Lista Resmat 2

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 20241 Prof Pedro Manuel Calas Lopes Pacheco Email pedropachecocefetrjbr LISTA 04 CRITÉRIOS DE FALHA E CARREGAMENTOS COMBINADOS PROBLEMA 1 05 pontos Explique por que são necessários diferentes critérios de falhas para o projeto e dimensionamento de estruturas e componentes mecânicos PROBLEMA 2 05 pontos Discorra sobre as principais características dos 4 critérios de falha abordados no curso PROBLEMA 3 05 pontos Qual é a relação entre o círculo de Mohr e o critério de falha de Tresca PROBLEMA 4 15 pontos Considerando a solicitação na seção aa e que o material possui uma tensão admissível de 200 MPa determine a A localização e o estado de tensões do ponto crítico b a carga máxima P que a peça suporta PROBLEMA 5 15 pontos Um eixo de aço está submetido aos carregamentos mostrados Considere um limite de escoamento de 450 MPa e um coeficiente de segurança igual a 15 Determine a A localização da seção crítica b A localização e o estado de tensões do ponto crítico c O diâmetro mínimo para que o eixo não sofra escoamento PROBLEMA 6 15 pontos Uma força vertical de 150 N é aplicada na extremidade de uma chave de roda que possui uma seção transversal circular de diâmetro de 125 mm Desprezando efeitos de concentração de tensãovariação de geometria regiões A e C e considerando que o material possui um limite de escoamento de 300 MPa determine a A posição da seção crítica b O estado de tensões no ponto crítico c O coeficiente de segurança do projeto ao escoamento F1 3 kN F2 2 kN C PROBLEMA 7 20 pontos A estrutura mostrada é utilizada para movimentar cargas de até 2 kN As dimensões da seção transversal da coluna AB são mostradas ao lado da estrutura Verifique se a coluna AB falha por escoamento para a carga e configuração geométrica mostradas Despreze efeitos de concentração de tensão Considere que o material da coluna apresenta um limite de escoamento de 250 MPa e adote um coeficiente de segurança igual a 14 PROBLEMA 8 20 pontos Um tanque de ar comprimido tem um diâmetro externo de 462 mm um comprimento de 1 m e uma espessura uniforme de 6 mm Sabendose que a pressão interna é de 130 kPa e que o material possui um limite de escoamento igual a 250 MPa determine o coeficiente de segurança do projeto usando a critério de Tresca e b critério de von Mises 5 kN 500 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 20241 Prof Pedro Manuel Calas Lopes Pacheco Email pedropachecocefetrjbr LISTA 02 ESTADO GERAL DE DEFORMAÇÕES E EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS PROBLEMA 1 30 pontos Dois extensômetros A e B são instalados em uma placa de aço de 200 mm x 100 mm x 10 mm Após a aplicação dos carregamentos Px e Py são obtidas as seguintes leituras nos extensômetros A 650 x 106 e B 400 x 106 Considerando E 200 GPa e 029 determine a os valores das cargas Px e Py b o estado de tensões c as dimensões da placa após a aplicação dos carregamentos PROBLEMA 2 20 pontos Explique como as tensões térmicas se formam e como podem ser evitadas Dê exemplos de mecanismosabordagens utilizadas para evitar o desenvolvimento de tensões térmicas Py Px Px Py A B PROBLEMA 3 30 pontos Uma peça de aço posicionada dentro de uma matriz é submetida simultaneamente a um carregamento axial P de 50 kN e a uma variação de temperatura de 100 C Suponha que a matriz seja rígida indeformável e que não apresente dilatação térmica Uma roseta de extensômetros straingages de 45 é posicionada na lateral da peça fazendo um ângulo de 30 com a horizontal conforme mostrado Determine a O estado de tensões na peça b O coeficiente de segurança c Os valores de deformação medidos na roseta de extensômetros straingages d As dimensões finais da peça Dados E 200 GPa G 80 GPa 029 1 x 105 SY 300 MPa PROBLEMA 4 20 pontos Os materiais utilizados em engenharia podem apresentar diversos comportamentos característicos como a Linearelástico