Material Didático de Física - Volume 1, Módulo 1

Paulo A Maia Neto Paulo H Souto Ribeiro Ruynet Lima de M Filho Volume 1 Módulo 1 Apoio Apoio Faperj Faperj Fundação Carlos Chagas Filho de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro Fundação Carlos Chagas Filho de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro Material Didático Rua Visconde de Niterói 1364 Mangueira Rio de Janeiro RJ CEP 20943001 Tel 21 22994565 Fax 21 25680725 Fundação Cecierj Consórcio Cederj Referências Bibliográfi cas e catalogação na fonte de acordo com as normas da ABNT VicePresidente de Educação Superior a Distância Presidente Celso José da Costa Carlos Eduardo Bielschowsky Diretor de Material Didático Carlos Eduardo Bielschowsky Coordenação do Curso de Física Luiz Felipe Canto Copyright 2005 Fundação Cecierj Consórcio Cederj Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida transmitida e gravada por qualquer meio eletrônico mecânico por fotocópia e outros sem a prévia autorização por escrito da Fundação ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO Paulo A Maia Neto Paulo H Souto Ribeiro Ruynet Lima de M Filho EDITORA Tereza Queiroz COORDENAÇÃO EDITORIAL Jane Castellani COORDENAÇÃO DE DESIGN INSTRUCIONAL Cristine Costa Barreto COORDENAÇÃO DE REVISÃO Maria Angélica Alves DESIGN INSTRUCIONAL E REVISÃO Janderson Lemos de Souza Luciana Messeder REVISÃO TIPOGRÁFICA Equipe Cederj COORDENAÇÃO GRÁFICA Jorge Moura PROGRAMAÇÃO VISUAL Marcelo Freitas ILUSTRAÇÃO Fabiana Rocha CAPA Fabiana Rocha PRODUÇÃO GRÁFICA Ana Paula Trece Pires Andréa Dias Fiães M217f Maia Neto Paulo A Física 4A v1 Paulo A Maia Neto Rio de Janeiro Fundação CECIERJ 2005 124 p 21 x 297 cm ISBN 8576481405 1 Eletromagnetismo 2 Equações de Maxwell 3 Ondas eletromagnéticas 4 Polarização I Ribeiro Paulo H Souto II M Filho Ruynet Lima de III Título CDD 5301 20052 Governo do Estado do Rio de Janeiro Secretário de Estado de Ciência Tecnologia e Inovação Governadora Wanderley de Souza Rosinha Garotinho Universidades Consorciadas UENF UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE Reitor Raimundo Braz Filho UERJ UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitor Nival Nunes de Almeida UNIRIO UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitora Malvina Tania Tuttman UFRRJ UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO Reitor José Antônio de Souza Veiga UFRJ UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Reitor Aloísio Teixeira UFF UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Reitor Cícero Mauro Fialho Rodrigues Física 4A SUMÁRIO Módulo 1 Ondas eletromagnéticas e polarização 7 Aula 1 As Equações de Maxwell 9 Aula 2 Introdução às ondas eletromagnéticas 31 Aula 3 Representação e propriedades das ondas eletromagnéticas 47 Aula 4 Polarização 65 Aula 5 Polarizadores e placas birrefrigerantes 77 Aula 6 Papel da polarização nos processos de refl exão e refração 95 Aula 7 Experimentos com a polarização da luz 119 Volume 1 Módulo 1 Modulo 1 Ondas eletromagneticas e polarizacao Apresentacao do modulo No curso de Fısica 4 Modulo 1 faremos uma introducao a Optica estudando algumas propriedades da propagacao da luz que e uma onda eletromagnetica Vamos entao explicar para vocˆe o que e uma onda eletro magnetica e quais sao as suas principais caracterısticas Para que vocˆe possa entender esses novos conceitos precisamos completar a teoria do eletromag netismo estudada nas disciplinas Fısica 3A e 3B Portanto na primeira aula vocˆe vai estudar o conjunto completo das quatro equacoes de Maxwell do eletromagnetismo preparando o terreno para as aulas seguintes As ondas eletromagneticas fazem parte da nossa vida atual e estao cada vez mais presentes em nosso cotidiano Como veremos no curso uma carac terıstica muito importante das ondas eletromagneticas e o seu comprimento de onda e ele que define a forma como elas interagem com as pessoas e com os objetos A onda eletromagnetica mais importante de todas e com certeza a luz ou em outras palavras aquela que tem o comprimento de onda perto de 0 5µm 1µm 106m e um milhao de vezes menor do que um metro En tretanto ondas eletromagneticas com muitos outros comprimentos de onda ja fazem parte do nosso diaadia As microondas do forno comprimento de onda em torno de 1cm as ondas de radio e televisao comprimento de onda em torno de 1m os raios X comprimento de onda em torno de 1A ou 1010m os lasers de infravermelho dos aparelhos de CD e DVD com primento de onda em torno de 1µm os sinais que viajam nos cabos e fibras oticas das linhas telefˆonicas e da TV a cabo as ondas dos sinais dos telefones celulares etc todos esses sao exemplos de onda eletromagnetica Nosso objetivo e entender como sao geradas estas ondas como e que se deslocam ou se propagam atraves do ar do espaco vazio e o que acontece quando passam por aberturas em placas opacas atravessam algum material como vidro ou quartzo quando encontram um espelho pela frente ou quando duas ondas eletromagneticas se combinam 7 CEDERJ As Equacoes de Maxwell M ODULO 1 AULA 1 Aula 1 As Equacoes de Maxwell Meta da Aula Apresentar as equacoes de Maxwell na forma diferencial incluindo o termo de corrente de deslocamento Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Explicar a Lei de Conservacao de Carga Mostrar a necessidade da corrente de deslocamento para a consistˆencia da teoria eletromagnetica Escrever as quatro equacoes de Maxwell na forma diferencial e discutir o significado fısico de cada uma delas Prerequisitos Como nesta aula faremos uma revisao de varios topicos que vocˆe es tudou em Fısica 3A e 3B seria interessante revˆelos antes de comecar Permissividade eletrica Aula 1 de Fısica 3A Lei de Gauss Aula 5 de Fısica 3A Densidade de corrente eletrica Aula 12 de Fısica 3B Lei de Ampere de Fısica 3B Lei de FaradayLenz de Fısica 3B Introducao Nesta primeira aula do nosso curso vamos completar a teoria do ele tromagnetismo apresentada nas disciplinas Fısica 3A e Fısica 3B Tambem serao revistos varios conceitos e resultados que vocˆe estudou nessas duas disciplinas preparando o terreno para o estudo das ondas eletromagneticas 9 CEDERJ Vamos começar pela Lei de Ampère No final do século XIX Maxwell percebeu que era necessário modificála acrescentando um termo adicional a corrente de deslocamento Em razão da presença deste termo Maxwell mostrou que os campos elétrico e magnético poderiam se propagar como uma onda com a velocidade de luz Ele então concluiu que a luz deveria ser uma onda eletromagnética Essa foi uma das mais importantes descobertas na história da ciência e você terá a oportunidade de estudála em detalhe ao longo das próximas duas aulas A Lei de Ampère na forma integral dada pela Equação 11 contém informação global sobre os valores de vecB A partir da Equação 11 podemos extrair informação local sobre o campo vecB num dado ponto do espaço vecr Também podemos escrever a corrente elétrica I em termos de uma integral de superfície se introduzirmos uma densidade de corrente vecJvecr que contém informação local sobre o transporte de carga elétrica em cada ponto do espaço vecr I intS vecJ cdot dvecA Exercício 11 Um fio de corrente retilíneo tem uma seção reta circular de raio a 050mm Como mostra a Figura 14 o fio se estende ao longo da direção do eixo z A densidade de corrente no interior do fio é uniforme isto é não varia de ponto a ponto no interior do fio com J 1 0Amm2 Calcule a corrente elétrica transportada pelo fio Resolva o exercício antes de ler a solução apresentada a seguir Solução Vamos usar a Equação 13 tomando a seguinte superfície S o disco plano de raio a perpendicular ao eixo z veja a Figura 14 Como a superfície é plana todos os vetores dA coincidem dA dA z onde z é o vetor unitário na direção do eixo z Como J também é paralelo a z o produto escalar vale J dA JdA Temos então I S J dA mas como J é constante sobre S podemos tirálo da integral e obter I J S dA J πa2 1 0Amm2 0 79mm2 0 79A As Equacoes de Maxwell Br µ0 Jr 15 Esta equacao contem informacao local sobre o campo magnetico num ponto do espaco qualquer r uma vez conhecida a densidade de corrente Jr nesse ponto A Lei de Conservacao de Carga Vamos analisar agora uma consequˆencia importante da Lei de Ampere analisando a sua forma local dada pela Equacao 15 Para isto precisamos do seguinte resultado matematico o divergente do rotacional de um campo vetorial F e nulo F 0 16 Exercıcio 12 Demonstre a Equacao 16 Solucao combinando as definicoes do divergente e do rotacional ver apˆendice obtemos F xFz y Fy z yFx z Fz x zFy x Fx y Nas parcelas acima podemos inverter a ordem das derivadas parciais Por exemplo xFz y yFz x Com isso as seis parcelas acima se cancelam aos pares Tomando o divergente em ambos os lados da Equacao 15 vocˆe podera concluir que a densidade de corrente tem divergente nulo no caso estacionario J 0 17 Vamos escrever esse resultado de forma mais explıcita Jx x Jy y Jz z 0 18 CEDERJ 14 Para entender o significado desse resultado vamos supor que o vetor densidade de corrente esteja alinhado com a direção z em todos os pontos Jx Jy 0 Nesse caso temos Jzz 0 Como a derivada é nula podemos concluir neste caso que Jz não varia ao longo do eixo z como mostra a Figura 15 Essa propriedade tem uma consequência importante a carga total compreendida no volume V da figura não varia no tempo pois toda a corrente que entra nele é compensada exatamente pela corrente que sai desse volume Como você poderia esperar a Lei de Amperè dada pela Equação 11 implica que a carga total no volume V é sempre constante no tempo Isso confirma o que você já sabia a Equação 11 só vale quando cargas e correntes não variam no tempo As Equacoes de Maxwell Essa equacao expressa a Lei de Conservacao de Carga Eletrica a taxa de variacao da carga no interior do volume V e igual a corrente eletrica lıquida ou total para dentro de V Exercıcio 13 Considere novamente o fio de corrente retilıneo que vocˆe analisou no exercıcio 11 Como antes suponha que a densidade de corrente seja uniforme no interior do fio Tome o volume V de forma cilındrica mostrado na Figura 16 A carga Q no interior desse volume varia no tempo Para responder a esta questao calcule a corrente eletrica total para dentro de V Sugestao mostre que o fluxo de J atraves das paredes laterais de V e nulo Para as duas superfıcies em forma de disco que completam o bordo de V use o resultado do Exercıcio 11 tomando muito cuidado com o sinal de cada parcela Figura 16 Volume V no interior do fio Na situacao em que vale a Lei de Ampere a densidade de corrente tem divergente nulo veja a Equacao 17 e entao a contabilidade de entrada e saıda para qualquer volume espacial resulta sempre em empate Mais precisamente pela Equacao 19 o fluxo de J e sempre nulo para uma superfıcie fechada nesse caso Pela Equacao 110 obtemos entao dQdt 0 para concluir novamente que a carga Q e necessariamente constante quando vale a Lei de Ampere Esse e o caso do exemplo que vocˆe examinou no Exercıcio 13 onde J 0 porque J e uniforme e portanto todas as derivadas parciais se anulam Por outro lado no exercıcio a seguir vocˆe vai analisar uma situacao fısica importante em que a carga Q nao e constante Assim a Lei de Ampere nao se aplica a esse exemplo CEDERJ 16 Exercício 14 Considere que o nosso fio de corrente retilíneo dos Exercícios 11 e 13 carregue a placa de um capacitor A superfície fechada S mostrada na Figura 17 envolve completamente a placa e corta o fio de corrente bem frente à placa Portanto a carga contida no volume V interior a S é a carga da placa do capacitor Q Calcule dQdt Compare com os resultados dos Exercícios 11 e 13 Sugestão mostre que o fluxo de J é nulo em toda a superfície S exceto na região em que ela corta o fio de corrente intV left fracpartialpartial t rhovecr t abla cdot vecJ right dvecr 0 113 Como a integral se anula para qualquer volume V o integrando é identicamente nulo fracpartialpartial t rhovecr t abla cdot vecJvecr t 114 Esta é a expressão da lei de conservação de carga local num ponto em que o divergente de vecJ é positivo a densidade de carga local terá derivada temporal negativa e portanto estará decrescendo Esse resultado está relacionado à noção intuitiva do divergente de um campo Onde o divergente é positivo como no ponto vecr há mais carga saindo do que entrando na vizinhança em torno de vecr mostrada na figura logo a densidade de carga local estará diminuindo As Equacoes de Maxwell M ODULO 1 AULA 1 Exercıcio 15 Como nos Exercıcios 11 e 13 um fio de corrente retilıneo transporta uma corrente eletrica Diferentemente do que vocˆe fez nos exemplos anteriores suponha agora que a densidade de corrente nao seja uniforme e seja dada por a Jz J0 expx2 y2ℓ2 ˆz b Jz J0 expzℓ ˆz Para os dois casos tome J0 1 0 Amm2 e ℓ 10 cm Calcule a taxa de variacao da densidade de carga tρ num ponto qualquer do interior do fio Esse exemplo ajuda a entender a razao pela qual a corrente eletrica e sempre bem uniforme ao longo do fio Se isto nao ocorresse como no exemplo b discutido aqui haveria acumulo de carga eletrica ao longo do fio produzindo um campo eletrico adicional que automaticamente tornaria a corrente novamente uniforme Por outro lado a densidade de corrente pode variar no plano perpendicular a direcao do fio como no exemplo a acima porque nesse caso nao ha acumulo de carga Como mostramos na Equacao 17 a Lei de Ampere so pode valer quando a densidade de corrente tem divergente nulo e neste caso a densi dade de carga e constante no tempo em todos os pontos O que acontece se a carga nao e constante como nos Exercıcios 14 e 15 Para dar conta dessa situacao e preciso modificar a Lei de Ampere A corrente de deslocamento de Maxwell Maxwell modificou a Lei de Ampere para que ela se tornasse consistente com a Lei de Conservacao de Carga dada pela Equacao 114 Vocˆe ja descobriu que a Lei de Ampere implica um valor nulo para J o que so e consistente com a Equacao 114 nos casos em que a densidade de carga ρr t nao dependa do tempo Quando ha variacao temporal o divergente de J deve ser diferente de zero Podemos relacionalo com o campo eletrico Er t se combinarmos os 19 CEDERJ intS vecEvecr t cdot dvecA fracQtepsilon0 115 onde Qt é a carga total contida no volume V cuja fronteira é a superfície fechada S Também aparece no lado direito desta equação a constante epsilon0 que representa a permissividade elétrica do vácuo Agora volte algumas páginas para trás até a Equação 111 que relaciona a carga total Qt com a integral de volume da densidade de carga rhovecr t Substituindo essa equação no lado direito da Equação 115 obtemos intS vecEvecr t cdot dvecA intV fracrhovecr tepsilon0 d3r 116 Usando o Teorema da Divergência podemos escrever o lado esquerdo dessa equação em termos da integral de volume do divergente de vecE intV left abla cdot vecEvecr t fracrhovecr tepsilon0 right dvecr 0 117 Como essa integral se anula para qualquer volume V o integrando deve ser identicamente nulo Obtivemos assim a Lei de Gauss na forma diferencial abla cdot vecEvecr t fracrhovecr tepsilon0 118 Para comparar esta equação com a Lei de Ampère Equação 15 é interessante multiplicála pela constante mu0 que como epsilon0 pode ser fatorada para fora ou para dentro dos símbolos de derivação Podemos ainda inverter a ordem das derivadas espaciais e temporal de vecE para obter abla cdot left mu0 vecJ mu0 epsilon0 fracpartial vecEpartial t right 0 120 As Equacoes de Maxwell M ODULO 1 AULA 1 Compare cuidadosamente esse resultado com a Lei de Ampere Equacao 15 agora vocˆe ja esta preparado para fazer a modificacao necessaria dessa lei Lembre que o lado esquerdo da Equacao 15 tem divergente nulo Vamos entao substituir o lado direito por uma expressao que tambem tenha divergente nulo a expressao entre parˆenteses na Equacao 120 que acabamos de obter A Lei de Ampere modificada fica entao assim B µ0 J µ0ϵ0t E 121 Qual e a diferenca entre esse resultado e a Lei de Ampere original Para facilitar a comparacao podemos escrever a Equacao 121 na forma B µ0 J Jd 122 onde Jd ϵ0t E 123 e a densidade de correntede deslocamento Ela nao e a rigor uma densidade de corrente no sentido original de transporte de cargas e sim uma funcao simples da derivada temporal do campo eletrico Entretanto Jd tem a mesma dimensao fısica que a densidade de corrente propriamente dita J e portanto e medida em Am2 no Sistema Internacional de Unidades Uma forma facil de contar para um colega experimente como a Lei de Ampere foi modificada por Maxwell seria assim tome a Lei de Ampere originalneste momento mostre a Equacao 15 e some a densidade de corrente J a densidade de corrente de deslocamento Jd dada pela Equacao 123 21 CEDERJ Exercício 16 Examine novamente o sistema descrito no Exercício 14 em que um capacitor está sendo carregado Suponha que a corrente que sai da segunda placa seja igual a que chega à primeira No item a deste exercício você vai refazer um problema já estudado na disciplina Física 3A campo elétrico entre as placas de um capacitor Aula 9 Se não conseguir use a resposta fornecida abaixo e passe diretamente para o item b a Mostre que o campo elétrico uniforme vale vecE fracQtepsilon0 A hatz entre as placas do capacitor e é nulo na região externa Qt é a carga da primeira placa em destaque na Figura 17 Sugestão use a Lei de Gauss na forma integral primeiro quando há apenas uma placa Em seguida some vetorialmente os campos das duas placas princípio da superposição b Calcule o fluxo da densidade de corrente de deslocamento vecJd através da superfície fechada S da Figura 17 c Usando o resultado do Exercício 14 mostre que intS vecJ vecJd cdot dvecA 0 Você poderia obter esse resultado de forma bem mais rápida diretamente da Equação 122 Para isto use o Teorema da Divergência no lado esquerdo dessa equação e o fato de que o divergente do rotacional é nulo como você mostrou no Exercício 12 O que acontece no caso estático em que nenhuma grandeza depende do tempo Como a corrente de deslocamento é proporcional à derivada temporal de vecE ela se anula nesse caso e então recuperamos a Lei de Ampère original Nós já estávamos prevenidos de que ela só valeria no caso estático que relaciona o divergente do campo elétrico E com a densidade de carga elétrica O análogo a esta lei para o campo magnético B é a equação B 0 124 Comparandoa com a Equação 118 poderíamos imaginar que em seu lado direito teríamos a densidade de carga magnética em analogia à densidade de carga elétrica ρr t A carga magnética estaria relacionada à existência de monopólos magnéticos Até os dias atuais não foi encontrada nenhuma evidência experimental para a existência dos monopólos e por isso tomamos o valor nulo no lado direito da Equação 124 Para completar o conjunto das quatro equações de Maxwell vamos relembrar a Lei de FaradayLenz S E dℓ d dt S B dA 125 No lado esquerdo desta equação a integral de linha do campo elétrico representa a força eletromotriz induzida pela variação temporal do fluxo magnético através de superfície S cujo contorno é o caminho fechado C Podemos obter a forma diferencial ou local da Lei de FaradayLenz usando o Teorema do Rotacional no lado esquerdo da equação anterior Vamos supor que a variação temporal do fluxo magnético se deva exclusivamente à dependência temporal do campo magnético B e não por exemplo a uma variação da superfície S de integração Neste caso podemos passar o símbolo de derivação para dentro da integral no lado direito da Equação 125 e obter S E t B dA 0 126 Como este resultado vale para qualquer superfície S o integrando deve ser nulo E t B 127 Esta é a Lei de FaradayLenz na forma local Talvez você esteja pensando em aplicar o mesmo teste que fizemos com a Lei de Ampère no início da aula tomar o divergente de ambos os lados desta equação Como o divergente de um rotacional é nulo obtemos As Equacoes de Maxwell que o divergente do campo magnetico B e nulo que e a lei expressando a ausˆencia de monopolos