Números Reais e suas Propriedades

1 de 8 OS 02 PréCálculo para Engenharia Nesta semana trabalharemos com os números reais Para a resolução das equações e inequações é fundamental saber comparar localizar na reta os números reais e compreender bem as suas propriedades Vamos então aos pontos de destaque 1 Todos nós conhecemos uma forma extremamente eficiente de representar números reais e a utilizamos provavelmente todos os dias Tratase da representação decimal Quando um cidadão do município do Rio de Janeiro paga a quantia de R 340 no ônibus está gastando R 340 3 reais e 40 centavos de real reais De maneira geral utilizamos a notação representação decimal do número com para representar o número real Exemplo 21 Ao utilizarmos o algoritmo de divisão de Euclides para representar precisamos de infinitas casas decimais Repare que as casas decimais se repetem O mesmo acontece a partir de uma certa posição com os números Números como esses são chamados de dízimas periódicas Agora vamos observar o número Se tentarmos descobrir seu valor em uma boa calculadora científica teremos Você conseguiu perceber alguma repetição periódica nas casas decimais Talvez isso seja problema da calculadora Vejamos o que uma melhor nos diz E agora Você percebe algum padrão de repetição Apesar de termos buscado por mais casas decimais ainda assim não conseguimos obter um padrão de OS 02 PréCálculo para Engenharia 2 de 8 repetição Isso nos mostra que não é simples descobrirmos pela calculadora se um determinando número pode ser representado por uma dízima periódica Nesses casos precisamos lançar mão da matemática Como foi demonstrado na Aula 3 esta repetição realmente não existe pois é um número irracional Os números irracionais têm representação decimal infinita e não periódica 2 Na Aula 5 foram trabalhadas as potências de um número real e suas propriedades Em Ciências é usual e recomendável escrever os números principalmente os muito grandes em valor absoluto ou os muito próximos de zero utilizando notação científica A notação científica é da forma com e Acreditase que a primeira tentativa conhecida de representar números demasiadamente extensos tenha sido empreendida pelo matemático e filósofo grego Arquimedes e descrita em sua obra O Contador de Areia no século III aC Ele desenvolveu um método de representação numérica para estimar quantos grãos de areia seriam necessários para preencher o universo O número estimado por ele foi de grãos Exemplo 22 A massa da Terra vale Em notação científica Exemplo 23 A massa de um elétron vale Em notação científica Exemplo 24 A massa de um próton é Em notação científica Em nossa vida cotidiana é muito comum não sabermos o valor exato de certa grandeza Por exemplo se você resolve construir uma casa não é possível no início da construção saber exatamente quanto custará a obra Porém é importante ter uma estimativa do seu valor Nesse sentido o entendimento de ordem de grandeza fazse relevante Ordem de grandeza de um número escrito em notação científica é ou Nos exemplos anteriores como está mais próximo de do que de então sua ordem de grandeza é como está mais perto de do que de sua ordem de grandeza é Como encontrar a ordem de grandeza Escrevemos o número em notação científica Temos então um número e uma potência de dez Comparamos o número com o número que é aproximadamente se for menor que a ordem de grandeza do número dado é igual à potência de dez da notação científica se for maior que a ordem de grandeza do número dado é a potência de dez seguinte Exemplo 25 a Neste caso logo a ordem de grandeza é igual a b Neste caso logo a ordem de grandeza é igual a c Neste caso logo a ordem de grandeza é igual a d Neste caso logo a ordem de grandeza é igual a OS 02 PréCálculo para Engenharia 3 de 8 Exemplo 26 Considerando que a Via Láctea nossa galáxia possui 400 bilhões de estrelas determine a ordem de grandeza do número de estrelas que pode haver em 500 milhões de galáxias grandes como a nossa 500 milhões 400 bilhões Logo são cerca de estrelas cuja ordem de grandeza é 3 Completar quadrados Vamos relembrar Completar quadrados numa expressão da forma com e é escrevêla na forma com tal que Podemos obtêla fazendo as seguintes etapas É importante observar que o coeficiente de foi colocado em evidência e o quadrado foi completado dentro dos parênteses Observando que O número que procuramos para completar o quadrado é o quadrado da metade do coeficiente de mas lembrese é preciso que o coeficiente de seja 1 Exemplo 27 a b Observação Por que precisamos subtrair o quadrado da metade do coeficiente de no primeiro exemplo e no segundo 4 As propriedades de adição e multiplicação de números reais estão enunciadas logo no início da Aula 6 Em Matemática costumase provar as propriedades o que garante que elas valem para qualquer número Mais do que saber provar as propriedades esperamos que você entenda o que cada uma delas significa pois assim quando você estiver operando com os números entenderá por que as operações podem ser realizadas A Propriedade 3 Elementos Neutros saiu com um erro de impressão O elemento neutro da adição é zero pois somando zero a qualquer número não há alteração Em linguagem matemática isso se escreve 5 Para comparar números escritos na forma decimal podemos proceder da mesma maneira que colocamos nomes em ordem alfabética primeiro olhamos a primeira