Distancia - Resumo - Geometria Analítica

Semana 8 -- Aula 21 -- Distância\n\n* Distância entre dois pontos\n\nSejam P1 = (x1, y1, z1) e P2 = (x2, y2, z2) temos que a distância entre eles é:\n\nd(P1, P2) = \\sqrt{(x2 - x1)^{2} + (y2 - y1)^{2} + (z2 - z1)^{2}}\n\nEx: qual a distância entre os pontos P1(2, 1, 4) e P2(5, 2, 1)?\n\nd(A, B) = \\sqrt{(5-2)^{2} + (2-1)^{2} + (1-4)^{2}}\n\nd(A, B) = \\sqrt{3^{2} + 1^{2} + (-3)^{2}} = \\sqrt{9 + 1 + 9} = \\sqrt{19}\n\n* Distância entre ponto e reta\n\nSeja S a reta. Uma ponto P pertencente a S, a distância entre um ponto\n\nP e a Reta S é:\nd(P, S) = \\frac{|\\vec{v} \\times \\vec{P}P_0|}{|\\vec{v}|}\n\nd(P, P_0) = \\frac{|\\vec{v} \\times \\vec{P}P_0|}{|\\vec{v}|}\n\\vec{v} = vetor diretor da reta\nP0 = ponto formado pelos pontos P1, P2.\nEx: calcule a distância de P0(2, 2, 4) a\nP: P0(2, 2, 4)\n\nx: \\frac{x_0 - 0}{2},\ny: \\frac{y_0 - 0}{2},\n\nP0(2, 2, 4)\nP(2, 2, 4)\n\\vec{P0} = (2, 2, 10) d(P1, P0) = \\frac{|(1, 2, 3) \\times (1, 3) - (1, 2, 2)|}{|P0|}\n= \\frac{|(2, -2, -3)|}{|1, 2, 1|}\n= \\frac{|[|P1|,x_{2}-y_{2}|]}{|(2, 1, 1)|}\n= d(P, S)\n\n= 0:1; y = 2 - 1:4; 3\n= 8 y \n= (2, -2)\n= -1 \\cdot (3, -4)\n= 3y_0+1 + \\frac{1}{4}\n= (1, 1)\n\nEx: calcule a distância entre retas\nni: \\{x - t\\} ; x = -1 + \\frac{1}{3}\\n x: y = 2 + t \n= 1:(\\sqrt{3}+1)\\n= (1+y, y^{2})\\n= (0:3; 0)\\n= (2,1)-x\\n= y-y\\n-1; j = x\\n=\\ \nd = d(2, 2) - 2 d(P1, P2) = \\frac{|\\vec{n}|}{|\\vec{P_0^{i}}|}\n= |(x,y,z)|\n= (x_0,y_0)\n= P => (1,2)+2\\cdot -1=\\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+(-1)^{2}}\n\n=|d(p,\\Delta)| *= 2 + 1 + 3\\n\\Delta_1 = \\left[a1, b1, c1, d1\\right]\n\\Delta_2 = \\left[a2, b2, c2, d2\\right]\n\nd(P, S) = -\\frac{|a1x_1 + b1y_1 + c1z_1 + d1|}{\\sqrt{a1^{2}+b1^{2}+c1^{2}}}\n= 2x+2y+2z-4 = 0\nd_{S} = d(\\dot{X},\\dot{Y})\nh1=\\frac{1}{\\sqrt{1^{2}+2^{2}+c1^{2}}}\n\\Delta_P = \\left[a1x_1 + b1y_1 + c1z_1 + d1\\right]\n= \\left[a2, b2, c2\\right]\\cdot(\\Delta^{2}; 0)\\n d(m_1, m_2) = |d_2 - d_1| \n m^{\imath} = 0 x 2 \n e = 2 x 3 = 5. \n \n\pi_1: 2x + 2y + 2z - 5 = 0\n \n m^{\imath} \approx (1, 1, 1) \n \n m_0 = 2, 0, 2, 0, 2k = 2. \n \n d(\pi_0, \pi) = |\frac{[ax + by + cz + d|]}{√{a^2 + b^2 + c^2}}\\ = π_0 + 2!\n \n|d(\pi_0, \pi_1)| = d_0 = (1, 0.2) \n \n d(\pi_0, \pi) = 1 + 0.\frac{(4)}{5} = \frac{175}{3}.\n \n d(\pi_0, \pi:k2 |\pi_0|) = -6 - 1 \n \n/ (1)(d_4 - d_{1}) = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{s^{(cos\frac{2}{2})}{}} \n |d(\pi_{1}, \pi_{1})| = (0, π 6 \cdot 5) ... Atributo 7 - Matricula: 2017003249\nEalunohue usa a fórmula do construção da matrice\ndonde são coordenadas do (x_1,y_2,z_3)\n \nConsidera o ponto A e equas acordadas são l0 e 8, nono e décimo\ndígitos da sua matricula e o vetor n = ( a_n, b_n, c_n ) \in\mathbb{R}^{abc} coordenadas\nduas se quinto, isto e o estimo disto na matricula \nA(1, 3, 4) \n m^{\imath} = (0, 0, 3)\n\nQuestão 1\n1. Mostre que o plano: π: 5x + 2y + 3z = 15 \n2. 