorentz por construção ela tem o mesmo valor em todos os referenciais inerciais Portanto o quadrimomento é definido como o produto de um invariante de Lorentz por um quadrivetor a quadrivelocidade Assim a regra de transformação por mudança de referencial para as quatro componentes do quadrimomento é idêntica à regra de transformação das componentes da quadrivelocidade o que garante que o quadrimomento é de fato um quadrivetor Esta situação é análoga à multiplicação de um vetor no espaço tridimensional por um escalar que é um número invariante por rotações dos eixos coordenados Nesse caso o produto é automaticamente um vetor que se transforma por rotação dos eixos coordenados exatamente como o vetor original A parte espacial do quadrimomento formada pelas componentes px py e pz é um vetor tridimensional que chamamos momento relativístico vecp Pelas Equações 7678 temos vecp gamma m0 vecv fracm0 vecvsqrt1 fracv2c2 79 O momento relativístico é diferente do momento linear da Mecânica Newtoniana definido pela Equação 72 devido à presença do fator de Lorentz gamma na Equação 79 Comparando estas duas equações você poderia concluir que na teoria da relatividade a massa m0 da partícula é trocada pela massa relativística m gamma m0 fracm0sqrt1 fracv2c2 710 que depende da velocidade da partícula Em termos de m o momento relativístico tem a mesma forma da definição Newtoniana de momento dada pela Equação 72 Portanto tudo se passa como se a massa da partícula aumentasse à medida que ela ganhasse velocidade devido à multiplicação pelo fator de Lorentz gamma geq 1 que como você já sabe é tanto maior quanto mais a velocidade se aproxima do seu valor limite c Essa variação da massa relativística com a velocidade tem consequências muito importantes na dinâmica relativística fazendo com que ela seja bastante diferente da dinâmica Newtoniana Observe que no referencial de repouso da partícula temos v 0 e portanto m m0 de acordo com a Equação 710 o que confirma a nossa interpretação de m0 como massa de repouso Em contrapartida para velocidades elevadas comparáveis à velocidade da luz c m se torna muito maior do que a massa de repouso m0 Devido à dependência de m com a velocidade da partícula esta não é proporcional ao momento conforme você irá descobrir no exercício proposto a seguir Exercício 71 Uma partícula de massa de repouso m0 possui momento vecp p hatx ao longo da direção do eixo OX Determine a sua velocidade vecv usando a definição de momento relativístico dada pela Equação 79 Compare o seu resultado com a expressão que seria obtida de acordo com a Mecânica Newtoniana Analise detalhadamente os casos em que p ll m0 c p m0 c e p gg m0 c Faça um gráfico do módulo da velocidade v em função de p Solução pela Equação 79 o vetor velocidade vecv é paralelo ao vetor momento vecp Assim temos vy vz 0 e vecv v hatx Para calcular v em termos de p é preciso inverter a equação fracm0 vsqrt1 fracv2c2 p 711 Para isto elevamos ao quadrado ambos os lados desta equação e multiplicamos pelo denominador da fração no seu lado esquerdo m02 v2 left1 fracv2c2right p2 712 Em seguida agrupamos os termos com v2 do mesmo lado da equação m02 fracp2c2 v2 p2 713 para obter então o resultado v fracpsqrtm02 fracp2c2 714 Para valores pequenos de momento p ll m0 c podemos aproximar esta expressão pelo resultado da Mecânica Newtoniana v fracpm0 pelo qual a velocidade seria proporcional ao momento v função linear de p Observe que a condição sobre o momento é equivalente então à condição de pequenas velocidades v ll c Na Figura 71 apresentamos o gráfico de v em função de p com a curva cheia representando o resultado relativístico exato dado pela Equação 714 e a reta traçada a aproximação Newtoniana válida para v ll c ou de forma equivalente p ll m0 c limite nãorelativístico Observe pelo gráfico que a velocidade satura no valor limite c para valores grandes de p De fato para p gg m0 c podemos desprezar a parcela m02 no denominador na Equação 714 e obter v approx c Na Figura 71 indicamos explicitamente o valor da velocidade para p m0 c v csqrt2 approx 071 c que já é significativamente menor que o resultado Newtoniano para este valor de p v c Dinˆamica relativıstica M ODULO 1 AULA 7 Por meio do grafico mostrado na Figura 71 vocˆe podera concluir que a velocidade v da partıcula e sempre menor do que c mesmo para valo res arbitrariamente grandes do momento relativıstico p De fato como vocˆe aprendeu nas aulas anteriores dessa disciplina c e o limite superior para as velocidades e para a propagacao de sinais o que esta relacionado a questao da causalidade analisada em detalhe na Aula 6 Veremos ainda nesta aula que apenas partıculas de massa de repouso nula podem ter velocidade em modulo igual a c Figura 71 Variacao da velocidade v de uma partıcula em funcao do seu momento relativıstico p linha cheia A reta tracejada corresponde ao limite naorelativıstico v proporcional a p No grafico e indicado o valor de v para p m0c Dinˆamica relativıstica Em termos do momento relativıstico p a lei fundamental da dinˆamica relativıstica se escreve exatamente como a segunda Lei de Newton compare com a Equacao 73 dp dt F 715 onde F e a forca que atua sobre a partıcula se ha varias forcas atuando F representa a forca resultante Entretanto existe uma diferenca fundamental em relacao a Mecˆanica Newtoniana o momento linear relativıstico definido pela Equacao 79 nao e proporcional a velocidade como no caso Newto niano como vocˆe mostrou no Exercıcio 71 veja a Figura 71 devido a 123 CEDERJ multiplicação pelo fator de Lorentz γ Você irá descobrir no exercício a seguir que a dinâmica relativística é muito diferente da dinâmica Newtoniana quando a velocidade da partícula se aproxima da velocidade da luz c Exercício 72 Uma partícula de carga q e massa de repouso m0 em repouso em t 0 é acelerada pela ação de um campo elétrico uniforme vecE E0 hatx Calcule a velocidade da partícula no tempo t Mostre que ela é sempre menor do que a velocidade de luz c Sugestão use a Equação 715 com vecF qvecE Solução pela Equação 715 as componentes y e z do momento são constantes Como a partícula está inicialmente em repouso temos py pz 0 e logo vy vz 0 Assim a partícula adquire momento e velocidade ao longo da direção do eixo OX vecpt pthati com dpdt qE0 Como ao lado direito desta equação não depende do tempo podemos integrála facilmente usando p0 0 pt qE0t Assim o momento da partícula cresce linearmente no tempo O comportamento da velocidade em função do tempo pode ser então diretamente compreendido a partir da Figura 71 Inicialmente enquanto ela ainda é muito menor do que c a velocidade cresce linearmente aceleração constante Mas à medida que ela vai se aproximando de c a aceleração vai diminuindo de forma que a velocidade não ultrapassa o limite dado pela velocidade da luz c Combinando o resultado do exercício anterior dado pela Equação 714 com a Equação 717 obtemos vt qE0tm02c2 qE0t2c2 A fração que multiplica c nesta última expressão possui um denominador maior do que o numerador e portanto é menor do que a unidade Em consequência temos vt c para todo tempo t Observe que vt se aproxima de c para valores grandes de t tempos longos mas sem nunca alcançar ou ultrapassar este valor limite Vale a pena comparar o resultado do Exercício 72 dado pela Equação 718 com o resultado que teríamos obtido usando a Mecânica Newtoniana tomando vt ptm0 para obter da Equação 717 vt qE0tm0 Se examinarmos a expressão dada pela Equação 718 para tempos curtos tais que o momento adquirido pt qE0t seja ainda muito menor do que m0c podemos desprezar o termo qE0t2 no denominador obtendo o resultado Newtoniano como uma aproximação Essa situação corresponde mais uma vez ao limite de baixas velocidades vt c que temos chamado também de limite nãorelativístico Você já viu ao longo de nosso curso diversas outras situações em que os resultados da Mecânica Newtoniana são reobtidos a partir da teoria da relatividade no limite de pequenas velocidades Energia cinética Além do momento também transferimos energia para uma partícula sobre a qual exercemos uma força Assim como na Mecânica Newtoniana a partícula inicialmente em repouso na posição vecri adquire energia cinética T sob a ação da força resultante vecF Assim vecF m veca na direção do eixo OX vecF F xhatx então o ganho de energia cinética vale T rf ri F dx Exercício 73 Calcule a energia cinética de uma partícula de massa de repouso m0 e velocidade de módulo v tomando como ponto de partida a expressão para o trabalho realizado pela força resultante dada pela Equação 719 Solução combinando as Equações 715 e 719 obtemos T rf ri dpdt dx Usando a expressão para px dada pela Equação 76 obtemos T m0 rf ri ddtvx1 vx2c2 dx A derivada nesta equação é obtida pela regra da derivada de um produto de funções ddt vx1 vx2c2 vx2c21 vx2c232 11 vx2c2 dvxdt Ao substituir este resultado na Equação 722 fazemos também uma mudança na variável de integração de x para vx Para isto usamos a seguinte relação dvxdt dvxdx dxdt dxdt vx dx que é obtida com o auxílio da regra da cadeia Obtemos então T m0 0 v vx1 vx2c232 dvx onde v é a componente x da velocidade da partícula quando ela chega à posição vecrf Como a velocidade da partícula é paralela ao eixo OX podemos identificar v com o módulo da velocidade Calculando esta integral obtemos T m0c2 11 v2c2 1 demonstrando assim a Equação 720 Apesar de ter sido derivado num caso particular força ao longo do eixo OX o resultado da Equação 720 ou Equação 725 é bastante geral fornecendo a energia cinética T de uma partícula qualquer de massa Dinˆamica relativıstica M ODULO 1 AULA 7 de repouso m0 e velocidade de modulo v Na Figura 72 mostramos o grafico da energia cinetica T em funcao da velocidade v da partıcula que e obtido a partir da Equacao 720 e representada pela linha cheia Observe no grafico que a energia cinetica cresce com a velocidade conforme vocˆe poderia ter antecipado De fato a energia cinetica e a energia associada ao movimento da partıcula e portanto deve ser tanto maior quanto maior for a velocidade Tambem representamos no mesmo grafico os valores de m0v22 linha tracejada correspondendo a energia cinetica de acordo com a Mecˆanica Newtoniana No exercıcio a seguir vocˆe mostrara que para velocidades muito menores do que a velocidade da luz a energia cinetica relativıstica pode ser bem aproximada pela expressao Newtoniana observe no grafico que as linhas cheia e tracejada se aproximam e se juntam para velocidades pequenas Com isso vocˆe estara verificando mais um exemplo de como obtemos a Mecˆancia Newtoniana a partir da teoria da relatividade no limite de baixas velocidades Figura 72 Variacao da energia cinetica T com a velocidade v A massa de repouso da partıcula vale m0 Linha cheia resultado relativıstico linha tracejada resultado New toniano T m0v22 127 CEDERJ E γm₀c² m₀c²1 v²c² Dinˆamica relativıstica M ODULO 1 AULA 7 e a energia total da partıcula Quando a partıcula esta em repouso obtemos tomando v 0 nesta equacao E m0c2 Portanto m0c2 representa a energia da partıcula quando ela se encontra em repouso ou energia de repouso A energia cinetica T dada pela Equacao 720 e a diferenca entre a energia total e a energia de repouso Assim a energia total da partıcula E e a soma da energia cinetica que esta associada ao movimento e se anula para v 0 com a energia de repouso m0c2 que e uma propriedade intrınseca da partıcula E T m0c2 730 Nao ha na Mecˆanica Newtoniana nada que seja analogo a energia de repouso m0c2 Esta energia esta diretamente relacionada a um princıpio fundamental da teoria da relatividade a equivalˆencia entre massa e energia Nas palavras de Einstein ainda em 1905 a massa de uma partıcula e uma medida do seu conteudo de energia A energia de repouso m0c2 e o conteudo de energia associado a quantidade de massa m0 Podese mostrar de forma mais geral que massa e energia sao sempre equivalentes Por exemplo em termos da massa relativıstica m γm0 definida pela Equacao 710 a energia total da partıcula dada pela Equacao 729 vale E mc2 Princıpio de equivalˆencia entre massa e energia E m c2 731 A toda massa m corresponde uma energia E dada pela Equacao 731 Reciprocamente toda quantidade de energia E possui propriedades inerciais quantificadas por uma massa m dada por esta mesma equacao Por essa razao o princıpio de equivalˆencia entre massa e energia que se expressa matematicamente pela Equacao 731 tambem e conhecido como a lei da inercia da energia Ele vale para todas as formas de energia por exemplo para a energia eletromagnetica a qual tambem devemos associar uma quantidade de inercia de acordo com esta equacao A quantidade c2 desempenha o papel de fator de conversao entre massa e energia O seu valor numerico no Sistema Internacional de Unidades e enorme c2 9 1016mseg2 Portanto a energia de repouso e enorme para uma partıcula macroscopica como no exemplo discutido no exercıcio a seguir 129 CEDERJ Dinˆamica relativıstica Exercıcio 75 Calcule a energia de repouso de uma bolinha de gude de massa igual a m0 5g Comparea com a energia gasta em sua casa durante um determi nado mˆes veja a sua conta de energia eletrica para responder a seguinte questao quantas residˆencias com consumo igual ao da sua casa poderiam ser aprovisionadas durante um mˆes inteiro com a energia de repouso de uma unica bolinha de gude Solucao a energia de repouso da bolinha vale m0c2 5 103kg 3 108ms2 4 5 1014J onde J representa a unidade de energia do Sistema Internacional de Unidades o Joule Um valor possıvel para o consumo mensal de energia eletrica numa residˆencia se ria 300kWh A unidade kWh usada pelas companhias distribuidoras de energia eletrica significa 1kWh 1000W 1hora 1000Jseg 3600seg 3 6 106J Assim neste exemplo o consumo mensal vale 1 08 109J Dividindo a energia de repouso pelo consumo mensal de cada residˆencia concluımos que a bolinha seria suficiente para o consumo de cerca de 416667 residˆencias Isto equivale a uma cidade de tamanho medio Apos este exercıcio vocˆe ja deve estar desconfiando que nao e factıvel converter a energia de repouso da bolinha em energia eletrica Na verdade a energia de repouso representa apenas um limite superior para a energia que pode ser extraıda de uma certa quantidade de massa Em outras palavras a energia obtida de uma massa m0 nunca pode ser superior a m0c2 Em geral a quantidade de energia que de fato pode ser obtida e muito menor do que este limite superior Para uma bolinha de gude seria muito difıcil imaginar algum processo para conversao de massa em energia util Vamos entao supor que a nossa massa de 5g seja constituıda de um material combustıvel por exemplo gaso lina Sabese que a combustao de 5g de gasolina fornece cerca de 2 105J de energia Esse valor e varias ordens de grandeza menor do que a energia de repouso calculada no Exercıcio 75 e e claro que essa quantidade de gasolina nao e suficiente para fornecer energia para uma cidade inteira durante um mˆes