Lista Mecanica dos Solidos

1a LISTA DE EXERCÍCIOS ORIENTAÇÕES Este trabalho deverá ser entregue individualmente na data da 1a Prova impreterivelmente Respostas dos exercícios estão inclusos no final de cada tópico ou próximo ao enunciado A lista deve ser organizada em sequência com os enunciados digitados escaneados ou copiados seguidos da solução do exercício O trabalho deverá ser feito manualmente em papel A4 com capa contendo o nome do aluno registro acadêmico período e turma CAP 1 FLAMBAGEM EXERCÍCIO 1 Verifique se ocorrerá falha por flambagem na barra BC da treliça abaixo Todos os elementos são constituídos de perfis tubulares circulares de aço E200GPa com diâmetro externo 100mm e 5mm de espessura de parede Considere FS14 Verifique ainda se ocorrerá falha do material escoamento Considere fy250MPa RESPOSTA PcrFS 148759kN Fbc 140kN não haverá falha por flambagem σcr 139562MPa fy 250MPa não haverá falha do material escoamento EXERCÍCIO 2 A coluna ao lado é feita em madeira E12GPa e pode ser considerada engastada em suas extremidades Qual é o maior comprimento L admissível de forma que esta coluna não apresente flambagem Utilize FS14 A carga a ser aplicada na coluna vale 30kN RESPOSTA L3428m Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Departamento de Engenharia Civil Mecânica dos Sólidos III Prof William L Fernandes EXERCÍCIO 3 Determine a carga crítica de flambagem para uma coluna com a seção ao lado A coluna está engastada em sua base e livre em seu topo Dados bfbaba324mm tftaba19mm twtalma127mm d611mm RESPOSTA Pcr831205kN EXERCÍCIO 4 Uma Engenheiroa pretende usar 2 peças de madeira com 6m de comprimento para fazer um pilar Determine a distância d entre as peças de forma que o pilar apresente a mesma carga crítica em relação a x e y Qual será esta carga Dados E13GPa pilar engastado em sua base e rotulado em seu topo RESPOSTA d38cm Pcr424192kN Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Departamento de Engenharia Civil Mecânica dos Sólidos III Prof William L Fernandes EXERCÍCIO 5 A coluna de aço abaixo possui suas extremidades engastadas Duas escoras de reforço foram inseridas na coluna na direção do eixo x para aumentar sua capacidade de carga Sabendo que a coluna é em aço ASTM A36 E200GPa fy250MPa e que as escoras são consideradas rotuladas na ligação com o pilar determine a se a coluna sofrerá flambagem caso P seja igual a 250kN considere FS16 b sua tensão crítica verificando se a mesma está no regime elástico c seu índice de esbeltez em relação aos eixos x e y Dados Perfil W150x24 baba102mm taba103mm d160mm talma66mm EXERCÍCIO 6 Considere que os elementos estruturais da treliça estão acoplados por pinos Se o elemento estrutural AG for uma haste de aço A36 com diâmetro de 50mm determine o maior valor da carga P que pode ser suportada pela treliça sem provocar flambagem naquele elemento estrutural RESPOSTA 14534kN EXERCÍCIO 7 Determine a espessura t tal que não ocorra falha por flambagem no sistema da figura a seguir Adote E70GPa d508mm e P10kN Considere A e C como apoios fixos O elemento BC é passível de apresentar flambagem Por quê RESPOSTA t 6475mm Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Departamento de Engenharia Civil Mecânica dos Sólidos III Prof William L Fernandes d t EXERCÍCIO 8 A barra AB de alumínio tem seção