Eletromagnetismo II - Aplicações das Equações de Maxwell e Teorema de Poynting

1 Eletromagnetismo II Prof Alexandre Bergantini de Souza Capítulo 2 Campos Elétricos e Magnéticos Não Estacionários 21 Aplicações das equações de Maxwell 22 Equação da onda 23 Coordenadas generalizadas 24 Teorema de Poynting 25 Aplicações Referências Hayt Eletromagnetismo 8ª Edição Griffhts Eletrodinâmica 3ª Edição 211 O operador Nabla ou Del O operador nabla é na verdade uma instrução matemática para diferenciar o que segue ou seja é um operador vetorial que age sobre um vetor uma função ou um escalar Quando consultamos o trabalho original de Maxwell que foi escrito sem o recurso desse operador notamos o quão benéfico e prático é uso dessa notação nos dias modernos Um vetor comum A pode multiplicar de três formas i multiplicar um escalar a Aa ii multiplicar outro vetor B através do produto escalar 𝑨 𝑩 iii multiplicar outro vetor através do produto escalar 𝑨 𝑩 Analogamente o operador pode atuar de três maneiras i em uma função escalar T 𝑇 gradiente ii em uma função vetorial 𝒗 através do produto escalar 𝒗 divergente iii em uma função vetorial 𝒗 através do produto vetorial 𝒗 rotacional Equações de Maxwell na forma pontual 𝐸 𝜌 𝜖0 𝐵 0 𝐸 𝐵 𝑡 𝐵 𝜇0 𝐽 𝜖0 𝐸 𝑡 212 Breve definição de cada uma das operações O Gradiente 𝑻 seja uma função de três variáveis por exemplo o valor da temperatura em função da posição em uma sala de aula T xyz Se quisermos saber a direção e a taxa de maior variação da temperatura nessa sala de aula calculamos o gradiente de T 2 𝑻 𝑇 𝑥 𝒊 𝑇 𝑦 𝒋 𝑇 𝑧 𝒌 Que resulta em uma grandeza vetorial com até três componentes O gradiente tem magnitude direção e sentido e ele aponta na direção do aumento máximo da função T O módulo 𝑇 fornece a inclinação taxa de aumento ao longo dessa direção maximizadora Se o gradiente for nulo 𝑑𝑇 0 e estamos em um ponto crítico da função que pode ser o máximo mínimo ponto de sela ou ombro da função Ex 21 Encontre 𝑓 onde 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥2 3𝑥𝑦 𝑧 pg 52 O Divergente 𝑫 Para entender o significado físico de divergente precisamos considerar um vetor A como um membro da família dos vetores de densidade de fluxo lembrese dos fluxos elétrico e magnético Sendo assim a divergência do vetor densidade de fluxo A é o fluxo que deixa uma pequena superfície fechada superfície Gaussiana por unidade de volume quando o volume tende à zero Hayt sugere uma analogia com uma banheira cheia de água com a tampa removida do ralo O fluxo líquido de água em qualquer superfície fechada eg uma caixa colocada inteiramente dentro da água deve ser zero pois toda a água que penetra dessa superfície por uma de suas faces sai dessa mesma superfície por um outra face Sendo assim a divergência da velocidade é zero para a água que entra e que sai da superfície fechada pois a água é incompressível Contudo se pensarmos na velocidade do ar que sai de um pneu furado concluímos que o ar irá se expandir isto é sua densidade irá diminuir à medida que sair do pneu pois a pressão dentro do pneu é muito maior do que a pressão atmosférica e que consequentemente