b Não linearelástico c Elastoplástico d Viscoelástico Para cada um destes 4 comportamentos típicos forneça um exemplo de material e represente o seu comportamento característico através de um esboço de uma curva tensão x deformação Questão 1 Solução Considerando que o material possui uma tensão admissível de 200 MPa vamos resol ver as duas partes da questão Letra a Localização e o estado de tensões do ponto crítico A tensão normal devido à flexão em uma seção aa é dada pela fórmula σ M y I Onde M P l com l 240 mm y 40 mm a distância da borda ao eixo neutro I 1900544 mm4 o momento de inércia calculado O ponto crítico se localiza na borda mais distante do eixo neutro a 40 mm O estado de tensões no ponto crítico é dominado pela tensão normal devido à flexão O cálculo da tensão pode ser obtido quando P for determinado na parte b Letra b Cálculo da carga máxima P A tensão máxima de tração na seção aa é dada por σt tensão direta na aa tensão de flexão na aa σt P A M y INA onde A 3072 mm2 área da seção transversal M 240P mm y 40 mm I 1900544 mm4 1 Substituindo os valores 200 P 3072 240P 40 1900544 Resolvendo para P 200 P 3072 9600P 1900544 Multiplicando ambos os lados da equação por 1900544 para simplificar 200 1900544 P 1900544 3072 9600 380108800 P 61892 9600 380108800 P 1021892 P 380108800 1021892 37200 N Logo a carga máxima que a peça pode suportar é aproximadamente P 37200 N 1 Questão 2 Dados Fornecidos Fy 3 kN Fz 2 kN τallow 60 MPa σallow 130 MPa σyield 450 MPa ns 15 Solução a Localização da Seção Crítica A seção crítica ocorre onde o momento fletor e o torque atingem seus valores máximos Sabemos que o momento máximo ocorre nas extremidades das engrenagens nos pontos B e C Carregamento na direção y Utilizando o somatório de forças e momentos na direção y temos Σ Fy 0 FAy FDy 3 kN Somatório de momentos em A Σ MA 0 FDy 950 3 kN 200 mm Resolvido para FDy FDy 12 19 kN Substituindo em Σ Fy 0 FAy 45 19 kN Agora podemos calcular os momentos fletores máximos devido ao carregamento em y MBy FAy 200 mm 45 19 02 m 0473 kNm MCy FDy 350 mm 12 19 035 m 0221 kNm Carregamento na direção z Similarmente para as forças e momentos na direção z Σ Fz 0 FAz FDz 2 kN Somatório de momentos em A Σ MA 0 FDz 950 2 kN 600 mm Resolvido para FDz FDz 24 19 kN Substituindo em Σ Fz 0 FAz 14 19 kN Agora os momentos fletores máximos devido ao carregamento em z MBz FAz 200 mm 14 19 02 m 0147 kNm MCz FDz 350 mm 24 19 035 m 0442 kNm Portanto os momentos máximos na seção crítica são My 0473 kNm Mz 0442 kNm A seção crítica está localizada entre os pontos B e C no eixo b Localização e Estado de Tensões no Ponto Crítico O estado de tensões no ponto crítico pode ser determinado utilizando a combinação de momentos fletores e torques aplicados O momento resultante é dado por Mresultante My² Mz² Substituindo os valores Mresultante 0473 kNm² 0442 kNm² 0645 kNm 645 Nm O torque aplicado ao longo do eixo é T 150 Nm Para determinar a tensão máxima utilizamos o critério de Von Mises τmax 32 π d³ M² 075 T² Substituindo os valores de M e T τmax 32 π d³ 645 10³² 075 150 10³² Este é o estado de tensões no ponto crítico onde d é o diâmetro do eixo c Diâmetro Mínimo para Evitar o Escoamento Para evitar o escoamento do material a tensão máxima deve ser menor ou igual à tensão admissível σadm σyield ns 450 MPa 15 300 MPa Agora igualamos a tensão máxima à tensão admissível 300 32 π d³ 645 10³² 075 150 10³² Resolvendo para d 300 π d³ 32 645 10³² 075 150 10³² d³ 32 645 10³² 075 150 10³² 300 π d³ 242 10⁶ mm³ d 1339 mm o diâmetro mínimo para que o eixo não sofra escoamento é aproximadamente 134 mm Questão 3 Uma força vertical de 150 N é aplicada na extremidade de uma chave de roda que possui uma seção transversal circular de diâmetro de 125 mm Desprezando efeitos de concentração de tensãovariação de geometria regiões A e C e considerando que o ma terial possui um limite de escoamento de 300 MPa determine