2x - 5y + 4y = 1, então vai ser \ndistância entre eles.\n\nd(\pi_{1}, \pi_{1}) = |d_{1} - d_{2}| \n|m| = K \n\times |K - k| = \n|x - 2x = 2| \n1/2 = 2 \n \nd_{2} = 3 \n \n|d(\pi_{1}, \pi_{1})| = |-\frac{s_{1}}{2}| = \n= 15/|x_{3}+y^{3}+4| = \n1 = d_2 = \n√{30}| = |-{s_{1}/6}| d_{2} = 4 - (4).... 2. Dados o ponto A e o vetor n do cabeçalho, mostre que A é um ponto onde n é dada pela equação π: ax + by + cz = 8. Em seguida, calcule a distância entre eles. (Se x = e me procure). \n \n\hat{n} = (0, 0, 3) \nA(1, 2, 4) \n → Ponto e reta da reta \n \n\pi: 0x + 1y + 3z = 8 \n \n\pi: 3z = 8 \n \n\teste o Ponto no Plano Para saber \nA 0 ponto Pertence ao plano. \n \n0x + 1y + 3z = 8 \n(1) + 0 + 3(2) = 0 \n12 \n \n \n\\ são diferentes então \n\x =0 ponto no Plano \n \ndistância entre o ponto P e o Plano \n \n\pi: 3y - 8 = d_1 \n\mi: (0, 0, 3) \n\begin{pmatrix} \frac{(3-2)}{8} \end{pmatrix} = 0 \n\ \rightarrow \\\\\ \n\\ 3 = d_{12} \n \n \\ d(m_1, m_2) = |d_2 - d_1| \n m^{\imath} = (0, 0, 3) \n m = (0, 0, 3) \n \n\n d(\pi_{1}, \pi_{2}) = |\frac{(d_{2})}{|(0+0+3)|} \\ d(\pi_1, \pi_2) = |\frac{(4)}{3}|\n \nA distância entre os dois planos é \\ \frac{4}{3}. 3. Mostre que o plano \\( P: x+2y+3z = 3 \\) é paralelo à reta que passa pelo ponto A do enunciado e tem o vetor diretor \\( \\vec{u} = (-3, 2, 1) \\). Em seguida, calcule a distância entre eles.\n\nPara que a reta e o plano sejam paralelos, \\( \\vec{n} \\cdot \\vec{u} = 0 \\)\n\n\\( \\vec{n} = (1, 2, 3) \\)\n\n\\( \\vec{u} = (-3, 2, 1) \\)\n\n\\( \\vec{n} \\cdot \\vec{u} = 1(-3) + 2(2) + 3(1) = 0 \\)\n\nA reta e o plano são paralelos. \n\nFalta calcular a distância.\n\nA distância entre o plano \\( P_1 \\) e a reta \\( r \\) é dada por:\n\n\\( d(P_1, r) = \\frac{|d_1 - d_2|}{\\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \\)\n\nonde o plano que passa pelo ponto da reta é:\n\n\\( A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0 \\)\n\n\\( A(1, 2, 3) \\)\n\n\\((1)(x-1) + (2)(y-2) + (3)(z-3) = 0 \\)\n\nPara a reta:\n\n\\( x = 1 + 2t \\)\n\\( y = 3 + t \\)\n\\( z = 2 + t \\)\n\nVamos substituí-los:\n\n\\( 1 + 2t - 1 + 2(3 + t - 2) + 3(2 + t - 3) = 0 \\)\n\nResolvendo:\n\n\\( 1 + 2t + 2 + 2t - 2 + 3 + 3t - 9 = 0 \\)\n\\( 7t = 9 \\) \n\\( t = \\frac{9}{7} \\)\n\nCalculando:\n\n\\( d(P_1, P_2) = \\frac{|d_1 - d_2|}{\\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \\)\n\n\\( d(P_1, P_2) = \\ldots \\)\n\nDando o resultado, podemos concluir. \n\nA distância entre a reta e o plano é \\( 2\\sqrt{6} \\).