existe um fluxo líquido que sai de qualquer superfície fechada posicionada por exemplo parcialmente dentro e parcialmente fora do pneu uma vez que a densidade de fluxo varia em diferentes regiões dentro do pneu A divergência dessa velocidade é portanto maior que zero Uma divergência positiva para qualquer grandeza vetorial indica uma fonte daquela grandeza naquele ponto Uma divergência negativa indica um sorvedouro Matematicamente o divergente de D é representado e calculado por 𝑫 𝐷𝑖 𝑥 𝐷𝑗 𝑦 𝐷𝑘 𝑧 Ou Lembrese que a divergência é realizada sobre um vetor cujo resultado é um escalar Portanto a divergência apenas nos diz o quanto o fluxo está deixando uma unidade infinitesimal de volume por unidade de volume sem ter qualquer direção e sentido associado a ele Vemos abaixo que a função da Figura 1a tem um divergente positivo a função da Figura 1b tem um divergente nulo e a função da Figura 1c tem um divergente positivo 3 Figura 21 Ex 22 Calcule o divergente da função dada 𝑭 𝑥2𝑦𝑖 𝑧3 3𝑥𝑗 4𝑦2𝑘 pg 52 O Rotacional 𝑫 O significado geométrico de rotacional é a medida de quanto um vetor D gira em torno do ponto em questão Portanto as funções das três situações mostradas na Figura 1 acima têm rotacional nulo pois elas não giram em torno de ponto algum Por outro lado o rotacional dos vetores mostrados na Figura 2 a seguir é certamente diferente de zero Sendo assim um redemoinho seria uma região com um grande rotacional Em eletromagnetismo o rotacional é usado na derivação da forma pontual da lei circuital de Ampère usando por exemplo o perímetro de um elemento diferencial de superfície Figura 2 O rotacional de um vetor v é calculado por 𝐯 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣𝑖 𝑣𝑗 𝑣𝑘 𝑣𝑧 𝑦 𝑣𝑦 𝑧 𝒊 𝑣𝑥 𝑧 𝑣𝑧 𝑥 𝒋 𝑣𝑦 𝑥 𝑣𝑥 𝑦 𝒌 E o resultado do rotacional de um vetor é um vetor Exercício 23 Suponha que a função mostrada na Figura 2a seja a 𝐯 𝑦 𝒊 𝑥 𝒋 e que a da Figura 2b seja b 𝐫 𝑥 𝒋 e que da Figura 1a seja c 𝐭 𝑥 𝒊 𝑦 𝒋 𝑧 𝒌 Calcule o rotacional dos vetores em cada caso 4 Respostas a 2 𝒌 b 𝒌 c 0 21 Aplicações das equações de Maxwell Lembremos das Equações de Maxwell 213 Lei de Faraday Uma distribuição fixa de cargas produz um campo elétrico que não varia no tempo Por isso o a integral de linha do vetor intensidade de campo elétrico ao longo de um caminho fechado c leva a um resultado nulo 𝑬 𝑑𝒍 0 41 Em outras palavras a diferença de potencial elétrico entre as posições inicial e final em um caminho fechado é zero volts Contudo quando as distribuições de carga estão variando no tempo a eq 41 se transforma em 𝑬 𝑑𝒍 𝑑 𝑑𝑡 𝑩 𝑑𝑺 44 Em outras palavras quando distribuições de carga estão variando no tempo o lado direito da eq 44 não é mais zero e portanto o lado esquerdo também não é mais zero Então isso significa que a integral do caminho fechado do vetor intensidade de campo elétrico não é zero pois as cargas variam no tempo e as cargas no início do caminho já não são mais as mesmas quando chegamos ao final do caminho que é o próprio ponto de partida da integração Consequentemente essa equação também indica que uma tensão é induzida no caminho fechado 𝑬 𝑑𝒍 𝑓𝑒𝑚 45 Essa tensão é