a A posição da seção crítica A seção crítica será a mais próxima ao ponto de aplicação do torque e momento fletor Portanto a seção crítica será em A b O estado de tensões no ponto crítico 1 Torque devido à força T F BC 150 N 04 m 60 N m 2 Diâmetro da seção transversal da chave de roda D 125 mm 00125 m 3 Momento polar de inércia da seção transversal J π 32 D4 π 32 001254 24 109 m4 4 Distância do ponto A até o eixo neutro YA D 2 125 2 625 mm 625 103 m 5 Tensão de cisalhamento no ponto A devido ao torque τA T YA J 60 625 103 24 109 15625 106 Pa 15625 MPa 6 Tensão normal no ponto A devido ao momento fletor O momento fletor M devido à força de 150 N a uma distância de 01 m em A é M F AC 150 N 01 m 15 N m A tensão normal em A devido ao momento fletor é dada por σA M YA I 15 625 103 12 109 78125 MPa 6 c O coeficiente de segurança do projeto ao escoamento 1 Tensões principais As tensões principais σ₁ e σ₂ são obtidas usando as equações σ₁₂ σA2 σA2² τA² 12 Substituindo os valores σ₁₂ 781252 781252² 15625² 12 σ₁ 390625 1610588 2001213 MPa σ₂ 390625 1610588 1219963 MPa 2 Tensão de Von Mises A tensão de Von Mises é dada por σv 12 σ₁ σ₂² σ₂ 0² 0 σ₁² 12 Substituindo os valores σv 12 2001213 1219963² 1219963 0² 0 2001213² 12 σv 1281684 MPa 3 Coeficiente de segurança O coeficiente de segurança é dado por n σescoamento σv 300 MPa 1281684 MPa 0234 projeto falha sob cisalhamento Portanto o sistema falhará sob cisalhamento já que a tensão admissível é menor que a tensão de Von Mises Questão 4 Condições de Equilíbrio Para a estrutura em equilíbrio temos MA 0 e Fy 0 MA 12 W 0 e Ay W 0 Onde Ay W 2 kN MA 12 W 12 2 24 kNm Distribuição de Tensões As tensões na seção são calculadas como σa My I MA h 2 I σb Ay A MA h 2 I Área da Seção Transversal A h d h t d t A 80 50 80 6 50 6 744 mm² Momento de Inércia da Seção I 1 12 d h3 1 12 d t h t3 I 1 12 50 803 1 12 50 6 80 63 647512 mm4 Tensões na Coluna AB Cálculo da tensão compressiva e tensiva σa 2 103 744 24 106 80 2 647512 1455716 MPa compressão σb 26882 1482598 150948 MPa tração Verificação de Falha por Escoamento Com um limite de escoamento de 250 MPa e um coeficiente de segurança de 14 veri ficamos σadm 250 14 17857 MPa Como σb 150948 MPa é menor que σadm a coluna AB não falha por escoamento 9 Questão 5 Dados p 130 kPa 130 103 Pa d 462 mm 0462 m r d 2 231 mm 0231 m t 6 mm 0006 m σescoamento 250 MPa 1 Tensão Circunferencial e Longitudinal A fórmula para a tensão circunferencial σC e longitudinal σL para um cilindro de paredes finas é dada por σC p r t σC 130 103 0231 0006 σC 5005 MPa σL p r 2 t σL 130 103 0231 2 0006 σL 2503 MPa 2 Critério de Tresca Máxima Tensão de Cisalhamento A máxima tensão de cisalhamento segundo o critério de Tresca é dada por 10 τmax σC σL 2 Substituindo os valores τmax 5005 2503 2 1251 MPa O coeficiente de segurança pelo critério de Tresca é nTresca σescoamento τmax nTresca 250 1251 19984 3 Critério de von Mises Energia de Distorção A tensão equivalente de von Mises σvM é dada por σvM σC2 σC σL σL2 Substituindo os valores σvM 50052 5005 2503 25032 σvM 2505 1252 626 1879 434 MPa O coeficiente de segurança pelo critério de von Mises é nvM σescoamento σvM nvM 250 434 576 Questão Extensômetro Dados do problema Dimensões da placa 200 mm 100 mm 10 mm Extensômetro A εA 650 106 Extensômetro B εB 400 106 Módulo de Elasticidade E 200 GPa 200 109 Pa Coeficiente de Poisson v 029 a Determinação das cargas Px e Py As deformações εA e εB nos extensômetros podem ser relacionadas às tensões nor mais através das equações de Hooke generalizadas para um material isotrópico e sob carregamento biaxial εx σx E vσy E εy σy E vσx E Sabemos que as deformações medidas pelos extensômetros A e B correspondem às deformações nas direções x e y respectivamente Logo εA εx σx E vσy E εB εy σy E vσx E Substituindo os valores de εA εB E e v nas equações acima 650 106 σx 200 109 029σy 200 109 400 106 σy 200 109 029σx 200 109 