Teoria das Estruturas: Deslocamentos em Estruturas Lineares e Princípio dos Trabalhos Virtuais

FACENS FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TEORIA DAS ESTRUTURAS Deslocamentos em Estruturas Lineares O Princípio dos Trabalhos Virtuais Prof JOSÉ LUIZ F de ARRUDA SERRA SUMÁRIO 01 O Princípio dos trabalhos virtuais aplicado aos corpos rígidos 01 11 Introdução 01 12 Roteiro para aplicação do PTV estruturas isostáticas 02 13 Exemplo número 1 02 14 Exemplo número 2 03 02 O Princípio dos trabalhos virtuais aplicado aos corpos deformáveis 05 21 Introdução 05 22 Enunciado do PTV para corpos deformáveis 06 23 O Processo da Carga Unitária Para Cálculo de Deslocamentos 07 03 Aplicação do PTV às treliças 08 31 Exemplo número 1 09 32 Exemplo número 2 11 04 O PTV aplicado às estruturas de nós rígidos 12 41 Avaliação da integral do produto de duas funções 13 42 Exemplo número 3 14 43 Observação sobre o uso das tabelas 16 44 Exemplo número 4 17 05 Deformações por variação de temperatura 18 51 Exemplo número 5 19 06 Exercícios propostos 21 07 Respostas dos exercícios propostos 26 1 DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS LINEARES 1 O Princípio dos trabalhos virtuais aplicado aos corpos rígidos 11 Introdução Os conceitos relativos a deslocamentos virtuais e trabalho virtual são usualmente introduzidos durante o estudo da Mecânica Geral quando são usados para resolver problemas sobre equilíbrio estático A palavra virtual significa que as quantidades são puramente imaginárias e que não precisam existir no sentido real ou físico Assim um deslocamento virtual é um pequeno deslocamento imaginário arbitrariamente imposto sobre um sistema estrutural Não há necessidade de se tratar de um deslocamento real como por exemplo os deslocamentos de flexão causada por cargas atuantes na estrutura O trabalho realizado por forças reais durante um deslocamento virtual é chamado trabalho virtual O Princípio dos Trabalhos Virtuais PTV afirma A condição necessária e suficiente para o equilíbrio de um ponto ou sistema de pontos materiais qualquer é ser nula a soma dos trabalhos virtuais em qualquer deslocamento virtual compatível com as ligações do sistema ou seja Σ T virtual externo zero 11 Como se mostrou no estudo da Mecânica Geral este princípio pode ser usado no lugar das três equações de equilíbrio ΣX 0 ΣY 0 e ΣM 0 com o propósito de resolver problemas de equilíbrio estático O deslocamento virtual deve ser suposto infinitesimal de modo a não alterar a configuração estática e geométrica do sistema das forças que nele agem não violando as condições de equilíbrio que tais forças obedecem O deslocamento virtual é causado por uma ação externa qualquer cuja origem não é objeto de discussão sendo completamente independente das forças externas que mantém a estrutura em equilíbrio O PTV aplicado às estruturas isostáticas em equilíbrio resolve o problema estático através do geométrico Como o PTV consiste de apenas uma equação ele se torna seletivo ou seja sua aplicação determina apenas uma incógnita havendo necessidade de se repetir o procedimento para cada incógnita procurada Não obstante este fato e inclusive por isto é muito útil quando se deseja determinar apenas um esforço como é o caso de determinação de linhas de influência A aplicação do PTV às estruturas isostáticas para a determinação de um determinado esforço requer que seja aplicado um deslocamento virtual que só pode ser realizado se o sistema for móvel o que é obtido retirandose o vínculo correspondente à incógnita e substituindoo pelo esforço correspondente Como os deslocamentos virtuais são supostos infinitesimais estes deslocamentos seguem as leis dos pequenos deslocamentos mais simples que as dos deslocamentos finitos No caso dos pequenos deslocamentos a tangente dos ângulos formados durante os deslocamentos se confunde com o próprio ângulo ou seja tg θ θ em radianos12 2 12 Roteiro para aplicação do PTV estruturas isostáticas 01 retirase o vínculo correspondente à incógnita substituindoo pela incógnita para manter o equilíbrio A incógnita passa a ser considerada como carga externa 02 aplicase um deslocamento virtual compatível com as ligações remanescentes da estrutura 03 calculase o trabalho virtual de todos os esforços externos igualandoo a zero Como estamos trabalhando com estruturas isostáticas a retirada de um vínculo conforme item 01 do roteiro transformará a estrutura em uma cadeia