magneticos Equacao 124 Isso mostra que a Lei de FaradayLenz seria modificada por um termo de densidade de corrente de monopolos magneticos caso esses existissem Vamos agora reunir as quatro Equacoes de Maxwell num unico quadro Equacoes de Maxwell 1 Lei de Gauss E ρ ϵ0 128 2 Inexistˆencia de monopolos magneticos B 0 129 3 Lei de FaradayLenz E t B 130 4 Lei de Ampere com corrente de deslocamento B µ0 J µ0ϵ0t E 131 Duas destas equacoes envolvem as fontes do eletromagnetismo a densi dade de carga eletrica ρr t na Lei de Gauss Equacao 128 e a densidade de corrente eletrica Jr t na Lei de Ampere modificada Equacao 131 As outras duas equacoes 129 e 130 nao envolvem os termos de fonte As equacoes de Maxwell possuem solucoes naonulas dependentes do tempo mesmo nas regioes do espaco sem cargas ou correntes isto e com ρ 0 e J 0 Essa importante propriedade decorre do efeito de inducao associado a Lei de FaradayLenz e do termo de corrente de deslocamento in troduzido por Maxwell Pela Equacao 130 quando um campo magnetico varia no tempo induz o surgimento de um campo eletrico Esse campo tambem depende do tempo e portanto faz aparecer uma corrente de deslo camento Jd que e a segunda parcela no lado direito da Equacao 131 Essa correntegera por sua vez um campo magnetico dependente do tempo CEDERJ 24 As Equacoes de Maxwell M ODULO 1 AULA 1 que gera um campo eletrico induzido e assim sucessivamente Temos entao um efeito domino tıpico de propagacao de ondas que vocˆe ja conhece do estudo de ondas mecˆanicas tais quais por exemplo as ondas numa corda vibrante No eletromagnetismo o efeito dominoesta associado a inducao mutua entre os campos E e B que representamos de forma esquematica na Figura 19 Em consequˆencia uma determinada perturbacao eletro magnetica pode se propagar como uma onda atraves de regioes do espaco completamente vazias vacuo Isto explica por que e possıvel observar a luz emitida por estrelas tao distantes Figura 19 Esquema da inducao mutua entre os campos eletrico e magnetico depen dentes do tempo A princıpio poderıamos resolver as Equacoes de Maxwell para obter os campos E e B uma vez conhecidas as densidades de carga ρr t e corrente Jr t em todo o espaco e para todos os tempos Entretanto o problema do eletromagnetismo e em geral mais complicado porque a forma como as cargas estao distribuıdas espacialmente tambem depende dos campos eletrico e magnetico ja que estes exercem forca sobre as cargas Portanto tipica mente ρr t e Jr t nao sao conhecidos a priori Por exemplo quando analisamos os fenˆomenos eletromagneticos na presenca de um meio material o campo eletrico aplicado polariza o meio material provocando um rearranjo da distribuicao espacial das cargas nos atomos ou moleculas que constituem o meio Assim a densidade de carga ρr t no interior do meio material certamente nao e dada a priori mas depende do valor do proprio campo eletrico O mesmo tipo de efeito pode ocorrer para a densidade de corrente Jr t que e modificada pela magnetizacao do meio material gerada pelo campo magnetico Felizmente podemos contornar essa dificuldade de uma forma muito simples na maioria das situacoes de interesse A contribuicao da polarizacao 25 CEDERJ As Equacoes de Maxwell do meio pode ser tratada de uma forma efetiva se trocarmos a permissivi dade eletrica do vacuo ϵ0 pela permissividade eletrica do meio material ϵ De forma analoga o efeito da magnetizacao pode em muitos casos ser tratado pela simples troca da permeabilidade magnetica do vacuo µ0 pela permeabi lidade magnetica do meio material µ ϵ e µ dependem das propriedades do meio material considerado Por exemplo se o meio e um gas ϵ e proporcional a densidade de moleculas ou atomos que constituem o gas alem de depender de parˆametros que caracterizam a intensidade da interacao entre as moleculas ou atomos e o campo eletrico Estamos supondo aqui que o meio seja ho mogˆeneo isto e que suas propriedades tais como a densidade nao variam de ponto a ponto do espaco Neste caso a permissividade ϵ e a permeabili dade µ sao constantes e as equacoes de Maxwell ficam com a mesma forma das Equacoes 128131 com as constantes universais ϵ0 e µ0 substituıdas pelas constantes ϵ e µ que sao caracterısticas do meio material analisado Uma vez que a densidade de carga associada a polarizacao ja e levada em conta pela troca de ϵ0 por ϵ ela precisa ser excluıda da densidade de carga total ρ que aparece no lado direito da Equacao 128 Lei de Gauss Portanto vamos trocar ρ pela densidade de cargas livres ρlivre que representa a diferenca entre a densidade de carga total ρ e a densidade de carga associada a polarizacao do meio Enquanto a densidade de carga de polarizacao se origina de rearranjos das posicoes medias dos eletrons presos em atomos ou moleculas ρlivre esta tipicamente associada a eletrons que podem circular quase livremente pelo meio material De forma analoga e preciso trocar a densidade de corrente total J pela densidade de corrente de cargas livres Jlivre na Equacao 131 Assim as quatro Equacoes de Maxwell para um meio material sao da seguinte forma CEDERJ 26 As Equacoes de Maxwell M ODULO 1 AULA 1 Equacoes de Maxwell para um meio material 1 Lei de Gauss E ρlivre ϵ 132 2 Inexistˆencia de monopolos magneticos B 0 133 3 Lei de FaradayLenz E t B 134 4 Lei de Ampere com corrente de deslocamento B µ Jlivre µϵt E 135 Conclusao Nesta aula vocˆe teve um primeiro contato com o conjunto completo das equacoes de Maxwell que e a base fundamental do eletromagnetismo Esse conjunto inclui dois resultados que vocˆe ja conhecia das disciplinas de Fısica 3 a Lei de Gauss da eletrostatica e a Lei de FaradayLenz Aqui apresentamos essas duas leis na forma local elas contˆem informacoes sobre as derivadas dos campos eletrico e magnetico localmente num ponto arbitrario do espaco r e num tempo arbitrario t Vocˆe tambem ja conhecia a Lei de Ampere Mostramos nesta aula a necessidade de modificala de forma a tornala consistente com as situacoes envolvendo variacoes ao longo do tempo da carga eletrica numa determi nada regiao Este foi o passo fundamental para que Maxwell unificasse a eletricidade o magnetismo e a otica num unico formalismo teorico a teoria do eletromagnetismo E ao longo das proximas aulas veremos varias aplicacoes das Equacoes de Maxwell para um meio material Vocˆe vai descobrir que elas de fato possuem solucoes ondulatorias A velocidade de propagacao das ondas eletromagneticas sera obtida em ter mos das duas constantes caracterısticas do meio material em que elas se 27 CEDERJ As Equacoes de Maxwell propagam a permissividade eletrica ϵ e a permeabilidade magnetica µ Vocˆe tambem vai descobrir que as ondas eletromagneticas podem se pro pagar mesmo nas regioes do espaco desprovidas de qualquer meio material vacuo e neste caso a velocidade de propagacao depende apenas das duas constantes fısicas universais que aparecem nas Equacoes 128 e 131 a permissividade eletrica ϵ0 e a permeabilidade magnetica µ0 do vacuo Atividades finais 1 Explique com palavras a Lei de Conservacao de Carga e escreva a equacao correspondente 2 Apresente um exemplo de sistema fısico para ilustrar a necessidade de modificar a Lei de Ampere com o termo de corrente de deslocamento 3 Explique por que o efeito dominode inducao mutua entre os campos eletrico e magnetico nao ocorreria na ausˆencia do termo de corrente de deslocamento introduzido por Maxwell Ao fazˆelo vocˆe vai mostrar que essa modificacao da Lei de Ampere introduzida por Maxwell foi essencial para obter as ondas eletromagneticas a partir do formalismo teorico 4 Escreva as quatro equacoes de Maxwell para um meio material e discuta o significado fısico de cada uma delas Resumo A Lei de Ampere pode ser escrita na forma diferencial ou local em termos da densidade de corrente Jr que representa a corrente eletrica por unidade de area na vizinhanca do ponto r A Lei de Conservacao de Carga relaciona o divergente de Jr com a derivada temporal da densidade de carga eletrica Quando esta derivada e naonula e necessario modificar a Lei de Ampere introduzindo o termo de corrente de deslocamento Com isso completamos o conjunto das quatro Equacoes de Maxwell que e a base da teoria eletromagnetica CEDERJ 28 Apêndice Teoremas da Divergência e do Rotacional Um campo vetorial associa um determinado vetor a cada ponto espacial de coordenadas x y z como ilustra a Figura 110 Cada vetor é definido por suas três componentes cartesianas F x y z Fxx y zx Fyx y zy Fzx y zz onde x y e z são os vetores unitários isto é de módulo igual à unidade ao longo de cada um dos três eixos cartesianos A divergência do campo vetorial F é para cada ponto de coordenadas x y z do espaço um número ou escalar dado por F x y z Fx x Fy y Fz z O rotacional de F é o campo vetorial dado por F x y z Fy z Fz y x Fz x Fx z y Fx y Fy x z O Teorema da Divergência relaciona a integral da divergência de F sobre um volume V com o fluxo de F através de superfície fechada S que envolve o volume V V F dV S F dA Nesta equação o vetor dA aponta para fora do volume V como mostra a Figura 111 Figura 110 Campo vetorial F r O Teorema do Rotacional relaciona o fluxo do rotacional de F através de uma superfície arbitrária S com a integral de linha de F sobre o caminho C que contorna S as Figuras 11 e 12 ilustram essas definições S F dA C F dℓ Introducao as ondas eletromagneticas M ODULO 1 AULA 2 Aula 2 Introducao as ondas eletromagneticas Meta da Aula Derivar solucoes ondulatorias das Equacoes de Maxwell em meios dieletricos transparentes e discutir algumas de suas propriedades Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Explicar o que e uma onda eletromagnetica Determinar a velocidade de propagacao de uma onda eletromagnetica em um meio dieletrico Descrever como estao relacionados entre si os campos eletrico e magnetico associados a uma onda eletromagnetica Explicar por que as ondas eletromagneticas em meios dieletricos trans parentes sao ditas transversais Prerequisitos Para melhor compreensao desta aula sugerimos que vocˆe reveja os con ceitos de Ondas Aula 2 de Fısica 2B Equacoes de Maxwell Aula 1 de Fısica 4A Introducao Nesta aula veremos que as Equacoes de Maxwell na forma diferen cial possuem solucoes ondulatorias para os campos eletrico e magnetico que podem se propagar ate mesmo no espaco vazio e derivaremos algumas cara terısticas fundamentais dessas solucoes Veremos tambem que a velocidade de propagacao das ondas eletromagneticas em um dado meio e determi nada apenas pela constante dieletrica ϵ e pela permeabilidade magnetica µ do meio e que no vacuo essas ondas propagamse a uma velocidade idˆentica 31 CEDERJ Introducao as ondas eletromagneticas a da luz Esse fato levou Maxwell a concluir que a luz e um exemplo de onda eletromagnetica As ondas eletromagneticas sao campos eletromagneticos propagantes Isto significa que qualquer variacao nos valores dos campos eletrico e magnetico em um dado ponto do espaco se repetira mais tarde em um outro ponto do espaco e assim sucessivamente As ondas eletromagneticas sao muito se melhantes a qualquer outro tipo de onda e as equacoes que as descrevem tambem sao muito parecidas Elas possuem varias caracterısticas comuns as ondas em cordas vibrantes ondas na agua e ondas de som por exemplo En tretanto as ondas eletromagneticas tˆem uma caracterıstica que as distinguem das outras Elas sao ondas que nao necessitam de um meio de propagacao Por exemplo o som precisa do ar ou da agua ou de algum outro meio ma terial para se propagar No vacuo nao poderıamos ouvir sons Entretanto recebemos diariamente uma quantidade enorme de radiacao eletromagnetica vinda do espaco inclusive a luz do sol passando por regioes imensas vazias viajando atraves do vacuo De fato o que chamamos de luz corresponde apenas a uma parte ınfima do espectro de ondas eletromagneticas Outros tipos de ondas ele tromagneticas levam nomes especiais como as microondas ondas de radio raios X raios gama infravermelho ultravioleta etc Contudo a unica di ferenca entre elas e o comprimento de onda Esta diferenca no entanto e muito importante pois e ela que determina as propriedades da interacao das ondas com os objetos Veja na Figura 21 uma representacao de algumas regioes interes santes do espectro eletromagnetico ou seja os nomes especiais que algumas faixas de comprimentos de onda recebem Na parte de cima da Figura 21 temos os comprimentos de onda e na parte de baixo as frequˆencias correspondentes CEDERJ 32 Introducao as ondas eletromagneticas M ODULO 1 AULA 2 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Ondas longas Ondas de rádio Infravermelho Ultravioleta Raios X Raios gama Freqüência Hz Comprimento de onda m 10 10 10 10 10 10 10 10 4 5 6 7 8 9 10 11 Freqüência Hz Rádio AM Rádiocomunicação TV e rádio FM Faixa do cidadão 700 600 500 400 Comprimento de onda luz visível 10 m 9 vermelho amarelo verde azul violeta Figura 21 Representacao esquematica do espectro eletromagnetico ressaltando as regioes de comprimento de onda mais importantes para o ser humano tais como a luz visıvel e as ondas de radio Solucoes ondulatorias das Equacoes de Maxwell Como vimos na aula anterior as Equacoes de Maxwell sao as equacoes que descrevem o campo eletromagnetico em qualquer situacao No fundo quando dizemos que as equacoes descrevem os campos estamos nos referindo as relacoes matematicas entre os valores dos campos eletrico e magnetico suas fontes tais como cargas eletricas e correntes e eventuais objetos com os quais interajam Vamos retornar as Equacoes de Maxwell e mostrar que elas prevˆeem a existˆencia de ondas eletromagneticas que podem se propagar no espaco vazio Analisemos a situacao especial em que nos encontramos numa regiao do espaco onde nao existam cargas livres nem correntes eletricas Essa regiao poderia ser o vacuo ou o interior de algum meio dieletrico transparente na situacao em que as fontes que deram origem aos campos eletrico e magnetico existentes se encontram muito distantes Nesse caso as Equacoes de Maxwell que descrevem o comportamento do campo eletromagnetico nessa regiao podem ser escritas como 33 CEDERJ Introducao as ondas eletromagneticas E 0 21 B 0 22 E B t 23 B µϵ E t 24 onde ϵ e µ sao respectivamente a constante dieletrica e a permissividade magnetica do meio Para que possamos nos concentrar nos fenˆomenos fısicos mais importan tes sem precisar fazer uso de um aparato matematico pesado procuraremos solucoes das Equacoes de Maxwell que sejam tao simples quanto possıvel dependendo apenas de uma coordenada espacial e do tempo Isso significa que se escolhermos essa coordenada espacial como sendo z procuraremos solucoes do tipo E Ez t e B Bz t Note que isso nao significa que os vetores campo eletrico E e magnetico B nao possuam componentes nas direcoes x e y Apenas estamos supondo que os valores assumidos por todas as componentes desses vetores dependam somente da coordenada espacial z e do tempo t Vejamos agora como essa suposicao acerca da dependˆencia espaco temporal dos campos E e B simplifica nossos calculos Suponha que tenha mos um vetor F qualquer que dependa apenas da coordenada espacial z e do tempo t A representacao do vetor F no sistema de coordenadas cartesianas sera entao Fz t Fxz t ˆx Fyz t ˆy Fzz t ˆz onde deixamos explıcita a dependˆencia espacotemporal de F Como todas as componentes do vetor F dependem apenas da coordenada espacial z se calcularmos o divergente e o rotacional de F em coordenadas cartesianas teremos F Fz z 25 F Fy z ˆx Fx z ˆy 26 Note como as expressoes para o divergente e o rotacional do vetor F tornam se muito mais simples se comparadas com as expressoes para um vetor que CEDERJ 34 dependa de todas as coordenadas espaciais Note também que o vetor F não possui componente na direção do eixo z Exercício 21 Demonstre as Expressões 25 e 26 Sugestão utilize as representações dos operadores divergência e rotacional em coordenadas cartesianas e o fato de que as componentes de F dependem somente da coordenada espacial z Tendo em mente que as relações 25 e 26 valem para os campos E e B voltamos às Equações de Maxwell e as escrevemos na representação de coordenadas cartesianas Neste caso temos Ezz 0 Bzz 0 Eyz x Ezx y Bxt Byz Bzt z Byz x Bzy y με Ext Eyt Ezt z Lembrese agora de que dois vetores quaisquer E e B só são iguais se suas componentes correspondentes forem idênticas ou seja Ax Bx Ay By e Az Bz Analisemos agora as Equações 29 e 210 Em cada uma dessas equações o vetor do lado esquerdo não tem componente na direção z Logo para que a igualdade seja válida a componente na direção z do vetor do lado direito de cada uma dessas equações deve ser nula Podemos concluir portanto que t 0 e Ezt 0 Combinando esses resultados com as Equações 27 e 28 podemos escrever Ezz Ezt 0 Bzz 0 Essas equações nos dizem que Ex e Bz não dependem nem da coordenada z nem do tempo t Isso significa que essas grandezas são constantes Quais devem ser os valores dessas constantes Note que as componentes Ez e Bz não forem nulas ou seja se assumirem um valor constante diferente de zero terão esses mesmos valores em todos pontos do espaço e em todos instantes de tempo Introducao as ondas eletromagneticas tempo Esse tipo de solucao nao nos interessa aqui pois nao esta associada a propagacao de uma onda de uma regiao do espaco para outra Por essa razao escolheremos os valores dessas constantes iguais a zero Com isso chegamos ao primeiro resultado importante Ez Bz 0 Os campos eletrico e magnetico Ez t e Bz t associados a solucoes puramente ondulatorias nao possuem componente na direcao z De posse dos resultados obtidos ate agora voltemos novamente as Equacoes de Maxwell 2124 Primeiro apliquemos o operador rotaci onal aos dois lados da Equacao 23 E B t 213 Olhe agora para o lado direito desta equacao e note que podemos trocar a ordem em que os operadores de derivada temporal e o rotacional derivadas espaciais sao aplicados ao campo magnetico Dizemos que estes operadores comutam pois a ordem em que sao aplicados nao altera o resultado final Assim ficamos com E B t 214 Podemos agora substituir B nessa equacao pelo lado direito da ultima Equacao de Maxwell 24 Isso nos fornecera E µϵ 2 E t2 215 Veja que dessa forma chegamos a uma equacao independente para o campo eletrico ou seja uma equacao em que apenas o campo E aparece E muito facil obter tambem uma equacao independente para o campo magnetico B Para isso basta repetir os procedimentos acima na Equacao de Maxwell 24 Primeiro apliquemos o rotacional aos dois lados dessa equacao e troquemos a ordem em que os operadores de derivada temporal e o rotacional sao aplicados ao campo eletrico B µϵ E t 216 Agora basta substituir E nessa equacao pelo lado direito da Equacao 23 para obter a equacao desejada B µϵ 2 B t2 217 CEDERJ 36 Estamos quase prontos Precisamos apenas analisar o resultado da aplicação do operador rotacional duas vezes em sucessão aos campos E e B nos lados esquerdos das Equações 215 e 217 Lembrese de que os campos E e B dependem apenas da coordenada espacial z e do tempo t Já calculamos na Expressão 26 o resultado do operador rotacional aplicado a um vetor genérico F que tenha a mesma dependência espaçotemporal dos vetores E e B Para chegarmos ao resultado procurado basta então aplicarmos o rotacional aos dois lados da Expressão 26 É fácil ver que o resultado será F ²Fxz² x ²Fyz² y Exercício 22 Demonstre a Expressão 218 Sugestão utilize a representação do operador rotacional em coordenadas cartesianas e apliquea à Expressão 26 levando em conta o fato de que as componentes de F dependem somente da coordenada espacial z e do tempo t Aplicando esses resultados aos vetores E e B podemos escrever as Equações 215 e 217 na forma ²Exz² x ²Eyz² y με ²Ext² ²Eyt² y ²Bxz² x ²Byz² y με ²Bxt² ²Byt² y Note que ao escrevemos essas equações decompomos os vetores do lado direito em suas componentes cartesianas Além disso usamos o fato de que os campos elétrico e magnético não