Assim neste exemplo apenas uma fracao muito pequena da energia de CEDERJ 130 Dinˆamica relativıstica M ODULO 1 AULA 7 repouso disponıvel e convertida Isto significa que a massa total dos produ tos da combustao e aproximadamente igual a massa de combustıvel inicial De fato a diminuicao de massa e igual a energia gerada dividida pelo fator de conversao c2 m 2 105J9 1016mseg2 2 2 1012kg 2 2 109g que e varias ordens de grandeza menor do que a massa inicial De forma mais geral a massa e aproximadamente conservada em todas as reacoes quımicas porque as energias produzidas ou consumidas estao sem pre varias ordens de grandeza abaixo da energia de repouso como ilustrado por este exemplo Uma maneira muito mais eficiente de gastara energia de repouso disponıvel numa certa quantidade de massa e atraves de reacoes nucleares que envolvem modificacoes da estrutura do nucleo atˆomico ao passo que as reacoes quımicas envolvem tipicamente os eletrons de valˆencia dos atomos deixando o nucleo inalterado No exercıcio a seguir vocˆe ira analisar um exemplo importante de reacao nuclear Exercıcio 76 A reacao nuclear mais importante para geracao de energia em usinas nucleares e a fissao do isotopo 235 do urˆanio U235 Nesse processo o nucleo do urˆanio se divide em dois nucleos menores Uma massa de 5g de U235 produz atraves dessa reacao 4 1 1011J de energia Determine a variacao percentual de massa nesse processo Solucao a variacao de massa vale m 4 1 1011J9 1016mseg2 4 6103g o que corresponde a um percentual de 1004 61035 0092 da massa inicial Esta e tambem a percentagem da energia de repouso gasta nesta reacao nuclear Outras reacoes nucleares sao ainda mais eficientes do que o exemplo considerado no exercıcio anterior envolvendo fracoes ainda maiores da ener gia de repouso Por esta razao o princıpio de equivalˆencia entre massa e energia e muito importante em Fısica Nuclear Energia e momento Comparando a Equacao 729 com a definicao do quadrimomento dada pela Equacao 74 vocˆe devera perceber que a sua componente tempo 131 CEDERJ A Equação 734 fornece então E²c² p²x p²y p²z m₀²c⁴ E p²c² m₀c²² Dinˆamica relativıstica Esta expressao pode ser escrita na forma E Tm0c2 com a energia cinetica aproximada pelo resultado Newtoniano T m0v22 veja o Exercıcio 74 ja que p m0v neste limite Na Figura 73 a linha tracejada γ representa os valores de energia nessa aproximacao Como esperado a linha tracejada se aproxima da linha α apenas para valores pequenos de p Figura 73 Variacao da energia total E com o modulo do momento relativıstico p Linha α partıcula de massa de repouso m0 linha β partıcula de massa de repouso nula linha γ partıcula de massa de respouso m0 no limite naorelativıstico CEDERJ 134 Dinˆamica relativıstica M ODULO 1 AULA 7 Exercıcio 78 A massa de repouso do eletron vale m0 9 1094 1031kg Calcule a a sua energia de repouso na unidade MeV milhoes de eletronvolts 1MeV 106eV 1 602 1013J a energia na unidade MeV e a a razao vc para b p m0c10 c p m0c e d p 10m0c Respostas comentadas a a energia de repouso vale 0 511MeV b vc 0 0995 valor muito proximo do resultado Newtoniano pm0c 0 1 A energia vale E 100499m0c2 0 513MeV Note que a energia cinetica vale entao T 000499m0c2 valor bem proximo do resultado Newtoniano p22m0 0005m0c2 Nesse regime naorelativıstico a energia cinetica e muito menor do que a energia de repouso c vc 0 71 bem diferente do valor Newtoniano pm0c 1 confira a Figura 71 A energia vale E 2 m0c2 0 723MeV d vc 0 995 observe que v nao ultrapassa c mesmo para valores grandes de momento veja novamente a Figura 71 A energia vale E 10 0499m0c2 5 14MeV que e bem proximo do valor obtido no limite ultrarelativıstico p0c 10m0c2 Conclusao Nesta aula apresentamos uma introducao a dinˆamica relativıstica de uma partıcula Nosso ponto de partida foi a definicao de alguns conceitos fundamentais quadrimomento momento relativıstico e massa de repouso Como exemplo de aplicacao do formalismo analisamos o movimento de uma partıcula carregada sob a acao de um campo eletrico uniforme Obtivemos a expressao geral para a energia cinetica da partıcula cuja interpretacao nos levou ao conceito de energia de repouso A energia de repouso e um caso particular do princıpio de equivalˆencia entre massa e energia Discutimos em detalhe as relacoes entre as diferentes grandezas que caracterizam a dinˆamica da partıcula velocidade momento relativıstico energia cinetica e energia total Atividades Finais 1 Mostre que no limite naorelativıstico velocidades v c a energia cinetica de uma partıcula e muito menor que a energia de repouso 135 CEDERJ Solução no limite nãorelativístico podemos aproximar a energia cinética pelo resultado Newtoniano T mv0²2 Assim a razão entre T e a energia de repouso vale Tm0c² vc²2 1 portanto T m0c² 2 No Exercício 72 carga sob a ação de campo elétrico uniforme suponha que a partícula seja um elétron na atmosfera onde existe um campo elétrico de módulo aproximadamente igual a E0 100 Vm Calcule o tempo necessário para o elétron alcançar a velocidade c 2 071c partindo do repouso Solução por inspeção direta da Equação 718 concluímos que esta velocidade é obtida quando qE0t m0c fornecendo t m0c qE0 m0c² qE0c Antes de substituir os valores numéricos nesta equação é importante notar que a quantidade de energia obtida pela multiplicação da carga do elétron por 1 V é por definição igual a 1 eV Temos então qE0c 3 10⁴MeVseg Usando o valor da energia de repouso do elétron obtido no Exercício 78 obtemos t 0511MeV seg 17 10⁵seg 3 Um exemplo importante de conversão de energia de radiação em massa é o efeito de criação de um par elétronpósitron o pósitron é a antipartícula do elétron e tem a mesma massa de repouso do elétron Calcule a energia mínima necessária para a criação deste par de partículas Solução pelo princípio de equivalência entre massa e energia a energia mínima necessária é igual à soma das energias de repouso do elétron e do pósitron Emin m0c² m0c² 2 0511MeV 1022MeV Resumo O momento relativístico de uma partícula de massa de repouso m0 e velocidade v vale p m0v 1 v²c² A variação da velocidade em função do tempo para uma partícula sob a ação de uma força dada F pode ser obtida da equação dpdt F A energia total da partícula vale E m0c² 1 v²c² Para v 0 E é igual à energia de repouso m0c² Em termos do momento relativístico a energia é dada por E pc² m0c²² Massa e energia são grandezas equivalentes relacionadas pela equação E mc² Dinˆamica relativıstica Modulo 2 Introducao a Fısica Quˆantica Apresentacao do modulo A Mecˆanica Quˆantica fornece a estrutura teorica basica para a grande maioria das areas da Fısica As propriedades de moleculas atomos nucleos atˆomicos e partıculas subatˆomicas tais como protons e nˆeutrons sao anali sadas por modelos teoricos muito diferentes mas que tˆem em comum o fato de serem baseados na Mecˆanica Quˆantica Varias propriedades importantes de meios materiais tais como a condu tividade eletrica sao estudadas por meio de teorias quˆanticas Os avancos na Fısica da Materia Condensada tiveram enorme impacto tecnologico a partir dos anos 50 do seculo passado perıodo conhecido como posguerra Assim diodos e transistores sao exemplos de dispositivos semicondutores inventados neste contexto que sao essenciais para a tecnologia moderna por permitirem a miniaturizacao de circuitos eletricos Hoje em dia e impossıvel encontrar algum aparelho eletrˆonico televisao telefone celular computador etc que nao contenha circuitos integrados com milhares de dispositivos deste tipo num computador moderno o numero de transistores em cada circuito inte grado do processador e da ordem de dezenas de milhoes Poderıamos mencionar ainda varios outros exemplos para sublinhar a importˆancia do desenvolvimento da Mecˆanica Quˆantica no mundo contem porˆaneo A possibilidade de controle na escala molecular e atˆomica modificou os paradigmas de metodo de desenvolvimento tecnologico A figura do inven tor do seculo XIX com seus metodos de tentativaeerro foi substituıda pelo cientista do seculo XX guiado pela Mecˆanica Quˆantica E ainda nos dias atuais de forma crescente vemos novas tecnologias serem obtidas como pro duto direto dos avancos das varias areas de aplicacao da Mecˆanica Quˆantica A Mecˆanica Quˆantica e uma das teorias mais testadas experimental mente com a utilizacao de montagens cada vez mais sofisticadas Ate hoje ela foi confirmada por todos os testes experimentais consolidandose como a teoria fundamental da Natureza Entretanto ainda existe atualmente um debate intenso sobre a sua interpretacao A permanˆencia de proble mas conceituais ainda em aberto cerca de 80 anos apos a sua elaboracao e consequˆencia do carater revolucionario da Mecˆanica Quˆantica que repre CEDERJ 138 Dinˆamica relativıstica M ODULO 2 AULA 7 senta uma ruptura com a Mecˆanica Newtoniana ainda mais profunda do que aquela realizada por Einstein com a sua Teoria da Relatividade que vocˆe estudou no Modulo 1 Essa ruptura esta relacionada ao conceito de causalidade que e funda mental na Mecˆanica Newtoniana todos os fenˆomenos podem ser explicados de forma racional como consequˆencia de uma determinada causa Assim no quadro da Mecˆanica Newtoniana nao ha lugar para o acaso e a nocao de probabilidade so e introduzida quando se desconhecem as condicoes fısicas que determinam o futuro Por exemplo podemos tentar sortear um numero de 1 a 6 ao azar lancando um dado Entretanto a face ou numero que sera indicada no final nao e em princıpio aleatoria Ela pode de fato ser prevista se conhecermos com precisao suficientemente grande as condicoes iniciais do lancamento e as propriedades das superfıcies com as quais o dado entrara em contato De forma mais geral na Mecˆanica Newtoniana o futuro e determinado de forma unıvoca se conhecermos as condicoes iniciais e todas as interacoes relevantes Nesse sentido a ideia de universo mecˆanicoe bem resumida pelo matematico francˆes PierreSimon Laplace que escreveu em 1814 Devemos entender o estado presente do universo como o efeito do seu estado passado e a causa do estado futuro Um intelecto que num dado momento saberia todas as forcas que colocam a natureza em movimento e a situacao de todos os itens das quais a natureza e composta e se este intelecto fosse ainda suficiente mente vasto para analisar estes dados ele incluiria numa unica formula os movimentos dos maiores corpos do universo e do mais leve atomo nada seria incerto para um tal intelecto e o futuro assim como o passado estaria presente diante de seus olhos A Mecˆanica Quˆantica rompe radicalmente com o determinismo causal Newtoniano ou Laplaciano ao introduzir o acaso com um carater funda mental Como vocˆe ira descobrir no presente modulo mesmo quando dis pomos de informacao completa sobre o estado de um determinado sistema quˆantico nao e possıvel prever em geral o resultado de uma medida ou ob servacao Tudo o que a Mecˆanica Quˆantica fornece sao probabilidades para os diferentes resultados possıveis Vamos iniciar o modulo apresentando dois topicos que tiveram papel importante na historia do desenvolvimento da Mecˆanica Quˆantica no inıcio 139 CEDERJ Dinˆamica relativıstica do seculo XX o efeito fotoeletrico Aula 8 e o espectro do atomo de hi drogˆenio Aula 9 No primeiro topico vocˆe vera mais um exemplo do papel fundamental desempenhado por Einstein na construcao da Fısica Moderna O conceito de espectro apresentado na Aula 9 sera estudado experimen talmente na Aula 10 onde vocˆe ira medir o espectro do hidrogˆenio com o auxılio de uma rede de difracao Na Aula 11 vocˆe ira realizar experimentos com um prisma refrator que tambem pode ser usado para espectroscopia As Aulas 12 e 13 apresentarao uma breve introducao ao formalismo basico da Mecˆanica Quˆantica tomando como exemplo o problema da polarizacao da luz CEDERJ 140 O efeito fotoeletrico e os quanta de luz M ODULO 2 AULA 8 Aula 8 O efeito fotoeletrico e os quanta de luz Meta da aula Apresentar uma introducao ao efeito fotoeletrico incluindo a teoria de Einstein baseada no conceito de quanta de luz Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de explicar o esquema de quantizacao de Planck apresentar o efeito fotoeletrico explicar o conceito de quanta de luz e usalo como base do modelo teorico para o efeito fotoeletrico utilizar o conceito de foton e relacionar a sua energia com a frequˆencia o comprimento de onda e o momento linear Prerequisitos Para compreender esta aula e recomendavel rever os conceitos de Oscilador harmˆonico Aula 2 de Fısica 2B Ondas e espectro da radiacao eletromagnetica Aulas 2 e 3 de Fısica 4A Relacao entre energia e momento relativıstico Aula 7 de Fısica 4B Introducao No final do seculo XIX uma serie de resultados experimentais pavi mentou o caminho para o surgimento no inıcio do seculo XX da Mecˆanica Quˆantica Vamos destacar trˆes descobertas especialmente importantes a analise espectral em 1860 o efeito fotoeletrico em 1887 e o eletron em 1897 141 CEDERJ O efeito fotoeletrico e os quanta de luz A primeira e a terceira que foram fundamentais para a descoberta da es trutura atˆomica serao analisadas na proxima aula Nesta aula vamos apre sentar o efeito fotoeletrico e suas principais propriedades para em seguida entender a teoria proposta por Einstein para este efeito Esta teoria foi apresentada por Einstein em 1905 portanto no mesmo ano em que ele formulou a teoria da relatividade restrita que vocˆe estudou no Modulo 1 O resultado central neste trabalho e o conceito de quantum de luz do qual a teoria do efeito fotoeletrico e obtida como uma das aplicacoes Para o proprio Einstein este conceito teria sido a sua unica contribuicao realmente revolucionaria De fato o conceito de quantum de luz foi fundamental para o desenvolvimento posterior da Mecˆanica Quˆantica Ainda em 1905 com a idade de 26 anos Einstein concluiu a sua tese de doutorado sobre um metodo teorico para determinacao de diˆametros de moleculas e do numero de Avogadro e dois artigos sobre a teoria do movi mento Browniano Esses trabalhos que nao serao discutidos aqui tambem tiveram um impacto cientıfico notavel embora nao tenham o carater revolu cionario dos trabalhos sobre a relatividade e os quanta de luz Devido ao conjunto de trabalhos fundamentais escritos por Einstein em 1905 ele e conhecido como o ano miraculoso Para comemorar a passagem de 100 anos do ano miraculoso a Organizacao das Nacoes Unidas ONU declarou 2005 como o Ano Internacional da Fısica Varios eventos de di vulgacao cientıfica apoiados pela Unesco estao sendo organizados em varios paıses neste ano Max Planck nasceu em Kiel Alemanha em 1858 Fısico teorico foi um dos primeiros cientistas de prestıgio de sua geracao a reconhecer a importˆancia da teoria da relatividade restrita e autor do primeiro trabalho sobre a teoria da relatividade excluindo os artigos pioneiros do proprio Einstein em 1906 Sua contribuicao mais importante que lhe valeu o Prˆemio Nobel de Fısica em 1918 foi a