Multiplicando ambas as equações por 200 109 para eliminar os denominadores 650 106 200 109 σx 029σy 400 106 200 109 σy 029σx 130000000 σx 029σy 80000000 σy 029σx Agora resolvemos o sistema de equações para σx e σy σx 130000000 029σy Substituímos essa equação na segunda 80000000 σy 029130000000 029σy 12 Simplificando 80000000 σy 029 130000000 0292σy 80000000 σy 37700000 00841σy 117700000 09159σy σy 117700000 09159 128494904 Pa 1285 MPa Substituindo σy na equação para σx σx 130000000 029 128494904 σx 130000000 37263522 167263522 Pa 1673 MPa As tensões σx e σy são relacionadas às cargas Px e Py pelas equações Px σx A σx 100 10 106 σx 103 Py σy A σy 200 10 106 2σy 103 Substituindo os valores de σx e σy Px 1673 103 1673 kN Py 2 1285 103 257 kN b O estado de tensões O estado de tensões é dado por σx 1673 MPa σy 1285 MPa c As dimensões da placa após a aplicação dos carregamentos Para determinar as dimensões finais da placa utilizamos as deformações medidas As novas dimensões da placa podem ser obtidas multiplicando as deformações pelas dimensões iniciais Lx εA Lx 650 106 200 mm 013 mm Ly εB Ly 400 106 100 mm 004 mm Portanto as novas dimensões da placa são L x Lx Lx 200 013 20013 mm L y Ly Ly 100 004 10004 mm 13 Tensões Térmicas As tensões térmicas se formam quando há variações de temperatura que causam ex pansão ou contração térmica em um material Como diferentes partes do material podem experimentar diferentes mudanças de temperatura ocorre uma incompatibilidade de de formações gerando tensões internas no material Esse fenômeno é especialmente impor tante em estruturas que estão sujeitas a grandes variações de temperatura como em com ponentes aeroespaciais pontes ou em processos industriais que envolvem aquecimento e resfriamento A formação de tensões térmicas pode ser explicada pela Lei de Hooke adaptada para incluir os efeitos térmicos σ E α T onde σ é a tensão gerada E é o módulo de elasticidade do material α é o coeficiente de expansão térmica do material T é a variação de temperatura Se as deformações térmicas forem restringidas por suportes ou outras partes da estru tura tensões significativas podem se acumular e causar falha do material ou degradação estrutural Abordagens para Evitar Tensões Térmicas Existem várias abordagens e mecanismos para evitar o desenvolvimento de tensões térmicas Juntas de Expansão Dispositivos que permitem que o material ou a estrutura se expanda ou contraia livremente sem gerar tensões significativas São amplamente utilizados em dutos e pontes Materiais com Baixo Coeficiente de Expansão Térmica A seleção de materiais que possuem um baixo coeficiente de expansão térmica reduz a magnitude das de formações induzidas por variações de temperatura Projetos Térmicos Adequados Incluir o dimensionamento adequado de compo nentes para que as expansões ou contrações sejam controladas Em estruturas grandes como edifícios ou componentes industriais é comum o uso de folgas e espaçamentos entre partes Refrigeração Controlada Em processos industriais como a soldagem ou a fundi ção o resfriamento controlado é essencial para evitar o desenvolvimento de tensões térmicas que podem causar trincas ou deformações indesejadas 14 Exemplos Pontes O uso de juntas de expansão em pontes permite que as grandes variações de temperatura ao longo do dia ou entre estações não causem fissuras ou falhas estruturais Tubulações Juntas de expansão são usadas para permitir que dutos que transpor tam fluidos quentes ou frios possam se expandir ou contrair sem romper Componentes Aeroespaciais A seleção de materiais com baixo coeficiente de ex pansão térmica é crucial em aeronaves e espaçonaves que estão sujeitas a variações extremas de temperatura 15 Problema 3 Dados Fornecidos P 50 kN 50 103 N T 100C E 200 GPa 200 109 Pa G 80 GPa 80 109 Pa v 029 α 1 105 C1 SY 300 MPa Seção transversal 50 mm 10 mm 500 mm2 a Estado de Tensões na Peça A tensão axial causada pela