possuem componentes na direção do eixo z Igualando as componentes correspondentes nos dois lados dessas equações chegamos finalmente às equações que governam o comportamento de cada componente dos campos elétrico e magnético independentemente ²Exz² με ²Ext² 0 Eyz² με Eyt² 0 Bzz² με ²Bxt² 0 Byz² με ²Byt² 0 Introducao as ondas eletromagneticas Pronto Com isto chegamos aonde querıamos Note uma coisa muito inte ressante todas as componentes nao nulas dos campos eletrico e magnetico satisfazem exatamente a mesma equacao diferencial Essa equacao diferencial e muito conhecida e vocˆe ja a encontrou no curso de Fısica IIB e a equacao de onda La vocˆe aprendeu que qualquer funcao f que satisfaca a equacao 2f z2 1 v2 2f t2 0 222 com v constante descreve uma onda que se propaga ao longo da direcao z com velocidade v As Equacoes 221 portanto afirmam a existˆencia de ondas eletromagneticas ou seja nos dizem que qualquer perturbacao do campo eletromagnetico em um dado ponto do espaco se propagara para ou tras regioes do espaco com uma velocidade bem definida Como os campos eletrico e magnetico associados as solucoes ondulatorias 221 nao possuem componente na direcao z eles sao a todo instante ortogonais a sua direcao de propagacao direcao z Isso significa que as ondas eletromagneticas que se propagam em um meio dieletrico perfeitamente transparente sao sempre transversais Se compararmos as Equacoes 221 com a Equacao 222 ve remos que a velocidade v de propagacao das ondas eletromagneticas em um dado meio dieletrico depende apenas da constante dieletrica ϵ e permissivi dade µ desse meio v 1 ϵµ 223 As constantes µ e ϵ podem ser facilmente medidas Na epoca de Maxwell essas constantes haviam sido medidas para varios meios inclusive o vacuo Ao substituir os valores conhecidos dessas constantes para o vacuo na Ex pressao 223 Maxwell teve uma grande surpresa o valor obtido era muito proximo ao valor conhecido para a velocidade da luz no vacuo Baseado nesse resultado que corroborava algumas evidˆencias observadas anteriormente por Faraday Maxwell concluiu que a luz era uma onda eletromagnetica Essa suposicao foi confirmada posteriormente por inumeros experimentos A ve locidade c da luz no vacuo e hoje conhecida com extrema precisao Esse valor esta em perfeita concordˆancia com o valor previsto pela teoria eletro magnetica c 1 ϵ0µ0 3 0 108ms 224 Embora tenha sido utilizada inicialmente apenas para representar a veloci dade de propagacao da luz visıvel no vacuo a constante c e atualmente usada para representarse a velocidade de qualquer onda eletromagnetica no vacuo CEDERJ 38 Introducao as ondas eletromagneticas M ODULO 1 AULA 2 Antes de continuarmos e examinarmos mais de perto algumas carac terısticas importantes das ondas eletromagneticas vamos relembrar uma pro priedade muito importante das solucoes da equacao de onda 222 que vocˆe ja viu na Aula 2 do Modulo 2 do curso de Fısica 2B Dada uma funcao qual quer fz t para que ela seja solucao da equacao de onda 222 basta que dependa das variaveis z e t da maneira fz t Fz vt e seja duplamente diferenciavel com respeito a z e t Note que a forma especıfica da funcao F nao importa basta que a dependˆencia de fz t em relacao as variaveis z e t seja da forma indicada Essa e portanto uma propriedade muito geral da equacao de ondas em uma dimensao Exercıcio 23 Mostre que qualquer funcao fz t Fz vt duplamente diferenciavel com respeito a z e t e solucao da equacao de ondas 222 Solucao vamos simplesmente substituir a funcao fz t na equacao de ondas 222 e mostrar que essa equacao e satisfeita identicamente Seja fz t Fz vt Fφ onde φ z vt Ao derivarmos a funcao f com relacao a z e t podemos aplicar a regra da cadeia z φ z φ t φ t φ onde se subentende que os operadores diferenciais sao aplicados a funcao f E muito facil ver que φz 1 e φt v Logo z φ e t v φ 225 2 z2 2 φ2 e 2 t2 v2 2 φ2 226 Se usarmos os resultados acima ao substituirmos a funcao fz t na equacao de ondas 222 obteremos 2F φ2 1 v2 v22F φ2 2F φ2 2F φ2 0 227 que e satisfeita por qualquer funcao F duplamente diferenciavel com respeito a z e t Com isso demonstramos o que foi pedido 39 CEDERJ Introducao as ondas eletromagneticas O fato de a dependˆencia espacotemporal das solucoes da equacao de onda unidimensional ser necessariamente da forma fz t Fz vt e que determina a caracterıstica mais fundamental das ondas o poder de propagaremse de um ponto do espaco para o outro Note que e a quan tidade φ z vt chamada fase da onda que determina completamente o valor da funcao f pois independentemente dos valores isolados de z e t um dado valor de φ determina completamente o valor de f Imagine agora que num dado instante de tempo t0 e numa dada posicao z0 a fase φ tenha um valor bem determinado φ0 z0 vt0 E claro que num instante de tempo posterior t a fase nao tera mais o valor φ0 na posicao z0 Em que nova posicao z a fase tera novamente o valor φ0 no instante de tempo posterior t E facil ver que essa posicao devera satisfazer a relacao z vt φo z0 vt0 Isso significa que z sera determinado pela equacao z z0 vtt0 Essa equacao e sua velha conhecida e a equacao horaria do movimento retilıneo uniforme Ela esta nos dizendo que a nova posicao z deslocase para a direita se a dependˆencia espacotemporal de f for fz t Fzvt ou para a esquerda se fz t Fzvt com velocidade constante v Isso significa que o valor assumido pela funcao f numa dada posicao deslocase continuamente para a direita ou para a esquerda com velocidade constante v Nisso consiste o fenˆomeno de propagacao de uma onda A Figura 22 nos da um exemplo desse comportamento Nesse caso fz t eαz2t2 descrevendo uma onda que se desloca para a direita com velocidade v 2 ms Note que a forma da onda e uma gaussiana dada pela funcao Fφ eαφ2 E o fato de as variaveis z e t so aparecerem juntas em F na forma z vt que faz com que a gaussiana se desloque como um todo para a direita com velocidade v As ondas em geral assumem as mais variadas formas Figura 22 Onda de formato gaussiano propagandose no sentido positivo do eixo z com velocidade v 2 ms CEDERJ 40 Introducao as ondas eletromagneticas M ODULO 1 AULA 2 Voltemos agora as solucoes ondulatorias 221 para os campos eletrico e magnetico A primeira vista parece que elas dizem que os campos eletrico e magnetico associados a uma onda eletromagnetica sao completamente in dependentes um do outro ja que as componentes desses campos obedecem a equacoes independentes Isso no entanto nao pode ser verdade A existˆencia do termo de corrente de deslocamento ou seja a introducao por Maxwell do efeito recıproco a lei de inducao de Faraday e essencial para a geracao de ondas eletromagneticas um campo magnetico variavel no tempo leva ao surgimento de um campo eletrico Esse campo eletrico tambem sera variavel no tempo e produzira por sua vez um campo magnetico variavel no tempo e assim sucessivamente Os dois componentes da onda o campo eletrico e o campo magnetico alimentamse mutuamente e isso faz com que a onda se propague Os campos eletrico e magnetico associados a uma onda ele tromagnetica devem portanto estar intimamente relacionados Na verdade como veremos a seguir um campo determina completamente o outro Conforme nossa discussao anterior as solucoes gerais das Equacoes 221 deverao ser da forma Ez t Exz vtˆx Eyz vtˆy Bz t Bxz vtˆx Byz vtˆy Sem perda de generalidade vamos analisar as solucoes que representam on das propagandose na direcao positiva do eixo z Isso significa que vamos usar apenas o sinal menos na frente de v nas equacoes acima Entretanto o mesmo raciocınio se aplicara as solucoes que representam ondas propagando se no sentido negativo do eixo x Com essas solucoes voltemos a Equacao de Maxwell 210 escrita na representacao de coordenadas cartesianas Igua lando as componentes x e y do vetor do lado esquerdo as componentes cor respondentes do vetor do lado direito daquela equacao obteremos By z µϵ Ex t 1 v2 Ex t 228 Bx z µϵ Ey t 1 v2 Ey t 229 onde usamos o fato de que v 1µϵ Fazendo uso da fase φ z vt e utilizando a regra da cadeia 33 nas diferenciacoes podemos reescrever as equacoes acima nas formas By φ 1 v Ex φ 230 Bx φ 1 v Ey φ 231 41 CEDERJ Introducao as ondas eletromagneticas Exercıcio 24 Demonstre as Expressoes 230 e 231 Como a fase φ determina completamente o valor das solucoes ondulatorias a Equacao 230 nos diz que as componente By e Ex passam seus valores maximos e mınimos exatamente na mesma posicao e no mesmo instante de tempo Dizemos entao que elas estao sempre em fase Da mesma maneira a Equacao 231 nos diz que as componentes Bx e Ey tambem passam por seus valores extremos na mesma posicao e no mesmo instante de tempo So que quando uma delas esta passando por um maximo a outra esta passando por um mınimo Dizemos entao que essas componentes estao sempre em oposicao de fase Note que podemos facilmente integrar as equacoes acima Byφ 1 v Exφ c1 232 Bxφ 1 v Eyφ c2 233 onde c1 e c2 sao constantes de integracao Como Bx e By sao solucoes ondulatorias as constantes c1 e c2 devem ser necessariamente nulas Caso contrario Bx e By nunca poderiam por exemplo representar um pulso pro pagante ja que seriam diferentes de zero ao longo de todo o eixo z Esse fato nos leva a seguinte relacao entre as componentes de E e B Byz t 1 v Exz t 234 Bxz t 1 v Eyz t 235 onde retornamos as variaveis originais z e t Se usarmos as regras do produto vetorial podemos reescrever essas relacoes em uma unica relacao vetorial Bz t 1 v ˆz Ez t 236 Esta equacao nos mostra o que ja esperavamos os campos eletrico e magnetico associados a uma onda eletromagnetica estao intimamente relacionados Dado o campo eletrico E o campo magnetico B estara completamente determi nado e viceversa Por essa razao costumase descrever uma onda eletro magnetica apenas por meio de seu campo eletrico E associado Como o pro duto vetorial de dois vetores e sempre ortogonal a eles essa equacao tambem CEDERJ 42 Introducao as ondas eletromagneticas M ODULO 1 AULA 2 nos diz que os campos eletrico E e magnetico B sao sempre ortogonais entre si e a direcao de propagacao da onda O fato de os campos E e B serem campos vetoriais implica que para que uma onda eletromagnetica seja com pletamente determinada precisamos descrever a cada instante a direcao desses vetores no plano ortogonal a direcao de propagacao da onda Essa descricao corresponde ao conceito de polarizacao da onda eletromagnetica que vocˆe aprendera daqui a pouco Figura 23 Representacao esquematica de uma onda eletromagnetica propagandose no sentido positivo do eixo z A Figura 23 mostra em uma representacao esquematica um exemplo de onda eletromagnetica propagandose ao longo do eixo z do sistema de coordenadas O que se vˆe e a configuracao da onda em um dado instante de tempo Note que os campos eletrico e magnetico sao ortogonais a direcao de propagacao da onda O campo magnetico anda junto com o campo eletrico estao em fase mas enquanto o campo eletrico esta sempre alinhado ao eixo x o campo magnetico fica sempre alinhado ao eixo y sao ortogonais entre si Se examinassemos a configuracao dos campos em um instante posterior verıamos a mesma imagem em outra posicao do eixo z Na realidade o caso da Figura 23 e um caso particular muito impor tante de onda eletromagnetica Tratase de uma onda plana monocromatica e com polarizacao linear Ate o final deste modulo teremos discutido o sig nificado de cada um destes termos Conclusao Nesta aula obtivemos solucoes ondulatorias das Equacoes de Maxwell em um meio dieletrico transparente Essas solucoes descrevem ondas eletro magneticas que podem propagarse ate no espaco vazio Vimos tambem que 43 CEDERJ Introducao as ondas eletromagneticas a velocidade de propagacao dessas ondas e determinada apenas pela permis sividade ϵ e pela permeabilidade µ do meio dieletrico e que tal velocidade e igual a velocidade de propagacao da luz nesse meio Alem disso mostramos que os campos eletrico e magnetico numa onda eletromagnetica estao inti mamente relacionados Em particular em um meio dieletrico transparente esses campos sao ortogonais entre si e a direcao de propagacao da onda A onda e dita entao transversal Atividades finais 1 Faca a experiˆencia de explicar a uma colega o que e uma onda ele tromagnetica 2 Que grandezas determinam a velocidade de propagacao de uma onda eletromagnetica 3 Como estao relacionados entre si os campos eletrico E e magnetico B associados a uma onda eletromagnetica 4 Agora tente explicar a seu colega por que as ondas eletromagneticas em meios dieletricos transparentes sao ditas transversais Resumo Nesta aula sao derivadas solucoes ondulatorias das Equacoes de Maxwell em situacoes especiais que levam a solucoes simples A propagacao dessas solucoes em um meio dieletrico transparente e estudada e a velocidade de propagacao e explicitamente calculada Alem disso mostramos que relacoes os campos eletrico e magnetico associados a uma onda eletromagnetica devem manter entre si E ao longo da proxima aula introduziremos o conceito de onda plana Vocˆe vera que existem ondas planas especiais chamadas ondas planas monocromaticas que podem ser usadas para descrever qualquer tipo de onda Alem disso veremos que as ondas eletromagneticas transportam energia e momento linear CEDERJ 44 Introducao as ondas eletromagneticas M ODULO 1 AULA 2 Referˆencias Se vocˆe quiser se aprofundar no tema desta aula sugerimos a leitura do livro Fısica basica 4 de H Moyses Nussenzveig editora Edgar Blucher 45 CEDERJ Representacao e propriedades das ondas eletromagneticas M ODULO 1 AULA 3 Aula 3 Representacao e propriedades das ondas eletromagneticas Metas da aula Apresentar as ondas eletromagneticas planas e derivar algumas de suas propriedades Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Explicar o que e uma onda eletromagnetica plana Escrever o campo eletrico associado a uma onda plana monocromatica propagandose ao longo de uma dada direcao Calcular o vetor de Poynting associado a uma onda eletromagnetica Calcular a pressao de radiacao exercida por uma onda eletromagnetica sobre uma superfıcie normal a sua direcao de propagacao Ondas planas monocromaticas Na aula anterior derivamos solucoes ondulatorias das Equacoes de Maxwell na situacao particular em que a variacao espacial dos campos eletrico e magnetico era determinada somente pela variavel z Nessas condicoes vocˆe viu que todas as componentes nao nulas do campo eletromagnetico satisfazem as seguintes equacoes 2Ex z2 µϵ 2Ex t2 0 2Ey z2 µϵ 2Ey t2 0 2Bx z2 µϵ 2Bx t2 0 2By z2 µϵ 2By t2 0 Todas essas equacoes sao exemplos da equacao de onda unidimensional e suas solucoes gerais sao da forma Ez t Ez vt e Bz t Bz vt 47 CEDERJ Representacao e propriedades das ondas eletromagneticas Essas solucoes representam ondas eletromagneticas deslocandose ao longo do eixo z com velocidade v Vocˆe viu tambem que o valor da fase φ z vt determina completamente o valor dos campos eletrico e magnetico em qualquer posicao espacial num dado instante de tempo Se fixarmos este instante de tempo digamos t t0 podemos fazer uma foto da onda ou seja podemos saber os valores assumidos pelos campos eletrico e magnetico em todos os pontos do espaco naquele dado instante de tempo Como seria a foto Para saber isso vocˆe deve notar que o campo eletrico sera o mesmo em todos os pontos do espaco para os quais a fase φ z vt0 assume o mesmo valor A mesma coisa tambem acontecera com o campo magnetico A superfıcie formada por esses pontos nos quais a fase tem o mesmo valor dase o nome de frente de onda No nosso caso e muito facil descobrir quais sao essas superfıcies Elas sao geradas pelos conjuntos de pontos espaciais para os quais a fase φ z vt0 assume um valor constante Esses pontos sao dados pela expressao z φ0 vt0 onde φ0 e o valor constante assu mido pela fase Essa expressao nos diz que as frentes de ondas sao planos ortogonais ao eixo z Na nossa foto verıamos entao uma infinidade de planos ortogonais ao eixo z onde em cada um deles os campos eletrico e magnetico assumem um valor fixo Quando o tempo passa todos esses pla nos deslocamse ao longo do eixo z para a direita ou para a esquerda com velocidade constante v Por esse motivo chamamos ondas eletromagneticas planas aquelas descritas pelo campo eletrico Ez t Ez vt Isso sig nifica que as solucoes ondulatorias das Equacoes de Maxwell obtidas sob as condicoes especiais discutidas na aula anterior representam ondas eletro magneticas planas transversais propagandose ao longo do eixo z Ao derivarmos tais solucoes supomos que a variacao espacial dos cam pos eletrico e magnetico era determinada somente pela variavel espacial z No entanto como o espaco e isotropico e nenhuma direcao nele e especial poderıamos muito bem ter escolhido o eixo z em qualquer outra direcao ar bitraria Podemos concluir portanto que em situacoes mais gerais devem existir solucoes das Equacoes de Maxwell representando ondas planas trans versais deslocandose ao longo de uma direcao qualquer representada pelo vetor unitario ˆk Como deve ser a representacao dessas ondas CEDERJ 48 Em situações gerais podese mostrar que todas as componentes dos campos elétrico e magnético satisfazem uma equação de onda tridimensional 2Ei x2 2Ei y2 2Ei z2 µε 2Ei t2 0 i x y z 2Bi x2 2Bi y2 2Bi z2 µε 2Bi t2 0 i x y z Seja fx y z t qualquer uma das componentes dos campos elétrico ou magnético Mostremos que qualquer função fx y z t Fk r vt onde k é um vetor unitário e r x x y y z z satisfaz a equação de onda tridimensional 2f t2 2f y2 2f z2 1 v2 2f t2 0 Para isso basta seguir o procedimento empregado no exercício 23 da aula anterior onde usamos a equação de onda unidimensional Seja fx y z t Fk r vt Fφ onde φ k r Ao derivarmos a função f com relação a x y z e t podemos aplicar a regra da cadeia x k φ y ky φ z kz φ t v1 φ Então 2 x2 k2x 2 φ2 2 y2 k2y 2 φ2 2 z2 k2z 2 φ2 2 t2 v2 2 φ2 Se usarmos os resultados acima ao substituirmos a função fx y z t na equação de ondas 32 obtemos k2x k2y k2z 2F φ2 1 v2 v2 2F φ2 0 Agora como k é um vetor unitário k2x k2y k2z k2 1 e a equação acima se reduz a 2F φ2 2F φ2 0 que é satisfeita por qualquer função F duplamente diferenciável em relação a x y z e t Como estamos demonstramos o que queríamos Representacao e propriedades das ondas eletromagneticas Examinemos agora que superfıcies representam as frentes de onda das ondas descritas por fx y z t Fˆk r vt Para isso basta fixarmos o instante de tempo digamos t t0 e descobrirmos para quais pontos do espaco descritos pelo vetor posicao r a fase φ ˆk r vt0 assume um valor constante φ0 Observe que esses pontos satisfazem a equacao ˆk r φ0 vt0 Essa no entanto e a equacao de um plano ortogonal ao vetor ˆk cuja distˆancia d a origem do sistema de coordenadas no tempo t0 e dada por dt0 φ0 vt0 Note que em um instante de tempo posterior t t0 t a distˆancia desse plano a origem de coordenadas mudara para dt0 t φ0 vt0 t dt0 vt Isso nos mostra que quando o tempo passa os planos que representam as frentes de onda deslocamse ao longo da direcao positiva do vetor ˆk com velocidade constante v Figura 31 Construcao de um plano perpendicular ao vetor ˆk e contendo o ponto representado pelo vetor posicao r0 Os vetores r e r representam pontos genericos do plano CEDERJ 50 Exercício 31 Mostre que os pontos descritos pelo vetor posição r que satisfaz a equação k r C onde C é uma constante e k é um vetor unitário geram um plano perpendicular ao vetor k cuja distância à origem é dada por C Solução seja r0 o vetor posição de um ponto particular de uma superfície S e seja r0 o vetor posição de um ponto genérico dessa superfície veja a Figura 31 Então a cada ponto da superfície podemos associar um vetor r r0 De cada um desses vetores satisfazer a equação k r r0 0 cada um desses vetores será ortogonal ao vetor k já que seus produtos internos com o vetor k são todos nulos Isso significa no entanto que todos os vetores r r0 estão em um mesmo plano que é ortogonal ao vetor k Olhando