retangular de 20mmx36mm e é conectada por pinos e suportes conforme ilustração Cada uma das extremidades da barra pode rotacionar livremente em relação ao eixo horizontal por meio dos pinos embora a rotação em relação ao eixo vertical esteja impedida pelos suportes Usando E70GPa determine a máxima carga P centrada admissível para a mesma se o coeficiente de segurança FS requerido for igual a 25 RESPOSTA 5372 kN CAP 2 ANÁLISE DE TENSÕES 21 Estado de tensão gerado por esforços solicitantes combinados EXERCÍCIO 1 Determine o estado de tensões nos pontos A e B da seção aa ao lado Represente estas tensões em um elemento de volume localizado nestes pontos RESPOSTA σA 46155 MPa τA 47746 MPa σB 1592 MPa τB 49338MPa Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Departamento de Engenharia Civil Mecânica dos Sólidos III Prof William L Fernandes 2000 N B B EXERCÍCIO 2 Determine o estado de tensões no ponto A Represente as tensões em um elemento de volume localizado neste ponto RESPOSTA σA 0 τA 113 MPa EXERCÍCIO 3 Determine o estado de tensões no ponto A Represente as tensões em um elemento de volume localizado neste ponto RESPOSTA σA 720 MPa T τA 06 MPa Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Departamento de Engenharia Civil Mecânica dos Sólidos III Prof William L Fernandes EXERCÍCIO 4 Duas forças são aplicadas ao tubo AB conforme mostrado Sabendose que o tubo possui diâmetros interno e externo iguais a 35mm e 42 mm respectivamente determine o estado de tensões nos pontos A e B Represente as mesmas em elementos infinitesimais de volume nestes pontos RESPOSTAS EXERCÍCIO 5 O trecho vertical do torno a seguir consiste em um tubo retangular cuja espessura de parede é t10mm Sabendose que o torno foi utilizado para prensar duas peças de madeira a serem coladas até que a força P atingisse 20kN determine a tensão nos pontos A e B Represente as tensões em elementos de volume nestes pontos RESPOSTA σA 1127 MPa T σB 960 MPa C Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Departamento de Engenharia Civil Mecânica dos Sólidos III Prof William L Fernandes EXERCÍCIO 6 Três forças são aplicadas ao disco de 100mm de diâmetro fixado ao eixo AB de 45mm de diâmetro No ponto H determine o estado de tensões Represente as tensões em um elemento de volume neste ponto RESPOSTA σH 31447 MPa C τH 36327 MPa Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais Departamento de Engenharia Civil Mecânica dos Sólidos III Prof William L Fernandes CAP 1 FLAMBAGEM EXERCÍCIO 1 Verifique se ocorrerá falha por flambagem na barra BC da treliça abaixo Todos os elementos são constituídos de perfis tubulares circulares de aço E200GPa com diâmetro externo 100mm e 5mm de espessura de parede Considere FS14 Verifique ainda se ocorrerá falha do material escoamento Considere fy250MPa RESPOSTA PcrFS 148759kN Fbc 140kN não haverá falha por flambagem σcr 139562MPa fy 250MPa não haverá falha do material escoamento Dados E 200GPa 200x10⁹ Pa D 100 mm 01 m t 5 mm 0005 m FS 14 fy 250 MPa Analisando uma seção S para descobrir o valor do esforço normal que a barra BC está submetida ΣMF 0 τ Fbc3 302 606 0 3Fbc 420 Fbc 140kN o sinal negativo indica compressão Além disso pela imagem é possível verificar que o comprimento da barra BC é 2m LBC 2m O diâmetro interno da seção é d D 2t 01 20005 d 009m O momento de