chamada de força eletromotriz induzida Essa é a Lei de Faraday O lado direito da lei de Faraday é a taxa de variação temporal do fluxo magnético atravessando a superfície s cujo perímetro é o contorno c 𝜓 𝑩 𝑑𝒔 𝑠 46 Assim a lei de Faraday pode ser escrita como 𝑓𝑒𝑚 𝑑𝜓 𝑑𝑡 47 O que significa finalmente que um campo magnético variante induz uma fem em sua vizinhança Exercício 24 Determine as tensões V1 e V2 induzidas no circuito mostrado abaixo sabendo que ele é atravessado por um campo 𝑩 10𝑡 𝑊𝑏𝑚2 entrando na página pg 17 5 214 Lei de Faraday na Forma Pontual A forma pontual ou diferencial da Lei de Faraday se aplica a pontos discretos no espaço e é a seguinte 𝑬 𝑩 𝑡 419𝑎 Onde 𝐄 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑬𝑥 𝑬𝑦 𝑬𝑧 𝐸𝑧 𝑦 𝐸𝑦 𝑧 𝒊 𝐸𝑥 𝑧 𝐸𝑧 𝑥 𝒋 𝐸𝑦 𝑥 𝐸𝑥 𝑦 𝒌 Podemos interpretar 𝑬 como a circulação ou vorticidade do campo E ao longo do contorno da mesma forma que a água de um rio forma redemoinhos ao redor de um ponto Essa equação essencialmente mostra que um fluxo magnético B variante no tempo irá produzir um campo E que circula em torno da área atravessada por tal fluxo magnético Exercício 25 Determine o campo magnético quando o campo elétrico induzido é dado por pg 15 54 𝑬 𝐸𝑚 cos𝜔𝑡 𝛽𝑧𝒊 215 Lei de Gauss para Campos Elétricos 𝑬 A Lei de Gauss para campos elétricos 𝑬 decorre do fato de que o fluxo elétrico sobre uma superfície é equivalente à integral de superfície do campo elétrico sobre intervalos infinitesimais de área 𝜙𝑬 𝑬 𝑑𝒂 𝑆 211 Note que a equação 211 é consequência da Lei de Coulomb Portanto a grande contribuição de Maxwell foi compreender que o caso específico de uma carga pontual envolta para uma superfície esférica na qual a intensidade do campo E varia por um fator 1 𝑟2 enquanto a área S da superfície varia por um fator 𝑟2 poderia ser estendido à qualquer superfície independentemente de seu formato Note que o produto 1 𝑟2 𝑟2 dá uma constante Assim sendo a forma integral da Lei de Gauss para E é dada por 6 𝑬 𝑑𝒂 𝑆 1 𝜖0 𝑄𝑖𝑛𝑡 213 Onde 𝑄𝑖𝑛𝑡 se refere à carga no interior da superfície fechada Em outras palavras o campo elétrico devido a uma ou a várias fontes é igual a carga no interior de uma superfície fechada dividida pela constante elétrica 𝜖0 8998 109 C2 Nm2 Agora iguale as equações 211 e 213 e note que existe uma relação direta entre fluxo elétrico e campo elétrico Consequentemente cargas externas não irão contribuir para o fluxo total tampouco para o campo elétrico E devido à carga ou a distribuição de cargas pois suas linhas de campo entram por um lado da superfície gaussiana e saem pelo outro A forma pontual da Lei de Gauss para E é dada por 𝑬 𝜌 𝜖0 214 Onde 𝜌 se refere à densidade de cargas De acordo com a discussão que fizemos em aulas anteriores a forma pontual da Lei de Gauss diz que o divergente do fluxo de campo equivale a densidade de carga dividida pela constante elétrica Em outras palavras procuramos fontes ou drenos de campo elétrico 216 Aplicações da Lei de Gauss Note que a Lei de Gauss tem inúmeras aplicações em situações nas quais precisamos recorrer a coordenadas cilíndricas ou esféricas Ex 26 Suponha que o campo elétrico