para a Figura 31 é fácil ver que neste caso os pontos representados pelo vetor posição r0 e todos os vetores posição r geram um plano perpendicular ao vetor k Portanto os pontos representados pelo vetor posição r que satisfaz a equação k r r0 0 que pode ser reescrita como k r r0 C geram um plano perpendicular ao vetor k Na Figura 31 também podemos concluir que C k r0 é a distância do plano à origem do sistema de coordenadas Note que um plano é a superfície formada por todos os pontos cujos vetores posição têm mesma projeção ao longo de uma dada direção e isso é o que nos diz a equação k r C A onda descrita por fx y z t Fk r vt é portanto uma onda plana deslocandose ao longo da direção representada pelo vetor unitário k com velocidade constante v Se escolhemos o vetor k como k z teremos a situação particular discutida na aula anterior de uma onda propagandose na direção positiva do eixo z com velocidade v já que z r z Se escolhemos k z teremos uma onda propagandose na direção oposta Com isso respondemos a pergunta acerca da representação de uma onda plana propagandose ao longo de uma direção qualquer e também mostramos que mesmo em situações mais gerais do que aquelas descritas na aula anterior existem soluções ondulatórias das Equações de Maxwell que representam ondas eletromagnéticas planas propagandose ao longo de uma direção arbitrária k Essas ondas são descritas por campos elétricos da forma Ex y z t Er t E k r vt Representacao e propriedades das ondas eletromagneticas Note que essas ondas ainda devem ter as mesmas propriedades que as ondas planas deslocandose ao longo do eixo z os campos eletrico e magnetico ainda devem ser ortogonais entre si e a direcao de propagacao da onda Isso significa que o campo eletrico Er t e o campo magnetico Br t ainda estao relacionados um ao outro pela equacao Br t 1 v ˆk Er t 38 onde v 1ϵµ E importante salientar que em contraposicao a equacao de onda unidimensional cujas solucoes gerais sao necessariamente ondas planas a equacao de onda tridimensional admite varias classes de solucoes sendo as solucoes de ondas planas apenas uma dessas classes Como exemplos de outras classes de solucoes podemos citar as ondas esfericas e as ondas cilındricas Vocˆe deve estar se perguntando por que estamos dando tanta ˆenfase as ondas planas De fato as ondas eletromagneticas podem ser muito com plicadas em sua distribuicao espacial evolucao temporal e propriedades de interacao Atualmente as tecnicas matematicas do eletromagnetismo classico nao quˆantico sao tao poderosas que e possıvel descrever com grande qua lidade fenˆomenos eletromagneticos muito complicados tais como o espalha mento de luz por partıculas dieletricas de formato arbitrario e a interacao de luz laser com cristais naolineares Para simplificar problemas tao complicados normalmente decompo mos as ondas eletromagneticas em somatorios de ondas muito mais simples Desta forma podemos analisar o comportamento de cada uma destas ondas mais simples independentemente e depois podemos somar novamente estas componentes Com isso obtemos o resultado final de um problema compli cado como uma soma de solucoes de problemas mais simples Esta e uma estrategia muito utilizada em matematica e fısica nao apenas no eletromag netismo Por exemplo a luz gerada por um laser pode ser decomposta em ondas planas Em muitas situacoes podemos aproximar o feixe de luz laser por uma unica onda plana na regiao do espaco proxima do centro do feixe O interessante e que tais ondas simples sao geralmente tipos espe ciais de ondas planas chamadas ondas planas harmˆonicas ou ondas planas monocromaticas Daı o nosso interesse pelas ondas planas Mas o que sao ondas planas harmˆonicas Note que ate o momento na expressao da onda plana fr t Fˆk r vt nos nao especificamos a funcao F que pode ser CEDERJ 52 completamente arbitrária As ondas planas harmônicas ou monocromáticas são aquelas para as quais a função F mostra uma dependência senoidal com a fase φ k r vt Em outras palavras as ondas planas harmônicas são aquelas que podem ser escritas como fr t A cos k k r vt φ0 onde a constante k é chamada de número de onda A e φ0 também são constantes Você já encontrou esse tipo de onda no caso em que k x no curso de Física 2B Mais especificamente na Aula 2 do Módulo 2 daquele curso Lá essas ondas foram chamadas ondas progressivas harmônicas Nós sugerimos que você retorne àquela aula e relembre os conceitos relacionados às ondas harmônicas como frequência período temporal comprimento de onda número de onda etc Frequentemente as ondas planas harmônicas são escritas de uma forma ligeiramente diferente da expressão acima fr t A cos k r ωt φ0 onde k k k é chamado vetor de onda v kω é a frequência angular da onda φ é a função de fase É do fato de essa onda ter uma frequência ν ω2π bem definida que lhe confere a denominação de monocromática De fato nosso sentido da visão associa cores a uma certa faixa de frequências das ondas eletromagnéticas que atingem nossos olhos Por exemplo associamos a cor azul a ondas eletromagnéticas de frequência em torno de ν 6 7 1014Hz que corresponde a um comprimento de onda λ 450 nm veja a Figura 21 da aula anterior Lembre que A representa a amplitude da onda e λ 2πk seu comprimento de onda As ondas eletromagnéticas elementares que discutimos neste curso serão ondas eletromagnéticas planas monocromáticas Os campos elétricos e magnéticos associados a uma classe importante dessas ondas serão por exemplo descritos por Er t E0 cos k r ωt φ0 Br t B0 cos k r ωt φ0 onde E0 e B0 são vetores constantes e relacionados entre si através da expressão pressão B0 1 v k E0 Veremos na próxima aula que os campos acima descrevem uma onda eletromagnética plana monocromática e linearmente polarizada Representacao e propriedades das ondas eletromagneticas Vetor de Poynting Quando uma onda eletromagnetica se propaga transporta energia e pode transferir esta energia para os corpos com os quais eventualmente inte raja Em nossa vida diaria temos varias experiˆencias que comprovam esta afirmacao Um exemplo e a radiacao que vem do sol Quando as ondas eletromagneticas que vˆem do sol interagem com o corpo humano sentimos imediatamente o calor provocado principalmente pela parcela de infraverme lho e de microondas presentes na radiacao solar Alem disto a exposicao ao sol provoca o bronzeamento principalmente devido ao ultravioleta To dos estes efeitos envolvem transferˆencia de energia da onda eletromagnetica para o corpo humano A transferˆencia da energia da onda para um objeto depende muito das propriedades do material de que o objeto e constituıdo Nesta secao estudaremos a relacao entre a energia transportada por uma onda e seus campos eletrico e magnetico associados Uma onda eletromagnetica existe dentro de alguma regiao do espaco Como sabemos que os campos eletrico e magnetico podem armazenar energia podemos nos perguntar qual e a densidade de energia eletromagnetica ener gia por unidade de volume na regiao ocupada pela onda Podese mostrar que a densidade de energia uE associada ao campo eletrico E e a densidade de energia uB associada ao campo magnetico B em um determinado ponto do espaco sao dadas por uE ϵ 2 E E ϵ 2 E2 uB 1 2µ B B 1 2µ B2 312 Logo a densidade de energia total u armazenada na regiao ocupada pela onda eletromagnetica e u uE uB Agora numa onda eletromagnetica sa bemos que os campos E e B estao intimamente relacionados Em particular para uma onda plana sabemos que essa relacao e dada por B 1 v ˆk E µϵ ˆk E 313 Dado que ˆk e um vetor de modulo unitario a relacao acima nos diz que B Ev µϵE Se substituirmos essa expressao na equacao 312 para a densidade de energia uB teremos uB 1 2µ B2 µϵ 2µE2 ϵ 2E2 uE 314 Veja que interessante Em uma onda eletromagnetica plana a cada instante metade da energia esta armazenada na forma de energia eletrica e metade na forma de energia magnetica CEDERJ 54 Representacao e propriedades das ondas eletromagneticas M ODULO 1 AULA 3 Agora que sabemos qual e a densidade de energia armazenada em qualquer ponto dentro de uma regiao ocupada por uma onda eletromagnetica podemos nos perguntar como ocorre o transporte dessa energia de um lugar para outro quando a onda eletromagnetica se propaga Chamemos S o fluxo de energia por unidade de tempo atraves de uma area unitaria que esta sendo atravessada por uma onda eletromagnetica Como podemos calcular o valor de S A Figura 32 mostra uma representacao esquematica de uma onda eletromagnetica viajando com velocidade v e atravessando uma certa area A Durante um intervalo de tempo muito curto t apenas a energia contida no volume v t A atravessara a area A Essa energia sera dada por U u v t A Assim o valor de S sera S U t A u v t A t A u v 315 Podemos modificar a forma da expressao anterior se lembrarmos que u uE uB 2uB dado que uE uB Lembrando ainda que v 1µϵ podemos escrever S 2uB v 2 1 2µB2 1 µϵ 1 µµϵB B 1 µ E B 316 onde usamos o fato de que B µϵ E Figura 32 Representacao esquematica do fluxo de energia eletromagnetcia atraves de uma area A Agora nos vamos supor que a energia eletromagnetica flua ao longo da direcao de propagacao da onda e introduzir um vetor associado a esse fluxo pela equacao S 1 µ E B 317 O vetor S e chamado vetor de Poynting e seu modulo e igual a grandeza S definida na equacao 315 Alem disso a direcao de S define a direcao 55 CEDERJ John Henry Poynting nasceu em Manchester Inglaterra em 1852 Em 1884 publicou o trabalho sobre o transporte de energia eletromagnética definindo o que hoje é conhecido como vetor de Poynting Também é conhecido por ter medido a constante da gravitação universal em 1891 e por ter previsto o efeito de arraste de partículas de poeira no Sistema Solar em direção ao Sol efeito PoyntingRobertson No caso particular de uma onda plana monocromática para a qual mathbfE mathbfE0 cos mathbfk cdot mathbfr omega t phi0 o vetor de Poynting será dado por mathbfS frac1mu v E02 cos2mathbfk cdot mathbfr omega t phi0 hatmathbfk frac12 mu v E02 left1 cos2 mathbfk cdot mathbfr 2 omega t 2 phi0right hatmathbfk Exercício 32 Escreva a intensidade da onda eletromagnética como uma função da densidade de energia uE armazenada no campo elétrico e também como uma função da densidade de energia uB armazenada no campo magnético Representacao e propriedades das ondas eletromagneticas M ODULO 1 AULA 3 Figura 33 Feixe de luz laser de raio R Pressao de Radiacao Como vocˆe viu uma onda eletromagnetica carrega energia Na nossa experiˆencia diaria percebemos varios efeitos dos diferentes tipos de radiacao sobre os objetos Uma pergunta interessante seria se a luz e capaz de exer cer uma forca sobre os objetos A resposta e afirmativa porque as ondas eletromagneticas tambem transportam momento linear alem de energia O momento linear transportado por uma onda eletromagnetica plana atraves de uma area A normal a sua direcao de propagacao e dado por p U c ˆk 327 onde U e a quantidade de energia transportada pela onda que atravessa a area A Note que o momento linear que e uma grandeza vetorial tem a direcao e o sentido da propagacao da onda Uma forma de visualizar o transporte de momento linear seria imaginar que a luz e feita de minusculas bolinhas e que cada bolinha ao colidir com um certo corpo transferiria momento linear para ele empurrandoo no sentido da propagacao do feixe de luz Obviamente a teoria eletromagnetica nao prevˆe que a luz seja composta por bolinhas mas sim uma onda contınua Mesmo assim podese mostrar que um feixe de luz transfere sim momento linear para um corpo exercendo pressao sobre ele como se fosse por exemplo um jato de agua Vamos inicialmente calcular o momento linear transferido por uma onda eletromagnetica no caso em que toda a fracao de energia da onda que incide sobre o corpo e absorvida por ele Aqui faremos um tratamento unidimensional ou seja vamos supor que todas as grandezas que sao ve toriais sejam paralelas a uma mesma direcao Nesse caso como toda a energia eletromagnetica que incide sobre o corpo e absorvida por ele a mesma coisa acontecera com o momento linear associado a essa energia 59 CEDERJ Representacao e propriedades das ondas eletromagneticas Pela equacao 327 o momento linear transferido ao corpo sera p U c 328 onde U e a quantidade de energia absorvida pelo corpo Note que o mo mento transferido ao corpo aponta no sentido de propagacao da onda Figura 34 Representacao esquematica da incidˆencia suida pela reflexao total de um feixe de luz laser sobre a face plana de um corpo Qual seria o momento transferido se o corpo em vez de absorver toda a energia da onda que incide sobre ele a refletisse completamente Este seria por exemplo o caso se o corpo sobre o qual a onda incide fosse perfeitamente espelhado Examinemos a situacao mais simples em que a onda incide sobre a face plana de um corpo estando essa face orientada ao longo da direcao normal a direcao de propagacao da onda veja a Figura 34 Como a onda e completamente refletida ou seja nenhuma fracao da energia incidente so bre o corpo e absorvida ela retornara propagandose no sentido inverso transportando o mesmo momento linear que transportava antes O vetor momento linear no entanto aponta no sentido oposto ao sentido anterior A variacao do momento linear transportado pela onda antes e depois da re flexao sera portanto p 2Uc onde Uc e o momento transportado pela onda ate o corpo Como o momento linear total do sistema formado pelo corpo e pela onda deve ser conservado a variacao no momento linear do corpo deve corresponder exatamente ao oposto da variacao do momento da onda O momento linear transferido ao corpo sera portanto p 2U c 329 CEDERJ 60 Representacao e propriedades das ondas eletromagneticas M ODULO 1 AULA 3 Observe que neste caso o momento linear transferido da onda para o corpo e o dobro do momento transferido no caso de absorcao total da onda pelo corpo Se ao incidir sobre um corpo a onda causa uma mudanca no momento linear do corpo a onda exerce uma forca sobre o corpo Podemos determinar o valor medio dessa forca calculando a quantidade de momento linear p transferido da onda ao corpo durante um intervalo de tempo muito curto t F p t 330 Essa forca naturalmente dependera da area do corpo sobre a qual a onda incide pois quanto maior essa area maior a quantidade de energia que incide sobre o corpo Existe uma grandeza intimamente ligada a essa forca mas que apresenta a vantagem de ser independente da area do corpo Essa grandeza se chama pressao de radiacao e e igual a forca media exercida pela onda por unidade de area normal a direcao de propagacao da onda pr F A 331 onde A e a area do corpo normal a direcao de propagacao da onda Note que estamos usando o sımbolo pr para pressao de radiacao e p para o momento Calculemos agora a pressao de radiacao sobre o corpo nos casos discutidos ha pouco em que a onda e completamente absorvida ou completamente refletida pelo corpo No primeiro caso teremos pr F A p At U cAt 332 onde usamos as equacoes 330 e 328 Podemos relacionar a energia U transportada atraves de uma area A durante um certo intervalo de tempo t com a intensidade I da onda U IAt 333 Substituindo a expressao anterior na equacao 332 obtemos para o caso de absorcao total pr I c 334 Como o momento linear transferido ao corpo pela onda no caso de reflexao total da onda corresponde ao dobro do momento transferido na 61 CEDERJ Representacao e propriedades das ondas eletromagneticas absorcao total e facil ver que nesse caso a pressao de radiacao sera dada por pr 2I c 335 Exercıcio 34 Suponha que o feixe de luz laser considerado no exercıcio 33 incida sobre um espelho plano de area muito maior que a area da secao reta do feixe ao longo da direcao normal ao espelho Toda a potˆencia incidente e refletida pelo espelho Calcule a pressao de radiacao e a forca exercidas pelo feixe de luz Solucao A pressao de radiacao e dada por pr I c 11 106Nm2 336 Esta pressao atua sobre a area iluminada pelo feixe que e igual a area A da sua secao reta Entao o modulo da forca vale lembre que 1pN 1012N F pr A 333pN 337 e a sua direcao e sentido coincidem com a direcao e sentido de propagacao do feixe Desta forma podemos ver que um feixe de luz ou uma onda eletro magnetica qualquer exerce uma pressao sobre o corpo no qual ela incide Esta pressao e proporcional a intensidade da onda como ja poderıamos in tuir Experimentos foram feitos demonstrando a pressao de radiacao e hoje em dia esta ideia e tao bem aceita que existem ate projetos de naves es paciais que utilizam as chamadas velas solares Sao naves equipadas com enormes superfıcies refletoras Ao incidir sobre estas superfıcies a luz do sol exerceria pressao de radiacao sobre as superfıcies impulsionando a nave no sentido de propagacao da luz solar Esta forca seria pequena se com parada com os poderosos propulsores a combustao Entretanto como no espaco nao ha atrito e como a forca atua o tempo todo o efeito acumulado deste tipo de propulsao poderia levar uma nave a velocidades altıssimas apos algum tempo CEDERJ 62 Representacao e propriedades das ondas eletromagneticas M ODULO 1 AULA 3 Exercıcio 35 Um veleiro solar possui um espelho plano de area A 400m2 A intensi dade da radiacao solar no topo da atmosfera terrestre vale I 14kWm2 Calcule a forca exercida pela radiacao sobre o veleiro quando o seu espelho e perpendicular a direcao de propagacao da radiacao Solucao O modulo da forca e o produto da pressao de radiacao pela area do veleiro F I c A 19 103N 338 A direcao e o sentido de F coincidem com a direcao e o sentido da pro pagacao da radiacao Conclusao Nesta aula obtivemos solucoes ondulatorias das Equacoes de Maxwell mais gerais que as solucoes obtidas na aula anterior Essas solucoes sao chamadas ondas planas Alem disso vocˆe viu que existe uma classe de on das planas muito importante chamadas de ondas planas monocromaticas Tambem vimos que as ondas eletromagneticas transportam energia e mo mento linear A cada instante a energia transportada por uma onda plana esta igualmente dividida em energia eletrica e energia magnetica Introduzi mos o vetor de Poynting S que tem o mesmo papel com relacao a energia eletromagnetica que o vetor densidade de corrente J tem em relacao a cor rente eletrica Tambem introduzimos o conceito de intensidade de uma onda eletromagnetica Alem disso vocˆe observou que uma onda ao incidir sobre um corpo exerce uma pressao sobre ele chamada pressao de radiacao e aprendeu a calcular essa pressao em algumas situacoes simples Atividades Finais 1 Faca a experiˆencia de explicar a uma colega o que e uma onda plana monocromatica Deixe claro qual propriedade da onda esta relacionada ao carater de onda plana e qual propriedade esta relacionada ao carater de onda monocromatica 63 CEDERJ Representacao e propriedades das ondas eletromagneticas 2 Defina o vetor de Poynting associado a uma onda eletromagnetica e descreva qual a relacao desse vetor com o transporte de energia eletro magnetica pela onda 3 Qual e a relacao entre o vetor de Poynting e a densidade de energia dos campos eletrico e magnetico 4 O que e a intensidade de uma onda eletromagnetica 5 Qual a relacao entre a intensidade de um feixe de luz e a pressao exer cida por ele sobre um corpo absorvedor e sobre um corpo refletor Resumo Uma onda plana e uma onda cujas frentes de onda sao planos or togonais a direcao de propagacao da onda Existem classes de solucoes das Equacoes de Maxwell que podem ser representadas por ondas planas propagandose ao longo de uma direcao qualquer do espaco Uma onda eletromagnetica ao propagarse transporta energia e momento linear O transporte de momento linear pela onda da origem a pressao de radiacao que e proporcional a intensidade da onda E ao longo da proxima aula vocˆe aprendera o que e a polarizacao de uma onda e vera que exis tem varios tipos de polarizacao possıveis Alem disso vocˆe ira analisar a interacao da luz com varios instrumentos sensıveis a polarizacao