introducao do conceito de quantizacao e da constante correspondente que leva o seu nome Vamos a seguir estudar como a ideia de quantum de energia apareceu no ultimo ano do seculo XIX O quantum de energia A palavra quantum cujo plural e quanta significa uma quantidade mınima indivisıvel a partir da qual podese construir quantidades maiores tomando multiplos inteiros do quantum fundamental O conceito de quan tum de energia foi introduzido por Max Planck em 1900 Planck estava investigando como a energia da radiacao eletromagnetica e distribuıda entre as diferentes frequˆencias numa situacao de equilıbrio termico a uma dada temperatura Na Aula 2 de Fısica 4A vocˆe aprendeu que a teoria do ele tromagnetismo de Maxwell prevˆe a existˆencia de ondas eletromagneticas A frequˆencia da onda e utilizada para classificala de frequˆencias mais CEDERJ 142 O efeito fotoeletrico e os quanta de luz M ODULO 2 AULA 8 baixas para mais altas temos ondas de radio microondas infravermelho luz visıvel etc As ondas eletromagneticas podem ser geradas por correntes alter nadas e mais geralmente por cargas eletricas em movimento naouniforme Este efeito e chamado de radiacao e o conjunto de frequˆencias das ondas ele tromagneticas e o espectro da radiacao eletromagnetica Planck considerou o seguinte problema no interior de uma caixa fechada em equilıbrio termico a radiacao eletromagnetica e constantemente gerada e absorvida pelas paredes da caixa Como modelo Planck considerou que as paredes eram formadas de osciladores harmˆonicos carregados com frequˆencia natural de oscilacao ν Para obter um resultado para a distribuicao de energia eletromagnetica entre as diferentes frequˆencias do espectro de radiacao em acordo com os resultados experimentais Planck supˆos que a energia E do oscilador era quantizada isto e um multiplo inteiro do quantum de energia hν E n h ν 81 onde n e um numero natural qualquer n 0 1 2 3 Assim de acordo com a hipotese de Planck a energia do oscilador nao poderia ser uma fracao do quantum fundamental de energia por exemplo hν4 Por outro lado na Mecˆanica Newtoniana a energia do oscilador pode ter qualquer valor bas tando preparar uma condicao inicial adequada para obter o valor de energia desejado A constante h e chamada constante de Planck e vale h 6626069 1034 J seg 82 Observe que para obter uma dimensao fısica de energia pela multi plicacao por uma frequˆencia h tem a dimensao de energiatempo e por tanto e medida em Jseg no Sistema Internacional de Unidades Note ainda como o seu valor numerico nesta unidade e pequeno Pelo fato de a constante de Planck ser muito pequena o quantum de energia hν e muito menor do que as energias tıpicas de um oscilador ma croscopico conforme vocˆe ira descobrir no exercıcio a seguir Isto significa que para sistemas macroscopicos a granulacaoassociada ao quantum de energia e tao fina que a torna indistinguıvel da variacao contınua de energia prevista pela Mecˆanica Newtoniana 143 CEDERJ Exercício 81 Na extremidade de uma mola de constante elástica k 40 Nm se prende um corpo de massa m 25 g a Determine os valores possíveis para a energia do oscilador de acordo com a hipótese de quantização de Planck b Calcule a razão entre o valor do quantum de energia e a energia de um oscilador com a seguinte condição inicial velocidade inicial v0 0 posição inicial x0 2cm c Determine a partir do resultado do item b a precisão com que a posição inicial deveria ser medida para que fosse possível verificar a hipótese de quantização de energia Sugestão para resolver este exercício você irá precisar de alguns resultados básicos sobre a dinâmica do oscilador harmônico Reveja a Aula 16 de Física 1A caso necessário Solução A frequência natural de oscilação vale ν 1 2π k m 1 2π 40 Nm 0025 Kg 2013 seg1 Pela Equação 81 as energias possíveis valem 0 hν 2hν 3hν etc Para o nosso exemplo numérico temos 0 J 13 1033 J 27 1033 J etc b A energia para esta condição inicial vale E kx202 80 104 J A razão vale portanto hνE 17 1030 c Para investigar se a energia varia continuamente como previsto pela Mecânica Newtoniana ou se ao contrário ela é quantizada seria preciso variar a energia de forma controlada de uma quantidade δE menor do que ordem do quantum de energia hν δE hν Para isto poderíamos variar a posição inicial posição de onde o corpo é largado de uma quantidade δx com δE kx0δx2 k kx0δx Assim a incerteza na medida da posição precisaria ser menor do que δx hνkx 17 1032 m o que é impossível essa escala de comprimento é muito menor que a escala atômica Em outras palavras qualquer variação controlada realista da posição x provoca uma variação de energia muitas ordens de grandeza maior do que hν Experimente por exemplo comparar a variação de energia para δx 1 µm que já é um valor muito pequeno para este tipo de sistema com o valor de hν Assim é possível perceber a quantização essencialmente porque o quantum de energia é muitas ordens de grandeza menor do que as energias típicas neste sistema O efeito fotoeletrico e os quanta de luz M ODULO 2 AULA 8 A quantizacao nao e relevante para osciladores macroscopicos como no exemplo considerado no exercıcio anterior Para estes sistemas podemos continuar usando a Mecˆanica Newtoniana Em contrapartida para fenˆomenos na escala atˆomica ou molecular as regras de quantizacao se tornam fundamentais e as predicoes da Mecˆanica Quˆantica se tornam completamente diferentes dos resultados Newtonianos A seguir vocˆe ira estudar em detalhe um exemplo deste tipo o efeito fo toeletrico Heinrich Hertz nasceu em Hamburg Alemanha em 1857 Para verificar a teoria do eletromagnetismo de Maxwell produziu ondas eletromagneticas em laboratorio mostrando que suas propriedades eram corretamente descritas pela teoria de Maxwell Esse resultado teve grande importˆancia para comprovar a natureza eletromagnetica da luz conforme previsto por Maxwell O efeito fotoeletrico O efeito fotoeletrico foi descoberto por H Hertz de forma acidental em 1887 ao realizar o seu famoso experimento de geracao de ondas ele tromagneticas em laboratorio O objetivo deste experimento era verificar a teoria do eletromagnetismo de Maxwell que como vocˆe aprendeu na Aula 2 de Fısica 4A prevˆe a existˆencia de ondas eletromagneticas propagando no vacuo com velocidade igual a da luz c O experimento de Hertz confirmou que a luz e uma onda eletromagnetica o que parecia ser a palavra final no longo debate sobre a natureza da luz iniciado no seculo XVII Joseph J Thomson nasceu em Manchester Inglaterra em 1856 Seus experimentos com raios catodicos que serao discutidos na Aula 10 levaramno a descoberta do eletron em 1897 Thomson mostrou que os eletrons eram partıculas presentes nos atomos mas de massa muito menor do que a massa atˆomica Recebeu o Prˆemio Nobel de Fısica em 1906 Como resultado colateral do seu experimento Hertz percebeu que a incidˆencia de luz ultravioleta sobre a superfıcie de um metal produzia des cargas eletricas centelhas Conforme descoberto por J J Thomson anos mais tarde essas descargas eram constituıdas de eletrons arrancados da su perfıcie gracas a energia fornecida pela luz como ilustrado na Figura 81 que mostra o esquema basico do efeito fotoeletrico Os eletrons que esca pam da superfıcie sao chamados fotoeletrons e a corrente eletrica associada fotocorrente Figura 81 Efeito fotoeletrico a energia fornecida pela luz ultravioleta arranca os eletrons da superfıcie do metal 145 CEDERJ O efeito fotoeletrico e os quanta de luz Atualmente o efeito fotoeletrico e entendido de uma forma mais generica como sendo qualquer fenˆomeno que envolva a liberacao de partıculas carre gadas que podem ser ıons em vez de eletrons de um meio material qualquer que absorva radiacao eletromagnetica luz visıvel ultravioleta raios X etc Existem muitas aplicacoes tecnologicas do efeito fotoeletrico Por exem plo dispositivos de visao noturna visores noturnos sao baseados nesse efeito No visor noturno a radiacao infravermelha e a luz no espectro visıvel ambiente de estrelas ou da Lua sao convertidas em eletrons no fotocatodo por meio do efeito fotoeletrico como mostra a Figura 82 A corrente fo toeletrica resultante e amplificada por meio de diferentes processos e final mente incide sobre uma tela fluorescente Esta faz a conversao de volta de eletrons em luz Com isso e produzida luz mais intensa do que a luz incidente original e mais concentrada na regiao do espectro visıvel A luz gerada dessa forma e observada diretamente atraves da lente ocular do dispositivo Figura 82 Esquema de funcionamento de um visor noturno Propriedades do efeito fotoeletrico Apos a sua descoberta por Hertz o efeito fotoeletrico foi objeto de pesquisa experimental por diferentes laboratorios No inıcio do seculo XX algumas de suas propriedades fundamentais ja eram em parte conhecidas A energia de cada fotoeletron nao depende da intensidade da luz usada no efeito apenas o numero de fotoeletrons e portanto a fotocorrente depende da intensidade De certa forma essa propriedade e supreen dente porque a energia fornecida ao eletron para que ele escape da superfıcie provem da luz incidente CEDERJ 146 O efeito fotoeletrico e os quanta de luz M ODULO 2 AULA 8 A energia de cada fotoeletron e uma funcao crescente da frequˆencia da luz empregada no efeito O efeito nao ocorre se a frequˆencia da luz e menor do que um certo valor chamado frequˆencia de limiar que depende do meio metalico usado Vocˆe vera a seguir que a teoria proposta por Einstein em 1905 explica todas essas propriedades e estabelece uma relacao quantitativa entre a energia do eletron e a frequˆencia da luz Einstein e os quanta de luz A explicacao do efeito fotoeletrico e das suas principais propriedades foi apresentada por Einstein no artigo Sobre um ponto de vista heurıstico relativo a geracao e conversao de luz publicado na revista alema Annalen der Physik em 1905 A sua motivacao inicial era reexaminar o problema da distribuicao de energia da radiacao em equilıbrio termico Conforme discuti mos no inıcio da aula Planck havia obtido em 1900 o resultado correto para essa distribuicao conhecido como espectro de Planck a partir da hipotese de quantizacao da energia do oscilador harmˆonico Em vez de quantizar a energia do oscilador Einstein propˆos que os processos de geracao e absorcao de luz de frequˆencia ν ocorressem como se a luz fosse constituıda de quanta de energia hν com h representando a constante de Planck De maneira geral este princıpio valeria para toda radiacao eletromagnetica de frequˆencia suficientemente alta Vamos aplicar esse princıpio para entender as propriedades do efeito fotoeletrico Neste efeito um determinado quantum de luz de energia hν e inteiramente transferido para um eletron do metal Para que o eletron escape da superfıcie do metal e preciso gastar uma quantidade de energia W que e a funcao trabalho do meio metalico W representa a energia potencial associada aos ıons positivos na vizinhanca da superfıcie cujo valor depende do meio metalico considerado Se a energia hν transferida ao eletron for maior do que W ele podera escapar da superfıcie como mostra a Figura 83 147 CEDERJ O efeito fotoeletrico e os quanta de luz Figura 83 Efeito fotoeletrico o quantum de luz de energia hν e transferido para um eletron do metal que consegue entao escapar da superfıcie com energia cinetica E Nesse caso a sua energia cinetica maxima sera Emax hν W 84 Observe que em geral a energia E do fotoeletron sera menor do que Emax devido a perdas adicionais de energia no interior do meio metalico Pela teoria de Einstein a energia dos fotoeletrons depende da frequˆencia ν da luz ou de outro tipo de radiacao eletromagnetica mas nao da sua intensidade em acordo com os resultados experimentais A Equacao 84 explica por que a energia cresce com a frequˆencia e determina que a lei de crescimento e linear isto e a energia maxima cresce linearmente com a frequˆencia Finalmente a teoria de Einstein tambem explica a existˆencia do limiar de frequˆencia abaixo do qual nao ha geracao de fotocorrente De fato se a energia fornecida ao eletron hν for menor do que a funcao trabalho o eletron nao pode escapar da superfıcie Portanto a frequˆencia de limiar ν0 e determinada pela condicao limite hν0 W fornecendo ν0 W h 85 Na Figura 84 apresentamos o grafico da energia maxima Emax em funcao da frequˆencia da luz incidente obtido a partir da Equacao 84 O valor nulo de Emax para ν ν0 significa que nao ha efeito fotoeletrico para esta faixa de frequˆencias CEDERJ 148 O efeito fotoeletrico e os quanta de luz M ODULO 2 AULA 8 Figura 84 Energia maxima do fotoeletron Emax em funcao da frequˆencia da luz ν Para ν ν0 a variacao de Emax em funcao de ν e representada grafica mente por uma reta cujo coeficiente angular que quantifica a sua inclinacao em relacao ao eixo horizontal e igual a constante de Planck h Portanto o va lor do coeficiente angular e uma propriedade universal do efeito fotoeletrico Os varios meios metalicos sao caracterizados por diferentes valores da funcao trabalho W e da frequˆencia de limiar ν0 entretanto o coeficiente angular tem o mesmo valor para todos eles Robert A Millikan nasceu em Morrison Estados Unidos em 1868 Fısico experimental realizou experimentos com gotas de oleo para medir a carga do eletron Millikan mostrou que a carga eletrica total das gotas era sempre um multiplo inteiro da carga do eletron quantizacao de carga Recebeu o Prˆemio Nobel de Fısica em 1923 por seus experimentos sobre a carga do eletron e o efeito fotoeletrico A confirmacao experimental da relacao linear entre Emax e ν e da uni versalidade do coeficiente angular so veio muitos anos apos o trabalho teorico de Einstein Entre 1914 e 1916 R Millikan publicou uma serie de trabalhos experimentais sobre a variacao de Emax com a frequˆencia para varios meios metalicos diferentes Esses resultados confirmaram a validade da Equacao 84 fornecendo o seguinte valor experimental para a constante de Planck h compare com o valor atual dado pela Equacao 82 657 1034 Jseg 149 CEDERJ O efeito fotoeletrico e os quanta de luz Exercıcio 82 Vamos comparar neste exercıcio as propriedades de dois metais ouro e sodio no que se refere ao efeito fotoeletrico A funcao trabalho do ouro vale W 51 eV e a do sodio W 27 eV a Quanto vale a frequˆencia de limiar em cada caso Qual e o maior compri mento de onda λ0 que pode ser utilizado para a geracao do efeito fotoeletrico em cada caso E possıvel obter o efeito com luz visıvel no caso do ouro E no caso do sodio Justifique b Quanto vale a energia maxima do fotoeletron para a frequˆencia ν 2ν0 em cada caso Solucao a A frequˆencia de limiar e dada pela Equacao 85 com a constante de Planck h dada pela Equacao 82 Usando que 1eV 1602 1019 J obtemos ν0 12 1015 seg1 para o ouro e ν0 65 1014 seg1 para o sodio Como o comprimento de onda esta relacionado a frequˆencia pela relacao λ cν o maior valor de λ corresponde ao menor valor de ν que gera fotoeletrons