Osciladores Acoplados - 6ª Aula

Osciladores Acoplados 6ª Aula continuação DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 2 Refs 1 Livro Curso de Física Básica do Prof H Moysés Nussenzveig vol2 págs 8894 2 Vídeo httpswwwyoutubecomwatchvX6ILmmFICrI DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 3 Exemplo simples de 2 OHSs acoplados Aqui iremos supor que as 3 molas estão sem deformação na situação de equilíbrio acima Quando a partícula 1 estiver 𝑥1 mais à direita e a 2 𝑥2 teremos duas forças elásticas atuando sobre cada uma delas e a aplicação da 2ª lei de Newton fornece DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 4 𝑚 ሷ𝑥1 𝑘𝑥1 𝑘 𝑥2 𝑥1 𝑚 ሷ𝑥2 𝑘𝑥2 𝑘 𝑥2 𝑥1 Seja 𝜔0 𝑘𝑚 ൝ ሷ𝑥1 𝜔0 2𝑥1 𝜔0 2 𝑥2 𝑥1 ሷ𝑥2 𝜔0 2𝑥2 𝜔0 2 𝑥1 𝑥2 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 5 Isto é um sistema de 2 equações diferenciais acopladas Mas é fácil desacoplálas basta somálas e subtraílas para obtermos o novo sistema abaixo ൝ ሷ𝑥1 ሷ𝑥2 𝜔0 2 𝑥1 𝑥2 0 ሷ𝑥1 ሷ𝑥2 𝜔0 2 𝑥1 𝑥2 2𝜔0 2 𝑥2 𝑥1 ൝ ሷ𝑥1 ሷ𝑥2 𝜔0 2 𝑥1 𝑥2 0 ሷ𝑥1 ሷ𝑥2 3𝜔0 2 𝑥1 𝑥2 0 eqs que descrevem 2 OHSs livres nas novas coordenadas 𝑞1 𝑥1 𝑥2 e 𝑞2 𝑥1 𝑥2 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 6 ൝ ሷ𝑞1 𝜔1 2𝑞1 0 ሷ𝑞2 𝜔2 2𝑞2 0 onde 𝜔1 𝜔0 e 𝜔2 3𝜔0 3𝑘𝑚 são portanto as frequências angulares naturais de oscilações livres destas novas coordenadas uma vez que a solução para elas são as conhecidas expressões 𝑞1 𝑡 𝐴1 cos 𝜔1𝑡 𝜙1 e 𝑞2 𝑡 𝐴2 cos 𝜔2𝑡 𝜙2 onde as 4 constantes arbitrárias 𝐴1 𝐴2 𝜙1 e 𝜙2 são determinadas usandose as condições iniciais DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 7 Evidentemente sempre podemos obter a solução para as coordenadas originais com 𝑥1 𝑡 𝑞1 𝑡 𝑞2 𝑡 2 e 𝑥2 𝑡 𝑞1 𝑡 𝑞2 𝑡 2 que não são OHSs pois são somas de funções harmônicas com frequências distintas Estas novas coordenadas que desacoplam as duas equações e são sim OHSs denominamse coordenadas normais DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 8 Supondo as CIs 𝑥1 0 𝑥20 e ሶ𝑥1 0 ሶ𝑥20 temos 𝑞2 0 0 𝐴2 0 𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡 𝑞1 𝑡 𝐴1 cos 𝜔1𝑡 𝜙1 Por outro lado se 𝑥1 0 𝑥20 e ሶ𝑥1 0 ሶ𝑥20 temos 𝑞1 0 0 𝐴1 0 𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡 𝑞2 𝑡 𝐴2 cos 𝜔2𝑡 𝜙2 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 9 Em cada uma destas duas situações específicas as duas partículas oscilam com a mesma frequência 𝜔1 num caso e 𝜔2 no outro e tais modos de vibração são chamados de modos normais Para este sistema de apenas 2 partículas cada uma podendo se mover apenas ao longo do eixo 𝑥 o eixo das molas oscilações longitudinais temos portanto dois graus de liberdade e como vimos duas frequências uma para cada modo normal de vibração DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 10 Se o sistema também pudesse oscilar transversalmente teríamos mais 4 graus de liberdade oscilações em 𝑦 e em 𝑧 para cada partícula num total de seis o que também forneceria 6 modos normais de vibração cada um com sua frequência específica Para o caso de oscilações transversais ver págs 9294 do livro recomendado no início desta aula e também o vídeo youtubecomwatchvUdMRgTF6IxY DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 11 Um vídeo muito bom que mostra uma aplicação dramática em Engenharia Civil de tais modos transversais além do acoplamento entre osciladores e outros efeitos interessantíssimos é dado abaixo Ele mostra como as oscilações horizontais de uma ponte não tão conhecidas como as verticais não foram previstas em um projeto mas se revelaram muito importantes O problema pôde ser sanado antes de haver qualquer dano Eilo aliás este canal do YT é altamente recomendável httpsyoutubetVPRCtiUg DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 12 De volta para nosso sistema o 1º modo é denominado de modo simétrico