CEDERJ 64 Polarizacao M ODULO 1 AULA 4 Aula 4 Polarizacao Meta da aula Introduzir o conceito de polarizacao de uma onda eletromagnetica Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Explicar o que e polarizacao de uma onda eletromagnetica Definir os estados de polarizacao mais comuns Determinar por meio da analise de duas componentes ortogonais do campo eletrico de uma onda o estado de polarizacao da mesma Estados de polarizacao No final da Aula 2 vocˆe viu que em meios transparentes as ondas eletromagneticas sao transversais Isso significa que a cada instante os campos eletrico e magnetico associados a uma tal onda devem ser ortogonais a direcao de propagacao da mesma Note que essa condicao exige apenas que os campos eletrico e magnetico estejam a cada instante em um plano ortogonal a direcao de propagacao da onda No entanto os campos E e B sao vetores e podem apontar a cada instante ao longo de qualquer direcao contida nesse plano Por esse motivo para que uma onda eletromagnetica seja completamente determinada precisamos descrever a cada instante nao so o modulo mas tambem a direcao desses vetores nos planos ortogonais a direcao de propagacao da onda Essa descricao esta intimamente relacionada ao conceito de polarizacao da onda eletromagnetica que nos discutiremos a partir de agora Lembrese de que os campos eletrico e magnetico associados a uma onda eletromagnetica estao intimamente relacionados Dado o campo eletrico E o campo magnetico B estara completamente determinado e viceversa Por essa razao para descrever uma onda eletromagnetica basta descrever apenas um desses campos Costumase usar o campo eletrico E para descrever a onda Foi isso o que fizemos ao discutirmos alguns aspectos relacionados as ondas eletromagneticas tais como o transporte de energia e o vetor de 65 CEDERJ Polarizacao Poynting bem como a capacidade de uma onda eletromagnetica de transferir momento linear aos corpos sobre os quais ela incide Existe uma razao tecnica pela qual preferimos a descricao pelo campo eletrico numa ampla faixa do espectro eletromagnetico o campo eletrico tem um papel mais importante do que o campo magnetico nas interacoes com a materia Portanto discutiremos a polarizacao da luz em termos do campo eletrico Alem disso vamos trabalhar com as ondas planas monocromaticas que nos permitem ter uma visao mais simples do que e a polarizacao e qual e o seu papel na propagacao da luz e em suas interacoes com a materia Figura 41 Representacao esquematica de uma onda plana propagandose ao longo do eixo z Os dois planos representam frentes de onda Em cada um deles as setas representam o vetor campo eletrico Note que os tamanhos das setas amplitude do campo variam de um plano a outro mas nao dentro do mesmo plano Veja a Figura 41 Essa figura mostra uma representacao esquematica de uma onda plana propagandose ao longo do eixo z Sao mostradas duas frentes de onda que nesse caso sao planos ortogonais ao eixo z Como vocˆe viu na aula anterior em uma tal onda o campo eletrico E pode variar com o tempo e com a posicao z mas em cada frente de onda no nosso caso em cada plano ortogonal ao eixo z o campo eletrico E deve ser constante Alem disso como a onda e transversal o vetor campo eletrico deve estar contido nesses planos ou seja nao possuir componente ao longo do eixo z Desta forma em cada posicao z e para cada instante de tempo t o campo eletrico da onda e completamente determinado por suas componentes Exz t e Eyz t ao longo dos eixos x e y respectivamente Em particular o ˆangulo θ entre o vetor campo eletrico E e o eixo x e tal que tanθ Eyz tExz t A medida que a onda se propaga o valor de cada uma dessas componentes numa dada posicao z varia no tempo Com isso a direcao do vetor campo eletrico E na posicao z que pode ser medida atraves do ˆangulo θ tambem pode variar no tempo CEDERJ 66 Polarizacao M ODULO 1 AULA 4 A polarizacao da luz ou de qualquer onda eletromagnetica e determi nada pelo comportamento temporal da orientacao do vetor campo eletrico em qualquer plano ortogonal a direcao de propagacao da onda Assim se em uma dada posicao z apenas o modulo e o sentido do vetor campo eletrico mudam no tempo permanecendo sua direcao constante dizemos que a onda e linear mente polarizada A direcao da polarizacao e dada nesse caso pelo ˆangulo θ entre o vetor campo eletrico e o eixo x veja a Figura 42a Tambem podemos ter a situacao onde em uma dada posicao z o modulo do campo eletrico e constante no tempo mas sua direcao varia periodicamente Nesse caso a extremidade do vetor campo eletrico descreve um cırculo no plano xy Dizemos entao que a onda e circularmente polarizada O sentido de rotacao do vetor campo eletrico pode ser tanto antihorario quanto horario Para distinguir esses dois sentidos de rotacao no primeiro caso dizemos que a onda e circularmente polarizada a direita Figura 42b no segundo caso dizemos que ela e circularmente polarizada a esquerda Figura 42c Em geral tanto o modulo quanto a direcao do campo eletrico variam no tempo em uma dada posicao Nesses casos a extremidade do vetor campo eletrico descreve uma elipse no plano xy Dizemos entao que a onda e elipticamente polarizada Figura 42 Representacao esquematica do comportamento temporal do vetor campo eletrico em uma onda polarizada a polarizacao linear b polarizacao circular a esquerda c polarizacao circular a direita Muitos materiais inclusive o sistema visual de alguns animais sao sensıveis a polarizacao das ondas eletromagneticas Alem disso como vocˆe vera adiante muitos efeitos opticos dependem da polarizacao da luz Vejamos como deve ser a expressao do campo eletrico para ondas de di ferentes polarizacoes Para esse fim introduziremos uma nova representacao chamada complexa para os campos eletrico e magnetico de uma onda plana monocromatica que facilitara a identificacao do tipo de polarizacao da onda 67 CEDERJ Polarizacao Algumas vezes no decorrer de calculos mais longos observamos que e trabalhoso tratar com as funcoes seno e cosseno que descrevem as ondas harmˆonicas Nesses casos e vantajoso usar uma representacao dessas funcoes em termos de numeros complexos Por meio dessa representacao as funcoes trigonometricas sao substituıdas por funcoes exponenciais que sao muito mais simples de serem tratadas Com a ajuda da formula de Euler eiθ cos θ i sen θ 41 podemos escrever uma representacao complexa dos campos eletrico Er t e magnetico Br t de uma onda plana monocromatica na seguinte forma Er t E0 eikrφ0eiωt 42 Br t B0 eikrφ0eiωt onde E0 e B0 sao vetores reais Note que E e B sao grandezas complexas e como tais nao podem ser diretamente identificadas com grandezas fısicas mensuraveis como os campos eletrico e magnetico que sao necessariamente reais Portanto durante os calculos usamos os campos complexos a fim de tirar vantagem da facilidade com que podemos tratar funcoes exponenciais No entanto terminados os calculos se quisermos saber o valor de fato de qualquer grandeza fısica mensuravel devemos tomar a parte real das expressoes resultantes Nos casos em que um campo e multiplicado por outro ou por si mesmo devemos ter muito cuidado ao usarmos a representacao complexa dos mesmos Quando isso ocorrer chamaremos sua atencao para as devidas precaucoes a serem tomadas Se quisermos por exemplo saber quais os campos fısicos representados pelos campos complexos das equacoes 42 basta tomarmos a parte real daquelas expressoes Er t ReEr t ReE0ei krωtφ0 E0 cos k r ωt φ0 Br t Re Br t Re B0ei krωtφ0 B0 cos k r ωt φ0 Voltemos a nossa onda plana monocromatica propagandose ao longo do eixo z A representacao complexa do campo eletrico de uma tal onda pode ser escrita como Ex y z t E0zeiωt 43 onde E0z e um vetor complexo sem componente ao longo do eixo z Note que nao e possıvel a priori dizer qual e o tipo de polarizacao da onda plana CEDERJ 68 Ex y z t Exz hatx Eyz haty eiomega t E0x eiphix hatx E0y eiphiy haty eikz omega t Polarizacao duas diferencas entre essas componentes A primeira e a diferenca de fase δ entre elas A segunda esta nas amplitudes E0x e E0y de cada componente Analisemos agora alguns casos concretos Situacao em que δ 2nπ com n 0 1 2 Nesse caso como cos θ 2nπ cos θ podemos escrever Ex y z t E0x ˆx E0y ˆy coskz ωt 49 E0 coskz ωt onde E0 e um vetor constante Observe que o campo eletrico e dado por um vetor constante multiplicado por uma funcao escalar periodica de z e t Sabemos que a multiplicacao de um vetor por um numero resulta em um vetor paralelo ao vetor original Logo a direcao do vetor campo eletrico na Equacao 49 e constante Apenas seu modulo e seu sen tido variam periodicamente Com isso podemos concluir que quando δ 2nπ o campo eletrico 48 representa uma onda linearmente po larizada Note tambem que nesse caso a direcao θ da polarizacao da onda e dada por θ tan1 E0yE0x Como E0x e E0y sao constan tes positivas o campo eletrico oscila ao longo de uma linha localizada nos quadrantes 1 e 3 O caso especial em que E0x E0y ou seja as amplitudes das componentes Ex e Ey do campo eletrico sao iguais e mostrado na Figura 43a Essa figura mostra a trajetoria seguida pela extremidade do vetor campo eletrico em um plano arbitrario z z0 E facil ver que quando E0x E0y a direcao de polarizacao e θ 45 Alem disso quando E0y e nulo a onda esta linearmente polarizada na direcao x quando E0x e nulo a onda esta linearmente polarizada na direcao y nao importando valor de δ Situacao em que δ 2n 1π com n 0 1 2 Nesse caso como cos θ 2n 1π cos θ teremos Ex y z t E0x ˆx E0y ˆy coskz ωt 410 E 0 coskz ωt onde E 0 tambem e um vetor constante Essa situacao e bastante similar a situacao anterior A onda e linearmente polarizada A unica diferenca e que agora a direcao de polarizacao e dada por θ tan1 E0yE0x Por isso o campo eletrico oscila ao longo de uma linha localizada nos quadrantes 2 e 4 O caso especial em que E0x E0y e mostrado na Figura 43d Agora a direcao de polarizacao e θ 135 CEDERJ 70 exta ext polarização linear a 45circ ext b polarização circular à direita com delta 0 Ex y z t E0 coskz omega t hatx sinkz omega t haty Ex y z t E0x coskz omega t hatx E0y sinkz omega t haty Essa equação nos diz que a trajetória descrita pela extremidade do vetor campo elétrico em um plano arbitrário z z0 é uma elipse de semieixos E0x e E0y orientados ao longo dos eixos x e y respectivamente É também fácil observar que a trajetória será percorrida no sentido antihorário A Figura 43f mostra um exemplo de trajetória para esse caso A mesma coisa acontecerá para δ 5π3 2nπ Nesse caso no entanto a elipse será percorrida no sentido horário Polarizacao Isso significa que a superposicao de duas ondas planas monocromaticas de mesma frequˆencia e com polarizacoes lineares em direcoes ortogonais pode dar origem a uma onda com qualquer polarizacao Para isso e bastante que os coeficientes dessa superposicao sejam adequadamente escolhidos Dizse por esse motivo que dois estados de polarizacao linear ortogonais entre si formam uma base para os estados de polarizacao da luz ou seja qualquer estado de polarizacao pode ser gerado por uma combinacao adequada desses dois estados Assim podemos chamar os vetores unitarios ˆx e ˆy de vetores de polarizacao linear Alem disso qualquer combinacao desses dois vetores gera um outro vetor de polarizacao nao necessariamente linear Exercıcio 42 Mostre que os vetores ˆϵ1 1 2 ˆx ˆy 420 e ˆϵ2 1 2 ˆx ˆy tambem formam uma base para os estados de polarizacao de uma onda plana monocromatica propagandose ao longo do eixo z Isso significa que qualquer estado de polarizacao tambem pode ser escrito em termos desses dois vetores Sugestao Mostre que os vetores ˆϵ1 e ˆϵ2 tˆem as mesmas propriedades dos vetores ˆx e ˆy eles sao unitarios e ortogonais entre si Isso e suficiente para que esses vetores formem uma base para os estados de polarizacao Lembrese de que dois vetores sao ortogonais se seu produto escalar e nulo Para ser completo escreva as representacoes dos vetores de polarizacao ˆx e ˆy em termos dos vetores ˆϵ1 e ˆϵ2 CEDERJ 74 Polarizacao M ODULO 1 AULA 4 Exercıcio 43 Qual e a polarizacao das ondas descritas pelos seguintes campos eletricos Ex y z t E0eikzωtˆϵ1 Ex y z t E0eikzωtˆϵ2 onde ˆϵ1 e ˆϵ2 foram definidos no Exercıcio 42 Sugestao Proceda da mesma maneira que na resolucao do Exercıcio 41 Para simplificar o entendimento da polarizacao restringimonos a ondas propagandose ao longo do eixo z E muito simples agora que vocˆe entendeu o que e a polarizacao da onda estender a discussao a ondas propagando se ao longo de uma direcao arbitraria ˆk Dado o carater transversal das ondas eletromagneticas que nos interessam o vetor campo eletrico a cada instante tem necessariamente de estar em um plano ortogonal ao vetor ˆk Se nesse plano escolhermos duas direcoes ortogonais entre si e representa das pelos vetores unitarios ˆϵ1 e ˆϵ2 qualquer onda plana monocromatica de polarizacao arbitraria podera ser representada como uma superposicao de duas ondas linearmente polarizadas nas direcoes ˆϵ1 e ˆϵ2 No caso de uma onda propagandose ao longo do eixo z os vetores ˆϵ1 e ˆϵ2 terao exatamente o mesmo papel para a polarizacao que os vetores ˆx e ˆy tˆem tudo o que dissemos sobre o estado de polarizacao de uma onda continua valido se trocarmos ˆx por ˆϵ1 e ˆy por ˆϵ2 Conclusao Nesta aula vocˆe viu que devido ao carater vetorial dos campos que se propagam em uma onda eletromagnetica uma descricao completa da mesma exige que se descreva a cada instante nao so o modulo mas tambem a direcao desses vetores nos planos ortogonais a direcao de propagacao da onda Viu tambem que o conceito de polarizacao esta intimamente ligado a essa descricao Definimos a polarizacao de uma onda eletromagnetica e estudamos os estados mais comuns de polarizacao Aprendemos a descrever um estado qualquer de polarizacao em termos de superposicoes de dois estados de po larizacao linear ortogonais entre si Para facilitar tal descricao nos tambem introduzimos a representacao complexa dos campos associados a uma onda eletromagnetica plana e monocromatica 75 CEDERJ Polarizacao Atividades Finais 1 Faca a experiˆencia de explicar a uma colega o que e a polarizacao de uma onda eletromagnetica 2 Quais sao os estados de polarizacao mais comuns e qual trajetoria e descrita pela extremidade do vetor campo eletrico em cada um deles 3 Escreva a expressao para o campo eletrico de uma onda circularmente polarizada a esquerda em termos de suas componentes ao longo de duas direcoes ortogonais entre si E ao longo da proxima aula vocˆe estudara a interacao da luz com alguns instrumentos sensıveis a polarizacao da mesma Resumo O estado de polarizacao da luz esta associado ao comportamento tem poral do vetor campo eletrico em um plano ortogonal a direcao de propagacao da mesma A diferenca de fase entre duas componentes ortogonais do campo eletrico juntamente com a razao entre suas amplitudes definem univoca mente o estado de polarizacao Ha trˆes tipos de estados de polarizacao linear circular e elıptica CEDERJ 76 Polarizadores e placas birrefringentes M ODULO 1 AULA 5 Aula 5 Polarizadores e placas birrefringentes Metas da aula Apresentar meios polarizadores e birrefringentes e discutir seus efeitos sobre a luz polarizada Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Explicar o que e um polarizador e qual o seu efeito sobre a luz que incide sobre ele Definir luz nao polarizada Descrever as acoes de uma placa de meia onda e de uma placa de um quarto de onda sobre a luz que as atravessa Interacao da luz polarizada com polarizadores e polaroides O fato de que uma onda luminosa pode ter seu campo eletrico oscilando ao longo de uma unica direcao ou realizando trajetorias circulares e elıpticas em um plano perpendicular a sua direcao de propagacao tem importantes consequˆencias sobre a maneira como a luz interage com os objetos Alguns objetos especiais sao chamados polaroides e polarizadores por causa da sua acao sobre a luz polarizada Um exemplo deste tipo de material sao os po laroides de polımeros muito usados em associacao com tecnicas fotograficas Estes polaroides sao compostos por longas moleculas que se alinham em uma determinada direcao As componentes do campo eletrico da luz nesta direcao serao absorvidas quando a mesma incidir sobre este material Ja as compo nentes do campo eletrico na direcao ortogonal serao transmitidas Veja a Figura 51 que mostra uma ilustracao esquematica deste tipo de situacao 77 CEDERJ Polarizadores e placas birrefringentes Figura 51 Representacao de uma onda plana polarizada linearmente incidindo sobre um polaroide que absorve as componentes do campo eletrico orientadas ao longo da direcao vertical da figura O objeto circular e um polaroide e as linhas verticais direcao ˆy repre sentam a direcao de alinhamento medio de suas moleculas As componentes do campo eletrico nesta direcao serao portanto absorvidas enquanto as componentes na direcao ortogonal serao transmitidas Por convencao o eixo do polaroide define a direcao de transmissao direcao ˆx na figura Nesta mesma figura esta representado o campo eletrico de uma onda luminosa po larizada linearmente ao longo da direcao que forma um ˆangulo θ com o eixo do polaroide A onda incide em um ˆangulo normal sobre o polaroide Sabe mos que parte do campo eletrico da onda sera absorvida e parte transmitida Qual sera a expressao do campo eletrico da onda apos atravessar o polaroide e que fracao da intensidade incidente sera transmitida Para descobrir isso expressemos o campo eletrico incidente em termos de suas componentes ao longo da direcao paralela ˆx e da direcao ortogonal ˆy ao eixo do polaroide E E0 cos θ ˆx E0 sen θ ˆy cos kz ωt 51 onde E0 e a amplitude do campo incidente Note que segundo a Equacao 322 da Aula 3 a intensidade da onda incidente e I0 1 2ϵ v E2 0 52 onde ϵ e a constante dieletrica do meio onde a onda se propaga e v sua velocidade nesse meio Como a componente do campo ortogonal ao eixo do polaroide sera totalmente absorvida o campo eletrico da luz transmitida sera dado por E E0 cos θ cos kz ωt ˆx 53 CEDERJ 78 Polarizadores e placas birrefringentes M ODULO 1 AULA 5 sendo portanto paralelo ao eixo do polaroide Por sua vez a intensidade da luz transmitida sera I 1 2ϵvE0 cos θ2 Comparando com a Equacao 52 obtemos I I0 cos2 θ Assim vocˆe pode observar que quando luz linearmente polarizada incide sobre um polaroide e o ˆangulo entre o eixo do polaroide e a direcao de polarizacao da luz e θ a razao entre a intensidade da luz transmitida e a intensidade da luz incidente e dada pelo cosseno ao quadrado do ˆangulo θ I I0 cos2 θ 54 Esta relacao e conhecida como a lei de Malus E importante ressaltar que Etienne Louis Malus nasceu em Paris Franca no ano de 1775 Suas principais contribuicoes para a ciˆencia ocorreram no campo da optica Em particular no estudo da propagacao da luz em cristais birrefringentes Em 1809 estabeleceu a lei que leva seu nome Tambem em 1809 descobriu a polarizacao por reflexao independente da polarizacao da luz incidente a fracao da onda luminosa que atravessa o polaroide sera linearmente polarizada na direcao em que o campo eletrico nao e absorvido ou seja na direcao do eixo do polaroide Outros materiais tˆem o mesmo efeito ao interagir com um feixe de luz polarizada e por isso sao chamados de polarizadores Aqui fizemos uma distincao de carater tecnico entre os polaroides e os polarizadores Os polarizadores sao cristais que possuem ındices de refracao especiais e por isso sao capazes de realizar o mesmo tipo de operacao que os polaroides A principal diferenca entre eles e que o polarizador nao absorve a componente de polaricao que nao e transmitida mas sim a reflete Isto e um detalhe tecnico que pode se tornar importante quando por exemplo a luz incidente e proveniente de um laser de alta potˆencia Se uma componente de polarizacao for absorvida devido a alta intensidade o polaroide podera nao ser capaz de dissipar o calor gerado e se queimara