Temos entao λ0 024 µm para o ouro que corresponde a regiao do ultravioleta e λ0 046 µm para o sodio que corresponde a cor azul Uma vez que os comprimentos de onda no visıvel sao maiores do que 024 µm nao ha efeito fotoeletrico no visıvel com o ouro e preciso usar ultravioleta ou comprimentos de onda ainda menores Para o sodio podese usar azul e violeta mas nao vermelho por exemplo b Pelas Equacoes 84 e 85 temos Emax 2hν0 W W em ambos os casos e portanto a energia maxima vale 51 eV para o ouro e 27 eV para o sodio Em reconhecimento a sua contribuicao para a compreensao do efeito fotoeletrico condensada pela Equacao 84 Einstein recebeu o Prˆemio Nobel de Fısica de 1921 concedido em 1922 por nas palavras da citacao oficial seus servicos a fısica teorica e especialmente pela sua descoberta da lei do efeito fotoeletrico O conceito de quanta de luz introduzido por Einstein repercutiu no desenvolvimento da Fısica muito alem da sua aplicacao ao efeito fotoeletrico Conforme vocˆe vera a seguir ele foi gradualmente evoluindo para o conceito de fotons ou partıculas de luz CEDERJ 150 O efeito fotoeletrico e os quanta de luz M ODULO 2 AULA 8 Dos quanta de luz aos fotons Qual e a verdadeira natureza da luz Desde o seculo XVII este foi um tema intensamente debatido Seria a luz constituıda de partıculas Na disciplina de Fısica 4A vocˆe estudou as contribuicoes fundamentais de Huy gens Young e Fresnel dentre outros ao estudo dos efeitos de interferˆencia e difracao da luz Por serem tipicamente ondulatorios eles ocorrem para on das sonoras ondas na superfıcie de um lago etc estes fenˆomenos pareciam indicar de forma clara que a luz seria uma onda A formulacao da teoria do eletromagnetismo de Maxwell na segunda metade do seculo XIX forneceu uma base formal mais solida a favor da tese de que a luz seria uma onda Finalmente o experimento de Hertz mencionado no inıcio da aula parecia ser a palavra final no debate sobre a natureza da luz Assim no inıcio do seculo XX a possibilidade de a luz ser formada de partıculas ou corpusculos parecia definitivamente descartada sobretudo em funcao do sucesso do eletromagnetismo de Maxwell E nesse contexto que o quantum de luz e o princıpio sobre a sua geracao e conversao sao propostos por Einstein Essas hipoteses pareciam estar em desacordo com a teoria eletromagne tica e resgatavam de certa forma o conceito de partıculas de luz Nao sur preende portanto que tenham sido recebidas de forma bastante desfavoravel pela comunidade cientıfica da epoca mesmo apos a verificacao experimen tal da teoria do efeito fotoeletrico Um exemplo desta reacao desfavoravel e fornecido pelo seguinte comentario de Millikan escrito em 1949 sobre seus resultados experimentais para o efeito fotoeletrico Gastei dez anos de mi nha vida testando aquela equacao obtida por Einstein em 1905 Equacao 84 e contrariando todas as minhas expectativas fui compelido em 1915 a afirmar de forma categorica a sua verificacao apesar de sua falta de sentido ja que ela parecia violar tudo o que sabıamos sobre a interferˆencia de luz O proprio Einstein havia sido bastante cauteloso em 1905 apresen tando o seu princıpio como sendo heurısticoisto e sem justificativa ou injustificavel e evitando interpretar os seus quanta de luz como partıculas Entretanto ja em 1909 Einstein propunha que a teoria definitiva da luz deveria surgir de uma fusao dos conceitos ondulatorio e corpuscular Duas decadas mais tarde essa visao seria materializada pela Mecˆanica Quˆantica Nao so a luz tem carater dual exibindo comportamento corpus cular ou ondulatorio dependendo da situacao experimental como tambem as partıculas materiais tais como eletrons protons e atomos podem exibir 151 CEDERJ O efeito fotoelétrico e os quanta de luz O efeito fotoeletrico e os quanta de luz M ODULO 2 AULA 8 onde ℏ h 2π 1054572 1034 J seg e a constante de Planck reduzida mais conhecida como hcortado Exercıcio 83 Um feixe de luz de comprimento de onda λ 063 µm vermelho e potˆencia 2 mW e completamente absorvido por um corpo de face plana perpendicular a sua direcao de propagacao a Determine o fluxo de fotons Nt associados ao feixe numero de fotons que atravessam uma area perpendicular ao feixe por unidade de tempo b Determine o momento linear de cada foton do feixe c Calcule por meio dos resultados dos itens anteriores a forca exercida pelo feixe sobre o corpo Solucao a A potˆencia do feixe e igual ao fluxo de fotons multiplicado pela energia de cada foton P N t hν N t hc λ Dessa equacao obtemos Nt Pλhc 63 1015fotonsseg b O modulo momento de cada foton vale p hλ 105 1027Kg mseg O vetor p aponta para a direcao e sentido de propagacao do feixe c Ao ser absorvido o foton transfere integralmente o seu momento p para o corpo Durante o intervalo de tempo t N fotons sao absorvidos e portanto o momento total transferido vale N p A forca exercida sobre o corpo e igual a taxa de transferˆencia de momento momento transferido por intervalo de tempo F N p t Usando o resultado para o fluxo de fotons Nt calculado no item anterior obtemos F 67 1012 N F e paralelo a direcao de propagacao do feixe Este valor poderia ser calculado mais diretamente a partir do resultado obtido na Aula 3 de Fısica 4A para a pressao de radiacao Basta multiplicar a pressao pela area para obter F Pc 67 1012 N 67 pN Isto mostra que nao e preciso usar o conceito de foton para calcular a forca exercida pelo feixe Este efeito pode ser calculado usando apenas o eletromagnetismo de Maxwell De acordo com a Mecˆanica Quˆantica o numero de partıculas nao e con servado sejam elas fotons eletrons etc Entretanto para criar uma partıcula 153 CEDERJ O efeito fotoeletrico e os quanta de luz material de massa de repouso m0 e preciso dispor de uma quantidade de energia maior ou igual a sua energia de repouso m0c2 ao passo que para os fotons temos m0 0 Assim a energia necessaria para criar um foton e em geral muitas ordens de grandeza menor do que a energia necessaria para criar uma partıcula material tal como o eletron Para este caso a energia mınima necessaria vale m0c2 0511 MeV veja o Exercıcio 78 da Aula 7 e lembre que 1 MeV significa 1 milhao de eletronsvolt Exercıcio 84 Determine a energia necessaria para criar um foton com comprimento de onda λ 05 µm que corresponde a cor azulclaro na unidade eV Compare com a energia mınima necessaria para criar um eletron Resposta a energia necessaria vale hν hcλ 25 eV portanto cerca de duzentas mil vezes menor do que a energia necessaria para criar o eletron Em muitas situacoes fısicas podemos supor que o numero de eletrons e de outras partıculas materiais e conservado conforme se esperaria para partıculas no seu sentido classico porque a energia mınina necessaria para crialos e muito elevada Todavia para fotons na regiao do visıvel como no exercıcio anterior esta hipotese de conservacao nao e em geral valida Pro cessos de criacao e destruicao de fotons no visıvel ocorrem de forma frequente ao nosso redor O proprio mecanismo de visao e baseado na absorcao de fotons na retina De fato reacoes quımicas envolvem tipicamente energias da ordem de eV para cada par de moleculas envolvidas na reacao que cor respondem como vocˆe descobriu no exercıcio anterior a ordem de grandeza de energia dos fotons na regiao do visıvel De forma mais geral esta e a escala tıpica de energia em processos de modificacao das energias dos eletrons de valˆencia dos atomos Como vocˆe vera na proxima aula estes processos sao tipicamente acompanhados da criacao ou destruicao de fotons na regiao em torno da faixa do espectro do visıvel Para radiacao eletromagnetica de comprimento de onda na faixa de me tros ondas de radio o quantum de energia e ainda muito menor conforme vocˆe mostrara no exercıcio a seguir Por envolver energias tao pequenas e impossıvel detectar fotons individuais nesse caso Assim para comprimentos de onda muito grandes ou de forma equivalente frequˆencias muito baixas CEDERJ 154 O efeito fotoeletrico e os quanta de luz M ODULO 2 AULA 8 e muito difıcil perceber a quantizacao de energia da radiacao assim como na situacao do Exercıcio 81 em que vocˆe mostrou que a quantizacao de energia de um oscilador harmˆonico macroscopico e na pratica irrelevante Nesta faixa de comprimentos de onda nao encontramos efeitos corpuscula res e o carater ondulatorio pautado pelos efeitos de difracao e interferˆencia e completamente dominante Exercıcio 85 Determine o valor do quantum de radiacao na unidade eV para λ 1 m Resposta a energia vale hν hcλ 12 106 eV e e dois milhoes de vezes menor do que a energia do foton azul compare com o Exercıcio 84 No limite oposto do espectro eletromagnetico a radiacao gama corres ponde a quanta de energia acima de milhoes de eletronsvolt Assim fotons gama possuem energia superior a energia de repouso do eletron Fotons gama sao emitidos em processos de modificacao da estrutura do nucleo atˆomico reacoes nucleares que envolvem escalas de energia dessa ordem de gran deza permitindo tambem a criacao de eletrons que nesse contexto sao cha mados partıculas beta No exercıcio a seguir vocˆe ira calcular o comprimento de onda de um foton gama de energia 28 MeV Exercıcio 86 No decaimento radioativo de um nucleo atˆomico um foton gama de energia 28 MeV e criado Calcule o seu comprimento de onda Resposta o comprimento de onda do foton vale λ 44 1013 m Devido a esses valores tao pequenos de comprimentos de onda muito menores do que o tamanho de um atomo e impossıvel observar efeitos on dulatorios tais como difracao e interferˆencia com fotons gama Portanto fotons gama se comportam como partıculas 155 CEDERJ O efeito fotoeletrico e os quanta de luz Conclusao E curioso que o efeito fotoeletrico tenha sido observado pela primeira vez justamente no experimento em que Hertz produziu ondas eletromagneticas Os resultados obtidos por Hertz pareciam ser a prova definitiva da natureza ondulatoria da luz afastando de vez a interpretacao corpuscular Entretanto o efeito fotoeletrico e o sucesso obtido pela teoria proposta por Einstein com base no conceito de quanta de luz acabaram contribuindo para gerar uma fusao dos conceitos ondulatorio e corpuscular Esta fusao e implementada pelo princıpio de dualidade ondapartıcula da Mecˆanica Quˆantica que vale tanto para fotons como para partıculas materiais O princıpio de geracao e conversao de quanta de luz e sua aplicacao a teoria do efeito fotoeletrico foi um dos trabalhos precursores mais importantes para o surgimento da Fısica Quˆantica Atividades Finais 1 Explique o esquema de quantizacao proposto por Planck 2 Descreva a fenomenologia do efeito fotoeletrico relatando em detalhe as suas principais propriedades A energia de cada fotoeletron depende da intensidade da luz E da sua frequˆencia 3 Escreva e explique o significado da equacao que resume a teoria de Einstein para o efeito fotoeletrico Obtenha a partir desta equacao as propriedades descritas no item anterior 4 Explique como seria possıvel medir a constante de Planck a partir do efeito fotoeletrico 5 Observando o espectro da radiacao eletromagnetica identifique a regiao em que o comportamento ondulatorio e dominante e a regiao em que o comportamento corpuscular e dominante Resumo Para obter a distribuicao de energia da radiacao eletromagnetica em equilıbrio termico Planck supˆos em 1900 que a energia dos osciladores harmˆonicos interagindo com a radiacao seria quantizada de acordo com a condicao E n hν onde n e um numero inteiro nao negativo qualquer ν CEDERJ 156 O efeito fotoeletrico e os quanta de luz M ODULO 2 AULA 8 a frequˆencia natural de oscilacao e h uma constante universal constante de Planck Em 1905 Einstein propˆos que processos de geracao e conversao de luz ocorreriam como se ela fosse composta de quanta de energia hν com ν representando a sua frequˆencia Com aplicacao dessa hipotese Einstein obteve uma teoria para o efeito fotoeletrico que foi mais tarde confirmada experimentalmente O quantum de luz deu origem ao conceito de foton no contexto do princıpio de dualidade ondapartıcula da Mecˆanica Quˆantica E na proxima aula vocˆe ira aprender como o conhecimento sobre a estrutura atˆomica foi se desenvolvendo em sintonia com a formulacao da Fısica Quˆantica Leituras Recomendadas Sobre o Ano Internacional da Fısica veja a pagina da Sociedade Brasi leira de Fısica na internet httpwwwsbf1sbfisicaorgbreventosamf Para uma discussao mais aprofundada e completa do papel de Einstein no desenvolvimento da Mecˆanica Quˆantica recomendamos a biogra fia cientıfica de Einstein Sutil e o Senhor de A Pais ed Nova Fronteira 1995 157 CEDERJ O modelo atˆomico de Bohr M ODULO 2 AULA 9 Aula 9 O modelo atˆomico de Bohr Meta da aula Apresentar a hipotese de quantizacao no contexto da Fısica Atˆomica Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de descrever o experimento de Rutherford que levou a descoberta do nucleo atˆomico explicar o princıpio da analise espectral apresentar o modelo de Bohr para o atomo de hidrogˆenio escrever a regra de quantizacao do nıveis de energia do atomo de hi drogˆenio calcular o comprimento de onda de De Broglie de uma partıcula a partir do valor do seu momento linear Prerequisitos Para compreender esta aula sera util rever os conceitos de Comprimento de onda e espectro eletromagnetico Aulas 2 e 3 de Fısica 4A Modos normais de oscilacao numa corda vibrante Aula 12 de Fısica 2B Quantum de luz Aula 8 de Fısica 4B Introducao Na aula anterior discutimos o efeito fotoeletrico e a sua teoria formu lada por Einstein com base no conceito de quantum de luz Este e um dos varios exemplos de avancos experimentais obtidos no final do seculo XIX e 159 CEDERJ O modelo atˆomico de Bohr inıcio do XX que pavimentaram o caminho para o surgimento da Mecˆanica Quˆantica Nesta aula vamos analisar uma serie de resultados experimentais que foram gradualmente revelando a estrutura atˆomica No final do seculo XIX a propria existˆencia dos atomos era questionada e nada se sabia sobre a sua estrutura A descoberta do eletron em 1897 foi o primeiro passo para desven dar o misterio da estrutura atˆomica Apos discutir esta descoberta vamos apresentar o experimento que levou a descoberta do nucleo atˆomico em 1911 LouisVictor De Broglie nasceu em Dieppe Franca em 1892 De famılia nobre formouse em Historia em 1910 no entanto mais tarde se converteu a Fısica Teorica Recebeu o Prˆemio Nobel de Fısica de 1929 por sua decoberta da natureza ondulatoria dos eletrons Voltando no tempo vamos apresentar o princıpio da analise espectral descoberto em 1860 Os avancos experimentais no campo da Espectroscopia foram decisivos para que Niels Bohr formulasse o modelo quˆantico do atomo de hidrogˆenio em 1913 Vamos encerrar a aula apresentando brevemente o conceito de ondas de materia de Louis De Broglie 1924 que demarca a fronteira entre a velha Fısica Quˆantica de natureza heurıstica e que inclui as contribuicoes de Planck Einstein e Bohr e a moderna Mecˆanica Quˆantica