letra se ela for igual OS 02 PréCálculo para Engenharia 4 de 8 passamos para a segunda se esta também for igual passamos para a terceira e assim até encontrarmos uma letra diferente Veja é a representação decimal de um número real onde cada representa um algarismo Repare que nesse representação a parte inteira ou seja o que está antes da vírgula tem um único algarismo contudo essas observações também são válidas para números com parte inteira maior do que 9 Se quisermos comparar os números e devemos olhar primeiro a parte inteira Se for maior do que então é maior do que Caso então devemos observar a primeira casa decimal Se for maior do que então Se eles forem iguais passamos para a segunda casa decimal e assim até encontrarmos uma casa em que não tenha igualdade Veja um exemplo parte inteira primeira casa decimal segunda casa decimal terceira casa decimal quarta casa decimal quinta casa decimal 2 3 5 7 7 8 2 3 5 4 7 8 Até a segunda casa decimal os dois números são iguais Quando observamos a terceira casa decimal percebemos que por essa razão 6 Relações de ordem em Na Aula 6 você encontra algumas das relações de ordem em fundamentais para operarmos com os números reais A seguir apresentamos uma lista destas propriedades com exemplificações e acrescentamos mais algumas No OS01 falamos sobre a relação de ordem em e traduzimos algumas propriedades Tente sempre pensar numa tradução como aquela isso o ajudará a dar significado ao que está sendo estudado Repare que os exemplos que apresentamos envolvem o estudo dos números reais Nas propriedades descritas a seguir considere Propriedade Exemplo OS 02 PréCálculo para Engenharia 5 de 8 Se e então Se e então com com Como e então Sejam números positivos Se e então Sejam números positivos Sejam números positivos Essas propriedades são muito úteis Veja como elas podem ser usadas para estimativas Exemplo 28 Sabendo que e faça uma estimativa para Somando ambas as desigualdades Assim está entre e 7 Intervalos de números reais Os intervalos podem ser representados utilizando a notação de conjuntos na reta ou com a notação de intervalos Para cada tipo de representação alguns detalhes são importantes Veja OS 02 PréCálculo para Engenharia 6 de 8 Na reta Os extremos são representados utilizando o que comumente chamamos de bolinhas Se a bolinha for aberta indica que o extremo não pertence ao intervalo Se ela for fechada o extremo faz parte do intervalo Para representar o espaço entre os extremos em geral quando estamos fazendo a mão fazemos uma cobrinha No computador se não tivermos um recurso para fazer a cobrinha marcamos de uma cor diferente da reta ou utilizamos o recurso disponível como no exemplo ao lado Notação de conjuntos Na notação de conjuntos utilizamos uma desigualdade para designar o intervalo Nesse tipo de representação utilizamos se o extremo não pertencer ao intervalo e se o extremo fizer parte do intervalo É importante observar que os números devem respeitar a relação de ordem quando escritos na forma da dupla desigualdade Ou seja não está correto escrever pois Nesse caso o correto é Errado Correto Para os intervalos infinitos temos apenas um desigualdade Por exemplo para representarmos os números reais maiores ou iguais a 3 escrevemos Atenção O símbolo do infinito não é número e por isso não é utilizado nessa notação Notação de intervalo Essa notação utiliza parênteses ou colchetes para indicar se os extremos pertencem ou não ao intervalo o intervalo pode ser representado de duas maneiras diferentes OS 02 PréCálculo para Engenharia 7 de 8 Quando o extremo não pertence ao intervalo temos duas opções ou usamos o parênteses ou o colchetes para fora Nessa notação quando o intervalo tem apenas um extremo utilizamos o símbolo infinito Para indicar se o intervalo vai para a direita ou a esquerda do extremo Ao lado do infinito o intervalo é sempre aberto Veja a seguir como o pode aparecer Observação Optamos por separar os extremos do intervalo por apenas para não confundir com a do número Na aula você viu que a reta muitas vezes se confunde com o conjunto dos números reais Em geral utilizamos a reta para representar os intervalos o que facilita bastante a comparação entre dois intervalos por exemplo Para comparar dois ou mais intervalos representados em retas é fundamental que eles tenham uma mesma referência O que queremos dizer Observe as duas imagens a seguir Figura 1 Figura 2 Você nota alguma diferença nelas Em ambas as figuras temos representados os intervalos e Contudo na Figura 1 mantivemos a referência veja que o número zero está alinhado o que não acontece na Figura 2 Esse detalhe é fundamental para podermos comparar dois intervalos OS 02 PréCálculo para Engenharia 8 de 8 Então quando você tiver que comparar dois intervalos não deixe de fixar uma referência primeiramente A comparação pode ser necessária por exemplo para determinar a interseção entre dois intervalos 8 Inequações de uma variável real O exemplo 64 da Aula 6 página 96 organiza uma tabela de sinais Esse tipo de tabela é muito interessante pois ajuda a organizar todas as informações do problema Assim como na comparação de intervalos aqui a referência também é muito importante Esteja atento Terminamos assim as observações sobre as Aulas 4 5 e 6 No EP 02 você encontra exercícios para fixar um pouco mais o que estudamos esta semana Bons estudos