Composição de Funções e Funções Inversas - Pré-Cálculo para Engenharia

1 de 16 OS 12 PréCálculo para Engenharia Dando continuidade ao estudo de funções esta semana nosso foco está na composição de funções e nas funções inversas Composição de funções Na Aula 26 é feita uma relação entre a composição de funções e o procedimento de máquinas em uma linha de produção Essa é uma boa analogia contudo é importante que você entenda matematicamente o que essa analogia nos diz isto é é preciso entender o que significa a composição de funções Nestas orientações falaremos um pouco mais sobre isso com o intuito de ajudáloa caso você tenha tido dificuldade em entender a aula Para tanto partiremos de duas funções reais de variável real 𝑓 ℝ ℝ 𝑥 𝑓𝑥 𝑔 ℝ ℝ 𝑥 𝑔𝑥 Na figura a seguir temos um esquema da composição da função 𝑓 com a função𝑔 Figura 1 Função Composta Observe que para podermos realizar a composição é preciso poder calcular a imagem pela função𝑓 de 𝑔𝑥 Em geral dadas duas funções 𝑓e 𝑔 para construir a nova função que chamamos de 𝒇 composta com 𝒈 e denotamos por 𝒇 𝒈 Lêse 𝑓 bola 𝑔 OS12 PréCálculo para Engenharia 2 de 17 começamos com um número𝑥 no domínio de𝑔e encontramos sua imagem𝑔𝑥 Se esse número 𝑔𝑥 estiver no 𝐷𝑜𝑚𝑓 então podemos calcular o valor de 𝑓𝑔𝑥 e é exatamente isso que é𝑓composta com 𝑔 Assim para podermos efetuar a composição é preciso que a imagem da função𝑔 esteja contida no domínio da função𝑓 𝑓 𝑔𝑥 𝑓𝑔𝑥 É importante pensar e entender como é possível determinar o domínio da função composta a partir das informações das funções𝑓e 𝑔 De acordo com o que observamos anteriormente o domínio de 𝑓 𝑔 é o conjunto dos 𝑥 no domínio de 𝑔 tais que 𝑔𝑥está no domínio de𝑓 Em símbolos 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑔 𝑥 𝐷𝑜𝑚𝑔 𝑔𝑥 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑥 𝐷𝑜𝑚𝑔 𝑥 𝑔𝑥 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑔 𝐷𝑜𝑚𝑔 Exemplo 131Encontrar as expressões ou leis de formação das funções compostas 𝑓 𝑔 e𝑔 𝑓e seus respectivos domínios considerando 3 x x f e 2 g x x Para encontrar a expressão ou lei de formação dafunção composta basta perceber que 𝑓 𝑔𝑥 𝑓𝑔𝑥 Substituindo 𝑔𝑥 por 𝑥 2 𝑓 𝑔𝑥 𝑓𝑔𝑥 𝑓𝑥 2 Assim no lugar da variável na lei de formação da função𝑓 colocamos a expressão de 𝑔 ou seja 𝑥 2 𝑓 𝑔𝑥 𝑓𝑔𝑥 𝑓𝑥 2 𝑥 23 Procedendo de maneira similar obtemos a expressão de 𝑔 𝑓 2 3 3 x g x x f g x g f Note que𝑓 𝑔 é a função que primeiro subtrai2 e então eleva ao cubo e𝑔 𝑓 é a função que primeiro eleva ao cubo e então subtrai2 Como 3 x x f e 2 g x x são funções polinomiais então IR Im Im g Dom g f Dom f OS12 PréCálculo para Engenharia 3 de 17 As expressões das funções 𝑓 e 𝑔 que definem as funções compostas𝑓 𝑔𝑥 𝑥 23e 𝑔 𝑓𝑥 𝑥3 2 também são polinômios e portanto IR Dom g g f Dom e IR f Dom f Dom g Exemplo 132Encontrar as expressões ou leis de formação das funções compostas 𝑓 𝑔 e𝑔 𝑓e seus respectivos domínios considerando a função 1 x2 g x com domínio restrito a x 0 e a função x x f Observe que IR 0 Dom f f IR 0 Dom g g Para determinar a expressão das compostas 𝑓 𝑔 e𝑔 𝑓 procedemos como no exemplo anterior 1 1 2 2 x x f g x f x f g 1 1 2 x x x g x g f x g f Atenção Em geral 𝒇 𝒈 𝒈 𝒇 Agora vamos determinar os domínios Primeiramente observe que 𝐷𝑜𝑚𝑥2 1 1 1 Contudo 