cujo formalismo basico desenvolvido entre os anos de 1925 e 1928 representa a teoria fundamental da Natureza A descoberta do eletron Fısico dinamarquˆes Niels H D Bohr nasceu em Copenhagen no ano de 1885 Alem do modelo para o atomo de hidrogˆenio discutido nesta aula que lhe valeu o Prˆemio Nobel de Fısica de 1922 Bohr contribuiu de forma significativa para a interpretacao da Mecˆanica Quˆantica e na area de Fısica Nuclear Fundador e diretor do Instituto de Fısica Teorica de Copenhagen teve grande influˆencia sobre a geracao de fısicos teoricos que formularam a Mecˆanica Quˆantica Em meados do seculo XIX o fısico alemao Julius Plucker desenvolveu em colaboracao com seu assistente Heinrich Geissler o tubo de raios catodicos CRT na sigla em inglˆes mostrado na Figura 91 Um tubo de vidro selado contem em seu interior duas placas metalicas eletrodos que sao ligadas a uma fonte de tensao eletrica O eletrodo de potencial positivo e chamado ˆanodo e o de potencial negativo catodo A pressao no interior do tubo e reduzida por meio de uma bomba de vacuo Figura 91 Tubo de raios catodicos CEDERJ 160 O modelo atˆomico de Bohr M ODULO 2 AULA 9 Ao aplicar uma tensao suficientemente elevada uma corrente eletrica e gerada entre o catodo e o ˆanodo atraves do gas rarefeito no interior do tubo raios catodicos Em geral os raios catodicos sao observados diretamente ao colidirem com as paredes de vidro do tubo produzindo luminescˆencia ou seja emissao de luz visıvel Na epoca muitos cientistas acreditavam que os raios catodicos seriam algum tipo de onda pelo fato de eles propagarem em linha reta sem sofrer efeito gravitacional Observando a deflexao isto e o desvio dos raios catodicos sob o efeito de um campo magnetico o fısico inglˆes William Crookes mostrou que os raios eram na verdade constituıdos de partıculas de carga negativa Alguns anos mais tarde em 1897 J J Thomson observou a deflexao produzida pela aplicacao de um campo eletrico confirmando a conclusao de Crookes sobre a natureza dos raios catodicos Medindo as deflexao provoca das por campos eletrico e magnetico Thomson mediu a razao entre a carga q e a massa m das partıculas constituintes dos raios catodicos Thomson mostrou que qm nao dependia do tipo de metal do eletrodo e nem do gas no interior do tubo Comparando com os valores na epoca conhecidos para ıons atomos carregados eletricamente pela retirada ou captura de eletrons Thomson concluiu que as partıculas tinham massa muito menor do que o atomo mais leve o hidrogˆenio H Dois anos mais tarde Thomson aplicou metodo semelhante para as partıculas produzidas no efeito fotoeletrico reveja a Aula 8 mostrando que elas tambem possuıam a mesma razao qm Alem disso ele conseguiu dessa vez medir separadamente a carga q das partıculas obtendo um valor igual em modulo mas de sinal oposto ao da carga do ıon H De posse desses resultados experimentais Thomson concluiu que os raios catodicos assim como as descargas no efeito fotoeletrico eram cons tituıdos de partıculas presentes em todos os tipos de substˆancias de massa cerca de 2000 vezes menor do que o atomo de hidrogˆenio Em linguagem moderna estas partıculas sao chamadas eletrons Os eletrons sao partıculas subatˆomicas presentes na estrutura de todos os atomos independentemente do elemento quımico considerado Anos mais tarde em 1910 esses resultados foram confirmados por Milli kan que obteve um valor mais preciso para a carga do eletron O experimento de Millikan demonstrou tambem que a carga eletrica e quantizada toda carga na Natureza e um multiplo inteiro da carga fundamental do eletron 161 CEDERJ O modelo atˆomico de Bohr cujo modulo vale na unidade de carga do Sistema Internacional Coulomb e 1602 1019 C A carga do eletron e negativa e vale e A descoberta do eletron marcou o inıcio de uma revolucao no conheci mento sobre a estrutura da materia que evoluiu em sintonia com o desenvol vimento da Fısica Quˆantica Pela primeira vez era identificada uma partıcula subatˆomica primeiro passo para revelar a estrutura dos atomos Atualmente sabese que o eletron e de fato uma partıcula elementar no sentido de nao ter estrutura interna o eletron nao e formado de partıculas ainda menores e nao faz sentido pensar em partes ou pedacos do eletron Ao longo de varias decadas posteriores a descoberta pioneira de Thomson varias outras partıculas elementares seriam descobertas revelando a estrutura subatˆomica fundamental do nosso Universo Alem de sua importˆancia na ciˆencia basica o estudo dos raios catodicos teve um impacto tecnologico enorme sendo ainda hoje fundamental na nossa vida diaria De fato a maioria dos aparelhos de vıdeo tais como te levisores monitores de computador osciloscopios etc ainda e baseada no tubo de raios catodicos CRT Um seculo e meio apos a descoberta de Pluc ker e Geissler somente agora a tecnologia CRT esta sendo substituıda pelos monitores e televisores de plasma ou cristal lıquido A descoberta do nucleo atˆomico Tendo em maos os resultados experimentais sobre as propriedades dos eletrons Thomson logo se lancou na busca por modelos para a estrutura dos atomos Uma propriedade essencial do atomo e a sua neutralidade o atomo tem carga eletrica nula Para obter um modelo de atomo neutro Thomson imaginou que a carga negativa dos eletrons seria compensada por uma carga positiva distribuıda de forma difusa e uniforme sobre todo o volume do atomo Sem associar materia e massa a carga positiva Thomson teve de supor inicialmente que um atomo teria milhares de eletrons de forma a ter uma massa total muito maior do que a massa de cada eletron em acordo com os resultados experimentais Por exemplo o atomo de hidrogˆenio teria cerca de 2000 eletrons Na verdade o atomo de hidrogˆenio possui apenas um eletron CEDERJ 162 O modelo atˆomico de Bohr M ODULO 2 AULA 9 Ja em 1906 o proprio Thomson havia descartado esse modelo mais uma vez em funcao de novos resultados experimentais para concluir que o numero de eletrons num atomo era muito menor do que suposto inicialmente Mas como explicar entao que a massa do atomo e milhares de vezes maior do que a do eletron A resposta veio com a descoberta do nucleo atˆomico por Ernest Ruther ford em 1911 Na verdade a contribuicao dos eletrons a massa atˆomica e desprezıvel porque a massa do nucleo e muito maior Filho de imigrantes ingleses Ernest Rutherford nasceu numa fazenda na provıncia de Nelson Nova Zelˆandia em 1871 Em 1895 mudouse para a Inglaterra para trabalhar no laboratorio de J J Thomson Fısico experimental renomado recebeu o Prˆemio Nobel de Quımica em 1908 por suas investigacoes de elementos radioativos e a quımica de substˆancias radioativas Quando fez esta descoberta tao fundamental o talento de Rutherford como fısico experimental ja era amplamente reconhecido Devido as suas contribuicoes na area de radioatividade ele tinha recebido ja em 1908 um Prˆemio Nobel Entre varios outros resultados importantes Rutherford ha via descoberto em 1899 que substˆancias radioativas emitiam dois tipos de raios com propriedades fısicas bem distintas que ele chamou raios alfa e beta Os raios beta sao eletrons ou partıculas beta criados em processos nucleares conforme mencionamos na Aula 8 Na presente aula sao os raios alfa que terao papel especial Em 1903 Rutherford havia descoberto que eles eram formados por partıculas de carga positiva e de massa muito maior do que o eletron Hans Geiger nasceu em Neustadt an der Haardt Alemanha em 1882 E muito conhecido pela invencao do detector contador de Geiger ou de GeigerMuller de atividade radioativa O contador de Geiger mede a quantidade de partıculas alfa beta e fotons gama veja a Aula 9 emitidos por uma substˆancia radioativa Gracas ao domınio das tecnicas experimentais associadas a geracao de partıculas alfa Rutherford passou a usalas em seu laboratorio como ferra menta para investigar a estrutura da materia Sob a orientacao de Ruther ford seu assistente Hans Geiger realizou em 1908 um experimento de es palhamento de partıculas alfa por uma fina lˆamina metalica O princıpio basico deste tipo de experimento e ilustrado pela Figura 92 Um feixe de partıculas alfa e lancado sobre uma lˆamina metalica Figura 92 Espalhamento de partıculas alfa por uma lˆamina metalica 163 CEDERJ O modelo atˆomico de Bohr Ao interagir com o metal a partıcula e defletida ou espalhada Ruther ford estava especialmente interessado na possibilidade de observar grandes ˆangulos de deflexao Para ˆangulos maiores do que 90o caso da partıcula A na Figura 92 dizemos que a partıcula e refletida pela lˆamina metalica Para investigar esta possibilidade Geiger montou em colaboracao com o estudante de graduacao Ernest Marsden o experimento indicado na Figura 93 que e reproduzida do artigo Sobre a reflexao difusiva de partıculas alfapublicado na revista inglesa Proceedings of the Royal Society em 1909 As partıculas alfa geradas no tubo AB saem pela extremidade B e incidem sobre a lˆamina metalica RR situada a cerca de 1 cm de B O anteparo de chumbo P bloqueia a passagem das partıculas impedindo que elas alcancem a placa de deteccao S diretamente Assim apenas as partıculas que sao refle tidas pela folha RR sao detectadas em S Ao atingir a placa S a partıcula alfa produz um flash de luz cintilacao que e observado por meio do microscopio M e contado visual e manualmente Figura 93 Montagem experimental para medida de reflexao de partıculas alfa repro duzida do artigo de H Geiger e E Marsden 1909 Geiger e Marsden mediram o fluxo de partıculas alfa refletidas sob dife rentes condicoes experimentais variando a espessura e a composicao das lˆaminas refletoras Com um arranjo experimental ligeiramente diferente daquele mostrado na Figura 93 concluıram que uma entre cada 8000 partıculas lancadas era refletida por uma lˆamina de platina Como ja se sabia na epoca as partıculas alfa possuem massa e tambem velocidade na situacao do experimento de Geiger e Marsden muito maior do que a dos eletron cerca de 7000 vezes maior conforme vocˆe mostrara no Exercıcio 91 mais adiante Por terem momento linear muito maior do que o dos eletrons o desvio das partıculas alfa devido a interacao com estas CEDERJ 164 O modelo atˆomico de Bohr M ODULO 2 AULA 9 partıculas e desprezıvel Esta situacao fısica e semelhante a colisao entre um caminhao de sete toneladas que seria o analogo da partıcula alfa e uma bola de futebol de 1 quilograma A colisao tem um efeito enorme sobre a bola mas e irrelevante para o movimento do caminhao Como explicar entao que algumas das partıculas alfa eram desviadas de uma ˆangulo grande maior do que 90o conforme observado por Geiger e Marsden Para explicar este resultado experimental Rutherford propˆos que toda carga eletrica positiva do atomo estivesse concentrada no seu centro carga pontual em vez de espalhada uniformemente por todo o seu volume como no modelo de Thomson Esta carga central e chamada nucleo O nucleo concentra quase toda a massa do atomo a massa dos eletrons sendo muito pequena e e responsavel pela deflexao das partıculas alfa de vido ao efeito de repulsao eletrostatica tanto o nucleo como a partıcula alfa tˆem cargas positivas O nucleo do atomo de platina por exemplo e cerca de 50 vezes mais massivo do que a partıcula alfa e portanto e capaz de defletir essa partıcula de ˆangulos grandes Na verdade o nucleo atˆomico nao e pontual como suposto por sim plicidade no modelo de Rutherford Mas de qualquer forma ele e muito menor do que o atomo cerca de 10000 vezes menor o que explica o bom acordo com os resultados experimentais obtidos por Rutherford Portanto a materia e quase toda feita de espacos vazios O nucleo de um atomo com Z eletrons possui uma carga eletrica Z e lembrese de que e e a carga do eletron Assim a carga total do atomo e nula neutralidade do atomo ja que a contribuicao dos eletrons para a carga total vale Ze O valor de Z que e chamado numero atˆomico determina as proprieda des quımicas de um determinado atomo Assim cada valor de Z corresponde a um determinado elemento quımico Por exemplo Z 6 corresponde ao carbono C e Z 7 ao nitrogˆenio N O atomo mais simples e o hidrogˆenio H ele possui apenas um eletron Z 1 como ja mencionamos Trabalhando no laboratorio chefiado por Rutherford na Universidade de Manchester Inglaterra o fısico experimental Henry Moseley determinou Henry G J Moseley nasceu em Weymouth Inglaterra em 1887 Seus experimentos com raios X foram fundamentais para a organizacao e compreensao da tabela periodica em termos das propriedades atˆomicas Faleceu na batalha de Gallipoli Turquia durante a Primeira Guerra Mundial quando tinha apenas 27 anos experimentalmente em 1913 o valor de Z para todos os elementos quımicos entao conhecidos Com esse resultado Moseley reformulou a estrutura da ta bela periodica veja a Figura 94 organizando os elementos quımicos por valores crescentes de Z Na sua lista de numeros atˆomicos de Z 1 H ate Z 92 urˆanio U havia sete lacunas Moseley concluiu de forma correta 165 CEDERJ O modelo atˆomico de Bohr que existiam sete elementos quımicos ainda a serem descobertos correspon dendo aos valores de Z ausentes na lista Figura 94 Tabela periodica dos elementos com os valores do numero atˆomico Z O fısico inglˆes James Chadwick nasceu em Manchester em 1891 Em colaboracao com Rutherford identificou o proton nucleo do atomo de H como constituinte de todos os nucleos atˆomicos Recebeu o Prˆemio Nobel de Fısica em 1935 pela descoberta do nˆeutron O nucleo e composto de protons que tˆem carga e portanto igual em modulo a carga do eletron e de nˆeutrons de carga eletrica nula descobertos por J Chadwick em 1932 e que tˆem massa aproximadamente igual a do proton O nucleo do H e o unico que nao contem nenhum nˆeutron todos os demais atomos possuem nˆeutrons Protons e nˆeutrons nao sao ao contrario do eletron partıculas elemen tares A estrutura de protons e nˆeutrons so foi descoberta muito mais recen temente eles sao constituıdos de partıculas elementares chamadas quarks CEDERJ 166 O modelo atˆomico de Bohr M ODULO 2 AULA 9 Exercıcio 91 Rutherford e seu estudante Thomas Royds mostraram em 1909 que a partıcula alfa e idˆentica ao nucleo do atomo de helio He que contem dois nˆeutrons a Determine a carga eletrica da partıcula alfa Sugestao consulte a tabela periodica na Figura 94 b Determine a massa mα da partıcula alfa Considere a contribuicao inercial da energia de ligacao deste nucleo reveja a Aula 7 que vale E 283 MeV e os seguintes valores para as massas do proton e do nˆeutron mp 16726 1027 kg e mn 16749 1027 kg c Determine a razao entre mα e a massa do eletron me Analisando este resultado comente sobre a possibilidade de a partıcula alfa ser defletida pelo eletron no espalhamento Rutherford Solucao a Como Z 2 a carga vale 2e 32 1019 C b mα 2mp 2mn E c2 Temos Ec2 283106160210193001082 5041029 kg Esta e a contribuicao da energia de ligacao do nucleo dada pela relacao de equivalˆencia entre massa e energia Gracas