em uma determinada região seja dado por 𝑬 𝑘𝑟3𝒓 em coordenadas esféricas a Encontre a densidade de carga 𝜌 b encontre a carga total contida em uma esfera de raio R centrada na origem pg 19 Ex 27 Um plano infinito tem uma densidade superficial de carga uniforme 𝜎 Encontre seu campo elétrico pg 20 217 O Rotacional e o Divergente de um Campo Magnético Lei de Ampère e Lei de Gauss para Magnetismo 𝑩 Lembremse da Lei de BiotSavart que se refere ao campo magnético em torno de um fio por onde passa corrente elétrica 𝑩 𝑑𝒍 𝜇0𝑰𝑖𝑛𝑡 542 onde 𝜇0 é a constante magnética do espaço 𝜇0 1256637061 106 𝐻𝑚 𝑖 𝑒 4𝜋 107 𝐻𝑀 e 𝑰𝑖𝑛𝑡 é a corrente contida no interior de uma superfície Gaussiana qualquer que envolve o fio Em outras palavras 𝑰𝑖𝑛𝑡 representa a corrente total encerrada pelo caminho de integração 7 Figura 3 Agora se o fluxo de carga é representado por uma corrente volumétrica de densidade J a corrente 𝑰𝑖𝑛𝑡 é 𝑰𝑖𝑛𝑡 𝑱 𝑑𝒂 543 O Teorema de Stokes diz que a integral dupla do rotacional de um campo vetorial pelo produto escalar do elemento de área da é equivalente a integral de linha fechada do vetor pelo produto escalar do elemento de comprimento dl 𝐯 𝑑𝒂 𝐯 𝑑𝒍 Portanto no caso da Eq 542 𝑩 𝑑𝒍 𝐁 𝑑𝒂 Vemos pela Figura 3 acima lado esquerdo que o rotacional de B certamente não é zero Podemos portanto tentar aplicar o Teorema de Stokes à equação 542 𝑩 𝑑𝒍 𝜇0𝑰𝑖𝑛𝑡 E lembrando que a Eq 542 também pode ser escrita como 𝑩 𝑑𝒍 𝜇0 𝑱 𝑑𝒂 Temos 𝑩 𝑑𝒂 𝑩 𝑑𝒍 𝜇0𝑰𝑖𝑛𝑡 E pela eq 543 fica 𝑩 𝑑𝒂 𝑩 𝑑𝒍 𝜇0 𝑱 𝑑𝒂 Ou seja 8 𝑩 𝑑𝒂 𝜇0 𝑱 𝑑𝒂 O que nos leva à 𝑩 𝜇0 𝑱 544 Portanto a densidade de fluxo magnético em um fio condutor de corrente com densidade de corrente J pode ser inferido pelo rotacional de B A equação 544 é conhecida como Lei de Ampère incompleta A lei de Ampère com a contribuição de Maxwell completa é a terceira Equação de Maxwell Por outro lado o divergente do campo magnético é sempre zero pois a variação da densidade de fluxo de campo magnético é um problema com simetria total no qual o fluxo positivo acaba sempre sendo anulado pelo fluxo negativo e viceversa não importando como montemos o problema essa dedução não é trivial sob o ponto de vista dos cálculos por isso iremos desconsiderála Temos então que o divergente de B é sempre zero 𝑩 0 548 A equação 548 não possui nome oficial mas é chamada por muitos de Lei de Gauss para o magnetismo e é a segunda Equação de Maxwell Podemos dizer que a aplicação da Lei de Gauss para o magnetismo implica que não existem monopolos magnéticos na natureza 218 Aplicações da Lei de Ampère Conforme vimos anteriormente a Lei de Ampere na forma integral e diferencial é dada por 𝑩 𝑑𝒂 𝑩 𝑑𝒍 𝜇0 𝑱 𝑑𝒂 𝜇0𝑰𝑖𝑛𝑡 555 E 𝑩 𝜇0 𝑱 554 respectivamente Exercícios 28 Encontre o campo magnético a uma distância R de um longo infinito fio reto pelo qual passa uma corrente estacionária I Figura 4 lado esquerdo pg 22 29 Uma corrente estacionária I flui por um longo fio cilíndrico de raio a Encontre o campo magnético tanto dentro quanto fora do fio para uma corrente uniformemente distribuída sobre a superfície externa do fio Figura 4 lado direito Figura 4 Lembrando que a lei de BiotSavart afirma