cinemática ou mecanismo ou sistema móvel com um grau de liberdade podendo então ser aplicado o deslocamento conforme item 02 sem que nesta fase ocorra deformações adicionais nas barras do sistema O fato da cadeia cinemática ter apenas um grau de liberdade significa que conhecido um deslocamento linear ou angular todos os outros deslocamentos podem ser determinados em função deste o que em geral é bastante simples em se tratando de pequenos deslocamentos para os quais os ângulos e suas tangentes se confundem É conveniente no primeiro passo introduzir a incógnita com o sentido positivo das convenções usuais assim como o deslocamento virtual pode preferencialmente ser dado no sentido contrário ao sentido da incógnita e suposto unitário para facilitar os cálculos No cálculo dos trabalhos virtuais podese usar as resultantes dos carregamentos distribuídos em cada chapa da estrutura Não pode ser usada uma resultante para mais de uma chapa 13 Exemplo número 1 Determinar a reação em A RA da viga simples da figura 11 a Figura 11 Exemplo número 1 A aplicação do roteiro é ilustrada na figura 11 b na qual a carga distribuída foi substituída pela sua resultante Chamando de δ o deslocamento virtual infinitesimal arbitrário da incógnita RA a rotação θ da viga assim como os valores de δ1 e δ2 necessários para o cálculo do trabalho da força concentrada 2t e da resultante da carga distribuída 10t podem ser determinados em função de δ 3 10 5 5 10 6 6 10 2 1 δ θ δ δ θ δ θ δ δ l 13 Aplicandose a equação 11 do PTV aplicado aos corpos rígidos obtémse t 26 R 5 1 2 R 0 10 2 R A A 2 1 A δ δ δ δ δ δ 14 Notase que o parâmetro δ aparece em todos os termos da equação podendo ser eliminado ou seja não influi no resultado justificando adotálo unitário Aplicandose o deslocamento virtual unitário contrário ao sentido positivo da incógnita o trabalho desta será negativo e numericamente igual ao seu valor pois RA x δ RA x 1 RA e aparecerá sozinha quando for isolada no outro membro da equação 14 Exemplo número 2 Para a Viga Gerber da figura 12 a determinar os valores das reações RA RB e dos momentos fletores MB e MC que ocorrem na seção sobre o apoio B e no engastamento C respectivamente As figuras 12 b c d e e mostram as cadeias cinemáticas formadas após a retirada do vínculo correspondente à incógnita respectiva e aplicação do deslocamento unitário Nos casos e e d para o cálculo dos momentos fletores sobre os apoios B e C respectivamente os apoios não podem ser retirados pois correspondem às reações RB e RC No caso do engastamento C a retirada do vínculo correspondente ao momento o transforma em um apoio fixo Como MB é um esforço interno o vínculo correspondente retirado deve ser substituído pelo par de esforços que foi eliminado ou seja deve ser indicado tanto a ação que a parte à esquerda da seção exerce na parte da direita como a ação que a direita exerce na parte da esquerda ação e reação No caso de momentos fletores em vigas horizontais a convenção usual prescreve que eles são positivos quando tracionam as fibras inferiores Seria conveniente lembrar que mesmo nos casos das reações de apoio RA RB e Mc como as forças existem sempre aos pares ação e reação também poderia ser indicado as ações inverso das reações nos apoios que a viga exerce na terra Isto não é necessário pois a terra é suposta um referencial absoluto portanto não apresenta deslocamentos gerando sempre trabalho nulo e não influindo nos resultados Indicadas as cargas externas aplicadas no sistema as distribuídas através de suas resultantes em cada chapa e calculados através de simples proporcionalidade os deslocamentos ao longo das suas linhas de ação cujos resultados estão assinalados nas figuras fica bastante simples o cálculo dos trabalhos realizados e a aplicação do PTV A incógnita por ter substituído um vínculo da estrutura deve ser considerada esforço externo junto com as ações aplicadas 4 β α α α β Figura 12 Exemplo número 2 5 No caso dos momentos o deslocamento virtual correspondente é um deslocamento angular que adotamos unitário Como se trata de pequenos deslocamentos para o ângulo ser unitário o triângulo obtido durante a varredura do deslocamento deve ter a base e a altura iguais Considerando o deslocamento correspondente a incógnita admensional as ordenadas da forma deslocada da cadeia cinemática no caso de incógnita força também resulta admensional e no caso dos momentos as ordenadas têm dimensão de