a ela a massa total do nucleo e menor do que a soma das massas dos seus componentes este efeito e chamado defeito de massa Substituindo este valor na equacao anterior obtemos mα 6645 1027 kg c A razao vale mαme 6645 10279109 1031 7294 Como a massa da partıcula alfa e muito maior do que a massa do eletron o efeito de deflexao devido a interacao com esta partıcula e desprezıvel Assim no espalhamento Rutherford a partıcula alfa interage apenas com o nucleo atˆomico que tem massa muito maior do que mα O experimento de espalhamento de Rutherford descrito anteriormente e um exemplo de grande avanco cientıfico obtido a partir do desenvolvimento de novos dispositivos e tecnicas experimentais Para o sucesso deste expe rimento foram muito importantes por exemplo a producao de feixes mais intensos de partıculas alfa ja que apenas uma fracao pequena do fluxo total e refletido e o uso de um novo metodo de deteccao cintiladores A ideia 167 CEDERJ O modelo atˆomico de Bohr de realizar um experimento de espalhamento para obter informacao sobre as propriedades do alvo o nucleo atˆomico no exemplo de Rutherford ou da sua interacao com a partıcula espalhada ainda e nos dias atuais amplamente empregada em varias areas da Fısica Vamos a seguir analisar um outro exemplo deste tipo numa area da Ciˆencia a Espectroscopia considerada completamente desconectada da Fısica Atˆomica ate o momento em que Bohr entra em cena A descoberta da analise espectral E provavel que vocˆe ja tenha observado o efeito de dispersao da luz solar ao atravessar um prisma de vidro veja a Figura 95 Newton foi o primeiro a mostrar com esse experimento que a luz branca e formada pela mistura de varias cores diferentes Para interpretar corretamente este experimento e preciso entender que o prisma nao cria as cores observadas ele apenas separa espacialmente o que ja preexiste na luz incidente branca Figura 95 Dispersao da luz branca ao atravessar um prisma de vidro Por que ocorre esse efeito Na luz branca ha varios comprimentos de onda misturados O ındice de refracao do vidro do qual o prisma e feito e diferente para cada um destes comprimentos de onda Vocˆe aprendeu na Aula 6 de Fısica 4A que a direcao em que a luz e refratada ao passar do ar para o vidro e determinada por esse ındice lei de Snell Assim cada comprimento de onda presente na luz incidente ira propagar numa direcao diferente resultando na separacao espacial mostrada na Figura 95 Nossa visao associa um tom de cor a cada valor de comprimento de onda Portanto ao projetar os feixes refratados pelo prisma sobre um ante paro obtemos faixas coloridas em que a cor varia continuamente do verme lho menor desvio ao violeta maior desvio passando pelo laranja amarelo CEDERJ 168 O modelo atˆomico de Bohr M ODULO 2 AULA 9 verde e azul acompanhando a variacao contınua do comprimento de onda Essas faixas representam todo o espectro visıvel Um efeito muito semelhante ocorre no arcoıris Em vez de um prisma de vidro nesse caso a luz branca e separada em suas componentes espectrais devido a refracao por pequenas gotas de agua em suspensao na atmosfera Na verdade a luz solar nao contem todos os comprimentos de onda possıveis Ao analisar o espectro da luz solar com mais detalhe o cientista inglˆes William Wollaston descobriu em 1802 que havia lacunas ou linhas escuras na faixa colorida correspondendo a comprimentos de onda ausentes na luz solar Estas linhas foram medidas e catalogadas por Joseph von Frau nhofer 1814 e sao conhecidas como linhas de Fraunhofer veja a Figura 96a que vocˆe podera visualizar em cores na Plataforma Vocˆe ja conhece pela leitura da Aula 12 de Fısica 4A a contribuicao deste cientista ao estudo da difracao Ele foi o primeiro a usar uma rede de difracao para analisar o espectro da luz Nas proximas duas aulas vocˆe usara os dois metodos a rede de difracao na Aula 10 e o prisma refrator na Aula 11 Figura 96 a Linhas escuras de Fraunhofer no espectro solar bc e d Espectros de emissao dos atomos de hidrogˆenio H helio He e mercurio Hg Os valores de comprimento de onda sao indicados em nanˆometros 169 CEDERJ O modelo atˆomico de Bohr Outro fısico alemao tambem mencionado na Aula 12 Gustav Kirchhoff contribuiu muitos anos mais tarde com a explicacao para as linhas escuras de Fraunhofer Desde o seculo XVII ja se sabia que substˆancias aquecidas emitiam luz com espectro discreto Por exemplo ao colocar sal de cozinha numa chama essa substˆancia emite luz de cor amarela que ao atravessar um prisma e dividida em linhas finas em vez das faixas coloridas observadas com a luz solar A linha mais intensa corresponde ao comprimento de onda λ 589nm e e chamada linha D caracterıstica do elemento quımico sodio na verdade sao duas linhas muito proximas entre si Vocˆe ira observar nas Aulas 10 e 11 as linhas espectrais emitidas por lˆampadas de hidrogˆenio e de vapor de mercurio que correspondem as Figuras 96b e 96d Kirchhoff demonstrou que os comprimentos de onda emitidos por uma substˆancia coincidem com aqueles que esta mesma substˆancia e capaz de absorver Uma das linhas escuras de Fraunhofer corresponde ao mesmo com primento de onda da linha D do sodio λ 589nm veja a Figura 96a Entao Kirchhoff concluiu em 1859 que existe sodio nas camadas mais ex ternas do Sol que absorve esse comprimento de onda da luz branca emitida pelas regioes mais internas deixando assim uma buraco no espectro da luz solar De maneira mais geral a existˆencia de uma linha escura do espectro solar na mesma posicao e logo com o mesmo comprimento de onda de uma linha colorida de emissao de um determinado elemento quımico indica que esse elemento esta presente no Sol Assim a analise das linhas de Fraunhofer traz informacao sobre a composicao quımica da camada externa do Sol Este metodo permite descobrir a composicao quımica de estrelas distantes O metodo de Kirchhoff e baseado numa propriedade muito importante cada elemento quımico tem o seu espectro caracterıstico que e o mesmo tanto para emissao como para absorcao de luz Assim o espectro funciona como uma impressao digital de cada elemento quımico Vamos resumir estes conceitos no quadro a seguir CEDERJ 170 O modelo atˆomico de Bohr M ODULO 2 AULA 9 Espectro de um elemento quımico conjunto de comprimentos de onda emitidos ou absorvidos pelo elemento Exemplo espectro do hidrogˆenio H veja tambem a Figura 96b Alem dos quatro comprimentos de onda na regiao visıvel listados abaixo ha varios outros no ultravioleta e infravermelho λ nm cor 656 vermelho 486 azulverde 434 violeta 410 violeta Espectro de emissao linhas coloridas obtidas pela dispersao da luz emitida pela amostra Cada linha corresponde a um determinado comprimento de onda Espectro de absorcao linhas escuras obtidas ao transmitir luz branca atraves da amostra As linhas escuras estao sempre nas mesmas posicoes das linhas claras emitidas pela mesma amostra Assim o espectro de ab sorcao coincide com o espectro de emissao Robert W Bunsen nasceu em Gottingen Alemanha em 1811 Quımico colaborou com seu colega fısico Gustav Kirchhoff no desenvolvimento da analise quımica espectral por meio da qual descobriram dois novos elementos quımicos cesio e rubıdio Desenvolveu o conceito de um queimador em que gas e ar fossem misturados antes da combustao bico de Bunsen cuja concepcao foi realizada por Peter Desdega a partir de um modelo mais antigo devido a Michael Faraday Desdega era tecnico da Universidade de Heidelberg onde Bunsen e Kirchhoff eram professores Nao sao apenas as estrelas distantes que podem ser analisadas por meio da medida do espectro Em colaboracao com seu colega quımico Robert Bunsen Kirchhoff transformou a Espectroscopia numa poderosa ferramenta para a analise quımica de amostras diversas em laboratorio O objetivo nessa area e identificar os elementos quımicos presentes numa determinada amostra um problema de grande importˆancia na industria O grande salto na tecnica de Espectroscopia foi consequˆencia em grande parte do desenvolvimento do bico de Bunsen veja a Figura 97a em 1860 que ate hoje e amplamente usado nos laboratorios de Quımica Para fazer a amostra emitir luz suficientemente intensa Bunsen e Kirchhoff precisa vam esquentala a temperaturas bem elevadas O bico de Bunsen produz uma chama de baixa luminosidade e alta temperatura Com ela Bunsen e Kirchhoff podiam obter temperaturas elevadas sem misturar a luz gerada pela amostra com a luz gerada pela chama Assim eles desenvolveram um metodo mais preciso de analise espectral capaz de detectar a presenca de quantidades muito pequenas de um determinado elemento quımico 171 CEDERJ O modelo atˆomico de Bohr Figura 97 a Exemplo de bico de Bunsen e b chama gerada por este dispositivo Gracas a esses avancos na Espectroscopia varios novos elementos quı micos foram descobertos na segunda metade do seculo XIX como por exem plo o helio veja a Figura 96c Os proprios Bunsen e Kirchhoff descobri ram dois novos elementos o cesio e o rubıdio Veremos a seguir como esses resultados experimentais em conjunto com os avancos na compreensao da estrutura atˆomica discutidos anterior mente prepararam o terreno para que Bohr formulasse o seu modelo quˆantico para o atomo de hidrogˆenio O modelo atˆomico de Bohr Como explicar fisicamente os espectros dos diferentes elementos quımi cos Por que um dado elemento emite luz apenas em determinados compri mentos de onda caracterısticos Conforme sabemos atualmente a resposta para estas perguntas e fornecida pela Fısica Atˆomica Entretanto ate o inıcio do seculo XX a ideia de relacionar a Espectroscopia com a estrutura atˆomica ainda nao havia sido explorada com sucesso Como comentamos no inıcio da aula nessa epoca a propria realidade fısica dos atomos ainda era questionada por muitos cientistas Bohr foi o responsavel por estabelecer a ponte entre a Espectroscopia e a Fısica Atˆomica explicando a primeira em termos da dinˆamica dos atomos e reciprocamente usando os resultados experimentais como guia na formulacao do seu modelo atˆomico Para seguir este caminho Bohr teve de construir uma outra ponte ainda menos obvia do que esta ao usar a hipotese de quantizacao CEDERJ 172 O modelo atˆomico de Bohr M ODULO 2 AULA 9 numa situacao fısica completamente distinta daquela considerada por Planck e Einstein que vocˆe estudou na Aula 8 Para entender o contexto em que Bohr formulou esse modelo teorico vamos acompanhar a sua trajetoria nos anos imediatamente anteriores ao da sua grande contribuicao Logo apos concluir o doutoramento na Dinamarca em 1911 Bohr seguiu para um posdoutorado em Cambridge Inglaterra no laboratorio de J J Thomson No ano seguinte Bohr se transferiu para Manchester para trabalhar com Rutherford com quem iniciou uma intensa colaboracao Bohr acompanhava de perto os avancos experimentais obtidos no labo ratorio de Rutherford Um dos resultados obtidos na epoca mostrava que o atomo de hidrogˆenio era o mais simples de todos contendo apenas um unico eletron e o nucleo atˆomico Z 1 para o H confira a tabela da Figura 94 Por sua simplicidade o hidrogˆenio era o candidato natural para iniciar a formulacao de um modelo teorico para a estrutura atˆomica Alem do hidrogˆenio qualquer ıon contendo apenas um eletron tambem e igualmente simples Por exemplo ao retirarmos um eletron do atomo de Helio obtemos um ıon com um unico eletron em que o nucleo tem carga 2e Ao contrario de um atomo neutro o ıon possui uma carga total naonula Este ıon possui em particular uma carga total positiva igual a e Ele e representado pelo sımbolo He De maneira geral todos os ıons obtidos arrancando Z 1 eletrons de um atomo de numero atˆomico Z sao chamados hidrogenoides porque como o hidrogˆenio possuem apenas um unico eletron Observe que o nucleo tem carga Ze e portanto a carga total do ıon vale Z 1e Exercıcio 92 Apresente um exemplo de ıon hidrogenoide diferente do He Escreva o seu numero atˆomico Z e a sua carga eletrica total Sugestao consulte a tabela periodica da Figura 94 Resposta um exemplo possıvel dentre varios outros seria o ıon Li cuja carga total vale 2e e que corresponde a Z 3 Ele e obtido a partir do atomo de Li ao retirar dois eletrons 173 CEDERJ O modelo atˆomico de Bohr Na Figura 98 representamos o modelo considerado por Rutherford e Bohr para um atomo de H ou ıon hidrogenoide Figura 98 Modelo atˆomico para atomo de H Z 1 ou ıon hidrogenoide Neste modelo o eletron nao poderia estar em repouso pois neste caso ele seria atraıdo em direcao ao nucleo desestabilizando o atomo cujo tama nho e definido pela distˆancia r indicada na Figura 98 que deve ser muito maior do que o tamanho do nucleo Assim nesse modelo o atomo gira em torno do nucleo com velocidade v Se o movimento e circular como mos trado na Figura 98 entao o modulo da velocidade v seria constante Seu valor estaria relacionado a distˆancia r raio da orbita circular conforme vocˆe mostrara no exercıcio a seguir CEDERJ 174 O modelo atˆomico de Bohr M ODULO 2 AULA 9 Exercıcio 93 Determine o raio da orbita circular do eletron em torno do nucleo atˆomico como funcao do modulo da velocidade v do eletron Solucao no movimento circular uniforme a acelaracao da partıcula aponta para o centro do cırculo aceleracao centrıpeta e seu modulo vale a v2r De acordo com a Segunda Lei de Newton a forca resultante deve apontar tambem para o centro Esta e justamente a situacao da Fi gura 98 onde a unica forca que atua sobre o eletron e a forca de atracao eletrostatica exercida pelo nucleo de carga Ze Pela Lei de Coulomb o modulo da forca vale F Ze24πϵ0r2 onde ϵ0 e a permissividade eletrica do vacuo Pela Segunda Lei Ze24πϵ0r2 mev2r 91 me e a massa do eletron Resolvendo esta equacao para a distˆancia r obtemos r Ze24πϵ0mev2 92 Assim quanto menor for a velocidade do eletron mais afastada do nucleo estara a orbita circular Usando a Equacao 91 podemos relacionar a energia cinetica do eletron T mev22 com a energia potencial V Ze24πϵ0r associada a interacao eletrostatica com o nucleo teorema do virial T V2 ou mais explicitamente mev2 2 Ze2 8πϵ0 r 93 Com isto a energia mecˆanica total do eletron vale E T V T V 2 Ze2 8πϵ0 r 94 Este modelo atˆomico apresentava dois problemas fundamentais o modelo nao fornecia nenhuma escala de comprimento definindo o tamanho do atomo Ja se sabia na epoca que os atomos tinham um tamanho caracterıstico O tamanho do atomo dado pela distˆancia r na Figura 98 pode possuir qualquer valor de acordo com a Equacao 92 dependendo da velocidade v do eletron 175 CEDERJ de acordo com o Eletromagnetismo o átomo não seria estável Com efeito uma partícula acelerada de carga não emite radiação e em consequência perde energia já que a radiação eletromagnética transporta energia Num movimento circular a aceleração da partícula é necessariamente nãonula confira a solução do Exercício 93 Assim a energia E do elétron em órbita diminui com o tempo Pela Equação 94 isto corresponderia a diminuir a distância r de forma a tornar a energia E mais negativa e