Ja o polarizador como nao absorve luz idealmente na pratica todo material absorve um pouco de luz nao estara sujeito a danos devidos a alta potˆencia da luz incidente De agora em diante entretanto nao faremos mais esta distincao e chamaremos de polarizador qualquer objeto que transmita apenas a componente do campo eletrico incidente paralela a uma dada direcao 79 CEDERJ Polarizadores e placas birrefringentes Exercıcio 51 Luz linearmente polarizada incide em um ˆangulo normal sobre um con junto de dois polarizadores paralelos entre si e com seus eixos alinhados em direcoes ortogonais Se o ˆangulo entre o eixo do primeiro polarizador e a direcao de polarizacao da luz incidente e θ calcule a fracao de intensidade da luz incidente que e transmitida pelo conjunto de polarizadores Solucao como o ˆangulo entre a direcao de polarizacao da luz incidente e o eixo do primeiro polarizador e θ a luz que atravessa o primeiro pola rizador tera uma intensidade I1 I0 cos2 θ onde I0 e a intensidade da luz incidente Mais importante ainda a luz que atravessa o primeiro pola rizador estara linearmente polarizada na direcao do eixo desse polarizador veja a Figura 53 Portanto ao incidir sobre o segundo polarizador o ˆangulo entre a direcao de polarizacao da luz e o eixo do mesmo sera θ 90 Assim apos atravessar o segundo polarizador a luz tera uma intensidade I2 I1 cos2 90 0 O conjunto de dois polarizadores com os eixos ortogonais nao deixa passar nenhuma fracao de luz Note que isso independe da polarizacao da luz incidente Figura 52 Luz linearmente polarizada incide sobre um conjunto de dois polarizadores cujos eixos sao ortogonais entre si CEDERJ 80 Polarizadores e placas birrefringentes M ODULO 1 AULA 5 Exercıcio 52 O que acontecera se entre os dois polarizadores do problema anterior for introduzido um terceiro polarizador com seu eixo fazendo um ˆangulo θ 45 com os eixos de cada um dos polarizadores Esta situacao e ilustrada pela Figura 53 onde indicamos os eixos dos polarizadores por segmentos de reta de cor cinza Sugestao proceda da mesma maneira que na resolucao do problema an terior analisando o que a contece com a luz ao passar por cada um dos polarizadores Vocˆe descobrira algo muito interessante a introducao de mais um objeto na trajetoria da luz que pareceria dificultar ainda mais a passagem da mesma pelo sistema permite que parte da luz incidente agora atravesse o conjunto de polarizadores Figura 53 Luz linearmente polarizada incide sobre um conjunto de trˆes polarizadores Pelo que discutimos ate agora uma onda eletromagnetica deveria ser sempre polarizada nao importa se linearmente circularmente ou eliptica mente No entanto dizemos que a luz natural que vem do Sol e nao po larizada Em geral a luz emitida por qualquer fonte termica como uma lˆampada incandescente as estrelas corpos muito quentes etc e nao pola rizada Vocˆe deve estar se perguntando como isso pode acontecer se afinal de contas o vetor campo eletrico de qualquer onda eletromagnetica descreve 81 CEDERJ Polarizadores e placas birrefringentes uma trajetoria bem determinada em cada plano ortogonal a direcao de pro pagacao da onda Isso esta relacionado com a maneira pela qual esse tipo de luz e gerado Nas fontes termicas de luz a mesma e gerada por um numero extremamente grande de atomos e moleculas Cada um emitindo de ma neira completamente independente sua luz Alem disso cada atomo leva em media 108seg para emitir luz Precisando depois disso ser novamente excitado para iniciar um novo processo de emissao Em cada processo de emissao a luz emitida por cada atomo tem uma polarizacao bem definida No entanto na proxima emissao o atomo emitira luz de polarizacao com pletamente independente da polarizacao do processo anterior Vocˆe pode imaginar entao o que acontece A cada instante existe um conjunto muito grande de atomos emitindo luz Durante esse processo de emissao que dura em media 108seg a luz resultante tem uma polarizacao bem definida Logo apos esse tempo muito curto um outro conjunto de atomos comeca a emi tir luz com uma polarizacao completamente independente da polarizacao anterior Como resultado a polarizacao da luz emitida por essas fontes muda constantemente de maneira completamente aleatoria a cada intervalo medio de tempo de 108seg Esse tempo e muito curto para que se possa medir qualquer efeito devido a polarizacao da luz Se a polarizacao muda mais rapidamente do que o tempo que precisamos para detectala e como se nao houvesse polarizacao alguma Por isso dizemos que essa luz e nao polarizada A geracao de uma onda de radio por uma antena emissora por exemplo e um processo completamente diferente Em uma antena um numero muito grande de eletrons e forcado a oscilar conjuntamente ao longo da mesma Como todas essas cargas oscilam na mesma direcao o campo eletrico da onda resultante oscilara ao longo de uma direcao bem determinada As ondas de radio sao por isso linearmente polarizadas Vejamos agora o que acontece quando luz nao polarizada incide so bre um polarizador Nesse caso podemos imaginar que a luz incidente e linearmente polarizada em alguma direcao So que a direcao de polarizacao muda constantemente a cada intervalo de tempo muito curto Alem disso como tal processo e completamente aleatorio cada direcao de polarizacao tem a mesma probabilidade de ocorrer Para uma direcao de polarizacao fazendo um ˆangulo θ com o eixo do polarizador a intensidade transmitida sera Iθ I0 cos2 θ onde I0 e a intensidade da luz incidente Como o ˆangulo θ muda rapidamente no tempo detectaremos apenas o efeito medio de todas essas direcoes de polarizacao CEDERJ 82 I I0 cos²θ onde I é a intensidade média transmitida pelo polarizador e significa que devemos tomar a média de cos²θ sobre todos os ângulos θ entre 0 e 2π considerados igualmente prováveis Como cos²θ 12 obtemos I 12 I0 Exercício 53 Luz polarizada circularmente à esquerda e com intensidade I0 incide sobre um polarizador Mostre que não é possível distinguir essa situação daquela onde luz não polarizada e de intensidade I0 incide sobre o mesmo polarizador Solução você viu que o vetor campo elétrico de uma onda circularmente polarizada à esquerda mantém seu módulo constante enquanto gira com velocidade angular ω num plano ortogonal à direção de propagação da onda Se tal onda incide sobre um polarizador a intensidade transmitida no tempo t será It I0 cos² θt I0 cos²ωt θ0 onde θ0 depende da orientação do eixo do polarizador Polarizadores e placas birrefringentes M ODULO 1 AULA 5 Veja a Figura 54 x y 45 0 E Ex Ey d Figura 54 Representacao de uma onda plana polarizada linearmente na direcao 45 incidindo sobre uma placa de onda em que a componente do campo na direcao x se propaga com uma velocidade diferente da componente na direcao y Suponha que uma onda plana polarizada linearmente ao longo da direcao que faz 45 graus com o eixo vertical y atravesse o material de espessura d Vamos representar o campo eletrico da onda incidente por Ex y z t Eˆx ˆyeikzωt 58 onde E representa a amplitude do campo Para o calculo que iremos fazer o termo de oscilacao temporal nao desempenhara nenhum papel e portanto podemos deixar de representalo para aliviar a notacao O efeito que desejamos discutir agora esta ligado ao fato de que al guns materiais podem possuir ındices de refracao diferentes para direcoes de polarizacao ortogonais entre si Tais materiais sao ditos birrefringentes Suponhamos que tais direcoes sejam as direcoes x e y Assim ao penetrar no material as componentes do campo eletrico nessas duas direcoes verao ındices de refracao diferentes A mudanca noındice de refracao faz com que a velocidade de propagacao da luz dentro do material mude Dessa maneira as componentes da onda polarizadas nas direcoes x e y se propagarao com velocidades diferentes Isso levara ao atraso de uma componente em relacao a outra introduzindo assim uma diferenca de fase entre elas A maneira mais simples de levar em conta este aspecto da propagacao da onda dentro do material e tratar separadamente a propagacao espacial 85 CEDERJ Polarizadores e placas birrefringentes que e feita pelo termo eikz para cada direcao de polarizacao Se lembramos que num meio de ındice de refracao n o numero de onda k de uma onda monocromatica e k nk0 onde k0 e o numero de onda no vacuo podemos designar um numero de onda diferente para as polarizacoes x e y da onda Escreveremos k1 nxk0 e k2 nyk0 para designar esses numeros de onda onde nx e ny sao os ındices de refracao do material para cada polarizacao Com isso o campo dentro do material apos percorrer a distˆancia d e prestes a sair para propagacao livre pode ser escrito como Ex y z0 d Eeikz0 eik1dˆx eik2dˆy 59 onde z0 e a coordenada da face do material sobre a qual a onda incide Podemos agora fatorar o termo eik1d e reescrever o campo eletrico como Ex y z0 d Eeikz0k1dˆx eiδˆy Eˆx eiδˆy 510 onde δ ky kxd ny nxk0 d Note que o termo exponencial comum as duas componentes do campo eletrico foi englobado em E Eeikz0k1d Esse termo nao e importante pois uma fase global ou seja uma exponencial complexa que multiplica todo o campo nao altera o estado de polarizacao da onda nem sua intensidade A Equacao 510 nos diz como ja havıamos previsto que o efeito da propagacao da luz atraves do material birrefringente e a introducao de uma diferenca de fase adicional entres as componentes x e y do campo eletrico E importante salientar que essa defasagem adicional aparecera independente da polarizacao da onda incidente Nao e portanto necessario que a onda incidente seja linearmente polarizada a 45 como no nosso exemplo Dependendo do valor da defasagem adicional δ podemos ter qualquer estado de polarizacao na saıda do material Um dos casos mais importantes e aquele em que δ π Neste caso se o campo incidente for linearmente polarizado a 45 o campo na saıda do material sera Ex y z0 d Eˆx ˆy 511 pois eiπ cos π i sen π 1 A passagem pelo material inverte o sinal da componente do campo na direcao y e mantem o sinal da componente na direcao x inalterado Com isto a polarizacao sofre uma rotacao em torno do eixo z passando de 45 para 45 Veja a Figura 55 que ilustra este efeito CEDERJ 86 Polarizadores e placas birrefringentes M ODULO 1 AULA 5 x y 45 0 E Ex Ey d 45 0 E Ex Ey Figura 55 Representacao de uma onda plana polarizada linearmente na direcao 45 incidindo sobre uma placa de meia onda A polarizacao gira em torno do eixo y e passa a ser de 45 Chamamos os objetos que produzem uma defasagem δ π de placas de meia onda ou meio comprimento de onda pois uma fase π corresponde a metade de um ciclo completo de 2π de oscilacao da onda eletromagnetica Nos laboratorios de pesquisas e aplicacoes de otica frequentemente utilizamos as placas de meia onda para manipular a polarizacao de um feixe de luz Elas sao fabricadas a partir de materiais especiais com espessura d especıfica para um determinado comprimento de onda da luz incidente 87 CEDERJ Exercício 54 Luz circularmente polarizada à esquerda incide sobre uma placa de meia onda como aquela mostrada na Figura 55 Qual é o estado de polarização da luz após atravessar a placa Solução como a onda luminosa ao chegar à placa de meia onda é circularmente polarizada à esquerda seu campo elétrico pode ser escrito como mathbbEx y z t E0 hatx ihaty eikz omega t Após atravessar a placa a componente y do vetor campo elétrico da onda terá adquirido uma defasagem delta pi em relação à componente x Logo após atravessar a placa o campo elétrico da onda será dado por mathbbEx y z d t E0 hatx ihaty eikz omega t E0 hatx ieipihaty eikz omega t uma vez que eipi 1 Esse campo no entanto descreve uma onda circularmente polarizada à direita A placa de meia onda assim transforma a polarização circular à esquerda da luz incidente em polarização circular à direita Polarizadores e placas birrefringentes M ODULO 1 AULA 5 x y 45 0 E Ex Ey d E Figura 56 Representacao de uma onda plana polarizada linearmente na direcao 450 incidindo sobre uma placa de um quarto de onda Apos a placa a polarizacao fica circular a direita Os objetos que produzem estas defasagens sao chamados de placas de um quarto de onda De fato a fase π 2 representa uma evolucao correspondente a um quarto de um ciclo completo de 2π portanto em termos das oscilacoes de uma onda representa um quarto do comprimento de onda As placas de um quarto de onda sao tambem muito importantes nos laboratorios de optica e tambem sao fabricadas de acordo com o comprimento de onda especıfico utilizado 89 CEDERJ Exercício 55 Luz linearmente polarizada ao longo do eixo x da Figura 55 incide sobre uma placa de meia onda como aquela mostrada na mesma figura Qual é o estado de polarização da luz após atravessar a placa Sugestão proceda como na resolução do exercício anterior Um outro caso muito importante é aquele em que delta fracpi2 Para esta defasagem se o campo incidente for linearmente polarizado a 45circ o campo na saída do material será mathbbEx y z d Ehatx ihaty 512 pois eifracpi2 cos fracpi2 i sen fracpi2 i Isto significa que a luz deixa o material circularmente polarizada à esquerda Veja a ilustração na Figura 56 Polarizadores e placas birrefringentes M ODULO 1 AULA 5 Exercıcio 58 Vocˆe viu no Exercıcio 53 que nao e possıvel distinguir entre luz nao po larizada e luz circularmente polarizada usando apenas um polarizador Mostre que o conjunto formado por uma placa de um quarto de onda e um polarizador pode fazer essa distincao Solucao vejamos primeiro qual e o efeito da placa de um quarto de onda sobre a luz nao polarizada Sabemos que a placa introduz uma defasa gem de δ π 2 entre as componentes ˆx e ˆy do vetor campo eletrico da luz incidente Como na luz nao polarizada o valor dessas componentes esta variando continuamente de uma maneira aleatoria a introducao de uma defasagem δ entre elas nao tera nenhum efeito mensuravel Portanto a luz continuara nao polarizada apos atravessar a placa de um quarto de onda Ja a luz circularmente polarizada sera transformada em luz linearmente po larizada ao atravessar a placa de um quarto de onda Isso foi mostrado no Exercıcio 56 para a luz circularmente polarizada a esquerda mostre que isso tambem vale para a luz circularmente polarizada a direita Assim se colocarmos a placa de um quarto de onda na frente do polarizador podere mos distinguir entre a luz nao polarizada e a luz circularmente polarizada a primeira ainda chegara nao polarizada ao polarizador enquanto a segunda chegara linearmente polarizada Basta girarmos o eixo do polarizador para distinguir uma da outra 91 CEDERJ Polarizadores e placas birrefringentes Conclusao Nesta aula discutimos alguns objetos cuja interacao com a luz depende fortemente do estado de polarizacao da mesma Nesse contexto introduzimos objetos chamados de polarizadores e estudamos o que acontece quando luz polarizada incide sobre os mesmos Vocˆe viu que apenas a componente do campo eletrico incidente paralela ao eixo do polarizador sera transmitida Isso faz com que a luz que atravessa o polarizador seja linearmente polarizada na direcao do seu eixo Tambem discutimos o que e a luz nao polarizada e o que acontece quando tal luz incide sobre um polarizador Finalmente analisamos a propagacao da luz em meios birrefringentes que sao meios que apresentam ındices de refracao diferentes para duas direcoes de polarizacao da luz incidente Vimos que esses meios sao capazes de mudar a polarizacao da luz que se propaga nos mesmos e apresentamos instrumentos opticos que fazem uso de tal efeito Atividades Finais 1 Faca a experiˆencia de explicar a uma colega o que e luz nao polarizada 2 O que e um polarizador e como ele atua sobre o campo eletrico de uma onda incidente 3 O que e a lei de Malus e qual a sua expressao matematica 4 O que e uma placa de meia onda 5 O que e uma placa de um quarto de onda E ao longo da proxima aula vocˆe estudara o papel da polarizacao da luz nos processos de reflexao e refracao Resumo Polarizadores sao dispositivos que transmitem apenas a componente do campo eletrico paralela a uma direcao caracterıstica Apos atravessar um polarizador a luz fica linearmente polarizada na direcao do eixo do polariza dor A fracao de intensidade transmitida pelo polarizador e dada pela Lei de CEDERJ 92 Polarizadores e placas birrefringentes M ODULO 1 AULA 5 Malus Materiais birrefringentes sao aqueles que possuem diferentes ındices de refracao em duas direcoes ortogonais entre si Dispositivos feitos com tais materiais podem ser usados para introduzir uma defasagem extra entre duas componentes ortogonais do campo eletrico da luz que os atravessa 93 CEDERJ Exercício 56 Luz circularmente polarizada à direita incide sobre uma placa de um quarto de onda como aquela mostrada na Figura 56 Qual é o estado de polarização da luz após atravessar a placa Solução como a onda luminosa ao chegar à placa de meia onda é circularmente polarizada à direita seu campo elétrico pode ser escrito como mathbbEx y z t E0 hatx ihaty eikz omega t Após atravessar a placa a componente y do vetor campo elétrico da onda terá adquirido uma defasagem delta fracpi2 em relação à componente x Logo após atravessar a placa o campo elétrico da onda será dado por mathbbEx y z d t E0 hatx ieifracpi2 haty eikz omega t E0 hatx haty eikz omega t uma vez que eifracpi2 i i i 1 O campo elétrico agora descreve uma onda linearmente polarizada a 45circ A placa de um quarto de onda portanto transforma a polarização circular à direita da luz incidente em polarização linear a 45circ Papel da polarizacao nos processos de reflexao e refracao M ODULO 1 AULA 6 Aula 6 Papel da polarizacao nos processos de reflexao e refracao Metas da aula Apresentar uma abordagem ondulatoria dos processos de reflexao e refracao da luz e discutir o papel da polarizacao nesses processos Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Explicar como as leis de reflexao e refracao da luz podem ser derivadas a partir de um tratamento ondulatorio da luz Definir amplitude de reflexao e refletividade Explicar o que e o ˆangulo de Brewster para uma dada interface entre dois meios dieletricos Determinar a polarizacao da luz refletida na interface entre dois meios dados sabendo o ˆangulo de incidˆencia e a polarizacao da luz incidente Determinar o ˆangulo crıtico para reflexao interna total em uma dada interface entre dois meios dieletricos Quando uma onda eletromagnetica atinge a interface entre dois meios dieletricos diferentes como acontece quando a luz propagandose no ar atinge a superfıcie de um lago parte e refletida e parte e transmitida re fratada Esses efeitos estao intimamente ligados ao fato de que os campos eletrico e magnetico associados a onda devem satisfazer certas condicoes de contorno na interface que separa os dois meios Isso significa que os campos em um lado da interface devem estar relacionados aos campos no outro lado por relacoes fixas que valem em todos os instantes de tempo e em qual quer ponto da interface As propriedades das ondas refletidas e refradas po dem ser divididas em duas classes propriedades cinematicas e propriedades dinˆamicas As primeiras relacionadas as direcoes de propagacao das ondas refletidas e refratadas sao consequˆencias imediatas do fenˆomeno ondulatorio e do fato de que existem condicoes de contorno a serem satisfeitas No en tanto nao dependem de que condicoes de contorno especificamente devem 95 CEDERJ Papel da polarizacao nos processos de reflexao e refracao ser satisfeitas nem da natureza da onda Valem portanto para qualquer fenˆomeno ondulatorio Essas propriedades estao reunidas na lei de reflexao e na Lei de Snell para a refracao As propriedades dinˆamicas estao relaci onadas as mudancas de polarizacao e fase das ondas refletidas e refratadas bem como a intensidade dessas ondas Essas propriedades sao consequˆencias diretas da natureza dos campos eletrico e magnetico da onda bem como da natureza especıfica das condicoes de contorno que esses campos devem