comprimento pois neste caso o valor do deslocamento angular é sempre a razão cociente entre dois comprimentos e como um deles corresponde à distâncias na viga em metros por exemplo o outro deve ter a mesma dimensão para se anularem na operação de divisão A aplicação da equação Text 0 fornece para a reação em A conforme figura 12 b RA 4 x 05 2 x 025 RA 25 t Para a reação em B figura 12 c RB 4 x 075 2 x 1125 6 x 075 RB 975 t Para o momento fletor em B figura 12d MB 4 x 1 2 x 15 2 x 1 MB 9 tm Para a reação momento em C figura 12 e MC 4 x 05 2 x 075 2 x 05 4 x 1 3 x 2 2 x 1 MC 75 tm Os sinais negativos dos valores de MB e MC indicam que estas incógnitas têm sentido oposto ao adotado nas figuras ou seja tracionam as fibras superiores da viga No cálculo de MC poderia ter sido usada a resultante total do trecho αβ 6t deslocando 05m no sentido oposto resultando o trabalho de 3 tm Maiores detalhes sobre as cadeias cinemáticas serão vistos no estudo das Linhas de Influência inclusive com um capítulo dedicado ao estudo das leis de deslocamento das cadeias cinemáticas 2 O Princípio dos trabalhos virtuais aplicado aos corpos deformáveis 21 Introdução No estudo da análise estrutural devese estender o Princípio dos Trabalhos Virtuais para o caso de estruturas deformáveis Neste caso devese levar em consideração não apenas o trabalho realizado pelas ações externas mas também o trabalho associado aos esforços internos na deformação dos elementos da estrutura Este princípio é extremamente valioso e tem muitas aplicações na análise estrutural Durante o desenvolvimento do princípio notase que as propriedades do material não entram em discussão e consequentemente o PTV aplicase a todas as estruturas independente do material se comportar linearmente ou não 6 22 Enunciado do PTV para corpos deformáveis Em uma estrutura deformável em equilíbrio a soma dos trabalhos virtuais das ações externas em um deslocamento compatível com as ligações é igual ao trabalho virtual interno realizado pelos esforços internos na deformação dos elementos da estrutura ou seja Texterno Tinterno na deformação 21 Seja a viga da figura 21 a em equilíbrio sob a ação de um carregamento genérico qualquer que denominaremos estado de carregamento índice c Nestas condições um elemento diferencial genérico c de comprimento dx apresenta os esforços solicitantes MC QC e NC na face esquerda e na face direita podem ter alterado de quantidades diferenciais sendo apresentadas como MCdMc QCdQC e NCdNC conforme ilustra a figura 21 c Admitase que nesta estrutura seja dada uma deformação virtual que produza uma pequena alteração em sua forma fletida Esta deformação virtual é imposta sobre a estrutura de alguma maneira não especificada e é completamente independente do fato da estrutura já ter sido submetida a deflexões reais causadas pelas cargas do estado de carregamento A deformação virtual representa uma deformação adicional imposta à estrutura A única restrição é que ela deve ter uma forma que poderia ocorrer fisicamente ou em outras palavras a deformação virtual no estado de deslocamento índice d ilustrado na figura 21 b deve ser compatível com as condições de apoio da estrutura e deve manter a continuidade entre os elementos da estrutura Durante a deformação virtual o elemento genérico c se desloca para a posição d conforme mostra a figura 21 b deformando até atingir a forma final ilustrada na figura 21 d Nesta figura estão indicadas as deformações que o elemento diferencial sofre nas direções dos esforços solicitantes N Q e M denominadas respectivamente dud dvd e dφd O índice d é usado para salientar que se trata de deformação do estado de deslocamento φ Figura 21 Estados de carregamento e deslocamento 7 O Princípio dos Trabalhos Virtuais afirma que o trabalho externo realizado pelas ações aplicadas no estado de carregamento durante os deslocamentos ocorridos no estado de deslocamentos é igual ao trabalho interno realizado pelos esforços solicitantes do estado de carregamento durante as deformações que os respectivos elementos sofrem no estado de deslocamento O Trabalho interno realizado pelos esforços solicitantes do estado de carregamento c figura 21 c nas deformações do estado de deslocamentos d figura 21 d vale para o elemento diferencial d c d c d c int M d Q dv N du dT φ 22 Integrando ao longo de toda a estrutura obtémse a expressão para o trabalho virtual interno realizado na deformação dos elementos