portanto menor embora maior em módulo Depois de algum tempo o átomo iria finalmente colapsar isto é diminuir de tamanho rapidamente na posição do núcleo Em 1913 Bohr propôs um modelo heurístico para resolver estas questões O ingrediente fundamental para a sua formulação foi o resultado experimental para o espectro do hidrogênio Conforme comentamos a existência de uma conexão entre a Espectroscopia e a dinâmica atômica não era na época nada óbvia O espectro do hidrogênio havia sido medido por Anders Ångström em 1860 Já apresentamos uma lista dos comprimentos de onda no visível na Tabela 91 que reproduzimos abaixo Exercício 94 Calcule o valor de RH tomando λ 656nm e n 3 na Equação 95 Verifique se os outros três valores de λ também são fornecidos por esta mesma equação se tomarmos n 4 n 5 e n 6 Calcule o valor de λ para n 7 e mostre que ele está na faixa do ultraviolet Resposta RH 001097 nm1 1097 x 107 nm1 96 Para n 7 a Equação 95 fornece λ 397 nm na região do ultravioleta Bohr teve a ideia de explicar a propriedade de que o espectro é discreto em termos de uma condição de quantização Assim o número inteiro n na fórmula de Balmer Equação 95 seria o número de quanta de energia Para obter a fórmula de Balmer Bohr supôs que a energia cinética T do elétron seria um múltiplo inteiro de um quantum de energia de valor hν2 T nhν2 n 1 2 3 97 onde h é a constante de Planck A frequência νe de rotação do elétron número de voltas por unidade de tempo está relacionada à velocidade e ao raio de rotação νe vr Substituindo esta equação na Equação 97 obtemos me v22 hν4πr 98 Esta é uma segunda equação relacionando v e r a primeira Equação 93 foi obtida a partir da Mecânica Newtoniana Temos então duas equações para duas incógnitas v e r Podemos então resolver estas equações para obter v e r para um dado valor do número inteiro n A Equação 98 fornece v nh2πmer 99 Substituindo este resultado na Equação 93 obtemos me c2 nh2πmer2 Ze28πε0r 910 Finalmente podemos resolver esta equação para r e obter r n² ε0h²πZ e² me c 911 O modelo atˆomico de Bohr Bohr obteve portanto uma escala de tamanho quantificada pela distˆancia r para o atomo ou ıon hidrogenoide em termos das grandezas fısicas funda mentais que caracterizam o sistema atˆomico o numero atˆomico Z a carga e a massa do eletron e e me alem das constantes universais h e ϵ0 Para o atomo de hidrogˆenio Z 1 podemos escrever r n2a0 912 onde a0 ϵ0h2 πe2me 529 1011 m 913 e o raio de Bohr A energia total E do eletron pode tambem ser expressa em termos das constantes fundamentais se combinarmos as Equacoes 94 e 911 E Ze2 8πϵ0 1 r Ze2 8πϵ0 πZe2me ϵ0h2 1 n2 914 De acordo com este resultado a energia do eletron no atomo hidro genoide nao pode ter qualquer valor Como n e um inteiro positivo apenas um conjunto discreto de energias e permitido Cada valor inteiro de n cha mado numero quˆantico principal define um nıvel de energia En RZ n2 n 1 2 3 915 onde pela Equacao 915 RZ Ze22me 8ϵ2 0h2 136 Z2 eV 916 Cada nıvel de energia associado a um valor inteiro de n corresponde pela Equacao 911 a uma orbita de raio rn n2a0 Z 917 A orbita mais interna menor rn corresponde a menor energia possıvel chamada energia fundamental Para obtˆela basta tomar n 1 na Equacao 915 E1 RZ 136 Z2 eV 918 Este nıvel de energia corresponde a uma orbita de raio r1 a0 Z 919 CEDERJ 178 O modelo atˆomico de Bohr M ODULO 2 AULA 9 Os nıveis de energia mais altos n 1 correspondem a orbitas de raios maiores No limite em que r e infinitamente grande a energia E se aproxima de zero confira por exemplo a Equacao 94 Neste limite o eletron nao esta mais preso ao nucleo definindo o limiar de ionizacao Assim se o atomo ouıon hidrogenoide se encontra no nıvel de energia fundamental E RZ e preciso fornecer uma energia igual a RZ ao eletron para que sua energia passe a ser nula e ele escape da atracao do nucleo Portanto RZ representa a energia de ionizacao do atomo ou ıon hidrogenoide Para o hidrogˆenio Z 1 a energia de ionizacao vale R 136 eV Para valores maiores de Z e preciso pagar um preco energetico maior para arrancar o eletron ja que o nucleo tem uma carga proporcional a Z Exercıcio 95 Calcule a energia necessaria para arrancar o unico eletron do ıon Li Suponha que o eletron esteja no nıvel de energia fundamental Resposta tomando Z 2 na Equacao 916 obtemos R2 544 eV Podemos representar os nıveis de energia por meio de um diagrama como o da Figura 99 que representa o caso do hidrogˆenio Z 1 Figura 99 Diagrama de nıveis de energia do atomo de hidrogˆenio Neste diagrama representamos o nıvel de energia fundamental n 1 e os dois nıveis de energia correspondendo a n 2 e n 3 Existem ainda infinitos nıveis de energia correspondendo a numeros quˆanticos prin cipais n 4 5 6 situados entre o nıvel n 3 e o limiar de ionizacao associado a energia E 0 179 CEDERJ Como explicar o espectro do átomo de hidrogênio a partir destes resultados O elétron passa de um nível de energia maior En para um nível de energia menor Em espontaneamente Ao fazêlo ele emite um quantum de luz fóton de energia hν onde ν é a frequência do fóton reveja a Aula 8 Por conservação da energia a energia inicial do átomo En deve ser igual à energia final do conjunto átomofóton En Em hν 920 A partir da Equação 915 obtemos para o sistema hidrogenoíde hν R 1m² 1n² 921 Na Figura 99 mostramos um exemplo de transição deste tipo com n 3 nível inicial e m 2 nível final O comprimento de onda do fóton emitido é tal que 1λ νc Obtemos então 1λ RZ 1m² 1n² 922 onde RZ RZhc meZe²²8cε0h³ 923 O conjunto das Equações 922 e 923 juntamente com a Equação 915 para os níveis de energia constituiu o resultado central do modelo de Bohr Ele pode ser comparado diretamente com os resultados experimentais para o espectro de sistemas hidrogenoides Por exemplo as Equações 922 e 923 fornecem os valores para o espectro do íon He Z 2 que não eram conhecidos na época O modelo atˆomico de Bohr M ODULO 2 AULA 9 Exercıcio 96 Calcule o comprimento de onda do foton emitido quando o eletron do ıon He passa do nıvel com n 3 para o nıvel com n 2 Solucao essa transicao corresponde no caso do hidrogˆenio ao compri mento de onda λ 656 nm da Tabela 91 Para o ıon He este valor de λ e multiplicado por 1Z2 14 ja que a constante de Rydberg RZ e quatro vezes maior nesse caso de acordo com a Equacao 923 veja tambem a Equacao 922 Temos entao λ 6564 164 nm no ultravioleta Uma das constantes que aparecem na expressao de RZ da Equacao 923 e a constante de Planck h Na Aula 8 vocˆe estudou duas situacoes em que esta constante tambem aparece na derivacao do espectro da radiacao termica Planck 1900 e na hipotese dos quanta de luz Einstein 1905 No trabalho apresentado nesta aula Bohr introduziu pela terceira vez na historia a constante h num contexto completamente distinto daqueles con siderados por Planck e Einstein Por meio da hipotese de quantizacao Bohr conseguiu explicar fisica mente a formula de Balmer e obter uma escala de comprimento caracterıstica de tamanho do atomo raio de Bohr em termos das suas constantes funda mentais O conceito de quanta e de fato fundamental para a compreensao da estrutura atˆomica O metodo de Bohr foi anos mais tarde susbtituıdo pelo formalismo da Mecˆanica Quˆantica Algumas das ideias do modelo de Bohr foram abandonadas tais como o conceito de orbita do eletron veja a Figura 98 De fato a derivacao de Bohr e ainda baseada na Mecˆanica Newtoniana com a hipotese de quantizacao sendo introduzida de forma heurıstica Dessa forma Bohr nao conseguiu explicar por que o nıvel de energia fundamental e estavel no seu modelo a estabilidade e postulada de forma arbitraria Entretanto o modelo de Bohr contem varios dos in gredientes fundamentais da Mecˆanica Quˆantica E sobretudo notavel que o resultado central do modelo de Bohr dado pelas Equacoes 915 e 922 coincida com o resultado da Mecˆanica Quˆantica naorelativıstica 181 CEDERJ O modelo atˆomico de Bohr De Broglie e as ondas de materia Situacoes fısicas envolvendo um conjunto discreto de comprimentos de onda ja eram bem conhecidas muito antes da formulacao da Mecˆanica Quˆantica Vocˆe mesmo estudou no curso de Fısica 2B Aula 12 uma si tuacao deste tipo no problema de uma corda vibrante presa nas suas ex tremidades surgem modos normais de oscilacao Cada modo normal corres ponde a um determinado comprimento de onda λ Uma onda estacionaria na corda nao pode ter um valor qualquer de λ apenas os valores da forma 2Ln com n inteiro positivo sao permitidos para uma corda de comprimento L Inspirado pelo proposta de Einstein de que a verdadeira natureza da luz seria resultado de uma fusao dos conceitos de onda e partıcula reveja a Aula 8 Broglie imaginou que reciprocamente as partıculas materiais e em particular o eletron teriam tambem comportamento ondulatorio Com este princıpio a quantizacao de Bohr seria obtida de forma natural de maneira semelhante ao que acontece no problema da corda vibrante De Broglie propˆos entao associar uma onda de materia de compri mento de onda λdB h p 924 a uma partıcula de momento linear p onde h e novamente a constante de Planck Para uma partıcula macroscopica λ e muito pequeno impedindo a observacao de efeitos ondulatorios Por exemplo para uma bola de futebol de massa igual a 1kg e de velocidade 1ms o comprimento de onda de De Broglie vale λdB 66 1034 m Por outro lado efeitos de difracao e interferˆencia ja foram observados com eletrons nˆeutrons atomos e moleculas cujos comprimentos de onda λdB sao muito maiores do que neste exemplo Para o eletron no atomo de hidrogˆenio no contexto do modelo de Bohr λdB e varias ordens de grandeza maior Neste caso λdB e da ordem do raio de Bohr a0 conforme vocˆe ira mostrar no exercıcio a seguir CEDERJ 182 Exercício 97 Calcule o comprimento de onda de De Broglie para o elétron no nível de energia fundamental do átomo de hidrogênio Solução o módulo do momento pode ser calculado a partir da energia cinética p 2meE Pela Equação 94 temos então p 2meE 2meR Para o nível fundamental E R temos p 2meR Substituindo este resultado na Equação 924 e usando a Equação 916 com Z 1 obtemos λ h2me²R8ε0h² Ze0h²me e² Comparando este resultado com a definição do raio de Bohr a0 dada pela Equação 913 obtemos λDB 2πa0 332 10¹⁰ m 925 Na teoria quântica do átomo de hidrogênio o nível de energia fundamental está de fato associado a uma onda estacionária que não é entretanto bem definido Mas é verdade por outro lado que a escala de comprimento associada à variação desta onda estacionária é determinada pelo comprimento a0 Assim não é coincidência que encontramos um valor da ordem de a0 para calcular o comprimento de onda de De Broglie a partir do modelo de Bohr O conceito de onda de matéria de De Broglie inspirou o físico austríaco Erwin Schrödinger a formular a equação dinâmica fundamental da Mecânica Quântica por analogia com a equação de onda Ela é chamada Equação de Schrödinger Conclusão Nesta aula apresentamos um panorama dos resultados experimentais no final do século XIX e início do XX que pavimentaram o caminho para a formulação da Mecânica Quântica Em particular os resultados sobre a existência do elétron e do núcleo atômico e os espectros de diferentes elementos químicos o espectro do hidrogênio foram fundamentais para a formulação do modelo atômico de Bohr Juntamente com as contribuições de Planck e Einstein apresentadas na Aula 8 a teoria de Bohr foi uma das principais precursoras da Mecânica Quântica O modelo atˆomico de Bohr Atividades Finais 1 Para os antigos o atomo seria a menor unidade constitutiva de toda a materia De acordo com sua raiz grega a palavra atomo significa indivisıvel Assim o atomo seria a unidade mınima elementar sem conter nenhum tipo de estrutura Explique como as descobertas de Thomson e Rutherford modificaram este conceito de atomo 2 Para levar em conta o fato de que o nucleo atˆomico nao e um centro de forca fixo devemos corrigir a Equacao 923 para a constante de Rydberg RZ trocando a massa do eletron pela massa reduzida µ memN me mN 926 onde mN e a massa do nucleo Sabendo que a massa do proton vale mp 167 1027 kg calcule a variacao percentual da constante de Rydberg devido a essa correcao para o caso do hidrogˆenio 3 Nıveis de energia correspondendo a valores grandes do numero quˆantico principal sao chamados nıveis de Rydberg Calcule o raio da orbita associada ao nıvel n 50 Calcule o comprimento de onda do foton emitido quando o eletron passa do nıvel n 51 para o nıvel n 50 Compare a frequˆencia ν do foton com a frequˆencia νe de revolucao do eletron em sua orbita Resumo O eletron foi a primeira partıcula subatˆomica descoberta por meio de experimentos com raios catodicos O nucleo atˆomico foi descoberto alguns anos mais tarde por meio de um experimento de espalhamento de partıculas alfa Na epoca destas importantes descobertas sobre a estrutura atˆomica a Espectroscopia ja era uma area bastante desenvolvida mas ainda nao havia nenhum modelo fısico que explicasse os resultados experimentais Ao introduzir uma regra de quantizacao envolvendo a constante de Planck h Bohr formulou um modelo para o atomo de hidrogˆenio capaz de explicar em detalhe os resultados experimentais para o espectro deste ele mento quımico Dentre outros resultados importantes este modelo fornecia uma escala de comprimento caracterıstica do tamanho do atomo CEDERJ 184 O modelo atˆomico de Bohr M ODULO 2 AULA 9 E na proxima aula vocˆe ira realizar experimentos de Espectroscopia Solucao dos problemas 2 e 3 2 Pela Equacao 923 a razao entre o valor corrigido Rcor H e o valor nao corrigido vale Rcor H RH µ me 1 memp 1 A razao entre as massas vale memp 55 104 logo Rcor H RH 099945 Portanto a constante de Rydberg e na verdade 0055 menor do que o valor obtido da Equacao 923 3 O raio da orbita vale r 502a0 014 µm O inverso do comprimento de onda do foton vale 1λ RH1502 1512 155 105RH Substituindo o valor de RH obtemos λ 59 mm que corresponde a regiao de microondas A frequˆencia do foton vale ν cλ 155 105cRH 155 105Rh Por outro lado pela hipotese de quantizacao de Bohr Equacao 97 a frequˆencia de revolucao vale νe 2T50h 2R503h 16 105Rh Este exemplo mostra que para n grande a frequˆencia emitida numa transicao entre dois nıveis vizinhos e muito proxima da frequˆencia de revolucao νe Observe que classicamente o eletron emitiria radiacao de frequˆencia igual a νe 185 CEDERJ Espectroscopia com Rede de Difracao M ODULO 2 AULA 10 Aula 10 Espectroscopia com Rede de Difracao Metas da aula Apresentar a tecnica experimental de espectroscopia com rede de di fracao e empregala na analise do espectro da luz branca e do atomo de hidrogˆenio Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de alinhar um espectrˆometro de rede de difracao calibrar o espectrˆometro utilizando como amostra de referˆencia vapor de mercurio obter o espectro de raias na regiao do visıvel de uma amostra qualquer Prerequisitos Para realizar as atividades experimentais propostas nesta aula vocˆe