inércia da seção transversal é dado por I πD⁴ d⁴64 π01⁴ 009⁴64 I 16881x10⁶ m⁴ La carga crítica de flambagem é dado por Pcr π²EIkLbc² π²200x10⁹16881x10⁶104² Pcr 20826286 N ou Pcr 20826 kN Para os barras de uma treliça k10 Considerando o fator de segurança a barra suporta uma carga máxima de PcrFS 2082614 PcrFS 148759 kN Como PcrFS 148759 kN Fbc 140 kN então não ocorre falha por flambagem Verificando se ocorrerá falha do material escoamento temos que a tensão crítica que a barra está sujeito é σcr PcrA onde a área da seção é A πD² d²4 π01² 009²4 14923x10³ m² σcr 2082628614923x10³ σcr 139562x10⁶ Pa ou σcr 139562 MPa Como σcr 139562 MPa fy 250 MPa então não ocorre falha do material EXERCÍCIO 2 A coluna ao lado é feita em madeira E12GPa e pode ser considerada engastada em suas extremidades Qual é o maior comprimento L admissível de forma que esta coluna não apresente flambagem Utilize FS14 A carga a ser aplicada na coluna vale 30kN RESPOSTA L3428m Dados E 12 GPa 12x10⁹ Pa FS 14 F 30 kN 30x10³ N Analisando a seção transversal o menor momento de inércia é J hb³12 01005³12 I 10417x10⁶ m⁴ Como a coluna é engastada nas duas extremidades então K05 Utilizando a equação da carga crítica temos Pcr π²EIkL² Pcr π²EIK²L² L² π²EIPcrk² Considerando FS14 a carga crítica de flambagem será Pcr FFS Pcr FFS Pcr 30x10³14 Pcr 42x10³ N Substituindo os valores L² π²12x10⁹10417x10⁶42x10³05² L² 117495 L 117495 L 3428 m EXERCÍCIO 3 Determine a carga crítica de flambagem para uma coluna com a seção ao lado A coluna está engastada em sua base e livre em seu topo Dados bᵣbaba324mm tᵣ taba19mm tᵥ talma127mm d611mm RESPOSTA Pcr831205kN Dados L 8 m Como a coluna é engastada e livre então K 20 O menor momento de inércia ocorre no eixo y e é J Σ¹1yᵢ Aᵢdxᵢ² J 219324³12 324190² 611 219127³12 611 2191270² J 107 705 376 9 781029 J 107 803 1863 mm⁴ ou J 10780 x 10⁴ m⁴ La carga crítica é dado por Pcr π²EIkL² Pcr π²200x10⁹10780 x 10⁴208² Pcr831230 kN Considerase E 200Gpa por ser uma coluna de aço EXERCÍCIO 4 Uma Engenheiroa pretende usar 2 peças de madeira com 6m de comprimento para fazer um pilar Determine a distância d entre as peças de forma que o pilar apresente a mesma carga crítica em relação a x e y Qual será esta carga Dados E13GPa pilar engastado em sua base e rotulado em seu topo RESPOSTA d38cm Pcr424192kN Os momentos de inércia são Ix 2bh3 12 Ix 26183 12 Ix 5832 cm4 ou Ix 5832x105 m4 Iy 2Iyi Aidxi2 Iy 21863 12 186d2 622 Iy 2324 27d62 Iy 648 54d62 A carga crítica é dada por Pa π2EI kL2 para cada eixo temos Pax π2EIx kLx2 Paxy π2EIy kLy2 Como a carga crítica deve ser a mesma nos dois eixos Pax Pay π2EIx kL2 π2EIy kL2 Ix Iy Substituindo os valores 5832 648 54d62 d62 5832 648 54 d6 96 d 9798 6 d 38 cm A carga crítica é Pax π2EIx kL2 Pax π213x1095832x105 0762 Pa424192 kN EXERCÍCIO 5 A coluna de aço abaixo possui suas extremidades engastadas Duas escoras de reforço foram inseridas na coluna na direção do eixo x para aumentar sua capacidade de carga Sabendo que a coluna é em aço ASTM A36 E200GPa fy250MPa e que as escoras são consideradas rotuladas na ligação com o pilar determine a se a coluna sofrerá flambagem caso P seja igual a 250kN considere FS16 b sua tensão crítica verificando se a mesma está no regime elástico c seu índice de esbeltez em relação aos eixos x e y Dados Perfil W150x24 bax102mm