da estrutura φ estr d C estr d C estr d C int M d Q dv N du T 23 Aplicando 23 em 21 aqui repetida obtémse a expressão geral para o caso de estruturas planas com carregamento no próprio plano do Princípio do Trabalho Virtual PTV Texterno Tinterno dos esforços solicitantes na deformação dos elementos da estrutura φ estr d C estr d C estr d C ext M d Q dv N du T 24 Nesta expressão o índice c referese aos esforços solicitantes causados pelas ações do estado de carregamento e o índice d referese aos deslocamentos sofridos no estado de deslocamentos Reforçase aqui que o estado de deslocamentos foi obtido de maneira independente das cargas que atuam no estado de carregamento pode ter sido causado por outro carregamento variações de temperatura ou outro motivo qualquer desde que seja compatível com as condições de apoio da estrutura 23 O Processo da Carga Unitária Para Cálculo de Deslocamentos O procedimento prático da aplicação do PTV para o cálculo de deslocamentos é conhecido como processo da carga unitária ou processo da carga substituta Também é encontrado com o nome de processo ou método de MaxwellMohr por ter sido desenvolvido independentemente por James Clerk Maxwell 18311879 e Otto Christian Mohr 1835 1918 em torno do ano de 1870 O procedimento prático da carga unitária é adequado para o cálculo de qualquer deslocamento linear ou angular absoluto ou relativo Pode ser usado tanto para estruturas isostáticas como para estruturas hiperestáticas desde que se conheça os diagramas de estado em toda a estrutura Para a aplicação deste procedimento devese considerar dois sistemas o primeiro consiste na estrutura com cargas reais mudanças de temperatura ou outras causas responsáveis pela produção do deslocamento a ser calculado configurando então um estado de deslocamento O segundo sistema é um estado de carregamento que consiste na aplicação de uma carga unitária que age sozinha na estrutura Esta carga unitária é uma carga fictícia ou substituta introduzida apenas para se calcular o deslocamento produzido pelas ações reais 8 A carga unitária deve corresponder ao deslocamento procurado ou seja para se calcular um deslocamento linear absoluto aplicase uma força unitária na direção e sentido do deslocamento linear procurado Caso o deslocamento procurado seja uma rotação a carga unitária correspondente deve ser um momento Se o deslocamento procurado for a translação relativa entre dois pontos ao longo da linha que os une o carregamento unitário deve ser constituído de duas forças colineares e opostas agindo nos dois pontos considerados Caso o deslocamento seja a rotação relativa entre duas tangentes o carregamento constituirá de dois momentos iguais e opostos O cálculo prático para a determinação de um deslocamento qualquer é aplicar na estrutura uma carga força ou momento unitária na direção e sentido do deslocamento real procurado e determinar os diagramas de esforços solicitantes N Q e M produzidos por este carregamento unitário ou seja o estado de carregamento c é o sistema com a carga unitária Tomandose os deslocamentos e deformações causados pelas ações que agem na estrutura como estado de deslocamento o único trabalho externo é o realizado pela carga unitária e é igual ao produto da carga unitária pelo deslocamento procurado O trabalho interno como foi visto será igual a integral estendida a toda estrutura do produto dos esforços solicitantes causados pela carga unitária pelos respectivas deformações causadas pelas ações que agem na estrutura ou seja φ δ estr d C estr d C estr d C procurado M d Q dv N du 1 25 o índice c referese ao carregamento unitário o índice d referese à estrutura com as ações aplicadas Pode parecer estranho que neste procedimento o estado de deslocamentos que na concepção do PTV é um estado virtual seja o dos deslocamentos reais Isto é possível e até conveniente pois os deslocamentos reais são certamente compatíveis com as condições de apoio da estrutura bastando serem pequenos o suficiente para não alterarem as condições de equilíbrio das forças reais envolvidas para poderem ser considerados como deslocamentos virtuais 3 Aplicação do PTV às treliças No caso das treliças com as hipóteses usuais de cálculo articulações perfeitas e cargas apenas nos nós o único esforço que resulta nas barras da treliça é o esforço normal e tem valor constante para cada barra Assim como M Q zero apenas a integral que calcula o trabalho interno