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑔 𝐷𝑜𝑚𝑔 ou seja 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑔 0 Portanto 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑔 1 1 0 1 Da mesma forma primeiramente observamos que 𝐷𝑜𝑚𝑥 1 ℝ Como 𝐷𝑜𝑚𝑔 𝑓 𝐷𝑜𝑚𝑓 e 𝐷𝑜𝑚𝑓 0 então 𝐷𝑜𝑚𝑔 𝑓 ℝ 0 0 Neste caso 𝐷𝑜𝑚𝑔 𝑓 0 𝐷𝑜𝑚𝑓 OS12 PréCálculo para Engenharia 4 de 17 Do exemplo anterior você deve ter percebido que para encontrar o domínio da função composta não basta encontrar o domínio da expressão da função composta Repare que 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑔 1 mas 𝐷𝑜𝑚𝑥2 1 1 1 Além disso a operação de composição não é comutativa ou seja em geral 𝑓 𝑔 𝑔 𝑓 No exemplo a seguir pretendemos trabalhar com a composição de maneira diferente no lugar de partir de duas funções e obter a composta partiremos da função composta e determinaremos duas funções que quando compostas resultam na função dada Exemplo 133 Para cada uma das funções abaixo escrever x g f h x com 𝑓e 𝑔 diferentes da identidade a 7 3 5 h x x b ℎ𝑥 2𝑥 5 c 2 1 x h x Para a função 7 3 5 h x x podemos considerar por exemplo 5 g x x3 e 7 x f x Podemos verificar que é verdade partindo de 5 g x x3 e 7 x f x e procedendo como no Exemplo 132 7 3 3 5 5 x f x f g x x g f h x Você saberia indicar outras funções Para ℎ𝑥 2𝑥 5 podemos tomar 𝑔𝑥 𝑥 e 𝑓𝑥 2𝑥 5 Repare que ℎ𝑥 𝑓 𝑔𝑥 𝑓𝑔𝑥 𝑓𝑥 2𝑥 5 Finalmente para a função 2 1 x h x podemos escolher 2 1 x g x e x f x 2 2 1 1 x x f f g x x g f h x E para as funções dos itens b e c você saberia indicar outras funções 𝑓 e 𝑔 OS12 PréCálculo para Engenharia 5 de 17 No próximo exemplo vamos fazer a composição de funções dadas por mais de uma fórmula Não se assuste Contudo recomendamos que você tente entender todas as passagens da sua solução e qualquer dúvida entre em contato com os tutores Exemplo 134Sejam𝑓 ℝ ℝ e 𝑔 ℝ ℝ definidas por ² se 0 se 0 x x x x x f 1 se 2 1 se 2 2 x x x x x g Determine a expressão de 𝑓 𝑔𝑥 e o seu domínio Repare que 0 se 0 se 2 g x x g g x x g f g x g x f Como não existe restrição para o cálculo tanto de𝑓 quanto de𝑔 então o domínio da composta𝑓 𝑔𝑥 é dado por 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑔 ℝ Para determinarmos a expressão de 𝑓 𝑔 precisamos descobrir os intervalos nos quais a função 𝑔𝑥 é negativa positiva e nula Para isso faremos o estudo de seus sinais Para x 2 1 ² g x x O sinal de x² 1 está representado na tabela abaixo x 1 x 1 1 1 x x 1 x 1 1 1 1 ² x x x 0 0 Como x 2 então o sinal de gx é 2 1 1 0 1 1 0 x ou se x x g x se x g Para x 2 1 g x x O sinal de x 1 é OS12 PréCálculo para Engenharia 6 de 17 x 1 x 1 x 1 x 1 0 Como estamos interessados nos valores de x 2 neste intervalo𝑔𝑥é sempre positiva Dessa forma o domínio de𝑓 𝑔 está dividido da seguinte maneira x 1 x 1 1 1 x x 1 2 1 x x 2 Sinal de gx 0 0 gx x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 x2 1 x 1 f g x 2 2 x 1 x2 1 x2 1 x2 1 2 2 x 1 x 1 2 Logo se x 2 1 x 2 se 1 1 se 1 x 1 1 se x 1 1 0 se 0 se 2 2 2 2 2 2 2 x x x x g x x g g x x g g x f O esboço do gráfico de𝑔𝑥 como apresentado a seguir pode auxiliar na compreensão do seu sinal e da lei de definição assumida em cada intervalo OS12 PréCálculo para Engenharia 7 de 17 Já no exemplo a seguir a ideia é que você consiga obter informações