força P é dada por σx P A 50 103 500 mm2 100 MPa A tensão causada pela variação de temperatura devido à matriz rígida que impede a dilatação térmica é calculada por σtérmica E α T 200 109 1 105 100 200 MPa Assim a tensão total na peça é a soma da tensão axial e da tensão térmica σtotal σx σtérmica 100 MPa 200 MPa 300 MPa b Coeficiente de Segurança O coeficiente de segurança ns é definido como a razão entre o limite de escoamento e a tensão total aplicada ns SY σtotal 300 MPa 300 MPa 1 Portanto o coeficiente de segurança da peça é ns 1 o que indica que a peça está no limite do escoamento c Deformações Medidas pela Roseta de Extensômetros A deformação axial devido à carga P é εx σx E 100 106 200 109 00005 A deformação térmica é εtérmica α T 1 105 100 0001 16 Assim a deformação total na direção axial é εtotal εx εtérmica 00005 0001 00015 As deformações medidas pelos extensômetros A B e C posicionados em uma roseta de 45º podem ser calculadas a partir das fórmulas para a roseta εA εtotal cos230 εB εtotal cos275 εC εtotal cos245 Substituindo os valores εA 00015 cos230 00015 075 0001125 εB 00015 cos275 00015 0066 0000099 εC 00015 cos245 00015 05 000075 Portanto as deformações medidas pelos extensômetros são εA 0001125 εB 0000099 εC 000075 d Dimensões Finais da Peça A peça está sujeita a uma deformação axial total de εtotal 00015 A nova dimensão Lf da peça após a deformação é dada por Lf L01 εtotal Onde L0 é o comprimento original da peça Assim a nova dimensão da peça será Lf L0 1 00015 Ou seja a peça terá um aumento de 015 no comprimento total O estado de tensões na peça é σtotal 300 MPa O coeficiente de segurança é ns 1 o que indica que a peça está no limite de escoamento As deformações medidas pelos extensômetros são εA 0001125 εB 0000099 εC 000075 As dimensões finais da peça aumentam de acordo com a deformação axial total calcu lada resultando em um aumento de 015 em seu comprimento 17 Comportamentos Típicos de Materiais Os materiais utilizados em engenharia podem apresentar diversos comportamentos característicos como a Linearelástico b Não linearelástico c Elastoplástico d Viscoelástico Para cada um desses comportamentos típicos apresentamos um exemplo de material e um esboço da curva tensão x deformação a LinearElástico Um material com comportamento linearelástico segue a Lei de Hooke onde a relação entre a tensão σ e a deformação ε é linear e proporcional até o limite elástico Após a remoção da carga o material retorna à sua forma original Exemplo Aço em baixas tensões Características A relação tensão x deformação é linear Comportamento reversível até o limite elástico b Não LinearElástico Materiais com comportamento não linearelástico se deformam de maneira reversível mas a relação entre tensão e deformação não é mais linear Exemplo Borracha Elastômeros Características A deformação é elástica reversível mas a relação tensão x deformação é não linear Exibe grandes deformações antes da ruptura c Elastoplástico Materiais elastoplásticos apresentam comportamento elástico até o limite de escoa mento após o qual ocorre deformação plástica permanente Exemplo Aço além do limite elástico Características A relação tensão x deformação é linear até o limite de escoamento Após o escoamento o material sofre deformação plástica permanente 18 d Viscoelástico Materiais viscoelásticos combinam comportamento elástico e viscoso exibindo defor mação instantânea elástica e deformação dependente do tempo fluência Exemplo Polímeros como o Polietileno PE Características Comportamento dependente do tempo Exibe fluência deformação lenta sob carga constante Parte da deformação é irreversível plástica e parte é reversível elástica Os quatro tipos de comportamento abordados são encontrados em diferentes materiais LinearElástico Aço em baixas tensões Não LinearElástico Borracha Elastômeros Elastoplástico Aço acima do limite elástico Viscoelástico Polímeros Polietileno 19