satis fazer Nesta aula vocˆe estudara os processos de reflexao e refracao levando em conta o carater ondulatorio da luz Em particular discutiremos os efeitos desses processos sobre polarizacao da luz Lei de Snell No curso de Introducao as Ciˆencias Fısicas vocˆe foi apresentado as leis de reflexao e refracao da luz na interface entre dois meios de ındices de refracao diferentes La isso foi tratado no ˆambito da otica geometrica e essas leis foram apresentadas como evidˆencias experimentais Relembremos a Lei de Snell que relaciona as direcoes de propagacao dos feixes de luz incidente refletido e refratado em uma interface entre dois meios comındices de refracao diferentes veja a Figura 61 Figura 61 Representacao esquematica de um feixe de luz que muda de meio de propagacao respeitando a lei de Snell As direcoes de propagacao da luz incidente e da luz refratada trans mitida estao relacionadas por n1 sen θ1 n2 sen θ2 61 onde n1 e o ındice de refracao do meio de onde vem o feixe incidente e n2 e o ındice de refracao do meio para o qual o feixe e transmitido O ˆangulo CEDERJ 96 θ1 define a direção de propagação do feixe incidente com relação à normal à interface que na nossa figura é a linha vertical O ângulo θ2 é o ângulo de refração que define a direção de propagação do feixe no meio 2 e também é medido com relação à normal Além disso a Lei de Snell nos diz que o feixe refletido emerge na direção definida pelo ângulo θr de tal maneira que θr θ1 ou seja o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência Vejamos como essa lei pode ser derivada apenas do fato de que a luz é uma onda e de que alguma condição de contorno deve ser satisfeita pelos campos associados à onda na interface entre os dois meios Papel da polarizacao nos processos de reflexao e refracao onde E0i e um vetor constante paralelo a direcao de polarizacao da onda e ki seu vetor de onda Sem fazer qualquer suposicao sobre as direcoes de propagacao amplitudes e frequˆencias das ondas refletida e transmitida podemos escrever os campos eletricos associados a elas da seguinte maneira Err t E0r cos kr r ωr t Etr t E0t cos kt r ωtt 63 onde Er e o campo eletrico associado a onda refletida e ωr sua frequˆencia angular Da mesma maneira Et e ωt estao associados a onda transmitida Os vetores E0r e E0t sao vetores constantes paralelos respectivamente as direcoes de polarizacao da onda refletida e da onda transmitida A teoria eletromagnetica leva a certas condicoes que devem ser satis feitas pelos campos eletrico e magnetico dos dois lados da interface Essas condicoes sao chamadas de condicoes de contorno Especificamente na si tuacao descrita pela Figura 62 uma dessas condicoes exige que a compo nente do campo eletrico Er t que e tangencial a interface seja contınua Isso significa que a componente tangencial do campo eletrico total Er t em um lado da interface deve ser igual a componente correspondente do outro lado da interface E importante salientar que essa igualdade deve ser valida em qualquer ponto da interface e em qualquer instante de tempo Como ja dissemos anteriormente a lei de Snell resulta apenas do fato de que a condicao de contorno deve ser satisfeita em todos os instantes de tempo e em qualquer ponto da interface nao importando a natureza especıfica da condicao de contorno No entanto no intuito de facilitar a compreensao dos argumentos utilizados na derivacao dessa lei usaremos a seguir expli citamente a condicao de continuidade da componente tangencial do campo eletrico Em termos dos campos eletricos incidente refletido e transmitido a condicao de continuidade da componente tangencial do campo eletrico total pode ser escrita como E i r t E rr t E t r t 64 onde E i E r e E t sao respectivamente as projecoes de Ei Er e Et sobre a interface que separa os dois meios Aqui fica subentendido que essa igualdade so vale nos pontos r que estao na interface No nosso exemplo particular isso significa que a igualdade so vale para pontos pertencentes ao plano z 0 Se usarmos as equacoes 62 e 63 a relacao acima se torna E 0i cos ki r ωit E 0r cos kr r ωrt E 0t cos kt r ωtt 65 CEDERJ 98 Papel da polarizacao nos processos de reflexao e refracao M ODULO 1 AULA 6 Note que a unica maneira de essa relacao ser satisfeita em todos os pontos r da interface e em qualquer instante de tempo t e que os campos eletricos envolvidos tenham a mesma dependˆencia espacotemporal ja que E 0i E 0r e E 0t sao vetores constantes Temos entao cos ki r ωit cos kr r ωrt cos kt r ωtt 66 Como a origem r 0 esta no plano z 0 a Equacao 66 deve valer tambem nesse ponto Isso leva a cos ωit cos ωrt cos ωtt 67 No entanto essa relacao deve valer para qualquer instante de tempo t Isso so e possıvel se ωi ωr ωt 68 Potantoa onda refletida e a onda transmitida tˆem a frequˆencia angular que a onda incidente Como a Equacao 66 deve valer para qualquer instante de tempo t ela deve valer em particular para t 0 Logo cos ki r cos kr r cos kt r 69 Essa relacao implica ki r kr r kt r 610 Utilizando o primeiro e o segundo termo da equacao anterior podemos es crever ki kr r 0 611 Como foi mostrado no Exercıcio 31 da Aula 3 a equacao anterior nos diz que os pontos representados pelo vetor posicao r formam um plano perpendi cular ao vetor kikr No entanto na Equacao 611 os pontos representados pelo vetor posicao r sao pontos da interface plana entre os dois meios Logo podemos concluir que o vetor kikr e perpendicular a interface que separa os dois meios Isso significa que o vetor kikr e paralelo ao vetor unitario ˆn normal a interface reveja a Figura 62 Lembrando que o produto ve torial entre dois vetores paralelos e nulo podemos representar a condicao de paralelismo desses vetores da seguinte forma ki kr ˆn 0 612 A primeira consequˆencia do paralelismo dos vetores kikr e ˆn e que os vetores ki kr e ˆn devem estar localizados em um mesmo plano veja a Figura 63 Esse plano chamado plano de incidˆencia e o plano gerado pelos vetores ki e ˆn 99 CEDERJ Papel da polarizacao nos processos de reflexao e refracao Figura 63 Disposicao espacial dos vetores ki kr ki kr e ˆn Podemos reescrever a Equacao 612 como ki ˆn kr ˆn 613 Dado que o modulo do produto vetorial entre dois vetores quaisquer e dado pelo produto dos modulos dos vetores pelo seno do ˆangulo entre eles a Equacao 613 permite escrever veja a Figura 64 ki sen θi kr sen π θr kr sen θr 614 onde usamos o fato de que ˆn e um vetor unitario Figura 64 Representacao dos vetores ki kr kt e ˆn Como num meio de ındice de refracao n o numero de onda k de uma onda monocromatica de frequˆencia ω e k nωc segue da Equacao 614 que n1 ωi c sen θi n1 ωi c sen θr 615 dado que a onda incidente e a onda refletida se propagam no mesmo meio meio 1 com a mesma frequˆencia angular ωi Apos simplicacao a equacao acima nos fornece a lei de reflexao θi θr 616 CEDERJ 100 Papel da polarizacao nos processos de reflexao e refracao M ODULO 1 AULA 6 que nos diz que o ˆangulo de reflexao em relacao a normal a interface e igual ao ˆangulo de incidˆencia Voltando a Equacao 610 e utilizando o primeiro e o terceiro termo podemos escrever ki kt r 0 617 Atraves dos mesmos argumentos utilizados anteriormente vemos que o ve tor ki kt tambem e ortogonal a interface entre os dois meios Com isso concluimos que o vetor kt tambem esta localizado no plano de incidˆencia juntamente com os vetores ki e kr Da mesma maneira a Equacao 617 nos permite escrever ki sen θi kt sen θt 618 Levando em conta que kt n2ωic ja que a onda transmitida propagase no meio 2 com a mesma frequˆencia angular da onda incidente temos que n1 ωi c sen θi n2 ωi c sen θt 619 Apos simplicacao da equacao anterior obtemos a Lei de Snell n1 sen θi n2 sen θt 620 relacionando o ˆangulo de refracao ao ˆangulo de incidˆencia atraves da razao entre os ındices de refracao dos dois meios Com isso concluımos a derivacao da Lei de Snell a partir de um tra tamento ondulatorio da luz Embora tenhamos usado explicitamente uma condicao de contorno particular para o campo eletrico na interface entre os dois meios a natureza especıfica dessa condicao de contorno nao foi essen cial a derivacao dos resultados obtidos Essencial foi a exigˆencia de que essa condicao de contorno fosse valida em qualquer ponto da interface e em qualquer instante de tempo Note tambem que os resultados independem da direcao de polarizacao da luz incidente Isso significa que eles sao validos para qualquer polarizacao da luz incidente ja que qualquer estado de polarizacao da luz pode ser escrito como a combinacao de dois estados de polarizacao linear ortogonais entre si Mais ainda as leis de reflexao e refracao valem para outros tipos de onda tais como as ondas sonoras justamente porque elas nao dependem do tipo especıfico de condicao de contorno na interface Por outro lado as propriedades dinˆamicas discutidas a seguir sao caracterısticas das ondas ele tromagneticas e envolvem as propriedades de polarizacao de forma essencial 101 CEDERJ Papel da polarizacao nos processos de reflexao e refracao Propriedades dinˆamicas dos processos de reflexao e refracao Voltemonos agora para outras propriedades das ondas refletida e re fratada alem de suas frequˆencias e direcoes de propagacao Gostarıamos de saber por exemplo como as fracoes de intensidade refletida e refratada dependem do ˆangulo de incidˆencia da luz bem como dos ındices de refracao dos dois meios Tambem gostarıamos de saber se e como essas grandezas dependem da polarizacao da luz incidente Essas propriedades sao chamadas propriedades dinˆamicas dos processos de reflexao e refracao Como dissemos no inıcio desta aula essas propriedades dependem ex plicitamente das condicoes de contorno especıficas que devem ser satisfeitas pelos campos eletrico e magnetico associados a onda luminosa Ao derivar mos a Lei de Snell ja usamos uma dessas condicoes de contorno ao exigir que a componente tangencial do campo eletrico total Er t de um lado da interface entre os dois meios fosse igual a componente correspondente do ou tro lado da interface Para responder as perguntas apresentadas no paragrafo anterior precisamos tambem fazer uso de alguma condicao de contorno para o campo magnetico Br t Podemos por exemplo usar a condicao de con tinuidade da componente tangencial do campo Hr t Br tµ atraves da interface de separacao entre os dois meios Similarmente a condicao para o campo eletrico essa condicao de contorno nos diz que a componente tan gencial do campo Bµ de um lado da interface deve ser igual a componente correspondente do outro lado da interface Essas duas condicoes de contorno sao suficientes para a determinacao das relacoes entres as amplitudes dos campos incidente refletido e refratado em funcao da polarizacao do campo incidente do ˆangulo de incidˆencia e dos ındices de refracao dos dois meios Como ja discutimos na Aula 4 qualquer estado de polarizacao da luz pode ser escrito como uma superposicao de dois estados linearmente polari zados em direcoes ortogonais Portanto qualquer que seja a polarizacao dos campos incidente refletido e refratado poderemos sempre escrevˆelos como uma superposicao de um campo linearmente polarizado em uma direcao pa ralela ao plano de incidˆencia e um campo linearmente polarizado em uma direcao perpendicular ao plano de incidˆencia veja a Figura 65 Esse fato nos permite investigar as relacoes procuradas tratando cada uma dessas polarizacoes independentemente Se conhecermos as relacoes entre as am plitudes dos campos incidente refletido e refratado para cada uma dessas polarizacoes podemos determinar essas relacoes para qualquer estado de po larizacao da luz CEDERJ 102 Papel da polarizacao nos processos de reflexao e refracao M ODULO 1 AULA 6 Figura 65 Decomposicao dos campos incidente refletido e refratado em suas compo nentes perpendiculares e paralelas ao plano de incidˆencia Agora escreveremos os campos incidente refletido e refratado que sao linearmente polarizados em uma direcao paralela ao plano de incidˆencia da seguinte maneira Eir t E0i cos ki r ωtˆei Err t E0r cos kr r ωtˆer 621 Etr t E0t cos kt r ωtˆet onde E0i E0r e E0t sao respectivamente as amplitudes dos campos inci dente refletido e refratado e ˆei ˆer e ˆet sao vetores de polarizacao paralelos ao plano de incidˆencia Da mesma maneira escreveremos os campos que sao linearmente polarizados em uma direcao perpendicular ao plano de incidˆencia como Eir t E0i cos ki r ωtˆei Err t E0r cos kr r ωtˆer 622 Etr t E0t cos kt r ωtˆet onde ˆei ˆer e ˆet sao vetores de polarizacao perpendiculares ao plano de incidˆencia Nesse ponto para obtermos as relacoes entre as amplitudes dos campos incidente refletido e refratado em cada uma das duas situacoes anteriores deverıamos utilizar as condicoes de contorno para os campos E e Bµ de uma maneira similar aquela utilizada na derivacao da Lei de Snell Embora nao sejam especialmente complicados os calculos sao bastante longos Por esse motivo nao os realizaremos explicitamente e apresentaremos apenas os resultados finais 103 CEDERJ Papel da polarizacao nos processos de reflexao e refracao As grandezas que nos interessam sao a razao r E0rE0i entre a amplitude do campo refletido e a amplitude do campo incidente e a razao t E0tE0i entre a amplitude do campo transmitido e a amplitude do campo incidente A grandeza r e chamada amplitude de reflexao enquanto a gran deza t e chamada amplitude de transmissao Note que quanto maior r maior a fracao de luz incidente que e refletida Da mesma maneira quanto maior o valor de t maior a fracao de luz transmitida Para a luz polarizada perpendicularmente ao plano de incidˆencia as amplitudes de reflexao e de transmissao sao dadas por reveja a Figura 65 r E0r E0i n1 cos θi n2 cos θt n1 cos θi n2 cos θt t E0t E0i 2n1 cos θi n1 cos θi n2 cos θt 623 enquanto para a luz polarizada paralelamente ao plano de incidˆencia temos r E0r E0i n2 cos θi n1 cos θt n1 cos θt n2 cos θi t E0t E0i 2n1 cos θi n1 cos θt n2 cos θi 624 Se utilizarmos a Lei de Snell dada na Equacao 620 podemos simplificar notacionalmente as expressoes r sen θi θt sen θi θt r tan θi θt tan θi θt t 2 sen θt cos θi sen θi θt 625 t 2 sen θt cos θi sen θi θt cos θi θt As Equacoes 623 e 624 ou equivalentemente as Equacoes 625 sao chamadas Equacoes de Fresnel e sao validas para quaisquer meios dieletricos homogˆeneos Analisemos agora o comportamento dessas equacoes em funcao do ˆangulo de incidˆencia e dos ındices de refracao dos dois meios Em primeiro lugar note que os coeficientes r e r podem ser negativos Lembrando que esses coeficientes representam a razao entre a amplitude do campo refletido e a amplitude do campo incidente que sao grandezas reais CEDERJ 104 Papel da polarizacao nos processos de reflexao e refracao M ODULO 1 AULA 6 positivas como devemos interpretar as situacoes em que eles se tornam nega tivos Veja que na Figura 65 nos escolhemos arbitrariamente os sentidos dos vetores Er Er Et e Et Esses vetores poderiam muito bem estar apontando no sentido oposto ao escolhido por nos Se invertermos o sentido de um desses vetores o coeficiente correspondente trocara de sinal Portanto quando r ou r se tornarem negativos o sentido correto do vetor Er ou do vetor Er sera o inverso daquele escolhido na Figura 65 Mais especifi camente se por exemplo r for negativo entao na interface entre os dois meios Ei e Er serao antiparalelos e portanto havera uma diferenca de fase δ π entre eles lembrese que cos φ π cos φ Dizemos nesses casos que ha uma mudanca de fase δ π no campo refletido em relacao ao campo incidente Examinemos o comportamento das amplitudes de reflexao e trans missao quando o ˆangulo de incidˆencia θi varia de 0 a π2 Na incidˆencia normal a interface θi 0 nos temos que cos θi cos θt 1 Nesse caso as equacoes 623 e 624 nos fornecem r r n2 n1 n2 n1 626 t t 2n1 n2 n1 627 Isso significa que na incidˆencia normal a fracao de luz incidente que e refletida ou refratada nao depende da polarizacao da luz Depende apenas dos ındices de refracao dos dois meios Figura 66 Comportamento das amplitudes de reflexao e transmissao em funcao do ˆangulo de incidˆencia θi em uma interface arvidro Para outros valores de θi e vantajoso estudar separadamente os casos em que n1 n2 e n1 n2 105 CEDERJ Papel da polarizacao nos processos de reflexao e refracao Situacao I n1 n2 Essa e uma situacao muito comum onde a luz propagandose no ar incide por exemplo sobre agua ou vidro Como consequˆencia da Lei de Snell Equacao 620 nesse caso temos θt θi para todos os valores de θi Utilizando as Equacoes 625 e facil ver que r sera negativo sempre alcancando seu valor mınimo r 1 na incidˆencia rasante θi π2 Esse comportamento e ilustrado na Figura 66 para uma interface arvidro onde n1 1 e n2 1 5 Observe que o fato de r ser sempre negativo significa que nessa situacao a luz polarizada perpendicularmente ao plano de incidˆencia sofrera uma mudanca de fase δ π na reflexao para qualquer valor do ˆangulo de incidˆencia O comportamento de r tambem pode ser estudado com a ajuda das Equacoes 625 Como θt θi r e inicialmente positivo e decresce mono tonicamente com θi Quando θi atinge o valor θi π2 θt o coeficiente r se anula Isso acontece por que tan θi θt tan π2 O valor particular do ˆangulo de incidˆencia para o qual isso ocorre se denota θB e e chamado ˆangulo de Brewster ou ˆangulo de polarizacao A partir desse valor do ˆangulo de incidˆencia r tornase negativo e atinge seu valor mınimo r 1 tambem na incidˆencia rasante Sir Davis Brewster nasceu em Jedburch Escocia em 1781 Seus talentos foram canalizados principalmente para o estudo da otica e o desenvolvimento de instrumentos cientıficos Deu contribuicoes fundamentais para o estabelecimento das leis de polarizacao por reflexao e refracao Em 1814 ele descobriu a lei que leva o seu nome Observe que se a luz incidente for polarizada paralelamente ao plano de incidˆencia nas vizinhancas do ˆangulo de incidˆencia θB apenas uma fracao ınfima de luz sera refletida o valor de r e muito proximo de zero Para θi θB nao havera luz refletida Toda a luz sera transmitida Isso signi fica que se a luz incidente tiver uma polarizacao arbitraria no ˆangulo de incidˆencia θB apenas sua componente de polarizacao perpendicular ao plano de incidˆencia sera refletida Logo a luz refletida sera necessariamente po larizada perpendicularmente ao plano de incidˆencia Note que isso tambem vale para luz natural nao polarizada E por esse motivo que θB e tambem chamado ˆangulo de polarizacao Nao importa a polarizacao da luz incidente a luz refletida sera linearmente polarizada em uma direcao perpendicular ao plano de incidˆencia Esse efeito e utilizado para varias aplicacoes praticas Um exemplo e seu uso na fotografia Afixandose um polarizador na frente da lente de uma maquina fotografica podese eliminar reflexos indesejaveis de superfıcies planas Em torno do ˆangulo de Brewster a maior parte da luz refletida esta polarizada perpendicularmente ao plano de incidˆencia Se o eixo do polarizador for orientado perpendicularmente a essa direcao a maior parte da luz refletida nao atingira a lente da maquina CEDERJ 106 Podemos obter o valor de θB para uma dada interface usando a relação θB θt π2 e a Lei de Snell n1 sen θB n2 sen θt n2 senπ2 θB n2 cos θB Isso nos fornece θB arctann2n1 Em uma interface arvidro θB arctan15 563 Quando θi θB então necessariamente θi θB π2 Se levarmos em conta que o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência isso significa que quando a luz incide sobre uma interface no ângulo de Brewster θB a luz refletida e a luz refratada propagamse em direções ortogonais entre si veja a Figura 67 Esse resultado é conhecido como Lei de Brewster em homenagem a David Brewster que o descobriu em 1815 Papel da polarizacao nos processos de reflexao e refracao No entanto como e ilustrado na Figura 66 a razao rr varia com o ˆangulo de incidˆencia e so e unitaria quando a incidˆencia e rasante ou normal a interface Isso mostra