sobre a função composta dos gráficos das funções Exemplo 135 Use os gráficos dados de𝑓 e 𝑔para determinar o valor de cada uma das expressões ou explique por que elas não estão definidas a 𝑔 𝑓2 b 𝑓 𝑔0 c g f 0 d 𝑔 𝑓6 e 2 g g f f f 2 Dado um valor para a abscissa x é só procurar a ordenada f x ou g x correspondente conforme seja o caso e se existir é claro Vejamos como é simples a Como 𝑔 𝑓2 𝑔𝑓2 então observamos no gráfico de 𝑓 qual é a imagem de 2 𝑓2 2 Logo 𝑔 𝑓2 𝑔𝑓2 𝑔2 Agora basta observar no gráfico de 𝑔 qual é a imagem de 2 𝑔2 1 Portanto 𝑔 𝑓2 1 b De forma similar é possível determinar 𝑓 𝑔0 𝑓 𝑔0 𝑓𝑔0 Buscando no gráfico de 𝑔 𝑔0 3 Assim 𝑓 𝑔0 𝑓𝑔0 𝑓3 Agora devemos olhar para o gráfico de 𝑓 𝑓3 0 Logo 𝑓 𝑔0 0 OS12 PréCálculo para Engenharia 8 de 17 c Você já deve conseguir entender que 3 0 0 g g f d Agora observe o que acontece com 𝑔 𝑓6 6 6 6 g g f f g Como 6 Dom g x então a composição 6 g f não pode ser calculada Procedendo de maneira similar veja se consegue entender que e 4 1 2 g g g f 2 2 f f f Como 2 Dom f x então a composição 2 f f não pode ser calculada A partir de agora passaremos a falar sobre as funções inversas você verá que a inversão de funções está intimamente relacionada com a composição Inversão de Funções Você sabe por que dizemos que o número 1 2 é o inverso do número 2 Na verdade dizemos que 1 2 é o inverso multiplicativo de 2 Isso porque quando multiplicamos esses dois números obtemos 1 que é o elemento neutro da multiplicação 1 2 2 2 1 2 1 Para o caso da composição de funções o elemento neutro é a função identidade Você sabe por que o elemento neutro da composição de funções é a função identidade Escolha uma função por exemplo 𝑓𝑥 2𝑥15 7 agora faça as seguintes composições 𝑓 𝐼e𝐼 𝑓 com 𝐼𝑥 𝑥 Viu Nada muda OS12 PréCálculo para Engenharia 9 de 17 Mas isso quer dizer que duas operações são inversas quando uma desfaz a outra Por exemplo a adição e a subtração são operações inversasJá no universo das funções duas funções são ditas inversas quando sua composição resulta na função identidade Na Proposição 271 da Aula 27 página 154 vemos escrito 𝑓 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑓𝐷𝑜𝑚𝑓 Repare que quando restringimos o contradomínio de uma função para a sua imagem estamos garantindo que não há nenhum elemento do contradomínio que não seja imagem de algum elemento do domínio mas isso é uma forma de garantir que a função seja sobrejetiva Dessa forma essa Proposição nos diz que uma função ter inversa é equivalente a ela ser bijetiva ou seja injetiva e sobrejetiva Assim antes de fazermos cálculos para determinar a expressão da inversa de uma função precisamos verificar se ela tem inversa Afinal como você deve ter percebido nem toda função tem inversa Nestas orientaçõesvocê verá uma maneira de ajeitar as funções para que seja possível indicar a sua inversa Para tanto utilizaremos o fato descrito acima ou seja uma função ter inversa é equivalente a ela ser bijetiva Dizer que uma função é bijetiva é o mesmo que dizer que ela é ao mesmo tempo injetiva e sobretiva Em palavras uma função é sobrejetiva quando seu contradomínio é exatamente a imagem do seu domínio E uma função é injetiva quando elementos diferentes do domínio têm imagens diferentes Essas definições