e o 2º de modo antissimétrico nomes que se explicam pelas figuras a seguir e pelo fato de no 1º modo 𝑥1 e 𝑥2 estarem em fase enquanto que no 2º modo eles estão em oposição de fase DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 13 Modo simétrico Modo antissimétrico DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 14 Fonte httpsyyknosekaiwordpresscom20151125normallyitisntsonormalcoordinates DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 15 Existe um método sistemático de dado um problema como este com 𝑁 graus de liberdade chegarmos às 𝑁 frequências de ressonância de cada modo normal assim como a cada um destes modos normais Tratase de um mero problema de autovalores e autovetores da Álgebra Linear II Veremos que a matriz associada ao sistema linear de equações tem autovalores que são as frequências de cada modo normal e as combinações lineares que dão as coordenadas normais são seus autovetores DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 16 Retomando o nosso problema a partir da aplicação da 2ª lei de Newton a cada partícula ൝ ሷ𝑥1 𝜔0 2𝑥1 𝜔0 2 𝑥2 𝑥1 ሷ𝑥2 𝜔0 2𝑥2 𝜔0 2 𝑥1 𝑥2 ൝ ሷ𝑥1 𝜔0 2 𝑥2 2𝑥1 ሷ𝑥2 𝜔0 2 𝑥1 2𝑥2 Matricialmente ሷ𝑥1 ሷ𝑥2 𝜔0 2 2 1 1 2 𝑥1 𝑥2 Queremos um outro vetor 𝑞1 𝑞2 em vez de 𝑥1 𝑥2 que tenha uma matriz quadrada diagonal a multiplicando DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 17 ሷ𝑞1 ሷ𝑞2 𝜔0 2 𝜆1 0 0 𝜆2 𝑞1 𝑞2 Precisamos portanto obter os 𝜆s autovalores da matriz quadrada da pág anterior assim como 𝑞1 e 𝑞2 em função de 𝑥1 e 𝑥2 autovetores da mesma matriz Este é um problema que aprendemos a resolver em ÁlgLinII 2 𝜆 1 1 2 𝜆 0 𝜆2 4𝜆 3 0 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 18 𝜆1 1 𝜆2 3 Logo as frequências de ressonância ao quadrado são 𝜔1 2 𝜔0 2 e 𝜔2 2 3𝜔0 2 Os autovetores coordenadas normais são para o 1º autovalor 2 1 1 1 2 1 𝑎 𝑏 0 0 𝑎 𝑏 1 p ex Portanto o 1º autovetor é 1 1 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 19 Para o 2º autovalor analogamente obtémse 2 3 1 1 2 3 𝑎 𝑏 0 0 𝑎 𝑏 1 p ex Portanto o 2º autovetor é 1 1 Pelo que aprendemos em Álgebra Linear a matriz cujos autovalores e autovetores acabamos de calcular assume a forma diagonal quando a transformação que ela representa for escrita na base de autovetores Mas nesta mesma base o vetor 𝑥1 𝑥2 é expresso como 𝑞1 𝑞2 ou seja 𝑥1 𝑥2 𝑞1 11 𝑞2 1 1 DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 20 𝑥1 𝑞1 𝑞2 e 𝑥2 𝑞1 𝑞2 levando a 𝑞1 𝑥1 𝑥22 e 𝑞2 𝑥1 𝑥22 que são essencialmente a mesma solução obtida antes a menos de um fator ½ irrelevante Este resultado obtido com este método de autovalores e autovetores coincide com o que tínhamos obtido antes e é uma mera amostra de sua validade geral para qualquer número de osciladores Refs mais detalhadas e com várias aplicações do método são dadas ao final DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 21 A descrição de um conjunto de OHSs acoplados em termos de seus modos normais por meio da diagonalização das matrizes adequadas é um método amplamente usado em várias áreas estudo das vibrações de estruturas mecânicas ou de construção civil análise de circuitos elétricoseletrônicos e linhas de transmissão mecânica estatística mecânica quântica ex importante os fônons em sólidos teoria clássica e quântica de campos etc DEFIS Maracanã Prof Ricardo Paschoal 22 Algumas boas Refs disponíveis na internet além dos vários livros sobre o assunto httpwwwjoinvilleifscedubrpauloboniMECANISMOSDINC382MICA20 DE20MC381QUINASApostila2020Samuel20da20SIlva20 20MUITO20BOA2020DidC3A1ticapdf httpswww2ufrbedubrbcetcomponentscomchronoforms5chronoformsup loadstcc2019060422150220171TCCEmilyDosSantos EstudodoOsciladorHarmnicoemSistemasAcopladospdf httpswwwifufrjbrtkodamaFisicaIIfis21pdf 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