que a razao entre essas componentes do campo eletrico nao e a mesma na luz refletida e na luz incidente Alem disso existem valores do ˆangulo de incidˆencia para os quais r e r tˆem sinais contrarios levando tambem a uma modificacao da diferenca de fase na luz refletida entre a componente do campo eletrico que e paralela ao plano de incidˆencia e a componente que e ortogonal Resumindo a polarizacao da luz e geralmente modificada quando a luz e refletida na interface entre dois meios dieletricos CEDERJ 108 Papel da polarizacao nos processos de reflexao e refracao M ODULO 1 AULA 6 Exercıcio 61 Se a luz linearmente polarizada incidir sobre a interface separando dois meios dieletricos a luz refletida tambem sera linearmente polarizada em bora sua direcao de polarizacao seja geralmente diferente da direcao de polarizacao da luz incidente Se a direcao de polarizacao da luz incidente fizer um ˆangulo αi com o plano de incidˆencia qual sera o ˆangulo αr que a direcao de polarizacao da luz refletida fara com o plano de incidˆencia para um dado ˆangulo de incidˆencia θi Os ˆangulos αi e αr sao chamados azimute de incidˆencia e azimute de reflexao respectivamente Do ponto de vista de quem esta olhando de frente para a onda luminosa os azimutes de incidˆencia e reflexao sao considerados positivos na direcao antihoraria Solucao conforme nossa discussao dos estados de polarizacao na Aula 4 o azimutes de incidˆencia αi e reflexao αr sao determinados pela razao entre as amplitudes da componente do campo eletrico perpendicular ao plano de incidˆencia e da componente paralela ao plano de incidˆencia na luz incidente e na luz refletida Especificamente tan αi E0i E0i tan αr E0r E0r Se usarmos a Equacao 630 podemos escrever tan αr r r tan αi 631 Finalmente com a ajuda das Equacoes 625 obtemos tan αr cos θi θt cos θi θt tan αi 632 A relacao acima e geral e fornece a direcao de polarizacao da luz refletida em funcao da direcao de polarizacao da luz incidente e do ˆangulo de incidˆencia Ate agora estivemos discutindo o comportamento da razao entre as amplitudes dos campos refletido e refratado e a amplitude do campo inci dente Seria interessante tambem conhecer a fracao da intensidade luminosa incidente sobre uma dada area da interface que e refletida e que e transmi 109 CEDERJ É importante ressaltar que mesmo que a luz incida sobre uma interface em um ângulo diferente do ângulo de Brewster a luz refletida terá em geral uma polarização diferente da luz incidente Para isso lembrese que o estado de polarização da luz é determinado pela razão entre as amplitudes bem como pela diferença de fase entre as componentes do campo elétrico em duas direções ortogonais entre si Se usarmos a definição da amplitude de reflexão r podemos facilmente obter a razão entre as amplitudes das componentes de campo elétrico paralela e ortogonal ao plano de incidência na luz refletida em função da razão entre essas grandezas na luz incidente EE rr E0E0 Papel da polarizacao nos processos de reflexao e refracao M ODULO 1 AULA 6 valor de R aumenta monotonicamente com θi e alcanca seu valor maximo R 1 tambem na incidˆencia rasante A Figura 68 ilustra esse comporta mento para uma interface arvidro Os comportamentos de R e R explicam Figura 68 Comportamento das refletividades R e R em funcao do ˆangulo de incidˆencia θi em uma interface arvidro por exemplo por que estando a beira de uma piscina e olhando diretamente para baixo podemos ver o fundo da piscina Enquanto ao olharmos para a outra extremidade da piscina nao podemos ver o fundo pois a superfıcie da piscina funciona quase como um espelho Na primeira situacao o ˆangulo de incidˆencia esta proximo da normal e a refletividade e muito baixa Por isso a luz que vem do fundo da piscina e e transmitida na interface com o ar nao e perturbada pela luz que propagandose no ar e refletida na interface com a agua Ja na segunda situacao o ˆangulo de incidˆencia da luz refletida que chega a nossos olhos esta proximo da incidˆencia rasante e a refletividade e bastante alta Essa luz portanto e muito mais intensa que a luz que vem do fundo da piscina e chega aos nossos olhos Situacao II n1 n2 Essa situacao acontece por exemplo quando a luz propagandose no vidro ou na agua encontra uma interface com o ar Agora teremos θt θi para todos os valores do ˆangulo de incidˆencia θi Examinando as equacoes 625 vemos que nesse caso r e sempre positivo e aumenta mo notonicamente com o ˆangulo de incidˆencia θi em contraposicao ao caso em que n1 n2 Agora no entanto r atinge seu valor maximo a um ˆangulo de incidˆencia θc sen1 n2n1 chamado ˆangulo crıtico menor que o ˆangulo de incidˆencia rasante θi π2 Ja r e inicialmente negativo crescendo monotonicamente com θi Agora esse coeficiente faz o caminho inverso ao 111 CEDERJ Papel da polarizacao nos processos de reflexao e refracao daquele feito no caso em que n1 n2 indo de valores negativos a valores positivos Durante esse percurso exatamente como no caso anterior ele se anula no ˆangulo de Brewster θB tan1 n2n1 Em uma interface vidro ar por exemplo o valor desse ˆangulo e θB 33 7 A partir desse valor do ˆangulo de incidˆencia r se torna positivo e alcanca seu maximo r 1 tambem no ˆangulo θc Esse comportamento e ilustrado para uma interface vidroar na Figura 69 Note que agora e a polarizacao paralela ao plano de incidˆencia que sofrera uma mudanca de fase δ π na reflexao para valores do ˆangulo de incidˆencia entre θi 0 e θ1 θB enquanto a polarizacao ortogonal ao plano de incidˆencia mantera sua fase Figura 69 Comportamento das amplitudes de reflexao r e r em funcao do ˆangulo de incidˆencia θi em uma interface vidroar CEDERJ 112 Papel da polarizacao nos processos de reflexao e refracao M ODULO 1 AULA 6 Exercıcio 62 Mostre que o ˆangulo de Brewster θB para a luz propagandose de um meio com ındice de refracao n1 para um meio com ındice de refracao n2 e complementar ao ˆangulo de Brewster θ B para a luz propagandose do meio de ındice de refracao n2 para o meio de ındice de refracao n1 Lembrese de que dois ˆangulos θ1 e θ2 sao complementares se θ1 θ2 π2 Solucao usando a Equacao 629 podemos escrever tan θB n2 n1 tan θ B n1 n2 1 tan θB Como tan π2 θ 1 tan θ podemos concluir que θ B π2 θB Isso mostra que o ˆangulo de Brewster numa interface arvidro por exemplo e complementar ao ˆangulo de Brewster numa interface vidroar O que acontece quando o ˆangulo de incidˆencia θi fica maior que o ˆangulo crıtico θc Podese mostrar que nesse caso as amplitudes de reflexao r e r tornamse numeros complexos de modulo unitario As refletividades R e R agora definidas como o quadrado dos modulos das amplitudes de reflexao tornamse entao constantes e unitarias como mostra a Figura 610 para uma interface vidroar Figura 610 Comportamento das refletividades R e R em funcao do ˆangulo de incidˆencia θi em uma interface vidroar Nessa figura podemos ver que quando o ˆangulo da incidˆencia θi se aproxima do ˆangulo crıtico θc as refletividades R e R crescem rapidamente 113 CEDERJ até atingirem um valor unitário exatamente no ângulo crítico A partir desse ângulo as reflectividades se mantêm unitárias Isso significa que quando o ângulo de incidência se aproxima do ângulo crítico a quase totalidade da luz incidente é refletida A partir do ângulo crítico nenhuma luz é transmitida havendo 100 de reflexão Esse fenômeno é conhecido como reflexão interna total e já foi apresentado a você na Aula 2 do Módulo 1 do curso de Introdução às Ciências Físicas É fácil derivar o valor do ângulo crítico θc para uma dada interface usando a Lei de Snell sen θi n2n1 sen θt 637 Como n2 n1 é fácil ver na equação acima que θt θi Assim à medida que o ângulo de incidência θi aumenta o ângulo de transmissão θt se aproxima de seu valor máximo θt π2 e ou alcança antes de θi atingir seu máximo permitido veja a Figura 611 A partir desse ponto toda a luz é refletida O ângulo crítico θc é o ângulo de incidência para o qual θt π2 sen θc n2n1 sen π2 n2n1 638 Figura 611 Representação esquemática da reflexão interna total Papel da polarizacao nos processos de reflexao e refracao M ODULO 1 AULA 6 Exercıcio 63 Suponha que um feixe de luz incida em uma interface como aquelas mos tradas na Figura 611 vindo de uma regiao 1 onde o ındice de refracao n1 e maior do que o da regiao 2 que suporemos ser o ar n2 1 Calcule o ındice de refracao n1 necessario para que se comece a ter reflexao interna total a partir do ˆangulo de incidˆencia θ1 500 Sugestao use a Equacao 638 Vocˆe devera obter o valor n1 1 3 A reflexao interna total tem varias aplicacoes praticas O vidro comum tem umındice de refracao n 1 5 Logo em uma interface vidroar o ˆangulo crıtico e θc sen1 23 41 8 Isso significa que se a luz propagandose no vidro incidir sobre uma interface com o ar a um ˆangulo acima de 41 8 sera totalmente refletida O prisma de reflexao total que e um prisma de vidro com ˆangulo de abertura de 45 faz uso desse resultado para refletir a totalidade da luz incidente perpendicularmente a uma de suas faces veja a Figura 612 Esse artefato substitui os espelhos metalicos em varios instrumentos oticos Figura 612 Luz sendo desviada por um prisma de reflexao total Outra aplicacao tecnologicamente muito importante da reflexao interna total e a propagacao da luz em fibras oticas Uma fibra otica e um cabo cilındrico que pode ser muito fino cujo nucleo e algum material transparente como plastico quartzo ou silica Esse nucleo e envolvido por outro material transparente de ındice de refracao menor que o nucleo A luz propagase 115 CEDERJ Papel da polarizacao nos processos de reflexao e refracao na fibra atraves de inumeras reflexoes totais na interface do nucleo com o material que o envolve veja a Figura 613 Figura 613 Propagacao da luz em uma fibra otica Conclusao Nesta aula vocˆe estudou os processos de reflexao e refracao da luz a partir de um tratamento ondulatorio Vocˆe viu que a lei de reflexao e a Lei de Snell resultam apenas do fato de que a luz e um fenˆomeno ondulatorio e de que seus campos associados devem satisfazer alguma condicao de con torno na interface que separa dois meios dieletricos Ja as relacoes entre as amplitudes da luz incidente refletida e refratada bem como possıveis mu dancas de fase na luz refletida e na luz refratada sao consequˆencias diretas das condicoes de contorno especıficas que devem ser satisfeitas pelos campos eletrico e magnetico na interface entre os dois meios Essas relacoes depen dem fortemente da polarizacao da luz incidente levando com isso a uma modificacao da polarizacao nos processos de reflexao e refracao Atividades Finais 1 Faca a experiˆencia de explicar a uma colega por que ao olharmos atraves de uma janela de vidro com nossos olhos apontando em uma direcao normal a superfıcie da janela podemos facilmente ver o que esta do outro lado enquanto se nossos olhos apontarem em uma direcao proxima da tangente a superfıcie de vidro esta funciona como um es pelho quase perfeito dificultando a visao do que esta no outro lado da janela 2 Em que situacao pode ocorrer a reflexao interna total da luz Dˆe um exemplo de uso pratico desse fenˆomeno 3 Descreva a alguem o que deve ser feito para que atraves de uma unica reflexao em uma interface possamos transformar um feixe de luz nao polarizado em luz linearmente polarizada CEDERJ 116 Papel da polarizacao nos processos de reflexao e refracao M ODULO 1 AULA 6 E na proxima aula vocˆe fara experimentos com a polarizacao da luz Resumo A Lei da Reflexao e a Lei de Snell sao consequˆencias do fato de que a luz e uma onda e seus campos associados devem satisfazer alguma condicao de contorno na interface de separacao entre dois meios quaisquer Por esse motivo elas valem tambem para outros fenˆomenos ondulatorios como por exemplo o som A fracao da intensidade luminosa incidente que e refletida ou refratada na interface entre dois meios depende do ˆangulo de incidˆencia e da polarizacao da luz A polarizacao da luz e geralmente modificada quando ela e refletida ou refratada na interface entre dois meios dieletricos Se o ˆangulo de incidˆencia da luz for igual ao ˆangulo de Brewster para uma dada interface a luz refletida sera linearmente polarizada na direcao ortogonal ao plano de incidˆencia 117 CEDERJ Experimentos com a polarizacaoda luz M ODULO 1 AULA 7 Aula 7 Experimentos com a polarizacao da luz Meta da aula Introduzir experimentos de optica com medidas relacionadas a pola rizacao da luz Objetivos Ao final desta aula vocˆe devera ser capaz de Verificar experimentalmente a Lei de Malus para a polarizacao da luz Medir o efeito de uma placa de onda sobre um feixe de luz com pola rizacao linear Prerequisitos Para realizar as atividades experimentais propostas nesta aula vocˆe precisara dos conceitos apresentados nas Aulas 4 e 5 Introducao Como vocˆe viu nas aulas anteriores a direcao ao longo da qual o campo eletrico da luz oscila e muito importante E a direcao de polarizacao Po demos ter varios estados de polarizacao para uma onda eletromagnetica polarizacao linear polarizacao circular e polarizacao elıptica Vamos agora fazer experimentos em que a polarizacao tem um papel decisivo Atividade experimental Lei de Malus Procedimento 1 Comece posicionando a fonte de luz branca e as lentes L1 e L2 montadas sobre os suportes de tal maneira que o feixe fique aproximadamente colimado propagandose sem divergˆencia entre as duas lentes e depois seja focalizado no detector Isto pode ser obtido colocandose a lente 119 CEDERJ Experimentos com a polarizacaoda luz L1 a uma distˆancia da fonte aproximadamente igual a sua distˆancia focal Veja a Figura 71 Figura 71 Representacao esquematica da montagem experimental posicionamento das lentes 2 Introduza o polarizador P1 na regiao do feixe entre as duas lentes Varie θ1 o ˆangulo entre o eixo do polarizador e a vertical e faca a leitura da intensidade detectada Note que neste caso nao ha variacao da intensidade os detectores em geral medem a potˆencia luminosa que e proporcional a intensidade do feixe Veja a Figura 72 Figura 72 Representacao esquematica da montagem experimental polarizando a luz nao polarizada 3 Introduza um segundo polaroide P2 entre o polaroide P1 e a lente L2 que focaliza o feixe no detector Veja a Figura 73 Figura 73 Representacao esquematica da montagem experimental medindo o estado de polarizacao CEDERJ 120 Experimentos com a polarizacaoda luz M ODULO 1 AULA 7 4 Mantendo θ1 fixo varie θ2 o ˆangulo entre o eixo do polarizador P2 e a vertical em passos de 100 de tal forma que uma rotacao de pelo menos 1800 seja realizada 5 Para cada posicao angular θ2 anote o valor da intensidade medida 6 Gire o polarizador P1 de 900 e repita as medidas de intensidade em funcao do ˆangulo θ2 Atividade experimental placas de onda Procedimento Figura 74 Representacao esquematica da montagem experimental para medidas de polarizacao da luz 1 A fonte de luz branca sera substituıda por um laser de diodo Veja a Figura 74 Antes de colocar qualquer componente sobre o trilho faca o alinhamento do feixe de laser com o detector de modo que o valor da potˆencia luminosa medida seja maximo 2 Insira agora o polarizador no feixe proximo ao detector e gire o polari zador ate que um maximo de intensidade transmitida seja encontrado Isto significa que a direcao do eixo do polarizador esta alinhada com a polarizacao linear produzida pelo laser Na Figura 74 o ˆangulo da polarizacao inicial do laser com relacao a vertical foi chamado θ 3 Insira entre o laser e o polarizador uma placa de um quarto de onda λ4 Gire a placa ate que um maximo de intensidade seja encontrado Nesta posicao a placa nao estara introduzindo nenhum atraso entre as 121 CEDERJ Experimentos com a polarizacaoda luz componentes verticais e horizontais da polarizacao e portanto a po larizacao linear incidente nao sera alterada pela placa Vamos chamar esta posicao angular θ1 00 4 Varie θ2 o ˆangulo do eixo do polarizador em relacao a vertical em passos de 10 graus e faca medidas da intensidade transmitida em funcao do ˆangulo 5 Gire a placa de onda para θ1 22 50 Vamos convencionar que o sentido positivo de rotacao seja dado pela regra da mao direita com o polegar apontando para o sentido da propagacao da luz os outros dedos indicam o sentido positivo de rotacao Refaca as medidas de intensidade versus ˆangulo do analisador θ2 6 Ajuste a placa de onda para θ1 450 e faca mais uma vez as medidas de intensidade versus ˆangulo do analisador θ2 7 Substitua a placa de um quarto de onda λ4 pela placa de meia onda λ2 Gire a placa e encontre a direcao em que a potˆencia transmitida e maximizada realizando o mesmo procedimento que foi realizado para a placa de um quarto de onda λ4 De novo chamaremos esta posicao angular θ1 00 8 Faca tambem para a placa de meia onda as medidas de intensidade transmitida em funcao do ˆangulo do analisador θ2 para as trˆes posicoes angulares do eixo da placa de meia onda 00 22 50e 450 Analise dos dados Lei de Malus 1 Qual e a equacao que relaciona a intensidade I da luz transmitida por um polaroide cujo eixo esta orientado ao longo da direcao θ2 com a intensidade I0 de um feixe de luz polarizado linearmente ao longo da direcao θ1 que incide sobre ele 2 Explique por que a intensidade nao varia quando o polarizador P1 e girado 3 Faca uma tabela contendo colunas para as seguintes grandezas θ1 θ2 θ2 θ1 e I a intensidade medida CEDERJ 122 Experimentos com a polarizacaoda luz M ODULO 1 AULA 7 4 Faca um grafico da intensidade medida I em funcao de θ2 para cada uma das posicoes angulares de P2 Observe que sao duas curvas uma para cada um dos seus dois conjuntos de dados mas elas devem ser tracadas no mesmo grafico 5 Qual e a razao para que as duas curvas sejam diferentes Placas de onda 1 Faca duas tabelas para as suas medidas com as placas de onda uma para as medidas com a placa de um quarto de onda e outra com a placa de meia onda Estas tabelas devem conter colunas com as grandezas θ1 θ2 I medido 2 Faca um grafico da intensidade medida I em funcao do ˆangulo do po laroide θ2 com os resultados das medidas feitas com a placa de um quarto de onda Sera um grafico com trˆes curvas sendo uma curva para cada valor de θ1 3 Analisando o grafico e sabendo que a polarizacao incidente era sempre linear como podemos saber que tipo de estado de polarizacao foi obtido apos a passagem pela placa de um quarto de onda Sugestao defina o parˆametro visibilidade das curvas ν Imax IminImax Imin onde Imax e o valor maximo da intensidade medida e Imin o valor mınimo na mesma curva Procure associar os valores deste parˆametro para cada curva com possıveis estados de polarizacao tais como po larizacao linear circular e elıptica Por exemplo se o estado de pola rizacao apos a placa de onda for circular ao medir a luz transmitida pelo polaroide em varias direcoes o valor de intensidade transmitida sera sempre o mesmo Logo a visibilidade sera zero Nao saberemos entretanto se a polarizacao e circular a direita ou a esquerda 4 Faca um grafico da intensidade medida I em funcao do ˆangulo do po laroide θ2 com os resultados das medidas feitas com a placa de meia onda Sera novamente um grafico com trˆes curvas sendo uma curva para cada valor de θ1 123 CEDERJ Experimentos com a polarizacaoda luz 5 Analisando o grafico e sabendo que a polarizacao incidente era sempre linear como podemos saber que tipo de estado de polarizacao foi obtido apos a passagem de meia onda pela placa Sugestao note que desta vez as visibilidades sao iguais e as curvas apenas se deslocam 6 Tendo em vista apenas os resultados obtidos em nosso experimento quais sao os tipos de estado de polarizacao que poderemos obter com uma placa de um quarto de onda se incidirmos sobre ela luz com po larizacao linear E quais tipos de estado poderemos obter com a placa de meia onda E ao longo da proxima aula vocˆe iniciara o Modulo 2 onde estudara os processos de interferˆencia e difracao da luz CEDERJ 124