aparecem na página 153 Por isso voltaremos os nossos olhos para o entendimento da injetividade das funções uma vez que para tornar uma função sobrejetiva basta mudar o seu contradomínio Nas OS11 vimos que para saber se um gráfico é uma função utilizamos o Critério da Vertical Para a verificação da injetividade utilizamos o Critério da Reta Horizontal Teste da Reta Horizontal Uma função é injetiva se e somente se toda reta horizontal intersecta seu gráfico em no máximo um ponto Exemplo 136 A função 1 x x2 f definida para todos os reais não é injetiva Observe que 2 1 2 3 1 2 2 2 2 f f Ou seja 2 e 2 têm a mesma imagem OS12 PréCálculo para Engenharia 10 de 17 Figura 2 Gráfico da função 𝒇 e a reta horizontal 𝒚 𝟑 A partir da representação gráfica da função 1 x x2 f é possível observar que há retas horizontais que intersectam o seu gráfico mais de uma vez Portanto pelo Teste da Reta Horizontal𝑓 não éinjetiva Exemplo 137 A função 𝑔𝑥 𝑥3 é injetiva Observe o seu gráfico Figura 3 Gráfico de 𝒈𝒙 𝒙𝟑 Qualquer reta horizontal intersecta o gráfico em apenas um ponto Logo pelo Teste da Reta Horizontal a função𝑔éinjetiva Relação geométrica entre os gráficos de uma função e sua inversa No quadro a seguir sintetizamos algumas informações sobre uma função𝑓 e a sua inversa 𝑓1 OS12 PréCálculo para Engenharia 11 de 17 f A B e f 1 B A se f leva a em b então f 1 traz b de volta em a f a b Û f 1b a Dom f Im f 1 e Dom f 1 Im f É preciso notar que a b f b f a 1 Mas o que essa equivalência significa geometricamente Que o ponto𝑎 𝑏 estar no gráfico da função𝑓 é equivalente ao ponto𝑏 𝑎 estar no gráfico da função𝑓1 Figura 4 Simetria dos pontos 𝒂𝒃 e 𝒃 𝒂 em relação à reta 𝒚 𝒙 Da figura percebemos que os pontos 𝑎 𝑏 e 𝑏 𝑎 são simétricos em relação à reta 𝑦 𝑥 Mas isso é verdade para todos os pontos das funções𝑓 e 𝑓1 O gráfico de𝐟𝟏 é obtido refletindose o gráfico de𝐟 em torno da reta 𝐲 𝐱 OS12 PréCálculo para Engenharia 12 de 17 Figura 5 A simetria entre os gráficos de 𝒇 e 𝒇𝟏 A definição 271 página 149 enfatiza a composição de funções Ou seja se 𝑓 e 𝑔 forem funções inversas uma da outra então a composição entre elas comuta 𝑓 𝑔 𝑔 𝑓 Assim 𝑓1𝑓𝑥 𝑓1𝑦 𝑥 para todo 𝑥 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑓𝑓1𝑦 𝑓𝑥 𝑦 para todo 𝑦 𝐷𝑜𝑚𝑓1 A lei da esquerda nos diz que se começarmos em𝑥 aplicando𝑓 e em seguida 𝑓1 obteremos de volta𝑥 Figura 6 Esquema relacionando 𝒇 e 𝒇𝟏 Da mesma forma mesma forma a lei da direita nos diz que se começarmos em𝑦 aplicando𝑓1 e em seguida 𝑓 obteremos de volta𝑦 Exemplo 138 Sabendo que 𝑓𝑥 2𝑥3 5𝑥 3 é possível determinar 𝑦 tal que 𝑓1𝑦 1 Veja como é simples Como sabemos que se 𝑥 𝑓 𝑦 então OS12 PréCálculo para Engenharia 13 de 17 𝑥 𝑓1 𝑦ou𝑦 𝑓1 𝑥 No exemplo temos 𝑦 𝑓1 1 Logo 1 𝑓 𝑦 Mas isso quer dizer que para determinar o 𝑦 cuja imagem por 𝑓1 é 1 basta calcular a imagem por 𝑓 de 1 ou seja 𝑓1 Como 𝑓1 2 13 5 1 3 10 então o 𝑦 tal que 𝑓1𝑦 1 é 10 Exemplo 139 Sabendo que 𝑓𝑥 2𝑥3 5𝑥 3 é possível determinar 𝑓13 Se conhecêssemos a fórmula de 𝑓1 bastaria substituir 3 nela Contudo é possível proceder de forma similar ao exemplo anterior Como 3𝑓1 𝑥 é o mesmo que 𝑥 𝑓 3 então queremos determinar o 𝑥 tal que 𝑓𝑥 3 Basta resolvermos 2𝑥3 5𝑥 3 3 2𝑥3 5𝑥 0 𝑥2𝑥2 5 0 Como 2𝑥2 5 0 então 𝑥 0 Nos exemplos 138 e 139 foi