t aba103mm d160mm t alma66mm a Dados FS16 P250kN Os momentos de inércia da seção transversal são Jx ΣJxi Aidxi2 Jx 21021033 12 1021031602 10322 6613943 12 66139402 Jx 11 790 59664 1 489 876042 Jx 13 280 47568 mm4 ou Jx 13280 x 105 m4 Jy ΣJyi Aidxi2 Jy 21031033 12 1031002 1394663 12 13946602 Jy 1 821 7404 3 3397462 Jy 1 825 080345 mm4 ou Jy 18251 x 106 m4 A carga crítica em cada eixo é Pax π2EIx kxLx2 π2200x10913280x105 0742 Pax 334 kN Pay π2EIy kyLy2 π2200x10918251x106 0582 Pay 22516 kN A carga crítica é o menor dos valores encontrados de Pax e Pay portanto Pa Pay Pa22516 KiK Considerando o fator de segurança PaFS 22516 16 PaFS 14073 kN Como P250kN PaFS 14073 kN então a coluna sofrerá flambagem b A tensão crítica é dada por σa PuA onde a área da seção transversal é A 2A1 A2 2102103 139466 A 302224 mm2 ou A 30224 x 103 m2 σa 22516 x 103 30224 x 103 σa 7453 MPa Como σa 7453 MPa fy 250 MPa então a flambagem ocorre no limite elástico c O índice de esbeltez é dado por λ KL r onde r I A rx 13280 x 105 30224 x 103 rx 00663 m ry 18251 x 106 30224 x 103 ry 00246 m Portanto λx kxLx rx 074 00663 λx 4223 λy kyLy ry 058 00246 λy 16275 EXERCÍCIO 6 Considere que os elementos estruturais da treliça estão acoplados por pinos Se o elemento estrutural AG for uma haste de aço A36 com diâmetro de 50mm determine o maior valor da carga P que pode ser suportada pela treliça sem provocar flambagem naquele elemento estrutural RESPOSTA 14534kN Cálculo dos reação de apoio ΣMA0 5 p4 p8 RD120 12RD 12P RD P ΣFy0 RA P P P 0 RA P Dados d50mm005m E200 GPa 200x109 Pa K10 Determinando a força aplicada na barra A6 pelo método dos nós Nó H Nó A Onde ΣFy0 FAH0 tgα34 α3687 L²3²4² L5m ΣFy0 PFAGsen36870 FAG P06 A carga crítica da barra é dado por Pa π²EIKL² onde I πd⁴64 Pa π²Eπd⁴64KL² Considerando a carga crítica como o valor da força aplicada na barra FAG π²Eπd⁴64KL² P06 π³200x10⁹005⁴64105² P14534 kN EXERCÍCIO 7 Determine a espessura t tal que não ocorra falha por flambagem no sistema da figura a seguir Adote E70GPa d508mm e P10kN Considere A e C como apoios fixos O elemento BC é passível de apresentar flambagem Por quê RESPOSTA t 6475mm Dados E70GPa70x10⁹Pa d508mm00508m P10kN O momento de inercia da seção é dado por I πd⁴d2t⁴64 Analisando os esforços no ponto B afim de encontrar os esforços em cada barra Onde ΣFy0 FBCsen3866FABsen53130 08FAB FBCsen3866 FAB125FBCsen3866 1 tgθ45 θ3866 LBC²4²5² LBC640m tgα43 α5313 LAB²3²4² LAB5m ΣFix0 10 FBCcos3866 FABcos53130 Substituindo 1 10 FBCcos3866 125FBCsen3866060 125FBC 10 FBC 8 kN o sinal positivo indica que é esforço de tração Substituindo em 1 FAB 1258sen3866 FAB 6247 kN o sinal negativo indica que é esforço de compressão Como a barra BC está submetida a um esforço de tração o mesmo não é passível de apresentar flambagem Apenas elementos submetidos a esforços de compressão podem sofrer flambagem A carga crítica de flambagem é Pcr π²EIKL² considerando a carga crítica como o esforço na barra e substituindo o momento de inercia temos FAB π²Eπd⁴d2t⁴KLAB²64 d⁴d2t⁴ 64FABKLAB²π³E Substituindo os valores 00508⁴ 005082t⁴ 646247x10³105²π³70x10⁹ 005082t⁴ 46051x10⁶ 00508⁴ 1005082t ⁴20546x10⁶ 2t 003786 00508 2t00129 t647x10³ m ou t6470 mm EXERCÍCIO 8 A barra AB de alumínio tem seção retangular de 20mmx36mm e é conectada por pinos e suportes conforme ilustração Cada uma