relacionada com o esforço normal da equação 25 é diferente de zero Temos então δ treliça d C procurado N du 1 31 Como as normais são constantes para cada barra e a integral pode ser calculada como uma somatória das integrais em cada barra temos tirando os valores constantes de N fora das integrais δ barrai d barrasi ci procurado du N 32 Como di d nabarrai barrai dud l l obtémse 9 di barrasi ci procurado N l δ 33 Os deslocamentos l podem ser causados por cargas aplicadas que produzem normais Ndi nas barras i ou variação de temperatura e para cada um destes casos vale Caso força normal conforme Lei de Hooke i i i di di E A N l l 34 Caso variação de temperatura t i di α l l 35 nas quais E é o módulo de elasticidade A é a área da seção transversal e α é o coeficiente de dilatação térmica 31 Exemplo número 1 Para a treliça da figura 31 a de EA 10000 t submetida ao carregamento mostrado determinar a as componentes horizontal e vertical do deslocamento do nó 6 b o deslocamento relativo entre os nos 3 e 6 10 Figura 31 Exemplo número 1 Como os deslocamentos procurados são causados por um carregamento as deformações nas barras da treliça são calculadas segundo a Lei de Hooke conforme a equação 34 Aplicando na expressão 33 obtémse di barrasi i i di ci procurado E A N N l δ 36 A figura 31 b mostra os resultados das normais nas barras da treliça devido o carregamento dado ou seja as normais do estado de deslocamentos As figuras 31 c e d mostram as normais determinadas dos estados de carregamento unitário para o cálculo das componentes horizontal e vertical do deslocamento do nó 6 respectivamente A figura 31 e apresenta as normais do estado de carregamento unitário para o cálculo do deslocamento relativo entre os nós 3 e 6 Como EA é constante e usando a notação 0 para os esforços do estado de deslocamento treliça dada e 1 2 e 3 para os estados de carregamento unitário respectivos aos deslocamentos procurados conforme mostra a figura 31 a expressão 36 fica l δ barras i 0 procurado N N EA 1 37 ou l δ barras i 0 procurado N N EA 38 Os cálculos relativos a expressão 38 são facilitados organizando os dados e calculando os produtos através da tabela Barra l N0 N1 N2 N3 N0 N1 l N0 N2 l N0 N3 l 12 20 40 100 0 0 800 34 20 40 100 0 08 800 640 56 20 20 100 0 08 400 320 13 15 45 150 0 0 10125 35 15 15 075 0 06 16875 135 24 15 25 075 10 0 28125 375 46 15 10 0 10 06 0 150 090 23 25 50 125 0 0 15625 45 25 25 125 0 10 78125 625 Σ 580625 525 163 Com os resultados dos somatórios obtidos na tabela temos as respostas 10000 x H6 580625 tm ou H6 580625 x 104 m para a direita 10000 x V6 525 tm ou V6 525 x 105 m para baixo 11 10000 x 36 163 tm ou 36 163 m x 104 m afastando os nós 3 e 6 32 Exemplo número 2 Para a mesma treliça do exemplo anterior determinar novamente a componente horizontal do deslocamento do nó 6 H6 com a treliça sem as forças aplicadas mas com uma variação de temperatura igual a 30o centígrados apenas nas barras verticais da esquerda barras 13 e 35 Coeficiente de dilatação térmica do material α 12 x 105 oC1 Figura 32 Exemplo número 3 A figura 32 a sugere o estado de deslocamento devido a variação de temperatura nas barras 13 e 35 O estado de carregamento unitário para o cálculo de H6 é a aplicação de uma força unitária na direção e sentido suposto positivo do deslocamento horizontal do nó 6 que já foi resolvido no exercício anterior e para facilitar repetido na figura 32 b A aplicação do PTV fornece Text Tint 1 x H6 Σ N1 lT 39 Como só ocorre lT nas barras 13 e 35 temos lT l α T 15 x 12 x 105 x 30 54 x 104 m H6 15 075 x 54 x 104 1215 x 103 m para a direita Convém ressaltar que as direções dos deslocamentos pedidos são definidas horizontal vertical relativos etc mas os módulos e sentidos por serem incógnitas não são conhecidos a priori sendo então o sentido suposto através do sentido do carregamento unitário Caso o resultado do trabalho total interno seja positivo o sentido do deslocamento é concordante com o sentido da carga unitária caso contrário tem sentido oposto Em relação ao trabalho 12 interno as parcelas do somatório serão positivas quando a deformação da barra for concordante com sentido do esforço solicitante correspondente no estado de carregamento unitário 4 O PTV aplicado às estruturas de nós rígidos A equação fundamental do processo da carga unitária 25 acrescida da deformação relativa ao momento torçor T vale θ φ δ estr d C estr d C estr d C estr d C