precisara dos seguintes conceitos Rede de difracao Aulas 13 e 15 de Fısica 4A Nıveis de energia do atomo de Hidrogˆenio Aula 9 de Fısica 4B Introducao Por meio dos experimentos de difracao e interferˆencia da Aula 14 vocˆe descobriu que quando um feixe de luz atravessa uma rede de difracao ha maximos de interferˆencia em posicoes angulares θ relacionadas com a se paracao entre as fendas d e o comprimento de onda λ pela equacao mλ d sen θ ou sen θ m d λ 101 onde m e um numero inteiro que define a ordem do maximo de interferˆencia 187 CEDERJ Espectroscopia com Rede de Difracao De acordo com a Equacao 101 a posicao angular de um certo maximo depende do comprimento de onda λ Na experiˆencia em que um feixe de laser incide sobre a rede de difracao o feixe tem um unico comprimento de onda e portanto para cada ordem ou seja para cada valor de m temos apenas um maximo O que ocorreria se em vez de usar um laser usassemos um feixe de luz contendo diferentes comprimentos de onda Siga o procedimento experimental a seguir e vocˆe podera responder a esta pergunta a partir de suas observacoes Atividade experimental observacao do espectro contınuo da luz branca O objetivo desta parte do experimento e a observacao do espectro contınuo para comparalo com o espectro discreto das lˆampadas de vapor atˆomico Figura 101 Arranjo experimental para observacao do espectro contınuo da luz branca 1 Monte o sistema mostrado na Figura 101 colocando a fonte de luz branca em cima do barramento Veja se o feixe de luz esta aproximada mente colimado ou seja se propaga sem divergˆencia Caso necessario coloque uma lente convergente na saıda da fonte e ajuste a distˆancia entre a lente e o filamento da lˆampada de modo a obter um feixe colimado ate uma distˆancia de cerca de meio metro 2 Coloque a rede de difracao no suporte e faca o feixe de luz branca atravessala Observe a luz difratada em um anteparo A distˆancia entre o anteparo e a rede deve ser ajustada para que se veja pelo menos os dois primeiros maximos de interferˆencia 3 Note que em cada maximo temos todo o espectro visıvel ou seja todas as cores que somos capazes de enxergar Verifique se existe se CEDERJ 188 Espectroscopia com Rede de Difracao M ODULO 2 AULA 10 paracao escuros entre as cores dentro de um mesmo maximo e anote o resultado para comparalo com o espectro da lˆampada de mercurio Atividade experimental calibracao da rede de difracao 1 Posicione a lˆampada de vapor de mercurio de modo a iluminar a fenda de entrada do goniˆometro veja a Figura 102 Figura 102 Arranjo experimental para espectroscopia do vapor de mercurio 2 Funcionamento do goniˆometro O goniˆometro contem um tubo colima dor com uma fenda de largura ajustavel na entrada da luz veja a Figura 103 Figura 103 Representacao esquematica de um goniˆometro Dentro do colimador ha uma lente que serve para colimar tornar pa ralelos os raios de luz que atravessam a fenda O feixe de luz colima do atravessa a rede de difracao Em seguida entra no segundo tubo onde temos outra lente que coleta os raios paralelos e produz uma 189 CEDERJ Espectroscopia com Rede de Difracao imagem Esta imagem pode ser observada diretamente posicionando o olho junto ao tubo de saıda Na realidade as duas lentes do sis tema estao montadas em uma configuracao do tipo luneta O nome goniˆometro vem do fato de que o segundo tubo pode girar em torno de um eixo e com isto podemos coletar a luz espalhada em diferentes ˆangulos Alem disto podemos medir este ˆangulo com grande precisao atraves da escala angular e do vernier 3 Funcionamento do vernier O vernier e uma escala secundaria que serve para aumentar a resolucao de uma escala primaria Veja a Figura 104 Figura 104 Leitura com o auxılio do vernier O zero da escala inferior e o ponteiro que indica a leitura da posicao angular Note que ele aponta para uma posicao entre 111 e 112 graus Cada grau e ainda subdividido em trˆes partes logo cada subdivisao tem 20 minutos Olhando apenas para a escala superior a unica coisa que podemos dizer e que a leitura esta entre 111 graus e 40 minutos e 112 graus Olhando entao para a escala inferior buscamos o ponto em que os riscos da escala superior melhor se emparelham com os riscos da escala inferior Isto acontece no ponto 1515 minutos Desta forma a leitura final e 111 graus e 55 minutos Este sistema e muito utilizado nos paquımetros Ao contrario da escala primaria o vernier fica do lado da seta ou marcador da medida e sua escala varia entre zero e o valor da menor divisao da escala primaria Para fazer a leitura basta comparar o alinhamento dos riscos da escala primaria com os riscos da escala secundaria O risco da escala do vernier que estiver mais alinhado com qualquer risco da escala primaria dara o valor da leitura no vernier Este valor deve ser somado ao menor valor da escala primaria proximo da seta que e o zero do vernier 4 Observe a imagem da fenda de entrada atraves do sistema optico do goniˆometro e ajuste as lentes de forma a obter uma imagem nıtida Note que a luz da lˆampada de mercurio e muito intensa Para olhar diretamente para a fenda iluminada por ela feche um pouco a fenda de entrada do colimador CEDERJ 190 Espectroscopia com Rede de Difracao M ODULO 2 AULA 10 5 Uma vez que o ajuste de foco foi feito abra a fenda para cerca de 5mm e coloque a rede no centro do goniˆometro 6 A luz sera espalhada pela rede em ˆangulos que dependerao do com primento de onda Olhando atraves do telescopio com liberdade de rotacao procure o primeiro maximo de interferˆencia para as varias cores Observacao o mercurio tem um espectro discreto ou seja nao emite luz com todos os comprimentos de onda visıveis mas apenas alguns deles Neste caso a luz difratada nao tera a aparˆencia de um arcoıris contınuo e sera composta de linhas coloridas individuais Estas linhas sao chamadas usualmente de raias As linhas ou raias do vapor de mercurio e seus respectivos comprimentos de onda sao conhecidos veja a tabela a seguir cor intensidade λ A vermelho fraco 6152 amarelo forte 5791 amarelo forte 5770 verde forte 5461 verdeazulado media 4916 azulanil forte 4358 violeta fraca 4078 violeta media 4047 7 Faca a medida do ˆangulo de difracao com relacao a direcao frontal de cada raia para m 1 Note que a precisao da sua medida depende da largura da fenda de entrada Assim ajuste a menor largura de fenda possıvel de modo que vocˆe ainda consiga enxergar claramente a linha a ser medida 8 Nao se esqueca de anotar os resultados das medidas 191 CEDERJ Espectroscopia com Rede de Difracao Atividade experimental espectroscopia do atomo de hidrogˆenio Atraves do tratamento dos dados obtidos com as medidas com a lˆampada de vapor de mercurio podemos obter o numero de linhas por unidade de com primento da nossa rede de difracao Assim podemos inverter o problema e tendo uma rede conhecida encontrar os comprimentos de onda das raias espectrais do atomo de hidrogˆenio O atomo de hidrogˆenio e muito estudado devido a sua simplicidade Ele e constituıdo de apenas um proton e um eletron Como vocˆe aprendeu na Aula 9 medidas do espectro do atomo de hidrogˆenio foram importantes na historia da Mecˆanica Quˆantica Atualmente a espectroscopia do hidrogˆenio ainda desempenha um papel importante por exemplo na determinacao ex perimental de constantes fısicas fundamentais A tecnica de espectroscopia com rede de difracao e observacao da luz difratada diretamente com os olhos so nos da acesso as raias visıveis Sendo assim para o caso do hidrogˆenio teremos acesso as suas quatro raias visıveis Este conjunto de raias e parte da serie de Balmer que vocˆe estudou na Aula 9 Vamos a seguir medir os comprimentos de onda correspondentes 1 Na montagem anterior substitua a lˆampada de vapor de mercurio por uma lˆampada de vapor de hidrogˆenio 2 Posicione a lˆampada de modo a maximizar a intensidade da luz trans mitida pela fenda Isto pode ser feito pela observacao da fenda atraves do telescopio sem a rede e encontrando a posicao da lˆampada que produz a maior intensidade luminosa 3 Coloque a rede de difracao no suporte e encontre as quatro raias da serie de Balmer As raias sao violeta violetaazul verde e vermelha 4 Meca o ˆangulo de difracao para o primeiro maximo de cada linha e anote o resultado Observacao caso a sala esteja clara e dependendo da potˆencia da lˆam pada vocˆe podera ter dificuldade para ver as raias Neste caso procure escurecer a regiao de onde vem a luz difratada para aumentar o con traste CEDERJ 192 Espectroscopia com Rede de Difracao M ODULO 2 AULA 10 Analise dos dados 1 Explique qual e a diferenca entre o espectro da luz branca e os espectros das lˆampadas de vapor de mercurio e de hidrogˆenio 2 Justifique sua resposta sobre os espectros das lˆampadas incandescente e de vapor atˆomico em termos das caracterısticas microscopicas destas fontes de luz Sugestao em um vapor atˆomico a luz tem sua origem nas transicoes eletrˆonicas de cada um dos atomos Na lˆampada incandescente a luz e emitida por eletrons em um condutor 3 Use suas medidas com a lˆampada de mercurio para fazer uma tabela contendo uma primeira coluna com os valores de mλ se vocˆe mediu o primeiro maximo de interferˆencia para todas as raias entao m 1 sempre uma segunda coluna com os respectivos valores de θ e uma terceira coluna com valores de senθ 4 Faca um grafico de mλ em funcao de senθ 5 Encontre a melhor reta para os seus dados experimentais e a partir da inclinacao desta reta encontre o parˆametro de calibracao da rede ou seja o numero de linhas por unidade de comprimento d1 Sugestao seria desejavel fazer a regressao linear dos dados para encon trar a melhor reta Caso isto nao seja possıvel faca um ajuste visual mas nao se esqueca de tracar a reta no grafico e mostrar o calculo da inclinacao 6 Use o valor encontrado no item anterior e as suas medidas com a lˆampada de hidrogˆenio para obter os valores dos comprimentos de onda emitidos pelo atomo de hidrogˆenio na regiao visıvel Compare com o resultado teorico da Aula 9 E na proxima aula vocˆe fara um experimento de dispersao da luz atraves de um prisma 193 CEDERJ Dispersao da luz em um prisma M ODULO 2 AULA 11 Aula 11 Dispersao da luz em um prisma Meta da aula Estudar experimentalmente a dispersao de um feixe de luz multicromatico atraves de um prisma Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de alinhar um prisma de modo a observar a dispersao do feixe de luz incidente obter o ındice de refracao do material do prisma em funcao do compri mento de onda equacao de Cauchy Prerequisito Para realizar as atividades experimentais propostas nesta aula vocˆe precisara do conceito de refracao da luz discutido no curso de Fısica 4A Aula 6 Introducao Quando a luz se propaga em um meio diferente do vacuo sua velocidade de propagacao muda dependendo desse meio A grandeza que caracteriza um determinado meio segundo a velocidade de propagacao da luz e o seu ındice de refracao n n c v 111 onde c e a velocidade da luz no vacuo e v e a velocidade da luz no meio O ındice de refracao n nao e o mesmo para todas as cores em um dado meio Como um feixe de luz qualquer pode ser decomposto em ondas planas monocromaticas veremos que ao se propagar em um meio qualquer as ondas associadas a comprimentos de onda diferentes terao velocidades diferentes A formula de Cauchy relaciona o ındice de refracao com o comprimento de onda nλ aλ2 b 112 195 CEDERJ O problema se reduz então a obter os valores de a e b para cada material Se soubermos esses valores poderemos calcular o índice de refração para cada comprimento de onda A seguir faremos uma experiência em que serão determinados os valores de a e b para um determinado prisma Mas antes vejamos como é desviado um feixe que incide sobre uma das faces de um prisma Veja a Figura 111 Podemos calcular o ângulo de desvio θ₂ em função do ângulo de incidência θ₁ aplicando a lei de Snell em cada uma das interfaces de entrada e a de saída Teríamos como resultado uma função do tipo θ₂ fθ₁ pois para cada ângulo de incidência teríamos um ângulo de desvio diferente Esta função pode ser minimizada de forma a se obter o ângulo de incidência θ₁ para o qual o ângulo de espalhamento θ₂ é mínimo Estabelecer uma relação desse tipo é muito conveniente pois no momento da realização do experimento é fácil determinar o ângulo de desvio mínimo Dessa forma podemos obter uma relação entre o ângulo de desvio mínimo θ₂min que pode ser medido e o índice de refração para o comprimento de onda da luz desviada Dispersao da luz em um prisma M ODULO 2 AULA 11 Procedimento Experimental 1 Ajuste a lˆampada de mercurio de tal forma que ela ilumine a fenda de entrada do goniˆometro Utilizando uma pequena abertura da fenda de entrada maximize a quantidade de luz que atravessa o goniˆometro olhando na saıda com o telescopio posicionado na direcao frontal 2 Abra agora a fenda de entrada de modo a obter uma boa quantidade de luz para realizar o alinhamento do prisma Figura 112 Refracao atraves de um prisma posicionamento no goniˆometro O prisma deve ser posicionado conforme a Figura 112 de tal ma neira que os raios de luz provenientes da fonte entrem por uma das faces e saiam pela outra Vocˆe pode procurar o feixe de saıda olhando diretamente para a face de saıda do prisma sem o telescopio Sugestao O ˆangulo de incidˆencia na face de entrada com relacao a normal para que o feixe saia do prisma e bem grande acima de 30 graus O ˆangulo de espalhamento e bastante grande tambem da ordem de 50 graus 3 Uma vez que o prisma esteja devidamente posicionado olhe para a luz espalhada atraves do telescopio fazendo os ajustes de foco necessarios para que uma imagem nıtida da fenda de entrada seja obtida 4 Feche a fenda de entrada para a menor dimensao possıvel em que vocˆe ainda consiga ver a luz espalhada de todas as raias do vapor de mercurio 5 Encontre o ˆangulo de desvio mınimo para cada uma das raias e meca esse ˆangulo com relacao a direcao frontal anotando os respectivos va lores de comprimento de onda e ˆangulo mınimo de espalhamento 197 CEDERJ Dispersao da luz em um prisma Sugestao para encontrar o ˆangulo de desvio mınimo varie o ˆangulo de incidˆencia e observe o feixe de saıda O ˆangulo de incidˆencia pode ser variado rodandose a base giratoria do goniˆometro em que o prisma se encontra Vocˆe vera que para qualquer ˆangulo de incidˆencia que permita a saıda do feixe o ˆangulo de saıda nunca sera menor do que um determinado valor que e o ˆangulo mınimo O observador fica com a impressao de que o feixe de saıda bate na posicao de mınimo e volta Analise dos dados 1 Apresente sua tabela de dados contendo colunas com os valores de λ θmin 2 λ e nλ 2 Faca um grafico de nλ versus λ2 e obtenha os valores dos coeficientes angular e linear 3 Com os resultados do seu experimento calcule o valor do ındice de refracao do material do prisma para λ 300 nm E na proxima aula vocˆe comecara a estudar as regras basicas da Mecˆanica Quˆantica CEDERJ 198