das extremidades da barra pode rotacionar livremente em relação ao eixo horizontal por meio dos pinos embora a rotação em relação ao eixo vertical esteja impedida pelos suportes Usando E70GPa determine a máxima carga P centrada admissível para a mesma se o coeficiente de segurança FS requerido for igual a 25 RESPOSTA 5372 kN Dados E70GPa70x10⁹ Pa FS25 L2m Analisando a seção transversal Os momentos de inercia são Ix 2036³12 Ix77760 mm⁴ ou Ix 7776x10⁸ m⁴ Iy 3620³12 Iy24000 mm⁴ ou Iy 24x10⁸ m⁴ Temos que devido aos tipos de apoio Kx 10 Ky 05 A carga crítica de flambagem para os dois eixos são Pcrx π²EIxKxL² π²70x10⁹7776x10⁸102² Pcrx 134306 kN Pcry π²EIyKyL² π²70x10⁹24x10⁸052² Pcry 165809 kN A carga crítica é o menor valor entre os dois eixos Considerando ainda o coeficiente de segurança temos Pa PcrxFS Pa 13430625 Pa 5372 kN CAP2 ANÁLISE DE TENSÕES 21 Estado de tensão gerado por esforços solicitantes combinados EXERCÍCIO 1 Determine o estado de tensões nos pontos A e B da seção aa ao lado Represente estas tensões em um elemento de volume localizado nestes pontos RESPOSTA σA46155 MPa τA47746 MPa σB1592 MPa τB49338 MPa Para a seção transversal temos que 1 Área Aπr² π002² A12566x10³ m² 2 Momento de inércia IxIy πr⁴4 π002⁴4 IxIy12566x10⁷ m⁴ 3 Momento estático de área QxA0 QyA πr²24r3π QyA 4r³6 4002³6 QyA53333x10⁶ m³ QxB πr²24r3π QxB 4r³6 4002³6 QxB53333x10⁶ m³ QyB0 4 Momento polar de inércia Jπr⁴2π002⁴2 J25133x10⁷ m⁴ Analisando os esforços na seção aa ΣFx0 Fx15000 Fx1500 N ΣFy0 Fy0 ΣMx0 Mx0 ΣMz0 Mz1500040 Mz600 Nm Para o ponto A temos que σAFzMxyAIxMyxAIy σA 200012566x103 0 30000212566x107 σA1592x106 0 47748x106 σA46156 MPa τA FxQxAIxt FyQyAIyt MzrJ τA0060000225133x107 τA0047746x106 τA47746 MPa Para o ponto B temos que σB FzA MxyBIx MyxBIy σB 200012566x103 0 0 σB 1592x106 0 0 σB 1592 MPa τB FxQxBIxt FyQyBIyt MzrJ τB 150053333x10612566x107004 0 60000225133x107 τB 1592x106 0 47746x106 τB 49338 MPa Elemento de volume ponto A Elemento de volume ponto B 1592 MPa 47746 MPa 47748 MPa 1592 MPa 1592 MPa 47746 MPa EXERCÍCIO 2 Determine o estado de tensões no ponto A Represente as tensões em um elemento de volume localizado neste ponto RESPOSTA σA0 τA113 MPa ΣFx0 Fx0 ΣFy0 Fy0 ΣFz0 Fz60 Fz6 kN ΣMx0 Mx6030 Mx18 kNm ΣMy0 My6030 My18 kNm ΣMz0 Mz0 Para a secção transversal temos 50 mm 005 m 40 mm 004 m σxA005 m σzA0 m b área A πre2ri2 π0052 0042 A28274x103 m2 3 momento de inércia I πre4ri44 π0054 00444 I28981x106 m4 1 momento polar de inércia J πre4ri42 π0054 00442 J57962x106 m4 4 momento estático Q3A0 Com isso σA FyA MxzAIx MzxAIz τA FxQxAIxt FyQzAIzt MyrJ τA 0 0 18x10300557962x106 τA 0 0 155x106 τA 155 MPa Elemento de volume ponto A 155 MPa Elemento de volume ponto A EXERCÍCIO 3 Determine o estado de tensões no ponto A Represente as tensões em um elemento de volume localizado neste ponto RESPOSTA σA720 MPa T τA06 MPa ΣFx0 Fx0 ΣFy0 Fy 30 Fy3 kN ΣFz0 Fz40 Fz4 kN ΣMx0 Mx0 ΣMy0 My4040 My16 kNm ΣMz0 Mz3040 Mz12 kNm Analisando a secção transversal temos 005 m 005 m 005 m 005 m b área A0101 A001 m2 1 momento estático de área QAd QA3010050052 QA3125x104 m3 QAyAza0010 QAy0 2 momento de inércia I31y01412 I31y83333x106 m4 Para o ponto A temos σA FxA MyzaIy MzyaJ σA0 0 12x10300583333x106 σA0 0 720x106 σA720 MPa T O sinal positivo indica tração τA FyQAyIytz FzQAzIzty τA 0 4x10³125x10⁴83333x10⁶01 