procurado T d M d Q dv N du 41 onde TC é o momento torçor no estado de deslocamento unitário e θd é a correspondente rotação da seção no estado de deslocamento que ocorre na estrutura com as ações aplicadas Caso as deformações na estrutura analisada sejam devidas à cargas aplicadas as deformações diferenciais da equação 41 valem conforme deduzidas na Resistência dos Materiais ds E A N du d d 42 ds G A c Q dv d d 43 ds E I M d d φd 44 ds G J T d t d θd 45 nas quais E módulo de elasticidade longitudinal módulo de Young G módulo de elasticidade transversal A Área da seção transversal I Momento de inércia da seção transversal Jt Momento de Inércia à torção da seção transversal c fator de forma para redução da área da seção transversal Para seções retangulares com base b e altura h A bh I bh312 c 12 Jt k at3 dimensão at não importando ser a base b ou a alturah relação at valor de k 10 0141 12 0166 15 0196 20 0229 25 0249 30 0263 40 0281 50 0291 13 100 0312 0333 Para seções circulares vazadas de diâmetro externo D e interno d A π D2 d2 4 I π D4 d4 64 c 11 seção circular cheia d 0 Jt π D4 d4 32 Na expressão 41 do trabalho virtual só em casos excepcionais há necessidade de se considerar as quatro parcelas do trabalho interno Como se viu no caso das treliças apenas a primeira parcela correspondente à força normal é diferente de zero sendo portanto a única a ser considerada A quarta parcela só será diferente de zero se houver momento torçor isto é só se ocorrer carregamento fora do plano da estrutura Nas estruturas aporticadas a flexão das peças causadas pelos momentos fletores são preponderantes nos deslocamentos e deformações da estrutura A deformação por força cortante e força normal é em geral desprezível nas estruturas usuais em face da deformação causada pelo momento fletor Assim nos casos planos em geral nas barras fletidas considera se apenas a terceira parcela do segundo membro da equação 41 ou seja a parcela correspondente ao trabalho interno realizado pelos momentos fletores Neste caso a expressão 41 combinada com a 44 fica δ estr d C procurado ds E I M M 46 Como normalmente a rigidez à flexão EI é constante para cada barra pode ser colocada fora da integral que deve ser transformada em um somatório das integrais nos diversos trechos de EI constante da estrutura ou seja δ barras i barra i d C i i procurado M M ds E I 1 47 Em benefício da simplicidade a notação desta expressão pode ser simplificada subentendendose o índice i e que a integral é estendida a toda a estrutura calculada barra a barra δ M ds M EI 1 d C 48 Notase então que nos cálculos práticos das estruturas aporticadas o trabalho interno se resume a determinação da integral do produto de duas funções 41 Avaliação da integral do produto de duas funções A avaliação da integral do produto de duas funções como aparece na equação 48 é feita através de tabelas como a apresentada no quadro 41 Quando o diagrama do esforço considerado não se encontra diretamente na tabela ele deve ser separado em gráficos que estejam contemplados na tabela 14 Os diagramas de MC referentes ao estado de carregamento com a carga unitária é sempre formado de trechos retos portanto em geral não apresentam dificuldade Os digramas de Md que são devidos ao carregamento real da estrutura pode necessitar ser separado na soma de dois ou mais diagramas mais simples conforme o esquema Md Md1 Md2 A integral fica ds M M ds M M M M M M ds M d 2 C d1 C d 2 d1 C d C na qual as integrais dos produtos Mc Md1 Mc Md2 etc podem ser encontradas na tabela Ilustrações da técnica do uso das tabelas serão apresentadas nos exercícios Quadro 41 42 Exemplo número 3 Seja a viga em balanço da figura 41 para a qual calcularemos a flecha na extremidade livre B Com o propósito de mostrar que nas estruturas usuais o efeito da força cortante nos deslocamentos é desprezível em face do efeito do momento fletor consideraremos neste primeiro exemplo estes dois efeitos Aplicando a técnica da carga unitária temos 15 2GA cp 8 EI p f 1 2 p 1 GA c 2 p 4 1 EI 1 f Q Q ds GA c M M ds EI 1 f 2 4 B 2 B 1 0 1 0 B l l l l l l l 49 A primeira parcela corresponde ao efeito do momento fletor flexão na deformação da viga e a segunda corresponde ao efeito da força cortante na deformação Substituindose os valores numéricos obtémse fB 01 0001 m Comparandose o efeito do momento fletor com o efeito da força cortante 0 01 10 0 001 Efeito de M Efeito de Q Ou seja o efeito