que em qualquer ponto P a magnitude da intensidade do campo magnético produzida pelo elemento diferencial é proporcional ao produto da corrente a magnitude do 9 comprimento diferencial e o seno do ângulo situado entre o filamento e uma linha conectando o filamento ao ponto P no qual o campo é desejado além disso a magnitude da intensidade do campo magnético é inversamente proporcional ao quadrado da distância do elemento diferencial ao ponto P A direção da intensidade do campo magnético é normal ao plano que contém o filamento diferencial e a linha traçada a partir do filamento ao ponto P Das duas normais possíveis aquela a ser escolhida é aquela que está na direção do progresso de um parafuso destro girado de dL pelo menor ângulo até a linha do filamento para P Usando unidades mks a constante de proporcionalidade é 14π A lei de BiotSavart pode ser escrita usandose notação vetorial da seguinte forma 𝑑𝑯𝟐 𝑖1𝑑𝑳1 𝑎𝑅12 4𝜋𝑅12 2 Que para uma linha de corrente estacionária pode ser ser apresentado na forma integral como 𝑩𝑟 𝜇0 4𝜋 𝑰 𝑑𝒍 𝒓 𝑟2 Portanto o exercício 28 também poderia ter a solução 𝑩𝑟 𝜇0 4𝜋𝑟 𝑰 cos 𝑑 𝟐 𝟏 𝜇0 4𝜋𝑟 𝐼sin 2 sin 1 22 Equação da onda eletromagnética EM A luz visível representa uma minúscula parte do espectro de radiação eletromagnética Classificamos o espectro eletromagnético EM em ondas de rádio que podem ter ondas de vários quilômetros de comprimento microondas cm infravermelho 𝜇𝑚 visível centenas de nm ultravioleta dezenas de nm raiosx fração de nm e finalmente raios gama alguns pm A radiação eletromagnética é menos energética quanto maior for o 10 comprimento de onda Portanto as ondas de rádio são a forma de radiação eletromagnética menos energética e os raios gama a mais energética Devido à equação de Einstein 𝜆𝜈 𝑐 onde 𝑐 29979 108 ms existe uma proporcionalidade inversa entre comprimento de onda 𝜆 e frequência 𝜈 Portanto quanto menor o comprimento de onda maior é a frequência da radiação eletromagnética e viceversa Figura 5 Espectro Eletromagnético Figura 6 Representação da Radiação Eletromagnética Algumas propriedades da luz ie radiação eletromagnética a luz possui características de onda e de partícula e cada uma dessas interpretações pode nos ser útil a onda de luz consiste de dois campos oscilantes e perpendiculares entre si o campo elétrico 𝐸 ou 𝜀 e o campo magnético 𝐵 o comprimento de onda 𝝀 é a distância entre dois picos a frequência 𝒇 é o número de vezes por segundo que um pico passa em certo ponto no eixo x a relação entre comprimento de onda 𝝀 e frequência 𝒇 é 11 𝜆𝑓 𝑐 21 onde 𝑐 29979 108 ms Podemos representar o campo elétrico de uma onda eletromagnética EM como uma função de posição ou de tempo Função da posição 𝑓𝑥 𝐴 cos 2𝜋 𝜆 𝑥 Função do tempo 𝑓𝑡 𝐴 cos 2𝜋 𝑇 𝑡 onde T é o período 𝑇 1 𝜈 Figura 7 Onda senoidal Um passo inicial para se caracterizar a onda eletromagnética é o estudo da equação da onda unidimensional se deslocando no sentido positivo de x dada por 2𝑢 𝑡2 𝑐2 2𝑢 𝑥2 Nessa equação u é a função do deslocamento da onda t é tempo c é velocidade x é a posição da onda e 2 se refere a segunda derivada parcial de u Sabemos que as ondas