τA 0 06x10⁶ τzxA τxyA τA 06 MPa Elemento de volume Ponto A z y x 720MPa 06MPa EXERCÍCIO 4 Duas forças são aplicadas ao tubo AB conforme mostrado Sabendose que o tubo possui diâmetros interno e externo iguais a 35 mm e 42 mm respectivamente determine o estado de tensões nos pontos A e B Represente as mesmas em elementos infinitesimais de volume nestes pontos RESPOSTAS 838 a 204 MPa 1434 MPa b 215 MPa 1998 MPa Dados D 42 mm 0042 m d 35 mm 0035 m Fx 0 Fx 0 Fy 0 Fy 1500 0 Fy 1500 N Fz0 Fz 1200 0 Fz 1200 N Mx0 Mx 120000750 Mx 90 Nm My0 My 12000090 My 108 Nm Mz0 Mz 150000450 Mz 675 Nm Analisando a seção transversal rA 0 m rA 0021 m rB 0021 m rB 0 m 4 Área A πD² d²4 π0042² 0035²4 A 42333x10⁴ m² 4 Momento de inércia Iz Ix πD⁴ d⁴64 π0042⁴ 0035⁴64 Iz Ix 79083x10⁸ m⁴ 4 Momento polar de inércia J πD⁴ d⁴32 J π0042⁴ 0035⁴32 J 15817x10⁷ m⁴ 4 Momento estático de área QzA QzB 0 QxA QzB 23 R³ r³ 23 0021³ 00175³ QxA QzB 26011 x 10⁶ m³ Para o ponto A σA FyA MxzAIx MzxAIz σA 150042333x10⁴ 90002179083x10⁸ 0 σA 3543x10⁶ 23899x10⁶ 0 σA 204 MPa T σyA σzA σzA τA FxQzAIxtz FzQxAIztx MyrJ τA 0 0 108002115817x10⁷ τA 0 0 1434x10⁶ τA 1434 MPa τyzA τxyA τzxA Para o ponto B σB FyA MxzBIx MzxBIz σB 150042333x10⁴ 0 675002179083x10⁸ σB 3543x10⁶ 0 17924x10⁶ σB 215 MPa C τB FxQzyBIxtz FzQxBIztx MyrJ τB 0 120026011 x 10⁶79083x10⁸0007 108002115817x10⁷ τB 0 5638 x 10⁶ 14339 x 10⁶ τB 1998 MPa τyzB τxyB τzxB Elemento de volume Ponto A Elemento de volume Ponto B 35 MPa 1434 MPa 239 MPa 35 MPa 56 MPa 143 MPa 179 MPa EXERCÍCIO 5 O trecho vertical do torno a seguir consiste em um tubo retangular cuja espessura de parede é t10mm Sabendose que o torno foi utilizado para prensar duas peças de madeira a serem coladas até que a força P atingisse 20kN determine a tensão nos pontos A e B Represente as tensões em elementos de volume nestes pontos RESPOSTA σA1127 MPa T σB960 MPa C My0 My0 Mz0 Mz 20020082 0 Mz48 kNm Analisando a seção transversal t 001m t 001 m A 006008 00620010082001 A 24 x 10³ m² 4 Momento de inércia Ix 008006³12 006004³12 Ix 112 x 10⁶ m⁴ Iz 006008³12 004006³12 Iz 184 x 10⁶ m⁴ 4 Momento estático de área QA QB Az 24 x 10³20032 QA QB 18 x 10⁵ m³ Analisando o ponto A σA FyA MxzAIx MzxAIz σA 20 x 10³24 x 10³ 48 x 10³004184 x 10⁶ σA 1127 MPa T Analisando o ponto B σB FyA MxzBIx MzxBIz σA 20 x 10³24 x 10³ 48 x 10³004184 x 10⁶ σB 960 MPa C Fy0 20 Fy 0 Fy 20 kN Fx0 Fx 0 EXERCÍCIO 6 Três forças são aplicadas ao disco de 100mm de diâmetro fixado ao eixo AB de 45mm de diâmetro No ponto H determine o estado de tensões Represente as tensões em um elemento de volume neste ponto RESPOSTA σH 31447 MPa C τH 36327 MPa Dados D 100 mm 01m d 45mm 0045 m ΣFx0 Fx0 ΣFy0 Fy25250 Fy50 kN ΣFz0 F3100 F310 kN ΣMx0 Mx250052500510020 Mx 2kNm ΣMy0 My100050 My 05 kNm ΣMz0 Mz0 Analisando a secção transversal 1 Área A πr2 π002252 A 15904 x103 m2 2 Momento de inercia IxIz πd464 π0045464 IxIz 20129 x107 m4 3 Momento estático de área Q3H π2r24r3t 20022533 Q3H759375 x 106 m3 QxH0 4 Momento polar de inercia J πd432 π0045432 J 40258 x 107 m4 Analisando o ponto H σH FyA MxzHJx MzxHIz σH 50 x 10315904 x 103 0 0 σH 31439 x 106 0 0 σH 31439 MPa σyH σxH σzH τH FxQxHIxtz FzQzHIztx MyrJ τH 0 10103759375x10620129x1030045 05x1030022540258x103 τH 0 8383x106 27945x106 τH 36328 MPa Elemento de volume Ponto H 31439 MPa 8383 MPa 27945 MPa y z x