da força cortante é 1 do efeito do momento fletor justificando não considerar na grande maioria dos casos práticos os efeitos do esforço cortante nas deformações Figura 41 Exercício número 3 16 43 Observação sobre o uso das tabelas Na combinação de M0 M1 como a tangente à parábola no diagrama de M0 é paralela à linha de referência este ponto é vértice da parábola Como este diagrama é encontrado na tabela não houve necessidade de separálo em uma soma de diagramas mais simples Caso houvesse uma carga concentrada na extremidade livre B a tangente à parábola não seria mais horizontal e o diagrama de M0 não estaria previsto na tabela Neste caso haveria necessidade de separálo em uma soma de diagramas mais simples que estivessem previstos na tabela Caso haja dúvida se as parábolas estão nas condições prescritas na tabela é aconselhável separálas Para ilustrar este fato vamos recalcular a integral do produto M0 M1 separando o diagrama de M0 na soma de duas parcelas naturalmente ambos previstos na tabela A técnica para separar os diagramas com parábolas do segundo grau pode mneumonicamente ser chamada de retas pl28 Figura 42 Decomposição de diagramas ds M M ds M M ds M M M M ds M 02 1 01 1 02 01 1 0 1 ou 8 p 1 4 24 pl p 8 p 3 1 p 2 p 3 1 M ds M 4 4 2 2 0 1 l l l l l l l l Ou seja o resultado coincide com a parcela obtida em 49 correspondente a deformação por momento fletor Nesta última integral calculada o sinal negativo que aparece no cálculo da integral de M1 M02 é porque neste caso os diagramas de M1 e M02 têm sinais opostos 17 44 Exemplo número 4 A figura 43 mostra uma viga com balanço com rigidez à flexão constante EI 3000 tm2 submetida ao carregamento indicado Desejase determinar o giro na extremidade livre C ϕ Figura 43 Exercício número 4 18 O estado de deslocamento que chamaremos de estado zero é a viga com o carregamento real que consiste de três cargas uma distribuída e duas concentradas O digrama de momentos fletores correspondente M0 está indicado na figura e notase que na sua forma final não se encontra diretamente na tabela A alternativa mais conveniente neste caso é usar o Princípio da Superposição de Efeitos separando o carregamento múltiplo em uma soma dos carregamentos obtidos pela aplicação de cada carga atuando isoladamente como ilustra a figura obtendose os diagramas mais simples M01 M02 e M03 O estado de carregamento unitário para o cálculo do giro na extremidade C ϕc chamado de estado de carregamento 1 consiste em um momento unitário aplicado na posição do deslocamento procurado conforme mostra a figura 43 A aplicação do PTV técnica da carga unitária equação 48 resulta ϕ M ds M M ds M M ds M M M ds EI 1 03 1 02 1 01 1 0 c 1 54 2 1 3 1 54 3 1 9 1 6 9 6 1 6 1 9 1 125 10 3 1 9 EI c ϕ 2 c 25 125 tm EI ϕ ou radianos 375 10 8 3000 25125 3 c ϕ O sinal significa que a rotação ocorre no sentido contrário ao suposto no estado de carregamento unitário ou seja ocorre no sentido antihorário Para não haver dúvidas em relação ao sentido os deslocamentos podem ser expressos em módulo explicitandose o sentido No caso dos giros é também conveniente expressálos em graus 1 rad 180π graus Assim horário 0 48 no sen tido anti rad 10 8 375 o 3 c ϕ No cálculo da integral de M03 M 1 usouse a propriedade C A B A C B 1 03 1 03 1 03 M ds M M ds M M ds M 5 Deformações por variação de temperatura Caso o estado de deslocamentos d seja causado por uma variação não uniforme de temperatura a expressão geral do PTV 41 usando a técnica da carga unitária fica φ δ estr d C estr d C procurado M d N du 51 na qual as deformações dud e dφd valem os valores mostrados na figura 51 Notar que neste caso a deformação dud é relativo ao eixo médio e dvd é nulo Substituindo os valores de dud e dφd obtémse α α δ estr C inf sup estr C médio procurado dx M h t t N dx t 52 19 φ α α φ α α Figura 51 Variação de temperatura Neste caso cuidado especial deve ser tomado em relação ao sinal do trabalho interno na deformação ou seja com o sinal dos resultados das integrais Caso as deformações por temperatura sejam concordantes com o sentido dos esforços do estado de deslocamento o sinal será positivo caso contrário negativo Assim A primeira integral será positiva para esforços normais de tração e a segunda será positiva quando o momento fletor Mc tracionar a fibra que se encontra mais distendida do trecho ou aquela com a temperatura mais elevada 51 Exemplo número 5 A estrutura da figura 52 