eletromagnéticas são senoides Nesse caso se a função de uma onda for 𝑓𝑥 sin𝑥 temos a primeira e segunda derivadas Figura 8 Primeira e segunda derivadas da função seno Podemos dizer então que a função de onda unidimensional é uma equação diferencial parcial linear de segunda ordem 12 2𝑢 𝑡2 𝑐2 2𝑢 𝑥2 A equação da onda diz que a segunda derivada da função u em x vezes a velocidade da onda ao quadrado é solução da segunda derivada da função u em t Uma função senoide 𝑢 𝑠𝑒𝑛 seria portanto uma possível solução para descrever as características da nossa onda O problema reside no fato de que o argumento de 𝑢 𝑠𝑒𝑛argumento não pode ser um valor qualquer pois em muitos casos a função não teria solução Sabemos que a função 𝑢 𝑠𝑒𝑛 deve ser uma função de x posição e de t tempo Por exemplo se tomarmos a função 𝑢 sen𝑘𝑥 𝜔𝑡 Temos uma possível solução para a função u dentro das condições impostas pelo problema Derivando u em x 𝑢 𝑥 𝑥 sen𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝑘 cos𝑘𝑤 𝜔𝑡 2𝑢 𝑥2 𝑥 𝑘 cos𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝑘2 sen𝑘𝑤 𝜔𝑡 Derivando u em t 𝑢 𝑡 𝑡 sen𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝜔 cos𝑘𝑤 𝜔𝑡 2𝑢 𝑡2 𝑡 𝜔 cos𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝜔2 sen𝑘𝑤 𝜔𝑡 Igualando a eq de onda original temos 2𝑢 𝑡2 𝑐2 2𝑢 𝑥2 𝜔2 sen𝑘𝑤 𝜔𝑡 𝑐2𝑘2 sen𝑘𝑤 𝜔𝑡 𝑐2 𝜔2 𝑘2 Portanto a função 𝑢 sen𝑘𝑥 𝜔𝑡 é solução para a equação de onda se c 𝜔 𝑡 o que será verdadeiro se 𝑘 2𝜋 𝜆 e 𝜔 2𝜋𝑓 onde 𝑓 é a frequência e 𝜔 é a frequência angular Portanto a função de onda geralmente se apresenta como algo semelhante a 𝑢 cos𝑘𝑥 𝜔𝑡 ou cos 2𝜋 𝜆 𝑥 2𝜋𝑓𝑡 Concluímos então que campo elétrico oscilante da Figura 6 pode ser descrito pela equação 𝐸𝑥 𝑡 𝐸0 cos 2𝜋 𝜆 𝑥 2𝜋𝑓𝑡 28 Compare com a equação de onda que analisamos anteriormente 𝑢𝑥 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑘𝑥 𝜔𝑡 É fácil notar que na equação 28 temos 𝑘 2𝜋 𝜆 e 𝜔 2𝜋𝑓 e a amplitude da onda é 𝐸0 A equação 28 define a onda de amplitude máxima 𝜀0 comprimento de onda 𝜆 e frequência 𝜈 movendose na direção positiva de x Note que o termo 2𝜋𝑥 𝜆 garante que o espaço para uma oscilação completa é 𝛥𝑥 𝜆 e o termo 2𝜋𝑓𝑡 fixa a velocidade da onda a 𝑐 𝜆𝑓 13 Ex 210 Verifique se a eq 𝐸𝑥 𝑡 𝐸0 cos 2𝜋𝑥 𝜆 2𝜋𝑓𝑡 garante que a velocidade de propagação da onda seja exatamente a velocidade da luz pg 26 221 Onda EM Imaginária Veremos que é bastante conveniente o uso da parte complexa da eq de onda a qual contém o número imaginário i Fazendo uso da identidade de Euler 𝑒𝑖𝜃 cos 𝜃 𝑖 sin 𝜃 Podemos multiplicar ambos os lados por 𝐸0 𝐸0 𝑒𝑖𝜃 𝐸0cos 𝜃 𝑖 sin 𝜃 Lembrando que no caso 𝜃 2𝜋𝑥 𝜆 2𝜋𝑓𝑡 𝐸0 𝑒𝑖2𝜋𝑥 𝜆 2𝜋𝑓𝑡 𝐸0 cos 2𝜋𝑥 𝜆 2𝜋𝑓𝑡 𝑖 sin 2𝜋𝑥 𝜆 2𝜋𝑓𝑡 𝐸0 𝑒𝑖2𝜋𝑥 𝜆 𝑓𝑡 𝐸0 cos2𝜋 𝑥 𝜆 𝑓𝑡 𝑖 𝐸0 sin2𝜋 𝑥 𝜆 𝑓𝑡 Podemos escrever a equação de onda complexa como uma nova função 𝜓 𝜓𝑥 𝑡 𝐸0𝑒2𝜋𝑖𝑥 𝜆 𝑓𝑡 𝐸0 cos 2𝜋 𝑥 𝜆 𝑓𝑡 𝑖 𝐸0 𝑠𝑖𝑛 2𝜋 𝑥 𝜆 𝑓𝑡 215 Veja httpswwwyoutubecomwatchvLZie2QC5Jbc httpswwwyoutubecomwatchvimdFhDbWDyM httpsyoutubeErSPHER4xns Sobre a componente complexa da onda EM Note o seguinte Quando consideramos uma onda plana da forma 𝜓𝑥 𝑡 𝐸0𝑒𝑖2𝜋𝑥 𝜆 2𝜋𝑓𝑡 ou 𝜓𝑥 𝑡 𝐸0𝑒𝑖𝑘𝑥 𝜔𝑡 216 o que estamos realmente dizendo é algo como 𝜓𝑅𝐸𝑥 𝑡 