possível perceber que conseguimos obter informações sobre a função inversa de 𝑓 sem conhecer a sua expressão Na Aula 27 você viu como é possível determinar a expressão da função inversa de 𝑓 a partir da expressão de 𝑓 nos exemplo 7 e 8 da página 150 Precisamos destacar que em geral 𝑓1𝑥 1 𝑓𝑥 Além disso é muito importante indicar o domínio e o contradomínio da função quando for pensar na sua inversa Lembre que uma função tem inversa quando ela é bijetiva e neste caso o contradomínio da função é o domínio da função inversa OS12 PréCálculo para Engenharia 14 de 17 No exemplo a seguir veremos como podemos restringir o domínio de uma função para que possamos indicar uma função inversa Exemplo 1310 Seja𝑓 a função real definida por𝑓𝑥 𝑥2 6𝑥 8 para todos os valores𝑥 3 Construa o gráfico de𝑓 conclua que existe a inversa𝑓1 e determine o valor de𝑓13 Como sabemos o gráfico de uma função quadrática é uma parábola É importante destacar que considerandoℝ como domínio uma função quadrática𝑔 não é injetora Pois a exceção do valor máximo ou mínimo assumido pela função isto é o vértice da parábola para cada valor de𝑦 da imagem de𝑔sempre existem dois valores de𝑥 cuja imagem é igual a𝑦 Figura 7 Parábola da função 𝒈𝒙 𝒙𝟐 𝟒𝒙 𝟏 Considerando a parábola dafunção𝑔𝑥 𝑥2 4𝑥 1 representada na figura acima para𝑦 2 existem dois valores de𝑥 a saber 𝑥1 1 e 𝑥2 3 tais que 𝑔𝑥 2 Pelo Teste da Reta Horizontal a função𝑔 não é injetiva Isso acontece com qualquer função quadrática Dessa maneira para se obter a função inversa de uma função quadrática é preciso fazer uma restrição no seu domínio Observando o desenho da parábola é fácil perceber que o vértice é um ponto importante para a definição do novo domínio Em geral utilizamos o𝑥𝑉 como extremo superior ou inferior do intervalo para definir a função quadrática como uma função injetora Vejamos como podemos fazer isso para a função𝑓𝑥 𝑥2 6𝑥 8 Observe o seu gráfico com domínioℝ x y OS12 PréCálculo para Engenharia 15 de 17 Figura 8 Gráfico de 𝒇𝒙 𝒙𝟐 𝟔𝒙 𝟖 O vértice da parábola é o ponto 1 3 e observe que o exemplo considera como domínio x 3 ou seja o intervalo3 Assim a restrição do domínio considera o ramo direito da parábola Figura 9 Ramo direito da parábola dada por 𝒇𝒙 𝒙𝟐 𝟔𝒙 𝟖 Sendo assim a função 𝑓 3 1 𝑥 𝑥2 6𝑥 8 é uma função bijetora e portanto possui inversa A seguir encontramse desenhadas em um mesmo plano a função 𝑓 e a sua inversa x y x y OS12 PréCálculo para Engenharia 16 de 17 Figure 10 Gráfico de 𝒇 e 𝒇𝟏 Observe que a reta pontilhada é a reta𝑦 𝑥 que é a reta bissetriz dos Quadrantes I e III Observando o gráfico 5 1 3 f Podemos também determinar o valor de 𝑓13algebricamente da seguinte maneira 8 6 ² x x y Daí 9 6 ² 1 x x y Mas 3 2 9 6 ² x x x e portanto 3 2 1 x y Assim 3 1 x y Nesta passagem duas observações são importantes Como o contradomínio de f é 1 podemos calcular y 1 Como x 3 3 3 2 x x Finalmente 1 3 y x Logo 3 1 1 x x f x y OS12 PréCálculo para Engenharia 17 de 17 Utilizando esta expressão temos 5 3 2 3 4 3 1 3 1 3 f Preparamos Exercícios Programados para você exercitar os conteúdos trabalhados nessas aulas mas não deixe de também fazer os exercícios disponíveis nas aulas do módulo Como você já deve ter percebido em Matemática é fundamental exercitar Bon estudos