apresenta uma variação de temperatura nas fibras externas de ambas as barras de 50o centígrados Desejase determinar a flecha componente vertical do deslocamento na extremidade livre C O coeficiente de dilatação térmica do material vale α 12 x 105 oC1 e a seção transversal das barras tem altura h 040m Figura 52 Exemplo número 5 20 Determinados os esforços solicitantes N e M do estado de carregamento conforme figura 52 a expressão 52 fica α α dx M h t t N dx t f inf sup médio C 3 2 1 3 3 3 0 40 0 50 1 2 10 3 1 2 0 50 10 21 f 5 5 C 0 01935m para baixo 0 02025 0 0009 f C 21 6 Exercícios propostos respostas no final da lista 01 Para a treliça da figura de EA 10000 e coeficiente de dilatação térmica α 12 x 105 determinar a a flecha no nó 4 f4 b a flecha no nó 4 f4 caso ao invés do carregamento ocorra uma variação de temperatura t 50 oC nas barras do banzo superior 56 67 e 78 02 Para a treliça da figura cujas barras possuem EA cte 10000 t determinar a a flecha no nó 4 b qual o defeito de fabricação constante que deve ter as barras do banzo superior 13 35 57 e 78 para que o nó 4 tenha uma contra flecha igual a flecha calculada no item a 03 Para a treliça de EA cte 10000 t determinar através de suas componentes o deslocamento do nó 5 5 22 04 Para a treliça da figura de aço E2100 tcm2 cujas áreas das seções transversais estão indicadas na convenção ao lado da figura determinar a a flecha do nó 3 f3 b o deslocamento do apoio móvel 5 5 c qual o defeito de fabricação que ser dado na barra 67 para que o apoio 5 retorne para a posição da treliça descarregada 05 Para a treliça da figura de EA 10000 t determinar a a componente vertical do deslocamento do nó 8 V8 b a componente horizontal do deslocamento do nó 8 H8 23 06 Para a viga em balanço da figura de EI constante calcular a a flecha na extremidade B fB b a rotação na extremidade B ϕB c a flecha no meio do vão fC d a rotação no meio do vão ϕC 07 Para a viga simplesmente apoiada da figura de EI 5000 tm2 determinar a a flecha no meio do vão fC b o giro na extremidade A ϕA c o giro no meio do vão ϕC 08 Para a viga da figura de EI 10000 tm2 determinar a o giro em A ϕA b a flecha em C fC 09 Para a viga articulada Gerber da figura de EI10000 tm2 determinar a a flecha na articulação B fB b a flecha na extremidade livre D fD c o giro na extremidade livre D ϕD 24 10 Para o pórtico da figura de EI10000 tm2 determinar a o deslocamento do apoio móvel C C b o giro no apoio fixo A ϕA c o giro do nó B ϕB d o giro no apoio C ϕC 11 Para o pórtico da figura de EI 19200 tm2 determinar a o deslocamento horizontal do apoio D D b a flecha no meio do vão BC fM 12 Para o pórtico da figura de EI 10000 tm2 determinar a o deslocamento horizontal do apoio D D b o giro do nó C ϕC 13 Para o pórtico do exemplo anterior determinar os mesmos deslocamentos caso esteja submetido ao carregamento da figura abaixo 25 14 Para a estrutura da figura de EI 50000 tm2 determinar a o deslocamento translação do apoio C C b o giro do nó B ϕB 15 Para o pórtico triarticulado da figura E 210 tcm2 I 300000 cm4 determinar o deslocamento horizontal da articulação C C 16 Para o pórtico triarticulado da figura de EI 50000 tm2 determinar a a flecha na articulação C fC b o giro no apoio E ϕE 26 7 Respostas dos exercícios propostos 01 a f4 1566 cm para baixo b f4 09 cm para baixo 02 a f4 1241 cm para baixo b l 03723 cm alongamento 03 V5 17517 cm para baixo H5 07184 cm para a direita 5 1893 cm formando um ângulo de 677o horário com o eixo horizontal 04 a f3 08586 cm para baixo b 5 17937 cm para a direita c l 0897 cm encurtamento 05 a 0993 cm para baixo b 0399 cm para a direita 06 a fB PL33EI b ϕB PL22EI c fC 5PL348EI d ϕC 3PL28EI 07 a fC 6975 mm para baixo b ϕA 36 x 103 radianos no sentido horário c ϕC zero 08 a ϕA 35625 x 103 radianos no sentido horário b fC 855 mm para cima 09 a fB 48375 mm para baixo b fD 140625 mm para cima c ϕD 35625 x 104 radianos no sentido antihorário 10 a C 1067 cm para a direita b ϕA 3467 x 103 radianos no sentido horário c ϕB 1333 x 103 radianos no sentido horário d ϕC 6667 x 104 radianos no sentido antihorário 11 D 1 cm para a direita fM 0222 cm para baixo 12 D 1973 cm para a direita ϕC 1467 x 103 radianos no sentido antihorário 13 D 4325 cm para a direita ϕC 2907 x 103 radianos no sentido antihorário 14 a C 008 cm para a direita b ϕB zero 15 C 1822 cm para a esquerda 16 a fC 192 mm para baixo b ϕE 1333 x 104 radianos no sentido horário