𝐸0𝑒𝑖𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝐸0 cos𝑘𝑥 𝜔𝑡 𝜑 𝜓𝑥 𝑡 217 Em outras palavras uma função de onda real unidimensional geral 28 pode ser representada como a parte real de uma função de onda complexa da forma 215 Para facilitar a notação o aspecto usar a parte real da expressão anterior é geralmente omitido e nossa função de onda unidimensional geral é simplesmente escrita como 𝜓𝑥 𝑡 𝐸0𝑒𝑖𝑘𝑥 𝜔𝑡 218 Parte real 𝜀 Parte imaginária 14 A principal vantagem da representação complexa 218 sobre a representação real mais direta 28 é que a primeira nos permite combinar a amplitude 𝐸0 e o ângulo de fase 𝜑 da função de onda em uma única amplitude complexa 𝜑0 𝐸0𝑒𝑖𝜑 Como consequência do que vemos até aqui temos as seguintes identidades 𝑐 𝑇 𝜆 onde c é a velocidade de propagação da onda T é o período e 𝜆 é o comprimento de onda 𝜆 2𝜋 𝑘 𝑘 2𝜋 𝜆 onde k é o número de onda 𝜆 2𝜋 𝛽 𝑇 2𝜋 𝑘𝑐 1 𝜈 𝑓 1 𝑇 𝑘𝑐 2𝜋 v 𝜆 onde f é a frequência de oscilação da onda 𝜔 2𝜋𝑓 𝑘𝑐 onde 𝜔 é a frequência angular 𝛽 𝜔𝜇𝜀 𝜇𝜀 𝜇𝑟𝜀𝑟 𝑣 É comum expressarmos ondas senoidais em termos de 𝜔 𝑓𝑥 𝑡 𝐴 cos𝑘𝑥 𝜔𝑡 24 Teorema de Poynting e Potência da Onda Para se encontrar o fluxo de potência associado à onda eletromagnética é necessário desenvolver um teorema sobre potência para o campo eletromagnético conhecido como teorema de Poynting postulado originalmente em 1884 pelo físico inglês John H Poynting pg 23 H intensidade de campo magnético Am J densidade de corrente Am2 D densidade de fluxo elétrico Cm2 Introduzimos então a seguinte identidade vetorial que pode ser provada por expansão em coordenadas cartesianas E H E H H E 65 Utilizando a Equação 65 no lado esquerdo da Equação 64 obtemos H E E H J E E Dt 66 onde o rotacional do campo elétrico é dado pela outra equação de rotacional de Mawxell E Bt Logo H Bt E H J E E Dt ou E H J E ϵE Et μH Ht 67 As duas derivadas no tempo na Equação 67 podem ser rearranjadas da seguinte maneira ϵE Et t 12 D E 68a e μH Ht t 12 B H 68b Com elas a Equação 67 se torna E H J E t 12 D E t 12 B H 69 Finalmente integramos a Equação 69 por um volume vol E H dv vol J E dv vol t 12 D E dv vol t 12 B H dv O teorema da divergência é então aplicado ao lado esquerdo convertendo assim a integral volumétrica em uma integral sobre a superfície que envolve o volume No lado direito as operações de integração espacial e diferenciação temporal são intercambiáveis O resultado final é 16 𝐸𝑥𝑖 𝐻𝑦𝑗 𝑆𝑧𝑘 Alternativamente a magnitude do vetor de Poynting S também é dada por 𝑆 1 𝜇0 𝑬 𝑩 211 Calcule a energia por unidade de tempo fornecida a um fio condutor quando este conduz corrente Use o vetor de Poynting pg 28 212 Se a radiação eletromagnética solar viaja na direção da Terra com intensidade 1500 𝑊𝑚2 encontre o máximo dos seus campos elétrico e magnético para uma única onda pg 58 213 A expressão no domínio do tempo para o campo elétrico de uma onda plana viajando em um meio não magnético é dada por 𝑬𝑥 𝑡 4 sin2𝜋 107𝑡 08𝑥 𝑖 Encontre a A direção de propagação da onda b A constante dielétrica e a impedância intrínseca c A expressão do campo magnético no domínio do tempo d A média da densidade de potência